第三章 单自由度系统受迫振动
机械振动 第3章-单自由度系统的振动
kx H sin(t ) m x
2 令 n k , h H 则 m m 2 x x h sin(t ) n
无阻尼受迫振动微分方程的标准形式 ，二阶常系数非齐次线性微分方程。
x x1 x2
x1 A sin( n t ) 为对应齐次方程的通解 x2 b sin(t ) 为特解 h h b 2 , x sin(t ) 2 2 2 2 n n h x A sin( t ) sin(t ) 全解为 n 2 2 n ：
——初相位，决定振体运动的起始位置。
T ——周期，每振动一次所经历的时间。
2 f —— 频率，每秒钟振动的次数， f = 1 / T，T 。 n n —— 固有频率，振体在2秒内振动的次数。
n 1 c fn 2 2 a
n反映振动系统的动力学特性，只与系统本身的固有参数有关。
则自由振动的微分方程的标准形式 ： 2
q q 0
其解为 也可以写成 有
q A sin(nt ) q C1 cos nt C2 sin nt
2 1 2 2
A C C
C1 tg C2
1
6
对于初始扰动引起的自由运动
=q 0 设 t = 0 时， q = q0 , q
单自由度系统无阻尼自由振动
一、自由振动的例子
J
k
实验确定转动惯量装置
5
二、单自由度系统无阻尼自由振动微分方程及其解 对于任何一个单自由度系统，以q 为广义坐标（从平衡位 置开始量取 ），则自由振动的运动微分方程必将是：
c a, c是与系统的物理参数有关的常数，令 a
2 n
结构动力学课后习题答案
结构动力学课后习题答案结构动力学是研究结构在动态载荷作用下的响应和行为的学科。
它涉及到结构的振动、冲击响应、疲劳分析等方面。
课后习题是帮助学生巩固课堂知识、深化理解的重要手段。
以下内容是结构动力学课后习题的一些可能答案，供参考：习题1：单自由度系统自由振动分析解答：对于一个单自由度系统，其自由振动的频率可以通过以下公式计算：\[ f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} \]其中，\( k \) 是系统的刚度，\( m \) 是系统的总质量。
系统自由振动的振幅随着时间的衰减可以通过阻尼比 \( \zeta \) 来描述，其衰减系数 \( \delta \) 可以通过以下公式计算：\[ \delta = \sqrt{1-\zeta^2} \]习题2：单自由度系统受迫振动分析解答：当单自由度系统受到周期性外力作用时，其受迫振动的振幅可以通过以下公式计算：\[ A = \frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(m\zeta\omega)^2}} \] 其中，\( F_0 \) 是外力的幅值，\( \omega \) 是外力的角频率。
习题3：多自由度系统模态分析解答：对于多自由度系统，可以通过求解特征值问题来得到系统的模态。
特征值问题通常表示为：\[ [K]{\phi} = \lambda[M]{\phi} \]其中，\( [K] \) 是系统的刚度矩阵，\( [M] \) 是系统的质量矩阵，\( \lambda \) 是特征值，\( {\phi} \) 是对应的特征向量，即模态形状。
习题4：结构的冲击响应分析解答：对于结构的冲击响应分析，通常需要考虑冲击载荷的持续时间和冲击能量。
结构的冲击响应可以通过冲击响应谱（IRF）来分析，它描述了结构在不同频率下的响应。
冲击响应分析的结果可以用来评估结构的耐冲击性能。
习题5：疲劳分析解答：结构的疲劳分析需要考虑结构在重复载荷作用下的寿命。
振动理论04(3)-单自由度系统受迫振动
71
2014/10/22
阻尼能量耗散
能量耗散通常可以在周期振荡条件下予以确定
