应用定积分求和的极限
p.438:4 (3 ) 应用定积分求极限 ∑
=+∞
→n
k p p
n n k 1
1
lim。
解：
n n k n n
k n k p
n k n
k p p n
k p p 11111
1
⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=∑∑∑
===+ ，此式是函数 p
x x f =)( 在区间 []1,0 的特殊积分和：区间 []1,0 被分为 n 等分，k ξ 是小区间 ⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡-n k n k ,1 的右端点。
函数p x x f =)( 在区间 []1,0 可积，因而有：所求极限
1
11lim
11101
1+=
+=
=+=+∞
→⎰∑
p p x x d x n
k p p n
k p p n
这一类型题的解题关键一是分离出因式 n 1 ，二是将余下的因式化为 n
k
或类似形式的函数。
例如本题解答中即是如此。
又如p.438:4 (4 ) ：应用定积分求极限 ()()[]n
n n n n n n
111lim
-++∞
→ 。
本例无求和，只有乘积，因而不能直接应用上述解法；但利用对数性质可将乘积转化为求和，这样，即可分离出因式
n
1 。
解：令 ()()[]n
n n n n n
y 111-++=
，则 ()()[]()∑-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⎭⎬
⎫
⎩⎨⎧-++=101ln 111ln 111ln ln n k n n n k n n n n n n n n n n n n n y ∑-=⎪⎭
⎫
⎝⎛+101ln 1n k n k n 是函数 x x f ln )(= 在区间 []2,1 的特殊积分和：区间 []2,1 被分为 n 等分，k ξ 是小区间 ⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
+++n k n k 11,1 的左端点。
函数 x x f ln )(= 在区间 []2,1 可积，因而有：极限
⎰∑=⎪⎭⎫
⎝⎛+=-=∞→∞→2
110ln 1ln 1lim ln lim x
d x n k
n y n k n n
定积分
()
()()2ln 211ln 112ln 21ln ln 1
2
2
1
=-⨯--⨯=-=⎰x x x d x 。
函数 x e 在其
定义域内连续，因而所求极限
4lim lim 4ln ln lim ln ====∞
→∞
→∞
→e e e y y
y n n n 。
利用定积分定义求和式极限问题的探讨
．
上 式 的 和 是 函 数 Ｆ （ｘ，ｙ）＝５ｘ 一１８×２ｙ ＋５ｙ４在 Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）
＝ 击 ．
酬 ＝击 ＋ ＝
。 ＝ ｌ０≤×≤１，０≤ｙ≤１｝上 的一个 积分 和 。该题 在 求解 过程 中将 Ｄ：
｛（ｘ，ｙ）＝１０≤ｘ≤１，０≤ｙ≤１｝进 行等 分 成 个 ｎ 小 区域 ，按 照 划
＋
这里取ｆ（ｘ）＝ ，区间为［ａ，ｂ】，极限转化为击
Ｊ ｘ ｄ×。若取 分—— 求 和 —— 取 极 限 的 方 法 来进 行 分 析 ，且 已知 函 数 Ｆ（ｘ）
＝ ５ｘ 一侣 ×２ｙ ＋５ｙ 在 整个 闭区域上 是连续 的 ，故二 重积分 存在 ，可
ｆ（ｘ）＝［ａ＋（ｂ—ａ）ｘ】。，区间为［０，１】，极限转化为Ｊ。［ａ＋（ｂ—ａ）×］Ｄｄ×。后 以利用 二重积 分来计 算该极 限和 。
ｆ ｓｉｎ ｓｉｎ
１
椭 【 ０ 叶哥
有些特殊 的和 的极 限可 以利用二重 积分 的定义 求解。
例４ 计算 。。 ∑ ∑（５ｍ 一１８ｍ 。＋５ｋ ）。
ｎ ｍ 。 。
解 ： 。。 ∑ ∑ （５ｍ 一１８ｍ２ｋ２＋５ｋ ）： ∑ ∑
［５ 例２ 求极限 ｓｉｎ ’ ∑［ｎａ＋ｉ（ｂ—ａ）］ （ｐ＞ｏ。ａ＜ｂ）
的 空间 ，让他 们 用手 中的立体 图形和 平面 图形 自由结合 创造 出一 些模 型 、图案 ，然后 让代 表在讲 台前展 示并给 自己的模型 作简 短 的 介绍 ，就这 样把本 节课推 入 了高潮 。
不管是 怎样 的教学模 式 ，本着 “在 活动 中体验 ，在活动 中感 悟 、 在感悟 中成 长”的理 念 ，努 力地 创设 问题 情境 ，使 内容 活动 化 ，活动 内容化 ，使我 们的教学设计 真正 是学生活动 的设计 。让学生在 民主 和谐 的环境 中学 习 ，在激 烈竞争 的环境 中探 索 ，给学 生一 个 自由翱 翔的空 间和发 挥的舞 台，让 学生充分 体验到投 入实践 和探索 的成就 感。让学生没有 理由不爱上数 学 ！带着一种欣 赏的眼光去聆 听学生 们的话语 ，使 你不能不 为孩 子丰富的想象 力 、大胆的创造 力而惊叹 ！
定积分的定义在求无穷和式极限中的应用
度、操作技能的掌握程度、收集整理资料的能力以及观察 问题和分析解决问题的能力等，充分发挥学生的主观能动 性。 ３ 实施方案
（１）根据素质教育要求和教育部“关于进一步深化本 科教学改革全面提高教学质量的若干意见”，结合专业实 际在充分调研的基础上调整好食品质量与安全专业实践教 学体系。
（２）以学科与课程组为单位，编写实验教学大纲和实 习实践教学大纲，在修订实验大纲以及实验教材时，增加 综合性、设计性实验比重，并把学科发展的新成果充实到 教学内容中去。
（６）对已建立协议的教学实习基地要不断加强联系与 交流，建立牢固的长期合作关系，每学年邀请基地领导来 我院共同研究实习基地建设问题，并做好年度实习基地建 设工作总结。继续考察、遴选新的实习基地，加快建立满 足新专业要求的实习基地。
（７）积极开展第二课堂活动，推进导师制，言传身教 使学生在参加科技实践创新活动中，提高实践能力及创新 能力。
在高等数学的教学中，介绍了很多求函数极限的方
法。但是当我们遇到极限为“无穷多个无穷小之和”的形
式（以下简称无穷和式），就不能用这些常规的方法了。
通常是先求出无穷数列前ｎ项的和，再求和式的极限。但当
数列的前ｎ项的和不易求出时，我们就可以考虑用定积分的
定义来求它的极限了。
学过定积分的定义，我们知道定积分是积分和的极
参考文献： ［１］ 常 庚 哲 等 ．数 学 分 析 教 程 （上 ）［Ｍ］．北 京 ：高 等 教 育 出 版
社，２００３：３００～３３１． ［２］ 吉米多维奇．数学分析习题集题解（六）［Ｍ］．济南：山东科学技术
