分式的运算及应用 10。3(2)
分式及其运算
分式函数：解决实际问题中的函数关系
03
分式不等式：解决实际问题中的不等关系
04
分式数列：解决实际问题中的数列关系
05
分式极限：解决实际问题中的极限关系
06
分式积分：解决实际问题中的积分关系
数学公式的推导
分式的定义：形如A/B，其中A、B
01
是整式，B≠0 分式的运算：包括加法、减法、乘
03
法、除法、乘方、开方等 分式的应用：包括求解方程、不等
整式，分式的值不变
分式的通分：将两个或 多个分式的分母化为相 同，以便进行加减运算
分式的约分：将分式的 分子、分母同时除以它 们的最大公因式，以简
化分式
分式的加减法：将分式 的分子、分母分别相加 或相减，得到新的分式
分式的乘除法：将分式 的分子、分母分别相乘 或相除，得到新的分式
分式的幂运算：将分式 的分子、分母分别进行 幂运算，得到新的分式
乘方和开方：分式乘方，分式开 方
添加标题
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分式除法：分子相除，分母相除
混合运算：分式乘法、除法、乘 方、开方混合运算
乘方和开方
01
乘方：分式乘方时，分子和 分母分别乘方，分母中如果 有平方项，需要先开方
03
运算顺序：先乘方，后开方， 遵循先乘除后加减的运算顺 序
开方：分式开方时，分子和 分母分别开方，分母中如果 有平方项，需要先开方
分式分解
01
分式分解的定义：将分式分解为两 个或多个分式的过程
02
分式分解的方法：提取公因式、分 组分解、公式分解等
03
分式分解的步骤：观察分式的结构， 选择合适的分解方法，进行分解
分式的运算与方程的应用
分式的运算与方程的应用分式在数学中是一种常见的运算形式，它既存在于基本的四则运算中，也在许多实际问题中起到了重要的作用。
同时，分式也经常与方程相联系，通过分式的运算和方程的应用，我们可以解决很多实际问题。
本文将以此为话题，探讨分式的运算和方程的应用。
一、分式的运算1. 加法和减法运算分式的加法和减法运算遵循相同分母相加减的原则。
例如，对于分式$\frac{a}{b} + \frac{c}{b}$，只需要将分子进行相加，分母保持不变。
同样，对于分式$\frac{a}{b} - \frac{c}{b}$，只需将分子相减，分母保持不变。
2. 乘法和除法运算分式的乘法运算即将两个分式的分子相乘，分母相乘。
例如，$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$。
除法运算则是将第一个分式的分子乘以第二个分式的倒数，即$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$。
3. 简化与约分分式的简化是指将分式化简为最简形式。
通常，我们需要找到分子和分母的最大公约数，然后将分子和分母同时除以最大公约数，得到最简形式。
例如，$\frac{6}{12}$可以简化为$\frac{1}{2}$。
二、方程的应用方程是数学中的重要内容，它描述了一个等式中两边的关系。
而分式在方程中的应用也是非常常见的，下面将介绍一些例子。
1. 比例方程比例方程描述了两个比例之间的关系，可以通过分式来表示。
例如，设两个数的比为$\frac{a}{b}$，比的值为$c$，那么可以得到比例方程$\frac{a}{b} = c$。
通过解这个方程，可以求解出未知数$a$和$b$的值。
2. 百分数方程百分数方程是用来解决百分数相关问题的方程。
例如，某商品原价为$x$元，打折后的价格为原价的$80\%$，可以得到方程$x \times\frac{80}{100} = \frac{4}{5}x$。
分式的运算及应用
分式的运算及应用分式是代数学中非常重要的概念，它们常常出现在各种数学问题中，并且在现实生活中也有很多应用。
我们将从分式的定义、运算和应用三个方面来进行讨论。
首先，我们来看一下分式的定义。
分式可以表示为一个数的比例，它由分子和分母组成，分子位于分式的上方，分母位于分式的下方，通常表示为a/b，其中a 为分子，b为分母。
分式可以用来表示某个数量与另一个数量的比例关系，例如1/2表示的是1和2的比值。
分式也可以表示为小数形式，即分子除以分母所得的值。
接下来我们来讨论一下分式的运算。
分式的运算包括加减乘除四则运算，我们分别来进行讨论。
首先是分式的加法和减法。
两个分式进行加法或减法运算时，需要找到它们的公分母，然后将分子进行相加或相减，分母保持不变。
