(完整word版)数系的扩充与复数的引入知识点总结,推荐文档
数系的扩充与复数的引入知识点总结
一．数系的扩充和复数的概念
１．复数的概念
(1) 复数:形如(,)a bi a R b R +∈∈的数叫做复数，a 和b 分别叫它的实部和虚部.
(2) 分类:复数(,)a bi a R b R +∈∈中,当0b =,就是实数; 0b ≠,叫做虚数;当0,0a b =≠时,叫做纯虚数.
(3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.
即：如果：,,,a b c d R ∈，那么：=+=+b=d a c a bi c di ⎧⇔⎨⎩，特别地:
.
(4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数. 即：=+=-(,)z a bi z a bi a b R ∈的共轭复数是
２．复数的几何意义 （１）数（）可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的
平面叫做复平面，也叫高斯平面，
轴叫做实轴，轴叫做虚轴.
实轴上的点都表示实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数
复平面内的点每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应，这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.
（２）复数的几何意义
坐标表示:在复平面内以点表示复数（）； 向量表示:以原点
为起点，点为终点的向量表示复数. 向量的长度叫做复数的模，记作
.即. ３．复数的运算
（１）复数的加，减，乘，除按以下法则进行
设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈则
12()()z z a c b d i ±=±+±
12()()z z ac bd ad bc i •=-++
12222()()(0)z ac bd ad bc i z z c d
-++=≠+ （２）几个重要的结论
2222121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+
22||||z z z z •==
若z 为虚数,则22||z z ≠
（３）运算律
m n m n z z z +•=
()m n mn z z =
1212()(,)n n n z z z z m n R •=•∈
（４）关于虚数单位i 的一些固定结论：
21i =-
3i i =-
41i =
2340n n n n i i i i ++++++=
注：（１）两个复数不能比较大小，但是两个复数的模可以比较大小
（２）在实数范围内的求根公式在复数范围内照样能运用
二．同步检测
１．复数ａ＋ｂi 与ｃ＋ｄi 的积是实数的充要条件是
Ａ．ａｄ＋ｂｃ＝０ Ｂ．ａｃ＋ｂｄ＝０
Ｃ．ａｃ＝ｂｄ Ｄ．ａｄ＝ｂｃ ２．复数
5-2
i 的共轭复数是 Ａ．i ＋２ Ｂ．i －２ Ｃ．－２－i Ｄ．２－i ３．当2<<13m 时，复数ｍ（３＋i ）－（２＋i ）在复平面内对应的点位于 Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限
４．复数3
1+22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
＝
５．已知复数ｚ与()2+2-8z i 都是纯虚数，求ｚ
６．已知(1+2=4+3i z i ），求ｚ及z
z
７．已知1z ＝５＋１０i ，2z ＝３－４i ，12
11
1=+z z z ，求ｚ
８．已知２i －３是关于x 的方程２2x ＋ｐx ＋ｑ＝０的一个根，求实数ｐ，ｑ的值。
3.1.1数系的扩充和复数的概念
3、复数的代数形式：z=a+bi (a,b∈R),
其中a是复数z的实部,b是复数z的虚部.
注意：（1）复数的虚部是 b, 而不是bi；
（2）当复数的实部或虚部为0时，可将其省略。
例如，3+0· i可写作3；0+2i可写作2i.
特例：
P52 1
实数0
（a=0且b=0）
Ex.以2i 5的虚部为实部，以 5i i2
A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
P52 2
例1 实数m取什么值时，复数
z m 1 (m 1)i
是（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？
解: （1）当 m 1 0，即 m 1时，复数z 是实数．
（2）当 m 1 0 ，即 m 1时，复数z 是虚数．
1.数系的扩充
数系的扩充的原则:
(1)要能解决实际问题中或数学内部的矛盾; ①从实际生产需要推进数的发展:
表示具有相
计数的需要
反意义的量 的需要
表示量与 量的比值
自然数
整数
测量的 需要 有理数
有理数与 无理数 无理数
实数
②从解方程的需要推进数的发展
使方程x+5=3
使方程3x=5
有解
有解 负数
分数
使方程x2=2
有解
无理数
问题：x2+1=0在 实数系中无解。
为了解决x2+1=0这样的方程的解的问题,引 入一个新数 i（虚数单位,取自imaginary（想 象的，假想的）词头）,使 i2 =-1, 则x2+1=0就 有解x=i了。
数系的扩充的原则:
第三章 数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念 word版含解析
3.1.1 数系的扩充和复数的概念明目标、知重点1．了解引进虚数单位i 的必要性，了解数集的扩充过程．2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念． 3．掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．1．复数的有关概念 (1)复数①定义：形如a ＋b i 的数叫做复数，其中a ，b ∈R ，i 叫做虚数单位．a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部．②表示方法：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i. (2)复数集①定义：全体复数所成的集合叫做复数集． ②表示：通常用大写字母C 表示． 2．复数的分类及包含关系(1)复数(a ＋b i ，a ，b ∈R )⎩⎨⎧实数(b ＝0)虚数(b ≠0)⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数(a ＝0)非纯虚数(a ≠0)(2)集合表示：3．复数相等的充要条件设a ，b ，c ，d 都是实数，那么a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d .情境导学]为解决方程x 2＝1，数系从有理数扩充到实数；数的概念扩充到实数集后，人们发现在实数范围内很多问题还不能解决，如从解方程的角度看，象x 2＝－1这个方程在实数范围内就无解，那么怎样解决方程x 2＝－1在实数系中无根的问题呢？我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？本节我们就来研究这个问题． 探究点一 复数的概念思考1 为解决方程x 2＝2，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x 2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？