第13课时二次函数应用
第二十二章 第13课 二次函数的应用(2)——抛物线型问题
解：(1) y＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4, 即对称轴为 x＝2，所 以水喷出的最远距离是 2×2＝4(米) (2) 由 y＝－(x－2)2＋4 可知顶点坐标为(2,4)，则水喷出的 最大高度是 4 米．
5．如图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面 的距离都是 1 m，拱桥的跨度为 10 m，桥洞与水面的最大 距离是 5 m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面 4 m 的景观 灯．
(1)当球上升的最大高度为 3.2 m 时，求排球飞行的高度 y(m)与水 平距离 x(m)的函数关系式(不要求写自变量 x 的取值范围)．
(2)在(1)的条件下，对方距球网 0.5 m 的点 F 处有一队员，她起跳 后手达到的最大高度为 3.1 m．问这次她是否可以拦网成功？ 请通过计算说明．
解：(1)根据题意知此时抛物线的顶点 G 的坐标为(7,3.2)， 设抛物线解析式为 y＝a(x－7)2＋3.2， 将点 C(0,1．8)代入，得：49a＋3.2＝1．8， 解得：a＝－315，x2 B．y＝2x2 C．y＝－12x2 D．y＝12x2
4．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为 x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出 的曲线是抛物线 y＝－x2＋4x(单位：米)的一部分， (1)水喷出的最远距离是多少？ (2)水喷出的最大高度是多少？
2．如图，拱桥是抛物线形，其函数解析式为 y＝－41x2，当水 位线在如图所示位置时，水面宽 AB＝12 m，这时水面离桥 顶的高度 h＝__9______m.
3．如图①是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水 面在 l 时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面 2 m，水面宽 4 m．如 图②建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是( C )
北师大版数学九年级下册第二章二次函数综合探究——最值问题及存在性问题课时对应练习(Word版含答案)
第13课时二次函数综合探究——最值问题及存在性问题1．已知抛物线y1＝﹣x2+mx+n,直线y2＝kx+b,y1的对称轴与y2交于点A（﹣1,5）,点A与y1的顶点B的距离是4．（1）求y1的解析式；（2）若y2随着x的增大而增大,且y1与y2都经过x轴上的同一点,求y2的解析式．2．如图,已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1,0）、B（3,0）、C（0,3）．（1）试求出抛物线的解析式；（2）问：在抛物线的对称轴上是否存在一个点Q,使得△QAC的周长最小,试求出△QAC 的周长的最小值,并求出点Q的坐标；（3）现有一个动点P从抛物线的顶点T出发,在对称轴上以1个单位长度每秒的速度向y 轴的正方向运动,试问,经过几秒后,△P AC是等腰三角形？3．如图,抛物线y＝x2﹣2x﹣3与直线y＝﹣x+b交于A,C两点,与x轴交于点A,B．点P为直线AC下方抛物线上的一个动点（不包括点A和点C）,过点P作PN⊥AB交AC与点M,垂足为N,连接AP,CP．设点P的横坐标为m．（1）求b的值；（2）用含m的代数式表示线段PM的长并写出m的取值范围；（3）求△P AC的面积S关于m的函数解析式,并求使得△APC面积最大时,点P的坐标；（4）直接写出当△CMP为等腰三角形时点P的坐标．4．已知抛物线y＝﹣mx2+4x+2m与x轴交于点A（α,0）,B（β,0）,且1α+1β=−2,（1）求抛物线的解析式．（2）抛物线的对称轴为l,与y轴的交点为C,顶点为D,点C关于l的对称点为E,是否存在x轴上的点M,y轴上的点N,使四边形DNME的周长最小？若存在,请画出图形（保留作图痕迹）,并求出周长的最小值；若不存在,请说明理由．（3）若点P在抛物线上,点Q在x轴上,当以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时,求点P的坐标．5．如图,抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A（﹣2,0）,D两点,与y轴交于点C,对称轴x＝3交x轴交于点B．（1）求抛物线的解析式．（2）点M是x轴上方抛物线上一动点,过点M作MN⊥x轴于点N,交直线BC于点E．