二次函数与幂函数教学设计
幂函数与二次函数 高考考点： 1．求二次函数的解析式． 2．求二次函数的值域与最值． 3．利用幂函数的图象和性质分析解决有关问题． 【复习指导】 本讲复习时，应从“数”与“形”两个角度来把握二次函数和幂函数的图象和性质，重点解决二次函数在闭区间上的最值问题，掌握求函数最值的常用方法：配方法、判别式法、不等式法、换元法、导数法等，注重分类讨论思想与数形结合思想的综合应用．
基础梳理 1．幂函数的定义 一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．
2．幂函数的图象 在同一平面直角坐标系下，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12，y＝x－1的图象分别如右图． 3．幂函数的性质
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x12 y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x∈R且 x≠0} 值 域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R且y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增 x∈[0，＋∞)时，增 x∈(－∞，0]时，减 增 增 x∈(0，＋∞)时，减 x∈(－∞，0)时，减 定点 (0,0)，(1,1) (1,1)
4.二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 4ac－b24a，＋∞
－∞，4ac－b
2
4a
单调性 在x∈－b2a，＋∞上单调递增 在x∈－∞，－b2a上单调递增 在x∈－∞，－b2a上单调递减 在x∈－b2a，＋∞上单调递减
奇偶性 当b＝0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数 顶点
－b2a，4ac－b
2
4a
对称性 图象关于直线x＝－b2a成轴对称图形
5.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0) (2)顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0) (3)两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)
五个代表 函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12，y＝x－1可做为研究和学习幂函数图象和性质的代表． 两种方法 函数y＝f(x)对称轴的判断方法 (1)对于二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(x1)＝f(x2)，那么函数y＝f(x)的
图象关于x＝x1＋x22对称． (2)对于二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立的充要条件是函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称(a为常数)． 双基自测 1．(2011·安徽)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝( )． A．－3 B．－1 C．1 D．3 解析 ∵f(x)为奇函数，∴f(1)＝－f(－1)＝－3. 答案 A 2.(人教A版教材例题改编)如图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象．已知n
取±2，±12四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为( )．
A．－2，－12，12，2 B．2，12，－12，－2 C．－12，－2,2，12 D．2，12，－2，－12 答案 B 3．(2011·浙江)设函数f(x)＝ －x，x≤0，x2，x＞0.若f(α)＝4，则实数α等于( )． A．－4或－2 B．－4或2 C．－2或4 D．－2或2
解析 由 α≤0，－α＝4或 α＞0，α2＝4，得α＝－4或α＝2，故选B. 答案 B 4．已知函数f(x)＝x2－2x＋2的定义域和值域均为[1，b]，则b等于( )． A．3 B．2或3 C．2 D．1或2 解析 函数f(x)＝x2－2x＋2在[1，b]上递增，
由已知条件 f1＝1，fb＝b，b>1，即 b2－3b＋2＝0，b>1.解得b＝2. 答案 C 5．(2012·武汉模拟)若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a、b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________. 解析 f(x)＝bx2＋(ab＋2a)x＋2a2 由已知条件ab＋2a＝0，又f(x)的值域为(－∞，4]，
则 a≠0，b＝－2，2a2＝4.因此f(x)＝－2x2＋4. 答案 －2x2＋4 考向一 二次函数的图象 【例1】►(2010·安徽)设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )． [审题视点] 分类讨论a＞0，a＜0. 解析 若a＞0，则bc＞0，根据选项C、D，c＜0，此时只有b＜0，二次函数的
对称轴方程x＝－b2a＞0，选项D有可能；若a＜0，根据选项A，c＜0，此时只
能b＞0，二次函数的对称轴方程x＝－b2a＞0，与选项A不符合；根据选项B，c＞0，此时只能b＜0，此时二次函数的对称轴方程x＝－b2a＜0，与选项B不符合．综合知只能是选项D. 答案 D 分析二次函数的图象，主要有两个要点：一个是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向；二是看对称轴和最值，它确定二次函数的具体位置．对于函数图象判断类似题要会根据图象上的一些特殊点进行判断，如函数图象与正半轴的交点、函数图象的最高点与最低点等． 【训练1】 已知二次函数f(x)的图象如图所示，则其导函数f′(x)的图象的大致形状是( )．
解析 由函数f(x)的图象知：当x∈(－∞，1]时，f(x)为减函数，∴f′(x)≤0；当x∈[1，＋∞)时，f(x)为增函数，∴f′(x)≥0.结合选项知选C. 答案 C 考向二 二次函数的性质 【例2】►函数f(x)＝x2－2x＋2在闭区间[t，t＋1](t∈R)上的最小值记为g(t)． (1)试写出g(t)的函数表达式； (2)作g(t)的图象并写出g(t)的最小值． [审题视点] 分类讨论t的范围分别确定g(t)解析式． 解 (1)f(x)＝(x－1)2＋1. 当t＋1≤1，即t≤0时，g(t)＝t2＋1. 当t<1当t≥1时，g(t)＝f(t)＝(t－1)2＋1
综上可知g(t)＝ t2＋1≤0，t≤0，1，0(2)g(t)的图象如图所示，可知g(t)在(－∞，0]上递减，在[1，＋∞)上递增，因此g(t)在[0,1]上取到最小值1.
