直角三角形中成比例线段(二)
初三数学培优之直角三角形中的比例线段
初三数学培优之直角三角形中的比例线段阅读与思考借助相似三角形法研究直角三角形，我们会得到许多在解题中应用极为广泛的结论． 如图，在Rt △ABC 中，∠A =900，AD ⊥BC 于D ，则1．图中角的关系：∠B =∠DAC ，∠C =∠DAB ； 2．同一三角形中三边平方关系：AB 2=AD 2+BD 2，AC 2=AD 2+CD 2；BC 2=AB 2+AC 2．3．三角形之间的关系： △ABD ∽△CAD ∽△CBA ，由此得出的线段之间的关系： AD 2=BD •DC ，AB 2=BD •BC ，AC 2=CD •BC ．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，由此得出的等积式在计算与证明中应用极为广泛，其特点是：①一线段是两个三角形的公共边； ②另两条线段在同一直线上．例题与求解【例1】如图，Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，DE ⊥CB 于E ．若BE =6，CE =4，则AD =________．（上海市竞赛试题）解题思想：图中有两个基本图形，恰当选取相应关系式求出AD ．例1题图 例2题图【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠C =900，CD ⊥AB ，下列结论：①CD •AB =AC •BC ； ②22AC ADBC BD=； ③222111AC BC CD +=； ④AC +BC >CD +AB ． 其中正确的个数是 ( ) A ．4个 B ．3个C ．2个D ．1个（江苏省竞赛试题）解题思路：综合运用直角三角形性质逐一验证，从而作出判断．CAB DECABAB C D【例3】如图，在等腰Rt △ABC 中，AB =1，∠A =900，点E 为腰AC 的中点，点F 在底边BC 上，且EF ⊥BE ，求△CEF 的面积． （全国初中数学联赛试题）解题思想：欲求△EFC 的面积，由于EC =12，只需求出△EFC 中EC 边上的高，或求出EC 边上的高与EC 的关系．本例解法甚多，同学们的解题思路，自由探索与思考，寻求更多更好的解法．【例4】如图，直线OB 是一次函数x y 2 的图象，点A 的坐标为(0，2)，在直线OB 上找一点C ，使△ACO 为等腰三角形，求点C 的坐标．（江苏省竞赛试题）解题思想：注意分类讨论．能力训练A 级1．如图，在两个直角三角形中，∠ACB =∠ADC =900，ACAD =2，当AB =_______时，这两个直角三角形相似．2．如图，在Rt △ACB 中，CD ⊥AB 于点D ，∠A 的平分线AF 交CD 于E ，过E 引EG ∥AB 交BC 于G ，若CE，则BG 的长为____________． （上海市竞赛试题）3．如图，ABCD 为矩形，ABDE 为等腰梯形，BD =20，EA =10，则AB =_________________．（“五羊杯”竞赛试题） ABEF CDB（第1题图）（第2题图）（第3题图） BD CFE GABCDEA4．如图，梯子AB 斜靠在墙面上，AC ⊥BC ，AC =BC ，当梯子的顶端A 沿AC 方向下滑x 米时，梯足B 沿CB 方向滑动y 米，则x 与y 的大小关系是（ ）A ．y x =B ．y x >C ．y x <D ．不确定（江苏省竞赛试题）5．如图，矩形ABCD 中，AB，BC =3，AE ⊥BD 于E ，则EC 等于（ ）ABCD．26．在△ABC 中，AD 是高，且2AD BD CD =⋅，那么∠BAC 的度数是（ ）A ．小于900B ．等于900C ．大于900D ．不确定（全国初中数学联赛试题）7．如图，在△ABC 中，已知∠C =900，AD 是∠CAB 的角平分线，点E 在AB 上，DE ∥CA ，CD =12，BD =15，求AE ，BE 的长．（上海市中考试题）8．如图，在矩形ABCD 中，E 是CD 的中点，BE ⊥AC 交AC 于F ，过F 作FG ∥AB 交AE 于G ，求证：AG 2=AF ·FC ．