三角函数的图像与性质知识点归纳
1●高考明方向1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象， 了解三角函数的周期性．2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、 最大值和最小值，图象与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性．★备考知考情三角函数的周期性、单调性、最值等是高考的热点，题型既有选择题、填空题、又有解答题，难度属中低档，如2014课标全国Ⅱ14、北京14等；常与三角恒等变换交汇命题，在考查三角函数性质的同时，又考查三角恒等变换的方法与技巧，注重考查函数方程、转化化归等思想方法.《名师一号》P552二、例题分析： （一）三角函数的定义域和值域 例1．（1）《名师一号》P56 对点自测3函数y ＝lg(sin x )＋ cos x －12的定义域为____________解析 要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧ sin x >0，cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π (k ∈Z)．∴2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z.∴函数的定义域为{x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z}．3例1．（2）《名师一号》P56 高频考点 例1(1) 函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________．解:(1)要使函数有意义，必须有sin x －cos x ≥0，即sin x ≥cos x ，同一坐标系中作出y ＝sin x ，y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象如图所示．结合图象及正、余弦函数的周期是2π知，函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋54π，k ∈Z .注意：《名师一号》P56 高频考点 例1 规律方法 (1)求三角函数的定义域实质就是解三角不等式（组）． 一般可用三角函数的图象或三角函数线确定 三角不等式的解．4例2．（1）《名师一号》P56 对点自测4函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－3解:∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.∴y ∈[－3，2]，∴y max ＋y min ＝2－ 3. 注意：《名师一号》P56 高频考点 例1 规律方法2 求三角函数的值域的常用方法之一： 利用sin x 和cos x 的值域(图像)直接求；例2．（2）8月月考第17题(1)17．（满分12分）已知函数22()3cos 2cos sin sin f x x x x x =++．5（I ）当[0,]2x π∈时，求()f x 的值域；222()3cos 2cos sin sin 12cos sin 2f x x x x x x x =++=++………2分)2x =++ …………3分……4分即()f x 的值域为2]+. …………………6分注意：《名师一号》P56 高频考点 例1 规律方法2 求三角函数的值域的常用方法之二： 化为求sin()=++y A x b ωϕ的值域 如：①sin cos y a x b x =+合一变换6sin()y A x ϕ=+②22sin sin cos cos y a x b x x c x =++sin 2cos2y d x e x f =++sin(2)y A x b ϕ=++ 注意弦函数的有界性！变式:《名师一号》P58 特色专题 典例1若函数f (x )＝a sin x －b cos x 在x ＝π3处有最小值－2，则常数a ，b 的值是( )A ．a ＝－1，b ＝ 3B ．a ＝1，b ＝－3C ．a ＝3，b ＝－1D ．a ＝－3，b ＝1解:函数f (x )＝a sin x －b cos x 的最小值为－a 2＋b 2. f (x )＝a 2＋b 2sin(x －φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝b a 2＋b 2，降幂 合一变换7则⎩⎨⎧－a 2＋b 2＝－2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝32a －12b ＝－2，解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝1.【名师点评】 解答本题的两个关键：①引进辅助角，将原式化为三角函数的基本形式； ②利用正弦函数取最值的方法建立方程组．例2．(3)《名师一号》P56 高频考点 例1(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________．解:∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴sin x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.又y ＝3－sin x －2cos 2x ＝3－sin x －2(1－sin 2x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －142＋78. ∴当sin x ＝14时，y min ＝78；当sin x ＝－12或sin x ＝1时，y max ＝2.8注意：《名师一号》P56 高频考点 例1 规律方法2 求三角函数的值域的常用方法之三：把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域．