最新安徽省宿州市十三所重点中学高一下学期期中数学试题(解析版)
2018-2019学年安徽省宿州市十三所重点中学高一下学期期中数学试题一、单选题1．若一个数列的前三项依次为6，18，54，则此数列的一个通项公式为（ ） A ．42n a n =- B ．24n a n =+ C ．23nn a =⨯ D ．32nn a =⨯【答案】C【解析】061636=⨯=⨯，1183636=⨯=⨯，2549636=⨯=⨯，可以归纳出数列的通项公式． 【详解】依题意，061636=⨯=⨯，1183636=⨯=⨯，2549636=⨯=⨯，所以此数列的一个通项公式为-16323n nn a =⨯=⨯，故选：C ． 【点睛】本题考查了数列的通项公式，主要考查归纳法得到数列的通项公式，属于基础题． 2．不等式11x≥的解集是（ ） A ．(],1-∞ B ．(]0,1C ．[]0,1 D ．()[),01,-∞+∞U【答案】B【解析】直接利用分式不等式解得即可. 【详解】∵11x ≥， ∴1110xx x--=≥，即()10x x -≤且0x ≠， 解得01x <≤. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了分式不等式的解法的简单应用，属于基础题.3．在ABC ∆中，三内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知a =3b =，2cos 3A =，则边c =（ ）A B C ．2D ．3【答案】C【解析】利用余弦定理直接求解即可. 【详解】在ABC ∆中，由余弦定理有：222cos 2b c a A bc+-=，即229536c c +-=，解得2c =. 故选：C. 【点睛】本题考查三角形边长的求法，考查余弦定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，属于基础题．4．在等差数列{}n a 中，1815360a a a ++=，则2814a a a -+等于（ ） A ．10 B ．12C ．10D ．4-【答案】B【解析】利用等差数列的性质即可得出. 【详解】在等差数列{}n a 中，11582a a a +=，又1815360a a a ++=， 所以883260a a +=，即812a =， 所以2814888212a a a a a a -+=-==. 故选：B. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 5．若点()2,1A-，点()2,1B -在直线10x ay +-=的两侧，则a 的取值范围是（ ）A ．()1,3B ．()(),13,-∞⋃+∞C ．()3,1--D ．()(),31,-∞--+∞U【答案】B【解析】根据点与直线的位置关系，转化为不等式进行求解即可. 【详解】由题意，点()2,1A-，点()2,1B -在直线10x ay +-=的两侧，∴()()21210a a -+---<，即()()310a a --<， 解得3a >或1a <，即实数a 的取值范围是()(),13,-∞⋃+∞. 故选：B. 【点睛】本题主要考查二元一次不等式表示平面区域，根据点与直线的关系转化为不等式关系是解决本题的关键，属于基础题.6．若,x y 满足线性约束条件102200x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则z x y =+的最大值是（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z x y =+过点()2,0A 时，z 取最大值即可. 【详解】由题意，画出可行域，如图：当直线z x y =+过点()2,0A 时，z 取最大值为max 202z =+=. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题. 7．已知305x <<，则()35x x -取最大值时x 的值为（ ）A ．310B ．910C ．95D ．12【答案】A【解析】由()()1355355x x x x -=⨯⨯-，利用基本不等式即可. 【详解】 由305x <<，则50x >，350x ->， 所以()()21153593553555220x x x x x x +-⎛⎫-=⨯⨯-≤⨯= ⎪⎝⎭， 当且仅当535x x =-，即310x =时取最大值. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题.8．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin a B b A c C +=，则ABC ∆的形状为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形【答案】B【解析】由题设有2sin cos sin cos sin A B B A C +=，也即是2sin sin C C =，因为()0,C π∈，从而sin 0C >，故sin 1C =也就是2C π=，故ABC ∆是直角三角形，选B.9．已知各项均为正数的等比数列{}n a ，且13a ，312a ，22a 成等差数列，则4567a a a a ++的值是（ ） A ．6 B ．16C ．9D ．19【答案】D【解析】各项均为正数的等比数列{}n a 的公比设为q ，则0q >，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比q ，再由等比数列的通项公式，计算可得所求值. 【详解】各项均为正数的等比数列{}n a 的公比设为q ，则0q >，由13a ，312a ，22a 成等差数列，可得31232a a a =+，即211132a q a a q ⋅=+⋅，所以2230q q --=，解得3q =或1q =-（舍），所以34344511565623267111119a a a q a q q q q a a a q a q q q q q q +⋅+⋅++=====+⋅+⋅++. 故选：D. 【点睛】本题考查等差数列中项性质和等比数列的通项公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．10．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若4a =，3b =，2c =，则ABC ∆边BC 的中线AD 的长为（ ）ABC．D．2【答案】D【解析】在ABC ∆中，由余弦定理可得cos B 的值，在ABD ∆中，由余弦定理可求得AD 的值. 【详解】由题意，在ABC ∆中，由余弦定理可得：222416911cos 222416AB BC AC B AB BC +-+-===状?， 在ABD ∆中，由余弦定理可得：AD =故选：D. 【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 11．不等式2220x ax a -+-≥，在[)1,x ∈-+∞上恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．[]3,1- B ．[]2,1- C ．[)3,-+∞ D ．[]3,2--【答案】A【解析】构造函数()222f x x ax a =-+-，利用()min 0f x ≥对任意[)1,x ∈-+∞恒成立即可.【详解】由题意，设()222f x x ax a =-+-，则()f x 的对称轴为x a =，开口向上的二次函数，当1a ≥-时，()f x 在区间[]1,a -递减，在[),a +∞递增，所以()()2min 20f x f a a a ==--≥，解得21a -≤≤，即11a -≤≤当1a <-时，()f x 在区间[)1,-+∞递增，则()()min 130f x f a =-=+≥， 所以3a ≥-，即31a -≤<-， 综上，实数a 的取值范围是[]3,1-. 故选：A. 【点睛】本题考查二次函数在闭区间上的最值，注意对称轴和区间的关系，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于基础题.12．已知函数的定义域为()0,∞+，当1x >时，()0f x >，对于任意的(),0,x y ∈+∞，()()()f x f y f xy +=成立，若数列{}n a 满足()11a f =，且()()121n n f a f a +=+，n ∈+N ，则20191a +的值是（ ）A ．20162B ．20172C ．20182D ．20192【答案】C【解析】先利用题意可证得()f x 在区间()0,∞+上是单调递增函数，再得到()10f =，进而可得121n n a a +=+，即数列{}1n a +为等比数列，从而可得答案. 【详解】当1x >时，有()0f x >，在()0,∞+上任意取两个数120x x <<，令21x k x =，则()0f k >，∴()()()()211f x f kx f k f x ==+，即()()()210f x f x f k -=>， ∴()f x 在区间()0,∞+上是单调递增函数，令1x y ==，则()()()111+=f f f ，解得()10f =，又∵数列{}n a 满足()110a f ==，且()()121n n f a f a +=+，n ∈+N ，∴121n n a a +=+，即()1121n n a a ++=+，而111a +=， ∴数列{}1n a +是首项为1，公比为2的等比数列，∴2018201912a +=.故选：C. 【点睛】本题考查了单调函数定义和数列的递推关系式，属于中档题．二、填空题13．设x 、y ∈R 且x+y=4,则3x+3y的最小值是______________. 【答案】18 【解析】【详解】3x+3y22318x y+≥=⨯= 当且仅当x=y=2等号成立故答案为18.14．在三角形ABC 中，3A π=，1b =，ABC S ∆，则a 的值为______.【解析】由已知利用三角形的面积公式可求c 的值，再根据余弦定理即可解得a 的值. 【详解】由题意，在ABC ∆中，3A π=，1b =，所以11sin 1222ABC S bc A c ∆==⨯⨯⨯=4c =，由余弦定理可得：a ===【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．15．若等比数列{}n a 的前n 项和12n n S c -=+，则c =______.【答案】12-【解析】直接利用等比数列的n 项和()111122111n n n n a q a aS q c qq q-==-⋅=+⨯---，即可得到答案. 【详解】依题意，该等比数列的公比不为1， 所以()1111121112n n n n a q a a S q c qq q -==-⋅=+⨯---， 所以2q =，1112a q =--，即12c =-. 故答案为：12-. 【点睛】本题考查了等比数列的前n 项和，主要考查公式的运用和处理能力，属于基础题． 16．若ln 2，()ln 1xe -，()ln 3xe +成等差数列，则x 的值等于______. 【答案】ln 5【解析】由题意可得()()2123x x e e -=+，再直接利用对数运算性质即可得出.【详解】由ln 2，()ln 1xe -，()ln 3xe +成等差数列，所以()()2ln 1ln 2ln 3x xe e -=++，即()()2123x x e e -=+，整理得：()2450xx e e --=，又0x e >，解得5x e =，即ln5x =. 故答案为：ln 5. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及其应用、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题17．在等比数列{}n a 中，1238a a a =，2410a a +=， （1）求首项1a 及公比q ； （2）求该数列的前8项和8S .【答案】（1）2q =，11a =或2q =-，11a =-（2）当2q =时，8255S =；当2q =-时，885S =【解析】（1）根据等比数列的性质可得328a =，解得22a =，进而可得48a =，即可得2q =±，结合等比数列的通项公式可得1a ；（2）根据题意，由（1）的结论结合等比数列的前n 项和公式分析可得答案. 【详解】（1）因为{}n a 是等比数列，且1238a a a =，所以328a =，故22a =；又因为2410a a +=， 所以48a =，424a a =，所以24q =，2q =±， 当2q =时，11a =，当2q =-时，11a =-； （2）当2q =时，()881225512S-==-，当2q =-时，()()()881128512S ---==--.【点睛】本题考查等比数列的前n 项和公式以及等比数列的通项公式，属于基础题．18．ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，向量()m a =u r与()cos ,sin n A C =r共线.（1）求角A ； （2）若a =2c =，求ABC ∆的面积.【答案】（1）3A π=（2）2【解析】（1）利用平面向量共线的性质，以及正弦定理，再结合sin 0C ≠，可求得tan A =A ；（2）由已知以及余弦定理可得2230b b --=，解得b 的值，再根据三角形的面积公式即可得解. 