七年级补习班资料第一讲

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七年级数学培优辅导讲义(共十讲80页)

七年级数学培优辅导讲义(共十讲80页)

第一讲有理数的巧算有理数运算是中学数学中一切运算的基础.它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上,能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算.不仅如此,还要善于根据题目条件,将推理与计算相结合,灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题,从而提高运算能力,发展思维的敏捷性与灵活性.1.括号的使用在代数运算中,可以根据运算法则和运算律,去掉或者添上括号,以此来改变运算的次序,使复杂的问题变得较简单.例1计算:分析中学数学中,由于负数的引入,符号“+”与“-”具有了双重涵义,它既是表示加法与减法的运算符号,也是表示正数与负数的性质符号.因此进行有理数运算时,一定要正确运用有理数的运算法则,尤其是要注意去括号时符号的变化.注意在本例中的乘除运算中,常常把小数变成分数,把带分数变成假分数,这样便于计算.例2计算下式的值:211×555+445×789+555×789+211×445.分析直接计算很麻烦,根据运算规则,添加括号改变运算次序,可使计算简单.本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算.解原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)=211×(555+445)+(445+555)×789=211×1000+1000×789=1000×(211+789)=1 000 000.说明加括号的一般思想方法是“分组求和”,它是有理数巧算中的常用技巧.例3计算:S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n.分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”.如果按照将第一、第二项,第三、第四项,…,分别配对的方式计算,就能得到一系列的“-1”,于是一改“去括号”的习惯,而取“添括号”之法.解 S=(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1·n.下面需对n的奇偶性进行讨论:当n为偶数时,上式是n/2个(-1)的和,所以有当n为奇数时,上式是(n-1)/2个(-1)的和,再加上最后一项(-1)n+1·n=n,所以有例4在数1,2,3,…,1998前添符号“+”和“-”,并依次运算,所得可能的最小非负数是多少?分析与解因为若干个整数和的奇偶性,只与奇数的个数有关,所以在1,2,3,…,1998之前任意添加符号“+”或“-”,不会改变和的奇偶性.在1,2,3,…,1998中有1998÷2个奇数,即有999个奇数,所以任意添加符号“+”或“-”之后,所得的代数和总为奇数,故最小非负数不小于1.现考虑在自然数n,n+1,n+2,n+3之间添加符号“+”或“-”,显然n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0.这启发我们将1,2,3,…,1998每连续四个数分为一组,再按上述规则添加符号,即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1.所以,所求最小非负数是1.说明本例中,添括号是为了造出一系列的“零”,这种方法可使计算大大简化.2.用字母表示数我们先来计算(100+2)×(100-2)的值:(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4=1002-22.这是一个对具体数的运算,若用字母a代换100,用字母b代换2,上述运算过程变为(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.于是我们得到了一个重要的计算公式(a+b)(a-b)=a2-b2,①这个公式叫平方差公式,以后应用这个公式计算时,不必重复公式的证明过程,可直接利用该公式计算.例5计算 3001×2999的值.解 3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999.例6计算 103×97×10 009的值.解原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99 999 919.例7计算:分析与解直接计算繁.仔细观察,发现分母中涉及到三个连续整数:12 345,12 346,12 347.可设字母n=12 346,那么12 345=n-1,12 347=n+1,于是分母变为n2-(n-1)(n+1).应用平方差公式化简得n2-(n2-12)=n2-n2+1=1,即原式分母的值是1,所以原式=24 690.例8计算:(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1).分析式子中2,22,24,…每一个数都是前一个数的平方,若在(2+1)前面有一个(2-1),就可以连续递进地运用(a+b)(a-b)=a2-b2了.解原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×(216+1)(232+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)×(232+1)=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=……=(232-1)(232+1)=264-1.例9计算:分析在前面的例题中,应用过公式(a+b)(a-b)=a2-b2.这个公式也可以反着使用,即a2-b2=(a+b)(a-b).本题就是一个例子.通过以上例题可以看到,用字母表示数给我们的计算带来很大的益处.下面再看一个例题,从中可以看到用字母表示一个式子,也可使计算简化.例10计算:我们用一个字母表示它以简化计算.3.观察算式找规律例11某班20名学生的数学期末考试成绩如下,请计算他们的总分与平均分.87,91,94,88,93,91,89,87,92,86,90,92,88,90,91,86,89,92,95,88.分析与解若直接把20个数加起来,显然运算量较大,粗略地估计一下,这些数均在90上下,所以可取90为基准数,大于90的数取“正”,小于90的数取“负”,考察这20个数与90的差,这样会大大简化运算.所以总分为90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)=1800-1=1799,平均分为 90+(-1)÷20=89.95.例12 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值.分析观察发现:首先算式中,从第二项开始,后项减前项的差都等于2;其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000,于是可有如下解法.解用字母S表示所求算式,即S=1+3+5+…+1997+1999.①再将S各项倒过来写为S=1999+1997+1995+…+3+1.②将①,②两式左右分别相加,得2S=(1+1999)+(3+1997)+…+(1997+3)+(1999+1)=2000+2000+…+2000+2000(500个2000)=2000×500.从而有 S=500 000.说明一般地,一列数,如果从第二项开始,后项减前项的差都相等(本题3-1=5-3=7-5=…=1999-1997,都等于2),那么,这列数的求和问题,都可以用上例中的“倒写相加”的方法解决.例13计算 1+5+52+53+…+599+5100的值.分析观察发现,上式从第二项起,每一项都是它前面一项的5倍.如果将和式各项都乘以5,所得新和式中除个别项外,其余与原和式中的项相同,于是两式相减将使差易于计算.解设S=1+5+52+…+599+5100,①所以5S=5+52+53+…+5100+5101.②②—①得4S=5101-1,说明如果一列数,从第二项起每一项与前一项之比都相等(本例中是都等于5),那么这列数的求和问题,均可用上述“错位相减”法来解决.例14 计算:分析一般情况下,分数计算是先通分.本题通分计算将很繁,所以我们不但不通分,反而利用如下一个关系式来把每一项拆成两项之差,然后再计算,这种方法叫做拆项法.解由于所以说明本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项,这种方法在有理数巧算中很常用.练习一1.计算下列各式的值:(1)-1+3-5+7-9+11-…-1997+1999;(2)11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100;(3)1991×1999-1990×2000;(4)4726342+472 6352-472 633×472 635-472 634×472 636;(6)1+4+7+ (244)2.某小组20名同学的数学测验成绩如下,试计算他们的平均分.81,72,77,83,73,85,92,84,75,63,76,97,80,90,76,91,86,78,74,85.第二讲绝对值绝对值是初中代数中的一个基本概念,在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式,以及求解方程与不等式时,经常会遇到含有绝对值符号的问题,同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题.下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识,然后进行例题分析.一个正实数的绝对值是它本身;一个负实数的绝对值是它的相反数;零的绝对值是零.即绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识,它与距离的概念密切相关.在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值.结合相反数的概念可知,除零外,绝对值相等的数有两个,它们恰好互为相反数.反之,相反数的绝对值相等也成立.由此还可得到一个常用的结论:任何一个实数的绝对值是非负数.例1 a,b为实数,下列各式对吗?若不对,应附加什么条件?(1)|a+b|=|a|+|b|;(2)|ab|=|a||b|;(3)|a-b|=|b-a|;(4)若|a|=b,则a=b;(5)若|a|<|b|,则a<b;(6)若a>b,则|a|>|b|.解 (1)不对.当a,b同号或其中一个为0时成立.(2)对.(3)对.(4)不对.当a≥0时成立.(5)不对.当b>0时成立.(6)不对.当a+b>0时成立.例2设有理数a,b,c在数轴上的对应点如图1-1所示,化简|b-a|+|a+c|+|c-b|.解由图1-1可知,a>0,b<0,c<0,且有|c|>|a|>|b|>0.根据有理数加减运算的符号法则,有b-a<0,a+c<0,c-b<0.再根据绝对值的概念,得|b-a|=a-b,|a+c|=-(a+c),|c-b|=b-c.于是有原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c.例3已知x<-3,化简:|3+|2-|1+x|||.分析这是一个含有多层绝对值符号的问题,可从里往外一层一层地去绝对值符号.解原式=|3+|2+(1+x)||(因为1+x<0)=|3+|3+x||=|3-(3+x)|(因为3+x<0)=|-x|=-x.解因为 abc≠0,所以a≠0,b≠0,c≠0.(1)当a,b,c均大于零时,原式=3;(2)当a,b,c均小于零时,原式=-3;(3)当a,b,c中有两个大于零,一个小于零时,原式=1;(4)当a,b,c中有两个小于零,一个大于零时,原式=-1.说明本例的解法是采取把a,b,c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的,这种解法叫作分类讨论法,它在解决绝对值问题时很常用.