2014-2015学年人教A版选修2-1高中数学《2.1.1曲线与方程》 课件
故方程表示一条射线和一条直线.
【方法技巧】 1.方程表示的曲线的判断步骤
2.判断方程表示曲线的注意事项 方程变形前后要等价,否则变形后的方程表示的曲线不是原方
程代表的曲线.另外,当方程中含有绝对值时,常采用分类讨论
的思想.
【变式训练】方程x2+xy=x表示的是( A.一个点 C.两条直线 B.一条直线
【拓展类型】曲线的交点问题 【备选例题】(1)若直线x-2y-2k=0与y=x+k的交点在曲线 x2+y2=25上,则k的值是( A.1 B.-1 )
C.1或-1
2
D.以上都不对
2
(2)求直线y=x+ 3 与曲线y= 1 x2的交点.
【解析】(1)选C.联立得方程组 (-4k,-3k),代入圆的方程中. 即(-4k)2+(-3k)2=25,所以k=〒1.
错因剖析
将方程转化变形时漏掉阴影处,即忽略了根式应有
意义
【防范措施】 合理进行转化 将方程变形时,前后应保持等价,否则,变形后的方程表示 的曲线不是原方程代表的曲线.另外当方程中含有根式时,要注 意根式必须有意义.如本例含有根式,在化简时就容易忽视根式 必须有意义而导致错误.
【解析】(1)选C.因为(x+y-1) x y 3 =0,
x y 1 0， 所以 或x-y-3=0, x y 3 0
前者表示射线x+y-1=0(x≥2),后者表示一条直线.
1 ，x 0， x x (2)选B.方程y= 2 可化为:y= x 1 ，x 0， x
f (x 0，y0 ) 0， (1)若P(x0,y0)为C1,C2交点,则 g(x 0，y0 ) 0.
f (x，y) 0， (2)交点的个数与 的解的组数相同. g(x，y) 0 f (x，y) 0， 特别地,C1与C2没有公共点⇔ 没有解. g(x，y) 0
5 5 2
2
【要点探究】 知识点 曲线的方程和方程的曲线
对曲线的方程与方程的曲线的定义的四点说明 (1)定义中的条件①说明曲线上没有点的坐标不是方程的解,即 曲线上每个点的坐标都符合这个条件. (2)定义中的条件②说明符合条件的所有解构成的点都应在曲
线上.
(3)定义的实质是平面曲线上的点集{M|p(M)}和方程f(x,y)=0
【解析】选C.满足方程F(x,y)=0的点都在曲线C上,但曲线C上 的点的坐标不一定都适合方程F(x,y)=0,故A不正确;坐标不适 合F(x,y)=0的点,也可能在曲线C上,故B不正确;因为满足方程 F(x,y)=0的点都在曲线C上,故不在曲线C上的点必不适合方程 F(x,y)=0,故C正确,D不正确.
结论
这个方程就叫做曲线的方程;这条曲线就叫做方程
的曲线
1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上,则方程 f(x,y)=0即为曲线C的方程.( )
(2)若曲线C上的点满足方程F(x,y)=0,则坐标不满足方程 F(x,y)=0的点不在曲线C上.( )
3 y x ① 2 (2)由 y 1 x2 ② 2 把①代入②得x+ 3 = 1 x2, 2 2
x 2y 2k 0， 解得交点为 y x k，
即x2-2x-3=0,解得x1=-1,x2=3. 将x1=-1,x2=3代入①得y1= 1 ,y2= 9 ，
作出图象如图
【延伸探究】若把题(1)中的方程改为(x+y-1)( x 3 -1)=0, 则结果如何? 【解题指南】解答本题,要注意题目中的隐含条件x-3≥0. 【解析】因为(x+y-1)( x 3 -1)=0,所以可得
x y 1 0， 或者 x 3 0
x 3 -1=0,也就是x+y-1=0(x≥3)或x=4.
2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)写出曲线xy-4x-3y=0上一点的坐标 (2)直线C1:x+y=0与直线C2:x-y+2=0的交点坐标为
2 2 (3)点A ( m ， m) 在方程x +(y-1) =10表示的曲线上,则
. .
2
m=
.
