九上册直角三角形中的比例线段
直角三角形三条边的长度关系
直角三角形三条边的长度关系直角三角形是初中数学学习中的一个重要内容，它的性质和应用广泛存在于各种数学和物理问题中。
在本文中，我们将探讨直角三角形三条边的长度关系。
一、勾股定理在直角三角形中，最著名的定理就是勾股定理。
勾股定理指出，在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。
勾股定理可以用数学公式表示为：$c^2=a^2+b^2$其中，$a$、$b$分别表示直角三角形的两条直角边的长度，$c$表示斜边的长度。
勾股定理的证明可以用多种方法，其中最著名的是毕达哥拉斯的证明。
毕达哥拉斯的证明是通过构造一个正方形，利用几何关系来证明勾股定理的。
二、三角函数除了勾股定理之外，三角函数也是直角三角形的重要内容。
三角函数是指正弦、余弦和正切三种函数，它们是角的函数，可以用来描述直角三角形中的各种关系。
正弦、余弦和正切分别定义为：$sintheta=frac{a}{c}$$costheta=frac{b}{c}$$tantheta=frac{a}{b}$其中，$theta$表示直角三角形的一个角，$a$、$b$、$c$分别表示直角三角形的三条边。
三角函数可以用来求解直角三角形的各种问题，例如已知某个角度和一个边长，可以用三角函数求出另外两个边长。
此外，三角函数还有许多重要的性质和应用，例如在物理学中的波动问题中，三角函数是不可或缺的。
三、三边关系除了勾股定理和三角函数之外，直角三角形的三条边之间还存在着一些特殊的关系。
这些关系可以用来求解一些直角三角形的问题。
1. 等腰直角三角形等腰直角三角形是指两条直角边长度相等的直角三角形。
在等腰直角三角形中，斜边的长度等于直角边的平方根乘以2。
2. 黄金比例黄金比例是指一条线段被分成两段，其中一段与整条线段的比值等于另一段与这一段的比值。
在直角三角形中，斜边与直角边的比值就是黄金比例，它的值为$frac{1+sqrt{5}}{2}$。
3. 三边比在一些特殊的直角三角形中，三条边之间存在着一些特殊的比例关系。
比例线段及有关定理
射影定理
总结词
射影定理是指在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和减去两直角边的乘积。
详细描述
射影定理是几何学中的一个重要定理，它描述了直角三角形中斜边与两直角边之间的关系。具体来说 ，在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和减去两直角边的乘积。这个定理在解决实际问 题中具有广泛的应用，如测量、建筑等领域。
03
比例线段的计算方法
利用平行线分线段成比例定理计算平行线分线段成比例定理如果一组平行线被一组横截线所截，那么这些截线段之比是相等的。
应用
通过已知的比例线段，利用平行线分线段成比例定理，可以计算出其他相关的 比例线段长度。
利用相似三角形的性质和判定定理计算
相似三角形的性质
两个三角形对应角相等， 则这两个三角形相似。相 似三角形对应边之比为相 似比。
成比例的线段具有传递性，即如果a:b:c:d且b:c:d:e，则必有 a:b:c:e。
比例线段的性质
01
02
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比例线段的性质
如果线段a、b、c、d成比 例，那么它们的长度之比 是常数，即|a/b|=|c/d|。
比例线段的性质
如果线段a、b、c、d成比 例，那么它们的面积之比 是常数的平方，即 |a×d/b×c|=1。
判定定理
如果两个三角形两组对应 角相等，则这两个三角形 相似。
应用
通过已知的比例线段，利 用相似三角形的性质和判 定定理，可以计算出其他 相关的比例线段长度。
利用射影定理计算
射影定理
在直角三角形中，斜边上的高将直角三角形分为两个小三角形，这两个小三角形 是相似的，且它们的边长之比等于原三角形的边长之比。
利用面积关系计算线段长度
通过已知的线段和面积比例关系，可以计算出未知线段的长度。
2020年春人教版九年级上册数学-27.2.1 第2课时 三边成比例的两个三角形相似-教案
