高一数学函数的奇偶性人教A版必修一
从函数值对应表可以看到互为相反数的点的 纵坐标有什么关系？
知识要 点
函数的奇偶性的定义
一般地，如果对于函数f(x)的定义域 内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x),那么称函 数y=f(x)奇函数.
知识要 点
奇函数图象的性质:
⑴ 奇函数的图象关于原点对称.
反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,
（4）对于函数f(x)=3的定义域为（-∞，+ ∞ ） 对于定义域中的每一个x，都有f(-x)=3=f(x)， 所以函数f(x)=3是偶函数.
（5）f(x)=0. （5）对于函数f(x)=0的定义域为（-∞，+ ∞ ）
对于定义域中的每一个x，都有f(-x)=0=f(x)=-f(x)， 所以函数f(x)=0既是偶函数也是奇函数.
课堂小结
1、两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x, f(x)为奇函数 如果都有f(－x)=f(x) f(x)为偶函数 如果都有f(－x)=-f(x)
2、两个性质：
它的图象关于原点对称 一个函数为偶函数 它的图象关于y轴对称 一个函数为奇函数
3.判断函数奇偶性的步骤和方法： 先看定义域是否关于原点对称， 然后在找f(x)与f(-x)间的关系． 4.奇函数，偶函数作一些简单运算后会出现一些规 律： 奇 +奇 =奇 偶 +偶 =偶
根据奇偶性, 函数可划分为四类:
奇函数
偶函数
既奇又偶函数 非奇非偶函数
判断或证明函数奇偶性的基本步骤：
一看 二找 三判断
看定义域
找关系
下结论
是否关于原点对称
f(x)与f(-x)
奇或偶
注意：若可以作出函数图象的，直接观察图象是否 关于y轴对称或者关于原点对称。
练习 判断下列函数的奇偶性：
(1) f(x) = -3x ;
观察它们有什么样的特征？
y
0
x
y
0
x
观察下图函数图像有什么共同的特征呢？
这两个函数的图像 都关于y轴对称
9 4 1
3 2 1
-2 -1
-2 -1
o1 2 3
2
o1 2 3
f(x) = x
f(x) = x
x
-3
-2 4
-1
0
1
2
3
f(x)=x2 9
1
0
1
4
9
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
f(x) = x 3
3
(2) f(x) = x +1;
2
(3) f(x) = 2 - x .
解：(1) 因为 f(-x) = -3(-x)3 = 3x3 = -f(x) 所以f(x)是 奇函数. • 因为 f(-x)=|-x|+1=|x|+1=f(x),所以f(x)是偶函数. • 因为 f(-x) = ，所以f(x)是偶函数. 2 - (-x)2 = f(x)
f(x) = x
3 2 1 -2 -1 o1 2 3
2
-2 -1 3 2 1 -2 -1
3 2 1 o1 2 3
f(x) = x
-2 -1
3 2 1 o1 2 3 -2
-3
f(x) = x
3
o1 2 3 1 f(x)=x 2
注 意
奇偶函数图象的性质可用于： ① 判断函数的奇偶性. ② 简化函数图象的画法.
那么这个函数为偶函数.
观察下面函数图像，看下面函数是偶函数吗？
y
y
1
x
-1
1
x
f ( x) x2 x (,1]
f ( x) x 2 x (, 1] [1, )
思考： 如果一个函数的图象关于y轴对称， 它的定义域应该有什么特点？ 定义域关于原点对称.
观察下图图像有什么共同的特征呢？
2
1
0
1
2
3
从函数值对应表可以看到互为相反数的点的 纵坐标有什么关系？
知识要 点
函数的奇偶性的定义
一般地，如果对于函数f(x)的定义域 内的任意一个x，都有f(-x)=f(x),那么称函 数y=f(x)为偶函数.
知识要 点
偶函数图象的性质:
偶函数的图象关于y轴对称. 反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称,
(4)f(x) = -x (x [-3,1]);
2
(5) f(x) = 9 - x2 + (x - 3)0 ;
(6)f(x) = 3x - 2.
解：（4）当x=-3时，由于 3 [-3,1] ，故f(3)不存在， 所以就谈不上与f(-3)相等了，由于任意性受破坏。 所以它没有奇偶性. （5）函数的定义域为[-3,3),故f(3)不存在，同上可知 函数没有奇偶性.
