7.3幂级数
幂级数
k −1
=
1 在 x < 2 上成立， x2 1− 2
所以： f ( x ) = f ( 0 ) +
∫
x
0
f ′ ( t ) dt = ∫
x
0
1 1 2+x ， x < 2， dt = ln 2 t 2 2−x 1− 2 1 2 +1 = 2 ln ln 2 2 −1
最后我们求得：
∑ 2 ( 2k − 1) = f (1) =
则在 ( x0 − R, x0 + R ) 上，函数 S ( x ) 可导，且有：
S ′ ( x ) = ∑ nan ( x − x0 )
n =1
∞
n −1
， ∫ S ( t ) dt = ∑
x x0
an n +1 ( x − x0 ) 。 n =0 n + 1
∞
此定理也是由于一致收敛级数之性质而来的。 例4. 由幂级数
高等微积分讲义
第9讲
幂级数的定义与性质
∑a (x − x )
n =0 n 0 ∞ n
幂级数是指形如
的函数项级数， 由于形式相对简单因而其性质也较容易
研究清楚，并且具有一些一般函数项级数所没有的特殊性质。
1
对于级数
收敛性与收敛半径
∑a (x − x )
n =0 n 0
∞
n
，令： lim n an x − x0
∑( x − x )
n=0
0
∞
n
级数的收敛半径为 1，当 x − x 0 = ±1 时，级数均发散，所以级数的收敛区间 为 ( x0 − 1, x0 + 1)
∞
例2. 考虑级数
幂级数经典课件
收敛域的性 质：收敛域 是一个开区 间且包含原 点
收敛域的应 用：在函数 分析、微积 分等领域有 广泛应用
幂级数的收敛域的性质
收敛半径：幂级 数在收敛域内收 敛
收敛域：幂级数 在收敛域内收敛 且收敛半径为R
收敛半径的性质： 收敛半径R是幂级 数收敛域的半径
收敛域的性质：收 敛域是幂级数收敛 的区间且收敛半径 为R
幂级数的性质
收敛性：幂级数 是否收敛取决于 其收敛半径
解析性：幂级数 在其收敛半径内 解析
幂级数的和：幂级 数的和等于其收敛 半径内的解析函数
幂级数的展开：幂 级数可以展开为泰 勒级数或其他幂级 数形式
幂级数的收敛性
收敛性定义：幂级数在收敛区间内其部分和数列的极限存在 收敛性判别：使用比值判别法、根判别法、积分判别法等 收敛性应用：在函数逼近、数值分析、微分方程求解等领域有广泛应用 收敛性研究：幂级数的收敛性是数学分析中的重要课题有许多研究成果和理论
幂级数的求和的定义与性质
幂级数的求和： 将无穷多个幂 级数项相加得 到新的幂级数
求和的定义： 求和是指将无 穷多个幂级数 项相加得到新
的幂级数
求和的性质： 求和后的幂级 数具有与原幂 级数相同的收 敛半径和收敛
域
求和的应用： 求和在解决数 学问题、物理 问题等方面有
广泛应用
幂级数的求积的定义与性质
幂级数在解决初等数学问题中的应用
幂级数在微积分中的应用
幂级数在函数逼近中的应 用
幂级数在数值分析中的应 用
幂级数在概率论中的应用
幂级数的展开式的定义
幂级数：由无穷多个项组成的函数 展开式：将幂级数表示为无穷多个项的和 展开式形式：_0 + _1x + _2x^2 + ... 展开式的应用：在数学、物理、工程等领域广泛应用
幂级数的知识点总结
幂级数的知识点总结一、幂级数的定义与基本概念1. 幂级数定义幂级数是指形如 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 的级数，其中 $a_n$ 是常数，$x$ 是变量。
我们将 $a_nx^n$ 称为幂级数的通项。
当 $x=0$ 时，幂级数收敛，此时幂级数的值为 $a_0$。
当 $x\neq0$ 时，幂级数可能发散，也可能收敛。
2. 幂级数的收敛半径幂级数的收敛半径是指所有幂级数都收敛的 $x$ 范围。
收敛半径 $R$ 的计算公式为\[R = \lim_{n\to\infty} \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}\]当 $R=0$ 时，幂级数只在 $x=0$ 处收敛；当 $R=\infty$ 时，幂级数在整个实数范围都收敛；当 $0<R<\infty$ 时，幂级数在 $(-R,R)$ 范围内收敛。
3. 幂级数的收敛域幂级数的收敛域是指其收敛的 $x$ 区间范围。
