实变试卷2009A
2009年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅱ)(含解析版)
2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）=（）A．﹣2+4i B．﹣2﹣4i C．2+4i D．2﹣4i2．（5分）设集合A={x||x|＞3}，B={x |＜0}，则A∩B=（）A．φB．（3，4）C．（﹣2，1）D．（4，+∞）3．（5分）已知△ABC中，cotA=﹣，则cosA=（）A ．B ．C ．D ．4．（5分）函数在点（1，1）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣2=0B．x+y﹣2=0C．x+4y﹣5=0D．x﹣4y+3=05．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（）A ．B ．C ．D ．6．（5分）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A ．B ．C．5D．257．（5分）设a=log3π，b=log 2，c=log 3，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a8．（5分）若将函数y=tan（ωx +）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωx +）的图象重合，则ω的最小值为（）A ．B ．C ．D ．9．（5分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A ．B ．C ．D ．10．（5分）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）A．6种B．12种C．24种D．30种11．（5分）已知双曲线的右焦点为F，过F 且斜率为的直线交C于A、B 两点，若=4，则C的离心率为（）A ．B ．C ．D ．12．（5分）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位（）A．南B．北C．西D．下二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）4的展开式中x3y3的系数为．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5=5a3，则=．15．（5分）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C．若圆C的面积等于，则球O的表面积等于．16．（5分）求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos（A﹣C）+cosB=，b2=ac，求B．18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1．（Ⅰ）证明：AB=AC；（Ⅱ）设二面角A﹣BD﹣C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．20．（12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（Ⅲ）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望．21．（12分）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l 的距离为，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F 转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．22．（12分）设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，（Ⅰ）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：f（x2）＞．2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）=（）A．﹣2+4i B．﹣2﹣4i C．2+4i D．2﹣4i【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母进行乘法运算，整理成最简形式，得到结果．【解答】解：原式=，故选：A．【点评】本题考查复数的乘除运算，是一个基础题，在近几年的高考题目中，复数的简单的运算题目是一个必考的问题，通常出现在试卷的前几个题目中．2．（5分）设集合A={x||x|＞3}，B={x |＜0}，则A∩B=（）A．φB．（3，4）C．（﹣2，1）D．（4，+∞）【考点】1E：交集及其运算．【分析】先化简集合A和B，再根据两个集合的交集的意义求解．【解答】解：A={x||x|＞3}⇒{x|x＞3或x＜﹣3}，B={x |＜0}={x|1＜x＜4}，∴A∩B=（3，4），故选：B．【点评】本题属于以不等式为依托，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型．3．（5分）已知△ABC中，cotA=﹣，则cosA=（）A ．B ．C ．D ．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．【专题】11：计算题．【分析】利用同角三角函数的基本关系cosA转化成正弦和余弦，求得sinA和cosA的关系式，进而与sin2A+cos2A=1联立方程求得cosA的值．【解答】解：∵cotA=∴A为钝角，cosA＜0排除A和B，再由cotA==，和sin2A+cos2A=1求得cosA=，故选：D．【点评】本题考查同角三角函数基本关系的运用．主要是利用了同角三角函数中的平方关系和商数关系．4．（5分）函数在点（1，1）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣2=0B．x+y﹣2=0C．x+4y﹣5=0D．x﹣4y+3=0【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】11：计算题．【分析】欲求切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：依题意得y′=，因此曲线在点（1，1）处的切线的斜率等于﹣1，相应的切线方程是y﹣1=﹣1×（x﹣1），即x+y﹣2=0，故选：B．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．5．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（）A ．B ．C ．D ．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5G：空间角．【分析】由BA1∥CD1，知∠A1BE是异面直线BE与CD1所形成角，由此能求出异面直线BE与CD1所形成角的余弦值．【解答】解：∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，∴BA1∥CD1，∴∠A1BE是异面直线BE与CD1所形成角，设AA1=2AB=2，则A1E=1，BE==，A1B==，∴cos∠A1BE===．∴异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为．故选：C．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．6．（5分）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A ．B ．C．5D．25【考点】91：向量的概念与向量的模；9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】根据所给的向量的数量积和模长，对|a+b|=两边平方，变化为有模长和数量积的形式，代入所给的条件，等式变为关于要求向量的模长的方程，解方程即可．