设点M的横坐标为m,用含m的代数式表示线段ME的长,并求出线段ME长的最大值．（3）若点P在y轴的正半轴上,连接P A,过点P作P A垂线,交抛物线的对称轴于点Q．是否存在点P,使以点P、A、Q为顶点的三角形与△BAQ全等？若存在,直接写出点P的坐标；若不存在,请说明理由．6．（2019•广州）已知抛物线G ：y ＝mx 2﹣2mx ﹣3有最低点．（1）求二次函数y ＝mx 2﹣2mx ﹣3的最小值（用含m 的式子表示）；（2）将抛物线G 向右平移m 个单位得到抛物线G 1．经过探究发现,随着m 的变化,抛物线G 1顶点的纵坐标y 与横坐标x 之间存在一个函数关系,求这个函数关系式,并写出自变量x 的取值范围；（3）记（2）所求的函数为H ,抛物线G 与函数H 的图象交于点P ,结合图象,求点P 的纵坐标的取值范围．7．已知抛物线y ＝mx 2+（1﹣2m ）x +1﹣3m 与x 轴相交于不同的两点A 、B（1）求m 的取值范围；（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P ,并求出点P 的坐标；（3）当14＜m ≤8时,由（2）求出的点P 和点A ,B 构成的△ABP 的面积是否有最值？若有,求出该最值及相对应的m 值．8．已知O 为坐标原点,抛物线y 1＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴相交于点A （x 1,0）,B （x 2,0）,与y 轴交于点C ,且O ,C 两点间的距离为3,x 1•x 2＜0,|x 1|+|x 2|＝4,点A ,C 在直线y 2＝﹣3x +t 上．（1）求点C 的坐标；（2）当y 1随着x 的增大而增大时,求自变量x 的取值范围；（3）将抛物线y 1向左平移n （n ＞0）个单位,记平移后y 随着x 的增大而增大的部分为P ,直线y 2向下平移n 个单位,当平移后的直线与P 有公共点时,求2n 2﹣5n 的最小值．【参考答案】1．（1）∵抛物线y 1＝﹣x 2+mx +n ,直线y 2＝kx +b ,y 1的对称轴与y 2交于点A （﹣1,5）,点A 与y 1的顶点B 的距离是4．∴B （﹣1,1）或（﹣1,9）,∴−m 2×(−1)=−1,4×(−1)n−m 24×(−1)=1或9, 解得m ＝﹣2,n ＝0或8,∴y 1的解析式为y 1＝﹣x 2﹣2x 或y 1＝﹣x 2﹣2x +8；（2）①当y 1的解析式为y 1＝﹣x 2﹣2x 时,抛物线与x 轴交点是（0,0）和（﹣2,0）, ∵y 1的对称轴与y 2交于点A （﹣1,5）,∴y 1与y 2都经过x 轴上的同一点（﹣2,0）,把（﹣1,5）,（﹣2,0）代入得{−k +b =5−2k +b =0, 解得{k =5b =10, ∴y 2＝5x +10．②当y 1＝﹣x 2﹣2x +8时,解﹣x 2﹣2x +8＝0得x ＝﹣4或2,∵y 2随着x 的增大而增大,且过点A （﹣1,5）,∴y 1与y 2都经过x 轴上的同一点（﹣4,0）,把（﹣1,5）,（﹣4,0）代入得{−k +b =5−4k +b =0, 解得{k =53b =203； ∴y 2=53x +203．2．（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）经过点A （1,0）、B （3,0）、C （0,3）,∴把此三点代入得{a +b +c =09a +3b +c =0c =3,解得{a =1b =−4c =3,故抛物线的解析式为,y ＝x 2﹣4x +3；（2）点A 关于对称轴的对称点即为点B ,连接B 、C ,交x ＝2于点Q ,可得直线BC：y＝﹣x+3,与对称轴交点Q（2,1）,BC=3√2,可得△QAC周长为√10+3√2．（3）设t秒后△P AC是等腰三角形,因为P在对称轴上,所以P点坐标为（2,t﹣1）于是①当P A＝CA时；根据勾股定理得：（2﹣1）2+（t﹣1）2＝12+32；解得t＝4秒或t＝﹣2秒（负值舍去）．②PC＝P A时；根据勾股定理得：22+（t﹣4）2＝（2﹣1）2+（t﹣1）2；解得t＝3秒；③CP＝CA时；根据勾股定理得：22+（t﹣4）2＝12+32；解得t＝（4+√6）秒或t＝（4−√6）秒所以经过4秒,或3秒,或4+√6秒,或4−√6秒时,△P AC是等腰三角形．3．