求一个数的因数2
数论：因数个数与所有因数的和
数论：因数个数与所有因数的和
今天介绍一下，如何计算任意一个数的因数个数，以及所有因数的和。
例如求360的因数个数，以及所有因数的和。
对于一个数，想求它的因数个数，我们首先应该想到分解质因数。
（提示：如果题中条件有乘积是多少，那么也要马上想到分解质因数）
360=2³×3²×5¹
看质因数，2有{0,1,2,3}4种选法；3有{0,1,2}3种选法；5有{0,1}2种选法
根据乘法原理：4×3×2=24（种）
因数1对应：2º×3º×5º
因数2对应：2¹×3º×5º
因数3对应：2º×3¹×5º
……
因数360对应：2³×3²×5¹
接下来说一下如何计算所有因数的和。
2的四种选法对应的数值{1,2,4,8}；
3的三种选法对应的数值{1,3,9}；
5的两种选法对应的数值{1,5}
也可以理解为从三组里每组选一个数相乘，求所有乘积的和。
所有因数的和=（1+2+4+8）×（1+3+9）×（1+5）=1170
上面的公式可以这样证明（简单写一下两组的）：（A+B+C）×（E+F）=AE+BE+CE + AF+BF+CF。
因数和整数的关系公式
因数和整数的关系公式1. 因数是什么：一个数如果可以被整数整除，那么这个整数就是这个数的因数。
2. 整数是什么：整数是包括正整数、负整数和零的全部整数。
3. 因数和整数之间的关系：因数是整数的一部分，因为一个整数可以被它的因数整除。
而一个数的因数也一定是整数。
因此，整数和因数之间存在着密切的关系。
4. 因数和整数的关系公式：一个数n的因数有1、2、3、……，n-1、n。
因此，n的因数个数为n个。
根据数学原理，一个数的因数个数等于它的质因数分解式中指数的加1的积。
即如果n的质因数分解式为p1^k1 × p2^k2 × … × pn^kn，则n的因数个数为(k1+1) × (k2+1) × … × (kn+1) 个。
5. 例如，如果一个数n的质因数分解式为2^3 × 3^2 × 5，则n的因数个数为(3+1) × (2+1) × (1+1) = 4 × 3 × 2 = 24个。
因此，如果知道一个数的质因数分解式，就可以很容易地计算出这个数的因数个数。
6. 另外，如果两个数a、b的最大公约数为d，则ab的最小公倍数为a×b/d。
因为a×b/d是a和b的公共因数中最小的一个，且它是a和b的所有公共因数的倍数，所以ab/d就是a和b的最小公倍数。
7. 如果a和b互质（最大公约数为1），则它们的最小公倍数为ab。
因为此时a和b没有除1以外的公共因数，所以它们的最小公倍数就是它们的乘积。
8. 最后，如果一个数n的各个因数之和为S，则有S = (1 + p1 + p1^2 + … + p1^k1)× (1 + p2 + p2^2 + … + p2^k2) × … × (1 + pn + pn^2 + … + pn^kn)。
这个公式的证明可以通过枚举n的各个因数以及它们的指数来得到。
因数与倍数
倍数和因数【知识点讲解和梳理】一．找因数和倍数1、我们只在自然数（零除外）范围内研究倍数和因数。
2、倍数与因数是相互依存的关系，要说清谁是谁的倍数，谁是谁的因数。
方法：运用乘法算式，思考：哪两个数相乘等于这个自然数。
找一个数的因数，就是看它可以由哪两个因数相乘得到补充【知识点】：一个数的因数的个数是有限的。
其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
补充【知识点】：一个数的倍数的个数是无限的。
其中最小倍数是它本身，没有最大倍数。
一、 2，5的倍数的特征1、2的倍数的特征。
个位上是0，2，4，6，8的数是2的倍数。
2、5的倍数的特征。
个位上是0或5的数是5的倍数。
3、偶数和奇数的定义。
是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。
4、能判断一个数是不是2或5的倍数。
5.、能判断一个非零自然数是奇数或偶数。
补充【知识点】：既是2的倍数，又是5的倍数的特征：个位上是0的数既是2的倍数，又是5的倍数。
二、 3的倍数的特征1、3的倍数的特征。
