第二十二章 二次函数(单元总结)(解析版)

第二十二章二次函数

单元总结

【思维导图】

【知识要点】

知识点1：二次函数的概念

概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a?， b?， c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。

注意：二次项系数a≠0，而b?， c可以为零．

二次函数y=ax2+bx+c的结构特征：

（1）等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．

（2）a?， b?， c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．

【典例分析】

1．下列函数是二次函数的是（）

A．y=x（x+1）B．x2y=1

C．y=2x2-2（x-1）2D．y=x—0.5

【答案】A

【分析】利用二次函数的一般形式为：y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），进而判断得出即可．

【详解】A、该函数符合二次函数的定义，故本选项正确；

B、整理后：y=1

，不符合二次函数形式，故本选项错误；

x2

C、整理后，该函数的自变量的最高次数是1，属于一次函数，故本选项错误；

D、该函数属于一次函数，故本选项错误.

故选A．

【点睛】本题考查了二次函数的定义．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．

2．二次函数y=3x﹣5x2+1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为________．

【答案】﹣5、3、1

【分析】根据二次函数的定义，判断出二次函数y=3x-5x2+1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为多少即可．

【详解】解：二次函数y=3x-5x2+1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为-5、3、1．

故答案为：-5、3、1．

【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，要熟练掌握，一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，

a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x 、y 是变量，a 、b 、c 是常量，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．

3．已知函数 2

1

(1)3m y m x x +=-+为二次函数，求m 的值．

【答案】m=﹣1

【分析】根据二次函数的定义，列出一个式子即可解决问题． 【详解】解：由题意：{m ?1≠0

m 2+1=2，解得m =?1，

∴m =?1时，函数2

1

(1)3m

y m x x +=-+为二次函数．

【点睛】本题考查二次函数的定义，记住二次函数的定义是解题的关键，形如y =ax 2+bx +c(a 、b 、c 是常数，a ≠0)的函数，叫做二次函数．

知识点2：二次函数的图象和性质（重点） 二次函数的基本表现形式：

①y =ax 2；②y =ax 2+k ；③y =a (x ??)2；④y =a (x ??)2+k ；⑤y =ax 2+bx +c . 第一种：二次函数y =ax 2的性质（最基础）

第二种：二次函数y

=ax 2+c 的性质

第三种：二次函数y=a(x?h)2的性质

第四种：二次函数y=a(x?h)2+k的性质

y=a(x??)2+k的形式，其中?=?b

2a ，k=4ac?b2

4a

.

二次函数图象的平移

平移步骤：

?将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x??)2+k，确定其顶点坐标(??， k)；

?保持抛物线y=ax2的形状不变，将其顶点平移到(??， k)处，具体平移方法如下：

平移规律

在原有函数的基础上“?值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．【概括】左加右减，上加下减

抛物线y=ax2+bx+c的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

求抛物线的顶点、对称轴的方法（难点）

?公式法：y=ax2+bx+c=a(x+b

2a )

2

+4ac?b2

4a

，

∴顶点是（?b

2a ，4ac?b2

4a

），对称轴是直线x=?b

2a

.

?配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y=a(x??)2+k的形式，得到顶点为(?,k)，对称轴是直线x=?.

【抛物线的性质】由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.

抛物线y=ax2+bx+c中，a,b,c与函数图像的关系（灵活掌握）

?二次项系数a

二次函数y=ax2+bx+c中，a作为二次项系数，显然a≠0．

（1）当a>0时，抛物线开口向上，a越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；

（2）当a<0时，抛物线开口向下，a越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．

【总结起来】a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，|a|的大小决定开口

的大小．

?一次项系数b

在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．

（1）在a>0的前提下，

当b>0时，?b

<0，即抛物线的对称轴在y轴左侧（a、b同号）；

2a

当b=0时，?b

=0，即抛物线的对称轴就是y轴；

2a

当b<0时，?b

>0，即抛物线对称轴在y轴的右侧（a、b异号）．

2a

（2）在a<0的前提下，结论刚好与上述相反，即

当b>0时，?b

>0，即抛物线的对称轴在y轴右侧（a、b异号）；

2a

当b=0时，?b

=0，即抛物线的对称轴就是y轴；

2a

当b<0时，?b

<0，即抛物线对称轴在y轴的左侧（a、b同号）．

2a

【总结起来】在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置．

?常数项c

当c>0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；

当c=0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；

当c<0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．

【总结起来】c决定了抛物线与y轴交点的位置．

总之，只要a?， b?， c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．

【典例分析】

4．（2019·沙雅县第二中学初三期中）函数y=﹣2x2先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数解析式是（）

A．y=﹣2（x﹣1）2+2B．y=﹣2（x﹣1）2﹣2

C．y=﹣2（x+1）2+2D．y=﹣2（x+1）2﹣2

【答案】B

【分析】根据函数图像的平移口诀“左加右减，上加下减”即可得出答案.