【解析】(1)取x=1,代入得y-4-3y=0,
2.设方程f(x,y)=0的解集非空,如果命题“坐标满足方程 f(x,y)=0的点都在曲线C上”是不正确的,则下面命题中正确的 是( )
A.坐标满足f(x,y)=0的点都不在曲线C上 B.曲线C上的点的坐标不满足f(x,y)=0 C.坐标满足f(x,y)=0的点有些在曲线C上,有些不在曲线C上 D.一定有不在曲线C上的点,其坐标满足f(x,y)=0
【解析】选D.“坐标满足方程f(x,y)=0的点都在曲线C上”不 正确,就是说“坐标满足方程f(x,y)=0的点不都在曲线C上”是 正确的.这意味着一定有这样的点(x0,y0),虽然满足方程 f(x0,y0)=0,但(x0,y0)∉C,即一定有不在曲线C上的点,其坐标满 足f(x,y)=0,故应选D.
(3)方程x+y-2=0是以A(2,0),B(0,2)为端点的线段的方程.
(
)
【解析】(1)错误,曲线的方程必须满足两个条件. (2)正确,根据曲线的方程和方程的曲线的概念,不满足方程 F(x,y)=0的点,显然不在曲线C上. (3)错误,以方程的解为坐标的点不一定在线段AB上,如M(-4,6) 就不在线段AB上. 答案:(1)〓 (2)√ (3)〓
2 1 9 所以所求交点为 (1， )， (3， ). 2 2 2
【方法技巧】求曲线交点的三个步骤
【易错误区】方程变形中不是恒等变形致误 【典例】(2014·衡水高二检测)方程(x+y-2)· x 2 y 2 9 =0表示的曲线是( A.一个圆和一条直线 B.半个圆和一条直线 C.一个圆和两条射线 )
A.两条互相垂直的直线 C.一条直线和一条射线
(2)如图所示,方程y= x2 表示的曲线是(
x
)
【解题探究】1.题(1)含根式的问题应注意什么? 2.题(2)判断该方程表示何种曲线时,首先做什么? 【探究提示】1.含根式的问题应注意必须使根式有意义. 2.判断方程表示何种曲线,首先要对方程进行化简,转化为熟悉 的类型,本题应先去绝对值号.
【方法技巧】判断点与曲线位置关系的方法 如果曲线C的方程是f(x,y)=0,点P的坐标为(x0,y0). (1)点P(x0,y0)在曲线C:f(x,y)=0上⇔f(x0,y0)=0. (2)点P(x0,y0)不在曲线C:f(x,y)=0上⇔f(x0,y0)≠0.
【变式训练】1.下列四个点中,在曲线xy=1上的是( A.(-1,1) B.(1,-1) C.(-1,-1) D.(0,0)
的解集{(x,y)|f(x,y)=0}之间是一一对应关系.因此平面曲线
可以理解为平面内符合某种条件的点的集合.
(4)从集合角度看:若设曲线C上的点的坐标组成集合A,以方程
f(x,y)=0的实数解为坐标的点组成集合B来自则A⊆B且B⊆A,所以 A=B.
【知识拓展】两曲线的交点坐标与相应方程组的解之间的关系 曲线C1,C2的方程分别为f(x,y)=0和g(x,y)=0.
所以,y=-2,故点(1,-2)在曲线上.
答案:(1,-2)(答案不惟一)
x y 0， x 1， (2)由 得 x y 2 0 y 1.
答案:(-1,1)
2 2 (3)由点 ( m ， m) 在曲线x +(y-1) =10上,
所以 ( m ) 2 +(-m-1)2=10, 解得m=2或m= 18 . 答案:2或 18
得a+4=(a+1)2+5(a+1)+3,
即a2+6a+5=0,解得a=-1或a=-5.
答案:-1或-5
(2)由曲线y2=xy+2x+k通过点(a,-a),
所以(-a)2=a〓(-a)+2〓a+k, 即k=2a2-2a= 2(a 1 ) 2 1 ， 所以k≥ . 答案:k≥ 1
2 2 2 1 2
【微思考】 (1)是否所有曲线都有相应的方程? 提示:不一定,有的曲线有方程,有的曲线就没有方程.如图,随 意画一条曲线,则求不出方程与之对应.
(2)怎样判断方程是曲线的方程? 提示:判断方程是否是曲线的方程,要从两个方面着手,一是检 验曲线上点的坐标是否都适合方程,二是检验以方程的解为坐 标的点是否都在曲线上.
【题型示范】
类型一 点与曲线的关系及应用
【典例1】
(1)点P(a+1,a+4)在曲线y=x2+5x+3上,则a的值是 .
(2)(2014·天津高二检测)若曲线y2=xy+2x+k通过点(a,-a) (a∈R),则k的取值范围是 .