练习: (补充)（1）求函数22tan 1()tan 1x f x x -=+的值域【答案】[)1,1-（2）求函数22sin 1()0,sin 22x f x x x π+⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域【答案】)+∞92222sin 13sin cos ()sin 22sin cos 3tan 1113tan 2tan 2tan 0,tan 0211()23tan 32tan x x x f x x x xx x x x x x f x x xπ++==+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭⎛⎫∈∴> ⎪⎝⎭≥=注意：求三角函数的值域的常用方法之三：求三角函数的值域的常用方法： 化为求代数函数的值域注意约束条件----三角函数自身的值域！例2．（4）(补充)求函数()sin cos sin cos =+-f x x x x x 的值域【答案】12⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦注意：求三角函数的值域的常用方法之四：10《名师一号》P56 问题探究 问题3 如何求三角函数的值域或最值？③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(或最值)． 利用22sin cos 1x x +=转化为二次函数在指定区间 上的值域问题变式:求函数()sin cos sin cos +=+f x x x x x 的值域例2．（5）详见 第一章 第二讲函数值域 7．数形结合法： 例7(2)《名师一号》P14 问题探究 问题（6）当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域和最值；或利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法求出函数的值域．(补充)如两点间距离、直线斜率等等求函数4sin 12cos 4+=-x y x 的值域11解:()114sin sin 4422cos 2cos 2⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==--x x y x x 可视作单位圆外一点12,4⎛⎫- ⎪⎝⎭P 与圆221+=x y 上的点()cos ,sin x x 所连线段斜率的2倍,设过点12,4⎛⎫- ⎪⎝⎭P 的点的直线方程为()12+=-y k x 即1204---=kx y k1=解得34=-k 或512=k答案：35,26⎡⎤-⎢⎥⎣⎦注意：求三角函数的值域的常用方法之五： 数形结合法练习：求函数[]cos 10,sin 2-=∈-x y x x π的值域12答案：40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦变式：求函数cos 1,sin 222-⎡⎤=∈-⎢⎥-⎣⎦x y x x ππ的值域答案：10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦拓展:8月月考第16题函数22)24()2cos x x xf x x xπ+++=+的最大值是M ，最小值是m ，则M m +的值是 .22222)2sin cos 2sin 4()12cos 2cos 2cos x x xx x x x x x f x x x x x x x π+++++++===++++，记2sin ()2cos x xg x x x+=+，则()g x 是奇函数且()1()f x g x =+，所以()f x 的最大值是max 1()M g x =+，13 最小值是min 1()m g x =+，因为()g x 是奇函数， 所以max min ()()0g x g x +=，所以max min 1()1()2M m g x g x +=+++=.（三）三角函数的周期性、奇偶性、对称性 例1．（1）《名师一号》P56 对点自测5设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( )A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为π2的奇函数D.最小正周期为π2的偶函数答案 B例1．（2）《名师一号》P57 高频考点 例3（2）(2014·新课标全国卷Ⅰ)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③解：由于y ＝cos|2x |＝cos2x ，所以该函数的周期为2π2＝π；由函14数y ＝|cos x |的图象易知其周期为π；函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的周期为2π2＝π；函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的周期为π2，故最小正周期为π的函数是①②③，故选A.注意：《名师一号》P56 问题探究 问题1 如何求三角函数的周期？ (1)利用周期函数的定义． (2)利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|， y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.例1．（3）《名师一号》P58 特色专题 典例2函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋sin ωx(ω>0)相邻两对称轴之间的距离为2，则ω＝________【规范解答】 相邻两对称轴之间的距离为2，即T ＝4.f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋sin ωx ＝12sin ωx ＋32cos ωx ＋sin ωx ＝32sin ωx15＋32cos ωx ＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，又因为f(x)相邻两条对称轴之间的距离为2，所以T ＝4，所以2πω＝4，即ω＝π2.