尺规三平分角,角三等分

三等分角、三平分角1、废话部分先说明我没有破解，但是有很多很接近的作图方法，在这里都写出来，希望接下来有共同兴趣的人可以少一点的弯路。

因为这方面的书籍和讯息都很少，我的想法不知道会不会和以前的人的想法重合 另一个就是，利用双曲线的这种方法可以解决任意角度（︒︒360~0），相比我知道的几种工具解决三等分的办法是便捷了许多另外就是由这个三等分衍生出来的好多概念在以后应该会有价值，就不知道是多少年后， 最后对于想深入研究的人我奉劝一句|“放弃吧，很费脑细胞还有时间的”2、双曲线的由来取任意一个角度每一个角度，以顶点为圆心，以任意长度画圆，被这个角度的两条边截出一段弧这段弧会根据圆半径的长短，弧长会相应变化，但是圆心角是不会变化的我们只要三等分弧AB ，就能等到AOB ∠的三平分角，这点不证明把A 、B 为两点连接直线，从圆心O 点作直线AB 的垂线，我们会得到一个类似直角坐标系的图形（可能有人在这里要彪了，你这是要利用直角坐标系，不是的哈，乖乖看下去，我只如果A、B间距是固定的，随着圆心在垂线DE上下运动，我们就能得到任意一个角度我用几何画板作图，大家可以学一下这个软件，毕竟手工作图误差是很大的对于这个任意角度，我们反推，在已知弧AB的两个三等分点的情况下，得到三平分点随着圆心上下移动的轨迹这个是一条栓曲线的一部分图像，接下来我给出证明把两个三平分点与点A 、B 连接，我们会得到一个等腰梯形，并且线段AF=FG=GB因为F 、G 点事三平分点，GOB FOG AOF ∠=∠=∠,点A 、F 、G 、B 在同一圆上，所以AF=FG=GB接下来是证明线段FG 平行AB ，弧AF=弧GB （因为FG 是三平分点），所以线段FG 平行于AB ，线段FG 也是垂直于DE 的直线DE 垂直于AB ，FG 平行于AB ，又DE 平分线段AB ，所以直线DF 也是FOG ∠的平分线，最主要的，我们要得到线段HG=21GB ， FG=GB （相等角在同一个圆上所对应的弦是相等的），DE 平分线段FG , ∴ HG=21 FG=21GB ∴HG=21GBHG=21GB 圆心O 是直线DE 上任一点，恒有HG=21GB ，这个符合双曲线的第二个定义：平面内到一个定点B 和一条直线DF 的距离的比是常数e=2，e 〉1时的动点曲线轨迹叫做双曲线，∴∠AOB 的之中右边的三等分点的轨迹是一条双曲线，同理得证左边的三等分点也是一条双曲线3、接下来是推理出双曲线的解析式，求出解析式112422=-y x当∠AOB 是零度的时候, AB 的长度不随着圆点O 的变动而变动∴零度的弧就是与线段AB 重合，三等分点如图所示为i ，i 同时是线段AB 的三等分点，同时也是三等分点轨迹与线段AB 的轨迹的交点和双曲线的顶点之一设直线AB 与直线DE 的交点是j,假设线段ji 是一个距离单位，那么根据数量关系就有线段AB=6ji, iB=2ji B 点事双曲线的一个焦点我们假设双曲线的解析式是12222=-by a x ， 222c b a =+，原点到双曲线顶点的距离是a,原点到焦点的距离是c, iB=c-a=2ij 我们已经把ij 设为基本距离单位，∴c-a=2离心率e=ac =2 联立方程⎪⎩⎪⎨⎧==-22ac a c 解得a=2,c=4, 222c b a =+ ∴b=32所以双曲线的方程式112422=-y x上边的是繁琐的一些证明，无非我们要得到的就是三等分点的轨迹是双曲线，要得到这条双曲线的相关的一些规律，希望这些规律能够在你尺规作图三等分角的时候有所帮助，现在我把我掌握的一些好玩的规律给大家介绍介绍。

我们可以根据解析式，得到原点K ，以及双曲线的另一个焦点LK 点是线段AB 左边的三平分点，AL=2（这个都是根据解析式的来的）接下来我们可以做出辅助的直角坐标系，在原点K 处作AB 的垂线为y 轴，直线AB 为x 轴x 、y 轴、另一个焦点L 还有原点K 确定双曲线还有另一个定义：平面内两个定点的距离差的绝对值等于常数2a, (2a 〈21F F )的点的轨迹叫做双曲线，定点21F F 、叫做双曲线的焦点，21F F 叫做焦距 根据定义由图像来表示是作圆4、一些有趣的规律下面是第一个规律2HG=GB(上边已经给出证明)， GN=GB,∴2HG=GN,连接NA、GL，有交点M，如下图所示∠HMG=∠LMA,HG平行于AB,∴三角形LMA全等于三角形GHM∴LA/LM=HG/GM=1/2，∴LA=2，∴LM=4，N点是以点L为圆心半径为4上的点，且N 落在GL连接的直线上∴M点与N点是重合的得到的规律1是连接HA、GL，两条线段相交的点在以L为圆心半径为4单位的圆上，如点M.，这个规律在尺规作图的时候可以很轻松的得到一个双曲线的点，但是这个点是随机的，比如下图所示作法是任意一个角度以任意半径画弧，以此确定点A、B，连接AB并延伸，六等分线段AB，得到点L，再以点L为圆心4个单位为半径作圆，点N落在所作的圆上，使得直线LN与直线DE有交点，连接直线AN,交直线DE于点Q，由点Q引直线DE的垂线，交直线LN于点S，点恒是双曲线上的一点，这个在尺规作图之中可以利用第二个规律这里要强调一下，角度左边的三平分点的轨迹与右边三平分点的轨迹不是同一条双曲线我们用软件作出两条相应的轨迹，补全所要求的角度的剩下部分，如图虚线部分，第二个规律是如图所示，连接两条轨迹与圆的交点如图所示RT，直线RT不管圆心O如何变动都是平行于双曲线的一条渐近线，如图所示黑色的那条渐近线第三个规律，连接轨迹上的点BC、DE,如下图所示，有BC恒等于DE，这里要说一个证明的办法，虽然有点粗糙但是对于三等分这种经常需要验证的题型证明提高效率很高，就是直接用电脑软件验算两个数值的关系，精确到小数点后五位，如果没有差别一般就是存在关系了，如果差别很大，连想都不用想直接扔了那种想法就是。

