八年级第十一章三角形知识点复习
21
D C
B A
D C
B A
三角形复习
⒈ 三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.
三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点， 三角形ABC 用符号表示为△ABC ，三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C 的小写字母c 表示，AC 可用b 表示，BC 可用a 表示. 注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；
（2）三角形是一个封闭的图形；
（3）△ABC 是三角形ABC 的符号标记，单独的△没有意义． ⒉ 三角形的分类： (1)按边分类： (2)按角分类：
⒊ 三角形的主要线段的定义： （1）三角形的中线
三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段． 表示法：1.AD 是△ABC 的BC 上的中线.
2.BD=DC=
12
BC. 注意：①三角形的中线是线段；
②三角形三条中线全在三角形的内部； ③三角形三条中线交于三角形内部一点； ④中线把三角形分成两个面积相等的三角形．
（2）三角形的角平分线
三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段 表示法：1.AD 是△ABC 的∠BAC 的平分线.
2.∠1=∠2=
1
2
∠BAC. 注意：①三角形的角平分线是线段；
②三角形三条角平分线全在三角形的内部； ③三角形三条角平分线交于三角形内部一点；
三角形 等腰三角形
不等边三角形 底边和腰不相等的等腰三角形
等边三角形 三角形 直角三象形 斜三角形 锐角三角形 钝角三角形 _C _B _A
D C
B A
④用量角器画三角形的角平分线． （3）三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 表示法：1.AD 是△ABC 的BC 上的高线.
2.AD ⊥BC 于D.
3.∠ADB=∠ADC=90°.
注意：①三角形的高是线段； ②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两
条高在形外；
③三角形三条高所在直线交于一点．
⒋ 三角形的主要线段的表示法： 三角形的角平分线的表示法：
如图1，根据具体情况使用以下任意一种方式表示：
① AD 是∆ABC 的角平分线； ② AD 平分∠BAC ，交BC 于D ；
③ 如果AD 是∆ABC 的角平分线，那么∠BAD =∠DAC =
2
1
∠BAC .
(2)三角形的中线表示法：
如图1，根据具体情况使用以下任意一种方式表示： ①AE 是∆ABC 的中线；
②AE 是∆ABC 中BC 边上的中线；
③如果AE 是∆ABC 的中线，那么BE=EC =
2
1
BC . (3)三角线的高的表示法：
如图2，根据具体情况，使用以下任意一种方式表示： ① AM 是∆ABC 的高；
② AM 是∆ABC 中BC 边上的高；
③ 如果AM 是∆ABC 中BC 边上高，那么AM ⊥BC ，垂足是E ； ④ 如果AM 是∆ABC 中BC 边上的高，那么∠AMB =∠AMC =90︒. ⒌ 在画三角形的三条角平分线，三条中线，三条高时应注意：
(1)如图3，三角形三条角平分线交于一点，交点都在三角形内部. (2)如图4，三角形的三条中线交点一点，交点都在三角形内部.
如图5,6,7，三角形的三条高交于一点，锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部，直角三角形的三条高的交点在直角三角形的直角顶点
图3
图4 A
B
C D E 图1
图2
上
.
⒍三角形的三边关系
三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边. 注意：（1）三边关系的依据是：两点之间线段是短；
（2）围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边．
⒎ 三角形的角与角之间的关系： (1)三角形三个内角的和等于180 ;
(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； (3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. (4)直角三角形的两个锐角互余.
三角形的内角和定理
定理：三角形的内角和等于180°． 推论：直角三角形的两个锐角互余。
推理过程：
一、作CM ∥AB ，则∠4=∠1，而∠2+∠3+∠4=1800， 即∠A+∠B+∠ACB=1800．
二、作MN ∥BC ，则∠2=∠B ，∠3=∠C ，而∠1+∠2+∠3=1800， 即∠BAC+∠B+∠C=1800．
注意：（1）证明的思路很多，基本思想是组成平角．
（2）应用内角和定理可解决已知二个角求第三个角或已知三角关系求三个角．
三角形的外角的定义
三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
图5 图6
图7
图8
A
21
B A
C
M
D 注意：每个顶点处都有两个外角，但这两个外角是对顶角.
如:∠ACD 、∠BCE 都是△ABC 的外角，且∠ACD=∠BCE. 所以说一个三角形有六个外角，但我们每个一个顶点处 只选一个外角，这样三角形的外角就只有三个了. 三角形外角的性质
（1）三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和． （2）三角形的一个角大于与它不相邻的任何一个内角． 注意：（1）它不相邻的内角不容忽视；
（2）作CM ∥AB 由于B 、C 、D 共线
∴∠A=∠1，∠B=∠2.
即∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B.
那么∠ACD>∠A.∠ACD>∠B.
8．三角形的稳定性：
三角形的三边长确定，则三角形的形状就唯一确定，这叫做三角形的稳定性． 注意：（1）三角形具有稳定性；
（2）四边形没有稳定性.
适当添加辅助线，寻找基本图形
(1)基本图形一，如图8，在∆ABC 中，AB=AC ，B,A,D 成一条直线，则∠DAC =2∠B =2∠C 或∠B =∠C =
2
1
∠DAC .
(2)基本图形二，如图9，如果CO 是∠AOB 的角平分线，DE ∥OB 交OA,OC 于D,E ，那么∆DOE 是等腰三角形，DO=DE .当几何
问题的条件和结论中，或在推理过程中出现有角平分线，平行线，等腰
三角形三个条件中的两个时，就应找出这个基本图形，并立即推证出第三个作为结论.即：角平分线+平行线→等腰三角形.
基本图形三，如图10，如果BD 是∠ABC 的角平分线，M 是AB 上一点，MN ⊥BD ，且与BP,BC 相交于P,N .那么BM=BN ，即∆BMN 是等腰三角形，且MP=NP ，即：角平分线+垂线→等腰三角形.
当几何证题中出现角平分线和向角平分线所作垂线时，就应找出这个基本图形，如等腰三角形不完整就应将基本图形补完整，如图11，图12.
图9。
初二上册第11章三角形总结
初二上册第11章三角形知识点总结归纳一、三角形的基本概念与性质三角形的定义：由三条线段首尾顺次连接所围成的封闭图形叫做三角形。
这三条线段分别称为三角形的三边，相邻两边所组成的角称为三角形的内角。
三角形的分类：按角的大小分类：锐角三角形（三个角都是锐角）、直角三角形（有一个角是直角）、钝角三角形（有一个角是钝角）。
按边的长短分类：不等边三角形（三边都不相等）、等腰三角形（有两边相等）、等边三角形（三边都相等）。
三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
举例：若三角形的三边分别为a、b、c，则必须满足a + b > c, a + c > b, b + c > a，以及|a - b| < c, |a - c| < b, |b - c| < a。
三角形的内角和：三角形的三个内角之和等于180°。
举例：在△ABC中，∠A + ∠B + ∠C = 180°。
三角形的稳定性：三角形具有稳定性，即三角形的形状和大小在其三边长度确定后就不会改变。
举例：建筑中的钢架结构、桥梁的支撑结构等常利用三角形的稳定性。
二、等腰三角形与等边三角形的性质与判定等腰三角形的性质：等腰三角形的两底角相等。
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。
举例：在等腰△ABC中，若AB = AC，则∠B = ∠C，且AD（顶角平分线、底边上的中线、底边上的高）重合。
等腰三角形的判定：有两边相等的三角形是等腰三角形。
有两个角相等的三角形是等腰三角形。
举例：若△ABC中，AB = AC或∠B = ∠C，则△ABC是等腰三角形。
等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且每个角都为60°。
等边三角形的三条边都相等。
等边三角形的每条边上的中线、高线和对角的平分线三线合一。
举例：在等边△ABC中，AB = BC = AC，∠A = ∠B = ∠C = 60°，且AD、BE、CF三线合一。
第十一章 三角形-2022-2023学年八年级数学上册单元复习(人教版)
归纳 三角形的中线分该三角形为面积相等的两部分.
