北师大版2020九年级数学上册1.2矩形的性质与判定自主学习基础过关测试题1(附答案详解)
北师大版2020九年级数学上册1.2矩形的性质与判定自主学习基础过关测试题1（附答案详解）1．如图，在矩形ABCD 中，5AB =，12AD =，M 是AD 上异于A 和D 的任意一点，且ME AC ⊥于E ，MF BD ⊥于F ，则ME MF +为（ ）A ．60 13B ．30 13C ．1513 D ．不能确定2．如图，在长方形ABCD 中，AC 是对角线．将长方形ABCD 绕点B 顺时针旋转90°到长方形GBEF 位置，H 是EG 的中点．若AB ＝6，BC ＝8，则线段CH 的长为（ ）A ．25B ．41C ．210D ．213．矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把∠B 沿AE 折叠，使点B 落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE 的长为( )A ．3B ．32C ．2或3D ．3或324．已知，线段AB ，BC ，∠ABC=90°，求作：矩形ABCD ，以下是甲、乙两同学的作业：对于两人的作业，下列说法正确的是（ ）A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知∠AOD=120°，AC=16，则图中长度为8的线段有（）A．2条B．4条C．5条D．6条6．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，M为BC中点，连接AM，过D作DE⊥AM于E，则DE的长度为( )A．2B．125C．3D．57．如图，在平面内，把矩形ABCD沿EF对折，若∠1=50°，则∠AEF等于（）A．130°B．115°C．120°D．125°8．两条对角线相等的平行四边形一定是( )A．矩形B．菱形C．矩形或正方形D．正方形9．如图，AD是在Rt ABC斜边BC上的高，将ADC沿AD所在直线折叠，点C恰好落在BC的中点处，则B等于()A．25B．30C．45D．6010．如图,在矩形ABCD中,BC=2,AE⊥BD,垂足为E,∠BAE=30°,那么△ECD的面积是（）A ．23B ．3C ．33D ．3211．如图，在▱ABCD 中，再添加一个条件_____（写出一个即可），▱ABCD 是矩形（图形中不再添加辅助线）12．如图，在△ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为_____．13．如图，在四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=，AB AD =，如果23AC cm =，则四边形ABCD 的面积为________2cm ．14．在直角三角形中，有两条边长分别是8和6．则斜边上的中线长是_____．15．顺次连接四边形各边中点，所得的图形是__________。
顺次连接对角线______________的四边形的各边中点所得的图形是矩形。
顺次连接对角线_________的四边形的各边中点所得的四边形是菱形。
顺次连接对角线_________的四边形的各边中点所得的四边形是正方形。
16．如图，菱形ABCD 对角线长分别为a 、b ，以菱形ABCD 各边中点为顶点作矩形1111A B C D ，然后再以矩形1111A B C D 中点为顶点作菱形2222A B C D ，…，得到四边形2012201220122012A B C D 面积用含a 、b 的代数式表示为________．17．矩形的长a 12b 6，则这个矩形的面积为_______，周长为________．18．四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，顺次连接它的各边中点所得的四边形是_________. 19．如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为s ，则第n 个矩形的面积为_____．20．如图,长方形纸片ABCD 中,AB ＝6 cm,BC ＝8 cm 点E 是BC 边上一点，连接AE 并将△AEB 沿AE 折叠, 得到△AEB′，以C ，E ，B′为顶点的三角形是直角三角形时,BE 的长为___________cm.21．如图，AC BC =，D 是AB 中点，//CE AB ，12CE AB =．（1）求证：四边形CDBE 是矩形；（2）如果5AC =，3CD =，且DF BC ⊥于F ，求DF 长．22．如图，长方形纸片ABCD 中，AB=8cm ，把长方形纸片沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，AE 交DC 于点F ，AF=254cm ，求AD ．23．如图，将矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上F 点处，已知AD =10cm ，BF =6cm ，求图中阴影部分的面积．24．如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝20 cm，BD＝12 cm，两动点E，F同时以2 cm/s的速度分别从点A，C出发在线段AC上相对运动，点E到点C，点F到点A时停止运动．(1)求证：当点E，F在运动过程中不与点O重合时，以点B，E，D，F为顶点的四边形为平行四边形；(2)当点E，F的运动时间t为何值时，四边形BEDF为矩形？25．如图，△ABC中，AB=AC，AD、AE分别是∠BAC与∠BAC的外角的平分线，BE⊥AE．求证：AB=DE.26．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB=6，求BC的长.27．如图，已知△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，（1）计算AC的长度；（2）计算AB边上的中线CD的长度.（3）计算AB边上的高CE的长度.28．如图矩形ABCD 中，8AB cm =，4CB cm =，E 是DC 的中点，14BF BC =，则四边形DBFE 的面积是多少？29．问题提出（1）如图①，已知△ABC ，请画出△ABC 关于直线AC 对称的三角形．问题探究（2）如图②，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在边BC 、CD 上分别存在点G 、H ，使得四边形EFGH 的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．问题解决（3）如图③，有一矩形板材ABCD ，AB=3米，AD=6米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH 部件，使∠EFG=90°，EF=FG=5米，∠EHG=45°，经研究，只有当点E 、F 、G 分别在边AD ．AB 、BC 上，且AF ＜BF ，并满足点H 在矩形ABCD 内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH 部件？若能，求出裁得的四边形EFGH 部件的面积；若不能，请说明理由．参考答案 1．A【解析】【分析】过A 作AG BD ⊥于G ，连接OM ，根据等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高，则ME MF AG +=.利用勾股定理求得BD 的长，再根据三角形的面积计算公式求得AG 的长，即为ME MF +的长．【详解】解:如图，过A 作AG BD ⊥于G ，连接OM ，则12AOD S OD AG ∆=⨯⨯， 111ME+MF 222AOM MOD S S AO ME DO MF DO ∆∆+=⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯（）， AOD AOM MOD S S S ∆∆∆=+，ME MF AG ∴+=，12AD =∵，5AB =，2212513BD ∴=+=，12513AG ⨯∴=， 6013ME MF ∴+= 故选:A【点睛】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．2．B【解析】【分析】分析：首先过点H 作HM ⊥BC 于点M ，将ABCD 绕点B 顺时针旋转90°到GBEF 位置,AB=6，BC=8，可得BE=BC=8, ∠CBE=90°,BG=AB=6,又由H 是EG 的中点,易得HM 是△BEG 的中位线，继而求得HM 与CM 的长，由勾股定理即可求得线段CH 的长.【详解】解：过点H 作HM ⊥BC 于点M ，∵将ABCD 绕点B 顺时针旋转90°到GBEF 位置，AB=6，BC=8，∴BE=BC=8，∠CBE=90°,BG=AB=6， ∴HM ∥BE ，∵H 是EG 的中点，142MH BE ==∴，132BM GM BG ===， 835CM BC BM =-=-=∴，在RT △CHM 中，2241CH HM CM =+=.点睛：本题考查了旋转的性质、矩形的性质、三角形中位线的性质及勾股定理的知识，解答本题的关键是正确作出辅助线，还要注意数形结合思想的应用.3．D【解析】【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如图1所示．连结AC ，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A 、B′、C 共线，即∠B 沿AE 折叠，使点B 落在对角线AC 上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x ，则EB′=x ，CE=4-x ，然后在Rt △CEB′中运用勾股定理可计算出x ．②当点B′落在AD 边上时，如图2所示．此时ABEB′为正方形．【详解】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如图1所示．连结AC，在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∴AC=2243=5，∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，∴∠AB′E=∠B=90°，当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，∴EB=EB′，AB=AB′=3，∴CB′=5-3=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，在Rt△CEB′中，∵EB′2+CB′2=CE2，∴x2+22=（4-x）2，解得x=32，∴BE=32；②当点B′落在AD边上时，如图2所示．此时ABEB′为正方形，∴BE=AB=3．综上所述，BE的长为32或3．故选D．【点睛】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．4．A【解析】试题分析：根据甲同学的作法可得AD＝BC、CD＝AB，由此可判断四边形ABCD为平行四边形，然后加上∠ABC＝90°，则可判断四边形ABCD为矩形，由此可判断甲同学的作业正确；利用乙同学的作法，根据对角线互相平分判断四边形ABCD为平行四边形，然后加上∠ABC＝90°，则可判断四边形ABCD为矩形，由此可判断乙同学的作业正确．所以甲乙两人的作业都对，故选A．点睛：本题考查了作图－复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了矩形的判定．5．D【解析】【分析】根据矩形性质得出DC=AB，BO=DO=12BD，AO=OC=12AC=8，BD=AC，推出BO=OD=AO=OC=8，再证得△ABO是等边三角形，推出AB=AO=8=DC，由此即可解答．【详解】∵AC=16，四边形ABCD是矩形，∴DC=AB，BO=DO=12BD，AO=OC=12AC=8，BD=AC，∴BO=OD=AO=OC=8，∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°，∴△ABO是等边三角形，∴AB=AO=8，∴DC=8，即图中长度为8的线段有AO 、CO 、BO 、DO 、AB 、DC 共6条，故选D ．【点睛】本题考查了矩形性质和等边三角形的性质和判定的应用，矩形的对角线互相平分且相等，矩形的对边相等．6．B【解析】连接DM ，则△ADM 的面积为3，根据中点的性质可得：BM =1.5，在Rt △ABM 中，根据勾股定理可得：AM =2.5，则根据等面积法可得：DE =3×2÷2.5=125. 故选B.7．B 【解析】【分析】根据折叠和∠1度数求出∠BFE=∠EFB′=65°，根据矩形性质的AD 和BC 平行，根据平行线的性质求出即可．【详解】∵矩形ABCD 沿EF 折叠后使A 与A ′、B 与B ′重合，∴∠BFE =∠EFB ′，∵150∠=，∴65BFE ∠=，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴180AEF BFE ，∠+∠= ∴18065115AEF ∠=-=，故选:D.【点睛】考查平行线的性质, 翻折变换（折叠问题），熟练掌握折叠的性质是解题的关键.8．A【解析】 【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形，直接得出答案即可．【详解】因为对角线相等的平行四边形是矩形．故选A ．【点睛】此题考查了特殊平行四边形的判定，需熟练掌握各特殊平行四边形的特点是解题关键． 9．B【解析】试题解析：△ADC 沿AD 所在直线折叠，点C 恰好落在BC 的中点处，则AC =AE ，∵E 为BC 中点，△ABC 是直角三角形，∴AE =BE =CE ，∴AC =AE =EC ，∴△AEC 是等边三角形.∴60C ∠=，∴30.B ∠=故选B.点睛：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.10．D【解析】【分析】根据已知条件，先求Rt△AED的面积，再证明△ECD的面积与它相等．【详解】如图：过点C作CF⊥BD于F.∵矩形ABCD中，BC=2，AE⊥BD，∠BAE=30°.∴∠ABE=∠CDF=60°,AB=CD,AD=BC=2,∠AEB=∠CFD=90°，∠AED=30°，∴△ABE≌△CDF.∴AE=CF.∴S△AED=12ED⋅AE,S△ECD=12ED⋅CF.∴S△AED=S△CDE∵AE=12AD=1,DE=223AD AE=-，∴△ECD的面积是3 2.故答案选:D.【点睛】本题考查了矩形的性质与含30度角的直角三角形相关知识，解题的关键是熟练的掌握矩形的性质与含30度角的直角三角形并能运用其知识解题.11．AC=BD【解析】【分析】根据矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形）推出即可．【详解】添加的条件是AC=BD，理由是：∵AC=BD，四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：AC=BD【点睛】本题考查了矩形的判定定理的应用，注意：对角线相等的平行四边形是矩形．12．1.2【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理可以证明∠BAC=90°；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，则AM=12EF，要求AM的最小值，即求EF的最小值；根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF=AP，则EF的最小值即为AP的最小值，根据垂线段最短，知：AP的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．【详解】∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，∴AB2+AC2=BC2，即∠BAC=90°.又PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴四边形AEPF是矩形，∴EF=AP.∵M是EF的中点，∴AM=12EF=12AP.因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即2.4，∴AM的最小值是1.2.【点睛】本题考查了勾股定理, 矩形的性质，熟练的运用勾股定理和矩形的性质是解题的关键. 13．6【解析】【分析】如图，作辅助线；证明△ABM≌△ADN，得到AM＝AN，△ABM与△ADN的面积相等；求出正方形AMCN的面积即可解决问题．【详解】如图，作AM⊥BC、AN⊥CD，交CD的延长线于点N；∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴四边形AMCN为矩形，∠MAN＝90°；∵∠BAD＝90°，∴∠BAM＝∠DAN；在△ABM与△ADN中，{BAM DANAMB ANDAB AD∠∠∠∠＝＝＝，∴△ABM≌△ADN（AAS），∴AM＝AN（设为λ）；△ABM与△ADN的面积相等；∴四边形ABCD的面积＝正方形AMCN的面积；由勾股定理得：AC2＝AM2＋MC2，而AC＝3；∴2λ2＝12，λ2＝6，故答案为：6．【点睛】该题主要考查了全等三角形的判定及其性质、正方形的判定及其性质等几何知识点的应用问题；解题的关键是作辅助线，构造全等三角形和正方形．14．4或5【解析】解：若直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则斜边长226810=+=，∴斜边中线长11052=⨯=．若直角三角形斜边长为8，则斜边中线长184 2=⨯=．综上所述，答案为4或5．故答案为4或5．15．平行四边形互相垂直相等互相垂直且相等【解析】试题解析：顺次连接四边形各边中点，所得的图形是平行四边形；(如图)根据中位线定理可得：12GF BD=且GF∥BD，12EH BD=且EH∥BD，∴EH=FG，EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形；顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点所得的图形是矩形；如图：∵E、F. G、H分别为各边中点，∴EF∥GH∥DB，12EF GH DB==，12EH FG AC==，EH∥FG∥BD，∵DB⊥AC，∴EF⊥EH，∴四边形EFGH是矩形；顺次连接对角线相等的四边形的各边中点所得的四边形是菱形；如图，∵AC =BD ，E. F . G 、H 分别是线段AB 、BC 、CD 、AD 的中点∴EH 、FG 分别是△ABD 、△BCD 的中位线，EF 、HG 分别是△ACD 、△ABC 的中位线 根据三角形的中位线的性质， ∴1122EH FG BD EF HG AC ====，， ∵AC =BD ，∴EH =FG =FG =EF ，∴四边形EFGH 是菱形；根据正方形的判别方法知，对角线互相平分，互相垂直且相等的四边形是正方形.故答案为：平行四边形、互相垂直、相等、互相垂直且相等. 16．20132ab 【解析】【分析】根据三角形中位线定理，逐步推理出各小长方形的面积，总结出规律，用规律解答．【详解】∵四边形ABCD 中，AC =a ，BD =b ，且AC 丄BD ，∴S 四边形ABCD =ab ÷2；由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，∴四边形A n B n C n D n 的面积是12n ab +．则四边形A 2012B 2012C 2012D 2012面积=20132ab ． 故答案为20132ab ． 【点睛】本题主要考查学生对菱形的性质及三角形中位线定理的理解及运用．此题难度适中，注意数形结合思想的应用．17．2 36【解析】【分析】根据题意，由矩形的面积公式计算，用矩形的长乘以宽即可得到面积；矩形的周长是两个长加上两个宽，把数代入即可【详解】这个矩形的面积故答案为：，【点睛】本题考查了矩形的面积和周长公式以及实数的运算，注意有理数运算与实数运算之间的联系18．矩形【解析】分析：有一个角是直角的平行四边形是矩形，判断即可.详解：顺次连接四边的各边中点所得的四边形是平行四边形，当四边形的对角线互相垂直时，平行四边形的邻边也互相垂直，所以是矩形.故答案为矩形.点睛：考查矩形的判定，三角形中位线定理，掌握矩形的判定方法是解题的关键.19．22 12ns-⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【详解】已知第一个矩形的面积为s；第二个矩形的面积为原来的（12）2×2-2s=14s；第三个矩形的面积是（12s）2×3-2=116s；…故第n个矩形的面积为：（12）2n-2s．故答案为（12）2n-2s．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理及矩形、菱形的性质，是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．20．3或6【解析】【分析】【详解】①∠B′EC=90°时，如图1，∠BEB′=90°，由翻折的性质得∠AEB=∠AEB′=12×90°=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴BE=AB=6cm；②∠EB′C=90°时，如图2，由翻折的性质∠AB′E=∠B=90°，∴A、B′、C在同一直线上，AB′=AB，BE=B′E，由勾股定理得，222268AB BC+=+，∴B′C=10-6=4cm，设BE=B′E=x，则EC=8-x，在Rt△B′EC中，B′E2+B′C2=EC2，即x2+42=（8-x）2，解得x=3，即BE=3cm，综上所述，BE的长为3或6cm．故答案为3或6．21．（1）见解析；（2）12 5【解析】【分析】（1）由AC =BC ，D 是AB 中点，，利用三线合一得到12DB AB CD DB =⊥，，根据12CE AB =，等量代换得到DB =CE ，由CE ∥AB ，得到四边形CDBE 为平行四边形，根据CD ⊥DB 即可得证；（2）在Rt △CDB 中,由BC 与CD 的长，利用勾股定理求出BD 的长，根据DF 与BC 垂直，得到DF ⋅BC =CD ⋅BD ，即可求出DF 的长．【详解】(1)证明：∵AC =BC ，∴△ACB 是等腰三角形，∵D 是AB 中点， ∴12DB AB CD DB =⊥，， ∵12CE AB =， ∴DB =CE ，∵CE ∥AB ，∴四边形CDBE 是平行四边形，又∵CD ⊥DB ，∴四边形CDBE 是矩形；(2)在Rt △CDB 中,9053CDB CB AC CD ∠====，，，∴4BD =，∵DF ⊥BC 于F ，∴DF ⋅BC =CD ⋅BD ， 解得：12.5DF =【点睛】考查矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等，综合性比较轻，难度适中. 22．6cm ．【解析】【分析】根据折叠可得∠1=∠2，然后再根据平行线的性质可得∠1=∠3，进而得到∠2=∠3，再根据等角对等边可得FC=AF= 254cm，然后再利用勾股定理计算出AD．【详解】根据折叠可得∠1=∠2，∵AB∥DC，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴FC=AF= 254cm，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=90°，DC=AB=8cm，∴DF=8﹣254=74cm，∴22AF DF．【点睛】本题考查的知识点是矩形的性质，解题关键是利用折叠的性质和全等三角形的判定和性质，勾股定理进行求解．23．30cm2【解析】【分析】在△ABF中可以运用勾股定理求得AB的长度，在△FEC中用勾股定理可得EC的长度，然后用△ABF和△FEC的面积相加即可.【详解】由折叠的性质得AF=AD=10.在Rt△ABF中,依据勾股定理得：AB8==. 设EC=x，则DE=EF=8−x.在Rt△ECF中,勾股定理得：x2+42=(8−x)2，解得：x=3.