【解题探究】1.题(1)中由条件点P(a+1,a+4)在曲线y=x2+5x+3 上,能得出什么结论? 2.题(2)如何求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最值?
)
【解析】选C.将点(-1,-1)的坐标代入xy=1,满足方程,故选C.
2.已知曲线的方程为x2+y2+Ax+By+C=0,若曲线过原点,那么必 有( A.A=0 C.C=0 ) B.B=0 D.A+B+C=0
【解析】选C.由曲线经过原点,所以原点的坐标(0,0)满足方程, 代入可求得C=0.
【补偿训练】方程x2(x2-1)=y2(y2-1)所表示的曲线是C, 若点M(m, 2 )与点N ( 3 ，n) 在曲线C上,求m,n的值.
)
D.一个点和一条直线
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人教A版高中数学选修2—1《抛物线及其标准方程》课件
教材 分析
教学 方法
过程 设计
教学 反思
教 学 反 思
1．对于这一节内容，有两种不同的处理方 式：一种是直接介绍而不讲具体的探寻过程， 这样的处理不利于我校学生数学思维能力的 培养；二是本课方式，通过强调对公式的探 索过程，提高学生利用代数方法处理几何问 题的能力；
教 学 反 思
2．在标准方程的推导过程中，本课重点介绍了寻 找轨迹方程的基本思想：建立直角坐标系——设 点——寻找等量关系．让学生在明了基本步骤的 前提下，再进行有效的推导；
目标 分析
教材 分析
教学 方法
过程 设计
教学 反思
教 材 分 析
1．教学内容及地位
《抛物线及其标准方程》是普通高中课程标准教科 书（选修2-1）人民教育出版社第二章的第四节“抛物 线”的第一节课，抛物线是继椭圆、双曲线之后的第三 种圆锥曲线，与前两者不同的是学生在初中已学过“二 次函数的图象是抛物线”，在物理上也研究过“抛物线 是抛体的轨迹”，这些足以说明抛物线在实际生活中应 用的广泛性，在这节内容里，我们将更深入的研究抛物 线的定义及其标准方程。为进一步理解圆锥曲线的性质 做好铺垫，在教学中有承上启下的作用。
2、抛物线的标准方程
（1）教师指出：定点F到定直线L的距离是常数，
可设为P（P﹥0），要求学生自己建立适当的坐标
系，求出抛物线的方程。 （2）课件投影三种建系法：
建 系 方 式
以L所在直线为 y轴，过F作L的 垂线为X轴建立 直角坐标系。
以F为原点， 过F与L垂直的 直线为X轴， 建立直角坐标 系。
目标 分析
教材 分析
Hale Waihona Puke 教学 方法过程 设计
教学 反思
目 标 分 析
(人教版)高中数学选修2-1课件：第2章 圆锥曲线与方程2.3.1
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
(2)设双曲线的方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0)， ∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)，
∴93m6m＋＋0＝ 9n1＝，1， 解得nm＝＝－19，13， ∴所求双曲线的标准方程为x92－y32＝1.
数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
定义法求方程
已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝ 9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆的圆心M的轨迹方 程．
思路点拨： 根据两圆外切的定义从中找出相关的几何关 系，与所学椭圆、双曲线的定义进行对比可解．
数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
(2)焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲 线标准方程的类型“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正， 则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上．
(3)当且仅当双曲线的中心在原点，其焦点在坐标轴上时， 双曲线的方程才具有标准形式．
(4)双曲线的标准形式的特征是数xⅠ2 ＋数yⅡ2 ＝1，数Ⅰ与
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
3．与双曲线x82－1y02 ＝1 具有相同焦点的双曲线方程是 ________(只写出一个即可)．
解析： 与x82－1y02 ＝1 具有相同焦点的双曲线方程为8＋x2 k －10y－2 k＝1(－8<k<10)．
答案： x62－1y22 ＝1
数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-1)配套课件第二章 2.3.3 双曲线的简单几何性质(二)
]
．
栏 目 链 接
36 2 因为|AB|＝ 6，所以 m －6(m2＋2)＝6. 5 所以 m2＝15，m＝± 15. 由(*)式得 Δ ＝24m2－240， 把 m＝± 15代入上式，得 Δ >0， 所以 m 的值为± 15，
所以所求 l 的方程为 y＝2x± 15. 点评：(1)求弦的中点坐标一般用韦达定理． (2)直线 l 的斜率为 k，与椭圆的两个交点坐标为 A(x1，
题型二
例2
与弦长、中点有关的问题
斜率为 2 的直线 l 在双曲线 － ＝1 上截得 3 2
栏 目 链 接
x2 y2
的弦长为 6，求 l 的方程．
解析：设直线 l 的方程为 y＝2x＋m，
y＝2x＋m， 由 x y － ＝1 3 2
2 2
得 10x2＋12mx＋3(m2＋2)＝0.(*)
消去 y 得(4－k2)x2＋2kx－2＝0.
