高等数学入门——复合函数的求导法则
复合函数的求导法则
复合函数的求导法则定理2设函数y =f (u )，u =ϕ(x )均可导，则复合函数y = f (ϕ(x )) 也可导.且 或 或证： 设变量x 有增量∆x ，相应地变量u 有增量∆u ，从而y 有增量∆y . 由于u 可导，即推论设y = f (u ) ，u = ϕ(v )，v = ψ(x ) 均可导，则复合函数y =f [ϕ(ψ(x ))] 也可导，且例1 设y = (2x +1)5，求y '.解 把2x + 1 看成中间变量u ，将 y = (2x + 1)5看成是y = u 5，u = 2x + 1复合而成，，x u x u y y '⋅'='，)()(x u f y x ϕ'⋅'='.xuu y x y d d d d d d ⋅=.0lim 0=∆→∆u x 所以xu u y x x ∆∆⋅∆∆=→∆→∆00lim lim ，x u x u u y x u u y '⋅'=⋅=→→∆∆∆∆∆∆00lim lim .x u x u y y '⋅'='⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆⋅∆∆=∆∆→∆→∆x u u y x y x x 00lim lim .x v u x v u y y '⋅'⋅'='由于 所以例2 设y =sin 2x ，求y '.解 这个函数可以看成是y = sin x ·sin x , 可利用乘法的导数公式，这里，我们用复合函数求导法.将y = sin 2 x 看成是由y = u 2，u = sin x 复合而成. 而 所以例3 设y =sin 3x ，求 .解：例4 设y =lncos x ，求,5)(45u u y u ='='.2)12(='+='x u x .)12(102544+=⋅='⋅'='x u u y y x u x ,2)(2u u y u ='='.cos )(sin x x u x ='='.cos sin 2cos 2x x x u u y y x u x =⋅='⋅'='，则，x u u y sin 3==xuu y x y d d d d d d ⋅=x u cos 32=.cos sin 32x x ⋅=y'y'解： 例5 设解：例6 设y = e tan x ，求 y '.解y = e tan x 可以看成是由y = e u ，u =tan x 复合而成，所以复合函数求导数熟练后，中间变量可以不必写出.x u u x u x x u y y )(tan )('⋅'='⋅'='e .sec sec 22xu x x tan e e =⋅=，则，x u u y cos ln ==x u u y x y d d d d d d ⋅=)sin (1x u-⋅=. tan )sin (cos 1x x x -=-⋅=.)12(sin 3y'x y ，求+='x y'))12((sin 3+='x x ))12(sin()12(sin 32+⋅+='x x x )12()12cos()12(sin 32+⋅+⋅+=2)12cos()12(sin 32⋅+⋅+=x x .)12cos()12(sin 62++=x x例7求y '.解例8 设f (x )=arcsin(x 2)，求f '(x ). 解例9求y '.解例10 求y '. 解,12x y -=设xx x x y '-⋅-='-)1()1(212212.12xx --=x x x x f '⋅-=')(11)(24.124xx -=,sin ln x y =设x x x xx y '⋅=')(sin sin 1)(x x x x '⋅=)(cos sin 1.cot 21x x ⋅=,xx y --=e 设x x x x x x y '--='---)()(2121e e []x x x xx x '-'-=---)()()(2121e e []x x x x x '-⋅--=---)(1)(2121e e ).1()(2121x x x ---+-=e e 21x x y +=设例11求y '.解 先用除法的导数公式，遇到复合时，再用复合函数求导法则.例12 设y =sin(x ln x )，求y '.解 先用复合函数求导公式，再用乘法公式y '= cos(x ln x )·(x ln x )' = cos(x ln x )·(x ·(ln x )'+x 'ln x ) = (1+ln x )cos(x ln x ) .例13解 先用复合函数求导公式，再用加法求导公式，然后又会遇到复合函数的求导.2222)1()1(1)(x x x x x y +'+-+'='222112211x xx xx ++-+=.)1(1)1(1)1(2322222x x x x x +=++-+=])1[ln( 2'++x x 求21x +])1[ln(2'++x x '++⋅++=)1(1122x x x x ])1(1[1122'++⋅++=x x x补证一下(x α)' = αx e ln所以(x α)' = (e αln x )'= e αln x ·(αln x ) '⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⋅++=221111x x x x .112x+=，因为 ln ln x x x αααe e ==xx 1ln ⋅=ααe .11-=⋅=ααααx x x。
复合函数求导法
y′=(sin nx)′ sin nx + sin nx (sin nx)′ = ncos nx sin nx+sin nx n sin n1x (sin x )′ = ncos nx sin nx+n sin n1x cos x =n sin n1x sin(n+1)x.
