第八章 代数结构
高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教.
V1 V2 1 2 | 1 V1 , 2 V2
定理2：如果V1 ，V2是线性空间V的两个子空
间，那么它们的和 V1＋V2也是V的子空间。
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证明：由于0∈ V1，0∈ V2 ， 0＝0＋0∈ V1＋V2 ，因而V1＋V2 是非空集合， 如果＝ 1＋ 2 ， ＝ 1＋ 2 ∈ V1＋V2， 因1＋1∈ V1、 2＋2 ∈ V2 ， 有 ＋ ＝(1＋1)＋( 2＋2) ∈V1＋ V2 k=k (1＋ 2 )= k 1＋k 2 ∈V1＋ V2 因此V1+V2 是V的子集. 有限个子空间的和
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推论2 : 和V1 V2为直和的充分必要条件是 V1 V2 0 证明 : 必要性 V1 V2 , 0 ( ) 0 0 因为V1 V2是直和, 零元素的表示法唯一, 从而 0 , V1 V2 {0} 充分性 任意1 ,V1 , 2 V2 , 如果1 2 0, 有
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例1 在二位几何空间中,若V1,V2分别是x轴 与y轴,则V1∩V2={0}, V1+V2=R2. 例2 在三位几何空间中,若V1表示过原点的 直线,V2是过原点且与V1垂直的平面,则 V1∩V2={0}, V1+V2=R3.
例3 线性空间Pn中,若V1是As×nx=0的解空 间,V2是Br×nx=0的解空间,
第八章 线性空间
§8.2 子空间及其交与和 子空间的直和
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子空间的交与和
子空间的交与和是Ｖ的子空间集合的 运算。由于两个子空间的并一般未必仍是 子空间，所以集合并的运算不是Ｖ的子空 间集合的运算。因此引入子空间的和。我 们切不可把子空间的和与集合的并混为一 谈，例如在Ｒ2中，若Ｘ，Ｙ分别表示 x 轴和 y 轴上所有点的集合，那么Ｘ和Ｙ 都是Ｒ2的子空间，且Ｘ＋Ｙ＝Ｒ2，显然 ≠Ｘ∪Ｙ。
第8章 布尔代数与逻辑电路
2
冶金工业出版社
高等学校21世纪计算机教材 高等学校布尔表达式与布尔函数 设A={0,1}.所谓布尔变元x,是指变元x仅从A中取值.从到A的函数被称 为n度布尔函数,其中An是集合{(x1,x2,…,xn∣∈A,1≤i≤n.布尔函数的值通 常用表来表示. 8.1.3 格 定义8-1:给出一个部分序集(L,≤).如果对于任意,L的子集{}在L中都 定义 : 有一个最大下界,(记为a∧b=glb(a,b))和一个最小上界,(记为 a∨b=lub(a,b)),则称(L,≤)为一个格,可写为(L,∧,∨).若L中 元素有限,则称L为有限格.
8
(c)逻辑符号
冶金工业出版社
高等学校21世纪计算机教材 高等学校21世纪计算机教材 21
2. D型触发器 型触发器 D型触发器是在R-S触发器的基础上再加一些与非门组 成的.
RD
0 1 1 1
SD
1 0 1 1
CP
X X
D
X X 0 1
Q
0 1 0 1
Q
1 0 1 0
↑ ↑
(a)真值表
(b)逻辑符号
定义8-2: 定义 :设L是一个集合,×,⊕是L上两个二元代数运算.如果这两种运 算对于L中元素满足: (1)交换律:a×b=b×a , a⊕b = b ⊕a (2)结合律:a×(b×c)=(a×b) ×c , a ⊕(b ⊕ c)=(a ⊕ b) ⊕ c (3)吸收律:a×(a ⊕b )=a , a ⊕ (a× b )=a 则称此代数系统(L, ×,⊕ )为一个格. 定理8-1: 定理 :定义8-1所定义的格与定义8-2所定义的格是等价的,这就是说, 一个部分序格必是一个代数格;反之亦然.