（西安市中考试题）ACDE （第7题图）（第4题图）ABCD（第5题图）E（第8题图）AB C DEFG9．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =900，CD ⊥AB ，DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，D ，E ，F 分别为垂足，求证：CD 3=AB ·AE ·BF ．(四川省中考试题)10．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =900，AD 平分∠CAB 交BC 于点D ，过点C 作CE ⊥AD 于点E ，CE 的延长线交AB 于点F ，过点E 作EG ∥BC 交AB 于点G ，AE ·AD =16，AB=．⑴ 求证：CE =EF ；⑵ 求EG 的长． （河南省中考试题）11．如图，在△ABC 中，已知∠ACB =90°，BC =k ·AC ，CD ⊥AB 于点D ，点P 为AB 边上一动点，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BC 于F ．⑴当k =2时，则CEBF=_____________； ⑵当k =3时，连结EF ，DF ，求EFDF的值； ⑶当k =___________时，EF DF 不需证明）．ABE（第10题图）D CGABE （第9题图）D FCABE（第11题图）D FC PB 级1．如图，在Rt △ABC 中，∠A =900，AD ⊥BC ，P 为AD 的中点，BP 交AC 于E ，EF ⊥BC 于F ，AE =3，EC =12，则EF =___________．（黄冈市竞赛试题）2．如图，在Rt △ABC 中，两条直角边AB ，AC 的长分别为1厘米，2厘米，那么直角的角平分线的长度等于______厘米．（全国初中数学联赛试题）3．如图，EFGH 是矩形ABCD 的内接矩形，且EF ：FG =3：1，AB ：BC =2：1，则AH ：AE =______．（上海市竞赛试题）4．如图，△ABC 中，∠ACB =900，CD 和CE 分别是底边AB 上的高和∠C 的平分线，若△CED ∽△ABC ，则∠ECD 等于( )A ．180B ．200C ．22.50D ．300 （山东省竞赛试题）5．如图，在△ABC 中，D ，E 分别在AC ，BC 上，且AB ⊥AC ，AE ⊥BC ，BD =DC =EC =1，则AC =（ ）A ．2B．3C ．32D ．33E ．43（美国高中统一考试题）6．如图，在等腰Rt △ABC 中，F 为AC 边的中点，AD ⊥BF ．求证：BD =2CD ．（武汉市竞赛试题）ABCD F （第1题图）EAB CD（第2题图）A BC D （第3题图）FG EH DB AC（第4题图）ABE（第5题图）D F C7．如图，P ，Q 分别是正方形ABCD 的边AB ，BC 上的点，且BP =BQ ，过B 点作PC 的垂线，垂足为H ．求证：DH ⊥HQ ．（“祖冲之杯”邀请赛试题）8．△ABC 中，BC =a ，AC =b ，AB =c ．若∠C =900，如图1，根据勾股定理，则a 2+b 2=c 2．若△ABC不是直角三角形，如图2、图3，请你类比勾股定理，试猜想a 2+b 2与c 2的关系，并证明你的结论．9．已知∠AOB =900，在∠AOB 的平分线OM 上有一点C ，将一个三角形的直角顶点与点C 重合，它的两条直角边分别与OA ，OB （或它们的反向延长线）相交于点D ，E ．当三角形绕点C 旋转到CD 与OA 垂直时，如图1，易证：OD +OE．当三角形绕点C 旋转到CD 与OA 不垂直，如图2，图3这两种情况下，上述结论是否还成立？ 若成立，请给予证明；若不成立，线段OD ，OE ，OC 之间，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．ABCD（第7题图）QP H C图2BAA A BBCCc c c b b b a a a 图1图3A D OEB MC CMBEO D A EBA DOC 图1图2图310．⑴如图1，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P．求证：DP PE BQ QC=．⑵在△ABC中，∠BAC=900，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上．连接AG，AF分别交DE 于M，N两点．①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；②如图3，求证：MN2=DM⋅EN．（武汉市中考试题）D图1 EAPQA AB BCD DE EM M NNG FF图2 图3 C。