∴EC=3.∴S阴影=S△ABF+S△CEF=12×6×8+12×4×3=30cm2【点睛】本题考查了未知量的设以及勾股定理的运用，熟悉掌握概念是解决本题的关键. 24．（1）证明见解析（2）当点E，F的运动时间t为2 s或8 s时，四边形BEDF为矩形【解析】分析：（1）如下图，连接DE，EB，BF，FD，由已知条件易得AE=CF，BO=DO，AO=CO，由此可得OE=OF，从而可得四边形BEDF是平行四边形；（2）由（1）可知，四边形BEDF是平行四边形，故当EF=BD=12cm时，四边形BEDF是矩形，由此分以下两种情况进行解答即可求得对应的t的值，①点E在OA上，点F在OC 上时，EF=BD=12cm；②点E在OC上，点F在OA上是，EF=BD=12cm.详解：(1)连接DE，EB，BF，FD.∵两动点E，F同时以2 cm/s的速度分别从点A，C出发在线段AC上相对运动，∴AE＝CF.∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴OD＝OB，OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分)，∴OA－AE＝OC－CF或AE－OA＝CF－OC，即OE＝OF，∴四边形BEDF为平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)，即以点B，E，D，F为顶点的四边形是平行四边形．(2)由已知条件可得：AE＝CF＝2t，∵由（1）可知四边形BEDF是平行四边形，∴当EF=BD=12时，四边形BEDF是矩形.①当点E在OA上，点F在OC上时，EF=AC-4t，∵EF=BD=12，∴20－4t＝12，解得：t＝2；②当点E在OC上，点F在OA上时，EF=4t-AC=4t-20，∵EF=BD=12，∴4t－20＝12，解得：t＝8.综上所述：当点E，F的运动时间t为2 s或8 s时，四边形BEDF为矩形．点睛：这是一道涉及平行四边形和矩形的动点问题，熟悉“平行四边形的性质、矩形的判定，且知道第2小题存在：①点E在OA上，点F在OC上，EF=BD=12cm；②点E在OC 上，点F在OA上，EF=BD=12cm这两种情况”是解答本题的关键.25．证明见解析.【解析】试题分析：先由角平分线和等腰三角形的性质证明AE∥BD，再由AD、AE分别是∠BAC与∠BAC的外角的平分线可证得DA⊥AE，可得AD∥BE，可证得四边形ADBE为矩形，可得结论．试题解析：证明：∵AD、AE分别是∠BAC与∠BAC的外角的平分线，∴∠BAD+∠EAB=12（∠BAC+∠F AB）=90°，∵BE⊥AE，∴DA∥BE，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠F AB=∠ABC+∠ACB=2∠ABC，且∠F AB=2∠EAB，∴∠ABC=∠EAB，∴AE∥BD，∴四边形AEBD为平行四边形，且∠BEA=90°，∴四边形AEBD为矩形，∴AB=DE．点睛：本题主要考查矩形的判定和性质，由角平分线及等腰三角形的性质证明AE∥BD是解题的关键．26．【解析】【分析】根据等边三角形性质求出OA=OB=AB=6，根据平行四边形的性质求出OA=OC，OB=OD，得出AC=BD=12，证出四边形ABCD是矩形，得出∠ABC=90°，由勾股定理求出BC即可．【详解】∵△ABO是等边三角形，∴OA=OB=AB=6，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∴OA=OC=OB=OD，∴AC=BD=12，∴四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，由勾股定理得：==【点睛】本题考查了等边三角形的性质、平行四边形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质；熟练掌握平行四边形和等边三角形的性质，证明四边形是矩形是解决问题的关键．27．（1）AC=8；（2）CD=5；（3）CE=4.8.【解析】分析：（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理可求得AC的长；（2）在Rt△ABC中，根据斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出CD的长；（3）在Rt△ABC中，根据面积法即可得出CE的长．详解：（1）∵△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，∴由勾股定理得，AC=8；（2）∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，∴AB边上的中线CD=0.5AB=5；（3）∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，AC=8，CE⊥AB，12 ×AB×CE=12×AC×BC ， 即10×CE=8×6， ∴CE=4.8.点睛：本题考查了直角三角形的性质的综合应用，解题时注意：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；在一个直角三角形中，两条直角边长的平方和一定等于斜边长的平方. 28．210cm【解析】【分析】先求出CE 、CF 的长，再根据四边形DBFE 的面积等于矩形的面积减去两个空白三角形的面积，列式进行计算即可得解．【详解】解：∵8AB cm =，4CB cm =，E 是DC 的中点，14BF BC =， ∴118422CE CD cm ==⨯=， 1414BF cm =⨯=， ∴413CF BC BF cm =-=-=，四边形DBFE 的面积2118484433216632221022cm =⨯-⨯⨯-⨯⨯=--=-=． 【点睛】考查了矩形的性质，观察图形得到阴影部分面积的表达方式是解题的关键．29．（1）作图见解析；（2）存在，最小值为10；（3）能，5 【解析】试题分析：（1）作B 关于AC 的对称点D ，连接AD ，CD ，△ACD 即为所求；（2）作E 关于CD 的对称点E′，作F 关于BC 的对称点F′，连接E′F′，得到此时四边形EFGH的周长最小，根据轴对称的性质得到BF′=BF=AF=2，DE′=DE=2，∠A=90°，于是得到AF′=6，AE′=8，求出E′F′=10，EF=（3）根据余角的性质得到1=∠2，推出△AEF ≌△BGF ，根据全等三角形的性质得到AF=BG ，AE=BF ，设AF=x ，则AE=BF=3﹣x 根据勾股定理列方程得到AF=BG=1，BF=AE=2，作△EFG关于EG 的对称△EOG ，则四边形EFGO 是正方形，∠EOG=90°，以O 为圆心，以EG 为半径作⊙O ，则∠EHG=45°的点在⊙O 上，连接FO ，并延长交⊙O 于H′，则H′在EG 的垂直平分线上，连接EH′GH′，则∠EH′G=45°，于是得到四边形EFGH′是符合条件的最大部件，根据矩形的面积公式即可得到结论．试题解析：（1）如图1，△ADC 即为所求；（2）存在，理由：作E 关于CD 的对称点E′，作F 关于BC 的对称点F′，连接E′F′，交BC 于G ，交CD 于H ，连接FG ，EH ，则F′G=FG ，E′H=EH ，则此时四边形EFGH 的周长最小，由题意得：BF′=BF=AF=2，DE′=DE=2，∠A=90°，∴AF′=6，AE′=8，∴E′F′=10，EF=∴四边形EFGH 的周长的最小值=EF+FG+GH+HE=EF+E′F′=10，∴在边BC 、CD 上分别存在点G 、H ，使得四边形EFGH 的周长最小，最小值为10；（3）能裁得，理由：∵∠A=∠B=90°，∠1+∠AFE=∠2+AFE=90°，∴∠1=∠2，在△AEF 与△BGF 中，∵∠1=∠2，∠A=∠B ，EF=FG ，∴△AEF ≌△BGF ，∴AF=BG ，AE=BF ，设AF=x ，则AE=BF=3﹣x ，∴222(3)x x +-=，解得：x=1，x=2（不合题意，舍去），∴AF=BG=1，BF=AE=2，∴DE=4，CG=5，连接EG ，作△EFG 关于EG 的对称△EOG ，则四边形EFGO 是正方形，∠EOG=90°，以O 为圆心，以EG 为半径作⊙O ，则∠EHG=45°的点在⊙O 上，连接FO ，并延长交⊙O 于H′，则H′在EG 的垂直平分线上，连接EH′GH′，则∠EH′G=45°，此时，四边形EFGH′是要想裁得符合要求的面积最大的，∴C在线段EG 的垂直平分线设，∴点F ，O ，H′，C 在一条直线上，∵，∴，∵CF=∴，∵∴OH′＜OC ，∴点H′在矩形ABCD 的内部，∴可以在矩形ABCD 中，裁得符合条件的面积最大的四边形EFGH′部件，这个部件的面积=12EG•FH′=12=52+，∴当所裁得的四边形部件为四边形EFGH′时，裁得了符合条件的最大部件，这个部件的面积为（5m 2．考点：四边形综合题；最值问题；压轴题．。
北师大版九年级数学上册第一章1.2矩形的性质与判定 同步测试(原卷板)
北师大版九年级数学上册第一章1.2矩形的性质与判定同步测试一．选择题1.矩形具有而菱形不一定具有的性质是( )A.对角线互相垂直B.对角线相等C.对角线互相平分D.对角相等2.下列说法错误的是( )A.有一个内角是直角的平行四边形是矩形B.矩形的四个角都是直角,并且对角线相等C.对角线相等的平行四边形是矩形D.有两个角是直角的四边形是矩形3．（2018•兰州）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，EB∥DF且BE与DF之间的距离为3，则AE的长是（）A．B．C．D．4.如图,在矩形ABCD中,点O为对角线的交点,E为BC的中点,OE=3,AC=12,则AD=( )A.6√3B.8C.6D.6√25．（2019•眉山）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，过对角线交点O作EF ⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是（）A．1 B．C．2 D．6.如图,矩形ABCD中对角线AC,BD交点O.若∠AOB=60°,BD=8,则AB长为( )A.4B.4√3C.3D.57.如图,E,F,G,H分别是四边形ABCD四条边的中点,要使四边形EFGH为矩形,则四边形ABCD应具备的条件是( )A.一组对边平行而另一组对边不平行B.对角线相等C.对角线互相垂直D.对角线互相平分8. 如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（）A．AB=BE B．DE⊥DC C．∠ADB=90° D．CE⊥DE9. 矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则它的面积为（）A．3cm B．4cm C．12cm D．4cm或12cm10. 如图，矩形ABCG(AB＜BC)与矩形CDEF全等，点B、C、D在同一条直线上，∠APE的顶点P在线段BD上移动，使∠APE为直角的点P的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．311. 如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB 请你添加一个条件，使四边形DBCE是矩形．12．（2019•徐州）如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，M、N分别为BC、OC 的中点．若MN＝4，则AC的长为．13.如图,矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形,如果四个小三角形的周长的和是86厘米,矩形的周长是30厘米,则对角线的长是厘米.14.如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F 处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为_______.15. 如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是边AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE＋PF的值为_________.16. 矩形ABCD的∠A的平分线AE分BC成两部分的比为1：3，若矩形ABCD的面积为36，则其周长为．17.如图,已知AB∥DE,AB=DE,AF=CD,∠CEF=90°.求证:(1)△ABF≌△DEC;(2)四边形BCEF是矩形.18．（2018•沈阳）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE=1，DE=2，ABCD的面积是．19.如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.过点A作AE∥BD,交CB的延长线于点E.(1)求证:AC=AE;(2)若∠AOB=120°,AE=8,求BC的长.20．（2018•连云港）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．21.如图,矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O,CE∥BD,DE∥AC.(1)证明:四边形OCED为菱形;(2)若AC=4,求四边形CODE的周长.22．（2019•青岛）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．。
北师大 版九年级数学上学期同步练习 1.2 矩形的性质与判定
1.2 矩形的性质与判定一．选择题1．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O作OG⊥AC，交AB于点G，连接CG，若∠BOG＝15°，则∠BCG的度数是（）A．15°B．15.5°C．20°D．37.5°2．在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．连接AC，当CA＝CB时，判断四边形AECF是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形3．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝CA，连接AE，如果∠ACB＝38°，则∠E的值是（）A．18°B．19°C．20°D．40°4．如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE ＝15°，则∠BOE的度数为（）A．60°B．75°C．72°D．90°5．矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF 的中点H，连接GH．若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，则GH＝（）A．1B．C．D．6．将矩形OABC如图放置，O为原点，若点A的坐标是（﹣1，2），点B的坐标是（2，），则点C的坐标是（）A．（4，2）B．（2，4）C．（，3）D．（3，）7．矩形COED在平面直角坐标系中的位置如图所示，若点D的坐标是（1，3），则CE的长是（A．3B．2C．D．48．如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠EAO＝15°，则∠BOE的度数为（）A．85°B．80°C．75°D．70°9．如图，矩形ABCD中，E是AB边的中点，F是AD边上一点，∠DFC＝2∠FCE，CE＝8，CF＝10，则线段AF的长为（）A．B．C．D．10．如图，一张矩形纸片沿AB对折，以AB中点O为顶点将平角五等分，并沿五等分的折线折叠，再沿CD剪开，使展开后为正五角星（正五边形对角线所构成的图形），则∠OCD 等于（）A．108°B．114°C．126°D．129°二．填空题11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，D是AB上一动点，过点D 作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值是．12．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，连接OE，若OE⊥BC，OE＝1，则AC的长为．13．已知如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点C，点D的坐标分别为（0，4），（5，0），，点P在BC边上运动（不与B，C重合），当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为：．14．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠AOB＝60°，若BD＝4，则AD＝．三．解答题15．如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．（1）求证：四边形EFGH是矩形；（2）若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，且DG⊥AC，OF＝2cm，求矩形ABCD的面积．16．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1cm/s，运动时间为t秒，0≤t≤5．（1）AE＝，EF＝（2）若G，H分别是AB，DC中点，求证：四边形EGFH是平行四边形．（3）在（2）条件下，当t为何值时，四边形EGFH为矩形．17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F．（1）求证：四边形BCFD为平行四边形；（2）连接BF，求证：四边形BCAF是矩形．18．已知：如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边BC，AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED．（1）求证：BE＝CD；（2）若AB＝4，AD＝7，求△EFD的周长．19．如图，点E，F分别在矩形ABCD的边AB，CD上，且∠DAF＝∠BCE．（1）求证：AF＝CE；（2）连接AC，若AC平分∠F AE，∠DAF＝30°，CE＝4，求CD的长．参考答案一．选择题1．A．2．B．3．B．4．B．5．C．6．D．7．C．8．C．9．A．10．C．二．填空题11．．12．2．13．（2，4）或（3，4）或（8，4）．14．2．三．解答题15．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝0B＝OC＝OD，∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AO﹣AE＝OB﹣BF＝CO﹣CG＝DO﹣DH，即：OE＝OF＝OG＝OH，∴四边形EFGH是矩形；（2）解：∵G是OC的中点，∴GO＝GC，∵DG⊥AC，∴∠DGO＝∠DGC＝90°，又∵DG＝DG，∴△DGC≌△DGO，∴CD＝OD，∵F是BO中点，OF＝2cm，∴BO＝4cm，∵四边形ABCD是矩形，∴DO＝BO＝4cm，∴DC＝4cm，DB＝8cm，∴CB＝＝4，∴矩形ABCD的面积＝4×4＝16cm2．16．（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∴AC＝＝＝5，由题意得：AE＝CF＝t，∴EF相遇前为：EF＝AC﹣AE﹣CF＝5﹣2t；EF相遇后为：EF＝AE+CF﹣AC＝2t﹣5；故答案为：t，5﹣2t或2t﹣5；（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B＝90°，∴AC＝＝＝5，∠GAF＝∠HCE，∵G、H分别是AB、DC的中点，∴AG＝BG，CH＝DH，∴AG＝CH，∵AE＝CF，∴AF＝CE，在△AFG与△CEH中，，∴△AFG≌△CEH（SAS），∴GF＝HE，同理：GE＝HF，∴四边形EGFH是平行四边形．（3）解：如图所示，连接GH，由（1）可知四边形EGFH是平行四边形∵点G、H分别是矩形ABCD的边AB、DC的中点，∴GH＝BC＝4，∴当EF＝GH＝4时，四边形EGFH是矩形，分两种情况：①AE＝CF＝t，EF＝5﹣2t＝4，解得：t＝0.5．②AE＝CF＝t，EF＝5﹣2（5﹣t）＝4，解得：t＝4.5即：当t为0.5秒或4.5时，四边形EGFH为矩形17．（1）证明：∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∴BC＝AB，∠ABC＝60°，∵△ABD是等边三角形，∴∠ABD＝∠BAD＝60°，AB＝AD，∴∠ABC＝∠BAD，∴BC∥DA，∵点E是线段AB的中点，∴CE＝AB＝BE＝AE，∵∠ABC＝60°，∴△BCE是等边三角形，∴∠BEC＝60°＝∠ABD，∴BD∥CF，∴四边形BCFD为平行四边形；（2）证明：如图所示：∵BD∥CF，BE＝AE，∴AF＝DF＝AD，∴BC＝AF，又∵BC∥DA，∴四边形BCAF是平行四边形，∵∠ACB＝90°，∴四边形BCAF是矩形．18．（1）证明：矩形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，∴∠1+∠3＝90°，∵EF⊥ED，∴∠1+∠2＝90°，∴∠3＝∠2，又EF＝ED，∴△BFE≌△CED，∴BE＝CD；（2）解：矩形ABCD中，AB＝CD＝4，BC＝AD＝7，∵△BFE≌△CED，∴BE＝CD＝4，∴EC＝3，∴ED＝5，∴EF＝ED＝5，∴FD＝，∴△EFD的周长＝．19．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠D＝∠B＝90°，∵∠DAF＝∠BCE，∴△DAF≌△BCE（ASA），∴AF＝CE；（2）解：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠CAB＝∠DCA，∵CE＝4，∴AF＝4，∵AC平分∠F AE，∴∠F AC＝∠CAB，∴∠F AC＝∠DCA，∴FC＝AF＝4，在Rt△ADF中，∠DAF＝30°，∴DF＝2，∴CD＝6．初中数学精品教学初中数学精品教学11。
北师大版2020九年级数学上册1.2矩形的性质与判定自主学习优生训练题C(附答案详解)
8．如图，要使□ABCD成为矩形，需添加的条件是（）
A．AB=BCB．∠ABC=90°C．AC⊥BDD．∠1=∠2
9．如图，在 中， ， ， 分别为 ， ， 边的中点， 于 ， ，则 等于（）
A．32B．16C．8D．10
10．如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点A和点C为圆心，大于 AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交CD于点E，若DE＝2，CE＝3，则矩形的对角线AC的长为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
6．如图，在矩形ABCD中，点A的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（2，4），则BD的长是（ ）
A．6B．5C．3 D．4
7．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，点P为边AB上一动点（且点P不与点A，B重合），PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，点M为EF中点，则PM的最小值为（ ）
28．如图所示，长方形纸片ABCD的长AD＝9cm，宽AB＝3cm，将其折叠，使点D与点B重合．
求：（1）折叠后DE的长；（2）以折痕EF为边的正方形面积．
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC=2AB，再根据矩形的对角线相等解答．