(a) )
(b) )
第8章代数几何码
第8章 代数几何码
反过来， 每一条m阶射影曲线F(x， y， z)＝0也可 通过非齐次化手续化为m阶仿射曲线F(x， y， 1)＝0。 例如五阶射影曲线 F(x， y， z)＝x5+y5-z5＝0 可化为
F(x， y)＝x5+y5-1＝0
这相当于由原来的m阶射影曲线去掉某些无穷远点 所产生的m阶仿射曲线。
Q P
O
图 8 - 1 AnK上的一个平移
第8章 代数几何码
P ＋b b O
Q
图 8 – 2 AnK上的平移变换
第8章 代数几何码
定义8.2.2 设αm为n维仿射空间AnK的非空子集， Sm
为VnK的m维向量子空间。 如果在AnK与VnK的相应关系 下， αm恰好是相应于Sm的一个仿射空间， 则称αm是 AnK的一个m维仿射子空间。 AnK的一维仿射子空间α1称为直线， 二维仿射子空 间α2称为平面。
第8章 代数几何码
第8章 代数几何码
8.1 代数几何的研究对象
8.2 仿射空间与仿射变换
8.3 射影空间与射影变换 8.4 在有限域上的仿射曲线与射影曲线 8.5 RS码与Goppa码 8.6 代数几何码的构成
8.7 代数曲线中的一些重要概念
8.8 Riemann-Roch定理 8.9 椭圆曲线码 习题
第8章 代数几何码
定义8.4.1 在仿射平面上A2(Fq)的点(a， b)， 若a， b∈Fq， 则称点(a， b)为A2(Fq)上的有理点。 对于m次二元多项式F(x， y)， 它定义了一条m阶 仿射曲线， 记为C。 经过齐次化： zmF(x／z， y／z)便 得到一个三元m次齐次多项式， 记为F(x， y， z)。
第8章 代数几何码
代数结构精
第三章代数结构§ 3.1 代数结构3.1.1定义代数结构＜A, f i,…,f m, a i,…，a k＞称为一个代数结构，如果：(1) A =. 一。
(2)任给1」_m, f i是A上n i元运算。
(3)任给1马乂，j A。
和关系结构不同，不是所有的子集都能够形成子结构。
B—A， f是A上n兀运算。
如果 (一X1,…X n B)(f(X1,…X n) B), 则称B对于f封闭。
3.1.2定义子结构＜A, f1,…,f m, a1,…,a k＞是代数结构,B - A,如果：(1)任给1勺空m, B对于f i都是封闭的。
(2)任给 1 _j_k, j B。
则＜B,入冋…,f m|B, a1,…,a k＞称为＜A, f1,…,f m, a1,…,a k＞的子结构。
＜A, f1,…,f m, a1,…,a k＞和＜B, g1,…,g m, b1,…,b k＞是两个代数结构，如果任给1勺乞m, $和g i的元数相同，则称它们是同类的代数结构。
3.1.3 定义同态＜A, f1,…,f m, a1,…,a k＞、＜B, g1,…,g m,b i,…,b k>是两个同类的代数结构，二是A到B的映射。
如果：(1)任给 i mm,(一X i,…X n B)(o(f i(x i,…,X ni)) = g(二(X i),…,；：.-(X ni)))。
(2)任给 i i j i k，:j(a j) = b j。
则称c是<A, f i,…,f m, a i,…,a k>到<B, g i,…,g m, b i,…,b k>的同态映射。
1如果同态映射 F是单射，则称F是单同态。
如果同态映射二是满射，则称F是满同态。
如果存在<A, f i,…, f m, a i,…,a k>到<B, g i,…,g m, b i,…,b k>的满同态cr,则称<B, g i,…, g m, b i,…,b k>是<A, f i,…,f m, a i ,…a k>的冋态象。
高数第八章总结
第八章空间解析几何与向量代数
第一节向量及其线性运算
1、右手定则方向角
2、记Prju r或（r）u ：向量r在u轴上的投影
第二节数量积向量积混合积
1、a*b= 大小——a·b·sin
方向——右手定则确定
2、a*b=a=（a1，a2，a3）b=（b1，b2，b3）
3、混合积为（a*b）·c记作[abc]的作用：
①平行六面体的体积
②[abc]=0时说明三向量共面
③满足轮换对称性：[abc]= [bca] = [cab]
第三节曲面及其方程
①椭圆锥面
③单叶双曲面④双叶双曲面
⑤椭圆抛物面⑥双曲抛物面
第四节空间曲线及其方程
1、一般方程： F(x,y,z)=0
G(x,y,z)=0
x=x(t)
2、参数方程： y=y(t)
z=z(t)
第五节平面及其方程
1、点法式方程：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
[其中法向量n=(A,B,C) M0为(x0,y0,z0)]
2、一般方程：Ax+By+Cz+D=0（一般需要四个平面上的点求出）第六节空间直线及其方程
1、一般方程： A1x+B1y+C1z+D1=0
A2x+B2y+C2z+D2=0
2、点向式：
[其中方向向量为s=(p,m,n) 已知点为M0（x0,y0,z0）]
3、平面束方程的重要应用：P48。
代数结构-布尔代数与格
n=0 n=1 n=2
n=3
Hasse Diagrams of Isomorphic Lattices
{a,b,c} {a,b} 101 010 100 000 001 {a} ∅ 011 {a,c} {b} {c} {2} ∅ {b,c} {2,3} {2,5} {3} {5} {3,5} {2,3,5}
