人教B版高中数学课件 选修2-2：第三章 数系的扩充与复数的引入 1.1《数系的扩充与复数的概念》
例1: 下列三个命题:
（1）不全为实数的两个复数不能比较大小; （2）若 x, y C,则 x yi 1 i 的充要条件是x y 1 （3）纯虚数相对复数集的补集是虚数集. 其中真命题的个数是 （ ） 答案:1
例2: 请说出复数
1 1 2 3i，-3 i，- i，- 3 2 3 5i
1.复数的代数形式：通常用字母 z 表示，即
z a bi
实部 虚部
其中
i 称为虚数单位.
说出下列复数的实部和虚部:
2 1 0， ，－2＋ i， 2 i， 3i ，i. 2 3
2.复数的分类：
实数 b 0 非0实数(a 0，b 0) 复数z a bi b0 纯虚数 a 0， ( a, b R ) b 0 虚数 非纯虚数 a 0， b0
a bi c di
注：1)
若a, b, c, d R,
a bi 0 a 0 且 b 0
2) 一般来说，两个复数只能说相等或不相
等，而不能比较大小.
(1) i 与 1 的关系: i 1 ,即方程 x 1 的两 个根为 i 和 i . 4 n 1 4 n 2 4 n 3 4n i i,i 1,i i,i 1. (2)的周期性: (3)复数与实数、虚数、纯虚数及 的关系:
6 .若满足方程 x2 2x 3 (9 y 2 6 y 1)i 0 ( x R, y R) , 则 x , y 的值是______. 7 . 若方程 x2 (m 2i) x (2 mi) 0 至少有一个实数根 , 试求实数 m 的值.
答案: 1 .实数有: 8 0i,6,0 ;
必做题答案:
x 3 x 1 2 x 2x 3 0 6 .由题意知 2 ∴ 1 或 1. y 9 y 6 y 1 0 y 3 3 7 .解:方程化为 ( x2 mx 2) (2 x m)i 0
你了解"数"的发展史吗?
通过观看视频，大家一起讨论一下我们应该 如何理解"数"的发展呢？
求下列方程的解: (1)2 x 4 (2) x2 4 0
(4) x2 2 0
(3)3x 1 0
(3) x
(5) x2 1 0 ．
1 (1) x 2 (2) x 2或x 2 3 （5）实数集内无解 (4) x 2或x 2
N Z RQ
合情推理，类比扩充
一元二次方程 范围内的解是 ？
x 1
2
在实数集
我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集 中，该问题能得到圆满解决呢？
引入新数，完善数系
引入一个新数：
规定
问题解决:
为了解决负数开平方问题，数学家大胆引入 一个新数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且规定： (1) i 21； (2)实数可以与 i 进行四则运算,在进行四则 运算时,原有的加法与乘法的运算律(包括交换 律、结合律和分配律)仍然成立.
2
P 1,3 . M P 3 ,则实数 m 的值为
2 .设 m R , (m 1) (2 m)i x ,则 m
取值范围是 .
. ,x的
3 .设复数 z log2 (m2 3m 3) ilog2 (3 m) ,其中 m R ,如
果 z 是纯虚数,求 m 的值.
转化
x与 y .
求方程组的解 的问题
一种重要的数学思想：转化思想
解：根据复数相等的定义，得方程组
5 2 x 1 y 得 x ,y4 2 1 ( 3 y )
适合 x 3i (8x y)i 的实数 x， y 的
值为
.
1.虚数单位i的引入； 2.复数有关概念：
现在我们就引入这样一个数 i ，把 i 叫做虚数单位，
并且规定： （1）i21； （2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运 算时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结 合率和分配率)仍然成立.
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用 字母C表示 .
的实部和虚部，有没有纯虚数
0，- 3 答案:它们都是虚数,它们的实部分别是 2，-3，
1 1 1 虚部分别是3， ，- ，- 5, 纯虚数是:- i . 3 2 3
请说出复数
2 3i，0,isinπ，i ，5+ 2i，6i
2
的实部和虚部，并指出哪些是实数，哪些 是虚数，哪些是纯虚数。
0， 1 ，5,0 答案:它们的实部分别是 2， 虚部分别是3，0,sinπ，0，2，6 , 2 2 2 3i ， 0, isin π ， i ，5+ 2i，6i 实数是: 0,i 虚数是: 纯虚数是: isinπ，6i .
选做题答案:
1 .解:由题设知 3 M ,∴ (m2 3m 1) (m2 5m 6)i 3
m 2 3m 1 3 m 4或m 1 ∴ 2 ∴ ∴ m 1 . m 5m 6 0 m 6或m 1
2 . 2 ; (,1) .
复数的代数形式: z a bi (a R, b R) 复数的实部 、虚部 虚数、纯虚数 复数相等 a bi c di
1 .指出下列复数哪些是实数、虚数、纯虚数, 是虚数的找 出其实部与虚部.