【详解】解：（1）因为//m n u r r，所以sin cos 0a C A =，由正弦定理，得sin sin cos 0A C C A =， 又sin 0C ≠，从而tan A = 由于0A π<<，所以3A π=.（2）由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，而a =2c =，3A π=，得2742b b =+-，即2230b b --=. 因为0b >，所以3b =. 故ABC ∆的面积为1sin 22ABC S bc A ∆==【点睛】本题主要考查了平面向量共线的性质，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．19．若n S 是各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和，且()22210n n S n S n ---=．（1）求1a ，2a 的值； （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）1，3；（2）21n nT n =+. 【解析】（1）当1n =时，2110S -=，解得11S =±．由数列{}n a 为正项数列，可得1a ．当2n =时，222340S S --=，又20S >，解得2S ．由2124S a a ==+，解得2a ；（2）由()22210n n S n S n ---=．可得n S ．当1n =时，111S a ==．当2n ≥时，1n n n a S S -=-，可得n a ．由11122121n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭．利用裂项求和方法即可得出．【详解】（1）当1n =时，2110S -=，解得11S =±．数列{}n a 为正项数列，∴111a S ==．当2n =时，222340S S --=，又20S >，解得24S =．由2124S a a ==+，解得23a =．（2）()22210n n S n S n ---=，∴()()210,0n n n S n S S -+=>．∴2n S n =．当1n =时，111S a ==．当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-．1n =时也符合上式．∴21n a n =-．111111(21)(21)22121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭． 故12n n T b b b =+++L L111111123352121n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭L L 11122121n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭． 【点睛】本题考查了数列递推关系、通项公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．宿州泗县石龙湖国家湿地公园是保存完好的典型湿地生态系统，具有得天独厚的旅游资源.某日一游船在湖上游玩航行中突然遇险，发出呼救信号，驻湖救援队在A 处获悉后，立即测出该游船在北偏东45o 方向上，距离A 有4千米的C 处，并测得游船正沿东偏南15o 的方向，以10千米/时的速度向湖心小岛B靠拢，救援舰艇立即以米/时的速度前去营救，若想用最短的时间营救游船，求舰艇的航行方向和所需时间.【答案】舰艇的航行方向为北偏东75o 方向，时间为25小时 【解析】设舰艇靠近游船所需最短时间为t 小时，通过余弦定理求解时间，再由4BC =千米，3AB =cos CAB ∠即可求出角的大小.【详解】设舰艇靠近游船所需最短时间为t 小时，所以10BC t =千米，103AB t =千米，222cos 2AC BC AB ACB AB BC +-∠=⋅，即2211610030022410t t t+--=⨯⨯， 可化为()()52510t t -+=，所以25t =或15t =-（舍）， 所以最短时间为25小时； 又由4BC =千米，43AB = 2222224+4343cos 222443AC AB BC CAB AC AB-+-∠===⋅⨯⨯， 所以30CAB ∠=o ， 故舰艇的航行方向为北偏东75o 方向.【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用．解题的关键是利用了余弦定理，利用已知的边和角建立方程求得时间，属于基础题．21．已知不等式230ax x b -+<的解集为()1,2，设函数()()2f x ax c b x bc =+-- （1）求,a b 的值.（2）求()0f x <的解集.【答案】（1）1a =，2b =（2）答案不唯一，具体见解析【解析】（1）由题意可知1和2是关于x 的方程230ax x b -+=的两个根，由根与系数的关系即可；（2）由（1）可求()f x ，结合二次函数的图象以及方程的根与二次不等式的端点值的关系进行分类讨论即可.【详解】（1）因为不等式230ax x b -+<的解集为()1,2所以1和2是关于x 的方程230ax x b -+=的两个根， 由根与系数的关系得31212a b a -⎧+=-⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，所以1a =，2b = （2）由（1）知：()()()2222f x ax c b x bc x c x c =+--=+--， 因为()0f x <，即()2220x c x c +--<， 所以()()20x x c -+<，不等式对应的方程的两根为2和c -，所以1o 当2c >-时，即2c -<此时2c x -<<，2o 当2c =-时，即2c -=此时()220x -<无解，3o 当2c <-时，即2c ->此时2x c <<-，综上所述：1o 当2c >-时，即2c -<此时不等式的解集为{}2x c x -<<； 2o 当2c =-时，即2c -=此时不等式的解集为∅；3o 当2c <-时，即2c ->此时不等式的解集为{}2x x c <<-.【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与二次不等式的关系，体现了分类讨论的思想，属于中档题．22．在数列{}n a 中，11111,(1)2n n n n a a a n ++==++（I ）设n n a b n=，求数列{}n b 的通项公式 （II ）求数列{}n a 的前n 项和n S【答案】（I ）1122n n b -=-(*n N ∈) （II ）n S =(1)n n +1242n n -++- 【解析】试题分析：解:(I)由已知有利用累差迭加即可求出数列的通项公式:() (II)由(I)知, =而,又是一个典型的错位相减法模型,易得=【考点】数列的通项公式和求和的运用点评：解决的关键是对于数列的递推关系式的运用，根据迭代法得到通项公式，并结合错位相减法求和．。
安徽省宿州市省高一下学期期中考试数学试题(解析版)
安徽省宿州市省市示范高中高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．已知平面内作用于点的三个力，且它们的合力为，则三个力的分布图可能是（ ）O 123,,f f f 0A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】由平行四边形法则判断即可.【详解】因为，所以与的合力与方向相反，长度相等，则由平行四边形法则123f f f +=- 1f 2f 3f可知，只有D 项满足. 故选：D2．如图，是水平放置的△AOB 的直观图，但部分图象被茶渍覆盖，已知为坐标原点，A O B '''V O '顶点、均在坐标轴上，且△AOB 的面积为12，则的长度为（ ）A 'B 'O B ''A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】画出△AOB 的原图，根据三角形△AOB 的面积为12可得答案. 【详解】画出△AOB 的原图为直角三角形，且，6''==OA O A 因为，所以，1122⨯=OB OA 4OB =所以.122''==O B OB 故选：B.3．萧县皇藏峪国家森林公园位于萧县城区东南30公里，是中国历史文化遗产､中国最大古树群落､国家AAAA 级旅游景区､国家森林公园.皇藏峪有“天然氧吧”之称.皇藏峪，原名黄桑峪.汉高祖刘邦称帝前，曾因避秦兵追捕而藏身于此，故改名皇藏峪.景区内古树繁多，曲径通幽，庭院错落有致.一个侧面与底面的面积之比为（ ）A B C D 【答案】B【分析】由已知条件和正四棱锥的定义，以及面积公式即可求解. 【详解】如图所示，将庭院顶部可以看成一个正四棱锥,P ABCD -是正四棱锥的高，PO P ABCD -设底面边长为，侧棱长为，a a则底面面积为，侧面是正三角形，其面积， 21S a =PABA 22S =21S S ∴=故选：B.4．欧拉是18世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献.人们把欧拉恒等式“”与麦克斯韦方程组并称为“史上最伟大的公式”.其中，欧拉恒等式是欧拉公式：i πe 10+=的一种特殊情况.根据欧拉公式，则（ ）cos sin i e i θθθ=+π5πi 66e e+=A ．2 B ．1 C D 【答案】B【分析】根据欧拉公式写出对应复数的三角形式并化简，即可求模.【详解】由题设，. π5πi i 66ππ5π11e e cosisin cos i i 166622+=++++=故选：B5．已知可以作为平面向量的一组基底，集合，{},x y {},R A aa y λλ==∈∣，则关于集合说法正确的是（ ）{}2,R B b b x y λμλμ==+∈∣､,A B A ． B ．C ．D ．B A ⊆A B ⊆0A ∉A B =【答案】B【分析】向量的共线定理：；向量基本定理：平面内一组基底向量可表示出该平面内所有向a b λ=量，，根据上述向量性质进行判断两集合元素范围即可选出答案.12a e e λμ=+【详解】根据向量的共线充要条件可知，集合A ={与共线的所有向量}，y根据平面向量基本定理可知：集合B ={平面内所有向量}，故集合A 是集合B 的子集. 故选：B6．已知的重心为，若向量，则（ ）ABC A O 13BO mAB AC =+m =A ．B ．C ．D ．23-2313-13【答案】A【分析】由三角形法则和平行四边形法则求解即可. 【详解】由三角形法则和平行四边形法则可得，则.1221()2333BO BA AO BA AB AC AB AC =+=+⨯+=-+23m =-故选：A7．已知向量，若与垂直，则实数（ ）()()1,2,,1a b m =-= 2a b +2a b - m =A ．或7B ．或-2 C ．或2D ．12-7272-12-【答案】C【分析】确定，，根据垂直得到，代入数()221,4a b m +=-()22,3a b m -=-- ()()220a b a b +⋅-= 据计算得到答案.【详解】，则，， ()()1,2,,1a b m =-=()221,4a b m +=- ()22,3a b m -=-- 与垂直，2a b +2a b - 则，()()()()()()222122,310,4212a b m a b m m m +⋅=-⋅---=---+=解得或.2m =72m =-故选：C8．将一直径为的圆形木板，截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角α满足，则这块四边形木板周长的最大值为（ ）35=cos αA ．B ．C ．D ．20cm 30cm 【答案】D【分析】根据正弦定理得42sin 5AC R D ===解.【详解】如图：不妨设,则,由正弦定理可得3,cos 5D D αα=∠==cos 4sin 5D =, 42sin 5AC R D ===在三角形中，由余弦定理可得ACD , ()2222162cos 805AC AD CD AD CD D AD CD AD CD =+-⋅⇒=+-⋅由于,所以()24AD CD AD CD +⋅≤，()()2216168020554AD CD AD CD AD CD AD CD ++-=⋅≤⨯⇒+≤当且仅当时，等号成立，10AD DC ==在中， ,ABC A 3π,cos 5B D B --==由余弦定理可得, ()222242cos 805AC AB CB AB CB B AB CB AB CB =+-⋅⇒=+-⋅由于,所以()24AB CB AB CB +⋅≤， ()()22448010554AB CB AB CB AB CB AB CB ++-=⋅≤⨯⇒+≤当且仅当时，等号成立，5AB BC ==故这块四边形的周长， 201030AD DC AB BC ≤+=+++所以这块四边形木板周长的最大值为. 30故选：D二、多选题9．在下面的四个命题中，正确的命题为（ ） A ．复数（为虚数单位的虚部为12z i =-i )2i -B ．用平面去截一个圆锥，则截面与底面之间的部分为圆台C ．角为三个内角，则“”是“”的充要条件,,A B C ABC A sin sin A B >cos cos A B <D ．在复平面内，若复数（均为实数），则满足的点的集合表示的面积为i z x y =+,x y i 3z -≤Z9π【答案】CD【分析】由复数定义判断A ，由圆锥与圆台的结构特征判断B ，根据三角形性质，结合充分、必要性定义判断C ，由复数模的几何意义，数形结合法判断D. 