注意：【名师点评】 函数f(x)＝A sin (ωx ＋φ)，f(x)＝A cos (ωx ＋φ)图象上一个最高点和它相邻的最低点的横坐标之差的绝对值是函数的半周期π|ω|，纵坐标之差的绝对值是2A .在解决由三角函数图象确定函数解析式的问题时，要注意使用好函数图象显示出来的函数性质、函数图象上特殊点的坐标及两个坐标轴交点的坐标等．练习:《加加练》P3 第11题例2．（1）《名师一号》P57 高频考点 例3（1）(1)若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( ) A.π2 B.2π3 C.3π2 D.5π3解： (1)∵f (x )＝sin x ＋φ3是偶函数，∴f (0)＝±1.16∴sin φ3＝±1，∴φ3＝k π＋π2(k ∈Z)．∴φ＝3k π＋3π2(k ∈Z)．又∵φ∈[0,2π]，∴当k ＝0时，φ＝3π2.故选C.变式：若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是奇函数，则φ＝？例2．（2）《名师一号》P57 高频考点 例3（3）(3)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2解：(3)由题意得3cos ⎝⎛⎭⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＋2π ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z. ∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，取k ＝0，得|φ|的最小值为π6.注意：【规律方法】(1)若f(x)＝A sin(ωx＋φ)为偶函数，则当x＝0时，f(x)取得最大或最小值，若f(x)＝A sin(ωx＋φ)为奇函数，则当x＝0时，f(x)＝0.(2)对于函数y＝A sin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断．《名师一号》P56 问题探究问题4如何确定三角函数的对称轴与对称中心？若f(x)＝A sin(ωx＋φ)为偶函数，则当x＝0时，f(x)取得最大值或最小值．若f(x)＝A sin(ωx＋φ)为奇函数，则当x＝0时，f(x)＝0.如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝π2＋kπ(k∈Z)，求x.(补充)结果写成直线方程！如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)即可．(补充)结果写点坐标！同理对于y＝A cos(ωx＋φ)，可求其对称轴与对称中心，对于y＝A tan(ωx＋φ)可求出对称中心．1718练习1：《名师一号》P58 特色专题 典例3已知f(x)＝sin x ＋3cos x(x ∈R)，函数y ＝f (x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|≤π2为偶函数，则φ的值为________．【规范解答】 先求出f (x ＋φ)的解析式，然后求解．∵f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. ∴f (x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋φ＋π3. ∵函数f (x ＋φ)为偶函数，∴φ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝π6＋k π(k ∈Z)．又∵|φ|≤π2，∴φ＝π6.练习2：《计时双基练》P247 第3题（四）三角函数的单调性 例1．（1）《名师一号》P56 对点自测6下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数的是( )19A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2解析 由函数的周期为π，可排除C ，D.又函数在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数，排除B ，故选A.练习1：《计时双基练》P247 第7题函数y cos x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭24的单调递减区间为练习2:《加加练》P1 第11题（2）《名师一号》P57 高频考点 例2已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调性．20解：(1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin2ωx ＋cos2ωx )＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋ 2. 因为f (x )的最小正周期为π，且ω>0.从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋ 2. 若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增； 当π2≤2x ＋π4≤5π4，即π8≤x ≤π2时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π8上单调递增， 在区间⎣⎡⎦⎤π8，π2上单调递减．注意：《名师一号》P56 问题探究 问题2 如何求三角函数的单调区间？