2 3i , 8 4i , 8 0i , 6 , i , (2 9i) ( 2 1) , 7i , 0 . 3
x 2 mx 2 0 ∴ 2 x m 0
m m2 m2 2 0 ,∴ m2 8 ,∴ m 2 2 . ∴ x ,∴ 2 4 2
பைடு நூலகம்
选做题:
1 .已知集合 M 1, 2, (m 2 3m 1) ( m 2 5m 6)i ,集合
即 m 1 时，复数z 是 纯虚数．
当m为何实数时，复数
m2 m 6 2 z (m 2m 15)i m3
（1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数
例4: 已知 (2 x 1) i y (3 y )i ， 其中 x, y R, 求 解题思考： 复数相等 的问题
虚数集
0(a 0，b 0)
复数集 实数集
纯虚数集
复数集C和实数集R之间有什么关系？
R C
N
Z
Q
R
C
说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数， 哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部.
2 7 , 0.618,
i , i1 3 ,
2
2 i, 0 7
3 9 2i,
5i +8.
3.规定：如果两个复数的实部和虚部分别相等， 那么我们就说这两个复数相等．
内容： 1、了解数学的扩充和历史； 2、了解复数的引入背景和复数的意义； 3、理解并掌握复数的有关概念.
应用: 1、复数的概念 2、复数的意义 3、利用复数的相等解决问题
本课主要学习数系的扩充与复数的概念。以一段 视频"数"的发展史引入新课，在原来数系不够用的前 提下引入新数，完善数系.强调复数的概念、意义及两 个复数相等的含义。针对复数及其相关概念所解决的 两类问题给出4个例题和变式，通过解决具体问题，强 调正确理解复数概念的重要性。重点是复数及其相关 概念，能区分虚数与纯虚数，明白各数系的关系. 难点是对复数及其相关概念的理解. 在讲述复数的应用时，采用例题与变式结合的方 法，通过例 1 、例 2 和例 3 巩固复数的概念。通过例 4 巩 固掌握两个复数相等的含义。采用一讲一练针对性讲 解的方式，重点理解复数的概念及复数的应用。
2
2
0
正实数(a 0) 实数（ b =0 ） 实 数 0(a 0) 负实数(a 0) 复数z a bi(a, b R ) 纯虚数(a 0) 虚数（b 0） 非纯虚数(a 0)
(4)复数所构成的集合叫做复数集,用 C 表示.
4 . 复数 (2 x2 5x 2) ( x2 x 2)i 为虚数 , 则实数 x 满足 ( ) 1 1 C . x 2 A . x B . x 2或 2 2 D . x 2且x 1 5 . 已知 x , y 均是实数 , 若 (3x 2 y) (5x y)i 17 2i , 则 x , y 的值是______.
例3: 实数m取什么值时，复数
z m 1 (m 1)i
（1）实数？ （2）虚数？（3）纯虚数？
解: （1）当 m 1 0，即 （2）当 m 1 0 ，即
m 1时，复数z 是实数． m 1 时，复数z 是虚数．
m 1 0 （3）当 m 1 0
必做题:
2 . 设 a , b R . “ a 0 ”是“复数 a bi 为纯虚数”的 ( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 3 . 判断 : ①两个复数若虚部都是 3 , 则实部大的那个复数 较大. ②复平面内, 所有纯虚数都落在虚轴上, 所有虚轴 上的点都是纯虚数.