2N，即无限的0/1序列x0, x1, x2, …
这一无限布尔代数有原子
2N的一个子代数：周期序列（Periodic sequence）
这个布尔代数没有原子
{2,3,5} {2,3} {2,5} {3} {2} ∅ {5} 2 {3,5} 6
30
10 3
15
5 1
有限布尔代数基数是2的整数次幂
格中的原子
a
a a b c d (1) e (2) b c d b
c 原子 d e (3)
有限布尔代数的表示定理
任一有限布尔代数B 同构于 B中所有的原子构成的 集合A的幂集代数系统P(A)。 即(B, ∧, ∨, ', 0, 1) ≅ (P(A), ⋂, ⋃, ∼, ∅, A)
备注（关于无限布尔代数）
P在一切格中为真，∴P*在一切格中为真。
格中的原子
定义：设L是格，L中有最小元(全下界)0，给定元素 a≠0, 若∀b∈L, 有： 0≺b≼a ⇒ b=a 则称a是L中的原子
（原子是覆盖最小元的那些元素。）
设a, b是格L中的原子，若a≠b, 则a∧b=0
假设a ∧ b≠0, 注意：a∧b≼a且a∧b≼b，由原子的定义： a∧b=a, a∧b=b, ∴a=b, 矛盾。
初等数论 第八章 代数数与超越数
164 第八章 代数数与超越数我们对于全体复数有不同的分类方法。
例如，可以将它们分为整数和非整数，有理数和非有理数（无理数），实数和非实数，等等。
本章要介绍一种对复数的分类方法：代数数与超越数，并且介绍这两类数的一些简单知识。
以下，若无特殊声明，“数”都是指一般意义下的复数。
第一节 代数数定义1 若α满足有理系数代数方程f(x)=x n + a n - 1x n - 1 + + a 1x + a 0 = 0，(1)即α是有理系数多项式f(x)的零点，则称α是代数数；若a n-1 , . . . , a 0 都是整数，则称α是代数整数。
例如，2i, n b a 1+（a ，b ，n 是正整数）是代数数；35,2是代数整数。
容易看出，定义1等价于下面的定义1’。
定义1’ 设α满足整系数代数方程f(x)= a n x n + a n - 1x n - 1 + + a 1x + a 0 = 0， (2)则称α是代数数；若a n =1， 则称α是代数整数。
定义 2 一个有理系数多项式若不能等于两个非常数的有理系数多项式的乘积，则称为不可约多项式。
在定义1’ 中，若f(x)是不可约多项式，并且(a 0,…,a n )=1，则称α是n 次代数数，记为d(α)=n , 并称h =h (α)=max(|a 0|, …, |a n |)是它的高。
165定理1 两个代数数的和、差、积、商（分母不为零）是代数数。
证明 设α和β是代数数，它们分别是有理系数多项式 f(x)=x n + a n - 1x n - 1 + + a 1x + a 0和g(x)=x m + b m - 1x m - 1 + + b 1x + b 0的零点。
设f(x)和g(x)的全部零点分别是α1,…,αn 和β1,…,βm ,则α+β是多项式 ∏∏==+-=n i mj j ix x h 11))(()(βα的零点。
显然，多项式h(x) 的系数是α1,… ,αn 与β1,…,βm 的对称多项式。
代数结构
又如，f：N×N→N，定义为：m,nN，f(m,n)=m＋n，
f是自然数集合N上的二元运算，它就是普通加法运算。普通 减法不是自然数集合N上的二元运算，因为两个自然数相减 可能得到负数，而负数不是自然数。所以普通的减法不是自 然数集合N上的二元运算。
通过以上讨论可以看出，一个运算是否为集合A上的运 算必须满足以下两点：
则对于任意a,b,cA，有
(b∘c)∗a=a∗(b∘c)=(a∗b)∘(a∗c)=(b∗a)∘(c∗a)
即
(b∘c)∗a=(b∗a)∘(c∗a)
故∗对于运算∘是可分配的。
同理可证另一半。
2020/3/25
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五、吸收律 定义5-2.5 设*和∘是非空集合A上的两个可交换的二元运算， 如果对于任意a,bA，有
事实这些例子的共同特 征就是运算结果还在原 来的集合中。称具有这 种特征的运算是封闭的，
f5:a,b→a·b , a,bR 简称闭运算。
f6:R2→R 三元运算：f7：三种颜色→三种颜色混合色
A→A A是各种颜色的集合。
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很容易举出不封闭运算的例子：一架自动售货机，能接受
一角硬币和二角五分硬币，而所对应的商品是桔子水、可口
则称 满足结合律。 若xyz(x,y,zA→x(yz)=(xy) (xz)) ，
则称对满足左分配律。 若xy(x,yA→x(xy)=x ,x (xy)=x) ，
则称和满足吸收律。 若x (xA→xx=x) ，
则称满足等幂律。
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七、幺元
定义5-2.7 设∗是定义在集合A上的二元运算，如果有一个
本章将从一般代数系统的引入出发，研 究一些特殊的代数系统，而这些代数系统中 的运算具有某些性质，从而确定了这些代数 系统的数学结构。
高等数学(第八章)向量代数与空间解析几何(全)
若向量a = x1i y1 j z1k，b = x2i y2 j z2k，由数量积的运算性质得
a b = x1x2 y1 y2 z1z2.