27.2.1 相似三角形的判定第2课时 三边成比例的两个三角形相似1．理解“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法；(重点)2．会运用“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法解决简单问题．一、情境导入我们现在判定两个三角形是否相似，必须要知道它们的对应角是否相等，对应边是否成比例．那么是否存在判定两个三角形相似的简便方法呢？在如图所示的方格上任画一个三角形，再画第二个三角形，使它的三边长都是原来三角形的三边长的相同倍数．画完之后，用量角器比较两个三角形的对应角，你发现了什么结论？大家的结论都一样吗？二、合作探究探究点：三边对应成比例的两个三角形相似【类型一】 直接利用定理判定两个三角形相似在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，BC ＝6，在Rt △EDF 中，∠F ＝90°，DF＝3，EF ＝4，则△ABC 和△EDF 相似吗？为什么？解析：已知△ABC 和△EDF 都是直角三角形，且已知两条边长，所以可利用勾股定理分别求出第三边的长，看对应边是否对应成比例．解：△ABC ∽△EDF .在Rt △ABC 中，AB ＝10，BC ＝6，∠C ＝90°，由勾股定理得AC ＝AB 2－BC 2＝102－62＝8.在Rt △DEF 中，DF ＝3，EF ＝4，∠F ＝90°，由勾股定理得ED ＝DF 2＋EF 2＝32＋42＝5.在△ABC 和△EDF 中，BC DF ＝63＝2，AC EF ＝84＝2，AB ED ＝105＝2，所以BC DF ＝AC EF ＝AB ED，所以△ABC ∽△EDF . 方法总结：利用三边对应成比例判定两个三角形相似时，应说明三角形的三边对应成比例，而不是两边对应成比例． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第2题【类型二】 网格中的相似三角形如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在格点上，判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由．解析：首先由勾股定理，求得△ABC和△DEF的各边的长，即可得ABDE＝ACDF＝BC EF，然后由三组对应边的比相等的两个三角形相似，即可判定△ABC和△DEF相似．解：△ABC和△DEF相似．由勾股定理，得AB＝25，AC＝5，BC＝5，DE＝4，DF＝2，EF＝25，∵ABDE＝ACDF＝BCEF＝254＝52，∴△ABC∽△DEF.方法总结：在网格中计算线段的长，运用勾股定理是常用的方法．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型三】利用相似三角形证明角相等如图，已知ABAD＝BCDE＝ACAE，找出图中相等的角，并说明你的理由．解析：由ABAD＝BCDE＝ACAE，证明△ABC∽△ADE，再利用相似三角形对应角相等求解．解：在△ABC和△ADE中，∵ABAD＝BCDE＝ACAE，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠D，∠C＝∠E.方法总结：在证明角相等时，可通过证明三角形相似得到．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题【类型四】利用相似三角形的判定证明线段的平行关系如图，某地四个乡镇A，B，C，D之间建有公路，已知AB＝14千米，AD＝28千米，BD＝21千米，BC＝42千米，DC＝31.5千米，公路AB与CD平行吗？说出你的理由．解析：由图中已知线段的长度，可求两个三角形的对应线段的比，证明三角形相似，得出角相等，通过角相等证明线段的平行关系．解：公路AB与CD平行．∵ABBD＝1421＝23，ADBC＝2842＝23，BDDC＝2131.5＝23，∴△ABD∽△BDC，∴∠ABD ＝∠BDC ，∴AB ∥DC .方法总结：如果在已知条件中边的数量关系较多时，可考虑使用“三边对应成比例，两三角形相似”的判定方法．【类型五】 利用相似三角形的判定解决探究性问题要制作两个形状相同的三角形教具，其中一个三角形教具的三边长分别为50cm ，60cm ，80cm ，另一个三角形教具的一边长为20cm ，请问怎样选料可使这两个三角形教具相似？想想看，有几种解决方案．解析：要使两个三角形相似，已知一个三角形的三边和另一个三角形的一边，则我们可以采用三边分别对应成比例的两个三角形相似来判定．