(人教版)高中数学选修：3.2 导数的计算 课堂10分钟达标 3.2.2含解析
人教版高中数学选修1-1-3.2 导数的计算 3.2.1 (2)ppt课件
【巩固训练】(2016·郑州高二检测)已知f(x)= 1 ，
且f′(1)=- 1 ,求n.
nx
【解析】f′(x3 )=
所以f′(1)=- ,
(1)＝ (x－ n 1)＝ － 1x－ n 1－ 1 ＝ － 1x－ nn 1，
nx
n
n
1 由f′(1)=- 得-n =- ,得n=3.
1 11
3 n3
借助导数的几何或物理意义解释实际问题
【预习小测】
1.函数f(x)=0的导数是 ( )
A.0
B.1
C.不存在
D.不确定
【解析】选A.常数函数的导数为0.
2.已知函数f(x)= 1 ,则f′(-2)= ( )
A.4
B.1 x
C.-4
D.- 1
【解析】选D.因为4 f′(x)=
4
所以f′(-2)=
(
1 x
答案:x0=kπ,k∈Z
6.一木块沿某一斜面自由下滑,测得下滑的水平距离 scm与时间ts之间的函数关系为:s=t2,试求t=2(s)时, 此木块的瞬时速度.(仿照教材P83例1的解析过程)
【解析】由幂函数导数公式得s′(t)=2t, 故s′(2)=4, 因此当t=2(s),木块的瞬时速度为4cm/s.
2.如何区分f(x)=sinx与f(x)=cosx的导数特征? 提示:从导数公式(sinx)′=cosx,(cosx)′=-sinx看出: 一要注意函数名称的变化,二要注意符号的变化,特别 注意(cosx)′=-sinx,而不是(cosx)′=sinx.
3.函数f(x)=lnx与f(x)=logax的导数公式之间有哪些 差异与联系?
【解析】因为y′=- ,1又在点(m,n)处的导数值为-1, x2
人教B版高中数学选修1-1课件 3.2.2导数公式表课件2
n xn1，n为自然数
3、若f (x) x (x 0, 0) , 则 f (x) x1，为有理数
4、若f (x) sin x , 则 f (x) cos x
因此，得到下面的基本初等函数的导数公式表：
5、若f (x) cos x , 则 f (x) sin x
6、若f (x) ax（a 0, a 1）, 则 f (x) ax ln a
[解析] (1)∵a 为常数，∴a2 为常数， ∴y′＝(a2)′＝0. (2)y′＝(x12)′＝12x11. (3)y′＝(x－4)′＝－4x－5＝－x45. (4)y′＝(lgx)′＝xln110.
[方法规律总结] 1.用导数的定义求导是求导 数的基本方法，但运算较繁．利用常用函数的 导数公式，可以简化求导过程，降低运算难 度．
＝1 x2
x.
• 基本初等函数的导数公式
新知导学 1．若 f(x)＝xn(n∈N*)，则 f ′(x)＝__n_x_n_－_1____. 若 f(x)＝1x，则 f ′(x)＝___－__x12_____. 若 f(x)＝xα(α∈Q)，则 f ′(x)＝αxα－1.
2．若f(x)＝sinx，则f ′(x)＝___co_s_x___. 若f(x)＝cosx，则f ′(x)＝__－__s_in_x____. 3．若f(x)＝ax，则f ′(x)＝_a_x_ln_a_(_a_>_0_)_． 若f(x)＝ex，则f ′(x)＝__e_x____.
diff (cos( x) sin( x), x); sin( x) cos( x)
高中数学第三章导数及其应用3.2导数的运算3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表课件新人教B版选修1_
1
1.函数y=f(x)=x的导数的意义是什么? 剖析:y'=1表示函数y=x的图象上每一点处的切线的斜率都为1.若 y=x表示路程关于时间的函数,则y'=1可以解释为某物体作瞬时速 度为1的匀速运动.
