阶线性微分方程解的结构

附录A 线性常微分方程

本课程的研究内容与常微分方程理论有非常密切的联系，因此在本附录里，我们将对线性常微分方程的知识——包括解的存在性、解的结构和求解方法做一些回顾和总结。

把包含未知函数和它的j 阶导数()j y

(的方程称为常微分方程。线性常微分方程的标准形式

()(1)110()()'()()n n n y p x y p x y p x y f x --++++=L （）

其中n 称为方程的阶数，()j p x 和()f x 是给定的函数。可微函数()y y x =在区间 I 上满足方程（），则称其为常微分方程（）在 I 上的一个解。，()f x 称为方程（）的自由项，当自由项()0f x ≡时方程（）称为是齐次方程，否则称为非齐次方程。一般来说常微分方程的解是不唯一的，我们将方程的全部解构成的集合称为解集合，解集合中全部元素的一个通项表达式称为方程的通解，而某个给定的解称为方程的特解。

在本附录里，我们重点介绍一阶和二阶常微分方程的相关知识。

一阶线性常微分方程

一阶线性常微分方程表示为

'()()y p x y f x x I +=∈，. （）当()0f x ≡，方程退化为

'()0y p x y +=, （）假设()y x 不恒等于零，则上式等价于而()'ln 'y y y

=，从而（）的通解为 ()d ()p x x y x Ce -?= （）

对于非齐次一阶线性常微分方程（），在其两端同乘以函数()d p x x e ?

注意到上面等式的左端

因此有

两端积分

其中C 是任意常数。进一步有

综上有如下结论

定理假设()()p x f x I 和在上连续，则一阶线性非齐次常微分方程（）的通解具有如下形式

()d ()d ()d ()()d p x x p x x p x x y x Ce e e f x x --?

??=+?‘ （）其中C 是任意常数。

观察（）式和（）式，我们发现一阶线性非齐次常微分方程（）的解等于一阶线性

齐次常微分方程（）的通解()d p x x Ce -?加上函数()d ()d *()()d p x x p x x y x e e f x x -??=?

。容易验证，*()y x 是方程（）的一个特解。这符合线性方程解的结构规律。

例1 求解一阶常微分方程

解此时()2()1p x f x =-=，,由（）式，解为

其中C 是任意常数。

二阶线性常微分方程

将具有以下形式的方程

"()'()()y p x y q x y f x x I ++=∈，，（）称为二阶线性常微分方程，其中(),(),()p x q x f x 都是变量x 的已知连续函数。称

"()'()0y p x y q x y x I ++=∈，，（）为与（）相伴的齐次方程.

A ．2．1 二阶线性微分方程解的结构

首先讨论齐次方程（）解的结构。

定理如果函数12()()y x y x 与是线性齐次方程（）的两个解，则函数1122()()y c y x c y x =+仍为该方程的解，其中12,c c 是任意的常数。

定理1 说明齐次线性常微分方程（）的解如果存在的话，一定有无穷多个。为了说明齐次线性常微分方程（）通解的结构，首先给出函数线性无关的定义。

定义设函数12(),(),,()n y x y x y x L 是定义在区间I 上的n 个函数，如果存在n 个不

全为零的常数12,,n k k k L ，，使得1122()()()0n n k y x k y x k y x ++=L 在区间I 上恒成立，

则称函数12(),(),,()n y x y x y x L 在区间上线性相关，否则称为线性无关。

例如函数221cos ,sin x x ，在整个数轴上是线性相关的，而函数x x e e -和在任何区间(,)a b 内是线性无关的。

特别的，对于两个函数的情形，它们线性相关与否，只需要看它们的比值是否为常数即可，比值为常数，那么它们线性相关，否则线性无关。

有了函数线性无关的概念，就有如下二阶线性齐次微分方程（）通解结构的定理。定理假设线性齐次方程（）中，函数()()p x q x 与在区间I 上连续，则方程（）一定存在两个线性无关的解。

类似于代数学中齐次线性方程组，二阶线性齐次常微分方程的解集合也存在基础解系。

定理若12()()y x y x 与是二阶线性齐次常微分方程（）的两个线性无关的特解，则1122()()y c y x c y x =+是该方程的通解，其中12,c c 是任意的常数。

从定理可以看出二阶线性齐次常微分方程（）的任何两个线性无关的特解构成其基础解系。

关于二阶线性非齐次常微分方程（）的通解，有如下结论

定理若函*()y x 是方程（）的一个特解，()Y x 是方程（）相伴的齐次方程的通解，则()()*()y x y x Y x =+是二阶线性非齐次常微分方程（）的通解。

从定理,可以得到求解二阶线性非齐次常微分方程（）的通解的一般步骤：

（１）求解与（）相伴的齐次方程（）的线性无关的两个特解12()()y x y x 与，得该齐次

方程的通解1122()()()Y x c y x c y x =+；

（２）求二阶线性非齐次常微分方程（）的一个特解*()y x ，那么方程（）的通解为

()()*()y x y x Y x =+

对于一些相对复杂的问题，如下的线性微分方程的叠加原理是非常有用的。

定理设二阶线性非齐次常微分方程为

12"()'()()()y p x y q x y f x f x ++=+, （）且12*()*()y x y x 与分别是

和

的特解，则12*()*()y x y x +是方程（）的特解。

A ．2．1 二阶常系数线性常微分方程的解法

如果二阶线性常微分方程为

"'()y py qy f x ++=, （）其中,p q 均为常数，则称为二阶常系数线性常微分方程。以下分两种情形讨论方程（）的解法。

一、二阶常系数线性齐次方程的解法

此时问题为

"'0y py qy ++=, （）考虑到方程中的系数,p q 均为常数，可以猜想该方程具有形如rx

y e =的解，其中r 为待定常数，将'rx y re =和2"rx y r e =‘及rx y e =代入方程"'0y py qy ++=得， 2()0rx e r pr q ++=,

由于0rx e ≠，因此，只要r 满足方程

0r pr q ++=, 即只要r 是上述一元二次方程的根时，rx y e =就是（）的解，方程称为方程的特征方程，它的根称为特征根。关于特征方程的根与微分方程的解的关系有如下结论。

１．特征方程具有两个不相等的实根12r r 与，即12r r ≠。

此时函数1212()()r x r x y x e y x e ==和都是微分方程的解，且因

1212

r r x y e y -=≠（）常数，所以12()()y x y x ，线性无关，因而常微分方程的通解为 1212()r x r x y x c e c e =+.

２．特征方程具有两个相等的实根，即122p r r ==-

。这时函数11()r x y x e =是微分方程的一个特解，还需另找一个与之线性无关的特解

2()y x 。为此设21()()()y x u x y x =，其中()u x 为待定的函数，将2()y x 及其一、二阶导数代入方程得，

12111["(2)'()]0r x e u r p u r pr q u +++++=，注意到12

p r =-是特征方程的根，且10r x e ≠，因此只要()u x 满足"()0u x =“，则12()()r x y x u x e =就是微分方程的解。特别地取12()r x y x xe =，此时微分方程的通解为

1111212()()r x r x r x y x c e c xe c c x e =+=+.

