考研高数知识点+经典例题1-3章

新东方在线 [www.koolearn.com ] 2010考研数学网络课堂电子教材系列 高等数学 1 2010考研强化班高等数学讲义 主讲：汪诚义 欢迎使用新东方在线电子教材

考研强化班高等数学讲义(一至三章) 第一章 函数、极限、连续

§1.1 函数 (甲) 内容要点 一、函数的概念 1．函数的定义 2．分段函数 3．反函数 4．隐函数 二、基本初等函数的概念、性质和图象 三、复合函数与初等函数 四、考研数学中常出现的非初等函数

1．用极限表示的函数 (1) )(limxfynn, 例 221()lim1nnnxfxxx

(2) ),(limxtfyxt，例 sinsinsin()limsinxtxtxtfxx 2．用变上、下限积分表示的函数 (1) xadttfy)( 其中)(tf连续，则)(xfdxdy

(2) )()(21)(xxdttfy 其中)(),(21xx可导，)(tf连续， 则2211[()]()[()]()dyfxxfxxdx 五、函数的几种性质 新东方在线 [www.koolearn.com ] 2010考研数学网络课堂电子教材系列 高等数学 2 1． 有界性：设函数)(xfy在X内有定义，若存在正数M，使Xx都有Mxf)(，则称)(xf在X上是有界的。 2． 奇偶性：设区间X关于原点对称，若对Xx，都有)()(xfxf，则称)(xf在X上是奇函数。 若对Xx，都有()()fxfx，则称)(xf在X上是偶函数，奇函数的图象关于原

点对称；偶函数图像关于y轴对称。重要公式0,()2(),0fafxdxaafxdxf当为奇函数当为偶函数 3． 单调性：设)(xf在X上有定义，若对任意XxXx21,，21xx都有)()(21xfxf )]()([21xfxf则称)(xf在X上是单调增加的[单调减少的]；若对任意1xX，

2,xX12xx都有1212()()[()()]fxfxfxfx，则称)(xf在X上是单调不减[单

调不增] （注意：有些书上把这里单调增加称为严格单调增加；把这里单调不减称为单调增加。）

若在(,)ab 内，()0,()()0,()fxfxfxfx则单调增加则单调减少

4． 周期性：设)(xf在X上有定义，如果存在常数0T，使得任意Xx，XTx，都有)()(xfTxf，则称)(xf是周期函数，称T为)(xf的周期。 由此可见，周期函数有无穷多个周期，一般我们把其中最小正周期称为周期。 例2()sin(0)fxx常数周期= (乙) 典型例题 一、定义域与值域

例1 设)(xf的定义域为],[aa（0a）求)1(2xf的定义域

解：要求axa12，则axa112， 当1a时，10a，21xa，则ax1 当10a时，01a，axa11 也即axa11或axa11 新东方在线 [www.koolearn.com ] 2010考研数学网络课堂电子教材系列 高等数学 3 例2 求，xxxxxxxfy的值域2,)2(122,52,3)(23并求它的反函数。 解：2x，1183y，33yx， 22x，357yx，yx5，

2x，1)2(12xy，yx12，

所以)(xfy的值域为),11(]7,3[)1,(

反函数321,15,373,11yyxyyyy 二、求复合函数有关表达式 例1 设21)(xxxf，求[(())]()nfffxfxn重复合

解：2222222111/1)(1)()]([)(xxxxxxxfxfxffxf， 若21)(kxxxfk，则

222221)1(111/1)(1)()(xkxkxxkxxxfxfxfkkk 根据数学归纳法可知，对正整数n，21)(nxxxfn 例2 已知()xxfexe，且0)1(f，求)(xf 解：令tex，txln，因此ln()()xtfeftt， 221

ln11()(1)lnln122xxt

fxfdttxt

(1)0f，∴xxf2ln21)( 新东方在线 [www.koolearn.com ] 2010考研数学网络课堂电子教材系列 高等数学 4 三、有关四种性质 例1 设()()Fxfx，则下列结论正确的是 [ ]