效率可以提高很多，下面的规律证明你有兴趣可以证明一下，详细的可以共同讨论，证明我就不给出了，这个还没其他人给出，你可以试试，这是看到这个文档的一种福利，上边两个的证明也一样第四种规律如下图所示，连接GD,GD平行于x轴， FDG的角平分线ID刚好是经过圆心O注：下图四条双曲线轨迹与圆有八个交点，其中两个是固定的，剩下的六个点，只要能用尺规作图确定任何一个点，就可以破解三等分5、最近进答案的错误作法如下图所示，当要求的角度比较小的时候可以连接DK，KJ+KC的长度的二分之一与LC的长度相差很小，比如下图相差的是0.001，可惜，这是个错误的作法，根据的椭圆相近原则（双曲线两个焦点构成的椭圆，大小跟半径有关），错误的作法成千上万种，我没有办法在这里一一列举心就可以确定的关系点，也许是我还没有发现吧，随着研究的深入，有很多点只要以确定就可以反推得到三评分点的6、我的一些想法第一，曲线和曲线相交存在角度，这个角度由什么确定，有些人认为认为是交点处两条曲线的切线确定，但存在两条曲线相交有明显的角度，但是切线却是重合的，反推切线确定法就是错误的。

这是一个很少开发的领域同样的我找了很久还是找不到这方面的相关资料，这应该是一个很大的领域，但是到现在为止还没有任何人的开发，过去的几个世界都是代数占据数学的主导地位，几何反而是弱势，希望世人多点注意几何的价值与研究，毕竟代数是有数据差的，用代数的方法来证明几何问题不是一个非常严谨的方法，因为数差的存在，比如很简单的，用几何的表示办法很容易就能够显示2，但是用数据来表示就能能是一串不循环的小数，但是现在用几何办法来证明数学问题很少很少见，大部分规律都是用代数来证明几何问题，不仅繁琐还容易出错，不符合效率最高化，很多问题都很容易被带进无解领域。

第二个是关于曲线平行的，这是一个假设，各位看官可以看看。

在一个平面上，曲线的平行问题，这个也是很少有涉及的领域，没有相关的资料可以借鉴，如下图所示曲线1、2是平行的，没有相交而且任意与x轴平行的直线与曲线1、2的交点所得的线段的数值是相等的，两条曲线是平行的，但是没有曲线平行的理论依据，这个是个空白，曲线1、3，曲线4、2，是同一双曲线的两部分，是不是1、4就是平行的呢，是不是双曲线的两部分也是平行的呢？，那么是不是可以得出这样子的一个推论，平面当中的曲线，要么相交，要么平行7、曲线112422=-y x 在日常生活之中的运用 可以用来快速解决一个角度的三平分问题，而且效率很高，误差不大，具有普及的可能性，下面是我的一个小想法，利用我们学习中的量角器，添加一小段的栓曲线，把双曲线刻成凹槽在量角器上，可以通过凹槽在纸上临摹出双曲线，如下图所示因为量角器半径是固定的，且量角器大小有限制，这种方法可以解决︒︒1800到的三等分问题（双曲线理论上是可以解决︒︒3600到任意角的三等分问题），添加双曲线一部分后的用法是：1、作这个角度的角平分线2、将量角器的中线与所要作的角平分线重合，如下图所示.让量角器的两端刚好落在所求角的两边上，量角器的两端要有凹槽，确定A 、B 点，3、临摹出凹槽部分的双曲线，以O点为圆心，以AO为半径用圆规作弧，如下图所示，弧180的角度可以先尺规作图除以二）与双曲线的交点就是三平分点之一，问题得解（大于大概的效果图如下图所示，在量角器上边临摹双曲线的凹槽，以便可以作出双曲线，量角器两边也要两个点A、B的凹槽可以确定具体的长度，下面是样图（版权所有禁止cope哦）8、声明以上都是个人观点想法，你可以看但不可以用，我希望有人可以跟我分享他的观点或者想法，这是我们这代人的责任，当然了那种没经过验证考究的作法多了去了，老子不稀罕，我要的是有探讨价值的，我是陈硕20140331，给一个我的联系方式吧qq:1062894909,希望有生之年可以看到有人在这个问题上有所作为。