2018-2019学年安徽师大附中高一(下)期中数学试卷(解析版)
2018-2019学年安徽师大附中高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共11小题，共55.0分）1.数列2，5，11，20，x，47，…中的x值为（）A. 28B. 32C. 33D. 272.在△ABC中，若b=2，A=120°，三角形的面积S=，则三角形外接圆的半径为（）A. B. 2 C. D. 43.在△ABC中，①若B=60°，a=10，b=7，则该三角形有且仅有两解；②若三角形的三边的比是3：5：7，则此三角形的最大角为钝角；③若△ABC为锐角三角形，且三边长分别为2，3，x，则x的取值范围是＜＜．其中正确命题的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 34.已知向量，，，，若，则=（）A. 1B. 2C. 3D. 45.设向量，满足，，且，则向量在向量方向上的投影为（）A. 1B.C.D.6.在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，设向量，，，，若，则角A的大小为（）A. B. C. D.7.在等差数列{a n}中，3（a3+a5）+2（a7+a10+a13）=48，则等差数列{a n}的前13项的和为（）A. 104B. 52C. 39D. 248.设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4，若点M、N满足，，则=（）A. 20B. 15C. 9D. 69.如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB=AD，2AB=BD，BC=2BD，则sin C的值为（）A.B.C.D.10.在△ABC中，A＞B，有下列五个不等式：（1）sin A＞sin B（2）cos A＜cos B（3）tan A＞tan B（4）cos2A＜cos2B（5）sin2A+sin2C＞sin2B则其中一定成立的不等式的个数为（）A. 4B. 3C. 2D. 111.已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=15，且满足=+1，已知n，m∈N，n＞m，则S n-S m的最小值为（）A. B. C. D.二、不定项选择题（本大题共1小题，共5.0分）12.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则该三角形为（）A. 等腰三角形B. 等腰直角三角形C. 等边三角形D. 直角三角形三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在等差数列{a n}中，己知a1=3，a2+a4=14，a n=2019，则n=______．14.已知||=，||=1，与的夹角为45°，则使向量（2-λ）与（λ-3）的夹角是锐角的实数λ的取值范围为______．15.如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E为AB的中点．以A为圆心，AE为半径，作弧交AD于点F．若P为劣弧上的动点，则的最小值为______．16.若数列{a n}是正项数列，且∈，则=______．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.在平面内给定三个向量=（3，2），=（-1，2），=（4，1）（Ⅰ）求满足=m+n的实数m、n的值（Ⅱ）若向量满足（）（），且||=，求向量的坐标．18.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos B=（2c-b）cos A．（1）求角A；（2）若b=3，点M在线段BC上，，，求△ABC的面积．19.已知等差数列{a n}前n项的和为S n，且（2n-1）S n+1-（2n+1）S n=4n2-1（n∈N•）（1）求a1；（2）求S n，a n；（3）设b n=|a n-30|，求{b n}的前n项的和为T n．20.如图，在△ABC中，AB=2，cos B=，点D在线段BC上．（1）若BD=2DC，△ACD的面积为，求边AC的长；（2）若∠ADC=，求三角形ABD的面积S△ABD．21.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，A=．（1）当-sin（B-C）=sin2B时，求△ABC的面积；（2）求b+2c的最大值．22.已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且a n和S n满足：4S n=（a n+1）2（n=1，2，3…），（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，求{b n}的前n项和T n；（3）在（2）的条件下，对任意n∈N*，T n＞都成立，求整数m的最大值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：由题意知，数列2，5，11，20，x，47，∴5-2=3，11-5=6，20-11=9，则x-20=12，解得x=32，故选：B．根据所给数列中相邻两项的差的规律性，即从第二项起，每一项与前一项的差依次是3的倍数，再进行求解．本题考查了数列的概念的应用，即需要找出数列各项之间的特定关系，考查了分析问题和解决问题的能力．2.【答案】B【解析】解：△ABC中，∵b=2，A=120°，三角形的面积S==bc•sinA=c•，∴c=2=b，故B=（180°-A）=30°．再由正弦定理可得=2R==4，∴三角形外接圆的半径R=2，故选：B．由条件求得c=2=b，可得B的值，再由正弦定理求得三角形外接圆的半径R的值．