高三数学课时复习基础训练9

课时活页作业（十一）[基础训练组]1．下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是()[解析]A中函数没有零点，因此不能用二分法求零点；B中函数的图象不连续；D中函数在x轴下方没有图象，故选C.[答案] C2．(2018·荆门调研)已知函数y＝f(x)的图象是连续不间断的曲线，且有如下的对应值：A．2个B．3个C．4个D．5个[解析]依题意，f(2)·f(3)＜0，f(3)·f(4)＜0，f(4)·f(5)＜0，故函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个，故选B.[答案] B3．(2018·北京高考)已知函数f (x )＝6x －log 2x ，在下列区间中，包含f (x )的零点的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4，＋∞)[解析] 法一：对于函数f (x )＝6x －log 2x ，因为f (2)＝2＞0，f (4)＝－0.5＜0，根据零点的存在性定理知选C.法二：在同一坐标系中作出函数h (x )＝6x 与g (x )＝log 2x 的大致图象，如图所示，可得f (x )的零点所在的区间为(2,4)．[答案] C4．(2018·唐山模拟)f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为( )A ．4B ．5C ．6D ．7[解析] 令2sin πx －x ＋1＝0，则2sin πx ＝x －1，令h (x )＝2sin πx ，g (x )＝x －1，则f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数问题转化为两个函数h (x )与g (x )图象的交点个数问题．h (x )＝2sin πx 的最小正周期为T ＝2ππ＝2，画出两个函数的图象，如图所示，∵h (1)＝g (1)，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＞g ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，g (4)＝3＞0，g (－1)＝－2，∴两个函数图象的交点一共有5个，∴f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为5.[答案] B5．(2018·广州一模)已知e 是自然对数的底数，函数f (x )＝e x ＋x －2的零点为a ，函数g (x )＝ln x ＋x －2的零点为b ，则下列不等式成立的是( )A ．f (a )＜f (1)＜f (b )B ．f (a )＜f (b )＜f (1)C ．f (1)＜f (a )＜f (b )D ．f (b )＜f (1)＜f (a )[解析] 函数f (x )，g (x )均为定义域上的单调递增函数，且f (0)＝－1＜0，f (1)＝e －1＞0，g (1)＝－1＜0，g (e)＝e －1＞0，所以a ∈(0,1)，b ∈(1，e)，即a ＜1＜b ，所以f (a )＜f (1)＜f (b )．故选A.[答案] A6．若函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是________．[解析] 由已知条件2a ＋b ＝0，即b ＝－2a ，g (x )＝－2ax 2－ax ＝－2ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12， 则g (x )的零点是x ＝0，x ＝－12.[答案] 0，－127．(2018·安庆二模)已知函数f (x )＝1x ＋2－m |x |有三个零点，则实数m 的取值范围为________．[解析] 函数f (x )有三个零点等价于方程1x ＋2＝m |x |有且仅有三个实根．由1x ＋2＝m |x |，得1m ＝|x |(x ＋2)，作出函数y ＝|x |(x ＋2)的图象，如图所示．由图象可知m 应满足0＜1m ＜1，故m ＞1.[答案] (1，＋∞)8．(2018·宜春模拟)已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a ＞0，且a ≠1)．当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝________.[解析] ∵2＜a ＜3＜b ＜4，∴f (1)＝log a 1＋1－b ＝1－b ＜0，f (2)＝log a 2＋2－b ＜0，f (3)＝log a 3＋3－b ，又∵log 33＞1，－1＜3－b ＜0，∴f (3)＞0，即f (2)f (3)＜0，故x 0∈(2,3)，即n ＝2.[答案] 29．(2018·海淀一模)已知函数f (x )＝－x 2－2x ，g (x )＝⎩⎨⎧ x ＋14x，x ＞0x ＋1，x ≤0.(1)求g [f (1)]的值； (2)若方程g [f (x )]－a ＝0有4个实数根，求实数a 的取值范围．[解] (1)∵f (1)＝－12－2×1＝－3，∴g [f (1)]＝g (－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f (x )＝t ，则原方程化为g (t )＝a ，易知方程f (x )＝t 在t ∈(－∞，1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y ＝g (t )(t ＜1)与y ＝a 的图象有2个不同的交点，作出函数y ＝g (t )(t ＜1)的图象，如图所示，由图象可知，当1≤a ＜54时，函数y ＝g (t )(t ＜1)与y ＝a 有2个不同的交点，即所求a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，54. 10．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1(a ≠0)．(1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的零点；(2)若对任意b ∈R ，函数f (x )恒有两个不同零点，求实数a 的取值范围．[解析] (1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－2x －3，令f (x )＝0，得x ＝3或x ＝－1.∴函数f (x )的零点为3或－1.(2)依题意，f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1＝0有两个不同实根，∴b 2－4a (b －1)＞0恒成立，即对于任意b ∈R ，b 2－4ab ＋4a ＞0恒成立，所以有(－4a )2－4×(4a )＜0⇒a 2－a ＜0，解得0＜a ＜1，因此实数a 的取值范围是(0,1)．