2.如何理解函数y=f(x)=x2的导数? 剖析:y'=2x表示函数y=x2图象上点(x,y)处切线的斜率,说明随着x 的变化,切线的斜率也在变化,另一方面,从导数作为函数在一点的 瞬时变化率来看,y'=2x表明:当x<0时,随着x的增加,函数y=x2减少得 越来越慢;当x>0时,随着x的增加,函数y=x2增加得越来越快.若y=x2 表示路程关于时间的函数,则y'=2x可以解释为某物体作变速运动, 它在时刻x的瞬时速度为2x.
x)'= (x>0).
1 ������
(5)(sin x)'=cos x;(cos x)'=-sin x. 名师点拨(1)xn(n为自然数)与xμ(μ为有理数,μ≠0,x>0)可以归为一 类函数来记忆导数公式.只是要注意n为负数时的运算技巧,先变形, 再求导. (2)logax与ln x等求导公式较难记忆,可以相互间作比较,如ln 1 1 (ln x ) '= = x=logex,则 ;对logax求导,只需把上式e换为a. ������ln e ������ (3)指数函数y=ax与幂函数求导易出错,比如,对y=2x与y=x2求导, 可专门记忆y=ax的求导公式.(2x)'=2xln 2,(x2)'=2x.
3.基本初等函数的导数公式 (1)C'=0(C为常数). (2)(xn)'=nxn-1(n为自然数);(xμ)'=μxμ-1(μ为有理数,且μ≠0,x>0). (3)(ax)'=axln a(a>0,a≠1);(ex)'=ex.
高中数学 第三章 3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)课件 新人教A版选修1-1
所以 4a＋2b＋c＝－1.
由a4＋ a＋b＋ b＝c＝1，1， 4a＋2b＋c＝－1，
解得ab＝ ＝－ 3，11， c＝9.
所以 a、b、c 的值分别为 3、－11、9.
求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、 商，再利用运算法则求导数.在求导过程中，要仔细分析出函 数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的 导数公式.对于不具备导数运算法则结构形式的要适当恒等 变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一 些切线斜率、瞬时速度等问题.
xcos
x′
＝sin
x＋xcos xcos cos2x
x＋xsin2x
＝sin
xcos x＋x cos2x .
研一研·问题探究、课堂更高效
(2)因为 f(x)＝2－2sin2x2＝1＋cos x， 所以 f′(x)＝－sin x. (3)∵f(x)＝xx－ ＋11＝x＋x＋1－1 2＝1－x＋2 1，
__3_x_－__y_＋__1_＝__0____. 解析 y′＝ex＋xex＋2，则曲线在点(0,1)处的切线的斜率为 k＝e0＋0＋2＝3，所以所求切线方程为 y－1＝3x，即 y＝3x ＋1.
研一研·问题探究、课堂更高效
(2)在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 在曲线 C：y＝x3－10x ＋3 上，且在第二象限内，已知曲线 C 在点 P 处的切线斜率 为 2，则点 P 的坐标为_(_－__2_,1_5_)_. 解析 设 P(x0，y0)(x0<0)，由题意知，y xx0 ＝3x20－10＝2， ∴x02＝4.∴x0＝－2，∴y0＝15.∴P 点的坐标为(－2,15).
练一练·当堂检测、目标达成落实处
5.已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c 过点(1,1)，且在点(2，－1)处与
高中数学第三章导数及其应用3.2导数的运算3.2.1常数与
y＝f(x) y＝logax (a>0，a≠1，x>0)
y＝ln x
y＝sin x y＝cos x
y′＝f′(x) _y_′___＝___x_l_n1__a__
_____y_′__＝___1x_____ _y_′__＝__c_o_s_x__ _y_′__＝__－__s_in__x_
基本初等函数的导数公式的特点 (1)常数函数的导数为零． (2)有理数幂函数 f(x)＝xα 的导数依然为幂函数，且系数为 原函数的次数，幂指数是原函数的幂指数减去 1. (3)正弦函数的导数为余弦函数，余弦函数的导数为正弦函 数的相反数． (4)指数函数的导数依然为指数函数，且系数为原函数底数 的自然对数．
3.2
第 三
导 数 的
章运
算
3.2. 1 &
3.2. 2
常数 与幂 函数 的导 数导 数公 式表
理解教材 新知
把握热点 考向
应用创新 演练
考点一 考点二
3.2
导数的运算
3．2.1&3.2.2 常数与幂函数的导数 导数公式表
利用导数的定义可得 x′＝1，(x2)′＝2x，(x3)′＝3x2.