本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：在△ABC中，①若B=60°，a=10，b=7，由正弦定理可知，，所以sinA=＞1，故错误；②若三角形的三边的比是3：5：7，根据题意设三角形三边长为3x，5x，7x，最大角为α，由余弦定理得：cosα==-，则最大角为120°，故正确；③若△ABC为锐角三角形，且三边长分别为2，3，x，设所对角分别为A，B，C，则最大角为B或C所对的角，∴cosB=＞0，得是＜x，cosC=＞0，得x ＜．则x的取值范围是，故正确；故选：C．①根据正弦定理判断得出sinA=＞1不成立；②设边长，根据余弦定理得出最大角cosα==-＜0，③设出角度，根据大边对大角，只需判断最大角为锐角即可．考查了正弦定理和余弦定理的应用，根据题意，正确设出边或角．4.【答案】B【解析】解：∵，∴=（3，3m），∵，∴3m=-3m，解得m=0，∴=（2，0），∴=2，故选：B．根据向量的坐标运算和向量的平行的条件以及向量模的计算即可．本题考查了向量的坐标运算和向量的平行以及向量模的计算，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：∵，∴=0，∴，∴，∴== =2，∴在方向上的投影为：==，故选：D．利用向量垂直数量积为0求得，进而借助平方求得，结合投影的概念可得解．此题考查了向量数量积，向量的模，向量的投影等，难度适中．6.【答案】B【解析】解：因为，所以，即：b2-bc+c2-a2=0即：b2-bc+c2=a2；，所以cosA=，A=故选：B．直接向量，计算，求出三角形的三边的关系，利用余弦定理求出A的大小．本题是基础题，考查向量的数量积，两个向量垂直条件的应用，余弦定理求角，考查计算能力．7.【答案】B【解析】解：∵在等差数列{a n}中，3（a3+a5）+2（a7+a10+a13）=48，∴3（2a1+6d）+2（3a1+27d）=48即a1+6d=4∴a7=4所以等差数列{a n}的前13项的和为=13a7=13×4=52故选：B．根据已知条件化成首项与公差的关系，然后利用等差数列的前n项和公式进行求解即可．本题主要考查了等差数列的前n项和，以及等差数列的通项，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，点M、N满足，，∴根据图形可得：=+=，==，∴=，∵=•（）=2-，2=22，=22，||=6，||=4，∴=22=12-3=9故选：C．根据图形得出=+=，==，=•（）=2-，结合向量结合向量的数量积求解即可．本题考查了平面向量的运算，数量积的运用，考查了数形结合的思想，关键是向量的分解，表示．9.【答案】D【解析】解：设BD=a，则由题意可得：BC=2a，AB=AD=a，在△ABD中，由余弦定理得：cosA===，∴sinA==，在△ABC 中，由正弦定理得，=，即=，解得：sinC=，故选：D．设BD=a，则由题意可得：BC=2a，AB=AD=a，利用余弦定理表示出cosA，把三边长代入求出cosA的值，进而确定出sinA的值，由AB，BC，以及sinA的值，利用正弦定理求出sinC的值即可．此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．10.【答案】A【解析】解：由（1），∵A＞B，则a＞b，利用正弦定理可得a=2rsinA，b=2rsinB，故sinA＞sinB．故（1）正确；由（2），A＞B，△ABC中，A、B∈（0，π），余弦函数是减函数，所以cosA＜cosB，故（2）正确；对于（3），由A＞B，如B为锐角，A为钝角，tanA＜tanB，可知（3）错误；对于（4），因为在△ABC中，A＞B，所以a＞b，利用正弦定理可得a=2rsinA，b=2rsinB，故sinA ＞sinB＞0，所以sin2A＞sin2B，可得1-2sin2A＜1-2sin2B，由二倍角公式可得：cos2A＜cos2B，故（4）正确．对于（5），∵A＞B，则a＞b，利用正弦定理可得a=2rsinA，b=2rsinB，故sinA＞sinB．sin2A+sin2C ＞sin2B，所以（5）正确．故选：A．（1）通过A＞B，利用正弦定理，推出sinA＞sinB．（2）由A＞B，通过余弦函数的单调性可得cosA＜cosB；（3）由A＞B通过举反例说明sin2A＞sin2B不正确即可．（4）由A＞B，通过正弦定理以及同角三角函数的基本关系式，以及二倍角的余弦函数推出cos2A＜cos2B．本题考查正弦函数的单调性，正弦定理，同角三角函数的基本关系，三角形中有大角对大边，将命题转化是解题的关键．11.【答案】C【解析】解：由=+1，即-=1，=-5．∴数列{}为等差数列，首项为-5，公差为1．∴=-5+n-1，可得：a n=（2n-5）（n-6），当且仅当3≤n≤5时，a n＜0．已知n，m∈N，n＞m，则S n-S m的最小值为a3+a4+a5=-3-6-5=-14．故选：C．由=+1，即-=1，=-5．利用等差数列的通项公式可得：a n=（2n-5）（n-6），当且仅当3≤n≤5时，a n＜0．即可得出结论．本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：在△ABC中，由，得cosA=，即cosAsinC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC．∴sinAcosC=0，∵sinA≠0，∴cosC=0．又0＜C＜π，∴C=．∴该三角形为直角三角形．故选：D．由已知利用正弦定理化边为角，可得cosAsinC=sinB=sin（A+C），展开两角和的正弦即可判断△ABC的形状．本题考查三角形形状的判断，考查正弦定理及两角和的正弦，是中档题．13.【答案】1009【解析】解：∵在等差数列{a n}中，a1=3，a2+a4=14，∴3+d+3+3d=14，解得d=2，∵a n=2019，∴a n=a1+（n-1）d=3+2n-2=2n+1=2019，解得n=1009．