【详解】A ：复数的虚部为，错误；12z i =-2-B ：用平行于底面的平面去截一个圆锥，则截面与底面之间的部分为圆台，错误；C ：在三角形中，由知：， sin sin A B >A B >若时则，若时则，故充分性成立； π2B A <<cos cos A B <π2B A <<cos cos A B <若时，则，故； cos cos 0B A >>π2B A <<sin sin A B >若时，则，此时，故，cos 0cos B A >>π2B A <<ππ2A B >->sin(π)sin sin A A B -=>所以必要性成立，正确；D ：由，故，所以点在以为圆心，半径的圆（含圆i 3z -=≤22(1)9x y +-≤Z (0,1)3内），其面积为，正确. 9π故选：CD10．唐朝诗人罗隐在《咏蜂》中写到：不论平地与大山，无限风光尽被占：采得百花成蜜后，为谁辛苦为谁甜.蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物.巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成.巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜.如图是一个蜂巢的正六边形开口，且其边长为1.下列说法正确的是（ ）ABCDEFA ．B ．AC AE BF -=32AC AE AD += C ．D ．五边形的外接圆面积为2||AD AB AB ⋅= ABCDE π【答案】BCD【分析】根据正六边形的特点，在图中作出相关向量，对A 利用向量减法运算结合图形即可判断，对B 借助图形和共线向量的定义即可判断，对C 利用向量数量积公式和相关模长的关系即可判断，由正六边形的特点确定五边形的外接圆的半径，进而判断D.ABCDE 【详解】对A ，，显然由图可得与为相反向量，故A 错误；AC AE EC -= EC BF对B ，由图易得，直线平分角， AE AC = AD EAC ∠且为正三角形，根据平行四边形法则有与共线且同方向， ACE △2AC AE AH += AD易知均为含,EDH AEH A A π6，4AD DH = 而，故，故，故B 正确；26AH DH = 232AH AD = 32AC AE AD +=对C ，， 2,3C ABC AB BC DC π∠=∠===，则，又，， π6BDC DBC ∴∠=∠=π2ABD ∠=AD //BC π3DAB ∴∠=，，故C 正确；2AD AB = 221cos 232AD AB AD AB AB AB π⋅==⨯=对D ，五边形的外接圆就是正六边形的外接圆，其半径为 ABCDE ABCDEF ，则五边形的外接圆面积为，故D 正确；112r AD ==ABCDE 2ππr =故选：BCD11．如图，在海岸上有两个观测点C ，D ，C 在D 的正西方向，距离为2 km ，在某天10:00观察到某航船在A 处，此时测得∠ADC=30°，5分钟后该船行驶至B 处，此时测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，则（ ）A ．当天10:00时，该船位于观测点C 的北偏西15°方向B ．当天10:00时，该船距离观测点kmC ．当船行驶至B 处时，该船距观测点kmD ．该船在由A 行驶至B 的这5 min km 【答案】ABD【分析】利用方位角的概念判断A ，利用正弦定理、余弦定理求解后判断BCD ．【详解】A 选项中，∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+45°=105°，因为C 在D 的正西方向，所以A 在C 的北偏西15°方向，故A 正确.B 选项中，在△ACD 中，∠ACD=105°，∠ADC=30°，则∠CAD=45°.由正弦定理，得AC=，sin sin CD ADCCAD∠∠=故B 正确.C 选项中，在△BCD 中，∠BCD=45°，∠CDB=∠ADC+∠ADB=30°+60°=90°，即∠CBD=45°，则BD=CD=2，于是BC=C 不正确.D 选项中，在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2=AC 2+BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB=2+8－212=6，即，故D 正确. 故选：ABD ．12．如图所示，一圆锥的底面半径为，母线长为，为圆锥的一条母线，为底面圆的一条r l SA AB 直径，为底面圆的圆心，设，则（ ）O rlλ=A ．过的圆锥的截面中，的面积最大 SA SAB △B ．当时，圆锥侧面的展开图的圆心角为 12λ=πC ．当时，由点出发绕圆锥侧面旋转一周，又回到13λ=A AD ．当时，点为底面圆周上一点，且，则三棱锥的外接球的表面积为14λ=C AC =O SAC -217r π【答案】BD【分析】对于选项A ，利用斜三角形面积公式即可判断；对于选项B ，由于圆锥侧面的展开图为扇形，可利用扇形圆心角公式进行计算；对于选项C ，由于圆锥侧面的展开图为扇形，利用两点之间直线最短即可知，由点出发绕圆锥侧面旋转一周，又回到点的细绳长度最小值为圆锥侧面的展A A 开图得到的扇形的圆心角所对的弦长；对于选项D ，由三棱锥外接球的性质可知，此外接球的直径为外接长方体的体对角线.【详解】对于选项A ：设点是底面圆上异于点的任意一点，则，C B 21sin 2SAB l ASB =∠△S .且.21sin 2SAC l ASC =∠△S ASB ASC ∠>∠当时，，此时的面积最大；090ASB <∠≤ sin sin ASB ASC ∠>∠SAB △当时，若，则，此时的面积不是最大； 90180ASB <∠< 90ASC ∠= sin sin ASB ASC ∠<∠SAB △故选项A 错误. 对于选项B ：当时，，即.12λ=12r l =2l r =圆锥侧面的展开图的圆心角为. 222r rl rππαπ===故选项B 正确.对于选项C ：如图，由点出发绕圆锥侧面旋转一周，又回到点的细绳长度最小值为圆锥侧面的A A 展开图得到的扇形的圆心角所对的弦长.AA '当时，，即.13λ=13r l =3l r =圆锥侧面的展开图的圆心角为， 22233r r l r ππαπ===此时的弦长为，2sin 23sin33l r ππ=⋅=故选项C 错误. 对于选项D ：当时，，即. 14λ=14r l =4l r =当时，. AC =90AOC ∠=因为， SO ====所以三棱锥，O SAC -=则三棱锥的外接球的表面积为. O SAC -22417r ππ⎫=⎪⎪⎭故选项D 正确. 故选：BD.【点睛】方法点睛：几何体内接于球的问题，解题时要认真分析图形，明确接点的位置，确定有关元素间的数量关系。
安徽省宿州市十三所重点中学2024届数学高一第二学期期末经典模拟试题含解析
安徽省宿州市十三所重点中学2024届数学高一第二学期期末经典模拟试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．在ABC ∆中，2cos 22B a c c+=（a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边），则ABC ∆的形状为（ ） A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形2．过两点()1,A m ，()2,0B 的直线的倾斜角为π4，则实数m =（ ） A ．-1 B ．1C．2-D．23．已知正数组成的等比数列{}n a 的前8项的积是81，那么18a a +的最小值是（ ） A．B．C ．8D ．64．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（其中ω＞0，﹣π＜φ＜π），若该函数在区间（63ππ-，）上有最大值而无最小值，且满足f （6π-）+f （3π）＝0，则实数φ的取值范围是（ ）A ．（56π-，6π） B ．（23π-，3π） C ．（3π-，23π） D ．（6π-，56π）5．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，660S =，则等差数列{}n a 的公差为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．86．设()()132,2log 21,2x xe xf x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()()2f f =（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．07．素数指整数在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他自然数整除的数。
我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果。
哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如1037=+。
安徽宿州市十三所重点中学21-22学度高一下期中考试-数学〖精析版〗
安徽宿州市十三所重点中学21-22学度高一下期中考试-数学〖精析版〗期中考试 数学试题（满分150分，时刻120分钟）一．选择题 (本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中只有一个是正确的.)1．已知数列,56,45,34,23那么它的一个通项公式是( ) A.n n a n 1+= B. 1-=n n a n C. 12++=n n a n D.23++=n n a n2．在ABC ∆中，c b a ,,分别为内角C B A ,,的对边，若bBa A cos sin =，则B 的值为（ ） A.30 B ．45 C ．60 D ．904．若数列{}n a 满足112,0;2121, 1.2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩，167a =，则20a 的值为（ ）A.67B.57C.37D.17 【答案】B【解析】解：因为167a =，112,0;2121, 1.2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩，利用递推关系，我们依次得到该数列是个周期为3的数列，那么利用20a 确实是第二项257=a5．若二次不等式 062>++bx x a 的解集是 =<<-b a x x 则,}32|{（ ） A. -1 B.1 C.6 D.-66．在△ABC 中，c b a ,,分别为内角C B A ,,的对边，已知25=a ，10=c ，A =30，则角B 等于( )A.105 B.60 C.15 D.105或157．若实数y x ,满足 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-0001x y x y x ,则y x +2的最小值是（ ）A ．-1 B. 21-C.0D. 28．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若OC a OA a OB 2001+=，且A 、B 、C 三点共线(该直线只是点O )，则200S 等于( )A.100B.200C.101D.2019．已知2,0,0=+>>b a b a ，则ba y 41+=的最小值是（ ）A ．27B ．4C ． 29D ．510．设1＝≤≤21a a …7a ≤，其中7531,,,a a a a 成公比为q 的等比数列，642,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是（ ）A. 1B. 2C. 33D. 2第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二．填空题(本大题共5小题 , 每小题5分，共25分)11．若△ABC 的三个内角满足8:7:5sin :sin sin =C B A ：，则△ABC 的最大内角的余弦值为 .12．不等式054≤-+x x 的解集为 .13．已知数列{}n a 中，141,21211-+==+n a a a n n ，则7a =_____________.14. 王明的爸爸开车以80km/h 的速度沿着正北方向行驶，王明坐在车里向外观看，在点A 处望见电视塔P 在北偏东300方向上，15分钟后到点B 处望见电视塔P 在北偏东750方向上，则汽车在点B 时与电视塔P 的距离是 km ．15．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且576S S S >>，有下列四个命题： (1)0<d ；(2)011>S ；(3)012<S ；(4)数列{}n S 中的最大项为11S ．其中正确命题的序号是________．三．解答题(本大题共6小题，共75分，解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分) 在△ABC 中，c b a ,,分别为内角C B A ,,的对边，且,sin sin ,360C B ab ==△ABC 的面积为153，求边b 的长．【解析】本试题要紧考查了解三角形的运用，求解三角形的边长和面积的运算。
宿州市十三所重点中学2017—2018学年度第二学期期中质量检测高一数学(必修5含答案)(解析版)