答 设想引入新数i ，使i 是方程x 2＋1＝0的根，即i·i＝－1，方程x 2＋1＝0有解，同时得到一些新数．思考2 如何理解虚数单位i? 答 (1)i 2＝－1.(2)i 与实数之间可以运算，亦适合加、减、乘的运算律．(3)由于i 2＜0与实数集中a 2≥0(a ∈R )矛盾，所以实数集中很多结论在复数集中不再成立． (4)若i 2＝－1，那么i4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i ，i 4n＝1.思考3 什么叫复数？怎样表示一个复数？答 形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i ，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a 、b 分别叫做复数z 的实部与虚部． 思考4 什么叫虚数？什么叫纯虚数？答 对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，当b ≠0时叫做虚数；当a ＝0且b ≠0时，叫做纯虚数． 思考5 复数m ＋n i 的实部、虚部一定是m 、n 吗？答 不一定，只有当m ∈R ，n ∈R ，则m 、n 才是该复数的实部、虚部． 例1 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数还是纯虚数． ①2＋3i ；②－3＋12i ；③2＋i ；④π；⑤－3i ；⑥0.解 ①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为12，是虚数；③的实部为2，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－3，是纯虚数；⑥的实部为0，虚部为0，是实数．反思与感悟 复数a ＋b i 中，实数a 和b 分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b 为复数的虚部而不是虚部的系数，b 连同它的符号叫做复数的虚部．跟踪训练1 符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由． (1)实部为－2的虚数； (2)虚部为－2的虚数； (3)虚部为－2的纯虚数； (4)实部为－2的纯虚数．解 (1)存在且有无数个，如－2＋i 等；(2)存在且不唯一，如1－2i 等；(3)存在且唯一，即－2i ；(4)不存在，因为纯虚数的实部为0.例2 当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m＋(m 2－2m )i 为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解 (1)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0m ≠0，即m ＝2时，复数z 是实数；(2)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ≠0，m ≠0即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数；(3)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6m ＝0m 2－2m ≠0，即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．反思与感悟 利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数．跟踪训练2 实数m 为何值时，复数z ＝m (m ＋2)m －1＋(m 2＋2m －3)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解 (1)要使z 是实数，m 需满足m 2＋2m －3＝0，且m (m ＋2)m －1有意义即m －1≠0，解得m ＝－3. (2)要使z 是虚数，m 需满足m 2＋2m －3≠0，且m (m ＋2)m －1有意义即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.(3)要使z 是纯虚数，m 需满足m (m ＋2)m －1＝0，m －1≠0， 且m 2＋2m －3≠0， 解得m ＝0或m ＝－2. 探究点二 两个复数相等 思考1 两个复数能否比较大小？答 如果两个复数不全是实数，那么它们不能比较大小． 思考2 两个复数相等的充要条件是什么？答 复数a ＋b i 与c ＋d i 相等的充要条件是a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． 例3 已知x ，y 均是实数，且满足(2x －1)＋i ＝－y －(3－y )i ，求x 与y .解 由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝－y ，1＝y －3.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32，y ＝4.反思与感悟 两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数．跟踪训练3 已知x 2－x －6x ＋1＝(x 2－2x －3)i(x ∈R )，求x 的值．解 由复数相等的定义得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6x ＋1＝0.x 2－2x －3＝0.解得：x ＝3，所以x ＝3为所求．1．已知复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是( ) A.2，1 B.2，5 C ．±2，5 D ．±2，1答案 C解析 令⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2－2＋b ＝3，得a ＝±2，b ＝5.2．下列复数中，满足方程x 2＋2＝0的是( ) A ．±1 B ．±i C ．±2i D ．±2i答案 C3．如果z ＝m (m ＋1)＋(m 2－1)i 为纯虚数，则实数m 的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．－1或1答案 B解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m (m ＋1)＝0m 2－1≠0，∴m ＝0.4．下列几个命题：①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等； ②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；③1－a i(a∈R)是一个复数；④虚数的平方不小于0；⑤－1的平方根只有一个，即为－i；⑥i是方程x4－1＝0的一个根；⑦2i是一个无理数．其中正确命题的个数为( )A．3 B．4 C．5 D．6答案 B解析命题①②③⑥正确，④⑤⑦错误．呈重点、现规律]1．对于复数z＝a＋b i(a，b∈R)，可以限制a，b的值得到复数z的不同情况；2．两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的条件进行判断．一、基础过关1．