故答案为：1009．利用等差数列通项公式求出d=3，再由a n=2019，能求出n的值．本题考查等差数列的前n 项和公式的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】 ＜ ＜ 且【解析】解：∵||=，||=1，与的夹角为45°，∴•=||||cos45°==1，若（2-λ）与（-3）同向共线时， 满足（2-λ）=m （-3），m ＞0，则，得λ=， 若向量（2-λ）与（λ-3）的夹角是锐角，则（2-λ）•（λ-3）＞0，且，即2λ2+3λ2-（6+λ2）•＞0，即4λ+3λ-（6+λ2）＞0，即λ2-7λ+6＜0，得，故答案为：根据向量数量积的公式以及向量数量积与夹角之间的关系进行求解即可．本题主要考查平面向量数量积的应用，根据数量积和向量夹角的关系建立不等式关系是解决本题的关键．注意向量同向共线时不满足条件． 15.【答案】5-2【解析】解：如图，以A 为原点，边AB ，AD 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，则：A （0，0），C （2，2），D （0，2），设P （cosθ，sinθ）；∴•（-cosθ，2-sinθ）=（2-cosθ）（-cosθ）+（2-sinθ）2 =5-2（cosθ+2sinθ）=sin （θ+φ），tanφ=； ∴sin （θ+φ）=1时，取最小值．故答案为：5-2．首先以A 为原点，直线AB ，AD 分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系，可设P （cosθ，sinθ），从而可表示出，根据两角和的正弦公式即可得到=5-2sin（θ+φ），从而可求出的最小值．考查建立平面直角坐标系，利用向量的坐标解决向量问题的方法，由点的坐标求向量坐标，以及数量积的坐标运算，两角和的正弦公式． 16.【答案】2n 2+6n +10【解析】解：，①可得=6，即a 1=36， n≥2时，++…+=n （n+1），②①-②可得=2n+2，即有a n =4（n+1）2，n≥2，可得=18+（4×3+4×4+…+4（n+1））=18+4×（n-1）=2n2+6n+10．故答案为：2n2+6n+10．求得首项，再将n换为n-1，相减可得=2n+2，由等差数列的求和公式，化简可得所求和．本题考查数列的递推式的运用，考查等差数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查化简运算能力，属于中档题．17.【答案】解：（Ⅰ）由已知条件以及=m+n，可得：（3，2）=m（-2，2）+n（4，1）=（-m+4n，2m+n）．∴ ，解得实数m=，n=．（Ⅱ）设向量=（x，y），=（x-4，y-1），=（2，4），∵（）（），||=，∴ ，解得或，向量的坐标为（3，-1）或（5，3）．【解析】（Ⅰ）求满足=m+n的实数m、n的值（Ⅱ）若向量满足（）（），且||=，求向量的坐标．本题考查向量共线的充要条件以及向量的模，向量的坐标运算，基本知识的考查．18.【答案】（本题满分为12分）解：（1）因为a cos B=（2c-b）cos A，由正弦定理得：sin A cos B=（2sin C-sin B）cos A，即sin A cos B+sin B cos A=2sin C cos A，sin C=2sin C cos A，……（4分）在△ABC中，sin C≠0，所以cos A=，由于A∈（0，π），可得A=．……（6分）（2）∵，两边平方可得：++2=42，∴由b=3，，cos A=，可得：c2+9+2×c×3×=63，∴解得：c=6或c=-9（舍），………（10分）∴△ABC的面积S==．…（12分）【解析】（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知等式可得sinC=3sinCcosA，结合sinC≠0，可求cosA的值，即可得解．（2）将两边平方，利用平面向量数量积的运算可求c的值，进而根据三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，平面向量数量积的运算，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19.【答案】解：（1）由已知得，即，解得a1=1，d=4．（2）∵{a n}为等差数列，a1=1，d=4，∴a n=1+（n-1）•4=4n-3，．（3）b n=|4n-33|，n≤8时，b n=33-4n，，n＞8时，b n=4n-33，．所以T n=．【解析】（1）分别令n=1，2，列出方程组解出；（2）根据a1和d写出．（3）分当n≤8和n≥8两种情况进行讨论．本题考查了等差数列的通项公式，求和公式，分类讨论思想，属于中档题．20.【答案】解：（1）∵DB=2DC，∴s△ABD=2s△ADC，s△ABC=3s△ADC，又△ ，∴△ ，…（3分）∵△ ，∴BC=6，在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB•BC cos∠ABC．∴AC=4．…（5分）（2）在三角形中，∵cos B=，∴sin B=．…（6分）在△ABD中，由正弦定理得，又AB=2，，sin B=．∴AD=…（9分），sin∴△ =…（12分）【解析】（1）由DB=2DC得s△ABC=3s△ADC，即，BC=6，在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB•BCcos∠ABC即可；（2）在△ABD中，由正弦定理得，得AD=，sin即可求解．本题考查了正余弦定理的应用，考查了计算能力，属于中档题．21.