运筹学—第七章 动态规划
北交大交通运输学院《管理运筹学》知识点总结与例题讲解第7章 动态规划
第七章 动态规划
7.1多阶段决策过程及实例
在生产和科学实验中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分为若干个互
相联系的阶段，在它的每一个阶段都需要作出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。
因此，各个阶段决策的选取不是任意确定的，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展。
当各个阶段决策确定后，就组成了一个决策序列，因而也就决定了整个过程的一条活动路线。
这种把一个问题可看作是一个前后关联具有链状结构的多阶段过程（如图2-1所示）就称为
多阶段决策过程，也称序贯决策过程。这种问题就称为多阶段决策问题。
1状态决策
2状态决策
状态
n状态决策
状态
图7-1
在多阶段决策问题中，各个阶段采取的决策，一般来说是与时间有关的，决策依赖于
当前的状态，又随即引起状态的转移，一个决策序列就是在变化的状态中产生出来的，故有
“动态”的含义。因此，把处理它的方法称为动态规划方法。但是，一些与时间没有关系的
静态规划（如线性规划、非线性规划等）问题，只要人为地引进“时间”因素，也可以把它
视为多阶段决策问题，用动态规划方法去处理。
多阶段决策问题很多，现举例如下：
例1 最短路线问题
设某厂A要把一批货运到E城出售，中间可经过①～⑧城市，各城市间的交通线及距
离如图2-2所示，问应选择什么路线，可使总距离最短？
A1
2
34
5
67
8E4
3
83
18
96
4
55
8
67
7
95
6
2
3
图 7-2 某厂货运交通线及距离示意图
这是一个4阶段决策问题。
例2 生产与存贮问题
某工厂生产并销售某种产品，已知今后4个月市场需求预测如表2-1所示，每月生产j
单位产品的费用为
0(0)
()
(1,2,3,,)j
cj
abjjm=⎧
=
⎨
+=
⎩L（千元）
其中a
为生产的固定费用，b
为可变生产费率，m
为生产能力。供应需求所剩余产品应存
入仓库，每月库存j
单位产品的费用为
()*Ejcj=
（千元）
计划开始和计划期末库存量都是0。试制定4个月的生产计划，在满足用户需求的条件下使
运筹学动态规划
运筹学动态规划
运筹学是一门综合运筹学、优化学、决策学和统计学等多学科知识的学科，它的核心内容是对决策问题进行建模和分析，并通过数学方法进行求解和优化。动态规划是运筹学中的一种重要方法，它通过将问题划分为相互重叠的子问题，并通过解决子问题的最优解来求解原问题的最优解。下面将详细介绍运筹学中的动态规划方法。
动态规划方法的核心思想是将原问题分解为若干个相互重叠的子问题，并通过求解子问题的最优解来求解原问题的最优解。为了可以使用动态规划方法，必须满足以下两个条件：子问题的最优解可以作为原问题的最优解的一部分；子问题之间必须具有重叠性，即一个子问题可以被多次使用。
动态规划方法的具体步骤如下：首先，将原问题分解为若干个子问题，并定义出每个子问题的状态和状态转移方程；其次，通过迭代求解每个子问题的最优解，直到求解出原问题的最优解；最后，根据子问题的最优解和状态转移方程，得到原问题的最优解。
动态规划方法的应用非常广泛，可以用于求解各种各样的优化问题。例如，在物流配送中，可以使用动态规划方法求解最短路径问题；在生产计划中，可以使用动态规划方法求解最优生产计划；在股票投资中，可以使用动态规划方法求解最优投资策略等。
动态规划方法的优点是可以通过求解子问题的最优解来求解原问题的最优解，避免了穷举法的复杂性。此外，动态规划方法还可以通过引入一定的约束条件，来对问题进行更精确的建模和求解。