解：①当长为20cm 的边长的对应边为50cm 时，∵50∶20＝5∶2，且第一个三角形教具的三边长分别是50cm ，60cm ，80cm ，∴另一个三角形对应的三边分别为：20cm ，24cm ，32cm ；②当长为20cm 的边长的对应边为60cm 时，∵60∶20＝3∶1，且第一个三角形教具的三边长分别是50cm ，60cm ，80cm ，∴另一个三角形对应的三边分别为：503cm ，20cm ，803cm ；③当长为20cm 的边长的对应边为80cm 时，∵80∶20＝4∶1，且第一个三角形教具的三边长分别是50cm ，60cm ，80cm ，∴另一个三角形对应的三边分别为：12.5cm ，15cm ，20cm.∴有三种解决方案．方法总结：解答此题的关键在于分类讨论，当对应比不确定时，采用分类讨论的方法可避免漏解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题三、板书设计1．三角形相似的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似；2．利用相似三角形的判定解决问题．因为本课时教学过程中主要是让学生采用类比的方法先猜想出命题，然后证明猜想的命题是否正确．课堂上教师主要还是以提问的形式，逐步引导学生去证明命题．从课后作业情况看出学生对这节课的知识总体掌握得较好.。
2020年中考数学考点梳理：相似三角形和解直角三角形
知识点：一、比例线段1、比：选用同一长度单位量得两条线段。
a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b ＝m ：n （或nm b a =） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。
a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。
说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。
3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如dc b a = 4、比例外项：在比例d cb a =（或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。
5、比例内项：在比例d cb a =（或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。
6、第四比例项：在比例dcb a =（或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。
7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为abb a =（或a:b=b:c 时，我们把b 叫做a 和d 的比例中项。
8、比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
9、比例的基本性质：如果a ：b ＝c ：d 那么ad ＝bc 逆命题也成立，即如果ad ＝bc ，那么a ：b ＝c ：d10、比例的基本性质推论：如果a ：b=b ：d 那么b 2=ad ，逆定理是如果b 2=ad 那么a ：b=b ：c 。
说明：两个论是比积相等的式子叫做等积式。
比例的基本性质及推例式与等积式互化的理论依据。
11、合比性质：如果d c b a =，那么d dc b b a +=+ 12．等比性质：如果n m d c b a ===K ，（0≠+++m d b Λ），那么ban d b m c a =++++++ΛΛ说明：应用等比性质解题时常采用设已知条件为k ，这种方法思路单一，方法简单不易出错。
13、黄金分割把一条线段分成两条线段，使较长的线段是原线段与较小的线段的比例中项，叫做把这条线段黄金分割。
直角三角形含有30度的角线段的比例
直角三角形含有30度的角线段的比例直角三角形是一种非常特殊的三角形，其中一个角为90度，我们常常将这个角称为直角。
直角三角形有许多有趣的性质和特点，而其中一个特点就是可以含有一个30度的角。
在本文中，我们将探讨直角三角形中含有30度角的比例，并讨论这个比例的一些指导意义。
要理解直角三角形中含有30度角的比例，首先我们需要了解直角三角形的基本定义和性质。
直角三角形是指其中一个角度为90度的三角形，而其他两个角度的和则为90度。
这意味着直角三角形中的另外两个角度可以是锐角或钝角。
假设我们有一个直角三角形ABC，其中角A为直角，角B为30度角，角C为60度角。
现在我们来计算三角形中含有30度角的线段的比例。
让我们假设三角形边长为a，b，c，边a与角A相对应，边b与角B相对应，边c与角C相对应。
