最新高三总复习优化方案教案

第2课时 等差数列及其前n 项和一、基础回顾1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于________________，我们称这样的数列为等差数列，这个常数叫作等差数列的公差2．等差数列的有关公式，通常用字母d 表示，定义的表达式为______________________． 2．等差数列的有关公式二、例题精讲考点1 等差数列的判定或证明【规律小结】 (1)证明{a n }为等差数列的方法：①用定义证明：a n －a n －1＝d (d 为常数，n ≥2)⇔{a n }为等差数列； ②用等差中项证明：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2⇔{a n }为等差数列； ③通项法：a n 为n 的一次函数⇔{a n }为等差数列；④前n 项和法：S n ＝An 2＋Bn 或S n ＝n (a 1＋a n )2.(2)用定义证明等差数列时，常采用的两个式子a n ＋1－a n ＝d 和a n －a n －1＝d ，但它们的意义不同，后者必须加上“n ≥2”，否则n ＝1时，a 0无定义． 考点2 等差数列的基本运算设{an }是一个公差为d (d ≠0)的等差数列，它的前10项 和S 10＝110，且a 1，a 2，a 4成等比数列． (1)证明a 1＝d ；(2)求公差d 的值和数列{an }的通项公式(1)等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 及前n 项和公式S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d ，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法． 考点3 等差数列性质及应用3．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋__________，(n ，m ∈N *)． (2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N *)，则__________________. (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为______. (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为______的等差数列． (6)等差数列的增减性：d ＞0时为_______数列，且当a 1＜0时前n 项和S n 有最_____值．d ＜0时为_______数列，且当a 1＞0时前n 项和S n 有最_____值． (2013·兰州模拟)若数列{a n }满足a n ＝2a n －1＋2n ＋1(n ∈N *，n ≥2)，a 3＝27. (1)求a 1、a 2的值； (2)记b n ＝12n (a n ＋t )(n ∈N *)，是否存在一个实数t ，使数列{b n }为等差数列?若存在,求出实数t ;若不存在,请说明理由．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知(a 6－1)3＋2 013(a 6－1)＝1，(a 2 008－1)3＋2013(a 2 008－1)＝－1，则下列结论中正确的是( ) A ．S 2 013＝2 013，a 2 008＜a 6 B ．S 2 013＝2 013，a 2 008＞a 6 C ．S 2 013＝－2 013，a 2 008≤a 6 D ．S 2 013＝－2 013，a 2 008≥a 6考点4 等差数列中的最值问题在等差数列{an }中,已知a 1＝20,前n 项和为Sn ,且S 10＝S 15,求当n 取何值时，Sn 取得最大值，并求出它的最大值．【规律小结】 求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：①利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；②利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；③将等差数列的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)看做二次函数，根据二次函数的性质求最值． 1．设元与解题的技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元，若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，…；若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元． 2．S 奇，S 偶在等差数列中的整体应用设S 奇，S 偶分别是等差数列{a n }中所有奇数项的和与所有偶数项的和，则 (1)当数列项数为偶数2n 时，有S 偶－S 奇＝nd ；(2)当数列项数为奇数2n ＋1时，有S 偶＝n (a 2＋a 2n )2＝na n ＋1，S 奇＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2＝(n ＋1)a n ＋1，S 奇－S 偶＝a n ＋1，S 奇S 偶＝n ＋1n .3．方程思想和基本量思想：在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a 1和d 等基本量，通过建立方程(组)获得解 三 习题选讲第3课时 等比数列及其前n 项和一、基础回顾1．等比数列的相关概念及公式 2．等比数列{a n }与指数函数等比数列{a n }的通项公式a n ＝a 1q n －1可改写为a n ＝a 1q ·q n .当q ＞0，且q ≠1时，y ＝q x 是一个指数函数，而y ＝a 1q ·q x 是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a n }的图像是函数y ＝a 1q ·q x的图像上的一群孤立的点．3．等比数列的有关性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·_______ (n ，m ∈N *)． (2)在等比数列中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝_______ (m ，n ，p ，q ∈N *)．