计算方法(01) 第一章 绪论改
第一章 科学计算与数学建模绪论
第一章绪论1.1 数学与科学计算数学是科学之母，科学技术离不开数学，它通过建立数学模型与数学产生紧密联系，数学又以各种形式应用于科学技术各领域。
数学擅长处理各种复杂的依赖关系，精细刻画量的变化以及可能性的评估。
它可以帮助人们探讨原因、量化过程、控制风险、优化管理、合理预测。
几十年来由于计算机及科学技术的快速发展，求解各种数学问题的数值方法即计算数学也越来越多地应用于科学技术各领域，新的计算性交叉学科分支纷纷兴起，如计算力学、计算物理、计算化学、计算生物、计算经济学等。
科学计算是指利用计算机来完成科学研究和工程技术中提出的数学问题的计算，是一种使用计算机解释和预测实验中难以验证的、复杂现象的方法。
科学计算是伴随着电子计算机的出现而迅速发展并获得广泛应用的新兴交叉学科，是数学及计算机应用于高科技领域的必不可少的纽带和工具。
科学计算涉及数学的各分支，研究它们适合于计算机编程的数值计算方法，就是计算数学的任务，它是各种计算性学科的联系纽带和共性基础，兼有基础性、应用性和边缘性的数学学科。
它面向的是数学问题本身而不是具体的物理模型，但它又是各计算学科共同的基础。
随着计算机技术的飞速发展，科学计算在工程技术中发挥着愈来愈大的作用,已成为继科学实验和理论研究之后科学研究的第三种方法。
在实际应用中所建立的数学模型其完备形式往往不能方便地求出精确解，于是只能转化为简化模型，如将复杂的非线性模型忽略一些因素而简化为线性模型，但这样做往往不能满足精度要求。
因此，目前使用数值方法来直接求解较少简化的模型，可以得到满足精度要求的结果，使科学计算发挥更大作用。
了解和掌握科学计算的基本方法、数学建模的过程和基本方法已成为科技人才必需的技能。
因此，科学计算与数学建模的基本知识和方法是工程技术人才必备的数学素质。
1.2 数学建模及其重要意义数学，作为一门研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直是和人们生活的实际需要密切相关。
数值计算方法第一章
第一章绪论本章以误差为主线，介绍了计算方法课程的特点，并概略描述了与算法相关的基本概念，如收敛性、稳定性，其次给出了误差的度量方法以及误差的传播规律，最后，结合数值实验指出了算法设计时应注意的问题.§1*1引言计算方法以科学与工程等领域所建立的数学模型为求解对象，U的是在有限的时间段内利用有限的计算工具计算出模型的有效解答。
由于科学与工程问题的多样性和复杂性，所建立的数学模型也是各种各样的、复杂的•复杂性表现在如下儿个方面：求解系统的规模很大，多种因素之间的非线性耦合，海量的数据处理等等，这样就使得在其它课程中学到的分析求解方法因计算量庞大而不能得到计算结果，且更多的复杂数学模型没有分析求解方法.这门课程则是针对从各种各样的数学模型中抽象出或转化出的典型问题，介绍有效的串行求解算法，它们包括(1)非线性方程的近似求解方法；(2)线性代数方程组的求解方法；(3)函数的插值近似和数据的拟合近似；⑷积分和微分的近似计算方法；(5)常微分方程初值问题的数值解法；(6)优化问题的近似解法；等等从如上内容可以看出，计算方法的显著特点之一是“近似”.之所以要进行近似计算，这与我们使用的工具、追求的LI标、以及参与计算的数据来源等因素有关.计算机只能处理有限数据，只能区分、存储有限信息，而实数包含有无穷多个数据，这样，当把原始数据、中间数据、以及最终计算结果用机器数表示时就不可避免的引入了误差，称之为舍入误差.我们需要在有限的时间段内得到运算结果，就需要将无穷的计算过程截断，从而产生截断误差.如e = l + ； +寺+…的计算是无穷过程，当用丄• 乙•®T +卜加…+ 2作为"的近似时，则需要进行有限过程的计算，但产生了截断误差当用计算机计算5时，因为舍入误差的存在，我们也只能得到5的近似值也就是说最终用/近似0,该近似值既包含有舍入误差，也包含有截断误差.