余弦定理
余弦定理的10种证明方法
余弦定理的10种证明方法一、余弦定理余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍,即在ABC ∆中,已知AB c =,BC a =,CA b =,则有2222cos a b c bc A =+-, 2222cos b c a ca B =+-, 2222cos c a b ab C =+-.二、定理证明为了叙述的方便与统一,我们证明以下问题即可:在ABC ∆中,已知AB c =,AC b =,及角A ,求证:2222cos a b c bc A =+-. 证法一:如图1,在ABC ∆中,由CB AB AC =-可得:()()CB CB AB AC AB AC ⋅=-⋅-222AB AC AB AC =+-⋅222cos b c bc A =+-即,2222cos a b c bc A =+-.证法二:本方法要注意对A ∠进行讨论.(1)当A ∠是直角时,由22222222cos 2cos90b c bc A b c bc b c a +-=+-︒=+=知结论成立. (2)当A ∠是锐角时,如图2-1,过点C 作CD AB ⊥,交AB 于点D ,则在Rt ACD ∆中,cos AD b A =,sin CD b A =.从而,cos BD AB AD c b A =-=-.在Rt BCD ∆中,由勾股定理可得: 222BC BD CD =+22(cos )(sin )c b A b A =-+222cos c cb A b =-+即,2222cos a b c bc A =+-.说明:图2-1中只对B ∠是锐角时符合,而B ∠还可以是直角或钝角.若B ∠是直角,图中的图1CAB图2-1DCAB点D 就与点B 重合；若B ∠是钝角,图中的点D 就在AB 的延长线上.(3)当A ∠是钝角时,如图2-2,过点C 作CD AB ⊥,交BA 延长线于点D ,则 在Rt ACD ∆中,cos()cos AD b A b A π=-=-,sin()sin CD b A b A π=-=.从而,cos BD AB AD c b A =+=-.在Rt BCD ∆中,由勾股定理可得:222BC BD CD =+22(cos )(sin )c b A b A =-+222cos c cb A b =-+即,2222cos a b c bc A =+-.综上(1),(2),(3)可知,均有2222cos a b c bc A =+-成立. 证法三:过点A 作AD BC ⊥,交BC 于点D ,则在Rt ABD ∆中,sin BD c α=,cos ADc α=.在Rt ACD ∆中,sin CD b β=,cos ADbβ=.由cos cos()cos cos sin sin A αβαβαβ=+=-可得:2cos AD AD BD CD AD BD CDA c b c b bc-⋅=⋅-⋅=2222AD BD CD bc -⋅=222222c BD b CD BD CD bc -+--⋅=222()2b c BD CD bc +-+=2222b c a bc+-=整理可得2222cos a b c bc A =+-. 证法四:在ABC ∆中,由正弦定理可得sin sin sin sin()a b c cA B C A B ===+. 从而有sin sin b A a B =,………………………………………………………………①sin sin()sin cos cos sin c A a A B a A B a A B =+=+. …………………………②将①带入②,整理可得cos cos a B c b A =-.…………………………………………③ 将①,③平方相加可得22222(cos )(sin )2cos a c b A b A b c bc A =-+=+-.图2-2DBACβα图3DBAC即,2222cos a b c bc A =+-.证法五:建立平面直角坐标系(如图4),则由题意可得点(0,0)A ,(,0)B c ,(cos ,sin )C b A b A ,再由两点间距离公式可得2a =22(cos )(sin )c b A b A -+222cos c cb A b =-+.即,2222cos a b c bc A =+-.证法六:在ABC ∆中,由正弦定理可得2sin a R A =,2sin b R B =,2sin c R C =. 于是,222224sin 4sin ()a R A R B C ==+222224(sin cos cos sin 2sin sin cos cos )R B C B C B C B C =++ 222224(sin sin 2sin sin 2sin sin cos cos )R B C B C B C B C =+-+ 2224(sin sin 2sin sin cos())R B C B C B C =+++ 2224(sin sin 2sin sin cos )R B C B C A =+-22(2sin )(2sin )2(2sin )(2sin )cos R B R C R B R B A =+-222cos b c bc A =+-即,结论成立.证法七:在ABC ∆中,由正弦定理可得2sin a R A =,2sin b R B =,2sin c R C =. 于是,2222cos a b c bc A =+-22222224sin 4sin 4sin 8sin sin cos R A R B R C R B C A ⇔=+-2222sin 2sin 2sin 4sin sin cos A B C B C A ⇔=+- 22sin 2cos 2cos 24sin sin cos A B C B C A ⇔=-+-222cos 22cos()cos()4sin sin cos A B C B C B C A ⇔-=-+-- 由于cos()cos()cos B C A A π+=-=-,因此2cos cos()cos()2sin sin cos A B C B C B C A ⇔=+-+cos cos()2sin sin A B C B C ⇔=--+cos cos cos sin sin cos()A B C B C B C ⇔=-+=-+. 这,显然成立.xy图4BA(O)C即,结论成立.证法八:如图5,以点C 为圆心,以CA b =为半径作C ,直线BC 与C e 交于点,D E ,延长AB 交C e 于F ,延长AC 交C e 于G .