【答案】解：（1）∵A=，∴C=-B，-sin（2B-）=sin2B，∴-sin2B cos+cos2B sin=sin2B，sin2B-cos2B=，∴sin（2B-）=，∵0＜B＜，∴B=，所以C=，三角形ABC为正三角形，其面积为；（2）由正弦定理得====，∴b+2c=sin B+sin C=sin B+sin（-B）=sin B+4cos B=sin（B+φ），期中tanφ=），∴sin（B+φ）=1时取得最大值．【解析】（1））∵A=，∴C=-B，将其代入已知条件可解得B=，从而得三角形为正三角形，可得其面积；（2）利用正弦定理将b，c化成角后，化成辅助角，可得最大值．本题考查了三角形中的几何计算，属中档题．22.【答案】解：（1）∵4S n=（a n+1）2，①∴4S n-1=（a n-1+1）2（n≥2），②①-②得4（S n-S n-1）=（a n+1）2-（a n-1+1）2．∴4a n=（a n+1）2-（a n-1+1）2．化简得（a n+a n-1）•（a n-a n-1-2）=0．∵a n＞0，∴a n-a n-1=2（n≥2）．∴{a n}是以1为首项，2为公差的等差数列．∴a n=1+（n-1）•2=2n-1．（2）b n===（-）．∴T n=[（1-）+（）+…+（-）]=（1-）=．（3）由（2）知T n=（1-），T n+1-T n=（1-）-（1-）=（-）＞0．∴数列{T n}是递增数列．∴[T n]min=T1=．∴＜，∴m＜．∴整数m的最大值是7．【解析】（1）由4S n=（a n+1）2，知4S n-1=（a n-1+1）2（n≥2），由此得到（a n+a n-1）•（a n-a n-1-2）=0．从而能求出{a n}的通项公式．（2）由（1）知b n ===（-），由此利用裂项求和法能求出T n．（3）由（2）知T n=（1-），Tn+1-T n=（-）＞0，从而得到[T n]min=T1=．由此能求出任意n∈N*，T n＞都成立的整数m的最大值．本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的数列的前n项和公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．。
安徽省怀宁中学2018_2019学年高一数学下学期期中试题理201909060331
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
北京市师范大学附属中学2018_2019学年高一数学下学期期中试题(含解析) (1)
北京师大附中2018－2019学年下学期高一年级期中考试数学试卷本试卷第一部分有三道大题，考试总时长100分钟，满分100分第一部分:中文卷(80分)一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.sin15cos15︒︒的值是( )A.14B.12【答案】A 【解析】 【分析】直接利用二倍角的正弦公式与特殊角的三角函数求解即可. 【详解】sin15cos15sin15c 111112sin 3022os15224︒︒︒︒=⨯==⨯=,故选A. 【点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式以及特殊角的三角函数，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.2.cos15cos 45sin15sin 45︒︒︒︒+等于( )A.12D. 1【答案】C 【解析】 【分析】直接逆用两角差的余弦公式，结合特殊角的三角函数求解即可. 【详解】cos15cos 45sin15sin 45︒︒︒︒+()3cos 4515cos30︒︒=-==故选C. 【点睛】本题主要考查两角差余弦公式与特殊角的三角函数，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于基础题,3.已知平面向量(1,2),(1,0)a b =-=，则向量3a b +等于（ ） A. ()2,6-B. ()2,6--C. ()2,6D.()2,6-【答案】A 【解析】 【分析】直接根据平面向量的坐标运算法则求解即可. 【详解】因为(1,2),a =-所以()33,6a =-， 又因为(1,0)b =，所以()()331,602,6a b +=-++=-，故选A.【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算法则，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题.4.设m R ∈，向量(1,2),(,2)b a m m =-=-，若a b ⊥，则m 等于( )A. 23-B.23C. －4D. 4【答案】D 【解析】 【分析】直接利用向量垂直的充要条件列方程求解即可. 【详解】因为(1,2),(,2)b a m m =-=-，且a b ⊥，所以()(1,2)(,2)220a m m m m b ⋅=-⋅-=--=， 化为40m -=，解得4m =，故选D.【点睛】利用向量的位置关系求参数是命题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用12210x y x y -=解答；（2）两向量垂直，利用12120x x y y +=解答.5.若4cos 5a =-，α是第三象限的角，则sin()4πα+等于（ ）A. 10-B.10C. 10-D.22221:4AA A AC C CCv a r v v a v r === 【答案】A 【解析】 【分析】先由同角三角函数的关系求出α的正弦值，再利用两角和的正弦公式，结合特殊角的三角函数求解即可.【详解】因为4cos 5a =-，α是第三象限的角，所以3sin 5α==-，sin()4πααα+=342525⎛⎫⎛⎫=⨯-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10-，故选A. 