(*)
栏 目 链 接
若 4－k2＝0，即 k＝±2 时，方程(*)为一次方程，只有一解． 若 4－k2≠0 时，Δ ＝4k2＋8(4－k2)＝4(8－k2)． 当 Δ >0，即－2 2<k<2 2时，方程(*)有两个不同的解． 当 Δ ＝0，即 k＝±2 2时，方程(*)有一解．
表示的曲线只可能是( C )
栏 目 链 接
题型一
直线与双曲线的位置关系
例1 已知直线y＝kx－1与双曲线4x2－y2＝1.当k为
何值时，直线与双曲线有两个公共点，有一个公共点， 没有公共点？
y＝kx－1， 解析： 由 2 2 4x －y ＝1，
(±c,0) ________
±＝0
高中数学选修2-1人教A版：2.3.1双曲线及其标准方程及其性质课件
A.双曲线
B.双曲线的一支
C.两条射线
D.一条射线
c
)
跟踪检测
下列方程分别表示什么曲线?
(1)
( x 3) y ( x 3) y 10 椭圆
( 2)
( x 3) y ( x 3) y 5 双曲线的右支
(3)
( x 3) 2 y 2 ( x 3) 2 y 2 4 双曲线
＝2|F2A|，则 cos∠AF2F1＝(
) A
1
1
2
2
A.4 B.3 C. 4 D. 3
焦点三角形基本思路：
1.曲线定义；
2.余弦定理；
3.面积公式.
4.双曲线的焦点三角形面积： S b cot
2
2
双曲线的性质
x2 y2
研究双曲线 2 2 1(a 0, b 0) 的简单几何性质
b
b
共渐近线的双曲线方程
x2 y 2
与 2 2 1有相同渐近线的双曲线方程我
a b
们可以假设为：
2
其中：
2
x
y
2 ( 0，为参数)
2
a
b
为什么可以这样做？
λ>0表示焦点在x轴上的双曲线；
λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。
跟踪检测
x2 y 2
求与 1 有相同渐近线，且过点 (3,2
y
顶点是A1 ( a,0)、A2 (a,0)
（2）如图，线段 A1 A2 叫做双曲线
的实轴，它的长为2a，a叫
做实半轴长；线段 B1 B2 叫做
B2
b
o
A1 -a
-b
B.双曲线的一支
C.两条射线
D.一条射线
c
)
跟踪检测
下列方程分别表示什么曲线?
(1)
( x 3) y ( x 3) y 10 椭圆
( 2)
( x 3) y ( x 3) y 5 双曲线的右支
(3)
( x 3) 2 y 2 ( x 3) 2 y 2 4 双曲线
＝2|F2A|，则 cos∠AF2F1＝(
) A
1
1
2
2
A.4 B.3 C. 4 D. 3
焦点三角形基本思路：
1.曲线定义；
2.余弦定理；
3.面积公式.
4.双曲线的焦点三角形面积： S b cot
2
2
双曲线的性质
x2 y2
研究双曲线 2 2 1(a 0, b 0) 的简单几何性质
b
b
共渐近线的双曲线方程
x2 y 2
与 2 2 1有相同渐近线的双曲线方程我
a b
们可以假设为：
2
其中：
2
x
y
2 ( 0，为参数)
2
a
b
为什么可以这样做？
λ>0表示焦点在x轴上的双曲线；
λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。
跟踪检测
x2 y 2
求与 1 有相同渐近线，且过点 (3,2
y
顶点是A1 ( a,0)、A2 (a,0)
（2）如图，线段 A1 A2 叫做双曲线
的实轴，它的长为2a，a叫
做实半轴长；线段 B1 B2 叫做
B2
b
o
A1 -a
-b
(人教版)高中数学选修2-1课件：第2章 圆锥曲线与方程2.3.2 第1课时
a＝13，b＝m1 ，
9 m2
取顶点0，13，一条渐近线为 mx－3y＝0， 所以15＝|－m32×＋139|，则 m2＋9＝25，
∵m＞0，∴m＝4.