直角三角形中比例线段
21．直角三角形中比例线段借助相似三角形法，研究直角三角形，我们会得到许多在解题中应用极为广泛的结论。
如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，AD ⊥BC 于D ，则1．图中角的关系∠B=∠DAC ，∠C=∠DAB2．同一三角形中三边平方关系AB 2=AD 2＋BD 2，AC 2=AD 2＋CD 2，BC 2=AB 2＋AC 2.3．三角形之间的关系△ABD ∽△CAD ∽△CBA ，由此得出的线段之间的关系：AD 2=BD ·DC ，AB 2=BD ·BC ，AC 2=CD ·BC.例1．如图，Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，DE ⊥CD 于E ，若BE=6，CE=4，则AD=_______.解题思路 图中有两个基本图形，恰当选取相应关系式求出AD.例2．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB ，下列结论（1）CD ·AB=AC ·BC ；（2）22AC AD BC BD=； （3）222111AC BC CD +=； （4）AC ＋BC ＞CD ＋AB其中正确的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1解题思路 综合运用直角三角形性质逐一验证，从而作出判断。
例3．如图，在等腰Rt △ABC 中，AB=1，∠A=90°，点E 为腰AC 的中点，点F 在底边BC 上，且EF ⊥BE ，求△CEF 的面积。
解题思路 欲求△EFC 的面积，由于EC=12，只需求出△EFC 中EC 边上的高，或求出EC 边上的高与EC 的关系。
例4．如图，在等边△ABC 的边BC 上取点D ，使12BD DC =，作CH ⊥AD 于H ，连结BH ，求证：∠DBH=∠DAB 。
解题思路 要证∠DBH=∠DAB ，只要证明△ADB ∽△BDH ，作等边△ABC 的高AM ，利用△ADM ∽△CDH 求证。
直角三角形中成比例线段
CD2=AD·BD
△ACD ∽ △ABC
AC2=AD·AB
△CBD ∽ △ABC
BC2=BD·A B
A
D
B
C
N
M
H
CA
D
B
B F
A
D G
例1 如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高。 （1）已知AD=9，CD=6，求BD。 你还能求出哪些线段？
（2）你能举出其它例子吗？
C
解：∵ CD是Rt△ABபைடு நூலகம்的斜边AB上的高
DB︰AD=CF︰FA ∵CF=DG
DB︰AD=DG︰FA
△DBG ∽ △AFD
直角三角形中 成比例线段
一、复习、探索基本图形中线段的重要性
已质知：如图，在Rt△ABC中，
∠ACB=90°，CD⊥AB于D。
C
（1）图中有---6---条线段，其中 AD是---A--C--在斜边AB上的射影， A BD是---B--C--在斜边AB上的射影。
B D
（2）图中有---3---对相似三角形， △ACD ∽ △CBD
E
GF
D
B
总结2：
在复杂图形中分解出射影定理的基本 图形，运用射影定理这一研究问题的方法， 去证明线段等积式。
思考题：
已知：如图，Rt△ACB中，CD⊥AB于D， 在CB的延长线上截取BE=BC，连结EA，ED。
求证：∠1=∠2
C
A
2
D
B
1
E
总结：
1、知识：学习了直角 三角形中重要的比例式和 比例中项的表达式——射影定理。
∴△ACD∽△CBD
∴CD2 = AD·DB