当参与计算的原始数据是从仪器中观测得来时，也不可避免得有观测误差.由于这些误差的大量存在，我们得到的只能是近似结果，进而对这些结果的“可靠性”进行分析就是必须的，它成为计算方法的第二个显著特点.可靠性分析包括原问题的适定性和算法的收敛性、稳定性.所谓适定性问题是指解存在、惟一，且解对原始数据具有连续依赖性的问题.对于非适定问题的求解，通常需要作特殊的预处理，然后才能做数值计算.在这里，如无特殊说明，都是对适定的问题进行求解.对于给定的算法，若有限步内得不到精确解，则需研究其收敛性.收敛性是研究当允许计算时间越来越长时，是否能够得到越来越可靠的结果，也就是研究截断误差是否能够趋于零.对于给定的算法，稳定性分析是指随着计算过程的逐步向前推进，研究观测误差、舍入误差对计算结果的影响是否很大.对于同一类模型问题的求解算法可能不止一种，常希望从中选出高效可靠的求解算法.如我国南宋时期著名的数学家秦九韶就提出求〃次多项式陽於+©"心+…+%+兔值的如下快速算法t = a n_k；s = sx + t伙= 1,2,…它通过“次乘法和H次加法就计算出了任意n次多项式的值.再如幕函数x64可以通过如下快速算法计算出其值S = X ;s = s s；循环6次如上算法仅用了6次乘法运算，就得到运算结果.算法最终需要在计算机上运行相应程序，才能得到结果，这样就要关注算法的时间复杂度（汁算机运行程序所需时间的度量）、空间复杂度（程序、数据对存储空间需求的度量）和逻辑复杂度（关联程序的开发周期、可维护性以及可扩展性）.事实上，每一种算法都有自己的局限性和优点，仅仅理论分析是很不够的，大量的实际计算也非常重要，结合理论分析以及相当的数值算例结果才有可能选择出适合自己关心问题的有效求解算法.也正因如此，只有理论分析结合实际计算才能真正把握准算法.§1.2误差的度■与传播一、误差的度量误差的度量方式有绝对误差、相对误差和有效数字.定义1・1用/作为量x的近似，则称为近似值F的绝对误差. 由于量x的真值通常未知，所以绝对误差不能依据定义求得，但根据测量工具或计算情况，可以估计出绝对误差绝对值的一个较小上界即有e(x") = x -x < £(1.1)称正数g为近似值F的绝对误差限，简称误差.这样得到不等式x"-s<x<x+s工程中常用X = X4 ±£表示近似值”的精度或真值X所在的范围.误差是有量纲的，所以仅误差数值的大小不足以刻划近似的准确程度.如量S = 123 ±0.5c〃= 1.23 ±0.005税=1230000± 5000/劝(1.2)为此，我们需要引入相对误差♦定义1・2用T H O作为量x的近似，称为近似值F的相对误X差.当”是X的较好近似时，也可以用如下公式计算相对误差e r(x) = ^^-(1.3)X显然，相对误差是一个无量纲量，它不随使用单位变化.如式(1.2)中的量$ 的近似，无论使用何种单位，它的相对误差都是同一个值.同样地，因为量x的真值未知，我们需要引入近似值F的相对误差限片X),它是相对误差绝对值的较小上界.结合式(1.1)和(1.3), F相对误差限可通过绝对误差限除以近似值的绝对值得到，即为给出近似数的一种表示法，使之既能表示其大小，乂能体现其精确程度, 需引入有效数字以及有效数的概念.定义1・3设量x的近似值F有如下标准形式X = ±10" xO.a{a^ …aj ・・a卩=±仏X1O"T +&2 X1O"L2 + …+勺X1O"L" + …+竹X1O"LP)(1.5)其中｛%｝红u｛O,l,…,9｝且绚HO,加为近似值的量级.如果使不等式/-X <-xlO w_/,（1.6）2成立的最大整数为“，则称近似值T具有"位有效数字，它们分别是①、①、… 和心.特别地，如果有n = p，即最后一位数字也是有效数字，则称/是有效数.从定义可以看出，近似数是有效数的充分必要条件是末位数字所在位置的单位一半是绝对误差限.利用该定义也可以证明，对真值进行“四舍五入”得到的是有效数.对于有效数，有效数字的位数等于从第一位非零数字开始算起，该近似数具有的位数.