如果画成曲线，不同的阻尼类型对应的力和位移的关系差 别会很大，然而，各种情况下的力-位移曲线一定会形成包 围一定面积的一个闭合区域，称为滞后回线, 其面积与每周 耗散的能量为比例
由阻尼力 导致的每周能量损失可以为
对于有粘性阻尼的弹簧-质量系统，阻尼力为
90
2014/10/22
利用里沙茹图形测量简谐振动频率的接线示意图
振动体的振动信号经过传感器和放大器接到电子示波器的Y轴输入端，而在X 轴输入一个已知的周期信号
示波器的显示屏上将形成里沙茹图形 改变输入信号的频率，使里沙茹图形成为一个稳定的椭圆，从信号器上读得的
输入信号的频率就是被测振动的频率 测量精度主要取决于信号发生器的频率精度 利用这一原理，还可以测量相位差
加速度计的频幅特性
对于无阻尼加速度计，振幅迅速随频率增大，可用的 频率范围很小
如果阻尼比
，有用的测量范围
,误
差小于1.005.01%
2
1
1.00
1
0.95 0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
振动测量仪器
振动测量仪器的基本构件是如下图所示的地震元件 根据要测量的频率范围，图中悬挂质量的相对运动可
7
C
6
如果
5
4
y0 a0
3
振动加速度计的
2
固有频率应该是
所记录测量的最 1
B
高频率的2倍以上 0 A
0
1 /n
2
3
振动加速度计－振幅
为了避免被测振动中含有的高阶谐振共振影响振动加 速度计工作，必须在振动加速度计中加入阻尼
单自由度体系的强迫振动
2）求荷载的频率
2πn 62.83s1
60
3）求动荷因数
Kd
1
2
1
2
1
1 ( 62.83)2
56
3.86
4）求最大竖向位移
ymax
y
W st
Kd
ysFt
Wl 3 48EI
Kd
Fl3 48EI
l3 48EI
(W
Kd
F)
7.26mm
5）求最大应力
max
W st
Kd
F st
l 4WZ
(W
Kd1 ysFt
Wl 3 3EI
K d1
Fl3 3EI
l3 3EI
(W
Kd1F )
7.2 mm
y2max
y
W st
Kd2
ysFt
Wl 3 3EI
Kd2
Fl3 3EI
l3 3EI
(W
Kd2
F)
6.3 5 m m
4）求两种情况中的最大弯矩。最大弯矩发生在固定
端处。最大弯矩由两部分组成：第一部分是由重力引
纯强迫振动任一时刻质点的位移为
y(t)
F
m(2
2
)
sint
F
m2 (1
2 2
)
sint
令
ysFt
F11
F
m 2
y(t)
ysFt
1
1
2 2
sint
最大动位移为
ydmax
ysFt
1
1
2 2
ysFt Kd
式中：Kd——动荷因数，即 K d
ydmax
y
F st
结构力学单自由度体系强迫振动
l3 4 EI
A16 FPl3 7 4EI.
3
FFPPssiinnω3 4t t
l
3mm 2
l 2
l
求质点处的最大动位移及最大动弯矩图,EI=常数
l3 4 EI
A1619FPl3 7 48EI .
FI 1298FPsint
FPsint
m
l/ 2
l/ 2
4 EI
3ml 3
求质点m处的最大动位移及最大动弯矩图,EI=常数
0
t<0
FP0
t
FP(t)= FP0 0<t<u
u
0 t> u
.
阶段Ⅰ： （ 0≤t ≤ u ） y(t) = yst (1- cosωt)
FP(t)
yt2yst
sint
2
2
FP0
u
.
阶段Ⅰ： （ 0≤t ≤ u ）
yt2yst
sint
2
2
ytmax
2yst
2yst
sinu
2
2
.
U≥T/2 U≤T/2
FP(t)
• m ÿ+ k y = F P(t)
•y•(t)2yFPt
m
.
二、动荷载作用在结构的任意位置
FP(t)
••
m y
m
y
.