３．特征方程具有一对共轭复根，12r i r i αβαβ=+=-与。

这时两个线性无关的特解()()12i x i x y e y e αβαβ+-==与是两个复数解。为了便于在实

数范围内讨论问题，我们再构造两个线性无关的实数解。由欧拉公式cos sin ix e x i x =+，

可得

1(cos sin )x y e x x αββ=+，2(cos sin )x y e x x αββ=-,

于是由定理１知，函数

121cos 2x e x y y αβ=+（），121sin 2

x e x y y αβ=-（）是微分方程的解，容易验证它们线性无关，所以这时方程的通解可以表示为

12()(cos sin )x y x e c x c x αββ=+ .

上述求解二阶常系数线性齐次方程的方法称为特征根法，其具体步骤可总结如下（１）写出所给微分方程的特征方程；

（２）求出特征根；

（３）根据特征根的三种不同情况求得对应的特解，并写出其通解。

例2 求解二阶齐次常微分方程

（1）"0y y -=；（2）"0y y +=.

解

(1) 特征方程为210r -=，其根为121r =±，所以微分方程的两个线性无关的解为12(),()x x y x e y x e -==，所以通解可以表示为12()x x y x c e c e -=+。又

cosh ,sinh 22

x x x x

e e e e x x --+-==，因而cosh sinh x x 和也是微分方程的解，并且它们也是线性无关的，因此也可以构成微分方程的基础解系，即方程的通解也可以表示为12()cosh sinh y x c x c x =+，这种表示方法在讨论某些问题时更加方便。

(2) 特征方程为2

10r +=，其根为12r i =±，所以微分方程的两个线性无关的解为12()cos ,()sin y x x y x x ==，所以通解可以表示为12()cos sin y x c x c x =+。

在实际应用中，我们经常遇到带有一些条件的微分方程，如

"4,(0)0,'(0)1x y y e y y +===或"23sin 2,(0)0,(1)0y y y x y y +-===‘

等，这些问题称为初值问题或边值问题。

例3 求方程"4'40y y y -+=的满足初始条件(0)1,'(0)4y y ==的特解

解 "4'40y y y -+=的特征方程为2

440r r -+=，有重根2r =，其对应的两个线性无关的特解为 2212()()x x y x e y x xe ==，,

所以通解为

212()()x y x c c x e =+,

求导得

22212'()2()x x y x c xe c c x e =++‘,

将(0)1,'(0)4y y ==代入以上两式得

121124

c c c =??+=?, 解之得1212c c ==，，即得初值问题为

2()(12)x y x x e =+.

例4 求含参数方程"0y y λ+=（λ为实数）满足边界条件(0)0,'()0y y l ==的特解。

解微分方程的特征方程为20r λ+=，λ为实数，分以下三种情形进行讨论： ① 当0<λ

时，特征方程有两个互不相等的实根12r =，此时微分方程的两个线性无

关的特解为12(),()y x y x e ==，因此其通解为

12()y x c c e =+,

其中12,c c 是任意常数。由条件(0)0,'()0y y l ==, 得

12120

c c c c e +=???-=??, 解之得, 120c c ==, 从而()0y x ≡，也即方程没有非零解。

② 当0=λ时，方程退化为''0X =，其特征方程有两个相等的实根120r =，此时微分方

程的两个线性无关的特解为12()1,()y x y x x ==，因此其通解为

00()X x c d x =+.

其中00,c d 是任意常数（当然这个通解也可以直接由''0X =积分两次得到）。

由条件(0)0,'()0y y l ==, 得0000c d ==，，此时，方程没有非零解。

③ 当0>λ

时，特征方程有两个互为共轭的复根12r =，于是微分方程的两个线性

无关的特解为12(),()y x y x ==，因此其通解为

12()y x c c =+,

其中12,c c 是任意常数。代入边界条件，得

120)0c c c ?=?-+=,

0≠，所以10c =

，故10c =，要使()y x 不恒等于零，须20c ≠，因此

必有0=

1π,0,1,2,2n n ??=+= ???

L ，也即 2

221π2,0,1,2,n n l λ??+ ???==L ，相应的解为

21π2()sin n x y x c l

??+ ??

?=, 其中2c 为任意的数。

例5 求解如下带有周期条件的常微分方程问题

()()

''02y y y x y x λπ?+=??+=??.

解首先与上例同理可得常微分方程''0y y λ+=在参数λ取不同值时的通解为

(

)120012(0)(0)(0)c c y x c d x c c e λλλ?+>?=+=??+

结合周期条件()()2y x y x π+=，可求得参数2n λ=，0,1,2,n =L ，而相应的解为

()120

cos sin (0)(0)c n c n n y x c n ??+≠?=?=?. 二、二阶常系数线性非齐次常微分方程的解法

由定理, 线性非齐次常微分方程

"'()y py qy f x ++=,

的解可由其相伴齐次方程的通解()Y x 和非齐次方程的一个特解*()y x 之和构成。因此，求解二阶常系数线性非齐次常微分方程的关键就在于确定它的一个特解*()y x 。确定特解的方法很多，下面介绍常用的待定系数法，该方法的基本思想是：利用右端项()f x 的具体形式确定特解*()y x 的结构，然后代入到非齐次方程中确定其中系数。下面分几种情形来讨论特解的求法。

1．自由项为多项式，即()()n f x P x =

设二阶常系数线性非齐次常微分方程

"'()n y py qy P x ++=, （）

其中()n P x 为x 的n 次多项式。由于方程中系数p q ，都是常数，且多项式的导数仍为多项式，所以可设（）的特解为

=*y ()k n x Q x ,

其中()n Q x 是与()n P x 同阶的多项式，k 是一个常数，当系数0q ≠时，k 取０，当00q p =≠，时，k 取１，当00q p ==，时，k 取２。

例6 求非齐次方程2

"2'y y y x -+=的一个特解。

解使用待定系数法。由于该方程中自由项2()f x x =是二次多项式，且1q =，故取0k =，所以设特解为=*y 2ax bx c ++，代入方程，合并同类项后有

22(4)(22)ax a b x a b c x +-++-+=, 比较两端系数可得1,4,6a b c ===。于是求得特解为=*y 246x x ++。

2. 自由项()f x 为x Ae α型

设二阶常系数线性非齐次常微分方程

"'x

y py qy Ae α++=, （）

其中,A α均为常数。考虑到p q ，都是常数，且指数函数的导数仍为指数函数，所以可设（）的特解为

=*y k x bx e α, 其中b 为待定的系数，当α不是（）的相伴齐次方程的特征根时，k 取０；当α是（）的相伴齐次方程的单特征根时，k 取１；当α是（）的相伴齐次方程的重特征根时，k 取２。

例7 求方程2"'2x

y y y e ++=的通解。

解非齐次方程的相伴齐次方程的特征方程为210r r ++=，其特征根为

1211,22

r r -+--==，所以齐次方程的通解为

1212()(cos sin )22x Y x e

c x c x -=+, 又2α=不是特征方程210r r ++=的特征根，取0k =，所以设特解为=*y 2x be ，代入

方程得

2222422x x x x be be be e ++=, 比较系数得27

b =，故原方程的一个特解为*()y x =227x e 。因此2"'2x y y y e ++=的通解

为122122()(cos sin )722

x x y x e e c x c x -=++. 3．自由项()f x 为(cos sin )x e A x B x αββ+型

设二阶常系数线性非齐次常微分方程

"'(cos sin )x y py qy e A x B x αββ++=+, （）

其中,,A B α均为常数。考虑到指数函数的导数仍为指数函数，三角函数的导数仍为三角函数，所以可设（）的特解为

=*y (cos sin )k x x e a x b x αββ+.