【详解】
在矩形ABCD中，∠ABC=90°，
A． B． C．2 D．3
11．如图，平行四边形ABCD中，AC⊥AB，点E为BC边中点，AD=6，则AE的长为________．
12．等腰直角三角形有一边长为8cm，则面积是________________________。
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转得到△A'B'C，D是A'B'的中点，连接BD，若BC＝2，∠ABC＝60°，则线段BD的最大值为_____．
北师大版九年级数学上册第一章 1.2矩形的性质与判定 同步练习题
北师大版九年级数学上册第一章 1.2矩形的性质与判定同步练习题第1课时矩形的性质1．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形．若∠BAG＝20°，则∠DAE＝(B)A．10° B．20° C．30° D．45°2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠COD＝60°，AB＝3，则AC的长是(A)A．6 B．8 C．10 D．123．如图，在矩形ABCD中，∠DAE＝∠CBE＝45°，AD＝1，则△ABE的周长等于(C)A．4.83 B．4 2C．22＋2 D．32＋24．如图，在矩形ABCD中，O是两对角线的交点，AE⊥BD，垂足为E.若OD＝2OE，AE＝3，则DE的长为(B)A．2 3 B．3 C．4 D.3＋15．如图，在矩形ABCD中，EG垂直平分BD于点G.若AB＝4，BC＝3，则线段EG的长度是(B)A.32B.158C.52D ．3 6．如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，M 是AD 的中点．若OM ＝3，BC ＝10，则OB7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，延长BC 至F ，使CF ＝12BC.若EF ＝13，则线段AB 的长为26．8．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，AC 为对角线，∠DAC 的平分线AE 交DC 于点E ，则CE 的长为53．9．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，P 为AD 上一动点，PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，则PE ＋PF 的值为125．10．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，将△ABE 沿着AE 折叠至△AB′E.若BE ＝CE ，连接B′C，则B′C 的长为185．11．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝AE ，DF ⊥AE 于点F.求证：AB ＝DF.证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，∠B ＝90°. ∴∠AEB ＝∠DAF. ∵DF ⊥AE ，∴∠AFD ＝∠B＝90°.在△ABE 和△DFA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AEB＝∠DAF，∠B ＝∠AFD，AE ＝DA ，∴△ABE ≌△DFA(AAS)． ∴AB ＝DF.12．如图，BE ，CF 是锐角△ABC 的两条高，M ，N 分别是BC ，EF 的中点．若EF ＝6，BC ＝24.(1)求证：∠ABE＝∠ACF；(2)判断EF 与MN 的位置关系，并证明你的结论； (3)求MN 的长．解：(1)证明：∵BE，CF 是△ABC 的两条高， ∴∠ABE ＋∠A＝90°，∠ACF ＋∠A＝90°. ∴∠ABE ＝∠ACF. (2)MN 垂直平分EF. 证明：连接EM ，FM ，∵BE ，CF 是△ABC 的两条高，M 是BC 的中点， ∴EM ＝FM ＝12BC.∵N 是EF 的中点，∴MN ⊥EF. ∴MN 垂直平分EF. (3)∵EF＝6，BC ＝24，∴EM ＝12BC ＝12×24＝12，EN ＝12EF ＝12×6＝3.在Rt △EMN 中，MN ＝EM 2－EN 2＝122－32＝315.13．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4.M ，N 在对角线AC 上，且AM ＝CN ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点．(1)求证：△ABM≌△CDN；(2)若G 是对角线AC 上的点，∠EGF ＝90°，求AG 的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ＝CD ，AB ∥CD. ∴∠MAB ＝∠NCD.在△ABM 和△CDN 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，∠MAB ＝∠NCD，AM ＝CN ，∴△ABM ≌△CDN(SAS)． (2)连接EF ，交AC 于点O.在△AEO 和△CFO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EOA＝∠FOC，∠EAO ＝∠FCO，AE ＝CF ，∴△AEO ≌△CFO(AAS)．∴EO ＝FO ，AO ＝CO.∴O 为EF ，AC 的中点． ∵∠EGF ＝90°，∴OG ＝12EF ＝12AB ＝32.在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝5， ∴OA ＝52.∴AG ＝OA －OG ＝1或AG ＝OA ＋OG ＝4. ∴AG 的长为1或4.14．如图，在矩形ABCD 中，∠BAC ＝30°，对角线AC ，BD 交于点O ，∠BCD 的平分线CE 分别交AB ，BD 于点E ，H ，连接OE.(1)求∠BOE 的度数；(2)若BC ＝1，求△BCH 的面积； (3)求S △CHO ∶S △BHE .解：(1)∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥CD ，AO ＝CO ＝BO ＝DO.∴∠DCE ＝∠BEC.∵CE 平分∠BCD，∴∠BCE ＝∠DCE＝45°. ∴∠BCE ＝∠BEC＝45°.∴BE ＝BC.∵∠BAC ＝30°，AO ＝BO ＝CO ，∴∠OBA ＝30°. ∴∠BOC ＝60°. ∴△BOC 是等边三角形． ∴BC ＝BO ＝BE.∴∠BOE ＝180°－30°2＝75°.(2)过点H 作HF⊥BC 于点F.∵△BOC 是等边三角形，∴∠FBH ＝60°. ∴BH ＝2BF ，FH ＝3BF.∵∠BCE ＝45°，∴CF ＝FH ＝3BF. ∴BC ＝3BF ＋BF ＝1.∴BF＝3－12. ∴FH ＝3－32.∴S △BCH ＝12BC·FH＝3－34.(3)过点C 作CN⊥BO 于点N ， ∵BC ＝3BF ＋BF ＝BO ＝BE ， ∴OH ＝OB －BH ＝3BF －BF. ∵∠CBN ＝60°，CN ⊥BO ， ∴CN ＝32BC ＝3＋32BF. ∵S △CHO ∶S △BHE ＝(12OH·CN)∶(12BE·BF)，∴S △CHO ∶S △BHE ＝3－32.第2课时 矩形的判定1．已知▱ABCD ，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是(B) A ．∠A ＝∠B B ．∠A ＝∠C C ．AC ＝BD D ．AB ⊥BC2．如图，在△ABC 中，点D 在BC 上，DE ∥AC ，DF ∥AB ，下列四个判断中不正确的是(D)A ．四边形AEDF 是平行四边形B ．若∠BAC＝90°，则四边形AEDF 是矩形C ．若AD ＝EF ，则四边形AEDF 是矩形 D ．若AD 平分∠BAC，则四边形AEDF 是矩形3．如图，在▱ABCD 中，M ，N 是BD 上两点，BM ＝DN ，连接AM ，MC ，CN ，NA ，添加一个条件，使四边形AMCN 是矩形，这个条件是(A)A ．OM ＝12AC B ．MB ＝MOC ．BD ⊥AC D ．∠AMB ＝∠CND4．如图，在▱ABCD 中，在不添加任何辅助线的情况下，请添加一个条件∠A ＝90°，使平行四边形ABCD 是矩形．5．如图，已知MN∥PQ，EF 与MN ，PQ 分别交于A ，C 两点，过A ，C 两点作两组内错角的平分线，交于点B，D，则四边形ABCD是矩形．6．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，有下列四个条件：①AB＝BE；②DE⊥DC；③∠ADB＝90°；④CE⊥DE.如果添加其中一个条件就能使四边形DBCE成为矩形，那么正确的条件是①③④(填序号)．7．如图，在△ABC中，D是AB边的中点，E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F，连接BF.当△ABC满足AC＝BC(答案不唯一)时(请添加一条件)，四边形BDCF 为矩形．8．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝10，对角线AC⊥AB，点E，F分别是边BC，AD上的点，且BE＝DF.当BE的长度为3.6时，四边形AECF是矩形．9．在坐标平面内，A，B两点的坐标分别是(1，5)，(4，1)，点C在y轴上，点D在坐标平面内，以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，则点D的坐标为(5，3)或(－3，2)或(3，1)．410．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD，△ABE，△BCF，∠BAC≠60°，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB＝AC时，四边形AEFD是菱形；④当∠BAC＝90°时，四边形AEFD是矩形．其中正确的结论是①②③．(填序号)11．已知：如图，▱ABCD 的两条对角线相交于点O ，BE ⊥AC ，CF ⊥BD ，垂足分别为E ，F ，且BE ＝CF.求证：▱ABCD 是矩形．证明：∵BE⊥AC，CF ⊥BD ， ∴∠OEB ＝∠OFC＝90°. 在△BEO 和△CFO 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠OEB＝∠OFC，∠BOE ＝∠COF，BE ＝CF ，∴△BEO ≌△CFO(AAS)． ∴OB ＝OC.∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OB ＝12BD ，OC ＝12AC.∴BD ＝AC. ∴▱ABCD 是矩形．12．如图，已知AB∥DE，AB ＝DE ，AC ＝FD ，∠CEF ＝90°.求证： (1)△ABF≌△DEC； (2)四边形BCEF 是矩形．证明：(1)∵AB∥DE， ∴∠A ＝∠D. ∵AC ＝FD ， ∴AC －CF ＝DF －CF ， 即AF ＝CD.在△ABF 和△DEC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝DC ，∠A ＝∠D，AB ＝DE ，∴△ABF ≌△DEC(SAS)． (2)∵△ABF≌△DEC， ∴EC ＝BF ，∠ECD ＝∠BFA. ∴∠ECF ＝∠BFC.∴EC∥BF. ∴四边形BCEF 是平行四边形． ∵∠CEF ＝90°， ∴四边形BCEF 是矩形．13．如图，在等边△ABC 中，点D 是AC 的中点，F 是BC 的中点，以BD 为边作等边△BDE.求证：AB ＝EF ，且四边形AEBF 是矩形．证明：∵在等边△ABC 中，点D 是AC 的中点，F 是BC 的中点，∴∠AFB ＝90°，AF ＝BD ，∠CBD ＝30°. ∵△BDE 是等边三角形， ∴BE ＝BD ，∠DBE ＝60°.∴AF ＝BD ＝BE ，∠EBF ＝∠AFB＝90°. ∴AF ∥BE. 又∵AF＝BE ，∴四边形AEBF 是平行四边形． 在△ABF 和△EFB 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝EB ，∠AFB ＝∠EBF，BF ＝FB ，∴△ABF ≌△EFB(SAS)． ∴AB ＝EF.∴四边形AEBF 是矩形．14．如图，在▱ABCD 中，BC ＝12 cm ，∠ABC ＝60°，AC ⊥AB ，O 是AC ，BD 的交点，点E ，F 分别从点O 同时出发，沿射线OA 和OC 方向移动，速度都是1 cm/s.(1)求证：在整个运动过程中，四边形BEDF 始终是平行四边形；(2)设点E 和点F 同时运动的时间为t s ，当t 为何值时，四边形BEDF 是矩形？解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OB ＝OD.由题意，得OE ＝OF ，∴四边形BEDF 始终是平行四边形．(2)在Rt △ABC 中，∵∠BAC ＝90°，∠ABC ＝60°，BC ＝12， ∴∠ACB ＝30°，AB ＝12BC ＝6，AC ＝3AB ＝6 3.∴OA ＝OC ＝3 3.∴BO ＝AB 2＋AO 2＝62＋（33）2＝37. ∵当EF ＝BD 时，四边形BEDF 是矩形， ∴OE ＝OB ，即t ＝37.∴当t ＝37时，四边形BEDF 是矩形．第3课时 矩形的性质与判定的运用1．下列关于矩形的说法，正确的是(C) A ．对角线相等的四边形是矩形 B ．对角线互相平分的四边形是矩形 C ．矩形的对角线相等且互相平分 D ．矩形的对角线互相垂直且平分2．如图，已知在四边形ABCD 中，AB ＝DC ，AD ＝BC ，连接AC ，BD 交于点O.若AO ＝BO ，AD ＝3，AB ＝2，则四边形ABCD 的面积为(C)A ．4B ．5C ．6D ．73．如图，在矩形COED 中，点D 的坐标是(1，3)，则CE4．如图，在四边形ABCD中，已知对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为12．5．如图，在菱形ABCD中，AC，BD交于点O，AC＝6，BD＝8.若DE∥AC，CE∥BD，则OE 的长为5．6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，M为BC上的一动点，ME⊥AB于点E，MF⊥AC于点F，点N为EF的中点，则MN的最小值为2.4．7．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E是边AD上的一个动点，把△BAE沿BE折叠，点A落在A′处．若A′恰好在矩形的对称轴上，则AE的长为1或38．如图，在矩形ABCD中，AB＝4 cm，AD＝12 cm，点P从点A出发，向点D以每秒1 cm 的速度运动，Q从点C出发，以每秒4 cm的速度在B，C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D为止(同时点Q也停止)，这段时间内，当运动时间为2.4_s或4_s或7.2_s 时，P，Q，C，D四点组成矩形．9．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，AC＝10.(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)求BD的长．解：(1)证明：∵AB＝6，BC＝8，AC＝10，∴AB2＋BC2＝AC2.∴∠ABC＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．(2)∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝AC＝10.10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于点E，CF ∥AE交AD延长线于点F.(1)求证：四边形AECF是矩形；(2)连接OE，若AE＝4，AD＝5，求OE的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，AD∥BC.∵CF∥AE，∴四边形AECF 是平行四边形． ∵AE ⊥BC ，∴四边形AECF 是矩形． (2)∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ＝AB ＝BC ＝CD ＝5. ∵AE ＝4，∠AEB ＝90°， ∴EB ＝AB 2－AE 2＝3. ∴EC ＝EB ＋BC ＝8. ∴AC ＝AE 2＋EC 2＝4 5. ∵在Rt △AEC 中，AO ＝CO ， ∴OE ＝12AC ＝2 5.11．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝CD ，∠A ＝∠ADC ，E ，F 分别为AD ，CD 的中点，连接BE ，BF ，延长BE 交CD 的延长线于点M.(1)求证：四边形ABCD 为矩形；(2)若MD ＝6，BC ＝12，求BF 的长度．(结果可保留根号)解：(1)证明：∵在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝CD ， ∴四边形ABCD 是平行四边形． ∴∠A ＋∠ADC＝180°. ∵∠A ＝∠ADC，∴∠A ＝90°. ∴四边形ABCD 是矩形． (2)∵AB∥CD，∴∠ABE ＝∠M. ∵E 为AD 的中点，∴AE ＝DE.在△ABE 和△DME 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠AEB＝∠DEM ，∠ABE ＝∠M，AE ＝DE ，∴△ABE ≌△DME(AAS)． ∴AB ＝DM ＝CD ＝6. ∵F 为CD 的中点， ∴CF ＝12CD ＝3.∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠C ＝90°.在Rt △BCF 中，BF ＝BC 2＋CF 2＝122＋32＝317.12．如图，在▱ABCD 中，E 是AD 上一点，连接BE ，F 为BE 的中点，且AF ＝BF. (1)求证：四边形ABCD 为矩形；(2)过点F 作FG⊥BE，交BC 于点G.若BE ＝BC ，S △BFG ＝5，CD ＝4，求CG 的长度．解：(1)证明：∵F 为BE 的中点，AF ＝BF ，∴AF ＝BF ＝EF. ∴∠BAF ＝∠ABF，∠FAE ＝∠AEF.在△ABE 中，∠BAF ＋∠ABF＋∠FAE＋∠AEF＝180°， ∴∠BAF ＋∠FAE＝90°，即∠BAE ＝90°. 又∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴四边形ABCD 为矩形．(2)连接EG ，过点E 作EH⊥BC，垂足为H ，∵F 为BE 的中点，FG ⊥BE ，∴BG ＝GE. ∵S △BFG ＝5，CD ＝EH ＝4， ∴S △BGE ＝12BG·EH＝10.∴BG ＝GE ＝5.在Rt △EGH 中，GH ＝GE 2－EH 2＝3. ∴BH ＝5＋3＝8.在Rt △BEH 中，BE ＝BH 2＋EH 2＝4 5. ∴CG ＝BC －BG ＝BE －BG ＝45－5.13．已知：如图，在▱ABCD 中，AB ＞AD ，∠ADC 的平分线交AB 于点E ，作AF⊥BC 于点F ，交DE 于点G ，延长BC 至H 使CH ＝BF ，连接DH.(1)补全图形，并证明四边形AFHD 是矩形；(2)当AE ＝AF 时，猜想线段AB ，AG ，BF 之间的数量关系，并证明．解：(1)补全图形如图所示． 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC.∵CH ＝BF ，∴FH ＝BC.∴AD＝FH. ∴四边形AFHD 是平行四边形． ∵AF ⊥BC ，∴四边形AFHD 是矩形． (2)猜想：AB ＝BF ＋AG.证明：延长FH 至M ，使HM ＝AG ，连接DM.∵AB∥CD，∴∠AED＝∠EDC.∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠EDC.∴∠AED＝∠ADE.∴AE＝AD.∵AE＝AF，∴AF＝AD.∵AF＝DH，∴AD＝DH.又∵∠GAD＝∠DHM＝90°，∴△DAG≌△DHM(SAS)．∴∠ADE＝∠HDM，∠AGD＝∠M.∴∠EDC＝∠HDM.∴∠GDH＝∠CDM.∵AF∥DH，∴∠AGD＝∠GDH.∴∠CDM＝∠M.∴CD＝CM＝CH＋HM. ∵AB＝CD，CH＝BF，HM＝AG，∴AB＝BF＋AG.。
北师大版九年级数学上册 同步练习 1.2 矩形的性质与判定
