椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质
高中数学有关圆-椭圆-双曲线-抛物线的详细知识点
<一>圆的方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，圆心O（a，b），半径r。
（1）圆的一般式方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0此方程可用于解决两圆的位置关系：配方化为标准方程：（x+D/2）^2.+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4其圆心坐标：（-D/2,-E/2）半径为r=√[（D^2+E^2-4F）]/2此方程满足为圆的方程的条件是:D^2+E^2-4F>0若不满足,则不可表示为圆的方程（2）点与圆的位置关系点P（X1,Y1) 与圆(x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系：⑴当(x1－a)^2+(y1－b) ^2>r^2时，则点P在圆外。
⑵当(x1－a)^2+(y1－b) ^2=r^2时，则点P在圆上。
⑶当(x1－a)^2+(y1－b) ^2<r^2时，则点P在圆内。
圆与直线的位置关系判断平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。
利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。
如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。
如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。
2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x 轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2。
令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：当x=-C/A<x1或x=-C/A>x2时，直线与圆相离；当x1<x=-C/A<x2时，直线与圆相交；半径r，直径d在直角坐标系中，圆的解析式为：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2;x^2+y^2+Dx+Ey+F=0=> (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4=> 圆心坐标为(-D/2,-E/2)其实只要保证X方Y方前系数都是1就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2)这可以作为一个结论运用的且r=根号（圆心坐标的平方和-F）<二>椭圆的标准方程椭圆的标准方程分两种情况：当焦点在x轴时,椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；当焦点在y轴时,椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；其中a>0，b>0。
圆椭圆双曲线抛物线知识点汇总
圆椭圆双曲线抛物线知识点汇总一、圆椭圆双曲线抛物线的定义1. 圆：圆是平面上到定点距离相等的所有点的集合。
圆由圆心和半径唯一确定。
2. 椭圆：椭圆是平面上到两个定点的距离之和为常数的所有点的集合。
椭圆由两个焦点和两个半轴唯一确定。
3. 双曲线：双曲线是平面上到两个定点的距离之差为常数的所有点的集合。
双曲线由两个焦点和两个实轴唯一确定。
4. 抛物线：抛物线是平面上到定点距离等于到定直线的距离的所有点的集合。
抛物线由焦点和直线唯一确定。
二、圆椭圆双曲线抛物线的方程1. 圆：圆的标准方程为(x-a)² + (y-b)² = r²，其中圆心为(a, b)，半径为r。
2. 椭圆：椭圆的标准方程为x²/a² + y²/b² = 1，其中a和b分别为x轴和y轴上的半轴长。
3. 双曲线：双曲线的标准方程为x²/a² - y²/b² = 1或者y²/a² - x²/b² = 1，取决于焦点的位置。
4. 抛物线：抛物线的标准方程为y² = 4ax或者x² = 4ay，取决于抛物线开口的方向。
三、圆椭圆双曲线抛物线的性质1. 圆：圆的直径是圆上任意两点之间的最大距离，且所有直径相等。
2. 椭圆：椭圆的离心率介于0和1之间，离心率越接近0，椭圆越接近于圆。
3. 双曲线：双曲线分为两支，每一支的焦点到定点的距离之差相等。
4. 抛物线：抛物线的焦点在抛物线上方，开口方向取决于系数a的正负号。
四、圆椭圆双曲线抛物线的应用1. 圆：在几何中常常与角度和三角函数结合，用于描述正弦和余弦函数的周期性。
2. 椭圆：在天体力学中用于描述行星轨道的形状，以及通信中的极化椭圆。
3. 双曲线：在光学和电磁学中用于描述折射和反射现象。
4. 抛物线：在物理学中用于描述自由落体运动和抛物线运动。
双曲线和抛物线
双曲线和抛物线双曲线和抛物线一、知识梳理1.双曲线的定义双曲线是平面内与两个定点F1、F2的距离之差的绝对值为常数2a（2aF1F2时，P的轨迹不存在；当PF1-PF2=2a=F1F2时，P的轨迹为以F1、F2为端点的两条射线。
2.双曲线的标准方程和几何性质双曲线的标准方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1（a>0,b>0），y^2/b^2-x^2/a^2=1（a>0,b>0）。
双曲线的范围为x≥a或x≤-a，对称轴为坐标轴，对称中心为原点。
双曲线有两条渐近线y=±b/a*x，顶点为（0,0），离心率为e=√(1+b^2/a^2)。
实轴长度为2a，虚轴长度为2b。
3.抛物线的定义抛物线是平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。
当定点F在定直线l时，动点的轨迹是过点F与直线l垂直的直线。
4.抛物线的标准方程和几何性质抛物线的标准方程为y^2=2px或x^2=2py（p>0）。