【解答】解：∵|+|=，||=∴（+）2=2+2+2=50，得||=5故选：C．【点评】本题考查平面向量数量积运算和性质，根据所给的向量表示出要求模的向量，用求模长的公式写出关于变量的方程，解方程即可，解题过程中注意对于变量的应用．7．（5分）设a=log3π，b=log 2，c=log 3，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a【考点】4M：对数值大小的比较．【分析】利用对数函数y=log a x的单调性进行求解．当a＞1时函数为增函数当0＜a＜1时函数为减函数，如果底a不相同时可利用1做为中介值．【解答】解：∵∵，故选A【点评】本题考查的是对数函数的单调性，这里需要注意的是当底不相同时可用1做为中介值．8．（5分）若将函数y=tan（ωx +）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωx +）的图象重合，则ω的最小值为（）A ．B ．C ．D ．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】11：计算题．【分析】根据图象的平移求出平移后的函数解析式，与函数y=tan（ωx +）的图象重合，比较系数，求出ω=6k +（k∈Z），然后求出ω的最小值．【解答】解：y=tan（ωx +），向右平移个单位可得：y=tan[ω（x ﹣）+]=tan（ωx +）∴﹣ω+kπ=∴ω=k +（k∈Z），又∵ω＞0∴ωmin =．故选：D．【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，待定系数法的应用，考查计算能力，是常考题．9．（5分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A ．B ．C ．D ．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，根据|FA|=2|FB|，推断出|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB ，进而可知，进而推断出|OB|=|BF|，进而求得点B的横坐标，则点B的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率．【解答】解：设抛物线C：y2=8x的准线为l：x=﹣2直线y=k（x+2）（k＞0）恒过定点P（﹣2，0）如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，则，∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为1，故点B 的坐标为，故选：D．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了对抛物线的基础知识的灵活运用．10．（5分）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）A．6种B．12种C．24种D．30种【考点】D5：组合及组合数公式．【专题】11：计算题．【分析】根据题意，分两步，①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，进而由事件间的相互关系，分析可得答案．【解答】解：根据题意，分两步，①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C42C42=36，②两人所选两门都相同的有为C42=6种，都不同的种数为C42=6，故选：C．【点评】本题考查组合公式的运用，解题时注意事件之间的关系，选用直接法或间接法．11．（5分）已知双曲线的右焦点为F，过F 且斜率为的直线交C于A、B 两点，若=4，则C的离心率为（）A ．B ．C ．D ．【考点】I3：直线的斜率；KA：双曲线的定义．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】设双曲线的有准线为l，过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D，由直线AB的斜率可知直线AB的倾斜角，进而推，由双曲线的第二定义|AM|﹣|BN|=|AD|，进而根据，求得离心率．【解答】解：设双曲线的右准线为l，过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D，由直线AB 的斜率为，知直线AB的倾斜角为60°∴∠BAD=60°，由双曲线的第二定义有：=∴，∴故选：A．【点评】本题主要考查了双曲线的定义．解题的关键是利用了双曲线的第二定义，找到了已知条件与离心率之间的联系．12．（5分）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位（）A．南B．北C．西D．下【考点】LC：空间几何体的直观图．【专题】16：压轴题．【分析】本题考查多面体展开图；正方体的展开图有多种形式，结合题目，首先满足上和东所在正方体的方位，“△”的面就好确定．【解答】解：如图所示．故选B【点评】本题主要考查多面体的展开图的复原，属于基本知识基本能力的考查．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）4的展开式中x3y3的系数为6．【考点】DA：二项式定理．【分析】先化简代数式，再利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x，y的指数都为1求出x3y3的系数【解答】解：，只需求展开式中的含xy项的系数．∵的展开式的通项为令得r=2∴展开式中x3y3的系数为C42=6故答案为6．【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5=5a3，则=9．【考点】83：等差数列的性质．【专题】11：计算题．【分析】根据等差数列的等差中项的性质可知S9=9a5，S5=5a3，根据a5=5a3，进而可得则的值．【解答】解：∵{a n}为等差数列，S9=a1+a2+…+a9=9a5，S5=a1+a2+…+a5=5a3，∴故答案为9【点评】本题主要考查了等差数列中等差中项的性质．属基础题．15．（5分）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C．若圆C 的面积等于，则球O 的表面积等于8π．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】本题可以设出球和圆的半径，利用题目的关系，求解出具体的值，即可得到答案．【解答】解：设球半径为R，圆C的半径为r，．因为．由得R2=2故球O的表面积等于8π故答案为：8π，【点评】本题考查学生对空间想象能力，以及球的面积体积公式的利用，是基础题．16．（5分）求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．【考点】N8：圆內接多边形的性质与判定．【专题】14：证明题；16：压轴题．【分析】如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，菱形ABCD各边中点分别为M、N、P、Q，根据菱形的性质得到AC⊥BD，垂足为O，且AB=BC=CD=DA，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OM=ON=OP=OQ=AB，得到M、N、P、Q四点在以O为圆心OM为半径的圆上．【解答】已知：如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O．求证：菱形ABCD各边中点M、N、P、Q在以O为圆心的同一个圆上．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，垂足为O，且AB=BC=CD=DA，而M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴OM=ON=OP=OQ=AB，∴M、N、P、Q四点在以O为圆心OM为半径的圆上．所以菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．