1.2 矩形的性质与判定一．选择题1．下列说法中，不正确的是（）A．四边相等的四边形是菱形B．同位角相等C．一组对边平行，另一组对角相等的四边形是平行四边形D．矩形的对角线相等且互相平分2．如图，点E与点F是矩形ABCD两条对边AD与BC的中点，分别过点D，B作对角线AC的垂线，垂足为点G，H，顺次连接E，H，F，G，得到四边形EHFG，若AB＝4，BC＝8，则四边形EHFG的面积是（）A．B．8C．D．3．如图，∠BOD＝45°，BO＝DO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，连接AC、BD 交于点E，连接OE交AD于点F．下列4个判断：①OE平分∠BOD；②OF＝BD；③DF ＝AF；④若点G是线段OF的中点，则△AEG为等腰直角三角形．正确判断的个数是（）A．4B．3C．2D．14．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠AOD＝120°，AE平分∠BAD，AE交BC于E．则下列的结论：①△OBE是等腰三角形；②BE＝2OE；③∠AEO＝30°；④S△ABE＝3S△OEC．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．在矩形ABCD中，对角线AC＝10cm，AB：BC＝4：3，则它的周长为（）cm．A．14B．20C．28D．306．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，以BC为斜边在矩形所在平面作直角三角形BEC，F为CD的中点，则EF的最小值为（）A．B．1C．2D．37．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O作OG⊥AC，交AB于点G，连接CG，若∠BOG＝15°，则∠BCG的度数是（）A．15°B．15.5°C．20°D．37.5°8．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ACD＝30°．如果△ABC的周长比△AOB的周长大10，那么矩形ABCD的边AB的长是（）A．5B．10C．10D．209．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点E，∠ACB＝52°，AM平分∠BAC，交BC 于点M，过点B作BF⊥AM．垂足为点F，则∠DBF的度数为（）A．43°B．34°C．33°D．19°10．如图，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，D为斜边AB上一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．则线段EF的最小值为（）A．6B．C．5D．11．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，E为BC的中点，F为DE上一动点，P为AF 中点，连接PC，则PC的最小值是（）A．4B．8C．2D．412．下列语句正确的是（）A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．有两边及一角对应相等的两个三角形全等C．矩形的对角线相等D．平行四边形是轴对称图形二．填空题13．如图所示，矩形ABCD的面积为10cm2，它的两条对角线交于点O1，以AB、AO1为邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交于点O2，同样以AB、AO2为邻边作平行四边形ABC2O2，…，依此类推，则平行四边形ABC5O5的面积为．14．如图所示，长方形纸片上画有两个完全相同的灰色长方形，那么剩余白色长方形的周长为（用含a，b的式子表示）．15．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（5，0），（0，3），点P在BC边上运动，当△OAP是等腰三角形时，点P的坐标为．16．如图，长方形ABCD中，AD＝20，AB＝8，点Q是BC的中点，点P在AD边上运动，当△BPQ是等腰三角形时，AP的长为．17．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动．当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，则此时点A的横坐标为．18．如图，矩形ABCD中，E为BC的中点，将△ABE沿直线AE折叠，使点B落在点F处，连接FC，若∠DAF＝18°，则∠DCF＝度．三．解答题19．如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADB，交AB于E，A．BF平分∠CBD，交CD于点F．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）当AD与BD满足什么数量关系时，四边形DEBF是矩形？请说明理由．20．如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm，点P从点A出发，以每秒一个单位的速度沿A→B→C的方向运动；同时点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿B→C→D 的方向运动，当其中一点到达终点后两点都停止运动．设两点运动的时间为t秒．（1）当t＝时，两点停止运动；（2）当t为何值时，△BPQ是等腰三角形？21．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DE⊥BC于E，延长CB到点F，使BF＝CE，连接AF，OF．（1）求证：四边形AFED是矩形．（2）若AD＝7，BE＝2，∠ABF＝45°，试求OF的长．22．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F＝45°．（1）求证：四边形ABCD是矩形．（2）若AB＝14，DE＝8，求BE的长．参考答案一．选择题1．B2．D．3．A．4．B．5．C．6．B．7．A．8．C．9．C．10．D．11．D．12．C．二．填空题13．0.3125cm2．14．4b﹣2a．15．（，3）或（4，3）或（1，3）．16．4或5或6或16．17．．18．36．三．解答题19．（1）证明：在▱ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∠A＝∠C，∴∠ADB＝∠CBD，∵DE平分∠ADB，BF平分∠CBD，∴∠ADE＝∠FBC，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（ASA）；（2）解：AD＝BD，四边形DEBF是矩形．理由如下：∵△ADE≌△CBF，∴DE＝BF，AE＝CF，又∵AB＝CD，∴BE＝DF，∴四边形DEBF是平行四边形，∵AD＝BD，DE平分∠ADB，∴DE⊥AB，∴平行四边形ABCD是矩形．20．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝6，BC＝AD＝8，∴AB+BC＝BC+CD＝14，∵14÷2＝7，∴t＝7；故答案为：7；（2）由题意得：AP＝t，BQ＝2t，分情况讨论：当0＜t≤4时，若BP＝BQ，则6﹣t＝2t，∴t＝2；当4＜t≤6时，若PQ＝BQ，则PB＝2CQ，6﹣t＝2（2t﹣8），∴t＝；当6＜t＜7时，由题意可知不存在；综上所述，当t为2或时，△BPQ是等腰三角形．21．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵BF＝CE，∴FE＝BC，∴四边形AFED是平行四边形，∵DE⊥BC，∴∠DEF＝90°，∴四边形AFED是矩形．（2）解：由（1）得：∠AFE＝90°，FE＝AD，∵AD＝7，BE＝2，∴FE＝7，∴FB＝FE﹣BE＝5，∴CE＝BF＝5，∴FC＝FE+CE＝7+5＝12，∵∠ABF＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AF＝FB＝5，在Rt△AFC中，由勾股定理得：AC＝＝＝13，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，∴OF＝AC＝．22．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠DAF＝∠F．∵∠F＝45°，∴∠DAE＝45°．∵AF是∠BAD的平分线，∴∠EAB＝∠DAE＝45°．∴∠DAB＝90°．又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠DCB＝∠D＝90°．∵AB＝14，DE＝8，∴CE＝6．在Rt△ADE中，∠DAE＝45°，∴∠DEA＝∠DAE＝45°．∴AD＝DE＝8．∴BC＝8．在Rt△BCE中，由勾股定理得：。
北师大版2020九年级数学上册1.2矩形的性质与判定自主学习基础过关测试题4(附答案详解)
北师大版2020九年级数学上册1.2矩形的性质与判定自主学习基础过关测试题4（附答案详解）1．下面说法中正确的是（ ）A ．平行四边形的两条对角线的长度相等．B ．有一个角是直角的四边形是矩形．C ．矩形的两条对角线互相垂直．D ．矩形的对角线相等且互相平分．2．以下说法正确的是（ ）A ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B ．对角线互相垂直平分的四边形是菱形C ．有三个内角相等的四边形是矩形D ．对角线垂直且相等的四边形是正方形3．如图在矩形ABCD 中，8BC =，6CD =，将BCD 沿对角线BD 翻折，点C 落在点C '处，BC '交AD 于点E ，则BDE 的面积为（ ）A ．754B ．214C ．21D ．244．如图，在矩形ABCD 中，有以下结论：①△AOB 是等腰三角形；②S △ABO =S △ADO ；③AC=BD ；④AC ⊥BD ；⑤当∠ABD=45°时，矩形ABCD 会变成正方形．正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．45．矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A ．对角线互相平分 B ．对角线相等 C ．对角线互相垂直且平分D ．对角线互相垂直6．如图，在矩形ABCD 中，AB =8，BC =6，P 为AD 上一点，将△ABP 沿BP 翻折至△EBP ，PE 与CD 相交于点O ，且OE =OD ，则AP 的长为 ( ) ．7．如图，在四边形ABCD 中，AC BD ⊥，6AC =，10BD =，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，连接EG 、FH ，则EG 的长为（ ）A ．17B ．217C ．34D ．2348．如图，矩形ABCD 的对角线AC 和BD 交于点O ，CE BD ⊥于点E ，且2OE DE =，5CE =，则AC 的长为（ ）A ．63B ．56C ．65D ．109．如图，点D 在ABC 边BC 的延长线上，点O 是边AC 上一个动点，过点O 作直线EF BC ∥．交BCA ∠ 的平分线于点F ，交BCA ∠的外角平分线于点E ，连接AF AE ，．当点O 在线段AC 上移动（不与点A ，C 重合）时，下列结论不一定成立的是（ ）A ．2ACE BACB ∠=∠+∠ B ．2EF OC =C ．90FCE ∠=︒D ．四边形AFCE 是矩形10．如图所示，折叠长方形一边AD ，点D 落在BC 边的点F 处，已知10BC =厘米，8AB =厘米，那么CE 的长（ ）A ．52厘米 B 5C ．3厘米D ．73厘米11．如图，在矩形ABCD 中，10AB =，6AD =，E 为BC 上一点，把CDE ∆沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的F 处，则CE 的长为______.12．如图，在长方形ABCD 中，点M 为CD 中点，将△MBC 沿BM 翻折至△MBE ，若∠AME ＝ α，∠ABE ＝ β，则 α 与 β 之间的数量关系为________．13．在Rt ABC ∆中，D 为斜边AB 的中点，且3BC =，4AC =，则线段CD 的长是______．14．矩形ABCD ，AB=2，对角线AC ，BD 交于点O ，∠AOD=120°，则AC 长是_______． 15．已知，如图，在ABC 中，90C ∠=，24A ∠=，请用直尺和圆规找到一条直线，把ABC 恰好分割成两个等腰三角形（不写作法，但需保留作图痕迹），直线________________即为所求．16．如图，平行四边形ABCD 的四个内角的平分线相交，如能构成四边形EFGH ，则这个四边形是_________．17．如图，点E 是矩形ABCD 内任一点，若4AB =，7BC =．则图中阴影部分的面积为__________．18．如图，矩形ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O ，过点O 作OE ⊥AC 交AD 于点E ，若AB=4，BC=8，则AE 的长为__________．19．如图，公路AC ，BC 互相垂直，公路AB 的中点M 与点C 被湖隔开，若测得AM 的长为1.2km ，则M ，C 两点间的距离为___km ．20．在矩形ABCD 中，点E 为AD 的中点，点F 是BC 上的一点，连接EF 和DF ，若AB=4，BC=8，EF=25，则DF 的长为___________．21．如图，在矩形ABCD 中，延长CD 至点E ，且3AB DE =，F 为BE 中点，连结AF ，DF ．（1）求证：ABF ∆的面积是DEF ∆的面积的3倍． （2）若2BE AB =，8BC =，求BE 的长．22．直角三角形ABC 中，90ABC ∠=︒，点D 为AC 的中点，点E 为CB 延长线上一点，且BE CD =，连接DE . （1）如图1，求证2C E ∠=∠（2）如图2，若6AB =、5BE =，ABC ∆的角平分线CG 交BD 于点F ，求BCF ∆的面积.23．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点． （1）四边形EFGH 是怎样的四边形？证明你的结论．（2）当四边形ABCD 的对角线AC 、BD 满足条件 时，四边形EFGH 是矩形． （3）当四边形ABCD 的对角线AC 、BD 满足条件 时，四边形EFGH 是菱形．24．如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，90BCD ∠=︒，10AB AD cm ==，8BC cm =，点P 从点B 出发，沿线段BA ，向点A 以2/cm s 的速度匀速运动；点Q 从点D 出发，沿线段DC 向点C 以3/cm s 的速度匀速运动，已知两点同时出发，当一个点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为()t s ．（1）连结P 、Q 两点，则线段PQ 长的取值范围是________； （2）当10PQ =cm 时，求t 的值；（3）若在线段CD 上有一点E ，2QE =cm ，连结AC 和PE ．请问是否存在某一时刻使得AC 平分PE ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．25．如图，已知//AB CD ，20H ∠=︒，EG GH =，EF FH ⊥，求AEF ∠的度数．26．如图，四边形ABCD 是菱形，∠DAB ＝60°，E ，F 分别在线段BD ，AB 上，EF ∥AD ，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图． （1）在图1中作出△ABD 中AB 边上的高；（2）在图2中作出一个矩形，且矩形的一条边在AB 上．27．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，DE ⊥AC ，垂足为E ，CD ＝5，DE ＝4，求△ABC 的面积．28．如图，长方形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =90°，AD =BC =20，AB =8，动点P 从点B 出发，先以每秒2cm 的速度沿B →A 的方向运动，到达点A 后再以每秒4cm 的速度沿A →D 的方向向终点D 运动；动点Q 从点B 出发以每秒2cm 的速度沿B →C 的方向向终点C 运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设点P 、Q 同时出发，运动时间为t 秒．(1)直接写出BQ 的长(用含t 的代数式表示) (2)求△BPQ 的面积S (用含t 的代数式表示) (3)求当四边形APCQ 为平行四边形t 的值(4)若点E 为BC 中点，直接写出当△BEP 为等腰三角形时t 的值．29．已知：如图，在矩形ABCD 中，点E 在边AD 上，点F 在边BC 上，且AE ＝CF ，点G ，H 在对角线BD 上，且BG ＝DH ． （1）求证：△BFH ≌△DEG ；（2）连接DF ，若DF ＝BF ，则四边形EGFH 是什么特殊四边形？证明你的结论．30．如图，在平面直角坐标系中，点()0,A a ，(),0B b ，且a ，b 满足22228160a ab b a ++-+=，点P 为AB 上一个动点（不与A ，B ）重合），连接OP .图1 图2 （1）直接写出a = ___________，b =___________；（2）如图1，过点P 作OP 的垂线交过点A 平行于x 轴的直线于点C ，若点3,2P n ⎛-⎫⎪⎝⎭，求点C 的坐标；（3）如图2，以OP 为斜边在OP 右侧作等腰Rt OPD ∆，PD OD =.连接BD ，当点P 从B 向A 运动过程中，BOD ∆的面积是否发生变化，请判断并说明理由.参考答案1．D【解析】【分析】利用平行四边形的性质、矩形的判定定理及矩形的性质进行判断后即可确定本题的答案．【详解】解：A、平行四边形的两条对角线的长度不一定相等，故错误；B、有一个角是直角的四边形不一定是矩形，故错误；C、矩形的两条对角线相等但不垂直，故错误；D、矩形的对角线相等且互相平分，正确．故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定及性质，牢记有关定理及定义是解答本题的关键，属于基础概念题，难度不大．2．B【解析】【分析】根据平行四边形与特殊平行四边形的判定定理判断即可．【详解】A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，一组对边平行，另一组对边相等的四边形是可能是等腰梯形，故A错误；B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确；C．有三个内角都是直角的四边形是矩形，三个相等的内角不是直角，那么也不能判定为矩形，故C错误；D．对角线垂直平分且相等的四边形是正方形，故D错误．故选B．【点睛】本题考查平行四边形与特殊平行四边形的判定定理，熟练掌握判定定理是解题的关键．3．A【解析】【分析】先根据矩形的性质得6AB CD ==，8AD BC ==，//AD BC ，再根据折叠的性质得DBC DBE ∠=∠，由//AD BC 得DBC BDE ∠=∠，所以BDE EBD ∠=∠，根据等腰三角形的判定得EB ED =，设ED x =，则EB x =，8AE x =-，在Rt ABE ∆根据勾股定理得到2226(8)x x +-=，求出x 的值，然后根据三角形面积公式求解即可．【详解】 解：四边形ABCD 为矩形，6AB CD ∴==，8AD BC ==，//AD BC ，矩形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠，点C 落在点E 处， DBC DBE ∴∠=∠，//AD BC ， DBC BDE ∴∠=∠，BDE EBD ∴∠=∠，EB ED ∴=，设ED x =，则EB x =，8AE x =-， 在Rt ABE ∆中，222AB AE BE +=，2226(8)x x ∴+-=， 解得254x =， 254DE ∴=， BDE ∴∆的面积11257562244AB DE ==⨯⨯=． 故选：A ． 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理的运用以及折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 4．D 【解析】 【分析】根据矩形的性质、正方形的判定方法逐项分析即可．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=BO=DO=CO，AC=BD，故①③正确；∵BO=DO，∴S△ABO=S△ADO，故②正确；当∠ABD=45°时，则∠AOD=90°，∴AC⊥BD，∴矩形ABCD变成正方形，故⑤正确，而④不一定正确，矩形的对角线只是相等，∴正确结论的个数是4个．故选择：D．【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定以及正方形的判定，解题的根据是熟记各种特殊几何图形的判定方法和性质．5．B【解析】【分析】根据矩形、菱形的性质进行判断，每个选型详细分析即可答案【详解】A.对角线互相平分.矩形和菱形的对角线都互相平分，所以A不符合题意B. 对角线相等.矩形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等，所以B符合题意C. 对角线互相垂直且平分.矩形对角线不具有垂直平分的性质，菱形的对角线互相垂直且平分，所以C不符合题意.D. 对角线互相垂直.矩形对角线不一定互相垂直，菱形对角线互相垂直，所以D不符合题意. 故选：B【点睛】本题考查矩形、菱形的性质判断，对角线的性质.6．A【解析】由折叠的性质得出EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝8，由ASA证明△ODP≌△OEG，得出OP＝OG，PD＝GE，设AP＝EP＝x，则PD＝GE＝6−x，DG＝x，求出CG、BG，根据勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】解：如图所示，设BE与CD交于点G,∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠A＝∠C＝90°，AD＝BC＝6，CD＝AB＝8，根据题意得：△ABP≌△EBP，∴EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝8，在△ODP和△OEG中，∠D＝∠E,OD＝OE,∠DOP＝∠EOG，∴△ODP≌△OEG（ASA），∴OP＝OG，PD＝GE，∴DG＝EP，设AP＝EP＝x，则PD＝GE＝6−x，DG＝x，∴CG＝8−x，BG＝8−（6−x）＝2＋x，根据勾股定理得：BC2＋CG2＝BG2，即62＋（8−x）2＝（x＋2）2，解得：x＝4.8，∴AP＝4.8，故选：A．【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，熟练掌握翻折变换和矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．7．C 【解析】 【分析】 如图（见解析），连接EF 、FG 、GH 、EH ，利用中位线定理得，四边形为平行四边形，再利用矩形的判定定理与性质得出EFG ∆是直角三角形，最后利用勾股定理即可得出答案.【详解】如图，连接EF 、FG 、GH 、EH∵E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点∴//EF AC ，//HG AC ，//FG BD ，12EF AC =，12HG AC =，12FG BD = ∴//EF HG ，EF HG =∴四边形EFGH 为平行四边形∵AC BD ⊥∴EF FG ⊥∴四边形EFGH 为矩形在Rt EFG ∆中，132EF AC ==，152FG BD == ∴22223534EG EF FG =+=+=故选：C. 【点睛】本题考查了中位线定理、平行四边形的判定定理与性质、矩形的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造矩形是解题关键.错因分析：较易题.失分原因是对中点四边形掌握不到位.8．C【解析】【分析】设DE=m ，OE=2m ，得到OD=OC=3m ，在Rt △OCE 中，根据勾股定理即可得到答案．【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ADC=90°，BD=AC ，OD=12BD ，OC=12AC ， ∴OC=OD ，∵EO=2DE ，∴设DE=m ，则OE=2m ，∴OD=OC=3m ，∵CE ⊥BD ，∴∠DEC=∠OEC=90°，在Rt △OCE 中，∵222OE CE OC +=，∴()()222253m m +=，解得：m =∴26AC BD OD DE ====．故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解决问题的关键．9．D【解析】【分析】根据题目条件判断各选项即可.【详解】∵ACD ∠是ABC 的外角，∴ACD BAC B ∠=∠+∠．∵CE 平分ACD ∠，∴2ACD ACE ∠=∠，∴2ACE BAC B ∠=∠+∠，故A 选项成立；∵EF BC CF ，∥平分BCA ∠，∴BCF CFE BCF ACF ∠=∠∠=∠，，∴ACF EFC ∠=∠，∴OF OC =，同理可得OE OC =，∴2EF OC =，故B 选项成立；∵CF 平分BCA ∠，CE 平分ACD ∠， ∴1180902ECF ACE ACF ∠=∠+∠=⨯︒=︒，故C 选项成立； ∵O 不一定是AC 的中点，∴四边形AECF 不一定是平行四边形，∴四边形AFCE 不一定是矩形，故D 选项不一定成立．故选D ．【点睛】本题考查矩形的判定和性质,关键在于灵活运用条件.10．C【解析】【分析】将CE 的长设为x ，得出8DE x EF =-=，在Rt CEF 中，根据勾股定理列出方程求解即可．【详解】设EC 的长为x 厘米，∴()8DE x =- 厘米．∵ADE 折叠后的图形是AFE △，∴AD=AF ，∠D=∠AFE=90︒，DE=EF ．∵AD=BC=10厘米，∴AF=AD=10厘米，在Rt ABF 中，根据勾股定理，得222AB BF AF +=，∴222810BF ，∴BF 6=厘米．∴1064FC BC BF =-=-=厘米．在Rt EFC 中，根据勾股定理，得：222FC EC EF +=，∴()22248x x +=-，即22166416x x x +=-+，解得：3x =，故EC 的长为3厘米，故选：C ．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题时常设要求的线段长为x ，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．11．103【解析】【分析】根据矩形的性质可得：10AB CD ==，6AD BC ==，再根据折叠的性质可得CE EF =，10CD DF ==，利用勾股定理即可求出AF ，从而求出BF ，设CE EF x ==，再根据勾股定理列出方程即可求出CE 的长．