出版社，２００２：１０３～１４８． ［３］ 上海财经大学应用数学系．高等数学［Ｍ］．上海：上海财经大学出
（３）出台相应的激励政策，鼓励教师参与实践教学的 改革，并通过实践教学活动和科研有机结合起来，产学研 相长，不断提高实践教学水平。
学习《高等数学》应注意的若干问题(一)——函数的极限
￡ 一 Ｎ ， ｓ 一 ８ 语言来证明， 例如： 求ｌ ｉ
＝ １ ；
；
（ ２ ） 利用数列的求和公式 ， 例如 ： 求
（ ５ ） 重积分 的计算 ； （ ６ ） 两类曲面积分之间的联系 ； 教学 的实 践 证 明 ： 这些 方 法 和 技巧 对 解题 和教 学是很有效果的 。这一 系列文章 的全部方法 和技 巧 已融人 了笔者近几年的教学过程 中， 希望将之整 理给学生在 自学和教师在讲解过程 中用 以参考。 《 高等数学》 是高等院校工科学生 的数学类基 础课程 。作为课 程本身 ， 它有一套 “ 基本 概念 ， 性 质， 定理 ， 公式以及实际应用” 的体系口 。因此 ， 在教 与学这 门课程时 ， 应把握 其中关键定义 、 定理 的思 想 内涵 ， 以及 学 会 分析 问题 和解 决 问 题 的能 力 。对
（ ４ ） 多元 函数 的求 导法 则 ；
法 。在 练 习 的过 程 中要 举 一 反 三 ， 达到学好《 高 等
数学》 的 目的。 此文作为系列文章的第一部分 ， 阐述求 函数极 限 的常用 方 法 和解 题 技 巧 ， 并 指 出在 解题 过 程 中应 注意 的 问题和解 题 的一 般思 路 。
１ 引 言
为 了帮助工科 学生理解和分析《 高等数学》 中 的复 杂 而又 重 要 的 问题 ， 并 为 教授 这 门课 程 的教 师 提供 一些有 用的参 考 ， 笔者按 照授课 的 内容 和顺 序， 以一 个 系 列 的文 章 形式 来 阐述 该 课 程 教学 大 纲 中 的几个 重 要 知识 点 ， 以及 这 些 知识 在 整 个教 学 内 容 中所起的作用和地位 。 本文所选 内容 为《 高等数学》 ｕ （ 同济大学应用 数学 系编 ， 高等教育 出版社 ， 第六版 ） 的相关章节 ， 以一 系列教学研究来 阐明笔 者对 《 高等数学》 中若 干 问题 的理 解 和 解 释 ， 其 中部 分 涉及 新 解题 方 法 和 解题技巧。该系列的文章由如下六个部分构成： （ １ ） 函数 的极 限 ； （ ２ ） 微 分 中值定 理 ； （ ３ ） 不 定 积分 的换元 积分 法 ；
巧用定积分求极限(数学分析)
定积分在求极限中的应用之袁州冬雪创作1、知识准备微积分学在大学的数学学习中占有相当重要的地位.然而,求极限又是微积分学中常常要面对的问题.因此,积累更多求极限的方法应是每位大学生必备的素养.“00”型的极限和“∞∞”型极限的.泰勒公式适宜于处理求分式极限中分子或分母有加减运算的问题,通过泰勒展式后可以达到某些项抵消效果.但若仔细观察这些方法,其特点不是表达较繁琐就是仅仅应用到微分学知识.事实上,微分学和积分学的关系正如中小学时代学习过的加法与减法,乘法与除法,乘方与开方以及幂运算与取对数运算的关系一样,他们互为逆运算.倘若也能用到积分学知识来处理求极限的问题,那末求极限的方法才算完美.而操纵定积分求极限正体现了这一理念. 1.2定积分的概念下面首先让我们回顾一下定积分以及极限的定义:定积分:设函数()f x 在闭区间[],a b 上有定义,在闭区间[],a b 内任意拔出n-1个分点将[],a b 分成n个区间[,]x i i x x -,记(1,2,,i i i x x x i n ∆=-=）,1[,]i i x x ξ-∀∈,作乘积()i i f x ξ∆(称为积分元),把这些乘积相加得到和式1()niii f xξ=∆∑(称为积分形式)设{}max :1i x i n λ=∆≤≤,若1lim ()ni ii f x λξ→=∆∑极限存在唯一且该极限值与区是[],a b 的分法及分点i ξ的取法无关,则称这个唯一的极限值为函数()f x 在[],a b 上的定积分,记作 b a ()f x dx ⎰,即1()lim ()nbai ii f x dx f x λξ→=⎰=∆∑.否则称()f x 在[],a b 上不成积.注1:由牛顿莱布尼兹公式知,计算定积分与原函数有关,故这里借助了不定积分的符号.注2:若()b a f x dx ⎰存在,区间[],a b 停止特殊分割,分点i ξ停止特殊的取法得到的和式极限存在且与定积分的值相等,但反之不成立,这种思想在考题中常常出现,请读者要真正懂得.注3:定积分是否存在或者值是多少只与被积函数式和积分区间有关与积分变量用什么字母暗示无关,即()()().b b ba a a f x dx f t dt f u du ⎰=⎰=⎰仔细观察定积分的定义,我们一定会发现定积分的极限有以下两个特征.第一,定积分是无穷项和式的极限,容易知道一般项在项数趋近于无穷大时极限值必定趋近于零,否则和式极限不存在.第二,定积分与某一持续函数有慎密的关系,它的一般项受到这一持续函数的约束,它是持续函数在某个区间上停止了无穷的分割,各小区间上任意的函数值与区间长度的乘积的累加.对于极限,大学主要学习了数列的极限和函数的极限.数列的极限是用于处理团圆的自然数的相关极限,而函数的极限则主要用于处理持续函数的相关极限.那末就让我们先一一往返忆它们吧！极限的概念数列的极限设{}n a 为数列,a 为实数,若对任给的正数ε,总存在正整数N ,使得当n N >时有||n a a ε-<, 则称数列{}n a 收敛于a ,实数a 称为数列{}n a 的极限,并记作lim n n a a →∞=或()n a a n →→∞.(读作:当n 趋于无穷大时,n a 的极限等于a 或n a趋于a ).由于n 限于取正整数,所以在数列极限的记号中把n →+∞写成n →∞,即lim n n a a→∞=或()n a a n →→∞.若数列{}n a 没有极限,则称{}n a 不收敛,或称{}n a 为发散数列. 注1:关于ε:①εε的作用在于衡量数列通项n a 与常数a 的接远程度,ε越小,暗示接近得越好;而正数ε可以任意小,说明n a 与常数a 可以接近到任何程度;②εε有其任意性,但一经给出,就暂时地被确定下来,以便依靠它来求出Ｎ;③ε的多值性.ε既是任意小的正数,那末2,3,2εεε等等,同样也是任意小的正数,因此定义１中的不等式||n a a ε-<中的ε可用2,3,2εεε“||n a a ε-<”可用“||n a a ε-≤”代替;④正由于ε是任意小的正数,我们可以限定ε小于一个确定的正数.