湘教版八上数学第1课时 二次根式的加法和减法
5
5.3 二次根式的加法和减法
第1课时 二次根式的加法和减法
做一做 计算：
(1) 2 5+3 5；
(2) 5 2-3 2 ；
动脑筋
下图是由面积分别为 8 和 18 的正方形 ABCD 和正方形 CEGH 拼成. 求 BE 的长.
因为正方形ABCD 和CEGH 的边长分别为 8 和 18 ，
所以 BE 的长度为 8 18 .
S1，S2，由 S1=πR2 ，S2=πr2 可知R =
S1，r = π
S2 .则Leabharlann πd R r S1 S2 ππ
763.02 150.72
3.14
3.14
243 48
9 34 3 5 3.
答：圆环的宽度为5 3m.
练习 1. 计算：
( 1) 5 2 18 ； ( 2 ) 4 18 -9 2 ； ( 3 )10 2 +3 8-7 2； ( 4 )5 12 -3 8-2 27.
50
+
1 3
45
= 6 2- 5 2+ 5
= 13 2- 6 3.
= 2+ 5.
例2 下图是某土楼的平面剖面图，它是由 两个相同圆心的圆构成.已知大圆和小圆的 面积分别为 763.02 m2 和 150.72 m2，求圆 环的宽度 d（π取3.14）.
解 设大圆和小圆的半径分别为R，r，面积分别为
知识点2 二次根式的加减混合运算
整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、 添括号法则同样适用于二次根式的加减运算.
例1 计算：
( 1 ) 5 8- 2 27 + 18 ；
解 ( 1) 5 8- 2 27+ 18
= 10 2- 6 3+3 2
( 2 ) 2 18 -
50
+
1 3
45.
( 2 ) 2 18-
8 18 = 2 2 3 2 （化成最简二次根式）
= 2 3 2 （分配律）
= 5 2.
知识点1 二次根式的加减法法则
1. 在进行二次根式的加减运算时， 通常应先将每个 二次根式化简，然后再将被开方数相同的二次根式的 系数相加减，但被开方数不变.
2. 有理数的运算律和运算法则在实数范围内仍然适用.
答案：8 2 答案：3 2 答案：9 2 答案：4 3-6 2
2. 计算：
( 1) 2- 3 8+2 7 ；
答案：-2 7-5 2
( 2 )（2 3-5 8）- 75- 18 . 答案：-7 2- 3 3
课堂小结
通过本节课的学习，你有什么收获？
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
5.3 二次根式的加法和减法
第1课时 二次根式的加法和减法
做一做 计算：
(1) 2 5+3 5；
(2) 5 2-3 2 ；
动脑筋
下图是由面积分别为 8 和 18 的正方形 ABCD 和正方形 CEGH 拼成. 求 BE 的长.
因为正方形ABCD 和CEGH 的边长分别为 8 和 18 ，
所以 BE 的长度为 8 18 .
S1，S2，由 S1=πR2 ，S2=πr2 可知R =
S1，r = π
S2 .则Leabharlann πd R r S1 S2 ππ
763.02 150.72
3.14
3.14
243 48
9 34 3 5 3.
答：圆环的宽度为5 3m.
练习 1. 计算：
( 1) 5 2 18 ； ( 2 ) 4 18 -9 2 ； ( 3 )10 2 +3 8-7 2； ( 4 )5 12 -3 8-2 27.
50
+
1 3
45
= 6 2- 5 2+ 5
= 13 2- 6 3.
= 2+ 5.
例2 下图是某土楼的平面剖面图，它是由 两个相同圆心的圆构成.已知大圆和小圆的 面积分别为 763.02 m2 和 150.72 m2，求圆 环的宽度 d（π取3.14）.
解 设大圆和小圆的半径分别为R，r，面积分别为
知识点2 二次根式的加减混合运算
整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、 添括号法则同样适用于二次根式的加减运算.
例1 计算：
( 1 ) 5 8- 2 27 + 18 ；
解 ( 1) 5 8- 2 27+ 18
= 10 2- 6 3+3 2
( 2 ) 2 18 -
50
+
1 3
45.