特别地，若m ＋n ＝2p ，则a 2p ＝a m ·a n . (3)间隔相同的项，如a 1，a 3，a 5，…仍为等比数列，且公比为_____. (4)等比数列{a n }的前n 项和为S n (S n ≠0)，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列，公比为_____. (5)单调性．若⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＞0，q ＞1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＜0，0＜q ＜1⇔{a n }________．若⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＞0，0＜q ＜1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＜0，q ＞1⇔{a n }________． q ＝1⇔{a n }为常数列，q ＜0⇔{a n }为摆动数列． 二、例题精讲考点1 等比数列的判断与证明(2011·高考天津卷节选)已知数列{a n }与{b n }满足b n ＋1a n ＋b n a n ＋1＝(－2)n ＋1，b n ＝3＋(－1)n －12，n ∈N *，且a 1＝2. (1)求a 2，a 3的值；(2)设c n ＝a 2n ＋1－a 2n －1，n ∈N *，证明{c n }是等比数列．【名师点评】 等比数列的判定方法有：1)定义法：若a n ＋1a n＝q (q 为非零常数)或a na n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2)，则{a n }是等比数列． (2)中项公式法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列． (3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n －1(c ，q 均为不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．考点2 等比数列的基本运算(2012·高考陕西卷)已知等比数列{a n }的公比q ＝－12.(1)若a 3＝14，求数列{a n }的前n 项和；(2)证明：对任意k ∈N *，a k ，a k ＋2，a k ＋1成等差数列． 考点3 等比数列的性质及应用(1)(2012·高考安徽卷)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 10＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7(2)(2012·高考广东卷)若等比数列{a n }满足a 2a 4＝12，则a 1a 23a 5＝________. 考点4 等差、等比数列的综合应用(2012·高考湖北卷)已知等差数列{a n }前三项的和为－3，前三项的积为8. (1)求等差数列{a n }的通项公式；(2)若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和．1．在求解与等比数列有关的问题时，除了要灵活地运用定义和公式外，还要注意性质的应用，以减少运算量而提高解题速度．2．方程观点以及基本量(首项和公比a 1，q )思想仍然是求解等比数列问题的基本方法：在a 1，q ，n ，a n ，S n 五个量中，知三求二． 三、习题选讲第4课时 数列求和一、基础回顾 1．公式法(1)直接用等差、等比数列的求和公式． (2)掌握一些常见的数列的前n 项和．① 1＋2＋3＋…＋n ＝_____________；②1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝_______；③2＋4＋6＋…＋2n ＝___________；④12＋22＋32＋…＋n 2＝___________________； ⑤13＋23＋33＋…＋n 3＝_____________＝___________. 2．倒序相加法如果一个数列{a n }，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法,如______数列的前n 项和公式即是用此法推导的． 3．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如_______数列的前n 项和公式就是用此法推导的． 4．裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 5．分组转化法把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成等差数列或等比数列，然后由等差、等比数列求和公式求解． 6．并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解． 二、例题精讲考点1 分组转化法求和例如S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 求和：(1)S n ＝32＋94＋258＋6516＋…＋n ·2n ＋12n；(2)S n ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＋⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 22＋…＋⎝⎛⎭⎫x n ＋1x n 2. 考点2 错位相减法求和(2013·烟台调研)将函数f (x )＝sin 14x ·sin 14(x ＋2π)·sin 12(x ＋3π)在区间(0，＋∞)内的全部极值点的横坐标按从小到大的顺序排成数列{a n }(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2na n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n 的表达式． (1)用错位相减法求和时，应注意：①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；②在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式．