【点评】本题考查了四点共圆的判定方法．也考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos（A﹣C）+cosB=，b2=ac，求B．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；HP：正弦定理．【专题】11：计算题．【分析】本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约，并利用正弦定理得到sinB=（负值舍掉），从而求出答案．【解答】解：由cos（A﹣C）+cosB=及B=π﹣（A +C）得cos （A﹣C）﹣cos（A+C）=，∴cosAcosC+sinAsinC﹣（cosAcosC﹣sinAsinC）=，∴sinAsinC=．又由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC，故，∴或（舍去），于是B=或B=．又由b2=ac知b≤a或b≤c所以B=．【点评】三角函数给值求值问题的关键就是分析已知角与未知角的关系，然后通过角的关系，选择恰当的公式，即：如果角与角相等，则使用同角三角函数关系；如果角与角之间的和或差是直角的整数倍，则使用诱导公式；如果角与角之间存在和差关系，则我们用和差角公式；如果角与角存在倍数关系，则使用倍角公式．18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1．（Ⅰ）证明：AB=AC；（Ⅱ）设二面角A﹣BD﹣C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小．【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（1）连接BE，可根据射影相等的两条斜线段相等证得BD=DC，再根据相等的斜线段的射影相等得到AB=AC；（2）求B1C与平面BCD所成的线面角，只需求点B1到面BDC的距离即可，作AG⊥BD于G，连GC，∠AGC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，在三角形AGC中求出GC即可．【解答】解：如图（I）连接BE，∵ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴∠B1BC=90°，∵E为B1C的中点，∴BE=EC．又DE⊥平面BCC1，∴BD=DC（射影相等的两条斜线段相等）而DA⊥平面ABC，∴AB=AC（相等的斜线段的射影相等）．（II）求B1C与平面BCD所成的线面角，只需求点B1到面BDC的距离即可．作AG⊥BD于G，连GC，∵AB⊥AC，∴GC⊥BD，∠AGC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，∠AGC=60°不妨设，则AG=2，GC=4在RT△ABD中，由AD•AB=BD•AG ，易得设点B1到面BDC的距离为h，B1C与平面BCD所成的角为α．利用，可求得h=，又可求得，∴α=30°．即B1C与平面BCD所成的角为30°．【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．【考点】87：等比数列的性质；8H：数列递推式．【专题】15：综合题．【分析】（1）由题设条件知b1=a2﹣2a1=3．由S n+1=4a n+2和S n=4a n﹣1+2相减得a n+1=4a n﹣4a n﹣1，即a n+1﹣2a n=2（a n﹣2a n﹣1），所以b n=2b n﹣1，由此可知{b n}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（2）由题设知．所以数列是首项为，公差为的等差数列．由此能求出数列{a n}的通项公式．【解答】解：（1）由a1=1，及S n+1=4a n+2，得a1+a2=4a1+2，a2=3a1+2=5，所以b1=a2﹣2a1=3．由S n+1=4a n+2，①则当n≥2时，有S n=4a n﹣1+2，②①﹣②得a n+1=4a n﹣4a n﹣1，所以a n+1﹣2a n=2（a n﹣2a n﹣1），又b n=a n+1﹣2a n，所以b n=2b n﹣1（b n≠0），所以{b n}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（6分）（2）由（I）可得b n=a n+1﹣2a n=3•2n﹣1，等式两边同时除以2n+1，得．所以数列是首项为，公差为的等差数列．所以，即a n=（3n﹣1）•2n﹣2（n∈N*）．（13分）【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要掌握等比数列的证明方法，会求数列的通项公式．20．（12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（Ⅲ）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望．【考点】B3：分层抽样方法；CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题；48：分析法．【分析】（Ⅰ）这一问较简单，关键是把握题意，理解分层抽样的原理即可．另外要注意此分层抽样与性别无关．（Ⅱ）在第一问的基础上，这一问处理起来也并不困难．直接在男工里面抽取一人，在女工里面抽取一人，除以在总的里面抽取2人的种数即可得到答案．（Ⅲ）求ξ的数学期望．因为ξ的可能取值为0，1，2，3．分别求出每个取值的概率，然后根据期望公式求得结果即可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）因为甲组有10名工人，乙组有5名工人，从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核，根据分层抽样的原理可直接得到，在甲中抽取2名，乙中抽取1名．（Ⅱ）因为由上问求得；在甲中抽取2名工人，故从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率（Ⅲ）ξ的可能取值为0，1，2，3，，，ξ01 2 3P故Eξ==．【点评】本题较常规，比08年的概率统计题要容易．在计算P（ξ=2）时，采用求反面的方法，用直接法也可，但较繁琐．考生应增强灵活变通的能力．21．（12分）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l 的距离为，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F 转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（I）设F（c，0），则直线l的方程为x﹣y﹣c=0，由坐标原点O到l的距离求得c，进而根据离心率求得a和b．（II）由（I）可得椭圆的方程，设A（x1，y1）、B（x2，y2），l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得方程△＞0．由韦达定理可求得y1+y2和y1y2的表达式，假设存在点P ，使成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），代入椭圆方程；把A，B两点代入椭圆方程，最后联立方程求得c，进而求得P点坐标，求出m的值得出直线l的方程．【解答】解：（I）设F（c，0），直线l：x﹣y﹣c=0，由坐标原点O到l 的距离为则，解得c=1又，∴（II）由（I ）知椭圆的方程为设A（x1，y1）、B（x2，y2）由题意知l的斜率为一定不为0，故不妨设l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得（2m2+3）y2+4my﹣4=0，显然△＞0．由韦达定理有：，，①假设存在点P ，使成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），点P 在椭圆上，即．整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6．