19.1八年级下变量与常量教案

19.1.1变量与函数

第课时

1.了解常量与变量的含义,能分清实例中的常量与变量.

2.学会用含一个变量的代数式表示另一个变量.

经历观察、分析、思考等数学活动过程,发展合情推理,以提高分析问题和解决问题的能力.

引导学生探索实际问题中的数量关系,渗透事物是运动的,运动是有规律的辩证思想,培养学生对学习的兴趣和积极参与数学活动的热情.

【重点】认识变量、常量,会用式子表示变量间的关系.

【难点】用含有一个变量的式子表示另一个变量.

【教师准备】教学中出示的教学插图和例题.

【学生准备】预习教材内容

导入一:

“万物皆变”——行星在宇宙中的位置随时间的变化而变化，气温随海拔而变化，树高随树龄而变化……在你周围的事物中，这种一个量随另一个量的变化而变化的现象大量存在.

为了更好的发现和认识这些变化现象中所蕴含的变化规律, 本节课我们将学习这一部分知识.

1.变量与常量的概念

问题:汽车以60 km/h的速度匀速行驶,行驶时间为t h.填写表19-1,s的值随t的值的变化而变化吗?(出示教材表19-1)

表19-1

t/h 1 2 3 4 5

s/km

学生填表,并思考.

1.根据题意填写下表:

t/h 1 2 3 4 5

s/km

2.在以上这个过程中,变化的量是.不变化的量是.

3.试用含t的式子表示s.

教师引导学生交流:

从题意中可以知道汽车是匀速行驶,

那么它1 h行驶60 km,

2 h行驶2×60 km,即120 km,

3 h行驶3×60 km,即180 km,

4 h行驶4×60 km,即240 km,

5 h行驶5×60 km,即300 km……

t/h 1 2 3 4 5

s/km 60 120 180 240 300

因此其中行驶里程s与时间t是变化的量,速度60 km/h是不变的量.

行驶里程s km与时间t h之间有关系:s=60t.s随t的增大而增大.

[设计意图]挖掘和利用实际生活中与变量有关的问题情境,让学生经历探索具体情境中的变量与常量.

问题:电影票的售价为10元/张,第一场售出150张票,第二场售出205张票,第三场售出310张票,三场电影的票房收入各是多少元?设一场电影售出x张票,票房收入为y 元,y的值随x的值的变化而变化吗?

学生分析问题,并同桌交流.

1.电影票的售价为10元/张,

第一场售出150张票,则第一场电影的票房收入为元;

第二场售出205张票,则第二场电影的票房收入为元;

第三场售出310张票,则第三场电影的票房收入为元.

2.设一场电影售票x张,票房收入y元,则用含x的式子表示y为.

教师解析:

第一场电影的票房收入为150×10=1500(元).

第二场电影的票房收入为205×10=2050(元).

第三场电影的票房收入为310×10=3100(元).

用含x的式子表示y为y=10x,y随x的增大而增大.

[设计意图]通过适当地把问题进行分解,引导学生通过合理、正确的思维方法探索出变化规律.

问题:你见过水中涟漪吗?如图所示,圆形水波慢慢的扩大.在这一过程中,当圆的半径r分别为10 cm,20 cm,30 cm时,圆的面积S分别为多少?S的值随r的值的变化而变化吗?

学生活动填表,并讨论.

(1)填表:

半径r(cm) 10 20 30

圆面积S(cm2)

(2)S与r之间满足下列关系:S=.

教师解析:(1)

半径r(cm) 10 20 30

圆面积S(cm2) 314 1256 2826

(2) S=πr2.圆的半径越大,它的面积就越大.

[设计意图]挖掘和利用实际生活中与变量有关的问题情境,让学生经历探索具体情境中两个变量关系的过程,直接获得探索变量关系的体验.

问题:用10 m长的绳子围成一个矩形,当矩形的一边长x分别为3 m,3.5 m,4 m,4.5 m时,它的邻边长y分别为多少?y的值随x的值的变化而变化吗?

学生活动小组讨论后,教师进行解析:因为矩形两组对边相等,所以它的一边长与它的邻边长的和应是周长10 m的一半,即5 m.

若矩形一边长为3 m,则它的邻边长为5-3=2(m).

若矩形一边长为3.5 m,则它的邻边长为5-3.5=1.5(m).

若矩形一边长为4 m,则它的邻边长为5-4=1(m).

若矩形一边长为4.5 m,则它的邻边长为5-4.5=0.5(m).

若矩形一边长为x m,则它的邻边长为y=5-x(m),y随x的增大而减小.

[设计意图]在本环节中,设计了问题情境,目的是让学生在现实情境中感知变量和常量的存在和意义,体会变量之间的互相依存关系和变化规律.此外,希望通过这几个问题引出常量、变量的概念,使学生体验从具体到抽象的认识过程.

这些问题反映了不同事物的变化过程,涉及多个量,你能将这些问题中出现的量按照

某种标准进行分类吗?

学生分组讨论,交流自己的看法.

按照有无变化,我们发现其中有些量(例如时间t,路程s;售出票数x,票房收入y……)的值是变化的,有些量的值始终不变(例如速度60 km/h;电影票的单价10元……),因此可分为两类.