宿州市十三所重点中学2017—2018学年度第二学期期中质量检测第一卷选择题（共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知数列{}的通项公式是＝()，则数列的第4项为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，根据数列的通项公式，得，故正确答案为B.2. 在等差数列中，已知则（）A. 3B. 5C. 7D. 9【答案】D【解析】由题意，可设等差数列的公差为，根据通项公式，得，解得，则，故正确答案为D.3. 完成一项装修工程，请木工共需付工资每人400元，请瓦工共需付工资每人500元，现有工人工资预算不超过20 000元，设木工人，瓦工人，则工人满足的关系式是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意，可得，化简得，故正确答案为A.4. 不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意，原不等式等价于，解得，即不等式的解集为，故正确答案为C.5. 在三角形ABC中，角A，B，C所对的边长分别为，，，若，，且，则满足条件的三角形ABC有（）A. 0个B. 一个C. 两个D. 不能确定【答案】B【解析】由题意，根据正弦定理，得，此时，所以满足此条件的三角形只有一个，故正确答案选B .点睛：此题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，以及在求解中，符合条件的三角形个数的问题，属于中低档题型.三角形的个数的判定相对来说是一个比较独立的题型，是知道两边及一边对角时，由正弦定理求出另一边对角的正弦值，从而求出其角度，再与已知条件进行检验判断，由此可解决问题.6. 已知，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由已知，根据幂函数、指数函数、对数函数的单调性，可得，，，由此可得，故正确答案为C.7. 若，满足约束条件，则的最大值与最小值的和为（）A. 1B. 3C. 4D. 6【答案】C【解析】由题意，可作出约束条件的可行域图，如图中的阴影部分，将目标函数转化为，并作出其平行直线，在可行域范围内进行平移，从而可发现，当直线过顶点时，有，当直线过顶点时，有，从而有.故选C.8. 设的三内角、、成等差数列，、、成等比数列，则这个三角形的形状是（）A. 等边三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形【答案】A【解析】由题意，根据等差数列、等比数列的中项公式，得，又,所以,，由正弦定理得，又，得，从而可得，即为等边三角形，故正确答案为A.点睛：此题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，以及等差数列、等比数列中项公式等有关方面的知识与运算技能，属于中档题型，也是常考题型.此非常典型，是属于数列与解三角形两大知识网络的交汇点，常用到的就是数列的中项公式，在解决问题过程中，注意三角形内角和定理的使用.9. 若，则（）A. 无最大值，有最小值B. 无最大值，有最小值C. 有最大值，有最小值D. 有最大值，无最小值【答案】D【解析】根据题意，由，得，则，即当时，原式有最大值，而无最小值，故正确答案为D.10. 如图，在三角形ABC中，点在边上，，， ,则的值为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意，根据条件知为等边三角形，则，，由余弦定理，得，即，由正弦定理，得，则，故正确答案为D.11. 数列中，，，，那么（）A. 1B. 2C. 3D. -3【答案】B【解析】由题意，得，，，，，…，由此发现数列是以6为周期的数列，又，所以，故正确答案为B.点睛：此题主要考数列递推公式，以及函数周期性在解决数列问题中的应用等有关方面的知识与运算技能、逻辑思维能力，属于中低档题型.在解决此类问题过程中，常常需要通过题目所给的递推公式，计算出数列的前面若干项的值，再观察其周期性，结合函数周期性进行求和运算，从而问题可得解.12. 已知数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意，得，即，化简理得，又，所当时，式子有最小值3，则，故正确答案为A.第二卷非选择题（共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 在三角形ABC中，AB =，AC = 1,∠A＝30o，则三角形ABC的面积为______．【答案】【解析】由题意，根据三角形面积的计算公式，得,故所求的面积为.14. 已知为各项都是正数的等比数列，且，则=______．【答案】8【解析】由题意，根据等比数列通项的性质，知，又其各项均为正数，得，所以，故正确答案为8.15. 关于的不等式对一切恒成立，则实数取值的集合为______．【答案】【解析】由题意，构造二次函数，易知其图象开口向上，且当时，有，则，即，得，所以当时，不等式成立，故正确答案为.16. 若钝角三角形ABC的三边的边长，6，（<）成等差数列，则该等差数列的公差的取值范围是_______．【答案】【解析】由题意，易知为该三角形的最长边，，，根据构成三角形三边的条件，得，即，又该三角形为钝角三角形，则，即，解得，从而可得的取值范围为.三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 在三角形ABC 中，已知，，，解此三角形．【答案】或.【解析】试题分析：由题意，根据正弦定理，可算出的值，结合条件，可知或，则可知此三角形有两组解，需要对的值进行分类运算，又，由可先求出相应的，再根据正弦定理处出相应的，从而问题可得解.试题解析：在中，由正弦定理，得综上可得，或18. 已知不等式的解集为，不等式的解集为．（1）求；（2）若不等式的解集为，求、的值．【答案】(1) A∩B={x|-1<x<3};(2) .【解析】试题分析：（1）由题意，通过计算不等式的解集，由此可确定集合,的元素范围，再根据集合交集的定义，从而问题可得解决；（2）由（1）可知二次不等式的解集，从而可知相应二次方程的两根，将其代入相应二次方程，建立关于两参数的方程组，通过对方程组的求解，从而问题可得解.试题解析：(1)A={x|-1<x<4},B={x|-2<x<3}，∴A∩B={x|-1<x<3}(2)不等式的解集为{x|-1<x<3}∴-1,3为方程x2＋ax＋b=0的两根∴∴.19. 已知首项为2的数列满足，数列为等差数列，，．（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项的和．【答案】(1) , ;(2)【解析】试题分析：（1）由题意，根据条件易知数列为等比数列，由等比数列的通项公式可求出数列的通项公式，根据等差数列的通项公式，结合条件求出其公差，从而求出数列的通项公式；（2）由（1）可知数列的通项公式，则可采用分组求和方法进行求解，从而问题可得解.试题解析：（1）（2）由（1）可知，点睛：此题主要考查等差数列、等比数列的定义、通项公式、前项和公式等有关方面的知识与技能，以及分组求和法在求数列前项和中的应用，属于中档题型，也是常考题型.分组求和法即将数列通项分为等差数列、等比数列、常数列等特殊数列之和，再根据各数列的公式进行运算求解.20. 2017年，在国家创新驱动战略下，北斗系统作为一项国家高科技工程，一个开放型的创新平台，1400多个北斗基站遍布全国，上万台设备组成星地“一张网”，国内定位精度全部达到亚米级，部分地区达到分米级，最高精度甚至可以达到厘米或毫米级。
安徽省宿州市省、市示范高中2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题
安徽省宿州市省、市示范高中2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题一、单选题1．复数5i 12i-的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．已知某平面图形OABC 的直观图是如图所示的梯形O A B C ''''，且2,3,2A B O C OA ''''''===，则原图形OABC 的面积为（ ）A ．BC ．12D ．10 3．若同一平面内的三个力123,,F F F u u r u u r u u r 作用于同一个物体，且该物体处于平衡状态.已知123,4F F ==u u r u u r ，且1F u u r 与2F u u r 的夹角为120︒，则力3F u u r 的大小为（ ）A ．37BC ．13 D4．在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1,cos 63a A C π==，则c =（ ）A B ．23 C D ．83 5．如图，四边形OADB 是以向量OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r 为边的平行四边形.又13BM BC =，13CN CD =，则用a r ，b r 表示MN =u u u u r （ ）A ．1566a b +r rB ．()23a b +r rC ．1126a b -r rD ．1126a b +r r 6．在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若满足2cos a B c =，则该三角形为（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形 D ．不能确定7．已知ABC V 外心是点O ，且2,AO AB AC AB OB =+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则向量BA u u u r 在向量BC u u u r 上的投影向量为（ ）A ．14BC u u u r B ．14BC -u u u r C u u r D ．u u r 8．在ABC V 中，点D 满足34BD BC =u u u r u u u r ，点E 在射线AD （不含点A ）上移动，若,AE AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r 则22(2)μλ++的取值范围是（ ）A ．[4,)+∞B ．(4,)+∞C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞二、多选题9．下列命题中正确的有（ ）A ．若a b =r r ，则32a b >r rB ．BC BA DC AD --=u u u r u u u r u u u r u u u rC ．||||||a b a b a +=+⇔r r r r r 与b r 的方向相反D ．若非零向量,a b r r 满足||||a b a b +=-r r r r ，则向量a r 与b r 的夹角为π210．下列命题正确的有（ ）A ．若复数z 满足i 1z -=，则z 的最大值为2B ．若复数z 满足2R z ∈，则R z ∈C ．若复数12,z z 满足12=z z ，则12=±z zD ．若复数12,z z 满足2121z z z =且10z ≠，则12=z z11．在等腰梯形ABCD中，//,33,AB DC AB DC BC ===CD 所在的直线为轴，其余三边绕CD 旋转一周形成的面围成一个几何体，则下列说法正确的有（ ）A ．等腰梯形ABCD 的高为1B ．该几何体为圆柱C．该几何体的表面积为(6π+D ．该几何体的体积为7π3三、填空题12．已知向量(4,3),(7,1)a b ==-r r ，则向量a r 与b r 的夹角大小为.13．现有一块如图所示的三棱锥木料，其中40AVB AVC BVC ︒∠=∠=∠=，6VA VB VC ===，木工师傅打算过点A 将木料切成两部分，则截面AEF △周长的最小值为.14．由三角形内心的定义可得：若点O 为ABC V 内心，则存在实数λ，使得||||AB AC AO AB AC λ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r .在ABC V中，tan BAC ∠=O 为ABC V 内心，且满足AO xAB yAC =+u u u r u u u r u u u r ，则x y +的最大值为.四、解答题15．（1）在复数范围内解方程:2230x x -+=；（2）已知关于x 的方程20x ax ab -+=，其中,a b为实数，若2x =（i是虚数单位）是该方程的根，求a 与b 的值.16．已知向量(1,2),(2,3)a b ==-r r(1)设5c a b μ=-r r r ，若a c ⊥r r ，求实数μ的值；(2)若a b λ+r r 与2a b λ+r r 共线，求实数λ的值.17．2024年是宿州市泗县北部新城建立7周年，泗县县政府始终坚持财力有一分增长，民生有一分改善，全力打造我县民生样板，使寸土寸金的商业用地变身“城市绿肺”，老厂房、旧仓库变身步行道、绿化带等.现有一足够大的老厂房，计划对其改造，规划图如图中五边形ABCDE 所示，其中BDE △为等腰三角形，且11πππ,,,4km 1234CDE BCD CBD CD ∠=∠=∠==，计划沿线段BE 修建步行道.(1)求步行道BE 的长度；(2)现准备将ABE V 区域建为绿化带且23π∠=BAE ，当绿化带的周长最大时，求该绿化带的周长与面积.18．给出以下三个件:①222cos 4ab C a b =+-，②22(cos cos )b A a B c +=，③112tan tan sin A B b A +=.请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解.已知在锐角ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 且______.(1)求边长c ；(2)若ABC V 的面积ABC S V C 的最大值.19．定义1:对于一个数集A ，定义一种运算⊗，对任意,a b A ∈都有a b A ⊗∈，则称集合A 关于运算⊗是封闭的（例如:自然数集N 对于加法运算是封闭的）.定义2:对于一个数集A ，若存在一个元素a A ∈，使得任意c A Î，满足a c a ⨯=，则称a 为集合A 中的零元，若存在一个元素b A ∈，使得任意c A Î，满足b c c ⨯=，则称b 为集合A 中的单位元（例如:0和1分别为自然数集N 中的零元和单位元）.定义3:对于一个数集A ，如果满足下列关系:①有零元和单位元；②关于加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都是封闭的；③对于乘法和加法都满足交换律和结合律，且满足乘法对加法的分配律；则称这个数集A是一个数域.(1)指出常用数集N,Z,Q,R,C中，那些数集可以构成数域（不需要证明）；(2)已知集合{Z,Z}∣，证明:集合A关于乘法运算是封闭的；A x x a b a b==+∈∈(3)已知集合{,}∣，证明:集合A是一个数域.==+∈∈A x x a b a Q b Q。
