4.2_相似矩阵与矩阵对角化(第十四次)

λ1 0 ⋅⋅⋅ 0 0 λ2 ⋅⋅⋅ 0
⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ 0 0 ⋅⋅⋅ λn
线性无关,所以 可逆. 所以P可逆 因为ξ1, ξ2, ⋅⋅⋅ , ξn线性无关 所以 可逆.用P−1左乘上式两端得
λ1
推导 (ξ1, ξ2, ⋅⋅⋅ , ξn) 0 ⋅⋅⋅ 0
0 ⋅⋅⋅ 0
λ2
⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ 0 ⋅⋅⋅ 0
相似矩阵还具有下述性质： 相似矩阵还具有下述性质： (1)相似矩阵有相同的秩； 相似矩阵有相同的秩； 相似矩阵有相同的秩 (2)相似矩阵的行列式相等； 相似矩阵的行列式相等； 相似矩阵的行列式相等 (3)相似矩阵的迹相等； 相似矩阵的迹相等； 相似矩阵的迹相等 (4) Am~Bm ,m为正整数 为正整数. 为正整数
可化为对角矩阵的充分条件 充分条件, 注意 A有n个相异特征值只是A可化为对角矩阵的充分条件 而不是必要条件 必要条件. 而不是必要条件
4 6 0 −1 −2 例如，A= −3 −5 0 ，ξ1= 1 ，ξ2= 1 ，ξ3= = −3 −6 1 1 0
特征向量. 特征向量 所以当P=(ξ1, ξ2, ξ3 )时，有 =
相似可知， 解：由A和B相似可知，它们 和 相似可知 的迹、行列式都相等， 的迹、行列式都相等，即
5 + x = 4 + y , 6 x − 6 = 4 y
1 得其基础解系ξ1= 2 ， −1
矩阵B的特征方程为 解：(2) 矩阵 的特征方程为
λ+1 −1 |λE − B| = 4 λ−3
−1
0 得其基础解系ξ2= 0 . 1
， 对于特征值λ3=2，解线性方 程组(2 − 程组 2E−B)X=o， = ，
显然， 不能相似于对角阵 不能相似于对角阵. 显然， B不能相似于对角阵
0 0 ， 1
向量组是A的线性无关的 且有Aξ1=−2ξ1， Aξ2=ξ2， Aξ3=ξ3，向量组是 的线性无关的
P−1AP= diag(−2, 1, 1) . = −
例3.判断下列矩阵是否相似 +2) 4)=0， =(λ+2 2(λ−4)= ， 于对角阵,若相似求可逆矩阵 若相似求可逆矩阵P， 于对角阵 若相似求可逆矩阵 ， 矩阵A的特征值为 矩阵 的特征值为 −1 A P= Λ . 使P = λ1=λ2=−2, λ3=4， ，
−1 x= 1
y = Ax = 3 x 1 x= 1
1 A= 2
2 1
y = Ax = − x
特征多项式
特征值
Aα = λα
λ–a11
–a21 … – a n1
–a12 λ–a22 … – a n2
(λE–A)α = 0 … – a 1n … –a2n … … = |λE–A| = 0 … λ–ann
一、相似矩阵及其性质 二、n阶矩阵与对角矩阵相似的条件 阶矩阵与对角矩阵相似的条件
1 相似矩阵及其性质
定义2 阶矩阵， ， 为 阶矩阵 如果存在可逆矩阵P， 定义2 设A，B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵 ，使得 P−1AP=B = 成立，则称矩阵A与 相似 记为A~B. 相似， 成立，则称矩阵 与B相似，记为 . 相似关系是矩阵间的一种等价关系， 相似关系是矩阵间的一种等价关系，满足 自反性： 自反性： A~ A 对称性： 对称性：若A~B，则B~A ， 传递性： 传递性：若A~B，B~C，则 A~C ， ，
1 −3 (1) A= 3 −5 = 6 −6 −1 1 (2) B= −4 3 = 1 0
3 3 4 0 0 2
对于特征值λ1=λ2=−2, 解线性 方程组(− − 方程组 −2E−A)X=o， = ，
-1 1 得其基础解系ξ1= 1 , ξ2= 0 . 0 1
对于特征值λ3=4 ，解线性方 程组(4 − 程组 4E−A)X=o， = ，
=(λ−2)(λ−1)2=0， ，
矩阵B的特征值为 矩阵 的特征值为 λ1=λ2=1 λ3=2 . =1, =1, 对于特征值λ1=λ2=1 解线性方 程组(E− 程组 −B)X=o， = ，
1 −3 (1) A= 3 −5 = 6 −6 −1 1 (2) B= −4 3 = 1 0
3 3 4 0 0 2 0 0 0 λ−2
P−1AP=Λ， =Λ， =Λ
λ1
0
则有 A(ξ1, ξ2, ⋅⋅⋅ , ξn)= (ξ1, ξ2, ⋅⋅⋅ , ξn) 0 =
⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ 0 0 (Aξ1, Aξ2, ⋅⋅⋅ , Aξn) = (λ1 ξ1, λ2 ξ2, ⋅⋅⋅ , λnξn)
λ2
⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅
0 0 ， ⋅⋅⋅
特征向量 α≠o 特征方程
先解| 求出所有特征值 先解 λE–A|=0, 求出所有特征值λ, 对每个λ, 求(λE–A)x = 0的基础解系 η1,η2,…,ηt … 对应于λ的所有特征向量为 k1η1+k2η2+…+ktηt , … k1,…, kt 不全为0. … 不全为0.