抛物线的范围为x≥0或x≤0，对称轴为y轴或x轴，顶点为（0,0），离心率为e=1.焦点F在y轴上时，抛物线的准线方程为x=-p/2，焦点F在x轴上时，抛物线的准线方程为y=-p/2.二、方法归纳1.双曲线的离心率需要分两种情况计算，共渐近线的双曲线方程为x^2/a^2-y^2/b^2=λ或y^2/b^2-x^2/a^2=λ（λ≠0）。
渐近线方程为y=±b/a*x。
2.抛物线的标准方程为y^2=2px或x^2=2py（p>0），焦点在y轴上时，准线方程为x=-p/2，焦点在x轴上时，准线方程为y=-p/2.关于双曲线的渐近线，可以得出以下结论：对于已知双曲线方程为$ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 $或$ \frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 $的情况，它们的渐近线方程只需将常数“1”换成“0”，再写成直线方程的形式即可；对于已知双曲线的两渐近线的情况，先将它们写成一个方程$ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 $的形式，再设出双曲线方程的形式$ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\lambda(\lambda\neq 0)$。
专题五 第二讲 椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质
考点一 考点二 考点三 课后训练 提升能力
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考点一 圆锥曲线的定义与标准方程
[全练——快速解答]
1根．据(20双17曲·高线考C全的国渐卷近Ⅲ线)已方知程双为曲y＝线 25Cx：，xa22－by22＝1(a＞0，b＞0) 的可一知条ba＝渐近25线.①方程为 y＝ 25x，且与椭圆1x22＋y32＝1 有公共焦点， 则 A又所.x8C2椭以－的圆a1y方2021＋x＝22程＋b12为＝y32(＝9.②B1 的)B焦.x4点2－坐y52标＝为1 (3,0)和(－3,0)， C根所.x52据以－①Cy42②＝的可1方知程为a2＝x42－4D，.yx542b2＝－2＝1y3. 椭圆离心率求法·T10
学科素养 通过对椭圆、双曲线、抛物线的定义、 方程及几何性质的考查，着重考查了
数学抽象、数学建模与数学运算三大
核心素养.
考情分析 明确方向
考查角度及命题 年份 卷别
位置
命题分析及学科素养
抛物线与圆的综 命题分析
Ⅰ卷
合问题·T10
1.圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高
线与双曲线的位置关 空题的形式考查，常出现在第 4～
系·T11 双曲线的渐近线方
11 或 15～16 题的位置，着重考查 圆锥曲线的几何性质与标准方程，
Ⅱ卷 程·T5
2018
椭圆的离心率·T12
双曲线的离心率·T11
难度中等． 2.圆锥曲线的综合问题多以解答题 的形式考查，常作为压轴题出现在 第 20 题的位置，一般难度较大．
3．(2018·惠州模拟)已知 F1，F2 是双曲线ay22－xb22＝1(a＞0，b＞
0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的
高中数学高考几何解析(椭圆双曲线抛物线)课本知识讲解及练习(含答案)
高中数学高考几何解析（椭圆双曲线抛物线）课本知识讲解及练习（含答案）第五节椭圆一、必记3个知识点1．椭圆的定义(1)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时，P在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，这时，P在长轴端点处．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2＝b2＋c2.(3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.(4)若P为椭圆上任一点，F为其焦点，则a－c≤|PF|≤a＋c.二、必明3个易误点1．椭圆的定义中易忽视2a>|F1F2|这一条件，当2a＝|F1F2|其轨迹为线段F1F2，当2a<|F1F2|不存在轨迹．2．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．3．注意椭圆的范围，在设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．三、技法1.求椭圆标准方程的2种常用方法(1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．提醒：在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根.3.求解最值、取值范围问题的技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b,0<e<1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．(3)最值问题，将所求列出表达式，构造基本不等式或利用函数单调性求解.4.判断直线与椭圆位置关系的四个步骤第一步：确定直线与椭圆的方程．第二步：联立直线方程与椭圆方程．第三步：消元得出关于x(或y)的一元二次方程．第四步：当Δ>0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ<0时，直线与椭圆相离．5．直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2])＝(y1＋y2)2－4y1y2])(k为直线斜率).参考答案①F1，F2②|F1F2|③x轴，y轴④坐标原点⑤(－a,0)⑥(a,0)⑦(0，－b)⑧(0，b)⑨(0，－a)⑩(0，a)⑪(－b,0)⑫(b,0)⑬2a⑭2b⑮2c⑯(0,1)⑰c2＝a2－b2第六节双曲线一、必记3个知识点1．双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离①________________为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的②________，两焦点间的距离叫做③________.