例5若|x|=3,|y|=2,且|x-y|=y-x,求x+y的值.解因为|x-y|≥0,所以y-x≥0,y≥x.由|x|=3,|y|=2可知,x<0,即x=-3.(1)当y=2时,x+y=-1;(2)当y=-2时,x+y=-5.所以x+y的值为-1或-5.例6若a,b,c为整数,且|a-b|19+|c-a|99=1,试计算|c-a|+|a-b|+|b-c|的值.解 a,b,c均为整数,则a-b,c-a也应为整数,且|a-b|19,|c-a|99为两个非负整数,和为1,所以只能是|a-b|19=0且|c-a|99=1,①或|a-b|19=1且|c-a|99=0.②由①有a=b且c=a±1,于是|b-c|=|c-a|=1;由②有c=a且a=b±1,于是|b-c|=|a-b|=1.无论①或②都有|b-c|=1且|a-b|+|c-a|=1,所以|c-a|+|a-b|+|b-c|=2.解依相反数的意义有|x-y+3|=-|x+y-1999|.因为任何一个实数的绝对值是非负数,所以必有|x-y+3|=0且|x+y-1999|=0.即由①有x-y=-3,由②有x+y=1999.②-①得2y=2002, y=1001,所以例8 化简:|3x+1|+|2x-1|.分析本题是两个绝对值和的问题.解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号.若分别去掉每个绝对值符号,则是很容易的事.例如,化简|3x+1|,只要考虑3x+1的正负,即可去掉绝对值符号.这里我们为三个部分(如图1-2所示),即这样我们就可以分类讨论化简了.原式=-(3x+1)-(2x-1)=5x;原式=(3x+1)-(2x-1)=x+2;原式=(3x+1)+(2x-1)=5x.即说明解这类题目,可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值,即先求出各个分界点,然后在数轴上标出这些分界点,这样就将数轴分成几个部分,根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简,这种方法又称为“零点分段法”.例9已知y=|2x+6|+|x-1|-4|x+1|,求y的最大值.分析首先使用“零点分段法”将y化简,然后在各个取值范围内求出y的最大值,再加以比较,从中选出最大者.解有三个分界点:-3,1,-1.(1)当x≤-3时,y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1,由于x≤-3,所以y=x-1≤-4,y的最大值是-4.(2)当-3≤x≤-1时,y=(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=5x+11,由于-3≤x≤-1,所以-4≤5x+11≤6,y的最大值是6.(3)当-1≤x≤1时,y=(2x+6)-(x-1)-4(x+1)=-3x+3,由于-1≤x≤1,所以0≤-3x+3≤6,y的最大值是6.(4)当x≥1时,y=(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1,由于x≥1,所以1-x≤0,y的最大值是0.综上可知,当x=-1时,y取得最大值为6.例10设a<b<c<d,求|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|的最小值.分析本题也可用“零点分段法”讨论计算,但比较麻烦.若能利用|x-a|,|x-b|,|x-c|,|x-d|的几何意义来解题,将显得更加简捷便利.解设a,b,c,d,x在数轴上的对应点分别为A,B,C,D,X,则|x-a|表示线段AX之长,同理,|x-b|,|x-c|,|x-d|分别表示线段BX,CX,DX之长.现要求|x-a|,|x-b|,|x-c|,|x-d|之和的值最小,就是要在数轴上找一点X,使该点到A,B,C,D四点距离之和最小.因为a<b<c<d,所以A,B,C,D的排列应如图1-3所示:所以当X在B,C之间时,距离和最小,这个最小值为AD+BC,即(d-a)+(c-b).例11若2x+|4-5x|+|1-3x|+4的值恒为常数,求x该满足的条件及此常数的值.分析与解要使原式对任何数x恒为常数,则去掉绝对值符号,化简合并时,必须使含x的项相加为零,即x的系数之和为零.故本题只有2x-5x+3x=0一种情况.因此必须有|4-5x|=4-5x且|1-3x|=3x-1.故x应满足的条件是此时原式=2x+(4-5x)-(1-3x)+4=7.练习二1.x是什么实数时,下列等式成立:(1)|(x-2)+(x-4)|=|x-2|+|x-4|;(2)|(7x+6)(3x-5)|=(7x+6)(3x-5).2.化简下列各式:(2)|x+5|+|x-7|+|x+10|.3.若a+b<0,化简|a+b-1|-|3-a-b|.4.已知y=|x+3|+|x-2|-|3x-9|,求y的最大值.5.设T=|x-p|+|x-15|+|x-p-15|,其中0<p<15,对于满足p≤x≤15的x 来说,T的最小值是多少?6.已知a<b,求|x-a|+|x-b|的最小值.7.不相等的有理数a,b,c在数轴上的对应点分别为A,B,C,如果|a-b|+|b-c|=|a-c|,那么B点应为( ).(1)在A,C点的右边;(2)在A,C点的左边;(3)在A,C点之间;(4)以上三种情况都有可能.第三讲求代数式的值用具体的数代替代数式里的字母进行计算,求出代数式的值,是一个由一般到特殊的过程.具体求解代数式值的问题时,对于较简单的问题,代入直接计算并不困难,但对于较复杂的代数式,往往是先化简,然后再求值.下面结合例题初步看一看代数式求值的常用技巧.例1求下列代数式的值:分析上面两题均可直接代入求值,但会很麻烦,容易出错.我们可以利用已经学过的有关概念、法则,如合并同类项,添、去括号等,先将代数式化简,然后再求值,这样会大大提高运算的速度和结果的准确性.=0-4a3b2-a2b-5=-4×13×(- 2)2- 12×(-2)-5=-16+2-5=-19.(2)原式=3x2y-xyz+(2xyz-x2z)+4x2?[3x2y-(xyz-5x2z)]=3x2y-xyz+2xyz-x2z+4x2z-3x2y+(xyz-5x2z)=(3x2y-3x2y)+(-xyz+2xyz+xyz)+(-x2z+4x2z-5x2z)=2xyz-2x2z=2×(-1)×2×(-3)-2×(-1)2×(-3)=12+6=18.说明本例中(1)的化简是添括号,将同类项合并后,再代入求值;(2)是先去括号,然后再添括号,合并化简后,再代入求值.去、添括号时,一定要注意各项符号的变化.例2已知a-b=-1,求a3+3ab-b3的值.分析由已知条件a-b=-1,我们无法求出a,b的确定值,因此本题不能像例1那样,代入a,b的值求代数式的值.下面给出本题的五种解法.解法1由a-b=-1得a=b-1,代入所求代数式化简a3+3ab-b3=(b-1)3+3(b-1)b-b3=b3-3b2+3b-1+3b2-3b-b3=-1.说明这是用代入消元法消去a化简求值的.解法2因为a-b=-1,所以原式=(a3-b3)+3ab=(a-b)(a2+ab+b2)+3ab=-1×(a2+ab+b2)+3ab=-a2-ab-b2+3ab=-(a2-2ab+b2)=-(a-b)2=-(-1)2=-1.说明这种解法是利用了乘法公式,将原式化简求值的.解法3 因为a-b=-1,所以原式=a3-3ab(-1)-b3=a3-3ab(a-b)-b3=a3-3a2b+3ab2-b3=(a-b)3=(-1)3=-1.说明这种解法巧妙地利用了-1=a-b,并将3ab化为-3ab(-1)=-3ab(a-b),从而凑成了(a-b)3.解法4 因为a-b=-1,所以(a-b)3=(-1)3=1,即 a3+3ab2-3a2b-b3=-1,a3-b3-3ab(a-b)=-1,所以 a3-b3-3ab(-1)=-1,即 a3-b3+3ab=-1.说明这种解法是由a-b=-1,演绎推理出所求代数式的值.解法 5a3+3ab-b3=a3+3ab2-3a2b-b3-3ab2+3a2b+3ab=(a-b)3+3ab(a-b)+3ab=(-1)3+3ab(-1)+3ab=-1.说明这种解法是添项,凑出(a-b)3,然后化简求值.通过这个例题可以看出,求代数式的值的方法是很灵活的,需要认真思考,才能找到简便的算法.在本例的各种解法中,用到了几个常用的乘法公式,现总结如下:(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2;(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3;(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3;a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).解由已知,xy=2(x+y),代入所求代数式中,消去xy,然后化简.所以解因为a=3b,所以c=5a=5×(3b)=15b.将a,c代入所求代数式,化简得解因为(x-5)2,|m|都是非负数,所以由(1)有由(2)得y+1=3,所以y=2.下面先化简所求代数式,然后再代入求值.=x2y+5m2x+10xy2=52×2+0+10×5×22=250例6如果4a-3b=7,并且3a+2b=19,求14a-2b的值.分析此题可以用方程组求出a,b的值,再分别代入14a-2b求值.下面介绍一种不必求出a,b的值的解法.解 14a-2b=2(7a-b)=2[(4a+3a)+(-3b+2b)]=2[(4a-3b)+(3a+2b)]=2(7+19)=52.|x|+|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的值.分析所求代数式中六个绝对值的分界点,分别为:0,1,2,据绝对值的意义去掉绝对值的符号,将有3个x和3个-x,这样将抵消掉x,使求值变得容易.原式=x+(x-1)+(x-2)-(x-3)-(x-4)-(x-5)=-1-2+3+4+5=9.说明实际上,本题只要x的值在2与3之间,那么这个代数式的值就是9,即它与x具体的取值无关.例8若x:y:z=3:4:7,且2x-y+z=18,那么x+2y-z的值是多少?分析 x:y:z=3:4:7可以写成的形式,对于等比,我们通常可以设它们的比值为常数k,这样可以给问题的解决带来便利.x=3k,y=4k,z=7k.因为2x-y+z=18,所以2×3k-4k+7k=18,所以k=2,所以x=6,y=8,z=14,所以x+2y-z=6+16-14=8.例9已知x=y=11,求(xy-1)2+(x+y-2)(x+y-2xy)的值.分析本题是可直接代入求值的.下面采用换元法,先将式子改写得较简洁,然后再求值.解设x+y=m,xy=n.原式=(n-1)2+(m-2)(m-2n)=(n-1)2+m2-2m-2mn+4n=n2-2n+1+4n-2m-2mn+m2=(n+1)2-2m(n+1)+m2=(n+1-m)2=(11×11+1-22)2=(121+1-22)2=1002=10000.说明换元法是处理较复杂的代数式的常用手法,通过换元,可以使代数式的特征更加突出,从而简化了题目的表述形式.练习三1.求下列代数式的值:(1)a4+3ab-6a2b2-3ab2+4ab+6a2b-7a2b2-2a4,其中a=-2,b=1;的值.3.已知a=3.5,b=-0.8,求代数式|6-5b|-|3a-2b|-|8b-1|的值.4.已知(a+1)2-(3a2+4ab+4b2+2)=0,求 a,b的值.5.已知第四讲一元一次方程方程是中学数学中最重要的内容.最简单的方程是一元一次方程,它是进一步学习代数方程的基础,很多方程都可以通过变形化为一元一次方程来解决.本讲主要介绍一些解一元一次方程的基本方法和技巧.用等号连结两个代数式的式子叫等式.如果给等式中的文字代以任何数值,等式都成立,这种等式叫恒等式.一个等式是否是恒等式是要通过证明来确定的.如果给等式中的文字(未知数)代以某些值,等式成立,而代以其他的值,则等式不成立,这种等式叫作条件等式.条件等式也称为方程.使方程成立的未知数的值叫作方程的解.方程的解的集合,叫作方程的解集.解方程就是求出方程的解集.只含有一个未知数(又称为一元),且其次数是1的方程叫作一元一次方程.任何一个一元一次方程总可以化为ax=b(a≠0)的形式,这是一元一次方程的标准形式(最简形式).