我们可以通过比较 $|x|<R$ 和 $|x|=R$ 以及$|x|>R$ 的情况来判断幂级数的收敛域。
二、幂级数的性质1. 幂级数的加法性与乘法性若 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 和 $\sum_{n=0}^{\infty} b_nx^n$ 是两个幂级数，由于级数的加法与乘法遵循线性性质，因此这两个幂级数的和与乘积仍然是幂级数，它们的收敛性与原幂级数相同。
2. 幂级数的导数与积分幂级数在其收敛域内可以进行导数与积分运算，这是因为这些运算不会改变收敛性质。
具体来说，对于 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$，它的导数等于 $\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}$，它的不定积分等于 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1}x^{n+1}+C$。
三、幂级数的收敛性与收敛域判断1. 幂级数的收敛性判定判断幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 的收敛性时，我们可以使用比值判别法、根式定理、韦达定理等方法。
《数学分析》第十四章幂级数
第十四章幂级数（ 1 0 时）§1幂级数（ 4 时）幂级数的一般概念.型如和的幂级数.幂级数由系数数列唯一确定.幂级数至少有一个收敛点.以下只讨论型如的幂级数.幂级数是最简单的函数项级数之一.一. 幂级数的收敛域:Th 1（Abel定理）若幂级数在点收敛, 则对满足不等式的任何,幂级数收敛而且绝对收敛；若在点发散,则对满足不等式的任何，幂级数发散.证收敛, {}有界.设||, 有|,其中..定理的第二部分系第一部分的逆否命题.幂级数和的收敛域的结构.定义幂级数的收敛半径R.收敛半径 R的求法.Th 2 对于幂级数, 若, 则ⅰ>时,; ⅱ>时; ⅲ>时.证, (强调开方次数与的次数是一致的).……由于, 因此亦可用比值法求收敛半径.幂级数的收敛区间:.幂级数的收敛域: 一般来说, 收敛区间收敛域. 幂级数的收敛域是区间、、或之一.例1 求幂级数的收敛域 . ()例2 求幂级数的收敛域 . ()例3 求下列幂级数的收敛域:⑴; ⑵.例4 求级数的收敛域 .Ex [1]P50—51 1.二．幂级数的一致收敛性：Th 3 若幂级数的收敛半径为，则该幂级数在区间内闭一致收敛.证, 设, 则对, 有, 级数绝对收敛, 由优级数判别法幂级数在上一致收敛.因此,幂级数在区间内闭一致收敛.Th 4 设幂级数的收敛半径为,且在点( 或)收敛,则幂级数在区间( 或)上一致收敛 .证.收敛, 函数列在区间上递减且一致有界,由Abel判别法,幂级数在区间上一致收敛.易见,当幂级数的收敛域为(时,该幂级数即在区间上一致收敛 .三. 幂级数的性质:1. 逐项求导和积分后的级数:设,*) 和 **)仍为幂级数. 我们有Th 5 *) 和 **)与有相同的收敛半径 . ( 简证 ) 注: *) 和 **)与虽有相同的收敛半径(因而有相同的收敛区间)，但未必有相同的收敛域, 例如级数.2. 幂级数的运算性质:定义两个幂级数和在点的某邻域内相等是指：它们在该邻域内收敛且有相同的和函数.Th 6.Th 7 设幂级数和的收敛半径分别为和,, 则ⅰ>,—常数，.ⅱ>+,.ⅲ> ()(),,.3. 和函数的性质:Th 8 设在(内. 则ⅰ>在内连续;ⅱ> 若级数或收敛, 则在点( 或)是左( 或右 )连续的;ⅲ> 对,在点可微且有;ⅳ> 对,在区间上可积,且.注:当级数收敛时,无论级数在点收敛与否,均有.这是因为:由级数收敛,得函数在点左连续, 因此有.推论1 和函数在区间内任意次可导, 且有, …….注: 由系1可见,是幂级数的和函数的必要条件是任意次可导.推论2 若, 则有例5 验证函数满足微分方程.验证所给幂级数的收敛域为.., 代入,.例6 由于,.所以,..,Ex [1]P50—51 4 , 5， 6 .§2 函数的幂级数展开（ 4 时）一. 函数的幂级数展开:1. Taylor级数: 设函数在点有任意阶导数.Taylor公式和Maclaurin公式.Taylor公式：.