注意，不能给有效数的末位之后随意添加零，否则就改变了它的精度.例1・1设量兀十其近似值<=3.141 , X； =3.142 ,坨=丰.试回答这三个近似值分别有儿位有效数字，它们是有效数吗？解这三个近似值的量级m = \,因为有x； -x = 0.00059--- < 0.005 = 1 x 10-2 =lxl0*-3' 2 2x；—x = 0.0004 --< 0.0005 = -x 10-3 =-xl01-4- 2 2x； =3.1428571428 57成一x = 0.001 - ■ < 0.005 = 1 x 10-2 = - x 101-32 2所以彳和x；都有3位有效数字，但不是有效数.％；具有4位有效数字，是有效数.二、误差的传播这里仅介绍初值误差传播，即假设自变量带有误差，函数值的计算不引入新的误差.对于函数$ = /（羽,®…/”）有近似值:/ 利用在点（兀；,%；,…,%；）处的泰勒公式（Taylor Formula）,可以得到fl</） = y* -ya …工）（x；-兀）r-in=工乞（斤*；,・・工上（€）（1・7）r-l其中fi：=尘，£是兀的近似值，e（x；）是x；的绝对误差（/ = 1,2,式（1.7）ox i表明函数值的绝对误差近似等于自变量绝对误差的线性组合，组合系数为相应的偏导数值.从式（1・7）也可以推得如下函数值的相对误差传播近似计算公式/r£工犬（昭迟,…工）十耳（£）（1.8）/=iy对于一元函数y = 从式（1.7）和（1.8）可得到如下初值误差传播近似计算 公式e （QyX ）eX ）（1.9）-（）「）2 广（1.10）y式（1・9）表明，当导数值的绝对值很大时，即使自变量的绝对误差比较小，函数值 的绝对误差也可能很大.例1・2试建立函数y =/（州宀，…，兀）=州+厂+…+ X”的绝对误差（限）、相对 误差的近似传播公式，以及*: >0｝；；时的相对误差限传播公式.解 山公式（1・7）秋1.8河分别推得和的绝对误差、相对误差传播公式如下e （）「） Q £ 力（x ；，x ；，…,£ "（X ； ）=£ e （X/）r-1J -1e,（y X ）〜（x ；，€，…，兀：）二e,.（x ；）=£= J（x ；）/=iyf=i y进而有例1・3使用足够长且最小刻度为1mm 的尺子，量得某桌面长的近似值6/* =1304.3 mm,宽的近似值//= 704.8mm （数据的最后一位均为估计值）.试求 桌子面积近似值的绝对误差限和相对误差限.解长和宽的近似值的最后一位都是估计位，尺子的最小刻度是毫米，故有误 差限（1・11）i?（X ；）5£|心：）|述£（€）/=l/=1i=l于是有和的绝对误差限近似传播公式£（）「）心亍£（€）r-i当*: >o ｝；；时，由式（1.3）推得相对误差限的近似传播公式1>（€）”6（从号□ 牙，=max £r （x ； ）V —= max s r （x t ） \<i<n 伺 丫 l<r</i /=i\<i<n \<i<nl<r<w£（/） = 0.5 mm, £•（/?*） = 0.5 mm面积S = ab.山式(1・7)得到近似值匚=ab4的绝对误差近似为e(S*) a b*e(a*) + a*e(b')进而有绝对误差限£(S\ a ”*") + ”*(//) = 704.8x0.5 +1304.3 x 0.5 = 1004.55 mnr 相对误差限心、£(Sj 1004.55 nnnil n巧(S ) q —；— = ------------------- 2 0.0011 =0.11%S 1304.3x704.8§13数值实验与算法性能比较本节通过儿个简单算例说明解决同一个问题可以有不同的算法，但算法的性能并不完全相同，他们各自有自己的适用范围，并进而指出算法设计时应该注意的事项.算例1・1表达式丄-一 =—*—,在计算过程中保留7位有效数字，研究X x + \ x(x+l)对不同的X,两种计算公式的计算精度的差异.