• 动位移方程：y(t)(m•y•)11FPt1P
若令等效荷载 FP'tFPt111P 只对质点位移等效
•y•(t)2yFP't 运动微分方程的标准
m 表达式（强迫振动）
2
3
A
l/2
l/2
2l3 3 EI
第三讲(单自由度系统受迫振动)
四、单自由度系统在周期性激励作用下的受迫振动 1、谐波分析与叠加原理 2、傅立叶（Fourier）级数法 五、单自由度系统在任意激励作用下的受迫振动 1、脉冲响应函数法或杜哈梅（Duhamel）积分法 2、傅立叶（Fourier）变换法 3、拉普拉斯（Laplas）变换法
三、简谐激励下的受迫振动 1、简谐激励下的受迫振动响应及频谱分析 2、受迫振动的复数求解法－－单位谐函数法 3、支座简谐激励（位移激励）引起的振动与被动隔振 4、偏心质量（力激励）引起的振动与主动隔振 5、测振传感器的基本原理
汽车振动学
第三讲
2009年3月2日
汽车振动学
第二章 单自由度系统的振动 （8学时）
2009年1月
第二章 单自由度系统的振动
一、单自由度振动系统 1、振动微分方程的建立 2、振动等效系统及外界激励 3、振动微分方程的求解 二、单自由度系统的自由振动 1、无阻尼系统的自由振动 2、有阻尼系统的自由振动 三、单自由度系统在简谐激励作用下的受迫振动 1、简谐激励下的受迫振动响应及频谱分析 2、受迫振动的复数求解法－－单位谐函数法 3、支座简谐激励（位移激励）引起的振动与被动隔振 4、偏心质量（力激励）引起的振动与主动隔振 5、测振传感器的原理
其中
X β = = X0
1 (1 − λ 2 ) 2 + (2ζλ ) 2
称为放大因子
代表稳态响应振幅与最大静位移之比，它不仅随频率比而变，而且随阻尼比而变。 如果系统无阻尼，则系统的振动响应为 自由振动响应 受迫振动响应
F0 λ F0 x = x0 cos ωnt + sin ωn t − sin ωnt + sin ωt 2 2 k (1 − λ ) k (1 − λ ) ωn & x0
共振时候最大振幅 公式
共振时候最大振幅公式
1. 单自由度系统受迫振动共振时最大振幅公式推导。
- 对于单自由度系统的受迫振动，其运动方程为m ẍ+c ẋ+kx = F_0sin(ω t)，其中m为质量，c为阻尼系数，k为弹簧刚度，F_0为激振力幅值，ω为激振力频率，x 为位移。
- 设稳态解x = Xsin(ω t-φ)，将其代入运动方程可得：
- -mω^2Xsin(ω t - φ)+cω Xcos(ω t-φ)+kXsin(ω t-φ)=F_0sin(ω t)。
- 根据三角函数关系展开并整理可得X=(F_0)/(√((k -
mω^2))^{2)+(cω)^{2}}，相位角φ=arctan(cω)/(k - mω^2)。
- 当发生共振时，ω=ω_n=√(frac{k){m}}（ω_n为系统的固有频率）。
- 在无阻尼c = 0的情况下，共振时ω=ω_n，此时最大振幅X_max=(F_0)/(k)。
- 在有阻尼c≠0的情况下，将ω=ω_n=√(frac{k){m}}代入X=(F_0)/(√((k -
mω^2))^{2)+(cω)^{2}}，可得X_max=(F_0)/(cω_n)。
2. 相关知识点补充。
- 固有频率的物理意义。
- 固有频率是系统本身的一种特性，它只与系统的质量m和刚度k有关（在单自由度系统中）。
例如，对于一个弹簧 - 质量系统，质量越大，固有频率越低；弹簧越“硬”（刚度越大），固有频率越高。
- 阻尼对共振的影响。
- 阻尼会抑制共振时振幅的无限增大。
当阻尼较小时，共振频率接近系统的固有频率，且共振时振幅仍然较大；随着阻尼的增大，共振时的振幅逐渐减小，并且共振频率会略微偏离固有频率。
单自由度受迫振动方程
单自由度受迫振动方程好嘞，咱来聊聊单自由度受迫振动方程这事儿。
你可以把单自由度受迫振动想象成一个超级执着的舞者在一个小舞台上跳舞。
这个舞者就是我们研究的振动系统，小舞台就是它唯一能活动的范围，这就是所谓的单自由度啦。
它的运动呢，是可以用方程来描述的，就像mẍ + cẋ+ kx = F₀sin(ωt)这个方程。
这里的m就像是舞者的体重，如果舞者很重（m很大），那他动起来就比较费劲，就像大胖子跳舞，动作没那么灵活。
然后c呢，它就像是舞台上的摩擦力。