注2:关于N :①相应性,一般地,N 随ε的变小而变大,因此常把N 定义作()N ε来强调,N 是依赖于ε的;ε一经给定,便可以找到一个N ;②N 多值性N 的相应性其实不料味着N 是由ε唯一确定的,因为对给定的ε,若100N =时能使得当n N >时,有||n a a ε-<,则101N =N 不是唯一的.事实上,在许多场合下,最重要的是N 的存在性,而不是它的值有多大.基于此,在实际使用中的N 也不必限于自然数,只要N 是正数即可;而且把“n N >”改为“n N >”也无妨.函数的极限设函数()f x 在点0x A ,对于任意给定的正数ε(不管它有多么小),总存在某正数δ,使得当x 知足不等式00x x δ<-<时,对应的函数值()f x 都知足不等式()f x A ε-<,那末常数A 就叫做函数()f x 当0x x →时的极限,记为00lim ()()()x x f x A f x A x x →=→→或当.可以看出，数列极限与函数极限定义的思想是一致的,都是相应的某个表达上的值无限地接近某个常数值.分歧的是数列是团圆的,数列中的项在跳跃式地接近,而函数是持续的,函数值在逐渐地接近,但二者都能与相应的常数值以任意程度地接近. 2、定积分与极限定积分在求极限中应用概述不丢脸出,无论是数列的极限还是函数的极限,它们都与定积分的定义存在着千丝万缕的关系,那末就让我们来揭晓它们之间玄机与奇妙吧.事实上,定积分的定义中蕴含着一列数｛()i i f x ξ∆｝的和,而且只要i x ∆充分地小,和式1()ni ii f x ξ=∆∑便可以任意地接近确定的实数J=()baf x dx ⎰,这正是极限思想的存在,即1lim ()J ()nb i i a n i f x f x dxξ→∞=∆==⎰∑.这就为我们求极限提供了一种独特而有力的方法——操纵定积分求极限.因为在积分学中有大量的积分公式,所以我们运用之处理众多类型的和式极限.定积分求极限中应用思想的形成先让我们看一个简单的例子: 例1.求极限111lim()122n J n n n →∞++=++….分析:此极限式的求解,不容易直接用极限的定义处理,因为该法往往是用来一边计算一边证明某个极限成果已经比较分明的问题,因此这里不适合;重要极限的结论显然也在这里没有用武之地,因为形式上根本分歧;再思索洛必达法则,它不是无穷比无穷型的极限也非零比零型的极限,也不成能用到此法;那末泰勒公式呢？泰勒公式往往是用来处理持续函数的极限问题,通过泰勒展式往往能把非多项式形式的表达式转化成多项式形式,以简化形式从而求解,看来这里也不适用.那是不是就没有什么合适的法子了呢？答案当然是否定的,事实上,它从形式上与定积分的定义还是有一些相像的,那末就让我们测验测验用定积分的法子来处理这个问题吧！解:把此极限式转化为某个积分形式,从而计算定积分.为此做如下变形:111lim 1nn i J i n n →∞==+∑.不丢脸出,其中的和式是函数1()1f x x =+在区间[]0,1上的一个积分和(这里取得是等量分割,11,[,],1,2,i i i i i x i n n n n n ξ-∆==∈=…).所以,J=11001ln(1=ln21dx x x =++⎰）.从该例题的解法中可以看出,本题的关键是将极限和转化为积分和,从而操纵了定积分将所求极限迎刃而解.于是,我们可以总结出定积分在求极限中应用的一般方法步调:Sept1将和式极限1lim ()nn i g i →∞=∑颠末变形,使其成为积分形式1lim ()ni in i f x ξ→∞=∆∑.这里常取11,[,],1,2,i i i i ix i n n n n n ξ-∆==∈=…;Sept2确定积分函数的上下限. a=lim (i n i ξ→∞取第一个值）lim (i n b i ξ→∞=取最后一个值）;Sept3用x 代换i ξ,写出定积分表达式()baf x dx⎰,并求出原极限的值.通过以上的一般方法步调,我们在面对无穷项和式的极限问题时就有方可依,有法可循了.现在让我们再来看一个例子,并从中仔细体会以上方法步调. 例2.求极限222222111lim (12n n n n n n →∞+++++…+）.解:Sept1 化和式极限为积分形式.原极限=22211111lim lim 1(nn n n i i i n i n n →∞→∞===++∑∑）. 显然,这里1,(i i ix n nξ=∆=即是进行N 等分）,被积函数可当作()21f x ,1,2,.1+i n x ==…Sept2 确定积分函数上下限.Sept3 写出积分表达式并求出积分值.原极限=110201arctan 14dx x x π==+⎰.对于本题,我们是牢牢依照刚刚总结出的方法步调停止的,并顺利地求出了原题的极限值.这是一个详细的例子,那末我们是否可以总结出更为一般性结论呢？答案自然是必定的. 3、应用定积分求极限 一般性结论的综述及其应用至此,我们可以得出如下结论:结论1如果函数()f x 在区间[],a b 上持续,将区间[],a b 停止n 等分,1[(()],i i i i b a b a b a x n n nξ--∈--∆=），,那末，1lim ()()nb i a n i b a f f x dx n ξ→∞=-=∑⎰.事实上,持续函数一定可积,而将区间[],a b 停止n 等分也是分割T的一种特殊情况.根据定积分的定义,上述结论成立.当然,其实不是所有的用到定积分求极限的问题中都要严格用到上面总结出的三个步调,我们可视情况矫捷处理,比方无需用到某一步调或者还需用到其他求极限的思想等.下面我们再看一组求极限的习题,以充分感受结论1的用途. 习题组11)sinsinsinlim[]1112n n n n n n n n πππ→∞+++++2n ….这组习题都是无穷项式子和的极限问题,都可以把定积分的思想应用到求极限中去.现在就让我们用结论1来处理这些求极限的问题,并从分歧习题中寻找出异同,以加深对结论1的掌握和认识.解:(1) 分析 原极限显然可以当作()sin f x x π=在[]0,1上的定积分.故(2)分析 先通过恒等变形,原极限式=11lim n n i n →∞=,被积函数()f x =,积分区间是[]0,1,于是原极限值=11022(13)33x =+=⎰; (3)分析 原和式极限的通项是sin in i n n π+不成以当作是关于i n的某一个函数,但是注意到:应用结论1,上面不等式左端可以取极限,即111211lim (sin sin sin )lim sin [lim sin ][lim ]1+1+1nn n n n n i i n n i i n n n n n n n n n n n πππππ→∞→∞→∞→∞==+++=⋅⋅=⋅+∑∑…=12[sin ]1xdx ππ⋅=⎰,上面不等式右端可以取极限,即1011212lim (sin sin sin )lim sin sin n n n i n i xdx n n n n nn ππππππ→∞→∞=+++=⋅==∑⎰…. 