华东理工大学《数学分析》电子课件(§4.4)
§4.4 复合函数求导法
一、复合函数求导(链式法则) 二、对数求导法
一、复合函数求导(链式法则) 如果u=(x)在点x0 可导，函数y=f(u)在点u0=(x0)可 导，则复合函数y=f[(x)]在点x 0可导，且其导数为
dy = f ′(u0 ) ′( x0 ). dx x = x0 证 设在x0处有自变量x的改变量Δx, Δu = ( x0 + Δx ) ( x0 ), Δy = f (u0 + Δu ) f (u0 ),
x
dy . dx 1 dy [cos(e x )]′ 解 = [ln cos(e x )]′= x dx cos(e ) 1 = [ sin(e x )] (e x ) ′ = e x tan(e x ). x cos(e )
华东理工大学《数学分析》电子课件(§4.4)
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华东理工大学《数学分析》电子课件(§4.4)
，求
dy . dx
1 1
y = sin nx sin n x(n为常数 ), 求
dy . dx
1 sin sin sin 1 1 1 dy = (e x )′ = e x (sin ) ′ = e x cos ( ) ′ dx x x x
解
1 sin 1 1 = 2 e x cos . x x
2_1_3 复合函数的导数 高等数学 微积分 考研数学
th x sh x ch x
a x ex ln a
Page 4
例2. 设 y ln cos(ex ) , 求 dy . dx
解:
dy dx
1 cos(ex
)
(sin(ex )) ex
ex tan(ex )
思考: 若 f (u) 存在 , 如何求 f (ln cos(ex )) 的导数?
u0 u
y f (u)u u （当 u 0 时 0 )
故有
y f (u) u u
x
x x
(x
y 0) u
f (u)
dy dx
lim y x0 x
lxim0
f
(u) u x
பைடு நூலகம்
u x
f
(u ) g ( x)
Page 2
推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.
例如, y f (u) , u (v) , v (x)
d f f ( ln cos(ex ) ) (ln cos(ex )) dx
这两个记号含义不同
f (u) uln cos(ex )
Page 5
例3. 设 y cot x tan 2 , 求 y.
2
x
解： y csc2 x 1 1 sec2 2 2( 1 1 )
2 22 x
x
2 x3
1 csc2 x 1 sec2 2
4x
2
x3
x
2 . 设 y f ( f ( f (x))), 其中 f (x) 可导, 求 y.