针对训练
3.下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ C ）
4.如图所示，请按照要求填空.
(1) 若AD⊥BC，垂足为点D，
则(∠ADB )=(∠ADC )=90°； B
A
C
D F E
(2) 若点E是边BC的中点，则( BE )=( CE )，
∵∠1=∠2=60°，
∴∠EDA=∠DAB=60°，∴AB∥DE.
∵∠C=120°，∠2=60°，
∴∠2+∠C=180°，∴AD∥BC.
针对训练
8.一个多边形的内角和是720°，则这个多边形的边数
是（ C ）
A.4
B.5
C.6
D.7
解：设这个多边形的边数为n，则(n-2)×180°= 720°，
解得n=6.
长分别为6,4，符合三边关系.
综上所述，另两边长为5,5或6,4.
【变式题】 已知等腰三角形的一边长为4，另一
边长为8，则这个等腰三角形的周长为 ( C )
A.16
B.20或16
C.20
D.12
归纳 等腰三角形的腰、底边不明确时，要分情况讨
论，还要注意三边能否构成三角形.
针对训练
2.若(a-1)2+|b-2|=0,则以a,b为边长的等腰三角形的
且线段AE为( △ABC的中线 )；
(3) 若AF是△ABC的角平分线，则(∠BAF )= (∠CAF).
考点三 有关三角形内、外角的计算
例5 ∠A ,∠B ,∠C是△ABC的三个内角，且分别满足
下列条件，求∠A，∠B，∠C中未知角的度数.
(1)∠A－∠B＝16°，∠C＝54°；
八年级数学上册第十一章三角形常考点(带答案)
八年级数学上册第十一章三角形常考点单选题1、一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：1，则这个正多边形是（）A．正方形B．正六边形C．正八边形D．正十边形答案：C分析：设这个外角是x°，则内角是3x°，根据内角与它相邻的外角互补列出方程求出外角的度数，根据多边形的外角和是360°即可求解．解：∵一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：1，∴设这个外角是x°，则内角是3x°，根据题意得：x+3x＝180°，解得：x＝45°，360°÷45°＝8（边），故选：C．小提示：本题考查了多边形的内角和外角，根据内角与它相邻的外角互补列出方程是解题的关键．2、如图，在△CEF中，∠E=80°，∠F=50°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是（）A．45°B．50°C．55°D．80°答案：B分析：连接AC并延长交EF于点M．由平行线的性质得∠3=∠1，∠2=∠4，再由等量代换得∠BAD=∠3+∠4=∠1+∠2=∠FCE，先求出∠FCE即可求出∠A．解：连接AC并延长交EF于点M．∵AB∥CF，∴∠3=∠1，∵AD∥CE，∴∠2=∠4，∴∠BAD=∠3+∠4=∠1+∠2=∠FCE，∵∠FCE=180°−∠E−∠F=180°−80°−50°=50°，∴∠BAD=∠FCE=50°，故选B．小提示：本题主要考查了平行线的性质以及三角形的内角和定理，属于基础题型．3、如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接AB、BC、CD、DE、EA，若∠BCD=100°，则∠A+∠B+∠D+∠E=（）A．220°B．240°C．260°D．280°答案：D分析：连接BD，根据三角形内角和求出∠CBD+∠CDB，再利用四边形内角和减去∠CBD和∠CDB的和，即可得到结果．解：连接BD，∵∠BCD=100°，∴∠CBD+∠CDB=180°-100°=80°，∴∠A+∠ABC+∠E+∠CDE=360°-∠CBD-∠CDB=360°-80°=280°，故选D．小提示：本题考查了三角形内角和，四边形内角和，解题的关键是添加辅助线，构造三角形和四边形．4、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B-∠A＝10°，D是AB上一点，将△ACD沿CD翻折后得到△CED，边CE 交AB于点F．若△DEF中有两个角相等，则∠ACD的度数为（）A．15°或20°B．20°或30°C．15°或30°D．15°或25°答案：C分析：由三角形的内角和定理可求解∠A=40°，设∠ACD=x°，则∠CDF=40°+x，∠ADC=180°-40°-x=140°-x，由折叠可知：∠ADC=∠CDE，∠E=∠A=40°，可分三种情况：当∠DFE=∠E=40°时；当∠FDE=∠E=40°时；当∠DFE=∠FDE时，根据∠ADC=∠CDE列方程，解方程可求解x值，即可求解．解：在△ABC中，∠ACB=90°，∴∠B+∠A=90°，∵∠B-∠A=10°，∴∠A=40°，∠B=50°，设∠ACD=x°，则∠CDF=40°+x，∠ADC=180°-40°-x=140°-x，由折叠可知：∠ADC=∠CDE，∠E=∠A=40°，当∠DFE=∠E=40°时，∵∠FDE+∠DFE+∠E=180°，∴∠FDE=180°-40°-40°=100°，∴140°-x=100°+40°+x，解得x=0（不存在）；当∠FDE=∠E=40°时，∴140°-x=40°+40°+x，解得x=30°，即∠ACD=30°；当∠DFE=∠FDE时，∵∠FDE+∠DFE+∠E=180°，∴∠FDE=180°−40°2＝70°，∴140°-x=70°+40°+x，解得x=15，即∠ACD=15°，综上，∠ACD=15°或30°，故选：C．小提示：本题主要考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，根据∠ADC=∠CDE分三种情况列方程是解题的关键．5、已知△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，连接DE、BE、DC，下列各式中正确的是（）．A．S△ADES△ABC =ADABB．S△ADES△ABC=AEACC．S△ADCS△ABC =ADABD．S△ADES△EDC=AEAC答案：C分析：A选项，设点E、C到AB的距离分别为ℎ1，ℎ2，则ℎ1<ℎ2，根据三角形面积公式进行判断即可；B选项设点D、B到AC的距离分别为x，y，则x≠y，x<y，根据三角形面积公式进行判断即可；C选项，设点C到AB距离为h，△ADC=12AD⋅ℎ，S△ABC=12AB⋅ℎ，根据三角形面积公式进行判断即可；D选项，设点D到AC距离为ℎ3，则S△ADE=12AE⋅ℎ3，S△EDC=12CE⋅ℎ3，根据三角形面积公式进行判断即可A选项：设点E、C到AB的距离分别为ℎ1，ℎ2，则ℎ1<ℎ2，S△ADE=12AD⋅ℎ1，S△ABC=12AB⋅ℎ2，∴S△ADES△ABC =12AD⋅ℎ112AB⋅ℎ2=AD⋅ℎ1AB⋅ℎ2≠ADAB，故A错误；B选项：设点D、B到AC的距离分别为x，y，则x≠y，x<y，S△ADE=12AE⋅x，S△ABC=12AC⋅y，S△ADES△ABC=12AE⋅x12AC⋅y=AE⋅xAC⋅y≠AEAC，故B错误；C选项：设点C到AB距离为h，△ADC=12AD⋅ℎ，S△ABC=12AB⋅ℎ，∴S△ADCS△ABC =12AD⋅ℎ12AB⋅ℎ=ADAB，故C正确；D选项：设点D到AC距离为ℎ3，则S△ADE=12AE⋅ℎ3，S△EDC=12CE⋅ℎ3，∴S△ADES△EDC =12AE⋅ℎ312CE⋅ℎ3=AECE=AEAC−AE≠AEAC，故D错误.故选C．小提示：本题考查了与三角形的高有关的计算，掌握三角形的高的定义，根据三角形的面积计算是解题的关键．6、一个正多边形的每个外角都等于40°，则它的内角和是（）A．1000°B．1620°C．1260°D．1080°答案：C分析：先根据多边形的外角和求多边形的边数，再根据多边形的内角和公式求出即可．解：设这个多边形是n边形，根据多边形的外角和为360°可得，40°×n=360°，解得n=9．所以这个多边形的内角和为（9-2）×180°=1260°．故选C.小提示：本题考查了多边形的内角与外角，能正确求出多边形的边数是解此题的关键，注意：多边形的外角和等于360°，边数为n的多边形的内角和=(n−2)×180°.7、如果一个多边形的内角和是外角和的5倍，那么这个多边形的边数是（）A．10B．11C．12D．13答案：C分析：设多边形的边数为n，根据多边形外角和与内角和列式计算即可；解：设多边形的边数为n，根据题意可得：(n−2)×180=360×5，化简得：n−2=10，解得：n=12；故选：C．小提示：本题主要考查了多边形的内角和与外角和，结合一元一次方程求解是解题的关键．8、下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（）A．1cm，2cm，3cm B．3cm，4cm，5cmC．4cm，5cm，10cm D．6cm，9cm，2cm答案：B分析：根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．解：根据三角形的三边关系，知A、1+2＝3，不能组成三角形，故选项错误，不符合题意；B、3+4＞5，能够组成三角形，故选项正确，符合题意；C、5+4＜10，不能组成三角形，故选项错误，不符合题意；D、2+6＜9，不能组成三角形，故选项错误，不符合题意；故选：B．小提示：此题考查了三角形的三边关系．解题的关键是看较小的两个数的和是否大于第三个数．9、如图，已知△ABC 中，BD ，CE 分别是△ABC 的角平分线，BD 与CE 交于点O ，如果设∠A =n °（0＜n ＜180），那么∠COD 的度数是（ ）A ．45°+n°B ．90°+12n°C ．90°−12n°D ．180°−n° 答案：C分析：利用三角形的内角和定理可求得∠ABC +∠ACB 的度数，结合角平分线的定义可求得∠OBC +∠OCB 的度数，再利用三角形外角的性质可求解．