（1）令x2﹣2x﹣3＝0,解得：x1＝﹣1,x2＝3,即A＝（﹣1,0）,B（3,0）,把A（﹣1,0）代入y＝﹣x+b,得b＝﹣1,则一次函数解析式为y＝﹣x﹣1；（2）把x＝m代入抛物线解析式得：y＝m2﹣2m﹣3,把x＝m代入直线解析式得：y＝﹣m﹣1,∴NP＝﹣（m2﹣2m﹣3）,MN＝﹣（﹣m﹣1）,∴MP＝NP﹣NM＝﹣（m2﹣2m﹣3）+（﹣m﹣1）＝﹣m2+m+2,m 的取值范围是﹣1＜m ＜2；（3）过点作CE ⊥AB 于点E ,则S △APC ＝S △AMP +S △CMP =12MP •AN +12MP •NE =12MP •AE =−32m 2+32m +3, ∵﹣1＜0,开口向下,∴当m =−b 2a =12时,S △APC 面积最大,此时P （12,−154）；（4）分三种情况：①当P 为抛物线顶点时,此时MC ＝PC ,△CMP 为等腰三角形,P 点坐标为P 1（1,﹣4）；②当P 为C 关于抛物线对称轴对称的点时,此时MP ＝MC 时,△CMP 为等腰三角形,∵点C （2,﹣3）,对称轴为：x ＝1,∴点P 坐标为P 2（0,﹣3）；③当P 为MC 的垂直平分线上点时,此时PM ＝PC ,△CMP 为等腰三角形,P 3（√2−1,2﹣4√2）．4．（1）由题意可得：α,β是方程﹣mx 2+4x +2m ＝0的两根,由根与系数的关系可得, α+β=4m ,αβ＝﹣2,∵1α+1β=−2,∴α+βαβ=−2,即4m −2=−2,解得：m＝1,故抛物线解析式为：y＝﹣x2+4x+2；（2）存在x轴上的点M,y轴上的点N,使得四边形DNME的周长最小,∵y＝﹣x2+4x+2＝﹣（x﹣2）2+6,∴抛物线的对称轴l为x＝2,顶点D的坐标为：（2,6）,又∵抛物线与y轴交点C的坐标为：（0,2）,点E与点C关于l对称,∴E点坐标为：（4,2）,作点D关于y轴的对称点D′,点E关于x轴的对称点E′,则D′的坐标为；（﹣2,6）,E′坐标为：（4,﹣2）,连接D′E′,交x轴于M,交y轴于N,此时,四边形DNME的周长最小为：D′E′+DE,如图1所示：延长E′E,′D交于一点F,在Rt△D′E′F中,D′F＝6,E′F＝8,则D′E′=√D′F2+E′F2=√62+82=10,设对称轴l与CE交于点G,在Rt△DGE中,DG＝4,EG＝2,∴DE=√DG2+EG2=√42+22=2√5,∴四边形DNME的周长最小值为：10+2√5；（3）如图2,P为抛物线上的点,过点P作PH⊥x轴,垂足为H,若以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形,则△PHQ≌△DGE,∴PH＝DG＝4,∴|y|＝4,∴当y＝4时,﹣x2+4x+2＝4,解得：x1＝2+√2,x2＝2−√2,当y＝﹣4时,﹣x2+4x+2＝﹣4,解得：x3＝2+√10,x4＝2−√10,无法得出以DE为对角线的平行四边形,故P点的坐标为；（2−√2,4）,（2+√2,4）,（2−√10,﹣4）,（2+√10,﹣4）．5．（1）由题意得,点D 的坐标为（8,0）,把点A 、D 的坐标代入y ＝ax 2+bx +4{4a −2b +4=064a +8b +4=0, 解{a =−14b =32． 故抛物线解析式为y =−14x 2+32x +4．（2）由题意,点C ,点B 坐标分别为（0,4）,（3,0）,则直线CB 解析式y =−43x +4,点M 坐标为（m ,−14m 2+32m +4）,点E 坐标为（m ,−43m +4）,①当﹣2＜m ≤0时,ME =−43m +4﹣（−14m 2+32m +4）=14m 2−176m , m ＝﹣2时,ME =203,由二次函数性质可知,ME ＜203；②当0＜m ＜8时,ME =−14m 2+32m +4﹣（−43m +4）=14m 2−176m =−14（m −173）2+28936 当m =173时,ME 取得最大值,最大值为28936． 综上所述,当﹣2＜m ≤0时,ME =14m 2−176m ,当0＜m ＜8时,ME =−14m 2+176m ．当m =173时,ME 取得最大值,最大值为28936． （3）存在,∵P A ⊥PQ ,BQ ⊥x 轴∴∠APQ ＝∠ABQ ＝90°,∴△APQ 和△ABQ 中．点P 和点B 是对应点,∵以点P 、A 、Q 为顶点的三角形与△BAQ 全等,只有两种情况：设点P （0,c ）,Q （3,n ）（c ＞0）,∴AB ＝5,BQ ＝n ,P A =√4+c 2,PQ =√9+(c −n)2,①△P AQ ≌△BAQ ,∴P A ＝BA ,PQ ＝BQ ,∴√4+c 2=5,√9+(c −n)2=n ,∴c =√21或c =−√21（舍）,∴P （0,√21）,②△PQA ≌△BAQ ,∴P A ＝BQ ,PQ ＝AB ,∴√4+c 2=n ,√9+(c −n)2=5,∴c 1=32,n 1=−52或c 2=−32,n 2=52（舍）故点P 坐标为P 1（0,√21）,P 2（0,32）． 6．