设a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋b i是纯虚数”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析因为a，b∈R.“a＝0”时“复数a＋b i不一定是纯虚数”．“复数a＋b i是纯虚数”则“a＝0”一定成立．所以a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋b i是纯虚数”的必要而不充分条件．2．下列命题正确的是( )A．若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数B．若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋iC．若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1D．两个虚数不能比较大小答案 D解析对于复数a＋b i(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时为纯虚数．在A中，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，故A错误；在B中，两个虚数不能比较大小，故B错误；在C中，若x＝－1，不成立，故C错误；D正确．3．以－5＋2i 的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是( ) A ．2－2i B ．－5＋5i C ．2＋i D.5＋5i 答案 A解析 设所求新复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由题意知：复数－5＋2i 的虚部为2；复数5i ＋2i 2＝5i ＋2×(－1)＝－2＋5i 的实部为－2，则所求的z ＝2－2i.故选A. 4．若(x ＋y )i ＝x －1(x ，y ∈R )，则2x ＋y的值为( )A.12 B ．2 C ．0 D ．1 答案 D解析 由复数相等的充要条件知，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，∴x ＋y ＝0.∴2x ＋y＝20＝1.5．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－1或1 答案 A解析 由复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x －1≠0，解得x ＝－1.6．设m ∈R ，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m ＝________. 答案 －2解析 ⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2＝0m 2－1≠0⇒m ＝－2.7．已知(2x －y ＋1)＋(y －2)i ＝0，求实数x ，y 的值． 解 ∵(2x －y ＋1)＋(y －2)i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，y －2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝2.所以实数x ，y 的值分别为12，2.二、能力提升8．若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．±1 D．－1或－2答案 A解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x 2＋3x ＋2≠0.解得x ＝1.9．z 1＝－3－4i ，z 2＝(n 2－3m －1)＋(n 2－m －6)i ，且z 1＝z 2，则实数m ＝________，n ＝________. 答案 2 ±2解析 由z 1＝z 2得⎩⎪⎨⎪⎧－3＝n 2－3m －1－4＝n 2－m －6，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2n ＝±2.10．已知集合M ＝{1,2，(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i}，N ＝{－1,3}，若M ∩N ＝{3}，则实数a ＝________. 答案 －1解析 由M ∩N ＝{3}知，3∈M ，即有(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －1＝3，a 2－5a －6＝0，解得a ＝－1.11．实数m 分别为何值时，复数z ＝2m 2＋m －3m ＋3＋(m 2－3m －18)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解 (1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0.故若使z 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －18＝0m ＋3≠0，解得m ＝6.所以当m ＝6时，z 为实数．(2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0. 故若使z 为虚数，则m 2－3m －18≠0，且m ＋3≠0， 所以当m ≠6且m ≠－3时，z 为虚数．(3)要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为0，虚部不为0. 故若使z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3＝0m ＋3≠0m 2－3m －18≠0，解得m ＝－32或m ＝1.所以当m ＝－32或m ＝1时，z 为纯虚数．12．设z 1＝m 2＋1＋(m 2＋m －2)i ，z 2＝4m ＋2＋(m 2－5m ＋4)i ，若z 1<z 2，求实数m 的取值范围． 解 由于z 1<z 2，m ∈R ， ∴z 1∈R 且z 2∈R ，当z 1∈R 时，m 2＋m －2＝0，m ＝1或m ＝－2. 当z 2∈R 时，m 2－5m ＋4＝0，m ＝1或m ＝4， ∴当m ＝1时，z 1＝2，z 2＝6，满足z 1<z 2. ∴z 1<z 2时，实数m 的取值为m ＝1. 三、探究与拓展13．如果12log (m ＋n )－(m 2－3m )i>－1，如何求自然数m ，n 的值？解 因为12log (m ＋n )－(m 2－3m )i>－1，所以12log (m ＋n )－(m 2－3m )i 是实数，从而有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝0， ①12log (m ＋n )>－1， ②由①得m ＝0或m ＝3，当m ＝0时，代入②得n <2，又m ＋n >0，所以n ＝1； 当m ＝3时，代入②得n <－1，与n 是自然数矛盾， 综上可得m ＝0，n ＝1.。
高二数学选修2-2_本章小结：数系的扩充与复数的引入
小结：数系的扩充与复数的引入
一、本章知识结构
二、回顾与思考
1.复数系是在实数系的基础上扩充而得到的.数系扩充的过程体现了实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）对数学发展的推动作用，同时也体现了人类理性思维的作用.请你收集一些从实数系扩充到复数系的数学史料，并对“整数——分数（有理数）——实数——复数”的数系扩充过程进行整理.