(1)求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”．(2)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中，ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式21求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．例2．《名师一号》P58 特色专题 典例4(2014·全国大纲卷)若函数f (x )＝cos2x ＋a sin x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2是减函数，则a 的取值范围是________．【规范解答】 先化简，再用换元法求解．f (x )＝cos2x ＋a sin x ＝1－2sin 2x ＋a sin x .令t ＝sin x ，∵x ∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，∴t ∈⎝⎛⎭⎫12，1.∴g (t )＝1－2t 2＋at ＝－2t 2＋at ＋1⎝⎛⎭⎫12<t <1，由题意知－a 2×(－2)≤12，∴a ≤2. ∴a 的取值范围为(－∞，2]．22 课后作业一、计时双基练P247 基础1-11、课本P56变式思考1二、计时双基练P247培优1-4课本P56变式思考2、3预习 第五节练习：1、设函数f (x )＝2sin(2πx ＋5π)．若对任意x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为( )A ．4B ．2C ．1 D. 12分析：∵f (x )的最大值为2，最小值为－2，∴对∀x ∈R ，－2≤f (x )≤2.取到最值时x ＝2π＋k π，|x 1－x 2|取最小值，即f (x 1)为最小值，f (x 2)为最大值且(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))为相邻的最小(大)值点，即半个周期．解析：f (x )的周期T ＝4，|x 1－x 2|min ＝2T ＝2. 故选B.232、为了使函数)0(sin >=ωωx y 在区间]1,0[上至少出现50次最大值，求ω的最小值。
三角函数知识点总结归纳图
三角函数知识点总结归纳图在数学中，三角函数是研究三角形以及与角度相关的函数。
它们在许多领域中都有广泛的应用，如物理学、工程学、计算机图形学等。
本文将对常用的三角函数进行总结和归纳，并使用图表形式展示相关知识点。
一、正弦函数（sine function）正弦函数是最基本也是最重要的三角函数之一。
它表示一个角度对应的三角形中的对边与斜边之比。
正弦函数的定义域为实数集合R，值域为[-1, 1]。
1. 正弦函数的周期性正弦函数是周期性函数，其最小正周期为2π。
即对于任意实数x，有sin(x+2π)=sin(x)。
2. 正弦函数的图像正弦函数的图像为连续的波浪线，通过原点(0,0)，在每个周期内，正弦函数在x轴上的值在[-1,1]之间变化。
3. 正弦函数的性质正弦函数具有奇函数的性质，即sin(-x)=-sin(x)。
同时，正弦函数在π/2和3π/2时取得最大值1，在π和2π时取得最小值-1。
二、余弦函数（cosine function）余弦函数是三角函数中的另一个重要函数，表示一个角度对应的三角形中的邻边与斜边之比。
余弦函数的定义域为实数集合R，值域为[-1, 1]。
1. 余弦函数的周期性余弦函数也是周期性函数，其最小正周期为2π。
即对于任意实数x，有cos(x+2π)=cos(x)。
2. 余弦函数的图像余弦函数的图像为连续的波浪线，通过点(0,1)，在每个周期内，余弦函数在x轴上的值在[-1,1]之间变化。
3. 余弦函数的性质余弦函数为偶函数，即cos(-x)=cos(x)。
同时，余弦函数在π和2π时取得最大值1，在π/2和3π/2时取得最小值-1。
三、正切函数（tangent function）正切函数是表示一个角度对应的三角形中的对边与邻边之比。
正切函数的定义域为实数集合R，值域为全体实数。
1. 正切函数的周期性正切函数也具有周期性，其最小正周期为π。
即对于任意实数x，有tan(x+π)=tan(x)。
三角函数的图像与性质
第1页§三角函数的图像与性质一、知识要点、方法梳理 12. 三角函数图像的五点作图法：如正弦：)0,0(；)1,2(；)0,(π；)1,2(-；)0,2(π， 余弦：)1,0(；)0,2(π；)1,(-π；)0,23(π；)1,2(π 这五点是函数图像在一个周期内的最高点、最低点与平衡点。
3．函数图像的变换：振幅变换：)(x f y = 横坐标不变，纵坐标伸长（或缩短）为原来的A 倍 )(x Af y =第2页周期变换：)(x f y = 纵坐标不变，横坐标伸长（或缩短）为原来的w1倍 )(wx f y = 相位变换：)(x f y = 向左（或向右）平移ϕ个单位 )(ϕ±=x f y 平移变换：)(x f y = 向上（或向下）平移k 个单位 k x f y ±=)( （其中k w A ,,,ϕ为正数） 二、易错细节与常用小结论梳理 1．三角函数的周期问题：○1函数k wx A y ++=)sin(ϕ、k wx A y ++=)cos(ϕ，|)sin(|h wx A y ++=ϕ（R x ∈且,,A ωϕ为常数，且,0A h ≠）的周期||2w T π=。
○2函数k wx A y ++=)tan(ϕ，|)tan(|k wx A y ++=ϕ（,2x k k Z ππ≠+∈）(,,A ωϕ为常数，且0A ≠的周期||w T π=。
○3函数|)sin(|ϕ+=wx A y 、|)cos(|ϕ+=wx A y 的周期||w T π=。
○4x y sin =不是周期函数；x y cos =是周期函数；x y cos =为周期函数（π=T ）；212cos +=x y 的周期为π，并非所有周期函数都有最小正周期，例如： R k k x f x f y ∈+===),(5)(。