解：∵∠A =n °，∴∠ABC +∠ACB =（180-n ）°，∵BD 、CE 分别是△ABC 的角平分线，∴∠OBC +∠OCB =12（180-n ）°=90°-12n °，∴∠COD =∠OBC +∠OCB =90°-12n °，故选：C ．小提示：本题主要考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，求解∠OBC +∠OCB 的度数是解题的关键．10、能说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是假命题的例证图是（ ）． A ．B ．C ．D ．答案：C分析：先将每个图形补充成三角形，再利用三角形的外角性质逐项判断即得答案．解：A、如图1，∠1是锐角，且∠1=α+β，所以此图说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是真命题，故本选项不符合题意；B、如图2，∠2是锐角，且∠2=α+β，所以此图说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是真命题，故本选项不符合题意；C、如图3，∠3是钝角，且∠3=α+β，所以此图说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是假命题，故本选项符合题意；D、如图4，∠4是锐角，且∠4=α+β，所以此图说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是真命题，故本选项不符合题意．故选：C．小提示：本题考查了真假命题、举反例说明一个命题是假命题以及三角形的外角性质等知识，属于基本题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．填空题11、如图1，赤道式日晷是中国古代最经典和传统的计时仪器，由底座，晷面、晷针三部分组成，其中底坐面与日晷所处地球半径垂直；（1）晷针与晷面夹角为___________；（2）如图2，日晷所处纬度α为50°，若太阳光（平行光）与日晷底座面夹角为60°，则太阳光与该晷面所夹锐角度为___________．答案：90°20°分析：①由垂直于两平行线之一的直线，必垂直于另一条平行线，即可判断出晷针与晷面垂直，即晷针与晷面夹角为90°．②由平行线的性质即可求出∠JHI=130°，根据题意可求出∠JIH=30°，再根据三角形内角和定理即可求出∠IJH=20°，最后由对顶角相等即可求出∠AJC=∠IJH=20°，即太阳光与该晷面所夹锐角度为20°．①根据题意晷面与赤道平行，地轴与赤道垂直，∴地轴与晷面垂直，又∵晷针与地轴平行，∴晷针与晷面垂直．即晷针与晷面夹角为90°．②可将题干中图简化为如下图：根据题意结合图形可知：AB//CD，GO⊥EF，∠AOG=50°，∠EIJ=60°．∵AB//CD，∴∠AOG+∠CHO=180°，即50°+∠CHO=180°，∴∠CHO=130°，即∠JHI=130°．∵∠AOG=50°，∠EIJ=60°．∴∠JIH=90°−60°=30°．∴∠IJH=180°−∠JIH−∠JHI=180°−30°−130°=20°．∴∠AJC=∠IJH=20°．即太阳光与该晷面所夹锐角度为20°．故答案为90°，20°．小提示：本题考查平行线的性质和三角形内角和定理．理解题意，能看懂赤道式日晷的二维图形是解答本题的关键．12、如图，平面内将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，则∠1、∠2、∠3三个角存在的等量关系为________．答案：∠1+∠2=∠3分析：根据题意分别求出正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一个内角度数，即可求解．解：根据题意得：正三角形的一个内角是60°，正方形的一个内角是90°，=108°，正五边形的一个内角是180°×(5−2)5=120°，正六边形的一个内角是180°×(6−2)6∴∠3=90°-60°=30°，∠2=108°-90°=18°，∠1=120°-108°=12°，∴∠1+∠2=∠3．所以答案是：∠1+∠2=∠3小提示：本题主要考查了正多边形的内角问题，熟练掌握正多边形的内角的求法是解题的关键．13、如图，将直角三角形纸片ABC进行折叠，使直角顶点A落在斜边BC上的点E处，并使折痕经过点C，得到折痕CD．若∠CDE=70°，则∠B=______°．答案：50分析：根据折叠的性质求得∠CDE=∠CDA=70°，得到∠BDE=40°，再利用余角的性质即可求解．解：根据折叠的性质得：∠CDE=∠CDA=70°，∠CED=∠A=90°，∴∠BDE=180°-70°-70°=40°，∠BED=180°-90°=90°，∴∠B =180°-90°-40°=50°，所以答案是：50．小提示：本题考查翻折变换，三角形内角和定理等知识，关键是根据翻折前后对应角相等，利用三角形内角和定理求解即可．14、三个数3，1−a,1−2a 在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则a 的取值范围为______答案：−3<a <−2分析：根据三个数在数轴上的位置得到3<1−a <1−2a ，再根据三角形的三边关系得到1−a +3>1−2a ，求解不等式组即可．解：∵3，1−a,1−2a 在数轴上从左到右依次排列，∴3<1−a <1−2a ，解得a <−2，∵这三个数为边长能构成三角形，∴1−a +3>1−2a ，解得a >−3，综上所述，a 的取值范围为−3<a <−2，所以答案是：−3<a <−2．小提示：本题考查不等式组的应用、三角形的三边关系，根据题意列出不等式组是解题的关键．15、如图，AD 是△ABC 的中线，BE 是△ABD 的中线， EF BC 于点 F ．若S △ABC =24，BD 4 ，则 EF 长为___________．答案：3分析：因为S △ABD =12S △ABC ，S △BDE =12S △ABD ；所以S △BDE =14S △ABC ，再根据三角形的面积公式求得即可． 解：∵AD 是△ABC 的中线，S △ABC =24，∴S△ABD=1S△ABC=12，2S△ABD=6，同理，BE是△ABD的中线，S△BDE=12∵S△BDE=1BD•EF，2∴1BD•EF=6，2×4×EF=6即12∴EF=3．所以答案是：3．小提示：此题考查了三角形的面积，三角形的中线特点，理解三角形高的定义，根据三角形的面积公式求解，是解题的关键．解答题16、已知a，b，c分别为△ABC的三边，且满足a+b=3c−2，a−b=2c−6．(1)求c的取值范围；(2)若△ABC的周长为12，求c的值．答案：(1)2<c<6(2)3.5分析：（1）根据三角形任意两边之和大于第三边得出3c-2＞c，任意两边之差小于第三边得出|2c-6|＜c，列不等式组求解即可；（2）由△ABC的周长为12，a+b=3c-2，4c-2=12，解方程得出答案即可．（1）∵a，b，c分别为△ABC的三边，a+b=3c-2，a-b=2c-6，∴{3c−2>c|2c−6|<c，解得：2<c<6．故c的取值范围为2<c<6；（2）∵△ABC的周长为12，a+b=3c-2，∴a+b+c=4c-2=12，解得c=3.5．故c的值是3.5．小提示：此题考查三角形的三边关系，利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，建立不等式解决问题．17、如图，AD是∠BAC的平分线，CE是△ADC边AD上的高，若∠BAC=70°，∠ECD=20°，求∠ACB的度数．答案：75°分析：根据角平分线的定义求出∠DAC的度数，所以EDCA可求，进而求出∠ACB的度数．解：∵AD是∠BAC的平分线，∠BAC＝70°，∴∠DAC＝1∠BAC＝35°，2∵CE是△ADC边AD上的高，∴∠AEC=90°∴∠ACE＝90°﹣∠CAE＝55°，∵∠ECD＝20°∴∠ACB＝∠ACE+∠ECD＝75°．小提示：本题主要考查了三角形的内角和定理．解题的关键是掌握三角形的内角和定理以及角平分线的定义．18、已知：a、b、c满足(a−√8)2+√b−5+|c−3√2|=0求：(1)a、b、c的值；(2)试问以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说明理由．答案：(1)a=2√2，b=5，c=3√2(2)能构成三角形，周长为5(1+√2)分析：（1）根据非负数之和等于零，则每个非负数等于零，分别建立方程求解即可；（2）先比较长三边的大小，再用较小两边之和与最大边比较即可判断能够构成三角形；然后计算三角形的周长即可．（1）解：∵(a−√8)2≥0，√b−5≥0，|c−3√2|≥0，a、b、c满足(a−√8)2+√b−5+|c−3√2|=0，∴a−√8=0，b−5=0，c−3√2=0，解得a=2√2，b=5，c=3√2；（2）解：∵8<18<25，∴2√2<3√2<5，即a<c<b，∵2√2+3√2=5√2>5，∴能构成三角形，三角形的周长=a+b+c=2√2+3√2+5=5√2+5=5(√2+1)．小提示：本题考查了非负数的性质，二次根式有意义的条件和构成三角形的条件，解题的关键是根据非负数之和等于零的条件分别建立方程和如何判定三边能否构成三角形．。
人教版八年级数学上册 第十一章 三角形知识归纳与题型突破(10类题型清单)