解一元一次方程的一般步骤:(1)去分母;(2)去括号;(3)移项;(4)合并同类项,化为最简形式ax=b;(5)方程两边同除以未知数的系数,得出方程的解.一元一次方程ax=b的解由a,b的取值来确定:(2)若a=0,且b=0,方程变为0·x=0,则方程有无数多个解;(3)若a=0,且b≠0,方程变为0·x=b,则方程无解.例1解方程解法1从里到外逐级去括号.去小括号得去中括号得去大括号得解法2按照分配律由外及里去括号.去大括号得化简为去中括号得去小括号得例2已知下面两个方程3(x+2)=5x,①4x-3(a-x)=6x-7(a-x) ②有相同的解,试求a的值.分析本题解题思路是从方程①中求出x的值,代入方程②,求出a的值.解由方程①可求得3x-5x=-6,所以x=3.由已知,x=3也是方程②的解,根据方程解的定义,把x=3代入方程②时,应有4×3-3(a-3)=6×3-7(a-3),7(a-3)-3(a-3)=18-12,例3已知方程2(x+1)=3(x-1)的解为a+2,求方程2[2(x+3)-3(x-a)]=3a的解.解由方程2(x+1)=3(x-1)解得x=5.由题设知a+2=5,所以a=3.于是有2[2(x+3)-3(x-3)]=3×3,-2x=-21,例4解关于x的方程(mx-n)(m+n)=0.分析这个方程中未知数是x,m,n是可以取不同实数值的常数,因此需要讨论m,n取不同值时,方程解的情况.解把原方程化为m2x+mnx-mn-n2=0,整理得 m(m+n)x=n(m+n).当m+n≠0,且m=0时,方程无解;当m+n=0时,方程的解为一切实数.说明含有字母系数的方程,一定要注意字母的取值范围.解这类方程时,需要从方程有唯一解、无解、无数多个解三种情况进行讨论.例5解方程(a+x-b)(a-b-x)=(a2-x)(b2+x)-a2b2.分析本题将方程中的括号去掉后产生x2项,但整理化简后,可以消去x2,也就是说,原方程实际上仍是一个一元一次方程.解将原方程整理化简得(a-b)2-x2=a2b2+a2x-b2x-x2-a2b2,即 (a2-b2)x=(a-b)2.(1)当a2-b2≠0时,即a≠±b时,方程有唯一解(2)当a2-b2=0时,即a=b或a=-b时,若a-b≠0,即a≠b,即a=-b时,方程无解;若a-b=0,即a=b,方程有无数多个解.例6已知(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程,求代数式199(m+x)(x-2m)+m的值.解因为(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程,所以m2-1=0,即m=±1.(1)当m=1时,方程变为-2x+8=0,因此x=4,代数式的值为199(1+4)(4-2×1)+1=1991;(2)当m=-1时,原方程无解.所以所求代数式的值为1991.例7 已知关于x的方程a(2x-1)=3x-2无解,试求a的值.解将原方程变形为2ax-a=3x-2,即 (2a-3)x=a-2.由已知该方程无解,所以例8 k为何正数时,方程k2x-k2=2kx-5k的解是正数?来确定:(1)若b=0时,方程的解是零;反之,若方程ax=b的解是零,则b=0成立.(2)若ab>0时,则方程的解是正数;反之,若方程ax=b的解是正数,则ab>0成立.(3)若ab<0时,则方程的解是负数;反之,若方程ax=b的解是负数,则ab<0成立.解按未知数x整理方程得(k2-2k)x=k2-5k.要使方程的解为正数,需要(k2-2k)(k2-5k)>0.看不等式的左端(k2-2k)(k2-5k)=k2(k-2)(k-5).因为k2≥0,所以只要k>5或k<2时上式大于零,所以当k<2或k>5时,原方程的解是正数,所以k>5或0<k<2即为所求.例9若abc=1,解方程解因为abc=1,所以原方程可变形为化简整理为化简整理为说明像这种带有附加条件的方程,求解时恰当地利用附加条件可使方程的求解过程大大简化.例10若a,b,c是正数,解方程解法1原方程两边乘以abc,得到方程ab(x-a-b)+bc(x-b-c)+ac(x-c-a)=3abc.移项、合并同类项得ab[x-(a+b+c)]+bc[x-(a+b+c)]+ac[x-(a+b+c)]=0,因此有[x-(a+b+c)](ab+bc+ac)=0.因为a>0,b>0,c>0,所以ab+bc+ac≠0,所以x-(a+b+c)=0,即x=a+b+c为原方程的解.解法2将原方程右边的3移到左边变为-3,再拆为三个“-1”,并注意到其余两项做类似处理.设m=a+b+c,则原方程变形为所以即x-(a+b+c)=0.所以x=a+b+c为原方程的解.说明注意观察,巧妙变形,是产生简单优美解法所不可缺少的基本功之一.例11设n为自然数,[x]表示不超过x的最大整数,解方程:分析要解此方程,必须先去掉[ ],由于n是自然数,所以n与(n+1)…,n[x]都是整数,所以x必是整数.解根据分析,x必为整数,即x=[x],所以原方程化为合并同类项得故有所以x=n(n+1)为原方程的解.例12已知关于x的方程且a为某些自然数时,方程的解为自然数,试求自然数a的最小值.解由原方程可解得a最小,所以x应取x=160.所以所以满足题设的自然数a的最小值为2.练习四1.解下列方程:*2.解下列关于x的方程:(1)a2(x-2)-3a=x+1;4.当k取何值时,关于x的方程3(x+1)=5-kx,分别有:(1)正数解;(2)负数解;(3)不大于1的解.第五讲方程组的解法二元及多元(二元以上)一次方程组的求解,主要是通过同解变形进行消元,最终转化为一元一次方程来解决.所以,解方程组的基本思想是消元,主要的消元方法有代入消元和加减消元两种,下面结合例题予以介绍.例1解方程组解将原方程组改写为由方程②得x=6+4y,代入①化简得11y-4z=-19.④由③得2y+3z=4.⑤④×3+⑤×4得33y+8y=-57+16,所以 y=-1.将y=-1代入⑤,得z=2.将y=-1代入②,得x=2.所以为原方程组的解.说明本题解法中,由①,②消x时,采用了代入消元法;解④,⑤组成的方程组时,若用代入法消元,无论消y,还是消z,都会出现分数系数,计算较繁,而利用两个方程中z的系数是一正一负,且系数的绝对值较小,采用加减消元法较简单.解方程组消元时,是使用代入消元,还是使用加减消元,要根据方程的具体特点而定,灵活地采用各种方法与技巧,使解法简捷明快.例2解方程组解法1由①,④消x得由⑥,⑦消元,得解之得将y=2代入①得x=1.将z=3代入③得u=4.所以解法2由原方程组得所以x=5-2y=5-2(8-2z)=-11+4z=-11+4(11-2u)=33-8u=33-8(6-2x)=-15+16x,即x=-15+16x,解之得x=1.将x=1代入⑧得u=4.将u=4代入⑦得z=3.将z=3代入⑥得y=2.所以为原方程组的解.解法3①+②+③+④得x+y+z+u=10,⑤由⑤-(①+③)得y+u=6,⑥由①×2-④得4y-u=4,⑦⑥+⑦得y=2.以下略.说明解法2很好地利用了本题方程组的特点,解法简捷、流畅.例3解方程组分析与解注意到各方程中同一未知数系数的关系,可以先得到下面四个二元方程:①+②得x+u=3,⑥②+③得y+v=5,⑦③+④得z+x=7,⑧④+⑤得u+y=9.⑨又①+②+③+④+⑤得x+y+z+u+v=15.⑩⑩-⑥-⑦得z=7,把z=7代入⑧得x=0,把x=0代入⑥得u=3,把u=3代入⑨得y=6,把y=6代入⑦得v=-1.所以为原方程组的解.例4解方程组解法1①×2+②得由③得代入④得为原方程组的解.为原方程组的解.说明解法1称为整体处理法,即从整体上进行加减消元或代入消为换元法,也就是干脆引入一个新的辅助元来代替原方程组中的“整体元”,从而简化方程组的求解过程.例5已知分析与解一般想法是利用方程组求出x,y,z的值之后,代入所求的代数式计算.但本题中方程组是由三个未知数两个方程组成的,因此无法求出x,y,z的确定有限解,但我们可以利用加减消元法将原方程组变形.①-②消去x得①×3+②消去y得①×5+②×3消去z得例6已知关于x,y的方程组分别求出当a为何值时,方程组(1)有唯一一组解;(2)无解;(3)有无穷多组解.分析与一元一次方程一样,含有字母系数的一次方程组求解时也要进行讨论,一般是通过消元,归结为一元一次方程ax=b的形式进行讨论.但必须特别注意,消元时,若用含有字母的式子去乘或者去除方程的两边时,这个式子的值不能等于零.解由①得2y=(1+a)-ax,③将③代入②得(a-2)(a+1)x=(a-2)(a+2).④(1)当(a-2)(a+1)≠0,即a≠2且a≠-1时,方程④有因而原方程组有唯一一组解.(2)当(a-2)(a+1)=0且(a-2)(a+2)≠0时,即a=-1时,方程④无解,因此原方程组无解.(3)当(a-2)(a+1)=0且(a-2)(a+2)=0时,即a=2时,方程④有无穷多个解,因此原方程组有无穷多组解.例7已知关于x,y的二元一次方程(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0,当a每取一个值时,就有一个方程,而这些方程有一个公共解,试求出这个公共解.解法1根据题意,可分别令a=1,a=-2代入原方程得到一个方程组将x=3,y=-1代入原方程得(a-1)·3+(a+2)·(-1)+5-2a=0.所以对任何a值都是原方程的解.说明取a=1为的是使方程中(a-1)x=0,方程无x项,可直接求出y值;取a=-2的道理类似.解法2可将原方程变形为a(x+y-2)-(x-2y-5)=0.由于公共解与a无关,故有例8甲、乙两人解方程组原方程的解.分析与解因为甲只看错了方程①中的a,所以甲所得到的解4×(-3)-b×(-1)=-2.③a×5+5×4=13.④解由③,④联立的方程组得所以原方程组应为练习五1.解方程组2.若x1,x2,x3,x4,x5满足方程组试确定3x4+2x5的值.3.将式子3x2+2x-5写成a(x+1)2+b(x+1)+c的形式,试求4.k为何值时,方程组有唯一一组解;无解;无穷多解?5.若方程组的解满足x+y=0,试求m的值.第六讲一次不等式(不等式组)的解法不等式和方程一样,也是代数里的一种重要模型.在概念方面,它与方程很类似,尤其重要的是不等式具有一系列基本性质,而且“数学的基本结果往往是一些不等式而不是等式”.本讲是系统学习不等式的基础.下面先介绍有关一次不等式的基本知识,然后进行例题分析.1.不等式的基本性质这里特别要强调的是在用一个不等于零的数或式子去乘(或去除)不等式时,一定要注意它与等式的类似性质上的差异,即当所乘(或除)的数或式子大于零时,不等号方向不变(性质(5));当所乘(或除)的数或式子小于零时,不等号方向要改变(性质(6)).2.区间概念在许多情况下,可以用不等式表示数集和点集.如果设a,b为实数,且a<b,那么(1)满足不等式a<x<b的数x的全体叫作一个开区间,记作(a,b).如图1-4(a).(2)满足不等式a≤x≤b的数x的全体叫作一个闭区间,记作[a,b].如图1-4(b).(3)满足不等式a<x≤b(或a≤x<b)的x的全体叫作一个半开半闭区间,记作(a,b](或[a,b)).如图1-4(c),(d).3.一次不等式的一般解法一元一次不等式像方程一样,经过移项、合并同类项、整理后,总可以写成下面的标准型:ax>b,或ax<b.为确定起见,下面仅讨论前一种形式.一元一次不等式ax>b.(3)当a=0时,用区间表示为(-∞,+∞).例1解不等式解两边同时乘以6得12(x+1)+2(x-2)≥21x-6,化简得-7x≥-14,两边同除以-7,有x≤2.所以不等式的解为x≤2,用区间表示为(-∞,2].例2求不等式的正整数解.正整数解,所以原不等式的正整数解为x=1,2,3.例3解不等式分析与解因y2+1>0,所以根据不等式的基本性质有例4解不等式为x+2>7,解为x>5.这种错误没有考虑到使原不等式有意义的条件:x≠6.解将原不等式变形为解之得所以原不等式的解为x>5且x≠6.例5已知2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x),且y<x+9,试比较解首先解关于x的方程得x=-10.将x=-10代入不等式得y<-10+9,即y<-1.例6解关于x的不等式:解显然a≠0,将原不等式变形为3x+3-2a2>a-2ax,即(3+2a)x>(2a+3)(a-1).说明对含有字母系数的不等式的解,也要分情况讨论.例7已知a,b为实数,若不等式(2a-b)x+3a-4b<0解由(2a-b)x+3a-4b<0得(2a-b)x<4b-3a.。