说明1： Matlab软件采用IEEE规定的双精度浮点系统，即64位浮点系统，其中尾数占52位，阶码占10位，尾数以及阶码的符号各占1位.机器数的相对误差限(机器精度)eps=2一52^2.220446X 10一”，能够表示的数的绝对值在区间(2.2250739X 1O-308, 1.797693X1O308)内，该区间内的数能够近似表达，但有舍入误差，能够保留至少15位有效数字.其原理可参阅参考文献[2, 4].分析算法1：y.W = --一和算法2：y?(A)= —1—的误差时，精确解用X X +1 ~ x(x+1)双精度的计算结果代替.我们选取点集｛*｝二中的点作为X,比较两种方法误差的差异.从图1」可以看出，当X不是很大时，两种算法的精度相当，但当X很大时算法2的精度明显高于算法1.这是因为，当x很大时，丄和丄是相近数，用X x+\算法1进行讣算时出现相近数相减，相同的有效数字相减后变成零，于是有效数字位数急剧减少，自然相对误差增大.这一事实也可以从误差传播公式(1.12)分析出.鉴于此，算法设计时，应该避免相近数相减.在图1.2中我们给出了当x接近-1时，两种算法的精度比较，其中变量x依次取为｛龙7-1｝=.从图中可以看出两种方法的相对误差基本上都为10-7,因而二者的精度相当.图1.1算例1」中两种算法的相对误差图（XTRD ）丈,5^ 1015 X Ki. x=prM图1.2算例1.1中两种算法的精度比较（JVT-1）算例1・2试用不同位数的浮点数系统求解如下线性方程组0.0000 LVj +2X 2 = 1<2x, + 3X 2 = 2说明2：浮点数系统中的加减法在运算时，首先按较大的阶对齐，其次对尾数 实施相应的加减法运算，最后规范化存入计算机.算法1首先用第一个方程乘以适当的系数加至第二个方程，使得第二个方程 的州的系数为零，这时可解出心；其次将兀带入第一个方程，进而求得“（在第 三章中称该方法为高斯消元法）.当用4位和7位尾数的浮点运算实现该算法， 分别记之为算法la 和算法lb.2D 0 -2X - ■ ■ ■ ■ ■A O.5-1.5-2.5-3.5-4.S 0.-1Z.-3.-4. . ・. . •算法2首先交换两个方程的位置，其次按算法1计算未知数(第三章中称其为选主元的高斯消元法).当用4位和7位尾数的浮点运算实现该算法，分别记之为算法2a和算法2b.方程组的精确解为=0.25000187 ...» x2 = 0.49999874 ...,用不同的算法计算出的结果见表1.1.表1.1对算例1.2用不同算法的讣算结果比较算例1.2X；g；）X；■巧(x；)算法la0.00000.10X1010.50000.25X IO-7算法2a0.25000.75 X10-70.50000.25X IO-7算法lb0.26000000.40X10-10.49999870.10X10-60.2500020O.5OX1O-80.50000000.25 X10-7对于算例1.2,表中的数据表明，当用4位尾数计算时，算法1给出错误的结果，算法2则给出解很好的近似.这是因为在实现算法1时，需要给第一个方程乘以-2/0.00001加至第二个方程，从而削去第二个方程中比的系数，但在计算孔的系数时需做如下运算• _2 -x2 + 3 = -0.4xlO6 +0.3x10*= -0.4x 106 +0.000003x 106(1.13) 0.00001对上式用4位尾数进行计算，其结果为一0.4X106.因为舍入误差，给相对较大的数加以相对较小的数时，出现大数“吃掉”小数的现象.计算右端项时，需做如下运算-~2 -x 1 + 2 = -0.2x 106 +0.2xl0*=-0.2xl06-F0.000002xl06(1.14) 0.00001同样出现了大数吃小数现象，其结果为-0.2X106.这样，得到的变形方程组‘0」xioj +0.2x10'x2=0.1x10"-0.4X106X2=-0.2X1 0&中没有原方程组中笫二个方程的信息，因而其解远偏离于原方程组的解.