你想啊，如果舞台超级滑（c很小），舞者可能就滑来滑去控制不住自己，要是摩擦力很大（c很大），就像在泥地里跳舞，每一步都很艰难，这个系数c就影响着舞者速度变化（ẋ）的情况呢。
再说说k，k就好比是舞台四周有一些弹性的绳子拉着舞者。
如果k很大，就像绳子超级紧，那舞者被拉得死死的，稍微动一下就被弹回来，这个k影响着位移x。
而右边的F₀sin(ωt)呢，这是外界给舞者的一个强制力。
F₀就像是有个大力士在旁边按照一定的节奏推或者拉舞者，这个ω就是大力士推动的节奏快慢。
如果ω很奇怪，就像大力士发疯了似的乱推乱拉，舞者就会被弄得晕头转向。
这个方程就像是舞者的行动指南，告诉我们这个执着的舞者在各种条件下会怎么动。
不管是m这个体重因素，还是c这个摩擦阻碍，又或者是k 这个弹性拉力，再加上外界大力士（F₀sin(ωt)）的干扰，共同决定了舞者的每一个动作。
有时候啊，当这个外界力的频率ω和系统本身的固有频率接近的时候，就像大力士和舞者达成了一种默契，舞者就会跳得特别疯狂，这种情况就叫共振。
这时候就好像舞台都要被震塌了一样，振动幅度超级大，就像舞者突然变成了一个超级赛亚人，爆发出巨大的能量。
如果m、c、k这几个参数固定不变，那这个方程就像是一个魔法咒语，只要给定了F₀和ω，我们就能准确地预测出这个小舞台上的舞者会怎么蹦跶。
而且这个方程啊，就像一个宝藏地图，科学家和工程师们就靠着这个地图去研究各种振动系统。
第三章 单自由度系统受迫振动[课堂上课]
单自由度系统受迫振动
• 线性系统的受迫振动
• 简谐力激励的强迫振动 • 稳态响应的特性 • 受迫振动的过渡阶段 • 简谐惯性力激励的受迫振动 • 机械阻抗与导纳
9 学习课堂
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应的特性
以s为横坐标画出 (s) 曲线
(s)
5
0
(s)
1
0.1
4
(1 s2 )2 (2s)2
x(0) x0
x(t)
x1 (t )
x2
(t)
x0
cosnt
x0
n
sin
0t
Bs 1 s2
sin
nt
B 1 s2
sin
t
x0
cos nt
x0
0
sin nt
B 1 s2
(sin
t
s sin nt)
即使在零初始条件下，也有自由振动与受迫振动相伴发生
实际中总是存在着阻尼的影响，因而上式右端的暂态运动会 逐渐衰减，进而消失，最终系统为稳态响应
讨论
(s)
5
假设系统固有频率： n 30* 2
系统静变形量： X 0
(s)
180
4
3
90
2
1
s
0
0
1
2
3
激励为： F0 sin(15* 2 t)
F0 sin(60* 2 t 4)
学习课堂
s
0
0
1
2
3
响应如何？
如何得到系统的幅频和 相频特性？
19
矢量表示法
m&x&(t) cx&(t) kx(t) F0 sin t
单自由度受迫振动
单自由度受迫振动一、运动方程的建立在简谐荷载t P θsin )t (P =作用在质点m 上，其作用线与运动方向一致。
此时的运动方程为：t mP t y t y θωsin )()(2=+∙∙ 经积分可求得运动方程的解。
由初始条件t=0时，0,0v y 可得到方程为t m p t m P t v t y t y θθωωωθθωωωωsin )(sin )(sin cos )(222200-+∙--+= 1.1 当θ=0时或P=0时，体系为自由振动，图像如下图： 考虑阻尼的情况下不考虑阻尼的情况下当P不为0，且θ不为零的情况下，体系发生受迫振动。
二、无阻尼振动单自由度体系受迫振动可分为有阻尼和无阻尼振动两种。
在模型建立过程当中，可以直接进行建立。
在运行时，只需将c=0即可。
如下图，结构在受迫振动的同时会有初位移，初速度引起的自由振动，以及动荷载激起的按结构自振频率振动的分量，即伴随自由振动。
三、有阻尼受迫振动由于有阻尼的作用，自由振动会很快的衰减掉。
在振动计算过程中，通常不考虑自由振动部分尚未完全衰减掉的过渡阶段，而只计算在这以后体系按干扰力的频率θ进行的受迫振动。
这时的振幅和频率是恒定的。
成为稳态强迫振动。
如图：3.1 振幅22-11A ωβm P ∙=，ωθβ= 由公式可见，强迫振动的振幅除与干扰力这幅P 有关外，还与ωθβ=有关。
3.1.1 ωθ<< 此时0≈=ωθβ，得st y ≈≈A 1，μ，可知与自振频率相比，频率很低的干扰力所产生的动力作用并不明显，可当静荷载处理，可认为结构为刚体或荷载并不随时间变化，不存在振动问题。
