第二专题整数的速算与巧算

【第二专题】整数的速算与巧算前面专题初步讲解一些四则混合运算的性质和简单的运算技巧，但这仅仅是运算的基础，本专题将更深入地介绍一些特定的速算、巧算的方法，以提高计算的效率、节省计算时间，锻炼记忆力，提高综合分析、判断能力，提高解决复杂问题的能力。

【必会知识点】一、基本运算定律⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：()()++=++a b c a b c⑶乘法交换律：a b b a⨯=⨯⑷乘法结合律：()()⨯⨯=⨯⨯a b c a b c⑸乘法分配律：()⨯+=⨯+⨯（反过来就是提取公因数）a b c a b a c⑹减法的性质：()--=-+a b c a b c⑺除法的性质：()÷⨯=÷÷a b c a b c+÷=÷+÷a b c a c b c()-÷=÷-÷()a b c a c b c（8）其他性质：a-(b-c)=a-b+c=a+c-ba-(b+c)=a-b-ca÷(b÷c)=a÷b×c=a×c÷b[积不变性质]：同时乘以（或除以）同一个非零数，积不变，即：a×b=(a×n)×(b÷n)=(a÷n)×(b×n)(n≠0)[商不变性质]：被除数和除数除以（或乘以）同一个非0的数，商不变，即：a÷b=(a×n)÷(b×n)=(a÷n)÷(b÷n)(n≠0)[在连除时，可以交换除数位置，商不变]，如a÷b÷c=a÷c÷b[在乘除混合运算中，被乘数、乘数（或除数）必须连同运算符号一起交换位置（即带符号搬家）[，如：a×b÷c=a÷c×b=b÷c×a上面的这些运算律，既可以从左到右顺着用，【尤其是】可以从右到左逆着用．二、在乘除运算中，去掉和添加括号的规则【去括号原则：】1、括号前是“×”，去括号后，括号的乘除符号不变，即：a×（b×c）=a×b×c， a×（b÷c）=a×b÷c2、括号前是“÷”，去括号后，括号的“×”变为“÷”，“÷”变为“×”，即：a÷（b×c）=a÷b÷c， a÷（b÷c）=a÷b×c；【添括号原则：】1、加括号时，括号前是“×”，原符号不变；但此时括号不能有加减运算，只能有乘除运算；即：a×b×c=a×（b×c），a×b÷c=a×（b÷c）；2、括号前是“÷”，其中“×”号变成“÷”号，“÷”变为“×”，但此时括号不能有加减运算，只能有乘除运算．即，a÷b÷c=a÷（b×c）， a÷b×c=a÷（b÷c）。

（13）两个数之积除以两个数之积等于分别相除后在相乘，即，（a×b）÷（c×d）=（a÷c）×（b÷d）=（a÷d）×（b÷c）【多背勤背，灵活运用，尤其逆运算】【概念】1．什么是补数？两个数相加，若能恰好凑成整十、整百、整千、整万…，就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”。

如：1+9=10，3+7=10， 2+8=10，4+6=10， 5+5=10。

又如：11+89=100，33＋67=100，22+78=100，44+56=100， 55+45=100，这些都互为补数。

对于一个较大的数，如何能很快地算出它的“补数”来呢？一般来说，可以这样“凑”数：从最高位凑起，使各位数字相加得9，到最后个位数字相加得10。

如： 87655→12345， 46802→53198， 87362→12638【要求】补数要达到看见一个数马上想到他的补数的程度【必背的固定算式】A、式中含有25、125、（或4、8）的情况的4×25=1×4×25=100，8×25=2×4×25=200,12×25=3×4×25=30016×25=4×4×25=40020×25=5×4×25=50024×25=6×4×25=60028×25=7×4×25=70032×25=8×4×25=80036×25=9×4×25=9008×125=1×8×125=1000，16×125=2×8×125=2000,24×125=3×8×125=300032×125=4×8×125=400040×125=5×8×125=500048×125=6×8×125=6000987×9＋5=88889876×9＋4=8888898765×9＋3=888888987654×9＋2=88888889876543×9＋1=88888888③计算结果为“10……”的19＋9×9=100118＋98×9=10001117＋987×9=1000011116＋9876×9=100000111115＋98765×9=10000001111114＋987654×9=10000000 11111113＋9876543×9=100000000 111111112＋98765432×9=1000000000 1111111111＋987654321×9=④数字142857循环的142857×2=285714142857×3=428571142857×4=571428142857×5=714285142857×6=857142142857×7=999999其他的可以化为（n-2,3,4,5,6的形式），转化为加法算式如142857×11=142857×（6+5）=142857×6+142857×5=857142+714285=1571427C、几个质数连乘积的，（啥叫质数？需要学会）质数（素数）：一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这样的数叫做质数（素数）互质数：公约数只有1的两个数，叫做互质数。

（如：5和6，8和9等）7×11×13=100113×31=403，13×37=481, 37×3=111D、常见数的平方、立方1²=1 2²=4 3²=9 4²=16 5²=25 6²=36 7²=49 8²=64 9²=81 10²=100 11²=121 12²=144 13²=169 14²=196 15²=225 16²=256 17²=28918²=324 19²=361 20²=400 25²=625302=90 402=1600 502=2500 602=3600 702=4900 802=6400 352=1225 452=2025 552=3025 652=4225 7 52=5625 852 =72251³=1 2³=8 3³=27 4³=64 5³=125 6³=216 7³=343 8³=512 9³=729 10³=1000E、分数、小数与百分数的关系1/2=0.5=50% 1/4=0.25=25% 2/4=0.5=50% 3/4=0.75=75%1/5=0.2=20% 2/5=0.40=40% 3/5=0.6=60% 4/5=0.8=80%1/8=0.125=12.5% 2/8=0.25=25% 3/8=0.375=37.5%4/8=0.500=50% 5/8=0.625=62.5% 6/8=0.7=70%7/8=0.875=87.5%1/10=0.1=10% 3/10=0.3=30% ……1/20=0.05=5% 3/20=0.15=15% ……1/25=0.04=4% 2/25=0.08=8% ……1/50=0.02=2% 3/50=0.06=6% ……1/100=0.01=1%1/125=0.008=0.8% 2/125=0.016=1.6% ……1/3≈0.333=33.3% 2/3≈0.667=66.7%1/6≈0.167=16.7% 5/6≈0.833=83.3%F、关于π的数（结果保留2位小数即可）1π＝3.14 2π＝6.28 3π＝9.42 4π＝12.565π＝15.7 6π＝18.84 7π＝21.98 8π＝25.129π＝28.26 10π＝31.4 11π＝34.54 12π＝37.6813π＝40.82 14π＝43.96 15π＝47.1 16π＝50.2420π＝62.8 24π＝75.36 25π＝78.536π＝113.04 48π=150.72 49π=153.8664π=200.96 72π=226.08 75π =235.5G、100以质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、 47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97H、关于时间的1世纪=100年一年的天数，平年365日、闰年366日；1日=24小时 1小时=60分=3600秒， 1分=60秒；1年有4个季度；每个季度有3个月；1年有12个月；1、3、5、7、8、10、12月是大月，每月有31天；4、6、9、11月是小月，每月有30天。