第十一章三角形知识归纳与题型突破（题型清单）01思维导图02知识速记一、三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．要点诠释：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.（2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.（3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示．二、三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边.推论：三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．（3）证明线段之间的不等关系．三、三角形的分类1.按角分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形 锐角三角形斜三角形 钝角三角形要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.2.按边分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形 底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形 等边三角形要点诠释：①不等边三角形：三边都不相等的三角形；②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;③等边三角形：三边都相等的三角形.四、三角形的三条重要线段三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：线段名称三角形的高三角形的中线三角形的角平分线文字语言从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段．三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．图形语言作图语言过点A 作AD ⊥BC 于点D ．取BC 边的中点D ，连接AD ．作∠BAC 的平分线AD ，交BC 于点D ．标示图形符号语言1．AD 是△ABC 的高．2．AD 是△ABC 中BC 边上的高．3．AD ⊥BC 于点D ．4．∠ADC ＝90°，∠ADB ＝90°．1．AD 是△ABC 的中线．2．AD 是△ABC 中BC 边上的中线．3．BD ＝DC ＝12BC 4．点D 是BC 边的中点．1．AD 是△ABC 的角平分线．2．AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ．3．∠1＝∠2＝12∠BAC ．(或∠ADC＝∠ADB＝90°)推理语言因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC．(或∠ADB＝∠ADC＝90°)因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝12BC．因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝12∠BAC．用途举例1．线段垂直．2．角度相等．1．线段相等．2．面积相等．角度相等．注意事项1．与边的垂线不同．2．不一定在三角形内．—与角的平分线不同．重要特征三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点．一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．五、三角形的稳定性三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.要点诠释：（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．六、三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．七、三角形的外角1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.要点诠释：(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．八、多边形的概念1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．2．相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角.外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．3.多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：要点诠释：(1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；(2)过n 边形的一个顶点可以引(n -3)条对角线，n 边形对角线的条数为(3)2n n -；(3)过n 边形的一个顶点的对角线可以把n 边形分成(n -2)个三角形．九、多边形内角和n 边形的内角和为(n -2)·180°(n ≥3)．要点诠释：(1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于(2)180n n- °；十、多边形的外角和多边形的外角和为360°．要点诠释：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n 边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；(2)正n 边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于360n°；(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．凸多边形凹多边形03题型归纳题型一三角形的稳定性例题：（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的（）A．全等性B．对称性C．稳定性D．灵活性巩固训练1．（23-24八年级上·云南昆明·期末）我国建造的港珠澳大桥全长55公里，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥．如图，这是港珠澳大桥的斜拉索，它能拉住桥面，并将桥面向下的力通过钢索传给索塔，确保桥面的稳定性和安全性．那么港珠澳大桥斜拉索建设运用的数学原理是（）A．三角形的不稳定性B．三角形的稳定性C．四边形的不稳定性D．四边形的稳定性3．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，松花江大桥的钢架结构采用三角形的形状，这其中运用的数学道理是.4．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，建高楼常需要用塔吊来吊建筑材料，而塔吊的上部是三角形结构，这是因为三角形具有．题型二判断三边是否能构成三角形例题：（23-24七年级下·江苏盐城·期末）下列每组数分别表示3根小木棒的长度(单位：cm)，其中能搭成三角形的是（）A．4，5，10B．5，5，10C．5，8，10D．5，10，15巩固训练1．（23-24七年级下·海南儋州·期末）下列长度的三条线段中，能构成三角形的是（）A．1，3，5B．2，4，6C．1，2，3D．3，4，52．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）甲同学对下列三角形的边长分别进行标注，那么他标注错误的是（）A．B．C．D．3．（2024·河北邯郸·二模）将一根吸管按如图所示的位置摆放在单位长度为1的数轴（不完整）上，吸管左-”处，右端对应数轴上的“5”处．若将该吸管剪成三段围成三角形，第一刀剪在数轴上的端对应数轴上的“8“5-”处，则第二刀可以剪在（）A．“4-”处B．“3-”处C．“1-”处D．“2”处题型三已知三角形的两边长，求第三边的取值范围两边长分别为4与5，第三边的长为奇数，则第三边的长的例题：（23-24七年级下·重庆·期末）已知ABC最大值为．巩固训练1．（23-24七年级下·江苏无锡·期末）已知三角形的两边长为3和4，则第三条边长可以为．（请写出一个符合条件的答案）2．（23-24七年级下·黑龙江大庆·期中）一个三角形的两边长为2和6，第三边为奇数，则这个三角形的周长为．3．（23-24七年级下·内蒙古包头·期中）一个三角形的两边长分别为5和7，若x 为最长边且为整数，则此三角形的周长为．题型四判断是否三角形的高线例题：下列各图中，正确画出AC 边上的高的是（）A ．B ．C ．D ．巩固训练1．下面四个图形中，线段BD 是ABC 的高的图形是（）A ．B ．C ．D ．2．（2023秋·甘肃庆阳·八年级统考期末）如图，在ABC 中，A ∠是钝角，下列图中作BC 边上的高线，正确的是（）A ．B ．C ．D ．3．如图，AD BC ⊥，EC BC ⊥，CF AB ⊥，点D ，C ，F 是垂足，下列说法错误的是（）A ．ABD △中，AD 是BD 边上的高B ．ABD △中，EC 是BD 边上的高C ．CEB 中，EC 是BC 边上的高D ．CEB 中，FC 是BE 边上的高题型五根据三角形的中线求面积例题：（2023春·广东茂名·七年级校考阶段练习）如图，ABC 的面积为20，点D ，E ，F 分别为BC AD CE，，的中点，则阴影部分BFC △的面积为（）A ．4B ．5C ．6D ．10巩固训练1．（2023春·山西太原·七年级山西大附中校考期中）如图，AD BE 、是ABC 的中线，则下列结论中，正确的个数有（）（1）AOE COE S S = ；（2）AOB EODC S S = 四边形；（3）2BOC COE S S = ；（4）4ABC BOC S S = ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．