于是,由极限的迫敛性可知原极限值=2π.这组题均典型地运用了定积分的计算,从而求出了各极限.我们发现,只要找到某个持续函数()f x ,并能把这个和式极限1lim ()nn i g i →∞=∑转化成积分形式1lim f ()n i n n→∞⋅,我们就只需计算出f(x)在[0,1]上的积分值,从而确定出原极限值.这三个习题中,例题1的式子无需再停止恒等变形,因为其形式上已经是lim n→∞f(in)1n⋅了;习题2与习题3形式上直观上不是lim n→∞f(in)1n⋅的形式,因为式子n→∞与式子sin sin sinlim[]1112nn n nn n nnπππ→∞+++++2n…都不含in的项.为此,我们需要对习题2以及习题3极限的式子停止恒等变形,通过提取公因式等手段使其出现in()f x,例如习题3,我们可以用极限的一些性质,如极限的迫敛性,从而间接地求出原和式极限的极限值.一般性结论的深化及推广接下来,我们对结论1停止适当的推广,以得到更多形式的极限的求法.推论1如果函数(),(),()()f xg x f x g x⋅均在[],a b上可积,证明:首先,(),(),()()f xg x f x g x⋅均在[],a b上可积.又由于1,,i ii in nξη-⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,0(ix n∆→→∞当）,所以,lim lim.i in nξη→∞→∞=于是,01lim()()ni i iif g xλξη→=∆∑=01lim()()ni i iif g xλξξ→=∆∑=()()baf xg x dx⎰.例3.求极限:122lim[sin cos()sin cos()sin cos()]222nn nn n n n n n n n n nπππππππππ→∞-+-++-….解:由推论1可知,f(x)= 于是,原极限式=121011sin cos sin 02x xdx x ππππ=⋅⋅=⎰.推论2设10ln ()ln ()0,1]lim.f x dx n f x e →∞⎰=在区间[上可积，则例4.试求:112lim()nn n n n n n n n →∞+++⋅⋅….推论3如果函数()f x 在区间[]0,1上可积,且()1()11121f x 0,lim[1+()][1+()][1+()]f x dx n nf f f e n n n n n n →∞⎰≥⋅⋅=则….证明:记A=11121lim[1+()][1+()][1+()]n nf f f n n n n n n→∞⋅⋅…,则11ln lim ln[1+()]nn i i A f n n →∞==∑10()()11()1011()1111lim ln[1+()]lim ln[1+()]11lim ln lim ()()A .n if i n nnf n nn n i i i nn f nn n i i f x dx i if f n n n nn n i e f f x dxn nn e ⋅→∞→∞==→∞→∞======⋅=⎰=∑∑∑∑⎰于是，例5.计算22212lim(1)(1)(1)333n nn n n →∞+⋅++….解:本题也可以直接运用推论3,这三个推论是对结论1的需要补偿与完善.形式上我们不但有无穷项式子和的极限,还衍生出了无穷项式子乘积的极限.它们都是顺着结论1的思路继续停止探索,从形式上丰富了定积分在求极限中应用这一思想,但从实质上讲,它们与结论1是一致的.它们都牢牢抓住了定积分概念的实质,意识到定积分是无穷项和的极限,应用数学的一些基赋性质,对各式子停止恒等变形,尽可以把分歧形式的极限向定积分定义中的和式上去挨近.最终通过简单了然的定积分公式,求出定积分的值来,以确定出原极限的值.由这三个推论来看,111111111lim (),lim ()(),,[,],lim [()],lim [1+()]n n n n n i i i i n n n n i i i i i i i i i f f g f f n n n n n n n n ξηξη→∞→∞→∞→∞====-⋅∈∑∑∏∏对于等形式的极限，我们都有方可循,用定积分的方法容易求出其极限来.对于任何一种数学方法,只要我们仔细地观察与推究,都能将其结论或应用范围加以推广,就像结论 1.现在让我们来看一组习题,以体会以上诸推论.现在,我们已经积累了多种求和式极限的方法,它们是此后应用定积分处理极限类问题的最佳模子与范例.那就再让我们来看一组习题,以熟悉与巩固1111lim (),lim n n n n i i i f n n n →∞→∞==∑∑等形式的极限吧.下面这组习题综合用到了以上各结论与推论.习题组2用定积分的方法计算下列各极限. (1)222111lim [](1)(2)()n n n n n n →∞++++++…; (2)11111212111lim [()sin(+()sin(++()sin(]232323n n n n n n n n n n n n n n n n →∞------））…）;(3)lim n →∞; (4)111lim(1)(1)(1)12n n n n n →∞++++++….解:分析以上例题都容易恒等变形,使其知足结论1或者推论1至推论3的条件.于是,11111()(),,[,],lim [()],lim [1+()]n n n i i i i n n i i i i i i f g f f n n n n n ξηξη→∞→∞==-⋅∈∏∏(1)122222*********lim []();(1)(2)()(1)21n n i n dx i n n n n n x n →∞=+++===+++++∑⎰… (2)11111212111lim [()sin(+()sin(++()sin(]232323n n n n n n n n n n n n n n n n →∞------））…） =11sin ni i i n ξη=⋅∑，1,[,],1,2,1i i i i i n n n ξη-∈=-… =10sin sin1cos1;x xdx =-⎰(3)1011ln(1)21lim lim[(1)]2n x dx n n n i i e n ππ-+→∞→∞=⎰=+⋅=∏ 22(1)ln(1)1ππ=++-; (4)1011111111lim(1)(1)(1)(1)2121n dx x n i e i n n n n n n +→∞=⎰+++=+⋅==++++∏….