奇X奇=偶
偶X偶=偶
5.已知函数性质，求其它区间上函数的解析式．
课后思考一下，做一做吧！
1.一次函数y=kx+b是奇函数吗？ 2.反比例函数是奇函数吗？ 3.二次函数一定是定义在R上的偶函数吗？ 4.函数的定义域对函数有没有影响？ 5.有没有函数既不是奇函数也不是偶函数，请举出 一例？ 6.有没有一个函数既是奇函数也是偶函数，也请举 出一例？
结论：一般的，对于形如 f(x)=x n 的函数，
若n为偶数，则它为偶函数.
若n为奇数，则它为奇函数.
例2：判定下列函数是否为偶函数或奇函数.
(1) f(x) = 5x.
解：（1）对于函数f(x)=5x，其定义域为 （-∞，+ ∞ ） 对于定义域中的每一个x，都有
f(-x) = -5x = -f(x)
那么这个函数为奇函数.
观察下面函数图像，看是奇函数吗？
y y
-2
o
-2
2
x
o
3 x
f ( x) x, x [2,2]
f ( x) x, x 2,3
思考： 如果一个函数的图象关于原点对称， 它的定义域应该有什么特点？ 定义域关于原点对称.
注 意
1、函数是奇函数或是偶函数称为函数 的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性 质.
两个函数的图像都 关于原点对称. 3 2 1 -2 -1 o1 2 3 -2 -1 -1 -2 -3 f(x)=x
3 2 1 o1 2 3 -1 -2 -3
3
f(x) = x
x f(x)=x
-3 -3
-2
-1
0
1
2
3
-2
-1
0
1
2
3
x
-3
-2 -8
-1 -1
0 0
1 1
2 8
3 27
f(x)=x3 -27
3 2 f(x) = -x + ax 例4 判断函数 是否具有奇偶性？
解：当a=0时， f(x) = x3 ,f(-x) = -x3 = f(x) 此时函数f(x) 为奇函数.
当a≠0时， f(x) = x3 + ax2 ,f(-x) = -x3 + ax2
此时f(x)=f(-x),f(x)=-f(x)都不能在定义域内恒成立， 即函数 f(x) = x3 + ax2 (a 0) 既不是奇函数也不是偶 函数.
(2) ∵ t < 0, 则 - t > 0,f -t = -t - 2(-t)
2
又f t = -f -t = -t 2 - 2t(t < 0) 将 t 换成 x f(x) = -x 2 - 2x(x < 0)
2 x - 2x(x 0) ∴f x = 2 -x - 2x(x < 0)
（1）判断函数 f(x) = x 3 + x 的奇偶性. （2）如图是函数 f(x) = x 3 + x 图像的一部分，能 否根据f(x)的奇偶性画出它在y 轴左边的图像吗？
y
0
x
（1）奇函数 （2）根据奇函数的图 像关于原点对称
例1 说出下列函数的奇偶性:
偶函数 ①f(x)=x4 _______ 奇函数 ② f(x)=x ________ 奇函数 ③ f(x)=x5 ________ 奇函数 ④ f(x)= x -1 ________ 偶函数 ⑤f(x)=x -2 ________ 奇函数 -3 _____________ ⑥f(x)=x
(6)f(-x) = -3x - 2,f(-x) f(x)且f(-x) -f(x)
故函数没有奇偶性.
例3 已知函数y=f(x)是定义在R上奇函数，当 2 x ≥ 0时，f x = x - 2x
求（1)f(-1) ； (2)若t<0,求f(t).
解： (1) f 1 = -1,) = x + . x 1 （3）对于函数 f(x) = x + 的定义域为{x∣x≠0} x 对于定义域中的每一个x，都有 1 1 f(-x) = -x + = -(x + ) = -f(x), -x x 1 所以函数 f(x) = x + 是奇函数. x
(4)f(x) = 3.
所以函数f(x)=5x为奇函数.
(2)f(x) = (x -1)2 .
（2）对于函数 f(x) = (x -1)2的定义域为:
（-∞，+ ∞ ）
对于定义域中的每一个x，都有
f(-x) = (-x -1)2 = (x +1)2 f(x)
且
f(-x) -f(x)
所以函数 f(x) = (x -1)2 既不是奇函数也不是偶函数.