余项的形式:Peano型余项:,（只要求在点的某邻域内有阶导数，存在）Lagrange型余项:在与之间.或.积分型余项: 当函数在点的某邻域内有阶连续导数时, 有.Cauchy余项: 在上述积分型余项的条件下, 有Cauchy余项.特别地，时，Cauchy余项为在与之间.Taylor级数: Taylor公式仅有有限项, 是用多项式逼近函数. 项数无限增多时, 得,称此级数为函数在点的Taylor级数. 只要函数在点无限次可导, 就可写出其Taylor级数. 称=时的Taylor级数为Maclaurin级数, 即级数.自然会有以下问题: 对于在点无限次可导的函数, 在的定义域内或在点的某邻域内, 函数和其Taylor级数是否相等呢 ?2．函数与其Taylor级数的关系：例1 函数在点无限次可微. 求得,. 其Taylor级数为.该幂级数的收敛域为.仅在区间内有=.而在其他点并不相等,因为级数发散.那么,在Taylor级数的收敛点,是否必有和其Taylor级数相等呢?回答也是否定的.例2 函数在点无限次可导且有因此Taylor级数，在内处处收敛.但除了点外,函数和其Taylor级数并不相等.另一方面,由本章§1 Th 8推论2（和函数的性质）知:在点的某邻域内倘有, 则在点无限次可导且级数必为函数在点的Taylor级数.综上, 我们有如下结论:⑴ 对于在点无限次可导的函数, 其Taylor级数可能除点外均发散, 即便在点的某邻域内其Taylor级数收敛, 和函数也未必就是.由此可见,不同的函数可能会有完全相同的Taylor级数.⑵ 若幂级数在点的某邻域内收敛于函数, 则该幂级数就是函数在点的Taylor级数.于是, 为把函数在点的某邻域内表示为关于的幂级数，我们只能考虑其Taylor级数.3．函数的Taylor展开式：若在点的某邻域内函数的Taylor级数收敛且和恰为，则称函数在点可展开成Taylor级数(自然要附带展开区间.称此时的Taylor级数为函数在点的Taylor展开式或幂级数展开式.简称函数在点可展为幂级数.当= 0 时, 称Taylor展开式为Maclaurin展开式.通常多考虑的是Maclaurin展开式.4. 可展条件:Th 1 (必要条件) 函数在点可展在点有任意阶导数.Th 2 (充要条件) 设函数在点有任意阶导数.则在区间内等于其Taylor级数(即可展)的充要条件是:对, 有.其中是Taylor公式中的余项.证把函数展开为阶Taylor公式, 有.Th 3 (充分条件) 设函数在点有任意阶导数, 且导函数所成函数列一致有界, 则函数可展.证利用Lagrange型余项, 设, 则有.例3 展开函数ⅰ> 按幂; ⅱ> 按幂.解,,.所以,ⅰ>.可见,的多项式的Maclaurin展开式就是其本身.ⅱ>.Ex [1]P58 1，3⑴.二. 初等函数的幂级数展开式:初等函数的幂级数展开式才是其本质上的解析表达式.为得到初等函数的幂级数展开式,或直接展开,或间接展开.1.. ( 验证对R ，在区间( 或)上有界, 得一致有界. 因此可展 )..2.,.,.可展是因为在内一致有界.3. 二项式的展开式:为正整数时,为多项式, 展开式为其自身;为不是正整数时, 可在区间内展开为对余项的讨论可利用Cauchy余项. 具体讨论参阅[1]P56.进一步地讨论可知(参阅Г.М.菲赫金哥尔茨《微积分学教程》第二卷第二分册.):当时, 收敛域为;当时, 收敛域为;当时, 收敛域为.利用二项式的展开式, 可得到很多函数的展开式. 例如取, 得，.取时, 得,.间接展开: 利用已知展开式, 进行变量代换、四则运算以及微积运算, 可得到一些函数的展开式.利用微积运算时, 要求一致收敛.幂级数在其收敛区间内闭一致收敛,总可保证这些运算畅通无阻.4...事实上, 利用上述的展开式, 两端积分, 就有,.验证知展开式在点收敛, 因此, 在区间上该展开式成立.5..由. 两端积分,有验证知上述展开式在点收敛, 因此该展开式在区间上成立.例4 展开函数.解.例5 展开函数.解.Ex [1]P58 2 ⑴―⑼,3⑵(提示) .。
幂级数ppt
定理 1 (Abel 定理)
（1）如果级数 an x n 在 x x0 ( x0 0)处收敛,则
n0
它在满足不等式 x x0 的一切 x处绝对收敛;
（2）如果级数 an x n 在 x x0处发散,则它在满
n0
足不等式 x x0 的一切 x处发散.