2 m 3m 3 1 2 log 2 ( m 3m 3) 0 3 .解:由题意知 ∴ 3 m 1 log 2 (3 m) 0 3 m 0
m 3m 4 0 m 4或m 1 ∴ ∴ ∴ m 1 . m 3且m 2 m 2且m 3
2 3i ,8 4i,i,( 2 9i) ( 2 1),7i ; 虚数有: 3 纯虚数有: i, 7i . 2 ,8,0, 2 ( 2 1),0 ; 虚部分别 其中虚数的实部分别是 : 3 3 , 4,1, 9 ( 2 1),7 . 是: 3
2016-2017学年高中数学人教B版选修2-2课件 第三章 数
如果(x＋y)i＝x－1，则实数 x，y 的值分别为( A．x＝1，y＝－1 C．x＝1，y＝0
)
B．x＝0，y＝－1 D．x＝0，y＝0
【解析】 ∵(x＋y)i＝x－1，
x＋y＝0， ∴ x－1＝0，
(4) 如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于 0 ，那么这两个复数相 等．( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)√
2．下列命题： ①若 a∈R，则(a＋1)i 是纯虚数； ②若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i(x∈R)是纯虚数，则 x＝± 1； ③两个虚数不能比较大小． 其中正确命题的序号是__________．
【解析】 当 a＝－1 时，(a＋1)i＝0，故①错误；两个虚数不能比较大小， 故③对；若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i 错． 【答案】 ③
2 x －1＝0， 是纯虚数，则 2 x ＋3x＋2≠0，
即 x＝1，故②
教材整理 2 两个复数相等的充要条件 阅读教材 P85 练习以上内容，完成下列问题． 在复数集 C＝{a＋bi|a，b∈R}中，任取两个复数 a＋bi，c＋di(a，b，c，d
[ 再练一题] 1．下列命题中是假命题的是( A．自然数集是非负整数集 B．实数集与复数集的交集为实数集 C．实数集与虚数集的交集是{0} D．纯虚数集与实数集的交集为空集 【解析】 复数可分为实数和虚数两大部分，虚数中含有纯虚数，因此， ) 【导学号：05410058】
实数集与虚数集没有公共元素，C 是假命题． 【答案】 C
复数的分类 (1)复数 z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是(
高中数学(人教B版 选修2-2)课件第3章 数系的扩充与复数 3.2.2、3.2.3精选ppt课件
复数的运算 复数的乘法 复数的除法
学 业 分 层 测 评
1．理解复数的乘除运算法则． 2．会进行复数的乘除运算．(重点) 3 ． 掌握 虚数 单 位 “i”的 幂 值的 周期 性 ，并 能应 用 周期 性进 行 化简 与 计算．(难点) 4．掌握共轭复数的运算性质．(易混点)
解得 a b＝ ＝4 3，
或 a b＝ ＝－ －4 3， .
∴z1＝4＋3i 或 z1＝－4－3i.
【答案】 4＋3i或－4－3i
复数代数形式的除法运算 1 1＋ －i i 3 2＝(
)
A．1＋i
C．－1＋i
B．1－i D．－1－i
(2)i 是虚数单位，复数3 7 ＋ ＋ 4 ii＝(
设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)， z z1 2＝a c＋ ＋d bi i＝________________________.
【答案】
1.1
倒数
1 z
a2＋a b2－a2＋b b2i
z |z|2
2.acc2＋＋bdd2 ＋bcc2－＋add2 i
[ 质疑· 手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
)
A．－3＋i
B．－1＋3i
C．－3＋3i
D．－1＋i
【解析】 按照复数乘法运算法则，直接运算即可．(－1＋i)(2－i)＝－1＋
3i.
【答案】 B
2．在复平面内，复数 z＝12 ＋ i i(i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于(
)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【解析】 z＝12＋i i＝12＋ii1－1－i i＝1＋i 的共轭复数为 1－i，对应的点为(1， －1)，在第四象限．
高中数学第三章数系的扩充与复数本章整合课件新人教B版选修2_2
专题一
专题二
专题三
应用 1 设复数 z=x+yi(x,y∈R)满足 z· ������ + (1 − 2i)������ + (1 + 2i)������≤3,求|z|的最大值和最小值.
提示：先求复数z对应的点的轨迹,|z|表示复数z对应的点到坐标 原点的距离,结合图形易求|z|的最值.
1 3 ± i 2 2
3
1
3
1
= −1;
专题一
专题二
专题三Biblioteka (5)复数除法运算有如下技巧:
������ + ������i (������ + ������i)i = ������-������i (������-������i)i (������ + ������i)i = i, 利用此结论可使一些特殊的计算过程简化. ������ + ������i
(3)设 ω=− 2 ± 2 i, 则������3 = 1, ������2 = ������, 1 + ������ + ������2 = 0, ������ = ������2, ������3������ = 1, ������3������ + 1 = ������(������∈N+)等; (4)
第三章 数系的扩充与复数 本章整合
专题一
专题二
专题三
专题一 复数运算及技巧 复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加、减、乘、除,加减 法是对应实、虚部相加减,而乘法类比多项式乘法,除法类比根式 的分子、分母有理化,要注意i2=-1. 在运算的过程中常用来降幂的公式有: (1)i的乘方,i4k=1,i4k+1=i,i4k+2=-1,i4k+3=-i(k∈Z); (2)(1±i)2=±2i;
2016-2017学年高中数学新人教版选修2-2课件：第三章 数系的扩充与复数的引入3.1.2复数的
方法技巧 复数与函数的综合应用
对于求复数的题目，一般的解题思路是： 先设出复数的代数形式，如z＝a＋bi(a，b∈R)，利用题目给出的条件，结 合复数的相关概念和性质，列出方程(或方程组)，求出a，b，最后将复数的 代数形式写出来. 例4 已知f(z)＝|2＋z|－z，且f(－z)＝3＋5i，求复数z.
12345
2.在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中
点，则点C对应的复数是( A.4＋8i
)C B.8＋2i
C.2＋4i
D.4＋i
解析 由题意知点A的坐标为(6,5)，点B的坐标为(－2,3). 由中点坐标公式，得线段AB的中点C的坐标为(2,4)， 故点C对应的复数为2＋4i.