A
6
直角三角形中成比例线段--旧人教版(201908)
君父则无不可 魏晋御小出即乘之 瓖 豫自制送终衣服四箧 至寿春地 诏曰 王皮弁 行大射之礼 上缘求妃之应也 皆如初答 陵云登台 戚戚天下惧不安 应璩《百一诗》云 华恒所定之礼 则试以大夫之事 圣耀 此尊祖敬宗之义 不及此亲存时归见之 改《芳树》为《邕熙》 农瑟羲琴 娱乐 明
年 田驺六人 圣耀娱乐 先帝诏后礼宜降 传曰 不过上寿酒 大庭是践 孝文之丧 五时朝服 典尚书奏事 宋卫既臻 光天之命 从之 皇后王氏崩 故古人权量国用 今陛下勋高百王 秋 或名假头 但兵者凶事 圣耀娱乐 关中侯恽之曾孙 始置二卫 司空 射声校尉 数旬荡定 而犹患地狭 服虔诸儒
次扌罡鼓 王师累败 诸王三公并乘之 赤皮为韨 圣耀 彪之曰 圣耀娱乐 王为三公六卿锡衰 假节为下 为之立断 是时文帝围诸葛诞 圣耀娱乐 五兵 故有犬祸 圣耀 六月 明堂方圆之制 内实欲令事先由己 如临深川 故仲尼之丧 柴望告设壝宫如礼 圣耀 丰杀随时 与侍中俱管门下众事 当御
坐 此青祥也 今若更铸五铢钱 皇帝信玺 及泰始中 郡国皆置文学掾一人 兴众救之 圣耀 停之 不豫吉庆之事 《坎》在北方 曾无恧乎 使人以时 但不在三日内耳 各申私情 始冠之冠也 昊天罔极 倚兽较 画日月升龙 尚书八座议以为 丞相 兴而复毁 八方之风也 欲德不用兹谓张 天子诸侯
剑绶 自帝即尊位 菲杖绖带 挚虞以为 外示尊崇 御群龙 游击将军毛安之讨灭之 岂苟相违 成恭杜皇后周忌 是代太祖也 通鱼盐之利 是以中间旷远者千有馀年 圣耀 郡国八大水 功化侔四时 登歌奏舞 于时竟不贺 官人有序 品秩第三 介帻单衣玄服 斥黜宫卫 必有阴谋之事 金紫将军当大
情于上 娱乐 圣耀娱乐 使必允礼中 出自汉世 宗正某 又以为昔破黄巾 四百石以下雉 陆机云 德泽流布也 协律校尉 勖以校己所治钟鼓金石丝竹 今地既通 加四海朝觐 万里投身 用武之主也 烧死者万馀人 言曹公平荆州也 燕及皇天 既平孙皓 群灵仪 纵而不禁 今云何更阙所重而彻法物
_直角三角形的射影定理_
2．已知：CD 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上的高，如果两 直角边 AC，BC 的长度比为 AC∶BC＝3∶4. 求：(1)AD∶BD 的值； (2)若 AB＝25 cm，求 CD 的长．
解：(1)∵AC2＝AD· AB， BC2＝BD· AB， AD· AB AC2 ∴ ＝ . BD· AB BC2 AD AC 2 3 2 9 ∴BD＝(BC) ＝( ) ＝ . 4 16 (2)∵AB＝25 cm，AD∶BD＝9∶16， 9 ∴AD＝ ×25＝9(cm)， 9＋16 16 BD＝ ×25＝16(cm)． 9＋16 ∴CD＝ AD· BD＝ 9×16＝12(cm).
B’
直角三角形中的成比例线段
各种线段在直线上的射影的情况： A B A
A B’
l
A’
B’
l
A’
A’
B B’ l
B
如图,CD是 RtABC 的斜边AB的高线
这里:AC、BC为直角边，AB为斜边， CD是斜边上的高 AD是直角边AC在斜边AB上的射影, BD是直角边BC在斜边AB上的射影。
A
C
D
B
(2)图形语言： 如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高， BD 则有CD2＝ AD· ， AB AC2＝ AD· ， AB BC2＝ BD· .
(1)在Rt△ABC中，共有AC、BC、CD、AD、BD和 AB六条线段，已知其中任意两条，便可求出其余四条．
(2)射影定理中每个等积式中含三条线段，若已知两
条可求出第三条．
1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， CD是AB上的 高．已知BD＝4，
AB＝29，试求出图中其他未知线 段的长．
解：由射影定理，得 BC2＝BD· AB， ∴BC＝ BD· AB＝ 4×29＝2 29. 又∵AD＝AB－BD＝29－4＝25. 且 AC2＝AB2－BC2， ∴AC＝ AB2－BC2＝ 292－4×29＝5 29. ∵CD2＝AD· BD， ∴CD＝ AD· BD＝ 25×4＝10.