定积分在求极限中应用思想的转移至此,我们已经深深的体会到了各种形式的定积分在极限中应用的作用.仅仅于此,我们尚不克不及知足,我们可以把定积分在求极限中的应用思想鉴戒到其他方面.例如,操纵这种思想方法来证明一些不等式,或者用之处理一些复杂一点的求极限问题.下面将举例说明.例 6.证明:若函数()f x 在[],a b 上持续,且对于[],x a b ∀∈，有()0f x >，则21()()()bb a a f x dx dx b a f x ≥-⎰⎰.证明:已知()f x 与()g x 在[],a b [],a b 停止N 等分,分点是01n a x x x b =<<=…<.在第K 个区间上取1,k k k k b ax x x n ξ--=-=.由算数平均不小于几何平均,有121111(()1(()()n n k n nk k k k k k k f x f x b a b a f x b a n f x n n n ====--⋅⋅⋅=-⋅⋅≥∑∑∑∑））22(()b a b a -=-）21()()()b b a a n f x dx dx b a f x →∞≥-⎰⎰当时，有.体会:本例恰巧反过来,将积分和转化为极限和的形式,并运用了算术平均数不小于几何平均数这一结论,将问题化繁为简.较好地认识与掌握定积分与极限之间的关系是处理本问题的关键.该例题说明,我们应该充分认识到定积分在极限中的作用,并能做到矫捷变通,适当情形下,二者可以相互转化,将问题化难为易,从而达到处理问题的目标.例7.试求极限(21)!!lim[](2)!!n m m →∞-.分析:该问题似乎不克不及直接运用结论1或推论1至推论3来求极限.因为极限的表达式不容易化成以上结论或者推论的情形.但是,该问题的处理就真用不到定积分了吗？答案是否定的.在处理该问题之前,还是先让我们看一下沃利斯公式的由来吧！ 沃利斯公式:2(2)!!1lim[](21)!!212m m m m π→∞⋅=-+.证明:令20sin ,1,2,n n J xdx n π==⎰…,则当2n ≥时用分部积分法容易求得移项并整理后可得递推公式:21, 2.n n n J J n n --=≥由于220100,sin 1,2J dx J xdx πππ====⎰⎰重复应用上面的递推公式可得2212123122222()2222121213m m m m J m m m m J m m π+--⎫=⋅⋅⋅⎪⎪-**⎬-⎪=⋅⋅⋅⎪+-⎭……, 又由于2122-1222000sin sin sin m m m xdx xdx xdx πππ+<<⎰⎰⎰,再将**（）式代入,即可以得到22(2)!!1(2)!!1[][](21)!!212(21)!!2m m m m A B m m m m π=<<=-+-,因为2(2)!!110[]0()(21)!!2(21)22m m m B A m m m m m π<-=<⋅→→∞-+,根据极限的迫敛性可知lim()0m m m B A →∞-=.而02m m m A B A π<-<-,故得沃利斯公式2(2)!!1lim[](21)!!212m m m m π→∞⋅=-+.现在让我们来仔细看看沃利斯公式毕竟与定积分有什么关系吧!事实上,在计算定积分20sin ,1,2,n n J xdx n π==⎰…时,我们巧妙地运用了定积分的递推表达式,这样我们才正真地寻找到了处理极限问题的金钥匙,看来定积分的运算还是在其中发挥了不成低估的作用.那末就让我们直接运用该公式来探究例8问题吧！ 根据沃利斯公式2(2)!!1lim[](21)!!212m m m m π→∞⋅=-+,可知1(21)!!21lim lim 0(2)!!2m m m m m π→∞→∞-+==.从某种程度上讲,我们操纵了定积分方法处理了例8中极限的问题.倘若我们采取其方法来求这个极限,生怕会走一些弯路. 定积分在求极限中应用思想的完善我们知道反常积分也是定积分在极限下定义出来的.以上的所有求极限问题都是将极限的表达式整体转化成积分形式,从而应用了定积分巧妙地求出了原极限的成果,那末能不克不及把定积分在求极限中部分应用呢？现在我们再来看一个有趣的问题,以便说明此问题.例8.证明:1112lim 1ln n n n →∞++=…+. 分析:这个例题分歧于前面所有的例题,前面的例题,我们都能迅速地将所求极限的表达式转化成1lim ()n i i n i f x ξ→∞=∆∑,而本例不成,但它形式上与我们讨论的定积分在求极限中应用的例子非常相像,因为式子中有无穷多项和11n i i =∑,所以我们就测验测验用定积分的方法来求它吧！ 把这个极限式子的分子停止适当变形11111n n i i i in n ===∑∑.如果根据前面的经历,我们知道101111lim n n i dx i n x n →∞==∑⎰的.可是现在我们对两个问题有所质疑.第一,我们并没有把原极限式直接转化成积分形式;第二,即使部分用到了定积分101dx x ⎰,但我们知道101dx x =∞⎰110001111111lim(ln )lim(ln )ln 2lim lim lim 1ln ln lim ln lim ln lim ln ln n i x x n n x x x x i n dx x x n n x x n n x x x x ++=→→→∞→∞→+∞→+∞→+∞→+∞++-======∑⎰…+(这里我们统一了分子分母中的变量,统一用变量x,这里已经暗示变量x 是逐步趋近,由数学分析中归结原理”,这个手段是不影响极限成果的).最后我们求得其成果,1112lim 1ln n n n →∞++=…+.由此可以看到,在求极限的问题中,定积分的思想不但可以对表达式整体使用,也可以对其停止部分使用.总之,只要我们善于思考书本上的一些概念以及分析它们之间接洽,我们就往往可以游刃有余地把一种数学思想用于处理其他数学问题上.最后,让我们再来总结一下,定积分在求极限中应用时所应该注意的几个问题.第一,极限必须是无穷项和的极限,而且这些和的极限颠末适当的恒等变形之后能转化为定积分的形式.第二,应用定积分求极限时,往往还需要用到其他的一些求极限的方法和手段,例如极限的迫敛性,重要极限的结论,取对数手段等.第三,求极限一类问题往往需要使用各种手段,这样才干做到事半功倍.4、论文总结再认识数学通过以上探讨,我们重新认识了数学.我们在停止推理与应用时,是有深切体会的.数学自己是一门严谨的自然迷信,因为它是一种思维的工具,是一种思想方法,它还是一种感性的艺术.,数学具抽象性.数学概念是以极度抽象的形式出现的.本文中讨论的定积分以及极限更是如此.