(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，在(－∞，＋∞)上的最值可由二次函数图象的顶点坐标公式求出；(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，在[m，n]上的最值需要根据二次函数y＝ax2＋bx＋c图象对称轴的位置，通过讨论进行求解． 【训练2】 已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]． (1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值． (2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数． 解 (1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5,5]， ∴x＝1时，f(x)取得最小值1； x＝－5时，f(x)取得最大值37. (2)函数f(x)＝(x＋a)2＋2－a2的图象的对称轴为直线x＝－a， ∵y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数， ∴－a≤－5或－a≥5， 故a的取值范围是a≤－5或a≥5. 考向三 幂函数的图象和性质 【例3】►已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，
＋∞)上是减函数，求满足(a＋1)－m3＜(3－2a)－m3的a的取值范围． [审题视点] 由幂函数的性质可得到幂指数m2－2m－3＜0，再结合m是整数，及幂函数是偶数可得m的值． 解 ∵函数在(0，＋∞)上递减， ∴m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3. ∵m∈N*，∴m＝1,2. 又函数的图象关于y轴对称， ∴m2－2m－3是偶数， 而22－2×2－3＝－3为奇数， 12－2×1－3＝－4为偶数， ∴m＝1.
而f(x)＝x－13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，
∴(a＋1)－13＜(3－2a)－13等价于a＋1＞3－2a＞0 或0＞a＋1＞3－2a或a＋1＜0＜3－2a. 解得a＜－1或23＜a＜32.
故a的取值范围为a|a＜－1或23＜a＜32. 本题集幂函数的概念、图象及单调性、奇偶性于一体，综合性较强，解此题的关键是弄清幂函数的概念及性质．解答此类问题可分为两大步：第一步，利用单调性和奇偶性(图象对称性)求出m的值或范围；第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图象求出参数a的取值范围． 【训练3】 幂函数y＝xa，当a取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一族美丽的曲线(如图)．设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xα，y＝xβ的图象三等分，即有|BM|＝|MN|＝|NA|.那么，αβ＝( )． A．1 B．2 C．3 D．无法确定
解析 法一 由条件得M13，23，N23，13，由一般性，可得13＝23α，23＝13β，
即α＝log2313，β＝log1323.所以αβ＝log2313·log1323＝lg13lg23·lg23lg13＝1. 法二 由解法一，得13＝23α，23＝13β， 则13αβ＝13βα＝23a＝13，即αβ＝1. 答案 A 规范解答4——如何求解二次函数在某个闭区间上的最值 【问题研究】 二次函数在闭区间上的最值问题，一定要根据对称轴与区间的相对位置关系确定最值，当函数解析式中含有参数时，要根据参数的取值情况进行分类讨论，避免漏解． 【解决方案】 对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)而言，首先确定对称轴，然后与所给区间的位置关系分三类进行讨论． 【示例】►(本题满分12分)(2011·济南模拟)已知f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在区间[0,1]内有最大值－5，求a的值及函数表达式f(x)． 求二次函数f(x)的对称轴，分对称轴在区间的左侧、中间、右侧讨论．
[解答示范] ∵f(x)＝－4x－a22－4a， ∴抛物线顶点坐标为a2，－4a.(1分) ①当a2≥1，即a≥2时，f(x)取最大值－4－a2. 令－4－a2＝－5，得a2＝1，a＝±1＜2(舍去)；(4分) ②当0＜a2＜1，即0＜a＜2时，x＝a2时，
(完整版)二次函数教学设计
(完整版)二次函数教学设计引言本教学设计旨在帮助学生理解和掌握二次函数的基本概念、性质和应用。
通过合理的教学安排和活动设计，希望能够提高学生的研究兴趣和参与度，使他们在研究二次函数的过程中获得良好的研究成果。