（2023春·江苏扬州·七年级校联考阶段练习）如图，BD 是ABC 的中线，点E 、F 分别为BD CE 、的中点，若AEF △的面积为22cm ，则ABC 的面积是________2cm ．3．（2023春·江苏南京·七年级校考阶段练习）如图，且满足13AE AD =，13AF AC =题型六与平行线有关的三角形内角和问题例题：（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图，已知AB ED ∥，80EDC ∠=︒，53ECD ∠=︒，105B ∠=︒，那么ACB =∠．巩固训练1．（23-24七年级下·陕西渭南·期中）如图，在三角形ABC 中，点D ，H ，E 分别是边AB ，BC ，CA 上的点，连接DE ，DH ，F 为DH 上一点，连接EF ，若12180∠+∠=︒，365B ∠=∠=︒，52C ∠=︒．则FEC ∠的度数为︒．2．（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）如图，AN 平分BAM ∠，BM 平分ABN ∠，AN BM ⊥于点C ，25MBN ∠=︒，则下列说法：①90BCN ∠=︒；②AM BN ；③50DAM ∠=︒；④60MAN ∠=︒，其中正确的是．（填序号）3．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）如图，将一副直角三角板放在同一条直线AB 上，其中3045OMN OCD ∠=︒∠=︒，．将三角尺OCD 绕点O 以每秒10︒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转的时间为t 秒．在旋转的过程中，边CD 恰好与边MN 平行，t 的值为．题型七与角平分线有关的三角形内角和问题例题：（23-24七年级下·江苏南京·期末）如图，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，过点A 作EF BC ∥．若40EAB ∠=︒，80C ∠=︒，则ADC ∠=．巩固训练1．（23-24七年级下·上海浦东新·阶段练习）如图，在ABC 中，125BDC ∠=︒，如果ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点D ，那么A ∠=度．2．（23-24七年级下·辽宁大连·期中）如图，在ABC 中，BD CD 、分别平分,ABC ACB BG CG ∠∠、、分别平分三角形的两个外角,48EBC FCB G ∠∠∠=︒、，则D ∠=︒．3．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如图，在ABC 中，30B ∠=︒，70C ∠=︒，AE 平分BAC ∠，AD BC ⊥于点D ．(1)求BAE ∠的度数．(2)求EAD ∠的度数．题型八三角形的外角的定义及性质例题：（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图，在ABC 中，点D 在BC 的延长线上，70A ∠=︒，120ACD ∠=︒，则B ∠=︒．巩固训练1．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，已知直线12l l ∥，154∠=︒，2100∠=︒，则A ∠=度．2．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）如图，ABC 的两个外角的平分线交于点P ．若64BPC ∠=︒，则A ∠=．3．（23-24七年级下·江西南昌·期末）已知直线12l l ∥，将含30︒角的直角三角板按如图所示摆放．若2140∠=︒，则1∠=．题型九多边形的内角和与外角和例题：（23-24七年级下·江苏镇江·期末）足球的表面是由12个正五边形和20个正六边形组成的.如图，将足球上的一个正六边形和它相邻的一个正五边形展开放平，则图中的ABC ∠=．巩固训练1．（23-24九年级下·重庆开州·阶段练习）如图，3∠和4∠是四边形ABCD 的外角，若1120∠=︒，275∠=︒，则34∠+∠=．2．（23-24八年级下·江西萍乡·期末）一个多边形的内角和是它的外角和的1.5倍，则这个多边形的边数为．3．（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，已知59MON ∠=︒，正五边形ABCDE 的顶点A 、B 在射线OM 上，顶点E 在射线ON 上，则NED ∠的度数为．题型十在网格中画三角形的中线、高线及求三角形的面积例题：（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考期中）下图为79⨯的网格，每一小格均为正方形，已知ABC ．(1)画出ABC 中BC 边上的中线AD ；(2)画出ABC 中AB 边上的高CE ．(3)直接写出ABC 的面积为_________．巩固训练1．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A ，点B ，点C 在小正方形的顶点上．(1)画出ABC 中边BC 上的高AD ；(2)画出ABC 中边AB 上的中线CE ；(3)直接写出ACE △的面积为______．2.（23-24七年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，在方格纸内将ABC 水平向右平移4个单位得到A B C ''' ．(1)画出A B C ''' ；(2)若连接AA '，BB '，则这两条线段之间的关系是_________；(3)画出AB 边上的中线CD ；（利用网格点和直尺画图）(4)图中能使ABC PBC S S ＝△△的格点P 有_________个（点P 异于点A ）．3．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，方格纸中每个小正方形边长均为1，在方格纸内将ABC 的点C 平移至点C '得到A B C ''' ．(1)画出A B C ''' ；(2)线段AC 和A C ''的关系是_______．(3)借助方格画出AB 边上的中线CD 和高CE ；(4)四边形ACC A ''面积为_______．第十一章三角形知识归纳与题型突破（题型清单）01思维导图02知识速记一、三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．要点诠释：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.（2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.（3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示．二、三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边.推论：三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．（3）证明线段之间的不等关系．三、三角形的分类1.按角分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形 锐角三角形斜三角形 钝角三角形要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.2.按边分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形 底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形 等边三角形要点诠释：①不等边三角形：三边都不相等的三角形；②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;③等边三角形：三边都相等的三角形.四、三角形的三条重要线段三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：线段名称三角形的高三角形的中线三角形的角平分线文字语言从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段．三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．图形语言作图语言过点A 作AD ⊥BC 于点D ．取BC 边的中点D ，连接AD ．作∠BAC 的平分线AD ，交BC 于点D ．标示图形符号语言1．AD 是△ABC 的高．2．AD 是△ABC 中BC 边上的高．3．AD ⊥BC 于点D ．4．∠ADC ＝90°，∠ADB ＝90°．1．AD 是△ABC 的中线．2．AD 是△ABC 中BC 边上的中线．3．BD ＝DC ＝12BC 4．点D 是BC 边的中点．1．AD 是△ABC 的角平分线．2．AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ．3．∠1＝∠2＝12∠BAC ．(或∠ADC＝∠ADB＝90°)推理语言因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC．(或∠ADB＝∠ADC＝90°)因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝12BC．因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝12∠BAC．用途举例1．线段垂直．2．角度相等．1．线段相等．2．面积相等．角度相等．注意事项1．与边的垂线不同．2．不一定在三角形内．—与角的平分线不同．重要特征三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点．