七上语文辅导第一讲

七上语文辅导第一讲

七年级上语文辅导第一讲学校姓名一、名著知多少1《麦琪的礼物》德拉长发表链爱杰姆金表发梳二、课内重点突破1课内知识盘点第一课:1你去过大海吗?大海一般在人的心目中是什么样子?2但对于山里的我来讲看海容易吗?有何困难?3因此在诗中山和海除了字面意思,还有什么意思?这叫什么表现手法?群山:重重困难大海:象征理想攀山:象征奋斗4重点句子山那边的山啊,给我的幻想打了一个零分。

在翻过无数座山后,是一个全新的的世界。

第二课1文章讲了一个什么故事?2这个故事的核心是父亲帮助我“走一步、再走一步”,但之前作者做了哪些铺垫?有何作用?3父亲是怎样教我走下来的?4父亲的做法给了我怎样的生活启示?从上面的文章中你获得怎样的写作启示?善于以小见大在写记叙文时,叙事是载体,要善于从事件中得出启示哲理。

可以详写一件事,得出主旨;可以通过几件事,表现同一个中心。

第四课1这些花美吗?开得茂盛吗?2这样的美也得力于作者优美的语言,比如:3这株紫藤萝经历过怎样的命运?我当时经历了怎样的困境?这花给了我怎样的启示?如何理解。

4这篇文章又给我们怎样的写作启示。

在融情于景,寄情于事,含蓄生动。

三、第一单元知识巩固(一)、语文基础知识和应用1下列句子没有错别字的一项是()A因为我听到海依然在远方为我暄腾。

B我的心里一直牢记母亲叫我不要冒险的训戒。

C我可以好好地使用它,也可以任它荒废,庸禄一生。

D像一个忍俊不禁的笑容,就要展开似的。

2下列句子没有语病的一句是()A三年前,电脑“上网”对于乌海市的普通市民来说可能还是陌生的,可到如今,小学生也不是陌生的人啦。

B本月初,中央电视台第一套节目在黄金时段播映了二十九集电视连续剧《江山》。

著名演员李幼斌成功地塑造了盘龙市委书记、军管会主任林然这一形象。

C我们必须努力改善卫生条件,彻底治理环境,不断提高防控能力,从而使“SARA”(非典)疫情得到了有效控制。

D这几年我市城市建设迅猛发展。

人们普遍认识到,保护城市环境的关键在于市民素质起决定作用。

七年级数学优秀培训班讲义(教师版)[1].doc

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七年级数学优秀培训班讲义(教师版)[1]初中一年级基础数学讲义一、第一讲与绝对值相关的问题知识结构图:第二,绝对值的含义:(1)几何意义:通常,从数字轴上表示数字A的点到原点的距离称为数字A的绝对值,表示为|a|。

(2)代数意义:(1)正数的绝对值本身就是;(2)负数的绝对值是它的反数;(3)零的绝对值为零。

也可以写成:描述:(1)|a|≥0表示| a |是非负数;(ⅱ)| a | a |概念包含分类讨论的思想。

典型示例示例1。

(数字与形状相结合的概念)数字轴上的A、B和C的位置如下图所示。

那么代数表达式| a | | a | | b | | c-一、第一讲与绝对值相关的问题知识结构图:第二,绝对值的含义:(1)几何意义:通常,从数字轴上表示数字A的点到原点的距离称为数字A的绝对值,表示为|a|。

(2)代数意义:(1)正数的绝对值本身就是;(2)负数的绝对值是它的反数;(3)零的绝对值为零。

也可以写成:描述:(1)|a|≥0表示| a |是非负数;(ⅱ)| a | a |概念包含分类讨论的思想。

典型示例示例1。

(数字与形状相结合的概念)数字轴上的A、B和C的位置如下图所示。

然后是代数表达式| a | | ab | | c | a | | ab | | c-a |-| b-c |=-a-(ab)(c-a)b-c=-3a分析:在解决绝对值问题时,通常需要去掉绝对值符号,并将其转换为一般的有理数计算。

当绝对值符号被去掉时,必须先确定绝对值符号,然后根据绝对值的代数意义去掉。

本例利用数形结合的数学思想,从数轴上A、B、C的对应位置判断绝对值符号中的数的符号,从而消除绝对值符号,完成简化。

例2。

已知:然后值(c) a是正数b,是负数c是零d,符号解不能确定:根据主题,x、y、z在数轴上的位置如下图所示:所以分析:数轴是数字和代数领域中数字和形式结合的重要载体。

本例中的三个看似复杂的不平等关系,借助数轴,直观、方便地找到了x、y、z三个数的大小关系,为我们顺利简化铺平了道路。

七年级上册第一章辅导讲义【可修改文字】

七年级上册第一章辅导讲义【可修改文字】

可编辑修改精选全文完整版七年级上册第一章辅导讲义年级:初一辅导科目:数学课时数:课题从自然数到有理数教学目的通过这堂课的复习,让学生对这章的内容有个比较清楚的了解,及掌握一些基本的概念。

教学内容一、基础知识回顾§1.1 从自然数到分数自然数有些是用来计数和测量的,而有些数用来标号或排序的。

分数可以看做两个整数相除。

分数可以与小数(有限小数和无限循环小数)互化除外。

§1.2 有理数正数和负数的概念-------- 负数是具有相反意义的量。

注意0即不是正数也不是负数,它是一个整数,它表示正数和负数的分界线。

整数有理数分数易错题例题 1 判断“一个数,如果不是负数,就是正数。

这句话的对错。

”例题2最小的正整数是------- 。

最大的负整数是-----------。

例题 3 给下面给出的各数分类。

-8.4, 22, 0.33, 0, -9, +175,47-,1.5, -0.4,0.67-, 3.0正数:负数:整数:分数:正整数负整数正分数负分数有理数正数分数零有理数正有理数零负有理数正整数正分数负整数负分数有理数:§1.3数 轴规定了原点.单位长度和正方向的直线叫做数轴。

注意:单位长度不一定每个刻度只能表示1.正方向也可以根据题意确定,不一定向右。

任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。

相反数定义:只有符号不同的两个数互为相反数。

零的相反数是零。

相反数的几何意义:在数轴上,表示互为相反数(零除外)的两个点,位于原点的两侧,并且到原点的距离相等。

常考点:a 的相反数是-a, a,b 互为相反数等价于a+b=0等价于a=-b 则|a|=|b|。

数轴在数学上的意义:数轴是研究数学的重要模型,也是数形结合思想的重要体现。

易错题例题 1 判断正误 任何有理数必定大于它的相反数。

例题 2 相反数是它本身的数是_______。

.例题 4 若a 、b 互为相反数,c 、d 互为倒数,m 的绝对值为2,则代数式mb a cd m ++-2的值为 ( )。

01-有理数的基本概念-七年级寒假班讲义

01-有理数的基本概念-七年级寒假班讲义

第一讲 有理数的基本概念【学习目标】1.掌握用正负数表示实际问题中具有相反意义的量;2.理解正数、负数、有理数的概念;3. 掌握有理数的分类方法,初步建立分类讨论的思想.【知识梳理】知识点一、正数与负数像+3、+1.5、12+、+584等 0的数,叫做 ;像-3、-1.5、12-、-584等在正数前面加“-”号的数,叫做 .0既不是 ,又不是 。

知识点二、有理数的分类(1)按整数、分数的关系分类: (2)按正数、负数与0的关系分类:注:⑴正数和零统称为 ;⑵负数和零统称为 ;⑶正整数和零统称为 ;⑷负整数和零统称为 .【例1】下列说法正确的是( )A .a -一定是负数B .一个数不是正数就是负数C .0-是负数D .在正数前面加“-”号,就成了负数【例2】(1)如果收入2000元,可以记作2000+元,那么支出5000元,记为 .(2)高于海平面300米的高度记为海拔300+米,则海拔高度为600-米表示 .(3)某地区5月平均温度为20C ︒,记录表上有5月份5天的记录分别为 2.7+,0,1.4+,3-,4.7-,那么这5项记录表示的实际温度分别是 .(4)向南走200-米,表示 .【例3】某饮料公司生产的一种瓶装饮料外包装上印有“60030±(mL )”字样,请问“30mL ±”是什么含义?质检局对该产品抽查5瓶,容量分别为603mL ,611mL ,589mL ,573mL ,627mL ,问抽查产品的容量是否合格?【例4】检查篮球的质量,把超过标准质量的克数记为正数,不足标准质量的克数记为负数,检查的结果如下表: 篮球编号 1 2 3 4 5与标准质量的差(克) 4+ 7+ 3- 8- 9+最接近标准质量的是_______号篮球;质量最大的篮球比质量最小的篮球重_______克.【例5】下面说法中正确的是( ).A .非负数一定是正数.B .有最小的正整数,有最小的正有理数.C .a -一定是负数.D .正整数和正分数统称正有理数.【例6】下列数中,哪些属于负数?哪些属于非正数?属于正分数?哪些属于非负有理数?﹣4.5,6,0,2.4,π,,﹣0.313,3.14,﹣11负 数:( …); 非 正 数:( …); 正分数:( …); 非负有理数:( …)【例7】(1)在下列各数:(2)--,2(2)--,2--,2(2)-,2(2)--中,负数的个数为 个.(2)①10a -;②21a --;③a -;④2(1)a -+一定是负数的是 (填序号).一、选择题:1、下列各数中是负整数的是( )A 、2-B 、5C 、12 D 、25-2、在12,π,4,123,0,0.3-&中,表示有理数的有( )A 、3个B 、4个C 、5个D 、6个3、下列各数:74-,1.010010001,833,0,π-, 2.626626662-⋯,0.12&&,其中有理数的个数是()A 、3B 、4C 、5D 、64、如果+20%表示增加20%,那么-6%表示( )A 、增加14%B 、增加6%C 、减少6%D 、减少26%5、下列判断正确的是( )①+a 一定不为0;②-a 一定不为0;③a >0;④a <0A 、①②B 、③④C 、①②③④D 、都不正确6、观察下列一组数:-1,2,-3,4,-5,6,…,则第100个数是( )A 、100B 、-100C 、101D 、-1017、在-,π,0,14,-5,0.333…六个数中,整数的个数为( )A 、1B 、2C 、3D 、48、-0.5不属于( )A 、负数B 、分数C 、整数D 、有理数9、在下列集合中,分类正确的是( )A 、正数集合B 、非负数集合C 、分数集合D 、整数集合10、在有理数中,不存在这样的数( )A 、既是整数,又是负数B 、既不是整数,也不是负数C 、既是正数,又是负数D 、既是分数,又是负数11、在-3,-121,0,-73,2002各数中,是正数的有( ) A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个12、下列既不是正数又不是负数的是( )A 、-1B 、+3C 、0.12D 、013、飞机上升-30米,实际上就是( )A 、上升30米B 、下降30米C 、下降-30米D 、先上升30米,再下降30米14、下列说法正确的是( )A 、整数就是正整数和负整数B 、分数包括正分数、负分数C 、正有理数和负有理数组成全体有理数D 、一个数不是正数就是负数。