教学目标- 掌握二次函数的基本定义和表示形式- 理解二次函数的图像特征和性质- 学会求解二次函数的零点和顶点- 掌握二次函数的应用，如最值问题和解析几何问题教学内容和安排第一课时：二次函数的基本定义和表示形式（40分钟）- 引导学生回顾线性函数的概念和特征- 介绍二次函数的定义和一般形式：$y=ax^2+bx+c$- 解释二次函数的系数对图像的影响，包括平移、压缩和翻转等- 通过示例和练让学生熟练掌握二次函数的表示形式和图像第二课时：二次函数的图像特征和性质（40分钟）- 分析二次函数图像的对称轴、顶点和开口方向- 解释顶点与最值的关系以及对称轴的作用- 引导学生观察和推断二次函数图像的性质- 通过练巩固学生对二次函数图像的理解第三课时：二次函数的零点和顶点（40分钟）- 教授求解二次函数零点的方法和步骤- 解释零点的概念和意义，以及与方程解的关系- 引导学生利用顶点公式求解二次函数的顶点- 通过练让学生掌握求解二次函数零点和顶点的技巧第四课时：二次函数的应用（40分钟）- 介绍二次函数在最值问题中的应用场景，如求解最大或最小值- 解释应用问题的转化为二次函数模型的方法- 引导学生通过实际问题求解二次函数的最值问题- 关注解析几何问题，如求解抛物线和直线的交点等教学评估- 针对每个课时的教学目标设计对应的练和作业- 借助课堂讨论和互动，了解学生的研究进展和掌握程度- 对学生进行小测验和考试，评估他们对二次函数知识的掌握情况教学资源- 二次函数教材- 课堂展示工具，如投影仪和白板- 练册和作业本- 计算器和图形绘制工具结语本教学设计通过合理的教学安排和活动设计，能够帮助学生全面了解二次函数的基本概念、性质和应用。
二次函数教案【精选3篇】
二次函数教案【精选3篇】总结就是把一个时段的学习、工作或其完成情况进行一次全面系统的总结，它能使我们及时找出错误并改正，快快来写一份总结吧。
那么如何把总结写出新花样呢？这里给大家分享一些关于数学二次函数解题技巧，方便大家学习。
为朋友们精心整理了3篇《二次函数教案》，亲的肯定与分享是对我们最大的鼓励。
二次函数教案篇一一、教材分析：《34.4二次函数的应用》选自义务教育课程标准试验教科书《数学》(冀教版)九年级上册第三十四章第四节，这节课是在学生学习了二次函数的概念、图象及性质的基础上，让学生继续探索二次函数与一元二次方程的关系，教材通过小球飞行这样的实际情境，创设三个问题，这三个问题对应了一元二次方程有两个不等实根、有两个相等实根、没有实根的三种情况。
这样，学生结合问题实际意义就能对二次函数与一元二次方程的关系有很好的体会；从而得出用二次函数的图象求一元二次方程的方法。
这也突出了课标的要求：注重知识与实际问题的联系。
本节教学时间安排1课时二、教学目标：知识技能：1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。
2.理解抛物线交x轴的点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根。
3.能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。
数学思考：1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神。
2.经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验。
3.通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想。
解决问题：1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。
2.通过利用二次函数的图象估计一元二次方程的根，进一步掌握二次函数图象与x轴的交点坐标和一元二次方程的根的关系，提高估算能力。
高三学案：二次函数与幂函数
平陆中学高三理科数学学案编写人：孙月明课题：第4讲二次函数与幂函数学习目标：1.通过辨识幂函数的图像和比较幂值的大小，掌握幂函数的图像与性质，体会数形结合的数学思想；2.通过求解二次函数的最值问题和恒成立问题，掌握二次函数的图像与性质，体会数形结合、分类讨论和转化与化归的数学思想。
教学重点：1.幂函数的图像和性质；2.二次函数的单调性、最值、恒成立问题。
教学难点：二次函数的最值和恒成立问题。
一、知识梳理1．幂函数(1)定义：形如的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x 12，y＝x－1.(2)性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义．②当α>0时，幂函数的图象都过点和，且在(0，＋∞)上单调，并且当α>1时，函数值增长的越来越快；当0<α<1时，函数值增长的越来越慢。
③当α<0时，幂函数的图象都过点，且在(0，＋∞)上单调．2．二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象定义域值域单调性对称性3.若一元二次函数f(x)=ax 2＋bx ＋c(a ≠0)与x 轴有两个不同的交点12(,0),(,0)x x ,则12x x += ；12x x ⋅= 。