（A）若)(xf为奇函数，则)(xF为偶函数 （B）若)(xf为偶函数，则)(xF为奇函数 （C）若)(xf为周期函数，则)(xF为周期函数 （D）若)(xf为单调函数，则)(xF为单调函数 例2 求dxxxeexxIxx1125)]1ln()([ 解 xxeexf)(1是奇函数，)()(11xfeexfxx

)1ln()(22xxxf是奇函数，

1)1(ln)1ln()(22222xxxxxxxf

)()1ln(1ln22xfxx 因此)1ln()(2xxeexxx是奇函数 于是1061167220dxxdxxI 例3 设)(),(xgxf是恒大于零的可导函数，且()()()()0fxgxfxgx，则当bxa时，下列结论成立的是 [ ] （A）)()()()(xgbfbgxf （B）)()()()(xgafagxf

（C）)()()()(bgbfxgxf （D）)()()()(agafxgxf

思考题：两个周期函数之和是否为周期函数 例1．()sincos23xxfx 是

例2．()sinsin2fxxx 否，注意：倍数必须为整数，π不能做倍数 四、函数方程 例1．设)(xf在),0[上可导，0)0(f，反函数为)(xg，且)(02)(xfxexdttg，求

)(xf。 新东方在线 [www.koolearn.com ] 2010考研数学网络课堂电子教材系列 高等数学 5 解：两边对x求导得2[()]()2xxgfxfxxexe，于是()(2)xxfxxxe，故()(2)xfxxe，Cexxfx)1()(，由0)0(f，得1C，则

1)1()(xexxf。

例2 设)(xf满足xxfxf)31(sin31)(sin，求)(xf 解：令)(sin)(xfxg，则 xxgxg)31(31)(，

xxgxg22231)31(31)31(31，

2233411111()()33333gxgxx，

„„ xxgxgnnnnn)1(21131)31(31)31(31，

各式相加，得]91911[)31(31)(1nnnxxgxg 1)(xg，∴ 0)31(31limxgnnn

899111]91911[lim1nn



因此xxg89)(，于是 kxarcxf289sin)(或9(21)sin8karcx（k为整数）

思考题 设ab均为常数，求方程

22sin()ln[()()1]sin()ln[()()1]0xbxbxbxaxaxa的一个解。

解：令 则方程可化为f(x+b)=f(x+a) 可知f（x）为偶函数，则当f(x+b)=f(x+a)时，x+b=-(x+a) 即x=-（a+b）/2 新东方在线 [www.koolearn.com ] 2010考研数学网络课堂电子教材系列 高等数学 6 §1.2 极限 (甲) 内容要点 一、极限的概念与基本性质 1．极限的概念

(1) 数列的极限Axnnlim

(2) 函数的极限lim()xfxA；lim()xfxA；lim()xfxA Axfxx)(lim0；Axfxx)(lim0；Axfxx)(lim0

2．极限的基本性质 定理1 （极限的唯一性 ） 设Axf)(lim，Bxf)(lim，则A=B

定理2 （极限的不等式性质） 设Axf)(lim，Bxg)(lim 若x变化一定以后，总有)()(xgxf，则BA 反之，BA，则x变化一定以后，有)()(xgxf（注：当0)(xg，0B情形也称为极限的保号性） 定理3 （极限的局部有界性）设Axf)(lim

则当x变化一定以后，)(xf是有界的。 定理4 设Axf)(lim，Bxg)(lim 则（1）BAxgxf)]()([lim （2）BAxgxf)]()([lim （3）BAxgxf)]()([lim

（4）)0()()(limBBAxgxf （5）BxgAxf)()]([lim )0(A 二、无穷小量 1．无穷小量定义：若0)(limxf，则称)(xf为无穷小（注：无穷小与x的变化过程有

关，01limxx，当x时x1为无穷小，而0xx或其它时，x1不是无穷小）