一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
2、能判断一个数是不是3的倍数。
补充【知识点】：1、同时是2和3的倍数的特征：个位上的数是0，2，4，6，8，并且各个数位上的数字的和是3 的倍数的数，既是2的倍数，又是3的倍数。
2、同时是3和5的倍数的特征：个位上的数是0或5，并且各个数位上的数字的和是3的倍数的数，既是3的倍数，又是5的倍数。
3、同时是2，3和5的倍数的特征。
个位上的数是0，并且各个数位上的数字的和是3的倍数的数，既是2和5的倍数，又是3的倍数。
三、找质数1、理解质数与合数的意义。
按因数的个数分类：大于1的自然数可以分为（质数）和（合数）。
一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数。
一个数除了1和它本身以外还有别的因数，这个数叫作合数。
2、1既不是质数也不是合数。
3、判断一个数是质数还是合数的方法：一般来说，首先可以用“2，5，3的倍数的特征”判断这个数是否有因数2，5，3；如果还无法判断，则可以用7，11等比较小的质数去试除，看有没有因数7，11等。
人教版五年级下册第二单元《因数与倍数》知识点+图文解读
《因数与倍数》知识点1、整除被除数、除数和商都是自然数，并且没有余数。
2、因数和倍数在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。
（1）数a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。
因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。
（2）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
一个数的因数的求法：成对地按顺序找。
（3）一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。
一个数的倍数的求法：依次乘以自然数。
3、2、3、5的倍数特征（1）2的倍数：个位上是0，2，4，6，8的数:。
（2）3的倍数：一个数各位上的数的和是3的倍数。
（3）5的倍数：个位上是0或5的数。
4、奇数和偶数自然数按能不能被2整除分为奇数和偶数。
奇数：不能被2整除的数，也就是个位上是1、3、5、7、9的数。
偶数：能被2整除的数叫偶数（0也是偶数），也就是个位上是0、2、4、6、8的数。
5、质数和合数质数（或素数）：只有1和它本身两个因数。
合数：除了1和它本身还有别的因数（至少有三个因数：1、它本身、别的因数）。
1：只有1个因数。
“1”既不是质数，也不是合数。
同步练习一、填空题。
1．在36÷9＝4中，( )是( )的因数，( )是( )的倍数。
2．在45，80，72，205，408，90中，2的倍数有( )，3的倍数有( )，5的倍数有( )。
3．按要求在( )里填上适当的数。
53（），同时是2和3的倍数，这个数是( )。
6（）（），同时是2，3，5的倍数的最小数，这个数是( )。
4（）（），个位和十位上的数相同，又是3的倍数，这个数可能是( )。
4．从0、4、5、8、9中选取三个数字组成三位数：(1)在能被2整除的数中，最大的是( )，最小的是( )；(2)在能被3整除的数中，最大的是( )，最小的是( )；(3)在能被5整除的数中，最大的是( )，最小的是( )。
四年级数学倍数和因数2
每排摆几个？摆了几排？用乘法算式把自己的 摆法表示出来，并在小组里交流。
为了方便，我们在研究倍数和因数时，源自所说的一般指不是0的自然数。
因为2×3=6, 所以6是倍数，
2和3是因数。
这样说对吗？ 6是2的倍数，6也是3的倍数， 2和3都是6的因数。
你能根据18÷2=9，说出谁是谁的倍数，
谁是谁的因数吗？
你能找出多少个3的倍数？
试一试任选其中两题完成
2的倍数有： 5的倍数有： 7的倍数有： 9的倍数有：
6
7 „„
12 16 20 24 28 „„
你能找出36的所有因数吗？
试一试任选其中两题完成
15的因数有： 16的因数有：
18的因数有：
24的因数有：
8 6 4
3 2 1
考考你!