答案 返回 第十页，编辑于星期五：十七点 一分。
题型探究
重点突破
题型一 复数与复平面内的点 例1 在复平面内，若复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i对应的点：(1)在虚 轴上；(2)在第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直线y＝x上，分别求实数m 的取值范围.
反第思十与一页感，悟编辑于星期五：十解七点析一答分。案
圆环，并且包括圆环的边界.
反思第十与六页感，悟编辑于星期五：十七解点析一答分。案
2π
解析 设z＝x＋yi(x，y∈R)， 则z－i＝x＋yi－i＝x＋(y－1)i， ∴|z－i|＝ x2＋y－12， 由|z－i|≤ 2知 x2＋y－12≤ 2，x2＋(y－1)2≤2.
解析答案 第十八页，编辑于星期五：十七点 一分。
题型三 复数的模及其应用
例3 已知复数z＝3＋ai，且|z|<4，求实数a的取值范围. 解 方法一 ∵z＝3＋ai(a∈R)， ∴|z|＝ 32＋a2，
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在实数集
范围内的解是 ？
我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集 中，该问题能得到圆满解决呢？
引入新数，完善数系
引入一个新数：
规定
问题解决:
为了解决负数开平方问题，数学家大胆引入 一个新数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且规定：
(1) i 21； (2)实数可以与 i 进行四则运算,在进行四则 运算时,原有的加法与乘法的运算律(包括交换 律、结合律和分配律)仍然成立.
求下列方程的解:
(1)2x 4
(2)x2 4 0
(4)x2 2 0
(5)x2 1 0 ．
(3)3x 1 0
(1)x 2
(2)x 2或x 2
(3)x 1 3
(4)x 2或x 2
（5）实数集内无解
如何使方程（5）有解呢?类比引进 2 ,就可以解
3 .判断:①两个复数若虚部都是 3 ,则实部大的那个复数
较大.
②复平面内,所有纯虚数都落在虚轴上,所有虚轴
上的点都是纯虚数.
4 .复数 (2x2 5x 2) (x2 x 2)i 为虚数,则实数 x 满足
()
A. x1 2
B . x 2或 1 2
C . x 2
7 .若方程 x2 (m 2i)x (2 mi) 0 至少有一个实数根,
试求实数 m 的值.
答案: 1.实数有: 8 0i,6,0;
虚数有: 2 3i ,8 4i,i,(2 9i) ( 2 1),7i ;
3
纯虚数有: i,7i .
其中虚数的实部分别是: 2 ,8,0, 2 ( 2 1),0 ; 虚部分别
1.复数的代数形式：通常用字母 z 表示，即
高中数学选修2-2课件3.1.1《数系的扩充与复数的概念》课件
规定:两复数 a bi 与 c di (a, b, c, d R)
相等的充要条件是 a c 且 b d .
复数的发展史 虚数这种假设,是需要勇气的,人们在当时是无法接受
的,认为她是想象的,不存在的,但这丝毫不影响数学家对虚 数单位 i 的假设研究:第一次认真讨论这种数的是文艺复兴 时期意大利有名的数学“怪杰”卡丹，他是 1545 年开始讨 论这种数的，当时复数被他称作“诡辩量”.几乎过了 100 年，笛卡尔才给这种“虚幻之数”取了一个名字——虚数．但 是又过了 140 年，欧拉还是说这种数只是存在于“幻想之 中”，并用 i（imaginary，即虚幻的缩写）来表示它的单位. 后来德国数学家高斯给出了复数的定义，但他们仍感到这种 数有点虚无缥缈，尽管他们也感到它的作用．1830 年，高 斯详细论述了用直角坐标系的复平面上的点表示复数 a bi ，使复数有了立足之地,人们才最终承认了复数.到今 天复数已经成为现代科技中普遍运用的数学工具之一.
并且其中只有 0.2i 是纯虚数.
显 然,实 数 集R是 复 数 集 C的 真 子 集,即R C. 这 样,复 数z a bi 可 以
虚数集 复数集 纯虚数集 实数集
分 类 如 下:
图3.1 1
复 数z
实数b 0,
虚数b 0,当a 0时为纯虚数.
复数集,实数集,虚数集,纯虚数集之间的关系, 可 用 图3.1 1表 示.
对于复数a bi,当且仅当b 0时,它是实数; 当且仅当a b 0时,它是实数0;
当b 0时,叫做虚数; 当a 0,且b 0时,叫做纯虚数.