其中,a b 为待定的系数，当i αβ+不是方程（）的相伴齐次方程的特征根时，k 取０；否则，k 取１。将*y 代入非齐次方程确定系数,a b 。

例8 求方程"3'cos2x

y y y e x +-=的一个特解。

解非齐次方程的自由项为cos2x e x ，且12i +不是相伴的齐次方程的特征根，故特解可设为

=*y (cos2sin 2)x e a x b x +.

代入方程，合并同类项得

[(10)cos2(10)sin 2]cos2x x e b a x b a x e x --+=,

即

(10)cos2(10)sin2cos2b a x b a x x --+=,

比较两端系数得

101100b a b a -=??+=?

, 解之得110101101

a b =-=，，故所求特解为 =*y 110cos2sin 2101101x e x x ??-+ ???

. 例9 求方程"sin y y x +=的通解。

解非齐次方程的自由项为sin x ，且i 是相伴的齐次方程的特征根，故特解可设为

*()y x =(cos sin )x a x b x +,

代入方程，合并同类项得

2sin 2cos sin a x b x x -+=, 比较两端系数得102

a b =-=，，故所求特解为 *()y x =1cos22

x x -, 而对应的齐次方程"0y y +=的通解为

12()cos sin Y x c x c x =+,

故所求的通解为

121()cos2cos sin 2

y x x x c x c x =-++.

A ．2．2 二阶变系数线性常微分方程的解法

定理，定理给出了二阶线性微分方程（）

的通解

()()*()y x y x Y x =+,

其中()Y x 是微分方程（）相伴的齐次方程的通解，*()y x 是它的一个特解。

在上一小节中，我们给出了自由项为一些特殊结构的函数的常系数微分方程的求解方法。对于变系数微分方程，一般情况下处理起来比较困难，这里我们给出两种方法分别用以求齐次方程的通解()Y x 和非齐次方程的特解*()y x 。

一、求二阶齐次线性微分方程的特解

对于二阶齐次线性微分方程（）

"()'()0y p x y q x y ++=,

其通解为1122()()()y x c y x c y x =+，这里的12,c c 是任意常数，12()()y x y x ，是齐次方程的两个线性无关的解。现假设我们已知二阶齐次线性微分方程的一个非零特解1()y x ，利用小节中的定理，可以证明如下结论［］。

定理假设在方程（）中，函数(),()p x q x 连续，1()y x 是（）的一个非零特解，则是（）的与1()y x 线性无关的特解。

例１０已知x

e 是二阶齐次常微分方程"(1)'0xy x y y -++=“的一个特解，求该方

程的通解。

解由定理，可以得到 ()1d 222()d d d ()1x x x

x x

x x x x x x x e xe y x e x e x e xe x e xe e x e e +---?====--=--???所以方程的通解为

12()(1)x y x c e c x =++.

二、参数变异法

参数变异法可以从相伴齐次方程的通解出发求得非齐次方程的一个特解*()y x 。设齐次方程的通解为

1122()()()y x c y x c y x =+.

所谓参数变异法就是设想非齐次方程（）有一个形如

1122()()()()()y x c x y x c x y x =+, （）的解，这里12()()c x c x ，是两个待定的函数，即参数12c c ，变异为函数了。下面我们来选择12()()c x c x ，，使()y x 成为非齐次方程的一个解。由（）有

11221122'()'()()'()()()'()()'()y x c x y x c x y x c x y x c x y x =+++.

由于要确定两个函数12()()c x c x ，，但它们只需满足一个方程，所以可以对12()()c x c x ，添加一个约束条件，事实上如下的条件可以同时起到简化计算的作用，我们规定

1122'()()'()()0c x y x c x y x +=. （）利用（）和（），有

1122'()()'()()'()y x c x y x c x y x =+，

11221122"()()"()()"()'()'()'()'()y x c x y x c x y x c x y x c x y x =+++““，

将以上两式代入方程（）可得

112211221122112211110

222"()'()(()"()()"()'()'()'()'())

()(()'()()'())()(()()()())

()("()()'()()())()("()()y p x y q x y c x y x c x y x c x y x c x y x p x c x y x c x y x q x c x y x c x y x c x y x p x y x q x y x c x y x p x y =++=+++++++=++++144444424444443

“““211220

1122'()()())'()'()'()'()'()'()'()'()

().

x q x y x c x y x c x y x c x y x c x y x f x =+++=+=144444424444443

由上式和式（），待定函数12()()c x c x ，满足

11221122'()'()'()'()()'()()'()()0.

c x y x c x y x f x c x y x c x y x +=??+=?，

这是一个关于12'()'()c x c x ，的方程组，由克莱默法则记121212()()

((),())'()'(

)y x y x W y x y x y x y x =，则有

积分求得

从而得到（）的一个特解

21121212()()

()()

*()d ()

d .((),())((),())

f x y

x f x y x y y x x y x x W y x y x W y x y x -=+??

（）

例11 求方程"tan y y x +=“的通解。

解齐次方程"0y y +=“的通解为

12()cos sin Y x c x c x =+.

用参数变异法，求解方程组

由此得

积分可得

故所求通解为

所求通解为

其中12,c c 为任意的常数。

欧拉方程

在数理方程课程中还经常要用到一类特殊的二阶变系数线性常微分方程

"'()xy pxy q f x ++=, （）

其中,p q 为常数。这样的方程被称为欧拉方程,它虽然不是常系数方程，但其系数很特殊，可以通过简单的自变量变换后化为常系数方程。令t

x e =，则 d d d 1d d dt d dt

y y t y x x x ==, 222222222'd 1d 1d 1d d 1d 1d d dt dt dt d dt dt y y y y t y y x x x x x x x ??==-+=-+ ???

, 代入方程（），有

22d d (1)()d dt

t y y p qy f e t +-+=. 这是一个二阶线性常系数常微分方程，用中的方法求得其通解，最后再进行自变量代换还原为x 的函数即可。

例 12 求解如下方程

22"'0x y xy n y +-=,

其中n 非负整数。

解这是一个欧拉型常微分方程。作代换t x e =，方程化为

2220d y n y dt

-=, 其解为

00(0)()(0)nt nt n n C e D e n y t C D t

n -?+≠=?+=? ,

将变量还原为x ，得到解

001(0)()ln (0)n n n n C x D n y x x C D x n ?+≠?=??+=?.