（1）∵y ＝mx 2﹣2mx ﹣3＝m （x ﹣1）2﹣m ﹣3,抛物线有最低点 ∴二次函数y ＝mx 2﹣2mx ﹣3的最小值为﹣m ﹣3（2）∵抛物线G ：y ＝m （x ﹣1）2﹣m ﹣3∴平移后的抛物线G 1：y ＝m （x ﹣1﹣m ）2﹣m ﹣3∴抛物线G 1顶点坐标为（m +1,﹣m ﹣3）∴x ＝m +1,y ＝﹣m ﹣3∴x +y ＝m +1﹣m ﹣3＝﹣2即x +y ＝﹣2,变形得y ＝﹣x ﹣2∵m ＞0,m ＝x ﹣1∴x ﹣1＞0∴x ＞1∴y 与x 的函数关系式为y ＝﹣x ﹣2（x ＞1）（3）法一：如图,函数H ：y ＝﹣x ﹣2（x ＞1）图象为射线x ＝1时,y ＝﹣1﹣2＝﹣3；x ＝2时,y ＝﹣2﹣2＝﹣4∴函数H 的图象恒过点B （2,﹣4）∵抛物线G ：y ＝m （x ﹣1）2﹣m ﹣3x ＝1时,y ＝﹣m ﹣3；x ＝2时,y ＝m ﹣m ﹣3＝﹣3∴抛物线G 恒过点A （2,﹣3）由图象可知,若抛物线与函数H 的图象有交点P ,则y B ＜y P ＜y A ∴点P 纵坐标的取值范围为﹣4＜y P ＜﹣3法二：{y =−x −2y =mx 2−2mx −3整理的：m （x 2﹣2x ）＝1﹣x∵x ＞1,且x ＝2时,方程为0＝﹣1不成立∴x ≠2,即x 2﹣2x ＝x （x ﹣2）≠0∴m =1−x x(x−2)＞0∵x ＞1∴1﹣x＜0∴x（x﹣2）＜0∴x﹣2＜0∴x＜2即1＜x＜2∵y P＝﹣x﹣2∴﹣4＜y P＜﹣37．（1）解：当m＝0时,函数为一次函数,不符合题意,舍去；当m≠0时,∵抛物线y＝mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m与x轴相交于不同的两点A、B,∴△＝（1﹣2m）2﹣4×m×（1﹣3m）＝（1﹣4m）2＞0,∴1﹣4m≠0,∴m≠1 4,∴m的取值范围为m≠0且m≠1 4；（2）证明：∵抛物线y＝mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m,∴y＝m（x2﹣2x﹣3）+x+1,抛物线过定点说明在这一点y与m无关,显然当x2﹣2x﹣3＝0时,y与m无关,解得：x＝3或x＝﹣1,当x＝3时,y＝4,定点坐标为（3,4）；当x＝﹣1时,y＝0,定点坐标为（﹣1,0）,∵P不在坐标轴上,∴P（3,4）；（3）解：|AB|＝|x A﹣x B|=√b2−4ac|a|=√(1−2m)2−4m(1−3m)|m|=√1−4m+4m2−4m+12m2m2=√(1−4m)2m2=|1−4mm|＝|1m−4|,∵14＜m ≤8, ∴18≤1m ＜4, ∴−318≤1m−4＜0, ∴0＜|1m−4|≤318, ∴|AB |最大时,|1m−4|=318, 解得：m ＝8,或m =863（舍去）,∴当m ＝8时,|AB |有最大值318,此时△ABP 的面积最大,没有最小值,则面积最大为：12|AB |y P =12×318×4=314． 8．（1）令x ＝0,则y ＝c ,故C （0,c ）,∵OC 的距离为3,∴|c |＝3,即c ＝±3,∴C （0,3）或（0,﹣3）；（2）∵x 1x 2＜0,∴x 1,x 2异号,①若C （0,3）,即c ＝3,把C （0,3）代入y 2＝﹣3x +t ,则0+t ＝3,即t ＝3, ∴y 2＝﹣3x +3,把A （x 1,0）代入y 2＝﹣3x +3,则﹣3x 1+3＝0, 即x 1＝1,∴A （1,0）,∵x 1,x 2异号,x 1＝1＞0,∴x 2＜0,∵|x 1|+|x 2|＝4,∴1﹣x 2＝4,解得：x 2＝﹣3,则B （﹣3,0）,代入y 1＝ax 2+bx +3得,{a +b +3=09a −3b +3=0, 解得：{a =−1b =−2,∴y 1＝﹣x 2﹣2x +3＝﹣（x +1）2+4,则当x ≤﹣1时,y 随x 增大而增大．②若C （0,﹣3）,即c ＝﹣3,把C （0,﹣3）代入y 2＝﹣3x +t ,则0+t ＝﹣3,即t ＝﹣3, ∴y 2＝﹣3x ﹣3,把A （x 1,0）,代入y 2＝﹣3x ﹣3,则﹣3x 1﹣3＝0,即x 1＝﹣1,∴A （﹣1,0）,∵x 1,x 2异号,x 1＝﹣1＜0,∴x 2＞0∵|x 1|+|x 2|＝4,∴1+x 2＝4,解得：x 2＝3,则B （3,0）,代入y 1＝ax 2+bx ﹣3得,{a −b −3=09a +3b −3=0, 解得：{a =1b =−2, ∴y 1＝x 2﹣2x ﹣3＝（x ﹣1）2﹣4,则当x ≥1时,y 随x 增大而增大,综上所述,若c ＝3,当y 随x 增大而增大时,x ≤﹣1； 若c ＝﹣3,当y 随x 增大而增大时,x ≥1；（3）①若c ＝3,则y 1＝﹣x 2﹣2x +3＝﹣（x +1）2+4,y 2＝﹣3x +3, y 1向左平移n 个单位后,则解析式为：y 3＝﹣（x +1+n ）2+4, 则当x ≤﹣1﹣n 时,y 随x 增大而增大,y 2向下平移n 个单位后,则解析式为：y 4＝﹣3x +3﹣n , 要使平移后直线与P 有公共点,则当x ＝﹣1﹣n ,y 3≥y 4, 即﹣（﹣1﹣n +1+n ）2+4≥﹣3（﹣1﹣n ）+3﹣n , 解得：n ≤﹣1,∵n ＞0,∴n ≤﹣1不符合条件,应舍去；②若c ＝﹣3,则y 1＝x 2﹣2x ﹣3＝（x ﹣1）2﹣4,y 2＝﹣3x ﹣3, y 1向左平移n 个单位后,则解析式为：y 3＝（x ﹣1+n ）2﹣4, 则当x ≥1﹣n 时,y 随x 增大而增大,y 2向下平移n 个单位后,则解析式为：y 4＝﹣3x ﹣3﹣n , 要使平移后直线与P 有公共点,则当x ＝1﹣n ,y 3≤y 4,即（1﹣n﹣1+n）2﹣4≤﹣3（1﹣n）﹣3﹣n,解得：n≥1,综上所述：n≥1,2n2﹣5n＝2（n−54）2−258,∴当n=54时,2n2﹣5n的最小值为：−258．。