(2)利用错位相减法求和时，转化为等比数列求和．若公比是个参数(字母)，则应先对参数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种情况分别求和． 考点3 裂项相消法求和(2013·西南大学附中月考)已知函数f (x )＝2x ＋1，g (x )＝x ，x ∈R ，数列{a n }，{b n }满足条件：a 1＝1，a n ＝f (b n )＝g (b n ＋1)，n ∈N *. (1)求证：数列{b n ＋1}为等比数列；(2)令C n ＝2n a n ·a n ＋1，T n 是数列{C n }的前n 项和，求使T n ＞2 0122 013成立的最小的n 值．三、习题选讲第5课时 数列的综合应用1．数列在实际生活中有着广泛的应用，其解题的基本步骤，可用图表示如下：2．数列应用题常见模型(1)等差模型：如果_________________的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的______是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．(3)递推数列模型：如果题目中给出的是前后两项之间的关系不固定，是随项的变化而变化时，应考虑是a n 与a n ＋1的递推关系，还是前n 项和S n 与S n ＋1之间的递推关系．(4)分期：设贷款总额为a ，年利率为r ，等额还款数为b ，分n 期还完，则b ＝r (1＋r )n(1＋r )n －1a .二、例题精讲考点1 等差数列与等比数列的综合应用(2012·高考陕西卷)设{a n }是公比不为1的等比数列，其前n 项和为S n ，且a 5，a 3，a 4成等差数列．(1)求数列{a n }的公比；(2)证明：对任意k ∈N *，S k ＋2，S k ，S k ＋1成等差数列．考点2 等差数列与等比数列的实际应用从社会效益和经济效益出发，某旅游县区计划投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，2013年投入800万元，以后每年投入将比上年减少15，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业有促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加14.(1)设n 年内(2013年为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元，写出a n ，b n 的表达式；(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？(参考数据：lg 2＝0.3 010) 考点3 数列与函数、解析几何、不等式等知识的综合应用已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝14，a n ＋b n ＝1，b n ＋1＝b n 1－a 2n.(1)求b 1，b 2，b 3，b 4；(2)求数列{b n }的通项公式；(3)设S n ＝a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1，求实数a 为何值时，4aS n ＜b n .1．深刻理解等差(比)数列的性质，熟悉它们的推导过程是解题的关键．两类数列性质既有相似之处，又有区别，要在应用中加强记忆．同时，用好性质也会降低解题的运算量，从而减少差错．2．在等差数列与等比数列中，经常要根据条件列方程(组)求解，在解方程组时，仔细体会两种情形中解方程组的方法的不同之处．3．在现实生活中，人口的增长、产量的增加、成本的降低、存贷款利息的计算、分期付款问题等，都可以利用数列来解决，因此要会在实际问题中抽象出数学模型，并用它解决实际问题．三、习题选讲第六章 不等式与推理证明1．比较两个实数大小的依据a >b ⇔ ________ ，a ＝b ⇔a －b ＝0，a <b ⇔a －b <0 2．不等式的基本性质3．不等式的一些常用性质 (1)倒数性质：①a >b ，ab >0⇒1a ____1b ；②a <0<b ⇒1a ____1b ；③a >b >0,0<c <d ⇒a c _____b d ；④0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b _____1x _____1a . (2)有关分数的性质：若a >b >0，m >0，则真分数的性质：ba ____b ＋m a ＋m ，b a _____b －m a －m (b －m >0);②假分数的性质：a b ___a ＋m b ＋m ，a b ___a －mb －m(b －m >0)．4．(1)若a >0，则|x |<a ⇔______________.(2)若a >0，则|x |>a ⇔_________________. 二、例题精讲 考点1 比较大小(2013·珠海模拟)已知b >a >0，x >y >0，求证：x x ＋a >yy ＋b.比较大小的方法：(1)作差法其一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式，当两个式子都为正数时，也可以先平方再作差．(2)作商法其一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论． (3)特例法若是选择题还可以用特殊值法比较大小，若是解答题，也可以用特殊值法探路． 考点2 不等式的性质(2013·包头模拟)若a >0>b >－a ，c <d <0，则下列命题：①ad >bc ；②a d ＋bc <0；③a －c >b －d ；④a ·(d －c )>b (d －c )中能成立的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4(1)判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题的真假，当然判断的同时可能还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质．(2)特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，在命题真假未定时，先用特殊值试试可以得到一些对命题的感性认识，如正好找到一组特殊值使命题不成立，则该命题为假命题． (3)说明一个命题为假命题时，可以用特殊值法，但不能用特殊值法肯定一个命题，只能利用所学知识严密证明，在用不等式性质证明命题时，可适当使用一些不等式性质的推广来证明命题．