2.学习复数应联系实数，注意到复数事实上是一对有序实数，请比较实数、虚数、纯虚数、复数之间的区别和联系，比较实数和复数的几何意义的区别.
3.你对复数四则运算法则规定的合理性，以及复数代数形式的加、减运算与向量的加、减运算的一致性有什么体会？
4.在学习本章时，应注意复数与实数、有理数的联系，复数及其代数形式的加、减运算与平面向量及其加、减运算的联系，还应注意复数及其代数形式的加法、减法、乘法运算与多项式及其加法、减法、乘法运算的联系.这些关系可以用以下框图表示：
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(完整word版)数系的扩充和复数的概念全面版
数系的扩充和复数的概念教学目标重点：复数的概念，虚数单位i ，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等。
复数在现代科学技术中以及在数学学科中的地位和作用.难点:虚数单位i 的引进以及对复数概念的理解．知识点:了解引进复数的必要性；理解并掌握复数的有关概念（复数集、代数形式、实部、虚部、实数、虚数、纯虚数、复数相等）;理解虚数单位i 及i 与实数的运算规律能力点:探寻复数的形成过程,体会引入虚数单位i 和复数形式的合理性，以及等价转化思想、方程思想、分类讨论数学思想的运用。
教育点:通过问题情境,体会实际需求与数学内部矛盾在数系扩充过程中的作用，经历由实数系扩充到复数系的研究过程，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.自主探究点：如何运用实数与虚数单位i 的加、乘运算得到复数代数形式及探索复数相等的充要条件. 考试点:用复数的基本概念解决简单的数学问题。
易错易混点:对复数代数形式的认识,及复数分类的把握。
拓展点:如何利用复数代数形式解题,理解复数的几何意义.一、 引入新课求下列方程的解:(1)24x = 2(2)40x -= (3)310x -= 2(4)20x -= 2(5)10x +=．学生分析各题的解：(1)2x =；(2)22x x ==-或;1(3)3x =；(4)22x x ==-或；(5)实数集内无解. 通过以上五题解的探讨,学生会发现方程(5)在实数集中遇到了无解现象.如何使方程(5)有解呢?类比引进2，就可以解决方程220x -=在有理数中无解的问题,就有必要扩充数集，今天我们来与大家一起学习“数系的扩充”。
【设计意图】通过类比，易引发学生的学习兴趣.使学生了解扩充数系要从引入新数开始,引出本课题．二、探究新知1.复习已学过的数系问题1:数，是数学中的基本概念。
到目前为止,我们学习了哪些数集?用符号如何表示?它们之间有怎样的包含关系？用图示法可以如何表示?答：自然数集、整数集、有理数集、实数集,符号分别表示为N ，Z ,Q ，R ； 其中它们之间的关系式:N Z Q R ; 用文氏图表示N ,Z ,Q ,R 的关系【设计意图】数集及其之间关系的回顾，特别是“图示法”的直观表示,旨在帮助学生对“数系的扩充”有个初步感受.我们将一个数集连同相应的运算及结构叫做一个数系。
《数系的扩充和复数的概念》文字素材3(新人教A版选修1-2)
数系的扩充和复数的概念一、数系的扩充和复数的概念1．复数的引入：回想数系的每一次扩充都主要来自两个方面：一方面数学本身发展的需要；另一方面由于实际的需要.而复数的引入属于前者．我们知道，方程在实数范围内无解，于是需引入新数i使方程有解，显然，需要．数系的扩充过程：自然数集整数集有理数集实数集复数集．2．复数的代数形式：由实数的运算类似地得到新数i可以同实数进行加、减、乘运算，于是得到：形如的数叫做复数，并且把的这一表现形式叫做复数的代数形式，其中的a叫做复数的实部，b叫复数的虚部．注意复数的虚部是，而不是．3．复数相等的充要条件且注意事项：（1）复数（2）复数集（3）两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数，则不能比较大小.二、复数的几何意义1．复数可以用平面直角坐标系的点来唯一表示，于是：复数集与坐标系中的点集，可以建立一一对应．2．建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.在复平面内，x轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴，x轴的单位是１，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点对应复数0．于是有下面的一一对应关系：复数复平面内的点．3．由于平面向量与坐标平面的点一一对应，于是有：复数平面向量．在这些意义下，我们就可以把复数说成点或向量，这给研究复数运算的几何意义带来了方便．4．复数的模就是这个复数对应的向量的模，复数的模为．三、复数代数形式的四则运算1．复数的加法、减法①运算法则．其运算法则类似于多项式的合并同类项②复数加法的运算律对于任意的，有：交换律：．结合律：．③复数加法的几何意义设，分别与复数，对应，根据向量加法的平行四边形（三角形）法则，则有（如图1）．由平面向量的坐标运算：，即得与复数对应．可见，复数的加法可以按向量加法的法则进行．④复数减法的几何意义设，分别与复数，对应（如图2），根据向量加法的三角形法则有：．于是：．由平面向量的坐标运算：，即得与复数对应．于是得到向量的减法运算法则为：两个复数的差与连接两个向量的终点并指向被减数的向量相对应．2．复数代数形式的乘法运算①运算法则：．两个复数相乘类似于两个多项式相乘，只是把换为，并且把实部与虚部分别合并即可．②运算律：交换律：．结合律：．分配律：．③虚数i的乘方及其规律：，，，，，，，，．可见，，，，，即具有周期性且最小正周期为4．④共轭复数与互为共轭复数，即当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．它的几何意义是：共轭的两个复数关于x轴对称．主要用于复数的化简以及复数的除法运算.3．复数代数形式的除法运算运算法则：．其实质是分母“实数化”，即分子以及分母同乘以分母的“实数化”因式．类似于以前所学的把分母“有理化”．。
数系的扩充和复数的概念
类型二 复数的分类
【典例2】实数m分别为何值时，复数z= 2m2 m 3
m3
+(m2-3m-18)i是(1)实数.(2)虚数.(3)纯虚数.
【解题指南】根据复数分类的标准求解.
【解析】(1)若使z为实数则
m2 3m 18 0,
m 3 0,
解得m=6.
(2)若使z为虚数，则Fra bibliotekm2 3m 18 0,
(2)整体与局部：对于复数z=a+bi(a，b∈R)，既要从 整体的角度去认识它，把复数z看成一个整体，又要 从实部与虚部的角度分解成两部分去认识它.这是解 复数问题的重要思路之一.
【跟踪训练】已知复数z=m(m-1)+(m2+2m-3)i，当实 数m取什么值时，复数z是(1)零.(2)纯虚数.
【跟踪训练】求适合等式(2x-1)+i=y+(y-3)i的 x，y的值.其中x∈R，y∈R.
【解析】由复数相等的充要条件可知
2x 1 y, 1 y 3,
解得
x
5 2
,
y 4.
【知识思维导图】
【补偿训练】设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab=0” 是“复数a-bi为纯虚数”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.若复数a-bi为纯虚数，则a=0且b≠0， 故ab=0.而由ab=0不一定能得到复数a-bi是纯虚数， 故“ab=0”是“复数a-bi为纯虚数”的必要不充分条 件.
yi，若z1=z2，则实数x=_________，y=
.