【免费下载】线性方程组的解空间

第六章向量空间 6.1 定义和例子 6.2 子空间 6.3 向量的线性相关性 6.4 基和维数 6.5 坐标 6.6 向量空间的同构 6.7 矩阵的秩齐次线性方程组的解空间返回教案总目录6.7矩阵的秩，齐次线性方程组的解空间一、教学思考 1、矩阵的秩与线性方程组解的理论在前面已经有过讨论，本节运用向量空间的有关理论重新认识矩阵的秩的几何意义，讨论线性方程组解的结构。2、注意：齐次线性方程组（含n 个未知量）的解的集合构成n F 的子空间，而非齐次线性方程组的解的集合非也。3、注意具体方法：1）证矩阵的行空间与列空间的维数相等；2）求齐次线性方程组的基础解系。二、内容要求 1、内容：矩阵的秩的几何意义，齐次线性方程组的解空间。 2、要求：理解掌握矩阵的秩的几何意义，齐次线性方程组的基础解系的求法。三、教学过程 1、矩阵的秩的几何意义几个术语：设)(F M A n m ?∈，????? ??=mn m n a a a a A 1111，A 的每一行看作n F 的一个元素，叫做A 的行向量，用),2,1(m i i =α表示；由),2,1(m i i =α生成的n F 的子空间),,(1m L αα 叫做矩阵A 的行空间。类似地，A 的每一列看作m F 的一个元素，叫做A 的列向量；由A 的n 个列向量生成的m F 的子空间叫做矩阵A 的列空间。注：)(F M A n m ?∈的行空间与列空间一般不同，分别是n F 与m F 的子空间；下证其维数相同。引理6.7.1设)(F M A n m ?∈，1）若PA B =，P 是一个m 阶可逆矩阵，则B 与A 有相同的行空间；2）若AQ C =，Q 是一个n 阶可逆矩阵，则C 与A 有相同的列空间。分析：设()()()m m ij n m ij n m ij p P b B a A ???===,,，),2,1(m i i =α是A 的行向量，),2,1(m j j =β是B 的行向量；只需证这两组向量等价。

线性方程组的解法

线性方程组的解法 1 引言在科学研究和大型工程设计中出现了越来越多的数学问题，而这些问题往往需要求数值解。在进行数值求解时，经离散后，常常归结为求解形如Ax= b的大型线性方程组。而如插值公式，拟合公式等的建立，微分方程差分格式的构造等，均可归结为求解线性方程组的问题．在工程技术的科学计算中，线性方程组的求解也是最基本的工作之一．因此，线性方程组的解法一直是科学和工程计算中研究最为普遍的问题，它在数值分析中占有极其重要的地位。20世纪50年代至70年代，由于电子计算机的发展，人们开始考虑和研究在计算机上用迭代法求线性方程组Ax =b的近似解，用某种极限过程去逐渐逼近精确解，并发展了许多非常有效的迭代方法，迭代法具有需要计算机存储单元少、程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中始终不变等优点。例如Jacobi方法、Gauss—Seidel 方法、SOR方法、SSOR 方法，这几种迭代方法是最常用的一阶线性定常迭代法。 2 主要算法 20世纪50年代至70年代，人们开始考虑和研究用迭代法求解线性方程组。 Ax = b (1) 的近似解，发展了许多有效的方法，其中有Jacobi方法、Gauss—Seidel方法，SOR方法、SSOR方法，这几种迭代方法均属一阶线性定常迭代法，即若系数矩阵A的一个分裂：A =M-N ；M 为可逆矩阵，线性方程组(1)化为： (M－N)X =b； →M X = NX + b； →X= M -1NX+ M-1b 得到迭代方法的一般公式： X（k+1）=HX（k）+d （2）其中：H =MN-1，d=M-1b，对任意初始向量X（0）一阶定常迭代法收敛的充分必要条件是: 迭代矩H的谱半径小于1，即ρ(H) < 1；又因为对于任何矩阵范数恒有ρ(H)≤‖H‖，故又可得到收敛的一个充分条件为：‖H‖< 1。 2.1 Jacobi迭代法若D为A的对角素构成的对角矩阵，且对角线元素全不为零。系数矩阵A的一个分解：A =

二阶线性微分方程解的结构

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附录A 线性常微分方程本课程的研究内容与常微分方程理论有非常密切的联系,因此在本附录里,我们将对线性常微分方程的知识——包括解的存在性、解的结构和求解方法做一些回顾和总结。把包含未知函数和它的j 阶导数()j y (的方程称为常微分方程。线性常微分方程的标准形式 ()(1)110()()'()()n n n y p x y p x y p x y f x --++++= (A.1) 其中n 称为方程的阶数,()j p x 和()f x 是给定的函数。可微函数()y y x =在区间 I 上满足方程（Ａ．１），则称其为常微分方程(Ａ．1）在 I 上的一个解。，()f x 称为方程（Ａ.1)的自由项,当自由项()0f x ≡时方程（A.1）称为是齐次方程,否则称为非齐次方程。一般来说常微分方程的解是不唯一的，我们将方程的全部解构成的集合称为解集合,解集合中全部元素的一个通项表达式称为方程的通解，而某个给定的解称为方程的特解。在本附录里,我们重点介绍一阶和二阶常微分方程的相关知识。 A.１一阶线性常微分方程一阶线性常微分方程表示为 '()()y p x y f x x I +=∈，. (A.2) 当()0f x ≡,方程退化为 '()0y p x y +=, （A.3) 假设()y x 不恒等于零,则上式等价于

'()y p x y =- 而()'ln 'y y y =，从而（A.3)的通解为 ()d ()p x x y x Ce -?= ( A.4）对于非齐次一阶线性常微分方程(A ．２）,在其两端同乘以函数()d p x x e ? ()d ()d ()d '()()p x x p x x p x x e y p x e y e f x ???+= 注意到上面等式的左端 ()d ()d ()d ''()p x x p x x p x x e y p x e y e y ?????+= ??? ‘ 因此有 ()d ()d '()p x x p x x e y e f x ????= ??? ‘ 两端积分 ()d ()d ()d p x x p x x e y C e f x x ??=+?‘ 其中C 是任意常数。进一步有 ()d ()d ()d p x x p x x y e C e f x x -????=+ ??? ?‘ 综上有如下结论定理A.１假设()()p x f x I 和在上连续，则一阶线性非齐次常微分方程（A.1)的通解具有如下形式 ()d ()d ()d ()()d p x x p x x p x x y x Ce e e f x x --???=+?‘ （A.5)