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七年级数学培优班暑期讲义第一章有理数§1有理数的相关概念整数和分数统称为有理数有理数又可分为正有理数0和负有理数规定了原点正方向和单位长度的直线叫做数轴在数轴上表示的两个数右边的数总比左边的数大正数都大于零负数都小于零正数大于负数只有符号不同的两个数称互为相反数例如和互为相反数即是的相反数是的相反数在数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值记作例如在数轴上表示的点与原点的距离是5所以的绝对值是5记作一个正数的绝对值是它本身零的绝对值是零一个负数的绝对值是它的相反数这些基本概念以及它们的性质是初中数学中常考的内容必须牢固掌握例1 最低气温为那么这天的最高气温比最低气温高A 4B 8C 12D 16例2 下列说法正确的是A 一个有理数不是整数就是分数B 正整数和负整数统称整数C 正整数负整数正分数负分数统称有理数D 0不是有理数例3.数在数轴上的位置如图下列判断正确的是A BC D例4 说出下列各数的相反数16-300001例5 如图若数轴上的绝对值是的绝对值的3倍则数轴的原点在点填ABC或D1.有如下四个命题①两个符号相反的分数之间至少有一个正整数②两个符号相反的分数之间至少有一个负整数③两个符号相反的分数之间至少有一个整数④两个符号相反的分数之间至少有一个有理数其中真命题的个数为A1 B 2 C 3 D 42 下列说服中正确的是A正整数和负整数统称为整数B正数和负数统称为有理数C整数和分数统称为有理数D自然数和负数统称为有理数以下四个判断中不正确的是A在数轴上关于原点对称的两个点所对应的两个有理数互为相反数B两个有理数互为相反数则他们在数轴上对应的两个点关于原点对称C两个有理数不等则他们的绝对值不等D两个有理数的绝对值不等则这两个有理数不等A 一切有理数的倒数还是有理数B 一切正有理数的相反数必是负有理数C 一切有理数的绝对值必是正有理数D 一切有理数的平方是正有理数5 在数轴上点A对应的数是-2006点B对应的数是+17则AB两点的距离是A1989 B 1999 C 7>2013 D 20236 如图所示圆的周长为4个单位长度在圆的4等分点处标上数字0123先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数-1所对应的点重合再让数轴按逆时针方向绕在该圆上那么数轴上的数-2006将与圆周上的数字重合下列说法中错误的是A所有的有理数都可以用数轴上的点表示B 数轴上原点表示数0C 数轴上点表示从点出发沿数轴上移动2个单位长度到达点则点表示D 在数轴上表示和的两点之间的距离是5下列说法正确的是A有最大的整数 B 有最小的负数C有最大的正数 D 有最小的正整数如果n是大于1的偶数那么n 一定小于它的A相反数 B倒数 C 绝对值 D 平方If we haveand a6 Othen the points in real number axisgiven by a and bcan be represented as 英汉词典point点.real number axis实数轴.represent表示. 3 有理数abc大小关系如图则下列式子中一定成立的是Aabc 0 B c abC a-c acD b-c c-a4 如果abc 0且a b c则下列说法中可能成立的是A ab是正数c 0 Bac是正数b 0C bc是正数a 0D ac是负数b 0如果那么下列不等式中成立的是A B C D6 为有理数下列说法中正确的是A 为正数B 为负数C 为正数D 为正数若a b 0 c d则以下四个结论中正确的是A abcd一定是正数.B dc-a-b可能是负数.C d-c-b-a一定是正数.D c-d-b-a一定是正数.已知和互为相反数求的值若与互为相反数到原点的距离为3求的值已知求的值其中均为整数且的数是有理数这种表达形式常被用来证明或判断某个数是不是有理数3 有理数可以用数轴上的点表示4 零是正数和负数的分界点零不是正数也不是负数5 如果两个数的和为0则称这两个数互为相反数如果两个数的积为1则称这两个数互为倒数6 有理数的运算法则1 加法两数相加同号的取原来的符号并把绝对值相加异号的取绝对值较大的加数的符号并用较大的绝对值减去较小的绝对值绝对值相等时和为0一个数与0相加仍得这个数2 减法减去一个数等于加上这个数的相反数3 乘法两数相乘同号得正异号得负并把绝对值相乘一个数与0相乘积为0 乘方求个相同因数的积的运算称为乘方记为4 除法除以一个数等于乘以这个数的倒数整数的运算律对有理数的运算也适合二例题与练习例1 ____________例2 ____________实践练习2 计算例3 用简便方法计算__________例4 _________实践练习__________2 计算________3 计算________例5 若则是A 正数B 非正数C 负数D 非负数例6 若是自然数并且有理数满足则必有A BC D实践练习等于它的倒数有理数等于它的相反数则等于A 0B 1C -1D 2练习三1 计算________2 计算_________3 计算4 ______5 的值的整数部分是_______6 设是最小的自然数是最大负整数是绝对值最小的有理数则___7 数轴上对应是整数的点称为整点某数轴的单位长度是1厘米若在这个数轴上随意画出一条长为1995厘米的线段则线段盖住的整点有______个8 电子跳蚤落在数轴上的某点第一步从向左跳1个单位到第二步从向右跳2个单位到第三步从向左跳3个单位到第四步从向右跳4个单位到按以上规律跳了100步时电子跳蚤落在数轴上的点所表示的数恰是2008则电子跳蚤的初始位置点所表示的数是多少§3 有理数的巧算知识要点和分数统称为有理数有理数通常可以表示成分数的形式这里都是整数且有理数运算是中学数学中一切运算的基础.它要求同学们在理解有理数的有关概念法则的基础上能根据法则公式等正确迅速地进行运算.不仅如此还要善于根据题目条件将推理与计算相结合灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题从而提高运算能力发展思维的敏捷性与灵活性.四则运算对有理数是封闭的即任意两个有理数相加相减相乘相除除数不能为0其结果还是有理数有理数可以比较大小任意两个有理数之间都有无穷多个有理数有理数计算中常用到的一些等式如下123456例1计算实践练习123例2计算计算实践练习1计算2-+-+-3例3计算实践练习1计算2计算3练习四1计算2计算3计算1-+-+-4计算5计算计算计算再减去余下的再减去余下的依此类推一直减去余下的那么最后剩下的数是多少第 2 abc 3 b2 4 -5ab2 5 y 6 -xy2 7 -52单项式系数和次数单项式是由数字因数和字母因数两部分组成的说出下列四个单项式a2h2πrabc-m的系数和次数例1判断下列各代数式是否是单项式如不是请说明理由如是请指出它的系数和次数①x+1 ②③πr2 ④-a2b例2下面各题的判断是否正确①-7xy2的系数是7 ②-x2y3与x3没有系数③-ab3c2的次数是0+3+2④-a3的系数是-1 ⑤-32x2y3的次数是7 ⑥πr2h的系数是注意①圆周率π是常数②当一个单项式的系数是1或-1时1通常省略不写如x2-a2b等§2.多项式1.列代数式1 长方形的长与宽分别为ab则长方形的周长是2 某班有男生x人女生21人则这个班共有学生人_______3 图中阴影部分的面积为_________4 鸡兔同笼鸡a只兔b只则共有头个脚只2.观察以上所得出的四个代数式与上节课所学单项式有何区别1 2 a+b 2 21+x 3 a+b 4 2a+4b几个单项式的和叫做多项式 polynomial 在多项式中每个单项式叫做多项式的项 term 其中不含字母的项叫做常数项 constant term 例如多项式有三项它们是-2x5其中5是常数项一个多项式含有几项就叫几项式多项式里次数最高项的次数就是这个多项式的次数例如多项式是一个二次三项式单项式与多项式统称整式 integral expression注意1 多项式的次数不是所有项的次数之和多项式的次数为最高次项的次数2 多项式的每一项都包括它前面的符号例1判断①多项式a3-a2b+ab2-b3的项为a3a2bab2b3次数为12②多项式3n4-2n2+1的次数为4常数项为1例2指出下列多项式的项和次数1 3x-1+3x2 2 4x3+2x-2y2例3指出下列多项式是几次几项式1 x3-x+12 x3-2x2y2+3y2例4已知代数式3xn- m-1 x+1是关于x的三次二项式求mn的条件课堂练习①填空-a2b-ab+1是次项式其中三次项系数是二次项为常数项为写出所有的项②已知代数式2x2-mnx2+y2是关于字母xy的三次三项式求mn的条件§3.多项式的升降幂排列请运用加法交换律任意交换多项式x2+x+1中各项的位置可以得到几种不同的排列方式在众多的排列方式中你认为那几种比较整齐1.升幂排列与降幂排列有两种排列x的指数是逐渐变大或变小的我们把这种排列叫做升幂排列与降幂排列例如把多项式5x2+3x-2x3-1按x的指数从大到小的顺序排列可以写成-2x3+5x2+3x-1这叫做这个多项式按字母x的降幂排列若按x的指数从小到大的顺序排列则写成-1+3x+5x2-2x3这叫做这个多项式按字母x的升幂排列例1五个学生上前自己选一张卡片根据老师要求排成一列并把排列正确的式子写下来例如按x降幂排列例2把多项式2πr-1+3πr3-π2r2按r升幂排列例3把多项式a3-b3-3a2b+3ab2重新排列1 按a升幂排列2 按a降幂排列想一想观察上面两个排列从字母b的角度看它们又有何特点例4把多项式-1+2πx2-x-x3y用适当的方式排列例5把多项式x4-y4+3x3y-2xy2-5x2y3用适当的方式排列1 按字母x的升幂排列得2 按字母y的升幂排列得小结对一个多项式进行排列这样的写法除了美观之外还会为今后的计算带来方便在排列时我们要注意1 重新排列多项式时每一项一定要连同它的符号一起移动原首项省略的+号交换到后面时要添上2 含有两个或两个以上字母的多项式常常按照其中某一字母升幂排列或降幂排列§4同类项创设问题情境⑴5个人8个人⑵5只羊8只羊⑶5个人8只羊观察下列各单项式把你认为相同类型的式子归为一类8x2y-mn2 5a-x2y 7mn2 9a - 0 04mn2 2xy2我们常常把具有相同特征的事物归为一类8x2y与-x2y可以归为一类2xy2与-可以归为一类-mn27mn2与04mn2可以归为一类5a与9a可以归为一类还有0与也可以归为一类8x2y与-x2y只有系数不同各自所含的字母都是xy并且x的指数都是2y的指数都是1同样地2xy2与-也只有系数不同各自所含的字母都是xy并且x的指数都是1y的指数都是2像这样所含字母相同并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项similar terms 另外所有的常数项都是同类项比如前面提到的0与也是同类项例1判断下列说法是否正确正确地在括号内打√错误的打×1 3x与3mx是同类项2 2ab与-5ab是同类项3 3x2y与-yx2是同类项4 5ab2与-2ab2c是同类项5 23与32是同类项例2指出下列多项式中的同类项1 3x-2y+1+3y-2x-52 3x2y-2xy2+xy2-yx2例3k取何值时3xky与-x2y是同类项例4若把 s+t s-t 分别看作一个整体指出下面式子中的同类项1 s+t - s-t -+2 2 s-t + 2-5 s-t - 2+s-t课堂练习1请写出2ab2c3的一个同类项.