( 2 ) 2 18-
8 18 = 2 2 3 2 （化成最简二次根式）
= 2 3 2 （分配律）
= 5 2.
知识点1 二次根式的加减法法则
1. 在进行二次根式的加减运算时， 通常应先将每个 二次根式化简，然后再将被开方数相同的二次根式的 系数相加减，但被开方数不变.
2. 有理数的运算律和运算法则在实数范围内仍然适用.
答案：8 2 答案：3 2 答案：9 2 答案：4 3-6 2
2. 计算：
( 1) 2- 3 8+2 7 ；
答案：-2 7-5 2
( 2 )（2 3-5 8）- 75- 18 . 答案：-7 2- 3 3
课堂小结
通过本节课的学习，你有什么收获？
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
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湘教版数学八年级上5.3《二次根式的加法和减法》ppt课件1
8dm
5dm
8dm
18dm
8
18 dm
∴在这块木板上可以截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板．
(2)合并同类二次根式.
课堂作业：
P172
1、2、3
问题：
现有一块长8dm、宽5dm的木板。能否 在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和 18dm2的正方形木板？
8 18 2 2 3 2 （化成最简二次根式）
(2 3) 2 （分配律）
5 2
18 3 2 5 8 18 5 2 8
8dm
5dm
8dm
18dm
8
18 dm
∴在这块木板上可以截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板．
思考:二次根式的加减的一般步骤.
几个二次根式化成最简二次根式以 后，如果被开方数相同，这几个二 次根式就叫做同类二次根式. 判断同类二次根式的条件:
(1)化成最简二次根式，
(2)被开方数相同
=
2 5
练习 计算： ⑴ 5 12 3 8 2 27 ⑵
2 (3 8 2 7 )
⑶ (2 3 5 8 ) ( 75 18)
⑴ 原式 = 10 3 6 2 6 3 解：
4 3 6 2
⑵ ⑶
原式= 2 6 2 2 7
5 2 2 7
原式= 2 3 10 2 5 3 3 2
3 3 7 2
例2：如图，两个圆的圆心相同，它们的面 积分别是6.28cm2和25.12cm2，求圆环的宽 度d( 取3.14). 解：设大圆和小圆的半径分别 为R和r, 面积分别为 s1 和 s 2 。 d 2 2 s 由 s1 = R ， 2 = r 可知
二次根式的加法和减法+第1课时++课件++++2024--2025学年湘教版八年级数学上册+
【典例】计算下列各题：
(1) 12－6 13＋2 48；
2 (2)3
9x＋6
x4－2x
1 x.
分析：先将二次根式化为最简二次根式，再进行同类二次 根式的合并，含有字母的二次根式的加减运算与只含数字 的二次根式的加减运算方法完全相同
解答：(1) 12－6 13＋2 48 ＝2 3－6× 33＋2×4 3 ＝2 3－2 3＋8 3 ＝(2－2＋8) 3 ＝8 3.
A．19 个
() B．20 个
C．21 个
D．22 个
4．如图，从一个大正方形中裁去面积为 8 cm2 和 18 cm2 的两个小正方形，则 留下的阴影部分面积和为___2_4__c_m__2 ___.
5．如图，某小区有一块长方形的空地，长 243 m，宽 108 m．现计划在空地 的最外侧挖一条宽为 3 m 的水沟，其余部分改造成草坪，则这块长方形草坪的周长 是多少米？
二次根式加、减运算的步 骤
(1)把每一个二次根式化简；
(2)合并可合并的同类二次 根式
1．若 32－3 x＝2 2，则 x 的值为
A． 2
B．2 2
C．2
2 3
D．89
(D )
2．计算3－ 11＋ 11－4的结果是 (
)
A．－1
B．1
C．7－2 11
D．2 11－7
3．在 1， 2， 3，…， 2020中，与 5是同类二次根式(不含 5)的一共有
如果分母中含有二次根式，让分子和分母同时乘有理化因子，使分母中不再含有 二次根式．
1.学习二次根式加减法的步骤 2.能够做简单的二次根式加减法.