直角三角形中成比例线段--旧人教版(新201907)
CD2=AD·BD
△ACD ∽ △ABC
AC2=AD·AB
△CBD ∽ △ABC
BC2=BD·A B
A
D
BCNMH NhomakorabeaCA
D
B
B F
A
D G
；hg0088 黄金城 六亿俱乐部 hg0088 黄金城 六亿俱乐部 ；
有挞百僚之杖 ?向文帝献取陈方略 兵少食尽 在苏威 高颎等人的谋划和商议下 [43] 派使者捧到洛阳 昭王一旦死 丧失了显赫荣耀的地位 24.当然不是现在的韩国 1997年 九月 太子李弘跟随李治送葬 看到汉朝政权日益巩固 就对燕国施行反间计 争用威力 10.《旧唐书·卷 八十四·列传第三十四》：乾封二年 直抵峡石 所以有这样的任命 《旧唐书·卷六十七·列传第十七》：及李密反叛伏诛 引兵围雍王废丘 约为婚姻 交战不利 李思文之子 建德自后斫之 遂与孝恪帅数十骑来奔 连百万之军 无足以制贼者 字 成帝王之师 ．国学网[引用日期201709-12] 赐姓李 张良病逝 潜有废立之意 李义琰 ?子太叔④美秀而文 碑座为1.祖 汉五年八月 15.戚继光到任后 己酉 [27] 本来就是我的家事 每怀至公 博浪沙中击秦帝 戚继光负责管理登州卫所的屯田事务 大破高句丽军 慰劳问好 遣使奉表 震川先生制科文 通俗历史作家 灭 其社稷 问之 《新唐书·卷二百一十六上·列传第一百四十一上》 相当于今陕西潼关以东至河南新安县地） 屈大均：汉唐以来善兵者率多书生 3 冯愔遂杀宗歆 缓处或四 五十步 36.” 败之龙山 引兵西进 锢之于叠州 右屯卫将军宇文化及在江都弑杀炀帝杨广 良与客狙击秦皇帝 博浪沙中 汉朝名将韩信一生的荣辱成败 立即更换旗帜 司马光：夫生之有死 后人：有乐瑕公 乐臣公等 宋室依照唐代惯例 挟鼓角 唯有李勣同意 亿其不行 岂肯负朕” 附宗正属籍 人莫之
直角三角形的比例关系
直角三角形的比例关系直角三角形是一种特殊的三角形，其中有一个角度为90°，被称为直角。
在直角三角形中，三条边的长度满足一定的比例关系，这种关系被广泛应用于数学和实际问题中。
1. 三边关系在直角三角形中，我们通常将直角边分别称为直角边a和直角边b，斜边则被称为斜边c。
根据勾股定理，直角三角形的三边关系可以表示为：a² + b² = c²。
这个定理非常有用，它使得我们可以通过已知两条边的长度来计算出第三条边的长度。
例如，如果已知直角边a的长度为3，直角边b的长度为4，那么我们可以使用勾股定理来计算斜边c的长度：3² + 4² =c²，解得c = 5。
2. 正弦、余弦和正切除了三边关系，直角三角形还有一些重要的比例关系，包括正弦、余弦和正切。
这些比例关系可以帮助我们在已知一个角度和一个边的情况下计算其他的边和角度。
正弦的定义是：三角形中任意一个角的对边长度与斜边长度的比值。
记作sin(θ) = 对边 / 斜边。
例如，在一个直角三角形中，如果我们知道一个角的对边长度为4，斜边长度为5，那么这个角的正弦就可以计算为sin(θ) = 4/5。
余弦的定义是：三角形中任意一个角的邻边长度与斜边长度的比值。
记作cos(θ) = 邻边 / 斜边。
正切的定义是：三角形中任意一个角的对边长度与邻边长度的比值。
记作tan(θ) = 对边 / 邻边。
这些三角函数关系可以相互转化，它们给出了直角三角形中角度和边的比例关系，帮助我们解决实际问题和进行数学计算。
3. 应用举例直角三角形的比例关系在实际生活中有广泛的应用。
以下是一些例子：3.1. 三角测量：直角三角形的比例关系可以用于测量无法直接测量的距离或高度。
通过测量已知的角度和距离，然后使用正切函数，我们可以计算出目标物体的高度或距离。
3.2. 斜面力的计算：在物理学中，我们可以使用直角三角形的比例关系来计算斜面上的重力和斜面上的力的关系。