你能写出多少个它本身是自己的同类项吗若2amb2m3n与a2n-3b8的和仍是一个单项式则m与 n的值分别是______ 为了搞好班会活动李明和张强去购买一些水笔和软面抄作为奖品他们首先购买了15本软面抄和20支水笔经过预算发现这么多奖品不够用然后他们又去购买了6本软面抄和5支水笔问①他们两次共买了多少本软面抄和多少支水笔②若设软面抄的单价为每本x元水笔的单价为每支y元则这次活动他们支出的总金额是多少元可根据购买的时间次序列出代数式也可根据购买物品的种类列出代数式再运用加法的交换律与结合律将同类项结合在一起将它们合并起来化简整个多项式所的结果都为 21x+25y 元由此可得把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项合并同类项的法则把同类项的系数相加所得的结果作为系数字母和字母指数保持不变例1找出多项式3x2y-4xy2-3+5x2y+2xy2+5种的同类项并合并同类项例2下列各题合并同类项的结果对不对若不对请改正1 2x2+3x2 5x4 2 3x+2y 5xy3 7x2-3x24 4 9a2b-9ba2 0例3合并下列多项式中的同类项1 2a2b-3a2b+05a2b2 a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b33 5 x+y 3-2 x-y 4-2 x+y 3+ y-x 4例4求多项式3x2+4x-2x2-x+x2-3x-1的值其中x -3试一试把x=-3直接代入例4这个多项式可以求出它的值吗与上面的解法比较一下哪个解法更简便例1.化简下列各式8a2b5a-b 25a-3b-3a2-2b.2 计算5xy2-[3xy2-4xy2-2x2y]2x2y-xy2. [5xy2]小结去括号是代数式变形中的一种常用方法去括号时特别是括号前面是-号时括号连同括号前面的-号去掉括号里的各项都改变符号.去括号规律可以简单记为-变+不变要变全都变.当括号前带有数字因数时这个数字要乘以括号内的每一项切勿漏乘某些项.学生作总结后教师强调要求大家应熟记法则并能根据法则进行去括号运算去括号法则顺口溜去括号看符号是号不变号是―号全变号x2―7x―2与―2x24x―1的差练习一个多项式加上―5x2―4x―3与―x2―3x求这个多项式例2计算―2y3 3xy2―x2y ―2 xy2―y3例3化简求值 2x3―xyz ―2 x3―y3xyz xyz―2y3 其中x 1y 2z ―3复习题1找出下列代数式中的单项式多项式和整式4xyx2x0m―201×1052指出下列单项式的系数次数abx2xy53指出多项式a3a2b―ab2b3―1是几次几项式最高次项常数项各是什么4化简并将结果按x的降幂排列1 2x45x2―4x1 ― 3x3―5x2―3x2 ―〔―x 〕 x―13 ―3 x2―2xyy2 2x2―xy―2y25化简求值5ab―2〔3ab 4ab2ab 〕5ab2其中a b6一个多项式加上2x34x2y5y3后得x3x2y3y3求这个多项式并求当x y 时这个多项式的值的两个多项式与的次数相同求的值第三章一元一次方程§1一元一次方程1 定义方程含有未知数的等式称为方程一元一次方程方程中只含一个未知数元并且未知数的指数是1次未知数的系数不等于0这样的方程叫做一元一次方程如解解方程就是求出使方程等号左右两边相等的未知数的值这个值就是方程的解2 等式的性质性质1 等式两边加或减同一个不为0的数结果仍相等如果那么性质2 等式两边乘同一个数或除以同一个不为0的数结果仍相等如果那么如果那么3 同解方程和方程的同解原理1 如果方程Ⅰ的解都是方程Ⅱ解并且方程Ⅱ的解也都是方程Ⅰ的解那么这两个方程是同解方程2 方程同解原理Ⅰ方程两边同时加上或减去同一个数或同一个整式所得的方程与原方程是同解方程方程同解原理Ⅱ方程两边同时乘以或除以同一个不为0的数所得的方程与原方程是同解方程方程同解原理Ⅲ方程与或是同解方程4 解一元一次方程的一般步骤1 去分母2 去括号3 移项4 合并同类项化为最简形式5 方程两边同除以未知数的系数解一元一次方程没有固定的步骤去分母与去括号要因题而异灵活掌握但是不管采取什么顺序都要保证正确地运用各种运算法则以及同解原理使得到的方程与原方程同解5 一元一次方程的解由的值确定1 当时方程有唯一的解2 当时方程的解可为任意的有理数3 当且时方程无解例1 利用等式的性质解一元一次方程1 2 3 4例2 检验下列各数是不是方程的解1 2 3实践练习1 解方程12 32 解方程列简易方程解决问题例3 根据下列条件列方程1的5倍比的2倍大12 2某数的比它的相反数小5实践练习1 根据下列问题列出方程不必求解1把若干本书发给学生如果每人发4本还剩下2本如果每人发5本还差5本问共有多少学生2某班50名学生准备集体去看电影电影票中有15元的和2元的买电影票共花88元问这两种电影票应各买多少练习一1 解方程1 22 假设关于的方程有无穷多个解求的值3 若关于的方程的解是2求的值4 若关于的方程的解是4求的值5 某地电话拨号上网有两种收费方式用户可以任选其一1计时制005元分2包月制50元月此外每一种上网方式都得加收通信费002元分问用户每月上网多少小时这两种收费方式所收费用一样请列出方程6 小李去商店买练习本回来后告诉同学店主跟我说如果多买一些就给我8折优惠我就买了20本结果总共便宜了160元你猜原来每本价格是多少你能列出方程吗例4某大型商场三个季度共销售DVD 2800台第一个季度销售量是第二个季度的2倍第三个季度销售量是第一个季度的2倍第一个季度这家商场销售DVD 多少台例5某校高中一年级434名师生外出春游已有3辆校车可乘坐84人还需租用50座的客车多少辆实践练习1 某工厂八月十五中秋节给工人发苹果如果每人分两箱则剩余20箱如果每人分3箱则还缺20箱这个工厂有工人多少人2 据某《城市晚报》报道2004年2月16日中国著名篮球明星姚明与麦当劳公司正式签约姚明作为麦当劳的形象代言人三年共获酬金1400万美元若后一年的酬金是前一年的两倍并且不考虑税金那么姚明第一年应得酬金为多少万美元例6男女生有若干人男生与女生数之比为4 3后来走了12名女生这时男生人数恰好是女生的2倍求原来的男生和女生人数实践练习1 已知求的值2 一个三位数的三个数字和是15十位数字是百位数字的2倍个位数字比十位数字的2倍还多1求这个三位数例7 甲乙两人骑自行车同时从相距45千米的两地相向而行2小时相遇甲比乙每小时多走25千米求甲乙每小时各走多少千米实践练习1 一轮船在AB两港口之间航行顺水航行用3小时逆水航行比顺水航行多用30分钟轮船在静水中的速度是36千米小时问水流的速度是多少例8宋宋班上有40位同学他想在生日时请客因此到超市花了175元买果冻和巧克力共40个若果冻每20个15元巧克力每30个10元求他买了多少个果冻实践练习1 一个人用540卢布买了两种布料共138俄尺其中蓝布料每俄尺3卢布黑布料每俄尺5卢布两种布料各买了多少俄尺2 某单位开展植树活动由一人植树要80小时完成现由一部分人先植树5小时由于单位有紧急事情再增加2人且必须在4小时之内完成植树任务这些人的工作效率相同那么先安排了多少人植树练习二1 甲乙两站间的距离为365千米一列慢车从甲站开往乙站每小时行驶65千米慢车行驶1小时后另有一列快车从乙站开往甲站每小时行驶85千米快车行驶了几小时后与慢车相遇2 某种商品因换季准备打折出售如果按定价的七五折出售将赔25元而按定价的九折出售将赚20元问这种商品的定价是多少3 聪聪到希望书店帮同学们买书售货员主动告诉他如果用20元钱办希望书店会员卡将享受八折优惠请问在这次买书中聪聪在什么情况下办会员卡与不办会员卡一样当聪聪买标价共计200元的书时怎么做合算办会员卡还是不办会员卡4 有一列数为147它的第个数是多少在这列数中取出三个连续数其和为48问这三个数分别是多少5 若是关于的方程的解解关于的方程6 当取什么整数时关于的方程的解是正整数7 某制衣厂接受一批服装订货任务按计划天数进行生产如果每天平均生产20套服装就比订货任务少生产100套如果每天生产23套衣服就可以超过订货任务20套问这批服装的订货任务是多少套原计划多少天完成8 这里有一杯水第一次倒出一半后又倒出10毫升第二次倒出剩下的一半后又倒出10毫升这时杯子空了问杯子里原来有多少毫升水§2一元一次方程复习代数方程在初中代数中占有很重要的地位而一元一次方程是代数方程中最基础的部分高次方程及方程组往往化为一元一次方程组来求解因此掌握好这部分内容有助于我们学习一些复杂的方程 2 3 45 6 是常数 78 9______________________是方程____________________是一元一次方程例2 1 已知是一元一次方程则_______________2 已知是一元一次方程则_______________3 若关于的方程是一元一次方程则________________________________思考1已知是关于的一元一次方程则_______________思考2在关于的方程中解的情况当________时方程有唯一解当________时方程无解当________ ________时方程有无数个解例3已知则代数式______________思考3下列说法正确的是____________1 如果那么2 如果那么3 如果那么4 如果那么二解一元一次方程去括号→去分母→移项→合并同类项→系数化1例4解下列一元一次方程12 34 56例5有四个数其中三个数之和分别为求此四个数例6已知则__________例7若关于的方程的解是整数则___________________解方程解方程解关于的方程解关于的方程解关于的方程已知关于的方程有无数多个解试求的值已知关于的方程有无数多个解试求的值已知方程有两个不同的解试求的值的方程的根是求的值11 已知关于的方程的解是求的值12若关于的方程的解为正整数求的值13 关于的方程和是同解方程求的值14 已知关于的方程和是同解方程求的值15已知关于的方程仅有正整数解并且和关于的方程是同解方程若求出这个方程可能的解16 1 解方程 2 解方程解方程解方程解关于的方程解关于的方程已知关于的方程无解试求的值关于的方程分别求当为何值时方程1有唯一解2有无数多个解3无解是关于的方程的解解关于的方程20 当取什么整数时关于的方程的解是正整数21 已知关于的方程和有相同的根求的值§3 一元一次方程的应用1列出一元一次方程解应用题的一般步骤是1弄清题意和题目中的已知数未知数及数量关系用字母如表示题目中的一个未知数2找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系3根据这个相等关系列出需要的代数式从而列出方程4解这个方程求出未知数的值5检验写出答案包括单位名称设未知数可分为直接设未知数间接设未知数两类直接设未知数指题目中为什么就设什么它多适用于要求的未知数只有一个的情况间接设未知数顾名思义就是问东设西迂回前进如求整体时可先设其某部分为求部分时又可设其整体为未知数求速度时先设路程为未知数求工作时间时设工作效率为未知数解完方程后要检验方程的解作为应用题的答案是否合理2.几类应用题常用的策略1和差倍分问题抓住关键词列方程2形积变化问题利用各种几何图形的面积体积公式列出相等关系3行程问题i相遇相向问题双方所走路程之和全部路程ii追及同向问题如甲从相同出发点追及乙则相等关系一般是甲所走路程=乙所走路程iii航行问题注意航行速度与水风速的关系顺水速度=船在静水中的速度+水流速度逆水速度=船在静水中的速度-水流速度行程中的基本关系是其中表示距离表示速度表示时间4调配问题其等量关系反映在调动前后的数量关系上抓住相等几倍多少等词语常可找出相等关系5按比例分配问题若已知两个量之比是则可设其中一份为两量分别为6工程问题基本数量关系是工作量=工作效率×工作时间若工作量未给出具体数量则常设为17浓度配比问题基本数量关系是溶液重量=溶质重量+溶剂重量8商品销售问题利润=售价-进价售价=标价×销售折扣9数字问题注意区分数和数字两个概念多用间接设元的方式设某一数位上的数字为其他数位上数字用它的代数式表示在数的表示中注意各位上的数为10的幂的形式列方程解应用题是代数中的重要内容之一列出一元一次方程解应用题是数学联系实际解决实际问题迈出的重要一步例1一队学生从甲地到乙地速度为每小时8千米当行进2千米路后通讯员奉命回到甲地取东西他以每小时10千米的速度回甲地取了东西后立即以同样速度追赶队伍结果在距乙地3千米处追上队伍求甲乙两地的距离取东西的时间不计实践练习1 一个人骑自行车从甲地到乙地如果每小时走10千米下午1点钟才能到达如果每小时走15千米上午11点钟就能到达要在中午12点钟到达乙地他每小时。