2．你会用五点作图法画k x A y ++=)sin(ϕω的草图吗？哪五点？你会根据图像求参数ϕω、、A 、k 的值吗？3．sin()y A x ωϕ=+为偶函数()2k k Z πϕπ⇔=+∈；cos()y A x ωϕ=+为奇函数()2k k Z πϕπ⇔=+∈。
三角函数图像与性质知识点总结和经典题型
三角函数图像与性质知识点总结和经典题型1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像2．三角函数的单调区间：x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡++23222ππππk k ，)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈， x y tan =的递增区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22ππππk k ，)(Z k ∈，3．函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ωπ2=T ，频率是πω2=f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ；其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。
4．由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。
利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。
先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，再沿x 轴向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移ωϕ||个单位，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。
5．由y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象求其函数式：给出图象确定解析式y =A sin （ωx +ϕ）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－ωϕ，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准．．第一个零点的位置。
专题06知识点 三角函数的图像与性质
-
-3 2
-2
1
o
-1
2
3
2 2
7
3 2
5
4
2
x
y
y=tanx
y
y=cotx
3 -2
-
-2
o
2
3
x
2
-
-2
o
2
3 2 x
2
函数 y=sinx
y=cosx
定义 域
值域
R
R
［-1，1］x=2kπ+ ［-1,1］ 2
时 ymax=1
x=2kπ时
x=2kπ- 2
时 ymin=-1
ymax=1
0
2 3 5
3 2
6
4
3
2
3
4
6
2
3.弧长及扇形面积公式
弧长公式： l .r
扇形面积公式:S= 1 l.r 2
----是圆心角且为弧度制。 r-----是扇形半径
知识点二：诱导公式
1.常用的诱导公式
公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关 系： sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关 系： sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα
三角函数的图像与性质
三角函数的图像与性质Ⅰ、基础知识精要：一、正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的图像二、三角函数的单调区间：)(Z k ∈x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2222ππππk k ，递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡++23222ππππk k ，；x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-，递减区间是[]πππ+k k 22，，tan y x =的递增区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22ππππk k ，， cot y x =的递减区间是()πππ+k k ，三、函数sin()y A x k ωϕ=++00A ω>>（，）平衡位置是()()2A k k A k ++-=+=最大值最小值2，最小值是k A -，振幅A =()()2A k k A +---=最大值最小值2，周期是512T x x πω==-()()213142x x x x =-=-，频率是12f T ωπ==，相位是ϕω+x ，初相是ϕ，令1230,,,2x x x πωϕωϕωϕπ+=+=+=453,22x x πωϕωϕπ+=+=解得的ϕ即为所求，关键是从“五点法”中的第一个零点（平衡点）,0ϕω⎛⎫- ⎪⎝⎭作为突破口，从图象的升降情况找准该点的位置；其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线y k =的交点都是该图象的对称中心四、由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换移也常出现无论哪种变形，切记每一个变换总是对x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化而不是“角变化”多少.