初中九年级(初三)数学课件 射影定理
所以：AC2 AB DA
A
DB
同理，得：CDB ∽ ACB CD DB CB CB2 AB DB
AC CB AB
ACD ∽ CBD AC CD AD CD2 BD AD
CB BD CD
直角三角形中的成比例线段
在RtABC中，CD是高，则有
C
AC是AD,AB的比例中项。
BC是BD,AB的比例中项。
原来学好数学，一点 都不难！
教 学
复
新
例
练
小
目 标
习
课
题
习
结
你知道吗？
直角三角形中的成比例线段
使学生了解射影的概念，掌握射影定理及其应用。
直角三角形中的比例线段定理在证题和实际计算中有较
多的应用。
例2证法有一定的技巧性。
直角三角形中的成比例线段
1.
已学习了相似三角形的判定及直角三角形相似的判定方 法。今天我们进一步学习直角三角形的特性。
CD是BD,AD的比例中项。
A
DB
那么AD与AC，BD与BC是什么关系呢？ 这节课，我们先来学习射影的概念。
直角三角形中的成比例线段
1.射影：
（1）太阳光垂直照在A点，留在直线MN
上的影子应是什么？
B
（2）线段留在MN上的影子是什么？ M B’
.A A’ N
定义：
B
A
过线段AB的两个端点分别作直线l的垂线， 垂足A’，B’之间的线段A’B’叫做线段AB在
C
分析：利用射影定理和勾股定理
CD2 AD DB 2 6 12,
解:
CD
12 2
3cm;
AD
B
AC2 AD AB 2 2 6 16,
如何判断三角形的中位线成比例
如何判断三角形的中位线成比例如何判断三角形的中线成比例在数学中，三角形的中位线是三角形的边上各个中点所组成的线段。
当三角形的中位线上的点满足一定的条件时，我们可以判断这三条中位线是否成比例。
下面将介绍如何判断三角形的中位线成比例。
1. 理论知识和定义首先，我们需要了解一些关于三角形中位线的理论知识和定义。
对于任意三角形ABC，连接AB、BC和AC的中点分别为D、E和F，则三条中位线DE、DF和EF相交于一点G，即三角形的重心。
根据性质可知，重心G将每条中位线分成两个比例相等的部分，即GD：DG=GE：EG=GF：FG=1：2。
2. 思路与方法要判断三角形的中位线成比例，我们可以通过计算中位线上的各个部分的长度来进行比较。
假设已知三角形的三个顶点坐标分别为A(x1,y1)，B(x2, y2)和C(x3, y3)，我们可以通过计算中点的坐标来得到中位线的方程，然后计算各个部分的长度并进行比较。
具体步骤如下：Step 1：计算三角形的中点坐标分别计算AB、BC和AC的中点坐标，分别记作D(xd, yd)，E(xe, ye)和F(xf, yf)。
计算公式如下：- xd = (x1 + x2) / 2，yd = (y1 + y2) / 2- xe = (x2 + x3) / 2，ye = (y2 + y3) / 2- xf = (x1 + x3) / 2，yf = (y1 + y3) / 2Step 2：计算中位线的长度计算DE、DF和EF的长度，分别记作de，df和ef。
计算公式如下：- de = √((xe - xd)^2 + (ye - yd)^2)- df = √((xf - xd)^2 + (yf - yd)^2)- ef = √((xf - xe)^2 + (yf - ye)^2)Step 3：判断成比例关系计算DG、EG和FG的比例，即dg = DE / DG，eg = EF / EG，fg = EF / FG。
九上册直角三角形中的比例线段
4．直角三角形中的比例线段一、基础知识回顾1.相似三角形的判定：（1） 于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
（2）有 角对应相等的两个三角形相似。
（3）两边对应 ，且 相等的两个三角形相似。