二、自我检测1. 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝2x 13是幂函数．( )(2)当n >0时，幂函数y ＝x n 在(0，＋∞)上是增函数．( )(3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )不可能是偶函数．( )(4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈[a ，b ])的最值一定是4ac －b 24a .( ) 2.已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，120B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－120C.⎝ ⎛⎭⎪⎫120，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－120，0 3. 已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围为( )A ．[0，1]B ．[1，2]C ．(1，2]D ．(1，2)4.已知幂函数f (x )的图象经过点(9，3)，则f (2)－f (1)＝________.5.(教材习题改编)函数g (x )＝x 2－2x (x ∈[0，3])的值域是________．三、典例分析例1.（幂函数的图象及性质） (1)已知幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)·x m ＋1为偶函数，则m ＝( )A ．1B ．2C ．1或2D ．3(2)(2016·高考全国卷Ⅲ)已知a ＝432，b ＝254，c ＝1325，则( )A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b 例2.（二次函数的单调性）函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，0)B ．(－∞，－3]C ．[－2，0]D ．[－3，0]例3.（二次函数的最值问题，分类讨论思想）已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1，2]上有最大值4，求实数a 的值．例4.（一元二次不等式恒成立问题，转化与化归思想)(2018·河北武邑第三次调研)已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)＝x3，若不等式f(－4t)>f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是( )A．(－∞，－2) B．(－2，0)C．(－∞，0)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 四、巩固练习1．(2018·西安模拟)函数y＝3x2的图象大致是( )2．(2017·高考北京卷)已知x≥0，y≥0，且x＋y＝1，则x2＋y2的取值范围是________．3．若函数f(x)＝x2－2x＋1在区间[a，a＋2]上的最小值为4，则a的取值集合为________．4．已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a>1)．(1)若函数f(x)的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；(2)若f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，求实数a的取值范围．五、课堂小结1.幂函数y＝xα(α∈R)图象的特征α>0时，图象过原点和(1，1)点，在第一象限的部分“上升”；α<0时，图象不过原点，经过(1，1)点在第一象限的部分“下降”，反之也成立．2.二次函数求最值的三种常见类型二次函数的最值由所给区间，对称轴及开口方向等因素确定．(1)一般在轴定区间定的条件下有以下三种情况：①若所给区间为R，则在顶点处取最值．②在所给区间[m，n]，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴x＝－b2a∈[m，n]时，其最值为一个是在顶点处取得．另一个则距轴较远的端点处取得．③在所给区间[m，n]，－b2a∉[m，n]时，则利用函数的单调性求得最值(在区间的两个端点处)．(2)若二次函数自变量的区间确定，但对称轴位置是变化的，则需要根据对称轴位置变化情况分对称轴在给定区间内变化与在给定区间外变化两种情况讨论，若对称轴只能在给定区间内变化，则只考虑对称轴与区间端点的距离即可．若对称轴在区间外，应分在区间左侧或右侧内讨论．(3)若所给区间变化，而对称轴位置确定，则对于区间变化时，是否包含对称轴与x轴交点的横坐标必须进行分类讨论，其分类标准为变化区间中包含对称轴与x轴交点的横坐标与变化区间中不包含对称轴与x轴交点的横坐标．具体分类可分四类．①对称轴在区间左侧．②对称轴在区间右侧．③对称轴在闭区间内且在中点的左侧．④对称轴在闭区间内且在中点的右侧(或过中点)．3.会用两种数学思想(1)数形结合是讨论二次函数问题的基本方法．特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常要结合图形寻找思路．(2)含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论．比如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，讨论二次方程根的大小等．4.易错防范(1)对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况．(2)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．六、作业1．