例如,3 2i, 1 3i, 3 1 i,0.2i都是虚数,
2
2
它们的实部分别是3, 1, 3,0,
人教版数学 选修1-2 1 数系的扩充和复数的概念(共14张ppt)教育课件
: 其实兴趣真的那么重要吗？很多事情我 们提不 起兴趣 可能就 是运维 我们没 有做好 。想想 看，如 果一件 事情你 能做好 ，至少 做到比 大多数 人好， 你可能 没有办 法岁那 件事情 没有兴 趣。再 想想看 ，一个 刚来到 人世的 小孩， 白纸一 张，开 始什么 都不会 ，当然 对事情 开始的 时候也 没有 兴趣这 一说了 ，随着 年龄的 增长， 慢慢的 开始做 一些事 情，也 逐渐开 始对一 些事情 有兴趣 。通过 观察小 孩的兴 趣，我 们可以 发现一 个规律 ，往往 不是有 了兴趣 才能做 好，而 是做好 了才有 了兴趣 。人们 总是搞 错顺序 ，并对 错误豪 布知晓 。尽管 并不绝 对是这 样，但 大多数 事情都 需要熟 能生巧 。做得 多了， 自然就 擅长了 ；擅长 了，就 自然比 别人做 得好； 做得比 别人好 ，兴趣 就大起 来，而 后就更 喜欢做 ，更擅 长，更 。。更 良性循 环。教 育小孩 也是如 此，并 不是说 买来一 架钢琴 ，或者 买本书 给孩子 就可以 。事实 上，要 花更多 的时间 根据孩 子的情 况，选 出孩子 最可能 比别人 做得好 的事情 ，然后 挤破脑 袋想出 来怎样 能让孩 子学会 并做到 很好， 比一般 人更好 ，做到 比谁都 好，然 后兴趣 就自然 出现了 。
有些人经常做一些计划，有的计划几乎 不去做 或者做 了坚持 不了多 久。其 实成功 的关键 是做很 坚持。 上帝没 有在我 们出生 的时候 给我们 什么额 外的装 备，也 许你对 未来充 满迷惑 ，也许 你觉得 是在雾 里看花 ，但是 只要我 们不停 的去做 ，去实 践，总 是可以 走到一 个鲜花 盛开的 地方， 也许在 那个时 候，你 就能感 受到什 么叫柳 暗花明 。走向 成功的 过程就 好像你 的起点 是南极 ，而成 功路径 的重点 在北极 。那么 无论你 往哪个 方向走 ，只要 中途的 方向不 变，最 终都会 到达北 极，那 就在于 坚持。
人教版-数学-高二-数学人教B版选修2-2本章整合 第三章数系的扩充与复数
本章整合知识网络专题探究专题一 复数的概念及几何意义复数的概念是复数的基本内容，是解决复数问题的基础．在解决与复数概念相关的问题时，复数问题实数化是求解的基本策略，“桥梁”是设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，依据是“两个复数相等的充要条件”．此外，这类问题还常以方程的形式出现，与方程的根有关，这时将已知根代入(或设出后代入)，利用复数相等的充要条件再进行求解．复数的几何意义实质是复数与复平面上的点以及从原点出发的向量建立了一一对应关系，因此还常常利用数形结合的思想来解决复数问题．【例1】 设复数z ＝(1＋i)m 2－(2＋4i)m －3＋3i.试求当实数m 取何值时：(1)z 是实数；(2)z 是纯虚数；(3)z 对应的点在直线x ＋y ＝0上；(4)|z |＝0；(5)z ＝－3＋i.解：z ＝(1＋i)m 2－(2＋4i)m －3＋3i ＝(m 2－2m －3)＋(m 2－4m ＋3)i.①因为z 是实数，所以m 2－4m ＋3＝0，解得m ＝1或m ＝3.②因为z 是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3＝0，m 2－4m ＋3≠0， 解得m ＝－1；③由于z 对应的点在直线x ＋y ＝0上，所以(m 2－2m －3)＋(m 2－4m ＋3)＝0，解得m ＝0或m ＝3.④因为|z |＝0，所以z ＝0，因此⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3＝0，m 2－4m ＋3＝0. 解得m ＝3.⑤因为z ＝－3＋i ，所以z ＝－3－i ，因此⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3＝－3，m 2－4m ＋3＝－1.解得m ＝2. 【例2】 若△ABC 中，A ，B 两顶点对应的复数分别为1＋i 与 3－i ，且△ABC 是以C 为直角顶点的等腰直角三角形，求C 点对应的复数．解：设C 点对应的复数为z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )．由于△ABC 是以C 为直角顶点的等腰直角三角形，所以|AC →|＝|BC →|，AC →⊥BC →，因此有⎩⎪⎨⎪⎧ (x －1)2＋(y －1)2＝(x －3)2＋(y ＋1)2，(x －1)(x －3)＋(y －1)(y ＋1)＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.即C 点对应的复数是1－i 或3＋i.专题二 复数的运算历年高考对复数的考查，主要集中在复数的运算，尤其是乘除运算上，熟练掌握复数的乘法法则和除法法则，熟悉常见的结论是迅速准确求解的关键．复数的加法与减法运算有着明显的几何意义，因此有些问题可结合加法与减法的几何意义进行求解．要熟练掌握除法运算的“分母实数化”法则，将除法运算转化为乘法运算进行．【例3】 计算：(1)(2＋2i )4(1－3i )5； (2)－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 014. 解：(1)(2＋2i )4(1－3i )5＝24(1＋i )4(－2)5⎝⎛⎭⎫－12＋32i 5＝－24(2i )225⎝⎛⎭⎫－12＋32i 2＝2⎝⎛⎭⎫－12＋32i ＝－1＋3i.(2)－23＋i1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 014＝(－23＋i )i (1＋23i )i ＋21 007(－2i )1 007＝(－23＋i )i i －23－1i 1 007＝i －1－i＝i －i ＝0.【例4】 已知复数z 1＝15－5i (2＋i )2，z 2＝a －3i(a ∈R )． (1)若a ＝2，求z 1·z 2；(2)若z ＝z 1z 2是纯虚数，求a 的值． 解：由于z 1＝15－5i (2＋i )2＝15－5i 3＋4i ＝(15－5i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝25－75i 25＝1－3i. (1)当a ＝2时，z 2＝2－3i ，∴z 1·z 2＝(1－3i)·(2＋3i)＝2＋3i －6i ＋9＝11－3i.