(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(ⅰ)当④________________时，M点的轨迹是双曲线；(ⅱ)当⑤________________时，M点的轨迹是两条射线；(ⅲ)当⑥________________时，M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质⑧________x ∈对称轴：⑪________对称中心：⑫________顶点坐标：A 1⑮______，A 2⑯________⑱____________c ＝⑳________|＝21________；线段________；a 叫做双曲线的虚半轴长＞b ＞0)(1)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直．(2)渐近线的斜率与双曲线的焦点位置的关系：当焦点在x 轴上时，渐近线斜率为±ba，当焦点在y 轴上时，渐近线斜率为±ab.(3)渐近线与离心率．x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为ba＝e2－1.(4)若P 为双曲线上一点，F 为其对应焦点，则|PF |≥c －a .二、必明4个易误点1．双曲线的定义中易忽视2a <|F 1F 2|这一条件．若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a >|F 1F 2|则轨迹不存在．2．双曲线的标准方程中对a ，b 的要求只是a >0，b >0，易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．若a >b >0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)；若a ＝b >0，则双曲线的离心率e ＝2；若0<a <b ，则双曲线的离心率e >2.3．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a ，b ，c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x轴上，渐近线斜率为±ba，当焦点在y轴上，渐近线斜率为±ab.三、技法1.双曲线定义的应用(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．[注意]在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支.2.求双曲线标准方程的一般方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为：x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值.3.求双曲线离心率或其范围的方法(1)求a，b，c的值，由c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2直接求e.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．4．求双曲线的渐近线方程的方法求双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令x2a2－y2b2＝0，即得两渐近线方程为：xa±yb＝0.参考答案①之差的绝对值②焦点③焦距④2a<|F1F2|⑤2a＝|F1F2|⑥2a>|F1F2|⑦x≥a或x≤－a⑧y≥a或y≤－a⑨x轴，y轴⑩坐标原点⑪x轴，y轴⑫坐标原点⑬(－a,0)⑭(a,0)⑮(0，－a)⑯(0，a)⑰y＝±ba x⑱y＝±ab x⑲ca⑳a2＋b2212a222b23a2＋b2第七节抛物线一、必记2个知识点1．抛物线定义、标准方程及几何性质x轴⑤________y轴⑥________O(0,0)O(0,0)O(0,0)O(0,0)F⑦________⑧________⑨________设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2.(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)．(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于2p.二、必明2个易误点1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．2．抛物线标准方程中参数p易忽视，只有p>0，才能证明其几何意义是焦点F到准线l 的距离，否则无几何意义．三、技法1.应用抛物线定义的2个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋p2或|PF|＝|y|＋p2.2.求抛物线的标准方程的方法(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．3．确定及应用抛物线性质的技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化为标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.4.解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.参考答案①相等②y2＝－2px(p＞0)③x2＝－2py(p＞0)④x2＝2py(p＞0)⑤x轴⑥y轴⑦F(－p2，0)⑧F(0，－p2)⑨F(0，p2)⑩e＝1⑪x＝－p2⑫y＝－p2⑬－y0＋p2⑭y0＋p2⑮y≤0⑯y≥0。
高中椭圆双曲线抛物线知识点汇总
高中椭圆双曲线抛物线知识点汇总一、椭圆的定义和基本特性1. 椭圆的定义：椭圆是平面上到两定点F1和F2的距离之和为常数2a （a>0）的点P的轨迹。
2. 椭圆的基本特性：椭圆有两条对称轴，长轴和短轴，焦点到中心的距离为c，满足c²=a²-b²，离心率e的定义为e=c/a。
3. 椭圆的标准方程：椭圆的标准方程为x²/a²+y²/b²=1（a>b>0），中心在原点，长轴与x轴平行。