【详解】解：函数y=﹣2x2先向右平移1个单位可得到：y=﹣2(x-1)2，再向下平移2个单位可得到：y=﹣2(x-1)2-2，故答案选择B.

【点睛】本题主要考查图形的平移和二次函数的图像与性质，属于基础知识点，比较简单.

5.将抛物线y=(x?1)2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（）

A．y=(x?2)2B．y=(x?2)2+6 C．y=x2+6 D．y=x2

【答案】D

【解析】根据“左加右减、上加下减”的原则，

将抛物线y=(x?1)2+3向左平移1个单位所得直线解析式为：y=(x?1+1)2+3?y=x2+3；

再向下平移3个单位为：y=x2+3?3?y=x2。故选D。

6．（2019·湖北省武汉一初慧泉中学初三月考）二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图所示，若点A（－

1 ，y1），B（2，y2），C（4，y3）在此函数图象上，则y1，y2与y3的大小关系是

A．y1＞y2＞y3．B．y2＞y1＞y3．C．y3＞y1＞y2．D．y3＞y2＞y1．

【答案】B

【分析】首先分别求出A、B、C三点到对称轴的距离，然后根据抛物线开口向下时，哪个点到对称轴的距离越小，则这个点的函数值越大，判断出y1、y2、y3的大小关系即可．

【详解】解：A点到对称轴的距离是：|?1?1|=2，

B点到对称轴的距离是：|2?1|=1，

C点到对称轴的距离是：|4?1|=3，

∵1＜2＜3，又有抛物线开口向下；

∴y2＞y1＞y3．

故答案为：y2＞y1＞y3．

【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：抛物线开口向下时，A、B、C三点，哪个点到对称轴的距离越小，则这个点的函数值越大．

7．二次函数y＝2(x?1)2＋3的图象是一条抛物线，则下列说法错误的是（）

A．抛物线开口向上B．抛物线的对称轴是直线x＝1

C．抛物线的顶点是(1，3)D．当x＞1时，y随x的增大而减小

【答案】D

【分析】利用二次函数的性质一一判断即可．

【详解】二次函数y=2（x﹣1）2+3．

∵a=2＞0，∴抛物线开口向上，顶点坐标为（1，3），对称轴是直线x=1，故A，B，C正确．

故选D．

【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

8.已知一次函数y=b

a

x+c的图象如图，则二次函数y=ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【分析】由一次函数的图象判断出b

a

<0, c>0，再判断二次函数的图象特征，进而求解.

【详解】由一次函数的图象可得：b

a <0, c>0，所以二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴=?b

2a

>0,与y轴的交

点在正半轴，符合题意的只有A.故选A.

【点睛】本题考查了二次函数图象与一次函数的图象，解题的关键是根据一次函数的图象判断出b

a

<0, c>0. 9．（2019·山东省五莲县第二中学初三期末）在同一坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+8x+b 的图象可能是（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【分析】令x=0，求出两个函数图象在y轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a＞0，然后确定出一次函数图象经过第一三象限，从而得解．

【详解】解：x=0时，两个函数的函数值y=b，

所以，两个函数图象与y轴相交于同一点，故B、D选项错误；

由A、C选项可知，抛物线开口方向向上，

所以，a＞0，则一次函数y=ax+b经过第一三象限，

所以，A选项错误，C选项正确，

故选：C．

【点睛】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．

a 的图象，下列说法错误的是（）

10．如图是二次函y=ax2+bx+c(0)

A．函数y的最大值是4B．函数的图象关于x =-1对称

C．当x<-1时，y随x的增大而增大D．当-40

【答案】D

【解析】由二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象可知：（1）其顶点坐标为（-1，4）；（2）图象开口向下；（3）图象与x轴的一个交点为（1，0）；

∴选项A、B、C中的说法都是正确的.