解: y f ( f ( f (x))) f ( f (x) ) f (x)
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§2.1.3 复合函数的求导法则
复合函数求导公式大全
复合函数求导公式大全
复合函数求导公式大全
求导是微积分中的一个重要概念，它是求函数的变化率的一种方法。
求导的公式有很多，其中复合函数求导公式也是很重要的一种。
首先，复合函数求导的基本公式是：若f(x)为一元函数，g(x)为一元函数，则
[f(g(x))]'=f'(g(x))*g'(x)。
这是复合函数求导的基本公式，也是最常用的公式。
其次，复合函数求导的链式法则是：若f(x)为一元函数，g(x)为一元函数，则
[f(g(x))]'=f'(g(x))*g'(x)，其中f'(g(x))表示f(x)在g(x)处的导数，g'(x)表示g(x)在x 处的导数。
再次，复合函数求导的指数函数公式是：若f(x)为一元函数，g(x)为指数函数，则
[f(g(x))]'=f'(g(x))*g'(x)=f'(g(x))*g(x)*ln(a)，其中a为指数函数的底数。
最后，复合函数求导的对数函数公式是：若f(x)为一元函数，g(x)为对数函数，则
[f(g(x))]'=f'(g(x))*g'(x)=f'(g(x))*g(x)/x，其中x为对数函数的底数。
以上就是复合函数求导的公式大全，它们是微积分中的重要概念，也是求函数的变化率的一种方法。
学习这些公式，可以帮助我们更好地理解复合函数求导的概念，从而更好地掌握微积分的知识。
复合函数导数公式及运算法则
复合函数导数公式及运算法则复合函数导数公式极其运算法则同学们还记得吗，如果不记得了，请往下看。
下面是由小编为大家整理的“复合函数导数公式及运算法则”，仅供参考，欢迎大家阅读。
复合函数导数公式.常用导数公式1.y=c(c为常数) y'=02.y=x^n y'=nx^(n-1)3.y=a^x y'=a^xlnay=e^x y'=e^x4.y=logax y'=logae/xy=lnx y'=1/x5.y=sinx y'=cosx6.y=cosx y'=-sinx7.y=tanx y'=1/cos^2x8.y=cotx y'=-1/sin^2x9.y=arcsinx y'=1/√1-x^210.y=arccosx y'=-1/√1-x^211.y=arctanx y'=1/1+x^212.y=arccotx y'=-1/1+x^2在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]•g'(x)『f'[g(x)]中g(x)看作整个变量，而g'(x)中把x看作变量』2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^23.y=f(x)的反函数是x=g(y)，则有y'=1/x'证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。
用导数的定义做也是一样的：y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0。
2.这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。
在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。
3.y=a^x,⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1)⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x如果直接令⊿x→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β=a^⊿x-1通过换元进行计算。
复合函数求导法则
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复合函数的微分公式为:
d[ f ( g( x))] f (u) g( x)dx
二、初等函数的求导问题
1.常数和基本初等函数的导数公式
(C ) 0 (sin x) cos x (tan x) sec2 x (sec x) sec x tan x
(a x ) a x ln a 1
(loga x) x lna
[ f ( g( x))]xx0 f (u0 )g( x0 ) f ( g( x0 ))g( x0 ) 证明：由 y f (u) 在 u0 g( x0 )可导也即可微
y f '(u0 )u o(u)
复合函数的求导法则可以写成:
dy dy du
dx du dx
即因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量 求导乘以中间变量对自变量求导，我们称它为链式法则.
)
1
1 x
2
2.函数的和、差、积、商的求导法则
设 u u(x),v=v(x) 可导，则
(1) (u v) u v, (2) cu cu (c是常数,)
(3) (uv) uv uv,
u uv uv
(4) ( ) v
v2
.
3.复合函数的求导法则
设为dy dy du 或 y(x) f (u)(x).
dx du dx