途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0)平移｜ϕ｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0),再沿x 轴向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移ωϕ||个单位，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象五、由y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象求其函数式：给出图象确定解析式y =A sin （ωx +ϕ）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－ωϕ，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准．．第一个零点的位置 六、对称轴与对称中心：sin y x =的对称轴为2x k ππ=+，对称中心为(,0) k k Z π∈； cos y x =的对称轴为x k π=，对称中心为2(,0)k ππ+； 对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系 tan y x =的对称中心为2(,0)k π.七、求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A 、ω的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间. 八、求三角函数的周期的常用方法：经过变形化成“sin()y A x k ωφ=++、cos()y A x k ωφ=++，tan()y A x k ωφ=++”的形式，再利用周期公式，另外还有图像法和定义法 九、判断三角函数的奇偶性()Z ∈k①y = sin (x ＋φ)是奇函数πϕk =⇔．②y = sin (x ＋φ)是偶函数2k πϕπ⇔=+．③y =cos (x ＋φ)是奇函数2k πϕπ⇔=+．④y = cos (x ＋φ)是偶函数k ϕπ⇔=．十、五点法作y =A sin （ωx +ϕ）的简图：五点取法是由ωx +ϕ取0、2π、π、2π3、2π来求. Ⅱ、典型例题精讲1. （2011课标5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x=上，则cos 2θ= A ．45-B ．35-C ．35D ．45解析：本题考查三角公式和直线斜率定义，属于容易题．易知tan θ=2，cos θ=51±.由cos2θ=22cos 1θ-=35-．解法2：tan θ＝2，cos2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35.选A ． 2．（08全国Ⅰ 8）为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象 A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位 D ．向右平移5π6个长度单位解：55cos 2sin 2sin 2,3612y x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭只需将函数sin 2y x =的图像向左平移5π12个单位得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像.选A ．3．（01新课程）若b a =+=+<<<ββααπβαcos sin ,cos sin ,40，则A ．a <bB ．a >bC ．ab <1D ．ab >2解法1：利用sin cos ),m θθθϕ++其中tan nmϕ=，得),),0,,444444a b πππππππαβαβαβ=+=+∴+ <<<<<+<2sin()sin(),1))24444ππππαβαβ∴++∴++<<<1<<<1<<<a b ∴选A ．解法2：0<<<sin >0,cos >0,sin >0,cos >0,>0,>04a b παβααββ∴∴ ，221sin 2>0,1sin 2000sin 2sin 22a b ><<<<<<παβαβαβ∴=+=+∴，22，1，21<2<a <b ∴，2 1<<<a b ∴选A ．解法3：利用导数研究函数()sin cos f x x x =+在04π⎛⎫⎪⎝⎭，上的单调性．()cos sin f x x x '=- 在04π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上恒大于0，故()f x 在04π⎛⎫⎪⎝⎭，上是增函数，所以()()()04f ff f παβ⎛⎫<<⎪⎝⎭，1<<<a b ∴选A ．解法4：令0,30,αβ=0=15则0001sin cos15sin 30cos30,22a b =+==+=0151<<<a b ∴（特殊值估算法）选A ．解法5：取04παβ→→，，则1,a b →，排除B 、C 、D （极限排除法）选A ．4．(07全国Ⅰ12)函数22()cos 2cos2xf x x =-的一个单调增区间是 A ．233ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，解：函数22()cos 2cos2x f x x =-=2cos cos 1x x --，从复合函数的角度看，原函数看作2()1g t t t =--，cos t x =，对于2()1g t t t =--，当1[1,]2t ∈-时，()g t 为减函数，当1[,1]2t ∈时，()g t 为增函数，当2(,)33x ππ∈时，cos t x =减函数，且11(,)22t ∈-， ∴ 原函数此时是单调增函数，选A ．或者用排除法.求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A 、ω的正负.