安徽省宿州市高一下学期期中数学试卷
安徽省宿州市高一下学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共10题；共20分)1. （2分）（）其中A . sin－cosB . cos－sinC . ±（sin－cos）D . sin+cos2. （2分） (2017高一下·河口期末) 已知，则的最小值为（）A .B . 6C .D .3. （2分） (2019高一下·吉林月考) 数列，2，，8，，…它的一个通项公式可以是（）A .B .C .D .4. （2分）已知函数f（x）=Asin（2ωx+φ）（ω＞0），若f（x+ ）是周期为π的偶函数，则φ的一个可能值是（）A .B .C . πD .5. （2分）已知函数，为奇函数，x= 为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在单调，则ω的最大值为（）A . 13B . 11C . 9D . 76. （2分）已知(+)=，且，则tanα=（）A .B .C . -D .7. （2分） (2017高二下·汪清期末) 已知等差数列中，，则前4项的和等于（）A . 8B . 10C . 12D . 148. （2分）将函数的图象向左平移个单位，若所得图象与原图象重合，则的值不可能等于（）A . 4B . 6C . 8D . 129. （2分）在等差数列中，已知则等于（）A . 40B . 42C . 43D . 4510. （2分） (2017高一下·宜昌期中) 定义在R上的偶函数f（x）在区间[﹣1，0]上是减函数，若A、B是锐角三角形的两个内角，则（）A . f（sinA）＞f（cosB）B . f（sinA）＜f（cosB）C . f（sinA）＞f（sinB）D . f（cosA）＜f（cosB）二、填空题： (共7题；共8分)11. （1分） (2016高二上·吉林期中) 已知等差数列{an}中，a1+a3+a8= ，那么cos（a3+a5）=________12. （2分）函数f（x）=sin2x+cos2x的最小正周期为________，单调增区间为________．13. （1分） (2018高二上·嘉兴月考) 若，则的值是________．14. （1分）(2017·静安模拟) 已知α为锐角，且，则sinα=________．15. （1分）已知{an}为等差数列，其公差为﹣2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N*则Sn的最大值为________16. （1分） (2016高一下·大连期中) 给出下列命题：①函数是奇函数；②存在实数x，使sinx+cosx=2；③若α，β是第一象限角且α＜β，则tanα＜tanβ；④ 是函数的一条对称轴；⑤函数的图象关于点成中心对称．其中正确命题的序号为________．17. （1分） (2019高二下·上海月考) 在正四棱锥中，，侧面与侧面所成的二面角的大小为，若（其中），则 ________三、解答题： (共5题；共45分)18. （5分）求证：∠θ为第三或第四象限角当且仅为cosθ•tanθ＜0．19. （10分） (2019·浙江模拟) 已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．20. （10分） (2016高一上·杭州期末) 已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（﹣π＜φ＜0，ω＞0）的图象关于直线对称，且两相邻对称中心之间的距离为．（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；（2）若关于x的方程f（x）+log2k=0在区间上总有实数解，求实数k的取值范围．21. （15分）(2017·河西模拟) 记U={1，2，…，100}，对数列{an}（n∈N*）和U的子集T，若T=∅，定义ST=0；若T={t1 ， t2 ，…，tk}，定义ST= + +…+ ．例如：T={1，3，66}时，ST=a1+a3+a66 ．现设{an}（n∈N*）是公比为3的等比数列，且当T={2，4}时，ST=30．（1）求数列{an}的通项公式；（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T⊆{1，2，…，k}，求证：ST＜ak+1；（3）设C⊆U，D⊆U，SC≥SD，求证：SC+SC∩D≥2SD．22. （5分）(2020·淮南模拟) 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）已知点P在边BC上，，，，求的面积．参考答案一、选择题： (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题： (共7题；共8分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、三、解答题： (共5题；共45分) 18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、。
安徽省宿州市十三所重点中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题
安徽省宿州市十三所重点中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．17cos 6π=（ ）A ．BC ．12-D ．122．已知点C 在线段AB 上，且25AC AB =，则AC 等于（ ） A ．23BCB ．32BCC ．23BC -D ．32BC -3．若sin 0α>，且tan 0α<，则角2a的终边位于（ ）A ．第一､二象限B ．第二､三象限C ．第二､四象限D ．第一､三象限4．己知ABC 中，1a =，b 30A ∠=︒，则C ∠等于（ ） A ．90︒B ．30或90︒C ．60︒D ．60︒或120︒5．将1845-︒改写成2(02,)k k ααπ+≤<π∈Z 的形式是（ ） A ．7104ππ-+B ．104ππ--C ．7124ππ-+D ．124ππ-+6．平面向量a 与b 的夹角为6π，()2,1a =，2b =，则a b +为（ ）A ．7+BC ．13 D7．若角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y =上，则角α的取值集合是 A ．{|2,}3k k Z πααπ=-∈ B ．2{|2,}3k k Z πααπ=+∈ C ．2{|,}3k k Z πααπ=-∈ D ．{|,}3k k Z πααπ=-∈8．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积12=（弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为23π，弧长等于83π米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积是（ ）平方米.A ．163π-B ．163π-C ．4+D ．2+9．若函数()f x 是定义在R 上的奇函数且满足()(4)f x f x -=-+，当(2,4)x ∈时，()f x x =，则(2021)f =（ ） A ．3-B ．3C ．2021D ．2021-10．下列说法中错误的个数是（ ）（1）已知(2,3)a →=-，13,24b →⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则a →与b →不能作为平面内所有向量的一组基底（2）若a →与b →共线，则a →在b →方向上的投影数量为||a →（3）若两非零向量a →，b →满足||||||a b a b →→→→==-，则a →与a b →→+的夹角是60︒（4）己知(1,2)a →=，(1,1)b →=且a →与a b λ→→+夹角为锐角，则5,3λ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭A ．1B ．2C ．3D ．411．过ABC 的重心O 任作一直线分别交线段AB ，AC 于点D ，E ，若AB xAD =，AC yAE =，0xy ≠，则11x y +的最小值为（ ）A ．23B ．43C ．13D ．212．已知函数()sin f x x =，函数()g x 的图象可以由函数()f x 的图象先向右平移6π个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1(0)ωω>得到.若方程1()2g x =在(0,)π上恰有6个根，则ω的取值范围是（ ） A ．195,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．195,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2913,62⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．2913,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题13．设向量(3,1)a =-，(1,25)b m m =+-，若a b ⊥，则m =___________. 14．若|sin |sin x x =，则满足条件的所有x 组成的集合是___________.15．己知函数()tan()f x A x ωϕ=+0,0,02A πωϕ⎛⎫>><< ⎪⎝⎭的相邻两个零点之间的距离是3π，且其图象过点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭与(0,1)，则3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭___________. 16．为创建全国文明城市，宿州市对新汴河风景区开展一系列提升亮化工程，使其呈现古与今､动与静､粗犷与细腻､人与自然和谐统一的特点.现已成为广大市民休闲､娱乐的好去处.我校建模小组要测量新汴河两岸之间的距离（河的两岸可视为平行），由于受地理条件和测量工具的限制，可采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A ，B 两点，观察对岸的点C ，测得45CAB ∠=︒，75CBA ∠=︒，且240m AB =，由此可得河宽约___________m .（精确到个位）2.45，sin 750.97︒≈）三、解答题17．已知角α的终边上一点2(5,)1P -. （1）求sin α的值；（2）求3sin tan()23cos(3)cos 2παπαππαα⎛⎫- ⎪+⎝⎭⋅-⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.18．设函数()26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，x ∈R . （1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）求函数()f x 在区间50,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值，并求出取最值时x 的值.19．已知(1,0)a =-，(2,1)b =--. （1）当k 为何值时，ka b -与2a b +平行.（2）若23AB a b =+，BC a mb =+且A ，B ，C 三点共线，求m 的值.20．己知ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，(sin sin )sin sin a A B b B c C -+=. （1）求角C 的大小；（2）若c ，且ABC的面积为ABC 的周长.21．