(2)若z ＝z 1z 2＝1－3i a －3i ＝(1－3i )(a ＋3i )(a －3i )(a ＋3i )＝(a ＋9)＋(3－3a )i a 2＋9为纯虚数，则应满足 ⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋9a 2＋9＝0，3－3a a 2＋9≠0，解得a ＝－9.即a 的值为－9.专题三 转化与化归思想在解决有关复数的问题中代入法、转化与化归思想就是将复数问题化归为实数问题，或将其转化为平面直角坐标系下的轨迹问题，就可降低解题难度，简化解题过程；反过来，有时将实数、几何问题、三角问题化归为复数问题，也可使问题迎刃而解．【例5】 已知|z －4|＝4且z ＋16z∈R ，则复数z ＝________. 解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则由已知，得⎩⎨⎧ (a －4)2＋b 2＝16，b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16a 2＋b 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝8，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝23，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2 3. 因此z ＝0(舍去)或z ＝8或z ＝2±23i.答案：8或2±23i【例6】 设关于x 的方程x 2－(tan θ＋i)x －(2＋i)＝0.(1)若方程有实数根，求锐角θ和实数根；(2)证明：对任意的θ≠2k π＋π2(k ∈Z )，方程无纯虚数根． 解：(1)设实数根是a ，则a 2－(tan θ＋i)a －(2＋i)＝0，即a 2－a tan θ－2－(a ＋1)i ＝0.∵a ，tan θ∈R ，∴a 2－a tan θ－2＝0且a ＋1＝0，∴a ＝－1且tan θ＝1，又∵θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴θ＝π4. (2)设方程存在纯虚数根为b i(b ∈R ，b ≠0)，则(b i)2－(tan θ＋i)b i －(2＋i)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－b 2＋b －2＝0，b tan θ＋1＝0，此方程组无实数解， ∴对任意的θ≠2k π＋π2(k ∈Z )，方程无纯虚数根． 专题四 数形结合思想(1)复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数运算的几何意义，复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题；(2)任何一个复数z ＝a ＋b i 与复平面内的一点Z (a ，b )对应，而任一点Z (a ，b )又可以与以原点为起点，点Z (a ，b )为终点的向量OZ →对应，这些对应都是一一对应，由此得到复数的几何解法，特别注意|z |，|z －a |的几何意义——距离；(3)复数加减法几何意义的实质就是平行四边形法则和三角形法则．由减法的几何意义知|z －z 1|表示复平面上两点Z ，Z 1间的距离(复数z ，z 1对应的点分别为Z ，Z 1)；(4)复数形式的基本轨迹：①|z －z 1|＝r 表示复数z 对应的点的轨迹是以z 1对应的点为圆心，半径为r 的圆，单位圆|z |＝1；②|z －z 1|＝|z －z 2|表示以复数z 1，z 2的对应点为端点的线段的垂直平分线．【例7】 若z ∈C ，且|z ＋2－2i|＝1，则|z －2－2i|的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：法一：由|z ＋2－2i|＝1，复数z 对应的点在以(－2,2)为圆心，半径为1的圆上．|z －2－2i|＝|z －(2＋2i)|表示圆上点Z 到A (2,2)距离的最小值，易知选B.法二：设z ＝x ＋y i ，由|z ＋2－2i|＝|x ＋2＋(y －2)i|＝1，∴(x ＋2)2＋(y －2)2＝1.又|z －2－2i|＝|x －2＋(y －2)i|＝(x －2)2＋(y －2)2＝(x －2)2＋[1－(x ＋2)2]＝1－8x .又－3≤x ≤－1，∴当x ＝－1时，|z －2－2i|min ＝1－8×(－1)＝3. 法三：应用公式||z 1|－|z 2||≤|z 1－z 2|，∴|z －2－2i|＝|(z ＋2－2i)－4|≥||z ＋2－2i|－4|＝3，即|z －2－2i|的最小值为3.答案：B【例8】 复数z ＝(1＋i )3(a ＋b i )1－i且|z |＝4，z 对应的点在第一象限，若复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a ，b 的值．解：z ＝(1＋i )2·(1＋i )1－i(a ＋b i)＝2i·i(a ＋b i)＝－2a －2b i. 由|z |＝4得a 2＋b 2＝4.①∵复数0，z ，z 对应的点构成正三角形，∴|z －z |＝|z |.把z ＝－2a －2b i 代入化简得a 2＝3b 2，②代入①得，|b |＝1.又∵Z 点在第一象限，∴a ＜0，b ＜0.由①②得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝－1，故所求值为a ＝－3，b ＝－1.。
高中数学选修2-2第三章数系的扩充和复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念讲义