图像如下图所示3.1.2ωθ>> 此时ωθβ=是一个很大的数，st y <<<<A 1，μ。
表明当干扰力平率远大于自振频率时，动位移将远小于扰力幅值P 所产生的静位移，质体将接近静止状态，如下图：θ→3.1.3ωθ→时，放大系数和动位移的振幅A理论上将趋于无限，而实际上由于阻当ω尼的存在，振幅不会趋于无穷，但仍会远大于静位移y。
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结论：响应的振幅 A 与静位移 B 相当 F0 x ei (t ) Aei (t 10) k
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应特性
(s)
1 (1 s ) ( 2 s )
2 2 2
(s )
5 4 3 2 1
0
0 .1
（2）当s>>1（ n ）
• 机械阻抗与导纳
2012年8月20日 <<振动力学>>
3
单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动
• 线性系统的受迫振动
• 简谐力激励的强迫振动 弹簧－质量系统
F (t )
m k c x 0
F (t )
m
m x
设
F ( t ) F0 e
F0
i t
外力幅值
外力的激励频率
kx c x
15
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应特性
(s)
1 (1 s ) ( 2 s )
2 2 2
Q
Q/
2
记： Q s 1
1 2
品质因子
Q/ 2
2
在共振峰的两侧取与 对应的两点 1 ， 2
1 n
1
2 n
s
2 1 带宽
s 引入：
静变形 B
1 k
2
F0 k
n
则： H ( )
1 (1 s ) ( 2 s )
2 2 2
1
k (1 s ) ( 2 s )
2 2
[
1 s 2 si
2
] 2
1
e i
(s)
2012年8月20日 <<振动力学>>
( s ) tg
但共振对于来自阻尼的影响很敏感，在 s=1 附近的区域内， 增加阻尼使振幅明显下降 F0 x ei (t ) Aei (t ) 2012年8月20日 13 k <<振动力学>>
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应特性
(s)
1 (1 s ) ( 2 s )
2012年8月20日 <<振动力学>> 8
单自由度系统受迫振动
• 线性系统的受迫振动
• 简谐力激励的强迫振动
• 稳态响应的特性
• 受迫振动的过渡阶段
• 简谐惯性力激励的受迫振动
• 机械阻抗与导纳
2012年8月20日 <<振动力学>>
9
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应的特性
以s为横坐标画出 (s )
激振频率相对于系统固有频率很高
0 . 25 0 . 375 0 .5
1
s
0 1 2 3
0
结论：响应的振幅 很小
2012年8月20日 <<振动力学>>
0
x
F0 k
ei (t ) Aei (t )
11
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应特性
(s)
1 (1 s ) ( 2 s )
1 (1 s ) ( 2 s )
2 2
1
2
1 (1 s ) ( 2 s )
2 2 2
( s ) tg
2 s 1 s
2
结论：
（1）线性系统对简谐激励的稳态响应是频率等同于激振频率 、而相位滞后激振力的简谐振动
（2）稳态响应的振幅及相位只取决于系统本身的物理性质 （m, k, c）和激振力的频率及力幅，而与系统进入运动 的方式（即初始条件）无关
19
矢量表示法
mx ( t ) cx ( t ) kx ( t ) F0 sin t mx (t ) cx (t ) kx (t ) F0 sin t 0
惯性力 + 阻尼力 + 弹性恢复力 + 激振力 = 激振力：F0 sin t 稳态响应： 0
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
有阻尼单自由度系统
假设系统固有频率： n 1