几何说明
收敛区域
o
• • •• • • ••• • •
发散区域 R
R 发散区域 x
推论
如果幂级数 an x n 不是仅在x 0 一点收敛,也
n0
不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定
的正数 R 存在,它具有下列性质: 当 x R时,幂级数绝对收敛; 当 x R时,幂级数发散; 当 x R与x R时,幂级数可能收敛也可能发散.
15
收敛半径为R 1 ，收敛区间为（1，2）.
2
当x 2时，原级数化为收敛的 交错级数
(1)n
;
x 1时，原级数化为
1 ,发散.
n0 2n 1
n0 2n 1
因此原级数的收敛域为 （1，2 ].
三、幂级数的运算
1、代数运算性质
设 an xn和 bn xn的收敛半径各为R1和R2 ,
n0
n0
证明 对级数 an xn 应用达朗贝尔判别法
n0
lim
n
an1 an
x n1 xn
lim an1 n an
x
x,
17
（1）由比值审敛法, 当 | x | 1 时,
级数| an xn | 收敛, 从而级数 an xn绝对收敛.
n0
n0
当 | x | 1 时,
级数 | an xn | 发散,
n0
《高等数学Ⅱ》课件-第7章幂级数的展开式及其应用
（3）求出 x S(t)dt 的幂级数形式，并求其收敛域. 0
解：（1）显 然 该 幂 级 数 的 收 敛 域为 ( 1,1] ；
（2）S'(x)
n1
(1)n1 n
xn
n1
(1)n1 n
xn
(1)n1 xn1, 收敛域为（ 1，1）；
n1
（3）
x
S(t)dt
0
x 0 n1
bn1 2 bn
an 2 an1
32
5
2
5
3
©
三、幂级数的性质
1. 代数运算性质
设 an xn和 bn xn 的收敛半径各为R1和R2 ,
n0
n0
R minR1, R2
(1) 加减法
an xn bn xn
n0
n0
x (R, R)
©
(2) 乘法 （类似于多形式的乘法）
令余项 则在收敛域上有
例如, 等比级数 它的收敛域是
有和函数
它的发散域是 ( , 1 ] 及 [1， ）, 或写作 x 1.
又如, 级数
所以级数的收敛域仅为
级数发散 ;
幂级数
s( x) u1( x) u2( x) un( x) 定义域
s(x) 的定义域就是 级数的收敛域.