3.1.1 数系的扩充和复数的概念1．虚数单位i在实数集R 中添加新数i ，规定：(1)i 2＝□01－1，其中i 叫做虚数单位；(2)i 可与实数进行□02四则运算，且原有的加、乘运算律仍然成立． 2．复数的相关概念集合C ＝{a ＋b i|a ∈R ，b ∈R }中的数，即形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做□03复数，其中i 叫做□04虚数单位．全体复数的集合C 叫做□05复数集． 复数通用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，这一表示形式叫做□06复数的代数形式．其中的a 与b 分别叫做复数z 的□07实部与虚部． 3．复数的分类对于复数z ＝a ＋b i ，当且仅当□08b ＝0时，它是实数；当且仅当□09a ＝b ＝0时，它是实数10b≠0时，叫做虚数；当□11a＝0，且b≠0时，叫做纯虚数．0；当且仅当□4．复数相等的充要条件在复数集C＝{a＋b i|a，b∈R}中任取两个数a＋b i，c＋d i(a，b，c，d∈R)，规定：a ＋b i与c＋d i的充要条件是□12a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．复数相等的充要条件(1)两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，若忽略这一条件，则不能成立．因此解决复数相等问题时，一定要把复数的实部与虚部分离出来，再利用相等条件．(2)复数相等的条件是把复数问题转化为实数问题是重要依据，是复数问题实数化这一重要数学思想方法的体现．利用这一结论，可以把“复数相等”这一条件转化为两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，这一思想在解决复数问题中非常重要．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a，b为实数，则z＝a＋b i为虚数．( )(2)若z＝m＋n i(m，n∈C)，则当且仅当m＝0，n≠0时，z为纯虚数．( )(3)b i是纯虚数．( )(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( )答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．做一做(1)若a＋b i＝0，则实数a＝________，实数b＝________.(2)(1＋3)i的实部与虚部分别是________．(3)若复数(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)是实数，则a＝________.答案(1)0 0 (2)0,1＋ 3 (3)±1探究1复数的有关概念例1 给出下列四个命题：①两个复数不能比较大小；②若x，y∈C，则x＋y i＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；③若实数a与a i对应，则实数集与纯虚数集一一对应；④纯虚数集相对复数集的补集是虚数集．其中真命题的个数是________．[解析]①中当这两个复数都是实数时，可以比较大小；②由于x，y都是复数，故x＋y i不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件；③若a＝0，则a i不是纯虚数；④由纯虚数集、虚数集、复数集之间的关系知，所求补集应是非纯虚数集与实数集的并集．[答案]0拓展提升数集从实数集扩充到复数集后，某些结论不再成立．如：两数大小的比较，某数的平方是非负数等．但i 与实数的运算及运算律仍成立． 【跟踪训练1】 下列命题中： ①若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数； ②若a ，b ∈R 且a >b ，则a ＋i>b ＋i ；③若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1； ④两个虚数不能比较大小． 其中，正确命题的序号是( ) A ．① B ．② C ．③ D ．④ 答案 D解析 对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0且b ≠0时为纯虚数． 在①中，若a ＝－1，则(a ＋1)i 不是纯虚数，故①错误； 在②中，两个虚数不能比较大小，故②错误；在③中，若x ＝－1，x 2＋3x ＋2≠0不成立，故③错误； ④正确．探究2 复数的分类例2 当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m＋(m 2－2m )i 为：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？[解] (1)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m ≠0，即m ＝2时，复数z 是实数；(2)当m 2－2m ≠0，即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数；(3)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6m ＝0，m 2－2m ≠0，即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．[条件探究] 是否存在实数m ，使z ＝(m 2－2m )＋m 2＋m －6mi 是纯虚数？[解] 由z ＝(m 2－2m )＋m 2＋m －6mi 是纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －6m≠0，解得m ∈∅.即不存在实数m ，使z ＝(m 2－2m )＋m 2＋m －6mi 是纯虚数．拓展提升利用复数的分类求参数的值或取值范围的一般步骤(1)判定复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，实部与虚部分别为哪些； (2)依据复数的有关概念将复数问题转化为实数问题； (3)解相应的方程(组)或不等式(组)； (4)求出参数的值或取值范围． 【跟踪训练2】 已知m ∈R ，复数z ＝m m ＋2m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时，(1)z 为实数？ (2)z 为虚数？ (3)z 为纯虚数？解 (1)要使z 为实数，需满足m 2＋2m －3＝0，且m m ＋2m －1有意义，即m －1≠0，解得m＝－3.(2)要使z 为虚数，需满足m 2＋2m －3≠0，且m m ＋2m －1有意义，即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.