(2)已知关于x的方程x2+(1-2i)x+(3m-i)=0有实数根，
数系的扩充与复数的引入知识点总结
数系的扩充与复数的引入知识点总结(总4页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除数系的扩充与复数的引入知识点总结一．数系的扩充和复数的概念１．复数的概念(1) 复数:形如(,)a bi a R b R +∈∈的数叫做复数，a 和b 分别叫它的实部和虚部.(2) 分类:复数(,)a bi a R b R +∈∈中,当0b =,就是实数; 0b ≠,叫做虚数;当0,0a b =≠时,叫做纯虚数.(3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.即：如果：,,,a b c d R ∈，那么：=+=+b=d a c a bi c di ⎧⇔⎨⎩，特别地: .(4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.即：=+=-(,)z a bi z a bi a b R ∈的共轭复数是２．复数的几何意义 （１）数（）可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数复平面内的点每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应，这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.（２）复数的几何意义坐标表示:在复平面内以点表示复数（）； 向量表示:以原点为起点，点为终点的向量表示复数. 向量的长度叫做复数的模，记作.即. ３．复数的运算（１）复数的加，减，乘，除按以下法则进行设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈则12()()z z a c b d i ±=±+±12()()z z ac bd ad bc i •=-++12222()()(0)z ac bd ad bc i z z c d-++=≠+ （２）几个重要的结论2222121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+ 22||||z z z z •==若z 为虚数,则22||z z ≠（３）运算律m n m n z z z +•=()m n mn z z =1212()(,)n n n z z z z m n R •=•∈（４）关于虚数单位i 的一些固定结论：21i =-3i i =-41i =2340n n n n i i i i ++++++=注：（１）两个复数不能比较大小，但是两个复数的模可以比较大小 （２）在实数范围内的求根公式在复数范围内照样能运用二．同步检测１．复数ａ＋ｂi 与ｃ＋ｄi 的积是实数的充要条件是Ａ．ａｄ＋ｂｃ＝０ Ｂ．ａｃ＋ｂｄ＝０Ｃ．ａｃ＝ｂｄ Ｄ．ａｄ＝ｂｃ ２．复数5-2i 的共轭复数是 Ａ．i ＋２ Ｂ．i －２ Ｃ．－２－i Ｄ．２－i ３．当2<<13m 时，复数ｍ（３＋i ）－（２＋i ）在复平面内对应的点位于 Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限４．复数31+22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭＝ ５．已知复数ｚ与()2+2-8z i 都是纯虚数，求ｚ６．已知(1+2=4+3i z i ），求ｚ及zz７．已知1z ＝５＋１０i ，2z ＝３－４i ，12111=+z z z ，求ｚ８．已知２i －３是关于x 的方程２2x ＋ｐx ＋ｑ＝０的一个根，求实数ｐ，ｑ的值。
数学(文)一轮教学案：第十四章 数系的扩充与复数的引入 Word版含解析
第十四章 数系的扩充与复数的引入考纲展示 命题探究1 复数的定义形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中实部是a ，虚部是b . 2 复数的分类 3 复数相等的充要条件a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． 4 复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点表示实数；除原点外，虚轴上的点表示纯虚数．5 复数的几何意义6 复数的模向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|，则|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2＋b 2(r ≥0，r ∈R )，即复数a ＋b i 的模表示点Z (a ，b )与原点O 的距离．特别地，b ＝0时，z ＝a ＋b i 是实数a ，则|z |＝|a |. 注意点 复数概念的理解的注意事项 (1)两个不全是实数的复数不能比较大小． (2)复平面内虚轴上的单位长度是1，而不是i.(3)复数与向量的关系：复数是数的集合，而向量是有大小和方向的量，二者是不同的概念．为了令复数更好地发挥解决实际问题的作用，所以用向量来表示复数.1．思维辨析(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ，∈R )中，虚部为b i.( )(2)在实数范围内的两个数能比较大小，因而在复数范围内的两个数也能比较大小．( )(3)一个复数的实部为0，则此复数必为纯虚数．( ) (4)复数的模就是复数在复平面内对应向量的模．( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2．实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 B解析 实部为－2，虚部为1的复数在复平面内对应的点的坐标为(－2,1)，位于第二象限．3．在复平面内，已知6＋5i 对应的向量为OA →，AB →＝(4,5)则OB →对应的复数为________．答案 10＋10i解析 由AB →＝OB →－OA →得：OB →＝OA →＋AB →又∵AB →＝(4,5) ∴AB →对应的复数为4＋5i. ∴OB →对应的复数为：4＋5i ＋6＋5i ＝10＋10i.[考法综述] 复数的分类、实部、虚部、复数相等的条件、共轭复数、复数的模都会结合复数的运算一起考查．难度一般不大．命题法1 复数的概念与分类典例1 设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i 为纯虚数，则实数a 为( )A ．2B ．－2C ．－12D ．12 [解析] 解法一：设1＋a i2－i ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则1＋a i ＝b i(2－i)＝b ＋2b i ，所以b ＝1，a ＝2b ＝2.解法二：1＋a i 2－i ＝(1＋a i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2－a 5＋1＋2a 5i ，令2－a 5＝0且1＋2a5≠0，得a ＝2.[答案] A【解题法】 与复数概念及分类题型的解题步骤第一步，先把题目中的复数z 的代数形式设出，即设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．第二步，把非标准代数形式的复数通过复数的运算法则化为代数形式的标准形式，即化为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式．第三步，紧扣复数的分类： 复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )根据分类列出相应的方程，如：若题目要求该复数是实数，则根据虚部b ＝0列出相关方程(组)．第四步，解方程(组)，求得结果． 命题法2 复数相等典例2 若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 为( )A ．3＋5iB ．3－5iC ．－3＋5iD ．－3－5i[解析] 解法一：令z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(a ＋b i)(2－i)＝(2a ＋b )＋(2b －a )i ＝11＋7i ，⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝11，2b －a ＝7，解得a ＝3，b ＝5，故选A.