已知函数()(0)6f x x b πωω⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，且函数图象的对称中心到对称轴的最小距离为4π，当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最大值为2. （1）求函数()f x 的解析式.（2）将函数()f x 的图象向右平移12π个单位长度得到函数()g x 的图象，若任意0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()2()2g x m g x -≤≤+恒成立，求实数m 的取值范围.22．如图，在平行四边形ABCD 中，AP BD ⊥，垂足为P .（1）若8AP AC ⋅=，求AP 的长； （2）设||3AB =，||4AC =，3BAC π∠=，AP xAB yAC =+，求x 和y 的值.参考答案1．A 【分析】利用三角函数诱导公式求解即可. 【详解】17coscos 3cos cos 6666ππππππ⎛⎫⎛⎫=-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A 2．C 【分析】利用平面向量加法法则可得出AC 关于BC 的表达式. 【详解】 ()22225555AC AB AC CB AC BC ==+=-，解得23AC BC =-.故选：C. 3．D 【分析】首先根据已知条件得到α为第二象限角，从而得到422k k παπππ+<<+，k Z ∈，再分类讨论求解即可. 【详解】因为sin 0α>，且tan 0α<，所以α为第二象限角. 即222k k ππαππ+<<+，k Z ∈.所以422k k παπππ+<<+，k Z ∈.当k 为奇数时，以2α为第三象限角. 当k 为偶数时，以2α为第一象限角. 故选：D 4．B 【分析】直接利用正弦定理的应用求出sin B =，从而求得角B ，利用三角形内角和求得结果． 【详解】解：在ABC 中，1a =，b 30A =︒，利用正弦定理得：sin sin a b A B =，解得sin B ， 故：60B =︒，或120所以180306090C =︒-︒-︒=︒或1803012030C =︒-︒-︒=︒， 故选：B ． 5．C 【分析】首先根据题意得到184********-=-+，再转化为弧度即可. 【详解】因为184********-=-+， 所以1845-转化弧度为7124ππ-+. 故选：C 6．D 【分析】依题意可得3a =，再根据平面向量数量积的运算律()2a b a b+=+计算可得.【详解】由题意可得3a =，则()22222322cos30413a b a b a a b b +=+=++⋅=++=⨯，所以13a b +=. 故选：D. 7．D 【详解】因为直线y =的倾斜角是23π，tan α=所以终边落在直线y =上的角的取值集合为:{|,}3k k Z πααπ=-∈或者2{|,}3k k ααπ=π+∈Z . 故选D. 8．D 【分析】由已知求得矢和弦长，再由公式计算． 【详解】设半径为r ，则8233r ππ=，4r =，所以弦长为2sin 243r π=⨯=， 矢为1cos 44232r r π-=-⨯=，所以弧田面积为21(22)22S =⨯⨯=．故选：D ． 9．A 【分析】由已知得周期性，再根据周期性和奇函数性质求值． 【详解】()f x 是奇函数，()(4)f x f x -=-+，所以()()(4)f x f x f x =--=+，()f x 是周期函数，周期是4，所以(2021)(45051)(1)(1)(14)(3)3f f f f f f =⨯+==--=--+=-=-． 故选：A ． 10．C 【分析】对（1），判断两个向量是否共线，不共线才能作为基底，进而判断正误； 对（2），讨论同向和反向两种情况；对（3），设||||||1a b a b →→→→==-=，再求出a b →→⋅，进而求出||a b →→+，最后根据夹角公式求出夹角； 对（4），两个向量夹角为锐角，则数量积大于0且不平行，进而判断正误. 【详解】对（1），因为4a b →→=，即两个向量平行，故正确；对（2），根据投影的定义，若a →与b →同向，则a →在b →方向上的投影数量为||a →，反向为||a →-，故错误；对（3），设||||||1a b a b →→→→==-=，则2221||22212a b a b a b a b a b →→→→→→→→→→-=+-⋅=-⋅=⇒⋅=，所以222||23||a b a b a b a b →→→→→→→→+=++⋅=⇒+=a →与a b →→+的夹角为α，则23cos ||||||||a a b a a b a a b a a b α→→→→→→→→→→→→⎛⎫⋅+ ⎪+⋅⎝⎭====++30α=︒，错误；对（4），由题意，()1,2a λb λλ→→+=++，因为a →与a b λ→→+夹角为锐角，所以0a a λb →→→⎛⎫⋅+> ⎪⎝⎭且a →与a b λ→→+不平行，所以()()122052213λλλλλ⎧+++>⎪⇒>-⎨+≠+⎪⎩且0λ≠，错误. 故选：C. 11．B 【分析】首先连接AO ，延长AO 交BC 于F ，根据平面向量的线性运算得到33x yAO AD AE =+，从而得到3x y +=，再利用基本不等式求解即可. 【详解】连接AO ，延长AO 交BC 于F ，如图所示：因为O 为ABC 的重心，所以F 为BC 的中点，23AO AF =. 因为1122AF AB AC =+，AB xAD =，AC yAE =， 所以21133333x yAO AF AB AC AD AE ==+=+. 因为,,D O E 三点共线，所以133x y+=，即3x y +=.所以()()111422233331111y x x y x x x y y y ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当且仅当y x x y =，即32x y ==时，取等号. 故选：B 12．A 【分析】由图象变换得出()g x 的表达式，求出1()2g x =的解，正数解从小到大排序后，π大于第六个解，不小于第7个解，由此可得结论． 【详解】由题意()sin()6g x x πω=-，由1sin()62x πω-=，得(1)66k x k ππωπ-=+-，1(1)66k x k πππω⎡⎤=++-⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，(1)66k k πππ++-中正数依次为3π，π，73π，3π，133π，5π，193π，…，1()2g x =在(0,)π上恰有6个根，则5193πππωω<≤，解得1953ω<≤．故选：A ． 13．8- 【分析】首先根据题意得到()()31250m m +--=，再解方程即可. 【详解】因为a b ⊥，所以()()31250m m +--=，解得8m =-. 故答案为：8-14．{|22,Z}x k x k k πππ≤≤+∈ 【分析】根据题意可知sin 0x ≥，进而根据三角函数的图像和性质即可解得. 【详解】由|sin |sin sin 0x x x =⇒≥，如图：结合图像可知：{|22,Z}x k x k k πππ≤≤+∈. 故答案为：{|22,Z}x k x k k πππ≤≤+∈. 15．1 【分析】由相邻两个零点之间的距离得周期，求得ω，代入两点坐标后求得,A ϕ，得出函数解析式，然后再求函数值． 【详解】相邻两个零点之间的距离是3π，则3T π=，3T πω==，图象过点,04π⎛⎫⎪⎝⎭与(0,1)，所以tan(3)04tan 1A A πϕϕ⎧⨯+=⎪⎨⎪=⎩，02πϕ<<，41A πϕ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 所以()tan(3)4f x x π=+，tan()tan 1344f ππππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭．故答案为：1． 16．190 【分析】先由正弦定理求得AC ，再由CAB ∠求得AB 边上的高即C 到AB 的距离． 【详解】由已知60BCA ∠=︒，由正弦定理sin sin AC ABCBA ACB=∠∠得240sin 75sin 60AC =︒︒，240sin 7575sin 60AC ︒==︒︒，所以AB 边上的高为sin 45h AC =︒757580 2.450.97190==︒≈⨯⨯≈．故答案为：190． 17．（1）1213-；（2）135.【分析】（1）由正弦函数定义计算；（2）由诱导公式，同角间三角函数关系化简，再由余弦函数定义求得cos α后可得结论．【详解】解：（1）因为点2(5,)1P -，所以13r = 所以由正弦的定义得12sin 13α=-. （2）原式cos tan sin cos αααα-=⋅-sin 1sin cos cos αααα==⋅， 由余弦的定义得5cos 13α=， 故原式135=. 18．（1）最小正周期T π=，单调递增区间是5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）当512x π=时，函数()f x 取最小值12x π=时，函数()f x 【分析】（1）利用余弦型函数的周期公式可求得函数()f x 的最小正周期，解不等式()2226k x k k ππ-π≤-≤π∈Z 可得出函数()f x 的单调递增区间； （2）由50,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可求得26x π-的取值范围，结合余弦型函数的基本性质可求得()f x 的最大值、最小值及其对应的x 值.【详解】（1）函数()f x 的最小正周期22T ππ== . 令()2226k x k k ππ-π≤-≤π∈Z ，得()51212k x k k πππ-≤≤π+∈Z ， 所以函数()f x 的单调递增区间是()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦； （2）令26t x π=-，则由5012x π≤≤可得263-≤≤t ππ，所以当23t π=，即512x π=时，min 12y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭当0t =时，即12x π=时，max 1y =即当512x π=时，函数()f x 取最小值12x π=时，函数()f x19．（1）12k =-；（2）32m =. 【分析】（1）先求出向量ka b -与2a b +的坐标，然后由ka b -与2a b +共线列方程可求出k 的值； （2）先求出,AB BC 的坐标，再由A ，B ，C 三点共线列方程可得结果【详解】（1）(1,0)(2,1)(2,1)ka b k k -=----=-，2(1,0)2(2,1)(5,2)a b +=-+--=--.因为ka b -与2a b +共线，所以2(2)(5)10k ----⨯=，解得12k =-. （2）因为A ，B ，C 三点共线，所以()AB BC R λλ=∈，即23()a b a mb λ+=+，又因为a 与b 不共线，a 与b 可作为平面内所有向量的一组基底，所以23m λλ=⎧⎨=⎩， 解得32m =.20．（1）3π；（2）7. 【分析】（1）首先根据正弦定理角化边公式得到22()a a b b c -+=，再利用余弦定理求解即可. （2）首先根据三角形面积得到12ab =，利用余弦定理得到7a b +=，即可得到三角形ABC 的周长.【详解】（1）因为(sin sin )sin sin a A B b B c C -+=由正弦定理可得22()a a b b c -+=，即222a b c ab +-=. 由余弦定理知2221cos 22a b c C ab +-== 又因(0,)C π∈，所以3C π=；（2）sin sin3C π==ABC 的面积1sin 2S ab C === 即12ab =，所以22222()2cos 22a b c a b ab c C ab ab+-+--== 2()24131242a b +--==， 所以2()49a b +=，即7a b +=.所以ABC 的周长为721．（1）1()262f x x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；（2）[0,1]. 【分析】（1）利用正弦函数的周期性求得ω，再根据函数的最值求得b 的值，可得函数()f x 的解析式．（2）根据sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，求得()g x 的解析式，再根据()2()2g x m g x -≤≤+在[0x ∈，]3π上恒成立，求得m 的范围． 