安徽省2014年中考数学专题复习课件 第13课时 二次函数的应用
第13课时┃ 二次函数的应用
二次函数在几何图形中的应用，实际上是数形结合思想 的运用，融代数与几何为一体，把代数问题与几何问题互相 转化，充分运用三角函数解直角三角形、相似、全等、圆等 知识来解决问题， 充分运用几何知识求函数解析式是关键． 二 次函数与三角形、圆等几何知识结合时，往往涉及最大面积、 最小距离等问题，解决的过程中需要建立函数关系，运用函 数的性质求解．
皖考解读
考点聚焦
皖考探究
当堂检测
第13课时┃ 二次函数的应用
解
(1)设商家一次性购买这种产品 x 件，销售单价为 m 元， 则 m＝3000－10×(x－10)， 即 m＝3100－10x， 当 m＝2600 时， 2600＝3100－10x，∴x＝50. ∴商家一次购买这种商品 50 件时，销售单价恰好为 2600 元． （3000－2400）x，（0≤x≤10，且x为整数） (2)y＝（3100－10x－2400）x，（10＜x≤50，且x为整数） 200x，（x＞50，且x为整数） 600x，（0≤x≤10，且x为整数） 2 即 y＝－10x ＋700x，（10＜x≤50，且x为整数） 200x.（x>50，且x为整数）
探究二 二次函数在营销问题方面的应用 命题角度： 二次函数在销售问题方面的应用．
例 2 [2012· 黄冈 ] 某科技开发公司研制出一种新型产 品，每件产品的成本为 2400 元，销售单价定为 3000 元．在 该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品， 公司决定商家一次购买这种新型产品不超过 10 件时，每件 按 3000 元销售；若一次购买该种产品超过 10 件时，每多购 买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低 10 元，但销 售单价均不低于 2600 元．
2015中考夺分自主复习课件_第13讲二次函数的应用(35张PPT)
图 13－1
第13讲┃ 二次函数的应用
【归纳总结】
1．抛物线与 x 轴的交点和一元二次方程的根之间的关 系： 如果抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴有公共点，公共点的 横坐标即为方程___________ ax2＋bx＋c＝0 _的解． 2．由抛物线与 x 轴的位置关系判断一元二次方程的根 的情况： (1)当抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴有两个交点时，方程 两个不相等的 ax2＋bx＋c＝0 有_______ _____实数根； (2)当抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴有一个交点时，方程 两个相等的 实数根； ax2＋bx＋c＝0 有____________ (3)当抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴无交点时，方程 ax2 没有 实数根． ＋bx＋c＝0________ 第13讲┃ 二次函数的应用
第13讲┃ 二次函数的应用
解：(1)y＝[6＋2(x－1)]×[95－5(x－1)]， 整理，得 y＝－10x2＋180x＋400(其中 x 为正整数，且 1≤x≤10)． (2)由－10x2＋180x＋400＝1120， 化简，得 x2－18x＋72＝0. 配方，得(x－9)2＝9， 解得 x1＝6，x2＝12(不合题意，舍去)． 所以该产品为第 6 档次的产品．
2
第13讲┃ 二次函数的应用
3．[2014· 咸宁] 用一条长为 40 cm 的绳子围成一个面积 为 a cm2 的长方形，a 的值不可能 为 ( D ) ．．． A．20 B．40 C．100 D．120 4．[2013· 贵阳] 已知二次函数 y＝x2＋2mx＋2，当 x>2 时， y 的值随 x 的增大而增大，则实数 m 的取值范围是 ________ m≥－2 ． 5． 若函数 y＝mx2＋2x＋1 的图象与 x 轴只有一个公共点， 则常数 m 的值是________ 1或0 ．
二次函数与方程、不等式
综上所述，抛物线的解析式为y＝
3 4
x2－3x＋4或y＝－
3 4
x2
＋3x＋1.