外部作用力规律：
F ( t ) F0 cos t
从左到右：
0 .4 , 1 .01, 1 .6
0 0 0
2012年8月20日 <<振动力学>>
单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段
m kx F0 sin t x
x ( t ) c1 cos n t c 2 sin n t
x (0) x 0
B 1 s
2
x (0) x 0
Q与 有关系 ：
2012年8月20日 <<振动力学>>
Q
n
阻尼越弱，Q越大，带 宽越窄，共振峰越陡峭
x F0 k
ei (t ) Aei (t )
16
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应特性
以s为横坐标画出 ( s ) 曲线
( s ) tg
• 简谐惯性力激励的受迫振动
• 机械阻抗与导纳
2012年8月20日 <<振动力学>>
22
单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段
• 受迫振动的过渡阶段
在系统受到激励开始振动的初始阶段，其自由振动伴随受迫 振动同时发生。系统的响应是暂态响应与稳态响应的叠加 回顾：
m cx kx F0 e x
非齐次微分方程
it
显含 t，非齐次微分方程
通解
＝
齐次微分方程
通解
阻尼自由振动 逐渐衰减 暂态响应
＋
非齐次微分方程
特解 持续等幅振动
稳态响应
23
2012年8月20日 <<振动力学>>
单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段
• 受迫振动的过渡阶段
考虑无阻尼的情况 正弦激励
x (0) x 0
B F0 k
2 s 1 s
振幅放大因子
相位差
6
单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动
m cx kx F0 e x
x xe
H ( )
i t
it
B
F0 k
2
x H ( ) F0
[ 1 s 2 si
2
(s)
] 1 k
1
2 2
(1 s ) ( 2 s )
单自由度系统受迫振动
单自由度系统受迫振动
教学内容
• 线性系统的受迫振动 • 工程中的受迫振动问题 • 任意周期激励的响应 • 非周期激励的响应
2012年8月20日 <<振动力学>>
2
单自由度系统受迫振动
• 线性系统的受迫振动
• 简谐力激励的强迫振动 • 稳态响应的特性 • 受迫振动的过渡阶段
• 简谐惯性力激励的受迫振动
m kx F0 sin t x
x B sin t x
2 n 2 n
x (0) x 0
s
n
通解：
x(t ) c1 cos nt c2 sin nt
齐次通解
B 1 s
2
sin t
非齐次特解
c1、 c 2 初始条件决定
2012年8月20日 <<振动力学>> 24
1
(s)
180
2 s 1 s
2
90
相频特性曲线 （1）当s<<1（ n ） 相位差 0
s
0 0
1
2
3
位移与激振力在相位上几乎相同
（2）当s>>1（ n ）
位移与激振力反相 （3）当 s 1
2012年8月20日 <<振动力学>>
n
共振时的相位差为 2 ，与阻尼无关 F0 x ei (t ) Aei (t )17 k
18
讨论
(s )
5 4 3 2 1 0 0 1
假设系统固有频率： n 30 * 2 系统静变形量： X 0
180
(s)
90
s
2 3
s
0 0
1
2
3
激励为： F0 sin(15 * 2 t )
2012年8月20日 <<振动力学>>
响应如何？ 如何得到系统的幅频和 相频特性？
F0 sin(60 * 2 t 4)
振动微分方程： 设： x x e i t 代入，有：
H ( )
m cx kx F0 e x
it
x ：稳态响应的复振幅
n
c
k m
x H ( ) F0
1 k m ic
2
复频响应函数
2 n 2 it n
2 km
振动微分方程： 2n x x B e x
14
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应特性
(s)
1 (1 s ) ( 2 s )
2 2 2
(s )
5 4 3 2
0
0 .1
（6）当
1/ 2
1