解法二：z ＝11＋7i 2－i ＝(11＋7i )(2＋i )5 ＝22－7＋(14＋11)i 5＝3＋5i. [答案] A【解题法】 复数相等问题的解题策略两复数相等的充要条件，即a ＋b i ＝c ＋d i ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝c ，b ＝d ，(a ，b ，c ，d ∈R )．解决此类问题的本质就是分离出实部与虚部，使之分别相等，得到方程组，从而解决问题．命题法3 复数的模及几何意义典例3 (1)若复数z 满足i z ＝2＋4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是( )A ．(2,4)B ．(2，－4)C ．(4，－2)D ．(4,2)(2)a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝( ) A ．2 B ． 3 C. 2D ．1[解析] (1)由i z ＝2＋4i ，得z ＝2＋4ii ＝4－2i ，所以z 对应的点的坐标是(4，－2)．(2)∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|a ＋i||i|＝a 2＋1＝2，∴a ＝±3，又a >0，∴a ＝ 3.故选B.[答案] (1)C (2)B【解题法】 与复数几何意义、模有关的解题技巧(1)只要把复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )与向量OZ →对应起来，就可以根据平面向量的知识理解复数的模、加法、减法的几何意义，并根据这些几何意义解决问题．(2)有关模的运算要注意灵活运用模的运算性质． 1．若复数z ＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则z ＝( ) A ．2－3i B ．2＋3i C ．3＋2i D ．3－2i答案 A解析 因为z ＝i(3－2i)＝2＋3i ，所以z ＝2－3i.2.设i 是虚数单位，则复数2i1－i 在复平面内所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 B解析2i1－i＝2i(1＋i)(1－i)(1＋i)＝－1＋i，其在复平面内所对应的点位于第二象限．3．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝()A．－5 B．5C．－4＋i D．－4－i答案 A解析由题意知：z2＝－2＋i.又z1＝2＋i，所以z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5.故选A.4．设z＝10i3＋i，则z的共轭复数为() A．－1＋3i B．－1－3i C．1＋3i D．1－3i 答案 D解析z＝10i3＋i＝10i(3－i)(3＋i)(3－i)＝30i＋1032＋12＝1＋3i，z＝1－3i，选D.5．已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋b i互为共轭复数，则(a＋b i)2＝()A．5－4i B．5＋4iC．3－4i D．3＋4i答案 D解析由a－i与2＋b i互为共轭复数，可得a＝2，b＝1.所以(a＋b i)2＝(2＋i)2＝4＋4i－1＝3＋4i.6. i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________．答案－2解析由题意知，复数(1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－2a)i是纯虚数，则实部a＋2＝0，虚部1－2a≠0，解得a＝－2.7．设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为________． 答案5解析 设复数z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ＝3＋4i ，a ，b ∈R ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝32ab ＝4，a ，b ∈R ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－1，则z＝±(2＋i)，故|z |＝ 5.8．已知复数z ＝(5＋2i)2(i 为虚数单位)，则z 的实部为________． 答案 21解析 由题意，得z ＝(5＋2i)2＝25＋20i －4＝21＋20i ，其实部为21.1 复数的加法(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )是任意两复数，那么z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i.(2)运算律：交换律、结合律．(3)几何意义：复数z 1＋z 2是以OZ 1→，OZ 2→为邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数，其中OZ 1→，OZ 2→分别为z 1，z 2所对应的向量．2 复数的减法(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i.(2)几何意义：复数z 1－z 2是从向量OZ 2→的终点指向向量OZ 1→的终点的向量Z 2Z 1→所对应的复数．3 复数的乘法(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.(2)运算律：交换律、结合律、分配律． 4 共轭复数(1)定义：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．用z 表示z 的共轭复数，若z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i.特别地，实数的共轭复数还是它本身．(2)几何意义：互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称．实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上．(3)性质：z ·z ＝(a ＋b i)·(a －b i)＝a 2＋b 2＝|z |2(a ，b ∈R )． 5 复数的除法运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则z 1z 2＝a ＋b ic ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)，即分子、分母同乘以分母的共轭复数，使分母实数化，以简化运算．注意点 虚数单位i 的周期性计算得i 0＝1，i 1＝i ，i 2＝－1，i 3＝－i ，继续计算可知i 具有周期性，且最小正周期为4，故有如下性质(n ∈N )：(1)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ； (2)i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0. 1．思维辨析(1)若a ∈C ，则a 2≥0.( ) (2)方程x 2＋x ＋1＝0没有解．( ) (3)原点是实轴与虚轴的交点．( ) (4)z ＝z ⇔z ∈R .( )(5)若z ≠0且z ＋z ＝0，则z 为纯虚数．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√2．复数z 满足(z ＋2)(1＋i 3)＝2(i 为虚数单位)，则z ＝( ) A ．1－i B ．1＋i C ．－1－i D ．－1＋i答案 D解析 由题意得：(z ＋2)(1＋i 3)＝2，(z ＋2)(1－i)＝2，z ＝21－i－2＝1＋i －2＝－1＋i ，故选D.3．已知实数m 是方程x 2＋(2＋i)x ＋n ＋2i ＝0，n ∈R 的一个根，则m ＋n ＝________.答案 －2解析 由题意知：m 2＋(2＋i)m ＋n ＋2i ＝0， 即m 2＋2m ＋n ＋(m ＋2)i ＝0，由复数相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m ＋n ＝0m ＋2＝0，解得：⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2n ＝0，即m ＋n ＝－2[考法综述] 复数的四则运算法则及其加减法的几何意义(平行四边形法则、三角形法则)，尤其除法运算及i 的运算规律为命题热点．