辽宁省沈阳市沈北新区2019-2020学年九年级上学期期末数学试题(word无答案)
辽宁省沈阳市沈北新区2019-2020学年九年级上学期期末数学试题
(word无答案)
一、单选题
(★) 1 . 一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6，投掷一次，朝上一面的数
字是偶数的概率为（）．
A．B．C．D．
(★) 2 . 反比例函数的图象位于平面直角坐标系的（）
A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、二象限D．第三、四象限
(★★) 3 . 反比例函数y= 在每个象限内的函数值y随x的增大而增大，则m的取值范围
是（）
A．m＜0B．m＞0C．m＞﹣1D．m＜﹣1
(★) 4 . 抛物线y=x 2﹣2x+2的顶点坐标为（）
A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（1，3）D．（﹣1，3）
(★) 5 . 菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（）
A．3：1B．4：1C．5：1D．6：1
(★) 6 . 如图，抛物线 y＝ ax 2+ bx+ c（a≠0）与 x轴交于点 A（1，0）和 B，与 y轴的正半轴交于点 C，下列结论：① abc＞0；②4 a﹣2 b+ c＞0；③2 a﹣ b＞0，其中正确的个数为（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
(★) 7 . 如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（1，3），则AC的长是（）
A．B．2C．3D．4
(★)8 . 如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE∥AC，若DB＝4，AB＝6，BE＝3，则EC的长是（）
A．4B．2C．D．
(★★) 9 . 如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为30 0，看这栋
高楼底部C的俯角为60 0，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC的高度为（）
A．40m B．80m C．120m D．160m
(★★) 10 . 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，
B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点
P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm 2的是（）
A．2秒钟B．3秒钟C．4秒钟D．5秒钟
二、填空题
(★★) 11 . 已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交，其中有一个交点的横
坐标是，则的值为_____．
(★) 12 . 二次函数的图象经过点（4，﹣3），且当 x＝3时，有最大值﹣1，则该二次函数解析
式为_____．
(★★) 13 . 如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，
原点O是位似中心，若AB=2，则DE=______.
(★) 14 . 2019年12月6日，某市举行了2020年商品订货交流会，参加会议的每两家公司之
间都签订了一份合同，所有参会公司共签订了28份合同，则共有_____家公司参加了这次会议．(★) 15 . 在△ ABC中，∠ B＝45°，∠ C＝75°， AC＝2，则 BC的值为_____．
(★★) 16 . 如图，将矩形 ABCD绕点 A旋转至矩形AB′ C′ D′位置，此时AC′的中点恰好与 D点重合，AB′交 CD于点 E．若 AB＝3，则△ AEC的面积为_____．
三、解答题
(★★) 17 . （1）解方程：x 2+4x﹣1＝0
（2）计算：cos30°+ sin45°
(★★) 18 . 某学校游戏节活动中，设计了一个有奖转盘游戏，如图，A转盘被分成三个面积相
等的扇形，B转盘被分成四个面积相等的扇形，每一个扇形都标有相应的数字，先转动A转盘，记下指针所指区域内的数字，再转动B转盘，记下指针所指区域内的数字（当指针在边界线上时，重新转动转盘，直到指针指向一个区域内为止）
（1）请利用画树状图或列表的方法（只选其中一种），表示出转转盘可能出现的所有结果；
（2）如果将两次转转盘指针所指区域的数据相乘，乘积是无理数时获得一等奖，那么获得一等奖的概率是多少？
(★★) 19 . 如图，在四边形 ABCD中，AD∥ BC， BA＝ BC， BD平分∠ ABC．
（1）求证：四边形 ABCD是菱形；
（2）过点 D作DE⊥ BD，交 BC的延长线于点 E，若 BC＝5， BD＝8，求四边形 ABED的周
长．
(★★★★) 20 . 如图，已知一次函数y＝﹣x+n的图象与反比例函数y＝的图象交于A（4，
﹣2），B（﹣2，m）两点．
（1）请直接写出不等式﹣x+n≤ 的解集；
（2）求反比例函数和一次函数的解析式；
（3）过点A作x轴的垂线，垂足为C，连接BC，求△ABC的面积．
(★★) 21 . 如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处
有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°（图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内，CM∥AN）．
（1）求灯杆CD的高度；
（2）求AB的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据：=1.73．sin37°≈060，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
(★★) 22 . 如图，在中，，点E在边BC上移动（点E不与点B、C重合），满足，且点D、F分别在边AB、AC上．
（1）求证：；
（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分．
(★★) 23 . 小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y （件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+500，在销售过程中
销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．
（1）设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函
数关系式，并确定自变量x的取值范围．
（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？
（3）如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？
（成本＝进价×销售量）
(★★★★) 24 . 如图，在正方形ABCD中，M、N分别是射线CB和射线DC上的动点，且始终∠MAN＝45°．
（1）如图1，当点M、N分别在线段BC、DC上时，请直接写出线段BM、MN、DN之间的数
量关系；
（2）如图2，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，给予证明，若不成立，写出正确的结论，并证明；
（3）如图3，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，若CN＝CD＝6，设BD与AM的延
长线交于点P，交AN于Q，直接写出AQ、AP的长．
(★★) 25 . 如图，抛物线 y＝ ax 2+2 x+ c（ a＜0）与 x轴交于点 A和点 B（点 A在原点的左侧，点 B在原点的右侧），与 y轴交于点 C， OB＝ OC＝3．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）如图1，连接 BC，点 D是直线 BC上方抛物线上的点，连接 OD， CD， OD交 BC于点 F，当 S △COF： S △CDF＝3：2时，求点 D的坐标．
（3）如图2，点 E的坐标为（0，），在抛物线上是否存在点 P，使∠ OBP＝2∠ OBE？若
存在，请直接写出符合条件的点 P的坐标；若不存在，请说明理由．。
辽宁省沈阳市2020版九年级上学期数学期末考试试卷D卷
辽宁省沈阳市2020版九年级上学期数学期末考试试卷D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共6题；共6分)1. （1分） (2019八下·临泉期末) 立定跳远是体育中考选考项目之一，体育课上老师记录了某同学的一组立定跳远成绩如表：成绩（m）2.32.42.52.42.4则下列关于这组数据的说法，正确的是（）A . 众数是2.3B . 平均数是2.4C . 中位数是2.5D . 方差是0.012. （1分）下列结论中正确的是（）A . 两个正方形一定相似B . 两个菱形一定相似C . 两个等腰梯形一定相似D . 两个直角梯形一定相似3. （1分）(2018·株洲) 从这七个数中随机抽取一个数，恰好为负整数的概率为（）A .B .C .D .4. （1分） (2016九上·莒县期中) 在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，D是AB的中点，以C为圆心，4cm 长为半径作圆，则A，B，C，D四点中，在圆内的有（）A . 4个B . 3个C . 2个D . 1个5. （1分）(2018·长宁模拟) 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，AC=3，则AB的长可以表示为（）A .B .C . 3sinαD . 3cosα6. （1分）将抛物线y=2x2的图象先向右平移4个单位，再向下平移3个单位所得的解析式为（）A . y=2（x-3）2+4B . y=2（x+4）2-3C . y=2（x-4）2+3D . y=2（x-4）2-3二、填空题 (共10题；共10分)7. （1分） (2019九上·川汇期末) ________.8. （1分） (2016八上·沂源开学考) 已知二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的解为________．9. （1分） (2017八下·江海期末) 在一次射击训练中，甲、乙两人各射击10次，两人10次射击成绩的平均数均是9.1环，方差分别是S甲2=1.2，S乙2=1.6，则关于甲、乙两人在这次射击训练中成绩稳定的________. （填“甲或乙”）10. （1分） (2019九上·龙湖期末) 从甲、乙、丙、丁4名学生中随机抽取2名学生担任数学小组长，则抽取到甲和乙概率为________．11. （1分）(2011·希望杯竞赛) 如图，△ABC中，E为AD与CF的交点，AE=ED，已知△ABC的面积是1，△BEF 的面积是，则△AEF的面积是________；12. （1分）(2019·中山模拟) 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12cm，BC=5cm，将△ABC绕边AC所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是________13. （1分）若函数y=﹣x2+2x+k的部分图象如图所示，由图可知，关于x的方程﹣x2+2x+k=0的一根是3，则另一根为________．14. （1分） (2019九上·黄埔期末) 圆的半径为5cm ，如果圆心到直线的距离为3cm ，那么直线与圆有公共点的个数是________．15. （1分）如图，□ABCD中，E是AB中点，F在AD上，且AF＝FD，EF交AC于G，则AG︰AC＝________ ．16. （1分）如图,在△ABC中,∠ABC=90º,AB=4,BC=3,若BD⊥AC于D,则sin∠CBD=________三、解答题 (共11题；共23分)17. （1分）(2017·东丽模拟) 如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间．18. （1分）(2019·海曙模拟) 若矩形的内接平行四边形的一组邻边分别与矩形的两条对角线平行，这样的平行四边形叫做这个矩形的台球四边形。
2019-2020学年辽宁省沈阳市沈河区九年级(上)期末数学试卷
2019-2020学年辽宁省沈阳市沈河区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题2分，共20分）1．（2分）一元二次方程x 2＝x 的实数根是（）A ．0或1B ．0C ．1D ．±12．（2分）如图是某兴趣社制作的模型，则它的俯视图是（）A ．B ．C ．D ．3．（2分）如图是某班学生做“用频率估计概率”的实验时，给出的某一结果出现的频率折线图，则符合这一结果的实验可能是（）A ．抛一枚硬币，出现正面朝上B ．掷一枚均匀的正六面体骰子，出现2点朝上C ．从一个装有2个红球和1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球D ．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃4．（2分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A ．x 2﹣2x ＝0B ．x 2﹣2x +1＝0C ．2x 2﹣x ﹣1＝0D ．2x 2﹣x +1＝05．（2分）如果将抛物线y ＝（x ﹣1）2+2向下平移1个单位，那么所得的抛物线解析式是（）A ．y ＝（x ﹣1）2+3B ．y ＝（x ﹣1）2+1C ．y ＝（x ﹣2）2+2D ．y ＝x 2+26．（2分）若432zy x ==≠0，则下列各式正确的是（）A ．2x ＝3y ＝4z B ．2522z y x =+C ．3121+=+y x D ．4221-=+z x 7．（2分）在平面直角坐标系中，若点（﹣2，y 1），（﹣1，y 2），（1，y 3）都在反比例函数y＝﹣x4的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（）A ．y 3＜y 1＜y 2B ．y 3＜y 2＜y 1C ．y 1＜y 2＜y 3D ．y 1＜y 3＜y 28．（2分）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是AC 和BC 的中点，连接AE ，BD 交于点F ，则下列结论中正确的是（）A ．21=DB DF B ．41=++++AB BC AC DE CE CD C ．41=ABEDABCS S 四边形△D ．21=ADF DEF S S △△9．（2分）在平面直角坐标系中，如图是二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a +b +c ＝0；②b ＞2a ；③方程ax 2+bx +c ＝0的两根分别为﹣3和1；④b 2﹣4ac ＞0，其中正确的命题有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．（2分）如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 延长线上的一点，且AC ＝EC ，连接AE ，交CD 于点F ，若AB ＝1，则线段DF 的长是（）A ．21B ．52C ．2﹣2D ．2﹣1二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）小明测得2m 高的标杆在太阳光下的影长为1.2m ，同时同地又测得一棵树的影长为1.8m ，则这棵树的高度是m ．12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，线段AB 两个端点的坐标分别为A （2.5，5），B （5，0），以坐标原点为位似中心，将线段AB 在第一象限内缩小得到线段CD ，其中点A 对应点C ，点B 对应点D ，若点C 的坐标为（1.25，2.5），则点D 的坐标为．13．（3分）从数字1，2，3，4中任取两个不同数字相加，和为偶数的概率是．14．（3分）某商品经过两次降价，由每件100元降至81元，设平均每次降价的百分率为x ，根据题意，可列方程．15．（3分）如图，点P 是线段AB 上的一个点，分别以AP ，PB 为边在AB 的同侧作菱形APCD 和菱形PBFE ，点P ，C ，E 在一条直线上，点M ，N 分别是对角线AC ，BE 的中点，连接MN ，PM ，PN ，若∠DAP ＝60°，AP 2+3PB 2＝2，则线段MN 的长为．16．（3分）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，点D 是边AC 的中点，点E ，F 在边AB 上，当△DEF 是等腰三角形，且底角的正切值是54时，△DEF 腰长的值是．三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）17．（6分）2sin60°•tan45°+4cos230°﹣tan60°18．（8分）2019年沈阳国际马拉松赛事设有“马拉松”（A），“半程马拉松”（B），“10公里跑”（C），“迷你马拉松”（D）四个项目，小明和小亮参加了该赛事的志愿者服务工作，组委会将志愿者随机分配到四个项目组，被分配到每个项目组的机会是相同的．（1）小明被分配到“马拉松”（A）项目组的概率为；（2）利用画树状图或列表法求小明和小亮被分配到同一个项目组进行志愿服务的概率．（项目名称可用字母表示）19．（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若AC＝10，∠ABC＝60°，则矩形AEFD的面积是．四、（每小题8分，共16分）20．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．点P从点A开始沿AB边向终点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向终点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止．点P，Q分别从点A，B同时出发．（1）求出发多少秒时PQ的长度等于5cm；（2）出发秒时，△BPQ中有一个角与∠A相等．21．（8分）某地为打造宜游环境，对旅游道路进行改造．如图是风景秀美的观景山，从山脚B 到山腰D 沿斜坡已建成步行道，为方便游客登顶观景，欲从D 到A 修建电动扶梯，经测量，山高AC ＝308米，步行道BD ＝336米，∠DBC ＝30°，在D 处测得山顶A 的仰角为45°，求电动扶梯DA 的长．（结果保留根号）五、（本题10分）22．（10分）某经销商以每千克30元的价格购进一批原材料加工后出售，经试销发现，每天的销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）符合一次函数y ＝kx +b ，且x ＝35时，y ＝55；x ＝42时，y ＝48．（1）求一次函数y ＝kx +b 的表达式；（2）设该商户每天获得的销售利润为W （元），求出利润W （元）与销售单价x （元/千克）之间的关系式；（3）销售单价每千克定为多少元时，商户每天可获得最大利润？最大利润是多少元？（销售利润＝销售额﹣成本）六、（本题10分）23．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，点A （0，4），B （1，m ）都在直线y ＝﹣2x +b 上，反比例函数y ＝xk（x ＞0）的图象经过点B ．（1）直接写出m 和k 的值；（2）如图2，将线段AB 向右平移n 个单位长度（n ≥0），得到对应线段CD ，连接AC ，BD ．①在平移过程中，若反比例函数图象与线段AB 有交点，求n 的取值范围；②在平移过程中，连接BC ，若△BCD 是直角三角形，请直接写出所有满足条件n 的值．24．（12分）（1）如图1，在△ABC 中，AB ＞AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且DE ∥BC ，若AD ＝2，AE ＝23，则CEBD的值是；（2）如图2，在（1）的条件下，将△ADE 绕点A 逆时针方向旋转一定的角度，连接CE 和BD ，CEBD的值变化吗？若变化，请说明理由；若不变化，请求出不变的值；（3）如图3，在四边形ABCD 中，AC ⊥BC 于点C ，∠BAC ＝∠ADC ＝θ，且tan θ＝43，当CD ＝6，AD ＝3时，请直接写出线段BD 的长度．25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3交x 轴于点A （﹣1，0）和点B （3，0），与y 轴交于点C ，顶点是D ，对称轴交x 轴于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是抛物线在第四象限内的一点，过点P 作PQ ∥y 轴，交直线AC 于点Q ，设点P 的横坐标是m ．①求线段PQ 的长度n 关于m 的函数关系式；②连接AP ，CP ，求当△ACP 面积为835时点P 的坐标；（3）若点N 是抛物线对称轴上一点，则抛物线上是否存在点M ，使得以点B ，C ，M ，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出线段BN的长度；若不存在，请说明理由．2019-2020学年辽宁省沈阳市沈河区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题2分，共20分）1．（2分）一元二次方程x2＝x的实数根是（）A．0或1B．0C．1D．±1【解答】解：方程整理得：x2﹣x＝0，分解因式得：x（x﹣1）＝0，解得：x＝0或x＝1，故选：A．2．（2分）如图是某兴趣社制作的模型，则它的俯视图是（）A．B．C．D．【解答】解：该几何体的俯视图是：由两个长方形组成的矩形，且矩形的之间有纵向的线段隔开．故选：B．3．（2分）如图是某班学生做“用频率估计概率”的实验时，给出的某一结果出现的频率折线图，则符合这一结果的实验可能是（）A．抛一枚硬币，出现正面朝上B．掷一枚均匀的正六面体骰子，出现2点朝上C．从一个装有2个红球和1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球D．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃【解答】解：A 、抛一枚硬币，出现正面朝上的频率是21＝0.5，故本选项错误；B 、掷一枚均匀的正六面体骰子，出现2点朝上为：61，故本选项错误；C 、从一个装有2个红球和1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球概率是31≈0.33，故本选项正确；D 、一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是5213＝0.25，故本选项错误；故选：C ．4．（2分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A ．x 2﹣2x ＝0B ．x 2﹣2x +1＝0C ．2x 2﹣x ﹣1＝0D ．2x 2﹣x +1＝0【解答】解：（A ）△＝4，故选项A 有两个不同的实数根；（B ）△＝4﹣4＝0，故选项B 有两个相同的实数根；（C ）△＝1+4×2＝9，故选项C 有两个不同的实数根；（D ）△＝1﹣8＝﹣7，故选项D 有两个不同的实数根；故选：D ．5．（2分）如果将抛物线y ＝（x ﹣1）2+2向下平移1个单位，那么所得的抛物线解析式是（）A ．y ＝（x ﹣1）2+3B ．y ＝（x ﹣1）2+1C ．y ＝（x ﹣2）2+2D ．y ＝x 2+2【解答】解：∵y ＝（x ﹣1）2+2的顶点坐标为（1，2），∴把抛物线向下平移1个单位，得新抛物线顶点坐标为（1，1），∵平移不改变抛物线的二次项系数，∴平移后的抛物线的解析式是y ＝（x ﹣1）2+1．故选：B ．6．（2分）若432zy x ==≠0，则下列各式正确的是（）A ．2x ＝3y ＝4z B ．2522z y x =+C ．3121+=+y x D ．