【详解】解：在矩形ABCD 中，10AB CD ==，6AD BC ==，根据折叠性质可知CE EF =，10CD DF ==，在Rt ADF ∆中，222AF AD DF +=，即222610AF +=，解得8AF =或8AF =-（舍去），∵10AB =，∴1082BF AB AF =-=-=，在Rt BEF ∆中，222EF BF BE =+，设CE EF x ==，则6BE x =-，则()22226x x =+-， 解得103x =即103CE =故答案为103． 【点睛】此题考查的是矩形与折叠问题，掌握矩形的性质、折叠的性质和勾股定理是解决此题的关键． 12．3290βα-=︒【解析】【分析】如图，延长BE 交AD 于点N ，设BN 交AM 于点O ．由△ADM ≌△BCM （SAS ），推出∠DAM=∠CBM ，由△BME 是由△MBC 翻折得到，推出∠CBM=∠EBM=12(90°-β)，由∠DAM=∠MBE ，∠AON=∠BOM ，推出∠OMB=∠ANB=90°-β，在△MBE 中，根据∠EMB+∠EBM=90°，构建关系式即可解决问题．【详解】如图，延长BE 交AD 于点N ，设BN 交AM 于点O ．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D=∠C=90°，AD=BC ，∵DM=MC ，∴△ADM ≌△BCM(SAS)，∴∠DAM=∠CBM ，∵△BME 是由△MBC 翻折得到，∴∠CBM=∠EBM=12(90°−β)， ∵∠DAM=∠MBE ，∠AON=∠BOM ，∴∠OMB=∠ANB=90°−β，在△MBE 中，∵∠EMB+∠EBM=90°，∴α+(90°−β)+12(90°−β)=90°，整理得：3β−2α=90°故答案为：3β−2α=90°【点睛】本题考查了矩形翻折的问题，翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，在解题中应用了矩形的性质定理，及全等三角形的判定和性质相关知识．13．52【解析】【分析】根据勾股定理列式求出AB 的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．【详解】解：∵3BC =，4AC =，∴AB 5=，∵D 为斜边AB 的中点，∴CD ＝12AB ＝52， 故答案为：52． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，熟记性质是解题的关键．14．4【解析】【分析】只要证明△AOB 是等边三角形即可解决问题．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，∴OA=OB，∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA=OB=AB=2，∴AC=2OA=4，【点睛】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的性质，属于中考常考题型．15．CD【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故找到AB的中线即可求解，即作线段AB 的垂直平分线交AB与D，再连接CD即可．【详解】如图所示：直线CD即为所求．故答案为：CD．【点睛】此题主要考查了作图与应用作图，关键是掌握线段垂直平分线的作法．16．矩形【解析】【分析】利用平行四边形的性质得出∠HEF=∠EFG=∠FGH=90°即可证明四边形EFGH 是矩形.【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴180DAB ADC ∠+∠=︒．∵AH DH ，分别平分DABADC ∠∠，， ∴90HAD HDA ∠+∠=︒，即90EHG ∠=︒．同理可证90HEF EFG FGH ∠=∠=∠=︒，故四边形EFGH 是矩形．【点睛】本题考查平行四边形的性质和矩形的判定,关键在于熟练掌握基础知识.17．14【解析】【分析】根据三角形面积公式可知，图中阴影部分面积等于矩形面积的一半；即可得出结果．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD=BC=7，设两个阴影部分三角形的底为AD ，BC ，高分别为h 1，h 2，则h 1+h 2=AB ，∴S △ADE +S △BCE =12AD•h 1+12BC•h 2=12AD （h 1+h 2）=12AD•AB ， ∴147142S =⨯⨯=阴影； 故答案为：14．【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．18．5【解析】【分析】连接CE，根据矩形的对边相等可得AD=BC=8，CD=AB=4，根据矩形的对角线互相平分可得OA=OC，然后判断出OE垂直平分AC，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AE=CE，设AE=CE=x，表示出DE，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列出方程求解即可．【详解】解：如图，连接CE，∵矩形ABCD中，AB=4，BC=8，∴AD=BC=8，AB=CD=4，OA=OC，∵OE⊥AC，∴OE垂直平分AC，∴AE=CE，设AE=CE=x，则DE=8−x，在Rt△CDE中，CD2＋DE2=CE2，即42＋(8−x)2=x2，解得x=5，即AE的长为5．故答案为：5．【点睛】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，勾股定理，熟记各性质并运用勾股定理列出方程是解题的关键．19．1.2【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得MC＝AM＝1.2km．【详解】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，M为AB的中点，∴MC＝12AB＝AM＝1.2km．故答案为：1.2．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．理解题意，将实际问题转化为数学问题是解题的关键．20．25或213【解析】【分析】分两种情况考虑，①当BF＞CF时，②当BF＜CF时，然后过F作FG⊥AD于G，根据勾股定理进行求解．【详解】①如图所示，当BF＞CF时，过F作FG⊥AD于G，则GF＝4，Rt△EFG中，()222542EG=-=，又∵E是AD的中点，AD＝BC＝8，∴DE＝4，∴DG＝4﹣2＝2，∴Rt△DFG中，224225DF=+=；②如图所示，当BF＜CF时，过F作FG⊥AD于G，则GF＝4，Rt△EFG中，()222542EG=-=，又∵E是AD的中点，AD＝BC＝8，∴DE＝4，∴DG＝4+2＝6，∴Rt△DFG中，2246213DF=+=故答案为：25或213．【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，学会运用分类讨论的思想与巧作辅助线构造直角三角形是解题的关键．21．（1）见解析；（2）2455BE =【解析】【分析】（1）过点F 作GH ⊥CD ，分别交AB ，CD 于点G ，H ．根据四边形ABCD 是矩形，F 为BE 中点，可证得△BGF ≌△EHF ，得GF=HF ，△ABF 的面积=2AB GF ⨯，△DEF 的面积=2DE HF ⨯，又因为AB=3DE ，即可求证△ABF 的面积是△DEF 的面积的3倍． （2）设DE=a ，则CD=3a ，BE=6a ，EC=4a ，由勾股定理即可求出a ，进而求出BE ．【详解】（1）证明：过点F 作GH ⊥CD ，分别交AB ，CD 于点G ，H ．∵AB ∥CD ，∴∠GBF=∠E ，∠BGF=∠EHF ．∵F 为BE 中点，∴BF=EF ．∴△BGF ≌△EHF （AAS ）． ∴GF=HF ．∵FH ⊥CD ，AB ∥CD ，∴GF ⊥AB ．∴△ABF 的面积=2AB GF ⨯，△DEF 的面积=2DE HF ⨯， ∵AB=3DE ，GF=HF ，∴△ABF 的面积是△DEF 的面积的3倍．（2）设DE=a ，则CD=AB=3a ，BE=2AB=6a ，∴EC=ED+CD=a+3a=4a ．由勾股定理，得222EC BC BE +=，即222(4)8(6)a a +=，解得455a =，或455a =-（舍去）． ∴24655BE a ==．2455【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质；三角形面积计算公式，如两个三角形高相等时，面积比等于底边比；可利用勾股定理计算线段长度．22．（1）见解析（2）9613 【解析】【分析】（1）连接BD ，依题意得BD=CD ，所以∠C=∠CBD ，可证明∠CBD=2E ∠，进而可得结论；（2）过点F 作FM BC ⊥，FN AC ⊥，根据已知求出CD=5，AC=10，由勾股定理求出BC=8，求出S △BCD =12S △ABC ，再根据BCD BCF CDF S S S ∆∆∆=+，即111222CD FN BC FM =⋅+⋅可求出FM ，从而可得结论. 【详解】（1）连接BD点D 为AC 中点，且90ABC ∠=︒，12BD AC CD AD ∴===， CD BE =，BE BD ∴=，BDE E ∴∠=∠，又BD CD ∴=，C DBC ∴∠=∠，2C DBC BDE E E ∴∠=∠=∠+∠=∠，（2）过点F 作FM BC ⊥，FN AC ⊥.CG 平分ABC ∠，FM FN ∴=，5BE =，5,10CD AD BE AC ∴====，又6AB =∴在Rt ABC ∆中，222AB BC AC +=，8BC ∴=BD 为ABC ∆中线，11111681222222BCD ABC S S AB BC ∆∆∴==⨯⨯=⨯⨯⨯=， 又BCD BCF CDF S S S ∆∆∆=+，111222CD FN BC FM ∴=⋅+⋅， 11581222FM FM ∴⨯⨯+⨯⨯=， 2413FM ∴=，1124968221313BCF S BC FM ∆∴=⋅=⨯⨯=， 【点睛】 此题考查了直角三角形的性质，角平分线的性质以及三角形中线的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键.23．（1）平行四边形，证明见解析；（2）AC ⊥BD ；（3）AC=BD【解析】【分析】（1）根据三角形的中位线定理，可以证明所得四边形的两组对边分别和两条对角线平行，所得四边形的两组对边分别是两条对角线的一半，再根据平行四边形的判定就可证明该四边形是一个平行四边形；（2）在（1）的基础上，所得四边形要成为矩形，则需有一个角是直角，故对角线应满足互相垂直；（3）在（1）的基础上，所得四边形要成为菱形，则需有一组邻边相等，故对角线应满足相等．【详解】解：（1）∵E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 边上的中点，∴EF ∥AC ，EF=12AC ，FG ∥BD ，FG=12BD ，GH ∥AC ，GH=12AC ，EH ∥BD ，EH=12BD ．∴EF ∥HG ，EF=GH ，FG ∥EH ，FG=EH ．∴四边形EFGH 是平行四边形；（2）要使四边形EFGH 是矩形，则需EF ⊥FG ，由（1）得，只需AC ⊥BD ；故答案为：AC ⊥BD ；（3）要使四边形EFGH 是菱形，则需EF=FG ，由（1）得，只需AC=BD ；故答案为：AC=BD ．【点睛】此题主要是对三角形的中位线定理的运用．同时熟记此题中的结论：顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形；顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得四边形是矩形；顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形．24．（1）8cm PQ ≤≤；（2）t 的值为2或225；（3）存在某一时刻使得AC 平分PE ，此时t 的值为4．【解析】【分析】 （1）先确认线段PQ 取最大值与最小值时点P 、Q 的位置，再根据矩形的性质、勾股定理求解即可；（2）先根据勾股定理求出FQ 的长，再根据10PQ cm =分两种情况：点Q 在点F 左侧和点Q 在点F 右侧，然后根据图中的BP CF =建立方程求解即可得；（3）当AC 平分PE 时，先根据平行线的性质得出,OAP OCE OPA OEC ∠=∠∠=∠，再根据三角形全等的判定定理与性质得出AP CE =，然后分点Q 在点E 左侧和点Q 在点E 右侧，分别建立方程求解即可得．【详解】（1）四边形ABCD 中，//,90AB D BCD C ∠=︒∴四边形ABCD 是直角梯形由题意可知，在点P 、Q 运动过程中，当点P 在点B 处，点Q 在点D 处时，线段PQ 取得最大值BD ；当PQ CD ⊥时，线段PQ 取得最小值，此时8PQ BC cm ==如图1，过点A 作AM CD ⊥，连接BD ，则四边形ABCM 是矩形8,10AM BC cm CM AB cm ∴====6()MD cm ∴===61016()CD MD CM cm ∴=+=+=)BD cm ∴===则线段PQ 长的取值范围是8cm PQ ≤≤故答案为：8cm PQ ≤≤；（2）点P 运动到点A 所需时间为52AB t ==；点Q 运动到C 所需时间为1633CD t == 由题意得，5t ≤如图2，过点P 作PF CD ⊥，则四边形BCFP 是矩形8,PF BC cm BP CF ∴===6()FQ cm ∴===因108PQ cm cm =>，则分以下两种情况：①当点Q 在点F 左侧时，2,1663BP t CF CD FQ DQ t ==--=--即21663t t =--，解得2t =，符合题意②当点Q 在点F 右侧时，即点Q 在点Q '处10,6,2,1636PQ cm FQ cm BP t CF CD DQ FQ t ''''====-+=-+则21636t t =-+，解得225t =，符合题意 综上，t 的值为2或225； （3）存在某一时刻使得AC 平分PE ，求解过程如下：如图3，设AC 与PE 相交于点O当AC 平分PE 时，OP OE =//AB CD,OAP OCE OPA OEC ∴∠=∠∠=∠在OAP ∆和OCE ∆中，OAP OCE OPA OEC OP OE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()OAP OCE AAS ∴∆≅∆AP CE ∴=由题意，分以下两种情况：①当点Q 在点E 左侧时，102,1632AP AB BP t CE CD DQ QE t =-=-=--=-- 即1021632t t -=--，解得4t =，符合题意②当点Q 在点E 右侧时，即点Q 在点Q '处，2Q E QE cm '==102,1632AP AB BP t CE CD DQ Q E t ''=-=-=-+=-+则1021632t t -=-+，解得85t =>，不符题意，舍去综上，存在某一时刻使得AC 平分PE ，此时t 的值为4．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理、矩形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，较难的是题（2）和（3），依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键． 25．70°．【解析】【分析】根据三角形内角和定理可得70FEH ∠=︒，根据直角三角形斜边上中线的性质可得EG GH FG ==，求出70EFG FEH ∠=∠=︒结合平行线的性质可得答案.【详解】解：∵在EFH ∆中，20H ∠=︒，EF FH ⊥，∴70FEH ∠=︒，EFH ∆为直角三角形，∵EG GH =，∴FG 为Rt EFH ∆斜边上的中线，∴EG GH FG ==，∴70EFG FEH ∠=∠=︒，∵//AB CD ，∴70AEF EFG ∠=∠=︒．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质、等边对等角以及平行线的性质等，灵活运用相关知识进行推理计算是解题的关键.26．（1）详见解析；（2）详见解析【解析】【分析】（1）根据等边三角形的三线合一的性质在图1中作出△ABD中AB边上的高即可；（2）结合（1）的作图过程，在图2中作出一个矩形，且矩形的一条边在AB上即可．【详解】解：（1）如图，线段DG即为所求；（2）如图，矩形DGBH即为所求．【点睛】本题主要考查了应用与设计作图以及菱形的性质的运用，解题时注意：菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．27．△ABC的面积为：24【解析】【分析】根据直角三角形的性质求出AB，根据三角形中位线定理求出BC，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【详解】∵CD是斜边AB上的中线，∴AB＝2CD＝10，∵∠BCA＝90°，DE⊥AC，∴BC∥DE，又点D是AB的中点，∴BC＝2DE＝8，由勾股定理得，AC226AB BC-=，∴△ABC的面积＝12×6×8＝24【点睛】本题主要考查了直角三角形性质与勾股定理的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 28．(1) BQ =2t (0≤t ≤9) ；(2) S=2t 2(0＜t≤4)， S =8t (4＜t ≤9)； (3) t =6；(4) t =5或214或112或8 【解析】【分析】(1)先计算得出点P 和点Q 走完全程所需时间，即可直接写出BQ 的长；(2)分点P 在AB 上时和点P 在AD 上时，两种情况讨论，由三角形面积公式可求S 与t 的函数关系式；(3)当点P 在AD 上，且AP=CQ 时，四边形APCQ 是平行四边形．由此构建方程即可解决问题．(4)分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质可求解，【详解】(1) 点P 走完全程所需时间：820t 924=+=(秒)， 点Q 走完全程所需时间：20t 102==(秒)， ∴点P 和点Q 运动时间最多为9秒，由题意，得：BQ 2t =(09t ≤≤)；(2)当点P 在AB 上时，S=12BQ×BP=12×2t×2t=2t 2(0＜t≤4)， 当点P 在AD 上时，S=12BQ×8=8t(4＜t≤9)； (3)当点P 在AD 上，且AP=CQ 时，四边形APCQ 是平行四边形，依题意得：4(t-4)=20-2t ，解得：t=6．∴t=6时，四边形APCQ 是平行四边形；(4)∵点E 为BC 中点，∴BE=EC=10，如图，若BE=PE=10，过点E 作EH ⊥AD 于H ，∵∠ABC=∠BAD=90°，EH⊥AD，∴四边形ABEH是矩形，∴HE=AB=8，AH=BE=10=HD，∴PH=2222PE HE108-=-=6，当点P在点H左边时，∴AP=4，∴84t24=+=5(秒)，当点P在点H右边时，∴AP=16∴816t24=+=8(秒)，如图，若BP=PE，过点P作PM⊥BC于M∴BM=ME=5，∵∠ABC=∠BAD=90°，PM⊥BC，∴四边形ABMP是矩形，∴AP=BM=5，∴8521t244=+=(秒)，若BP=BE=10，∴2222BP AB108-=-=6∴8611t242=+=(秒)，综上所述：当t=5或214或112或8时，△BEP为等腰三角形．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，平行四边形的判定，三角形的面积，函数的应用，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键，属于中考常考题型．29．（1）见解析；（2）四边形EGFH是菱形，见解析.【解析】【分析】（1）证∠FBH=∠EDG，DE=BF，BH=DG，由SAS即可得出结论；（2）连接EF交GH于O，由全等三角形的性质得出FH=EG，∠BHF=∠DGE，证出FH∥EG，得出四边形EGFH是平行四边形，由等腰三角形的性质得出EF⊥GH，即可得出四边形EGFH 是菱形．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠FBH＝∠EDG，∵AE＝CF，BG＝DH，∴DE＝BF，BH＝DG，在△BFH和△DEG中，BF DEFBH EDG BH DG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BFH≌△DEG（SAS）；（2）解：若DF＝BF，则四边形EGFH是菱形；理由如下：连接EF交GH于O，如图：由（1）得：△BFH ≌△DEG ，∴FH ＝EG ，∠BHF ＝∠DGE ，∴FH ∥EG ，∴四边形EGFH 是平行四边形，∴OG ＝OH ，∵BG ＝DH ，∴OB ＝OD ，∵DF ＝BF ，∴EF ⊥GH ，∴四边形EGFH 是菱形．【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、菱形的判定等知识；熟练掌握矩形的性质和平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．30．（1）4，4-；（2）()1,4C ；（3）面积不变为4，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据完全平方公式即可化简，再根据非负性求解；（2）过点P 作PM AP ⊥交y 轴于点M ，证明△APM 为等腰直角三角形，再得到ACP MOP ∆≅∆，得到AC MO =，过P 作PN y ⊥轴于点N ，根据3,2P n ⎛-⎫ ⎪⎝⎭得到 32AN MN PN ===，故可得到OM ，即可求出AC 的长，即可求解； （3）延长PD 到E ，使DE DP =， 得到Rt POE ∆为等腰三角形，再证明OEA OPB∆≅∆得到90PAE ∠=︒，根据直角三角形斜边上的中线性质得到AD=PD=DE,延长AD 至点F ，使DF AD =，得到四边形APFE 为矩形，得到点P 在运动过程中，点D 在AC 垂直平分线上运动，可得△BOD 的BO 边上的高为12AO ，再根据三角形的面积即可求解. 【详解】（1）∵22228160a ab b a ++-+= 22228160a ab b a a +++-+=22()(4)0a b a ++-=∴a+b=0，a-4=0，∴a=4,b=-4故答案为：4，4-；（2）过点P 作PM AP ⊥交y 轴于点M ，∵A （0,4）,B （-4,0）∴∠BAO=45°，∴△APM 为等腰直角三角形，∵∠OPC=∠MPA=90°∴∠OPC-∠MPC=∠MPA-∠MPC∴∠OPM=∠CPA∴AP=MP ，∠PAM=∠PMA=45°又∠PAC=∠PMO=135°∴ACP MOP ∆≅∆，AC MO ∴=，过P 作PN y ⊥轴于点N ，又3,2P n ⎛-⎫ ⎪⎝⎭， 32AN MN PN ∴===， 1AC MO ∴==，()1,4C ∴；。
北师大版2020九年级数学上册1.2矩形的性质与判定自主学习能力达标测试题C(附答案详解)