则由作图过程知2cos AF b A =, 故2cos BF b A c =-.由相交弦定理可得:BA BF BD BE ⋅=⋅, 即,(2cos )()()c b A c b a b a ⋅-=+⋅-, 整理可得:2222cos a b c bc A =+-.证法九:如图6,过C 作CD ∥AB ,交ABC ∆的外接圆于D ,则AD BC a ==,BD AC b ==.分别过,C D 作AB 的垂线,垂足分别为,E F ,则cos AE BF b A ==,故2cos CD c b A =-.由托勒密定理可得AD BC AB CD AC BD ⋅=⋅+⋅, 即,(2cos )a a c c b A b b ⋅=⋅-+⋅.整理可得:2222cos a b c bc A =+-.证法十:由图7-1和图7-2可得2a =22(cos )(sin )c b A b A -+, 整理可得:2222cos a b c bc A =+-.bcosA absinAc-bcosAac-bcosAbsinA图7-2图7-1DE DABCC B余弦定理的证明方法还有很多,比如可以用物理方法证明、可以构造相似三角形证明、可以利用图形面积证明等.感兴趣的读者可以到图书馆或互联网中进行查询.b ac2bcosA-cb-a bb图5GDE FCAB c b aa 图6F EDCBA。
余弦定理简介
余弦定理简介全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：余弦定理是解决三角形中角和边的关系的重要定理，它是三角学中的基本知识之一。
余弦定理可以帮助我们求解不规则三角形中的各种边长和角度。
在学习三角学和解决实际问题中，余弦定理起着至关重要的作用。
余弦定理的表述为：在一个三角形ABC中，设角A的对边为a，角B的对边为b，角C的对边为c，则有以下公式成立：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cosCc是角C的对边，a和b分别是角A和角B的对边，cosC是角C 的余弦值。
余弦定理的推导过程可以通过几何运算和三角函数的知识来得到。
假设在三角形ABC中，将角C分成两个小角α和β，利用三角形内角和为180°的性质，我们可以得到：α + β = C根据三角函数的性质，我们知道：cos(α+β) = cosCcos(α+β) = cosαcosβ - sinαsinβ再根据余弦定理的定义，我们有：c = a cosβ + b cosα联立以上两个方程，我们可以得到余弦定理的表达式，即：这就是余弦定理的推导过程，通过操纵和变换三角函数的关系，我们可以得到这个关键性质的定理。
余弦定理在解决三角形中的各种问题时能够提供很大的帮助。
通过利用余弦定理，我们可以求解未知边长和角度，进而解决实际问题。
在测量不规则三角形的边长时，我们可以利用余弦定理来计算，而不必通过复杂的几何推导。
在航海、建筑等领域，余弦定理也都有着广泛的应用。
在高中数学教学中，余弦定理是一个必须掌握的基础知识。
它不仅可以帮助学生理解三角形内角和为180°的性质，还可以锻炼学生的逻辑思维和解决问题的能力。
通过练习余弦定理的应用，学生可以提高自己的数学能力和思维能力。
余弦定理是三角学中一个重要的定理，它在解决不规则三角形中的各种问题时起着至关重要的作用。
通过学习和掌握余弦定理，我们可以更好地理解三角形的性质，提高自己的数学水平，并应用到实际生活中去。
高中正弦定理和余弦定理公式
当谈到三角函数的定理时，正弦定理和余弦定理是高中数学中的重要定理。
以下是它们的公式：
1. 正弦定理（Sine Rule）：
对于任何三角形ABC，其三个角度分别为A、B、C，对应的边长为a、b、c，正弦定理给出了边长和角度之间的关系：
a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)
2. 余弦定理（Cosine Rule）：
对于任何三角形ABC，其三个角度分别为A、B、C，对应的边长为a、b、c，余弦定理给出了边长和角度之间的关系：
c² = a² + b² - 2ab·cos(C)
b² = a² + c² - 2ac·cos(B)
a² = b² + c² - 2bc·cos(A)
这些定理在解决三角形中的边长、角度关系问题时非常有用。
通过应用正弦定理和余弦定理，可以计算未知边长或角度，以及解决各种涉及三角形的几何问题。
三角形的余弦定理
三角形的余弦定理三角形的余弦定理是解决三角形问题中一个重要的数学定理，它能够帮助我们计算三角形的边长和角度。
余弦定理是利用三角形中的余弦函数来表示三角形的边长之间的关系。
在本文中，我们将详细介绍余弦定理的原理和应用，并通过实例来加深理解。
1、余弦定理的原理三角形的余弦定理可以用如下公式来表示：c² = a² + b² - 2abcosC其中，a、b、c分别表示三角形任意两边和角C所对应的边。
该定理可以帮助我们计算三角形的边长和角度。
2、余弦定理的应用（1）已知三角形两边和夹角，求第三边。
假设已知三角形两边分别为a和b，夹角为C，我们通过余弦定理可以很容易地求得第三边c的长度，即：c = √(a² + b² - 2abcosC)。
例如，已知三角形两边分别为5cm和7cm，夹角为60°，我们可以通过余弦定理计算出第三边的长度c = √(5² + 7² - 2×5×7×cos60°) ≈8.86cm。
（2）已知三角形三边，求夹角。
假设已知三角形三边分别为a、b和c，我们可以通过余弦定理计算出夹角C的大小，即：cosC = (a² + b² - c²) / (2ab)。
例如，已知三角形三边分别为3cm、4cm和5cm，我们可以通过余弦定理计算出夹角C的大小：cosC = (3² + 4² - 5²) / (2×3×4) = 0.25，那么夹角C ≈ acos0.25 ≈ 75.52°。
3、余弦定理的实例例题一：已知三角形两边分别为6cm和8cm，夹角为45°，求第三边的长度。
解题过程：根据余弦定理，可知第三边c = √(6² + 8² - 2×6×8×cos45°) ≈ √(36 +64 - 2×6×8×0.7071) ≈ √3 ≈ 9.58cm。
余弦函数及余弦定理
余弦函数及余弦定理余弦函数及余弦定理是什么余弦定理，其实就是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理。