4221-=+z x 【解答】解：∵432zy x ==≠0，∴设x ＝2a ，y ＝3a ，z ＝4a ，∴2x ≠3y ≠4z ，故A 选项错误；564522a a y x +=+＝2a ＝224za =，故B 选项正确；3121221+≠+=+y a x 故C 选项错误；21221+=+a x ＝a +21，42442-=-a z ＝a ﹣21故D 选项错误；故选：B ．7．（2分）在平面直角坐标系中，若点（﹣2，y 1），（﹣1，y 2），（1，y 3）都在反比例函数y ＝﹣x4的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（）A ．y 3＜y 1＜y 2B ．y 3＜y 2＜y 1C ．y 1＜y 2＜y 3D ．y 1＜y 3＜y 2【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【专题】反比例函数及其应用；推理能力．【解答】解：∵k ＝﹣4＜0，∴图象在二、四象限，∵﹣2＜﹣1＜0∴y 2＞y 1＞0，∵x 3＞0，∴y 3＜0，∴y 3＜y 1＜y 2，故选：A ．8．（2分）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是AC 和BC 的中点，连接AE ，BD 交于点F ，则下列结论中正确的是（）A ．21=DB DF B ．41=++++AB BC AC DE CE CD C ．41=ABED ABC S S 四边形△D ．21=ADF DEF S S △△【考点】三角形的重心；三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；推理能力．【解答】解：∵点D ，E 分别是AC 和BC 的中点，∴DE ＝21AB ，CD ＝21AC ，CE ＝21BC ，DE ∥BC ，∴△DEF ∽△BFA ，∴21==AB DE BF DF ∴31=DB DF ，故A 选项错误；∴21=++++AB BC AC DE CE CD ，故B 选项错误；∵DE ∥AB ，∴△CDE ∽△CAB ，∴41)(2==AB DE S S CAB CDE △△∴34=ABED ABC S S 四边形△，故C 选项错误；∵△DEF ∽△BAF ，∴21==BF DF AF EF ，∴21 ADF DEF S S △△．故选：D ．9．（2分）在平面直角坐标系中，如图是二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a +b +c ＝0；②b ＞2a ；③方程ax 2+bx +c ＝0的两根分别为﹣3和1；④b 2﹣4ac ＞0，其中正确的命题有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【考点】二次函数的图象；二次函数的性质．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【解答】解：由图象可知：抛物线开口向上，对称轴为直线x ＝﹣1，过（1，0）点，把（1，0）代入y ＝ax 2+bx +c 得，a +b +c ＝0，因此①正确；对称轴为直线x ＝﹣1，即：﹣ab 2＝﹣1，整理得，b ＝2a ，因此②不正确；由抛物线的对称性，可知抛物线与x 轴的两个交点为（1，0）（﹣3，0），因此方程ax 2+bx +c ＝0的两根分别为﹣3和1；故③是正确的；由图可得，抛物线有两个交点，所以b 2﹣4ac ＞0，故④正确；故选：C ．10．（2分）如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 延长线上的一点，且AC ＝EC ，连接AE ，交CD 于点F ，若AB ＝1，则线段DF 的长是（）A ．21B ．52C ．2﹣2D ．2﹣1【考点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；推理能力．【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形，AB ＝1，∴AB ＝CD ＝AD ＝1，AC ＝CE ＝2，AD ∥CE ，∴△ADF ∽△ECF ，∴CFDF CE AD =，∴DF DF -=121∴DF ＝2﹣1故选：D ．二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）小明测得2m 高的标杆在太阳光下的影长为1.2m ，同时同地又测得一棵树的影长为1.8m ，则这棵树的高度是3m ．【解答】解：根据题意可得：△ADE ∽△ABC ，即BCDE AC AE =，设这棵树的高为x ，则8.12.12=x ，解得x ＝3m ．即这棵树的高度为3米．故答案为：3．12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，线段AB 两个端点的坐标分别为A （2.5，5），B （5，0），以坐标原点为位似中心，将线段AB 在第一象限内缩小得到线段CD ，其中点A 对应点C ，点B 对应点D ，若点C 的坐标为（1.25，2.5），则点D 的坐标为（2.5，0）．【解答】解：∵将线段AB 缩小得到线段CD ，点A （2.5，5）的对应点C 的坐标为（1.25，2.5），∴线段AB 缩小21得到线段CD ，∴点D 的坐标为（2.5，0）．故答案为：（2.5，0）．13．（3分）从数字1，2，3，4中任取两个不同数字相加，和为偶数的概率是31．【解答】解：根据题意画图如下：共有12种等情况数，其中和为偶数的有4种，则和为偶数的概率是31124 ；14．（3分）某商品经过两次降价，由每件100元降至81元，设平均每次降价的百分率为x ，根据题意，可列方程100（1﹣x ）2＝81．【解答】解：设平均每次降价的百分率为x ，根据题意得：100（1﹣x ）2＝81．故答案为：100（1﹣x ）2＝81．15．（3分）如图，点P 是线段AB 上的一个点，分别以AP ，PB 为边在AB 的同侧作菱形APCD 和菱形PBFE ，点P ，C ，E 在一条直线上，点M ，N 分别是对角线AC ，BE 的中点，连接MN ，PM ，PN ，若∠DAP ＝60°，AP 2+3PB 2＝2，则线段MN 的长为22．【解答】解：连接PM 、PN ．∵菱形APCD 和菱形PBFE ，∠DAP ＝60°，M ，N 分别是对角线AC ，BE 的中点，∴PM ⊥AC ，PN ⊥BE ，∠CAB ＝∠NPB ＝30°．∴∠MPC +∠NPC ＝90°，即△MPN 是直角三角形．在Rt △APM 中，AP ＝2PM ，在Rt △PNB 中，PB ＝32PN ．∵AP 2+3PB 2＝2，∴（2PM ）2+3（32PN ）2＝2，整理得PM 2+PN 2＝21在Rt △MPN 中，MN 2＝PM 2+PN 2，所以MN ＝22．16．（3分）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，点D 是边AC 的中点，点E ，F 在边AB 上，当△DEF 是等腰三角形，且底角的正切值是54时，△DEF 腰长的值是．【解答】解：∵∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，∴AB ＝5，∵点D 是边AC 的中点，∴AD ＝21AC ＝2，作DM ⊥AB 于M ，如图1所示：∵sin A ＝AD DM AB BC =，即253DM =，∴DM ＝56，分三种情况：①当DE ＝DF 时，∵tan ∠DFE ＝54=FM DM ，∴FM ＝45DM ＝45×56＝23，∴DE ＝DF ＝10413)23()56(2222=+=+FMDM ；②当ED ＝EF 时，作EN ⊥DF 于N ，如图2所示：由①得：DM ＝56，FM ＝23，DF ＝10413；∵EN ⊥DF ，∴FN ＝DN ＝21DF ＝20413，∵tan ∠EFD ＝54=FN EN ，∴EN ＝54FN ＝25413，∴ED ＝EF ＝100123；③当FE ＝FD 时，作FG ⊥DE 于G ，如图3所示：则EG ＝DG ，同①得：EM ＝，DE ＝10413，∴EG ＝20413，∵tan ∠DEF ＝54=EG GF ∴GF ＝54EG ＝25413，∴EF ＝100123；三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）17．（6分）2sin60°•tan45°+4cos 230°﹣tan60°【解答】解：2sin60°•tan45°+4cos 230°﹣tan60°＝2×23×1+4×（23）2﹣3＝3+3﹣3＝3．18．（8分）2019年沈阳国际马拉松赛事设有“马拉松”（A ），“半程马拉松”（B ），“10公里跑”（C ），“迷你马拉松”（D ）四个项目，小明和小亮参加了该赛事的志愿者服务工作，组委会将志愿者随机分配到四个项目组，被分配到每个项目组的机会是相同的．（1）小明被分配到“马拉松”（A ）项目组的概率为；（2）利用画树状图或列表法求小明和小亮被分配到同一个项目组进行志愿服务的概率．（项目名称可用字母表示）【解答】解：（1）∵共有4各项目，分别是“马拉松”（A ），“半程马拉松”（B ），“10公里跑”（C ），“迷你马拉松”（D ），∴小明被分配到“马拉松”（A ）项目组的概率为41；（2）根据题意画图如下：共有16种等情况数，其中小明和小亮被分配到同一个项目组进行志愿服务的有4种，则小明和小亮被分配到同一个项目组进行志愿服务的概率是164＝41．19．（8分）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，延长BC 至F ，使CF ＝BE ，连接DF ．（1）求证：四边形AEFD 是矩形；（2）若AC ＝10，∠ABC ＝60°，则矩形AEFD 的面积是．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，∵CF ＝BE ，∴BC ＝EF ，∴AD ∥EF ，AD ＝EF ，∴四边形AEFD 是平行四边形，∵AE ⊥BC ，∴∠AEF ＝90°，∴平行四边形AEFD 是矩形；（2）解：∵AB ＝CD ，BE ＝CF ，∠AEB ＝∠DFC ＝90°，∴Rt △ABE ≌Rt △DCF （HL ），∴矩形AEFD 的面积＝菱形ABCD 的面积，∵∠ABC ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∵AC ＝10，∴AE ＝23AC ＝53，AB ＝10，BO ＝53，∵AD ＝EF ＝10，∴矩形AEFD 的面积＝菱形ABCD 的面积＝21×10×103＝503，四、（每小题8分，共16分）20．（8分）如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝5cm ，BC ＝7cm ．点P 从点A 开始沿AB 边向终点B 以1cm /s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向终点C 以2cm /s 的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止．点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发．（1）求出发多少秒时PQ 的长度等于5cm ；（2）出发．秒时，△BPQ 中有一个角与∠A 相等．【考点】一元二次方程的应用．【专题】数形结合；分类讨论；方程思想；一元二次方程及应用；图形的相似；运算能力；推理能力．【解答】解：（1）设出发t 秒时PQ 的长度等于5cm ，PQ ＝5，则PQ 2＝25＝BP 2+BQ 2，即25＝（5﹣t ）2+（2t ）2，解得：t ＝0（舍）或2．故2秒后，PQ 的长度为5cm ．（2）设出发x 秒时，△BPQ 中有一个角与∠A 相等．∵AB ＝5cm ，BC ＝7cm∴PB ＝（5﹣x ）cm ，BQ ＝2xcm当∠BPQ ＝∠A 时，又∵∠B ＝∠B∴△ABC ∽△PBQ ∴BC BQ AB PB =∴725-5x x =解得：x ＝1735；当∠BQP ＝∠A 时，又∵∠B ＝∠B∴△ABC ∽△QBP ∴AB BQ BC PB =∴5275x x =-解得：x ＝192521．（8分）某地为打造宜游环境，对旅游道路进行改造．如图是风景秀美的观景山，从山脚B 到山腰D 沿斜坡已建成步行道，为方便游客登顶观景，欲从D 到A 修建电动扶梯，经测量，山高AC ＝308米，步行道BD ＝336米，∠DBC ＝30°，在D 处测得山顶A 的仰角为45°，求电动扶梯DA 的长．（结果保留根号）【解答】解：作DE ⊥BC 于E ，则四边形DECF 为矩形，∴FC ＝DE ，DF ＝EC ，在Rt △DBE 中，∠DBC ＝30°，∴DE ＝21BD ＝168，∴FC ＝DE ＝168，∴AF ＝AC ﹣FC ＝308﹣168＝140，在Rt △ADF 中，∠ADF ＝45°，∴AD ＝2AF ＝1402（米），答：电动扶梯DA 的长为1402米．五、（本题10分）22．（10分）某经销商以每千克30元的价格购进一批原材料加工后出售，经试销发现，每天的销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）符合一次函数y ＝kx +b ，且x ＝35时，y ＝55；x ＝42时，y ＝48．（1）求一次函数y ＝kx +b 的表达式；（2）设该商户每天获得的销售利润为W （元），求出利润W （元）与销售单价x （元/千克）之间的关系式；（3）销售单价每千克定为多少元时，商户每天可获得最大利润？最大利润是多少元？（销售利润＝销售额﹣成本）【解答】解：（1）将x ＝35、y ＝55和x ＝42、y ＝48代入y ＝kx +b ，得：⎩⎨⎧=+=+48425535b k b k ，解得：⎩⎨⎧=-=901b k ，∴y ＝﹣x +90；（2）根据题意得：W ＝（x ﹣30）（﹣x +90）＝﹣x 2+120x ﹣2700；（3）由W ＝﹣x 2+120x ﹣2700＝﹣（x ﹣60）2+900，∴销售单价每千克定为60元时，商户每天可获得最大利润，最大利润是900元．六、（本题10分）23．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，点A （0，4），B （1，m ）都在直线y ＝﹣2x +b 上，反比例函数y ＝xk （x ＞0）的图象经过点B ．（1）直接写出m 和k 的值；（2）如图2，将线段AB 向右平移n 个单位长度（n ≥0），得到对应线段CD ，连接AC ，BD ．①在平移过程中，若反比例函数图象与线段AB 有交点，求n 的取值范围；②在平移过程中，连接BC ，若△BCD 是直角三角形，请直接写出所有满足条件n 的值．【解答】解：（1）∵点A （0，4）在直线y ＝﹣2x +b 上，∴﹣2×0+b ＝4，∴b ＝4，∴直线AB 的解析式为y ＝﹣2x +4，将点B （1，m ）代入直线AB 的解析式y ＝﹣2x +4中，得﹣2×1+4＝m ，∴b ＝2，∴B （1，2），将B （1，2）在反比例函数解析式y ＝xk （x ＞0）中，得k ＝xy ＝1×2＝2；（2）①∵将线段AB 向右平移n 个单位长度，∴A （n ，4），把A （n ，4）代入y ＝x 2中，得，4＝n 2，∴n ＝21，∴在平移过程中，若反比例函数图象与线段AB 有交点，n 的取值范围为0≤n ≤21；②∵将线段AB 向右平移n 个单位长度（n ≥0），得到对应线段CD ，∴AB ∥CD ，∴∠CDB ≠90°，当∠CBD ＝90°时，△BCD 是直角三角形，∴CB ⊥BC ，∴C （1，4），∴n ＝1；当∠BCD ＝90°，△BCD 是直角三角形，则C （n ，4），D （n +1，2），∵BC 2+CD 2＝BD 2，∴（n ﹣1）2+（4﹣2）2+12+（4﹣2）2＝n 2，解得：n ＝5，综上所述，若△BCD 是直角三角形，n 的值为1或5．24．（12分）（1）如图1，在△ABC 中，AB ＞AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且DE ∥BC ，若AD ＝2，AE ＝23，则CE BD 的值是；（2）如图2，在（1）的条件下，将△ADE 绕点A 逆时针方向旋转一定的角度，连接CE 和BD ，CEBD 的值变化吗？若变化，请说明理由；若不变化，请求出不变的值；（3）如图3，在四边形ABCD 中，AC ⊥BC 于点C ，∠BAC ＝∠ADC ＝θ，且tan θ＝43，当CD ＝6，AD ＝3时，请直接写出线段BD 的长度．【解答】解：（1）∵DE ∥BC ，∴CE BD ＝34232==AE AD （2）CE BD 的值不变化，值为34；理由如下：由（1）得：DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴ACAE AB AD =，由旋转的性质得：∠BAD ＝∠CAE ，∴△ABD ∽△ACE ，∴34==AE AD CE BD ；（3）在AB 上截取AM ＝AD ＝3，过M 作MN ∥BC 交AC 于N ，把△AMN 绕A 逆时针旋转得△ADE ，连接CE ，如图所示：则MN ⊥AC ，DE ＝MN ，∠DAE ＝∠BAC ，∴∠AED ＝∠ANM ＝90°，∵AC ⊥BC 于点C ，∠BAC ＝∠ADC ＝θ，且tan θ＝43＝AC BC ，∴BC ：AC ：AB ＝3：4：5，同（2）得：△ABD ∽△ACE ，∴45==AC AB CE BD ∵MN ∥BC ，∴△AMN ∽△ABC ，∴AB AM BC MN =，∴MN ＝AB BC ×AM ＝53×3＝59，∵∠BAC ＝∠ADC ＝θ，∴∠DAE ＝∠ADC ＝θ，∴AE ∥CD ，∴∠CDE +∠AED ＝180°，∴∠CDE ＝90°，∴CE ＝51093)59(62222=+=+DE CD∴BD ＝45CE ＝45×51093＝10943．25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3交x 轴于点A （﹣1，0）和点B （3，0），与y 轴交于点C ，顶点是D ，对称轴交x 轴于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是抛物线在第四象限内的一点，过点P 作PQ ∥y 轴，交直线AC 于点Q ，设点P 的横坐标是m ．①求线段PQ 的长度n 关于m 的函数关系式；②连接AP ，CP ，求当△ACP 面积为835时点P 的坐标；（3）若点N 是抛物线对称轴上一点，则抛物线上是否存在点M ，使得以点B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出线段BN 的长度；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y ＝a （x +1）（x ﹣3）＝a （x 2﹣2x ﹣3），故﹣3a ＝﹣3，解得：a ＝1，故抛物线的表达式为：y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）设点P （m ，m 2﹣2m ﹣3），①将点A 、C 的坐标代入一次函数表达式并解得：直线AC 的表达式为：y ＝﹣3x ﹣3，则点Q （m ，﹣3m ﹣3），n ＝PQ ＝m 2﹣2m ﹣3+3m +3＝m 2+m ；②连接AP 交y 轴于点H ，同理可得：直线AP 的表达式为：y ＝（m ﹣3）x +m ﹣3，则OH ＝3﹣m ，则CH ＝m ，△ACP 面积＝21×CH ×（x P ﹣x A ）＝21×m （m +1）＝835，解得：m ＝25故点P （25，﹣47）；（3）点C （0，﹣3），点B （3，0），设点M （m ，n ），n ＝m 2﹣2m ﹣3，点N （1，s ），①当BC 是边时，点C 向右平移3个单位向上平移3个单位得到B ，同样点M （N ）向右平移3个单位向上平移3个单位得到N （M ），即m ±3＝1，n ±3＝s ，解得：m ＝﹣2或4，s ＝8或2，故点N （1，2）或（1，8），则BN ＝22或217；②当BC 是对角线时，由中点公式得：3＝m +1，﹣3＝s +n ，解得：s ＝0，故点N （1，0），则BN ＝2，综上，BN ＝22或217或2．。
辽宁省沈阳市沈北新区19-20学年九年级(上)期末数学试卷 (含答案解析)
辽宁省沈阳市沈北新区19-20学年九年级(上)期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共20.0分）1.一枚质地均匀的骰子六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，投掷一次朝上一面的数字是2的倍数的概率为()A. 16B. 13C. 12D. 232.反比例函数y=−1x的图象分别位于的象限是()A. 第一、第二象限B. 第一、第三象限C. 第二、第四象限D. 第三、第四象限3.已知反比例函数y=k−1x的图像在每个象限内y随x的增大而减小，则k的取值范围是()A. k<1B. k>1C. 0<k<1D. k≤14.抛物线y=x2−2x+2的顶点坐标为()A. (1,1)B. (−1,1)C. (1,3)D. (−1,3)5.若菱形的周长为8，高为1，则菱形两邻角的度数比为()A. 6︰1B. 5︰1C. 4︰1D. 3︰16.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和B，与y轴的正半轴交于点C.下列结论：①abc>0，②4a−2b+c>0，③2a−b>0，④3a+c>0，其中正确结论的个数为()A. 1 个B. 2个C. 3个D. 4个7.如图，在矩形COED中，点D的坐标是(1,2)，则CE的长是()A. √3B. 2C. √5D. √68.如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE//AC，若DB=4，AB=6，BE=3，则EC长是()A. 4B. 32C. 2.5D.4.59.如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC的高度为()A. 160√3mB. 120√3mC. 80√3mD.40√3m10.如图，在△ABC中，，AB=4cm，BC=3cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动(移动方向如图所示)，点P的速度为12cm/s，点Q的速度为1cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为154cm2，则点P运动的时间是()A. 2sB. 3sC. 4sD. 5s二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.一次函数y=12x的图象与反比例函数y=k2x的图象的一个交点为(2,m)，则k=______．12.二次函数图象与x轴交点为(3,0)，(1,0)，与y轴交点(0,6)，则解析式为________．13.如图，在平面直角坐标系中，已知A(1.5,0)，D(4.5,0)，△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若DE=7.5，则AB=______．14.参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，则参加商品交易会的公司有__________家．15.如图所示，△ABC中，∠A=75°，∠B=45°，AB=3√2，则BC=___________．16.如图，在△ABC中，∠CAB=75°，在同一平面内将△ABC绕点A旋转到△AB′C′位置，使得CC′//AB，则∠BAB′=______．三、解答题（本大题共9小题，共82.0分）17.计算：2sin45°+tan60°+2cos30°−√12．18.某学校在游戏节活动中，设计了一个有奖转盘游戏，如图，A转盘被分成三个面积相等的扇形，B转盘被分成四个面积相等的扇形，每一个扇形上都标有相应的数字．先转动A转盘，记下指针所指区域内的数字，再转动B转盘，记下指针所指区域内的数字(当指针指在边界线上时，重新转动一次，直到指针指向一个区域内为止)，然后，将两次记录的数据相乘．(1)请利用画树状图或列表的方法，求出乘积为负数的概率．(2)如果乘积是无理数时获得一等奖，那么获得一等奖的概率是多少？19.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BD平分∠ABC，AC⊥BD，垂足为点O．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若CD=3，BD=2√5，则四边形ABCD的面积为：______。
沈阳市九年级上册期末数学试卷(Word版含解析)