[能力提升组]11．(2018·武汉调研)设a 1，a 2，a 3均为正数，λ1＜λ2＜λ3，则函数f (x )＝a 1x －λ1＋a 2x －λ2＋a 3x －λ3的两个零点分别位于区间( ) A ．(－∞，λ1)和(λ1，λ2)内 B ．(λ1，λ2)和(λ2，λ3)内C ．(λ2，λ3)和(λ3，＋∞)内D ．(－∞，λ1)和(λ3，＋∞)内[解析] 利用零点存在定理求解．当x ∈(λ1，λ2)时，函数图象连续，且x →λ1，f (x )→＋∞，x →λ2，f (x )→－∞，所以函数f (x )在(λ1，λ2)上一定存在零点；同理当x ∈(λ2，λ3)时，函数图象连续，且x →λ2，f (x )→＋∞，x →λ3，f (x )→－∞，所以函数f (x )在(λ2，λ3)上一定存在零点，故选B.[答案] B12．(2018·济宁模拟)已知函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝x －log 12x ，h (x )＝log 2x －x 的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是( )A ．x 1＞x 2＞x 3B ．x 2＞x 1＞x 3C ．x 1＞x 3＞x 2D ．x 3＞x 2＞x 1[解析] 由f (x )＝2x ＋x ＝0，g (x )＝x －log 12x ＝0，h (x )＝log 2x －x＝0得2x ＝－x ，x ＝log 12x ，log 2x ＝x .在坐标系中分别作出y ＝2x ，y＝－x ，y ＝x ，y ＝log 12x ，y ＝log 2x ，y ＝x 的图象，由图象可知－1＜x 1＜0,0＜x 2＜1，x 3＞1，所以x 3＞x 2＞x 1.故选D.[答案] D13．(2018·湖北八校联考)已知x ∈R ，符合[x ]表示不超过x 的最大整数，若函数f (x )＝[x ]x －a (x ≠0)有且仅有3个零点，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤34，45∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，32 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，45∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，32 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，23∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，32 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，32 [解析] 选A 当0＜x ＜1时，f (x )＝[x ]x －a ＝－a ，1≤x ＜2时，f (x )＝[x ]x －a ＝1x －a ，2≤x ＜3时，f (x )＝[x ]x －a ＝2x －a ，….f (x )＝[x ]x －a 的图象是把y ＝[x ]x 的图象进行纵向平移而得到的，画出y ＝[x ]x 的图象，如图所示，通过数形结合可知a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤34，45∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，32，选A.[答案] A14．已知函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )是偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2.若在区间[－1,3]内，函数g (x )＝f (x )－kx －k 有4个零点，则实数k 的取值范围为________．[解析] 依题意得f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，即函数f (x )是以2为周期的函数．g (x )＝f (x )－kx －k 在区间[－1,3]内有4个零点，即函数y ＝f (x )与y ＝k (x ＋1)的图象在区间[－1,3]内有4个不同的交点．在坐标平面内画出函数y ＝f (x )的图象(如图所示)，注意直线y ＝k (x ＋1)恒过点(－1,0)，可知当k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14时，相应的直线与函数y ＝f (x )在区间[－1,3]内有4个不同的交点，故实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14. [答案] ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14 15．已知函数f (x )＝log 4(4x ＋1)＋kx (k ∈R )为偶函数．(1)求k 的值；(2)若方程f (x )＝log 4(a ·2x －a )有且只有一个根，求实数a 的取值范围．[解] (1)∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即log 4(4－x ＋1)－kx ＝log 4(4x ＋1)＋kx ，即(2k ＋1)x ＝0，∴k ＝－12.(2)依题意有log 4(4x＋1)－12x ＝log 4(a ·2x －a )， 即⎩⎨⎧ 4x ＋1＝(a ·2x －a )·2x ，a ·2x －a ＞0，令t ＝2x ，则(1－a )t 2＋at ＋1＝0(*)，只需其有一正根即可满足题意．①当a ＝1，t ＝－1时，不合题意．②(*)式有一正一负根t 1，t 2，即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝a 2－4(1－a )＞0，t 1t 2＝11－a ＜0，得a ＞1，经验证正根满足at －a ＞0，∴a ＞1. ③(*)式有相等两根，即Δ＝0⇒a ＝±22－2，此时t ＝a 2(a －1)， 若a ＝2(2－1)，则有t ＝a 2(a －1)＜0， 此时方程(1－a )t 2＋at ＋1＝0无正根，故a ＝2(2－1)舍去；若a ＝－2(2＋1)，则有t ＝a 2(a －1)＞0， 且a ·2x －a ＝a (t －1)＝a ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 2(a －1)－1＝a (2－a )2(a －1)＞0， 因此a ＝－2(2＋1)．综上所述，a ＞1或a ＝－2－2 2.。