2、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性 的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则 －x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于 原点对称）． 3、奇、偶函数定义的逆命题也成立， 即：若函数f(x)为奇函数, 则f(-x)=－f(x)成立。 若函数f(x)为偶函数, 则f(-x)= f(x) 成立。
3.2.2 第2课时 函数奇偶性的应用-高一数学新教材配套课件(人教A版必修第一册)
题型三、函数的奇偶性与单调性的综合问题
角度一 比较大小问题 例 3 设偶函数 f(x)的定义域为 R，当 x∈[0，＋∞)时，f(x)是增 函数，则 f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( ) A．f(π)>f(－3)>f(－2) B．f(π)>f(－2)>f(－3) C．f(π)<f(－3)<f(－2) D．f(π)<f(－2)<f(－3)
x2－2x－1（x＞0）， 故 f(x)＝0（x＝0），
－x2－2x＋1（x＜0）.
(变条件)将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，其他条件不 变，求当 x＜0 时，函数 f(x)的解析式． 解：当 x＜0 时，－x＞0， f(－x)＝(－x)2－2(－x)－1＝x2＋2x－1， 因为函数 f(x)是偶函数， 所以 f(x)＝f(－x)， 所以 f(x)＝x2＋2x－1， 即 x＜0 时，f(x)＝x2＋2x－1.
跟踪训练
1
3．已知偶函数 f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，则满足 f(2x－1)>f 3
的实数 x 的取值范围是( )
1，2 A. 3 3
1，2 B. 3 3
1，2
1，2
C. 2 3
D. 2 3
1
解析：选 A.因为偶函数 f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，且满足 f(2x－1)>f 3 ，
f
(x
)＝ x
x 2＋1.
(1)试判断 f(x)的奇偶性及在(－1，1)上的单调性；
(2)解不等式 f(t－1)＋f(2t)＜0.
【解】 (1)因为 f(x)＝x2＋x 1，
所以任取 x∈(－1，1)，则－x∈(－1，1)，
所以 f(－x)＝x－2＋x1＝－x2＋x 1＝－f(x)．
高一数学人教A版必修1课件1321函数的奇偶性
总结：(1)偶函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内 每 一个 x，都有 f(－x)＝f(x) ，那么函数 f(x)就叫做偶函数． (2)奇函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内 每 一个 x，都有 f(－x)＝－f(x) ，那么函数 f(x)就叫做奇函数．
【归纳提升】 (1)奇偶函数的定义域关于原点对称，如 果函数的定义域不关于原点对称，则此函数既不是奇函数也 不是偶函数．
(6)显然函数 f(x)的定义域关于原点对称． 当 x>0 时，－x<0，f(－x)＝x2－x＝－(x－x2)＝－f(x)， 当 x<0 时，－x>0，f(－x)＝－x－x2＝－(x2＋x)＝－f(x)， ∴f(－x)＝－f(x)， ∴函数 f(x)为奇函数.
2 利用函数的奇偶性求解析式
学法指导：利用函数奇偶性求函数解析式 利用函数奇偶性求函数解析式的关键是利用奇偶函数的 关系式 f(－x)＝－f(x)或 f(－x)＝f(x)成立，但要注意求给定哪 个区间的解析式就设这个区间上的变量为 x，然后把 x 转化 为－x(另一个已知区间上的解析式中的变量)，通过适当推导， 求得所求区间上的解析式．
[例 2] 已知函数 y＝f(x)的图象关于原点对称，且当 x＞0 时，f(x)＝x2－2x＋3.试求 f(x)在 R 上的表达式，并画出它的图 象，根据图象写出它的单调区间．
[分析] 由函数图象关于原点对称可知 y＝f(x)是奇函 数．利用奇函数性质可求得解析式．
[解析] ∵函数 f(x)的图象关于原点对称． ∴f(x)为奇函数，则 f(0)＝0， 设 x＜0，则－x＞0，∵x>0 时，f(x)＝x2－2x＋3， ∴f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x＋3)＝－x2－2x－3 于是有：
函数的奇偶性第一课时课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册
A.－7
B.－5
C.－3
D.3
解析 ∵f(2 020)＝a×2 0203＋b×2 020－2＝3， ∴a×2 0203＋b×2 020＝5， ∴f(－2 020)＝－a×2 0203－b×2 020－2 ＝－5－2＝－7. 答案 A
一个函数的部分可能 具有奇偶性，注意要 善于观察利用。
课堂精讲
已知 f(a)求 f(－a)，判断 f(x)的奇偶性或构造已知奇偶性 的函数，利用奇偶性找出 f(a)与 f(－a)的关系即可.