第13课时┃ 二次函数与方程、不等式
热考3 用二次函数的性质解决实际问题 例 3 某工厂设计了一款产品，成本为每件 20 元．投放市场 进行试销，经调查发现，该种产品每天的销售量 y(件)与销售单 价 x(元/件)之间满足 y＝－2x＋80(20≤x≤40)，设销售这种产品 每天的利润为 W(元)． (1)求销售这种产品每天的利润 W(元)与销售单价 x(元/件)之间 的函数解析式； (2)当销售单价定为多少时，每天的利润最大？最大利润是多少 元？
ax2＋bx c(a≠0)的图象在x轴__下______
＋c<0 方的点的横坐标所组成的集合
备注
不等式中如果带有等号，其解 集也相应带有等号
第13课时┃ 二次函数与方程、不等式
考点●4 二次函数的应用 解决二次函数的应用问题的关键在于建立二次函数模 型．在具体解题时，应认真审题，理解题意，再利用二次函 数的性质解决问题．应用最多的是根据二次函数的最值确定 最大利润．
抛物线与x轴的
交点个数
Δ＝b2－4ac的符号
方程有实数根的个数
两个交点
Δ>0
两个不相等的实根
一个交点
Δ＝0
两个相等的实根
没有交点
Δ<0
没有实根
(2)已知函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数值为k，求自变量x
的值，就是解方程ax2＋bx＋c＝k；反过来，解方程ax2＋bx＋c
＝k，就是令二次函数y＝ax2＋bx＋c－k的函数值为0，求自变
中考数学复习 第3章 函数 第13讲 二次函数的应用课件_1
(2)如图2，现要求在图中所示位置留2m宽的门，且仍使饲养室的占地 面积最大，小敏说：“只要饲养室长比(1)中的长多2m就行了．”请 你通过计算，判断小敏的说法是否(shì fǒu)正确．
【思路分析】根据(gēnjù)题意，用含x的代数式表示出饲养室的宽，由矩形的
第七页，共十八页。
解：(1)根据题意，得w＝(x－30)·y＝(－x＋60)(x－30)＝－x2＋ 30x＋60x－1800＝－x2＋90x－1800. 故w与x之间的函数(hánshù)解析式为w＝－x2＋90x－ 1800(30≤x≤60)．
(2)根据题意，得w＝－x2＋90x－1800
＝－(x－45)2＋225. ∵－1＜0，
(4)四检：检验结果的合理性，特别检验是否符合题意． 提示►二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内， 一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应 按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论．
考点2 一次函数、反比例函数与二次函数的综合应用
反比例函数、一次函数作为实际问题的基础，在此可以延伸已知条件， 得到与一次函数自变量相关的二次函数，随后运用二次函数的性质去解决 问题．
第十三页，共十八页。
解：(1)设W＝k1x2＋k2nx， ∴ Q＝k1x2＋k2nx＋100. 由表中数据，得
∴ Q＝－ 1 x2＋6nx＋100.
10
(2)由题意(tí yì)，得450＝1 － ×702＋6×70n＋100.
解得n＝2.
10
(3)当n＝3时，Q＝－ x21 ＋18x＋100.
10
(2)这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大 利润是多少元？ (3)如果物价部门规定(guīdìng)这种双肩包的销售单价不高于48元， 该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应 定为多少元？
中考复习第13课时二次函数的图象与性质一课件
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第13课时┃ 二次函数的图象与性质（一）
解
(1)当x＝0时，y＝－2.∴A点坐标为(0，－2)． －2m 抛物线对称轴为x＝－ ＝1， 2m ∴B点坐标为(1，0)． (2)易得A点关于对称轴的对称点为A1(2，－2)， 则直线l经过点A1，B， 设直线l的关系式为y＝kx＋b(k≠0)， 2k＋b＝－2， k＝－2， 则 解得 k＋b＝0. b＝2. ∴直线l的关系式为y＝－2x＋2.
常数项 c 的意义 c 是抛物线与 y 轴交点的纵坐标，即 x＝0 时，y＝c
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第13课时┃ 二次函数的图象与性质（一）
考点2
二次函数的关系式
任选以下三个条件中的一个，求二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的关系式. ①y 随 x 变化的部分数值规律如下表： x －1 0 1 2 3 y 0 3 4 3 0 ②有序数对(－1，0)，(1，4)，(3，0)满足 y＝ax2＋bx＋c； ③已知函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象的一部 分(如图 13－1 所示).