沈阳市九年级上册期末数学试卷（Word 版含解析）一、选择题1．如图，ABC ∆与A B C '''∆是以坐标原点O 为位似中心的位似图形，若点A 是OA '的中点，ABC ∆的面积是6，则A B C '''∆的面积为（ ）A ．9B ．12C ．18D ．242．在平面直角坐标系中，如图是二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a +b +c ＝0；②b ＞2a ；③方程ax 2+bx +c ＝0的两根分别为﹣3和1；④b 2﹣4ac ＞0，其中正确的命题有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，=1BC ，则sin A 的值为（ ） A ．1010B ．310C ．13D ．1034．已知OA ，OB 是圆O 的半径，点C ，D 在圆O 上，且//OA BC ，若26ADC ∠=︒，则B 的度数为（ ）A ．30B ．42︒C ．46︒D ．52︒ 5．已知⊙O 的半径为4，点P 到圆心O 的距离为4.5，则点P 与⊙O 的位置关系是（ ） A ．P 在圆内 B ．P 在圆上 C ．P 在圆外 D ．无法确定 6．若两个相似三角形的相似比是1：2，则它们的面积比等于（ ）A ．12B ．1：2C ．1：3D ．1：47．如图，在圆内接四边形ABCD 中，∠A ：∠C ＝1：2，则∠A 的度数等于（ ）A．30°B．45°C．60°D．80°8．某班有40人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试因此计算其他39人的平均分为90分，方差s2＝41．后来小亮进行了补测，成绩为90分，关于该班40人的测试成绩，下列说法正确的是（）A．平均分不变，方差变大B．平均分不变，方差变小C．平均分和方差都不变D．平均分和方差都改变9．如图，在□ABCD中，E、F分别是边BC、CD的中点，AE、AF分别交BD于点G、H，则图中阴影部分图形的面积与□ABCD的面积之比为（）A．7 : 12 B．7 : 24 C．13 : 36 D．13 : 7210．如图，∠1＝∠2，要使△ABC∽△ADE，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是（）A．∠B＝∠D B．∠C＝∠E C．AD ABAE AC=D．AC BCAE DE=11．若二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与坐标轴只有两个公共点，则c应满足的条件是（）A．c＝0 B．c＝1 C．c＝0或c＝1 D．c＝0或c＝﹣112．在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝13，那么sin A的值是（）A．12B．13C．1010D31013．下列方程中，是一元二次方程的是（）A．2x+y＝1 B．x2+3xy＝6 C．x+1x＝4 D．x2＝3x﹣214．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（）A．x2﹣x﹣1＝0 B．x2+x+1＝0 C．x2+1＝0 D．x2+2x+1＝0 15．如图，AB为O的直径，C为O上一点，弦AD平分BAC∠，交BC于点E，6AB =，5AD =,则AE 的长为（ ）A ．2.5B ．2.8C ．3D ．3.2二、填空题16．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点A 顺指针旋转到△AB 1C 1的位置，点B 、O 分别落在点B 1、C 1处，点B 1在x 轴上，再将△AB 1C 1绕点B 1顺时针旋转到△A 1B 1C 2的位置，点C 2在x 轴上，将△A 1B 1C 2绕点C 2顺时针旋转到△A 2B 2C 2的位置，点A 2在x 轴上，依次进行下去…，若点A （53，0）、B （0，4），则点B 2020的横坐标为_____．17．二次函数23(1)2y x =-+图象的顶点坐标为________．18．若a 是方程223x x =+的一个根，则代数式263a a -的值是______. 19．当a≤x≤a+1时，函数y=x 2﹣2x+1的最小值为1，则a 的值为_____． 20．抛物线21(5)33y x =--+的顶点坐标是_______．21．如图，△ABC 中，AB ＞AC ，D ，E 两点分别在边AC ，AB 上，且DE 与BC 不平行．请填上一个你认为合适的条件：_____，使△ADE∽△ABC．（不再添加其他的字母和线段；只填一个条件，多填不给分！）22．如图，直线l 经过⊙O 的圆心O ，与⊙O 交于A 、B 两点，点C 在⊙O 上，∠AOC =30°，点P 是直线l 上的一个动点（与圆心O 不重合），直线CP 与⊙O 相交于点Q ，且PQ =OQ ，则满足条件的∠OCP 的大小为_______．23．如图，△ABC 的顶点A 、B 、C 都在边长为1的正方形网格的格点上，则sinA 的值为________．24．如图，45AOB ∠=，点P 、Q 都在射线OA 上，2OP =，6OQ =，M 是射线OB 上的一个动点，过P 、Q 、M 三点作圆，当该圆与OB 相切时，其半径的长为__________．25．已知⊙O 半径为4，点,A B 在⊙O 上，21390,sin BAC B ∠=∠=，则线段OC 的最大值为_____．26．△ABC 是等边三角形，点O 是三条高的交点．若△ABC 以点O 为旋转中心旋转后能与原来的图形重合，则△ABC 旋转的最小角度是____________． 27．若a b b -＝23，则ab的值为________． 28．将抛物线y ＝－5x 2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后，得到新的抛物线的表达式是________．29．若一个圆锥的主视图是腰长为5，底边长为6的等腰三角形，则该圆锥的侧面积是____________．30．如图，在△ABC 中，P 是AB 边上的点，请补充一个条件，使△ACP ∽△ABC ，这个条件可以是：___(写出一个即可)，三、解答题31．如图，分别以△ABC的边AC和BC为腰向外作等腰直角△DAC和等腰直角△EBC，连接DE.（1）求证：△DAC∽△EBC；（2）求△ABC与△DEC的面积比．32．（1）如图，已知AB、CD是大圆⊙O的弦，AB＝CD，M是AB的中点．连接OM，以O为圆心，OM为半径作小圆⊙O．判断CD与小圆⊙O的位置关系，并说明理由；（2）已知⊙O，线段MN，P是⊙O外一点．求作射线PQ，使PQ被⊙O截得的弦长等于MN．（不写作法，但保留作图痕迹）33．某商店专门销售某种品牌的玩具，成本为30元/件，每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在着如图所示的一次函数关系．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？（3）为了保证每天的利润不低于3640元，试确定该玩具销售单价的范围．34．“2020比佛利”无锡马拉松赛将于3月22日鸣枪开跑，本次比赛设三个项目：A ．全程马拉松；B ．半程马拉松；C ．迷你马拉松．小明和小红都报名参与该赛事的志愿者服务工作，若两人都已被选中，届时组委会随机将他们分配到三个项目组． （1）小明被分配到“迷你马拉松”项目组的概率为 ； （2）请利用树状图或列表法求两人被分配到同一个项目组的概率．35．化简并求值： 22+24411m m m m m ++÷+-，其中m 满足m 2-m -2=0. 四、压轴题36．已知P 是⊙O 上一点，过点P 作不过圆心的弦PQ ，在劣弧PQ 和优弧PQ 上分别有动点A 、B(不与P ，Q 重合)，连接AP 、BP . 若∠APQ=∠BPQ. (1)如图1，当∠APQ=45°，AP=1，BP=22时，求⊙O 的半径；(2)如图2，选接AB ，交PQ 于点M ，点N 在线段PM 上(不与P 、M 重合)，连接ON 、OP ，若∠NOP+2∠OPN=90°，探究直线AB 与ON 的位置关系，并证明.37．数学概念若点P 在ABC ∆的内部，且APB ∠、BPC ∠和CPA ∠中有两个角相等，则称P 是ABC ∆的“等角点”，特别地，若这三个角都相等，则称P 是ABC ∆的“强等角点”.理解概念（1）若点P 是ABC ∆的等角点，且100APB ∠=，则BPC ∠的度数是 . （2）已知点D 在ABC ∆的外部，且与点A 在BC 的异侧，并满足180BDC BAC ∠+∠<，作BCD ∆的外接圆O ，连接AD ，交圆O 于点P .当BCD ∆的边满足下面的条件时，求证：P 是ABC ∆的等角点.（要求：只选择其中一道题进行证明！）①如图①，DB DC = ②如图②，BC BD =深入思考（3）如图③，在ABC ∆中，A ∠、B 、C ∠均小于120，用直尺和圆规作它的强等角点Q .（不写作法，保留作图痕迹）（4）下列关于“等角点”、“强等角点”的说法： ①直角三角形的内心是它的等角点； ②等腰三角形的内心和外心都是它的等角点； ③正三角形的中心是它的强等角点；④若一个三角形存在强等角点，则该点到三角形三个顶点的距离相等；⑤若一个三角形存在强等角点，则该点是三角形内部到三个顶点距离之和最小的点，其中正确的有 .（填序号）38．抛物线G ：2y ax c =+与x 轴交于A 、B 两点，与y 交于C （0，-1），且AB =4OC ．（1）直接写出抛物线G 的解析式： ；（2）如图1，点D （-1，m ）在抛物线G 上，点P 是抛物线G 上一个动点，且在直线OD 的下方，过点P 作x 轴的平行线交直线OD 于点Q ，当线段PQ 取最大值时，求点P 的坐标；（3）如图2，点M 在y 轴左侧的抛物线G 上，将点M 先向右平移4个单位后再向下平移，使得到的对应点N 也落在y 轴左侧的抛物线G 上，若S △CMN =2，求点M 的坐标．39．如图1，ABC ∆是⊙O 的内接等腰三角形，点D 是弧AC 上异于,A C 的一个动点，射线AD 交底边BC 所在的直线于点E ，连结BD 交AC 于点F . （1）求证：ADB CDE ∠=∠；（2）若7BD =，3CD =，①求AD DE •的值；②如图2，若AC BD ⊥，求tan ACB∠；（3）若5tan2CDE∠=，记AD x=，ABC∆面积和DBC∆面积的差为y，直接写出y关于x的函数关系式.40．在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C，给出如下定义：如果矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的覆盖矩形．点A，B，C的所有覆盖矩形中，面积最小的矩形称为点A，B，C的最优覆盖矩形．例如，下图中的矩形A1B1C1D1，A2B2C2D2，AB3C3D3都是点A，B，C的覆盖矩形，其中矩形AB3C3D3是点A，B，C的最优覆盖矩形．（1）已知A（﹣2，3），B（5，0），C（t，﹣2）．①当t＝2时，点A，B，C的最优覆盖矩形的面积为；②若点A，B，C的最优覆盖矩形的面积为40，求直线AC的表达式；（2）已知点D（1，1）．E（m，n）是函数y＝4x（x＞0）的图象上一点，⊙P是点O，D，E的一个面积最小的最优覆盖矩形的外接圆，求出⊙P的半径r的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】根据位似图形的性质，再结合点A与点A'的坐标关系可得出两个三角形的相似比，再根据面积比等于相似比的平方即可得出答案. 【详解】解：∵△ABC 与△A B C '''是以坐标原点O 为位似中心的位似图形,且A 为O A '的中心， ∴△ABC 与△A B C '''的相似比为：1：2； ∵位似图形的面积比等于相似比的平方，∴△A B C '''的面积等于4倍的△ABC 的面积，即4624⨯=. 故答案为：D. 【点睛】本题考查的知识点是位似图形的性质，位似是特殊的相似，熟记位似图形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.2．C解析：C 【解析】 【分析】根据二次函数的图象可知抛物线开口向上，对称轴为x ＝﹣1，且过点（1，0），根据对称轴可得抛物线与x 轴的另一个交点为（﹣3，0），把（1，0）代入可对①做出判断；由对称轴为x ＝﹣1，可对②做出判断；根据二次函数与一元二次方程的关系，可对③做出判断，根据根的判别式解答即可． 【详解】由图象可知：抛物线开口向上，对称轴为直线x ＝﹣1，过（1，0）点， 把（1，0）代入y ＝ax 2+bx +c 得，a +b +c ＝0，因此①正确； 对称轴为直线x ＝﹣1，即：﹣2ba＝﹣1，整理得，b ＝2a ，因此②不正确； 由抛物线的对称性，可知抛物线与x 轴的两个交点为（1，0）（﹣3，0），因此方程ax 2+bx +c ＝0的两根分别为﹣3和1；故③是正确的； 由图可得，抛物线有两个交点，所以b 2﹣4ac ＞0，故④正确； 故选C ． 【点睛】考查二次函数的图象和性质，抛物线通常从开口方向、对称轴、顶点坐标、与x 轴，y 轴的交点，以及增减性上寻找其性质．3．A解析：A 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出斜边的长，再根据正弦的定义解答即可. 【详解】解：在Rt ABC ∆中，∵90C ∠=︒，3AC =，=1BC ，∴AB =∴10sin 10BC A AB ===. 故选：A. 【点睛】本题考查了勾股定理和正弦的定义，属于基本题型，熟练掌握基本知识是解题关键.4．D解析：D 【解析】 【分析】连接OC ，根据圆周角定理求出∠AOC ，再根据平行得到∠OCB ，利用圆内等腰三角形即可求解. 【详解】 连接CO ， ∵26ADC ∠=︒ ∴∠AOC=252ADC ∠=︒ ∵//OA BC ∴∠OCB=∠AOC=52︒ ∵OC=BO ， ∴B =∠OCB=52︒故选D.【点睛】此题主要考查圆周角定理，解题的关键是熟知圆的基本性质及圆周角定理的内容.5．C解析：C 【解析】 【分析】点到圆心的距离大于半径，得到点在圆外. 【详解】∵点P 到圆心O 的距离为4.5，⊙O 的半径为4， ∴点P 在圆外. 故选：C. 【点睛】此题考查点与圆的位置关系，通过比较点到圆心的距离d 的距离与半径r 的大小确定点与圆的位置关系.6．D解析：D【解析】【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．【详解】解：∵两个相似三角形的相似比是1：2，∴这两个三角形们的面积比为1：4，故选：D．【点睛】此题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解决此题的关键．7．C解析：C【解析】【分析】设∠A、∠C分别为x、2x，然后根据圆的内接四边形的性质列出方程即可求出结论．【详解】解：设∠A、∠C分别为x、2x，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴x+2x＝180°，解得，x＝60°，即∠A＝60°，故选：C．【点睛】此题考查的是圆的内接四边形的性质，掌握圆的内接四边形的性质是解决此题的关键．8．B解析：B【解析】【分析】根据平均数、方差的定义计算即可.【详解】∵小亮的成绩和其它39人的平均数相同，都是90分，∴40人的平均数是90分，∵39人的方差为41，小亮的成绩是90分，40人的平均分是90分，∴40人的方差为[41×39+(90-90)2]÷40<41，∴方差变小，∴平均分不变，方差变小故选B.【点睛】本题考查了平均数与方差，熟练掌握定义是解题关键.9．B解析：B【解析】【分析】根据已知条件想办法证明BG=GH=DH ，即可解决问题；【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，AB=CD ，AD=BC ，∵DF=CF ，BE=CE ， ∴12DH DF HB AB ==，12BG BE DG AD ==， ∴13DH BG BD BD ==， ∴BG=GH=DH ，∴S △ABG =S △AGH =S △ADH ，∴S 平行四边形ABCD =6 S △AGH ，∴S △AGH ：ABCD S 平行四边形=1：6，∵E 、F 分别是边BC 、CD 的中点, ∴12EF BD =, ∴14EFC BCDD S S =, ∴18EFC ABCD SS =四边形, ∴1176824AGH EFC ABCD S S S +=+=四边形=7∶24, 故选B.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、等底同高的三角形面积性质，题目的综合性很强，难度中等．10．D解析：D【解析】【分析】先求出∠DAE ＝∠BAC ，再根据相似三角形的判定方法分析判断即可．【详解】∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，∴∠DAE＝∠BAC，A、添加∠B＝∠D可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ABC∽△ADE，故此选项不合题意；B、添加∠C＝∠E可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ABC∽△ADE，故此选项不合题意；C、添加AD ABAE AC=可利用两边及其夹角法：两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故此选项不合题意；D、添加AC BCAE DE=不能证明△ABC∽△ADE，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形判定方法：两角法、两边及其夹角法、三边法、平行线法．11．C解析：C【解析】【分析】根据二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与坐标轴只有两个公共点，可知二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴只有一个公共点或者与x轴有两个公共点，其中一个为原点两种情况，然后分别计算出c的值即可解答本题．【详解】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与坐标轴只有两个公共点，∴二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴只有一个公共点或者与x轴有两个公共点，其中一个为原点，当二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴只有一个公共点时，(﹣2)2﹣4×1×c＝0，得c＝1；当二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与轴有两个公共点，其中一个为原点时，则c＝0，y＝x2﹣2x＝x(x﹣2)，与x轴两个交点，坐标分别为(0，0)，(2，0)；由上可得，c的值是1或0，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数与坐标的交点问题，掌握解二次函数的方法是解题的关键．12．C解析：C【解析】【分析】根据正切函数的定义，可得BC ，AC 的关系，根据勾股定理，可得AB 的长，根据正弦函数的定义，可得答案．【详解】tan A ＝BC AC ＝13，BC ＝x ，AC ＝3x ， 由勾股定理，得AB x ，sin A ＝BC AB 故选：C ．【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，利用正切函数的定义得出BC=x ，AC=3x 是解题关键．13．D解析：D【解析】【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．【详解】解：A 、原方程为二元一次方程，不符合题意；B 、原式方程为二元二次方程，不符合题意；C 、原式为分式方程，不符合题意；D 、原式为一元二次方程，符合题意，故选：D ．【点睛】此题主要考查一元二次方程的识别，解题的关键是熟知一元二次方程的定义.14．A解析：A【解析】【分析】逐项计算方程的判别式，根据根的判别式进行判断即可．【详解】解：在x 2﹣x ﹣1＝0中，△＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝1+4＝5＞0，故该方程有两个不相等的实数根，故A 符合题意；在x 2+x +1＝0中，△＝12﹣4×1×1＝1﹣4＝﹣3＜0，故该方程无实数根，故B 不符合题意； 在x 2+1＝0中，△＝0﹣4×1×1＝0﹣4＝﹣4＜0，故该方程无实数根，故C 不符合题意； 在x 2+2x +1＝0中，△＝22﹣4×1×1＝0，故该方程有两个相等的实数根，故D 不符合题意； 故选：A ．【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是记住判别式，△＞0有两个不相等实数根，△＝0有两个相等实数根，△＜0没有实数根，属于中考常考题型．15．B解析：B【解析】【分析】连接BD,CD,由勾股定理求出BD的长，再利用ABD BED，得出DE DBDB AD=，从而求出DE的长，最后利用AE AD DE=-即可得出答案．【详解】连接BD,CD∵AB为O的直径90ADB∴∠=︒22226511BD AB AD∴=-=-∵弦AD平分BAC∠11CD BD∴==CBD DAB∴∠=∠ADB BDE∠=∠ABD BED∴DE DBDB AD∴=11511=解得115DE=115 2.85AE AD DE∴=-=-=故选：B．【点睛】本题主要考查圆周角定理的推论及相似三角形的判定及性质，掌握圆周角定理的推论及相似三角形的性质是解题的关键．二、填空题16．10100【解析】【分析】首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B、B2、B4…每偶数之间的B相差10个单位长度，根据这个规律可以求解．【详解】由图象可知点B2020在第一象限解析：10100【解析】【分析】首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B、B2、B4…每偶数之间的B相差10个单位长度，根据这个规律可以求解．【详解】由图象可知点B2020在第一象限，∵OA=53，OB=4，∠AOB=90°，∴AB133===，∴OA+AB1+B1C2=53+133+4=10，∴B2的横坐标为：10，同理：B4的横坐标为：2×10=20，B6的横坐标为：3×10=30，∴点B2020横坐标为：2020102⨯=10100．故答案为：10100．【点睛】本题考查了点的坐标规律变换，通过图形旋转，找到所有B点之间的关系是本题的关键．题目难易程度适中，可以考察学生观察、发现问题的能力．17．【解析】【分析】二次函数（a≠0）的顶点坐标是（h，k）．【详解】解：根据二次函数的顶点式方程知，该函数的顶点坐标是：（1，2）．故答案为：（1，2）．【点睛】本题考查了二次函数的性解析：()1,2【解析】【分析】二次函数2()y a x h k =-+（a≠0）的顶点坐标是（h ，k ）．【详解】解：根据二次函数的顶点式方程23(1)2y x =-+知，该函数的顶点坐标是：（1，2）． 故答案为：（1，2）．【点睛】本题考查了二次函数的性质和二次函数的三种形式，解答该题时，需熟悉二次函数的顶点式方程2()y a x h k =-+中的h ，k 所表示的意义． 18．9【解析】【分析】根据方程解的定义，将a 代入方程得到含a 的等式，将其变形，整体代入所求的代数式.【详解】解：∵a 是方程的一个根，∴2a2=a+3,∴2a2-a=3,∴.故答案为：9解析：9【解析】【分析】根据方程解的定义，将a 代入方程得到含a 的等式，将其变形，整体代入所求的代数式.【详解】解：∵a 是方程223x x =+的一个根，∴2a 2=a+3,∴2a 2-a=3,∴()2263=32339a a a a --=⨯=.故答案为：9.【点睛】本题考查方程解的定义及代数式求值问题，理解方程解的定义和整体代入思想是解答此题的关键.19．2或﹣1【解析】【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=1时x 的值，结合当a≤x≤a+1时函数有最小值1，即可得出关于a 的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】当y=1时，有x解析：2或﹣1【解析】【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=1时x 的值，结合当a≤x≤a+1时函数有最小值1，即可得出关于a 的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】当y=1时，有x 2﹣2x+1=1，解得：x 1=0，x 2=2．∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值1，∴a=2或a+1=0，∴a=2或a=﹣1，故答案为：2或﹣1．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=1时x 的值是解题的关键．20．(5,3)【解析】【分析】根据二次函数顶点式的性质直接求解．【详解】解：抛物线的顶点坐标是（5，3）故答案为：（5，3）．【点睛】本题考查二次函数性质其顶点坐标为（h ，k ），题目比较解析：(5,3)【解析】【分析】根据二次函数顶点式2()y a x h k =-+的性质直接求解．【详解】解：抛物线21(5)33y x =--+的顶点坐标是（5，3）故答案为：（5，3）．【点睛】本题考查二次函数性质2()y a x h k =-+其顶点坐标为（h ，k ），题目比较简单． 21．∠B=∠1或【解析】【分析】此题答案不唯一，注意此题的已知条件是：∠A=∠A，可以根据有两角对应相等的三角形相似或有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，添加条件即可.【详解】此题答案不唯解析：∠B=∠1或AE AD AC AB = 【解析】【分析】此题答案不唯一，注意此题的已知条件是：∠A =∠A ，可以根据有两角对应相等的三角形相似或有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，添加条件即可.【详解】此题答案不唯一，如∠B =∠1或AD AE AB AC=． ∵∠B =∠1，∠A =∠A ，∴△ADE ∽△ABC ； ∵AD AE AB AC=，∠A =∠A ， ∴△ADE ∽△ABC ； 故答案为∠B =∠1或AD AE AB AC = 【点睛】此题考查了相似三角形的判定：有两角对应相等的三角形相似；有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，根据判定定理解题. 22．40°【解析】：在△QOC 中，OC=OQ ，∴∠OQC=∠OCQ ，在△OPQ 中，QP=QO ，∴∠QOP=∠QPO ，又∵∠QPO=∠OCQ+∠AOC ，∠AOC=30°，∠QOP+∠QPO+∠解析：40°【解析】：在△QOC 中，OC=OQ ，∴∠OQC=∠OCQ ，在△OPQ 中，QP=QO ，∴∠QOP=∠QPO ，又∵∠QPO=∠OCQ+∠AOC ，∠AOC=30°，∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°，∴3∠OCP=120°，∴∠OCP=40°23．【解析】如图，由题意可知∠ADB=90°，BD=，AB=，∴sinA=.解析：5 【解析】如图，由题意可知∠ADB=90°，BD=221+1=2，AB=223+1=10，∴sinA=2510BD AB ==.24．【解析】【分析】圆C 过点P 、Q ，且与相切于点M ，连接CM ，CP ，过点C 作CN ⊥PQ 于N 并反向延长，交OB 于D ，根据等腰直角三角形的性质和垂径定理，即可求出ON 、ND 、PN ，设圆C 的半径为r ，再解析：23【解析】【分析】圆C 过点P 、Q ，且与OB 相切于点M ，连接CM ，CP ，过点C 作CN ⊥PQ 于N 并反向延长，交OB 于D ，根据等腰直角三角形的性质和垂径定理，即可求出ON 、ND 、PN ，设圆C 的半径为r ，再根据等腰直角三角形的性质即可用r 表示出CD 、NC ，最后根据勾股定理列方程即可求出r ．【详解】解：如图所示，圆C 过点P 、Q ，且与OB 相切于点M ，连接CM ，CP ，过点C 作CN ⊥PQ 于N 并反向延长，交OB 于D∵2OP =，6OQ =，∴PQ=OQ －OP=4根据垂径定理，PN=122PQ = ∴ON=PN ＋OP=4在Rt △OND 中，∠O=45°∴ON=ND=4，∠NDO=∠O=45°，242ON =设圆C 的半径为r ，即CM=CP=r ∵圆C 与OB 相切于点M ，∴∠CMD=90°∴△CMD 为等腰直角三角形 ∴CM=DM=r ，22CM r =∴NC=ND －CD=42r根据勾股定理可得：NC 2＋PN 2=CP 2 即()222422r r -+=解得：124223,4223r r +==DM ＞OD ，点M 不在射线OB 上，故舍去）故答案为：23． 【点睛】此题考查的是等腰直角三角形的判定及性质、垂径定理、勾股定理和切线的性质，掌握垂径定理和勾股定理的结合和切线的性质是解决此题的关键．25．【解析】【分析】过点A 作AE⊥AO,并使∠AEO＝∠ABC,先证明，由三角函数可得出，进而求得，再通过证明，可得出，根据三角形三边关系可得:,由勾股定理可得，求出BE 的最大值，则答案即可求出.41383+ 【解析】【分析】 过点A 作AE ⊥AO,并使∠AEO ＝∠ABC,先证明ABC AEO ∆∆，由三角函数可得出23AO AE =，进而求得6AE =，再通过证明AEB AOC ∆∆，可得出23OC BE =，根据三角形三边关系可得:BE OE OB ≤+,由勾股定理可得213OE =，求出BE 的最大值，则答案即可求出.【详解】 解:过点A 作AE ⊥AO,并使∠AEO ＝∠ABC,∵OAE BAC AEO ABC∠=∠⎧⎨∠=∠⎩ , ∴ABC AEO ∆∆, ∴tan AC AO B AB AE ∠==, ∵13sin 13B ∠=, ∴2213313cos 11313B ⎛⎫∠=-= ⎪ ⎪⎝⎭, ∴213sin 213tan cos 3313B B n B ∠∠===∠, ∴23AO AE =， 又∵4AO =,∴6AE =,∵90,90EAB BAO OAC BAO ∠+∠=︒∠+∠=︒，∴ =EAB OAC ∠∠，又∵AC AO AB AE=， ∴AEB AOC ∆∆,∴23OC AC BE AB ==, ∴23OC BE =, 在△OEB 中，根据三角形三边关系可得:BE OE OB ≤+,∵OE ===，∴4OE OB +=,∴BE 的最大值为：4，∴OC 的最大值为：()28433=. 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质、三角函数、勾股定理及三角形三边关系，解题的关键是构造直角三角形. 26．120°．【解析】试题分析：若△ABC 以O 为旋转中心，旋转后能与原来的图形重合，根据旋转变化的性质，可得△ABC 旋转的最小角度为180°﹣60°=120°．故答案为120°． 考点：旋转对称图形解析：120°．【解析】试题分析：若△ABC 以O 为旋转中心，旋转后能与原来的图形重合，根据旋转变化的性质，可得△ABC 旋转的最小角度为180°﹣60°=120°．故答案为120°．考点：旋转对称图形．27．【解析】【分析】根据条件可知a 与b 的数量关系，然后代入原式即可求出答案．【详解】∵＝，∴b=a,∴=,故答案为：.【点睛】本题考查了分式，解题的关键是熟练运用分式的运算法则． 解析：53【解析】【分析】根据条件可知a与b的数量关系，然后代入原式即可求出答案．【详解】∵a bb-＝23，∴b=35 a,∴ab=5335aa=,故答案为：5 3 .【点睛】本题考查了分式，解题的关键是熟练运用分式的运算法则．28．y＝－5（x+2）2－3【解析】【分析】根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出新抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式写出即可．【详解】解：∵抛物线y=-5x2先向左平移2个单位长度，再解析：y＝－5（x+2）2－3【解析】【分析】根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出新抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式写出即可．【详解】解：∵抛物线y=-5x2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，∴新抛物线顶点坐标为（-2，-3），∴所得到的新的抛物线的解析式为y=-5（x+2）2-3．故答案为：y=-5（x+2）2-3．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握平移的规律：左加右减，上加下减是关键．29．15π．【解析】【分析】根据圆锥的主视图得到圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解析：15π．【解析】【分析】根据圆锥的主视图得到圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．【详解】解：根据题意得圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，所以这个圆锥的侧面积=12×5×2π×3=15π．【点睛】本题考查圆锥侧面积的计算，掌握公式，准确计算是本题的解题关键.30．∠ACP=∠B（或）．【解析】【分析】由于△ACP与△ABC有一个公共角，所以可利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似或有两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件．【详解】解析：∠ACP=∠B（或AP ACAC AB=）．【解析】【分析】由于△ACP与△ABC有一个公共角，所以可利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似或有两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件．【详解】解：∵∠PAC=∠CAB，∴当∠ACP=∠B时，△ACP∽△ABC；当AP ACAC AB=时，△ACP∽△ABC．故答案为：∠ACP=∠B（或AP ACAC AB=）．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似：有两组角对应相等的两个三角形相似．三、解答题31．（1）见解析；（2）1 2【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质证明△DAC ∽△EBC ；（2）依据△DAC ∽△EBC 所得条件，证明△ABC 与△DEC 相似，通过面积比等于相似比的平方得到结果.【详解】（1）证明：∵△EBC 是等腰直角三角形∴BC ＝BE ，∠EBC ＝90°∴∠BEC ＝∠BCE ＝45°．同理∠DAC ＝90°，∠ADC ＝∠ACD ＝45°∴∠EBC ＝∠DAC ＝90°，∠BCE ＝∠ACD ＝45°．∴△DAC ∽△EBC ．（2）解：∵在Rt △ACD 中， AC 2＋AD 2＝CD 2，∴2AC 2＝CD 2∴AC CD =, ∵△DAC ∽△EBC ∴AC BC ＝DC EC ， ∴EC BC ＝DC AC， ∵∠BCE ＝∠ACD∴∠BCE －∠ACE ＝∠ACD －∠ACE ，即∠BCA ＝∠ECD ，∵在△DEC 和△ABC 中，EC BC ＝DC AC，∠BCA ＝∠ECD ， ∴△DEC ∽△ABC ， ∴S △ABC :S △DEC ＝2DC AC ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝12. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，以及相似三角形的面积比等于相似比的平方，解题的关键在于利用（1）中的相似推导出第二对相似三角形.32．（1）相切，证明见解析；（2）答案见解析【解析】【分析】（1）过点O 作ON⊥CD，连接OA ，OC ，根据垂径定理及其推论可得∠AMO=∠ONC=90°，AM=CN ，从而求证△AOM≌△CON，从而判定CD 与小圆O 的位置关系；（2）在圆O 上任取一点A ，以A 为圆心，MN 为半径画弧，交圆O 于点B ，过点O 做AB 的垂线，交AB 于点C ，然后以点O 为圆心，OC 为半径画圆，连接PO ，取PO 的中点D ，以点D 为圆心，OD 为半径画圆，交以OC 为半径的圆于点E ，连接PE ，交以OA 为半径的圆于F,H 两点，FH 即为所求.。
辽宁省沈阳市九年级(上)期末数学试卷(含解析)
辽宁省沈阳市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题2分，共20分）1．如图所示的支架（一种小零件）的两个台阶的高度和宽度相等，则它的左视图为（）A．B．C．D．2．方程x2＝3x的解为（）A．x＝3B．x＝0C．x1＝0，x2＝﹣3D．x1＝0，x2＝33．已知反比例函数y＝的图象经过点（3，2），那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是（）A．（3，﹣2）B．（﹣2，﹣3）C．（1，﹣6）D．（﹣6，1）4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，那么sin A的值为（）A．B．C．D．15．抛物线y＝（x+2）2+3的顶点坐标是（）A．（﹣2，﹣3）B．（2，3）C．（﹣2，3）D．（2，﹣3）6．在抛掷硬币的试验中，下列结论正确的是（）A．经过大量重复的抛掷硬币试验，可发现“正面向上”的频率越来越稳定B．抛掷10000次硬币与抛掷12000次硬币“正面向上”的频率相同C．抛掷50000次硬币，可得“正面向上”的频率为0.5D．若抛掷2000次硬币“正面向上”的频率是0.518，则“正面向下”的频率也为0.5187．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列条件中不能判定这两个三角形相似的是（）A．∠A＝55°，∠D＝35°B．AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8C．AC＝3，BC＝4，DF＝6，DE＝8D．AB＝10，AC＝8，DE＝15，EF＝98．某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元．设这两年的年利润平均增长率为x．应列方程是（）A．300（1+x）＝507B．300（1+x）2＝507C．300（1+x）+300（1+x）2＝507D．300+300（1+x）+300（1+x）2＝5079．如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM＝3，BC＝8，则OB的长为（）A．4B．5C．6D．10．关于抛物线y＝x2﹣2x+1，下列说法错误的是（）A．开口向上B．与x轴有一个交点C．对称轴是直线x＝1D．当x＞1时，y随x的增大而减小二、填空题（每小题3分，共18分）11．若反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是．12．已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m＝0有一个根为0，则m＝．13．将抛物线y＝x2﹣2x+3沿y轴向上平移2个单位得到的抛物线的函数表达式为．14．已知：如图，△ABC的面积为12，点D、E分别是边AB、AC的中点，则四边形BCED的面积为．15．如图，将∠AOB放在边长为1的小正方形组成的网格中，则tan∠AOB＝．16．在正方形ABCD中，AB＝6，连接AC，BD，P是正方形边上或对角线上一点，若PD＝2AP，则AP的长为．三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）17．（6分）计算：tan60°+4sin30°﹣cos230°+tan45°18．（8分）如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝BF，AC⊥EF．求证：四边形AECF是菱形．19．（8分）随着科技的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样．某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“QQ”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同种沟通方式的概率．四、（每题8分，共16分）20．（8分）如图，已知反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（﹣2，m），过点A作AB⊥x 轴于点B，且△AOB的面积为4．（Ⅰ）求k和m的值；（Ⅱ）设C（x，y）是该反比例函数图象上一点，当1≤x≤4时，求函数值y的取值范围．21．（8分）如图，在矩形ABCD中，边AB、BC的长（AB＜BC）是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿矩形ABCD边A→B→C→D→A的方向运动，运动时间为t（秒）．（1）求AB与BC的长；（2）当点P运动到边BC上且AP＝时，求t的值．五、（本题10分）22．（10分）如图，男生楼在女生楼的左侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB，冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，女生楼在男生楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，女生楼在男生楼墙面上的影高为DA，已知CD＝42m．（1）求楼间距AB；（2）若男生楼共30层，层高均为3m，请通过计算说明多少层以下会受到挡光的影响？（参考数据：sin32.3°≈0.53，cos32.3°≈0.85，tan32.3°≈0.63，sin55.7°≈0.83，cos55.7≈0.56，tan55.7°≈1.47）23．（10分）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，经调查发现，若毎件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若每件降价x元，每天盈利y元，求出y与x之间的关系式；（2）每件衬衫降价多少元时，商场每天盈利最多？盈利多少元？七、（本题12分）24．（12分）如图1，在矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E为直角顶点的直角三角形EFG的两边EF，EG分别过点B，C，∠F＝30°．（1）求证：BE＝CE；（2）将△EFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF与AD重合时停止转动，若EF，EG分别与AB，BC相交于点M，N（如图2）．①求证：△BEM≌△CEN；②若AB＝2，求△BMN面积的最大值；③当旋转停止时，点B恰好在FG上（如图3），求sin∠EBG的值．25．（12分）如图，已知抛物线经过点A（3，0），B（0，3），C（﹣1，0）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求抛物线的顶点坐标；（3）如图1，点D是抛物线上一动点，过D作y轴的平行线DE交直线AB于点E，当线段DE ＝1时，请直接写出D点的横坐标；（4）如图2，当D为直线AB上方抛物线上一动点时，DF⊥AB于F，设AC的中点为M，连接BD，BM，是否存在点D，使得△BDF中有一个角与∠BMO相等？若存在，请直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（每小题2分，共20分）1．如图所示的支架（一种小零件）的两个台阶的高度和宽度相等，则它的左视图为（）A．B．C．D．【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中．【解答】解：从左面看去，是两个有公共边的矩形，如图所示：故选：D．【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．2．方程x2＝3x的解为（）A．x＝3B．x＝0C．x1＝0，x2＝﹣3D．x1＝0，x2＝3【分析】因式分解法求解可得．【解答】解：∵x2﹣3x＝0，∴x（x﹣3）＝0，则x＝0或x﹣3＝0，解得：x＝0或x＝3，故选：D．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．3．已知反比例函数y＝的图象经过点（3，2），那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是（）A．（3，﹣2）B．（﹣2，﹣3）C．（1，﹣6）D．（﹣6，1）【分析】把已知点坐标代入反比例解析式求出k的值，即可做出判断．【解答】解：把（2，3）代入反比例解析式得：k＝6，∴反比例解析式为y＝，则（﹣2，﹣3）在这个函数图象上，故选：B．【点评】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，那么sin A的值为（）A．B．C．D．1【分析】根据正弦的定义列式计算即可．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝2BC，∴sin A＝＝，故选：A．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．5．抛物线y＝（x+2）2+3的顶点坐标是（）A．（﹣2，﹣3）B．（2，3）C．（﹣2，3）D．（2，﹣3）【分析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．【解答】解：抛物线y＝（x+2）2+3的顶点坐标是（﹣2，3）．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式求顶点坐标的方法是解题的关键．6．在抛掷硬币的试验中，下列结论正确的是（）A．经过大量重复的抛掷硬币试验，可发现“正面向上”的频率越来越稳定B．抛掷10000次硬币与抛掷12000次硬币“正面向上”的频率相同C．抛掷50000次硬币，可得“正面向上”的频率为0.5D．若抛掷2000次硬币“正面向上”的频率是0.518，则“正面向下”的频率也为0.518【分析】根据概率的定义对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、经过大量重复的抛掷硬币试验，可发现“正面向上”的频率越来越稳定，正确；B、抛掷10000次硬币与抛掷12000次硬币“正面向上”的频率不同，错误；C、抛掷50000次硬币，可得“正面向上”的频率约为0.5，错误；D、若抛掷2000次硬币“正面向上”的频率是0.518，则“正面向下”的频率为0.482，错误；故选：A．【点评】本题考查的是模拟实验和概率的意义，熟知概率的定义是解答此题的关键．7．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列条件中不能判定这两个三角形相似的是（）A．∠A＝55°，∠D＝35°B．AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8C．AC＝3，BC＝4，DF＝6，DE＝8D．AB＝10，AC＝8，DE＝15，EF＝9【分析】根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析即可．【解答】解：A、相似：∵∠A＝55°∴∠B＝90°﹣55°＝35°∵∠D＝35°∴∠B＝∠D∵∠C ＝∠F∴△ABC∽△DEF；B、相似：∵AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8，∴，∵∠C＝∠F∴△ABC∽△DEF；C、有一组角相等两边对应成比例，但该组角不是这两边的夹角，故不相似；D、相似：∵AB＝10，BC＝6，DE＝15，EF＝9，∴，∵∠C＝∠F∴△ABC∽△DEF；故选：C．【点评】此题主要要求学生熟练掌握相似三角形的判定定理：两角对应相等，两组边对应成比例且夹角相等，三边对应成比例．8．某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元．设这两年的年利润平均增长率为x．应列方程是（）A．300（1+x）＝507B．300（1+x）2＝507C．300（1+x）+300（1+x）2＝507D．