与此同时,数学的研究方法也是抽象的,这就是说数学命题的真感性不克不及建立在经历之上,而必须依靠于严格的证明.当数学应用于实际问题的研究时,其关键在于能建立一个较好的数学模子.我们在运用定积分求极限时,就已经拥有了较好的数学模子——函数模子.处理现实问题的体现.第二,数学赋予迷信知识以逻辑的严密性和结论的靠得住性,是使认识从感性阶段发展到感性阶段,并使感性认识进一步深化的重要手段.在数学中,每个公式,定理都要严格地从逻辑上加以证明以后才干够确立.当我们发现了“结论1”之后,相继颠末严密的推理与论证后才拓展到了“推论1”至“推论3”.第三,数学是一种辅助工具和表示方式.我们在处理数学问题自己时,还必须依赖于数学中的其他相关方法思路.别的数学反映的是一种复杂而抽象事物外部关系,但是我们仍然有简明的数学符号与形象鲜明的图形等来暗示它.无论是定积分还是极限,其中都用到了丰富的数学符号,分开这些数学符号,我们的表达似乎显得寸步难行.数学是一种思想方法.数学是研究量的迷信.它研究客观对象量的变更,关系等,并在提炼量的规律性的基础上形成各种有关量的推导和演算的方法.数学的思想方法体现着它作为一般方法论的特征和性质,是物质世界质与量的统一,内容与形式的统一的最有效的表示方式.无论是定积分还是极限都离不开计算,这就意味着它们中都蕴含着量的变更.数学还是一种感性的艺术.一般我们感觉,艺术与数学是两种风格与实质都有着分明分歧的事物.它们一个处于高度感性化的峰顶,另外一个则位于精力世界的枢纽地带;一个是自然迷信的代表,另外一个则是美学的佳构.但是,在种种概况上无关甚至完全分歧的现象身后却隐藏着艺术与数学相当一致的一般意义.我们停止学术研究纯粹是我们朝上进步以及求知欲的驱使.艺术与数学都是公认的地球语言.艺术与数学在描画万事万物的过程中,还同时完善了自身的表示形式,这种表示形式最基本的载体即是艺术与数学各自独特的语言特征.其共同特点有(1)超文化性.艺术与数学所表达的是一种带有普遍意义的人类共同的心声,因而它们可以超出时间和地域边界,实现分歧文化群体之间的广泛传播和交流.(2)整体性.艺术的整体性来自于其艺术表示的普遍性和广泛性;数学的整体性来自于数学统一的符号体系,各个分支之间的有力接洽,共同的逻辑法则和既约的表达方式.(3)简明性.它首先表示为很高的抽象程度,其次是凝冻与稀释.(4)代表代表性可以诱发某种强烈的情感体验,唤起某种美的享受,而意义则在于把注意力转向思维,上升为理念,成为表示人类心坎意图的方式.(5)形式性.在艺术与数学各自停止的符号与信息的含义交换中,其共同的特征就是达到了实体与形式的分离.我们研究的定积分在求极限中的应用,那种思想以及符号呈现方式可被世界人悦纳.艺术与数学具有共同的精力价值.关联的;艺术的价值也是不克不及以人的意志而转移.艺术与数学的价值基本上是在自身框架内被鉴别,鉴赏和评价的.(2)超出性.它们可以超出时空,彰显永恒.在艺术与数学的价值超出过程中,现实得以异于其他种类文化与迷信的显著特征之一.(4)多样化,物质化与广泛化.在现代技术与商业化的推动下,艺术与数学的价值也开端发生升华,出现了各自价值在许多范畴内的散射,渗透,应用,交叉等情况.定积分在求极限中的应用,不但仅贡献于数学自己,它将逐渐在其他范畴也发挥一定的作用.竣事语我们已经见到了定积分在求极限问题中应用的各种形式.事实上,只要我们对学过的某些概念用心的体会,并加以深刻的思考,我们便可以将其精华运用到数学的其他范畴.正如我们这里把定积分与极限连系起来,并停止了适当推广,得到了较为称心的结论和推论.本文主要给大家先容了定积分在求极限中应用.一开端我们就回忆了定积分以及极限等大学数学学习中的重要概念.然后剖析它们之间的内涵接洽,进而寻找到了一种独特的求极限的法子——借助定积分求极限.当然,这种思想也并不是空穴来风,它是源于教材中某些例题中具有创新性思想方法或者一些独特的步调.因为不是所有的数学概念之间颠末思考推理,相互之间就可以建立起接洽来.因此,在平时的数学学习中,我们务必对教材中的基本概念加深体会,尤其是要把相互之间或多或少存在着某种关系的概念加以比较与分析.然后对其停止大胆的假设,并停止一定的逻辑证明.如果我们的假设成立,那就是我们发现的新事物,这对于我们发散思维与创新思维都是大有裨益的;假设不成立,我们也可更好地掌握分歧概念之间区别,这对于我们懂得知识都是有好处的.所以,在我们平时的学习过程中,我们要积极去思考,并大胆地停止某些适当的假设,以提升我们创新思维才能.求极限的方法可以还有更多,值得大家去思考与挖掘.希望本文能起到抛砖引玉的目标,能激发更多的数学高兴喜爱者携起手来探索出更多实用与巧妙的求极限的方法来.欢迎大家对本文停止批评与指正.参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].高等教导出版社,2001．[2]刘玉琏,刘伟等.数学分析讲义习题选解.北京,高等教导出版社,2002．[3]同济大学数学教研室.高等数学[M]北京, 高等教导出版社,1997．[4]王业.关于积分在求极限中的初探[R].全国专科院校数学会,1992．[5]刘树利.计算机数学基础.北京.高等教导出版社,2001．。
中公考研培训之如何利用定积分定义求极限
浅析如何利用定积分定义求极限1、定积分的定义设函数()f x 在区间[],a b 上有界，在[],a b 内任意插入1n -个分点，0121n n a x x x x x b -=<<<⋅⋅⋅<<=，这样[],a b 就被分为了n 个小区间，[]1,,(1,2,...,)i i x x i n -=用1i i i x x x -=- 表示各区间的长度，再在每个区间上取一1,i i i i x x ζζ-≤≤作如下和式1()n i i i f x ζ=∑ 令{}max i x λ= ，如果极限01lim ()n i i i f x λζ→=∑ 存在且与[],a b 的划分及i ζ的选取无关，则称()f x 在区间[],a b 上可积，该极限称之为()f x 在区间[],a b 上的定积分，记作()ba f x dx ⎰。
即：01lim ()()n bi i a i f x f x dx λζ→==∑⎰ 其中()f x 称为被积函数，x 称为积分变量，[],a b 称为积分区间，,a b 分别称为积分下限和积分上限。
注：1）几何意义：()ba f x dx ⎰在几何上表示为由曲线()y f x =，直线,x a xb ==及x 轴围成的曲边梯形面积的代数和。
2）定积分定义的思想方法称之为“微元法”，它是我们用定积分计算几何及物理量的积分思路，其步骤可以总结为：分割、近似、求和、取极限。
3）定积分的本质是极限。