同类二次根式 几个被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式，同类二次根式可以像同类 项一样进行合并． 二次根式加、减运算的步骤 (1)把每一个二次根式化简； (2)合并可合并的同类二次根式． 注意：在二次根式的运算中，运算的最后结果要化简到不能再化简为止．
最新湘教版初中数学八年级上册5.3第1课时二次根式的加减运算优质课教案
53 二次根式的加法和减法第1课时二次根式的加减运算教学重难点及突破重点：二次根式加减法运算。
难点：1、同类二次根式的概念及其判断方法2、熟练进行二次根式加减法的运算。
突破：二次根式加减法运算的关键在于二次根式化简，在讲解过程中引入几个整式加减法的运算。
教学方法：启发引导，讲练结合为主，自主探究教学准备：教师准备：多媒体课件精选二次根式的加减的例题。
学生准备：复习最简二次根式，预习二次根式的加减运算法则。
教学步骤（一）、明确目标学习二次根式化简的目的是为了能将一些最终能化为同类二次根式项相合并，从而达到化繁为简的目的，本节课就是研究二次根式的加减法．（二）、整体感知同类二次根式的概念应分二层含义去理解（1）化简后（2）被开方数还相同．通过正确理解二次根式加减法的法则准确地实施二次根式加减法的运算，应特别注意合并同类二次根式时仅将它们的系数相加减，根式一定要保持不变，并可对比整式的加减法则以增加对合并同类二次根式的理解，增强综合运算的能力．教学设计：一、复习回顾最简二次根式、整式加减法等知识，引入二次根式加减法1、如何判断一个二次根式是否是最简二次根式？2可以化简吗？（学生回答）A、判断是否为最简二次根式的两条标准：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中所有因数或因式的幂的指数都小于2。
B与可以化简3、什么是同类项？（）4、如何进行整式的加减运算？（课件出示练习题让学生计算）（计算17题1、2小题）5、计算：（1）2-3+5 （2）2223 a b ba ab+-（教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并．同类项合并就是字母不变，系数相加减．）（教师提出问题）二次根式的加减运算与整式的加减运算有什么相似之处？这就是今天要探讨的问题——二次根式的加减运算二、引出同类二次根式并让学生进行判断1、自学课本第10—11页内容，完成下面的题目：A、什么是同类二次根式？B、判断是否同类二次根式时应注意什么？（学生回答）：几个二次根式化成_______________后，如果它们的________相同，那么这几个二次根式称为同类二次根式。
湘教版初中数学八年级上册5.3 第1课时 二次根式的加减运算PPT课件
3 27+ 4 48= 9 3+16 3 = 25 3.
因此 , 栅栏的长度等于
25 3米.
几个二次根式化成最简二次根式后，如果 它们的被开方式相同，那么，它们是同类二次 根式。
说明：（1）必须是最简二次根式 （2）根指数与被开方数相同 （3）与二次根式的系数无关。
请判断：
1、被开方数相同的根式是同类 二次根式 （ ）
-
3
• 一：交流与发现
• 要用栅栏围成两个相邻的正方形羊 圈，它们的面积分别为27平方米和 48平方米，栅栏的长度为多少米？
与同学交流。
小羊圈
大羊圈
这两个正方形的边分别为 米 米， 栅栏的长度为（3 +4 ）米
你能把3 +4 进一步化简吗？
因为 27 = 32 × 3 = 3 3, 48= 42 × 3 = 4 3
根式？
18,
12,
8,
12,
1 48
18, 8和
1
2
是同类二次根式，12和
1
48是同类二次根式.
(1)两列火车分别运煤2x吨和3x吨,问这两
列火车共运多少？2__x__+__3__x_=__5__x__吨
(2)两列火车分别运煤2x吨和3y吨,问这两
列火车共运多少？__(_2_x___+__3_y__)_吨__
2、 与 是同类二次根式（ ） 3、 与 是同类二次根式（ ）
请选择：
下列根式中是 根式的有（①③
①
②
的同类二次 ）
③
④
⑤-
1.以下二次根式①： 12 , ② 22 , ③ 27 , ④ 2 中，与 3 是同类二次根式的是（ C ）. 3
湘教八上数学5.二次根式的加法和减法课件
(2)“被开方數相同的最筒二次根式”在习惯上及相，关课外读
物上部称为“同类二次根式”.