该算法中之所以出现较大数的原因是因为运算-2/0.00001,因而算法设计•中尽可能避免用绝对值较大的数除以绝对值较小的数.其实半分子的量级远远大于分母的量级时，除法运算还会导致溢出，计算机终止运行.虽从单纯的一步计算来看，大数吃掉小数，只是精度有所损失，但多次的大数吃小数，累汁起来可能带来巨大的误差，棋至导致错误.例如在算法la中出现了两次大数吃小数现象，带来严重的后果.因而尽可能避免大数吃小数的出现在算法设计中也是非常必要的.当用较多的尾数位数进行计算，舍入误差减小，算法1和2的结果都有所改 善，算法1的改进幅度更大些.算例13计算积分/” =「丄心有递推公式/,严丄-5/心（〃 =1,2,…），已知Jux + 5 n6取人的近似值为/（； =0.18232155 679395 ,按递推公式/：=丄一5/二计n算心W 1/39<J —^=5x(39+1/ 取厶的近似".00458333 333333 ,按递推公式 /二“丄一计算5 5 ）算法1和算法2的计算结果见表1.2.误差绝对值的对数图见图1.3. 表1・2算例1.3的计算结果n 算法1 n 算法2I:I ： -Ini;I ： -In18.8392e-OO2 1.9429e-016 39 4.5833e-003 3.9959e-004 2 5.8O39e-OO2 9.8532e-016 38 4.2115e-003 7.9919e-005 3 4.3139e-002 4.9197e-015 37 4.4209e-003 1.5984.005 4 3.4306e-002 2.4605e-014 36 4.5212e-003 3.1967e-006 5 2.8468e-002 1.2304e-013 35 4.6513e-003 6.3935e-007 62.4325e-002 6.1520e-013 34 4.7840e-0031.2787e-007 • • • • • •• •33 4.9255e-003 2.5574e-008 25 1.1740e+0011.1734e+001 32 5.0755e-003 5.1148e-009 26 -5.8664e+001 5.8670e+001 31 5.2349e-003.0230e-009 27 2.9336e+002 2.9335e+002 305.4046e-0032.0459e-01028 -1.4667e+003 .4668e+00329 7・3338e+003 7.3338e+OO330 -3.6669e+0043.6669e+004釆用IEEE 双精度浮点数，分别用如下两种算法计算人。
1数值计算方法1解析
i 2 ,3 , , n
第一章
引论
Ax b 第一章
i 2 ,3 , , n 绪论
§ 1.1 数值计算的研究对象与特点 § 1.2 数值问题与数值方法
a11 a21 A an 1 a12 a1 n 误差 § 1.3 a22 a2 n i 1 b l x i ij j j 1 an 2 ann x i lii
§ 1.1 计算机数值方法的研究对象与特点
以计算机为工具,求解各种数学模型,都要经历三个过程:
总体设计——模型的细化 详细设计——主要为算法设计 程序设计
计算机数值方法研究的是将数学模型化为数值问题， 并研究求解数值问题的数值方法进而设计数值算法
§ 1.2 数值问题与数值算法
一、数值问题 数值问题： 输入数据与输出数据之间关系
如求根公式 应化为公式
x1 , 2
x1 , 2
b b 2 4ac 2a
b sqrt(b 2 4ac) 2a
2 n x x ex 1 x 2! n!
超越函数e
x
应化为
函数y( x)的导数y( x)的计算应化为
y( x h ) y( x ) y( x ) h
3.14159265
2 1.414213562
1 1 0.166666666 3! 6
过失误差
3.1415927
2 1.4142136
1 0.16666667 3!