考点3 不等关系的简单应用建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比不应小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好．则同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由． 1．用同向不等式求差的范围．⎩⎨⎧ a <x <b c <y <d ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a <x <b－d <－y <－c⇒a －d <x －y <b －c 这种方法在三角函数经常用到． 2．倒数关系在不等式中的作用．⎩⎨⎧ ab >0a >b ⇒1a <1b ；⎩⎨⎧ab >0a <b⇒1a >1b . 3．放缩法：等式⇒不等式．如： 11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)＝1－1n ＋1<1. 4．比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，作差法的主要步骤为：作差——变形——判断正负；作差是意识，变形是核心．在所给不等式完全是积、商、幂的形式时，可考虑作商．作差、作商异曲同工，相得益彰． 三、习题选讲第2课时 一元二次不等式及其解法一、基础回顾1．一元一次不等式的解法一元一次不等式ax ＋b>0(a ≠0)的解集为： (1)当a>0时，{x|x____－ba}；(2)当a<0时，{x|x____－ba}． 2．一元二次不等式的解法 (1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx ＋c>0(a>0)或ax2＋bx ＋c<0(a>0)． (2)求出相应的一元二次方程的根．(3)利用二次函数的图像与x 轴的交点确定一元二次不等式的解集．3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表 4．用程序框图来描述一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的求解的过程一、例题精讲考点1 一元二次不等式的解法(2013·西安调研)已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，(1)求a ，b 的值；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0. (1)解一元二次不等式的一般步骤：①对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax 2＋bx ＋c >0(a >0)，ax 2＋bx ＋c <0(a >0)；②计算相应的判别式；③当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根； ④根据对应二次函数的图像，写出不等式的解集．(2)解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即Δ的符号进行分类，最后方程的根存在时，根据根的大小进行分类． 考点2 含参数的不等式的解法(2012·高考江苏卷)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________． 解含参数的一元二次不等式的一般步骤：(1)二次项若含有参数应讨论其是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．考点3 不等式恒成立问题已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ∈R)，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围． 考点4 一元二次不等式的实际应用(2013·济南模拟)行驶中的汽车,在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下,这段距离叫做刹车距离．在某种路面上,某种型号汽车的刹车距离s (m)与汽车的车速v (km/h)满足下列关系：s ＝n v 100＋v 2400(n 为常数，且n ∈N)，做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中⎩⎪⎨⎪⎧6<s 1<8，14<s 2<17.(1)求n 的值；(2)要使刹车距离不超过12.6 m ，则行驶的最大速度是多少？ 三、习题选讲第3课时 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax ＋By ＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧的所有的点组成的平面区域(半平面)______边界直线,不等式Ax ＋By ＋C ≥0所表示的平面区域(半平面)含有边界直线．(2)对于直线Ax ＋By ＋C ＝0同一侧的所有的点(x ，y)，使得Ax ＋By ＋C 值的符号相同，也就是位于同一半平面的点，其坐标适合Ax ＋By ＋C>0；而位于另一半平面的点，其坐标适合_________________.(3)可在直线Ax ＋By ＋C ＝0的某一侧任取一点，一般取特殊点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C 的_______来判断Ax ＋By ＋C>0(或Ax ＋By ＋C<0)所表示的区域．3．应用利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是： (1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线,从而确定最优解． (4)求最值；将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值 二、例题精讲考点1 二元一次不等式(组)表示平面区域(2013·西安调研)已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，(1)求a ，b 的值；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0(1)不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．