如果分式的分母不同，需要先化为相同分母再进行运算。
例如，1/2 + 1/3，首先找到它们的公分母为6，然后进行相加得到3/6 + 2/6 = 5/6。
对于减法运算也是类似的过程。
其次是分式的乘法。
两个分式进行乘法运算时，将分子相乘作为新的分子，分母相乘作为新的分母。
例如，1/2 * 2/3 = 2/6 = 1/3。
最后是分式的除法。
两个分式进行除法运算时，将第一个分式乘以第二个分式的倒数，即将除号变为乘号，然后进行乘法运算。
例如，1/2 ÷2/3 = 1/2 * 3/2 = 3/4。
分式的运算是非常重要的，可以用来解决各种数学问题，例如比例、百分数、速度等问题。
分式的运算也在解方程、化简表达式等问题中起到了重要作用。
在应用中，分式用来解决各种实际问题，例如在物理学中，速度可以用分式表示，而在商业中，成本、利润等也可以用分式表示。
分式在日常生活中也有很多应用。
例如，在购物时，打折商品的价格可以用分式表示，比如7折即表示价格为原价的7/10。
在烹饪中，配料的比例可以用分式表示，比如蛋糕的配方为1/2杯面粉加1/4杯糖。
在旅行中，速度和距离的关系也可以用分式表示，比如汽车以60公里/小时的速度行驶了2小时，那么汽车行驶的距离可以用分式表示为60 * 2 = 120公里。
10.3 分式的乘除(课件)-2024-2025学年七年级数学上册(沪教版)
1 x3
教材第75页
例题2
计算：(3)
a
2
2a b 2ab
b2
4a2 b2 ab2 a2b ;
解：(3)
a2
2a b 2ab
b2
4a2 b2 ab2 a2b
2a b
a b2
2a b2a abb a
b
2a b
a b2
abb a 2a b2a
b
ab2a bb a
教材第75页
例题2
计算：(1)
5m n
10m2 3n
;
解：(1)
5m n
10m2 3n
5m n
3n 10m2
15mn 10nm2
教材第75页
例题2
计算：(2)
x2
x
1 2x
3
x x
1 1
;
解：(2)
x2
x
1 2x
3
x x
1 1
x
x 1
3 x
1
x x
1 1
x 1 x 1 x 3 x 1 x 1
2024-2025学年七年级数学上册（沪教版）
第九章 整式
第2节 分式的运算
10.3 分式的乘除
1.理解分式的乘除法法则，体会类比的思想. 2.会根据分式的乘除法法则进行简单的运算，并理 解其算理. 教学重点：分式的乘除法法则的运用．．
观察
（1） 54 32＝
43 5 2
x2 3 你会计算 5 x 吗？
ab
a b2 2a b2a b a b2a b .
方法总结：分子和分母都是单项式的分式的乘 法，直接按“分子乘分子，分母乘分母”进行运 算，其运算步骤为：
苏科初中数学八下《10.3 分式的加减》word教案 (2)
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学习目标:
1.知道分式加减运算的一般步骤；
2.能熟练进行分式的加减运算；
3.进一步感受类比思想.化归思想. 重点、难点：根据分式加减法法则进行计算 学习过程
一.【预学指导】初步感知、激发兴趣
1、通分：（1）
bc b a 21312、； （2）224121x x x --、
由分数的加减，如3
1215251-+、：，你认为应该如何计算分式的加减
二.【问题探究】师生互动、揭示通法 概念探究：
1、怎样计算
a c a
b +？
2、怎样计算d
c a b -？
3、归纳：
同分母分式加减运算的法则： 。
异分母分式加减运算的法则： 。
问题1、计算：
（1）
a a 31+ ； （2）13212+--+-a a a a ；
（3）
b
a b a b a a b b a b a ++-+-+++34335。
分式的运算与应用
分式的运算与应用分式是数学中常见的运算形式，它可以表示两个数之间的比例关系或部分与整体的关系。
在实际生活和学习中，分式的运算和应用十分常见且有着重要的作用。
本文将介绍分式的基本运算法则和一些常见的应用场景。
一、基本运算法则1. 分式的加法和减法分式的加法和减法运算背后的基本原则是分母相同才能进行运算。
具体运算步骤如下：首先，判断两个分式的分母是否相同，如果不相同，则需要通过通分的方式将它们的分母转换为相同的分母。
其次，将分子相加或相减，并保持分母不变，得到最终的结果。
例如：⅔ + ¼ = （2 * 4 + 3 * 1）/（3 * 4） = 11/122. 分式的乘法分式的乘法运算可以直接将两个分式的分子相乘，分母相乘。