设非零向量a = x1, y1, z1，b = x2, y2, z2，则
(1) | a | a a x12 y12 z12；
(2) cos a, b a b
2
向量代数与空间解析几何
空间直角坐标系
一、空间直角坐标系 空间两点间的距离
向量的概念---大小,方向,相等,向径,坐标等.
二、向量代数 向量的运算---加减,数乘,点乘,叉乘,混合积.
❖ 向量位置关系的刻画 ---平行,垂直,夹角. ❖ 向量的方向角、方向余弦.
平面的方程
三、空间的平面 两平面的位置关系
五、 向量的坐标
空间直角坐标系Oxyz 中，在x 轴、y 轴、z 轴上各取一个与坐标轴同向的单位 向量，以此记作i，j，k，把它们称为基本单位向量或基向量.任一向量都可以 唯一地表示为i，j，k 数乘之积.
设M (x, y, z)是空间任意一点，记OM r，则r xi yj zk，我们把上式称为 向量r 的坐标分解式，xi，yj 和zk 称为向量r 沿3 个坐标轴方向的分向量，i，j，
d (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2 .
11
二、 空间两点间的距离 例 1 在z轴上求与点A(3,5, 2)和B(4,1,5)等距离的点M .
解 由于所求的点M 在z 轴上，因此M 点的坐标可设为(0, 0, z)，又由于
MA MB ，
由空间两点间的距离公式，得
(3)结合律：(a) b = (a b) a (b)；
(4)a a = a 2 ； (5)a b = 0 a b； (6) | a b || a | | b | . 特别地，有
代数结构-抽象代数
7.1 什么是代数结构？
➢例3
代
a）〈P（S）；∪,∩〉 对运算∪，是单位元， S是零元，
数
对运算∩，S是单位元 ，是零元。
结 b）〈N；+〉
构
有单位元0，无零元。
7.1 什么是代数结构？
代 数
f）代数结构：A=<{0，1，2，…，k-1}，*k> *k称为模k乘法求余（x*ky或记为resk(x*y))。
类似于初等代数以及集合论、数理逻辑中讨 论的运算之性质，对于二元运算ο以及*：
若对于任意a, b∈A有：aοb=bοa, 则称ο在A 上是可交换的(或称ο满足交换律)。
若对于任意a∈A有：aοa=a, 则称ο在A上是 满足幂等律的。
若对于任意a, b, c∈A有：当aοb=aοc时，有 b=c, 则称ο在A上是左可消去的(或称ο满足左消 去律)，若ο在A上是满足左可消去律与右可消去 律，则称ο在A上是可消去的(或称ο满足消去律)。
——称具有上述性质的代数是同一类(代数结构的类)
➢ 例 5 逻辑代数— V 0 1
—开关电路
00 1
V1=<{0,1};V>与V2=<{H,M};*> 1
1
1
两个代数结构之间存在一个映射：
g：{0,1} →{M,H} 对于a,b {0,1},
*
M
H
有g(a Vb)=g(a)*g(b)
MM H
HH H
f(Oi(x1，x2…，xki))= *i(f(x1)，…，f(xki))， 则称f是V1到V2的一个同态/满同态/单同态/同构映射，并称V1与V2
7.1 什么是代数结构？
c) 代数结构A=〈{a，b，c}； 。 〉用下表 定义：