一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．五、三角形的稳定性三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.要点诠释：（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．六、三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．七、三角形的外角1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.要点诠释：(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．八、多边形的概念1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．2．相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角.外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．3.多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：要点诠释：(1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；(2)过n 边形的一个顶点可以引(n -3)条对角线，n 边形对角线的条数为(3)2n n -；(3)过n 边形的一个顶点的对角线可以把n 边形分成(n -2)个三角形．九、多边形内角和n 边形的内角和为(n -2)·180°(n ≥3)．要点诠释：(1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于(2)180n n- °；十、多边形的外角和多边形的外角和为360°．要点诠释：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n 边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；(2)正n 边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于360n°；(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．凸多边形凹多边形03题型归纳题型一三角形的稳定性例题：（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的（）A．全等性B．对称性C．稳定性D．灵活性【答案】C【分析】本题主要考查了三角形具有稳定性，根据三角形具有稳定性，即可进行解答．【详解】解：墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的稳定性，故选；C．巩固训练1．（23-24八年级上·云南昆明·期末）我国建造的港珠澳大桥全长55公里，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥．如图，这是港珠澳大桥的斜拉索，它能拉住桥面，并将桥面向下的力通过钢索传给索塔，确保桥面的稳定性和安全性．那么港珠澳大桥斜拉索建设运用的数学原理是（）A．三角形的不稳定性B．三角形的稳定性C．四边形的不稳定性D．四边形的稳定性【答案】B【分析】本题主要考查了三角形的特性，解题的关键是熟练掌握三角形的稳定性；根据三角形的稳定性进行解答即可．。
人教版数学八上第十一章三角形复习课件共34张PPT
2
。
（3，3，1；2，2，3）
1、如图，求△ABC各内角的度数。 A
解：3x + 2x + x = 180
35xx
6x=180
X=30
23xx
B
xx C
∴三角形各内角的度数分别为：30°，60°，90°
2、已知三角形三个内角的度数比为1：3：5， 求解这：三设个三内个角内的角度分数别。为x，3x，5x
B A
小莉的设计方案：先在池塘旁取一个能
直接到达A和B处的点C，连结AC并延长至
D点，使AC=DC，连结BC并延长至E点，
使BC=EC，连结CD，用米尺测出DE的长，
这个长度就等于A，B两点的距离。请你说
明理由。
解： AC=DC
∠ACB=∠DCE
A
B
BC=EC
C
△ACB≌△DCE(SAS)
E
D
AB=DE
则x + 3x + 5x = 180 x=20
∴三角形三个内角分别为：20°，60°，100°
题型考查
1.符合条件∠A+∠B=62°的三角形是( C )
A、锐角三角形 C、钝角三角形
B、直角三角形 D、不能确定
2.在下列长度的四根木棒中，能与4㎝，9㎝ 两根木棒围成三角形的是( C )
A、4㎝ B、5㎝ C、9㎝ D、14㎝ 3.如图，在△ABC中，∠A=70° A
点，∠1=∠2，AE=DE，
试求AB=DC。
AD
12
BEC
简解：∵E是BC的中点， ∴BE=EC。又∴ ∠1=∠2，AE=DE， △ABE≌△DCE(SAS)，∴AB=DC 。
3.如图，已知BE⊥AD， CF⊥AD，且BE=CF，请你 判断AD是△ABC的中线还是
八上数学第十一章三角形知识点总结
八上数学第十一章三角形知识点总结第一节三角形的定义和分类1. 三角形是由三条线段所围成的图形，其中每条线段都是三角形的边。
2. 三角形的分类：按边长分类（等边三角形、等腰三角形、普通三角形）、按角度分类（直角三角形、锐角三角形、钝角三角形）。
第二节三角形的性质1. 三角形的内角和等于180°：任意三角形的三个内角相加等于180°。
2. 三角形的外角和等于360°：三角形的一个内角对应的外角与其他两个内角的外角和等于360°。
3. 三角形的任意两边之和大于第三边：三角形的两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
第三节三角形的中线和中位线1. 三角形的中线：连接三角形的一个顶点与对边中点的线段。
2. 三角形的中位线：连接三角形的两个顶点与对边中点的线段。
第四节三角形的角平分线和高线1. 三角形的角平分线：从一个三角形内角的顶点出发，把这个内角平分成两个相等的角的线段。
2. 三角形的高线：从一个三角形的顶点引垂线，与对边垂直相交的线段。
第五节三角形的重心、外心和内心1. 三角形的重心：三角形三条中线的交点。
2. 三角形的外心：三角形外接圆的圆心。
3. 三角形的内心：三角形内切圆的圆心。
第六节相似三角形1. 相似三角形的定义：两个三角形的对应角相等，对应边成比例。
2. 相似三角形的性质：相似三角形的对应边比相等，对应角相等。
3. 相似三角形的判定：AAA判定、AA判定、SAS判定。
第七节三角形的面积1. 三角形面积的计算公式：面积 = 底边长度× 高 / 2。
2. 三角形面积的性质：三角形面积与底边长度成正比，与高成正比。
3. 三角形面积的计算方法：根据已知条件，利用相似三角形、三角形的高、角平分线等求解。
第八节勾股定理1. 勾股定理的表述：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和。
2. 勾股定理的应用：用于求解直角三角形的边长和判断三条边长度是否能构成直角三角形。
八年级数学上册“第十一章三角形”必背知识点
八年级数学上册“第十一章三角形”必背知识点一、三角形的定义与基本性质1. 三角形的定义：不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
三角形有三条边、三个内角和三个顶点。
2. 三角形的分类：按边分：不等边三角形、等腰三角形 （包括等边三角形，即三边都相等的特殊等腰三角形）。
按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
3. 三角形的主要线段：高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。
中线：连接三角形的一个顶点和它所对边的中点的线段。
三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分。
角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段。
三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于一点（内心）。
4. 三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，具有稳定性。
这一性质在生产生活中应用广泛。
二、三角形的三边关系基本定理：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
推论：根据三边关系可以判断三条线段是否能组成三角形，或已知两边时确定第三边的取值范围。
三、三角形的内角与外角1. 内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°。
推论：直角三角形的两个锐角互余。
2. 外角的定义与性质：定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
外角和定理：三角形的外角和为360°。
四、与三角形有关的角的其他性质等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等 （等边对等角）。
等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且均为60°。
五、多边形的基本概念与性质多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
多边形的内角与外角：内角：多边形相邻两边组成的角。