根据三角形中角度和为180度的性质，我们可以得出以下等式：角A + 角B + 角C = 180度90度 + 30度 + 60度 = 180度根据三角形中内角和的性质，我们可以得出以下等式：边a边长与a相对的角度 = 边b边长与b相对的角度边a边长与a相对的角度 = 边c边长与c相对的角度在我们的直角三角形中，角A与边a相对，角B与边b相对，角C 与边c相对。
因此我们可以得出以下等式：a = ba = c由于我们已经知道一个边长的比例，即a:b = 1:1，我们可以用这个比例来表示三角形中含有30度角的线段的比例。
这意味着直角三角形的两条边与直角边的比例是1:1。
含有30度角的线段的比例是一个非常有趣的数学问题，它具有一些重要的指导意义。
首先，这个比例告诉我们在一个直角三角形中，角度越小的边长越长。
那么在实际生活中，我们可以利用这个比例来测量不同高度的建筑物、树木等物体的高度。
其次，这个比例还告诉我们直角三角形中的两条边与直角边之间的关系是固定的。
因此，如果我们知道一个直角三角形中两条边的比例，我们可以利用这个比例来计算其他边的长度。
北师大数学九年级上册第四章比例线段
第01讲_比例线段知识图谱比例与比例线段知识精讲一．比例的性质1.比例的基本性质：a cad bc b d =⇔=； 2.反比定理：a c b db d ac =⇔=；3.更比定理：a c a b b d c d =⇔=(或d cb a =)；4.合比定理：a c a b c db d b d ++=⇔=； 5.分比定理：a c a b c db d b d --=⇔=； 6.合分比定理：a c a b c db d a bcd ++=⇔=--； 7.等比定理：(0)a c m a c m ab d n b d n b d n b++⋅⋅⋅+==⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+≠⇔=++⋅⋅⋅+．二．成比例线段1.比例线段：对于四条线段a b c d ，，，，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a cb d=（即::a b c d =），那么这四条线段a b c d ，，，叫做成比例线段，简称比例线段． 2.比例的项：在比例式a cb d =（::a bcd =）中，a d ，称为比例外项，b c ，称为比例内项，d 叫做a b c ，，的第四比例项．三条线段a bb c=（2b ac =）中，b 叫做a 和c 的比例中项．3.黄金分割：如图，若线段AB 上一点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC BC >），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即2AC AB BC =⋅）则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点，其中510.618AC AB AB -=≈，350.382BC AB AB -=≈，AC 与AB 的比叫做黄金比．三点剖析一．考点：比例与成比例线段二．重难点：比例的性质三．易错点：注意等比定理在运用时的时候一定要对分母为0或不为0进行讨论．比例的基本性质例题1、已知23a b=（0ab≠），下列比例式成立的是（）A.32ab= B.32a b= C.23ab= D.32ba=【答案】B【解析】本题考查比例的基本性质，内项积等于外项积。
直角三角形的等比定理
直角三角形的等比定理介绍直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角为90度。
直角三角形具有很多特殊的性质和定理，其中之一就是等比定理。
等比定理是指在直角三角形中，直角边上的两个线段与斜边的长度之比相等。
本文将从不同的角度探讨直角三角形的等比定理。
什么是直角三角形的等比定理直角三角形的等比定理指出，在一个直角三角形中，直角边上的两个线段与斜边的长度之比相等。
即，如果a和b是直角三角形的直角边，c是斜边，那么a与c的比等于b与c的比，即a/c = b/c。
等比例的证明直角三角形的等比定理可以通过几何和代数两种方法进行证明。
几何法证明假设在直角三角形ABC中，∠C = 90度，边AC为斜边，边AB和边BC为直角边，设直角边AB的长度为a，直角边BC的长度为b，斜边AC的长度为c。
根据勾股定理，我们有： a^2 + b^2 = c^2我们可以将c2分解为两个部分，c2 = ac + bc，将其带入上述等式中，我们得到： a^2 + b^2 = ac + bc接下来我们将这个等式两边同时除以c，得到： (a/c)^2 + (b/c)^2 = a/c + b/c可以看出，左边的等式是(c/a)^2 + (c/b)^2，而右边的等式是c/a + c/b。