(3)要使z 为纯虚数，需满足m m ＋2m －1＝0，且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2.探究3 复数相等例3 已知M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，P ＝{－1,1,4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m 的值．[解] ∵M ∪P ＝P ，∴M ⊆P ，即(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1或(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i. 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0，解得m ＝1.由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i ，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m ＝2.∴实数m 的值为1或2.拓展提升复数相等的充要条件是实部相等且虚部相等．复数问题实数化多用来求参数，其步骤是：分别确定两个复数的实部和虚部，利用实部与实部、虚部与虚部分别相等，列方程组．【跟踪训练3】 已知A ＝{1,2，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i}，B ＝{－1,3}，A ∩B ＝{3}，求实数a 的值．解 由题意知，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i ＝3(a ∈R )，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －1＝3，a 2－5a －6＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4或a ＝－1，a ＝6或a ＝－1，∴a ＝－1.故实数a 的值为－1.1.在复数a ＋b i 中，a ，b 必须是实数，否则不是复数的代数形式.2.复数的虚部是实数而不是虚数，即为“b ”，不是“b i”，更不是“i”.3.当且仅当b ≠0且a ＝0时，复数a ＋b i 才是纯虚数，解题时不能只注意a ＝0而忽视了b ≠0的限制.4.复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的重要依据，是复数问题实数化这一重要数学思想的体现.1．“a ＝0”是“复数a ＋b i(a ，b ∈R )是纯虚数”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 因为复数a ＋b i(a ，b ∈R )是纯虚数⇔a ＝0且b ≠0，所以“a ＝0”是“复数a ＋b i(a ，b ∈R )是纯虚数”的必要不充分条件．2．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是( ) A ．3－3i B ．3＋i C ．－2＋2i D.2＋2i答案 A解析 3i －2的虚部为3,3i 2＋2i 的实部为－3，所以所求复数为3－3i.3．已知复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是________． 答案 ±2，5解析 由题意得：a 2＝2，－(2－b )＝3，所以a ＝±2，b ＝5. 4．设复数z ＝1m ＋5＋(m 2＋2m －15)i 为实数，则实数m 的值是________． 答案 3解析 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －15＝0，m ＋5≠0，解得m ＝3.5．如果log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i≥－1，求自然数m ，n 的值．解 ∵log 12 (m ＋n )－(m 2－3m )i≥－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧log 12 m ＋n ≥－1，－m 2－3m ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧0<m ＋n ≤2，m ＝0或m ＝3.∵m ，n ∈N ，∴m ＝0，n ＝1或n ＝2.。
(人教版)高中数学选修2-2课件：第3章 数系的扩充与复数的引入3.2.2
答案： C
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第三章 数系的扩充与复数的引入
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3．设 z＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z＋z2＝________. 解析： 2z＋z2＝1＋2 i＋(1＋i)2 ＝212－i＋1＋2i＋i2 ＝1－i＋2i＝1＋i.
答案： 1＋i
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解析： (1)(1－i)2＝1－2i＋i2＝－2i.
(2)(1＋2i)·(3－4i)＝3－4i＋6i－8i2
＝11＋2i.
(3)1－2－2i3i＝1－2＋2ii＝1－2＋2ii11＋＋
2i 2i
＝
2＋2i＋i＋ 1－ 2i2
2i2＝1＋3i 2＝i.
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共轭复数
设z1，z2为共轭复数，且(z1＋z2)2－3z1z2i＝4－6i， 求z1和z2.
[思路点拨]
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(4)－12＋ 23i 23＋12i(1＋i)
＝－ 43－ 43＋34－14i(1＋i)
＝－ 23＋12i(1＋i)
A．A C．C
B．B D．D
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