300+300（1+x）+300（1+x）2＝507【分析】设这两年的年利润平均增长率为x，根据2018年初及2020年初的利润，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设这两年的年利润平均增长率为x，根据题意得：300（1+x）2＝507．故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9．如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM＝3，BC＝8，则OB的长为（）A．4B．5C．6D．【分析】由平行线分线段成比例可得CD＝6，由勾股定理可得AC＝10，由直角三角形的性质可得OB的长．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形∴AB∥CD，AD＝BC＝8，∵OM∥AB∴OM∥CD∴，且AO＝AC，OM＝3∴CD＝6，在Rt△ADC中，AC＝＝10∵点O是斜边AC上的中点，∴BO＝AC＝5故选：B．【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，求CD的长度是本题的关键．10．关于抛物线y＝x2﹣2x+1，下列说法错误的是（）A．开口向上B．与x轴有一个交点C．对称轴是直线x＝1D．当x＞1时，y随x的增大而减小【分析】把二次函数解析式化为顶点式，逐项判断即可得出答案．【解答】解：∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1，当x＞1时，y随x的增大而增大，∴A、C正确，D不正确；令y＝0可得（x﹣1）2＝0，该方程有两个相等的实数根，∴抛物线与x轴有一个交点，∴B正确；故选：D．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，其对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．二、填空题（每小题3分，共18分）11．若反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是k＞2．【分析】根据图象在第二、四象限，利用反比例函数的性质可以确定2﹣k的符号，即可解答．【解答】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限，∴2﹣k＜0，∴k＞2．故答案为：k＞2．【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，熟练记忆当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限是解决问题的关键．12．已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m＝0有一个根为0，则m＝2．【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义列出关于m的方程，通过解关于m的方程求得m的值即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m＝0有一个根为0，∴m2﹣2m＝0且m≠0，解得，m＝2．故答案是：2．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解的定义．解答该题时需注意二次项系数a≠0这一条件．13．将抛物线y＝x2﹣2x+3沿y轴向上平移2个单位得到的抛物线的函数表达式为y＝（x﹣1）2+4．【分析】先把y＝x2﹣2x+3配成顶点式，再利用顶点式写出平移后的抛物线的解析式．【解答】解：y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，此抛物线的顶点坐标为（1，2），把点（1，2）向上平移2个单位长度后所得对应点的坐标为（1，4），所以平移后得到的抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2+4．故答案为：y＝（x﹣1）2+4．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．14．已知：如图，△ABC的面积为12，点D、E分别是边AB、AC的中点，则四边形BCED的面积为9．【分析】设四边形BCED的面积为x，则S＝12﹣x，由题意知DE∥BC且DE＝BC，从而△ADE得＝（）2，据此建立关于x的方程，解之可得．【解答】解：设四边形BCED的面积为x，则S＝12﹣x，△ADE∵点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，且DE＝BC，∴△ADE∽△ABC，则＝（）2，即＝，解得：x＝9，即四边形BCED的面积为9，故答案为：9．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握中位线定理及相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质．15．如图，将∠AOB放在边长为1的小正方形组成的网格中，则tan∠AOB＝．【分析】先在图中找出∠AOB所在的直角三角形，再根据三角函数的定义即可求出tan∠AOB的值．【解答】解：过点A作AD⊥OB垂足为D，如图，在直角△AOD中，AD＝1，OD＝2，则tan∠AOB＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．16．在正方形ABCD中，AB＝6，连接AC，BD，P是正方形边上或对角线上一点，若PD＝2AP，则AP的长为2或2或﹣．【分析】根据正方形的性质得出AC⊥BD，AC＝BD，OB＝OA＝OC＝OD，AB＝BC＝AD＝CD＝6，∠ABC＝90°，根据勾股定理求出AC、BD、求出OA、OB、OC、OD，画出符合的三种情况，根据勾股定理求出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝6，∴AC⊥BD，AC＝BD，OB＝OA＝OC＝OD，AB＝BC＝AD＝CD＝6，∠ABC＝∠DAB＝90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝6，∴OA＝OB＝OC＝OD＝3，有6种情况：①点P在AD上时，∵AD＝6，PD＝2AP，∴AP＝2；②点P在AC上时，设AP＝x，则DP＝2x，在Rt△DPO中，由勾股定理得：DP2＝DO2+OP2，（2x）2＝（3）2+（3﹣x）2，解得：x＝﹣（负数舍去），即AP＝﹣；③点P在AB上时，设AP＝y，则DP＝2y，在Rt△APD中，由勾股定理得：AP2+AD2＝DP2，y2+62＝（2y）2，解得：y＝2（负数舍去），即AP＝2；④当P在BC上，设BP＝x，∵DP＝2AP，∴2＝，即x2+6x+24＝0，△＝62﹣4×1×24＜0，此方程无解，即当点P在BC上时，不能使DP＝2AP；⑤P在DC上，∵∠ADC＝90°，∴AP＞DP，不能DP＝2AP，即当P在DC上时，不能具备DP＝2AP；⑥P在BD上时，过P作PN⊥AD于N，过P作PM⊥AB于M，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝∠ANP＝∠AMP＝90°，∴四边形ANPM是矩形，∴AM＝PN，AN＝PM，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD＝45°，∵∠PMB＝90°，∴∠MBP＝∠MPB＝45°，∴BM＝PM＝AN，同理DN＝PN＝AM，设PM＝BM＝AN＝x，则PN＝DN＝AM＝6﹣x，都不能DP＝2AP，∵DP＝2AP，∴由勾股定理得：2＝，即x2﹣4x+12＝0，△＝（﹣4）2﹣4×1×12＜0，此方程无解，即当P在BD上时，不能DP＝2AP，故答案为：2或2或﹣．【点评】本题考查了正方形的性质和勾股定理，能求出符合的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想．三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）17．（6分）计算：tan60°+4sin30°﹣cos230°+tan45°【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而化简得出答案．【解答】解：原式＝×+4×﹣（）2+1＝+2﹣+1＝3．【点评】此题主要考查了实数运算，正确记忆相关数据是解题关键．18．（8分）如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝BF，AC⊥EF．求证：四边形AECF是菱形．【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明；【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵DE＝BF，∴AE＝CF，∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．【点评】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．19．（8分）随着科技的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样．某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“QQ”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同种沟通方式的概率．【分析】列出树状图分别求出所有情况以及甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的情况后，利用概率公式即可求出甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率．【解答】解：画出树状图，如图所示所有情况共有9种情况，其中甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的共有3种情况，故甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率为＝．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率与不等式的性质．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．四、（每题8分，共16分）20．（8分）如图，已知反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（﹣2，m），过点A作AB⊥x 轴于点B，且△AOB的面积为4．（Ⅰ）求k和m的值；（Ⅱ）设C（x，y）是该反比例函数图象上一点，当1≤x≤4时，求函数值y的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据三角形的面积公式先得到m的值，然后把点A的坐标代入y＝，可求出k 的值；（Ⅱ）先分别求出x＝1和4时，y的值，再根据反比例函数的性质求解．【解答】解：（Ⅰ）∵△AOB的面积为4，∴，即可得：k＝x A•y A＝﹣8，令x＝2，得：m＝4；（Ⅱ）当1≤x≤4时，y随x的增大而增大，令x＝1，得：y＝﹣8；令x＝4，得：y＝﹣2，所以﹣8≤y≤﹣2即为所求．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点在图象上，点的横纵坐标满足图象的解析式；也考查了反比例函数的性质，三角形的面积公式以及代数式的变形能力．21．（8分）如图，在矩形ABCD中，边AB、BC的长（AB＜BC）是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿矩形ABCD边A→B→C→D→A的方向运动，运动时间为t（秒）．（1）求AB与BC的长；（2）当点P运动到边BC上且AP＝时，求t的值．【分析】（1）利用因式分解法解出方程即可；（2）先根据勾股定理计算BP，再求t的值．【解答】解：（1）∵x2﹣7x+12＝0，则（x﹣3）（x﹣4）＝0，∴x1＝3，x2＝4．∵AB＜BC，∴AB＝3，BC＝4；（2）如图，在Rt△ABP中，∵AP＝，AB＝3，∴BP＝＝＝1．∴t＝＝4．答：t的值是4秒．【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理以及一元二次方程的解法，正确解出方程、灵活运用勾股定理是解题的关键．五、（本题10分）22．（10分）如图，男生楼在女生楼的左侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB，冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，女生楼在男生楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，女生楼在男生楼墙面上的影高为DA，已知CD＝42m．（1）求楼间距AB；（2）若男生楼共30层，层高均为3m，请通过计算说明多少层以下会受到挡光的影响？（参考数据：sin32.3°≈0.53，cos32.3°≈0.85，tan32.3°≈0.63，sin55.7°≈0.83，cos55.7≈0.56，tan55.7°≈1.47）【分析】（1）如图，作CM⊥PB于M，DN⊥PB于N．则AB＝CM＝DN，设AB＝CM＝DN＝xm．想办法构建方程即可解决问题．（2）求出AC，AD，分两种情形解决问题即可．【解答】解：（1）如图，作CM⊥PB于M，DN⊥PB于N．则AB＝CM＝DN，设AB＝CM＝DN ＝xm．在Rt△PCM中，PM＝x•tan32.3°＝0.63x（m），在Rt△PDN中，PN＝x•tan55.7°＝1.47x（m），∵CD＝MN＝42m，∴1.47x﹣0.63x＝42，∴x＝50，∴AB的长为50m．（2）由（1）可知：PM＝31.5m，∴AD＝90﹣42﹣31.5＝16.5（m），AC＝90﹣31.5＝58.5，∵16.5÷3＝5.5，58.5÷3＝19.5，∴冬至日20层（包括20层）以下会受到挡光的影响，春分日6层（包括6层）以下会受到挡光的影响．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．六、（本题10分）23．（10分）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，经调查发现，若毎件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若每件降价x元，每天盈利y元，求出y与x之间的关系式；（2）每件衬衫降价多少元时，商场每天盈利最多？盈利多少元？【分析】（1）根据题意，设每件降价x元，商场平均每天盈利y元，则每件盈利（40﹣x）元，每天可以售出（20+2x）件，所以商场平均每天盈利（40﹣x）（20+2x）元，即y＝（40﹣x）（20+2x）；（2）用“配方法”求出y的最大值，并求出每件衬衫的降价钱数．【解答】解：（1）设每件降价x元，商场平均每天盈利y元，则y＝（40﹣x）（20+2x）＝800+80x﹣20x﹣2x2＝﹣2x2+60x+800；（2）y＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x2﹣30x+225）+800+450＝﹣2（x﹣15）2+1250所以当x＝15时，y的最大值为1250，答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多，是1250元．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确表示出每件衬衫的利润以及销量是解题关键．七、（本题12分）24．（12分）如图1，在矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E为直角顶点的直角三角形EFG的两边EF，EG分别过点B，C，∠F＝30°．（1）求证：BE＝CE；（2）将△EFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF与AD重合时停止转动，若EF，EG分别与AB，BC相交于点M，N（如图2）．①求证：△BEM≌△CEN；②若AB＝2，求△BMN面积的最大值；③当旋转停止时，点B恰好在FG上（如图3），求sin∠EBG的值．【分析】（1）只要证明△BAE≌△CDE即可；（2）①利用（1）可知△EBC是等腰直角三角形，根据ASA即可证明；②构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；③如图3中，作EH⊥BG于H．设NG＝m，则BG＝2m，BN＝EN＝m，EB＝m．利用面积法求出EH，根据三角函数的定义即可解决问题；【解答】（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，∵E是AD中点，∴AE＝DE，∴△BAE≌△CDE，∴BE＝CE．（2）①解：如图2中，由（1）可知，△EBC是等腰直角三角形，∴∠EBC＝∠ECB＝45°，∵∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠EBM＝∠ECN＝45°，∵∠MEN＝∠BEC＝90°，∴∠BEM＝∠CEN，∵EB＝EC，∴△BEM≌△CEN；②∵△BEM≌△CEN，∴BM＝CN，设BM＝CN＝x，则BN＝4﹣x，＝•x（4﹣x）＝﹣（x﹣2）2+2，∴S△BMN∵﹣＜0，∴x＝2时，△BMN的面积最大，最大值为2．③解：如图3中，作EH⊥BG于H．设NG＝m，则BG＝2m，BN＝EN＝m，EB＝m．∴EG＝m+m＝（1+）m，∵S＝•EG•BN＝•BG•EH，△BEG∴EH＝＝m，在Rt△EBH中，sin∠EBH＝＝＝．【点评】本题考查四边形综合题、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换、锐角三角函数等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．八、（本题12分）25．（12分）如图，已知抛物线经过点A（3，0），B（0，3），C（﹣1，0）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求抛物线的顶点坐标；（3）如图1，点D是抛物线上一动点，过D作y轴的平行线DE交直线AB于点E，当线段DE ＝1时，请直接写出D点的横坐标；（4）如图2，当D为直线AB上方抛物线上一动点时，DF⊥AB于F，设AC的中点为M，连接BD，BM，是否存在点D，使得△BDF中有一个角与∠BMO相等？若存在，请直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设交点式y＝a（x﹣3）（x+1），然后把B点坐标代入求出a得到抛物线解析式，然后把解析式（2）把一般式化为顶点式得到抛物线的顶点坐标；（3）易得直线AB的解析式为y＝﹣x+3，设D（x，﹣x2+2x+3），则E（x，﹣x+3），利用题意得到|x2﹣3x|＝1，然后•解绝对值方程即可；（4）若∠BDF＝∠BMO，则∠DBF＝∠OBM，作BH⊥y轴于B，作DH⊥BH于H，MG⊥AB于G，如图，证明∠DBH＝∠MBG，再计算出tan∠MBG＝＝tan∠DBH＝，则BH＝2DH，设D（t，﹣t2+2t+3）（0＜t＜3），所以t＝2[3﹣（﹣t2+2t+3]，然后解t的方程得到此时D点的横坐标．若∠DBF＝∠BMO，作BB′⊥y轴于抛物线交于另一点B′，作B′G∥y轴交BD于G，如图3，则∠GBB′＝∠MBA，B′（2，3），同理得tan∠MBA＝，则GB′＝1，所以G（2，4），接着求出直线BG的解析式为y＝x+3，然后解方程组得D点坐标．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣3）（x+1），把B（0，3）代入得a•（0﹣3）•（0+1）＝3，解得a＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣3）（x+1），即y＝﹣x2+2x+3；（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线的顶点坐标为（1，4）；（3）易得直线AB的解析式为y＝﹣x+3，设D（x，﹣x2+2x+3），则E（x，﹣x+3）∵DE＝|﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）|＝|x2﹣3x|∴|x2﹣3x|＝1，解方程x2﹣3x＝1得x1＝，x2＝；解方程x2﹣3x＝﹣1得x1＝，x2＝，∴D点的横坐标为或或或；（4）存在．抛物线的对称轴为直线x＝1，则M（1，0），若∠BDF＝∠BMO，则∠DBF＝∠OBM，作BH⊥y轴于B，作DH⊥BH于H，MG⊥AB于G，如图2，∵OA＝OB＝3，∴△OAB为等腰直角三角形，∴∠OBA＝∠OAB＝45°，AB＝3，∴∠HBA＝45°，∴∠DBH＝∠MBG，在Rt△AMG中，AG＝MG＝AM＝，∴BG＝2，在Rt△MBG中，tan∠MBG＝＝＝，在Rt△DBH中，tan∠DBH＝＝，∴BH＝2DH，设D（t，﹣t2+2t+3）（0＜t＜3），∴t＝2[3﹣（﹣t2+2t+3]，整理得2t2﹣5t＝0，解得t1＝0（舍去），t2＝，∴D点坐标为（，），若∠DBF＝∠BMO，作BB′⊥y轴于抛物线交于另一点B′，作B′G∥y轴交BD于G，如图3，则∠GBB′＝∠MBA，B′（2，3），同理得tan∠MBA＝，∴tan∠GBB′＝＝，∴GB′＝1，∴G（2，4），易得直线BG的解析式为y＝x+3，解方程组得或，∴D点坐标为（，），综上所述，D点的横坐标为或．【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰直角三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．。
辽宁省沈阳市沈北新区九年级上学期数学期末试题及答案