命题法 复数的四则运算典例 (1)下面是关于复数z ＝2－1＋i 的四个命题：p 1：|z |＝2，p 2：z 2＝2i ，p 3：z 的共轭复数为1＋i ，p 4：z 的虚部为－1， 其中的真命题为( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 2 C ．p 2，p 4D ．p 3，p 4(2)已知复数z ＝3＋i (1－3i )2，z －是z 的共轭复数，则z ·z －＝________. [解析] (1)z ＝2(－1－i )(－1＋i )(－1－i )＝－1－i ，故|z |＝2，p 1错误；z 2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i ，p 2正确；z 的共轭复数为－1＋i ，p 3错误；p 4正确．(2)∵z ＝3＋i (1－3i )2＝3＋i －2－23i ＝3＋i－2(1＋3i )＝(3＋i )(1－3i )－2(1＋3i )(1－3i )＝23－2i －8＝－34＋14i ，∴z ·z ＝⎝⎛⎭⎪⎫－34＋14i ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－14i ＝316＋116＝14.故填14.[答案] (1)C (2)14【解题法】 复数四则运算中常用技巧 (1)巧用“分母实数化”，求解复数除法运算．复数的除法一般是将分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数再进一步化简．其原理是(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2(a 、b ∈R )．(2)巧用“结论”，求解复数的乘方运算．记忆结论(1±i)2＝±2i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i ＝－i ，在化简复数的过程中构造出结论的形式，便可直接代入进行计算．1．设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1B ． 2 C. 3 D ．2答案 A解析 由题意知1＋z ＝i －z i ，所以z ＝i －1i ＋1＝(i －1)2(i ＋1)(i －1)＝i ，所以|z |＝1.2．若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 答案 B解析 由于(2＋a i)(a －2i)＝4a ＋(a 2－4)i ＝－4i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝0a 2－4＝－4，解得a ＝0.故选B. 3.若复数z 满足z1－i＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i答案 A解析 由已知z ＝i(1－i)＝i －i 2＝i ＋1，所以z ＝1－i.故选A. 4.设i 是虚数单位，则复数i 3－2i ＝( )A ．－iB ．－3iC ．iD ．3i答案 C解析 i 3－2i ＝－i －2ii 2＝－i ＋2i ＝i ，选C.5.已知(1－i )2z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i答案 D解析 z ＝(1－i )21＋i ＝－2i 1＋i ＝－2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝－1－i.6.(1＋i )3(1－i )2＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i 答案 D解析 (1＋i )3(1－i )2＝(1＋i )2(1＋i )(1－i )2＝2i (1＋i )－2i ＝－1－i.故选D.7．设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则z i＋i·z ＝( )A ．－2B ．－2iC ．2D ．2i答案 C解析 原式＝1＋ii ＋i(1－i)＝－(i ＋i 2)＋i(1－i)＝1－i ＋i ＋1＝2. 8．设复数a ＋b i(a ，b ∈R )的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________. 答案 3解析 复数a ＋b i(a ，b ∈R )的模为a 2＋b 2＝3，则a 2＋b 2＝3，则(a ＋b i)(a －b i)＝a 2－(b i)2＝a 2－b 2·i 2＝a 2＋b 2＝3.9．若复数z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫z ＋1z ·z ＝________. 答案 6解析 ∵z ＝1＋2i ，∴z ＝1－2i. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫z ＋1z ·z ＝z ·z ＋1＝5＋1＝6. 10．复数2－2i 1＋i ＝________.答案 －2i解析 2－2i 1＋i ＝(2－2i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝2－2－4i 2＝－2i. 已知复数z 满足z ＝2i 1＋3i (i 为虚数单位)，则z 的共轭复数的虚部是( )A.32 B ．－32 C ．－12 D ．－12i [错解][错因分析] 对虚部的概念理解不清，将复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的虚部错误地认为是b i.[正解] z ＝2i 1＋3i ＝2i (1－3i )(1＋3i )(1－3i )＝23＋2i 4＝32＋12iz 的共轭复数为32－12i ，∴z 的共轭复数的虚部为－12，故选C. [答案] C [心得体会]………………………………………………………………………………………………时间：45分钟基础组1.[2016·冀州中学期末]设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z ＝( ) A ．i B ．2－i C ．1－i D ．0答案 C解析 因为2z ＝21＋i ＝2(1－i )(1＋i )(1－i )＝1－i ，故选C.2．[2016·衡水中学周测]i 为虚数单位，若a1－i ＝1＋i i ，则a 的值为( )A ．iB ．－iC ．－2iD ．2i 答案 C解析 由已知a 1－i ＝1＋i i 得，a i ＝(1－i)(1＋i)，a i ＝2，a ＝2i ＝－2i ，故选C.3．[2016·冀州中学月考]设复数z ＝2－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则在复平面内i z 对应的点的坐标为( )A ．(1,1)B ．(－1,1)C ．(1，－1)D ．(－1，－1)答案 C解析 ∵z ＝2－1－i ＝－1＋i ，∴i z ＝i(－1－i)＝1－i ，其在复平面内对应的点的坐标为(1，－1)．4．[2016·武邑中学周测]在复平面内，复数z 和2i2－i 表示的点关于虚轴对称，则复数z ＝( )A.25＋45i B ．25－45i C ．－25＋45i D ．－25－45i答案 A解析 由2i 2－i ＝－25＋45i 可知该复数对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，45，其关于虚轴的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫25，45，故复数z ＝25＋45i ，故选A.5．[2016·衡水中学月考]已知i 是虚数单位，则2＋i3－i ＝( )A.12－12i B ．72－12i C.12＋12i D ．72＋12i答案 C解析 2＋i 3－i ＝(2＋i )(3＋i )(3－i )(3＋i )＝5＋5i 10＝12＋12i.6．[2016·枣强中学猜题]若复数z ＝(2－i)i(其中i 为虚数单位)，则z ＝( )A ．2－iB ．1＋2iC ．－1＋2iD ．1－2i答案 D解析 z ＝(2－i)i ＝1＋2i ，∴z ＝1－2i ，选D.7．[2016·衡水中学期中]已知复数z ＝3＋4i ，z 表示复数z 的共轭复数，则|zi |＝( )A. 5 B ．5 C. 6 D ．