二、双曲线的定义和基本特性1. 双曲线的定义：双曲线是平面上到两定点F1和F2的距离之差为常数2a的点P的轨迹。
2. 双曲线的基本特性：双曲线有两条对称轴，两个顶点，离心率e的定义为e=c/a。
3. 双曲线的标准方程：双曲线的标准方程为x²/a²-y²/b²=1（a>0,b>0），中心在原点，x²项系数为正。
三、抛物线的定义和基本特性1. 抛物线的定义：抛物线是平面上到定点F与直线l的距离相等的点P 的轨迹。
2. 抛物线的基本特性：抛物线有焦点F和直线l两个重要元素，焦点到顶点的距离为p，离心率e的定义为e=1。
3. 抛物线的标准方程：抛物线的标准方程为y²=2px（p>0），焦点在y轴上。
四、椭圆双曲线抛物线的性质比较1. 焦点、离心率和轴与方程的关系：椭圆的焦点在轴上，双曲线的焦点在中心轴的延长线上，抛物线的焦点在轴上。
2. 直线与曲线的关系：椭圆是对称轴与任意直线的交点个数有限，双曲线是对称轴与任意直线的交点有两个，抛物线是对称轴与任意直线的交点有且仅有一个。
3. 其他性质：椭圆和双曲线是封闭曲线，抛物线是开口向上或者向下的曲线。
五、高中数学中的应用1. 物理中的应用：椭圆、双曲线和抛物线在经典力学、电磁学等物理学科中有着重要的应用，比如行星轨道、抛物线运动等。
圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义方程和性质知识总结
椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2.3. 椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。
推导过程：由第二定义得11PF e d =（1d 为点P 到左准线的距离）， 则211000a PF ed e x ex a a ex c ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭；同理得20PF a ex =-。
简记为：左“＋”右“－”。
由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。
22221x y a b +=；若焦点在y 轴上，则为22221y x a b+=。
有时为了运算方便，设),0(122n m m ny mx ≠>=+。
双曲线的定义、方程和性质1． 定义（1）第一定义：平面内到两定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于定长2a （小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。
说明：①||PF 1|-|PF 2||=2a （2a <|F 1F 2|）是双曲线；若2a=|F 1F 2|，轨迹是以F 1、F 2为端点的射线；2a >|F 1F 2|时无轨迹。
②设M 是双曲线上任意一点，若M 点在双曲线右边一支上，则|MF 1|>|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=2a ；若M 在双曲线的左支上，则|MF 1|<|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=-2a ，故|MF 1|-|MF 2|=±2a ，这是与椭圆不同的地方。
椭圆方程,双曲线方程,抛物线方程联立
椭圆方程、双曲线方程、抛物线方程是平面解析几何中常见的曲线方程类型，它们在数学、物理、工程等领域都有着重要的应用。
通过联立这些方程，不仅可以深入理解曲线的特性，还可以解决一些实际问题。
本文将分别介绍椭圆方程、双曲线方程、抛物线方程的基本定义和性质，以及它们的联立解法，帮助读者更好地理解和应用这些数学知识。
一、椭圆方程的定义和性质椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
椭圆方程的一般形式为：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1其中(h, k)为椭圆的中心坐标，a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴。
椭圆有许多重要性质，如对称性、焦点、直径等，这些性质都可以通过椭圆方程的分析得到。
二、双曲线方程的定义和性质双曲线是平面上到两个定点F1和F2的距离之差等于常数2a的点P 的轨迹。
双曲线方程的一般形式为：(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1类似椭圆，双曲线也有许多重要性质，如渐近线、焦点、枝等。
通过双曲线方程的分析，可以深入理解这些性质。
三、抛物线方程的定义和性质抛物线是平面上到一个定点F的距离等于到某条直线L的距离的点P 的轨迹。
抛物线方程的一般形式为：y² = 2px其中p为焦点到抛物线顶点的距离，也是抛物线的焦距。
抛物线也有许多重要性质，如焦点、直径、对称轴等，通过抛物线方程的分析可以得到这些性质。
四、联立椭圆、双曲线和抛物线方程的解法在一些实际问题中，我们需要联立椭圆、双曲线和抛物线方程进行求解。
以二元二次方程组为例，我们可以通过联立椭圆、双曲线和抛物线方程进行求解，得到曲线的交点、切点、共焦点等。
这对于一些物理、工程等领域的问题具有重要意义。
结论：椭圆方程、双曲线方程、抛物线方程是平面解析几何中常见的曲线方程类型，通过对它们的定义、性质和联立解法的深入理解，可以帮助我们更好地应用这些数学知识解决实际问题。
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一、知识要点: 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质
第一种定义:平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于｜F1F2｜)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距. 第二种定义:平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小于1的正常数,这个动点的轨迹叫椭圆,定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线.