利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决.
复合函数的求导法则.
复合函数的求导法则是指对于一个复合函数而言，求导时
需要将自变量和函数进行分离，分别对自变量和函数求导，
再求和。
具体来说，复合函数的求导法则可以分为两种情况:
1. 直接求导法则
如果复合函数的内层函数是简单函数(即只包含一个自变
量的函数)，那么可以直接按照求导法则对内层函数进行求导，然后利用链式法则对外层函数进行求导。
例如，对于函数
f(x)=x^2+2x,求f(x)的导数，可以按照以下步骤进行:
f'(x) = (x^2 + 2x)' = (x^2)' + 2(x^2)'x = x^2 + 4x
其中，x^2的导数为2x,2x的导数为2,x的导数为1。
2. 间接求导法则
如果复合函数的内层函数是复合函数，那么需要先将内层
函数转化为简单函数，然后再按照求导法则对简单函数进行
求导。
例如，对于函数f(x)=sin(wx+b),求f(x)的导数，可
以按照以下步骤进行:
f'(x) = (sin(wx+b))' = (sin(wx+b))'w·cos(wx+b) + (sin(wx+b))'b·sin(wx+b) = w·cos(wx+b) + b·sin(wx+b)
其中，w为常数，表示角速度，cos(wx+b)为在wx+b方向
上的余弦函数，sin(wx+b)为在wx+b方向上的正弦函数。
复合求导公式运算法则
复合求导公式运算法则复合求导公式是微积分中的重要概念之一，它是求解复合函数导数的一种有效方法。
在这篇文章中，我们将讨论复合求导公式的运算法则，并通过具体的例子来说明其应用。
1. 复合函数的定义我们来回顾一下复合函数的定义。
给定两个函数f(x)和g(x)，复合函数可以表示为f(g(x))。
其中，g(x)是内部函数，f(x)是外部函数。
2. 复合函数的求导法则在求解复合函数的导数时，我们可以运用复合求导公式。
该公式可以分为两个部分：外函数求导和内函数求导。
具体的运算法则如下：（1）外函数求导：对外函数f(x)求导，忽略内函数g(x)。
这个步骤与普通函数求导的方法相同。
（2）内函数求导：对内函数g(x)求导，并乘以外函数f(x)对内函数的导数。
3. 复合求导公式的应用为了更好地理解复合求导公式的运算法则，我们来看几个例子。
例1：求解复合函数f(g(x)) = sin(x^2)的导数。
我们需要确定外函数和内函数。
在这个例子中，外函数是f(x) =sin(x)，内函数是g(x) = x^2。
（1）外函数求导：f'(x) = cos(x)。
（2）内函数求导：g'(x) = 2x。
根据复合求导公式，我们将内函数的导数乘以外函数的导数：f'(g(x)) = f'(g(x)) * g'(x) = cos(x) * 2x = 2xcos(x)。
因此，复合函数f(g(x)) = sin(x^2)的导数为2xcos(x)。
例2：求解复合函数f(g(x)) = e^sin(x)的导数。
在这个例子中，外函数是f(x) = e^x，内函数是g(x) = sin(x)。
（1）外函数求导：f'(x) = e^x。
（2）内函数求导：g'(x) = cos(x)。
根据复合求导公式，我们有：f'(g(x)) = f'(g(x)) * g'(x) = e^sin(x) * cos(x)。
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高等数学入门——复合函数的求导法则
一、复合函数的定义
在高等数学中，复合函数是由两个函数通过组合而成的新函数。
假设有两个函数f(x)和g(x)，则它们的复合函数可以表示为f(g(x))。
其中，g(x)是内层函数，f(x)是外层函数。
二、复合函数的求导法则
对于复合函数f(g(x))，我们希望求出它的导数。
根据链式法则，复合函数的导数可以通过内层函数和外层函数的导数相乘来计算。
具体的求导法则如下：
1. 内层函数求导：首先求出内层函数的导数g'(x)。
2. 外层函数求导：然后求出外层函数对内层函数的导数f'(g(x))。
3. 乘积求导：将内层函数的导数和外层函数对内层函数的导数相乘，即可求得复合函数的导数。
三、示例分析
为了更好地理解复合函数的求导法则，我们来看一个具体的示例。
假设有两个函数f(x) = x^2和g(x) = 2x + 1，我们希望求出复合函数f(g(x))的导数。
求出内层函数g(x)的导数：
g'(x) = 2
然后，求出外层函数对内层函数的导数f'(g(x))：
f'(g(x)) = 2g(x) = 2(2x + 1) = 4x + 2
将内层函数的导数和外层函数对内层函数的导数相乘，得到复合函数的导数：
[f(g(x))]'
= f'(g(x)) * g'(x)
= (4x + 2) * 2
= 8x + 4
因此，复合函数f(g(x))的导数为8x + 4。
四、总结
通过以上示例分析，我们可以总结出复合函数的求导法则：
1. 求出内层函数的导数。
2. 求出外层函数对内层函数的导数。
3. 将内层函数的导数和外层函数对内层函数的导数相乘，得到复合函数的导数。
复合函数的求导法则在微积分中具有重要的应用价值，它可以帮助我们计算复杂函数的导数。
通过理解和掌握复合函数的求导法则，
我们可以更好地应用微积分知识解决实际问题。
希望本文能够对读者理解复合函数的求导法则有所帮助。