问题 1：当 n∈N＋时，y＝xn 的导数公式是什么？
所以曲线在点 P(－1，－1)处的切线斜率为 k＝－3，
(3 分)
则切线方程为 y＋1＝－3(x＋1)，即 3x＋y＋4＝0.
设直线 m 的方程为 3x＋y＋b＝0(b≠4)， 所以 |b3－2＋41| 2＝ 10，所以|b－4|＝10， 所以 b＝14 或 b＝－6，
(6 分) (8 分)
所以直线 m 的方程为 3x＋y＋14＝0 或 3x＋y－6＝0.
(12 分)
高中数学新人教B版选修1-1第三章导数及其应用3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表课件
3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.能根据定义求函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝1x 的导数. 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
自主学习 题型探究 达标检测
解
y′＝(5
3
x3)′＝ (x5 )
3
3 1
x5
3
2
x5
＝Hale Waihona Puke 3.55
55 x2
(4)y＝2sin 2xcos 2x；
解
∵y＝2sin
x 2cos
2x＝sin x，∴y′＝cos x.
(5)y＝log1 x；
2
解 y′＝(log1 x )′＝ 1 1＝－xln1 2.
2
xln 2
(6)y＝3x.
解 y′＝(3x)′＝3xln 3.
f′(x)＝__xl_n_a__ 1
f′(x)＝__x_
2 题型探究
PART TWO
题型一 利用导数公式求函数的导数
例1 求下列函数的导数.
(1)y＝x12；
解 y′＝(x12)′＝12x12－1＝12x11.
(2)y＝x14； 解 y′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－x45. (3)y＝5 x3；
导函数 f′(x)＝__0_ f′(x)＝ nxn－1 (n为自然数) f′(x)＝_c_o_s__x_ f′(x)＝－__s_i_n_x__
f(x)＝ax(a>0，a≠1)
f′(x)＝_a_x_ln__a_
f(x)＝ex f(x)＝logax (a>0，a≠1，x>0)
高中数学 3.2 导数的计算课件 新人教A版选修11
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3.导数的运算法则 (1)[f(x)± g(x)]'=f'(x)± g'(x); (2)[cf(x)]'=cf'(x)(c 为常数); (3)[f(x)· g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);
������(������) ������'(������)������(������)-������(������)������'(������) (4) '= (g(x)≠0). 2 ������(������) [������(������)]
又∵(1,-1)在切线上, ∴将②式和(1,-1)代入①式, 3 2 得-1-(������0 -2x0)=(3������0 -2)(1-x0), 解得 x0=1 或 x0=-2. 即 x-y-2=0 或 5x+4y-1=0.
1
故所求的切线方程为 y+1=x-1 或 y+1=-4(x-1),
5
(1)根据导数的几何意义及导数的物理意义可知,函数 y=f(x) 在点 x0 处的导数就是曲线 y=f(x)在点 P(x0,y0)处的切线的斜率,即 k=f'(x0);瞬时速度是位移函数 s(t)对时间 t 的导数,即 v=s'|������ =������ . (2)注意区别“在 P 处”求切线和“过 P”求切线的不同,后者点 P 不一定是切点,要先设出切点再求切线.