∵该函数图象与x轴的一个交点为（1，0），对称轴为直线x=?1，

∴图象与x轴的另一个交点为（-3，0），

∴只有当x的取值满足：?30.

∴选项D的说法错误.

故选D.

知识点三抛物线与x轴的交点

二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程ax2+ bx+c=0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

①有两个交点?Δ>0?抛物线与x轴相交；

②有一个交点（顶点在x轴上）?Δ=0?抛物线与x轴相切；

③没有交点?Δ<0?抛物线与x轴相离.

【典例分析】

11．（2019·湖北省武汉一初慧泉中学初三月考）抛物线y＝x2－2x＋1与坐标轴的交点个数是A．0．B．1．C．2．D．3．

【答案】C

【分析】当x=0时，求出与y轴的纵坐标；当y=0时，求出关于x的一元二次方程x2?2x+1=0的根的判别式的符号，从而确定该方程的根的个数，即抛物线y=x2?2x+1与x轴的交点个数．

【详解】解：当x=0时，y=1，

则与y轴的交点坐标为(0,1)，

当y=0时，x2?2x+1=0，

△=(?2)2?4×1×1=0，

所以，该方程有两个相等的解，即抛物线y=x2?2x+1与x轴有1个点．

综上所述，抛物线y=x2?2x+1与坐标轴的交点个数是2个．

故选：C．

【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点，以及一元二次方程的解法，其中令抛物线解析式中x=0，求出的y值即为抛物线与y轴交点的纵坐标；令y=0，求出对应的x的值，即为抛物线与x轴交点的横坐标．

12．抛物线y＝mx2﹣8x﹣8和x轴有交点，则m的取值范围是（）

A．m＞﹣2B．m≥﹣2C．m≥﹣2且m≠0D．m＞﹣2且m≠0

【答案】C

【分析】根据二次函数的定义及抛物线与x 轴有交点，即可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围．

【详解】解：∵抛物线y =mx 2?8x ?8和x 轴有交点， ∴{

m ≠0

(?8)2

?4m ?(?8)?0

,

解得：m ≥﹣2且m ≠0． 故选：C ．

【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、二次函数的定义以及解一元一次不等式组，牢记“当Δ=b 2?4ac ≥0时，抛物线与x 轴有交点是解题的关键．

13．（2019·云南中考模拟）已知点A （1，1）在抛物线y ＝x 2+（2m +1）x ﹣n ﹣1上 （1）求m 、n 的关系式；

（2）若该抛物线的顶点在x 轴上，求出它的解析式． 【答案】（1）n ＝2m ；（2）y ＝x 2或y ＝x 2﹣4x +4．

【分析】(1)把A(1,1)代入抛物线即可得到n 与m 的关系式；（2）根据顶点在x 轴上则顶点纵坐标是0，

4ac?b 24a

=0，根据公式求出n 和m 的值，即可求出表达式.

【详解】解：（1）将点A （1，1）代入y ＝x 2+（2m +1）x ﹣n ﹣1得： 1＝12+（2m +1）×1﹣n ﹣1， 整理得：n ＝2m ，

故m 、n 的关系式为：n ＝2m ； （2）∵抛物线的顶点在x 轴上， ∴

4×1×(?n?1)?(2m+1)2

4×

=0，

∵n ＝2m ，

∴代入上式化简得，4m 2+12m +5＝0， 解得m ＝﹣5

2或m ＝﹣1

2，

当m ＝﹣52时，n ＝﹣5，抛物线的解析式为：y ＝x 2﹣4x +4， 当m ＝﹣12时，n ＝﹣1，抛物线的解析式为：y ＝x 2， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2或y ＝x 2﹣4x +4．

【点睛】本题考查二次函数的解析和二次函数的顶点坐标（-b

2a ，

4ac?b 24a

），学生们要灵活运用.