利用单调性比较函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间. 5．（08天津）已知函数()x f 是R 上的偶函数，且在区间[)+∞,0上是增函数. 令⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=75tan ,75cos ,72sinπππf c f b f a ，则 A ． c a b << B ． a b c << C ．a c b << D ． c b a <<解析：5(cos)(c 2os )77b f f ππ=-=，5(tan )(t 2an )77c f f ππ=-=. 因为2472πππ<<，所以220cos sin 1tan 7772πππ<<<<，所以b a c <<，选A ．6.（2012新课标理9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。
三角函数知识点归纳总结
三角函数知识点归纳总结一、三角函数的定义在平面直角坐标系中，设角α的顶点在坐标原点，始边与 x 轴正半轴重合，终边上任意一点 P 的坐标为(x, y)，它到原点的距离为 r（r ＝√（x²＋ y²) ，且 r ＞ 0），则角α的正弦、余弦、正切函数分别定义为：正弦函数：sinα ＝ y ／ r余弦函数：cosα ＝ x ／ r正切函数：tanα ＝ y ／ x （x ≠ 0）二、特殊角的三角函数值｜角度｜ 0°｜ 30°｜ 45°｜ 60°｜ 90°｜｜｜｜｜｜｜｜｜ sin ｜ 0 ｜ 1/2 ｜√2/2 ｜√3/2 ｜ 1 ｜｜ cos ｜ 1 ｜√3/2 ｜√2/2 ｜ 1/2 ｜ 0 ｜｜ tan ｜ 0 ｜√3/3 ｜ 1 ｜√3 ｜不存在｜这些特殊角的三角函数值需要牢记，在解题中经常会用到。
三、同角三角函数的基本关系1、平方关系：sin²α ＋cos²α ＝ 12、商数关系：tanα ＝sinα ／cosα （cosα ≠ 0）四、诱导公式诱导公式可以将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，从而进行计算。
1、终边相同的角的三角函数值相等sin(α ＋2kπ) ＝sinα，cos(α ＋2kπ) ＝cosα，tan(α ＋2kπ) ＝tanα （k ∈ Z）2、关于 x 轴对称sin(α) ＝sinα，cos(α) ＝cosα，tan(α) ＝tanα3、关于 y 轴对称sin(π α) ＝sinα，cos(π α) ＝cosα，tan(π α) ＝tanα4、关于原点对称sin(π ＋α) ＝sinα，cos(π ＋α) ＝cosα，tan(π ＋α) ＝tanα5、函数名改变，符号看象限sin(π/2 α) ＝cosα，cos(π/2 α) ＝sinαsin(π/2 ＋α) ＝cosα，cos(π/2 ＋α) ＝sinα五、两角和与差的三角函数公式1、两角和的正弦公式：sin(α ＋β) ＝sinαcosβ ＋cosαsinβ2、两角差的正弦公式：sin(α β) ＝sinαcosβ cosαsinβ3、两角和的余弦公式：cos(α ＋β) ＝cosαcosβ sinαsinβ4、两角差的余弦公式：cos(α β) ＝cosαcosβ ＋sinαsinβ5、两角和的正切公式：tan(α ＋β) ＝（tanα ＋tanβ) ／（1tanαtanβ)6、两角差的正切公式：tan(α β) ＝（tanα tanβ) ／（1 ＋tanαtanβ)六、二倍角公式1、二倍角的正弦公式：sin2α ＝2sinαcosα2、二倍角的余弦公式：cos2α ＝cos²α sin²α ＝2cos²α 1 ＝ 12sin²α3、二倍角的正切公式：tan2α ＝2tanα ／（1 tan²α)七、三角函数的图像和性质1、正弦函数 y ＝ sin x图像：正弦函数的图像是一条波浪线，周期为2π，振幅为 1。
三角函数的图像与性质
三角函数的图像与性质三角函数是数学中的重要概念，它们的图像和性质对于初中数学学习者来说是必须掌握的内容。
在本文中，我将详细介绍三角函数的图像与性质，并给出一些例子和说明，帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用这些知识。
一、正弦函数的图像与性质正弦函数是最基本的三角函数之一，它的图像是一条连续的曲线，呈现出周期性变化。
正弦函数的性质包括：1. 周期性：正弦函数的周期是2π，即在每个2π的区间内，正弦函数的图像重复出现。
2. 幅度：正弦函数的幅度表示波峰和波谷的最大差值，通常记为A。
幅度越大，波峰和波谷的差值越大。
3. 对称性：正弦函数的图像关于y轴对称，即f(x) = -f(-x)。
4. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即f(x) = -f(x)。
举例说明：假设有一条正弦函数的图像，周期为2π，幅度为1。
在区间[0, 2π]内，正弦函数的图像先从0逐渐上升到1，然后下降到0，再下降到-1，最后又上升到0。
这样的周期性变化会一直重复下去。
根据正弦函数的性质，可以得出该图像关于y轴对称，且是奇函数。
二、余弦函数的图像与性质余弦函数也是一种常见的三角函数，它的图像和正弦函数有些相似，但也有一些不同之处。
余弦函数的性质包括：1. 周期性：余弦函数的周期也是2π，与正弦函数相同。
2. 幅度：余弦函数的幅度也表示波峰和波谷的最大差值，通常记为A。
与正弦函数不同的是，余弦函数的幅度表示波峰和波谷的绝对值最大差值。
3. 对称性：余弦函数的图像关于y轴对称，即f(x) = f(-x)。
4. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即f(x) = f(x)。
举例说明：假设有一条余弦函数的图像，周期为2π，幅度为1。
在区间[0, 2π]内，余弦函数的图像先从1逐渐下降到0，然后下降到-1，再上升到0，最后又上升到1。
这样的周期性变化会一直重复下去。