������0 斜率,又直线 l 过原点,故 k=������ ,联立解出 x0 即可. 0
思路分析:求出函数在(x0,y0)处的导数即为曲线在(x0,y0)处的
2021年高中数学第三章导数及其应用3.2.2导数的运算法则学案含解析人教A版选修1_1.doc
3.2.2 导数的运算法则自主预习·探新知情景引入如何求得下列函数的导数呢？ 1．y ＝x 5＋x 3－x 2＋3； 2．y ＝e x－sin x ＋ln x ； 3．y ＝cos 2x2－sin 2x2.新知导学 导数的运算法则和差的导数 [f (x )±g (x )]′＝__f ′(x )±g ′(x )__积的导数[f (x )·g (x )]′＝__f ′(x )g (x )＋f (x )·g ′(x )__ 商的导数[f xg x]′＝__f ′xg x －f x g ′xg 2x__(g (x )≠0)预习自测1．已知函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，则a 的值为( A ) A ．1 B ． 2 C ．－1D ．0[解析] ∵f (x )＝ax 2＋c ，∴f ′(x )＝2ax ， 又∵f ′(1)＝2a ，∴2a ＝2，∴a ＝1. 2．已知f (x )＝e xln x ，则f ′(x )＝( C ) A ．e xxB ．e x＋1xC ．e xx ln x ＋1xD ．1x＋ln x[解析] f ′(x )＝(e x)′ln x ＋e x(ln x )′＝e xln x ＋exx＝exx ln x ＋1x.3．(2020·全国卷Ⅰ理，6)函数f (x )＝x 4－2x 3的图象在点(1，f (1))处的切线方程为( B )A ．y ＝－2x －1B ．y ＝－2x ＋1C ．y ＝2x －3D ．y ＝2x ＋1[解析] ∵f (x )＝x 4－2x 3，∴f ′(x )＝4x 3－6x 2，∴f ′(1)＝－2，又f (1)＝1－2＝－1， ∴所求的切线方程为y ＋1＝－2(x －1)，即y ＝－2x ＋1.故选B ．4．(2020·全国卷Ⅲ文，15)设函数f (x )＝e xx ＋a .若f ′(1)＝e 4，则a ＝__1__.[解析] 由于f ′(x )＝exx ＋a －e x x ＋a 2，故f ′(1)＝e a1＋a2＝e4，解得a ＝1.5．求下列函数的导数： (1)y ＝sin x －2x 2； (2)y ＝(2x 2＋3)(3x －2)； (3)y ＝excos x.[解析] (1)y ′＝(sin x －2x 2)′ ＝(sin x )′－(2x 2)′ ＝cos x －4x .(2)y ′＝(2x 2＋3)′(3x －2)＋(2x 2＋3)(3x －2)′ ＝4x (3x －2)＋3(2x 2＋3) ＝12x 2－8x ＋6x 2＋9 ＝18x 2－8x ＋9.(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e xcos x ′＝ex′·cos x －cos x ′·excos 2x ＝excos x ＋sin xcos 2x互动探究·攻重难互动探究解疑 命题方向❶导数的四则运算法则的应用典例1 求下列函数的导数：(1)y ＝(x ＋1)2(x －1)； (2)y ＝x 2sin x ； (3)y ＝1x ＋2x 2＋3x3；(4)y ＝x tan x －2cos x. [解析] (1)解法一：y ′＝[(x ＋1)2]′(x －1)＋(x ＋1)2(x －1)′＝2(x ＋1)(x －1)＋(x ＋1)2＝3x 2＋2x －1.解法二：y ＝(x 2＋2x ＋1)(x －1)＝x 3＋x 2－x －1，y ′＝(x 3＋x 2－x －1)′＝3x 2＋2x －1.(2)y ′＝(x 2sin x )′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′ ＝2x sin x ＋x 2cos x .(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2x 2＋3x 3′＝(x －1＋2·x －2＋3·x －3)′＝－x －2－4x －3－9x －4＝－1x 2－4x 3－9x4.(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x sin x cos x －2cos x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x sin x －2cos x ′＝x sin x －2′cos x ＋x sin x －2sin xcos 2x＝sin x ＋x cos xcos x ＋x sin 2x －2sin xcos 2x＝sin x cos x ＋x －2sin x cos 2x ＝tan x ＋x cos 2 x －2tan xcos x. 『规律方法』 1.符合导数运算法则形式特点的函数求导可直接用公式，注意不要记错用混积商的导数运算法则．①[f (x )g (x )]′≠f ′(x )g ′(x )；②⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′≠f ′x g ′x .2．公式[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )的推广为[f 1(x )·f 2(x )·f 3(x )…f n (x )]′＝f 1′(x )f 2(x )f 3(x )…f n (x )＋f 1(x )f 2′(x )f 3(x )f 4(x )…f n (x )＋…＋f 1(x )f 2(x )…f n ′(x )3．