抛物线开口向下，并向下 无限延伸 b 直线x＝－ 2a
b 4ac－b2 － ， 4a 2a
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第13课时┃ 二次函数的图象与性质（一）
b 2a 时，y 随 x 的增大而增大；在对 b 称轴的右侧，即当 x>－ 时， 2a y 随 x 的增大而减小， 简记左增 在对称轴的左侧，即当 x<－ 右减 抛物线有最高点，当 x＝ b － 时，y 有最大值， 2a 4ac－b2 y 最大值＝ 4a
第13课时 质（一）
考 点 聚 焦
考点1 二次函数的图象与性质
【2014中考复习方案】(人教版)中考数学复习权威课件 ：13 二次函数的图象及其性质(一)
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第13课时┃二次函数的图象及 其性质(一)
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a≠0， a≠0， 2 （－1）＋c＝0，解得b＝－2a， ∴a·（－1） ＋b· a·32＋b· c＝－3a. 3＋c＝0，
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第13课时┃二次函数的图象及 其性质(一)
∴抛物线的解析式为 y＝ax2－2ax－3a＝a(x2－2x－3)＝a(x－1)2 －4a(a≠0)， ∴所求抛物线的对称轴为直线 x＝1. 方法二：∵抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴的交点坐标是(－1，0)， (3，0)， ∴抛物线的方程可设为 y＝a(x＋1)(x－3)(a≠0)， 即 y＝a(x2－2x－3)＝a(x－1)2－4a(a≠0)， ∴抛物线的对称轴为直线 x＝1. 方法三： ∵抛物线是关于对称轴对称的， 且其对称轴 x＝h 与 x 轴垂直， ∴对称轴必过点(－1，0)，(3，0)的中点， －1＋3 则 h－(－1)＝3－h，得 h＝ ＝1. 2 即抛物线的对称轴为直线 x＝1.
第13课时
二次函数的图象及 其性质(一)
第13课时┃二次函数的图象及 其性质(一)
考 点 聚 焦
考点1 二次函数的概念 定义：一般地，如果______________(a，b，c是常数， y＝ax2＋bx＋c a≠0)，那么y叫做x的二次函数． 考点2
图象
二次函数的图象及画法
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是以___________
第13课 二次函数的应用(2)——抛物线型问题
∴0＝a(0－6)2＋3，a＝－ 1
∴y＝－ 1 (x－6)2＋3
12
12
(2)当x＝9，y＝－ 1 (9－6)2＋3＝2.25＜2.5
12
∴射中球门
5. (例2)如图，铅球在A点被推出，出手时球离地面1米，铅球飞行 轨迹是抛物线，当铅球飞行的水平距离为4米时达到最高点B， 最高点离地面3米． (1)求抛物线的函数关系式； (2)求此次推铅球的成绩． (1) y＝－ 1 (x－4)2＋3 8 (2) 当y＝0，x＝4±2 6 ∴成绩为(4＋2 6)米
∴水池半径至少3米
7. (例3)如图是抛物线形的拱桥，水面AB＝4米，拱顶C离 水面2米． (1)求抛物线的解析式； (2)若水面下降1米，则水面宽度将增加 多少米？ (1)y＝ - 1 x2＋2
2
(2)(2 6－4)米
8. 如图，隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，讲老师:
第二十二章 二次函数
第13课 二次函数的应用(2)——抛物线型问题
一、知识储备
1．求抛物线y＝x2－8x与x轴的交点坐标． (0，0)，(8，0)
2.抛物线的顶点为(6，3)且过点(0，0)，求抛物线的解析式．
y＝
1 12
(x－6)2＋3
二、新课学习
3. (例1)如图，一个高尔夫球在地面O点被击出，球的飞行路线是 抛物线y＝－ 1 x2＋ 8 x，其中y(m)是飞行高度，x(m)是球飞 55 出的水平距离．
(1)求球飞行过程中的最大高度；
(2)求球飞行过程中的最大水平距离．
16 (1)
米
(2)8米
5
4. 如图，贝克汉姆在球门正前方9米处将球射向空门，当球飞行的 水平距离为6米时，球达到最高点A，此时球距地面3米． (1)求球飞行轨迹的抛物线的解析式； (2)若球门高2.5米，问能否射中球门？
人教版中考数学一轮复习--二次函数的应用(精品课件)
∵A(1，0)，即二次函数图象的对称轴为直线x＝1，
∴x＝－2×b－14＝1，∴b＝12，
∴二次函数的解析式为 y＝－14x2＋12x＋3.
(2)若点C与点B重合，求tan∠CDA的值.
解：过点D作x轴的垂线，垂足为E.
∵∠CAD＝90°，∴∠BAO＋∠DAE＝90°.
解：当m＝－2时，直线l2：y＝－2x＋n(n≠10)， ∴直线l2：y＝－2x＋n(n≠10)与直线l1：y＝－2x＋10不重合， 假设l1与l2不平行，则l1与l2必相交，设交点为P(xP，yP)， ∴ yyPP＝ ＝－ －22xxPP＋ ＋n10，，解得n＝10. ∵n＝10与已知n≠10矛盾，∴l1与l2不相交，∴l2∥l1.