运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题。
下面小编给大家整理了关于余弦函数及余弦定理的内容，欢迎阅读，内容仅供参考!余弦函数余弦函数的定义域是整个实数集，值域是[-1,1]。
它是周期函数，其最小正周期为2π。
在自变量为2kπ(k为整数)时，该函数有极大值1;在自变量为(2k+1)π时，该函数有极小值-1。
余弦函数是偶函数，其图像关于y轴对称。
余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。
直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值。
利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题(1)已知三边，求三个角;(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。
正余弦定理的应用1.解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理2.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：①化边为角;②化角为边.并常用正余弦定理实施边角转化。
3.用正余弦定理解三角形问题可适当应用向量的数量积求三角形内角与应用向量的模求三角形的边长。
4.应用问题可利用图形将题意理解清楚，然后用数学模型解决问题。
5.正余弦定理与三角函数、向量、不等式等知识相结合，综合运用解决实际问题。
正余弦函数的性质余弦定理多种证明方法余弦定理的证明方法还有很多,比如可以用物理方法证明、可以构造相似三角形证明、可以利用图形。
余弦定理
课题 余弦定理1.余弦定理在三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ．2．余弦定理的推论根据余弦定理，可以得到以下推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab. 3．余弦定理与勾股定理的关系在△ABC 中，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，若角C ＝90°，则cos C ＝0，于是c 2＝a 2＋b 2－2a ·b ·0＝a 2＋b 2，这说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．规律：设c 是△ABC 中最大的边(或C 是△ABC 中最大的角)，则a 2＋b 2<c 2⇔△ABC 是钝角三角形，且角C 为钝角；a 2＋b 2＝c 2⇔△ABC 是直角三角形，且角C 为直角；a 2＋b 2>c 2⇔△ABC 是锐角三角形，且角C 为锐角．在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝3，B ＝60°，则AC 等于________． 13.边长为5、7、8的三角形中，最大角与最小角的和是________．1200在△ABC 中，sin A ：sin B ：sin C ＝3：5：7，则△ABC 是( )cA ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定题型1 已知两边及其一角解三角形例1 △ABC 中，已知b ＝3，c ＝33，B ＝30°，解此三角形．解析：方法一 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B.得32＝a 2＋(33)2－2a ×33×cos 30°，∴a 2－9a ＋18＝0，得a ＝3或6.当a ＝3时，A ＝30°，∴C ＝120°.当a ＝6时，由正弦定理sin A ＝a sin B b ＝6×123＝1.∴A ＝90°，∴C ＝60°. 变式1：已知△ABC 中，a ＝1，b ＝1，C ＝120°，则边c ＝________. 3题型2 已知三边解三角形例2 已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)，求△ABC 的各内角度数．分析：由比例的性质可以引入一个字母k ，用k 表示a 、b 、c ，再由余弦定理求解各角．解析：∵a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)，∴令a ＝2k ，b ＝6k ，c ＝(3＋1)k.由余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6k 2＋（3＋1）2k 2－4k 22·6k ·（3＋1）k＝22，∴A ＝45°. cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝4k 2＋（3＋1）2k 2－6k 22×2k （3＋1）k＝12，∴B ＝60°. ∴C ＝180°－A －B ＝180°－45°－60°＝75°.变式2：在△ABC 中，已知a －b ＝4，a ＋c ＝2b ，且最大角为120°，求三边的长．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝4，a ＋c ＝2b 得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＋4.c ＝b －4. ∴a ＞b ＞c ，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 120°，即(b ＋4)2＝b 2＋(b －4)2－2b (b －4)×⎝⎛⎭⎫－12， 即b 2－10b ＝0. 解得b ＝0(舍去)或b ＝10，此时a ＝14，c ＝6.题型3 判断三角形的形状例3在△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cos C ，试判断△ABC 的形状．