根据勾股定理，左边的等式等于1，因此我们得到： 1 = a/c + b/c进一步化简，我们得到： 1 = C/A + B/C这就是直角三角形的等比定理。
代数法证明我们可以使用代数方法来证明直角三角形的等比定理。
假设在直角三角形ABC中，∠C = 90度，边AC为斜边，边AB和边BC为直角边，设直角边AB的长度为a，直角边BC的长度为b，斜边AC的长度为c。
根据勾股定理，我们有： a^2 + b^2 = c^2将式子两边同时除以c^2，可以得到： (a^2 + b2)/c2 = 1将左边的等式进行因式分解，我们可以得到： (a/c)^2 + (b/c)^2 = 1经过化简，我们得到： (a/c)^2 = 1 - (b/c)^2继续化简，我们得到： (a/c)^2 = (c^2 - b2)/c2再次化简，我们得到： (a/c)^2 = (c2/c2) - (b2/c2)可以看出，左边的等式是(a/c)^2，右边的等式是 1 - (b/c)^2。
三角形中的平行线分线段成比例-冀教版九年级数学上册教案
三角形中的平行线分线段成比例-冀教版九年级数学上册教案教学目标1.掌握平行线分割三角形中相似三角形的性质2.能够利用相似三角形的性质解决实际问题3.培养学生的逻辑思维和动手能力教学重点1.平行线分割三角形的相似三角形的性质2.如何利用相似三角形解决实际问题教学难点1.如何确定平行线与三角形各边的位置关系2.如何应用相似三角形的性质求解实际问题教学过程导入新知1.引入平行线与相似三角形的概念2.通过练习题让学生感受平行线和相似三角形的性质讲授新知1.讲解平行线分割三角形中相似三角形的性质2.通过解题讲解如何应用相似三角形的性质解决实际问题练习与提高1.通过以上知识点的学习，让学生练习一些高难度练习题，提高学生解决问题的能力2.带领学生一起探究现实生活中的实例，如横店影视城里的角色扮演道具等，让学生感受到知识的实用性，并能够应用所学知识解决实际问题巩固知识1.通过拓展练习，引入其他角度的维度，提高学生的综合能力2.让学生对本课所学内容进行复习，加深学生对所学知识点的认识教学总结1.总结本课所学知识点，强化学生对所学知识的掌握程度2.提出本课中出现的问题，以备下次上课时进行回答和解决课后作业1.利用所学知识完成练习题和提高题2.进一步思考如何在实际生活中应用所学知识，例如道路规划等场景。
教学评价通过本次课程的学习，学生能够掌握平行线分割三角形中相似三角形的性质，利用相似三角形的性质解决实际问题，并在探究实例的过程中，体会到知识的实用性。
在课堂上，学生积极参与讨论，动手实践能力得到提高，在复习环节中也表现出了一定的掌握程度。
相似三角形中的对应线段之比 (教案)数学九年级上册同步备课(北师大版)
北师版九年级上册数学4.7.1相似三角形中的对应线段之比教学设计（1）△ACD与△A'C'D'CD AB∴==kC'D'A'B'所以相似三角形对应中线的比等于相似比。
类似的，我们可以得到其余两组对应中线的比也等于相似比．由此得到：相似三角形对应中线的比等于相似比．推理格式：△ABC∽△A′B′C′，相似比为kCD和C'D'分别是△ABC 和△A'B'C'的中线.CD AB∴==kC'D'A'B'【总结归纳】相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比.一般的，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比。
【例1】如图，AD是△ABC的高，AD=h，点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E。
当SR= 12BC时，求DE的长.如果SR=13 BC呢？解：∵ SR⊥AD， BC⊥AD，∴ SR∥BC.∴∠ASR=∠B，∠ARS=∠C.∴△ASR∽△ABC .AE SR ∴=AD BCAD-DE SR即=.AD BC学生根据所学只是做练习。