6答案 B解析 由z ＝3＋4i ，得z ＝3－4i ，所以|z i |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3－4i i ＝|(3－4i)(－i)|＝|－4－3i|＝(－4)2＋(－3)2＝5.8. [2016·武邑中学期中]复数z ＝2i 20141－2i (i 是虚数单位)在复平面内的对应点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C解析 ∵i 2014＝(i 2)1007＝(－1)1007＝－1，∴z ＝2i 20141－2i ＝－21－2i ＝－2(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝－2＋2i 3，∴z 在复平面内的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－23，－23，故选C.9．[2016·衡水中学期末]若(1＋2a i)i ＝1－b i ，其中a ，b ∈R ，则|a ＋b i|＝( )A.12＋i B ． 5 C.52 D ．54答案 C解析 因为(1＋2a i)i ＝1－b i ，所以－2a ＋i ＝1－b i ，a ＝－12，b＝－1，所以|a ＋b i|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12－i ＝52，选C.10．[2016·衡水二中期中]复数z ＝1－i ，则1z ＋z ＝( ) A.12＋32i B ．12－32i C.32－32i D ．32－12i答案 D解析 ∵z ＝1－i ，∴1z ＋z ＝11－i ＋1－i ＝1＋i (1－i )(1＋i )＋1－i ＝1＋i 2＋1－i ＝32－12i ，故选D.11. [2016·枣强中学模拟]设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则|(1－z )·z |＝( )A.10 B ．2 C. 2 D ．1 答案 A解析 解法一：|(1－z )·z |＝|1－z ||z |＝|2＋i||－1＋i|＝22＋12·(－1)2＋(1)2＝10.解法二：|(1－z )·z |＝|z －z ·z |＝|－1＋i －2|＝|－3＋i|＝(－3)2＋12＝10.12．[2016·衡水二中期末]若a 为实数，i 为虚数单位，2＋a i 1＋2i ＝－2i ，则a 等于________．答案 － 2解析 由已知2＋a i1＋2i ＝－2i ，得2＋a i ＝－2i(1＋2i)，即2＋a i ＝－2i ＋2，∴a ＝－ 2.能力组13.[2016·武邑中学猜题]复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m ，λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤916，7答案 C解析 由复数相等的充要条件可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ4－m 2＝λ＋3sin θ，化简得4－4cos 2θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cos 2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin 2θ)－3sin θ＋4＝4sin 2θ－3sin θ，因为sin θ∈[－1,1]，所以4sin 2θ－3sin θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7.14. [2016·冀州中学仿真]已知复数z ＝1＋2i1－i，则1＋z ＋z 2＋…＋z 2014为( )A ．1＋iB ．1－iC ．iD ．1答案 C解析 z ＝1＋2i1－i＝1＋2i (1＋i )2＝i ，∴1＋z ＋z 2＋…＋z 2014＝1×(1－z 2015)1－z ＝1－i 20151－i ＝1－i4×503＋31－i＝1＋i 1－i ＝(1＋i )2(1－i )(1＋i )＝2i2＝i. 15．[2016·武邑中学预测]已知x 1＝1－i(i 是虚数单位)是关于x 的实系数一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0的一个根，则实数a ＝________，b ＝________.答案 －2 2解析 由题意，知x 2＝1＋i 是方程的另一根，因此－a ＝x 1＋x 2＝2，a ＝－2，b ＝x 1x 2＝(1－i)(1＋i)＝2.16．[2016·衡水二中模拟]已知复数 z ＝4＋2i(1＋i )2(i 为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x －2y ＋m ＝0上，则m ＝________.答案 －5解析 z ＝4＋2i (1＋i )2＝4＋2i 2i ＝(4＋2i )i2i 2＝1－2i ，复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，将其代入x －2y ＋m ＝0，得m ＝－5.。
(完整版)数系的扩充与复数的引入
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复数的概念
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复数的概念
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复数的概念
1.虚数单位i的引入； 2.复数有关概念：
复数的代数形式:z a bi (a R,b R)
2 7 , 0.618, 2 i, 0
7
i i 2 , i 1 3 , 3 9 2i, 5 +8，
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例1: 实数m取什么值时，复数
z m 1 (m 1)i
（1）实数？ （2）虚数？（3）纯虚数？
满足 i2 1
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复数的概念
现在我们就引入这样一个数 i ，把 i 叫做虚数单位，
并且规定：
（1）i21；
（2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运
算时，原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结 合律和分配律)仍然成立。
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
全体复数所形成的集合叫做复数集， 一般用字母C表示 .
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复数的概念
复数的代数形式： 通常用字母 z 表示，即
z a bi (a R位。
讨 论？
复数集C和实数集R之间有什么关系？
实数b 0
R C
复数a+bi虚数b
数学选修2-2数系的扩充和复数的引入
范围.
【解析】设z=x+yi(x,y∈R)，则z+2i=x+(y+2)i,
z x y i 1 x y i 2 i 1 2 x y 1 2 y x i .
2 i 2 i 5
【解析】选B.z= z ⇔z∈R；|z|=z⇒z∈R，反之不行，如z=-2； z2为实数不能推出z∈R，如z=i；对于任意z，z+z 都是实数.
【例7】已知 z1x2 x21i，z2=(x2+a)i，对于任意x∈R， 均有|z1|＞|z2|成立，试求实数a的取值范围．
【解析】∵|z1|＞|z2|，∴x4+x2+1＞(x2+a)2，
(4)复数加减法的几何意义. 复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行 (满足平行四边形、三角形法则). 复数的减法运算也可以按向量的减法来进行.
2．几个重要的结论 (1)|z1+z2|2+|z1-z2|2=2(|z1|2+|z2|2). (2)z· z =|z|2=| z |2. (3)若z为虚数，则|z|2≠z2. (4)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,n∈N*.
∴
x2
y2
即9
0,
y 0,
x2 y2 9, y 0,
∴t的对应点的轨迹是以原点为圆心，3为半径的圆，
并除去(-3,0)(3,0)两点.
(2)由t的轨迹可知，|t|=3， ∴|z-(3+3 i3)|=3，圆心对应3+3 i，3 半径为3， ∴|z|的最大值为|3+3 i3|+3=9， |z|的最小值为|3+3 i3 |-3=3．