又A、B在椭圆上，即2x12+3y12=6，2x22+3y22=6、故2x1x2+3y1y2+3=0②将x1x2=（my1+1）（my2+1）=m2y1y2+m（y1+y2）+1及①代入②解得∴，x1+x2=，即当；当【点评】本题主要考查了椭圆的性质．处理解析几何题，学生主要是在“算”上的功夫不够．所谓“算”，主要讲的是算理和算法．算法是解决问题采用的计算的方法，而算理是采用这种算法的依据和原因，一个是表，一个是里，一个是现象，一个是本质．有时候算理和算法并不是截然区分的．例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半，还是分割成几部分来算？在具体处理的时候，要根据具体问题及题意边做边调整，寻找合适的突破口和切入点．22．（12分）设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，（Ⅰ）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：f（x2）＞．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值；R6：不等式的证明．【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题．【分析】（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），令g（x）=2x2+2x+a，由题意知x1、x2是方程g（x）=0的两个均大于﹣1的不相等的实根，建立不等关系解之即可，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间；（2）x2是方程g（x）=0的根，将a用x2表示，消去a得到关于x2的函数，研究函数的单调性求出函数的最大值，即可证得不等式．【解答】解：（I ）令g（x）=2x2+2x+a ，其对称轴为．由题意知x1、x2是方程g（x）=0的两个均大于﹣1的不相等的实根，其充要条件为，得（1）当x∈（﹣1，x1）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（﹣1，x1）内为增函数；（2）当x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（x1，x2）内为减函数；（3）当x∈（x2，+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（x2，+∞）内为增函数；（II）由（I）g（0）=a＞0，∴，a=﹣（2x22+2x2）∴f（x2）=x22+aln（1+x2）=x22﹣（2x22+2x2）ln（1+x2）设h（x）=x2﹣（2x2+2x）ln（1+x），（﹣＜x＜0）则h'（x）=2x﹣2（2x+1）ln（1+x）﹣2x=﹣2（2x+1）ln（1+x）当时，h'（x）＞0，∴h（x ）在单调递增，故．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的极值等有关知识，属于中档题．。
2009北京理科试卷改编版适合新课标练习用
2009年普通高等学校招生全国统一考试学（理工类）（北京卷改编版）、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1在复平面内，复数z =i （「2i ）对应的点位于B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 已知向量a 、b 不共线，c = k a • b （k • R ）, d = a 「b,如果c //d ，那么A. 45 B . 55C. 700到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为A . 324B . 328C . 360P 在直线l : y = x -1上，若存在过 P 的直线交抛物线 y = x 2于代B 两点，且 |PAAB |，则称点P 为“必点”，那么下列结论中正确的是A. 直线I 上的所有点都是“'点”B.直线I 上仅有有限个点是“ ’点” C. 直线I 上的所有点都不是“•亠点”D.直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“' 点”、填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30分。
把答案填在题中横线上。
A . k=1且c 与d 同向 C . k--1且c 与d 同向,x +33.为了得到函数 y =lg 的图像，只需把函数10 3个单位长度，再向上平移 3个单位长度，再向上平移 3个单位长度，再向下平移 3个单位长度，再向下平移B . k=1且c 与d 反向 D . k - -1且c 与d 反向y = lg x 的图像上所有的点A. 向左平移B. 向右平移C. 向左平移D. 向右平移个单位长度 个单位长度 个单位长度 4•一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位:(A ) 48+12 ..2 (B) (C ) 36+12、2(D ) Ji5.“2k （k Z ）6A .充分而不必要条件 C.充分必要条件6.若 1”2B .必要而不充分条件 D .既不充分也不必要条件(1 •、.2)5=a b 2(a,b 为有理数)，则 a b =w.w.w.k.s.5.u.c.o.mD . 80(D . 6487.用 &点 为48+24、2 36+24是"cos2：的 1个单位长度c m 2x y -2 _ 09.若实数x, y满足x <4贝V s=y-x的最小值为 ____________y空510•以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长- x = 1 2cos度单位。
2009高考数学模拟试题13套数学10
2009年高考模拟试卷数学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自已的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，选划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.4. 作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答•漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5. 考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.1参考公式：锥体的体积公式V Sh,其中S是锥体的底面积，h是锥体的高.3一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合P={x|x c1},集合Q=«x| 丄c0?,则P“Q =A. "Xx c O〉B. <xx>l}C. {xx c O或x > "D.空集©2 —ai2. 若复数（a・R）是纯虚数（i是虚数单位），则a =（）1+i c 1 1A. -2B.C. 一D. 22223. 若函数f （x）二sin 2x（x・ R）是（）A .最小正周期为的偶函数B .最小正周期为的奇函数2 2C.最小正周期为■:的偶函数 D .最小正周期为■:的奇函数4 .某校共有学生2000名,各年级男、女生人数如下表；已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19 .现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（）A. 24B. 18C. 16D. 125 •在边长为1的等边二ABC 中，设BC 二a , CA 二b ，则a b 二（）■ 0A. 1B. 2C. 3D. 4C. 命题“若m • 0，则方程x 2 x 「m 二0有实根”的逆否命题为“若方程x 2 • x 「m = 0无 实根，则m 乞0D. “ x -1 ”是“ x 2 -3x • 2 = 0 ”的充分不必要条件2&函数f （x ）=mx -x -1在（0,1）内恰有一个零点，则实数 m 的取值范围是（ ）A.2]C.[2, ：：）D. （2,：：）9 .