【详解】（1）因为函数()f x =6x b πω⎛⎫-+ ⎪⎝⎭(0)>ω，且函数图象的对称中心到对称轴的最小距离为4π，所以44T π=，可得T π=， 由2ππω=，可得2ω=，所以()26f x x b π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 因为当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 由sin y x =在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，可得当263x ππ-=，即4x π=时，函数()f x 取得最大值43f b ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，23b π+=， 解得12b =，所以1()262f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. （2）将函数()f x 的图象向右平移12π个单位长度得到函数解析式为： 1()21262g x x ππ⎡⎤⎛⎫--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1232x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， 因为当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 1()2[1,2]32g x x π⎛⎫=-+∈- ⎪⎝⎭， 所以()2[3,0]g x -∈-，()2[1,4]g x +∈，因为()2()2g x m g x -≤≤+在0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立， ∴()()max min ()2()2g x m g x -≤≤+所以[0,1]m ∈.-22．（1）||2AP =；（2）17x =，37y =. 【分析】（1）化简得到228APAP AC AP AC AP AO ⋅=⋅==，得到答案. （2）2AP xAB yAO =+，根据,,B P O 三点共线，故21x y +=，0AP BO ⋅=，得到3y x =，解得答案.【详解】解：（1）||||cos AP AC AP AC PAC ⋅=⋅⋅∠2||||||2||8||AP AP AC AP AO =⋅==， 解得||2AP =.（2）因为2AP xAB yAC xAB yAO =+=+，设BP PO =λ ()11111AP AB BP AB BO AB AB AO AB AO =+=+=+-+=+++++λλλλλλλ 所以21x y +=①， 又因为||3AB =，||4AC =，3BAC π∠=，所以1||||cos 32AB AO AB AC BAC ⋅=⋅⋅∠=， 由AP BD ⊥可知(2)()0AP BO xAB yAO AO AB ⋅=+⋅-=， 展开化简得到3y x =，②联立①②解得17x =，37y =.。
安徽省宿州市十三校高一下学期期中考试数学试卷
宿州市十三所重点中学2016-2017学年度第二学期期中质量检测高一数学参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13、 2 ；14、 ()),6(2,1+∞⋃- ；15、22 ；16、 13 ；三、17、解：（1）21cos -=∠ADC ； ………………………………5分（2）62=AB ………………………………10分 18、（1）2321+-=n a n………………………………3分 1)21(-=n n b ………………………………6分（2） 221454112+-+-=-n n n n S ………………………………12分19、（1）由Ab B a cos 3sin =A B B A cos sin 3sin sin =所以 3π=A 得……………………6分 （2）由余弦定理得32,3==b c ……………………10分 所以ABC ∆的面积为233……………………12分 20、（1）由.0111=+-+++n n n n n n b b b a b a得111=-++nnn n b a b a ,所以数列{}n c 是等差数列,所以n c n =……………………6分（2）由1122--⋅==n n n n n a b 得,由错位相减法得1)1(2+-=n S n n ………………12分21、（1）{⎭⎬⎫≤≤221x x………………………………4分（2）由题意得)1)((1)1()(2mx m x x m m x x f --=++-=m x m x m x m x 10)1)((21===--或的根为方程 (6)分当,1,10mm m <<<时不等式解集为{⎭⎬⎫≥≤m x m x x 1或 ……………………8分 当,1,1m m m ==时不等式解集为R ……………………10分 当,1,1mm m >>时不等式解集为{⎭⎬⎫≥≤m x m x x 或1……………………12分 22、（1）由题意当111-==t a n 得………………………………………2分n a t tS n n --=1 ①)1(111+--=∴++n a t tS n n ② ②-①得11-+=+t ta a n n 即()111+=++n n a t a ，{}1+n a 所以是以t 为首项,以t 为公比的等比数列 …………………………4分1-=n n t a 所以…………………6分。
2021-2022学年安徽省宿州市十三所重点中学高一下学期期中考试数学试题(解析版)
安徽省宿州市十三所重点中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．将210︒化成弧度为( ) A ．56π-B ．56π C ．43π D ．76π 〖解 析〗1180π︒=，72102101806ππ∴︒=⨯=． 〖答 案〗D2．在ABC ∆中，设AB a =，AC b =，D 为边BC 上靠近C 的一个三等分点，则(AD =)A ．1()2a b +B ．1233a b +C ．4133a b -D ．4133b a -〖解 析〗AB a =，AC b =，D 为边BC 上靠近C 的一个三等分点，∴22()33AD AB BD AB BC AB AC AB =+=+=+- 12123333AB AC a b =+=+． 〖答 案〗B3．下列各式的符号为正的是( ) A ．cos3B ．5sin cos()36ππ-C ．sin2cos2-D ．7tan8π 〖解 析〗32ππ<<，cos30∴<；53sincos()0364ππ-==-<； 22ππ<<，sin20∴>，cos20<，sin2cos20->； 728πππ<<，7tan 08π∴<． 〖答 案〗C4．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且222b a c ac =++，则(B =) A ．6πB ．34π C ．56π D ．23π 〖解 析〗由222b ac ac =++，可得2221cos 22a cb B ac +-==-，0B π<<，23B π∴=． 〖答 案〗D5．菱形ABCD 的边长为2，且60DAB ∠=︒，(AB BC ⋅= )AB ．2-C ．2D ．〖解 析〗1||||cos ,22cos60422AB BC AB AC AB AC ⋅=<>=⨯⨯︒=⨯=． 〖答 案〗C6．砀山被誉为“酥梨之乡”，每逢四月，万树梨花开，游客八方来．如图1，梨花广场的标志性建筑就是根据梨花的形状进行设计的，建筑的五个“花瓣”中的每一个都可以近似看作由两个对称的弓形组成，图2为其中的一个“花瓣”平面图，设弓形的圆弧所在圆的半径为R ，则一个“花瓣”的面积为( )A ．212R π- B ．222R π- C ．214R π-D ．2(1)R π-〖解 析〗因为弓形的圆弧所在圆的半径为R ， 所以弓形的圆弧所对的圆心角的大小为2π， 所以弓形的面积221142S R R π=⨯-，所以一个“花瓣”的面积为222R π-．〖答 案〗B 7．函数sin ()1cos xf x x=+的部分图象大致为( )A ．B ．C ．D ．〖解 析〗22sin cossin 22()tan 1cos 222x x x x f x x x cos ⋅===+． 〖答 案〗A8．公元263，魏晋时期的数学家刘徽借助圆内接正多边形计算圆的面积，其“割圆术”思想为：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体．某数学兴趣小组，分别计算单位圆内接正n 边形和外切正n 边形（各边都和圆相切）的面积，将它们的平均数作为圆的面积，则用此法求得圆面积为( ) A ．180180180(sincos tan )n n n n︒︒︒+B ．1180180180(sin cos tan )2n n n n︒︒︒+C ．360360360(sincos tan )n n n n︒︒︒+D ．1360360360(sin cos tan )2n n n n︒︒︒+〖解 析〗单位圆内接正n 边形被圆心与顶点的连线分成n 个相同的三角形， 其边长为1802cosn ︒，其高为180sin n ︒，故其面积为11801802cos sin2n n n︒︒⨯⨯⨯， 单位圆外切正n 边形圆心与顶点的连线分成n 个相同的三角形，其边长为1802tan n︒，高为圆的半径， 故其面积为180tann n︒， 故圆面积为：1180180180(sin cos tan )2n n n n︒︒︒+．〖答 案〗B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是( )A ．终边相同的角的同一三角函数值一定相同B ．(0,)2πα∈，则1tan tan αα+的最小值为C ．已知||2a =，||1b =，a <，135b >=︒，则a 在b上的投影数量为D ．非零向量a ，b ，c ，若a b b c ⋅=⋅，则a c =〖解 析〗对于A ，由三角函数的定义可知，终边相同的同一三角函数值一定相同，故选项A 正确；对于B ，当(0,)2πα∈时，tan 0α>，则1tan 2tan 2tan ααα+⋅=，当且仅当4πα=时等号成立，故选项B 错误；对于C，依题意，a 在b上的投影为21(21||a b b ⨯⨯⋅==C 正确；对于D ，若a b b c ⋅=⋅，则()0b a c ⋅-=，a 与c 不一定相等，故选项D 错误． 〖答 案〗AC10．要得到如图所示图象，可由()sin f x x =图象经过怎样的变换得到( )A ．每个点横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再将横坐标向右平移1112π平移个单位，纵坐标不变B ．每个点横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再将横坐标向右平移12π平移个单位，纵坐标不变C ．横坐标向右平移6π个单位，纵坐标不变，再将每个点横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变D ．横坐标向左平移236π个单位，纵坐标不变，再将每个点横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变〖解 析〗根据函数的图象，函数的周期353()43124T πππ=--=，故22πωπ==，当3x π=时，2()sin()133g ππϕ=-=，故6πϕ=， 故()sin(2)6g x x π=-；为得到函数()sin(2)6g x x π=-的图象，只需将函数()f x 的图象每个点横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再将横坐标向右平移12π平移个单位，纵坐标不变，即可得到； 或将函数的图象的横坐标向右平移6π个单位，纵坐标不变，再将每个点横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，即可得到； 或横坐标向左平移236π个单位，得到23sin()sin()66y x x ππ=-=-的图象，纵坐标不变，再将每个点横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，即可得到． 〖答 案〗BCD11．已知函数()sin (0)f x x ωω=>在(,)66ππ-上单调，则ω的可能值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5〖解 析〗因为(,),066x ππω∈->，故可得(,)66x ππωωω∈-，又sin y x =的单调增区间为[2,2],22k k k Z ππππ-+∈，故2,26262k k ππππωπωπ--+，解得123k ω-+且123k ω+，k Z ∈. 又0ω>，故0k =，3ω． 〖答 案〗AB12．定义在R 上的函数()y f x =满足在(0，1]上单调递增，(3)(3)f x f x +=-，且图象关于点(4,0)对称，则下列选项正确的是( ) A ．(0)0f =B ．(2020)(2021)(2022)f f f <<C ．()y f x =在[1，3]上单调D ．函数()f x 在[0，2022]上可能有2023个零点 〖解 析〗(3)(3)f x f x +=-，()f x ∴关于3x =对称，(6)()f x f x ∴+=-，又()f x 关于(4,0)对称，(8)()0f x f x ∴++-=，两式结合得(8)(6)f x f x +=-+，(2)()f x f x ∴+=-， (4)[(2)2](2)()f x f x f x f x ∴+=++=-+=， (4)()f x f x ∴+=，()f x ∴周期4T =，又()f x 关于(4,0)对称，()f x ∴也关于(0,0)对称， ()f x ∴为奇函数，又()f x 定义域为R ，(0)0f ∴=，由(2)()f x f x +=-得f （2）(0)0f =-=， 又(4)()()f x f x f x +==--，(4)()0f x f x ∴++-=，()f x ∴ 也关于(2,0)对称，由()f x 关于3x =对称，结合周期为4，()f x ∴也关于1x =-对称，结合奇函数， ()f x ∴也关于1x =对称，又()f x 满足在(0，1]上单调递增，且定义域为R ，∴综合以上作出类似的三角函数如图，（说明：小题不必证明，直接套用三角函数的图像性质：对称轴为3x =，相邻对称点为(4,0)，则4314T=-=，4T =；大题可用对称的抽象式证明），由图可知AC 正确，对B 选项，由周期性知(2020)(0)f f =，(2021)f f =（1），(2022)f f =（2）， 由图知(0)f f =（2）0f =<（1），B ∴选项错误，对D 选项，由图可知()f x 在一个周期[0，4)上有2个零点，又202345053=⨯+， ()f x ∴在[0，2022]上有：505231013⨯+=个零点，D ∴选项错误，〖答 案〗AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．