【点睛】本题主要考查同角三角函数的关系、两角和的正弦公式以及特殊角的三角函数，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.6.下列向量的线性运算正确的是（ ） A. AB AC BC += B. AB CB AC += C. AB CB AC -= D. AB AC BC -=【答案】C 【解析】分析：由三角形法逐一验证选项中的运算是否正确即可. 详解：对于,A 因为 AC AB BC -=,故A 选项错误；对于B ，AB CB AC -=，故B 选项错误；对于C ，AB CB AB CA AB CA AC -=-+=-=, 故C 选项正确； 对于D ，AB AC BC -=-，故D 选项错误，故选C.点睛：本题主要考查平面向量的线性运算，注意掌握三角形法则的应用是解题的关键.7.已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么a b -等于（ ）A. 1D. 2【答案】A 【解析】 【分析】 先求得12a b ⋅=，再求出2a b -的值，然后开平方即可得结果. 【详解】因为,a b 均为单位向量，且它们的夹角为60， 所以111,1,cos601122a b a b a b ==⋅==⨯⨯=， 2221211212a b a b a b -=+-⋅=+-⨯=， 1a b -=r r，故选A.【点睛】本题主要考查向量的模以及平面向量数量积的运算法则，属于中档题. 向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式cos a b a b θ⋅=；二是向量的平方等于向量模的平方22a a =.8.已知向量(1,2),(3,4)a b =-=，则2a a b -⋅=（ ）A. 0B. －1C. 2或－2D.12【答案】A 【解析】 【分析】先求出22145,385a a a b ==+=⋅=-+=，从而可得结果. 【详解】因为(1,2),(3,4)a b =-=，所以22145,13245a a a b ==+=⋅=-⨯+⨯=，所以2a ab -⋅=550-=，故选A.【点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅=，二是1212a b x x y y ⋅=+.二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分。
2019-2020学年安徽师范大学附中高一期中数学试题及答案
2019-2020学年安徽师范大学附中高一期中数学试题及答案一、单选题1．下列集合符号运用不正确的是( ) A ．2Z ∈ B ．}{}{1,2,31,2⊆ C ．{}12⋂∅=∅，D ．N R R ⋃= 【答案】B【解析】根据集合知识,逐项分析,即可求得答案. 【详解】对于A,由2Z ∈,故A 正确; 对于B,因为}{}{1,21,2,3⊆,故B 错误;对于C,因为{}12⋂∅=∅，,故C 正确; 对于D,因为N R R ⋃=,故D 正确. 故选:B. 【点睛】解题关键是掌握集合的基础知识,考查了分析能力,属于基础题.2．设集合1|2M y y ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭,{}|1N x x =<,则M N =()A ．1|2y y ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭ B ．{}|1x x <C ．1|12x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭D ．∅ 【答案】C【解析】根据交集定义,即可求得答案.11|,22M y y ⎧⎫⎡⎫=≥=+∞⎨⎬⎪⎢⎩⎭⎣⎭{}()|1,1N x x =<=-∞∴()11,,1,122M N ⎡⎫⎡⎫⋂=+∞⋂-∞=⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭故选: C. 【点睛】本题主要考查了交集运算,解题关键是掌握交集定义,考查了计算能力,属于基础题.3．已知集合{}1,0,4A =-,集合{}2|230,B x x x x N =--≤∈,全集为U ,则图中阴影部分表示的集合是( )A ．{}4B ．{}1,4-C ．{}0,4D ．{}1,0-【答案】B【解析】化简集合B ,分析可得阴影部分所表示的集合为()U A B ,根据补集定义和交集定义,即可求得答案.【详解】 化简{}{}2|230,{|13,}0,1,2,3B x xx x N x x x N =--≤∈=-≤≤∈=分析可得阴影部分所表示的集合为()U AB{}1,0,4A =-结合韦恩图可得:{}()1,4U A B ⋂=- 故选: B. 【点睛】本题主要考查了根据韦恩图求解集合运算,解题关键是掌握集合基本知识,考查了分析能力和计算能力,属于基础题. 4．已知11232f x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭且()6f m =，则m 的值为（ ）A ．32-B ．32C ．14D ．14-【答案】D【解析】令11,2+22m x x m =-=代入11232f x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，求出()f m ，再由()6f m =，即可求出结果. 【详解】令11,222m x x m =-=+，则()4+7f m m =，1()647,4f m m m ==+∴=-. 故选:D. 【点睛】本题考查由复合函数的解析式求函解析式，常用的方法有：换元法、拼凑法、待定系数法、解方程法，注意解题方法的积累，属于基础题.5．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(),0x ∈-∞时，32()2f x x x =-，则(3)f =()A ．