外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角。
多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段。
八年级上册数学第十一章三角形知识点总结
八年级上册数学第十一章三角形知识点总结一、与三角形有关的线段1. 三角形的概念- 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
- 三角形有三条边、三个内角和三个顶点。
2. 三角形的分类- 按角分类：- 锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。
- 直角三角形：有一个角为直角的三角形。
直角三角形可以用“Rt△”表示，直角所对的边称为斜边，另外两条边称为直角边。
- 钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。
- 按边分类：- 不等边三角形：三边都不相等的三角形。
- 等腰三角形：有两边相等的三角形。
相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
等腰三角形中，三边都相等的三角形叫做等边三角形（也叫正三角形），等边三角形是特殊的等腰三角形。
3. 三角形的三边关系- 三角形两边之和大于第三边，即a + b>c，a + c>b，b + c>a。
- 三角形两边之差小于第三边，即| a - b|<c，| a - c|<b，| b - c|<a。
- 判断三条线段能否组成三角形，只需判断较短两条线段之和是否大于最长的线段。
4. 三角形的高、中线与角平分线- 三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
三角形有三条高，锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形有两条高即两条直角边，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部。
- 三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
三角形的三条中线相交于一点，这点称为三角形的重心。
三角形的每一条中线都把三角形分成面积相等的两个部分。
- 三角形的角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
三角形的三条角平分线相交于一点。
二、与三角形有关的角1. 三角形的内角- 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。
八年级第十一章三角形复习总结
第十一章三角形复习一、三角形相关概念1．三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．2．三角形的表示:通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用A、B、C表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作△ABC，其中线段AB、BC、AC是三角形的三条边，∠A、∠B、∠C分别表示三角形的三个内角．3．三角形中的三种重要线段三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段．（1）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．注意：①三角形的角平分线是一条线段，可以度量，而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线．②三角形有三条角平分线且相交于一点，这一点一定在三角形的内部．③三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同，可以用量角器画，也可通过尺规作图来画．（2）三角形的中线：在一个三角形中，连一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．注意：①三角形有三条中线，且它们相交三角形内部一点．②画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可．（3）三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的限度叫做三角形的高线，简称三角形的高．注意：①三角形的三条高是线段②画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边上的高．（二）三角形三边关系定理①三角形两边之和大于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c 的不等式有：a+b>c，b+c>a，c+a>b．②三角形两边之差小于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c 的不等式有：a>b-c，b>a-c，c>b-a．注意：判定这三条线段能否构成一个三角形，只需看两条较短的线段的长度之和是否大于第三条线段即可（三）三角形的稳定性三角形的三边确定了，那么它的形状、大小都确定了，三角形的这个性质就叫做三角形的稳定性．例如起重机的支架采用三角形结构就是这个道理．（四）三角形的内角结论1：三角形的内角和为 180 °．表示：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°结论2：在直角三角形中，两个锐角互余．表示：如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，那么∠A+∠B=90°（因为∠A+∠B+∠C=180°）注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角如：在△ABC中，∠C=180°－（∠A+∠B）②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角．如：△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=2：3：4，求∠A、∠B、∠C度数．（五）三角形的外角1．意义：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD为△ABC的一个外角，∠BCE也是△ABC的一个外角，这两个角为对顶角，大小相等．2．性质：①三角形的一个外角等于.②三角形的一个外角大于.如图中，∠ACD=∠A+∠B , ∠ACD>∠A , ∠ACD>∠B.③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补3．外角个数 过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等），可见一个三角形共有六个外角． （六）多边形(补充性)①多边形的对角线 条对角线 ②n 边形的内角和为 ③多边形的外角和为 考点11、下列说法错误的是( ) .A ．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点B ．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点C ．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点D ．三角形的三条高可能相交于外部一点3. 如图4，已知AB=AC=BD ，那么∠1和∠2之间的关系是（ ） A. ∠1=2∠2 B. 2∠1+∠2=180° C. ∠1+3∠2=180°D.3∠1-∠2=180° 4．如图3，在△ABC 中，点D 在BC 上，且AD=BD=CD ，AE 是BC 边上的高，若沿AE 所在直线折叠，点C 恰好落在点D 处，则∠B 等于（ ） A ．25° B．30° C．45° D．60°5.如图5，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别为边BC ，AD ，CE 的中点，且ABC S ∆= 42cm ，则S 阴影等于( )A ．22cm B. 12cm C.122cm D. 142cm 6.如图，在△ABC 中，D,E 分别是BC ，AD 的中点，ABC S ∆=42cm ， 求ABE S ∆.考点21.关于三角形的边的叙述正确的是 （ ）A 、三边互不相等B 、至少有两边相等C 、任意两边之和一定大于第三边D 、最多有两边相等 3.下面说法正确的是个数有（ ）①如果三角形三个内角的比是１∶２∶３，那么这个三角形是直角三角形；②如果三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角，则这么三角形是直角三角形；③如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形；④如果∠A=∠B=21∠C ，那么△ABC 是直角三角形；⑤若三角形的一个内角等于另两个内角之差，那么这个三角形是直角三角形；⑥在∆ABC 中，若∠A ＋∠B=∠C ，则此三角形是直角三角形。
初二数学八上第十一章三角形知识点总结复习和常考题型练习