解线性方程组的基本思想

四：基本方法基本思路将在解题的过程中得到体现。 1．（求线性方程组的唯一解或特解），这类问题的求法分为两类：一类主要用于解低阶稠密矩阵——直接法；一类是解大型稀疏矩阵——迭代法。 1.1利用矩阵除法求线性方程组的特解（或一个解）方程：AX=b，解法：X=A\b，(注意此处’\’不是’/’) 例1-1 求方程组的解。解: A = ; = ；b=(1,0,0,0,1)’ 由于>>rank(A)=5,rank( )=5 %求秩，此为R（A）=R（）>=n的情形，有唯一解。 >>X= A\b %求解X =(2.2662, -1.7218, 1.0571,-0.5940, 0.3188)’ 或用函数rref 求解，>>sv=rref(A:b);所得sv的最后一列即为所要求的解。 1．2 利用矩阵的LU、QR和cholesky分解求方程组的解这三种分解，在求解大型方程组时很有用。其优点是运算速度快、可以节省磁盘空间、节省内存。 I) LU分解又称Gauss消去分解，可把任意方阵分解为下三角矩阵的基本变换形式（行交换）和上三角矩阵的乘积。即A=LU，L为下三角阵，U为上三角阵。则：A*X=b 变成L*U*X=b 所以X=U\(L\b) 这样可以大大提高运算速度。命令[L，U]=lu (A) 在matlab中可以编如下通用m 文件：在Matlab中建立M文件如下 % exp1.m A;b; [L，U]=lu (A); X=U\(L\b) II）Cholesky分解若A为对称正定矩阵，则Cholesky分解可将矩阵A分解成上三角矩阵和其转置的乘积，即：其中R为上三角阵。方程A*X=b 变成所以在Matlab中建立M文件如下 % exp2.m A;b; [R’，R]=chol(A); X=R\(R’\b) III）QR分解对于任何长方矩阵A，都可以进行QR分解，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵的初等变换形式，即：A=QR 方程A*X=b 变形成QRX=b 所以X=R\(Q\b)

解线性方程组基思想

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二阶线性微分方程解的结构

附录A 线性常微分方程本课程的研究内容与常微分方程理论有非常密切的联系，因此在本附录里，我们将对线性常微分方程的知识——包括解的存在性、解的结构和求解方法做一些回顾和总结。把包含未知函数和它的j 阶导数()j y (的方程称为常微分方程。线性常微分方程的标准形式 ()(1)110()()'()()n n n y p x y p x y p x y f x --++++=L （A.1）其中n 称为方程的阶数，()j p x 和()f x 是给定的函数。可微函数()y y x =在区间 I 上满足方程（A.1），则称其为常微分方程（A.1）在 I 上的一个解。，()f x 称为方程（A.1）的自由项，当自由项()0f x ≡时方程（A.1）称为是齐次方程，否则称为非齐次方程。一般来说常微分方程的解是不唯一的，我们将方程的全部解构成的集合称为解集合，解集合中全部元素的一个通项表达式称为方程的通解，而某个给定的解称为方程的特解。在本附录里，我们重点介绍一阶和二阶常微分方程的相关知识。 A.1 一阶线性常微分方程一阶线性常微分方程表示为 '()()y p x y f x x I +=∈，. （A.2）当()0f x ≡，方程退化为 '()0y p x y +=, （A.3）假设()y x 不恒等于零，则上式等价于而()'ln 'y y y =，从而（A.3）的通解为 ()d ()p x x y x Ce -?= （ A.4）对于非齐次一阶线性常微分方程（A.2），在其两端同乘以函数()d p x x e ?

注意到上面等式的左端因此有两端积分其中C 是任意常数。进一步有综上有如下结论定理A.1 假设()()p x f x I 和在上连续，则一阶线性非齐次常微分方程（A.1）的通解具有如下形式 ()d ()d ()d ()()d p x x p x x p x x y x Ce e e f x x --? ??=+?‘ （A.5）其中C 是任意常数。观察（A.4）式和（A.5）式，我们发现一阶线性非齐次常微分方程（A.1）的解等于一阶线性齐次常微分方程（ A.2）的通解()d p x x Ce -?加上函数()d ()d *()()d p x x p x x y x e e f x x -??=?。容易验证，*()y x 是方程（A.1）的一个特解。这符合线性方程解的结构规律。例1 求解一阶常微分方程解此时()2()1p x f x =-=，,由（A.5）式，解为其中C 是任意常数。 A.2 二阶线性常微分方程将具有以下形式的方程 "()'()()y p x y q x y f x x I ++=∈，，（A.6）称为二阶线性常微分方程，其中(),(),()p x q x f x 都是变量x 的已知连续函数。称 "()'()0y p x y q x y x I ++=∈，，（A.7）为与（A.6）相伴的齐次方程. A ．2．1 二阶线性微分方程解的结构首先讨论齐次方程（A.7）解的结构。

线性方程组的解空间

第六章向量空间 6、1 定义与例子 6、2 子空间 6、3 向量的线性相关性 6、4 基与维数 6、5 坐标 6、6 向量空间的同构 6、7 矩阵的秩齐次线性方程组的解空间返回教案总目录 6、7矩阵的秩,齐次线性方程组的解空间一、教学思考 1、矩阵的秩与线性方程组解的理论在前面已经有过讨论,本节运用向量空间的有关理论重新认识矩阵的秩的几何意义,讨论线性方程组解的结构。 2、注意:齐次线性方程组(含n 个未知量)的解的集合构成n F 的子空间,而非齐次线性方程组的解的集合非也。 3、注意具体方法:1)证矩阵的行空间与列空间的维数相等;2)求齐次线性方程组的基础解系。二、内容要求 1、内容:矩阵的秩的几何意义,齐次线性方程组的解空间。 2、要求:理解掌握矩阵的秩的几何意义,齐次线性方程组的基础解系的求法。三、教学过程 1、矩阵的秩的几何意义几个术语:设)(F M A n m ?∈,??? ? ? ??=mn m n a a a a A ΛΛΛ ΛΛ 1111,A 的每一行瞧作n F 的一个元素,叫做A 的行向量,用),2,1(m i i Λ=α表示;由),2,1(m i i Λ=α生成的n F 的子空间 ),,(1m L ααΛ叫做矩阵A 的行空间。类似地,A 的每一列瞧作m F 的一个元素,叫做A 的列向量;由A 的n 个列向量生成的m F 的子空间叫做矩阵A 的列空间。注:)(F M A n m ?∈的行空间与列空间一般不同,分别就是n F 与m F 的子空间;下证其维数相同。引理6、7、1设)(F M A n m ?∈, 1)若PA B =,P 就是一个m 阶可逆矩阵,则B 与A 有相同的行空间; 2)若AQ C =,Q 就是一个n 阶可逆矩阵,则C 与A 有相同的列空间。分析:设() ()()m m ij n m ij n m ij p P b B a A ???===,,,),2,1(m i i Λ=α就是A 的行向

二阶线性微分方程解的结构

附录A 线性常微分方程本课程的研究内容与常微分方程理论有非常密切的联系，因此在本附录里，我们将对线性常微分方程的知识——包括解的存在性、解的结构和求解方法做一些回顾和总结。把包含未知函数和它的j 阶导数()j y (的方程称为常微分方程。线性常微分方程的标准形式 ()(1)110()()'()()n n n y p x y p x y p x y f x --++++= （A.1）其中n 称为方程的阶数，()j p x 和()f x 是给定的函数。可微函数()y y x =在区间 I 上满足方程（A.1），则称其为常微分方程（A.1）在 I 上的一个解。，()f x 称为方程（A.1）的自由项，当自由项()0f x ≡时方程（A.1）称为是齐次方程，否则称为非齐次方程。一般来说常微分方程的解是不唯一的，我们将方程的全部解构成的集合称为解集合，解集合中全部元素的一个通项表达式称为方程的通解，而某个给定的解称为方程的特解。在本附录里，我们重点介绍一阶和二阶常微分方程的相关知识。 A.1 一阶线性常微分方程一阶线性常微分方程表示为 '()()y p x y f x x I +=∈，. （A.2）当()0f x ≡，方程退化为 '()0y p x y +=, （A.3）假设()y x 不恒等于零，则上式等价于 '()y p x y =-