感悟新知
例 1 下面的二次根式中与 2 3 是被开方数相同的 知1－讲 最简二次根式的是( D )
A. 18B. 2C . 9D. 27 3
导引：将四个选项中的二次根式先分别化成最简二 次根式，得 18=3 2， 2 = 6 = 6 ，9=3， 27 = 3 3，
S1 π
,
r
S2 π
.则
d Rr
S1 π
S2 π
763.02 3.14
150.72 3.14
243 48 9 3 4 3 5 3.
答：圆环的宽度d为5 3m.
感悟新知
总结
知2－讲
二次根式加减运算的技能： (1)将每个二次根式都化为最简二次根式，若被开方数中
含有带分数，则要先化成假分数；若含有小数，则要 化成分数，进而化为最简二次根式. (2)原式中若有括号，要先去括号，再将被开方数相同的 二次根式进行合并. (3)含字母的二次根式的加减运算的一般步骤：化简→判 断一合并.
号法则在二次根式运算中仍然适用 . 3.根号外的因数（或因式）就是这个二次根式的系数，二
次根式的系数是带分数的要化为假分数的情势 .
感悟新知
知2－讲
例2 计算： (1)5 8-2 27 18；(2)2 18 50 1 45. 3
解：(1)5 8 2 27 18 10 2 6 3 3 2 13 2 6 3. (2)2 18 50 1 45 6 2 5 2 5 2 5
3 93
只有选项D中的被开方数是3，故选D.
感悟新知
总结
知1－讲
判断几个二次根式是否为被开方数相同的最简 二次根式的步骤是：(1)将各二次根式化为最简二次 根式；(2)看被开方数是否相同.
湘教版八年级上册数学 5.3《二次根式的加减和减法》课件 (共39张PPT)
例 1 解 ：( 2 ) 2 1 8 5 0 1 4 5 3
23 2 5 2 13 5 3
6 25 2 5
2 5
通过例1我们发现，二次根式的加减法和我 们能够联想到前学习过的哪一种运算呢？但是 有什么不同呢？
二次根式的加减类似于合并同类项 的运算.
注意 2 的系数是1(这是因为 2=1· 2 )， - 2 的系数是-1(这是因为 -2=(-1)2).
结论
由此看出，二次根式的加、减运算， 首先要把每个根式化简，然后再把被开方 数相同的二次根式的系数相加、减，被开 方数不变.
例 2 图5-2是某土楼的平面剖面图，它是由两个相 同圆心的圆构成.已知大圆和小圆的面积分别为
763.02m2和150.72m2. 求圆环的宽度 d ( 取3.14).
·分析问题：
•
9、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。2021 /8/220 21/8/2 Monday , August 02, 2021
•
10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。202 1/8/22 021/8/2 2021/8 /28/2/2 021 10:40:55 PM
•
11、越是没有本领的就越加自命不凡 。2021/ 8/2202 1/8/220 21/8/2 Aug-21 2-Aug-2 1
=(2 2 + 3 2)× 6× 500 = 5 2× 6× 500 = 5000 3(m3). 即这段路基的土石方为5000 3 m3.
结论
二次根式的混合运算是 根据实数的运算律进行的.
例3 计算:
(
1
)
6-
3 8
×
2；
( 2 )( 2 + 2 )( 1 - 2 ).
湘教版八年级数学上册课件ppt《二次根式的加法和减法》
湖南教育出版社 八年级 | 上册
例1 计算：
( 1 ) 5 8 - 2 27 + 18 ；
( 2 ) 2 18 -
50
+
1 3
45.
解 ( 1 ) 5 8 - 2 27 + 18 = 10 2 - 6 3 +3 2 = 13 2 - 6 3.