具体运算步骤如下：将两个分式的分子相乘得到新的分子，将两个分式的分母相乘得到新的分母，最后将得到的结果进行约分。
例如：2/3 * 3/4 = 6/12 = 1/23. 分式的除法分式的除法运算可以将一个分式看作另一个分式的倒数，然后进行乘法运算。
具体运算步骤如下：将第一个分式的分子乘以第二个分式的倒数的分子，第一个分式的分母乘以第二个分式的倒数的分母，最后将得到的结果进行约分。
例如：2/3 ÷ 3/4 = 2/3 * 4/3 = 8/9二、分式的应用1. 比例关系分式可以表示两个数之间的比例关系，常见于各种实际问题中。
通过比例关系，我们可以解决许多与数量关系相关的问题，比如商业中的成本与收益、几何中的长度与面积等。
利用分式可以更加清晰地描述和计算这些比例问题。
2. 混合运算在一些复杂的计算中，我们常常需要对不同的数值进行混合运算，并使用分式来表示部分与整体的关系。
比如在物理学中，速度的计算往往涉及到距离和时间之间的关系，可以使用分式来表示速度的定义。
3. 分数的拆分与合并有时候，我们需要将一个分数表示为几个分数之和或差。
这可以通过分式的拆分和合并来实现。
拆分使用加法和减法运算，合并使用加法和减法运算。
苏科版数学八年级下册教学设计10.3 分式的加减
苏科版数学八年级下册教学设计10.3 分式的加减一. 教材分析苏科版数学八年级下册10.3分式的加减是本册的重要内容，主要让学生掌握分式加减的运算方法，培养学生解决实际问题的能力。
本节课是在学生已经掌握了分式的概念、分式的乘除的基础上进行学习的，为后续分式方程的学习打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了分式的基本概念和分式的乘除运算，具备了一定的逻辑思维能力和数学运算能力。
但部分学生对分式的理解还不够深入，对分式加减的运算规则理解起来可能存在一定的困难。
三. 教学目标1.让学生掌握分式加减的运算方法，能正确进行分式的加减运算。
2.培养学生解决实际问题的能力，提高学生的数学素养。
3.培养学生合作交流、归纳总结的能力，提高学生的逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.教学重点：分式加减的运算方法，能正确进行分式的加减运算。
2.教学难点：理解分式加减的运算规则，解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探索分式加减的运算方法。
2.使用多媒体辅助教学，直观展示分式的加减过程，帮助学生理解。
3.学生进行小组讨论，培养学生的合作交流能力。
4.采用归纳总结法，引导学生自己总结分式加减的运算规则。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.分式加减的练习题。
3.分式加减的课件。
七. 教学过程导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入本节课的主题：分式的加减。
例如，某商品的原价是( )元，降价( )元后，求降价后的价格。
让学生思考如何解决这个问题，从而引出本节课的内容。
呈现（10分钟）教师通过多媒体展示分式加减的运算方法，引导学生观察、分析、归纳。
首先，展示两个分式的加法：( + )、( + )。
让学生观察这两个分式的加法如何进行。
接着，展示两个分式的减法：( - )、( - )。
让学生观察这两个分式的减法如何进行。
通过观察，引导学生归纳分式加减的运算规则。
操练（10分钟）教师学生进行小组讨论，让学生互相交流分式加减的运算方法。
分式的应用
解：左边 a a b b c c bccaab
a2 b2 c a c b ab a c b c
a2 b2 cga b a b
分式的应用
知识点总结
• 分数的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等
于零的数，分数的值不变。
• 分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等
于零的整式，分式的值不变。
• 约分
• 最简分式：分子与分母没有公因式的分式
• 通分：把几个异分母的分式分别化为与原来的分
式相等的同分母的分式。
•
分式的符号法则 - a =
ab
ab c
因为abc0，
所以左边 a2 b2 (a b)2 1 -21 ab -1右边
所以得证.