答案： D
数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
3．已知点(2,3)在双曲线 C：ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)上， C 的焦距为 4，则它的离心率为________．
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高效测评 知能提升
1．双曲线 2x2－y2＝8 的实轴长是( )
A．2
B．2 2
C．4
D．4 2
解析： 双曲线方程可化为x42－y82＝1，∴a2＝4，a＝2，
则 2a＝4，故选 C. 答案： C
数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
c e＝__a__
__y_＝__±_ba_x_
_y_＝__±_ab_x__
数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
等轴双曲线
___实__轴__和___虚__轴___等长的双曲线叫做等轴双曲线．
数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
自主学习 新知突破
由①②联立，无解．
数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
数学 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
令 y＝0，解得 x＝±3，因此顶点坐标为 A1(－3,0)，A2(3,0)， 焦点坐标为 F1(－ 13，0)，F2( 13，0)． 实轴长是 2a＝6，虚轴长是 2b＝4， 离心率 e＝ac＝ 313， 渐近线方程 y＝±bax＝±23x. 作出草图(如图所示)．
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-1)配套课件第二章 2.3.2 双曲线的简单几何性质(一)
解析：(1)设双曲线的标准方程为
栏 目 链 接
x2 y2 － ＝1(a>0，b>0)． a2 b2 c 5 由题设知：2b＝12， ＝ ，且 c2＝a2＋b2， a 4 ∴b＝6，c＝10，a＝8， x2 y2
∴所求的双曲线标准方程为 － ＝1. 64 36
(2)设与双曲线 －y2＝1 有公共渐进线的双曲线方程为 2 2 －y2＝λ (λ ≠0)． 将点 M(2，－2)代入 －y2＝λ (λ ≠0)得：λ ＝－2. 2 y2 x2 ∴所求的双曲线标准方程为 － ＝1. 2 4
n mn 渐近线方程为 y＝± x＝± x. m m
点评：已知双曲线的方程求其几何性质时，若方程不是标准形式的 先化成标准方程，弄清方程中的 a，b 对应的值，再利用 c2＝a2＋b2 得到
栏 目 链 接
c，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质．
变 式 迁 移
x 2 y2 1．(2013·北京卷)若双曲线 2－ 2＝1 的离心率为 a b
解析：把方程 nx2－my2＝mn 化为标准方程
栏 目 链 接
x2 y2 － ＝1 ， m n
由此可知，实半轴长 a＝ m， 虚半轴长 b＝ n，c＝ m＋n， 焦点坐标是(－ m＋n，0)，( m＋n，0)，
c m＋n m2＋mn 离心率 e＝ ＝ ＝ . a m m
顶点坐标为(－ m，0)，( m，0)．
x2
y2
)
3 A．y＝± x 4 9 C．y＝± x 4
栏 目 链 接
解析：由双曲线方程可得焦点在 x 轴上，a＝4，b＝3. b 3 ∴渐近线方程为 y＝± x＝± x. a 4 答案：A
自 测 自 评
1．双曲线 － ＝1 的( A ) 5 4 A．实轴长为 2 5，虚轴长为 4，渐近线方程为 2 5 3 5 y＝± x，离心率 e＝ 5 5 B．实轴长为 2 5，虚轴长为 4，渐近线方程为
栏 目 链 接
x2 y2 － ＝1(a>0，b>0)． a2 b2 c 5 由题设知：2b＝12， ＝ ，且 c2＝a2＋b2， a 4 ∴b＝6，c＝10，a＝8， x2 y2
∴所求的双曲线标准方程为 － ＝1. 64 36
(2)设与双曲线 －y2＝1 有公共渐进线的双曲线方程为 2 2 －y2＝λ (λ ≠0)． 将点 M(2，－2)代入 －y2＝λ (λ ≠0)得：λ ＝－2. 2 y2 x2 ∴所求的双曲线标准方程为 － ＝1. 2 4
n mn 渐近线方程为 y＝± x＝± x. m m
点评：已知双曲线的方程求其几何性质时，若方程不是标准形式的 先化成标准方程，弄清方程中的 a，b 对应的值，再利用 c2＝a2＋b2 得到
栏 目 链 接
c，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质．
变 式 迁 移
x 2 y2 1．(2013·北京卷)若双曲线 2－ 2＝1 的离心率为 a b
解析：把方程 nx2－my2＝mn 化为标准方程
栏 目 链 接
x2 y2 － ＝1 ， m n