[解析] 解法一：∵b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cos C ，∴利用正弦定理可得 sin 2B sin 2C ＋sin 2C sin 2B ＝2sin B ·sin C ·cos B ·cos C ，∵sin B sin C ≠0，∴sin B ·sin C ＝cos B cos C ，∴cos(B ＋C )＝0，∴cos A ＝0，∵0<A <π，∴A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形． 解法二：已知等式可化为b 2－b 2cos 2C ＋c 2－c 2·cos 2B ＝2bc cos B cos C ，由余弦定理可得b 2＋c 2－b 2·⎝⎛⎭⎫a 2＋b 2－c 22ab 2－c 2(a 2＋c 2－b 22ac )2＝2bc ·a 2＋b 2－c 22ab ·a 2＋c 2－b 22ac ∴b 2＋c 2＝a 2，∴△ABC 为直角三角形．变式3： 在△ABC 中，已知c ＝a cos B ，b ＝a sin C ，判断三角形形状．解析：由余弦定理知cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，代入c ＝a cos B 得：c ＝a·a 2＋c 2－b 22ac，∴c 2＋b 2＝a 2， ∴△ABC 是以A 为直角的直角三角形．又∵b ＝a sin C ，∴b ＝a·c a，∴b ＝c ， ∴△ABC 也是等腰三角形．综上所述，△ABC 是等腰直角三角形．题型四：正弦、余弦定理的综合应用例4：(2013·广东东莞第五中学高二期中测试)在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求BC 的长．[解析] 在△ABD 中，设BD ＝x ，由余弦定理：BA 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos ∠BDA即142＝x 2＋102－2·10x ·cos60°，整理得：x 2－10x －96＝0，解得x 1＝16，x 2＝－6(舍去)，由正弦定理，得BC sin ∠CDB ＝BD sin ∠BCD， ∴BC ＝16sin135°·sin30°＝8 2.变式4：如图，在△ABC 中，已知BC ＝15，AB AC ＝78，sin B ＝437，求BC 边上的高AD 的长． [解析] 在△ABC 中，由已知设AB ＝7x ，AC ＝8x ，由正弦定理，得7x sin C ＝8x sin B， ∴sin C ＝7x sin B 8x ＝78×437＝32，∴C ＝60°(C ＝120°舍去，否则由8x >7x ，知B 也为钝角，不符合要求)． 由余弦定理，得(7x )2＝(8x )2＋152－16x ×15cos60°，∴x 2－8x ＋15＝0，＝43AB 123，或20 3.。
三角形正余弦公式
三角形正余弦公式三角形是几何学中的基本图形之一，它有着丰富的性质和定理。
在研究三角形的性质时，正弦定理和余弦定理是两个非常重要且常用的公式。
本文将详细介绍正弦定理和余弦定理的含义、应用以及推导过程。
一、正弦定理正弦定理是描述三角形边与角之间关系的定理。
对于任意三角形ABC，其三边分别为a、b、c，对应的内角分别为A、B、C。
根据正弦定理，我们可以得到以下公式：a/sinA = b/sinB = c/sinC这个公式告诉我们，一个三角形的任意一边的长度与该边对应的角的正弦值成比例。
换句话说，正弦定理可以用来计算三角形的边长或角度。
例如，已知三角形两边的长度分别为5和8，它们夹角的正弦值为0.6，我们可以利用正弦定理求解第三边的长度。
正弦定理的推导过程基于三角形的面积公式和正弦函数的定义。
当我们仔细推导正弦定理时，可以发现它是基于三角形的面积与正弦函数之间的关系建立的。
二、余弦定理余弦定理是描述三角形边与角之间关系的另一个定理。
对于任意三角形ABC，其三边分别为a、b、c，对应的内角分别为A、B、C。
根据余弦定理，我们可以得到以下三个公式：a² = b² + c² - 2bc * cosAb² = a² + c² - 2ac * cosBc² = a² + b² - 2ab * cosC这些公式告诉我们，一个三角形的任意一边的平方等于另外两边平方之和减去两倍的两边乘以夹角的余弦值。
余弦定理可以用来计算三角形的边长或角度。
例如，已知三角形两边的长度分别为5和8，它们夹角的余弦值为0.3，我们可以利用余弦定理求解第三边的长度。
余弦定理的推导过程基于向量的内积和余弦函数之间的关系。
通过将三角形的边向量分解为水平和垂直方向的分量，我们可以得到余弦定理的形式。
正弦定理和余弦定理是求解三角形相关问题的重要工具。
它们的应用广泛，不仅可以用于解决实际问题，还可以被用于证明其他定理和推论。
余弦定理
余弦定理一、知识梳理1．余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的2倍．即a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝c2＋a2－2cacos B，c2＝a2＋b2－2abcos C。
.2．余弦定理的变式cos A＝b2＋c2－a22bc；cos B＝c2＋a2－b22ca；cos C＝a2＋b2－c22ab.想一想：已知三角形的三边，如何判断三角形的形状？提示在△ABC中，若三边a，b，c中，边a最大，则∠A最大；若a2<b2＋c2，则0°<A<90°，则三角形是锐角三角形；若a2＝b2＋c2，则A＝90°，则三角形是直角三角形，若a2>b2＋c2，则90°<A<180°，则三角形是钝角三角形．名师点睛1．余弦定理(1)余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．(2)余弦定理适用于任意三角形，揭示了三角形中边角间的关系．在应用余弦定理时，因为已知三边(求角)或已知两边及夹角(求第三边)时，三角形是唯一确定的，即此时的解是唯一的．(3)在余弦定理中，每一个等式中都包含四个不同的量．即三角形的三边和一边的对角这四个元素，可利用方程的思想，知三求一．2．余弦定理变形及应用(1)已知三角形的三边求角时，常用余弦定理的变形式．(2)若A为锐角，则cos A>0，即b2＋c2－a2>0，即b2＋c2>a2；若A为直角，则cos A＝0，即b2＋c2－a2＝0，即b2＋c2＝a2；若A为钝角，则cos A<0，即b2＋c2－a2<0，即b2＋c2<a2.反之，也成立．(3)在解三角形时，正弦定理和余弦定理是相通的．如：已知两边和其中一边的对角，解三角形时，用正弦定理可求解，但需判别解的情况；也可用余弦定理求解．