一个数既是12的因数，又是12的倍数， 这个数是（ 12 ）。
考考你! 3、5、18、20、36 你能说一说，谁是谁的倍数，
谁是谁的因数吗？
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娘和姐姐了，俺现在是归家心切啊！”大家又说了一些话。看看天色已经不早了，尚武对乔氏母女说：“我这拖家带口的，过 了江还得早点安置他娘儿几个入住客栈呢。咱们就此告别吧！”乔氏母女送出门来，请带话向耿兰的爹娘、兄嫂、姐姐姐夫和 二哥问好，云云。次年正月十六，“耿家小学堂”新学年的钟声庄严而洪亮地敲响了。学堂里又迎进了新一批刚入学的小学童， 而另外四个不同年级的男女学童们也高高兴兴地重返校园。从这一天开始，耿兰和李尚武同时成为“耿家小学堂”的第二对夫 妻教书先生。后来，李尚武再也没有回去过生他养他的那个美丽的江南小镇。二哥耿直一家另建宅院住出去之后，耿兰和尚武 带着儿女们一直和爹娘一起住在耿家的老宅院里。夫妻俩教书之余，格外细心地照料着两位老人，倒也使大哥、二哥和姐姐省 了不少心。每当“耿家小学堂”放假期间，尚武就帮着岳父精心地伺弄那些稻田。望着眼前绿油油，亦或黄澄澄的稻田，他仿 佛回到了故乡„„3第百三九回 梦想路上进行时|（梦想路上困难多，竭尽全力始办学；水稻北方种植开，董妞儿成了“绣花” 匠。）大龄学生的学习是需要很大毅力的，加之他们已经到了婚嫁年龄或者已经结婚成家，想要做到安心学习是比较难的。因 此，耿老爹亲自带的夜校班坚持办了一年多以后，这些学生们尽管不同程度地掌握了一些文化知识，但不少学生学习的热情却 慢慢地减少了。将剩下来的二十多名学生坚持教到三年结业之后，耿老爹就将自己的全部精力都放在了种植水稻上，只是在小 学堂里实在抽调不开，比如，在耿英、耿兰和耿直的媳妇生孩子期间，才来接替她们教上一段时间，这是后话。在这里必须重 点一提的是董二壮，这个斯斯文文的小伙子特别珍惜上夜校班这个求之不得的学习机会。在为期三年的上学期间，他从来没有 耽误过一次，而且学习成绩一直名列前茅。不仅如此，在以优异的成绩结业后，他还总是一有闲暇就书不离手；有了问题，就 找嫂子耿英请教。耿英呢，对于这个刻苦好学的小叔子也很是器重，总是想方设法帮助他不断地提高学业水平。后来，“耿家 小学堂”师资缺乏，耿正就聘用二壮来教授一年级小学童。这二壮果然不负厚望，把所带班级的小学童们教得满好。再后来， 在他自己的不断努力和嫂子耿英的持续培养下，二壮最终成了“耿家小学堂”里的一名非常合格的教书先生，这也是后话。由 于试种水稻取得了很大成功，耿老爹希望能够尽快扩大种植面积。然而事实上，想要使思维保守的乡民们很快就接受这种新作 物，并不像想象中的那么容易。因此，耿老爹为此还颇费了不少心思，甚至还自编了一个小歌舞搬上大戏台，以扩大水稻在这 一方乡民们中间的影响力！真正是“功夫不负有心人”，几年
因数和倍数(2)教案
因数和倍数（2）教学导航：【教学内容】一个数因数的求法和一个数倍数的求法(教材第6页例2、例3，教材第7～8页练习二第2～8题)。
【教学目标】1.通过学习使学生掌握找一个数的因数，倍数的方法；2.学生能了解一个数的因数是有限的，倍数是无限的；3.能熟练地找一个数的因数和倍数；4.在解决问题的过程中,培养学生思维的有序性、条理性，增强学生的探究意识和求索精神。
【重点难点】掌握找一个数的因数和倍数的方法，能熟练地找一个数的因数和倍数。
教学过程：【复习导入】说出下列各式中谁是谁的因数？谁是谁的倍数？20÷4＝5 6×3＝18在上面的算式中,6和3都是18的因数,你知道还有哪些数是18的因数吗?18是3的倍数, 你知道还有哪些数是3的倍数吗?这节课我们就来学习如何找一个数的因数和倍数。