设有直线m 、n 和平面〉、：•下列四个命题中，正确的是 （）A.若 m 「,n // ：•，则 m II nB.若 m 二卅，n 二圧,m // :,n // :，则〉// :C.若：•— ：，m 二圧,则 m 」■；'D.若：■ _ :, m 」, m-:，则 m // ：■10 .对于函数f （x ）二e x 定义域中任意捲公2（捲=X2）有如下结论:上述结论中正确的结论个数是（ A 1 1.3.B.-C.D2 226. 已知几何体的三视图女口图 1所示， 它的表面积是（ ）A. 4.2B. 2..2C.3 、2D.67. 卜列命题错误的是（）A .命题“若xy 二0 , 则x, y 中至少 有一个为零” 的否定是： “若xy = 0，则x, y 都不为零”— 2；则—p :- x R ，均有 x • x T _ 0① f （x 「X 2）= f （xj f （X 2） ② f （捲 X 2） = f （xj f （X 2） f （X 1）- f（X 2）④ X 1 x 2f（X 1）f （X 2）2 2E.对于命题 p : T x • R ，使得X x ^：： 0二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分•其中14、15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分。
(完整版)实变函数期末考试卷A及参考答卷
2011—2012学年第1学期数计学院09级数学与应用数学专业(1、2班)《实变函数》期末考试卷（A）考生考试诚信承诺书在我填写考生信息后，表示我已阅读和理解《龙岩学院考试纪律与违纪处分办法》的有关规定，承诺在考试中自觉遵规守纪，如有违反将接受处理；我保证在本科目考试中，本人所提供的个人信息是真实、准确的。
考生签名：实变函数期末考试卷(A )2009级本科1、2班用 考试时间2012年01月 04日一 填空题（每小题3分，满分24分） 1 我们将定义在可测集qE ⊂上的所有L 可测函数所成的集合记为()M E .任取()f M E ∈，都可以确定两个非负可测函数：()()()(),0,0,0.f x x E f fx x E f +∈>⎧=⎨∈≤⎩当时当时 和()()()()0,0,,0.x E f fx f x x E f -∈>⎧=⎨-∈≤⎩当时当时分别称为f 的正部和负部。
请你写出()()(),,f x fx f x +-和()f x 之间的关系：()f x =，()f x =。
2 上题()M E 中有些元素ϕ被称为非负简单函数，指的是：12k E E E E =是有限个互不相交的可测集的并集，在i E 上()i x c ϕ≡（非负常数）（1,2,,i k =）.ϕ在E 上的L 积分定义为：()Ex dx ϕ=⎰，这个积分值可能落在区间中，但只有当时才能说ϕ是L 可积的。
3 若()f M E ∈是非负函数，则它的L 积分定义为：()Ef x dx =⎰，这个积分值可能落在区间中，但只有当时才能说f 是L 可积的。
4 ()M E 中的一般元素f 称为是积分确定的，如果f +和f -， 即()Efx dx +⎰和()E f x dx -⎰的值；但只有当时才能说f 是L 可积的，这时将它的积分定义为：()Ef x dx =⎰。
5 从()M E 中取出一个非负函数列(){}n f x ，则法图引理的结论是不等式：；如果再添上条件和就试卷 共 8 页 第 2 页得到列维定理的结论：。
2009高考数学模拟试题13套数学8
数学(理科)说明：本试卷共6页，21小题，满分150分•考试用时120分钟. 参考公式：如果事件 A, B 互斥，那么P(A B) = P(A) P(B) • 如果事件A, B 相互独立，那么 P(A B)二P(A)・P(B) •2x + y W 40, x +2y W 50,4.若变量x , y 满足则z=3x ・2y 的最大值是()x > 0, J 》0，A .①②B .①③C .①④D .②④6.已知命题p:所有有理数都是实数， 命题q:正数的对数都是负数， 则下列命题中为真命题的是 ()普通高等学校招生全国统一考试(广东模拟卷)2009. 5. 18一、选择题：本大题共 项是符合题目要求的. 8小题，每小题 5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有1.1 -i 1 i2 2(1 i) (1-i)B . —i C. 1 D. —12. 3.设x o 是方程In x ，x=4的解，贝U x o 属于区间(A. ( 0，1)B. (1，2)C. (2, 3)3.为了解初中生的身体素质，某地区随机抽取了n 名学生进行跳绳测试，根据所得数据画样本的频 率分布直方图所示，且从左到右第一小组的频 数是100,则n = ___________ 0.0)6- 0XH2■十— 0.008-A . 1000B . 10000 C. 2000 D. 3000D. (3，4)49.5 74J 99.3 124.5 1495⑵(3)⑷ ⑸C • （—p ） （—q ）D •R 有大于零的极值点，则（10.已知（1 kx 2）6 （ k 是正整数）的展开式中， x 8的系数小于120，贝U k = _______ 11.抛物线y =-x 2与直线y =5围成的图形的面积是 12 •如下图，第（1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第（ 2）个多边形是由正方形“扩展”而来，……，如此类推•设由正n 边形“扩展”而来的多边形的边数为a n ,则a 6 =A • (—p) qB • p q 7.设 a R ，若函数 y =e ax3x , (—p) (—q)) A . a I 、「3B . a ：： -32&已知曲线C : y =2x ，点A (0, 1 D. a :: 一3—2）及点B （3, a ）,从点A 观察点B ,要使视线不被 住，则实数a 的取值范围是（ ）A . (4,+^)B . ( — 8, 4)C . (10,+^)D .(―汽 10)二、填空题：本大题共 7小题，考生作答 6小题，每小题5 分, 满分30分.（—）必做题（9--12题）9.执行右边的程序框图，若 p = 4，则输出的S =/输入（注：框图中的赋值符号 也可以写成 ”或“== I 11旳二越+ 1/输出31 r—£ +丄结束218£ —I~a3a4(二)选做题(13—15题，考生只能从中选做两题)13. 以知圆的直径AB=13cm,C是圆周上一点(不同于A, B点)，CD _AB于D, CD =6cm,则BD =14、点M ,N分别是曲线Psin日=2和P = 2cos日上的动点，贝U |MN|的最小值是_________ 。
2009年全国统一高考物理试卷(全国卷ⅰ)(含解析版)
2009年全国统一高考物理试卷（全国卷Ⅰ）一、选择题（本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，有的只有一个选项正确，有的有多个选项正确，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）1．（6分）下列说法正确的是（）A．气体对器壁的压强大小等于大量气体分子作用在器壁单位面积上的平均作用力B．气体对器壁的压强就是大量气体分子单位时间作用在器壁上的平均冲量C．气体分子热运动的平均动能减少，气体的压强一定减小D．单位体积的气体分子数增加，气体的压强一定增大2．（6分）某物体左右两侧各有一竖直放置的平面镜，两平面镜相互平行，物体距离左镜4m，右镜8m，如图所示，物体在左镜所成的像中从右向左数的第三个像与物体的距离是（）A．24m B．32m C．40m D．48m3．（6分）氦氖激光器能产生三种波长的激光，其中两种波长分别为λ1=0.6328µm，λ2=3.39µm，已知波长为λ1的激光是氖原子在能级间隔为△E1=1.96eV的两个能级之间跃迁产生的．用△E2表示产生波长为λ2的激光所对应的跃迁的能级间隔，则△E2的近似值为（）A．10.50eV B．0.98eV C．0.53eV D．0.36eV4．（6分）如图，一段导线abcd位于磁感应强度大小为B的匀强磁场中，且与磁场方向（垂直于纸面向里）垂直．线段ab、bc和cd的长度均为L，且∠abc=∠bcd=135°．流经导线的电流为I，方向如图中箭头所示．导线段abcd所受到的磁场的作用力的合力（）A．方向沿纸面向上，大小为（+1）ILBB．方向沿纸面向上，大小为（﹣1）ILBC．方向沿纸面向下，大小为（+1）ILBD．方向沿纸面向下，大小为（﹣1）ILB5．（6分）如图所示，一电场的电场线分布关于y轴（沿竖直方向）对称，O、M、N是y轴上的三个点，且OM=MN．P点在y轴右侧，MP⊥ON．则（）A．M点的电势比P点高B．将负电荷由O点移动到P点，电场力做正功C．M、N两点间的电势差大于O、M两点间的电势差D．在O点静止释放一带正电粒子，该粒子将沿y轴正方向做直线运动6．（6分）天文学家新发现了太阳系外的一颗行星。
