双曲线标准方程典型例题

1 （一）双曲线的标准方程典型例题 例1 讨论192522kykx表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 分析：由于9k，25k，则k的取值范围为9k，259k，25k，分别进行讨论． 解：（1）当9k时，025k，09k，所给方程表示椭圆，此时ka252，kb92，16222bac，这些椭圆有共同的焦点（－4，0），（4，0）． （2）当259k时，025k，09k，所给方程表示双曲线，此时，ka252，kb92，

16222bac，这些双曲线也有共同的焦点（－4，0），）（4，0）．

（3）k>25，9k，25k时，所给方程没有轨迹．

例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程．（1）过点4153，P，5316，Q且焦点在坐标轴上．

（2）6c，经过点（－5，2），焦点在x轴上．（3）与双曲线141622yx有相同焦点，且经过点223， 解：（1）设双曲线方程为122nymx，∵ P、Q两点在双曲线上，∴12592561162259nmnm解得916nm ∴所求双曲线方程为191622yx 说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的 （2）∵焦点在x轴上，6c，∴设所求双曲线方程为：1622yx（其中60） ∵双曲线经过点（－5，2），∴16425，∴5或30（舍去），∴所求双曲线方程是1522yx （3）设所求双曲线方程为：160141622yx，∵双曲线过点223，，∴1441618 ∴4或14（舍），∴所求双曲线方程为181222yx 说明：与双曲线141622yx有公共焦点的双曲线系方程为141622yx后，便有了以上巧妙的设法． 例3 已知双曲线116922yx的右焦点分别为1F、2F，点P在双曲线上的左支上且3221PFPF，求21PFF． 解：∵点P在双曲线的左支上，∴621PFPF，∴362212221PFPFPFPF，∴1002221PFPF ∵100441222221bacFF，∴9021PFF 说明：“点P在双曲线的左支上”这个条件非常关键，若将这一条件改为“点P在双曲线上”结论如何改变呢？ 2

例4 已知1F、2F是双曲线1422yx的两个焦点，点P在双曲线上且满足9021PFF，求21PFF的面积． 解：∵P为双曲线1422yx上的一个点且1F、2F为焦点．∴4221aPFPF,52221cFF ∵9021PFF，∴在21FPFRt中，202212221FFPFPF ∵162212221221PFPFPFPFPFPF，∴1622021PFPF，∴221PFPF ∴1212121PFPFSPFF

例5 在ABC中，2BC，且ABCsin21sinsin，求点A的轨迹． 解：以BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则01，B，01，C． 设yxA，，由ABCsin21sinsin及正弦定理可得：121BCACAB

∵2BC， ∴点A在以B、C为焦点的双曲线右支上设双曲线方程为：0012222babyax， ∴12a，22c， ∴21a，1c， ∴43222acb， ∴所求双曲线方程为134422yx ∵01ACAB， ∴21x， ∴点A的轨迹是双曲线的一支上挖去了顶点的部分

例6 在周长为48的直角三角形MPN中，90MPN，43tanPMN，求以M、N为焦点， 且过点P的双曲线方程． 分析：由双曲线定义可知aPNPM2，cMN2，所以利用条件确定MPN的边长是关键．

解：∵MPN的周长为48，且43tanPMN， ∴设kPN3，kPM4，则kMN5． 由48543kkk，得4k．∴12PN，16PM，20MN

以MN所在直线为x轴，以∴MN的中点为原点建立直角坐标系， 设所求双曲线方程为12222byax)0,0(ba．由4PNPM，得42a，2a，42a．

由20MN，得202c，10c．由96222acb，得所求双曲线方程为196422yx． 3

例7 求下列动圆圆心M的轨迹方程： （1）与⊙2222yxC：内切，且过点02，A

（2）与⊙11221yxC：和⊙41222yxC：都外切． （3）与⊙93221yxC：外切，且与⊙13222yxC：内切． 分析：这是圆与圆相切的问题，解题时要抓住关键点，即圆心与切点和关键线段，即半径与圆心距离． 如果相切的⊙1C、⊙2C的半径为1r、2r且21rr，则当它们外切时，2121rrOO；

当它们内切时，2121rrOO． 解：设动圆M的半径为r（1）∵⊙1C与⊙M内切，点A在⊙C外 ∴2rMC，rMA，2MCMA，∴点M的轨迹是以C、A为焦点的双曲线的左支，且有：