根据余弦函数的性质，可以得出该图像关于y轴对称，且是偶函数。
三、正切函数的图像与性质正切函数是三角函数中的另一种重要函数，它的图像与正弦函数和余弦函数有很大的不同。
三角函数图像和性质
第二讲三角函数的图像与性质三角函数的考试要求层次一、知识精讲I.y=sinX,y=cosx,y=tanx及y=Asin(w+φ)(A>0,tυ>0)的图像(1)掌握作函数图像的两种方法：描点法和变换法。
理解y=sinx只有与它跟一次函数的复合函数y=ASin(3r+0)(A>0,69>0)之间才符合平移与伸缩变换，从而y=ASin(3r+°)(A>0,G>0)的图像也才可以借助于y=sinx的五个关键点，利用“五点法〃作出.(2)变换法作函数图像是一般规律.要掌握以下几种：>=/(%)与〉=/(一/)、)=一/。
)、y=-f(-χ)»>=/(幻与丁=/(凶)、y=∣∕(χ)∣,y=f(x)与y=Af(ωx+O)(A>O,G>0).2.给出图像上的点，求y=Asin(αr+O)(A>0,G>0)的解析式振幅A可以由图像直接得到；通过图像求出周期T,再利用T=，，求出代入图象上ω点的坐标求*或找到图像与X轴最近的并在图像上升局部的交点，其横坐标为-Z,从而求ω得夕。
3.y=Asin(tax+φ)(A>0,ω>0)的性质求y=Asin(3r+o)(A>0,G>0)的对称轴、对称中心、单调区间等性质，是非常重要的一类问题，一般有两种方法。
一是可以用“五点法”或“变换法〃作出其图像，从而求出所需性质；二是用“代入法〃，比方要求y=Asin+e)(A>0,3>0)的所有对称轴，我们可以先写出y=sinx的所有对称轴，即直线X=Jbr+],A∈Z,然后用5+夕代替X,得ωx-∖-φ≈kπ+-, x≈-(kπ+--φ),直线X=」■(%〃+工一夕),A∈Z即为所求。
2 ω2 ω24.三角函数的性质定义域、值域、奇偶性、周期性、对称性、单调性.这些性质既可以从图像或定义观察归纳得出，也可以给出严格的数学证明。
三角函数的图象与性质
-
;
-1
y=cosx
2 3
4 5 4 5
6 x 6 x
五.定义域 、值域及取到最值时相应的x的集合:
-6 -5
-4 -3
复习回顾
-2 -
y y=sinx
1 o
-1
2 3
y
si-n6x的对称-5轴：x
k -4
2-,3对 称点-：2(k
,0);
-
y cosx的对称轴：x k , 对称点：(k ,0);
1.4.1正弦、余弦函数的图象
复习
回顾 三角函数
三角函数线
正弦函数 余弦函数 正切函数
sin=MP
正弦线MP cos=OM 余弦线OM tan=AT 正切线AT
y PT
-1
O
M A(1,0) x
正弦、余弦函数的图象
问题：如何作出正弦、余弦函数的图象？
途径：利用单位圆中正弦、余弦线来解决。
描图：用光滑曲线
复习回顾
一.正弦余弦函数的作图： 几何描点法（利用三角函数线） 五点法作简图
二.周期性：
函数y Asin(x )和y Acos(x )，x R的周期T 2 | |
三.奇偶性：
y sin x为奇函数，图像关于原点对称； y cosx为偶函数图像关于y轴对称。
-6 -5
-4 -3
复习回顾 y y=sinx
(0,11)
3
( 2 ,1)
-
(-o12 ,0)
( 2 ,0)
2
( ,-1)
3
线
4
5 6 x
正弦、余弦函数的图象
y
五点画图法
1
(
2
,1)
三角函数的图像与性质(名师经典总结)
三角函数的图像与性质（正弦、余弦、正切）【知识点1】函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象性质题型1：定义域例1：求下列函数的定义域(1)xx y cos 2cos 1+=； (2)x y 2sin = 2lg(4)x -题型2：值域 例2：求下列函数值域 (1))3π2,6π(,sin 2-∈=x x y (2)y=2sin(2x-3π),x 5,46ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦(3) )3π,2π(),3π2cos(2-∈+=x x y(4)函数1)6π21cos(2++-=x y 的最大值以及此时x 的取值集合题型3：周期例3：求下列函数的周期： （1）f(x)=2sin2x (2)y=cos(123x π-) (3)y=tan(2x 4π-) （4）y=sin x 例4： 若函数()2sin(2)3f x kx π=+的最小正周期T 满足12T <<,则自然数k 的值为______.例5：若)10(sin 2)(<<=ϖϖx x f 在区间[0,]3π上的最大值是2，则ϖ=________.例6：使x y ωsin =（ω＞0）在区间[0，1]至少出现2次最大值，则ω的最小值为【 】A ．π25B ．π45C ．πD ．π23例7：设函数f(x)=2sin(25x ππ+),若对于任意的x R ∈,都有f(1x )2()()f x f x ≤≤成立，则12x x -的最小值是A.4B.2C.1D.12题型4：奇偶性 例8：函数y ＝sin （x ＋2π）（x ∈［－2π，2π］）是【 】A.增函数B.减函数C.偶函数D.奇函数例9：判断下列函数的奇偶性 (1)y=xsin(x π+) (2)y=cos 1sin x x+例10：已知函数f(x)=x 3cosx+1,若f(a)=11,则f(-a)=________ 题型5：单调性例11：函数y =21log sin(2x +4π)的单调递减区间是【 】 A.（k π－4π,k π］(k ∈Z ) B.（k π－8π,k π+8π］(k ∈Z ) C.（k π－83π,k π+8π］(k ∈ D.（k π+8π,k π+83π］(k ∈Z )例12：.求1cos()3412logx y π+=的单调区间例13：求下列函数的单调增区间(1))3π21cos(-=x y ; (2) ]0,π[),6π2sin(2-∈+=x x y ；(3))23πsin(2x y -=例14：（1）求函数y=2sin(2x-3π)的单调递减区间。