【新课讲授】（一）找因数：1.出示例1：18的因数有哪几个？一个数的因数还不止一个，我们一起找找18的因数有哪些？学生尝试完成后汇报（18的因数有：1，2，3，6，9，18）教师：说说看你是怎么找的？（生：用整除的方法，18÷1＝18，18÷2＝9，18÷3＝6，18÷4＝…；用乘法一对一对找，如1×18＝18，2×9＝18…）教师：18的因数中，最小的是几？最大的是几？我们在写的时候一般都是从小到大排列的。
2.用这样的方法，请你再找一找36的因数有哪些？小组合作交流后汇报，36的因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36 教师：你是怎么找的？举错例（1，2，3，4，6，6，9，12，18，36）教师：这样写可以吗？为什么？（不可以，因为重复的因数只要写一个就可以了，所以不需要写两个6）仔细看看，36的因数中，最小的是几，最大的是几？教师板书:一个数的最小因数是1，最大因数是它本身。
3.你还想找哪个数的因数？（18、42……）请你选择其中的一个在自练本上写一写，然后汇报。
《因数和倍数(2)》(教案)五年级下册数学人教版
《因数和倍数（2）》（教案）五年级下册数学人教版一、教学目标1. 知识目标：掌握因数和倍数的概念，能够求出一个数的因数和倍数。
2. 技能目标：培养学生分析问题、解决问题的能力。
3. 情感目标：培养学生积极思考、合作学习、积极探究的态度。
二、教学重难点1. 重点：掌握因数和倍数的概念，能够求出一个数的因数和倍数。
2. 难点：培养学生分析问题、解决问题的能力。
三、教学准备课件、多媒体设备、黑板、粉笔、学生练习册等。
四、教学过程1. 入门导入（5分钟）导入上节课学的因数的概念，回顾上节课内容，以数轴为例，让学生口述数轴上每一个数的因数是哪些。
2. 新知探究（35分钟）授课过程中选取数轴上的5个数字，手写列出它们的因数和倍数；例如：数字\t因数\t倍数12\t1 2 3 4 6 12\t12 24 36 ……18\t1 2 3 6 9 18\t18 36 54 ……24\t1 2 3 4 6 8 12 24\t24 48 72 ……36\t1 2 3 4 6 9 12 18 36\t36 72 108 ……48\t1 2 3 4 6 8 12 16 24 48\t48 96 144 ……在讲解的同时，让学生总结出数字12、18、24、36、48的共同点和不同点，以此来深入理解因数和倍数的概念。
3. 巩固练习（25分钟）教师与学生一起完成数学书页数P97技能训练、思维拓展和巧手练习的不同活动。
并在学生练习册上布置相关练习。
4. 课堂总结（5分钟）本节课的目标及学习到的知识点逐一复习，对学生的表现进行总结评价，并对下节课授课内容进行简单概述。
五、作业布置1.课后完成相应练习册内容（为巩固本节课所学内容）；2. 让学生每天观察周围事物，并总结其中的因数和倍数（为加深学生对所学概念的理解）。
六、教学思考1. 本堂课以学生探究的方法，引导学生发现数字的因数和倍数，让学生在巩固序列及计算方法的同时，得到了有趣的发现。
第二章 因数与倍数-一个数的因数和倍数
你是怎样找的？
18的因数 1，2，3 ，
有1，2，
6 ，， 9， ，，18 。。
30的因数有哪些？36呢？
18的因数有：1，2，3，6，9，18。 30的因数有：1，2，3，5，6，10，15，30。 36的因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36。
在整数除法中，如果商是整数而没有 余数，我们就说说一被说除第数一是类除的数每和个商的 倍数，除数和算商式是中被，除谁数是的谁因的数因。