22a，2c，27222acb， ∴双曲线方程为2172222xyx

（2）∵⊙M与⊙1C、⊙2C都外切， ∴11rMC，22rMC， 112MCMC ∴点M的轨迹是以2C、1C为焦点的双曲线的上支，且有：21a，1c，43222acb

∴所求的双曲线的方程为：43134422yxy （3）∵⊙M与⊙1C外切，且与⊙2C内切， ∴31rMC，12rMC，421MCMC ∴点M的轨迹是以1C、2C为焦点的双曲线的右支，且有：2a，3c，5222acb

∴所求双曲线方程为：215422xyx

例8 P是双曲线1366422yx上一点，1F、2F是双曲线的两个焦点，且171PF，求2PF的值． 解：在双曲线1366422yx中，8a，6b，故10c．由P是双曲线上一点，得1621PFPF． ∴12PF或332PF．又22acPF，得332PF． 说明：本题容易忽视acPF2这一条件，而得出错误的结论12PF或332PF． 4

例9 若椭圆122nymx)0(nm和双曲线122tysx)0,(ts有相同的焦点1F和2F，而P是这两条曲线的一个交点，则21PFPF的值是( ) ． A．sm B．)(21sm C．22sm D．sm 解：因为P在椭圆上，所以mPFPF221． 又P在双曲线上，所以sPFPF221． 两式平方相减，得)(4421smPFPF，故smPFPF21．选(A)．

例10 若一个动点),(yxP到两个定点)0,1(A、)0,1(1A的距离之差的绝对值为定值a)0(a， 讨论点P的轨迹． 分析：本题的关键在于讨论a．因21AA，讨论的依据是以0和2为分界点，应讨论以下四种情况：

0a，)2,0(a，2a，2a．

解：21AA． (1)当0a时，轨迹是线段1AA的垂直平分线，即y轴，方程为0x．

(2)当20a时，轨迹是以A、1A为焦点的双曲线，其方程为14142222ayax．

(3)当2a时，轨迹是两条射线)1(0xy或)1(0xy． (4)当2a时无轨迹．

例11 如图，圆422yx与y轴的两个交点分别为A、B，以A、B为焦点， 坐标轴为对称轴的双曲线与圆在y轴左方的交点分别为C、D， 当梯形ABCD的周长最大时，求此双曲线的方程．

分析：求双曲线的方程，即需确定a、b的值，而42c，又222bac，所以只需确定其中的一个量．由双曲线定义aBCAC2，又BCA为直角三角形，故只需在梯形ABCD的周长最大时，确定BC的值即可．

解：设双曲线的方程为12222bxay(0,0ba)，),(00yxC(00x，00y)，tBC(220t)． 连结AC，则90ACB．作ABCE于E，则有ABBEBC2． 5

∴4)2(02yt，即4220ty．∴梯形ABCD的周长0224ytl 即10)2(21822122tttl．当2t时，l最大．此时，2BC，32AC． 又C在双曲线的上支上，且B、A分别为上、下两焦点，∴aBCAC2，即2322a．

∴13a，即3242a．∴32222acb．∴所求双曲线方程为13232422xy． 说明：解答本题易忽视BC的取值范围，应引起注意． 例12 A、B、C是我方三个炮兵阵地，A和B正东6千米，C在B正北偏西30°，相距4千米，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B、C两地比A距P地远，因此s4后，B、C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1skm，A若炮击P地，求炮击的方位角． 分析：点P到B、C距离相等，因此点P在线段BC的垂直平分线上． 又4PAPB，因此P在以B、A为焦点的双曲线的右支上． 由交轨法可求P的坐标，进而求炮击的方位角．

解：如图，以直线BA为x轴，线段BA的中垂线为y轴建立坐标系，则)0,3(B、)0,3(A、)32,5(C． 因为PCPB，所以点P在线段BC的垂直平分线上．

因为3BCk，BC中点)3,4(D，所以直线 )4(313xyD：． ① 又4PAPB，故P在以A、B为焦点的双曲线右支上． 设),(yxP，则双曲线方程为15422yx)0(x． ② 联立①、②式，得8x，35y所以)35,8(P．因此 33835PAk． 故炮击的方位角为北偏东30．