如图是①y＝x a；②y＝x b；③y＝x c在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为( )A．c<b<a B．a<b<c C．b<c<a D．a<c<b2．已知函数f(x)＝－x2＋4x在区间[－1，n]上的值域是[－5，4]，则n的取值范围是( )A．[2，5] B．[1，5] C．[－1，2] D．[0，5]3．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c，且a＋b＋c＝0，则它的图象是( )4．f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3是偶函数，则f(－1)，f(－2)，f(3)的大小关系为( )A．f(3)>f(－2)>f(－1) B．f(3)＜f(－2)＜f(－1)C．f(－2)＜f(3)＜f(－1) D．f(－1)＜f(3)＜f(－2)5．已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是( )A．[0，1] B．(0，1) C．(－∞，1) D．(－∞，1]6．已知幂函数f(x)＝xα的图象过点(2，4)，那么函数f(x)的单调递增区间是________．7．已知二次函数为y＝x2＋2kx＋3－2k，则顶点位置最高时抛物线的解析式为________．8．已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1，1]上恒小于零，则实数a的取值范围是________．9．已知幂函数f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N*)的图象经过点(2，2)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．10．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5，5]．(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5，5]上是单调函数．。
幂函数教学设计
3.3 幂函数教学设计一、单元内容和内容解析 1. 内容幂函数的定义，五个常见幂函数的图象与性质. 2. 内容解析幂函数是学生进入高中后学习的第一类具体的基本初等函数，在此之前学生已经学习了正比例函数，反比例函数，一次函数，二次函数，因此幂函数的学习是在学生已有的函数学习经验上展开的，主要是在归纳五个具体幂函数共性基础上的数学抽象.“幂函数”的内容安排在“函数的概念与性质”一章的第3节，是在学习完函数的概念以及函数的基本性质后，选取一类简单的基本初等函数进行研究，使学生明确一类具体函数的研究内容（定义、表示一图象与性质一应用），并体会如何在函数的概念及基本性质的指导下展开研究.因此幂函数的学习既是对前面所学内容的巩固，也为后面指数函数、对数函数的学习打下基础.基于以上分析，确定本节课的教学重点：幂函数的概念、图象与性质. 二、单元目标和目标解析 1. 目标（1）通过具体实例，了解幂函数的定义，会画五个幂函数的图象，理解它们的性质；（2）通过对幂函数的研究，体会研究一类函数的基本内容与方法. 2. 目标解析（1）能从自变量、函数值及函数解析式的结构等角度归纳共性，抽象出幂函数的一般形式；会利用 幂函数的定义识别给出的函数是否为幂函数；会画出五个具体幂函数的草图，结合图象研究它们的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质；能利用幂函数的性质解决一些简单的问题，如比较大小等.（2）结合对幂函数的研究，体会从定义、表示一图象与性质一应用的研究具体函数的方法. 三、单元教学问题诊断分析学生在初中已经学习过一些具体的幂函数，但缺乏对研究一类函数的内容和方法的认识，教学时应联系初中学习函数的经验，以及前面学习过的一般函数的概念和性质，让学生尝试构建本节课的学习思路，从而体会研究一类函数的内容、思路和方法.画出3y x =和y =.教学时先引导学生观察函数解析式的特点，得出3y x =是奇函数，y =的定义域为[0,)+∞等；然后让他们思考如何取点，并利用描点法作图，分析五个函数图象的共性和差异性而得出性质.同时，还要加强信息技术的应用.在归纳性质时，学生对从哪些方面进行归纳会存在困惑，教师要引导学生思考研究函数的一般方法及 所要研究的内容，结合前面函数性质的研究，为这里性质的归纳作好铺垫.基于以上分析，确定本节课的教学难点：观察五个幂函数的解析式的共性，抽象幂函数概念；观察函 数图象的内容和方法. 四、教学支持条件分析利用信息技术，可以将五个具体幂函数的图象画在同一个坐标系中，以利于观察、归纳出函数的性质. 五、教学过程设计 （一）、复习回顾问题1：前面我们学习了函数的概念，单调性，奇偶性，这是我们研究函数的一般路径。
数学《二次函数》优秀教案
数学《二次函数》优秀教案数学《二次函数》优秀教案（通用11篇）作为一名默默奉献的教育工作者，总不可避免地需要编写教案，教案是教材及大纲与课堂教学的纽带和桥梁。
那么问题来了，教案应该怎么写？下面是小编精心整理的数学《二次函数》优秀教案，欢迎阅读与收藏。