北师大版2020九年级数学上册1.2矩形的性质与判定自主学习能力达标测试题C （附答案详解）1．如图，在矩形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，若AB =3，AC =6，则∠AOD 等于（ ）A ．90°B ．100°C ．110°D ．120°2．矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）A ．对角线相等B ．对角线平分一组对角C ．对角线互相平分D ．对角线互相垂直3．如图，C 是以AB 为直径的半圆上的一动点，分别以AC ，BC 为边在△ABC 的内侧和外侧作正方形ACDE ，正方形BCFH ．在点C 沿半圆从点A 运动到半圆中点M 的过程中（点C 不与点A ，M 重合）．四边形AEBH 的面积变化情况是（ ）A ．先减小后增大B ．不变C ．先增大后减小D ．一直增大4．在下列图形性质中，矩形不一定具有的是（ ）A ．对角线互相平分且相等B ．四个角相等C ．既是轴对称图形，又是中心对称图形D ．对角线互相垂直平分5．已知下列命题:①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②内错角相等；③对角线互相垂直的四边形是菱形；④矩形的对角线相等，其中假命题有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，矩形纸片ABCD 中，4,6AB BC ==，将ABC ∆沿AC 折叠，使点B 落在点E 处，CE 交AD 于点F ，则DF 的长等于( )A ．3B ．5C ．7D ．7．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD=5，则EF=（）A．3B．4C．5D．68．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD＝13BD，连接DM、DN、MN、CM．若AB＝6，则DN的值为（）A．6 B．3 C．2 D．49．如图a是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（）A．110°B．120°C．140°D．150°10．检查一个门框是否为矩形，下列方法中正确的是（）A．测量两条对角线，是否相等B．测量两条对角线，是否互相平分C．测量门框的三个角，是否都是直角D．测量两条对角线，是否互相垂直11．设矩形窗户的周长为6m，则窗户面积S（m2）与窗户一边的长度x （m）之间的函数关系式是，自变量x的取值范围是．12．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C1处，折痕为EF，若AB＝4，BC＝8，则线段EF的长度为__．动点．将ABE △沿AE 折叠，点B 落在点M 处；将CEF △沿EF 折叠，点C 落在点N 处．当AB 的长度为__________时，点M 与点N 能重合．14．如图，平行四边形纸片ABCD 中，AC=23，∠CAB=30°，将平行四边形纸片ABCD 折叠，使点A 与点C 重合，则折痕MN=_____．15．如图，已知点D 是ABC 的边BC （不含点B ，C ）上的一点，//DE AB 交AC 于点E ，//DF AC 交AB 于点F 、要使四边形AFDE 是矩形，则在ABC 中要增加的一个条件是：________．16．工人师傅常常通过测量平行四边形零件的对角线是否相等来检验零件是否为矩形，请问工人师傅此种检验方法依据的道理是__________．17．如图，在矩形ABCD 中，8AB =，4BC =，一发光电子开始置于AB 边的点P 处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着PR 方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45︒，若发光电子与矩形的边碰撞次数经过2019次后，则它与AB 边的碰撞次数是________．18．如图，直角梯形ABCD 中，//AD BC ，90BAD ∠=︒，115D ∠=︒，点E 为CD 中点，且AE BC =，则AED =∠__________19．如图，在△ABC 中，AB=5，AC=4，BC=3，分别以点A 、点B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN 交AB 于点O ，连接CO ，则CO 的长为___．20．如图，已知矩形ABCD 中，E 、F 是AB 上两点，且AF=DE ，求证：∠DEB =∠CF A .21．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，AB DC ，AB BC =，BD 平分ABC ∠，过点C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，连接OE ．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若25AB =，4BD =，求OE 的长．22．如图，在△ABC 中，AB =AC ，过点 A 作 AD ⊥BC 于点D ，过点 D 作AB 的平行线交AC 于点E ．求证: DE =EC =AE ．23．请阅读材料，并完成相应的任务．阿波罗尼奥斯（约公元前262~190年），古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德齐名．他的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，可以说是代表了希腊几何的最高水平．阿波罗尼奧斯定理，是欧氏几何的定理，表述三角形三边和中线的长度关系，即三角形任意两边的平方和等于第三边的一半与该边中线的平方和的2倍．（1）下面是该结论的部分证明过程，请在框内将其补充完整；已知：如图1所示，在锐角ABC 中，AD 为中线．． 求证：22222()2BC AB AC AD ⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦证明：过点A 作AE BC ⊥于点EAD 为中线2BC BD CD ∴== 设BD CD a ==，DE b =，AE c =BE a b ∴=-，CE a b =+在Rt AED 中，22222AD AE DE b c =+=+在Rt ABE △中，2AB =__________在Rt AEC 中，2AC =__________22AB AC ∴+=__________（2）请直接利用阿波罗尼奧斯定理解决下面问题：如图2，已知点P 为矩形ABCD 内任一点，求证：2222PA PC PB PD +=+（提示：连接AC 、BD 交于点O ，连接OP ）24．如图，矩形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，BE AC ⊥，CF BD ⊥，垂足分别为E ，F ．()1求证：BE CF =．()2若60AOB ∠=，8AB =，求矩形的面积．25．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形ABCD 的顶点在格点上，点E 是边DC 边上的一点．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由．（1）①过E 作EF AC ⊥交AB 边于F ；②过F 作FH CD ⊥于H 点；③在AB 上作线段AM EH =（2）在（1）的条件下，连,AE FC ，若E 为CD 边上的动点，在网格中求作一条线段MN 等于AE FC +的最小值．26．已知，如图，折叠长方形的一边AD 使点D 落在BC 边的点F 处，折痕为AE ，已知AB ＝6cm ，BC ＝10cm ，求EC 的长．27．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC,设MN交∠ACB 的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F,（1）求证：OE=OF；（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．参考答案1．D【解析】【分析】先根据矩形的对角线相等且互相平分得出OA=OB=12AC=3=AB，那么△OAB是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠AOB=60°，进而由邻补角定义求得∠AOD=120°．【详解】解：∵在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，AC=6，∴OA=OB=12AC=3，∵AB=3，∴OA=OB=AB，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠AOD=180°-∠AOB=120°．故选：D．【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，邻补角定义，难度适中．得出△OAB 是等边三角形是解题的关键．2．A【解析】【分析】【详解】解：菱形的对角线互相平分、垂直、对角线平分一组对角，矩形的对角线互相平分、相等，∴矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等，故选A．考点：1．菱形的性质；2．矩形的性质．3．B【解析】【分析】设AC＝a，BC＝b,通过S AEBH＝S AEBC+S BCFH﹣S AFH的转化可得四边形AEBH的面积不变. 【详解】解：设AC＝a，BC＝bS四边形AEBH＝S四边形AEBC+S四边形BCFH﹣S△AFH＝12(a+b)2a b⨯+-12(a+b)b⨯＝21AB2因为AB为直径,所以四边形AEBH的面积不变.故选B．【点睛】此题主要考查求不规则图形的面积,掌握割补法是解此题的关键.4．D【解析】【分析】根据矩形的性质，即对角线平分相等，及是轴对称图形又是中心对称图形，进行解答即可．【详解】解：A.矩形的对角线互相平分且相等．选项说法正确.不符合题意.B.矩形的四个角相等，等于90°，选项说法正确.不符合题意．C.矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形．选项说法正确.不符合题意.D.矩形对角线互相平分但不一定垂直．符合题意.故选：D．【点睛】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．5．B【解析】【分析】利用平行四边形的判定、平行线的性质、菱形的判定和矩形的性质分别对各命题进行判断即可．【详解】解：①根据平行四边形的判定定理可知，对角线互相平分的四边形是平行四边形，故①是真命题；②两直线平行，内错角相等，故②为假命题；③根据菱形的判定定理，对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故③是假命题； ④根据矩形的性质，矩形的对角线相等，故④是真命题；故选：B ．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是熟悉平行四边形的判定、平行线的性质、菱形的判定及矩形的性质，难度不大．6．B【解析】【分析】根据矩形的性质可得AD ∥BC ，再由平行线及折叠的性质可得∠DAC=∠ACF ，得到AF=CF ，在Rt △CDF 中，运用勾股定理列出方程即可解答．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∠D=90°，AD=BC=6，DC=AB=4，∴∠DAC=∠ACB又∵△AEC 是由△ABC 折叠而得，∴∠ACF=∠ACB∴∠DAC=∠ACF∴AF=CF设DF=x ，则CF=AF=6-x ，∴在Rt △CDF 中，222DC DF CF +=，即2216(6)x x +=- 解得：53x =， 即53DF = 故答案为：B ．【点睛】本题考查了矩形中的折叠问题，涉及矩形的性质，等腰三角形的判定以及折叠的性质，勾股定理的运用，解题的关键是根据矩形及折叠的性质得到AF=CF．7．C【解析】【分析】根据题意，可先判定四边形CEDF是平行四边形，再由∠ACB=90°，可判断平行四边形CEDF 是矩形，最后根据矩形的对角线相等即得答案.【详解】解：如图，∵D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，∴DE∥CA，DF∥BC，∴四边形CEDF是平行四边形.∵∠ACB=90°，∴平行四边形CEDF是矩形.∴EF=CD=5.故选C.【点睛】本题考查了三角形的中位线、矩形的判定和性质，熟练掌握矩形的判定和性质以及三角形的中位线定理是解题的关键.8．B【解析】【分析】根据三角形中位线定理得到NM＝12CB，MN∥BC，证明四边形DCMN是平行四边形，得到DN＝CM，根据直角三角形的性质得到CM＝12AB＝3，即可得出结果．【详解】解：∵M、N分别是AB、AC的中点，∴NM＝12CB，MN∥BC，又CD＝13BD，∴MN＝CD，又MN∥BC，∴四边形DCMN是平行四边形，∴DN＝CM，∵∠ACB＝90°，M是AB的中点，∴CM＝12AB＝3，∴DN＝3，故选：B．【点睛】本题考查的是三角形的中位线定理、直角三角形的性质、平行四边形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．9．B【解析】【详解】解：∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB=20°，图b中∠GFC=180°-2∠EFG=140°，在图c中∠CFE=∠GFC-∠EFG=120°，故选B．10．C【解析】【分析】对角线相等的平行四边形是矩形或有三个角是直角的四边形是矩形的原理即可突破此题．【详解】解：根据“三个角是直角的四边形是矩形”可以得到测量门框的三个角，是否都是直角即可检验该四边形是不是矩形，故选C．【点睛】本题考查矩形的判定．11．x x y 32+-=；30〈〈x ．【解析】试题分析：由题意可得：S=x （3-x ）=-x 2+3x ．自变量x 的取值范围是：0＜x ＜3． 故答案为：S=-x 2+3x ，0＜x ＜3．考点：根据实际问题列二次函数关系式．12．【解析】【分析】过E 作EG ⊥BC 于G ，则AE ＝BG ，依据勾股定理即可得到AE ＝BG ＝3，BE ＝5，进而得出BF ＝5，GF ＝BF ﹣BG ＝5﹣3＝2，最后根据勾股定理即可得到EF 的长．【详解】解：如图所示，过E 作EG ⊥BC 于G ，则AE ＝BG ，设AE ＝x ，则DE ＝BE ＝8﹣x ，∵Rt △ABE 中，AE 2+AB 2＝BE 2，∴x 2+42＝（8﹣x ）2，解得x ＝3，∴AE ＝BG ＝3，BE ＝5，∵AD ∥BC ，∴∠DEF ＝∠BFE ，由折叠可得，∠BEF ＝∠DEF ，∴∠BEF ＝∠BFE ，∴BF ＝BE ＝5，∴GF ＝BF ﹣BG ＝5﹣3＝2，∴Rt △EFG 中，EF==故答案为：【点睛】此题考查折叠问题以及勾股定理的运用，解题关键在于选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．13．22【解析】【分析】由折叠的性质可得：∠AME =∠B =90°，∠FNE =∠C =90°，∠AEF =12∠BEC =90°，BE =ME ，CE =NE ，若点M 与点N 重合，则A 、M 、F 三点共线，进而可得BE=CE 122BC ==，设DF=CF=x ，利用勾股定理分别表示出AE 2、EF 2、AF 2，由此可得关于x 的方程，解方程即可求出x ，进一步即得结果．【详解】解：由折叠的性质可得：∠AME =∠B =90°，∠FNE =∠C =90°，∠AEM =∠AEB ，∠NEF =∠CEF ，BE =ME ，CE =NE ，若点M 与点N 重合，则A 、M 、F 三点共线，则BE= ME =NE =CE ，∠AEF =12∠BEC =90°， ∵4BC =，∴BE=CE =2，由于点F 是CD 边的中点，可设DF=CF=x ，则AB=CD =2x ，在Rt △AEF 中，由勾股定理，得：222AE EF AF +=，即()2222222224x x x +++=+，解得：2x ∴22AB = 故答案为：22【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质和勾股定理，正确理解题意、熟练掌握折叠的性质、灵活运用方程思想是解题关键．14．2【解析】【分析】根据翻折变换，可知△ONC≌△AOM，且是Rt△，在△ONC中解得NO即可得【详解】根据翻折变换，可知△ONC≌△AOM，且是Rt△，∵AC=，∠CAB=30°，∴在Rt△ONC，解得ON=1，∴M N=2，故答案为2．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行四边形的性质，解题的关键是要注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变.15．90∠=A【解析】【分析】矩形判定定理:有一个角是直角的平行四边形是矩形.【详解】因为四边形AEDF是平行四边形，根据矩形判定定理需要加一个直角才行.【点睛】掌握矩形的判定定理是解题的关键.16．对角线相等的平行四边形是矩形．【解析】【分析】根据矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形）即可得到答案．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为对角线相等的平行四边形是矩形．【点睛】本题考查对矩形的性质和判定的理解和掌握，能熟练地运用矩形的判定解决实际问题是解题的关键．17．673【解析】【分析】根据题意作出图像，根据图像的规律即可求解.【详解】如图建立平面直角坐标系，根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点(6,0)，且每次循环它与AB边的碰撞有2次，÷=⋯，∵201963363当点P第2019次碰到矩形的边时为第337个循环组的第3次反弹，点P的坐标为(6,4)=⨯=次∴它与AB边的碰撞次数3362+1673故答案为673【点睛】此题主要考查矩形的性质，解题的关键是根据题意作出图形，发现规律进行求解. 18．15︒【解析】【分析】延长AE 、BC 交于点F ，连接BE ，依据全等三角形的判定与性质得到AE EF =，依据平行线的性质得到90ABF ∠=︒,218065D ∠=︒-∠=︒,依据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及AE BC =，得到等腰三角形BCE 和等腰三角形BEF ，依据等边对等角、三角形内角和及外角的性质得到415∠=︒，利用对顶角相等得到所求.【详解】解：延长AE 、BC 交于点F ，连接BE ，∵直角梯形ABCD 中，//AD BC ，90BAD ∠=︒，115D ∠=︒，∴18090ABF A ∠=︒-∠=︒,218065D ∠=︒-∠=︒，4AED ∠=∠,D ECF ∠=∠， 又∵点E 为CD 中点，得DE CE =,∴AED ≌FEC (ASA)，∴AE EF =，∴BE AE EF ==,又∵AE BC =，∴BE BC =,3F ∠=∠,∴1265∠=∠=︒,∴3180(12)50F ∠=∠=︒-∠+∠=︒,∴42655015F ∠=∠-∠=︒-︒=︒,∴415AED ∠=︒=∠,故答案为：15︒.【点睛】本题考查了梯形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的等边对等角、三角形内角和及外角的性质，解题的关键是构造直角三角形.19．5 2【解析】【分析】根据题意先利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，再由作法得MN垂直平分AB，然后根据直角三角形斜边上的中线性质求解．【详解】解：∵AB=5，AC=4，BC=3，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，由作法得MN垂直平分AB，∴AO=OB，∴OC=12AB=52．故答案为：52．【点睛】本题考查作图-基本作图相关，熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．20．见解析【解析】【分析】根据已知和矩形的性质，利用SAS判定△ABE≌△DCF．所以∠AEB=∠DFC．再根据补角的性质可得到∠DEB=∠CFA．【详解】证明：∵ABCD为矩形，∴AB=CD，∠A=∠D．∵AF=DE，∴AE=DF．∴△ABE≌△DCF．∴∠AEB=∠DFC ．∴∠DEB=∠CFA ．【点睛】此题考查了矩形的性质，以及全等三角形的判定方法的掌握情况．掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．21．（1）见解析 ；（2）4【解析】【分析】（1）通过角平分线的定义和平行线的性质得出CDB CBD ∠=∠，从而有DC BC =，则AB DC =，通过一组对边平行且相等可证明四边形ABCD 是平行四边形，又因为AB BC =，所以平行四边形ABCD 是菱形；（2）通过菱形的性质可得AC BD ⊥，12OA OC AC ==，12OB OD BD ==，然后在Rt AOB △中利用勾股定理求出OA 的长度，然后根据已知得出90AEC ∠=︒，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出答案．【详解】解：（1）∵//AB DC ，∴ABD CDB ∠=∠．∵BD 平分ABC ∠，∴ABD CBD ∠=∠，∴CDB CBD ∠=∠，∴DC BC =．又∵AB BC =，∴AB DC =．又∵//AB DC ，∴四边形ABCD 是平行四边形．又∵AB BC =，∴□ABCD 是菱形．（2）∵四边形ABCD 是菱形，对角线AC 、BD 交于点O ．∴AC BD ⊥，12OA OC AC ==，12OB OD BD ==． ∵4BD =， ∴122OB BD ==． 在Rt AOB △中，90AOB ∠=︒，AB =∴4OA ==．∵CE AB ⊥，∴90AEC ∠=︒．在Rt AEC △中，90AEC ∠=︒，O 为斜边AC 中点， ∴142OE AC OA ===． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线的性质，菱形的判定及性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，掌握平行线的性质，角平分线的性质，菱形的判定及性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质是解题的关键 ．22．证明见解析【解析】【详解】证明：∵AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ，∴∠B =∠C ，∠BAD =∠CAD ．又∵DE ∥AB ，∴∠EDC =∠B ，∠ADE =∠BAD ．∴∠EDC =∠C ，∠ADE =∠CAD ．∴DE =EC ，AE =DE ．∴DE =EC =AE ．23．（1）2222()+=+-AE BE c a b ，2222()+=++AE CE c a b ，()2222222()()2+-+++++=c a b c a b c a b 2222⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦BC AD ；（2）见解析 【解析】【分析】（1）利用勾股定理即可写出答案；（2）连接AC、BD交于点O，根据矩形的性质能证明O是AC、BD的中点，在PAC和PBD中利用阿波罗尼奥斯定理可以证明结论.【详解】（1）在Rt ABE△中，22222()AB AE BE c a b=+=+-在Rt AEC中，22222()=+=++AC AE CE c a b∴222222()()+=+-+++AB AC c a b c a b()2222=++c a b2222⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦BCAD故答案是：2222()+=+-AE BE c a b；2222()+=++AE CE c a b；()2222222()()2+-+++++=c a b c a b c a b2222⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦BCAD；（2）证明：连接AC、BD交于点O，连接OP∵四边形ABCD为矩形，∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，由阿波罗尼奥斯定理得222222⎡⎤⎛⎫+=+⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ACPA PC OP222222⎡⎤⎛⎫+=+⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦BDPB PD OP2222∴+=+PA PC PB PD.