9B ．-9C ．45D ．-45【答案】C【解析】函数()f x 为奇函数，有(3)(3)f f =--，再把3x =-代入已知条件得到(3)f 的值.因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以32(3)(3)[(3)2(3)](2718)45f f =--=----=---=. 【点睛】本题考查利用奇函数的定义求函数值，即(3)(3)f f =--，考查基本运算能力.6．若函数()y f x =的定义域是[0，4]，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是（ ） A ．[]0,8 B ．[]0,1)(1,8⋃ C ．[]0,1)(1,2⋃ D ．[]0,2【答案】C【解析】先根据抽象函数()y f x =的定义域，求出(2)f x 的定义域，结合分式，可得选项. 【详解】 因为()y f x =的定义域是[0，4]，所以024x ≤≤，即02x ≤≤；由于10x -≠，所以1x ≠，故选：C. 【点睛】本题主要考查函数定义域的求解，抽象函数的定义域的求解策略是整体代换，侧重考查数学抽象的核心素养. 7．若1a >,01c b <<<,则下列不等式不正确的是( ) A ．20192019log log a b > B ．log log c b a a > C ．c ba a <D ．a a b c <【答案】D【解析】根据对数函数的单调性和指数函数的单调性,结合不等式的性质,逐项判断,即可求得答案.对于A,根据2019log y x =是单调增函数,由1a >,01c b <<<,可得0a b >>,所以20192019log log a b >,故A 正确;对于B,log 1log log log a c a a a a c c ==,log 1log log log a ba a a ab b==又log ,(1)a y x a =>是单调增函数当01c b <<<,可得log log 0a a c b <<∴11log log a a c c >故log log c b a a >,故B 正确;对于C,根据x y a =(1a >)是单调增函数,由01c b <<<,可得c b a a <,故C 正确;对于D,由1a >,01c b <<<,根据ay x =(1a >)单调性递增可知:a a b c >,故D 错误 综上所述, D 错误. 故选: D. 【点睛】本题主要考查了对数单调性和指数单调性,及其不等式的基本性质,解题关键是掌握函数的基本性质和熟练使用不等式的基本性质,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.8．已知幂函数()y f x =图像过点(2,)2,则关于此函数的性质下列说法错误的是( ) A ．()f x 在()0,∞+上单调递减 B ．()f x 既不是奇函数也不是偶函数C ．()f x 的值域为[)0,+∞D ．()f x 图像与坐标轴没有交点 【答案】C【解析】求出幂函数的解析式,从而判断函数的奇偶性和单调性,即可求得答案. 【详解】设()f x x α=(α是常数)幂函数()y f x =图像过点∴12222α-== 12α∴=-12()f x x-∴==对于A,因为12()f x x-==,根据幂函数图像可知:()f x 在()0,∞+上单调递减,故A 正确;对于B,因为12()f x x-==可得()f x 既不是奇函数也不是偶函数,故B 正确; 对于C,因为12()f x x-==可得值域为()0,∞+,故C 错误;对于D,12()f x x-==,根据幂函数图像可知:()f x 图像与坐标轴没有交点,故C 正确. 综上所述, C 错误.【点睛】本题主要考查了根据幂函数上的点求幂函数解析式,及其判断函数相关性质,解题关键是掌握幂函数的基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.9．如果函数()f x 对任意实数a ,b 满足()()()f a b f a f b +=,且1(1)2f =,则(2)(4)(6)(2020)...(1)(3)(5)(2019)f f f f f f f f ++++=( )A ．505B ．1010C ．1515D ．2020【答案】A 【解析】因为()()()f a b f a f b +=,可得()()()f a b f b f a +=,令1b =,故(1)1(1)()2f a f f a +==,即可求得答案. 【详解】函数()f x 对任意实数a ,b 满足()()()f a b f a f b +=∴()()()f a b f b f a += 令1b =,故(1)1(1)()2f a f f a +== (2)(4)(6)(2020)11010505(1)(3)(5)(2019)2f f f f f f f f ∴+++⋯+=⨯= 故选:A. 【点睛】本题主要考查了根据函数关系式求函数值,解题关键是掌握由函数关系式求值的解法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.10．函数()1ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】通过函数在2x =处函数有意义，在2x =-处函数无意义，可排除A 、D ；通过判断当1x >时，函数的单调性可排除C ，即可得结果. 【详解】当2x =时，110x x -=>，函数有意义，可排除A ； 当2x =-时，1302x x -=-<，函数无意义，可排除D ；又∵当1x >时，函数1y x x=-单调递增， 结合对数函数的单调性可得函数()1ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，可排除C ； 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力，属于中档题.11．