数学《二次函数》优秀教案篇1教学目标（一）教学知识点1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系、2、理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根、3、理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h（h是实数）交点的横坐标、（二）能力训练要求1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神、2、通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想、3、通过学生共同观察和讨论，培养大家的合作交流意识、（三）情感与价值观要求1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性、2、具有初步的创新精神和实践能力、教学重点1、体会方程与函数之间的联系、2、理解何时方程有两个不等的实根，两个相等的实数和没有实根、3、理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h（h是实数）交点的横坐标、教学难点1、探索方程与函数之间的联系的过程、2、理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系、教学方法讨论探索法、教具准备投影片二张第一张：（记作§2、8、1A）第二张：（记作§2、8、1B）教学过程Ⅰ、创设问题情境，引入新课[师]我们学习了一元一次方程kx+b=0（k≠0）和一次函数y=kx+b（k≠0）后，讨论了它们之间的关系、当一次函数中的函数值y=0时，一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0，且一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b=0的解、数学《二次函数》优秀教案篇2教学目标（一）教学知识点1、能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根、2、进一步发展估算能力、（二）能力训练要求1、经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验、2、利用图象法求一元二次方程的近似根，重要的是让学生懂得这种求解方程的思路，体验数形结合思想、（三）情感与价值观要求通过利用二次函数的图象估计一元二次方程的根，进一步掌握二次函数图象与x轴的交点坐标和一元二次方程的根的关系，提高估算能力、教学重点1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系、2、能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根、教学难点利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根、教学方法学生合作交流学习法、教具准备投影片三张第一张：（记作§2、8、2A）第二张：（记作§2、8、2B）第三张：（记作§2、8、2C）教学过程Ⅰ、创设问题情境，引入新课[师]上节课我们学习了二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x 轴的交点坐标和一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的关系，懂得了二次函数图象与x轴交点的横坐标，就是y=0时的一元二次方程的根，于是，我们在不解方程的情况下，只要知道二次函数与x轴交点的横坐标即可、但是在图象上我们很难准确地求出方程的解，所以要进行估算、本节课我们将学习利用二次函数的图象估计一元二次方程的根、数学《二次函数》优秀教案篇3一.学习目标1.经历对实际问题情境分析确定二次函数表达式的过程，体会二次函数意义。
《幂函数》教案
《幂函数》教案一．学习目标1．通过实例，了解幂函数的概念、图象和性质.会求幂函数的定义域，会应用幂函数的图象与性质比较数或代数式的大小.2．通过幂函数图象的学习，加深学生对幂函数性质的理解，使学生体会通过观察、分析函数图象来研究函数性质的方法.3．通过引导学生主动参与作图、分析图象的过程，培养学生的探索精神，增强学生对数学图形美的认识，并在研究函数变化的过程中渗透辨证唯物主义的观点.二．重点难点本节的教学重点是幂函数的概念、图象和性质，难点是将函数图象的直观特点上升到理性知识，归纳、概括成函数的性质.三．教学内容1．从学生已经掌握的最简单的函数y x =，2y x =，1y x =出发引入幂函数的定义：一般地，形如()y x R αα=∈的函数称为幂函数，其中α为常数.其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准.应当注意并不是任意的一次函数、二次函数都是幂函数，如1y x =+，22y x x =-等都不是幂函数.2．引导学生作出五个具体的幂函数y x =，2y x =，3y x =，1y x =，12y x =的图象：先列出对应值表，再用描点法画图.列出对应值表是描点法画图的关键，列表之后要引导学生耐心地，力求准确地画出图象，教师可以先用实物投影仪有选择地展示学生的作品，然后再用计算机展示各个函数的图象.3．先引导学生通过观察上述五个幂函数的图象，归纳、概括出幂函数在第一象限的性质，再引导学生探索“思考与讨论”中的三个问题，即当α为正偶数、α为正奇数时幂函数的主要性质，以及当1α>与01α<<时图象的区别.