较为复杂的求导运算，一般要先将函数化简，再求导． ┃┃跟踪练习1__■ 求下列函数的导数． (1)y ＝x ·tan x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(3)y ＝x －1x ＋1. [解析] (1)y ′＝(x ·tan x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x sin x cos x ′＝x sin x ′cos x －x sin x cos x ′cos 2x＝sin x ＋x cos x cos x ＋x sin 2xcos 2x ＝sin x cos x ＋xcos 2x. (2)解法一：y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′ ＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝(2x ＋3)(x ＋3)＋x 2＋3x ＋2＝3x 2＋12x ＋11；解法二：∵(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， ∴y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x 3＋6x 2＋11x ＋6)′＝3x 2＋12x ＋11； (3)解法一：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′＝x －1′x ＋1－x －1x ＋1′x ＋12＝x ＋1－x －1x ＋12＝2x ＋12；解法二：∵y ＝x －1x ＋1＝x ＋1－2x ＋1＝1－2x ＋1， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫1－2x ＋1′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋1′＝2x ＋12.命题方向❷利用导数求参数典例2 (2020·云南昆明高二调研)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 过点(1,5)，其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，求f (x )的解析式．[思路分析] 本题主要考查利用导数求解参数问题，观察y ＝f ′(x )的图象可知y ＝f ′(x )过点(1,0)、(2,0)，即f ′(1)＝0，f ′(2)＝0.[解析] ∵f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，且f ′(1)＝0、 f ′(2)＝0、 f (1)＝5， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＋c ＝012a ＋4b ＋c ＝0a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－9c ＝12.∴函数y ＝f (x )的解析式为f (x )＝2x 3－9x 2＋12x .『规律方法』 1.导数的应用中，求导数是一个基本解题环节，应仔细分析函数解析式的结构特征，根据导数公式及运算法则求导数，不具备导数运算法则的结构形式时，先恒等变形，然后分析题目特点，探寻条件与结论的联系，选择解题途径．2．求参数的问题一般依据条件建立参数的方程求解． ┃┃跟踪练习2__■偶函数f (x )＝ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e 的图象过点P (0,1)，且在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求y ＝f (x )的解析式．[解析] ∵f (x )的图象过点P (0,1)， ∴e ＝1.又∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )．故ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e ＝ax 4－bx 3＋cx 2－dx ＋e . ∴b ＝0，d ＝0.∴f (x )＝ax 4＋cx 2＋1.∵函数f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2， ∴切点为(1，－1)．∴a ＋c ＋1＝－1. ∵f ′(x )|x ＝1＝4a ＋2c ，∴4a ＋2c ＝1. ∴a ＝52，c ＝－92.∴函数y ＝f (x )的解析式为f (x )＝52x 4－92x 2＋1.命题方向❸导数的综合应用典例3 已知曲线y ＝f (x )＝x 2a－1(a >0)在x ＝1处的切线为l ，求l 与两坐标轴所围成的三角形的面积的最小值．[解析] ∵f (1)＝1a －1，∴切点坐标为(1，1a－1)．由已知，得f ′(x )＝(x 2a －1)′＝2xa，∴切线的斜率k ＝f ′(1)＝2a，∴切线l 的方程为y －(1a －1)＝2a(x －1)，即2x －ay －a －1＝0. 令y ＝0，得x ＝a ＋12；令x ＝0，得y ＝－a ＋1a. ∴切线l 与两坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×a ＋12×a ＋1a＝14(a ＋1a )＋12≥14×2a ×1a ＋12＝1，当且仅当a ＝1a，即a ＝1时取等号，∴S min ＝1.故l 与两坐标轴所围成的三角形的面积的最小值为1.『规律方法』 求曲线的切线方程要注意分清点是否是切点．若已知点是切点，则可通过点斜式直接写方程，若已知点不是切点，则需设出切点．