(完整)人教版七年级数学上册辅导讲义

最新人教版 七年级数学上册培优辅导讲义第1讲 与有理数有关的概念考点·方法·破译1.了解负数的产生过程,能够用正、负数表示具有相反意义的量.2.会进行有理的分类,体会并运用数学中的分类思想.3.理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义.会用数轴比较两个有理数的大小,会求一个数的相反数、绝对值、倒数.经典·考题·赏析【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前-7米 ⑵收人-50元 ⑶体重增加-3千克【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量.而相反意义的量应该包合两个要素:一是它们的意义相反.二是它们具有数量.而且必须是同类两,如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”解:⑴向前-7米表示向后7米⑵收入-50元表示支出50元⑶体重增加-3千克表示体重减小3千克.【变式题组】01.如果+10%表示增加10%,那么减少8%可以记作( )A . -18%B . -8%C . +2%D . +8%02.(金华)如果+3吨表示运入仓库的大米吨数,那么运出5吨大米表示为( )A . -5吨B . +5吨C . -3吨D . +3吨03.(山西)北京与纽约的时差-13(负号表示同一时刻纽约时间比北京晚).如现在是北京时间15:00,纽约时问是_ ___【例2】在-227,π,0,0.033.3这四个数中有理数的个数( ) A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个【解法指导】有理数的分类:⑴按正负性分类,有理数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数;(2)按整数、分数分类,有理数⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数0负整数正分数分数负分数;其中分数包括有限小数和无限循环小数,因为π=3.1415926…是无限不循环小数,它不能写成分数的形式,所以π不是有理数,-227是分数,0.033.3是无限循环小数可以化成分数形式,0是整数,所以都是有理数,故选C .【变式题组】01.在7,0,15,-12,-301,31.25,-18,100,1,-3 001中,负分数为 ,整数为 ,正整数 .02.(河北秦皇岛)请把下列各数填入图中适当位置15,-19,215,-138,0.1,-5.32,123, 2.333【例3】(宁夏)有一列数为-1,12,-13,14,-15,16,…,找规律到第2007个数是 .【解法指导】从一系列的数中发现规律,首先找出不变量和变量,再依变量去发现规律.归纳去猜想,然后进行验证.解本题会有这样的规律:⑴各数的分子部是1;⑵各数的分母依次为1,2,3,4,5,6,…⑶处于奇数位置的数是负数,处于偶数位置的数是正数,所以第2007个数的分子也是1.分母是2007,并且是一个负数,故答案为-12007. 【变式题组】01(湖北宜昌)数学解密:第一个数是3=2 +1,第二个数是5=3 +2,第三个数是9=5+4,第四个数是17=9+8…观察并猜想第六个数是 .02.(毕节)毕达哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法,如图则?填____.03.(茂名)有一组数1,2,5,10,17,26…请 观察规律,则第8个数为__ __ .【例4】(2008年河北张家口)若1+m 2的相反数是-3,则m 的相反数是____. 【解法指导】理解相反数的代数意义和几何意义,代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数.几何意义:在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫 互为相反数,本题m 2=2,m =4,则m 的相反数-4。

初中数学辅导讲义01

初中数学辅导讲义(适用于课外辅导班)2016.06.06一、初中数学知识点七年级上知识点七年级上知识点第一章 有理数一. 知识框架二.知识概念1.有理数:(1)凡能写成)0p q ,p (pq ≠为整数且形式的数,都是有理数.正整数、0、负整数统称整数;正分数、负分数统称分数;整数和分数统称有理数.注意:0即不是正数,也不是负数;-a 不一定是负数,+a 也不一定是正数;不是有理数;(2)有理数的分类: ① ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数2.数轴:数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3.相反数:(1)只有符号不同的两个数,我们说其中一个是另一个的相反数;0的相反数还是0;(2)相反数的和为0 a+b=0 a 、b 互为相反数.4.绝对值:(1)正数的绝对值是其本身,0的绝对值是0,负数的绝对值是它的相反数;注意:绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离;(2) 绝对值可表示为:⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0a (a )0a (0)0a (a a 或⎩⎨⎧<-≥=)0a (a )0a (a a ;绝对值的问题经常分类讨论; 5.有理数比大小:(1)正数的绝对值越大,这个数越大;(2)正数永远比0大,负数永远比0小;(3)正数大于一切负数;(4)两个负数比大小,绝对值大的反而小;(5)数轴上的两个数,右边的数总比左边的数大;(6)大数-小数 > 0,小数-大数 <0.有理数整式的加减 一元一次方程 图形的认识初步6.互为倒数:乘积为1的两个数互为倒数;注意:0没有倒数;若 a ≠0,那么a 的倒数是a 1;若ab=1 a 、b 互为倒数;若ab=-1 a 、b 互为负倒数.7. 有理数加法法则:(1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;(2)异号两数相加,取绝对值较大的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;(3)一个数与0相加,仍得这个数.8.有理数加法的运算律:(1)加法的交换律:a+b=b+a ;(2)加法的结合律:(a+b )+c=a+(b+c ).9.有理数减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数;即a-b=a+(-b ).10 有理数乘法法则:(1)两数相乘,同号为正,异号为负,并把绝对值相乘;(2)任何数同零相乘都得零;(3)几个数相乘,有一个因式为零,积为零;各个因式都不为零,积的符号由负因式的个数决定.11 有理数乘法的运算律:(1)乘法的交换律:ab=ba ;(2)乘法的结合律:(ab )c=a (bc );(3)乘法的分配律:a (b+c )=ab+ac .12.有理数除法法则:除以一个数等于乘以这个数的倒数;注意:零不能做除数,无意义即0a .13.有理数乘方的法则:(1)正数的任何次幂都是正数;(2)负数的奇次幂是负数;负数的偶次幂是正数;注意:当n 为正奇数时: (-a)n =-a n 或(a -b)n =-(b-a)n , 当n 为正偶数时: (-a)n =a n 或 (a-b)n =(b-a)n .14.乘方的定义:(1)求相同因式积的运算,叫做乘方;(2)乘方中,相同的因式叫做底数,相同因式的个数叫做指数,乘方的结果叫做幂;15.科学记数法:把一个大于10的数记成a ×10n 的形式,其中a 是整数数位只有一位的数,这种记数法叫科学记数法.16.近似数的精确位:一个近似数,四舍五入到那一位,就说这个近似数的精确到那一位.17.有效数字:从左边第一个不为零的数字起,到精确的位数止,所有数字,都叫这个近似数的有效数字.18.混合运算法则:先乘方,后乘除,最后加减.本章内容要求学生正确认识有理数的概念,在实际生活和学习数轴的基础上,理解正负数、相反数、绝对值的意义所在。