要培养学生的看图、析图能力，培养学生的归纳、概括能力，要让学生自主探索，主动学习.4．处理课本例题（1）.对例1的分析：①要比较的两个代数式有什么相同点和不同点？答：都是幂的形式，且指数相同，但底数不同.因此我们想通过构造一个幂函数来解决这个问题.②构造一个什么样的幂函数？③要比较的两个代数式与所构造的幂函数有何关系？④利用幂函数在(0,)+∞上的单调性可以比较两个代数式值的大小.（2）对例2的分析：①在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论.②对于幂函数()y x R αα=∈的研究，首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此可以确定图象的位置，即所在的象限.③只需弄清楚幂函数在第一象限的图象，再借助于奇偶函数的图象性质，即可画出整个函数的图象.5．让学生回忆本节收获，然后师生共同完成本节小结，巩固本节学习成果，使学生逐步养成爱总结、善总结、会总结的习惯和能力.。
关于幂函数的教案
关于幂函数的教案关于幂函数的教案一教学任务分析：(1)理解幂函数的概念，会画五种常见幂函数的图像;(2)结合幂函数的图像，理解幂函数图像的变化情况和性质;(3)通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力。
教学重点：常见幂函数的的概念、图像和性质。
教学难点：幂函数的单调性及比较两个幂值的大小。
教具准备：多媒体课件、投影仪、打印好的作业。
教学情景设计问题师生活动设计意图问题1：如果张红购买了1元/千克的蔬菜x千克，那么她需要付的钱数y(元)和购买的蔬菜量x?(千克)之间有何关系?问题2：如果正方形的边长为x，那么正方形面积y=?问题3：如果正方体的棱长为x，那么正方体体积y=问题4：如果正方形场地的面积为x，那么正方形的边长?y=?问题5：如果某人x秒内骑车行进1千米，那么他骑车的平均速度y=(千米/秒) 引导学生探索发现：通过生活实例，引出幂函数的概念，使学生体会到数学在生活中的应用，激发学生的学习兴趣。
你能发现这几个函数解析式有什么共同点吗?引导学生归纳结论(1)?指数为常数.(2)?右边均是以自变量为底的幂的形式; 认识五种常见的幂函数。
给出幂函数的定义：一般地，形如? 的函数称为幂函数，其中x为自变量，α为常数. 例1：在函数，，，中，哪几个函数是幂函数? 引导学生依据幂函数定义及特征头判断;1、即 (是)2、 (不是)3、 (不是)4、 (是) 正确认识幂函数请在同一坐标系内画出以上五个幂函数的图像指导学生画出图像，多媒体呈现图像训练学生的作图、识图能力。
观察以上图像将你发现的结论填入性质表?定义域值域关于幂函数的教案二教材分析：幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数.?幂函数模型在生活中是比较常见的，学习时结合生活中的具体实例来引出常见的幂函数?.组织学生画出他们的图象，根据图象观察、总结这几个常见幂函数的性质.对于幂函数，只需重点掌握?这五个函数的图象和性质.学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆，因此在引出幂函数的概念之后，可以组织学生对两类不同函数的表达式进行辨析.学生已经有了学习幂函数和对象函数的学习经历，这为学习幂函数做好了方法上的准备.因此，学习过程中，引入幂函数的概念之后，尝试放手让学生自己进行合作探究学习.课时分配 1课时教学目标重点：从五个具体的幂函数中认识的概念和性质难点：从幂函数的图象中概括其性质，据幂函数的单调性比较两个同指数的指数式的大小知识点：幂函数的定义、五个幂函数图象特征能力点：通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用教育点：进一步渗透数形结合与类比的思想方法;体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性自主探究点：通过作图归纳总结幂函数的相关性质考试点：了解幂函数的概念，结合函数的图象了解它们的变化情况易错易混点：学生容易将幂函数和指数函数混淆拓展点：通过指数函数的图象性质研究幂函数指数的变化教具准备：多媒体辅助教学课堂模式：导学案一、引入新课(一) 回顾引入师生互动师：数学的内在美常常让我感动，下面我们共同来欣赏运算的完美性，思考：由8、2、3、这四个数，运用数学符号可组成哪些等式?生：探讨，交流师生共同分析：设计意图(1)给出开放性问题，主要是为了提高学生的想象能力，激发他们学习新内容的兴趣(2)不但培养了学生动手的能力，也营造了师生合作，共同探讨问题的氛围师：我们知道对于等式1 .如果一定，随着的变化而变化，我们建立了指数函数2 . 如果一定，随着的变化而变化，我们建立了对数函数设想：如果一定，随着的变化而变化，是不是也可以确定一个函数呢?设计说明使学生回忆所学两个基本初等函数，为所要学习的幂函数作铺垫(二) 观察下列对象：问题(1)：如果张红购买了每千克1元的蔬菜千克，那么她需要付的钱数 = 元，问题(2)：如果正方形的边长为，那么正方形的面是 =问题3)：如果正方体的边长为，那么正方体的体积是 =问题(4)：如果正方形场地面积为，那么正方形的边长 =问题(5)：如果某人 s内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度 =师生互动师：(1)它们的对应法则分别是什么?(2)以上问题中的函数有什么共同特征?让学生独立思考后交流，引导学生概括出结论生：(1)乘以1 (2)求平方 (3)求立方(4)求算术平方根 (5)求-1次方师：上述的问题涉及到的函数，都是形如：，其中是自变量，是常数.师生：共同辨析这种新函数与指数函数的异同.设计意图(1)引导学生从具体问题、实际问题中抽象出数学模型。