若已知a 、b 和A ，可先由余弦定理求出c ，列式为a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ，则关于c 的方程的解的个数对应三角形解的个数.二、典例精析题型一 余弦定理解三角形【例1】 (1)在△ABC 中，如果a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)，求这个三角形的最小角．(2)在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝22，∠C ＝15°，求角A 、B 和边c 的值． 解 (1)在三角形中，大边对大角，小边对小角，根据已知条件判断最小边应为a .∵a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)，可设a ＝2k ，b ＝6k ，c ＝(3＋1)k (k >0)，最小角为角A ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6k 2＋(3＋1)2k 2－4k 22(3＋1)×6k 2＝22，故∠A ＝45°. (2)cos 15°＝cos(45°－30°)＝6＋24.由余弦定理知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋8－22×(6＋2)＝8－43， ∴c ＝8－43＝(6－2)2＝6－ 2.由正弦定理得a sin A ＝c sin C ，sin A ＝a sin C c ＝a sin 15°c ＝2×6－246－2＝12， ∵b >a ，sin A ＝12，∴∠A ＝30°.∴∠B ＝180°－∠A －∠C ＝135°.【变式1】 在△ABC 中，设∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos A ＝14.若a ＝4，b ＋c ＝6，且b <c ，求b 、c 的值．解 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即a 2＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ，∴16＝36－52bc ，∴bc ＝8.由⎩⎨⎧ b ＋c ＝6，bc ＝8，b <c ，可求得⎩⎨⎧b ＝2，c ＝4.. 题型二 判断三角形的形状【例2】 在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c)(a ＋b －c)＝3ab ，且2cos A·sin B ＝sin C ，试确定△ABC 的形状．解 法一 (角化边)由正弦定理，得sin C sin B ＝c b ，由2cos A ·sin B ＝sin C ，得cos A ＝sin C 2sin B ＝c 2b .又由余弦定理，得cos A ＝c 2＋b 2－a 22bc ，∴c 2b ＝c 2＋b 2－a 22bc，即c 2＝b 2＋c 2－a 2，∴a ＝b .又∵(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ， ∴(a ＋b )2－c 2＝3b 2，∴4b 2－c 2＝3b 2，∴b ＝c .∴a ＝b ＝c ，∴△ABC 为等边三角形．法二 (边化角)∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴sin C ＝sin(A ＋B )．又∵2cos A ·sin B ＝sin C ，∴2cos A ·sin B ＝sin A ·cos B ＋cos A ·sin B ，∴sin(A －B )＝0.又∵A 与B 均为△ABC 的内角，∴∠A ＝∠B .又由(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，得(a ＋b )2－c 2＝3ab ，a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝3ab ，即a 2＋b 2－c 2＝ab .由余弦定理，得cos C ＝12，而0°<∠C <180°，∴∠C ＝60°.又∵∠A ＝∠B ，∴△ABC 为等边三角形．【变式2】 在△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bccos Bcos C ，试判断三角形的形状．解 法一 由a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，则条件转化为4R 2·sin 2C ·sin 2B ＋4R 2·sin 2C ·sin 2B ＝8R 2·sin B ·sin C ·cos B ·cos C ， 又sin B ·sin C ≠0，∴sin B ·sin C ＝cos B ·cos C ，即cos (B ＋C )＝0.又0°<∠B ＋∠C <180°，∴∠B ＋∠C ＝90°，∴∠A ＝90°，故△ABC 为直角三角形．法二 将已知等式变形为b 2(1－cos 2C )＋c 2(1－cos 2B )＝2bc cos B cos C ，即有b 2＋c 2－b 2·(a 2＋b 2－c 22ab )2－c 2·(a 2＋c 2－b 22ac )2＝2bc ·a 2＋c 2－b 22ac ·a 2＋b 2－c 22ab ， 即b 2＋c 2＝[(a 2＋b 2－c 2)＋(a 2＋c 2－b 2)]24a 2＝4a 44a 2＝a 2，即b 2＋c 2＝a 2， ∴△ABC 为直角三角形．题型三 正、余弦定理的综合应用【例3】 在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin(2A－π4)的值．【变式3】△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且满足b2＋c2－a2＝bc，(1)求角A的值；(2)若a＝3，设角B的大小为x，△ABC的周长为y，求y＝f(x)的最大值．解(1)在△ABC中，由b2＋c2－a2＝bc及余弦定理知：cos A＝b2＋c2－a22bc＝12，而0<A<π，∴A＝π3.