┃┃跟踪练习3__■函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋1的图象上有两点A (0,1)和B (1,0)，在区间(0,1)内求实数a ，使得函数f (x )的图象在x ＝a 处的切线平行于直线AB ．[解析] 直线AB 的斜率k AB ＝－1，f ′(x )＝3x 2－2x －1，令f ′(a )＝－1 (0<a <1)， 即3a 2－2a －1＝－1，解得a ＝23.学科核心素养 综合应用问题灵活运用导数的运算法则，求解复合函数的导数，或与其他知识结合解决相关问题；利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何问题与实际问题．典例4 已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋b 在点P (2，－6)处的切线方程是13x －y －32＝0.(1)求a ，b 的值；(2)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线l ：y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．[思路分析] (1)由f (x )在点P 处的切线方程可知f ′(2)，及f (2)＝－6，得到a 、b 的方程组，解方程组可求出a 、b ；(2)由曲线y ＝f (x )的切线与l 垂直，可得切线斜率k ＝f ′(x 0)，从而解出x 0，求得切点坐标和k .[解析] (1)∵f (x )＝x 3＋ax ＋b 的导数f ′(x )＝3x 2＋a ， 由题意可得f ′(2)＝12＋a ＝13, f (2)＝8＋2a ＋b ＝－6， 解得a ＝1，b ＝－16.(2)∵切线与直线y ＝－x4＋3垂直，∴切线的斜率k ＝4.设切点的坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1.由f (x )＝x 3＋x －16，可得y 0＝1＋1－16＝－14，或y 0＝－1－1－16＝－18. 则切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即y ＝4x －18或y ＝4x －14.『规律总结』 处理与切线有关的参数问题时，一般利用曲线、切线、切点的三个关系列方程求解．┃┃跟踪练习4__■(天津卷)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为__1__.[解析] ∵f ′(x )＝a －1x，∴f ′(1)＝a －1.又∵f (1)＝a ，∴切线l 的斜率为a －1，且过点(1，a )， ∴切线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x －1)． 令x ＝0，得y ＝1，故l 在y 轴上的截距为1.易混易错警示 准确应用公式典例5 若f (x )＝cos xx，求f ′(π)．[错解] ∵f (x )＝cos xx，∴f ′(x )＝cos x ′x ＋cos x ·x ′x 2＝－x sin x ＋cos xx2，∴f ′(π)＝－πsin π＋cos ππ2＝－1π2.[错解分析] 应用商的求导法则时，分子应是“分子的导数乘分母－分子乘分母的导数”，解题时错误的写成了“＋”．[正解]∵f (x )＝cos xx，∴f ′(x )＝cos x ′x －cos x ·x ′x 2＝－x sin x －cos xx2， ∴f ′(π)＝－πsin π－cos ππ2＝1π2.。
高中数学 3.2导数的计算课件 新人教A版选修1-1 (2)
α(α为常数)，所以 y′＝76x16cos
α.
x
完整版ppt
6
题型二 求曲线的切线方程
例 2 已知函数 y＝x3－3x，过点 A(0，16)作曲线 y＝f(x)的切线，求此切线方程．
解析：曲线方程为 y＝x3－3x，点 A(0，16)不在曲线上． 设切点为 M(x0，y0)，则点 M 的坐标满足 y0＝x03－3x0. 因为 f′(x0)＝3(x20－1)，故切线的方程为 y－y0＝3(x20－1)(x－x0)， 注意到点 A(0，16)在切线上，有 16－(x30－3x0)＝3(x20－1)(0－x0)， 化简得 x30＝－8，解得 x0＝－2. 所以，切点为 M(－2，－2)，切线方程为 9x－y＋16＝0. 方法总结：1.利用导数的几何意义求曲线上某点处的切线方程的步骤： (1)求出函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数 f′(x0)； (2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为 y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．
(6)y′＝lnxx′＝（ln
x）′·x－（x）′·ln x2
x
＝1－xl2n
x .
完整版ppt
5
变式迁移
2．求下列函数的导数： (1)y＝(3x－2)(2x2＋3)；
(2)y＝(1－ x)1＋ 1x；
(3)y＝xx＋1x＋x13；
(4)y＝x
x cos
α(α 为常数)．
3x
解析：(1)因为 y＝(3x－2)(2x2＋3)
3．2 导数的计算
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1
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2
题型一 求已知函数的导数
例 1 求下列函数的导数：
(1)y＝lo＝1－1
x＋1＋1
； x
高中数学新课标人教A版选修1-1《3.2.2 导数的运算法则》课件
x5＋
x7＋ x
x9＝x2＋x3＋x4，
∴y′＝(x2＋x3＋x4)′＝2x＋3x2＋4x3.