评注：对于证明题， 我们首先要审题，从 有特点和条件有联系 的地方入手，灵活使 用通分、约分和条件 的结合使用。
111 2bc 2ac 2ab
abc 2abc
0
评注：在分式的化简计算中，充 分利用平方差、完全平方等公式， 并巧妙使用整体代入的思想，往 往能够使解题出奇制胜。
例8：已知：ab4, ab=-1，
求：1、 1 1 2、a2 b2 3、 b a
ab
ab
分析：首先整理一下所给的式子，运用通分等分式计算的
(x
2 (x
y)(x 2 2y)2
y)gx(x 2y) x 2y
x
算，可以把因式分解、约分 以及乘除法运算法则结合使 用，可以计算简便快捷。
例4：下列各式计算正确的是[
分式的运算技巧讲义
分式的运算技巧讲义分式是由两个整式相除而得到的结果，一般形式为$\frac{a}{b}$，其中$a$和$b$都是整式，且$b$不为零。
分式的运算技巧包括分式的加减法、乘法、除法和化简。
一、加减法：当分母相同时，可以直接将分子相加或相减，分母保持不变。
例如：$\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=\frac{3}{3}=\frac{1}{1}=1$当分母不同但存在公因式时，可以先化简再运算。
例如：$\frac{2}{4}+\frac{3}{6}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{2}{2}=1$当分母不同且无公因式时，需要通分后再计算。
例如：$\frac{2}{3}+\frac{1}{4}=\frac{8}{12}+\frac{3}{12}=\frac{11}{12} $二、乘法：将两个分式相乘时，只需要将分子相乘得到新的分子，分母相乘得到新的分母。
例如：$\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5}=\frac{8}{15}$三、除法：将一个分式除以另一个分式时，可以将两个分式的倒数相乘。
例如：$\frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{5}}=\frac{2}{3} \cdot\frac{5}{4}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}$四、化简：当分式的分子和分母均存在公因式时，可以将分子和分母同时除以最大公因式，化简分式。
例如：$\frac{8}{12}=\frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2 \cdot 3}=\frac{2}{3}$另外，对于复杂的分式运算，可以利用因式分解等技巧进行化简。
以下是一些常用的因式分解技巧：1.提取公因式：当分子或分母中的各项均存在公因式时，可以将这些公因式提取出来，化简分式。
例如：$\frac{2x+4}{4x+8}=\frac{2(x+2)}{4(x+2)}=\frac{1}{2}$2.分子或分母的因式分解：当分子或分母中的整个式子能够因式分解时，可以进行因式分解后再化简。
八年级数学下册 10.3 分式的加减 分式加减运算的技巧素材 (新版)苏科版
分式加减运算的技巧分式加减运算是分式的重点，也是难点，尤其是异分母分式加减运算，若能根据题目的特点，灵活运用解题技巧，往往可以收到事半功倍的效果.一、首先约分技巧例1 计算：.444--232222++++x x x x x x x 分式中的分子与分母有公因式，故应先约分，再通分.解：原式=2)2()2-)(2(-)2()3(++++x x x x x x x =22--23+++x x x x =.25+x 二、整体处理技巧例2 计算：.-2b a ba a ++ 分析：分式和整式加减时，通常把整式看作一个整体，化成分母为“1”的式子，再通分.解：原式=1--2b a b a a +=b a b a b a b a a +++))(-(-2=.)-(-2222ba b b a b a a +=+ 三、裂项相消技巧例3 计算：.)-)(-(2-)-)(-(2-)-)(-(2-b c c a c b a a b b c b a c c a a b a c b +++++ 分析：本题中每个分式恰好是分母两个因式的差，故把分子写成其分母因式差的形式，再逆用mnm n n m -1-1=，把每个分式拆分成为两个分式，再合并. 解：原式=)-)(-()-(-)-()-)(-()-(-)-()-)(-()-(-)-(b c c a b c c a a b b c a b b c c a a b c a a b ++ =ca b c b c a b a b c a -1--1-1--1-1--1++=0. 四、分离整式技巧例4 计算：.13106-25422+++++++x x x x x x 分析：由于x 2+4x+5=(x+2)2+1，x 2+6x+10=(x+3)2+1.故本题的两个分式都可先逆用同分2 母分式的加减法法则，即运用cb c a c b a +=+，分离出一个整式和一个较简单的分式，合并后再通分. 解：原式=131)3(-21)2(22+++++++x x x x =131-3--212+++++x x x x =31-21++x x =.)3)(2(1++x x 五、分组通分技巧例5 计算：.14-2-2-221-4+++a a a a 分析：利用加法交换律和结合律，把易于通分的分式合在一起，再分别通分.解：原式=)2-2-22()14-1-4(a a a a +++ =.)4-)(1-(24-4-8-1-82222a a a a = 六、逐步通分技巧例6 计算：.-18-141211-11842a a a a a ++++++ 分析：注意到前两个分式易于通分，把它们相加后再与后一个分式通分，依次进行通分可以减少许多运算量.解：原式=8422-18-1412-12a a a a ++++ =84418-14-14a a a +++ =.0-18--1888=a a。