A. 点OB. 点PC. 点QD. 点R【答案】A【解析】【分析】连接,AA CC ''交于点O ，即可．【详解】解：如图，连接,AA CC ''交于点O ，∴位似中心是点O ．故选：A ．【点睛】本题主要考查了位似图形性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．3. 一个不透明的口袋中装有n 个白球，为了估计白球的个数，向口袋中加入3个红球，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在10%附近，则n 的值为（ ）A. 27B. 30C. 33D. 36【答案】A【解析】【分析】根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值可知摸到红球的概率为0.1，由此根据概率计算公式建立方程求解即可．【详解】解：由题意得，30.13n =+，解得27n =，经检验，27n =是原方程的解，故选：A ．【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，熟知大量反复试验下频率的稳定值即为概率值是解题的关键．4. 用配方法解一元二次方程28120x x -+=，配方后得到的方程是（）的A. ()246x -=B. ()244x -=C. ()226x -=D. ()224x -=【答案】B【解析】【分析】把常数项移到等式右边后，利用完全平方公式配方得到结果，即可做出判断．【详解】解：28120x x -+=，移项得：2812x x -=-，配方得：28161216x x -+=-+，整理得：()244x -=，故选：B ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的配方法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．5. 2023年连花清瘟胶囊0.3548*粒经过两次降价，从每盒43元下调至13.8元，设平均每次降价百分率为x ，则下面所列方程正确的是（ ）A. 243(1)13.8x -= B. 243(1)13.8x -=C. 43(12)13.8x -= D. 213.8(1)43x +=【答案】B【解析】【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．根据药品经过两次降价，每瓶零售价由43元降为13.8元，可以列出方程243(1)13.8x -=，本题得以解决．【详解】解：由题意可得，243(1)13.8x -=，故选：B ．6. 等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x 的方程240x x k -+=的两个根，则三角形的周长为（ ）A. 7或8B. 8C. 15D. 7【答案】D【解析】【分析】本题考查了根的判别式：当底边为3，利用根的判别式的意义得到2(4)40k ∆=--=，解得4k =；当腰为3时，把3x =代入关于x 的方程240x x k -+=得9120k -+=，解得3k =．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=-有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程无实数根．熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．【详解】解：当底边为3，两腰为关于x 的方程240x x k -+=的两个根，∴2(4)40k ∆=--=，解得4k =，此时方程为2440x x -+=，解得122x x ==，三边分别为：2，2，3，此时周长为：2237++=当腰为3时，把3x =代入关于x 的方程240x x k -+=得9120k -+=，解得3k =，此时方程为2430x x -+=，解得11x =，23x =，三角形三边分别3、3、1，此时周长为：3317++=故选：D ．7. 如图，把矩形ABCD 对折，折痕为MN ，如果矩形DMNC 和矩形ABCD 相似，则它们的相似比为（ ）为C. 2D. 12【答案】A【解析】【分析】此题主要考查了相似多边形的对应边的比相等，设矩形ABCD 的长AD x =，宽AB y =，根据相似多边形对应边的比相等，即可求得．【详解】解：设矩形ABCD 的长AD x =，宽AB y =，则1122DM AD x ==， 矩形DMNC 与矩形ABCD 相似，∴DM DC AB AD =，即12x y y x =，即2212y x =．:y x ∴==故选：A ．8. 如图，岛P 位于岛Q 的正西方，P 、Q 两岛间的距离为()40+海里，由岛P 、Q 分别测得船R 位于南偏东60︒和南偏西45︒方向上，则船R 到岛P 的距离为（ ）A. B. 海里 C. 海里 D. 80海里【答案】D【解析】【分析】本题考查方向角、含30︒的直角三角形和等腰直角三角形性质，本题通过作RA PQ ⊥于点A ，构造直角三角形，利用勾股定理解得此题．【详解】解：作RA PQ ⊥于点A ，如图所示．∴90QAR PAR ∠=∠=︒，45QRA ∴∠=︒，45Q ∠=︒ ，QRA Q ∴∠=∠，AQ AR ∴=，30P ∠=︒ ，2PR AR ∴=．设AR x =，则AQ x =，2PR x =，PA =，40PQ =+ ，40PA x ∴=-，40x ∴+-=，解得40x =，则280PR x ==．故选：D ．9. 如图，在矩形ABCD 中，16cm AB =，6cm BC =，点P 从点A 出发沿AB 以3cm /s 的速度向点B 移动，一直到达点B 为止;同时，点Q 从点C 出发沿边CD 以2cm /s 的速度向点D 移动． 设运动时间为t ，当10cm PQ =时，t =（ ）A. 83 B. 85或4 C. 85或245 D. 4【答案】C【解析】【点评】此题考查了一元二次方程的运用．利用作垂线，构造直角三角形，运用勾股定理列方程是解题关键．作PH CD ⊥，垂足为H ，设运动时间为t 秒，用t 表示线段长，用勾股定理列方程求解．【详解】解：设P ，Q 两点从出发经过t 秒时，点P ，Q 间的距离是10cm ,作PH CD ⊥，垂足为H ，则6PH BC ==，10PQ =，165HQ CD AP CQ t =--=-.222PH HQ PQ += ，可得：()222165610t -+=，解得1 4.8t =，2 1.6t =．答：P ，Q 两点从出发经过1.6或4.8秒时，点P ，Q 间的距离是10cm .故答案为：C.10. 如图，菱形ABCD 中，60A ∠=︒，边8AB =，E 为边DA 的中点，P 为边CD 上的一点，连接PE PB EB 、、，当PE EB =时，线段PE 的长为（ ）A. 2B.C. 4D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键．如图，连接BD ，证明ABD △是等边三角形，则90AEB ∠=︒，4AE =，根据PE BE ==【详解】解：如图，连接BD ，∵菱形ABCD ，∴8AB AD ==，∵60A ∠=︒，∴ABD △是等边三角形，∵E 为边DA 的中点，∴90AEB ∠=︒，∴4AE =，∴PE BE ===，故选：D ．二．填空题(每题3分，共15分)11. 图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，AD 与CB 相交于点O ，AB CD ∥，根据图2中的数据可得x 的值为_____．【答案】0.96##2425【解析】【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，由AB CD ∥，可得出COD BOA ∽ ，进而得出20.81 1.x =，解出即可得出结论．【详解】解：∵AB CD ∥，∴COD BOA ∽ ，∴21.CD x AB =，∴20.81 1.x =，0.96x ∴=，故答案为：0.96．12. 如图，已知AOB 是一块含有30︒角的直角三角板（30OAB ∠=︒），点A 是函数()60y x x =>的图象上点，点B 是函数()0k y x x=>的图象上一点，则k 的值为_________．【答案】2-【解析】【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，反比例函数k 值的几何意义，过点A 作y 轴的垂线，垂足为点C ，过点B 作y 轴的垂线，垂足为点D ，根据反比例函数k 值的几何意义得出3OAC S =△，通过证明OAC BOD ∽，得出23OAC OBD S OA S OB ⎛⎫== ⎪⎝⎭，进而得出1OBD S = ，则1k =，最后根据函数()0k y x x =>的图象位于第四象限，即可求解．【详解】解：过点A 作y 轴的垂线，垂足为点C ，过点B 作y 轴的垂线，垂足为点D ，∵点A 是函数()60y x x =>的图象上点，∴1632OAC S =⨯= ，∵90AOB ∠=︒，30OAB ∠=︒，∴2AB OB =，根据勾股定理可得：OA ===，∵AC y ⊥轴，BD y ⊥轴，∴90,90,90ACO ODB AOC OAC ∠=︒∠=︒∠+∠=︒，∵90AOB ∠=︒，∴90AOC BOD ∠+∠=︒，∴OAC BOD ∠=∠，∴OAC BOD ∽，∴23OAC OBD S OA S OB ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴1OBD S = ，则2k =，∵函数()0k y x x=>的图象位于第四象限，∴2k =-，故答案为：2-．13. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要方法，在计算tan15︒时，如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，延长CB ，使BD AB =，连接AD ，使得15D ∠=︒，所以tan152AC CD︒====，类比这种方法，计算tan 22.5︒=______．1-【解析】【分析】如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，45CAB ∠=︒，作CAB ∠角平分线AD ，作DE AB ⊥，设DE CD x ==，则sin DE BD B==∠，AC BC x ==+，根据tan 22.5CD AC︒=，计算求解即可．【详解】解：如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，45CAB ∠=︒，作CAB ∠的角平分线AD ，作DE AB ⊥，∴CD DE =，122.52CAD CAB ∠=∠=︒，∵45B ∠=︒，设DE CD x ==，∴sin DE BD B==∠，AC BC x ==，∴tan 22.51CD AC ︒===-，1．【点睛】本题考查了三角形内角和，角平分线的性质定理，等腰三角形的性质，正弦，正切等知识．熟练掌握角平分线的性质定理，正弦，正切是解题的关键．14. 如图，已知ABC 中，点E 在斜边AB 上，53AB AE BC ===，，F 是边AC 上一动点，沿EF 所在直线折叠ABC ，点A 的对应点为点A '，A E '，A F '交BC 于点N ，M ．当A MN '△与ABC 相似时．AF 的长是______．的【答案】3或125【解析】【分析】当A MN '△与ABC 相似时．分①当BC A MN A ' ∽，A E AC '∥；②当BC A NM A ' ∽，M C 、两点重合；两种情况求解即可．【详解】解：由勾股定理得，4AC ==，由折叠可知，A A ∠'=∠，当A MN '△与ABC 相似时．分BC A MN A ' ∽，BC A NM A ' ∽两种情况求解：①当BC A MN A ' ∽时，即90A NM '∠=︒，A E AC '∥，∴AFE A EF AEF '∠=∠=∠，∴3AF AE ==；②当BC A NM A ' ∽时，即90A MN '∠=︒，M C 、两点重合，A '在AC 的延长线上，∴EF AC ⊥，即EF BC ∥，∴AF AEAC AB =，即345AF =，解得，125AF =；综上所述，AF的值为3或125，故答案为：3或125．【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，相似三角形的性质，等角对等边，平行线分线段成比例等知识．熟练掌握折叠的性质，相似三角形的性质，等角对等边，平行线分线段成比例是解题的关键．15. 如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形ABCD 是矩形，顶点A ，B ，C ，D的坐标分别为()()()()10505212--，，，，，，，，点E ()30，在x 轴上，点P 在CD 边上运动，使OPE 为等腰三角形，则满足条件的P 点坐标为______．【答案】322⎛⎫ ⎪⎝⎭，或)2或()32【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线，勾股定理．分情况讨论是解题的关键．由题意知，分OE 为底，OE 为腰两种情况求解：设()2P a ，，则15a -≤≤，分①当OE 为底，则P 在OE 的垂直平分线与CD 的交点；②当OE 为腰，且3OP OE ==时，3=；当OE 为腰，且3PE OE ==3=；分别计算求出满足要求的解即可．【详解】解：由题意知，分OE 为底，OE 为腰两种情况求解：设()2P a ，，则15a -≤≤，①当OE 为底，则P 在OE 的垂直平分线与CD 的交点，∴322P ⎛⎫⎪⎝⎭，；②当OE 为腰，且3OP OE ==时，3=，解得，a =或a =（舍去），∴)2P；当OE 为腰，且3PE OE ==时，3=，解得，3a =-3a =+（舍去），∴()32P ；综上所述，P 点坐标为322⎛⎫ ⎪⎝⎭，或)2或()32，故答案为：322⎛⎫ ⎪⎝⎭，或)2或()32．三．解答题16. 用适当的方法解方程．（1）23230x x --=．（2）()()22223x x -=+．【答案】（1）1x =2x =（2）15x =-，213x =-【解析】【分析】本题考查了公式法、直接开平方法解一元二次方程．熟练掌握公式法、直接开平方法解一元二次方程是解题的关键．（1）利用公式法解一元二次方程即可；（2）利用直接开平方法解一元二次方程即可．【小问1详解】解：23230x x --=，()()2243340∆=--⨯⨯-=，∴12x ==，，解得，1x =2x =【小问2详解】解：()()22223x x -=+，∴223x x -=+或()223x x -=-+，解得，15x =-，213x =-．17. 共享概念已经进入人们的生活，某同学收集了自己感兴趣的4个共享领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A ，B ，C ，D 四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．从中随机抽取两张卡片，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．【答案】16【解析】【分析】画树状图列出所有结果数以及抽到两张卡片“共享出行”和“共享知识”的结果数，然后再利用概率=发生事件的总数÷总事件总数即可求出答案．【详解】解：由题意得，画树状图如下：由图可知，共有12中可能，其中抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”，即A 和D 的结果只有2种．∴抽的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率是21126=．【点睛】本题考查了树状图法，熟练掌握树状图法以及概率公式是解题的关键．18. 图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱OA 垂直地面OB ，支架CD 与OA 交于点A ，支架CG CD ⊥交OA 于点G ，支架DE 平行地面OB ，篮筐EF 与支架DE 在同一直线上， 2.5OA =米，0.8AD =米．32AGC ∠=︒．（1）求：支架点D 到立柱OA 的距离；（2）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：sin 320.53,cos320.85,tan 320.62︒≈︒≈︒≈）【答案】18. 0.68 19. 能，理由见解析【解析】【分析】本题考查了三角形内角和定理，解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键（1）：如图，延长ED OA ，，交点为H ，则32ADH AGC ∠=∠=︒，根据cos DH AD ADH =⋅∠，计算求解即可；（2）由题意知，sin AH AD ADH =⋅∠，OH OA AH =+，比较OH 与3的大小，然后作答即可．【小问1详解】解：如图，延长ED OA ，，交点为H ，∴90AHD ACG ∠=∠=︒，∵180ADH DAH AHD AGC GAC ACG ∠+∠+∠=︒=∠+∠+∠，DAH GAC ∠=∠，∴32ADH AGC ∠=∠=︒，∴cos 0.80.850.68DH AD ADH =⋅∠≈⨯=；∴支架点D 到立柱OA 的距离为0.68米；【小问2详解】解：不能，理由如下：由题意知，sin 0.80.530.424AH AD ADH =⋅∠≈⨯=（米），∴ 2.924OH OA AH =+=（米），∵2.9243<，∴能．19. 如图，在ABC 中，D 是边AB 上一点．（1）当ACD B ∠=∠时，①求证：ABC ACD △△∽；②若1AD =，3BD =，求AC 的长；（2）已知2AB AD ==，若2CD =，求BC 的长．【答案】（1）①见解析；②2AC =（2）BC =【解析】【分析】（1）①根据相似三角形判定方法对应角相等证明即可；②利用相似三角形对应边呈比例求解即可；（2）据相似三角形判定方法对应边呈比例证明ABC ACD △△∽，由2AB AD ==，2CD =，即可求解．【小问1详解】①证明：∵ABC ACD ∠=∠，BAC CAD ∠=∠，∴ABC ACD △△∽；②解：∵ABC ACD △△∽，∴AC AB AD AC=，即()21134AC AD AB =⋅=⨯+=，∴2AC =；【小问2详解】解：∵2AB AD ==，∴AB ACAC AD==.∵BAC CAD ∠=∠，∴ABC ACD △△∽，∴AB BCAC CD==， 2CD =，∴BC =【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键．20. 如图，在四边形ABCD 中，AB CD ，90D Ð=°，ABC ∠的平分线BE 交CD 于点E ，F 是AB 的中点，连接AE 、EF ，且AE BE ⊥．求证：（1）四边形BCEF 是菱形；（2）2BE AE AD EF ⋅=⋅．【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】（1）由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得EF BF AF ==，则FEB FBE ∠=∠，∠=∠FEB CBE ，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明四边形BCEF 是平行四边形，然后由EF BF =，证明四边形BCEF 是菱形．（2）由平行的性质可得DEA EAB ∠=∠，证明ADE BEA V :V ，则AE ADAB BE=，整理可证结论．【小问1详解】证明：∵AE BE ⊥，F 是AB 的中点．∴EF BF AF ==，∴FEB FBE ∠=∠．∵BE 是ABC ∠的平分线，∴FBE CBE ∠=∠，∴∠=∠FEB CBE ，∴EF BC ∥，∵BF CE ，∴四边形BCEF 是平行四边形．∵EF BF =，∴四边形BCEF 是菱形．【小问2详解】∵AB CD ，∴DEA EAB ∠=∠．∵90D AEB ∠=∠=︒，∴ADE BEA V :V ，∴AE ADAB BE=，∴BE AE AD AB ⋅=⋅，即2BE AE AD EF ⋅=⋅．【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等边对等角，平行线的判定与性质，角平分线，菱形的判定，相似三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定．相似三角形的判定与性质是解题的关键．21. 某杨梅采摘园收费信息如下表：成人票儿童票带出杨梅价格不超过10人超过10人30元/人每增加1人，人均票价下降1元，但不低于儿童票价18元/人30元/斤（1）某公司员工（均为成人）在该杨梅采摘园组织团建活动，共支付票价384元，求这次参加团建的共多少人？（2）某社团共35人去该采摘园进行综合实践活动，购买了10张儿童票，其余均为成人票，总费用不超过1530元，求本次活动他们最多共带出杨梅多少斤？【答案】（1）16（2）30【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用．解题的关键在于根据题意正确的列等式、不等式．（1）设这次参加团建的共x 人，由题意求得1022x <<，依题意得，()3010384x x ⎡⎤--=⎣⎦，计算求出满足要求的解即可；（2）由题意求得，当成人人数大于或等于22人时，成人票都是18元/人， 由351025-=（人），2522>，可得该社团购买的成人票为18元/人，设本次活动他们最多共带出杨梅y 斤，依题意得，10182518301530y ⨯+⨯+≤，计算求解，然后作答即可．【小问1详解】解：设这次参加团建的共x 人，由题意知，1030300⨯=（元），1822396⨯=（元），∵300384396<<，∴1022x <<，依题意得，()3010384x x ⎡⎤--=⎣⎦，整理得，2403840x x -+=，()()24160x x --=，∴160x -=或240x -=，解得，16x =或24x =（舍去）∴这次参加团建的共16人；【小问2详解】解：∵()3018112-÷=（人），101222+=（人），∴当成人人数大于或等于22人时，成人票都是18元/人， ∵351025-=（人），2522>，∴该社团购买的成人票为18元/人，设本次活动他们最多共带出杨梅y 斤，依题意得，10182518301530y ⨯+⨯+≤，解得，30y ≤，∴本次活动他们最多共带出杨梅30斤．22. 九年级某数学兴趣小组研究了函数2y x=的图象与性质，其探究过程如下：（1）绘制函数图象，如图1．列表：如表是x 与y 的几组对应值，其中m =______；x…3-2-1-12-12123…y (23)12442m 23…描点：根据表中各组对应值()x y ，，在平面直角坐标系中描出了各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整；（2）通过观察图1，写出该函数的两条性质：①______；②______；（3）观察发现：如图2，若直线2y =（直线2y =是过点()02，且平行于x 轴的一条直线）交函数2y x=的图象于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则OAB S =△______；（4）知识迁移：当0x >时，函数2y x=的图象与函数3y x =-+的图象交于点C 、D ，直接写出OCD S =△______．【答案】（1）1，图见解析（2）①函数的图象关于y 轴对称；②当0x <时，y 随x 的增大而增大，当0x >时，y 随x 的增大而减小；（3）2 （4）32【解析】【分析】本题考查反比例的图象和性质．（1）把2x =代入2y x =得，1y =，即可得到m 的值，根据表格中的数据补全函数图象即可；（2）根据函数图象，从对称性、增减性等方面写出该函数的两条性质；（3）当2y =时，即22x=，解得1x =±，得到点A 、B 的坐标分别为()1,2-、()1,2，则2AB =，即可得到答案；（4）联立求得点C 、D 的坐标，求得直线3y x =-+与x 交于点E 的坐标，根据OCD OCE ODE S S S =-△△△求解即可．【小问1详解】解：把2x =代入2y x=得，1y =，∴1m =，补全图象如图所示：故答案为：1；【小问2详解】解：由图象可知：①函数的图象关于y 轴对称；②当0x <时，y 随x 的增大而增大，当0x >时，y 随x 的增大而减小（答案不唯一）；故答案为：①函数的图象关于y 轴对称；②当0x <时，y 随x 的增大而增大，当0x >时，y 随x 的增大而减小；（答案不唯一）【小问3详解】解：当2y =时，即22x=，解得1x =±，故点A 、B 的坐标分别为()1,2-、()1,2，则()112AB =--=，则1222OAB S AB =⨯=△；故答案为：1；【小问4详解】解：当0x >时，联立得23x x=-+，整理得2320x x -+=，解得1x =或2x =，当1x =时，2y =；当2x =时，1y =；如图，设直线3y x =-+与x 交于点E ，则()12C ，、()21D ，，()30E ，，∴1133213222OCD OCE ODE S S S =-=⨯⨯-⨯⨯=△△△，故答案为：32．23. 阅读下面的例题及点拨，并解决问题：如图①，在等边ABC 中，M 是BC 边上一点（不含端点B ，C ），N 是ABC 的外角ACH ∠的平分线上一点，且AM MN =．求证：60AMN ∠=︒．（1）点拨：如图②，作60CBE ∠=︒，BE 与NC 的延长线相交于点E ，得等边BEC ，连接EM ．易证：()SAS ABM EBM ≌，请完成剩余证明过程：（2）拓展：如图③，在正方形1111D C B A 中，1M 是11B C 边上一点（不含端点1B ，1C ），1N 是正方形1111D C B A 的外角111D C H ∠的平分线上一点，且1111A M M N =，求证：11190A M N ∠=︒．（3）思维迁移：结合上面的思维探究，你对（1）中证明60AMN ∠=︒、（2）中证明11190A M N ∠=︒是否有不同的思路，选（1）、（2）中的一个结论加以证明．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 （3）选（1），证明见解析【解析】【分析】（1）由()SAS ABM EBM ≌，可得EM AM MN ==，12∠=∠，则125∠=∠=∠，56120∠+∠=︒，根据()18056AMN ∠=︒-∠+∠，计算求解即可证明结论；（2）如图③，延长11A B 到E ，使111EB A B =，连接1EM 、1EC ， 则11EB C 是等腰直角三角形，由1111145N C H B C E ∠=︒=∠，可证11N C E 、、三点共线，证明()11111SAS A B M EB M ≌，则11111EM A M M N ==，21∠=∠，125∠=∠=∠，5690∠+∠=︒，根据()11118056A M N ∠=︒-∠+∠，计算求解即可证明结论；（3）选（1），由等边三角形的性质，外角平分线，可得，60ACB ACN ∠=︒=∠，如图①，延长AC 到D ，使CD CN =，连接MD ，证明()SAS MCD MCN ≌，则MD MN AM ==，12∠=∠，2460∠+∠=︒，1360∠+∠=︒，根据()180324AMN ∠=︒-∠+∠+∠+∠1，计算求解即可证明结论．小问1详解】证明：∵()SAS ABM EBM ≌，∴EM AM MN ==，12∠=∠，∴3=4∠∠，∵316045∠+∠=︒=∠+∠，∴125∠=∠=∠，∵26120∠+∠=︒，∴56120∠+∠=︒，∴()1805660AMN ∠=︒-∠+∠=︒，∴60AMN ∠=︒；【小问2详解】证明：如图③，延长11A B 到E ，使111EB A B =，连接1EM 、1EC ，∴111EB B C =，1190EB C ∠=︒，∴11EB C 是等腰直角三角形，∴111145B EC B C E ∠=∠=︒，∵1N 是正方形1111D C B A 的外角111D C H ∠的平分线上一点，∴1111145N C H B C E ∠=︒=∠，∴11N C E 、、三点共线，【∵11111111111190A B EB A B M EB M B M B M =∠=︒=∠=，，，∴()11111SAS A B M EB M ≌，∴11111EM A M M N ==，21∠=∠，∴3=4∠∠，∵234545∠+∠=︒=∠+∠，∴125∠=∠=∠，∵1690∠+∠=︒，∴5690∠+∠=︒，∴()1111805690A M N ∠=︒-∠+∠=︒，∴11190A M N ∠=︒；【小问3详解】解：选（1），证明如下：由等边三角形的性质，外角平分线，可得，60ACB ACN ∠=︒=∠，如图①，延长AC 到D ，使CD CN =，连接MD ，∴120MCD MCN ∠=︒=∠，∵MC MC =，MCD MCN ∠=∠，CD CN =，∴()SAS MCD MCN ≌，∴MD MN AM ==，12∠=∠，∴3=4∠∠，∵2460∠+∠=︒，∴1360∠+∠=︒，∴()18032460AMN ∠=︒-∠+∠+∠+∠=︒1，加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