数？谁是谁的倍数？
第一类 12÷2＝6 21÷21＝1 20÷10＝2 63÷9＝7 30÷6＝5
第二类 9÷5＝1.8 26÷8＝3.25 19÷7≈2.71
2÷3＝0.6
2×1＝2
2×2＝4 2×3＝6 2×4＝8 2×5＝10
……
3的倍数有哪些？5呢？
3×1＝3 3×2＝6 3×3＝9 3×4＝12 3×5＝15 ……
3的倍数有：3,6 ,9,12,15,…
5×1＝5 5×2＝10 5×3＝15 5×4＝20 5×5＝25 ……
5的倍数有：5,10,15,20,25,…
四、课堂小结
1.如果a÷b=c(a、b、c都是不为0的整数)，那么b、 c就是a的因数，a就是b、c的倍数。因数和倍数都 是互相依存的。 2.找一个数的因数的方法： （1）列除法算式。（2）列乘法算式。 3.找一个数的倍数的方法： （1）除法。（2）分别乘自然数。
作业：质量检测第三页
2的倍数有：2，4，6，… 3的倍数有：3，6，9，12，15,… 5的倍数有：5，10，15，20，25,…
1、怎样找一个数的倍数？ 你发现了什么？
2、怎样找一个数的因数？
五年级下学期第二单元因数与倍数 详细知识点总结+难点与易错点训练+单元测试
第二单元因数与倍数一、知识梳理：（1）因数和倍数：如果整数a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。
例如10能被5整除，那么10就是5的倍数，5就是10的因数。
注意因数和倍数是在整数的范围内定义的，比如3.5÷0.7=5，这种不能是3.5是0.7的倍数，也不能说0.7是3.5的因数。
（2）一个数的因数的求法：一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身，方法是成对地按顺序找。
例如： 15的因数有哪些？就是找能整除15的整数，则有：1, 3, 5, 15。
所以15的因数就是1, 3, 5, 15。
最大的因数就是15也就是本身！（3）一个数的倍数的求法：一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的，方法时依次乘以自然数。
例如：3的倍数 3 6 9 12 15 。
3 是3最小的倍数，也就是本身倍数特征：最小的倍数是本身，没有最大的倍数（4）2、5、3的倍数的特征：①个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。
②个位上是0或5的数，是5的倍数。
③一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
（5）能被2整除的数叫偶数，不能被2整除的数叫奇数。
三个连续的奇数，中间一个是a，其他两个分别是（ a-1 ）和（a+1 ）。
38后面的三个连续的偶数是（40 ）（42 ）（ 44 ）。
（6）质数和合数质数：一个数，如果只有1和本身两个因数，这样的数叫做质数。
1，3，5，7。
合数：一个数，如果除了1和本身还有别的因数，这样的数叫做合数。
4，6，8，9。
互质数：如果两个数的公因数只有1，那么这两个数是互质数。
举例子:4和9 ，6和7 结论：相邻的两个自然数一定是互质数。
（0除外）（7）分解质因数：把一个合数分解成若干个质数相乘的形式把48分解质因数：48=2×2×2×2×3（8）、最大公因数和最小公倍数：用短除法求解。
二、因数与倍数易错点与难点总结：1、选择：（1）因为3.5÷0.7=5，所以3.5和0.7的关系是（）A 3.5是0.7的倍数B 3.5是0.7的因数C 3.5是0.7的5倍（2）如果甲数是乙数的倍数，丙数也是乙数的倍数，那么甲数和丙数的关系（）A 甲数是丙数的倍数B 甲数是丙数的因数C 无法确定2、所有非0自然数都有的因数是（）。