本题注重知识点的直接应用，通过练习，巩固对本节课知识的理解，更好的应用相似三角形的性质有关知识解决相关问题.解：∵AE ＝3，EC ＝1，AD ＝2，BD ＝4， ∴AC ＝4，AB ＝6.∴AB ∶AE ＝AC ∶AD ＝2. 又∵∠BAC ＝∠EAD ，∴△ABC ∽△AED.又∵AF 为△ABC 的角平分线，AG 为△AED 的角平分线，∴AF ∶AG ＝AC ∶AD ＝2.5.【2020·广西】如图，在△ABC 中，BC ＝120，高AD ＝60，正方形EFGH 的一边在BC 上，点E ，F 分别在AB ，AC 上，AD 交EF 于点N ，则AN 的长为( B ) A ．15 B ．20 C ．25 D ．306.【2020·杭州】如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在AB ，BC ，AC 上，DE ∥AC ，EF ∥AB.（1）求证：△BDE ∽△EFC. 证明：∵DE ∥AC ，∴∠DEB ＝∠FCE. ∵EF ∥AB ，∴∠DBE ＝∠FEC. ∴△BDE ∽△EFC.（2）设AF FC ＝12，若BC ＝12，求线段BE 的长；解：∵EF ∥AB ，∴BE EC ＝AF FC ＝12.。
沪科版九年级上册第二十四章相似三角形 相似形和比例线段
主 题 第一讲 相似形和比例线段教学内容学习目标：1．知道相似形的概念，理解相似多边形的意义；2．理解两条线段的比和比例线段的概念；3．掌握比例的性质，了解黄金分割的概念．互动：（此环节设计时间在40－50分钟）知识导入：给你一粒白米尺寸为长0.5公分，宽0.3公分，你能在上面雕刻出5只“熊猫”及“二〇〇八北京奥运”字样吗？也许你会瞠目结舌：那得多小呀！太难啦！如果借助放大镜有人能办到，你信吗？——右图是：台湾毫芒雕刻第一人陈逢显在高倍放大镜下拍摄的针孔里雕刻出来的成果。
其实在放大镜下的米粒和实际的米粒只是大小不同，而形状却完全相同，它们是相似的图形。
思考：①你还能举几个生活中常见的相似形吗？如： ；②在你所举的例子中，发现相似形是 相同， 不一定相同的图形．（形状，大小） 案例：如图，将ABC ∆放大后得111A B C ∆，将111A B C ∆缩小后得ABC ∆；图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。
将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形。
如图：ABC ∆与111A B C ∆相似,测量∠A= ，∠B= ，∠C= ,∠A 1= ，∠B 1= ，∠C 1= ,测量AB= ， BC= ，CA= ，A 1B 1= ，B 1C 1 = ，C 1A 1=从以上测量结果可以得到怎样的结论？1．如果两个多边形是相似的，那么这两个多边形的对应角____ __，对应边___ ______．2．当两个相似多边形是全等形时，它们的对应边的长度的比值___ _____．知识点归纳：1．图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。
2．将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形，我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者说是相似形。
3．如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
当两个相似的多边形是全等形时，它们的对应边的长度的比值都是1。
试一试：1．如图，已知五边形ABCDE 与五边形'''''A B C D E 相似，且点A 与'A 、点B 与'B 、点C 与'C 、点D 与'D 、点E 与'E ，分别是对应顶点，则x = ，y = ，z = ，'A ∠= ，'C ∠= ． 2．已知一个三角形的三边长分别为3、4、5，与它相似的三角形的最小边长15，那么它的另两边长分别为 。
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4．直角三角形中的比例线段
一、基础知识回顾
1.相似三角形的判定：
（1） 于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
（2）有 角对应相等的两个三角形相似。
（3）两边对应 ，且 相等的两个三角形相似。
（4） 对应成比例的两个三角形相似。
（5）一条 对应成比例的两个直角三角形相似。
2．相似三角形的性质：
(1) 相似三角形对应角 ，对应边 。
(2)相似三角形对应高之比、对应中线之比、对应角平分线之比都等于 。
（3）相似三角形的周长之比等于 ；相似三角形的面积之比等于 。
二、知识延伸拓展
已知：如图1所示，在Rt △ABC 中，CD 是斜边上的
高线.
求证： CD 2
= AD •BD (1) ;
AC 2 = AD •AB (2) ; BC 2 = BD •AB (3) .