辽宁省沈阳市2020版九年级上学期期末数学试卷(II)卷
辽宁省沈阳市2020版九年级上学期期末数学试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共6题；共12分)1. （2分） (2019九上·萧山月考) 已知二次函数y=（x-3）2图像上的两个不同的点A（3，a）和B（x，b），则a和b的大小关系（）A . a≤bB . a＞bC . a＜bD . a≥b2. （2分）在平行四边形、矩形、等边三角形、正方形四种图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个3. （2分） (2019八下·淮安月考) 以下说法合理的是：（）A . “打开电视，正在播放新闻节日”是必然事件B . “抛一枚硬币，正面朝上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上C . “抛掷一枚均匀的骰子，出现点数6的概率是”表示随着抛掷次数的增加“出现点数6”这一事件发生的频率稳定在附近D . 为了解某品牌火腿的质量，选择全面检测4. （2分） (2016八上·沂源开学考) 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（）A . ac＜0B . 当x=1时，y＞0C . 方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个大于1的实数根D . 存在一个大于1的实数x0 ，使得当x＜x0时，y随x的增大而减小；当x＞x0时，y随x的增大而增大5. （2分）(2017·徐州模拟) 如图，平面上⊙O与四条直线L1、L2、L3、L4的位置关系．若⊙O的半径为2cm，且O点到其中一条直线的距离为2.2cm，则这条直线是（）A . LlB . L2C . L3D . L46. （2分）(2017·天津模拟) 如图，在直角坐标系中，正△AOB的边长为2，设直线x=t（0≤t≤2）截这个三角形所得位于此直线左方的图形的面积为y，则y关于t的函数图象大致是（）A .B .C .D .二、填空题 (共8题；共9分)7. （1分）(2019·株洲) 若二次函数的图象开口向下，则 ________0（填“＝”或“>”或“<”）．8. （2分） (2015九上·龙华期中) 方程x2﹣2x﹣a=0的一个根是﹣1，则a=________，另一个根是________．9. （1分）(2016·常德) 已知反比例函数y= 的图象在每一个象限内y随x的增大而增大，请写一个符合条件的反比例函数解析式________．10. （1分）小明参加“一站到底”节目，答对最后两道单选题就通关：第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）．从概率的角度分析，你建议小明在第________题使用“求助”．11. （1分） (2020九上·沈河期末) 如图，在平面直角坐标系中，线段AB两个端点的坐标分别为A（2.5，5），B（5，0），以坐标原点为位似中心，将线段AB在第一象限内缩小得到线段CD，其中点A对应点C，点B对应点D，若点C的坐标为（1.25，2.5），则点D的坐标为________．12. （1分）(2018·覃塘模拟) 如图，在扇形AOB中，∠AOB=150°，以点A为圆心，OA的长为半径作OC交AB于点C，若OA=2，则图中阴影部分的面积为________．13. （1分）如图，为测量出湖边不可直接到达的A、B间的距离，测量人员选取一定点O，使A、O、C和B、O、D分别在同一直线上，测出CD=150米，且OB=3OD，OA=3OC，则AB=________米．14. （1分） (2017九上·鄞州月考) 如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线（x≥0）与（x≥0）于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E，则 =________．三、解答题 (共8题；共75分)15. （10分） (2018九上·韶关期末) 已知关于x的方程x2+2x+a-2=0一个根为1 。
辽宁省沈阳市九年级上学期数学期末考试试卷
辽宁省沈阳市九年级上学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2020八下·瑞安期末) 下列手机应用软件的图标中，属于中心对称图形的是（）A .B .C .D .2. （2分） (2016九上·滨海期中) 二次函数y= （x﹣2）2﹣1图象的顶点坐标是（）A . （﹣2，﹣1）B . （2，﹣1）C . （﹣2，1）D . （2，1）3. （2分） (2019九上·慈溪月考) 如图，Rt△ABC中，AB=3，∠B=40°，则AC=（）A . 3cos50°B . 3tan40°C . 3sin50°D .4. （2分）(2020·温州模拟) 如图，△ABC内接于⊙O，∠C=45°，AB=6，则⊙O的半径为（）A . 2B . 6C . 3D . 35. （2分）(2020·上海模拟) 如图，在6×6的正方形网格中，联结小正方形中两个顶点A、B ，如果线段AB与网格线的其中两个交点为M、N ，那么AM:MN:NB的值是（）A . 3:5:4B . 3:6:5C . 1:3:2D . 1:4:26. （2分）(2020·青海) 如图是一个废弃的扇形统计图，小明同学利用它的阴影部分制作一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是（）A . 3.6B . 1.8C . 3D . 67. （2分）(2019·孝感) 公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂=动力×动力臂.小伟欲用撬根撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：）关于动力臂l（单位：）的函数解析式正确的是（）A .B .C .D .8. （2分）(2017·乌鲁木齐模拟) 如图，A，B是函数y= 的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，则（）A . S=2B . S=4C . 2＜S＜4D . S＞49. （2分） (2018九上·杭州月考) 一辆新汽车原价万元，如果每年折旧率为，两年后这辆汽车的价钱为元，则关于的函数关系式为（）A . y=20(1+x)2B . y=20(1-x)2C . y=20(1+x)D . y=20+x210. （2分）已知0≤x≤ ，那么函数y=﹣2x2+8x﹣6的最大值是（）A . ﹣10.5B . 2C . ﹣2.5D . ﹣6二、填空题 (共6题；共6分)11. （1分）(2018·玄武模拟) 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________．12. （1分）(2019·永昌模拟) 如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝16米，拱高CD＝4米，则拱桥的半径为________.13. （1分） (2018九上·于洪期末) 如图，B（3，﹣3），C（5，0），以OC，CB为边作平行四边形OABC，则经过点A的反比例函数的解析式为________.14. （1分）□ABCD中，点P在对角线BD上（不与点B ， D重合），添加一个条件，使得△BCD与△ADP相似，这个条件可以是________15. （1分）(2018·龙湾模拟) 如图，将Rt△ABC的BC边绕C旋转到CE的位置，且在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，则∠ACD=________度．16. （1分）(2017·莒县模拟) 如图，点A，B在反比例函数y= （k＞0）的图象上，AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足C，D分别在x轴的正、负半轴上，CD=k，已知AB=2AC，E是AB的中点，且△BCE的面积是△ADE的面积的2倍，则k的值是________．三、解答题 (共10题；共84分)17. （10分） (2020七下·玄武期末) 计算：（1） (－2)3＋6×3－1－(π－3.5)0（2） (a－b)2－(a－b)(a＋2b)18. （2分） (2019九上·石家庄月考) 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）（1）若△CEF与△ABC相似．①当AC=BC=2时，AD的长为________；②当AC=3，BC=4时，AD的长为________；（2）当点D是AB的中点时，△CE F与△ABC相似吗？请说明理由．19. （5分） (2019九下·象山月考) 如图，两幢建筑物AB和CD，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=15m，CD=20m．AB和CD之间有一景观池，小双在A点测得池中喷泉处E点的俯角为42°，在C点测得E点的俯角为45°，点B、E、D 在同一直线上．求两幢建筑物之间的距离BD．（结果精确到0.1m）（参考数据：sin42°=0.67，cos42°=0.74，ta n42°=0.90）20. （5分） (2019九上·北京月考) 图中所示的物线形批桥，当找顶离水面 m时，水面宽 m，水面上升米，水面宽度减少多少?21. （10分）(2020·莘县模拟) 已知一次函数与反比例函数的图象交于点P（-2，1）和Q（1，m）。
辽宁省沈阳市沈北新区2019-2020学年九年级上学期期末数学试题（解析版）
辽宁省沈阳市沈北新区2019-2020学年九年级上学期期末数学试题选择题（共10小题）一.1.一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6,投掷一次，朝上一面的数字是偶数的概率为（）•1112A.—B.—C.—D.—6233【答案】B【解析】分析】朝上的数字为偶数的有3种可能，再根据概率公式即可计算.31【详解】依题意得P（朝上一面的数字是偶数）=-=-62故选B.【点睛】此题主要考查概率的计算，解题的关键是熟知概率公式进行求解.22.反比例函数y=—的图象位于平面直角坐标系的（）xA.第一、三象限B.第二、四象限C.第一、二象限D.第三、四象限【答案】A【解析】试题分析：・*=2>0,反比例函数>=2的图象在第一，三象限内，故选A.X考点：反比例函数的性质.m4-13.反比例函数y=——在每个象限内的函数值y随x的增大而增大，则m的取值范围是（）xA.m<0B.m>0C.m>-1D.m<-1【答案】D【解析】•.•在每个象限内的函数值y随x的增大而增..m+KO,—1.4.抛物线y=x-2x+2的顶点坐标为（）2A.(1,1)B.(T,1)C.(1,3)D.(-1,3)【答案】A【解析】分析：把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可.详解：•/y=x2-2x+2=(x-1)2+1,顶点坐标为(1,1).故选A.点睛：本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键.5.菱形的周长为8cm,高为lcm,则该菱形两邻角度数比为【】A.3：1B.4：1C.5：1D.6：1【答案】C【解析】【分析】菱形的性质；含30度角的直角三角形的性质.【详解】如图所示，根据已知可得到菱形的边长为2cm,从而可得到高所对的角为30°,相邻的角为150。
,则该菱形两邻角度数比为5：1,故选C.6.如图，抛物线y=ax+bx+c(a^O)与x轴交于点A(1,0)和B,与y轴的正半轴交于点C,下列结论:A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】C【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，进而判断①；根据x= -2时，y>0可判断②；根据对称轴x=-1求出2a与b的关系，进而判断③.【详解】①由抛物线开口向下知a<0,•..对称轴位于y轴的左侧，.'.a、b同号，即ab>0.,/抛物线与y轴交于正半轴，.'.c>0,.I abc>0；故①正确；②如图，当x=-2时，y>0,则4a-2b+c>0,故②正确；b③对称轴为x=---->T,2a：.2a<b,即2a-b<0,故③错误；故选：C.【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系.7.如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1,3）,则CE的长是（）A.3B.2y/2C.而D4【答案】C【解析】【分析】根据点D的坐标是(1,3)和勾股定理求得OD=屈,然后根据矩形的性质得出CE=OD=应.【详解】四边形COED是矩形，CE=OD,点。
辽宁省沈阳市九年级(上)期末数学试卷(含解析)
辽宁省沈阳市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的.每小题2分，共20分）1．（2分）如图，该几何体是由4个大小相同的正方体组成，它的俯视图是（）A．B．C．D．2．（2分）菱形的两条对角线的分别为60cm和80cm，那么边长是（）A．60cm B．50cm C．40cm D．80cm3．（2分）方程x2﹣2x+3＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．只有一个实数根C．没有实数根D．有两个不相等的实数根4．（2分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，则sin A的值是（）A．B．C．D．5．（2分）某反比例函数的图象经过点（﹣2，3），则此函数图象也经过点（）A．（2，﹣3）B．（﹣3，﹣3）C．（2，3）D．（﹣4，6）6．（2分）已知二次函数y＝（x﹣）2+1，则下列说法：①其图象的开口向上；②其图象的对称轴为直线x＝﹣；③其图象顶点坐标为（，﹣1）；④当x＜时，y随x 的增大而减小，其中说法正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．（2分）如图，小颖周末到图书馆走到十字路口处，记不清前面哪条路通往图书馆，那么她能一次选对路的概率是（）A．B．C．D．08．（2分）如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为（）A．11米B．（36﹣15）米C．15米D．（36﹣10）米9．（2分）如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC 相似的是（）A．B．C．D．10．（2分）把抛物线y＝x2+1向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线（）A．y＝（x+3）2﹣1B．y＝（x+3）2+3C．y＝（x﹣3）2﹣1D．y＝（x﹣3）2+3二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）若两个相似三角形的面积比是9：25，则对应边上的中线的比为．12．（3分）如图，河堤横断面迎水坡BC的坡比是l：，堤高AC＝5m，则坡面BC的长度是．13．（3分）已知方程x2+mx+3＝0的一个根是1，则它的另一个根是．14．（3分）如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小明想知道这道门的高度，他先测出门的宽度AB＝8m，然后用一根长为4m的小竹竿CD竖直的接触地面和门的内壁，并测得AC＝2m，则门高OE为．15．（3分）如图，直线x＝2与反比例函数和的图象分别交于A、B两点，若点P是y轴上任意一点，则△PAB的面积是．16．（3分）已知正方形ABCD的边长为1，P为射线AD上的动点（不与点A重合），点A关于直线BP的对称点为E，连接PE，BE，CE，DE．当△CDE是等腰三角形时，AP 的值为．三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）17．（6分）计算：2cos45°﹣6tan230°﹣sin60°．18．（8分）一个盒子中装有两个红球，一个白球和一个蓝球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，请你用列表法和画树状图法求两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率（说明：红色和蓝色能配成紫色）19．（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，延长BC到点E，使CE＝BC，连结DE．（1）求证：四边形ACED是平行四边形；（2）若BO＝，sin∠CAD＝，请直接写出平行四边形ACED的周长．四、（每小题8分，共16分）20．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠CBA＝90°，点E为BC的中点，DE ⊥CE．（1）求证：△AED∽△BCE；（2）若AD＝3，BC＝12，求线段DC的长．21．（8分）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行90km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，求A，C两港之间的距离．22．（10分）某商店经营一种文具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，且每件文具售价不能高于40元，设每件文具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式；（2）每件文具的售价定为多少元时，月销售利润为2520元？（3）每件文具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？六、(本题10分）23．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x+b的图象与函数y＝（x＞0）的图象相交于点A（1，6），并与x轴交于点B．点C是线段AB上一点，△OBC与△OBA的面积比为2：3．（1）k＝，b＝；（2）求点C的坐标；（3）若将△OBC绕点O顺时针旋转，得到△OB'C'，其中B的对应点是B'，C的对应点是C'，当点C'落在x轴正半轴上，判断点B是否落在函数y＝（x＞0）的图象上，并说明理由．24．（12分）在正方形ABCD中，点E是直线AB上动点，以DE为边作正方形DEFG，DF所在直线与BC所在直线交于点H，连接EH．（1）如图1，当点E在AB边上时，延长EH交GF于点M，EF与CB交于点N，连接CG，①求证：CD⊥CG；②若tan∠HEN＝，求的值；（2）当正方形ABCD的边长为4，AE＝1时，请直接写出EH的长．25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C（0，2），连接BC，位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E，连接AC，BC，PA，PB，PC．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，当直线l运动时，求使得△PEA和△AOC相似的点P点的横坐标；（3）如图1，当直线1运动时，求△PCB面积的最大值；（4）如图2，抛物线的对称轴交x轴于点Q，过点B作BG∥AC交y轴于点G．点H、K分别在对称轴和y轴上运动，连接PH、HK，当△PCB的面积最大时，请直接写出PH+HK+KG的最小值．参考答案与试题解析一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的.每小题2分，共20分）1．（2分）如图，该几何体是由4个大小相同的正方体组成，它的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】找到从上面看所得到的图形即可．【解答】解：从上面可看到从上往下2行小正方形的个数为：2，1，并且下面一行的正方形靠左，故选：B．【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．2．（2分）菱形的两条对角线的分别为60cm和80cm，那么边长是（）A．60cm B．50cm C．40cm D．80cm【分析】由菱形的性质以及两条对角线长可求出其边长．【解答】解：∵菱形的两条对角线长分别为60cm和80cm，∴该菱形的边长为，故选：B．【点评】此题考查了菱形的性质与勾股定理．此题比较简单，注意掌握菱形的面积的求解方法是解此题的关键．3．（2分）方程x2﹣2x+3＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．只有一个实数根C．没有实数根D．有两个不相等的实数根【分析】把a＝1，b＝﹣2，c＝3代入△＝b2﹣4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．【解答】解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝3，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×3＝﹣8＜0，所以方程没有实数根．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△＝b2﹣4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．4．（2分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，则sin A的值是（）A．B．C．D．【分析】利用勾股定理求得AB的长，然后利用三角函数定义求解．【解答】解：在直角△ABC中，AB＝＝＝5，则sin A＝＝．故选：D．【点评】本题考查勾股定理，锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．5．（2分）某反比例函数的图象经过点（﹣2，3），则此函数图象也经过点（）A．（2，﹣3）B．（﹣3，﹣3）C．（2，3）D．