向量(2,3)a =，(,5)b x =，且//a b ，则x = ． 〖解 析〗(2,3)a =，(,5)b x =，且//a b ，253x ∴⨯=，解得103x =． 〖答 案〗10314．函数22tan 3tan 1y x x =-+-，[,]44x ππ∈-的值域为 ．〖解 析〗因为[,]44x ππ∈-，所以tan [1x ∈-，1]，22312tan 3tan 12(tan )48y x x x =-+-=--+，则当3tan 4x =时，1()8max f x =， 当tan 1x =-时，()6min f x =-， 所以函数()f x 的值域为1[6,]8-．〖答 案〗1[6,]8-15．已知3cos()64πα+=-，则5cos()sin()63ππαα-+-= ．〖解 析〗533cos()sin()cos()sin()cos()cos()2636626642πππππππαααπααα-+-=+-++-=-+-+=⨯=． 〖答 案〗3216．某同学为测量数学楼的高度，先在地面选择一点C ，测量出对教学楼AB 的仰角ACB α∠=，再分别执行如下四种测量方案，则利用测量数据可表示出教学楼高度的方案编号为 ．方案（1）：从点C 向教学楼前进a 米到达点D ，测量出角ADB β∠=；方案（2）：在地面上另选点D ，测量出角ACD β∠=，ADC γ∠=，CD a =米； 方案（3）：在地面上另选点D ，测量出角BDC β∠=，CD a =米；方案（4）：从过点C 的直线上（不过点..)另选点D ，E ，测量出2CD DE a ==米，ADB β∠=，AEB γ∠=．〖解 析〗对于方案（1），ACB α∠=，CAD ADB ACB βα∠=∠-∠=-， 由正弦定理可得sin sin()AD a αβα=-，所以sin sin()a AD αβα=-米， 在ACD ∆中，sin sin sin sin()a AB AD αβββα==-米，方案（1）满足条件，对于方案（2），在Rt ACD ∆中，由正弦定理sin()sin a AC πβγγ=--，所以sin sin()a AC γβγ=+米，在Rt ABD ∆中，sin sin sin sin()a AB AC αγαβγ==+米，方案（2）满足条件，对于方案（3），在BCD ∆中，BDC β∠=，CD a =米；无法专业课出BC 的长，从而无法求出AB 的长，方案（3）不满足条件， 对于方案（4），设AB x =米，则tan xBC α=米，tan x BD β=米，tan x BE γ=米，因为cos cos()cos BDC BDE BDE π∠=-∠=-∠，则2222224cos cos 02a BD BE a BD BCBDC BDE aBD a BD+-+-∠+∠=+=⋅， 可得出关于x 的方程，即可解得x 的值，方案（4）满足条件． 〖答 案〗（1）（2）（4）四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知角α终边上一点(4,)m -，0m >，且4cos 5α=-．（1）求m 的值；（2）求tan()sin()sin()2cos()ππαπααπα-⋅-⋅-+的值．解：（1）4cos 5α=-，且α终边过点(4,)m -，∴4cos 5α=-=解得3m =或3m =-（舍)．3m ∴=；（2）2tan()sin()sin()tan sin cos sin 2()cos()cos cos f ππαπαααααααπααα-⋅-⋅--⋅⋅===+-，又2229sin 1625m m α==+，∴9925()4205f α==--． 18．（12分）已知||2a =，||3b =，向量a 与b 的夹角为150︒． （1）计算|2|a b +；（2）若(3)()a b a b λλ+⊥+，求实数λ的值．解：（1）||2a =，||3b =，向量a 与b 的夹角为150︒，∴||||cos1502(3a b a b ⋅=⨯⨯︒==-， ∴222(2)4444(3)434a b a a b b +=+⋅+=+⨯-+⨯=；∴2|2|(2)2a b a b +=+=．（2）(3)()a b a b λλ+⊥+，∴(3)()0a b a b λλ+⋅+=，即222430a a b b λλ+⋅+=，即241290λλ-+=，解得23λ=． 19．（12分）已知函数()2sin(2)3f x x π=-．（1）用“五点（画图）法”作出()f x 在[0x ∈，]π的简图；（2）求函数()f x 的单调递减区间． 解：（1）列表如下：对应的图象如图：（2）令3222,232k x k k Z πππππ+-+∈，得511,1212k x k k Z ππππ++∈． 所以函数的单调递减区间为511[,],1212k k k Z ππππ++∈．20．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin cos C c A =，3a =． （1）求A 大小；（2）若BC 边上的中线长为2，求ABC ∆的面积．解：（1sin cos C c A =，sin sin cos A C C A =， 因为sin 0C ≠，0A π<<，所以tan A 所以6A π=，（2）设BC 边上的中线为AD ，在ABC ∆中， 由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，即229b c =+①．在ADC ∆和ADB ∆中，cos cos 0ADC ADB ∠+∠=，即222222022AD CD b AD BD c AD CD AD BD+-+-+=⨯⨯，化简2215b c +=，代入①式得bc =所以ABC ∆的面积为111sin 222bc A =⋅=．21．（12分）已知ABC ∆中，60A =︒，1AB =，4AC =，(01)AE AC λλ=<<． （1）求||BE 的取值范围；（2）若线段BE 上一点D 满足()||||AB AC AD AB AC μ=+，求1λμ+的最小值．解：（1）ABC ∆中，60A =︒，1AB =，4AC =，(01)AE AC λλ=<<，222222()()2BE AE AB AC AB AC AB AC AB λλλ∴=-=-=+-⋅2213164116()84λλλ=-+=-+，(01)λ<<，∴当18λ=时，则2BE 取得最小值为34， 当1λ=时，则2BE 取得最大值为13，所以||BE 取值范围为． （2）()||||AB ACAD AB AC μ=+， ∴44AD AB AC AB AE μμμμλ=+=+， B 、E 、D 三点共线，∴14μμλ+=，故1114μλ=+， ∴11124λλμλ+=++，当且仅当12λ=时等号成立， ∴1λμ+最小值为2．22．（12分）已知函数()2sin()(0f x x ωϕω=+>，||)ϕπ<，其图象一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差4π，_______． 从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中．①函数()f x 向左平移6π个单位得到的图象关于y 轴对称且(0)0f <； ②函数()f x 的一条对称轴为3x π=-且()(1)6f f π<．（1）求函数()f x 的〖解 析〗式；（2）若17[,]212x ππ∈，方程2()(4)()30f x a f x a +-+-=存在4个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．解：（1）由题意可知，函数()f x 的最小正周期为44T ππ=⨯=，∴22Tπω==， 选①，将函数()f x 向左平移6π个单位得到的图象关于y 轴对称， 所得函数为2sin[2()]2sin(2)63y x x ππϕϕ=++=++，由于函数2sin(2)3y x πϕ=++的图象关于y 轴对称，可得()32k k Z ππϕπ+=+∈，解得()6k k Z πϕπ=+∈，||ϕπ<，所以，ϕ的可能取值为56π-、6π， 若56πϕ=-，则5()2sin(2)6f x x π=-，5(0)2sin()16f π=-=-，符合题意， 若6πϕ=，则()2sin(2)6f x x π=+，(0)2sin 16f π==，不符合题意， 所以，5()2sin(2)6f x x π=-； 选②，因为函数()f x 的一条对称轴3x π=-，则2()()32k k Z ππϕπ⨯-+=+∈， 解得7()6k k Z πϕπ=+∈，||ϕπ<，所以，ϕ的可能取值为56π-、6π， 若56πϕ=-，则5()2sin(2)6f x x π=-，则()2sin()2(1)62f f ππ=-=-<，符合题意， 若6πϕ=，则()2sin(2)6f x x π=+，则()2sin 2(1)62f f ππ==>，不符合题意， 所以，5()2sin(2)6f x x π=-； （2）令()t f x =，由17[,]212x ππ∈得，52266x πππ-，所以5()2sin(2)[2,2]6t f x x π==-∈-， 其中x 满足52662x πππ-，352226x πππ-时，()f x 为增函数，满足532262x πππ-时，()f x 为减函数，要使方程2()(4)()30f x a f x a +-+-=存在4个不相等的实数根， 则方程2(4)30t a t a +-+-=在[1，2)存在两个相异的实根，或在(2-，0]存在两个不同的实根或在[1，2)与(2-，0]各有一个实根三种情况讨论，令2()(4)3g t t a t a =+-+-，则(1)0(2)004122g g a ⎧⎪>⎪⎪⎨>⎪-⎪<-<⎪⎩，无解；(2)0(0)004202g g a ->⎧⎪⎪⎪⎨>⎪-⎪-<-<⎪⎩，解得13a <且2a ≠；(1)0(2)0(2)0(0)0g g g g ⎧⎪>⎪⎨->⎪⎪⎩，解得45a <， 故所求的a 的取值范围是(1，2)(2⋃，3][4，5)； 另解：令()t f x =，由17[,]212x ππ∈得，52266x πππ-，所以5()2sin(2)[2,2]6t f x x π==-∈-．其中x 满足52662x πππ-，352226x πππ-时，()f x 为增函数，满足532262x πππ-时，()f x 为减函数， 解方程2(4)30t a t a +-+-=得：11t =-，23t a =-，要使方程2()(4)()30f x a f x a +-+-=存在4个不相等的实数根， 当11t =-，即52sin(2)16x π-=-在17[,]212ππ上存在两解， 故23t a =-取值范围应在[1，2)或在(2,1)--或(1-，0]， 即132a -<或231a -<-<-或130a -<-， 解得：45a <或12a <<或23a <，故所求的a 的取值范围是(1，2)(2⋃，3][4，5)．。
2020年安徽省宿州市十三所重点中学高一下学期期中数学试题(附带详细解析)
【解析】
由题设有 ，也即是 ，因为 ，从而 ，故 也就是 ，故 是直角三角形，选B.
9．D
【解析】
【分析】
各项均为正数的等比数列 的公比设为 ，则 ，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比 ，再由等比数列的通项公式，计算可得所求值.
【详解】
各项均为正数的等比数列 的公比设为 ，则 ，
得分
三、解答题
17．在等比数列 中， ， ，
（1）求首项 及公比 ；
（2）求该数列的前 项和 .
18． 的内角 所对的边分别为 ，向量 与 共线.
（1）求角 ；
（2）若 ， ，求 的面积.
19．若 是各项均为正数的数列 的前 项和，且 ．
（1）求 ， 的值；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
20．宿州泗县石龙湖国家湿地公园是保存完好的典型湿地生态系统，具有得天独厚的旅游资源.某日一游船在湖上游玩航行中突然遇险，发出呼救信号，驻湖救援队在 处获悉后，立即测出该游船在北偏东 方向上，距离 有 千米的 处，并测得游船正沿东偏南 的方向，以 千米/时的速度向湖心小岛 靠拢，救援舰艇立即以 千米/时的速度前去营救，若想用最短的时间营救游船，求舰艇的航行方向和所需时间.
4．B
【解析】
【分析】
利用等差数列的性质即可得出.
【详解】
在等差数列 中， ，又 ，
所以 ，即 ，
所以 .
故选：B.
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.
5．B
【解】
【分析】
根据点与直线的位置关系，转化为不等式进行求解即可.
【详解】
由题意，点 ，点 在直线 的两侧，