然而，动态规划方法也存在一些局限性。首先，动态规划方法要求问题能够满足子问题的最优解可以作为原问题的最优解的一部分，这限制了动态规划方法的应用范围。其次，动态规划方法通常需要建立较为复杂的状态转移方程，并进行复杂的计算，使得算法的实现和求解过程比较困难。
综上所述，动态规划是运筹学中的一种重要方法，通过将问题划分为相互重叠的子问题，并通过解决子问题的最优解来求解原问题的最优解。动态规划方法的优点是可以高效地求解优化问题，但同时也存在一些局限性。运筹学中的动态规划方法可以广泛应用于各种优化问题的建模和求解中，是运筹学领域的一项重要工具和方法。
运筹学教案动态规划
运筹学教案动态规划
教案章节一：引言
1.1 课程目标：
让学生了解动态规划的基本概念和应用领域。
让学生掌握动态规划的基本思想和解决问题的步骤。
1.2 教学内容：
动态规划的定义和特点
动态规划的应用领域
动态规划的基本思想和步骤
1.3 教学方法：
讲授法：介绍动态规划的基本概念和特点。
案例分析法：分析动态规划在实际问题中的应用。
教案章节二：动态规划的基本思想
2.1 课程目标：
让学生理解动态规划的基本思想。
让学生学会将问题转化为动态规划问题。
2.2 教学内容：
动态规划的基本思想
状态和决策的概念
状态转移方程和边界条件
2.3 教学方法：
讲授法：介绍动态规划的基本思想。 练习法：通过练习题让学生学会将问题转化为动态规划问题。
教案章节三：动态规划的求解方法
3.1 课程目标：
让学生掌握动态规划的求解方法。
让学生学会使用动态规划算法解决问题。
3.2 教学内容：
动态规划的求解方法：自顶向下和自底向上的方法
动态规划算法的实现：表格化和递归化的方法
3.3 教学方法：
讲授法：介绍动态规划的求解方法。
练习法：通过练习题让学生学会使用动态规划算法解决问题。
教案章节四：动态规划的应用实例
4.1 课程目标：
让学生了解动态规划在实际问题中的应用。
让学生学会使用动态规划解决实际问题。
4.2 教学内容：
动态规划在优化问题中的应用：如最短路径问题、背包问题等
动态规划在控制问题中的应用：如控制库存、制定计划等
4.3 教学方法：
讲授法：介绍动态规划在实际问题中的应用。
案例分析法：分析实际问题，让学生学会使用动态规划解决实际问题。
教案章节五：总结与展望 5.1 课程目标：
让学生总结动态规划的基本概念、思想和应用。
让学生展望动态规划在未来的发展。
5.2 教学内容：
动态规划的基本概念、思想和应用的总结。
动态规划在未来的发展趋势和挑战。
5.3 教学方法：
讲授法：总结动态规划的基本概念、思想和应用。
动态规划习题详解
动态规划
动态规划是运筹学的一个分支，它是解决多阶段决策过程最优化问题的一种方法。该方法是由美国数学家贝尔曼(R．Bellman)等人在本世纪50年代初提出的。他们针对多阶段决策问题的特点，提出了解决这类问题的“最优化原理”，并成功地解决了生产管理、工程技术等方面的许多实际问题，从而建立了运筹学的一个新分支——动态规划。他的名著《动态规划》于1957年出版，该书是动态规划的第一本著作。
动态规划是现代企业管理中的一种重要决策方法，在工程技术、经济管理、工农业生产及军事及其它部们都有广泛的应用，并且获得了显著的效果。动态规划可用于解决最优路径问题、资源分配问题、生产计划与库存问题、投资分配问题、装载问题、设备更新与维修问题、排序问题及生产过程的最优控制等。由于它所具有独特的解题思路，在处理某些优化问题时，常常比线性规划或非线性规划方法更有效。
第 一 节 动态规划的基本方法
多阶段决策的实际问题很多，下面通过具体例子，说明什么是动态规划模型及其求解方法。
例1：最短路线问题
某工厂需要把一批货物从城市A运到城市E，中间可经过B1 、B2、B3、C1、C2、C3、D1、D2等城市，各城市之间的交通线和距离如下图所示，问应该选择一条什么路线，使得从A到E的距离最短？