( 2 ) 2 18 -
50
+
1 3
45
= 6 2- 5 2+ 5
( 4 ) 3+ 10 2- 5 .
湖南教育出版社 八年级 | 上册
练习
答案： 3 答案：4+2 2 答案：3+ 3 答案：- 5 - 2 2
2. 计算： ( 1 ) ( 5 - 2)2 ； ( 2 )( 7 + 2)( 7 - 2).
湖南教育出版社 八年级 | 上册
答案：7- 2 10 答案：5
，
8 所以18BE的. 长度为
8 18 = 2 2 3 2 （化成最简二次根式）
= 2 3 2 （分配律）
= 5 2.
湖南教育出版社 八年级 | 上册
在进行二次根式的加减运算时， 通常应先将每个二次根式 化简，然后再将被开方数相同的二次根式的系数相加减，但被开 方数不变。
= 2 + 5.
湖南教育出版社 八年级 | 上册
二次根式的加减与 合并同类项类似.
.
湖南教育出版社 八年级 | 上册
例2 下图是某土楼的平面剖面图，它是由两个相同圆心的圆构成.已知
大圆和小圆的面积分别为763.02m2和150.72m，求圆环的宽度d （π取3.14）.
d
湖南教育出版社 八年级 | 上册
湘教版八年级上册数学精品教学课件 第5章 二次根式 第1课时 二次根式的加减运算
八年级数学上（XJ） 教学课件
第5章 二次根式
5.3 二次根式的加法和减法
第1课时 二次根式的加减运算
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1. 理解和掌握二次根式加减的运算法则及能正确地 对二次根式进行加减运算；（重点、难点）
2. 通过实例分析，从中正确地掌握二次根式加减运 算的基本步骤．
问题3 有八只小白兔，每只身上都标有一个最简二次根 式，你能根据被开方数的特征将这些小白兔分到四个不 同的栅栏里吗？
能力提升： 6. 已知 a，b 都是有理数，现定义新运算：a*b= a 3 b，求 (2*3) - (27*32) 的值． 解：∵a*b = a 3 b ， ∴ (2*3) - (27*32)
= 2 3 3 27 3 32
= 2 3 3 3 3 12 2
= 11 2.
课堂小结
例5 下图是某土楼的平面剖面图，它是由两个相同圆 心的圆构成. 已知大圆和小圆的面积分别为 763.02 m2 和 150.72 m2，求圆环的宽度 d (π 取 3.14). 解：设大圆和小圆的半径分别为 R，r，
面积分别为 S1，S2，由 S1 = πR2，
S2 = πr2，可得 R
S1，r π
二次根 式的加
减
法则 注意
一般地，二次根式的加减 时，可以先将二次根式化成最 简二次根式，再将被开方数相 同的二次根式进行合并.
运算原理 运算律仍然适用
运算顺序
与实数的运 算顺序一样
S2 . π
d
则 d R r S1 S2
ππ
763.02 150.72
3.14
3.14
243 48
9 34 3
第5章 二次根式
5.3 二次根式的加法和减法
第1课时 二次根式的加减运算
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1. 理解和掌握二次根式加减的运算法则及能正确地 对二次根式进行加减运算；（重点、难点）
2. 通过实例分析，从中正确地掌握二次根式加减运 算的基本步骤．
问题3 有八只小白兔，每只身上都标有一个最简二次根 式，你能根据被开方数的特征将这些小白兔分到四个不 同的栅栏里吗？
能力提升： 6. 已知 a，b 都是有理数，现定义新运算：a*b= a 3 b，求 (2*3) - (27*32) 的值． 解：∵a*b = a 3 b ， ∴ (2*3) - (27*32)
= 2 3 3 27 3 32
= 2 3 3 3 3 12 2
= 11 2.