因数个数定理公式
因数个数定理公式
因数个数定理公式：
1、什么是因数个数定理：
因数个数定理是一种数论定理，它规定了正整数的一些平方数的因数
个数。
它宣称每个大于1的正整数的平方都有奇数个因数。
这个定理
又被称为因数对的定理，因为每个正整数的平方都由两个因数形成，
一个大于它的另一个小于它。
2、因数个数定理的公式：
因数个数定理的公式非常简单，可以用以下的公式表示：n2的因数的
个数为2(n+1)。
这个公式说明，给定一个正整数n，其平方n2有2(n+1)个因数。
例如，对于35，它的平方是1225，它有2(35+1）=72个因数。
3、因数个数定理的应用：
因数个数定理可以用来确定正整数的平方数的因数个数，这有助于我
们分解一个较大的平方数为两个因数。
此外，它还可用于分析素数筛
法和关于阶乘素数的素性。
因此，因数个数定理在数论中非常重要。
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提出一个问题，往往比解决一个问题更重要！------------爱因斯坦
镇头小学五年级数学«求一个数的因数»导学案
班级： 姓名： 使用人：
课题 求一个数的因数 课型 问题解决课 主备人 宋 皓 课 时
1
学习
目标
1、我能掌握用不同的方法求一个数的因数的方法；
2、我知道一个数的因数是有限的。
教学重点：掌握找一个数的因数的方法。
教学难点：能熟练的找到一个数的因数。
学法
点拨
学 案 导 案
独
学
探
究
知
识
铺
垫
1、根据算式：4×8=32
（ ）和（ ）是（ ）的因数，（ ）是（ ）和（ ）的倍数。
63÷7=9
（ ）和（ ）是（ ）的因数，（ ）是（ ）和（ ）的倍数。
2、说出下面各组数中谁是谁的因数，谁是谁的倍数：
125和25 63和9 54和18
3、判断下面的说法是否正确，并说明理由：
15是倍数，5是因数。 （ ）
6是3的倍数，是24的因数。（ ）
4是12的因数，也是36的因数。（ ）
48是12和6的倍数。（ ）
由组长组织
对学，群学，
对于组内在
归纳中存在
的问题，用红
笔标注。
自
主
学
习
合
作
1、预习新知识
（1）、试着找一找20的因数有哪些？你有没有什么简便的方法可
以更快的找到一个数的因数？
20的因数有：（ ）。
（2）、怎样找一个数的因数才会不遗漏，你有什么好方法？
2、找因数
30的因数有（ ）。
36的因数有（ ）。
15的因数有（ ）。
由组长组织，
完成本环节
的学习任务，
并在组内汇
报学习成果，
确定展示方
案，进行展示
分工和展示
前准备。
提出一个问题，往往比解决一个问题更重要！------------爱因斯坦
交
流
观察上面的的三个数的因数，我发现：一个数的最小因数是
（ ）。最大因数是（ ）。由此发现一个数的因数的个数
是（ ）。
5、自己总结一个数的因数有哪些特点？
当
堂
检
测
展
示
自
我
1、写出下面个数的因数。
10的因数：
32的因数：
40的因数：
60的因数：
17的因数：
48的因数：
2、判断：
一个数的因数的个数是有限的。（ ）
一个数的因数一定都小于这个数。（ ）
24的因数有：4、6、3、8。（ ）
一个数最小的因数是1，没有最大的因数。（ ）
学生独立答
题，师巡视指
导，生生交流
小组合作，讨
论交流。
总
结
评
价
通过这节课的学习：
我最大的收获是：
我对自己的表现评价：
我从同学身上学会了什么：
教
学
反
思
总体表现：（优 良 差）愉悦指数：（ 一般 ）