由此可知，实半轴长 a＝ m， 虚半轴长 b＝ n，c＝ m＋n， 焦点坐标是(－ m＋n，0)，( m＋n，0)，
c m＋n m2＋mn 离心率 e＝ ＝ ＝ . a m m
顶点坐标为(－ m，0)，( m，0)．
x2
y2
)
3 A．y＝± x 4 9 C．y＝± x 4
栏 目 链 接
解析：由双曲线方程可得焦点在 x 轴上，a＝4，b＝3. b 3 ∴渐近线方程为 y＝± x＝± x. a 4 答案：A
自 测 自 评
1．双曲线 － ＝1 的( A ) 5 4 A．实轴长为 2 5，虚轴长为 4，渐近线方程为 2 5 3 5 y＝± x，离心率 e＝ 5 5 B．实轴长为 2 5，虚轴长为 4，渐近线方程为
数学：2.3.1《双曲线的定义及标准方程》PPT课件(新人教A版-选修2-1)
二、找出动点满足的几何条件； 三、将几何条件化为代数条件；
四、化简，得所求方程。
2、椭圆的定义
到平面上两定点F1，F2的距离之和（大于 |F1F2|）为常数的点的轨迹
PF
1
PF
2
2a
3、椭圆的标准方程有几类？
[两类]
2 2
x a
2
y
2
1 ( 焦点在 x 轴上 )
b
2 2 2
x b
y
2
1 ( 焦点在 y 轴上 )
a
[思考]
到平面上两定点F1，F2的距离之差（小于 |F1F2|）为常量的点的轨迹是什么样的图 形?
看图
双曲线标准方程的推导
5
P(x,y)
一、建立坐标系；设动 点为P(x,y)
-5
F2(-c,0)
F1(c,0)
5
注：设两焦点之间的距离 为2c(c>0), 即焦点F1(c,0),F2(-c,0)
-5
5
P(x,y)
二、根据双曲线的定 义找出P点满足的几 何条件。
| PF 2 | | PF 1 | 2 a
-5
F2(-c,0)
F1(c,0)
5
-5
注：P点到两焦点的距 离之差用2a(a>0)表示。
5
P(x,y)
三、将几何条件化为 代数条件。
5
-5
F2(-c,0)
F1(c,0)
根据两点的间的距离公式得：
F1(c,0)
5
代入上式得：b2x2-a2y2=a2b2
2 2
即 :
-5
x a
2
y
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-1)配套课件第二章 2.4.1 抛物线及其标准方程
2
x 2 y2
栏 目 链 接
a
1 p 1 所以 2p＝－ ，所以 p＝－ ，所以准线方程为 y＝ ＝－ ＝2，所 a 2a 2 4a 1 1 以 a＝－ . 8
(2)由椭圆方程可知 a＝ 6)，所以 ＝2，得 p＝4. 2 1 答案：(1)－ 8 (2)4
第二章
圆锥曲线与方程
物 线
2． 4 抛
2．4.1 抛物线及其标准方程
栏 目 链 接
1．了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画
现实世界和解决实际问题中的作用． 2．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程．
栏 目 链 接
栏 目 链 接
1 1 所以焦点坐标是0， ，准线方程是 y＝－ . 10 10 a (3)由 a＞0 知 p＝ ，所以焦点坐标是 ，0，准线方程 2 4
a
是 x＝－ . 4 点评：求抛物线的焦点坐标和准线方程，首先将抛物线 方程化为标准方程，然后再按照抛物线的定义和 p 的几何意 义求解．
点评：求抛物线方程的主要方法是待定系数法，若
已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程， 求出p值即可；若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况 讨论．另外，焦点在x轴上的抛物线方程可统一设成y2＝ ax(a≠0)，焦点在y轴上的抛物线方程可统一设成x2＝
栏 目 链 接
ay(a≠0)．
p
栏 目 链 接
题型二 例2
求抛物线的标准方程
分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．
栏 目 链 接
(1)顶点在原点，过点(3，－4)； (2)顶点在原点，焦点在直线x＋3y＋15＝0上．
解析：(1)方法一 ∵点(3，－4)在第四象限， ∴抛物线的标准方程为 y2＝2px(p＞0)或 x2＝－2p1y(p1 ＞0)． 把点(3， －4)的坐标分别代入 y2＝2px 和 x2＝－2p1y， 得 (－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)． 16 9 即 2p＝ ，2p1＝ . 3 4 16 9 2 2 ∴所求抛物线的方程为 y ＝ x 或 x ＝－ y. 3 4
x 2 y2
栏 目 链 接
a
1 p 1 所以 2p＝－ ，所以 p＝－ ，所以准线方程为 y＝ ＝－ ＝2，所 a 2a 2 4a 1 1 以 a＝－ . 8
(2)由椭圆方程可知 a＝ 6)，所以 ＝2，得 p＝4. 2 1 答案：(1)－ 8 (2)4
第二章
圆锥曲线与方程
物 线
2． 4 抛
2．4.1 抛物线及其标准方程
栏 目 链 接