(函余数项,1)项一rn级般((1x数,考)的虑)s部函,(但x分数)只和1有s1ns(在nxx(时)xD),,它ln(i的m1定,s1n)义上( x域,)它是才s(是x)
x
S(t) dt
0
an
n0
x 0
tn
dt
an n0n 1
x n 1 ,
x (R, R )
幂级数知识点总结高数大一
幂级数知识点总结高数大一幂级数知识点总结在高等数学的大一课程中，我们学习了许多重要的数学概念和理论。
其中，幂级数是一种十分重要且常见的数列展开形式。
在本文中，我将对幂级数及其相关概念进行总结和归纳。
一、幂级数的定义幂级数是一种特殊的函数展开形式，用无穷级数的形式表示。
一般形式如下：\[S(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\]其中，\(x\) 是变量，\(\{a_n\}\) 是一组常数系数。
在幂级数的展开形式中，\(a_n\) 表示第 \(n\) 项的系数，\(x^n\) 表示变量 \(x\) 的指数幂。
二、收敛区间与收敛半径幂级数在一定范围内是收敛的，我们称这个范围为收敛区间。
收敛区间由收敛半径来衡量，收敛半径的计算公式如下：\[R = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|\]其中，若极限存在，则收敛半径为 \(R\)；若极限为无穷大，则收敛半径为无穷；若极限为零，则收敛半径为零。
三、常见的幂级数展开1. 几何级数：当 \(|x| < 1\) 时，几何级数展开为：\[S(x) = \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}\]2. 自然指数函数：幂级数展开可以得到自然指数函数的展开形式，即在 \(x_0\) 处展开的自然指数函数为：\[e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}\]3. 三角函数：正弦函数和余弦函数的幂级数展开为：\[\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\] \[\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}\]四、幂级数的运算性质1. 幂级数的加法和减法：对于两个幂级数，可分别对其系数进行加法和减法运算，得到一个新的幂级数。
数学幂级数知识点总结
数学幂级数知识点总结一、幂级数的基本概念1. 幂级数的定义幂级数是由形如$a_n z^n$（$n$从0到$\infty$）的无穷多项式组成的级数。
其中$a_n$是级数的系数，$z$是自变量，$n$是正整数。
换句话说，级数的每一项都是$z$的幂函数。
2. 幂级数的收敛半径幂级数的收敛半径（又称为收敛域）是幂级数收敛到的最大半径，它可以通过求幂级数系数的极限来确定。
具体地说，如果极限 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$ 存在，并且等于$R$，那么幂级数的收敛半径就是$R$。
收敛半径的值可以是0，也可以是正无穷大，也可以是一个实数。
3. 幂级数的收敛区间除了收敛半径外，幂级数还有一个收敛区间。
如果收敛半径是$R$，那么收敛区间就是令幂级数收敛的所有复数$z$的集合，这个集合可以是一个区间，也可以是一个线段，也可能是一个点。
4. 幂级数的性质幂级数有很多重要的性质，比如线性性质、微分和积分的性质、幂级数求导和求和的性质等，这些性质在分析和求解问题中非常有用。
二、幂级数的收敛性1. 幂级数的收敛域收敛域是指使幂级数收敛的所有自变量的集合。
根据幂级数的定义和收敛半径的概念，我们可以很容易地确定一个幂级数的收敛域。
2. 幂级数的收敛测试在实际应用中，我们常常需要判断一个幂级数是否收敛。
为了判断幂级数的收敛性，我们可以使用比较判别法、比值判别法、根值判别法、Raabe判别法等各种不同的方法。
3. 幂级数的绝对收敛性如果一个幂级数的每一项都是非负数，并且级数的收敛性不依赖于幂级数的项的排列顺序，那么这个幂级数就是绝对收敛的。
4. 幂级数的一致收敛性一致收敛是一种比较强的收敛性，它要求幂级数在其收敛域内的每一个点上都收敛，并且幂级数的收敛速度是一致的。
一致收敛的幂级数在求导、求和等操作中有着重要的应用。
三、幂级数的求和1. 幂级数的求和函数幂级数的和函数是指将收敛域内的每一个复数$z$代入幂级数中得到的函数。
幂级数常见6个公式
幂级数常见6个公式一、幂级数的定义幂级数是数学中常见的一种级数形式，可以用来表示各种函数。
幂级数的一般形式为∑(n=0)∞(an⋅x^n)，其中an为系数，x为变量，n为指数。
幂级数可以收敛于一个特定的值，也可以在一定范围内发散。
二、泰勒级数公式泰勒级数是幂级数的一种特殊形式，可以用来近似表示函数。
泰勒级数公式可以将一个函数表示为一系列无穷多个项的和，其中每个项都是函数在某一点的导数与该点的函数值的乘积。
泰勒级数公式为f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... + f^n(a)(x-a)^n/n! + ...。
三、麦克劳林级数公式麦克劳林级数是泰勒级数的一种特殊形式，可以用来近似表示函数。