而()'ln 'y y y =，从而（A.3）的通解为 ()d ()p x x y x Ce -?= （ A.4）对于非齐次一阶线性常微分方程（A.2），在其两端同乘以函数()d p x x e ? ()d ()d ()d '()()p x x p x x p x x e y p x e y e f x ???+= 注意到上面等式的左端 ()d ()d ()d ''()p x x p x x p x x e y p x e y e y ?????+= ??? ‘ 因此有 ()d ()d '()p x x p x x e y e f x ????= ??? ‘ 两端积分 ()d ()d ()d p x x p x x e y C e f x x ??=+?‘ 其中C 是任意常数。进一步有 ()d ()d ()d p x x p x x y e C e f x x -??? ?=+ ??? ?‘ 综上有如下结论定理A.1 假设()()p x f x I 和在上连续，则一阶线性非齐次常微分方程（A.1）的通解具有如下形式 ()d ()d ()d ()()d p x x p x x p x x y x Ce e e f x x --???=+?‘ （A.5）其中C 是任意常数。观察（A.4）式和（A.5）式，我们发现一阶线性非齐次常微分方程（A.1）的解等于一阶线性齐次常微分方程（A.2）的通解()d p x x Ce -?加上函数

线性方程组解的判定与解的结构

***学院数学分析课程论文线性方程组解的判定与解的结构院系数学与统计学院专业数学与应用数学（师范）姓名******* 年级 2009级学号200906034*** 指导教师 ** 2011年6月

线性方程组解的判定与解的结构姓名****** （重庆三峡学院数学与计算机科学学院09级数本？班）摘要：线性方程组是否有解，用系数矩阵和增广矩阵的秩来刻画．在方程组有解且有多个解的情况下，解的结构就是了解解与解之间的关系．关键词：矩阵；秩；线性方程组；解引言通过系数矩阵和增广矩阵的秩是否相同来给出判定线性方程组的解的判别条件．在了解了线性方程组的判别条件之后，我们进一步讨论解的结构．对于齐次线性方程组，解的线性组合还是方程组的解．在线性方程组有无穷个解时可用有限多个解表示出来．另外以下还涉及到线性方程组通解的表达方式． 1 基本性质下面我们分析一个线性方程组的问题，导出线性方程组有解的判别条件．对于线性方程组 1111221121122222 1122n n n n s s sn n s a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b ++???+=??++???+=???????++???+=? (1) 引入向量 112111s αααα??????=?????????，122222s αααα??????=?????????，…12n n n sn αααα??????=????????? ，12s b b b β?? ?? ??=??????? ?? 方程（1）可以表示为 1122n n x x x αααβ++???+= 性质线性方程组⑴有解的充分必要条件为向量β可以表成向量组α1,α2,…，αn 的线性组合. 定理1 线性方程组⑴有解的充分必要条件为它的系数矩阵

变系数_非线性微分方程的求解

变系数/非线性微分方程的求解：Example1: van der Pol equation Rewrite the van der Pol equation (second-order) The resulting system of first-order ODEs is 见：vdp_solve.m及vdp.mdl vdp_solve.m vdp.mdl

Example2: 2 with x(0) = 4 x (0)=0 5(5)5sin()5 +-+= x t x t x 见：exam2_solve.m及exam2.mdl exam2_solve.m exam2.mdl

Example3: ODEs 函数实现及封装说明[以一阶微分方程为例] 510 w i t h (0)4 dx x x dt +==- 引言：一步Euler 法求解[相当于Taylor 展开略去高阶项]： 11()k k k k k k k k k k k x x x Ax bu t x x t x x t Ax bu ++-==+??=+??=+??+ 补充说明1：对于任意方程/方程组可化为如下一阶形式[方程组]： x Ax Bu =+ 或者(,)(,)M t x x f t x = 补充说明2：ODEs 的解法不同之处在于 1、时间步长的选取（及导数的求解？）：有无误差控制变步长； 2、积分方法：选用哪几个时间状态信息。见：my_ode_rough.m[直接求解] / test_my_ode.m[按Matlab/ODEs 方式封装] my_ode_rough.m

直接展开法求解非线性运动微分方程

2.用直接展开法求解2-9 2.1问题描述：设数学摆作小而有限振幅的振动，其运动微分方程为 2 32d d 6g g t l l θθθ+= 2.2用直接展开法求解方程设：2 0g w l = 并考虑小参数，原方程化为： 22 2 3002d d 6 w w t εθθθ+= (1) 设2012θθεθεθ=+++??? (2) 将(2)代入(1)得： 2 2222 23001200120122d ()()()d 6 w w t εθεθεθθεθεθθεθεθ+++???++++???=+++??? 整理得： 222222222223 300000112000102222d d d ()()()()()d d d 62w w w w w o o t t t θεθεθθθθθεθεθεε++++++=++22322222222300000112000102222d d d ()()()()0d d 6d 2 w w w w w o t t t θθθθθθθεθεθε+++-++-+= 列出关于ε阶次的方程： 22 0002 d 0d w t θθ+= (3) 2322 001012d d 6w w t θθθ+= (4) 22 22 0012022 d d 2 w w t θθθθ+= (5) 求解(1)得：00cos()a w t θ?=+ 由初始条件：0(0)1θ=， d 0d t θ=得：1a =，0?= 00cos w t θ= (6) 将(6)代入(4)得： 222 3010102d cos d 6 w w w t t θθ+=

222 0101002d 1(3cos cos3)d 64 w w w t w t t θθ+=?+ (7) 方程(7)的解由以下两个方程的解组合而成： 2 22 01101102 d cos d 8w w w t t θθ+= (8) 2 22 01201202d cos3d 24 w w w t t θθ+= (9) 设方程(8)的解为： 1100(sin cos )t A w t B w t θ=+ 将其代入(8)得： ()()2 220 000 000 0002cos sin sin cos (sin cos )cos 8 w Aw w t Bw wt tw A w t B w t w t A w t B w t w t --+++= 20 00002cos sin cos 8 w Aw w t Bw wt w t -= 从而 0 16w A = 0B = 方程(8)的解为：0110sin 16 w t w t θ= 设方程(9)的解为120cos3D w t θ=代入(9)得： 220 00 009cos3cos3cos324 w D w t w D w t w t -+= 20 008cos3cos324w D w t w t -= 20 196w D =- 20 120cos3196 w w t θ=- 方程(4)的通解为： 1121100sin cos E w t F w t θθθ=+++ 代入初始条件：