课堂小结
例5 下图是某土楼的平面剖面图，它是由两个相同圆 心的圆构成. 已知大圆和小圆的面积分别为 763.02 m2 和 150.72 m2，求圆环的宽度 d (π 取 3.14). 解：设大圆和小圆的半径分别为 R，r，
面积分别为 S1，S2，由 S1 = πR2，
S2 = πr2，可得 R
S1，r π
二次根 式的加
减
法则 注意
一般地，二次根式的加减 时，可以先将二次根式化成最 简二次根式，再将被开方数相 同的二次根式进行合并.
运算原理 运算律仍然适用
运算顺序
与实数的运 算顺序一样
S2 . π
d
则 d R r S1 S2
ππ
763.02 150.72
3.14
3.14
243 48
9 34 3
湘教版八年级数学上册5.3二次根式的加法和减法
反思
二次根式的乘除法和加减法在运算步骤上有何不同？ 二次根式的乘除法：先算后化.
即二次根式的乘除法一般要先把被开方数 相乘或相除，再化成最简二次式.
二次根式的乘除法：先化后算. 即二次根式的加减法一般要先把二次根式 化成最简二次式，然后类似于3 2
化成最简二次根式
分配律
2 3 2
5 2 .
进行二次根式的加减运算时，通常应先 将每个二次根式化成最简二次根式，然 后再将被开方数相同的二次根式的系数 相加减，但被开方数不变.
例1
计算：
1 5
8-2 27+ 18 ；
1 2 2 18- 50+ 45 . 3
例2 下图是某土楼的平面剖面图，它是由两个
相同圆心的圆构成.已知大圆和小圆的面积分别为
763.02m² 和150.72m² ，求圆环的宽度d(π取3.14).
d
Rd r
d
解：设大圆和小圆的半径分别 为R,r，面积分别为S1, S2，由 S1=πR², S2=πr²可知
R= 则d= R-r =
s1
注意：先化简，再计算.
2.计算：
1
2 3 8+2 7 ；
2 2
3-5 8 -
75 18 .
注意：这两道题有括号，应先按去括号 的法则去括号.
反思
怎样进行二次根式的加法和减法运算？
口诀：先化后算
先化：先化简二次根式；
后算：再把同类二次根式的系数相加减，
被开方数不变.
解： 1 5 8 - 2 27 + 18
= 10 2 -6 3 3 2 = 13 2 - 6 3.
1 2 2 18- 50+ 45 3 = 6 2 5 2 5
湘教版八年级数学上册第5章 5.3 二次根式的加法和减法 第1课时 二次根式的加、减法
9. 如果最简二次根式 4a＋3b与b＋1 2a－b＋6 能
够合并，则( D )
A．a＝2，b＝2
B．a＝2，b＝1
C．a＝1，b＝2
D．a＝1，b＝1
10. 等腰三角形的两条边长为 2 3和 5
三角形的周长为( C )
A．4 3＋5 2 B．2 3＋5 2 C．2 3＋10 2 D．4 3＋5 2或 2 3＋10 2
解：∵2－1 3＝2＋ 3， ∴a＝3，则 b＝2＋ 3－3＝ 3－1. ∴a2－b2＝32－( 3－1)2＝5＋2 3.
18. 如图，面积为 48 cm2 的正方形的四个角均是面 积为 3 cm2 的小正方形，请动手操作，将四个角剪掉， 制作一个无盖的长方体盒子，求这个长方体盒子的底面 边长．
解：长方体盒子的底面边长为 48－2 3＝4 3－2 3
的个数为( B )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
4. 计算：
(1)(2018·苏州)－12＋
9－
222；
解：原式＝12＋3－12＝3；
(2)2x 4x＋6x 9x－2x2 1x.
解：原式＝x x.
知识点 二次根式加减法的运用
5. 设三角形的三边边长分别是 4 50 cm，4 72 cm
16. 先化简，后计算：a＋1 b＋1b＋a（ab＋b），其中 a
＝
52＋1，b＝
5－1 2.
解：原式＝aba＋b（a2＋a＋abb＋）b2＝a（b（a＋a＋b）b）2 ＝aa＋bb.
当 a＝ 52＋1，b＝ 52－1时，原式的值为 5.
17.
已知2－1
的整数部分为 3
a，小数部分为
b，求
a2－b2 的值．