判断函数是非奇非偶函数 ，只需找一适当的不符合 奇偶函数定义的特例即可
解 对任意 x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)， 则函数 f(x)为偶函数；
则 f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0， 即 f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)， 则函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
②当 a≠0 时，f(x)＝x2＋ax(x≠0)， 取 x＝1，得 f(1)＝1＋a，取 x＝－1， 得 f(－1)＝1－a，
综上所述，当 a≠0 时， 函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数； 当 a＝0 时，函数 f(x)为偶函数.
课堂精讲
角度 4 含参函数奇偶性的判断 【例 1－4】 判断下列函数的奇偶性：
求证：f(x)为偶函数；
(3)若函数 f(x)的定义域为(－l，l)(l>0)，证明：f(x)＋f(－x)是偶函数，f(x)－f(－x)是奇函数.
(3)∵x∈(－l，l)，∴－x∈(－l，l)，
又 F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)，
可见 f(－x)的定义域也是(－l，l).
G(－x)＝f(－x)－f(x)＝－[f(x)－f(－x)]
人教版高一数学必修一知识点梳理
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3.2.3 函数的奇偶性(课件)高一数学同步精讲课件(人教A版2019必修第一册)原创精品
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果
∀x∈I，都有-x∈I，且 f(-x)＝f(x)，
那么函数f(x)就叫做偶函数.
例如，函数f(x)=x2+1,
2
g(x)= 2 都是偶函数.
+11
2 奇函数
1
观察函数f(x)＝x和g(x)＝ 的图象,你能发现这两个函
数图象有什么共同特征吗？
图形特征：图象关于原点O对称；
分
类
讨
论
解：(2)定义域为R，
当a≠0时，f(-x)=-f(x)
函数f(x)= + − − 是奇函数；
当a=0时，f(x)=0在R上恒成立
函数f(x)= + − − 既是奇函数又是偶函数.
方法：定义域关于原点对称，只需分两种情况考虑f(x)与
f(-x)的关系即可.
7.已知奇函数f(x)在[0,+∞)上单调递减，则不等式
当x<0时，-x>0 , 从而f(-x)=-x(1-x)+1,
又f(-x)=-f(x)
所以x<0时 f(x)=x(1-x)-1，
(1 + ) + 1 (x > 0)
(x = 0)
故f(x)解析式为 f(x)= 0 ,
(1 − ) − 1 (x < 0)
4.已知f(x)，g(x)是R上的奇函数，试判断
故 f(-m)=g(-m)+4= 3
方法：利用奇函数的性质，推导出f(m)与f(-m)的关系.
2.设 f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且
f(x)+g(x)=x2+2x，求函数f(x)、g(x)的解析式.