【点睛】本题考查了矩形的性质及勾股定理的运用，能充分理解题意并运用性质定理推理论证是解题的关键.24．(1)见解析;(2) 6【解析】【分析】(1)由矩形ABCD 可得OB=OC ，再由垂直可得两直角相等，再由“角角边”定理可证的△BEO≌△CFO，根据全等三角形的性质即可得BE=CF.(2)结合四边形ABCD 是矩形，∠AOB=60°，△AOB 是等边三角形，再根据勾股定理即可求解.【详解】()1证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AC BD =，12OA OC AC ==，12OB OD BD ==， ∴OB OC =，∵BE AC ⊥，CF BD ⊥，∴90BEO CFO ∠=∠=，在BEO 和CFO 中， BOE COF BEO CFO OB OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()BEO CFO AAS ≅，∴BE CF =；()2解：∵四边形ABCD 是矩形，∴90ABC ∠=，AC BD =，12OA OC AC ==，12OB OD BD ==， ∴OB OA =，∵60AOB ∠=，∴AOB 是等边三角形，∴8AB AO OB ===，∴16AC =，由勾股定理得：22BC=-=，16883∴矩形的面积是883643⨯=⨯=．AB BC【点睛】本题主要考察的是全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的相关性质和等边三角形的性质，矩形的性质以及勾股定理是解决本题的关键.25．）（1）①见解析；②见解析；③见解析（2）见解析．【解析】【分析】（1）①根据网格特点构造全等三角形作图；②根据网格特点构造全等三角形，进而得到矩形，据此作图；③根据网格特点构造全等三角形作图；=，AM∥EH可得四边形AMHE是平行四边形，则AE等于MH，又因为（2）由AM EH+的最小值就是MH＋BH的最小值，如图，B点关于CD的对称点为BH＝FC，故AE FCN，MN即为所求．【详解】解：（1）①如图所示，EF即为所求；②如图所示，FH即为所求；③如图所示，AM即为所求；（2）如图所示，MN即为所求．【点睛】本题考查了作图—复杂作图、勾股定理、平行四边形的性质、矩形的性质、轴对称的最短距离问题等知识，特别是善于运用最短距离问题的模型构图是解决本题第2问的关键．26．EC＝83 cm.【解析】【分析】首先求出BF的长度，进而求出FC的长度；根据勾股定理列出关于线段EF的方程，即可解决问题．【详解】解：设DE=x cm.∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝10cm，DC＝AB＝6cm；∠B＝90°，由折叠的性质可得：AF＝AD＝10cm；DE＝EF=x，EC＝(6﹣x)cm；在Rt△ABF中，由勾股定理得：BF2＝102﹣62＝64，∴BF＝8cm，CF＝10﹣8＝2cm；在Rt△EFC中，由勾股定理得：x2＝22+(6﹣x)2，解得：x＝103，∴EC＝6﹣103＝83(cm)．【点睛】该题主要考查了翻折变换及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质找出图形中隐含的等量关系；根据有关定理灵活分析、正确判断、准确求解．27．解：（1）证明：如图，∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠2=∠5，4=∠6．∵MN∥BC，∴∠1=∠5，3=∠6．∴∠1=∠2，∠3=∠4．∴EO=CO，FO=CO．∴OE=OF．（2）∵∠2=∠5，∠4=∠6，∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°．∵CE=12，CF=5，∴22EF12513=+．∴OC=12EF=6.5．（3）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：当O为AC的中点时，AO=CO，∵EO=FO，∴四边形AECF是平行四边形．∵∠ECF=90°，∴平行四边形AECF是矩形．【解析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1=∠2，∠3=∠4，进而得出答案．（2）根据已知得出∠2+∠4=∠5+∠6=90°，进而利用勾股定理求出EF的长，即可根据直角三角形斜边上的中线性质得出CO的长．（3）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．。
北师大版九年级数学上册 第一章 1.2 矩形性质与判定 同步测试习题
1.2 矩形性质与判定同步测一．选择题1．点D是等腰Rt△ABC斜边BC上一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若BC＝2，则四边形AEDF的周长是( )A．1 B．2C．3 D．2 22．如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM＝3，BC＝10，则OB的长为( )A．5 B．4C.342 D.343．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )A．对角线相等B．对边相等C．对角相等D．对角线互相平分4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，如果∠ADO＝75°，那么∠AOD的度数是( )A．30°B．55°C．60°D．75°5. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，CD是AB边上的中线，则CD的长是( )A．20 B．10 C．5 D. 5 26．如图，P是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是AD的中点．若AB＝6，AD＝8，则四边形ABPE的周长为( )A．14 B．16 C．17 D．187. 对于四边形ABCD，给出下列4组条件：①∠A＝∠B＝∠C＝∠D；②∠B＝∠C ＝∠D；③∠A＝∠B，∠C＝∠D；④∠A＝∠B＝∠C＝90°，其中能得到“四边形ABCD是矩形”的条件有( )A．1组B．2组C．3组D．4组8. 如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点．添加下列条件后，不能得到四边形ADEF是矩形的是( )A．∠BAC＝90°B．BC＝2AEC．ED平分∠AEB D．AE⊥BC二．填空题9. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，则图中五个小矩形的周长之和为________.10．如图，矩形OBCD的顶点C的坐标为(1，3)，则对角线BD的长为_____.11．如图，有一个长方形展览室，长10m，宽8m，室内放置隔板，中间的走道宽1m，一位参观者沿走道正中从头走到尾，他一共走了m．12．如图，在矩形ABCD中，AC与DB相交于O，OE是AD的垂线，垂足为E，AF是DB的垂线，垂足为F，已知OE＝2，DF＝3BF，则AE＝．13．用长度是40cm的绳子围成矩形，你认为能围成矩形的最大面积为cm2．14．矩形的一条角平分线分长边为5cm和4cm两部分，则此面积为cm2．15．如图，一块长方形场地ABCD的长AB与宽AD的比为2：1，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，连结BE，DF，则四边形DEBF与长方形ABCD的面积比为．三．解答题16.如图，在▱ABCD中，点P是AB边上一点(不与A，B重合)，CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，连接CQ.(1)若∠BPC＝∠AQP，求证：四边形ABCD是矩形；(2)在(1)的条件下，当AP＝2，AD＝6时，求AQ的长．17.如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，CE，AF分别交BD 于G，H两点．求证：(1)四边形AFCE是平行四边形；(2)EG＝FH.18.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE＝DF.(1)求证：AE＝CF；(2)若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积．。
北师大版2020年九年级数学上册 1.2 矩形的性质与判定 同步练习
九年级数学上册第一章特殊的平行四边形1.2矩形的性质与判定同步练习题一、选择题1．菱形具有而矩形不一定具有的性质是(D)A．两组对边分别平行B．对角线相等C．对角线互相平分D．四条边相等2．四边形ABCD的对角线AC，BD互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是(B)A．AB＝CD B．AC＝BDC．AB＝BC D．AC⊥BD3．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝3.若要使▱ABCD为矩形，则OB的长为(B)A．4 B．3 C．2 D．14．如图，在矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点．若MN＝3，AB＝6，则∠ACB的度数为(A)A．30°B．35°C．45°D．60°5．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD，∠OAD＝55°，则∠OAB的度数为(A)A．35°B．40°C．45°D．50°6．如图，DE是Rt△ABD的斜边AB上的中线，AB＝12，在ED上找一点F，使得DF＝2，连接AF并延长至C，使得AF＝CF，连接CD，CB，则CB的长为(C)A ．5B ．6C ．8D ．97．如图，在△ABC 中，AC 的垂直平分线分别交AC ，AB 于点D ，F ，BE ⊥DF 交DF 的延长线于点E.已知∠A ＝30°，BC ＝2，AF ＝BF ，则四边形BCDE 的面积是(A)A ．2 3B ．3 3C ．4D ．4 38．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，点Q 在对角线AC 上，且AQ ＝AD ，连接DQ 并延长，与边BC 交于点P ，连接AP ，则线段AP ＝(D)．A ．B ．C ．D二、填空题9.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 为AB 的中点，则CD ＝12AB.10.如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，且∠ADE ＝70°，则∠BDE 的度数为50°．11．如图，连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形EFGH ，还要添加AC ⊥BD 条件，才能保证四边形EFGH 是矩形．12.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，AE＝8，AC＝20，则BE＝4．13．如图，顺次连接矩形A1B1C1D1四边的中点得到四边形A2B2C2D2，再顺次连接四边形A2B2C2D2四边的中点得到四边形A3B3C3D3，…，按此规律得到四边形A n B n C n D n.若矩形A1B1C1D1的面积为24，则四边形A n B n C n D n的面积为242n－1．14．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC是矩形，A(－10，0)，C(0，3)，点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标是(－4，3)或(－1，3)或(－9，3)．三、解答题15．如图，AC，BD相交于点O，且O是AC，BD的中点，点E在四边形ABCD外，且∠AEC＝∠BED＝90°，求证：四边形ABCD是矩形．证明：连接EO，∵O是AC，BD的中点，∴AO＝CO，BO＝DO.∴四边形ABCD 是平行四边形．在Rt △EBD 中，∵O 为BD 的中点，∴EO ＝12BD.在Rt △AEC 中，∵O 为AC 的中点，∴EO ＝12AC.∴AC ＝BD.∴四边形ABCD 是矩形．16.如图，在矩形ABCD 中，过点B 作BE ∥AC 交DA 的延长线于点E ，求证：BE ＝BD.证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AC ＝BD ，AD ∥BC. 又∵BE ∥AC ，∴四边形AEBC 是平行四边形． ∴BE ＝AC. ∴BE ＝BD.17.已知：如图，M 为▱ABCD 的边AD 的中点，且MB ＝MC.求证：四边形ABCD 是矩形．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ＝CD ，AB ∥CD. ∴∠A ＋∠D ＝180°. 在△ABM 和△DCM 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AM ＝DM ，AB ＝DC ，BM ＝CM ，∴△ABM ≌△DCM(SSS)．∴∠A ＝∠D ＝90°. ∴四边形ABCD 是矩形．18.如图，在▱ABCD 中，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，点F 在边CD 上，CF ＝AE ，连接AF ，BF.(1)求证：四边形BFDE 是矩形；(2)若∠DAB ＝60°，AF 是∠DAB 的平分线，AD ＝3，求DC 的长度．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴DC ∥AB ，DC ＝AB. ∵CF ＝AE ，∴DF ＝BE. ∴四边形BFDE 是平行四边形． 又∵DE ⊥AB ，∴四边形BFDE 是矩形．(2)∵∠DAB ＝60°，AD ＝3，DE ⊥AB ， ∴AE ＝32，DE ＝3AE ＝332.∵四边形BFDE 是矩形，∴BF ＝DE ＝332.∵AF 平分∠DAB ，∴∠FAB ＝12∠DAB ＝30°.∴AB ＝3BF ＝92.∴CD ＝92.19.已知：如图，在矩形ABCD 中，AD ＝23，对角线AC 与BD 相交于点O ，BD ＝4，过点C作BD 的平行线，过点D 作AC 的平行线，两线相交于点E.(1)求DE 的长；(2)四边形OCED 的面积为解：∵DE ∥OC ，CE ∥DO ，∴四边形OCED 是平行四边形． ∵四边形ABCD 是矩形， ∴CO ＝DO.∴四边形OCED 是菱形． ∴DE ＝DO ＝12BD ＝2.20.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝16，AD ＝12，点E ，F 分别在边CD ，AB 上．(1)若DE ＝BF ，求证：四边形AFCE 是平行四边形； (2)若四边形AFCE 是菱形，求菱形AFCE 的周长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 为矩形， ∴AB ＝CD ，AB ∥CD. ∵DE ＝BF ， ∴AF ＝CE.∴四边形AFCE 是平行四边形． (2)∵四边形AFCE 是菱形， ∴AE ＝CE ＝CF ＝AF.∵AB ＝CD ，AB ＝16，∴CD ＝16. 设AE ＝CE ＝x ，则DE ＝CD －CE ＝16－x. ∵在Rt △ADE 中，AD 2＋DE 2＝AE 2， ∴122＋(16－x)2＝x 2.解得x ＝12.5. ∴C 菱形AFCE ＝4×12.5＝50.21.如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AO ＝OC ，BO ＝OD ，且∠AOB ＝2∠OAD.(1)求证：四边形ABCD 是矩形；(2)若∠AOB ∶∠ODC ＝4∶3，求∠ADO 的度数．解：(1)证明：∵AO ＝OC ，BO ＝OD ， ∴四边形ABCD 是平行四边形． ∵∠AOB ＝∠OAD ＋∠ADO ＝2∠OAD ， ∴∠OAD ＝∠ADO.∴AO ＝DO.∴AC ＝BD. ∴四边形ABCD 是矩形． (2)∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥CD.∴∠ABO ＝∠ODC. ∵∠AOB ∶∠ODC ＝4∶3， ∴∠AOB ∶∠ABO ＝4∶3.∴∠BAO ∶∠AOB ∶∠ABO ＝3∶4∶3. ∴∠ABO ＝180°×310＝54°.∵∠BAD ＝90°，∴∠ADO ＝90°－54°＝36°.22.已知：如图，在▱ABCD 中，BA ＝BD ，M ，N 分别是AD 和BC 的中点．求证：四边形BNDM 是矩形．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，BA ＝DC. ∵BA ＝BD ，∴BA ＝BD ＝DC. ∵M ，N 分别是AD 和BC 的中点， ∴BM ⊥AD ，DM ＝12AD ，BN ＝12BC.∴DM ＝BN.又∵DM∥BN，∴四边形BMDN是平行四边形．∵BM⊥AD，∴四边形BMDN是矩形．23.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC＋∠ADC ＝180°.(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若∠ADF∶∠FDC＝3∶2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．解：(1)证明：∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形．∴∠ABC＝∠ADC.又∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADC＝90°.∴四边形ABCD是矩形．(2)∵∠ADC＝90°，∠ADF∶∠FDC＝3∶2，∴∠FDC＝36°.∵DF⊥AC，∴∠DCO＝90°－36°＝54°.∵四边形ABCD是矩形，∴CO＝OD.∴∠ODC＝∠DCO＝54°.∴∠BDF＝∠ODC－∠FDC＝18°.24.如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.(1)判断OE与OF的大小关系，并说明理由；(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说明你的理由．解：(1)OE＝OF，理由如下：∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠ECB.∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠ECB.∴∠OEC＝∠ACE.∴OE＝OC.同理可得OC＝OF.∴OE＝OF.(2)当O为AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：∵OA＝OC，OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形．∵OE＝OC，∴OA＝OC＝OE＝OF.∴AC＝EF.∴四边形AECF是矩形．25.如图，将▱ABCD的边BA延长到点E，使AE＝AB，连接EC，交AD于点F，连接AC，ED.(1)求证：四边形ACDE是平行四边形；(2)若∠AFC＝2∠B，求证：四边形ACDE是矩形．证明：(1)∵在▱ABCD中，AB＝CD且AB∥CD，又∵AE＝AB，∴AE＝CD，AE∥CD.∴四边形ACDE是平行四边形．(2)∵在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠EAF＝∠B.又∵∠AFC＝∠EAF＋∠AEF，∠AFC＝2∠B，∴∠EAF＝∠AEF.∴AF＝EF.又∵在▱ACDE中，AD＝2AF，EC＝2EF，∴AD＝EC.∴四边形ACDE是矩形．26.如图，BD是矩形ABCD的对角线，点E，F分别在边AB，CD上．(1)如图1，若DE ，BF 分别是∠ADB ，∠CBD 的平分线，求证：四边形BEDF 是平行四边形；(2)如图2，若EF 所在直线是BD 的垂直平分线，EF 交BD 于点O. ①求证：四边形BEDF 是菱形；②若AB ＝6，AD ＝4，则EF 3解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥DC ，AD ∥BC.∴∠ADB ＝∠CBD. ∵DE 平分∠ADB ，BF 平分∠CBD ， ∴∠EDB ＝12∠ADB ，∠FBD ＝12∠CBD.∴∠EDB ＝∠FBD.∴DE ∥BF. ∴四边形BEDF 是平行四边形．(2)①证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴DF ∥BE. ∴∠OBE ＝∠ODF.∵EF 是BD 的垂直平分线， ∴BE ＝DE ，OB ＝OD.在△BOE 和△DOF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠OBE ＝∠ODF ，OB ＝OD ，∠BOE ＝∠DOF ，∴△BOE ≌△DOF(ASA)．∴EO ＝FO. ∴四边形BEDF 是平行四边形． ∵BE ＝DE ，∴四边形BEDF 是菱形．27.．如图，已知在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝6，点E ，F 分别是边AB ，BC 上的点，连接DE ，DF ，EF.(1)如图1，当CF ＝2BE ＝2时，求证：△DEF 是直角三角形； (2)如图2，若点E 是边AB 的中点，DE 平分∠ADF ，求BF 的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝90°，CD ＝AB ＝8，AD ＝BC ＝6.∵CF ＝2BE ＝2，∴BE ＝1.∴AE ＝AB －BE ＝7，BF ＝BC －CF ＝4.在Rt △ADE 中，DE 2＝AE 2＋AD 2＝72＋62＝85.在Rt △DCF 中，DF 2＝DC 2＋CF 2＝82＋22＝68.在Rt △BEF 中，EF 2＝BE 2＋BF 2＝12＋42＝17.∴DF 2＋EF 2＝DE 2.∴△DEF 是直角三角形．(2)作EH ⊥DF 于H ，则∠A ＝∠DHE ＝90°.∵DE 平分∠ADF ，∴∠ADE ＝∠HDE.在△AED 和△HED 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠DHE ，∠ADE ＝∠HDE ，DE ＝DE ，∴△AED ≌△HED(AAS)．∴DA ＝DH ＝6，EA ＝EH ＝4.∴EH ＝EB ＝4.在Rt △EHF 和Rt △EBF 中，⎩⎪⎨⎪⎧EF ＝EF ，EH ＝EB ，∴Rt △EHF ≌Rt △EBF(HL)．∴BF ＝HF.设BF ＝x ，则HF ＝x ，CF ＝6－x.∴DF ＝DH ＋HF ＝6＋x.在Rt △CDF 中，DC 2＋CF 2＝DF 2，∴82＋(6－x)2＝(6＋x)2.解得x ＝83.∴BF ＝83.28.已知：如图，在▱ABCD 中，AE ⊥BC ，CF ⊥AD ，E ，F 分别为垂足．求证：(1)△ABE ≌△CDF ；(2)四边形AECF 是矩形．证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠B ＝∠D ，AB ＝CD.在△ABE 和△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠B ＝∠D ，∠AEB ＝∠CFD ，AB ＝CD ，∴△ABE ≌△CDF(AAS)．(2)∵AE ⊥BC ，CF ⊥AD ，∴∠AEB ＝∠AEC ＝∠AFC ＝90°.∵AD ∥BC ，∴∠EAF ＝∠AEB ＝90°.