麦克劳林级数公式是泰勒级数公式的特例，当函数在某一点的所有导数都为零时，麦克劳林级数公式简化为f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x^2/2! + ... + f^n(0)x^n/n! + ...。
四、幂级数的收敛半径幂级数的收敛半径是幂级数收敛的范围。
根据幂级数的收敛半径，可以确定幂级数在哪些点收敛，以及收敛的范围。
收敛半径的计算可以使用柯西—阿达玛公式，即R = 1/limsup〖√(│an│)〗。
五、常见的幂级数公式1. 指数函数幂级数：e^x = ∑(n=0)∞(x^n/n!)，其中e为自然对数的底数。
2. 正弦函数幂级数：sin(x) = ∑(n=0)∞((-1)^n⋅x^(2n+1)/(2n+1)!)。
3. 余弦函数幂级数：cos(x) = ∑(n=0)∞((-1)^n⋅x^(2n)/(2n)!)。
4. 自然对数函数幂级数：ln(1+x) = ∑(n=1)∞((-1)^(n-1)⋅x^n/n)，其中|x|<1。
5. 反正切函数幂级数：arctan(x) = ∑(n=0)∞((-1)^n⋅x^(2n+1)/(2n+1))，其中|x|≤1。
幂级数
间的长度, 则称R为幂级数的收敛半径. 事实上, 收 敛半径就是使得幂级数(2)收敛的所有点的绝对值的
上确界. 所以有
(i) 当 R 0 时, 幂级数(2)仅在 x 0 处收敛; (ii) 当 R 时, 幂级数(2)在 ( , )上收敛;
(iii)当 0 R 时, 幂级数(2)在 ( R, R) 内收敛; 对
例5 级数
( x 1)n x 1 ( x 1)2 2n n 2 22 2
( x 1)n n 2 n
, (6)
由于
1 n 1 2n1 ( n 1) ( n ), 1 2( n 1) 2 2n n
所以级数(6)的收敛半径 R 2 , 从而级数(6)的收敛 区间为 | x 1 | 2 即 ( 1, 3).
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求积后得到的幂级数
a1 2a2 x 3a3 x 2
与
a1 2 a2 3 a0 x x x 2 3 的收敛区间.
nan x n1
an n1 x n 1
(7)
(8)
定理14.7 幂级数(2)与幂级数(7)、(8)具有相同的收
敛区间.
证 这里只要证明(2)与(7)具有相同的收敛区间就可 以了, 因为对(8)逐项求导就得到(2).
n
幂级数(2)的收敛半径. 究竟用比式法还是根式法, 可以参考第十二章的相关说明.
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2 a n x n1 1( n ), 例1 级数 2 , 由于 2 an ( n 1) n
n
所以其收敛半径 R 1 , 即收敛区间为 ( 1, 1) ; 而当
( 1)n 1 1 x 1 时, 有 2 , 由于级数 2 收敛, 所 2 n n n
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(
2
n
1)(2 n (n 1)2
2)
x2
4 x2
当4x2 1 当4x2 1
时级数收敛 故收敛半径为 R 1 .
时级数发散
2
Y20A1N9G年Z1H0O月U6日U星N期IV日ERSITY高等数学(经济类)
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例
的收敛域.
解: 令
级数变为
R lim
反之, 若当 x x0 时该幂级数发散 ,下面用反证法证之
假设有一点 x1 满足 x1 x0 且使级数收敛 , 则由前 面的证明可知, 级数在点 x0 也应收敛, 与所设矛盾,
故假设不真. 所以若当 x x0 时幂级数发散 , 则对一切
满足不等式 x x0 的 x , 原幂级数也发散 . Y20A1N9G年Z1H0O月U6日U星N期IV日ERSITY高等数学(经济类)
例
的和函数 .
解: 级数的收敛半径 R＝+∞. 设
则
S(x)
x n 1
n1 (n 1)!
S(x)
解微分方程 S(x) S(x)
得
S(x) C ex
由S(0) 1得 S(x) ex , 故得
Y20A1N9G年Z1H0O月U6日U星N期IV日ERSITY高等数学(经济类)
x 1 即是此种情形.
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定理 7-8. ( Abel定理 ) 若幂级数 an xn
n0
则对满足不等式
的一切 x 幂级数都绝对收敛.
反之, 若当
时该1
对端点 x = 1, 级数为交错级数
收敛;
对端点 x =－1, 级数为
发散 .
故收敛域为 (1, 1] .
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例 求下列幂级数的收敛域 :
规定: 0 ! = 1
解: (1)
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定理7-10 若幂级数 的收敛半径
则其和函
在收敛域上连续, 且在收敛区间内可逐项求导与
逐项求积分, 运算前后收敛半径相同:
S ( x)
an xn
nan xn1,
1
R lim an lim n an1 n
n! 1
(n 1)!