由于模型错误或方法错误引起的误差. 这类误差一般可以避免
数值计算中除了过失误差可以避免外,其余误差都是 难以避免的.数学模型一旦建立,进入具体计算时所考 虑和分析的就是截断误差和舍入误差
计算方法绪论
高尔夫球的表面有凹坑，能增加旋转时的提升力，考虑 到这个因素，我把我计算时的高尔夫球的风阻系数取为：
C 0.15
有报道说，顶级专业选手击出的球的初速高达时速180英 里，一般专业选手达160英里时速（约71.1米/秒），业 余选手在126英里时速的水平。计算中，我取初速
y' (0) w0 sin c21
则 x c11t
y
0.5gt2
c21t
✓ 把复杂因素尽可能在符合需求的条件下简化。 8
（2）有空气阻力（但不空考虑风的影响等）
m m
d2x dt2 d2y dt2
k wn 1 k wn 1
dx
dt dy
dt
mg
其中 w ( dx)2 ( dy )2 dt dt
• 数值积分方法（例如复合辛普森公式）求定积分。
求得 x(t)和 y(t) 的离散点值 x j 和 y j
(xj, yj)
16
接下来，我们根据这些离散点值，找到一条通过这些 点的光滑曲线，从而给出高尔夫球的完整轨迹。需要： • 插值方法（例如三次样条多项式插值）。
17
• 数据的拟合（例如最小二乘法）
4
• 数值计算方法的研究内容 计算机应用的两大领域： * 数值应用领域 * 非数值应用领域 数值计算方法是数值应用领域的基
础，其主要工作是要设计和分析各种算 法，这些算法是以数值的形式求解科学 和工程中提出的各种数学问题。它是用 近似的方法来处理各种连续的量、函数 和方程，获得它们的数值解（近似解）。
取适当的初值 x0 ，迭代收敛可得到1个根。
✓ 把非线性问题，通过线性化的方法近似求解。
数值分析计算方法试题集及答案
数值分析复习试题第一章 绪论 一. 填空题 1.*x为精确值x 的近似值；()**x f y =为一元函数()x f y =1的近似值；()**,*y x f y =为二元函数()y x f y ,2=的近似值，请写出下面的公式：**e x x =-：***r x xe x -=()()()*'1**y f x x εε≈⋅ ()()()()'***1**r r x f x y x f x εε≈⋅()()()()()**,**,*2**f x y f x y y x y x yεεε∂∂≈⋅+⋅∂∂()()()()()****,***,**222r f x y e x f x y e y y x y y y ε∂∂≈⋅+⋅∂∂ 2、 计算方法实际计算时，对数据只能取有限位表示，这时所产生的误差叫 舍入误差 。
3、 分别用2.718281，2.718282作数e 的近似值，则其有效数字分别有6 位和7 位；又取 1.73≈-211.73 10 2≤⨯。
4、 设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x 的相对误差限为0.0055 。
5、 设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x +的误差限为0.01 。
6、 已知近似值 2.4560A x =是由真值T x 经四舍五入得到,则相对误差限为0.0000204 .7、递推公式,⎧⎪⎨⎪⎩0n n-1y =y =10y -1,n =1,2,如果取0 1.41y ≈作计算,则计算到10y 时,误差为8110 2⨯;这个计算公式数值稳定不稳定 不稳定 . 8、精确值 14159265.3*=π，则近似值141.3*1=π和1415.3*2=π分别有 3位和 4 位有效数字。
9、若*2.71828x e x =≈=,则x 有 6 位有效数字，其绝对误差限为1/2*10-5。
10、 设x*的相对误差为2％，求(x*)n的相对误差0.02n11、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；12、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 13、为了使计算 ()()2334610111y x x x =++---- 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为199920012+。
化工过程模拟与计算(第1章绪论)
3
.
“三传”为动量传递（流体输送、过滤、沉降、固体流态化 等，遵循流体动力学基本规律）、热量传递（加热、冷却、 蒸发、冷凝等，遵循热量传递基本规律）和质量传递（蒸馏、 吸收、萃取、干燥等，遵循质量传递基本规律），“一反” 为化学反应过程。
1.4.2 旧装置改造
12
.
1.4.3 新工艺.
1.4.5 科学研究 1.4.6 工业生产的科学管理 1.4.7 动态模拟、实时优化的基础
14
.