1．了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画
现实世界和解决实际问题中的作用． 2．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程．
栏 目 链 接
栏 目 链 接
1 1 所以焦点坐标是0， ，准线方程是 y＝－ . 10 10 a (3)由 a＞0 知 p＝ ，所以焦点坐标是 ，0，准线方程 2 4
a
是 x＝－ . 4 点评：求抛物线的焦点坐标和准线方程，首先将抛物线 方程化为标准方程，然后再按照抛物线的定义和 p 的几何意 义求解．
点评：求抛物线方程的主要方法是待定系数法，若
已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程， 求出p值即可；若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况 讨论．另外，焦点在x轴上的抛物线方程可统一设成y2＝ ax(a≠0)，焦点在y轴上的抛物线方程可统一设成x2＝
栏 目 链 接
ay(a≠0)．
p
栏 目 链 接
题型二 例2
求抛物线的标准方程
分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．
栏 目 链 接
(1)顶点在原点，过点(3，－4)； (2)顶点在原点，焦点在直线x＋3y＋15＝0上．
解析：(1)方法一 ∵点(3，－4)在第四象限， ∴抛物线的标准方程为 y2＝2px(p＞0)或 x2＝－2p1y(p1 ＞0)． 把点(3， －4)的坐标分别代入 y2＝2px 和 x2＝－2p1y， 得 (－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)． 16 9 即 2p＝ ，2p1＝ . 3 4 16 9 2 2 ∴所求抛物线的方程为 y ＝ x 或 x ＝－ y. 3 4
2015-2016学年高中数学 2.1.2求曲线的方程课件 新人教A版选修2-1
目 链 接
【易错剖析】 本题解答中容易忽略点 M 应在圆内这一隐含条件， 故所求的轨迹应为圆内部分，应对其加以条件限制．
栏 目 链 接
题型三
代入法求曲线方程
例 3 设定点 M(－3， 4)， 动点 N 在圆 x2＋y2＝4 上运动， 以 OM， ON 为两边作平行四边形 MONP(O 为坐标原点)， 求点 P 的轨迹方程． 解析：如图所示，设 P(x， y)， N(x0， y0)，则线段 x y OP 的中点坐标为( ， )，线段 MN 的中点坐标为 2 2 x0－3 y0＋4 ( ， )，因为平行四边形的对角线互相平分 2 2 x0－3 x y0＋4 y ，所以 ＝ ， ＝ ，从而 x0＝x＋3，y0＝y－ 2 2 2 2 4，由 N(x＋3， y－4)在圆上，得(x＋3)2＋(y－4)2＝4.因 此所求 P 点的轨迹方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝4，但应除去 9 12 21 28 两点：(－ ， )和 (－ ， )． 5 5 5 5
链 接 栏
→ ·PN → ＝(－2－x，－y)· 解析：(1)设 P 的坐标为 P(x，y)，由PM (2 －x，－y)＝x2－4＋y2＝0，得 x2＋y2＝4，所以点 P 的轨迹方程为 x2 ＋y2＝4. (2)设动点 P 坐标为(x，y)，则动点 P 到直线 x＝8 的距离 d＝|x 栏 －8|，到点 A 的距离|PA|＝ （x－2）2＋y2. 由已知 d＝2|PA|得：|x－8|＝2 （x－2）2＋y2，化简得：3x2＋4y2 ＝48.故动点的轨迹方程为 3x2＋4y2＝48. 答案：(1)x2＋y2＝4 (2)3x2＋4y2＝48
目 链 接题型二源自定义法求曲线方程例 2 已知圆 C：(x－1)2＋y2＝1，过原点 O 作圆的任意弦，求 所作弦的中点的轨迹方程． 解析：如图，设 OQ 为过 O 点的一条弦，P(x，y)为 线段 OQ 的中点，则 CP⊥OQ，设 M 为 OC 的中点，
【易错剖析】 本题解答中容易忽略点 M 应在圆内这一隐含条件， 故所求的轨迹应为圆内部分，应对其加以条件限制．
栏 目 链 接
题型三
代入法求曲线方程
例 3 设定点 M(－3， 4)， 动点 N 在圆 x2＋y2＝4 上运动， 以 OM， ON 为两边作平行四边形 MONP(O 为坐标原点)， 求点 P 的轨迹方程． 解析：如图所示，设 P(x， y)， N(x0， y0)，则线段 x y OP 的中点坐标为( ， )，线段 MN 的中点坐标为 2 2 x0－3 y0＋4 ( ， )，因为平行四边形的对角线互相平分 2 2 x0－3 x y0＋4 y ，所以 ＝ ， ＝ ，从而 x0＝x＋3，y0＝y－ 2 2 2 2 4，由 N(x＋3， y－4)在圆上，得(x＋3)2＋(y－4)2＝4.因 此所求 P 点的轨迹方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝4，但应除去 9 12 21 28 两点：(－ ， )和 (－ ， )． 5 5 5 5
链 接 栏