6
3
8 4 5
5 6
4
9 8
运筹学
第一章：
建模
合理下料问题
例1-2：假定现有一批某种型号的圆钢长8m，需要截取长的毛坯100根、长的毛坯200根，问应怎样选择下料方式，才能既满足需要，又使总的用料最少
根据经验，可先将各种可能的搭配方案列出来，如表1-3所示。
例1-2′某一机床需要用甲、乙、丙三种规格的轴各一根，这些轴的规格分别是，,（m），这些轴需要用同一种圆钢来做，圆钢长度为。现在要制造100台机床，最少要用多少圆钢来生产这些轴
方案
规格 1 2 3 4 5 6 7 8 需求量
y1 2 1 1 1 0 0 0 0 100
y2 0 2 1 0 3 2 1 0 100
y3 1 0 1 3 0 2 3 4 100
0
方案
件数
毛坯
I Ⅱ Ⅲ Ⅳ
需要根数
3 2 1 0
100
0 2 4 6
200
目标函数 minf＝C1x1+C2x2+…+Cnxn
. a11x1+ a12x2+…+a1nxn ≥ b1
a21x1+ a22x2+…+a2nxn ≥ b2
┇ ┇ ┇ ┇
am1x1+ am2x2+…+amnxn ≥ bm
xj≥0 (j＝1，2，…，n)
运输问题(物资调运问题)
例1-3：设某种物资(例如煤炭)共有m个产地A1、A2 、…、Am，其产量分别为a1、a2、…、am；另有n个销地B1、B2、…、Bn其销量分别为b1、b2、…、bn。已知由产地Ai(i＝1，2，…，m)运往销地Bj(j＝1，2，…，n)的单位运价为Cij，如表1—6所示。当产销平衡
《运筹学》课堂作业及相应答案解析
第一部分 绪 论
第二部分 线性规划与单纯形法
1 判断下列说法是否正确：
(a)图解法同单纯形法虽然求解的形式不同,但从几何上理解,两者是一致的；
(b)线性规划模型中增加一个约束条件,可行域的范围一般将缩小,减少一个约束条件,可行域的范围一般将扩大；
(c)线性规划问题的每一个基解对应可行域的一个顶点；
(d)如线性规划问题存在可行域,则可行域一定包含坐标的原点；
(e)对取值无约束的变量xi,通常令其中,在用单纯形法求得的最优解中有可能同时出现
(f)用单纯形法求解标准型的线性规划问题时,与对应的变量都可以被选作换入变量；
(g)单纯形法计算中,如不按最小比值原则选取换出变量,则在下一个解中至少有一个基变量的值为负；
(h)单纯形法计算中,选取最大正检验数δk对应的变量xk作为换入变量,将使目标函数值得到最快的增长；
(i)一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后,则该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除,而不影响计算结果；
(j)线性规划问题的任一可行解都可以用全部基可行解的线性组合表示；
(k)若x1,x2分别是某一线性规划问题的最优解,则
也是该线性规
划问题的最优解,其中λ1,λ2可以为任意正的实数；
(1)线性规划用两阶段法求解时,第一阶段的目标函数通常写为Xai为人工变量),但也可写为,只要所有ki均为大于零的常数；
(m)对一个有n个变量、m个约束的标准型的线性规划问题,其可行域的顶点恰好 为个；
(n)单纯形法的迭代计算过程是从一个可行解转转换到目标函数值更大的另一个可行解；
(o)线性规划问题的可行解如为最优解,则该可行解一定是基可行解；
(p)若线性规划问题具有可行解,且其可行域有界,则该线性规划问题最多具有有限个数的最优解；
(q)线性规划可行域的某一顶点若其目标函数值优于相邻的所有顶点的目标函数值,则该顶点处的目标函数值达到最优； (r)将线性规划约束条件的“≤”号及“≥”号变换成“＝”号,将使问题的最优目标函数值得到改善；