4）常用的定积分可以用牛顿——莱布尼兹公式很容易求到，这样用定积分定义求极限就成为求极限的一种重要方法。
2、定积分定义求极限的“特化”当定积分存在时，一般化的定积分定义形式复杂，不易求得极限，此时区间及i ζ的选取将决定极限的形式是否容易求。
[],a b 的划分特化：当在[]0,1，把[]0,1分成n 等份，[]11,,i i i i x x n n --⎡⎤=⎢⎣⎦，得到n 个长度都为1n，此时无需引入参数λ，只需n →∞即可表示每个小区间足够小。
运用定积分求极限
运用定积分求极限修正后：求极限的方法层出不穷，但最常用的方法有极限的定义和性质、重要极限的结论、洛必达法则以及泰勒公式等。
应用极限的定义时，往往是在极限的结果已经比较明显，只需要根据极限的定义把相关式子进行放缩便可得到相应的结果。
但这种方法一方面叙述上比较麻烦，另一方面也只适用于看上去容易放缩的式子。
重要极限的结论形式上要求非常严格，只能解决两种形式的极限问题。
洛必达法则是用于解决“$\frac{0}{0}$”型的极限和“$\frac{\infty}{\infty}$”型极限的。
泰勒公式适宜于解决求分式极限中分子或分母有加减运算的问题，通过___展式后可以达到某些项抵消效果。
但若仔细观察这些方法，其特点不是表达较繁琐就是仅仅应用到微分学知识。
事实上，微分学和积分学的关系正如中小学时代研究过的加法与减法、乘法与除法、乘方与开方以及幂运算与取对数运算的关系一样，它们互为逆运算。
如果也能用到积分学知识来解决求极限的问题，那么求极限的方法才算完美。
而利用定积分求极限正体现了这一理念。
下面回顾一下定积分以及极限的定义：定积分：设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上有定义，在闭区间$[a,b]$内任意插入$n-1$个分点将$[a,b]$分成$n$个区间$[x_{i-1},x_i]$，记$\Delta x_i=x_i-x_{i-1}(i=1,2,\dots,n)$，$\forall \xi\in[x_{i-1},x_i]$，作乘积$f(\xi_i)\Delta x_i$（称为积分元），把这些乘积相加得到和式$\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Deltax_i$（称为积分形式）。
设$\lambda=\max\{\Delta i\leq n\}$，若$\lim\limits_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i$极限存在唯一且该极限值与区间$[a,b]$的分法$\lambda\to 0$及分点$\xi_i$的取法无关，则称这个唯一的极限值为函数$f(x)$在$[a,b]$上的定积分，记作$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x$，即$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=\lim\limits_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i$。
定积分求极限的方法总结
定积分求极限的方法总结1. 使用定积分的定义直接计算极限值。
2. 将定积分转化为不定积分，再求导计算极限值。
3. 将定积分转化为无穷级数，并利用级数求极限的方法。
4. 运用分部积分的方法化简定积分，再求极限值。
5. 使用换元积分法将定积分中的变量进行替换，再求极限值。
6. 将定积分拆分成多个部分，分别计算每部分的极限值，再求和得到总极限。
7. 将定积分转化为面积或体积，并通过几何图形的方式求极限值。
8. 运用洛必达法则，将定积分中的参数带入得到的极限表达式中。
9. 利用夹逼定理，将定积分所求的函数夹在两个已知的函数之间，再求极限。
10. 将定积分转化为递推式，逐步递推计算极限值。
11. 运用积分的性质，将定积分拆分成更简单的形式，再求极限值。
12. 将定积分表示的区域进行分割，通过分割后的极限值之和来求得总极限。
13. 将定积分所求函数进行分段处理，每个分段求极限后再组合求总极限。
14. 利用泰勒级数展开函数，再求得展开式在无穷远点的极限值。
15. 将定积分中的变量进行代换，把变量限定在一个特定范围内再求极限。
16. 利用柯西定理，将定积分转化为复积分，再求极限值。
17. 运用平均值定理，将定积分转化为函数的平均值来计算极限值。
18. 将定积分转化为广义积分，并通过广义积分的性质求得极限值。
19. 利用积分中值定理，将定积分转化为函数在某一点的导数表达式，再求极限值。
20. 运用积分的区间可加性，将定积分的区间进行划分，再通过区间极限值之和来求总极限。
21. 将定积分中的变量限制在一个趋向于极限值的范围内再进行计算。
22. 运用积分中的对称性或周期性，将定积分化简后再求极限值。
23. 利用积分中的不等式性质，将定积分转化为不等式，再求得不等式的边界极限值。
24. 将定积分中的参数带入函数中，得到极限参数函数表达式，再求其极限值。
25. 运用积分的递推性质，将定积分拆分成多个部分，再逐步递推计算总极限。
(整理)几种求极限方法的总结
几种求极限方法的总结摘 要 极限是数学分析中的重要概念，也是数学分析中最基础最重要的内容.通过n s 对求极限的学习和深入研究，我总结出十二种求极限的方法.关键词 定义 夹逼定理 单调有界 无穷小 洛必达 泰勒公式 数列求和定积分 定积分 数列[]1根据极限的定义：数列{n x }收敛⇔∃a,ε∀〉0,∃N N ∈+,当n 〉N 时，有n x -a 〈ε. 例1 用定义证明11lim=+∞→n nn证明：0,ε∀>要使不等式11-+n n =11n ε<+成立：解得n 11ε>-,取N=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11ε，于是0,ε∀>∃ N=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11ε，n N ∀>，有1,1n n ε-<+即11lim =+∞→n n n2利用两边夹定理求极限[]1例2 求极限⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++∞→n n n n n n 22221312111lim 解：设=n c nn n n +++++22212111则有：2n cn n>=+同时有：21nc n<=+，于是nc<<1nn <=+>=. 有11n nnc n n<<<<=+ 已知：11lim=+∞→n n n ∴⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++∞→n n n n n n 22221312111lim =1 3利用函数的单调有界性求极限[]1实数的连续性定理：单调有界数列必有极限.例3 设a x =1，a a x +=2， a a a x n +++= （n=1,2, ）(0a >),求n n x ∞→lim解：显然{}n x 是单调增加的。