2.4二次函数与幂函数
f(x)＝x ＋2x
2
g(x)＝－x ＋2x
2
(－∞，0]变式训练3 Nhomakorabea(2) 已知函数f(x)＝x2，g(x)＝x－1. ①若存在x∈R使f(x)＜b·g(x)，求实 数b的取值范围； ②设F(x)＝f(x)－mg(x)＋1－m－m2， 且|F(x)|在[0,1]上单调递增，求实数m 的取值范围．
b＜0或b＞4
[－1,0]∪[2，＋∞)
变式训练3
(3) (2010· 广东)已知函数f(x)对任意实数x均 有f(x)＝kf(x＋2)，其中k为负数，且f(x)在 区间[0,2]上有表达式f(x)＝x(x－2)． 3 ①求f(－1)，f(2.5)的值；(1)f(－1)=－k，f(2.5)＝－4k ②写出f(x)在[－3,3]上的表达式，并讨论函 数f(x)在[－3，3]上的单调性．
3
2
C．[3,12]
思想方法·感悟提高
1．二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律： (1)在研究一元二次方程根的分布问题时 , 常借助于二次函数的图象 数形结合来解,一般从①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端 点函数值符号四个方面分析． (2)在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的 图象、性质求解．
变式训练3
(1)(P17) 已知函数 f(x)＝x2＋mx＋n 的图象过点 (1,3), 且 f( － 1 ＋ x) ＝ f( － 1 － x) 对任意实数都成 立， 函数 y＝g(x)与 y＝f(x)的图象关于原点对称． ①求 f(x)与 g(x)的解析式； ②若 F(x)＝g(x)－λf(x)在(－1,1]上是增函数，求 实数 λ 的取值范围．
【2014年高考浙江会这样考】
1．常以集合为载体，考查二次方程的解
数学一轮复习第二章2.4二次函数与幂函数学案理含解析
第四节二次函数与幂函数【知识重温】一、必记2个知识点1．幂函数（1)定义:形如①________________的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x,y＝x2，y＝x3,y ＝12x，y＝x－1.（2）性质(ⅰ）幂函数在（0，＋∞)上都有定义；(ⅱ）当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和（0，0），且在（0,＋∞)上单调递增；(ⅲ)当α<0时，幂函数的图象都过点（1,1），且在(0，＋∞)上单调递减．2．二次函数（1)二次函数解析式的三种形式(ⅰ）一般式：f(x）＝②________________________;(ⅱ）顶点式:f(x)＝③________________________；（ⅲ)零点式：f(x）＝④________________________。
(2)二次函数的图象和性质(－∞，＋∞)(－∞，＋∞）二、必明2个易误点1．研究函数f（x)＝ax2＋bx＋c的性质，易忽视a的取值情况的讨论而盲目认为f（x)为二次函数．2．形如y＝xα(α∈R)才是幂函数，如y＝123x不是幂函数．【小题热身】一、判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”）．（1）函数y＝132x是幂函数．（)（2）当n〉0时，幂函数y＝x n在（0,＋∞）上是增函数．(）（3)二次函数y＝ax2＋bx＋c（x∈R)不可能是偶函数．（）（4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．（）(5）二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈［a,b］的最值一定是错误!。
（)二、教材改编2．已知幂函数y＝f（x）的图象过点(2，错误!），则函数y＝f(x)的解析式为________．3．函数y＝ax2－6x＋7a（a≠0)的值域为［－2，＋∞)，则a 的值为（）A．－1 B．－错误!C．1 D．2三、易错易混4．函数y＝2x2－6x＋3,x∈［－1,1]，则y的最小值是() A．－1 B．－2 C．1 D．25．若四个幂函数y＝x a，y＝x b,y＝x c，y＝x d在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是（)A．d>c〉b>a B．a>b〉c〉dC．d〉c〉a〉b D．a〉b〉d〉c四、走进高考6．[2020·江苏卷]已知y＝f（x)是奇函数,当x≥0时,f(x）＝23x，则f（－8）的值是________．考点一幂函数的图象及性质[自主练透型］1．已知点错误!在幂函数f（x)的图象上,则f(x）是（）A．奇函数B．偶函数C．定义域内的减函数D．定义域内的增函数2．幂函数y＝xm2－2m－3（m∈Z）的图象如图所示，则m 的值为（)A．－1 B．0C．1 D．23．[2021·江西九江联考］已知a＝0.40.3,b＝0.30。