运筹学：动态规划、图与网络优化习题与答案
一、判断题
1.动态规划分为线性动态规划和非线性动态规划。（ ）
正确答案：×
2.对于一个动态规划问题，应用顺推法和逆推法可能会得到不同的最优解。（ ）
正确答案：×
3.在用动态规划解题时，定义状态时应保证各个阶段中所做的决策的相互独立性。（ ）
正确答案：√
4.动态规划计算中的“维数障碍”主要是由问题中阶段数的急剧增加而引起的。（ ）
正确答案：×
二、选择题
1.关于图论中图的概念，以下叙述（ ）正确。
A.图中的有向边表示研究对象，结点表示衔接关系。
B.图中的点表示研究对象，边表示点与点之间的关系。
C.图中任意两点之间必有边。
D.图的边数必定等于点数减1。
正确答案：B
2. 关于树的概念，以下叙述（ ）正确。
A.树中的点数等于边数减1
B.连通无圈的图必定是树 C.含n个点的树是唯一的
D.任一树中，去掉一条边仍为树。
正确答案：B
3. 一个连通图中的最小树（ ）。
A.是唯一确定的
B.可能不唯一
C.可能不存在
D.一定有多个。
正确答案：B
4.关于最大流量问题，以下叙述（ ）正确。
A.一个容量网络的最大流是唯一确定的
B.达到最大流的方案是唯一的
C.当用标号法求最大流时，可能得到不同的最大流方案
D.当最大流方案不唯一时，得到的最大流量应相同。
正确答案：D
5. 图论中的图，以下叙述（ ）不正确。
A.图论中点表示研究对象，边或有向边表示研究对象之间的特定关系。
B.图论中的图，用点与点的相互位置，边的长短曲直来表示研究对象的相互关系。
C.图论中的边表示研究对象，点表示研究对象之间的特定关系。
D.图论中的图，可以改变点与点的相互位置。只要不改变点与点的连接关系。 正确答案：C
6. 关于最小树，以下叙述（ ）正确。
A.最小树是一个网络中连通所有点而边数最少的图
B.最小树是一个网络中连通所有的点，而权数最少的图
运筹学》习题答案运筹学答案
《运筹学》习题答案
一、单选题
1.用动态规划求解工程线路问题时，什么样的网络问题可以转化为定步数问题求解（）B
A.任意网络B.无回路有向网络C.混合网络D.容量网络2.通过什么方法或者技巧可以把工程线路问题转化为动态规划问题？（）B
A.非线性问题的线性化技巧B.静态问题的动态处理
C.引入虚拟产地或者销地D.引入人工变量3.静态问题的动态处理最常用的方法是？B
A.非线性问题的线性化技巧B.人为的引入时段C.引入虚拟产地或者销地D.网络建模
4.串联系统可靠性问题动态规划模型的特点是（）D
A.状态变量的选取B.决策变量的选取
C.有虚拟产地或者销地D.目标函数取乘积形式
5.在网络计划技术中，进行时间与成本优化时，一般地说，随着施工周期的缩短，直接费用
是( )。C A.降低的B.不增不减的C.增加的D.难以估计的
6.最小枝权树算法是从已接接点出发，把( )的接点连接上C
A.最远B.较远C.最近D.较近
7.在箭线式网络固中，( )的说法是错误的。D
A.结点不占用时间也不消耗资源
B.结点表示前接活动的完成和后续活动的开始
C.箭线代表活动
D.结点的最早出现时间和最迟出现时间是同一个时间8.如图所示，在锅炉房与各车间之间铺设暖气管最小的管道总长度是( )。C
A.1200 B.1400 C.1300 D.1700
9.在求最短路线问题中，在求最短路线问题中，已知起点到已知起点到A，B，C三相邻结点的距离分别为15km，20km,25km，
则（）。D
A.最短路线—定通过A点B.最短路线一定通过B点C.最短路线一定通过C点D.不能判断最短路线通过哪一点10.在一棵树中，如果在某两点间加上条边，则图一定( )A
A.存在一个圈B.存在两个圈C.存在三个圈D.不含圈
11.网络图关键线路的长度( )工程完工期。C
A.大于B.小于C.等于D.