1.5 化工过程稳态模拟系统的构成 1.5.1 模拟系统的主要组成部分
➢ 模拟系统的分类： • 专用型：早期模拟软件，仅适用于某一确定的化工流程。 • 通用型：通用化工模拟系统指的是该模拟软件适用于任何 工艺流程。
国际单位制三种单位）
（2）组分数据：库组分，石油馏分，用户定义的组分。 （3）热力学方法：对准确性起决定性作用。 （4）物流数据：物流的温度、压力、流量和组成 （5）单元过程数据：各个单元过程的工艺条件及可能有
的约束条件。
18
.
1.6 课程内容及要求
1.6.1 课程内容
第2章 化工过程模拟及相关高新技术 第3章 石油馏分 第4章 热力学方法 第5章 化工单元过程计算 第6章 蒸馏过程计算
15
图1-1 稳态模拟系统的结构
流程图
数据文件
流程图拓扑分析及数据检查
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.
物 热 库化 功 收 经 系输
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成
16
最优化计算方法(工程优化)第1章
最优化在物质运输、自动控制、机械设计、采矿冶金、经 济管理等科学技术各领域中有广泛应用。下面举几个简单的实 例。
例1：把半径为1的实心金属球熔化后，铸成一个实心圆柱体， 问圆柱体取什么尺寸才能使它的表面积最小？
解：决定圆柱体表面积大小有两个决策变量：圆柱体底面半 径r、高h。
问题的约束条件是所铸圆柱体重量与球重相等。即
优化模型的分类
根据问题的不同特点分类
一般的约束优化问题
标准形式
min
xRn
f
x
s.t. gi x 0, i 1, 2, , m
1） gi x 0 -gi x 0
2）
hi
x
0
hi x 0
-hi
x
0
优化模型的分类
根据函数类型分类
线性规划：目标函数、约束条件都是线性的 非线性规划：目标函数、约束条件中的函数不全是线性
yi
a1
1
a3
ln 1
a2 exp
xi
a4 a5
最优化问题举例
例3已：知有从一v旅i 到行团v j从的v旅0费出为发要cij遍，游问城应市如何v1安, v排2 行,..程.,使vn总 ，
费用最小？
模型：
变量—是否从i第个城市到第j个城市
xij 1, 0;
约束—每个城市只能到达一次、离开一次
因此，我们在学习本课程时要尽可能了解如何 由实际问题形成最优化的数学模型。
数学模型: 对现实事物或问题的数学抽象或描述。
最优化问题的数学模型与分类
数学模型的建立
建立数学模型时要尽可能简单，而且要能完整地描 述所研究的系统。
过于简单的数学模型所得到的结果可能不符合实际情 况；而过于详细复杂的模型又给分析计算带来困难。
数值计算方法-全套课件
数值计算方法
Numerical Method
数值计算方法
1
第一章 绪 论
课程简介
什么是数值计算方法？ 为什么学习数值计算方法？ 数值计算方法的主要内容
数值计算中的误差
误差的种类及其来源 绝对误差与相对误差 有效数字与误差 舍入误差与截断误差 误差的传播与估计 算法的数值稳定性
t
12
数值计算方法
课堂教学内 容
绪论 (1周) 非线性方程求根 (1周) 求解线性方程组的数值方法 (2周) 插值和曲线拟合 (1周) 数值微分和数值积分 (1周) 常微分方程数值解 (1周)
数值计算方法
19
教学安 排
理论
13：15～15：40
上机（助教负责）
四次 海洋大楼机房 刷校园卡
确定降落伞的最后速度
FU
加速度表示为速度的变化率
dv F dt m
如果净受力为正，物体加速运动； 如果为负，物体减速运动；如果为0， 物体速度不变。
假定向下的力为正，
FD mg
FU cv
c为比例系数，称为阻力系数（drag
coefficient(kg/s)）。参数c说明了下降物
FD
体的特征，如形状或表面的粗糙程度。
4
数值计算方法
非计算机方 法
解析方法
简单问题 实际价值有限