阶线性微分方程解的结构

阶线性微分方程解的结构公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI-

附录A 线性常微分方程本课程的研究内容与常微分方程理论有非常密切的联系，因此在本附录里，我们将对线性常微分方程的知识——包括解的存在性、解的结构和求解方法做一些回顾和总结。把包含未知函数和它的j 阶导数()j y (的方程称为常微分方程。线性常微分方程的标准形式 ()(1)110()()'()()n n n y p x y p x y p x y f x --++++= （）其中n 称为方程的阶数，()j p x 和()f x 是给定的函数。可微函数()y y x =在区间 I 上满足方程（），则称其为常微分方程（）在 I 上的一个解。，()f x 称为方程（）的自由项，当自由项()0f x ≡时方程（）称为是齐次方程，否则称为非齐次方程。一般来说常微分方程的解是不唯一的，我们将方程的全部解构成的集合称为解集合，解集合中全部元素的一个通项表达式称为方程的通解，而某个给定的解称为方程的特解。在本附录里，我们重点介绍一阶和二阶常微分方程的相关知识。一阶线性常微分方程一阶线性常微分方程表示为 '()()y p x y f x x I +=∈，. （）当()0f x ≡，方程退化为 '()0y p x y +=, （）

假设()y x 不恒等于零，则上式等价于而()'ln 'y y y =，从而（）的通解为 ()d ()p x x y x Ce -?= （）对于非齐次一阶线性常微分方程（），在其两端同乘以函数()d p x x e ? 注意到上面等式的左端因此有两端积分其中C 是任意常数。进一步有综上有如下结论定理假设()()p x f x I 和在上连续，则一阶线性非齐次常微分方程（）的通解具有如下形式 ()d ()d ()d ()()d p x x p x x p x x y x Ce e e f x x --???=+?‘ （）其中C 是任意常数。观察（）式和（）式，我们发现一阶线性非齐次常微分方程（）的解等于一阶线性齐次常微分方程（）的通解()d p x x Ce -?加上函数 ()d ()d *()()d p x x p x x y x e e f x x -??=? 。容易验证，*()y x 是方程（）的一个特解。这符合线性方程解的结构规律。例1 求解一阶常微分方程

常系数线性方程组基解矩阵的计算

常系数线性方程组基解矩阵的计算董治军（巢湖学院数学系，安徽巢湖238000）摘要：微分方程组在工程技术中的应用时非常广泛的，不少问题都归结于它的求解问题，基解矩阵的存在和具体寻求是不同的两回事，一般齐次线性微分方程组的基解矩阵是无法通过积分得到的，但当系数矩阵是常数矩阵时，可以通过方法求出基解矩阵，这时可利用矩阵指数exp A t，给出基解矩阵的一般形式，本文针对应用最广泛的常系数线性微分方程组，结合微分方程，线性代数等知识，讨论常系数齐次线性微分方程的基解矩阵的几个一般的计算方法. 关键词；常系数奇次线性微分方程组；基解矩阵；矩阵指数 Calculation of Basic solution Matrix of

Linear Homogeneous System with Constant Coefficients Zhijun Dong (Department of Mathematics, Chaohu College Anhui, Chaohu) Abstract: Differential equations application in engineering technology is very extensive, when many problems are attributable to its solving problem, base solution matrix existence and specific seek is different things, general homogeneous linear differential equations is not the base solution matrix by integral get, but when coefficient matrix is constant matrix, can pass out the base solution matrix method, then are available matrix exponential t, the general form base solution matrix, the paper discusses the most widely used differential equations with constant coefficients, combined with differential equations, linear algebra, discuss knowledge of homogeneous linear differential equation with constant coefficients of base solution matrix several general calculation method. Keyword: linear homogeneous system with constant coefficients; matrix of basic solutions; matrix exponent 引言: 线性微分方程组的求解历来是常微分方程的重点，根据线性微分方程组的解的结构理论，求解线性微分方程组的关键在于求出对应齐次线性微分方程组的基解矩阵，本文主要讨论齐次线性微分方程组 X ’＝AX ★ 的基解矩阵的计算问题，这里A 是n n ?常数矩阵. 一．矩阵指数exp A 的定义和性质： 1.矩阵范数的定义和性质定义：对于n n ?矩阵A ＝ij a ???? n ×n 和n 维向量X ＝()1,...,T n X X 定义A 的范数为A ＝,1 n ij i j a =∑ ，X =1 n i i x =∑ 设A ，B 是n ×n 矩阵，x ，y 是n 维向量，易得下面两个性质：

线性方程组的解空间

第六章向量空间 6.1 定义和例子 6.2 子空间 6.3 向量的线性相关性 6.4 基和维数 6.5 坐标 6.6 向量空间的同构 6.7 矩阵的秩齐次线性方程组的解空间返回教案总目录 6.7矩阵的秩，齐次线性方程组的解空间一、教学思考 1、矩阵的秩与线性方程组解的理论在前面已经有过讨论，本节运用向量空间的有关理论重新认识矩阵的秩的几何意义，讨论线性方程组解的结构。 2、注意：齐次线性方程组（含n 个未知量）的解的集合构成n F 的子空间，而非齐次线性方程组的解的集合非也。 3、注意具体方法：1）证矩阵的行空间与列空间的维数相等；2）求齐次线性方程组的基础解系。二、内容要求 1、内容：矩阵的秩的几何意义，齐次线性方程组的解空间。 2、要求：理解掌握矩阵的秩的几何意义，齐次线性方程组的基础解系的求法。三、教学过程 1、矩阵的秩的几何意义几个术语：设)(F M A n m ?∈，???? ? ??=mn m n a a a a A 1111，A 的每一行看作n F 的一个元素，叫做A 的行向量，用),2,1(m i i =α表示；由),2,1(m i i =α生成的n F 的子空间),,(1m L αα 叫做矩阵A 的行空间。类似地，A 的每一列看作m F 的一个元素，叫做A 的列向量；由A 的n 个列向量生成的m F 的子空间叫做矩阵A 的列空间。注：)(F M A n m ?∈的行空间与列空间一般不同，分别是n F 与m F 的子空间；下证其维数相同。引理6.7.1设)(F M A n m ?∈， 1）若PA B =，P 是一个m 阶可逆矩阵，则B 与A 有相同的行空间； 2）若AQ C =，Q 是一个n 阶可逆矩阵，则C 与A 有相同的列空间。分析：设()()()m m ij n m ij n m ij p P b B a A ???===,,，),2,1(m i i =α是A 的行向量，),2,1(m j j =β是B 的行向量；只需证这两组向量等价。

线性方程组解的结构

线性方程组解的结构 11111221n n b a x a x a x =++???+ 22112222n n b a x a x a x =++???+ 33113223n n b a x a x a x =++???+ ………………………………… 1122n n n nn n b a x a x a x =++???+ 表示从变量12 ,n x x x ???到变量12,n b b b ???的线性变换，其中ij a 是常数。确定了线性变换，它的系数所构成的矩阵（系数矩阵）也就确定，线性变换根矩阵是一一对应的关系。上式可以表示为以向量x 为未知元的向量方程： Ax=b 线性方程组如果是有解的，称它是相容的，否则称为不相容。一、定理4：N 元线性方程组Ax=b （1) 无解的充要条件是R(A)

（2) 若R(A)=R(B)，则进一步把B 化成最简型，而对于齐次线性方程组，则把系数矩阵A 化成最简型。（3) 设R(A)=R(B)=r ，把行最简型中r 个非0行的非0首个元素所对应的未知数取做非自由未知数，其他的元素取做自由未知数。带入原方程，就可以得到一个关于自由为未知量的表达式。三、齐次线性方程组求解步骤：Ax=0 （1) 根据R(A)与n (变量个数)来判断解的结构： A. R(A)