不一定等于600 700 300 500 400
锅炉房1
2 3
12.在计算最大流量时，我们选中的每一条路线( )。C A.一定是一条最短的路线一定是一条最短的路线 B.一定不是一条最短的路线一定不是一条最短的路线
(完整版)运筹学》习题答案运筹学答案
《运筹学》习题答案
一、单选题
1.用动态规划求解工程线路问题时，什么样的网络问题可以转化为定步数问题求解（ ）B
A.任意网络 B.无回路有向网络 C.混合网络 D.容量网络
2.通过什么方法或者技巧可以把工程线路问题转化为动态规划问题？（ ）B
A.非线性问题的线性化技巧 B.静态问题的动态处理
C.引入虚拟产地或者销地 D.引入人工变量
3.静态问题的动态处理最常用的方法是？B
A.非线性问题的线性化技巧 B.人为的引入时段
C.引入虚拟产地或者销地 D.网络建模
4.串联系统可靠性问题动态规划模型的特点是（ ）D
A.状态变量的选取 B.决策变量的选取
C.有虚拟产地或者销地 D.目标函数取乘积形式
5.在网络计划技术中，进行时间与成本优化时，一般地说，随着施工周期的缩短，直接费用是( )。C
A.降低的 B.不增不减的 C.增加的 D.难以估计的
6.最小枝权树算法是从已接接点出发，把( )的接点连接上C
A.最远 B.较远 C.最近 D.较近
7.在箭线式网络固中，( )的说法是错误的。D
A.结点不占用时间也不消耗资源
B.结点表示前接活动的完成和后续活动的开始
C.箭线代表活动
D.结点的最早出现时间和最迟出现时间是同一个时间
8.如图所示，在锅炉房与各车间之间铺设暖气管最小的管道总长度是( )。C
A.1200 B.1400 C.1300 D.1700
9.在求最短路线问题中，已知起点到A，B，C三相邻结点的距离分别为15km，20km,25km，则（ ）。D
A.最短路线—定通过A点 B.最短路线一定通过B点
C.最短路线一定通过C点 D.不能判断最短路线通过哪一点
10.在一棵树中，如果在某两点间加上条边，则图一定( )A
A.存在一个圈 B.存在两个圈 C.存在三个圈 D.不含圈
运筹学简答题
一、动态规划的优缺点
优点:○1最优解是全局最优解。○2能得到一系列（包括子过程）的最优解。
○3不需要对系统状态转移方程、阶段效应函数等 ○4的解析性质作任何假设。
缺点：○1没有统一的标准模型和标准的算法可供使用。
○2应用的局限性，要求满足“无后效性”。
○3“维数灾难”问题
二、单位（土建）工程网络计划的编制步骤
1．熟悉施工图纸，研究原始资料，分析施工条件；
2．分解施工过程，明确施工顺序，确定工作名称和内容
3．拟定施工方案，划分施工段；
4．确定工作持续时间；
5．绘制网络图；
6．网络图各项时间参数计算；
7．网络计划的优化；
8．网络计划的修改与调整
三、排队规则的种类并举例说明
损失制：
等待制：
1、先到先服务：到银行办理手续先到的先办理
2、后到先服务：到银行相对普通客户，持有金卡的客户后到可以先办理手续。
3、随机服务：上课时老师点名回答问题
4、有优先权的先服务：银行vip柜台服务
四、双代号网络计划与单代号网络计划的区别
相同点：一张网络图只能有一个开始节点和一个结束结点；工作互相之间应严格遵守工艺顺序和组织顺序的逻辑关系；不允许出现循环回路；节点的编号应满足 i 异同点：双代号网络计划图中，箭头表示工作过程，节点则表示工程达到某种状态，而单代号网络计划图节点表示工序，箭头仅起到逻辑连续作用：双代号网络计划图存在虚工作，单代号网络计划图不存在虚工作