分析：易证△CBD ∽△ACD ∽△ABC ，根据相似三角形对应边成比例，可得上述三个关系式。
证明：∵∠CDB=∠ACB=Rt ∠ ∠B=∠B ∴△CBD ∽△ABC
同理可证 △ACD ∽△ABC ∴△CBD ∽△ACD ∽△ABC
由△ACD ∽△CBD 得D
D A B C CD D =
∴CD 2
= AD •BD (1)
同理可得AC 2 = AD •AB (2) ； BC 2
= BD •AB (3)
利用上述三个关系式，可以较轻松地解决很多问题。
例如，利用这三个关系式很容易证明勾股定理，只要把上面（2），（3）两个关系式的两边分别相加，得
AC 2 + BC 2 = AD •AB + BD •AB = AB （AD+BD ）= AB
2 注意：运用这三个关系式时，要注意它们成立的条件。
三、精典例题点拨
例1 在 图1中，若AD = 2cm ，DB = 6 cm ，求CD ，AC ，BC 的长。
解：∵ CD 2
= AD •BD=2×6=12
∴ );(3212cm CD ==
∵ AC 2
= AD •AB = 2 ×（2+6）=16，
图1
∴ )(416cm AC ==；
∵ BC 2
= BD •AB = 6×（2 + 6）=48， ∴ )(3448cm BC ==。
答：CD ，AC ，BC 的长分别为cm 32， 4cm ，cm 34 。
例2 如图2，在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，DF ⊥BC 于F 。
求证：△CEF ∽△CBA 。
证明：∵CD ⊥AB DE ⊥AC ∴CD 2
= CE •CA
又 ∵CD ⊥AB DF ⊥BC ∴CD 2
= CF •CB ∴ CE •CA = CF •CB ∴CA
CF CB =CE
又∠ECF=∠BCA ∴△CEF ∽△CBA 。
想一想：你能想出别的方法证明本题吗？
四、随堂练习设计
1. CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高线. （1）AD=9cm ，DB=4cm ，求CD 和AC ； （2）AB=13cm ，BC=12cm ，求BD 和CD ； （3）CD=3cm ，BC=5cm ，求AB 和AC ； （4）BD=3cm ，AC=2cm ，求CD 和BC.
2.已知CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高线，求证：CA •CD = CB •AD 。
3.如图3，已知BC 2
= BD •AB ，能否推出CD ⊥AB ？如果认为不能推出，那么试加一个条件，并推出CD ⊥AB 。
图2
图3A
五、课后作业巩固
1.如图4，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高线，且AC=4，AD=2，则AB 长是（ ） A 6． B 8。
C 4 。
D 10。
2.直角三角形中，斜边上的高线长6cm ，并且斜边上的高线把斜边分成
3:2两线段，则斜边上中线的长是（ ） A
cm 2
6
5. B cm 64 . C cm 65 . D cm 235. 3.如图5，AC ⊥BC ，CD ⊥AB ，且AB=5，BC=3，则AD
CD
的值为（ ）
A 53.
B 54.
C 34.
D 4
3. 4. Rt △ABC 的斜边长为5，斜边上的高线AD 长为2.4cm ，则较长的直角边AC= cm ， AB= cm ，CD= cm ，BD= cm 。
5. 如图6，△ABC 中，AB=20，AC=15，AD 是BC 边上的高线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ， 若AE=11，则AD= ，AF= 。
6.如图7，△ABC 中，∠ BAC=90°，AD ⊥BC ，垂足为D ，
53,2
3
==BC BD AB ，求AC 。
7.如图8，已知AD 是△ABC 的高线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，求证：AE AC AF B =A 。
图4
图5
图6
图7
图8
8.如图9，Rt △ABD 与Rt △ACD 有公共的斜边AD ，CE ⊥AD ，分别交AD ，AB 于F ，E 点，
求证：AC 2
= AB •AE 。
六、本课时参考答案 随堂练习
1.（1）CD=6cm ，AC=cm 133 （2）BD=13144cm ，CD=13
60
cm （3）AB=
425cm ，AC =4
15
cm （4）CD=cm 3,BC=cm 32 2. ∵CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高线 ∴Rt △ACD ∽Rt △CBD ∴CD AD CB =CA
∴CA •CD = CB •AD
3. 不能推出CD ⊥AB 。
只要加条件∠ACB=90°，即可推出。
课后作业
1.B
2.A
3.D
4. 4、3、
516、59 5. 552，3
44 6.AC=5 7. 由已知得AD 2 = AE • AB ，且AD 2
= AF •AC ，∴AE • AB= AF •AC ，∴AE AC AF =AB 。
8. 由已知得AC 2
= AF • AD ，且△AEF ∽△ABD ，∴AD
AE AB =AF
∴AF • AD = AE • AB ∴AC 2
= AB •AE 。
D。