常系数线性微分方程的解的结构分析

常系数线性微分方程的解的结构分析【摘要】在参考和总结了许多场系数线性微分方程的解法的基础上，本文总结了一些常系数微分方程的解的解法，并针对一类常系数线性微分方程的已有结论给予证明，以解给予一些结论证明思路，以及一些实例，并向高阶推广。【关键词】常系数线性微分方程结构一阶常系数齐次线性微分方程 0=+ax dt dx ，（1.1）的求解上式可以改写为 adt x dx -= ，（1.2）于是变量x 和t 被分离，再将两边积分得 c at x +-=ln ，（1.3）这里的c 为常数。又由对数的定义，上式可以变为 at ce x -= ，（1.4）其中c= , 因为x=0也是方程的解，因此c 可以是任意常数。这里首先是将变量分离，然后再两边积分，从而求出方程的解。这便要方程式可以分离变量的，也就是变量分离方程。一阶常系数微分方程 )()(x Q y x P dx dy += ，（2.1）其中P （x ），Q(x)在考虑的区间上式连续函数，若Q （x ）=0 ,上式就变为 y x P dx dy )(= ，（2.2）上式为一阶齐次线性微分方程。还是变量分离方程我们可以参考上面变量分离方程的解法，先进行变量分离得到 dx x P y dy )(= ，（2.3）两边同时积分，得到 ? =dx x p ce y )( ，（2.4）这里c 是常数。若Q （x ）≠ 0 , 那么上式就变成了一阶非齐次线性微分方程。我们知道一阶齐次线性微分方程是一阶常微分方程的一种特殊情况，那么可以设想将一阶

齐次线性微分方程的解 ? =dx x p ce y )( ，（2.5）中的常数c 变易成为待定的函数c （x ）,令 ?=dx x p e x c y )()( ，（2.6）微分之，就可以得到 ?+?=dx x p dx x p e x P x c e dx x dc dx dy )()()()()( ，（2.7）以（2.7），（2.6）代入2.1，得到 )()()()()()()()()(x Q e x c x p e x P x c e dx x dc dx x p dx x p dx x p +?=?+?，（2.8）即 ?=-dx x p e x Q dx x dc )()() (，积分后得到 c （x ）=c dx e x Q dx x p +?? -)()( , (2.9) 这里c 是任意常数，将上式代入（2.6）得到方程（2.1）的通解 ))(()()(c dx e x Q e y dx x p dx x p +? ? =?- (2.91) 在上面的一阶线性微分方程中，是将一阶齐次线性微分方程中的通解中的常数c 变成c(x) ,常数变易法一阶非齐次线性微分方程的解, 感觉这个方法之所以用x 的未知函数u(x)替换任意常数C,是因为C 是任意的，C 与x 形成函数关系，要确定C,需要由初始条件确定，一个x,确定一个C,也就形成一对一或多对多的映射，也就是函数关系，而这里的C 是任意的，也就可以用一个未知的，也就是任意的函数u(x)来代替，进而求得非齐次线性微分方程的解。这种将常数变异为待定函数的方法，我们通常称为常数变易法。常数变易法实质也是一种变量变换的方法，通过变换（2.6可将方程（2.1）化为变量分离方程。二阶常系数线性微分方程（1）二阶常系数线性齐次方程 022=++qy dx dy p dx y d （3.1）其中p 、q 是常数，我们知道，要求方程（3.1)的通解，只要求出其任意两个线性无关的特解y 1,y ２就可以了，下面讨论这样两个特解的求法。我们先分析方程(3.1)可能具有什么形式的特解，从方程的形式上来看，它的特点是22dx y d ，

线性方程组求解

第三章线性方程组 §1 消元法一、线性方程组的初等变换现在讨论一般线性方程组.所谓一般线性方程组是指形式为 ?? ? ?? ? ?=+++=+++=+++s n sn s s n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111, , (1) 的方程组，其中n x x x ,,,21 代表n 个未知量，s 是方程的个数， ),,2,1;,,2,1(n j s i a ij ==称为线性方程组的系数，) ,,2,1(s j b j =称为常数项. 方程组中未知量的个数n 与方程的个数s 不一定相等.系数ij a 的第一个指标i 表示它在第i 个方程，第二个指标j 表示它是j x 的系数. 所谓方程组(1)的一个解就是指由n 个数n k k k ,,,21 组成的有序数组 ),,,(21n k k k ，当n x x x ,,,21 分别用n k k k ,,,21 代入后，(1)中每个等式都变成恒等式. 方程组(1)的解的全体称为它的解集合.解方程组实际上就是找出它全部的解，或者说，求出它的解集合.如果两个方程组有相同的解集合，它们就称为同解的. 显然，如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个线性方程组就基本上确定了.确切地说，线性方程组(1)可以用下面的矩阵 ???? ?? ? ??s sn s s n n b a a a b a a a b a a a 21 222221111211 (2) 来表示.实际上，有了(2)之后，除去代表未知量的文字外线性方程组(1)就确定了，而采用什么文字来代表未知量当然不是实质性的.在中学所学代数里学过用加减消元法和代入消元法解二元、三元线性方程组.实际上，这个方法比用行列式解线性方程组更有普遍性.下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组. 例如，解方程组

浅析线性方程组的解法

目录摘要................................................................................... I Abstract. ............................................................................. II 第一章绪论............................................................................ I 1.1引言 (1) 1.2线性方程组解的求解方法的研究现状 (1) 1.3本文对线性方程组解法的研究结构 (1) 第二章线性方程组理论基础 (2) 2.1 线性方程组概念 (2) 2.2 线性方程组的解的情况分析 (2) 2.3 齐次线性方程组解的结构 (4) 2.4非齐次线性方程组解的结构 (4) 第三章线性方程组的数值解 (5) 3.1 迭代法 (5) 3.1.1 Jacobi方法 (6) 3.2.2 高斯-赛德尔方法 (8) 第四章全文总结和展望 (10) 4.1 全文总结 (10) 4.2 未来展望 (10) 参考文献 (11) 致谢................................................................. 错误！未定义书签。

线性方程组的求解方法学生：指导教师：摘要：本文在对线性方程组解的结构的研究背景与意义分析的基础上，对线性方程组的求解方法的研究现状进行了介绍，之后针对线性方程组展开了研究，包括线性方程组的概念、线性方程组的求解方法以及线性方程组的作用等，在对线性方程组有了全面的认识后，基于线性方程组解的结构展开了研究，包括线性方程组解的基本定理，齐次和非齐次线性方程组解的结构形式，以及齐次和非齐次线性方程组解的结构，我们用迭代法中最常用的Jacobi方法中的相似上三角矩阵定理和迭代法中的收敛性讨论线性方程组的数值解法，并用高斯-赛德尔方法进行验证。得到线性方程组的数值解的一般方法。最后，对全文进行了总结和展望。关键词：线性方程组;数值解；迭代法；Jacobi方法；高斯-赛德尔方法