2009年高考全国卷数学
2009年高考全国卷数学题一、单选题1.平面α与平面β平行的充要条件是（ ）A. α内有无数条直线与β平行B. α，β垂直于同一个平面C. α，β平行于同一条直线D. α内有两条相交直线与β平行2.在三棱锥B ACD -中，若AB AC AD BC BD CD =====，则异面直线AB 与CD 所成角为（ ）A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°3.定义区间[]()1212,x x x x <的长度为21x x -，已知函数||2x y =的定义域为[,]a b ，值域为[1,2]，则区间[,]a b 的长度的最大值与最小值的差为（ ）A.1B.2C.3D.124.若()2,01,0x m x f x nx x +<⎧=⎨+>⎩是奇函数，则（ ） A.1m =-，2n = B. 1m =，2n =-C. 1m =，2n =D. 1m =-，2n =-5.列函数中，既是偶函数又在区间(0),-∞上单调递增的是（ ）A ．2(1)f x x = B ．()21f x x =+ C ．()2f x x = D ．()2x f x -= 6．若命题甲：10x -=，命题乙：2lg lg 0x x -=，则命题甲是命题乙的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分也非必要条件7.0tan 3π=（ ）A ．3B ．3C ．1D 38.设集合{}{}234345M N ==，，，，，， 那么M N ⋃=（ ）A.{} 2345，，，B.{}234，， C .{}345，， D .{}34，9.已知集合{}3,1,0,2,3,4A =--，{|0R B x x =≤或3}x >，则A B =（ ）A.∅B.{}3,1,0,4--C.{}2,3D.{}0,2,310．命题：00x ∃≤，20010x x -->的否定是（ ）A ．0x ∀>，210x x --≤B ．00x ∃>，20010x x -->C ．00x ∃≤，20010x x --≤D ．0x ∀≤，210x x --≤11.已知m 3=n 4，那么下列式子中一定成立的是（ ）A ．4m =3nB ．3m =4nC ．m =4nD ．mn =12 二、填空题1定义25(0),()8(0).x x f x x x ⎧+≤⎪=>在(1,1)-上的函数()f x 满足()()()1f x g x g x =--+，对任意的1212,(1,1),x x x x ∈-≠，恒有()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，则关于x 的不等式(21)()2f x f x ++>的解集为（ ）。
2009年全国卷i高考物理试题及答案解析
2009年全国卷i高考物理试题及答案解析一、选择题（本题共8小题，每小题6分，共48分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。
）1. 光在真空中的传播速度是：A. 3×10^8 m/sB. 2×10^8 m/sC. 1×10^8 m/sD. 3×10^5 km/s答案：A2. 一个物体在水平面上以初速度v0开始做匀加速直线运动，加速度为a，那么在时间t内，物体的位移s为：A. s = v0t + 1/2at^2B. s = v0t - 1/2at^2C. s = v0tD. s = 1/2at^2答案：A3. 根据牛顿第三定律，两个物体之间的作用力和反作用力：A. 大小相等，方向相同B. 大小相等，方向相反C. 大小不等，方向相反D. 大小不等，方向相同答案：B4. 一个质量为m的物体从高度h处自由下落，忽略空气阻力，那么物体落地时的速度v为：A. v = √(2gh)B. v = √(gh)C. v = √(2h/g)D. v = √(h/g)答案：A5. 根据欧姆定律，一段电阻为R的导体两端的电压U和通过导体的电流I之间的关系是：A. I = U/RB. I = URC. I = R/UD. I = U + R答案：A6. 一个点电荷Q产生的电场强度E与距离r的关系是：A. E = Q/r^2B. E = Qr^2C. E = Q/rD. E = r^2Q答案：A7. 根据能量守恒定律，一个物体的总能量E等于：A. 动能 + 势能B. 动能 - 势能C. 动能× 势能D. 动能 / 势能答案：A8. 一个理想变压器的原副线圈匝数比为n1:n2，那么原副线圈两端的电压比为：A. n1:n2B. n2:n1C. 1:1D. n2:n1答案：B二、填空题（本题共4小题，每小题6分，共24分。
）9. 电磁波的传播不需要介质，其传播速度在真空中为______。
2009高考试题及答案
2009高考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是正确的？A. 地球是宇宙的中心B. 太阳是银河系的中心C. 银河系是宇宙的唯一星系D. 宇宙是无限的答案：D2. 根据相对论，以下哪个说法是正确的？A. 时间是绝对的B. 空间是绝对的C. 光速在任何参考系中都是相同的D. 质量可以转化为能量答案：C3. 以下哪个元素属于碱土金属？A. 钠B. 镁C. 铝D. 钾答案：B4. 光合作用中，植物通过什么过程将太阳能转化为化学能？A. 呼吸作用B. 光反应C. 暗反应D. 蒸腾作用答案：B5. 以下哪个化合物是酸？A. NaOHB. HClC. NaClD. H2O答案：B6. 以下哪个选项是正确的？A. 所有生物都是由细胞构成的B. 病毒不是生物C. 所有生物都能进行光合作用D. 所有生物都能自我复制答案：A7. 以下哪个选项是正确的？A. 牛顿第一定律描述了物体在没有外力作用下的运动状态B. 牛顿第二定律描述了力和加速度的关系C. 牛顿第三定律描述了作用力和反作用力的关系D. 所有选项都是正确的答案：D8. 以下哪个选项是正确的？A. 电流的方向是电子流动的方向B. 电流的方向是正电荷流动的方向C. 电流的方向与电子流动的方向相反D. 电流的方向与电子流动的方向相同答案：C9. 以下哪个选项是正确的？A. 磁场是由运动的电荷产生的B. 磁场是由静止的电荷产生的C. 磁场是由电流产生的D. 磁场是由变化的电场产生的答案：C10. 以下哪个选项是正确的？A. 原子核由质子和电子组成B. 原子核由质子和中子组成C. 电子云是由质子和中子组成的D. 电子云是由电子组成的答案：B二、填空题（每题2分，共20分）1. 根据爱因斯坦的质能等价公式，能量（E）和质量（m）之间的关系是 E=mc^2，其中c代表的是________。
答案：光速2. 化学元素周期表中，元素的原子序数与其________数相等。
2009高考数学模拟试题13套数学12