(2)由a＝3，A＝π3，及正弦定理得：bsin B＝csin C＝asin A＝3sinπ3＝2，∵B＝x，C＝2π3－x∴b＝2sin x，c＝2sin(23π－x)，0<x<2π3∴y＝a＋b＋c＝3＋2sin x＋2sin(2π3－x)误区警示忽略三角形的隐含条件【示例】设2a＋1，a，2a－1为钝角三角形的三边，求实数a的取值范围．[错解]∵2a＋1，a,2a－1是三角形的三边，∴⎩⎨⎧ 2a ＋1>0，a >0，2a －1>0，解得a >12，∴2a ＋1是三边长的最大值，设其所对角为θ，∵2a ＋1，a,2a －1是钝角三角形的三边，∴cos θ<0，即a 2＋(2a －1)2－(2a ＋1)22a (2a －1)＝a (a －8)2a (2a －1)<0，解得12<a <8， 又∵a >12，∴a 的取值范围是12<a <8.[正解] ∵2a ＋1，a,2a －1是三角形的三边，∵⎩⎨⎧ 2a ＋1>0，a >0，2a －1>0，解得a >12，此时2a ＋1最大， ∴要使2a ＋1，a,2a －1表示三角形的三边，还需a ＋(2a －1)>2a ＋1，解得a >2. 设最长边2a ＋1所对的角为θ，则cos θ＝a 2＋(2a －1)2－(2a ＋1)22a (2a －1)＝a (a －8)2a (2a －1)<0，解得12<a <8. ∴a 的取值范围是2<a <8.求三线段能构成钝角三角形三边的充要条件，除了要保证三边长均为正数外，还要使最大角为钝角，注意两边之和大于第三边这一隐含条件．三、课后检测1．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( )． A.π3 B.π6 C.π4 D.π12解析 ∵a >b >c ，∴C 为最小角，由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝72＋(43)2－(13)22×7×43＝32.∴C ＝π6.答案 B 2．在△ABC 中，已知a ＝2，则b cos C ＋c cos B 等于( )． A ．1 B. 2 C ．2 D ．4解析 b cos C ＋c cos B＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·c 2＋a 2－b 22ac ＝2a 22a＝a ＝2.答案 C 3．在△ABC 中，已知a 2＝b 2＋bc ＋c 2，则角A 为 ( )．A.π3B.π6C.2π3D.π3或2π3解析 由于b 2＋c 2－a 2＝－bc ＝2bc ·cos A∴cos A ＝－12，又A ∈(0，π)，∴A ＝2π3.答案 C 4．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，∠C ＝23π，则a ＝ . 解析 ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴(3)2＝a 2＋12－2a ·1·cos 23π，∴a 2＋a －2＝0， ∴(a ＋2)(a －1)＝0，∴a ＝－2(舍去)或a ＝1.答案 15．在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b 2c(a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边)，则△ABC 的形状是 .解析 ∵sin 2A 2＝1－cos A 2＝c －b 2c ，∴cos A ＝b c ＝b 2＋c 2－a 22bc ⇒a 2＋b 2＝c 2⇒△ABC 为直角三角形．答案 直角三角形6．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数；(2)求AB 的长；(3)求△ABC 的面积．解 (1)cos C ＝cos [π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－12，又∵C ∈(0，π)，∴C ＝2π3. (2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴⎩⎨⎧a ＋b ＝23，ab ＝2.∴AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝10， ∴AB ＝10.(3)S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×sin 2π3＝32.7．在△ABC 中，下列结论：①若a 2>b 2＋c 2，则△ABC 为钝角三角形；②若a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则∠A 为60°；③若a 2＋b 2>c 2，则△ABC 为锐角三角形；④若∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c ＝1∶2∶3，其中正确的个数为( )．A ．1B ．2C ．3D ．4解析 ①cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc <0，∴∠A 为钝角，正确；②cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，∴∠A ＝120°，错误；③cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab>0，∠C 为锐角，但∠A 或∠B 不一定为锐角，错误；④∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，错误，故选A.答案 A8．在△ABC 中，已知面积S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，则角C 的度数为 ( )． A ．135° B ．45° C ．60° D ．120°解析 ∵S ＝14(a 2＋b 2－c 2)＝12ab sin C ∴a 2＋b 2－c 2＝2ab sin C ，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab sin C . 由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴C ＝45°答案 B9．