3.2.2函数的奇偶性-高一数学课件(人教A版必修第一册)
则6= f(-5) ≤ f(x) ≤ f(7)
因此，f(x) 在[-7,-5]上是减函数，最小值是6
方法小结
• 偶函数 y 轴两侧的函数单调性相反；
• 奇函数原点两侧的函数单调性相同；
题型三 利用奇偶性和单调性比较大小
则f(x)在[-7,-5]上是( C )
A.增函数，最大值是6
B.增函数，最小值是6
C.减函数，最小值是6
D.减函数，最大值是6
解析：任取x1、x2∈[-7,-5]且 x1<x2，即-7≤ x1< x2≤-5，则5≤-x2<-x1≤7，
由题意可得 f(-x2) < f(-x1)，由偶函数的性质可得 f(x1) > f(x2)，
题型二 奇偶性的应用
例2 已知函数 f(x)=x5-ax3+bx+2，f(-5)=17，则f(5)的
-13
值是________
解析：∵g(x)=x5-ax3+bx是奇函数,
∴g(-x)=-g(x),
∵f(-5)=17=g(-5)+2,
∴g(5)=-15,
∴f(5)=g(5)+2=-15+2=-13
x(x-1)
当x>0时，f(x)=________
解析：当x>0时，-x<0，
所以f(-x)=-x(-x+1)=x(x-1)，
因为f(x)是偶函数，
所以当x>0时，f(x)=f(-x)=x(x-1)
题型一 利用函数奇偶性求解析式
例1(2) 已知f(x),g(x)分别是R上的奇函数和偶函数，
人教A版必修1高一上学期数学函数的奇偶性课件
注意：如果奇函数在原点有意义，一定有f(0)=0
本课小结
两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x,
f(-x)=-f(x) f(x)为奇函数 图象关于原点对称
f(-x)=f(x)
f(x)为偶函数 图象关于y轴对称
这些图 像表示 奇函数 图像的 是：
y3
1 -3 -1
0 1 3x
-1
(1) f(x)=x-
1 x
解：定义域为﹛x|x≠0﹜
(2) f(x)= - x2 +1 解：定义域为R
∵f(-x)=(-x) -
1
-x
= -x+ 1
x
= - f(x)
∴f(x)为奇函数
∵f(-x)= -(-x)2+1 = - x2+1 = f(x)
∴f(x)为偶函数
判断函数的奇偶性的步骤： (1) 先求定义域，看是否关于原点对称 (2) 再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立
实际上，对于R内任意的一个x,都有 f(-x)=(-x)2=x2=f(x),这时我们称函数y=x2为偶函数.
1．偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
(或是f(x)-f(-x)=0)
y
(-x,f(-x))
(x,f(x))
-x 0 x x
判断函数f (x)
x2 2x 2, x 0
x2 2x 2, x0
的奇偶性
(3). f(x)=5
解: f(x)的定义域为R ∵ f(-x)=f(x)=5 ∴f(x)为偶函数 y
5
(4). f(x)=0
解: 定义域为R
高一年级数学人教版必修一3.2.2函数的奇偶性教案
高一年级人教版必修一3.2.2函数的奇偶性教案年级：高一年级版本：人教版模块：必修一【教材分析】在“函数的奇偶性”这一节中，“数”与“形”有着密切的联系。
它既是函数概念的拓展和深化，是继函数单调性后的又一个重要性质，又是后续研究指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等函数的必备知识。
因此本节课起着承上启下的重要作用。
奇偶性的教学无论在知识上还是在能力上对学生的教育起着非常重要的作用。
【核心素质培养目标】1.结合具体函数的图像和解析式，深刻理解奇函数、偶函数的定义。
2.通过画图，分析图像了解奇函数、偶函数图象的特征，培养直观想象核心素养。
3.通过例题学习，归纳并掌握判断（证明）函数奇偶性的方法，培养逻辑推理核心素养。
【教学重难点】教学重点：函数奇偶性的概念及函数奇偶性的判定教学难点：判断函数奇偶性的方法与格式【教学方法】师生共同探究，从代数的角度来严格推证。
【教学过程】一、情景引入，提出问题对称美是大自然的一种美，对称美在数学中随处可见，今天我们学习数学中的对称美。
师：复习函数的三要素和三种表示法。
生：三要素是：定义域、值域、对应关系；三种表示方法是：解析法、图象法、列表法。
师：结合的三要素和三种表示方法想一想（1）这个函数图象有什么特征？生：答定义域关于原点对称且图像关于y轴对称。
（2）当自变量x取一对相反数时，相应的两个函数值什么关系？生：从函数值对应表可以看到，当自变量x取一对相反数时，相应的两个函数值相等。
（3）你能尝试用函数解析式描述图象的对称特征吗？生：对于定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)。
师：这时我们称f(x)=x2为偶函数，设计意图：启发学生由图象获取函数性质的直观认识，从而引入新课。
二、获取新知，生成概念（板书）偶函数:一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。
师：研究函数优先考虑定义域，把f(x)=x2定义域改成（0，+∞），仍然是偶函数吗？生：不是师：判断函数是偶函数的前提什么？生：函数的定义域关于原点对称。
函数的奇偶性-高一数学教材配套教学课件(人教A版必修第一册)
f (x)在[2,4]上的最大值为4,最小值为 8.
6.抽象函数的求值、奇偶性、单调性
x2 2x 3, x 0 f (x)的解析式为f (x) 0, x 0
x2 2x 3, x 0
6.抽象函数的求值、奇偶性、单调性
[例5]若f (x)是定义在R上的函数,且x, y R, f (xy) f (x) f ( y).