→ ·PN → ＝(－2－x，－y)· 解析：(1)设 P 的坐标为 P(x，y)，由PM (2 －x，－y)＝x2－4＋y2＝0，得 x2＋y2＝4，所以点 P 的轨迹方程为 x2 ＋y2＝4. (2)设动点 P 坐标为(x，y)，则动点 P 到直线 x＝8 的距离 d＝|x 栏 －8|，到点 A 的距离|PA|＝ （x－2）2＋y2. 由已知 d＝2|PA|得：|x－8|＝2 （x－2）2＋y2，化简得：3x2＋4y2 ＝48.故动点的轨迹方程为 3x2＋4y2＝48. 答案：(1)x2＋y2＝4 (2)3x2＋4y2＝48
目 链 接题型二源自定义法求曲线方程例 2 已知圆 C：(x－1)2＋y2＝1，过原点 O 作圆的任意弦，求 所作弦的中点的轨迹方程． 解析：如图，设 OQ 为过 O 点的一条弦，P(x，y)为 线段 OQ 的中点，则 CP⊥OQ，设 M 为 OC 的中点，
最新人教版高二数学选修2-1电子课本课件【全册】
最新人教版高二数学选修2－1电 子课本课件【全册】目录
0002页 0106页 0174页 0257页 0341页 0457页 0479页 0520页 0545页 0585页 0608页 0637页 0734页
第一章 常用逻辑用语 1.2 充分条件与必要条件 1.4 全称量词与存在量词 复习参考题 2.1 曲线与方程 探究与发现 为什么截口曲线是椭圆 2.3 双曲线 2.4 抛物线 阅读与思考 复习参考题 3.1 空间向量及其运算 3.2 立体几何中的向量方法 复习参考题
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探究与发现 为什么截口曲线 是椭圆
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信息技术应用 用《几何画板 》探究点的轨迹：椭圆
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2.1 曲线与方程
最新人教版高二数学选修2－1电子 课本课件【全册】
2.2 椭圆
第一章 常用逻辑用语
最新人教版高二数学选修2－1电子 课本课件【全册】
1.1 命题及其关系
最新人教版高二数学选修2－1电子 课本课件【全册】
1.2 充分条件与必要条件
小结
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复习参考题
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第二章 圆锥曲线与方程
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1.3 简单的逻辑联结词
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1.4 全称量词与存在量词
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0002页 0106页 0174页 0257页 0341页 0457页 0479页 0520页 0545页 0585页 0608页 0637页 0734页
第一章 常用逻辑用语 1.2 充分条件与必要条件 1.4 全称量词与存在量词 复习参考题 2.1 曲线与方程 探究与发现 为什么截口曲线是椭圆 2.3 双曲线 2.4 抛物线 阅读与思考 复习参考题 3.1 空间向量及其运算 3.2 立体几何中的向量方法 复习参考题
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探究与发现 为什么截口曲线 是椭圆
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信息技术应用 用《几何画板 》探究点的轨迹：椭圆
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2.1 曲线与方程
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2.2 椭圆
第一章 常用逻辑用语
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1.1 命题及其关系
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1.2 充分条件与必要条件
小结
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复习参考题
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第二章 圆锥曲线与方程
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1.3 简单的逻辑联结词
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1.4 全称量词与存在量词
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