我们来证明它是有界的.易见12x a x +=，23x a x += ， 1-+=n n x a x ，从而 12-+=n n x a x ，显然n x 是单调增加的，所以2n n x a x <+两段除以n x ，得 1n nax x <+ 1+≤≤⇒a x a n 这就证明了{}n x 的有界性 设l x n →，对等式12-+=n n x a x 两边去极限，则有∞→-∞→+=n n n n x a x 12l i m l i m⇒a l l +=2解得214++=a l l 4利用无穷小的性质求极限[]2关于无穷小的性质有三个，但应用最多的性质是：若函数f(x)(x )a →是无穷小，函数g(x)在U （),ηa 有界，则函数f(x)*g(x)(x )a →是无穷小. 例 求极限)cos 1(cos lim x x x -++∞→解4 )221sin()221sin(2cos 1cos xx x x x x -+++-=-+ 2)221sin(2≤++-xx 而)1(21221)221sin(0x x x x xx ++=-+≤-+≤ 而,0)1(21lim=++∞→x x x 故 02_1lim=+∞→xx n 5 应用“两个重要极限”求极限[]2e xx x x x x =+=∞→→)11(lim ,1sin lim例5求)1cos 1(sin lim xx x +∞→解2sin 1222sin 211112(sin cos )(sin cos )(1sin )xx xx xx x x x x ⎡⎤+=+=+⎢⎥⎣⎦∴原式=e xxxxx =+∞→22sin 2sin 1)2sin 1(lim6利用洛必达法则求极限[]2例6求xx x 1sin arctan 2lim -∞→π（)00 解： xx n 1sin arctan 2lim -∞→π=11cos111lim 22=-+-∞→x xx n 例7 求极限xx x 3tan tan lim2π→（)∞∞解 xxx 3tan tan lim2π→= 3262cos 26cos 6lim 2sin 6sin lim sin cos 63sin 3cos 6lim )(cos 3)3(cos lim )3(tan )(tan lim 222232,,2=--===--==→→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x πππππ7利用泰勒公式求极限[]2例8：求极限 xx x x n cos sin 1lim2-+∞→解 ∵xx x x cos sin 12-+中分子为2x ，∴将各函数展开到含2x 项。
无限项之和或积的极限
ｘｎ＋１＋…＝ｅｘ－１
在上两式中令 ｘ＝１，可得
∞
Σ ｅ＝１＋
１ ２！
＋…＋
１ ｎ！
＋…＝
ｋ
＝
０
１ ｋ！
（１）
∞
ｅ－１＝１＋１＋ １ ＋…＋ １ ＋ １ ＋…＝Σ １
（２）
２！
ｎ！ （ｎ＋１）！
ｋ ＝ ０ （ｋ＋１）！
∞
∞
ｎ
Σ Σ Σ （１）－（２），得
１＝
ｋ
＝
０
１ ｋ！
－
ｋ
＝
０
１ （ｋ＋１）！
＝ ｌｉｍ ｎ→＋∞ ｋ
所以1a1a1a1an11an11an11a因a1故limn10于是有原式limn11a用两边夹定理求极限当一数列极限不易直接求出时可考虑将求极限的数列作适当的放大和缩小使放大缩小所得的新数列易于求极限且两端的极限值相等则原数列的极限值存在且等于它们的公共值
第 ２８ 卷 第 ９ 期（上） ２０１２ 年 ９ 月
例5
计算ｌｉｍ ｎ→∞
５·ｎ ｎ！ （２ｎ）ｎ
解
令
ｘｎ＝
５·ｎ ｎ！ （２ｎ）ｎ
；
ｘｎ＋１ ｘｎ
＝
５ｎ＋·１ （ｎ＋１）！（２ｎ）ｎ （２ｎ＋２）ｎ＋·１ ５ｎｎ！
＝
５ ２
（
ｎ ｎ＋１
）ｎ
＝ ５ １ → ５ ＜１（当 ｎ→∞ 时）．
２
（１＋
１ ｎ
）ｎ
２ｅ
∞
故正项级数Σｘｎ 收敛，从而由级数收敛的必要条件 ｎ＝１
；等比级数
前
ｎ
项的求和公式
Ｓｎ＝
ａ＋ａｑｎ １－ｑ
等．此方法先求和，然后再求极
限，适用于简单的有明显规律的和式极限，对数的和可以化
定积分分割近似求和取极限
定积分分割近似求和取极限定积分是微积分的重要概念，它可以被理解为曲线与坐标轴之间的面积。
而分割近似求和是一种将曲线分割为许多小矩形，并求和这些小矩形面积的方法。
在本次任务中，我们将探讨如何使用定积分的分割近似求和方法来取极限。
定积分与分割近似求和定积分是对曲线所围成的面积进行求解的一种方法。
对于函数f(x)，我们可以将其图像与x轴围成的区域分割成许多小矩形，然后求和这些小矩形的面积。
将这个过程表示为极限形式，即可得到定积分的形式：∫f b a (x)dx=limn→∞∑fni=1(x i)Δx其中，a和b是积分的上下限，f(x)是被积函数，n是分割的份数，Δx是每个小矩形的宽度，x_i是每个小矩形的横坐标。
分割近似求和的步骤分割近似求和的思路是将定积分中的曲线区域分割为若干个小矩形，并且逐步增加小矩形的数量，使得小矩形的宽度逐渐趋近于0，从而使求和的结果趋近于定积分的值。
下面是分割近似求和的具体步骤：1.确定积分的上下限：首先需要确定定积分的上下限a和b，这将决定了被积函数f(x)在[a, b]区间内的取值范围。
2.选择分割份数：其次需要选择分割份数n，这将决定了将曲线区域分割成多少个小矩形。
通常情况下，n的取值越大，分割的越细，得到的结果越接近定积分的值。
3.计算小矩形的宽度：根据分割份数n和积分的上下限a、b，可以计算出每个小矩形的宽度Δx。
Δx的计算公式为：Δx=b−a n4.计算每个小矩形的高度：根据被积函数f(x)的表达式，可以根据小矩形的横坐标x_i计算出其对应的纵坐标f(x_i)。
5.计算小矩形的面积：将每个小矩形的宽度Δx与对应的高度f(x_i)相乘，即可得到每个小矩形的面积。
然后将所有小矩形的面积求和，得到近似的定积分结果。
6.求和取极限：通过逐步增加分割份数n，并不断缩小小矩形的宽度Δx，可以使得分割近似求和的结果逼近定积分的值。
当分割份数n趋近于无穷大时，即可取得近似的极限值。