(2)在封闭区域内找整点数目时，若数目较小，可画网格逐一数出；若数目较大，则可分x ＝m 逐条分段统计考点2 求目标函数的最值问题(2012·高考山东卷)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( )A ．[－32，6]B ．[－32，－1]C ．[－1,6]D ．[－6，32]考点3 线性规划的实际应用某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵玩具需5分钟，生产一个骑兵玩具需7分钟，生产一个伞兵玩具需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵玩具可获利润5元，生产一个骑兵玩具可获利润6元，生产一个伞兵现具可获利润3元．(1)用每天生产的卫兵玩具个数x 与骑兵玩具个数y 表示每天的利润w (元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？【规律小结】 线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线l ；(2)平移——将l 平行移动，以确定最优解的对应点A 的位置；(3)求值——解方程组求出A 点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值．三、习题选讲第4课时 基本不等式一、基础回顾 1．基本不等式如果a 、b 都是正数，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当______时，等号成立，称上述不等式为基本不等式．其中_____称为a 、b 的算术平均数，_______ 称为a 、b 的几何平均数，因此，基本不等式又称为均值不等式． 2．常用的几个重要不等式(1)a 2＋b 2≥______ (a ，b ∈R)；(2)ab______ (a ＋b 2)2(a ，b ∈R)；(3)a 2＋b 22_____ (a ＋b 2)2(a ，b ∈R)；(4)b a ＋a b ≥____ (a ，b 同号且不为零)；(5)a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a ，b >0)． 3．利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当______时，x ＋y 有最____值是_______.(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当_______时，xy 有最____值是p 24(简记：和定积最大)二、例题精讲考点1 利用基本不等式求最值(1)已知x >0，y >0，且x ＋y ＝1，求3x ＋4y的最小值．(2)已知0<x <25，求y ＝2x －5x 2的最大值．(3)求4a －2＋a 的取值范围．(1)在应用基本不等式求最值时，要把握三个方面，即“一正——各项都是正数；二定——和或积为定值；三相等——等号能取得”，这三个方面缺一不可．(2)对于求分式型的函数最值题，常采用拆项使分式的分子为常数，有些分式函数可以拆项分成一个整式和一个分式(该分式的分子为常数)的形式，这种方法叫分离常数法．(3)为了创造条件使用基本不等式，就需要对式子进行恒等变形，运用基本不等式求最值的焦点在于凑配“和”与“积”，并且在凑配过程中就应考虑到等号成立的条件，另外，可利用二次函数的配方法求最值考点2 利用基本不等式证明简单不等式(2013·延安调研)已知x >0，y >0，z >0.求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋z x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋z y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋yz ≥8. 考点3 基本不等式的实际应用(2013·烟台模拟)某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面为铁栅，造价40元/米，两侧墙砌砖，造价45元/米，顶部造价每平方米20元．试算：仓库底面积S 的最大允许值是多少？为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面的铁栅应设计为多长？1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点．2．运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2＋b2≥2ab逆用就是ab≤a2＋b22；a＋b2≥ab(a，b>0)逆用就是ab≤⎝⎛⎭⎫a＋b22(a，b>0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．三、习题选讲第5课时合情推理与演绎推理一、基础回顾1．归纳推理根据一类事物中___________具有某种属性，推断该类事物中________都具有这种属性的推理，叫作归纳推理．归纳推理是由部分到______，由个别到______的推理.归纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别情况发现某些____________；(2)从已知的相同属性中推出一个明确表述的___________.2．类比推理(1)根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性质，推测其中一类事物具有另一类事物_____________的性质的推理,叫作类比推理(简称类比)．类比推理的一般步骤：找出两类事物之间的________________；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题．(2)前提为真时，结论可能为真的推理，叫作合情推理．归纳推理和类3．演绎推理(1)演绎推理：根据已知的________和_____________，按照严格的_____________得到新结论的推理过程．(2)演绎推理的一般模式——“三段论”：①________——已知的一般原理；②________——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．