七年级一对一辅导资料1

成都本学堂课堂复习课学练测专题(2 次数)数轴,绝对值,有理数加法专题内容年级七年级学科数学班型老师王珊时间8:00 --10:00第一课时一、文化熏陶(5分钟):数学科学家的故事数学家巧破杀人案鲁柏是数学家伽罗华的好友.一天,伽罗华得知鲁柏被刺的消息,急忙奔赴探询.看到鲁柏手里紧捏着半块苹果馅饼,数学家思索着,在314号房门前停了下来,问道:“这房间是谁住的?”看门人答道:“米塞尔.”“这人怎样?”“他爱赌钱,好喝酒,昨天已经搬走了.”“这个米塞尔就是杀人凶手!”数学家肯定地说,“馅饼就是一条线索.馅饼英语叫Pie,而希腊语Pie就是π,人们在计算时,常取π的近似值3.14.鲁柏是一位喜欢数学的人,临死时他想到用馅饼来暗示凶手所住的房间.”警方逮捕了米塞尔.经审讯,米塞尔承认因赌博输钱,看到鲁柏家里汇来巨款,遂生杀机.二、复习测验(5分钟)〖5分〗:复习前一节课的相关知识,及时面批面改面讲;1.在数轴上表示下列各数,并通过数轴排列大小:-3.5 -4 1.5 3 -1 0.2.绝对值大于2.5小于7.2的所有负整数为:3.已知|a|+|b|+|c|=0,则a=_____,b=_____,c=_____.4.计算(1) (-8)+(- 12) (2) (-3.75)+(-0.25)(3) (-5)+9 (4) (–10)+7三、导入点拨(5分钟)〖15分〗:老师导入复习新课,确定复习目标,并进行学法指导,明确复习知识点:公式、概念、性质、定义、定律等;1.数轴三要素:2.数轴上数的特征:3.了解绝对值,相反数的含义。

4.有理数加法法则:(1)同号相加:(2) 异号相加:例1.在数轴上与原点的距离等于4个单位长度的点有_____________个,这样的点表示的有理数是____________。

例2.数轴上表示―3的点记为A,表示2的点记为B,那么把A点向____边移动_____个单位长度得到B点.例3. 1.______7.3=-;______0=;______3.3=--;______75.0=+-.2.______31=+;______45=--;______32=-+. 例4.一个数的绝对值是32,那么这个数为______. 例5.数轴上的一点由原点出发,向左移动2个单位长度后又向左移动了4个单位,两次共向左移动了几个单位?例6.计算:(1))432()413(-+-(2)()⎪⎭⎫ ⎝⎛++-5112.1(3))43(31-+ (4))752()723(-+;四、学以致用(10分钟)〖10分〗:通过检测来检查学生复习情况,及时面批面改面讲; 例1:图1-13中表示数轴的是( )例2:用“>”号或“<”号填空(1)-1____0; (2)0.1_____-8;(3)-3.5____-4.5; (4)12____123. 例3.计算(1))2()6()8()20()15(++-+++-++(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-3121; (3)(—2.2)+3.8;———致力于培养未来学习型精英 第二课时五、巩固拔高(10分钟)〖20分〗:对所复习的知识进行巩固拔高,及时面批面改面讲;例1.一个点从数轴上表示-1的点出发,按下列条件移动两次后到达终点,说出终点表示什么?(1)向右移动3个单位长度,再向左移动5个单位长度;(2)向左移动4个单位长度,再向右移动1个单位长度例2.当a a -=时,0______a ;当0>a 时,______=a .例3.用简便方法计算下列各题:(1))127()65()411()310(-++-+ (2)75.9)219()29()5.0(+-++-(3))539()518()23()52()21(++++-+- (4))4.2()6.0()2.1()8(-+-+-+-六、过关斩将(20分钟)〖40分〗: 当堂检测,独立完成,当堂面批面改面讲,并作评价。

七年级数学第一章 有理数辅导班讲义

第一讲 有理数的相关概念有理数的分类不同的分类标准可以将有理数进行不同的分类{负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0⎩⎨⎧⎩⎨⎧{{负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数0⎩⎨⎧注:①“0”也是自然数。

②“0”的特殊性。

一、正数和负数为了表示具有相反意义的量,上面我们引进了―5,―2,―237,―0.7等数。

像这样的一些新数,叫做负数。

过去学过的那些数(零除外),如10,3,500,1.2等,叫做正数。

正数前面有时也可放一个“+”(读作“正”),如5可以写成+5。

注意:零既不是正数,也不是负数。

例题:(1)―10表示支出10元,那么+50表示 ;如果零上5度记作5°C ,那么零下2度记作 ;如果上升10m 记作10m ,那么―3m 表示 ;太平洋中的马里亚纳海沟深达11034米,可记作海拔 米(即低于海平面11034米)。

比海平面高50m 的地方,它的高度记作海拨 ;比海平面低30m 的地方,它的高度记作海拨 ; (2)下面说法正确的是( )A .正数都带有“+”号B .不带“+”号的数都是负数C .小学数学中学过的数都可以看作是正数D .0既不是正数也不是负数二、数轴数轴的定义:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

原点、正方向和单位长度是数轴的三要素,原点位置的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定。

例题:1、判断下图中所画的数轴是否正确?如不正确,指出错在哪里?2.下面数轴上的点A、B、C、D、E分别表示什么数?三、相反数代数定义:只有符号不同的两个数互为相反数。

0的相反数是0。

几何定义:在数轴上原点两旁,离开原点距离相等的两个点所表示的两个数互为相反数。

0的相反数是0。

例题:1、判断下列说法是否正确:(1)正数的相反数是负数,负数的相反数是正数。

( )2、分别写出下列数字的相反数(1)―(+10); (2)+(―0.15); (3)+(+3); (4)―(―20)。

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第一讲知识内容:1、26个字母和冠词a, an,the的用法2、be 动词3、人称代词和物主代词一、26个字母和冠词a, an,the的用法和练习1、26个字母:①元音字母:(_____个)____________________________________________________②辅音字母:(_____个)2、冠词a, an,the的用法:不定冠词(a/an):①在第一次提到表示非特指的人或物的可数名词前。

②在可数单数前,表一类事物定冠词(the):①第二次提到的人或物的名词前(表示特指)②表示世界上独一无二的东西;③序数词、形容词和副词最高级前;乐器名称前;专有名词前【配套练习】一、用a, an, the填空或者可以不填。

1. I have ________ book. It is ________ English book. ________ English book is red.2. --Do you like playing ________ football? --Yes. But I have only ________ basketball.3. Which is bigger(更大的), ______sun or ______moon?4. There's ________ "u" and ________ "s" in ________word "use".5. Alice likes playing ______ piano.6. There is _______ house in the picture. There is ________old woman near_________house.7. There are four seasons in _______year. ________ first season is spring.8. ______bag on ______desk is mine.9. Do you know _______girl in _______room?10. ________ Greens are traveling in _________ South China.二、单项选择( ) 1. I read ______story. It is ______interesting story. A. a, an B. a, a C. the, the D. /, an ( ) 2. Britain is _______ European country and China is _______ Asian country.A. an, anB. a, aC. a, anD. an, a( ) 3. --Where do you usually have ______ lunch? --At home. A. a B. an C. the D. / ( ) 4. _____elephant is bigger than ______ horse. A. /, / B. an, a C. An, a D. /, the ( ) 5. We always have ______rice for ______lunch. A. /, / B. the, / C. /, a D. the, the ( ) 6. It's ____ exciting way to shop on the Internet. A. a B. an C. the D. / ( ) 7. ____ girl over there is ____ English teacher. A. The, an B. A, / C. The, / D. A, a ( ) 8. There is ____ picture on ____ wall. I like ____ picture very much.A. a, the, theB. a, the, aC. the, a, aD. a, an, the( ) 9. January is ______first month of the year. A. a B. / C. an D. the ( ) 10. Xi'an is ___ old city with ___ long history, isn't it? A. a, an B. an, a C. the, the D. the, a ( ) 11. Nancy's sister is ____ English teacher. A. a B. an C. the D. / ( ) 12. We often have sports after class, and I like to play _____ basketball. A. a B. an C. the D. / ( ) 13. I like music, but I don't like ____ music of that TV play. A. a B. an C. the D. / ( ) 14. We work five days ______ week. A. a B. an C. the D. /( ) 15. Chaffs is______ eight-year-old boy, but he can play________ guitar very well.A. an, aB. a, aC. a, theD. an, the二、Be动词1. 动词Be的形式:be (原形) – am、is、are2. 用法助记口诀:I 后am,you后are,单数is,复数are【配套练习】一、用适当的be动词填空1. I _______ from the U.S.A.2. The boy ________ twelve years old.3. She ________ my good friend.4. They ________ in England.5. My mother’s pet ________ a cat.6. Her uncle ________ a doctor.7. Maria and Jane ________ not from China. 8. ________ the woman your aunt?9. ________ the trees green? 10. It ________ a cute panda.11. What ________ wrong with you? 12. Where ________ these girls from?13. How much ________ those eggs? 14. Whose hamburger ________ this?15. My name ________ Li Ming. 16. He ________ kind to the students.17. Li Lei and I ________ students. 18. Excuse me, ____ that Class 3, Grade 1?19. I’m glad to ________ here.20. The girls ________ in pink skirts.21. What ________ white and black? 22. Mom, this ___ my teacher, Mr. Lee.23. His QQ number ________ 85663211. 24. Tom with his friends ________ at home.二、单项选择题( ) 1. - Is his father fine? - No, he ________. A. am not B. isn’t C. aren’tD. be not ( ) 2. How old ________ the young men? A. am B. is C. are D. be( ) 3. – What ________ up? - Sorry, I don’t know.A. am B. is C. are D. be( ) 4. - Is your pen pal from the U.S.A.? - ________ .A. Yes, he isn’t.B. Yes, she are.C. No, he is.D. No, he isn’t.( ) 5. - ________ you David? - Yes, I ________.A. Are; areB. Am; amC. Are; amD. Are; is( ) 6. - Is this an eraser? - ________ .A. Yes, this’s.B. Yes, this is.C. Yes, it is.D. Yes, it’s.【拓展练习】把下列句子改成否定句和一般疑问句。

1. This is the reading room.否定句:______________________________________________________________一般疑问句:___________________________________________________________2. She’s Miss L i n.否定句:______________________________________________________________一般疑问句:___________________________________________________________3. I am in Grade 3.否定句:______________________________________________________________一般疑问句:___________________________________________________________4. These are pears.否定句:______________________________________________________________一般疑问句:___________________________________________________________5. We are teachers.否定句:______________________________________________________________一般疑问句:___________________________________________________________6. Miss Zhang is our English teacher.否定句:______________________________________________________________一般疑问句:___________________________________________________________。

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