4.2 相似矩阵与矩阵的对角化
Aξi =λiξi (i=1, 2, ⋅⋅⋅, n) . 令 P=(ξ1, ξ2, ⋅⋅⋅ , ξn)，则 = ， AP =A(ξ1, ξ2, ⋅⋅⋅ , ξn) =(Aξ1, Aξ2, ⋅⋅⋅ , Aξn) =(λ1ξ1, λ2ξ2, ⋅⋅⋅ , λn ξn) = (ξ1, ξ2, ⋅⋅⋅ , ξn) =PΛ . Λ P−1AP=Λ， =Λ， =Λ 即矩阵A与对角矩阵Λ相似. 即矩阵 与对角矩阵Λ相似. 与对角矩阵
矩阵A的特征方程为 解：(1) 矩阵 的特征方程为
λ−1 3 −3 |λE − A| = −3 λ+5 −3 −6 6 λ−4
1 得其基础解系ξ3= 1 2
.
由于A有 个线性无关的特征 例3.判断下列矩阵是否相似 由于 有3个线性无关的特征 于对角阵,若相似求可逆矩阵 若相似求可逆矩阵P， 所以A相似于 于对角阵 若相似求可逆矩阵 ， 向量ξ1，ξ2，ξ3，所以 相似于 使P−1 A P= Λ . = 对角阵Λ 对角阵Λ . 所求的相似变换矩阵为 1 −3 3 P=(ξ1，ξ2，ξ3) (1) A= 3 −5 3 =
设矩阵A, 相似 相似， 例4. 设矩阵 ,B相似，其中
2 0 0 1 −1 1 A = 2 4 −2 , B = 0 2 0 , 0 0 y −3 −3 x
λ1=λ2=2, λ3=6 .
对于特征值λ1=λ2=2, 解线性 方程组(2E−A)X=o， 方程组 − = ，
定义2 阶矩阵， 定义2 设A，B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵 ，使得 ， 为 阶矩阵 如果存在可逆矩阵P， P−1AP=B = 成立，则称矩阵A与 相似 记为A~B. 相似， 成立，则称矩阵 与B相似，记为 . 定理1 如果矩阵A与 相似 则它们有相同的特征值. 相似， 定理 如果矩阵 与B相似，则它们有相同的特征值. 证明：因为 证明：因为P−1AP=B， = ， |λE−B| =|λE−P−1AP| =|P−1(λE)P −P−1AP | − − 假如A与对角矩阵相似 与对角矩阵相似， 假如 与对角矩阵相似， =|P−1(λE−A)P| =|P−1|⋅|λE−A|⋅|P| =|λE−A|， − 对角矩阵对角线上的元素 ， ⋅ − ⋅ − 的特征值 A与B有相同的特征多项式， 即A的特征值 有相同的特征多项式， 所以它们有相同的特征值. 与 有相同的特征多项式 所以它们有相同的特征值.
L
λ2
λn
ξ11λ1 ξ 21λ1 = L ξ λ n1 1
L
L
L
L
ξ n 2 λ2
ξ1n λn ξ 2 n λn L ξ nn λn
= (λ1 ξ1, λ2 ξ2, ⋅⋅⋅ , λnξn)
⋅⋅⋅， 推论 若n阶矩阵A有n个相异的特征值λ1，λ2，⋅⋅⋅，λn，则A与 Λ=diag(λ1 , λ2 , ⋅⋅⋅ , λn) 相似. 对角矩阵 Λ=
例1. 若矩阵
22 31 1 2 A= ,B = y x 3 4
相似， 相似，求x,y.
由于A和 相似 所以Tr(A)=T似，所以 由于
22 + x = 1 + 4 , 22 x − 31 y = 4 − 6
n阶方阵
数
非零向量 非零向量
Aα =λ α 特征向量(eigenvector) 特征值(eigenvalue) 特征值(eigenvalue) 对应 特征向量(eigenvector) 几何意义 y=Aα
α
y=Aα = λα //α
特征值和特征向量：∃ 特征值和特征向量 ∃α≠0, s.t. Aα = λα
解得 例2.
1 − 1 0 阶方阵A相似于 设3阶方阵 相似于 D = 2 2 0 阶方阵 0 0 3
x = −17 . y = −12
,求|A|. 求
由于矩阵A和 相似 所以|A|=|D|, 即 相似，所以 解：由于矩阵 和D相似 所以 由于矩阵 |A|=|D|＝12.
2
n阶矩阵与对角矩阵相似的条件 阶矩阵与对角矩阵相似的条件
定理2 n阶矩阵 与n阶对角矩阵 Λ=diag(λ1 , λ2 , ⋅⋅⋅ , λn) 定理2 阶矩阵A与 阶对角矩阵 Λ= 阶矩阵 相似的充分必要条件为矩阵A有 个线性无关的特征向量 个线性无关的特征向量. 相似的充分必要条件为矩阵 有n个线性无关的特征向量. 例如， 例如，矩阵A= = 有两个不同的特征值λ1=4,λ2=−2, 称为A可对角化 1 −5 其对应特征向量分别为ξ1=
有相同的特征多项式的方阵不一定相似. 注： 有相同的特征多项式的方阵不一定相似 例：
1 1 1 0 A= ， E = 0 1 0 1