∴∠EAF ＝∠AEC ＝∠AFC ＝90°.∴四边形AECF 是矩形．29．如图，在▱ABCD 中，点P 是AB 边上一点(不与A ，B 重合)，CP ＝CD ，过点P 作PQ ⊥CP ，交AD 边于点Q ，连接CQ.(1)若∠BPC ＝∠AQP ，求证：四边形ABCD 是矩形；(2)在(1)的条件下，当AP ＝2，AD ＝6时，求AQ 的长．解：(1)证明：∵PQ ⊥CP ，∴∠CPQ ＝90°.∴∠APQ ＋∠BPC ＝90°.∵∠BPC ＝∠AQP ，∴∠APQ ＋∠AQP ＝90°.∵∠APQ ＋∠AQP ＋∠A ＝180°，∴∠A ＝90°.又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是矩形．(2)∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D ＝∠CPQ ＝90°.在Rt △CDQ 和Rt △CPQ 中，⎩⎪⎨⎪⎧CQ ＝CQ ，CD ＝CP ， ∴Rt △CDQ ≌Rt △CPQ(HL)．∴DQ ＝PQ.设AQ ＝x ，则DQ ＝PQ ＝6－x.在Rt △APQ 中，AQ 2＋AP 2＝PQ 2.∴x 2＋22＝(6－x)2.解得x ＝83. ∴AQ 的长是83. 30.如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝∠ADC ，对角线AC ，BD 交于点O ，AO ＝BO ，DE 平分∠ADC 交BC 于点E ，连接OE.(1)求证：四边形ABCD 是矩形；(2)若AB ＝2，求△OEC 的面积．解：(1)证明：∵AD ∥BC ，∴∠ABC ＋∠BAD ＝180°，∠ADC ＋∠BCD ＝180°.∵∠ABC ＝∠ADC ，∴∠BAD ＝∠BCD.∴四边形ABCD 是平行四边形．∴OA ＝OC ，OB ＝OD.∵OA ＝OB ，∴AC ＝BD.∴四边形ABCD 是矩形．(2)过点O 作OF ⊥BC 于点F.∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝2，∠BCD ＝90°，AO ＝CO ＝BO ＝DO.∴BF ＝FC.∴OF 是△BCD 的中位线．∴OF ＝12CD ＝1. ∵DE 平分∠ADC ，∠ADC ＝90°，∴∠EDC ＝45°.在Rt △EDC 中，EC ＝CD ＝2.∴△OEC 的面积为12EC ·OF ＝1. 31.如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E ，F 分别为OB ，OD 的中点，延长AE 至G ，使EG ＝AE ，连接CG.(1)求证：△ABE ≌△CDF ；(2)当AB 与AC 满足什么数量关系时，四边形EGCF 是矩形？请说明理由．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，OB ＝OD ，OA ＝OC.∴∠ABE ＝∠CDF.∵点E ，F 分别为OB ，OD 的中点，∴BE ＝12OB ，DF ＝12OD. ∴BE ＝DF.在△ABE 和△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，∠ABE ＝∠CDF ，BE ＝DF ，∴△ABE ≌△CDF(SAS)．(2)当AC ＝2AB 时，四边形EGCF 是矩形．理由如下：∵AC ＝2OA ，AC ＝2AB ，∴AB ＝OA.∵E 是OB 的中点，∴AG ⊥OB.∴∠OEG ＝90°.同理可证CF ⊥OD.∴EG ∥CF.∵EG ＝AE ，OA ＝OC ，∴OE 是△ACG 的中位线．∴EF ∥CG.∴四边形EGCF 是平行四边形．∵∠OEG ＝90°，∴四边形EGCF 是矩形．1、在最软入的时候，你会想起谁。
北师大版2020九年级数学上册1.2矩形的性质与判定自主学习能力达标测试题2(附答案详解)
北师大版2020九年级数学上册1.2矩形的性质与判定自主学习能力达标测试题2（附答案详解）1．下列说法中，错误的是（ ）A ．一组邻边相等的平行四边形是菱形B ．对角线互相垂直的平行四边形是菱形C ．四条边相等的四边形是菱形D ．对角线相等且互相平分的四边形是菱形2．如图所示，在完全重合放置的两张矩形纸片ABCD 中，AB 4=，BC 8=，将上面的矩形纸片折叠，使点C 与点A 重合，折痕为EF ，点D 的对应点为G ，连接DG ，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．43B ．6C ．185 D ．3653．如图所示，矩形ABCD 的对角线交于O ，AE ⊥BD 于E ，∠1：∠2=2：1， 则∠1的度数为（ ）．A ．22．5°B ．45°C ．30°D ．60°4．如图，E 为矩形ABCD 的边AB 上一点，将矩形沿CE 折叠，使点B 恰好落在ED 上的点F 处，若BE=1，BC=3，则CD 的长为（ ）A ．6B ．5C ．4D ．35．一张矩形纸片 ABCD ，已知 AB ＝3，AD ＝2，小明按如图步骤折叠纸片，则线段 DG 长为（）6．如图，△ABC中，∠ABC＝∠BAC，D是AB的中点，EC∥AB，DE∥BC，AC与DE交于点O．下列结论中，不一定成立的是（）A．AC＝DE B．AB＝AC C．AD＝EC D．OA＝OE 7．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（）A．AB∥DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．OA=OC8．如果□ABCD的对角线相交于点O，那么在下列条件中，能判断□ABCD为矩形的是( ) A．∠OAB＝∠OBA B．∠OAB＝∠OBCC．∠OAB＝∠OCD D．∠OAB＝∠OADAG DB 9．如图，已知在ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，BD是对角线，//交CB延长线于G．若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形10．在一个直角三角形中，已知两直角边分别为6cm，8cm，则下列结论不正确的是（）A．斜边长为10cm B．周长为25cmC．面积为24cm2D．斜边上的中线长为5cm11．若直角三角形斜边上的高和中线分别是5cm和6cm，则斜边长为__________，面积为__________．12．平行四边形也是轴对称图形其对称轴也是对角线．（）13．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P，Q分别是直线BC，AB上的两个动点，AE=2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF，PD，则PF+PD的最小值是____．14．如图，把一个长方形纸条ABCD 沿AF 折叠，点B 落在点E 处．已知∠ADB ＝24°，AE ∥BD ，则∠AFE 的度数是__________15．如图，矩形ABCD 中，E 在AD 上，且EF EC ⊥，EF EC =，2DE =，矩形的周长为16，则AE 的长是______ ．16．在ABC ∆中，∠C=090，AC=12，BC=5，则AB 边上的中线CD =_______．17．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，斜边长为4，CD 为AB 边上中线，则222AC BC CD ++=__________．18．如图平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，且OA OB =，65OAD ∠=．则ODC ∠=________．19．如图所示，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠AOB=60°，AB=2，则矩形的对角线AC 的长是_____．20．如图，在矩形ABCD 中，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，连接CE ．若BC ＝7，AE ＝4，则CE ＝_____．21．如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E 是AC 的中点，连结BD ，DE ，BE ，EF⊥BD 于点F. 求证：DF ＝FB ．22．如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CO 是中线，延长CO 到D ，使DO=CO ，连接AD 、BD ．（1）画出图形，判断四边形ACBD 的形状，并说明理由．（2）过点O 作EO ⊥AB ，交BD 于点E ，若AB=5，AC=4，求线段BE 的长．23．为了庆祝建校八十周年，某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动，八年级(3)班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学制作手工作品的第一、二个步骤是：①先裁下了一张长BC ＝20 cm ，宽AB ＝16 cm 的长方形纸片ABCD ；②将纸片沿着直线AE 折叠，使点D 恰好落在BC 边上的F 处……请你根据①②步骤解答下列问题．(1)找出图中的∠FEC 的余角；(2)计算EC 的长．24．如图，在等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，AB CD =，点P 为BC 边上一动点，PE AB ⊥，PF CD ⊥，问PE PF +的值是否为一定值？若为一定值，求出这个定值；若不为定值，求出这个值的取值范围．25．矩形ABCD 中，DE 平分∠ADC 交BC 边于点E ，P 为DE 上的一点（PE ＜PD ），PM ⊥PD ，PM 交AD 边于点M ．（1）若点F是边CD上一点，满足PF⊥PN，且点N位于AD边上，如图1所示．求证：①PN=PF；②DF+DN=2DP；（2）如图2所示，当点F在CD边的延长线上时，仍然满足PF⊥PN，此时点N位于DA边的延长线上，如图2所示；试问DF，DN，DP有怎样的数量关系，并加以证明．26．在矩形ABCD中，BE平分∠ABC交CD边于点E．点F在BC边上，且FE⊥AE．（1）如图1，①∠BEC=_________°；②在图1已有的三角形中，找到一对全等的三角形，并证明你的结论；（2）如图2，FH∥CD交AD于点H，交BE于点M．NH∥BE，NB∥HE，连接NE．若AB=4，AH=2，求NE的长．27．如图，在△ABC中，O是AC上一动点（不与点A、C重合），过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）OE与OF相等吗？证明你的结论；（2）试确定点O的位置，使四边形AECF是矩形，并加以证明．28．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点，AE=CF，DF∥BE．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）若OD=OC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请直接给出你的结论，不必证明．参考答案1．D【解析】【分析】根据菱形的判定方法：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形．③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）进行分析即可．【详解】A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，说法正确；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，说法正确；C、四条边相等的四边形是菱形，说法正确；D、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故此选项错误．故选D．【点睛】此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握菱形的判定定理．2．C【解析】【分析】由于AF=CF，则在Rt△ABF中由勾股定理求得AF的值，证得△ABF≌△AGE，有AE=AF，即ED=AD-AE，再由直角三角形的面积公式求得Rt△AGE中边AE上的高的值，即可计算阴影部分的面积．【详解】由题意知，AF=FC，AB=CD=AG=4，BC=AD=8，在Rt△ABF中，由勾股定理知AB2+BF2=AF2，即42+（8-AF）2=AF2，解得AF=5，∵∠BAF+∠FAE=∠FAE+∠EAG=90°，∴∠BAF=∠EAG，∵∠B=∠AGE=90°，AB=AG，∴△BAF≌△GAE，∴AE=AF=5，ED=GE=3，∵S△GAE=12AG•GE=12AE•AE边上的高，∴AE边上的高=125，∴S△GED=12ED•AE边上的高=12×3×125=185，故选C．【点睛】本题考查了矩形的性质、翻折的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键.3．B【解析】∵四边形ABCD为矩形，AE⊥BD，∴∠2+∠ABD=∠ADB+∠ABD =∠EAD+∠ADB=90°，∴∠ADB=∠2，∠1+∠OAD+∠ADB=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴AO=OD，∴∠OAD=∠ADB=∠2，∴∠1+2∠2=90°，∵∠1：∠2=2：1，∴2∠2=∠1，∴2∠1=90°，∴∠1=45°，故选B.4．B【解析】【分析】先根据翻折变换的性质得出EF=BE=1,BC=CF=AD=3,可证得△AED≌△FDC 进而求得CD 的长.【详解】解:由题意得：E为矩形ABCD的边AB上一点，将矩形沿CE折叠，使点B恰好落在ED上的点F处，可得BE=EF=1,CF=BC=3,∠EFC=∠B=90oABCD为矩形，可得∠AED=∠CDF,在△AED与△FDC中有: AD=CF,∠A=∠DFC=90o,∠AED=∠CDF∴△AED≌△FDC,∴ED=CD,设CD 的长为x ，在Rt△EAD 中，有222ED AE AD =+,即:222(1)3x x =-+,解得;x=5，故答案为B.【点睛】本题主要考查矩形的性质和翻折变换后的性质，灵活证三角形全等是解题的关键.5．A【解析】解：∵AB =3，AD =2，∴DA ′=2，CA ′=1，∴DC ′=1．∵∠D =45°，∴DG ．故选A ．6．B【解析】A.连接AE ，CD ，则四边形ADCE 是平行四边形，因为∠ABC ＝∠BAC ，D 是AB 的中点，所以CD⊥AB，所以四边形ADCE 是矩形，所以AC=DE ，则A 成立；B.因为∠ABC ＝∠BAC ，D 是AB 的中点，所以CA=CB ，不能得到AB=AC ，则B 不一定成立；C.因为四边形ADCE 是矩形，所以AD=CE ，OA=OE ，则C ，D 成立，故选B.7．C【解析】矩形的性质有①矩形的两组对边分别平行且相等；②矩形的四个角都是直角；③矩形的两条对角线互相平分且相等．所以选项A ，B ，D 正确，C 错误.故选C.8．D【解析】【分析】①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．据此判断即可．【详解】对于选项A ，∵∠OAB=∠OBA，∴OA=OB，∴AC=BD.根据此条件，不能判断四边形ABCD是菱形，故A不符合题意.对于选项B，由∠OAB=∠OBC，不能判断四边形ABCD的邻边相等，故B不符合题意. 对于选项C，由∠OAB=∠OCD，可得AB∥CD，根据已知也可得此条件，故不符合题意. 对于选项D.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠OAB=∠ACD.∵∠OAB=∠OAD，∴∠DAC=∠DCA，∴AD=CD，∴四边形ABCD是菱形.故选D.【点睛】本题考查的是平行四边形，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键.9．B【解析】【分析】如图：先由菱形的性质得出AE=BE=DE，通过AD∥BC，AG∥BD，可证明四边形ADBG 是平行四边形，再通过角之间的关系求出∠2+∠3=90°即∠ADB=90°，所以判定四边形AGBD是矩形．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∵AG∥BD，∴四边形AGBD是平行四边形．∵四边形BEDF是菱形，∴DE=BE．∵AE=BE，∴AE=BE=DE．∴∠1=∠2，∠3=∠4．∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴2∠2+2∠3=180°．∴∠2+∠3=90°．即∠ADB=90°．∴四边形AGBD是矩形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的基本性质和矩形的判定．有一个角是直角的平行四边形是矩形.熟练掌握矩形的判定定理是解题关键.10．B【解析】试题解析：∵在一个直角三角形中，已知两直角边分别为6cm，8cm，∴直角三角形的面积=12×6×8=24cm2，故选项C不符合题意；∴斜边226810cm，=+=故选项A不符合题意；∴斜边上的中线长为5cm，故选项D不符合题意；∵三边长分别为6cm，8cm，10cm，∴三角形的周长=24cm，故选项B符合题意，故选B．点睛：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半. 11．12cm230cm【解析】∵直角三角形斜边中线是6cm，高是5cm，∴斜边是12cm，面积是：2112530cm 2⨯⨯=． 12．× 【解析】平行四边形不是但是特殊的平行四边形，如矩形、菱形、正方形等是轴对称图形，但一般的平行四边形不是轴对称图形，所以原语句是错误的.13．8【解析】【分析】如图作点D 关于BC 的对称点D′，连接PD′，ED′，由DP=PD′，推出PD+PF=PD′+PF ，又EF=EA=2是定值，即可推出当E 、F 、P 、D′共线时，PF+PD′定值最小，最小值=ED′﹣EF ．【详解】如图作点D 关于BC 的对称点D′，连接PD′，ED′，在Rt △EDD′中，∵DE=6，DD′=8，∴ED′=2268+=10，∵DP=PD′，∴PD+PF=PD′+PF ，∵EF=EA=2是定值，∴当E 、F 、P 、D′共线时，PF+PD′定值最小，最小值=10﹣2=8，∴PF+PD 的最小值为8，故答案为8．【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称，根据两点之间线段最短解决最短问题.14．33°【解析】【分析】设BD 交EF 于G ．由折叠的性质可知，∠E=∠ABF=90°∠AFB=∠AFE ，由平行线的性质可知：∠BGF=∠E=90°，∠DBC=∠ADB=24°．在Rt △BGF 中，由2∠AFE+∠DBC=90°，即可得出结论．【详解】解：设BD 交EF 于G ．由折叠的性质可知，∠E=∠ABF=90°∠AFB=∠AFE ．∵AE ∥BD ，∴∠BGF=∠E=90°．∵AD ∥BC ，∴∠DBC=∠ADB=24°．在Rt △BGF 中，2∠AFE+∠DBC=90°，∴2∠AFE=90°－24°=66°，∴∠AFE=33°．故答案为33°．【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质以及平行线的性质和直角三角形的两锐角互余．解题的关键是得到△BGF 为直角三角形．15．3【解析】【分析】设CD x =，根据矩形的性质得出AB CD =，AD BC =，90A D ∠=∠=︒，求出AFE DEC ∠=∠，证AFE DCE ≅，推出AE DC x ==，求出2AD BC x ==+，得出方程()2216x x ++=，求出即可.【详解】设CD x =，四边形ABCD 是矩形，∴AB CD =，AD BC =，90A D ∠=∠=︒，EF EC ⊥，∴90FEC ∠=︒，∴90AFE AEF ∠+∠=︒，90AEF DEC ∠+∠=︒，∴AFE DEC ∠=∠，在AFE △和DCE 中，AFE DEC A D EF EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AFE DCE ≅()AAS ，∴AE DC x ==，2DE =，∴2AD BC x ==+，矩形ABCD 的周长为16，∴()2216x x ++=，3x =，即3AE =.故答案为：3.【点睛】本题考查了三角形内角和定理，矩形性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是推出AE CD =.16．6.5【解析】【分析】先求斜边，再根据斜边上中线等于斜边一半可得.【详解】由勾股定理可得：13=,所以AB 上的中线长：13÷2=6.5故答案为：6.5【点睛】本题考核知识点：直角三角形斜边上的中线. 解题关键点：熟记性质即可.17．20 【解析】由∠C=90°，CD为斜边AB中线，则CD=12AB=2，由勾股定理，得AC2+BC2=AB2，则AC2+BC2+CD2=AB2+CD2=42+22=20.故答案为20.点睛：本题考查勾股定理及直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质.18．25°【解析】【分析】由平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA OB=，易证得四边形ABCD是矩形，继而可求得答案.【详解】四边形ABCD是平行四边形，∴OA OC=，OB OD=，OA OB=，∴OA OB OC OD===，∴四边形ABCD是矩形，∴90ADC∠=︒，65ODA OAD∠=∠=︒，∴25ODC ADC ODA∠=∠-∠=︒.故答案为：25︒.【点睛】此题考查了矩形的判定与性质，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.19．4【解析】【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，22AC AO BD BO AC BD∴===，，，AO OB ∴=，60AOB ∠=︒，AOB ∴是等边三角形，2AB AO ∴==，即24AC AO ==，故答案为4．20．5【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，AD=BC ，AB=CD ，∠D=90°.∴∠AEB=∠CBE.∵BE 平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠ABE=∠AEB，∴AE=AB.∴CD=AE=4，DE=AD-AE=BC-AE=7-4=3.在Rt △CDE 中，根据勾股定理得5==.故答案为5.21．见解析【解析】【分析】根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得DE ＝12AC ，BE ＝12AC ，即可得DE=BE.再由等腰三角形三线合一的性质即可证得结论.【详解】∵∠ABC ＝∠ADC ＝90°，E 是AC 的中点，∴DE ＝12AC ，BE ＝12AC. ∴DE ＝BE.又∵EF ⊥BD ，∴DF ＝FB.【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半及等腰三角形三线合一的性质，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半证得DE=BE 是解决问题的关键.22．（1）结论：四边形ACBD 是矩形．理由见解析；（2）258. 【解析】 分析：（1）先证明四边形ACBD 是平行四边形，再证明是矩形．（2）利用BOE BDA ∽得BE BO AB BD=， 即可解决问题． 详解：(1)结论：四边形ACBD 是矩形,理由：∵OB =OA ，OC =OD ，∴四边形ACBD 是平行四边形，∵90ACB ∠=，∴四边形ACBD 是矩形。