已知△ABC 三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC →的值为 .解析 由余弦定理可求得cos B ＝1935，∴AB →·BC →＝|AB |·|BC |·cos(π－B )＝－|AB |·|BC |·cos B ＝－19.答案 －1910．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是 .解析 ∵cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22×BC ×AC ＝22， ∴sin C ＝22.∴AD ＝AC ·sin C ＝ 3. 答案 311．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边的长，cos B ＝35，且AB →·BC →＝－21. (1)求△ABC 的面积；(2)若a ＝7，求角C .解 (1)∵AB →·BC →＝－21，∴BA →·BC →＝21.∴BA →·BC →＝|BA →|·|BC →|·cos B ＝ac cos B ＝21.∴ac ＝35，∵cos B ＝35，∴sin B ＝45. ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×35×45＝14. (2)ac ＝35，a ＝7，∴c ＝5.由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝32，∴b ＝4 2.∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝49＋32－252×7×42＝22，又∵C ∈(0，π) ∴C ＝45°.12．(创新拓展)△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b 2＝ac 且cos B ＝34. (1)求1tan A ＋1tan C的值；(2)设BA →·BC →＝32，求a ＋c 的值． 解 (1)由cos B ＝34得sin B ＝ 1－⎝⎛⎭⎫342＝74， 由b 2＝ac 及正弦定理得sin 2B ＝sin A sin C .于是1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝sin (A ＋C )sin 2B ＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝477. (2)由BA →·BC →＝32得ca ·cos B ＝32， 由cos B ＝34，可得ca ＝2，即b 2＝2. 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ， 得a 2＋c 2＝b 2＋2ac ·cos B ＝5，∴(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac ＝5＋4＝9， ∴a ＋c ＝3.。
余弦定理变形公式
余弦定理变形公式余弦定理是三角形中的重要定理之一，可用于求解三角形的边长和角度。
在求解问题时，我们经常需要将余弦定理进行变形，以便更方便地利用该定理解决问题。
余弦定理的一般形式为：c² = a² + b² - 2ab*cos(C)其中，a、b、c为三角形的边长，C为夹在边a和边b之间的角。
将其作为变形的基础，我们可以推导出一些常用的余弦定理的变形公式。
1.求解角度公式由余弦定理可知：cos(C) = (a² + b² - c²) / (2ab)通过对该公式进行反余弦函数的运算，可以求得角度C的值：C = arccos((a² + b² - c²) / (2ab))类似地，还可以得到求解其他角度的公式：A = arccos((b² + c² - a²) / (2bc))B = arccos((a² + c² - b²) / (2ac))这些公式使我们能够通过三角形的边长来求解其对应的角度，从而进一步分析和计算问题。
2.求解边长公式余弦定理也可用于求解三角形的边长。
如果我们已知三角形的两条边和夹角，我们可以利用余弦定理将求解边长的问题转化为求解方程的问题。
例如，假设我们已知边a、边b和夹角C，我们可以将余弦定理的公式重组为：c² = a² + b² - 2ab*cos(C)从而求解边c的值。
同样地，也可以通过变换公式求解其他边的长度：b² = a² + c² - 2ac*cos(B)a² = b² + c² - 2bc*cos(A)这些公式为我们在已知夹角和至少两条边长的情况下，求解另一边长提供了便利。
3.应用于求解直角三角形余弦定理的典型应用是在直角三角形中。
由于直角三角形的一个角度为90度，其对应边的长度可以直接得到，从而使得利用余弦定理简化为通过两个未知量的方程求解一个未知量的问题。
余弦定理的证明方法大全共十法
余弦定理的证明方法大全共十法余弦定理是解决三角形边长和角度之间关系的重要定理之一、下面将为您介绍十种余弦定理的证明方法。
2.利用勾股定理证明余弦定理。
假设有一个三角形ABC，其中∠C为直角。
利用勾股定理可以得到AB²=AC²+BC²。
将AC表示为向量a，BC表示为向量b，AB表示为向量c，并将这些向量投影到相应的轴上，即可得到余弦定理。
3.使用数学归纳法证明余弦定理。
首先，证明当n=1时余弦定理成立，即两边长相等的情况。
然后，假设当n=k时余弦定理成立，即k个边长相等的情况。
再证明当n=k+1时余弦定理也成立，即k+1个边长相等的情况。
4. 利用三角函数证明余弦定理。
假设三角形的两条边长分别为a和b，夹角为θ。
利用正弦函数和余弦函数的关系，可以得到a² + b² -2abcosθ = c²，即余弦定理。
5. 引入垂线证明余弦定理。
假设三角形中∠C为直角，CD为∠C的垂线。
通过利用勾股定理和几何性质可以得到c² = a² + b² - 2abcosC，即余弦定理。
6.利用平面几何证明余弦定理。
假设三角形中∠C为直角，连接AC和BC的垂直平分线交于点D。
通过平面几何知识可以得到∠ADC=∠BDC=θ/2、然后，利用正弦定理和余弦定理可以得到余弦定理的证明。
7.利用平行四边形的性质证明余弦定理。
假设有一个平行四边形ABCD，分别连接AC和BD的垂线交于点E。
通过平行四边形的性质可以得到BE=AD和CE=AF。