2009年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)本试卷满分150分，考试时间120分钟.互斥，那么 P(A B) P(A) P(B).已知n 是正整数，则a n b n (a b)(a n 1a n 2b则平均产量较高与产量较稳定的分别是 ()A .棉农甲，棉农甲B .棉农甲，棉农乙C .棉农乙，棉农甲D .棉农乙，棉农乙x 24.若 y 2 ，则z x - 2y 的最大值是x y 2A . -4B . -2C . 2D . 45.已知函数f (x) 4sin 2x 4cosx 1 a ，若关于x 的方程f (x) 0在区间[,2 ]上有解，则a 的取值范围是()4 3A. [ 8,0]B.[ 3,5]C.[ 4,5]D.[ 3,2 .21]6.条件p:a 1，条件q: a 1，贝yp 是 q 的( )A •充分非必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件1. 2. 、选择题：本大题共八小题，每小题 目要求的. 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题设复数 已知等差数列 A.11 { a n }中，a 4B.12 C .1~2a 7a 1018,a 6*8 a® 27,右 a k 21，则 k=()C.13D.14(千克/亩)如下表: 参考公式：如果事件n 2 n 1 \ab b ).3. 甲、乙两棉农，统计连续五年的面积产量7.若函数y (2)11 x|m的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是A. m<—1C. m> 1 D . 0v m W 1（一） 必做题（9 —12题）199.下图给出的是计算1 2 4 2的值的一个程序框图，则其中空白的判断框内，应填入 __________10•若函数 f(x)满足 f(a b) f(a) f(b)，且 f (1)2，则丄0 + 出 + •••+ f(2°°6)f (1) f (3) f(2005)211.函数y log °.7(x 3x 2)的单调递增区间是 ___________________（二） 选做题（13—15题，考生只能从中选做两题）y ）（^ a） 9对任意正实数x,y 恒成立，则正实数 a 的最小值为 x y15. ______________________ 底面边长为2的正三棱锥P ABC 中，E 、F 、G 、H 分别是FA 、AC 、BC 、PB 中点，则四边形 的面积取值范围是8•设aR ，若函数y ax e 3x , x11A • a—B • a—33R 有大于零的极值点，则（ C • a 3D . a 37小题，考生作答 6小题，每小题5分，共30分.12.若 sin2 av 0, sin —cos > 0，贝U cos1 sin+ sin1 sin13.已知直线的极坐标方程是sin （ -），则极点到该直线的距离是4214.已知不等式（xEFGH、填空题：本大题共三、解答题：本大题共6小题，满分80分•解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤16. (本小题满分13分)设0<e <-，曲线x2sin e + y2cos e=1和xJ e-y罰e=1有4个不同的交点(1) 求e的取值范围；(2) 证明这4个交点共圆，并求圆半径的取值范围17. (本小题满分13分)某售货员负责在甲、乙、丙三个柜面上售货，如果在某一个小时内各柜面不需要售货员照顾的概率分别为0.9、0.8、0.7 •假定各个柜面是否需要照顾相互之间没有影响，求在这个小时内：(1) 只有丙柜面需要售货员照顾的概率；(2) 三个柜面最多有一个需要售货员照顾的概率；(3) 三个柜面至少有一个需要售货员照顾的概率.18. (本小题满分14分)ABCD 是如图，四棱锥P ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ADC 60°的菱形，M为PB的中点.(1) 求PA与底面ABCD所成角的大小;(2) 求证：PA平面CDM ;(3) 求二面角D MC B的余弦值.19. (本小题满分14分)20. (本小题满分14分)2 2设函数 f (x) tx 2t x t 1(x R , t 0) • ⑴求f (x)的最小值h(t)； 2t m 对t (0,2)恒成立，求实数 m 的取值范围.21. (本小题满分12分)5 2x已知函数f(x)=，设正项数列 a n 满足a 1 =l , a n1f a n .16 8x(1)写出a 2、a 3的值；5(2)试比较a n 与-的大小，并说明理由；已知点A (1, 1)是椭圆2x~2a2爲=1 (a >b >0)上一点，F 1、F 2是椭圆的两焦点，且满足|b 2AF 1 | +AF 2 | =4.(1)求椭圆的两焦点坐标;(2)设点B 是椭圆上任意一点，如果| AB |最大时，求证 A 、B 两点关于原点 0不对称; (3)设点C 、D 是椭圆上两点，直线AC 、AD 的倾斜角互补，试判断直线CD 的斜率是否为定值?⑵若h(t)45 n 1(3)设b n满足b n= —a n,记S n= b i•证明：当n 2 时,S n(2n 1).4 i 1 4一、选择题：DBBC CABD二、填空题：9、i 19 10、2006 11 、 x 1 12、 2 sin(—)213、21 a14、4 解析：(x y)() 1 a 丄 ax 1 a 21 a-、a 1 ，当y x ax 等号成立,x y xy1 a2所以(x y)()的最小值为a 1,.a 21 9, a 4三、解答题2 .x sin16、解：(1 )解方程组2x cos2y cos 2・ y sin1，得1 2 ・x sin 2y coscos sinsincos故两条已知曲线有四个不同的交点的充要条件为,3分cos sin 0(0< 9 < — )0< 9 < — .6 分24(2)设四个交点的坐标为(X i , y i ) (i = 1 , 2, 3, 4), 则：X i 2+ y i 2 = 2cos 9 €( . 2 , 2) (i = 1 , 2, 3, 4) . 10 分 故四个交点共圆，并且这个圆的半径r = 2 cos (4 2,2).13分17、解：设事件A 为“甲柜面不需要售货员照顾”，事件B 为“乙柜面不需要售货员照顾”，事件C 为“丙 柜面不需要售货员照顾”则事件 A 、B 、C 相互独立，且 P(A) = 0.9, P(B) = 0.8, P(C) = 0.7. 2 分(1)设事件D 表示“某一小时内只有丙柜面需要售货员照顾”，则D ABC ，且事件A 、B 、C 相互独15、 解析：用特例法, 当P 点无限远离平面 ABC 时显然所求四边形的面积为无穷；而当 P 点无限接近平面ABC 时(如图所示) ，容易求得面积为••• P(D)= P(A B C ) = P(A) P(B) P( C ) = 0.9X 0.8 X 0.3= 0.216. 4 分(2) 设事件E 表示“某一小时内三个柜面最多有一个需要售货员照顾”，则 E ABC ABC ABC ABC6 分 又ABC 、A B C 、ABC 、AB C 彼此互斥，且 A 、B 、C 、A 、"B 、相互独立 • P(E) P(A B C) P(A B C) P(A B C) P(A B C)=0.9 X 0.8 X 0.7 + 0.1 X 0.8 X 0.7+ 0.9X 0.2 X 0.7+ 0.9 X 0.8X 0.3 = 0.902 9 分(3) 设事件F 表示“某一小时内三个柜面至少有一个需要售货员照顾”，则F ABC10分又A 、B 、C 相互独立P(F) = P(A) P(B) P(C) = 0.9X 0.8 X 0.7 = 0.504• P(F) 1 P(F) = 0.496.13 分18、解：（1）取DC 的中点 O ,由A PDC 是正三角形，有 PO 丄DC .则 NMB 为二面角D MC B 的平面角，在 Rt PAB 中，易得又 平面PDC 丄底面 ABCD , • PO 丄平面 ABCD 于O .连结OA ，则OA 是PA 在底面上的射影.•/ PAO 就是PA 与底面所成角. / ADC=60 °由已知 A PCD 和A ACD 是全等的正三角形，从而求得 OA=OP= 3 . / PAO=45 ° • FA 与底面ABCD 可成角的大小为 45 °⑵ 由底面 ABCD 为菱形且/ ADC=60 ° DC=2, DO=1，有OA 丄DC . 建立空间直角坐标系如图，则 AC 3, 0,0), P(0,0, .3), D(0, 1,0), B( 3, 2, 0)由M 为PB 中点，•Q).(3, 0,ULLTDC (0, 2, 0).uuu LLLLT 3 -PA DM 3 22 LLU ULLT PA DC 0 .3 2 0 0 PA 丄 DM , PA 丄 DC . 3) • PA 丄平面DMC . ⑶ CM (f,0, f), CB (3,1,0).令平面 BMC 的法向量 n (x, y, z), 则n CMP 0，从而x+z=0 ； …由①、②，取x=- 1,则y *.