设函数()31,1{2,1x x x f x x -<=≥，则满足()()()2f a f f a =的a 的取值范围是（ ）A ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．0,1C ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)1,+∞【答案】C【解析】【详解】试题分析：令()f a t =，则()2tf t =，当1t <时，312t t --，由()312tg t t =--的导数为()32ln 2t g t =-'，当1t <时，在(,1)-∞递增，即有()()10g t g <=，则方程无解；当1t ≥时，22t t =成立，由()1f a ≥，即311a -≥，解得23a ≥且1a <；或1,21a a ≥≥解得0a ≥，即为1a ≥，综上所述实数a 的取值范围是2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，故选C.【考点】分段函数的综合应用. 【方法点晴】本题主要考查了分段函数的综合应用，其中解答中涉及到函数的单调性、利用导数研究函数的单调性、函数的最值等知识点的综合考查，注重考查了分类讨论思想和转化与化归思想，以及学生分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于难题，本题的解答中构造新的函数()312t g t t =--，利用新函数的性质是解答的关键.12．已知定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,+∞上单调递增,且(1)(2)f mx f x +≤-对任意的1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立,则m 的取值范围是( )A．11,62⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦B ．2,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【答案】D【解析】因为()f x 定义在R 上偶函数,且在[)0,+∞上单调递增,根据偶函数关于y 轴对称可知:()f x 在(]0-∞，上单调递减,由(1)(2)f mx f x +≤-,即12mx x +≤-,分别讨论23x ≤≤和122x ≤<,即可求得答案. 【详解】()f x 定义在R 上偶函数,且在[)0,+∞上单调递增根据偶函数关于y 轴对称可知:∴()f x 在(]0-∞，上单调递减(1)(2)f mx f x +≤-∴12mx x +≤-①当23x ≤≤12mx x +≤-可化为:1212mx x mx x +≤-⎧⎨+≥-⎩要保证(1)(2)f mx f x +≤-对任意的[]2,3x ∈恒成立只需保证:[][]min max 31,2,311,2,3m x x m x x ⎧⎛⎫≤-∈ ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎪≥-∈ ⎪⎪⎝⎭⎩即:1212m m ⎧≤-⎪⎪⎨⎪≥-⎪⎩,故12m =- ②当122x ≤<12mx x +≤-可化为:1212mx x mx x +≤-⎧⎨+≥-⎩要保证(1)(2)f mx f x +≤-对任意的1,22x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭恒成立只需保证:min max 311,,22111,,22m x x m x x ⎧⎛⎫⎡⎫≤-∈ ⎪⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭⎪⎨⎛⎫⎡⎫⎪≥-∈ ⎪⎪⎢⎪⎝⎭⎣⎭⎩即:51m m ≤-⎧⎨≥⎩,无解. 综上所述,m 的取值范围是:12m =-. 故选:D. 【点睛】本题主要考查了根据不等式恒成立求参数范围,解题关键是掌握函数基本性质和求解函数不等式恒成立的解法,考查了分析能力和计算能力,属于难题.二、填空题13．集合{}1,0,4A =-,集合{}0,2,4B =,则A B 的子集个数为__________. 【答案】4个【解析】根据交集定义求得AB ,根据子集计算公式,即可求得答案. 【详解】集合{}1,0,4A =-,集合{}0,2,4B =∴{}0,4A B ⋂=根据子集个数计算公式:2n . 可得AB 的子集个数为:224=∴A B 的子集个数为:4个故答案为:4个. 【点睛】本题主要考查了交集运算和求子集个数,解题关键是掌握交集定义和子集定义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.14．以下结论中,正确结论的序号是__________． ①lg(lg10)0=; ②lg(ln )0e =; ③若lg 1x =,则10x =; ④若8log 2x =,则3x =-; ⑤若3log log 2m n m ⋅=,则9n =. 【答案】①②③⑤【解析】根据指数运算,逐项检验,即可求得答案. 【详解】对于①,因为(10)10lg lg lg ==,故①正确;对于②,因为lg?(ln )lg10e ==,故②正确; 对于③,因为lg 1x =,则110x =,即10x =,故③正确;对于④,因为8log 2x =,则82x =,即13x =,故④错误; 对于⑤,3lg lg lg log log 2lg lg3lg3m n m nn m m ⋅=⋅== ∴lg 2lg 3n=,可得:lg lg9n = 解得:9n =.故⑤正确. 故答案为:①②③⑤. 【点睛】本题主要考查了指数运算,解题关键是掌握指数运算基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.15．