图解法
结果准确？ 三维及以下
手工方法
计算器 速度慢，很容易出现低级错误
5
数值计算方法
工程问题求解的三个 阶段
公式化
简洁表示 的基本定律
公式化
深入分析问题与 基本定律的关系
求解
用详细、通常也是复杂 的方法来求解问题
数学方法论第一章绪论
中国著名数学教育家、数学方法论专家 -----徐利治
第一讲
绪论
一、研究数学方法论的意义
促进数学发展 发挥数学的功能 改革数学教育 培养数学人才
二、数学方法论的定义及分类
1.方法、方法论和科学方法论
二、数学方法论的定义及分类
2.数学方法的分类
•具体方法 •一般方法 •数学思想方法
三、数学方法论的性质及研究对象
则有
1 1 1 1 1 1 b0 x2 2 x2 2 x2 2 0 1 2 n
即
x 2 x2 x2 0 b0 1 2 1 2 1 2 1 2 n
数学方法论
张龙军 909242428
日本数学家、数学教育家米山国藏指出：
“学生进入社会后，几乎没有机会应用他们所
学到的数学知识，因而这种作为知识的数学， 通常在学生出校门后不到一两年就忘掉了，然
而不管人们从事什么业务工作，那种铭刻于头
脑中的数学精神和数学思想方法，却长期地在 他们的生活和工作中发挥着重要的作用。”
x x x 1 2 1 2 1 2 2 0 4 n 比较这个方程与方程（**） x2项的系数，
2 2 2
得出
1 1 1 1 2 2 2 6 2 3
于是有
对于这个结果，欧拉写道：“这种方法是新 的并且还来没有这样用过。” 欧拉又用这种方法重新发现了著名的莱布尼 兹级数的和：
17 世纪以后，欧洲的数学摆脱了发展缓慢 的状态，这一“数学中的转折点是笛卡尔的变数 ，有了变数，运动进入数学，有了变数，辩证法 进入了数学。”（恩格斯语）在笛卡尔的解析几 何中“曲线是任何具体代数方程的轨迹”，这不 仅一下子扩充了数学的范围，而且为代数方法运 用到几何乃至整个数学铺平了道路。
计算方法答案王能超
计算方法答案王能超【篇一：计算方法习题集及实验指导书】s=txt>计算机科学与技术系檀明2008-02-10课程性质及目的要求（一）课程性质自计算机问世以来，科学计算一直是计算机应用的一个重要领域，数值计算方法是解决各种复杂的科学计算问题的理论与技术的基础。
《计算方法》课程讨论用于科学计算中的一些最基本、最常用的算法，不但具有数学的抽象性与严密的科学性的特点，而且具有应用的高度技术性的特点。
它对于培养从事计算机应用的科技人才有着重要的作用，是计算机应用专业（本科段）的一门重要的技术基础课程。
（二）目的要求通过本课程的学习和上机实验，了解用计算机解决科学计算问题的方法特点，掌握计算方法中的一些基本概念、基本公式和相应的算法流程，提高根据算法描述设计高级语言程序并进行验证的技能。
在学习过程中，应注重理解和应用，在搞清基本原理和基本概念的基础上，通过习题、编程和上机等环节，巩固和加深已学的内容，掌握重要的算法及其应用。
注重理论与算法的学习和应用相结合，强调编程及上机计算的技能培养，是本课程不同于一般数学课程的重要特点。
（三）学习方法指导1．循序渐进逐章学习本课程从第二章开始，每章都讨论一个大类的算法。
虽然各算法是相对独立的，但是也存在相互联系与前后继承的关系。
前面的概念和算法学好了，后面的内容也就容易学，越学越感到容易。
前面的内容没有学好，后面就会感到难学，甚至会出现越来越感到困难、失去学习信心的情况。
2．稳扎稳打融会贯通学习要扎实、要讲求实效。
每一个重要的概念和公式，都会搞清楚，做到融会贯通。
只有这样，才能取得学习的学习效果。
3．多学练勤做习题教材及本习题集中的每一章都附有适量的习题，可以帮助考生巩固和加深理解所学的知识，提高解题能力。
因此，在学习过程中，应当适合习题进行思考，应当尽可能多做习题，遇到某些不会做的题，应三思之后再请老师给予提示。
4．抓住特点前后联系本课程只讲了五大类算法。
每类算法都是针对一类特定的计算问题，都有其自身的特点。