（﹣4，6）【分析】将（﹣2，3）代入y＝即可求出k的值，再根据k＝xy解答即可．【解答】解：设反比例函数解析式为y＝，将点（﹣2，3）代入解析式得k＝﹣2×3＝﹣6，符合题意的点只有点A：k＝2×（﹣3）＝﹣6．故选：A．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．6．（2分）已知二次函数y＝（x﹣）2+1，则下列说法：①其图象的开口向上；②其图象的对称轴为直线x＝﹣；③其图象顶点坐标为（，﹣1）；④当x＜时，y随x 的增大而减小，其中说法正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用抛物线的顶点式和二次函数的性质分别进行判断．【解答】解：∵a＝＞0，∴抛物线开口向上，所以①正确；∵y＝（x﹣）2+1，∴抛物线的对称轴为直线x＝，顶点坐标为（，1），所以②③错误；当x＜时，y随x的增大而减小，所以④正确；综上所述，正确的说法有2个．故选：B．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y ＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．7．（2分）如图，小颖周末到图书馆走到十字路口处，记不清前面哪条路通往图书馆，那么她能一次选对路的概率是（）A．B．C．D．0【分析】由小颖周末到公园走到十字路口处，则可知共有3条路供选择，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵小颖周末到公园走到十字路口处，∴她能一次选对路的概率是：．故选：B．【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．8．（2分）如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为（）A．11米B．（36﹣15）米C．15米D．（36﹣10）米【分析】分析题意可得：过点A作AE⊥BD，交BD于点E；可构造Rt△ABE，利用已知条件可求BE；而乙楼高AC＝ED＝BD﹣BE．【解答】解：过点A作AE⊥BD，交BD于点E，在Rt△ABE中，AE＝30米，∠BAE＝30°，∴BE＝30×tan30°＝10（米），∴AC＝ED＝BD﹣BE＝（36﹣10）（米）．∴甲楼高为（36﹣10）米．故选：D．【点评】此题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是将实际问题转化为解直角三角形的问题，求出BE的长度，难度一般．9．（2分）如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC 相似的是（）A．B．C．D．【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．【解答】解：根据题意得：AB＝＝，AC＝2，BC＝＝，∴BC：AC：AB＝1：：，A、三边之比为1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；B、三边之比：2：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；C、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．故选：A．【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．10．（2分）把抛物线y＝x2+1向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线（）A．y＝（x+3）2﹣1B．y＝（x+3）2+3C．y＝（x﹣3）2﹣1D．y＝（x﹣3）2+3【分析】直接根据平移规律（左加右减，上加下减）作答即可．【解答】解：将抛物线y＝x2+1向右平移3个单位，再向上平移2个单位后所得抛物线解析式为y＝（x﹣3）2+3．故选：D．【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）若两个相似三角形的面积比是9：25，则对应边上的中线的比为3：5．【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，根据相似三角形的性质求出答案．【解答】解：∵两个相似三角形的面积比是9：25，∴两个相似三角形的相似比是3：5，∴对应边上的中线的比为3：5，故答案为：3：5．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比是解题的关键．12．（3分）如图，河堤横断面迎水坡BC的坡比是l：，堤高AC＝5m，则坡面BC的长度是10cm．【分析】在Rt△ABC中，已知了坡面BC的坡比以及铅直高度AC的值，通过解直角三角形即可求出斜面BC的长．【解答】解：Rt△ABC中，AC＝5m，tan B＝1：；∴AB＝AC÷tan B＝5m，∴BC＝＝5＝10m．答：坡面BC的长度是10m，故答案为：10cm．【点评】此题考查的是解直角三角形的应用，关键是根据已知条件求出AB．13．（3分）已知方程x2+mx+3＝0的一个根是1，则它的另一个根是3．【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系，两个根的积是3，即可求解．【解答】解：设方程的另一个解是a，则1×a＝3，解得：a＝3．故答案是：3．【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，正确理解根与系数的关系是关键．14．（3分）如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小明想知道这道门的高度，他先测出门的宽度AB＝8m，然后用一根长为4m的小竹竿CD竖直的接触地面和门的内壁，并测得AC＝2m，则门高OE为．【分析】根据所建坐标系，易求A、B、D的坐标，因它们都在抛物线上，所以代入解析式得方程组求解，再求顶点坐标得高度OE长．【解答】解：由题意得，抛物线过点A（﹣4，0）、B（4，0）、D（﹣2，4），设y＝a（x+4）（x﹣4），把D（﹣2，4）代入y＝a（x+4）（x﹣4），得4＝a（﹣2+4）（﹣2﹣4），解得a＝﹣，∴y＝﹣（x+4）（x﹣4）．令x＝0得y＝，即（0，），∴OE＝∴门的高度约为m．故答案为：．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据所建坐标系及图形特点，选择合适的函数表达式形式，有利于减小计算量．本题选取交点式较简便．15．（3分）如图，直线x＝2与反比例函数和的图象分别交于A、B两点，若点P是y轴上任意一点，则△PAB的面积是．【分析】先分别求出A、B两点的坐标，得到AB的长度，再根据三角形的面积公式即可得出△PAB的面积．【解答】解：∵把x＝2分别代入、，得y＝1、y＝﹣．∴A（2，1），B（2，﹣），∴AB＝1﹣（﹣）＝．∵P为y轴上的任意一点，∴点P到直线x＝2的距离为2，∴△PAB的面积＝AB×2＝AB＝．故答案是：．【点评】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征及三角形的面积，求出AB的长度是解答本题的关键，难度一般．16．（3分）已知正方形ABCD的边长为1，P为射线AD上的动点（不与点A重合），点A关于直线BP的对称点为E，连接PE，BE，CE，DE．当△CDE是等腰三角形时，AP 的值为2﹣或2+或．【分析】根据题意分三种情况画出图形并进行讨论，第一种情况是当CE＝CD，且点P 在线段AD上时，过点E作BC的垂线，分别交AD，BC于点M，N，求出EM的长，并证明△PEM是含有30°角的直角三角形，即可求出PE的长，即AP的长；第二种情况是当CE＝CD，且点P在线段AD的延长线上时，过点E作BC的垂线，交BC于N，交AD于M，推出△BCE为等边三角形，证明△PME是含有30°角的直角三角形，即可求出PE的长，即AP的长；第三种情况是当ED＝EC，且点E在CD的垂直平分线上时，证△ABE为等边三角形，求出∠ABP＝30°，即可求出AP的长．【解答】解：①如图1，当CE＝CD，且点P在线段AD上时，由题意知，△BEC为等边三角形，过点E作BC的垂线，分别交AD，BC于点M，N，则EN＝BE＝，∴ME＝1﹣，在四边形ABEP中，∠ABE＝30°，∠A＝∠PEB＝90°，∴∠APE＝150°，∴∠MPE＝180°﹣∠APE＝30°，∴在Rt△PEM中，PE＝2ME＝2﹣，∴AP＝PE＝2﹣；②如图2，当CE＝CD，且点P在线段AD的延长线上时，由题意知，△BCE为等边三角形，过点E作BC的垂线，交BC于N，交AD于M，则NE＝CE＝，∴ME＝1+，在四边形ABEP中，∠A＝∠BEP＝90°，∠ABE＝∠ABC+∠EBC＝150°，∴∠APE＝30°，∴在Rt△PME中，PE＝2ME＝2+，∴AP＝PE＝2+；③如图3，当ED＝EC时，点E在CD的垂直平分线上，也在AB的垂直平分线上，∴AE＝BE，又∵AB＝EB，∴△ABE为等边三角形，∴∠ABE＝60°，∴∠ABP＝∠EBP＝30°，在Rt△ABP中，AP＝AB＝，综上所述，AP的值为2﹣或2+或．【点评】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质等，解题关键是能够根据题意画出分情况讨论的图形，并结合等腰三角形的性质等进行解答．三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）17．（6分）计算：2cos45°﹣6tan230°﹣sin60°．【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值．【解答】解：原式＝2×﹣6×﹣×＝﹣2﹣＝﹣．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．（8分）一个盒子中装有两个红球，一个白球和一个蓝球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，请你用列表法和画树状图法求两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率（说明：红色和蓝色能配成紫色）【分析】画出树状图即可解决问题．【解答】解：画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中红色和蓝色的结果数4，所以摸到的两个球的颜色能配成紫色的概率＝＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．19．（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，延长BC到点E，使CE＝BC，连结DE．（1）求证：四边形ACED是平行四边形；（2）若BO＝，sin∠CAD＝，请直接写出平行四边形ACED的周长16．【分析】（1）根据矩形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，等量代换得到AD＝CE，根据平行四边形的判定定理即可得到结论；（2）根据矩形的性质得到AC＝BD＝2OB＝5，∠ADC＝90°，解直角三角形即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵CE＝BC，∴AD＝CE，∴AD＝CE，AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD＝2OB＝5，∠ADC＝90°，∵sin∠CAD＝，∴CD＝AC＝4，∴AD＝＝3，∴平行四边形ACED的周长＝2×（3+5）＝16，故答案为：16．【点评】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．四、（每小题8分，共16分）20．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠CBA＝90°，点E为BC的中点，DE ⊥CE．（1）求证：△AED∽△BCE；（2）若AD＝3，BC＝12，求线段DC的长．【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．（2）利用相似三角形的性质以及勾股定理解决问题即可．【解答】（1）证明：∵EC⊥DE，∴∠DEC＝90°，∵∠DAB＝∠CBA＝90°，∴∠ADE+∠AED＝90°，∠AED+∠CEB＝90°，∴∠ADE＝∠CEB，∴△AED∽△BCE．（2）∵△AED∽△BCE，∴＝，∵AE＝EB，∴AE2＝AD•BC＝36，∴AE＝EB＝6，∴DE2＝AD2+AE2＝32+62＝45，EC2＝BE2+BC2＝62+122＝180，∴CD＝＝＝15．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．（8分）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行90km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，求A，C两港之间的距离．【分析】过B作BE⊥AC于E，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB ＝90，过B作BE⊥AC于E，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，AB＝90，∴AE＝BE＝AB＝90km，在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，∴CE＝BE＝30km，∴AC＝AE+CE＝90+30，∴A，C两港之间的距离为（90+30）km．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，三角形的内角和，是基础知识比较简单．五、（本题10分）22．（10分）某商店经营一种文具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，且每件文具售价不能高于40元，设每件文具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式；（2）每件文具的售价定为多少元时，月销售利润为2520元？（3）每件文具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？【分析】（1）根据题意知一件文具的利润为（30+x﹣20）元，月销售量为（230﹣10x），然后根据月销售利润＝一件文具的利润×月销售量即可求出函数关系式．（2）把y＝2520时代入y＝﹣10x2+130x+2300中，求出x的值即可．（3）把y＝﹣10x2+130x+2300化成顶点式，求得当x＝6.5时，y有最大值，再根据0＜x ≤10且x为正整数，分别计算出当x＝6和x＝7时y的值即可．【解答】解：（1）根据题意得：y＝（30+x﹣20）（230﹣10x）＝﹣10x2+130x+2300，自变量x的取值范围是：0＜x≤10且x为正整数；（2）当y＝2520时，得﹣10x2+130x+2300＝2520，解得x1＝2，x2＝11（不合题意，舍去）当x＝2时，30+x＝32（元）答：每件文具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元．（3）根据题意得：y＝﹣10x2+130x+2300＝﹣10（x﹣6.5）2+2722.5，∵a＝﹣10＜0，∴当x＝6.5时，y有最大值为2722.5，∵0＜x≤10且x为正整数，∴当x＝6时，30+x＝36，y＝2720（元），当x＝7时，30+x＝37，y＝2720（元），答：每件文具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元．【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是分析题意，找到关键描述语，求出函数的解析式，用到的知识点是二次函数的性质和解一元二次方程．六、(本题10分）23．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x+b的图象与函数y＝（x＞0）的图象相交于点A（1，6），并与x轴交于点B．点C是线段AB上一点，△OBC与△OBA的面积比为2：3．（1）k＝6，b＝5；（2）求点C的坐标；（3）若将△OBC绕点O顺时针旋转，得到△OB'C'，其中B的对应点是B'，C的对应点是C'，当点C'落在x轴正半轴上，判断点B是否落在函数y＝（x＞0）的图象上，并说明理由．【分析】（1）将A（﹣1，6）代入y＝﹣x+b可求出b的值；将A（1，6）代入y＝可求出k的值；（2）过点C作CM⊥x轴，垂足为M，过点A作AN⊥x轴，垂足为N，由△OBC与△OBA的面积比为2：3，可推出＝，由点A的坐标可知AN＝6，进一步求出CM＝4，即为点C的纵坐标，把y＝4代入y＝x+5中，可求出点C坐标；（3）过点B'作B'F⊥x轴，垂足为F，由题意可知，OC'＝OC＝＝＝，由旋转可知S△OBC ＝S△OB'C′，可求出B'F＝，在Rt△OB'F中，通过勾股定理求出OF的长度，即可写出点B'的坐标，将其坐标代入y＝可知没有落在函数y＝（x＞0）的图象上．【解答】解：（1）将A（1，6）代入y＝x+b，得，6＝1+b，∴b＝5，将A（1，6）代入y＝，得，6＝，∴k＝6，故答案为：6，5；（2）如图1，过点C作CM⊥x轴，垂足为M，过点A作AN⊥x轴，垂足为N，∵△OBC与△OBA的面积比为2：3，∴＝，又∵点A的坐标为（1，6），∴AN＝6，∴CM＝4，即点C的纵坐标为4，把y＝4代入y＝x+5中，得，x＝﹣1，∴C（﹣1，4）；（3）由题意可知，OC'＝OC＝＝＝，如图2，过点B '作B 'F ⊥x 轴，垂足为F ，∵S △OBC ＝S △OB 'C ′，由一次函数y ＝x +5可知B （﹣5，0），∴OB •CE ＝OC '•B 'F ，即5×4＝B 'F ， ∴B 'F ＝，在Rt △OB 'F 中，∵OF ＝＝＝，∴B '的坐标为（，）， ∵×≠6， ∴点B '不在函数y ＝的图象上．【点评】本题考查了待定系数法求解析式，三角形的面积，反比例函数的性质，勾股定理等，解题关键是能够熟练运用反比例函数的性质．七、（本题12分）24．（12分）在正方形ABCD 中，点E 是直线AB 上动点，以DE 为边作正方形DEFG ，DF所在直线与BC所在直线交于点H，连接EH．（1）如图1，当点E在AB边上时，延长EH交GF于点M，EF与CB交于点N，连接CG，①求证：CD⊥CG；②若tan∠HEN＝，求的值；（2）当正方形ABCD的边长为4，AE＝1时，请直接写出EH的长．【分析】（1）①由正方形的性质得出∠A＝∠ADC＝∠EDG＝90°，AD＝CD，DE＝DG，即∠ADE＝∠CDG，由SAS证明△ADE≌△CDG得出∠A＝∠DCG＝90°，即可得出结论；②过点N作NP∥DE，通过全等三角形的性质和相似三角形的性质分别求出GM＝3MF，PN＝MF，即可求解；（2）利用勾股定理可求DE，GN的长，即可求解．【解答】证明：（1）①∵四边形ABCD和四边形DEFG是正方形，∴∠A＝∠ADC＝∠EDG＝90°，AD＝CD，DE＝DG，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴∠A＝∠DCG＝90°，∴CD⊥CG；②如图1，过点N作NP∥DE，∵四边形DEFG是正方形，∴EF＝GF，∠EFH＝∠GFH＝45°，且HF＝HF，∴△EFH≌△GFH（SAS），∴EH＝GH，∠HEF＝∠HGF，∵∠HEF＝∠HGF，EF＝GF，∠EFM＝∠GFN，∴△EFM≌△GFN（ASA），∴FM＝NF，EM＝GN，∵tan∠HEN＝＝，∴EF＝4MF＝4NF＝GF，∴GM＝3MF＝EN＝3NF，∴NP∥DE，∴△PNE∽△MFE，∴，∴PN＝MF，∵NP∥DE，∴＝，∴；（2）如图1，∵AD＝4，AE＝1，∴DE＝＝＝，∴EF＝GF＝，∴NF＝EF＝，∵GN2＝GF2+NF2，∴GN＝，∵∴GH＝GN＝，∴EH＝GH＝若点E在点A左侧，如图2，设AB与DH于点O，过点F作FN⊥AB，∵∠DEA+∠FEB＝90°，∠DEA+∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠FEB，且∠DAE＝∠FNE＝90°，DE＝EF，∴△ADE≌△NEF（AAS）∴AE＝NF＝1，DA＝EN＝4，∴AN＝3，BN＝1，∵DA∥NF，∴，∴ON＝，∴BO＝，∴AO＝∵DA∥BH，∴，∴BH＝，∴EH＝＝＝【点评】本题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，构造出相似三角形是解本题的关键．八、（本题12分）25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C（0，2），连接BC，位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E，连接AC，BC，PA，PB，PC．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，当直线l运动时，求使得△PEA和△AOC相似的点P点的横坐标；（3）如图1，当直线1运动时，求△PCB面积的最大值；（4）如图2，抛物线的对称轴交x轴于点Q，过点B作BG∥AC交y轴于点G．点H、K分别在对称轴和y轴上运动，连接PH、HK，当△PCB的面积最大时，请直接写出PH+HK+KG的最小值．【分析】（1）根据A和B的坐标设抛物线的解析式为：y＝a（x+2）（x﹣4），把点C （0，2）代入可得：a＝﹣，即可求解；（2）只有当∠PAE＝∠ACO时，△PEA△∽AOC，可得方程，解方程可得P的横坐标；（3）如图1，先确定△PCB的面积最大时，PD最大，设P（x，﹣x2+x+2），D（x，﹣x+2），表示PD的长，根据二次函数的最值可得PD的最大值，最后利用三角形面积公式可得结论；（4）由（3）知：△PCB的面积最大时，P（2，2），则OP＝＝4，如图2，将直线GO绕点G逆时针旋转60°，得到直线a，作PM⊥直线a于M，KM′⊥直线a于M′，则PH+HK+KG＝PH+HK+KM′≥PM，求出PM即可解决问题．【解答】解：（1）∵点A（﹣2，0），点B（4，0），∴设抛物线的解析式为：y＝a（x+2）（x﹣4），把点C（0，2）代入得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣（x+2）（x﹣4）＝﹣x2+x+2；（2）设P（x，﹣x2+x+2），∵动直线l在y轴的右侧，P为抛物线与l的交点，∴0＜x＜4，∵点A（﹣2，0）、C（0，2），∴OA＝2，OC＝2，∵l⊥x轴，∴∠PEA＝∠AOC＝90°，∵∠PAE≠∠CAO，∴只有当∠PAE＝∠ACO时，△PEA∽△AOC，此时，即＝，3x2﹣2x﹣16＝0，（x+2）（3x﹣8）＝0，x＝﹣2（舍）或，则点P的横坐标为；（3）如图1，△PCB的面积＝，∵OB＝4是定值，∴当PD的值最大时，△PCB的面积最大，∵B（4，0），C（0，2），设直线BC的解析式为：y＝kx+b，则，解得：，∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+2，设P（x，﹣x2+x+2），D（x，﹣x+2），∴PD＝（﹣x2+x+2）﹣（﹣+2）＝﹣+x＝﹣（x﹣2）2+，∵﹣＜0，∴当x＝2时，PD有最大值是，此时△PCB的面积＝＝×4＝2；（4）如图2中，△AOC中，OA＝2，OC＝2，∴AC＝4，∴∠ACO＝30°，∵BG∥AC，∴∠BGO＝∠ACO＝30°，Rt△BOG中，OB＝4，∴OG＝4，由（3）知：△PCB的面积最大时，P（2，2），则OP＝＝4，如图2，将直线GO绕点G逆时针旋转60°，得到直线a，作PM⊥直线a于M，KM′⊥直线a于M′，则PH+HK+KG＝PH+HK+KM′≥PM，∵P（2，2），∴∠POB＝60°，∵∠MOG＝30°，∴∠MOG+∠BOC+∠POB＝180°，∴P，O，M共线，Rt△OMG中，OG＝4，MG＝2，∴OM＝6，可得PM＝10，∴PH+HK+KG的最小值为10．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了一次函数的性质，二次函数的性质，垂线段最短，相似三角形的判定和性质，一元二次方程等知识，解题的关键是，学会用转化的思想思考问题，把最短问题转化为垂线段最短，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。