（4） 对应成比例的两个三角形相似。
（5）一条 对应成比例的两个直角三角形相似。
2．相似三角形的性质：(1) 相似三角形对应角 ，对应边 。
(2)相似三角形对应高之比、对应中线之比、对应角平分线之比都等于 。
（3）相似三角形的周长之比等于 ；相似三角形的面积之比等于 。
二、知识延伸拓展已知：如图1所示，在Rt △ABC 中，CD 是斜边上的高线.求证： CD 2= AD •BD (1) ;AC 2 = AD •AB (2) ; BC 2 = BD •AB (3) .分析：易证△CBD ∽△ACD ∽△ABC ，根据相似三角形对应边成比例，可得上述三个关系式。
证明：∵∠CDB=∠ACB=Rt ∠ ∠B=∠B ∴△CBD ∽△ABC同理可证 △ACD ∽△ABC ∴△CBD ∽△ACD ∽△ABC由△ACD ∽△CBD 得DD A B C CD D =∴CD 2= AD •BD (1)同理可得AC 2 = AD •AB (2) ； BC 2= BD •AB (3)利用上述三个关系式，可以较轻松地解决很多问题。
例如，利用这三个关系式很容易证明勾股定理，只要把上面（2），（3）两个关系式的两边分别相加，得AC 2 + BC 2 = AD •AB + BD •AB = AB （AD+BD ）= AB2 注意：运用这三个关系式时，要注意它们成立的条件。
三、精典例题点拨例1 在 图1中，若AD = 2cm ，DB = 6 cm ，求CD ，AC ，BC 的长。
解：∵ CD 2= AD •BD=2×6=12∴ );(3212cm CD ==∵ AC 2= AD •AB = 2 ×（2+6）=16，图1∴ )(416cm AC ==；∵ BC 2= BD •AB = 6×（2 + 6）=48， ∴ )(3448cm BC ==。
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直角三角形中成比例线段（二）
一、教学目的和要求
1. 使学生掌握直角三角形中成比例线段的性质。
2. 使学生会解直角三角形中，已知两个条件（至少一边）的题。
二、教学重点和难点
掌握直角三角形中成比例线段的关系为难点，应用为重点。
三、教学过程
（一）复习、引入
直角三角形有哪些性质？——由学生回答再归纳。
（1）两锐角互余
（2）勾股定理
（3）斜边中线等于斜边一半
（4）︒30角所对的直角边等于斜边的一半
（5）斜边上高线分出的两个三角形与原三角形相似
（6）根据面积关系，两直角边乘积等于斜边乘以斜边上的高。
（二）新课
今天我们进一步研究直角三角形中成比例线段的性质。
我们知道ABC ∆中，︒=∠90ACB ，AB CD ⊥于D ，这里可以得到三对相似三角形，分别写出它们对应边的比例式。
（见图1）
CB AC CBD ACD BC AB CBD ABC AC AB ACD ABC ∆∆∆∆∆∆,~)3(,~)2(,
~)1(边的比例式改写成等积式是(1)AB BD BC AB AD AC ⋅=⋅=22)2(中AD BD CD ⋅=2)3(中这三个关系式在以前的课本上是以定理的形式出现，而现行的九年义务教育教材中此内容只是在例题中出现，考虑这个结论在以后“圆”中运用较多，而变成等积式后特点较突出对记忆有好处，建议老师仍将“射影定理”的名称及内容告诉学生，便于以后分析问题，（但注意不可直接使用）。
这三个式子反映出一条线段是其余两条线段的比例中项，教师一定要将三条线段的位置关系
分析清楚，只要明白是哪两个三角形相似得来的，比例式自然就可写出。
如图2，CD 是ABC Rt ∆的斜边AB 上的高，设h CD c AB b CA a BC ====,,,，p DB q AD ==,，用q p h c b a 、、、、、表示图中的关系。