课前探究学习
课堂讲练互第动十四页，编辑于星活期一页：点规十范二分训。练
(4)先使用三角公式进行化简，得 y＝x－sin2xcos2x＝x－12sin x， ∴y′＝x－12sin x′＝x′－12(sin x)′＝1－12cos x. 规律方法 解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特 点，选择正确的公式和法则，在求较复杂函数的导数时，首先 利用代数或三角恒等变形对已知函数解析式进行化简变形．如， 把乘积的形式展开，分式形式变为和或差的形式，根式化为分 数指数幂，然后再求导，这样可减少计算量．
x）′cos
x－xsin cos2x
x（cos
x）′
＝（sin
x＋xcos x）cos cos2x
x＋xsin2x
＝x＋scionsx2xcos源自x .课前探究学习
课堂讲练互第动十七页，编辑于星活期一页：点规十范二分训。练
题型三 求导法则的应用 【例 3】 (12 分)求过点(1，－1)与曲线 f(x)＝x3－2x 相切的直线 方程． 审题指导
数乘上第二个函数的导数
课前探究学习
课堂讲练互第动三页，编辑于星期活一：页点 规十二范分。训练
gf（（xx））′＝
两个函数的商的导数，等于分 子的导数乘上分母减去分子
f′（x）g（x）－f（x）·g′（x）
[g（x）]2
乘上分母的导数，再除以分母
(g(x)≠0)
的平方
课前探究学习
课堂讲练互第动四页，编辑于星期活一：页点 规十二范分。训练
解 (1)∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x
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课堂10分钟达标
1.已知f(x)=x3+3x+ln3,则f′(x)为 ( )
A.3x2+3x B.3x2+3x·ln3+
C.3x2+3x·ln3 D.x3+3x·ln3
【解析】选C.f′(x)=3x2+3xln3.
2.函数y=的导数是 ( )
A.y′=-
B.y′=-sinx
C.y′=-
D.y′=-
【解析】选C.y′=′=
==-.
3.函数f(x)=xex的导函数f′(x)= .
【解析】f′(x)=ex+x·(ex)′=ex+xex=(1+x)ex.
答案:(1+x)ex
4.已知函数f(x)=x-4lnx,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 .
【解析】函数f(x)=x-4lnx,所以函数f′(x)=1-,切线的斜率为-3,切点为(1,1),
所以切线方程为:3x+y-4=0,
答案:3x+y-4=0
5.某物体做直线运动,其运动规律是s=t2+(t的单位:s,s的单位:m),则它在第4s末的
瞬时速度应该为 m/s.
【解析】因为s′=2t-,
所以当t=4时,v=8-=(m/s).
答案:
6.求下列各函数的导数.
(1)y=xsinx+cosx.
(2)y=3x2-x+5.
【解题指南】本题求解时主要应用基本求导公式:(xn)′=nxn-1,(sinx)′=cosx,(cosx)′
=-sinx,及求导法则:[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x).
【解析】(1)y=xsinx+cosx,
所以y′=sinx+xcosx-sinx=xcosx.
(2)y=3x2-x+5,所以y′=6x-1.
7.【能力挑战题】曲线f(x)=-(x<0)与曲线g(x)=lnx公切线(切线相同)的条数
为 .
【解析】f(x)=-的导数为f′(x)=,g(x)=lnx的导数为g′(x)=,
设公切线的切点为(x1<0),(x2,lnx2),则切线为
y+=(x-x1),y-lnx2=(x-x2),两切线相同,
则有消去x2,
整理得+2ln(-x1)-1=0,
记h(x)=+2ln(-x)-1,
则h′(x)=-+=,
当x<0时,h′(x)<0,h(x)递减,且h(-e)=2--1>0,
h=-2e-3<0,
因此h(x)=0在(-∞,0)上只有一解,
即方程+2ln(-x1)-1=0只有一解,
因此所求公切线只有一条.
答案:1
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