所以收敛域为 ( , ) .
(2) R lim an lim n ! n an1 n (n 1) !
所以级数仅在 x = 0 处收敛 .
0
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7.3幂级数
7.3.1函数项级数的概念 7.3.2幂级数
第七章
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7.3.1函数项级数的概念
设 un (x) (n 1, 2,) 为定义在区间 I 上的函数, 称
的系数满足
则
1) 当 ≠0 时, R 1 ;
2) 当 ＝0 时, R ;
3) 当 ＝∞时, R 0 .
证:
lim
n
an 1 x n 1 an xn
lim an1 n an
x
1) 若 ≠0, 则根据比值审敛法可知:
当
x
1,
即
x
1
时,
原级数收敛;
当
例求级数
的和函数
解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 ,
收敛 ,
S(x)
xn
1
x n 1
n0n 1 x n0 n 1
1 x xn
x 0 n0
dx
1 x
x1
0
1
x
dx
(0 x 1 及
)
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又如, 级数
所以级数的收敛域仅为
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级数发散 ;
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7.3.2幂级数
形如
的函数项级数称为幂级数, 其中数列
称
为幂级数的系数 .
下面着重讨论
的情形, 即
例如, 幂级数
xn
n0
1, 1 x
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例
的和函数
解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , x＝±1 时级数发 散,
x (xn )
x xn
n1
n1
x
1
x
x
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高等数学(经济类) (第二版)
普通高等教育“十一五”国家级规划教材
与机械工业出版社版配套
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第七章
无穷级数
数项级数
无穷级数 幂级数
表示函数 无穷级数是研究函数的工具 研究性质
数值计算
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也可通过换元化为标准型再求 . 2. 幂级数的性质
1) 两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与
乘法运算.
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2) 在收敛区间内幂级数的和函数连续; 3) 幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.
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例
的收敛半径 .
解: 级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理7-9, 故直接由
比值审敛法求收敛半径.
lim un1(x) n un (x)
lim
n
[ [
2 (n (n
1) ] ! 1) ! ]2
x
2
(n1)
[2n]! [ n ! ]2
x2n
lim
故
S 1
2
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内容小结
1. 求幂级数收敛域的方法 1) 对标准型幂级数
先求收敛半径 , 再讨论端点的收敛性 .
2) 对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式)
求收敛半径时直接用比值法或根值法,
证毕
由Abel 定理可以看出, an xn 的收敛域是以原点为
中心的区间.
n0
用±R 表示幂级数收敛与发散的分界点, 则
R = 0 时, 幂级数仅在 x = 0 收敛 ;
R = 时, 幂级数在 (－∞, +∞) 收敛 ;
0 R , 幂级数在 (－R , R ) 收敛 ; 在[－R , R ]
n
an an1
lim
n
1 2n n
1 2 n 1 (n
1)
lim
n
2n1(n 2n n
1)
2
当 t = 2 时, 级数为 此级数发散;
当 t = – 2 时, 级数为
此级数条件收敛;
因此级数的收敛域为 2 t 2 , 故原级数的收敛域为
即 1 x 3.
因此 R 0 .
说明:据此定理
的收敛半径为 R lim an n an1
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例 求幂级数
的收敛半径及收敛域.
1
解: R lim an lim n an1 n
为定义在区间 I 上的函数项级数 .
对
若常数项级数
收敛, 称 x0 为其收
敛点, 所有收敛点的全体称为其收敛域 ;
若常数项级数
发散 , 称 x0 为其发散点, 所有
发散点的全体称为其发散域 .
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的一切 x , 该幂级数也发散 .
证: 设
收敛, 则必有
于是存在
常数 M > 0, 使
收敛 发散
o Y20A1N9G发年Z1H0O月U6散日U星N期IV日ERSITY高等收数学(经济敛类)
发散 x
an xn
an x0n
xn x0n
an x0n
x x0
n
当 x x0 时,
收敛,
也收敛,
故原幂级数绝对收敛 .
在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数 为级数的和函数 , 并写成
称它
若用
表示函数项级数前 n 项的和, 即
令余项 则在收敛域上有
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