师生共同总结出变量和常量的定义并板书.

变量和常量的定义:在一个变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量;数值始终不变的量叫做常量.

[设计意图]通过上述的四个问题进行具体的讲评,借助实例来理解变量、常量的概念,在讲解概念后强调常量与变量的区别与联系,使学生进一步理解、领会有关常量和变量的概念.

体育课上,小明、小红、小花要进行50米短跑,其中小明、小红、小花的跑步速度分别为 8（m/s）、5（m/s）、4（m/s）,所花费的时间分别为多少？

若小芳的跑步速度为v (m/s)，跑50米所花费的时间为t，则用含v的式子表示t

为__________.

[知识拓展]

(1)常量与变量是相对而言的,是相对某个变化过程来说的,换句话说,在这个变化过

程中是变量,而在另一个变化过程中有可能以常量身份出现.如s=vt中,若v=20,此式子为s=20t,可见s,t为变量,若t=10,此式子为s=10v,s,v为变量,变量与常量的身份可

以相互转化.

(2)判断一个量是常量还是变量关键是看这个量所在的变化过程中,该量的值是否发

生变化.

2.问题讲解

在学习与生活中,经常要研究一些数量关系,先看下面的问题.

问题(1):有一根弹簧,挂上物体后会伸长,测得一弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)有如下关系:

x/kg 0 1 2 3 4 5 6

y/cm 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25

在这个问题中变化的量是什么?不变化的量是什么?能否用含有x的式子表示y？

学生讨论发现:

弹簧的原长不变,为22 cm,弹簧伸长的长度随着物体质量的变化而变化.

问题(2):你能举出生活中类似的例子吗?可以小组讨论.

学生讨论、举例,在上述实例的解决过程中,体会在一个变化过程中各个量的变化规律,进而发现有的量变化、有的量不变.

教师引导学生概括:

在上面的问题中,我们研究了一些数量关系,出现200.5y x =+了各种各样的量,有些量,它们始终保持不变,我们称之为常量,而有些量,在某一变化过程中,可以取不同数值,我们称之为变量.

[设计意图] 在本环节中,设计了问题情境,并让学生举出生活中类似的例子,目的是让学生在现实情境中感知变量和常量的存在和意义,体会变量之间的互相依存关系和变化规律.此外,希望通过这几个问题引出常量、变量的概念,使学生体验从具体到抽象的认识过程.

3.例题讲解

(补充) 若球体体积为V ,半径为R ,则V =πR 3.其中变量是 、 ,常量是 .

〔解析〕 根据变量和常量的概念进行求解,解题时注意π是一个常量.

答案:V R 43

π

[设计意图] 通过上述该问题进行具体的讲评,借助实例来理解变量、常量的概念.

列出变量之间的关系式的方法：

1、利用学过的有关知识公式确定关系式；

2、尝试运算寻求变量间存在的规律。

1.分别指出下列各关系式中的变量与常量.

(1)三角形的一边长为5 cm,它的面积S (cm 2)与这边上的高h (cm)的关系式是S =h ;

(2) 以固定的速度0v (米/秒)向下抛出一个物体，物体的下落距离h (米)与物体运动的时间t (秒)之间的关系式是20 4.9h v t t =+.

解:(1)∵S =h ,∴变量为S ,h ,常量为.

(2)∵20 4.9h v t t =+ ,∴变量为h ,t ,常量为4.9, 0v . 2.某种电话卡的收费标准是：月租20元,市话0.3元/分,用户每月的手机费y(元)和通话时间x(分钟)之间的关系式为___________,其中变量是____,常量是______. 解析: 每月话费=月租+通话费用.

3.要画一个面积为10 cm 2的圆,圆的半径应取多少?圆的面积为20 cm 2呢?怎样用含有圆面积S 的式子表示圆半径r ?

解:根据圆的面积公式2S r π=,面积为10 cm 2的圆半径0=

1r π (cm).面积为20 cm 2的圆半径0=2r π (cm).用圆面积S 的式子表示圆半径r 的关系式为S r π=.

§19.1.1 变量与函数

1.变量与常量的概念:

变量:在一个变化过程中,数值发生变化的量为变量.

常量:在一个变化过程中,数值始终不变的量为常量.

一、教材作业

【必做题】

教材第71页练习.

【选做题】

教材第81页习题19.1第1,2题.

二、课后作业

1. 指出下列问题中的变量和常量：

（1）购买一些铅笔，单价为0.2元／支，记某同学购买铅笔的数量为x 支，应付的总价为y 元；

（2）用长为50 cm 的铁丝围成一个等腰三角形，记这个等腰三角形的腰长为x cm,底边长为y cm ；

（3）如图,△ABC 中,∠ACB =90°,AC=3cm,BC=4cm .现有一动点P 从点B 出发，沿射线BA 方向以1 cm ／s 的速度运动,到达点A 随即停止运动.记点P 的运动时间为x （s ）,△ACP 的面积为y （cm2）.

（4）出售某种文具盒，若每个获利 x 元，一天可售出（6－x ）个，一天出售该种文具盒的总利润为 y 元．

P B A C