第十一章三角形一、知识框架：二、知识概念：1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.注意：已知两边可得第三边的取值范围是：两边之差<第三边<两边之和3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.注意：①三角形的三条高是线段；②画三角形的高时，只需要三角形一个顶点向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边上的高．4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.注意：①三角形有三条中线，且它们相交三角形内部一点，交点叫重心．②画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可．5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.注意：①三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线．②三角形有三条角平分线且相交于一点，这一点一定在三角形的内部．③三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同，可以用量角器画，也可通过尺规作图来画．6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性.7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形.12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面，13.公式与性质：⑴三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°直角三角形的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形.⑵三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.三角形的一个外角和与之相邻的内角互补.过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等），可见一个三角形共有六个外角．⑶多边形内角和公式：n 边形的内角和等于(2)n -·180°⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°.⑸多边形对角线的条数：①从n 边形的一个顶点出发可以引(3)n -条对角线，把多边形分成(2)n -个三角形.②n 边形共有(3)2n n -条对角线.例题精选 1.(2015·郴州中考)以下列各组线段为边，能组成三角形的是( )A.1 cm ，2 cm ，4 cmB.4 cm ，6 cm ，8 cmC.5 cm ，6 cm ，12 cmD.2 cm ，3 cm ，5 cm2.(2015·恩施中考)如图，AB ∥CD ，直线EF 交AB 于点E ，交CD 于点F ，EG 平分∠BEF ，交CD于点G ，∠1=50°，则∠2等于 ( )A.50°B.60°C.65°D.90°3.(2015·来宾中考)如图，在△ABC 中，已知∠A=80°，∠B=60°，DE ∥BC ，那么∠CED 的大小是 ( )A.40°B.60°C.120°D.140°4.(2015·南平中考)正多边形的一个外角等于30°，则这个多边形的内角和为( )A.720B.1260C.1800D.23405.(2015·来宾中考)如果一个多边形的内角和是其外角和的一半，那么这个多边形是( )A.六边形B.五边形C.四边形D.三角形6.(2015·遂宁中考)若一个多边形内角和等于1260°，则该多边形有条对角线.2．下列说法错误的是()．A．锐角三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线分别交于一点B．钝角三角形有两条高线在三角形外部C．直角三角形只有一条高线D．任意三角形都有三条高线、三条中线、三条角平分线3．如果多边形的内角和是外角和的k倍，那么这个多边形的边数是()．A．k B．2k＋1C．2k＋2 D．2k－24．四边形没有稳定性，当四边形形状改变时，发生变化的是()．A．四边形的边长B．四边形的周长C．四边形的某些角的大小D．四边形的内角和5．如图，在△ABC中，D，E分别为BC上两点，且BD＝DE＝EC，则图中面积相等的三角形有()对．A．4 B．5C．6 D．76．在下列条件中：①∠A＋∠B＝∠C，②∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，③∠A ＝90°－∠B，④∠A＝∠B－∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有()．A．1个B．2个C．3个D．4个7.如果三角形的一个外角小于和它相邻的内角，那么这个三角形为()．A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．以上都不对8．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，∠A 与∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是()．A．∠A＝∠1＋∠2 B．2∠A＝∠1＋∠2C．3∠A＝2∠1＋∠2 D．3∠A＝2(∠1＋∠2)9．一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角之间的关系是()．A．相等B．互补C．相等或互补D．互余10．如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有_____________．11．已知a，b，c是三角形的三边长，化简：|a－b＋c|－|a－b－c|＝__________.12．等腰三角形的周长为20 cm，一边长为6 cm，则底边长为__________．13．如图，∠ABD与∠ACE是△ABC的两个外角，若∠A＝70°，则∠ABD ＋∠ACE＝__________.14．四边形ABCD的外角之比为1∶2∶3∶4，那么∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝__________.15．如果一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，那么这个多边形是__________边形．16．如图，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝__________.17．如图，点D ，B ，C 在同一直线上，∠A ＝60°，∠C ＝50°，∠D ＝25°，则∠1＝__________.18．如图，小亮从A 点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，……照这样走下去，他第一次回到出发地A 点时，一共走了__________米．19．一个正多边形的一个外角等于它的一个内角的，这个正多边形是几边形？20．如图所示，直线AD 和BC 相交于点O ，AB ∥CD ，∠AOC ＝95°，∠B ＝50°，求∠A 和∠D .1321．如图，经测量，B 处在A 处的南偏西57°的方向，C 处在A 处的南偏东15°方向，C 处在B 处的北偏东82°方向，求∠C 的度数．22．如图所示，分别在三角形、四边形、五边形的广场各角修建半径为R 的扇形草坪(图中阴影部分)．(1)图①中草坪的面积为__________；(2)图②中草坪的面积为__________；(3)图③中草坪的面积为__________；(4)如果多边形的边数为n ，其余条件不变，那么，你认为草坪的面积为__________．7．如图，AD 是△ABC 的中线，CE 是△ACD 的中线，DF 是△CDE 的中线，若S △DEF ＝2，则S △ABC 等于( )A ．16B ．14C ．12D ．109．如图，四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠D的度数为() A．115°B．105°C．95°D．85°10．如图，∠1，∠2，∠3，∠4恒满足的关系是()A．∠1＋∠2＝∠3＋∠4 B．∠1＋∠2＝∠4－∠3C．∠1＋∠4＝∠2＋∠3 D．∠1＋∠4＝∠2－∠314．若一个三角形的两边长是4和9，且周长是偶数，则第三边长为________．24．(1)如图，一个直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY，XZ分别经过点B，C，△ABC中，若∠A＝30°，则∠ABC ＋∠ACB＝__________，∠XBC＋∠XCB＝__________；(2)若改变直角三角板XYZ的位置，但三角板XYZ的两条直角边XY，XZ 仍然分别经过B，C，那么∠ABX＋∠ACX的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出∠ABX＋∠ACX的大小．25．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．(1)如图①，若AB∥CD，点P在AB，CD外部，则有∠B＝∠BOD，又因为∠BOD是△POD的外角，故∠BOD＝∠BPD＋∠D.得∠BPD＝∠B－∠D.将点P移到AB，CD内部，如图②，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD，∠B，∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；(2)在如图②中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图③，则∠BPD，∠B，∠D，∠BQD之间有何数量关系？(不需证明)；(3)根据(2)的结论求如图④中∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数．。