利用余弦定理可以得到余弦定理的证明。
8. 使用三角形的面积证明余弦定理。
假设在三角形ABC中，AD为边BC的高，a = BC，b = AC，c = AB。
利用三角形的面积公式可以得到c² = a² + b² - 2abcosθ，即余弦定理。
9.利用球面三角形证明余弦定理。
将平面上的三角形放置在一个球体的表面上。
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§5.9余弦定理
09数学类2班李卓祺
一．说教材
1. 教材分析：
余弦定理是人教版高一下册第五章第9节的内容。
在此之前学生已经学过了三角函数及正弦定理，并且它也为以后要学习的解三角形奠定一定的基础。
所以，学好它至关重要。
2. 目标制定：
1）知识与技能目标：
①了解余弦定理的推导过程；
②熟记余弦定理；
2）过程与方法目标：
通过对余弦定理的探究培养学生对抽象事物的理解能力。
3）情感态度与价值观目标：
通过对现实生活中的实例举例，让学生感受到数学来源于生活，又应用于生活。
3. 重难点分析：
重点：余弦定理的应用。
难点：余弦定理的推导。
二．说教法和学法
由于现在高二学生正处于进入青春期的年龄，缺乏多角度观察事物的经验，并且他们也是从未接触过有关余弦定理一类的专业知识，所以我首先要抓住高中学生的知识障碍，把握住重难点，并在明确了学生的学习目的后，充分发挥教师的主观能动性。
给予其简单明了的教学思路。
故我将采用讲授法、谈论法和以下2种方法进行教学。
1.情景教学法
在余弦定理的导入过程中，我将会用生活中的一句俗语进行导入，让学生感受到数学来源于生活而且应用于生活，之后通过数形结合的思想让他们感受到数学文化的博大精深。
2.多媒体辅助教学法
在课程最后的互动环节中，我将会运用多媒体辅助教学让学生感受生活中的余弦定理,达到提高学生抽象思维的效果。
并积极主动与他们互动，达到对课程进一步巩固的教学效果。
三．说教学过程
(一)情景导入
1．教师首先引入实例：我们常常听大人说
“宁走十步远，不走一步险”这句俗语，今天我
们要讲的就是一个与这个有关的绕路问题。
如右
图：某人从A出发，想到B去，b、a为远路，c
为险路，若A、b、c已知，当10c﹥a+b时走远
路，否则走险路。
那么我们怎么判断那人应该走
远路还是险路呢？
2．学生思考后给出答案：应该求出a。
3．教师表扬后指出：那么我们能不能用昨天
学的正弦定理解决它呢？
4．学生给予否定的答案。
5．教师继续指出：今天我们就来学习一个专门解决这种问题的定理，叫做余弦定理。
接下来，我来证明一下这个定理。
（设计意图：由于数学贴近生活，我在导入中则会穿插一些与生活有关的例子。
一方面符合新课标中的情景教学，让学生感受到数学源于生活用于生活，另一方面也能增加学生的学习兴趣。
）
（二）定理证明
1．教师给出证明（由勾股定理）：如右图：
作AB 延长至D ，CD ⊥AB ，则AD=bcosA ，
BD=bcosA-c ，则根据勾股定理可知，
AC 2-AD 2=CD 2=BC 2-BD 2,即b 2-（bcosA ）2=a 2-
（bcosA-c ）2，整理得：
2222cos a b c bc A =+-，
以后我们就叫它余弦定理，并可以直接使用了。
2．教师给出定义：三角形任何一边的平方
等于另外两边的平方和减去这两边与它们夹角
余弦的积的两倍。
（设计意图：这一环节是本节课的难点内容，我采用的是勾股定理的证法。
由于人教版教科书上是用向量证明的，故我给出与之不同的证明方法。
一方面可以让有余力的同学了解书本上的证明方法，让他们感受数学中解法的多样性，另一方面，这种方法简明易懂，适合忘记的同学临时推导。
而这也正符合了现在新课标提倡的带理解性去记。
）
(三)直接应用
例1.求导入中c=1，b=5， A=60°时，该人是走远路还是走险路?
解：根据余弦定理可知，222222cos 15215cos6021o a b c bc A =+-=+-⋅⋅⋅=
故5，a+b ﹤10，走远路。
例2.已知△ABC 中，C=150°，a=2，b=
c 。
（此题让学生演板）
解：222222cos 222cos15049o c b a ab C =+-=+-⋅⋅=
故7c =。
（设计意图：这一环节是本课学习的重点，为加深学生对余弦定理公式的记忆，我采取的是将导入中的例子代入，形成学生的认知冲突，激发学生对公式应用的思考，进而完善学生对余弦定理的进一步理解，而例2的演板则更能让学生通过自己的认知去把公式系统形象化。
）
(四)变式应用
例3.已知a=20，b=29，c=21，求B 解：公式整理变形可得：222
cos 2a c b B ac
+-=，代入得 222222
202129cos 0222021
a c
b B a
c +-+-===⋅⋅，故B=90°。
（设计意图：这一板块同样也是本节课的重点，为了让学生更好得掌握余弦定理，我将定理作了变式，将未知数进行了转换，这样既加强了学生对定理的记忆，又提高了他们的认知水平，对余弦定理有了更深入的了解。
）
(五)知识小结
1．复习余弦定理的推导过程。
2. 复习余弦定理的公式应用。
（设计意图：学完之后的小结往往可以起到画龙点睛之效。
此处设计主要是想让学生有个回顾的过程，学完之后复习能更方便学生记忆。
）
(六)作业布置
1. 已知△ABC 中，a=2，
，
A 。
2. 已知△ABC 中，
a=c=2，B=150°，求b
3. 你能用向量的方法证明余弦定理吗？（思考题）
（设计意图：作业的布置往往可以将一天所学的内容做一个完美的归纳，让学生有一个总结自我的空间；而一道思考题有助于学生开动脑经，并作为作业的一部分，体现了新的作业观，让有余力的同学有探究和拓展的空间。
）
(七)联系实际
教师运用多媒体给出余弦定理在生活中的应用，然后让学生指出他们见过的其他在生活中的余弦定理应用。
（设计意图：这一部分是互动环节，而良好的互动正是擦出对数学学习的激情火花的关键。
我将这一板块放在下课前，一方面是为了让学生下课后能继续讨论，从而加深他们对余弦定理的理解，另一方面是为了缓解紧张学习所带来的压力，从而能更好地学习新知识。
）
(八)板书设计
我将板书分为3版，如下图所示：
余弦定理 定义与证明 例题与变式
导入与作业 （设计意图：好的板书设计往往能总结知识点，达到有效提高课堂效率。
并有利于加大信息量输出，缩短教学时间。
就课堂教学而言，一节课内教师向学生输出多少信息量，学生能接受多少信息量，这也是课堂效率的评价标准之一。
）。