(1)求f (1)和f (1)的值.
∀x, y∈R, f(x)+f(y)=f(x+y)
一看定义域
不关于原点对称
关于原点对称
非奇非偶函数
二看关系式or图象
f(x)=f(﹣x)
﹣f(x)=f(﹣x)
图象关于y轴对称 图象关于原点对称
偶函数 既奇又偶函数 奇函数
f (x) 0, x D(D关于原点对称)
3.由奇偶性求参数
[例2]若f (x) (x a)( x 4)为偶函数,则实数a __4__.
备注
定义
图象特点 等价条件
设f(x)的定义域为I
∀x∈I , 都有-x∈I，都有f (-x)=f (x) 则函数f(x)叫做偶函数
关于y轴对称 f(x)－f(-x)=0
∀x∈I , 都有-x∈I，都有f (-x)= - f (x) 则函数f(x)叫做奇函数
关于原点对称
f(x)＋f(-x)=0
①具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称
x2
(4) f (x) 0 解 : x R,x R,且f (x) 0 f (x), f (x) 0 f (x) f (x) 0, x [2,2] f (x)是既奇又偶函数.
人教版高一数学必修1第13课时函数的奇偶性(含详细答案)
第13课时函数的奇偶性课时目标1.掌握利用函数的奇偶性定义判断函数奇偶性的方法和步骤．2．掌握奇偶函数的图象的对称性，并能利用其正确作出奇偶函数的草图．识记强化1．奇(偶)函数的概念．(1)一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．(2)一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．(3)如果函数f(x)是奇函数或偶函数，就说f(x)具有奇偶性．2．奇(偶)函数的图象特点．(1)奇函数的图象关于原点对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数．(2)偶函数的图象关于y轴对称；反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．(3)若当x＝0时奇函数f(x)有意义，则f(0)＝0.课时作业(时间：45分钟，满分：90分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．函数f(x)＝(x－1)·1＋x1－x，x∈(－1,1)()A．是奇函数B．是偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．是非奇非偶函数答案：B解析：∵x∈(－1,1)，∴x－1＜0.∴f(x)＝(x－1)·1＋x1－x＝－1－x2.g (x )是偶函数得g (－x )＝g (x )， H (－x )＝f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x ) ＝－H (x )所以H (x )＝f (x )·g (x )在区间D 上为奇函数．6．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋2a －b 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，则a ＋b ＝( ) A ．－13 B.13C ．0D ．1 答案：B解析：由偶函数的定义，知[a －1,2a ]关于原点对称，所以2a ＝1－a ，解得a ＝13.又f (x )为偶函数，则b＝0. 所以a ＋b ＝13.二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)7．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3x ＋b 是偶函数，且其定义域为[a －1,2a ]，则2a ＋3b ＝________. 答案：－253解析：因为偶函数的定义域关于原点对称， 所以(a －1)＋2a ＝0，所以a ＝13.因为偶函数的图象关于y 轴对称， 所以－b ＋32a ＝0，所以b ＝－3.故2a ＋3b ＝－253.8．设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图所示，则不等式f (x )＜0的解集为________．答案：(－2,0)∪(2,5]解析：由奇函数的图象关于原点对称，作出函数f (x )在[－5,0)的图象，由图象可以看出，不等式f (x )＜0的解集是(－2，0)∪(2,5]，如图所示．9．已知f (x )、g (x )是R 上的奇函数，若F (x )＝af (x )＋bg (x )＋2在区间(0，＋∞)上的最大值为5，则F (x )在(－∞，0)上的最小值为________．答案：－1∴f(－7)＝g(－7)＋7＝－17，得g(－7)＝－24.∴f(7)＝g(7)＋7＝24＋7＝31.13．(15分)函数f(x)的图象关于y轴对称，且x≥0时f(x)＝x2－2x.求满足f(x－1)<3的x取值范围．解：∵f(x)图象关于y轴对称，所以函数f(x)为偶函数x≥0时，x2－2x＝3，x＝3或x＝－1(舍去)即f(3)＝3.∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(|x|)结合图象f(x－1)<3，f(|x－1|)<f(3)∴|x－1|<3，－2<x<4.。