(3)合情推理与演绎推理的区别比推理是数学中常用的合情推理．二、例题精讲考点1归纳推理(2012·高考江西卷)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()A．28B．76 C．123 D．199考点2类比推理在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：1AD2＝1AB2＋1AC2，那么在四面体A－BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？并说明理由．(1)类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤为：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．(2)类比推理的关键是找到合适的类比对象．平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论．当然类比时有可能出现错误，如：在平面内，直线a、b 、c ，若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c ；在空间内，三个平面α、β、γ，若α⊥β，β⊥γ，但α与γ之间可能平行，也可能相交． 考点3 演绎推理数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n(n ∈N ＋)．证明： (1)数列{S n n}是等比数列； (2)S n ＋1＝4a n .1．类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，否则会犯机械类比的错误． 2．应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的．如果大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的． 三、习题选讲第6课时 直接证明与间接证明一、基础回顾 1．综合法(1)定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的__________，最后推导出所要证明的结论________，这种证明方法叫综合法． (2)框图表示：P ⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn ⇒Q(其中P 表示条件，Q 表示要证结论)． 2．分析法(1)定义：从____________出发，逐步寻求使它成立的__________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明的方法叫作分析法．(2)框图表示：Q ⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件. 3．反证法假设原命题_______，经过正确的推理,最后得出_____，由此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫反证法． 二、习题精讲 考点1 综合法 (2013·芜湖模拟)已知a 、b 、c 为正实数，a ＋b ＋c ＝1. 求证：(1)a 2＋b 2＋c 2≥13；(2)3a ＋2＋3b ＋2＋3c ＋2≤6.考点2 分析法(2013·西安调研)已知函数f (x )＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且x 1≠x 2， 求证：12[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22.分析法是逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，从正面不易推导时，常考虑用分析法．注意用分析法证题时，一定要严格按照格式书写． 考点3 反证法设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和．(1)求证：数列{S n }不是等比数列；(2)数列{S n }是等差数列吗？为什么？1．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来． 2．应用反证法证明数学命题，一般分下面几个步骤：第一步：分清命题“p →q ”的条件和结论；第二步：作出与命题结论q 相矛盾的假定綈q ； 第三步：由p 和綈q 出发,应用正确的推理方法,推出矛盾结果;第四步：断定产生矛盾结果的原因,在于开始所作的假定綈q 不真,于是原结论q 成立,从而间接地证明了命题p →q 为真．第三步所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理矛盾、与已知定义矛盾、与已知定理矛盾、与已知条件矛盾、与临时假定矛盾以及自相矛盾等各种情况．三、习题选讲第七章 立体几何一、基础回顾1．简单几何体的结构特征2．直观图画直观图的方法叫斜二测画法，其画法的规则是：(1)在已知图形中建立直角坐标系xOy ，画直观图时，它们分别对应x ′轴和y ′轴，两轴交于点O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°，它们确定的平面表示___________．(2)已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成_____于x ′轴和y ′轴的线段．(3)已知图形中平行于_____轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于_____轴的线段，长度为原来的12.3．三视图(1)三视图的特点：主、俯视图________；主、左视图________；俯、左视图________，前、后对应．(2)若相邻两物体的表面相交,表面的交线是它们的_______,在三视图中，分界线和可见轮廓线都用____线画出．(3)画简单组合体的三视图应注意两个问题：①首先，确定主视、俯视、左视的_______．同一物体放置的________，所画的三视图__________．②其次，简单组合体是由哪几个基本几何体组成的，并注意它们的组成方式，特别是它们的_______位置． 二、例题精讲考点1 空间几何体的结构特征 (2013·安庆调研)设有以下四个命题：。