综上所述，当a≥50时，矩形菜园ABCD面积的最大值为1 250 m2； 当0＜a＜50时，矩形菜园ABCD面积的最大值为 50a－12a2 m2.
考点3 销售问题 例4 某药店选购了一批消毒液，进价为每瓶10元，在销售过
程中发现，每天销售量y(瓶)与每瓶售价x(元)之间存在 一次函数关系(其中10≤x≤21，且x为整数).当每瓶消毒 液售价为12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶消毒液售 价为15元时，每天销售量为75瓶. (1)求y与x之间的函数关系式；
∴直线MN的解析式为y＝－x＋4，
由－x2＋2x＋3＝－x＋4 得，x＝3±2 5，
∴M 点横坐标为3＋2
5或3－2
5 .
例2 【2020福建节选14分】已知直线l1：y＝－2x＋10交y轴 于点A，交x轴于点B，二次函数的图象过A，B两点，交 x轴于另一点C，BC＝4，且对于该二次函数图象上的任 意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，当x1>x2≥5时，总有y1>y2.
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第13课时：本章中考真题选
1．（2010安徽）若二次函数配方后为则、的值分别为………………（）
（A）0.5 （B）0.1 （C）—4.5 （D）—4.1 2．（2010甘肃兰州）二次函数的图象的顶点坐标是（）A．（－1，8） B．（1，8） C．（－1，2） D．（1，－4）3．（2010甘肃兰州）抛物线图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为，则b、c的值为（）
A . b=2， c=2 B. b=2，c=0 C . b= －2，c=－1 D. b= －3，c=2
（2010甘肃兰州）抛物线图象如图所示，则一次函数
4．
与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（）
第15题图
5．（2010江苏盐城）给出下列四个函数：①；②；③；④（）时，y随x的增大而减小的函数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．（2010浙江金华）已知抛物线的开口向下,顶点坐标为（2，－3）,那么该抛物线有（）
A.最小值－3
B. 最大值－3
C.最小值2
D. 最大值2 7．（2010 山东济南）在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．0
8．（2010 浙江衢州）下列四个函数图象中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（）
9.（2010 福建三明）抛物线的图象和x轴有交点，则k的取值范围是
（）
A．B．且C．D．
（ 10题）（11题）
10．如图5，已知抛物线的对称轴为，
点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，
其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为（）
A．（2，3） B．（3，2）C．（3，3）D．（4，3）
11．二次函数的图象如图所示，则一次函数的
图象不经过（）
A．第一象限 B．第二象限C．第三象限D．第四象限
12．（2010年贵州）函数在同一直角坐标系内的图象大致是( )
13．（2010年贵州）把抛物线y=x+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，
所得图象的解析式为y=x－3x＋5，则（）
A．b=3，c=7B．b=6，c=3 C．b=9，c=5D．b=9，c=21 14．（2010湖北荆州）若把函数y=x的图象用E（x，x）记，函数y=2x+1的图象用E（x，
2x+1）记，……则E（x，）可以由E（x，）怎样平移得到？
A．向上平移１个单位B．向下平移１个单位C．向左平移１个单位D．向右平移１个单位
15．（2010北京）将二次函数y＝x2－2x＋3，化为y＝(x－h)2＋k的形式，结果为（）
A．y＝(x＋1)2＋4 B．y＝(x－1)2＋4 C．y＝(x＋1)2＋2 D． y＝(x－1)2＋2
16．（2010山东泰安）下列函数：①；②；③；
④，其中的值随值增大而增大的函数有（）
A、4个
B、3个
C、2个
D、1个
17．（2010江苏徐州）平面直角坐标系中，若平移二次函数y=(x－2009)(x－2010)+4的图象，使其与x轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为
A．向上平移4个单位 B．向下平移4个单位 C．向左平移4个单位 D．向右平移4个单位
18．（2010 甘肃）向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y=ax2+bx+c（a≠0）．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（）
A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒
二、填空题
1．（2010 湖南株洲）已知二次函数（为常数），当取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．下图分别是当，，，时二次函数的图象.它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是.
2．如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线上运动，当⊙P与轴相切
时，圆心P的坐标为.
三、解答题
1．已知二次函数的图象与轴两交点的坐标分别为（，0），（，0）（）．
（1）证明；
（2）若该函数图象的对称轴为直线，试求二次函数的最小值．
2．（2010云南楚雄）已知：如图，抛物线
与轴相交于两点A(1，0)，B(3，0).
与轴相交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）若点D（）是抛物线上一
点，请求出的值，并求出此时△ABD的面积．
3．（2010黑龙江哈尔滨）体育课上，老师用绳子围成一个周长为30米的游戏场地，围成的场地是如图所示的矩形ABCD。
设边AB的长为x（单位：米），矩形ABCD的面积为S（单位：平方米）
（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）若矩形ABCD的面积为50平方米，且AB<AD，请求出此时AB的长。
4．（2010山东青岛）某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间
的关系可近似的看作一次函数：．
（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？
（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）。