14．（2019·张家界市民族中学初三月考）抛物线y=x2+2x+m与x轴有两个不同的交点，求m的取值范围．

【答案】m＜1．

【分析】抛物线与x轴有两个交点，则△=b2-4ac＞0，从而求出m的取值范围．

【详解】∵抛物线y=x2+2x+m与x轴有两个不同交点，

∴△=4-4m＞0，

解得m＜1．

【点睛】本题考查了抛物线与x轴交点问题，二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系．

△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．

△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；

△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；

△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点

知识点四根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路（重点）

?三点式（带入）

1，已知抛物线y=ax2+bx+c 经过A（√3，0），B（2√3，0），C（0，-3）三点，求抛物线的解析式。

2，已知抛物线y=a(x-1)２+4 ，经过点A（2，3），求抛物线的解析式。

?顶点式（顶点坐标（-b

2a ，4ac?b

2

4a

））

1，已知抛物线y=x2-2ax+a2+b 顶点为A（2，1），求抛物线的解析式。

2，已知抛物线y=4(x+a)2-2b 的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。

?交点式（带入）

1，已知抛物线与x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。

2，已知抛物线线与x 轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y=1

2

a(x-2a)(x-b)的解析式。

?定点式

1、在直角坐标系中，不论a取何值，抛物线y=?12x2+5?a2x+2a﹣2经过x轴上一定点Q，直线y＝（a﹣

2）x+2经过点Q．求抛物线的解析式．

解：∵不论a 取何值，抛物线y =?12x 2+5?a

2x +2a ﹣2经过x 轴上一定点Q ， ∴当a ＝0，则y =?1

2x 2+5

2x ﹣2，当a ＝1时y =?1

2x 2+2x ， 令y ＝0，则?{?1

2x 2+52x ?2=0

?12x 2

+2x =0 解得x ＝4， ∴Q （4，0），

∵直线y ＝（a ﹣2）x +2经过点Q ． ∴0＝（a ﹣2）×4+2， 解得a =32

，

∴抛物线的解析式为y =?1

2

x 2+74

x +1．

2、抛物线y= x 2 +(2m-1)x-2m 与x 轴的交点一定经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。

解：抛物线与x 轴相交，y=0

x 2+(2m-1) x -2m=0 x 2-2 x +2mx-2m=0 x (x -2)+2m(X-2)=0

(x -2)( x +2m)=0

所以 x=2 必过（2,0） 代入直线 得m=-4

3 y= x 2-11

3x+8

3

3，抛物线y=ax 2+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A ，求抛物线的解析式。

解：直线y=mx-2m+2

y=m(x-2)+2 直线经过定点，则与m 的取值无关，所以 x-2=0 y=2

即定点坐标为A （2,2） 所抛物线y=a x 2+ax-2过(2,2) 2=6a-2 6a=4 a=2

3

? 平移式

1、把抛物线y= -2x2向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线y=a( x-

h)2 +k,求此抛物线解析式。

y=-2（x+2）2-1

2、抛物线y=?x2+x?3向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式.

y=?x2+x+2

?切点式

1、已知直线l：y＝mx﹣m2（m＞0）与抛物线y＝ax2有唯一公共点A，求抛物线的解析式．

解：根据题意得ax2＝mx﹣m2，

整理得ax2﹣mx+m2＝0，

因为直线l：y＝mx﹣m2（m＞0）与抛物线y＝ax2有唯一公共点A，

所以△＝m2﹣4a?m2＝0，解得a=1 4，

所以抛物线的解析式为y=1

4x 2．

2、直线y=x+a 与抛物线y=ax2 +k 的唯一公共点A（2，1）,求抛物线的解析式。（带入）

?判别式式

1、已知关于X的一元二次方程（m+1）x2+2(m+1)x+2=0有两个相等的实数根，求抛物线y=-x2+(m+1)x+3解析式。

解：∵一元二次方程（m+1）x2+2（m+1）x+2=0有两个相等的实数根，

∴△=0且m+1≠0，

∴4（m+1）2-4（m+1）×2=0，

解得m=±1，

∵m≠-1，

∴m=1，

∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3．

2、（2018秋?福州期末）已知函数y＝mx2+（2m+1）x+m（m为常数）的图象与x轴只有一个公共点，求m

的值．

解：①当m＝0时，函数y＝x是一次函数，与x轴只有一个交点．②当m≠0时，函数y＝mx2+（2m+1）x+m是二次函数．

∵函数图象与x轴只有一个公共点，

∴关于x的方程mx2+（2m+1）x+m＝0有两个相等的实数根，

∴△＝0，

又△＝（2m+1）2﹣4m2＝4m2+4m﹣4m2＝4m+1，

∴4m+1＝0，解得：m=?1 4．

综上所述，当m＝0或?1

4时，函数图象与x轴只有一个公共点．