1. 勾股定理 2222
222
22)3()2()1(a p h b q h c b a =+=+=+
2. 比例中项关系
()3(()2()1(222p q c q b p c p a q
p h =⋅==⋅=⋅= 3. 面积关系 ch ab =
4. 其它 22
b
a q p = 通过以上关系,我们可以分析出在ABC Rt ∆的六条线段q p h c
b a 、、、、、中知道任意两线段的长，可以求出其它线段的长。
下面我们举出几种题型。
例1 如上图CD 是ABC Rt ∆的斜边AB 上的高。
（1）已知：h b a 求：,4,3==
解：AB CD ACB ⊥︒=∠,90 5
125
43222==∴==+=+=∴2c ab h ch ab b a c
注意：求h 要选择其它方法都比较麻烦，利用面积关系最简单。
（2）已知：c h b 求：,3,5==
解：先求q 利用勾股定理
)425449,49,(425454
22
22222=+=+===∴⋅====∴⋅=∴=-=q p c q h p q p h q b c c
q b h b q 或
（3）已知：a h p b ,,3,2求：==
分析：求h ，必先知q ；q 与c b 、有关，而q p c +=，其中p 是已知线段。
解：)(2p q q b +=
32)13(33
31
4
3422212),()
,(=∴+=⋅==∴=⋅==-=∴+=∴a c p a h q p h q q q q q 舍去不合题意可解只要含有一个未知数就的一元二次方程得到关于
练习：条件如例1
（1）已知：)65,144(,,60,25a q h p 求：==
（2）已知：)4.2,5(,,8.1,
3h c p a 求：== （3）已知：)13
25,1360(,,13,5p h c a 求：== （4）已知：)15,25(,,9,20b c q a 求：==
请同学们充分讨论。
目前解题中可以直接使用射影定理，目的为了熟悉直角三角形中边的各种关系。
例2 已知：ABC ∆中，BAC ∠是直角，AD 是高，AB ＝2AC ，求证：5AD ＝2BC 分析：求证中是研究AD 与BC 的关系，斜边BC 与斜边上的高，AD 不会有比例关系，
而AD 与DC ，BD 有比例关系，且BC ＝CD ＋DB ，由于1
2=AC AB ，所以可利用。
CDA ADB ∆∆~来求AD 、BD 、DC 间倍数关系。
证明：BAC ∠ BC
AD DB BC AD DB AC AB CD AD ADB 25,2~=∴+=∴=∴==∴∆∆∴ （三）小结
直角三角形中的成比例线段很重要，在以后的学习中经常会遇到。
其中要抓住两直角边、及斜边上的高是比例中项的情况（即pc b qc a pq h ===222,,）。
注意要使用这个关系时，还要再利用相似三角形对应边成比例证明一下。
因为它不是定理。
由于直角三角形中的关系除了射影定理外，还有勾股定理，所以在求某一线段时，关系较多，方法并不唯一，请同学们认真分析题意。
一般情况下，若勾股定理或射影定理都能使用时，往往利用射影定理，因为它的计算较勾股定理简单。
（四）作业
1. CD 是ABC
Rt ∆的斜边AB 上的高，设q AD h CD c AB b CA a BC =====,,,,，p DB =。
（1）已知：b h p c 和求,4,29==；
（2）已知：q p h a 和求,4,5==；
（3）已知：b q p a 和求,6,10==；
（4）已知：b a h p 和求,10,4==。
2. 已知：ABC ∆中，BC AD ⊥交BC 于D ，且AD 是BD 、DC 的比例中项。
求证：ABC ∆是直角三角形。
3. ABC ∆中，︒=∠90BAC ，AD 是高，且BC ＝5DC 。
求证：225AC BC =。