；3, 由⑵知平面CDM 的法向量可取 T cunn PA 2乘 cos n, PA T LLfl- -------------------------- | n || PA | "5 J 6 ••①,z 1 . ILLT PA rn CB 0，从而 3x y 0 . •可取 n ( 1, .3,1). (•3,0, 3), |n||PA法二：（1）方法同上 （2）取AP 的中点N 又 PO CD ，则 CD •所求二面角的余弦值为— ，连接MN 平面APO 1 MN // 丄 AB-2 在 APO 中，AO PO ，则 ON 则PA 平面MCD又在 PAB 中，中位线 6分10分. 14 分5由于 ADC 60°，贝U AO CD , 由(I)知，在菱形 ABCD 中， ，即 CD PA , 1 CO// — AB ，则 MN //CO ,则四边形 OCMN 为 Y ，所以 MC //ON , 2 AP ，故 AP MC 而 MC I CD C , （3）由（n ）知 MC 平面PAB,6, PB . PA 2 AB 2、•、、6 22、、10 ,b 2 2.6 3（2）用反证法 假设A 、B 两点关于原点 则B 点坐标为（-1,-1） 此时 |AB | =22取椭圆上一点 M (-2, 0),则|AM | =40| AM | >|AB |从而此时|AB |不是最大，这与|AB |最大矛盾 所以命题成立(1+3k 2) x 2-6k (k-1) x+3k 2-6k-1=0 点A (1 , 1 )在椭圆上3k 2 6k 1 X c=—3k 1cos PBAAB PB .10 5cos NMB cos(PBA)故，所求二面角的余弦值为519、解：（1） 由椭圆定义知：2ax 22 b-1.把（1, 1) 代入得1 b 2=1 b 2，则椭圆方程为2『1(3)设 AC 方程为:y k(x 1)1 y 联立 xk(x 1)2 3 2y4 411消去y 得PA故两焦点坐标为（ 2.6 30),O 对称直线AC、AD倾斜角互补同理x23k2 6k19分同理x D3k2又y c k(x c 1)1, y D k(X D1) 110分y c y D k( X c X D) 2k所以k CIy c y D1 D =X c X D3即直线CD的倾斜角为定值14分20、解: (1)Q f (x)2t(x t)t3t1(x R, t 0),当x t时，f (x)取最小值f(t)t3 t 1 ,即h(t)t3 t 1. 4分⑵令g(t) h(t)(2t m)t33t 1 m ,由g(t)3t2 30 得t 1, t1(不合题意，舍去). 6分当t变化时g (t) , g(t)的变化情况如下表:t(0, 1)1(1 , 2)g (t)0g(t)递增极大值1 m递减g(t)在(0,2)内有最大值g(1) 1 m . 10分h(t) 2t m在(0,2)内恒成立等价于g(t) 0在(0,2)内恒成立,即等价于1 m 0，所以m的取值范围为m 1.5 2a 721、解：(1)an1 石忒，因为a1 1,所以a2 汙(2)因为a n 0,a n 1 0,所以16 8a n 0,0a n 1 5 5 2a n4 16 8a n^n 7)32(2 a n)14分a n 2.1 2因为2 a n0,所以a n1与a n5 同号，4 4.5 15555因为a 10 , a ?0, a b -0, a n—0,即 a n4444445 31531(3 )当 n 2时, b na .------------- 1 (- a n 1)b,42 2 an 1 42 2 a n 11b n 1 2b n 1 ,所以 b n 2 b n 1 22 b n 2 L 2n 1b 1 2n所以S n b 1 b 2L S j ㊁4(1 2n )__2_1 n4(21).12分。
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n 1 1 1
5
、设 f ( x ), f ( x ) （ n
n
1, 2,
）都是[0,1] 上的 Lebesgue 可积函数，且 lim f ( x) f ( x) dx 0 ，
n [ 0 ,1] n
证明： （1） f ( x )
n
f ( x)
于[0,1] ； （2）1
1
sin cos
2 2
fn ( x) fn ( x)
A
课程名称 实变函数 课程编号 83410014 任课教师 李工宝、何穗、刘敏思 题型 分值 得分
得分 评阅人
： 号 学
判断题 15
叙述题 15
计算题 10
解答题 60
总分 100
： 名 姓 生 学 ： 级 年
判断题（判断正确、错误，请在括号中填“对”或“错” 。 共 5 小题，每题 3 分，共 5×3=15 分）
f ( x )d x
。
2
、证明：若 E
R
n
中为可测集，则存在G 型集G ，使得 E
G
， m (G \ E ) 0 。
3
、若 E 可测集。
R
n
是可测集， f ( x ) 为 E 上的可测函数，U
R
1
为开集，则 f
1
(U )
x
E f (x)
U
是
第
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------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
2
、关于依测度收敛与几乎处处收敛关系的 Reisz 定理（黎斯定理） 、 定理（叶果洛夫定理）
3 Egoroff
、 控制收敛定理 5、Fubini 定理
4 Lebesgue
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2009–2010
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
f (x) f ( x)
1 2
于[0,1] 。
6
、设 f ( x ) （ n 1, 2, ） ， f ( x ) 都是 R 上的 Lebesgue 可积函数，且满足： （1） lim f ( x ) f ( x ) a.e. 于 R ； （2）存在 R 上的 Lebesgue 可积函数 g ( x ) （ n 1, 2, ）和 g ( x ) ，使得， g ( x ) a.e. 于 R ， lim g ( x ) g ( x ) d x 0 ，且 f ( x ) 证明： （1） lim f ( x ) f ( x ) d x 0 ； （2） lim f ( x )d x f ( x )d x ，其中 B (0, n ) x R x n 。
p n p
n n
p
n
p
n
R
p
n
n
n
n
R
p
n
p
n
B ( 0 ,n )
n
R
p
第
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页)
一、
： 业 专
、由 0,1 两个数构成的实数列全体具有可数势（即可数基数） 。 （ ） 2、若 F ， F 是 R 中的两个非空闭集，且 F ，则存在开集G , G ，使得 F G , F G ， F G G 。 （ ） 3、设 f ( x ) （ n 1, 2, ）和 f ( x ) 都为[0,1] 上的可测函数，且 f ( x ) f ( x ) a.e. 于[0,1] ，则 （ ） f ( x) f ( x ) 于[0,1] 。 ( x )d x 0 。 4、Cantor 三分集 P 的特征函数 ( x ) 满足 （）
1
n
1
2
1
2
1
2
1
1
2
2
1
2
n
n
n
P
R
1
P
5
、任意一列[0,1] 上的有界变差函数{ f ( x ) }的和 f ( x )
n
fn (x)
n 1
也必为[0,1] 上的有界变差函数。 （ ）
得分
评阅人
： ） 系 （ 院
二、叙述题 (共 5 小题 , 每题 3 分，共 5×3 =15 分)
1
、关于两集合对等的Bernstein定理
、设 E R 是可测集， f ( x , y ) 为 E R 上的实函数，满足： （1）对 x E ， f ( x , y ) 是关于 y 在 R 上的连续函数； （2）对 y R ， f ( x , y ) 是关于 x 在 E 上的可测函数， 证明：对于任何 E 上的实值可测函数 g ( x ) ， 也是 E 上的可测函数。
1
得分
得分
设 Q 为[0, + ) 中有理数全体， f ( x )
、证明： R 上互不相交的非空开集所成的集族 G 为至多可数集。
1
评阅人Leabharlann 评阅人三、计算题（共 1 题，共 1×10 = 10 分）
e
x sin x
3
xe
x
2
, , x Q
[ 0. )
x [0, ) Q
，求
四、解答题（共 6 小题，每题 10 分，共 6×10 = 60 分）