2.椭圆的标准方程:
(1)
)0
(1
2
2
2
2
>
>
=
+b
a
b
y
a
x
,焦点:F1(-c,0),F2(c,0),其中
c=
2 2b a-.
(2)
)0
(1
2
2
2
2
>
>
=
+b
a
a
y
b
x
,焦点:F1(0,-c),F2(0,c),其中
c=
2 2b a-.
3.椭圆的参数方程:⎩
⎨⎧==θθsin cos b y a x ,(参数θ是椭圆上任意一点的离心率). 4.椭圆的几何性质:以标准方程)0(12222>>=+b a b
y a x 为例: ①范围:|x|≤a,|y|≤b;
②对称性:对称轴x=0,y=0,对称中心为O(0,0);
③顶点A(a,0),A ′(-a,0),B(0,b),B ′(0,-b);长轴|AA ′|=2a,短轴|BB ′|=2b;
④离心率:e=a
c ,0<e<1;
⑤准线x=±c
a 2
;⑥焦半径:|PF 1|=a+ex,|PF 2|=a-ex,其中P(x,y)是椭圆上任
意一点. 二、基本训练 1．设一动点
P 到直线3x =的距离与它到点A （1，0）的距离之比为
3，
则动点P 的轨迹方程是 （ ）
()A 22
132
x y +=
()B 22
132
x y -=
()C 2
2
(1)132
x y
++= ()D 22
123
x y +=
2．曲线
192522=+y x 与曲线)9(19252
2<=-+-k k
y k x 之间具有的等量关系 （ ） ()A
()C 3且过点(3,0)A 4．底面直径为12cm 的平面所截， ， 短轴长 ，离心率5．已知椭圆22
221(x y a b
+=的离心率为5，若将这个椭圆绕着它的右
焦点按逆时针方向旋转2
π
后，所得新椭圆的一条准线方程是163y =，则原来
的椭圆方程是 __________；新椭圆方程是 ___________ ． 三、例题分析
例1(05浙江) 如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，长轴A 1A 2的长为4，左准线l 与x 轴的
交点为M ，|MA 1|
∶
|A 1F 1|＝2∶1． (Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)若直线l 1：x ＝m (|m |＞1)，P 为l 1上的动点，使∠F 1PF 2最大的点P 记为Q ，求点Q 的坐标(用m 表示)．
例2设,A B 是两个定点，且||2AB =，动点M 到
A 点的距离是4，线
段MB 的垂直平分线l 交MA 于点P ，求动点P 的轨迹方程．
例3．已知椭圆22
2
21(0)x y a b a b
+=>>，P 为椭圆上除长轴端点外的
任一点，12,F F 为椭圆的两个焦点，（1）若α=∠21F PF ，
21PF F β∠=，求证：离心率
2
cos
2
cos
βαβ
α-+=
e ；
12(,0),(,0)(0)F c F c c ->，且椭圆上存在点P
，使得直线
1PF 与直线2PF 垂直．（1）求实数m 的取值范围；（2）设l 是相应于
焦点2F 的准线，直线2PF 与l 相交于点Q ，若22
||
2||QF PF =-，求直线
2PF 的方程．
例5（05上海）点A、B分别是椭圆
1
20
36
2
2
=
+
y
x
长轴的左、右端点，
点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PF
PA⊥。
（1）求点P的坐标；
（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于
| |MB，
求椭圆上的点到点M的距离
d的最小值。