设2()log f x x =-,()g x 的图像与()f x 的图像关于直线y x =对称,()h x 的图像由()g x 的图像向左平移1个单位得到,则()h x =__________．【答案】11()2x +【解析】根据函数()g x 的图像与()f x 的图像关于直线y x =对称,求出()g x ,再根据平移求出()h x ,即可求得答案. 【详解】212()log log f x x x=-=根据()g x 的图像与()f x 的图像关于直线y x =对称∴1()2⎛⎫= ⎪⎝⎭xg x()h x 的图像由()g x 的图像向左平移1个单位得到根据函数的左加右减可得:+11()2x h x ⎛⎫= ⎪⎝⎭故答案为:+11()2x h x ⎛⎫= ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了函数的对称变换和平移变换,解题关键是掌握对称变换和平移变换的解题方法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.16．已知函数()()0,1x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,则a b +=__________. 【答案】3或1918- 【解析】因为函数()()0,1xf x ab a a =+>≠,讨论1a >和01a <<,根据函数的单调性,即可求得答案. 【详解】①当1a >时,根据指数函数单调可知:x y a =是单调递增函数,∴此时()()0,1x f x a b a a =+>≠单调递增,可得:()010f b =+=,解得1b =-1211()122f a --=-=-,即1212a -= 解得:4a =.∴3a b +=②当01a <<时,根据指数函数单调可知:x y a =是单调递减函数,∴此时()()0,1x f x a b a a =+>≠单调递减,可得:()1012f b =+=-,解得:32b =-1213()022f a --=-=,即1232a -= 解得:49a =.∴1918a b +=-综上所述,3a b +=或1918a b +=- 故答案为:3或1918-. 【点睛】本题主要考查了根据函数定义域和值域相同求参数问题,解题关键是掌握指数函数的单调性和函数的基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.三、解答题 17．化简求值: （1）122.5053[(64)]π-（2）52log 333325log 2log 59-+ 【答案】（1）114e -（2）11【解析】（1）根据指数幂运算,即可求得答案; （2）根据对数运算,即可求得答案. 【详解】 （1）122.5053[(64)]π-+6521252322(2)1e ⎛⎫⎛⎫⋅-⋅⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+--2221e -=+--134e =+- 114e =-（2）52log 333325log 2log 59-+ 25log 353332log 2log 59=-+ 5log 93332log 32log 59=-+2911=+=【点睛】本题主要考查了指数幂运算和对数运算,解题关键是掌握指数幂运算和对数运算基础知识,考查了计算能力,属于基础题.18．已知函数()|21|f x x =-.（1）用分段函数的形式表示该函数;（2）在所给的坐标系中画出该函数的图像,并根据图像直接写出该函数的定义域、值域(不要求写作图及解答过程) 【答案】（1）121()2()112()2x x f x x x ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩（2）图见解析，定义域R ，值域[0,)+∞ 【解析】（1）因为()|21|f x x =-,分别讨论12x ≥和12x <,即可求得答案; （2）由（1）得:121()2()112()2x x f x x x ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩,画出函数图像,即可求得答案.（1）()|21|f x x =-当12x ≥,()21f x x =-; 当12x <,()12f x x =-∴121()2()112()2x x f x x x ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩（2）由（1）得:121()2()112()2x x f x x x ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩画出函数的图像,如图:根据函数图像可知:()f x 定义域R ,值域[0,)+∞. 【点睛】本题主要考查了求解带绝对值的函数,解题关键是掌握函数的基础知识和函数图像的画法,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.19．设全集U =R ,已知集合2{|(2)0}M x x =-≤,2{|60}N x x x =+-≤. （1）求()U M N ;（2）已知集合{|132,}B x a x a a R =-≤≤-∈,若A B A ⋃=,求实数a的取值范围.【答案】（1）{|32}x x -≤<（2）{|53}A B x x ⋃=-≤< 【解析】（1）化简集合M ,N ,求得UM,根据交集定义,即可求得答案;（2）因为A B A ⋃=,可得B A ⊆,分别讨论B =∅和B ≠∅,即可求得答案. 【详解】 （1）2{|(2)0}M x x =-≤∴{2}M =故{|2}UM x x =≠2{|60}N x x x =+-≤ ∴{|32}N x x =-≤≤∴(){|2}{|32}{|32}U M N x x x x x x ⋂=≠⋂-≤≤=-≤<（2）集合{|32}A x x =-≤<,A B A ⋃=,∴B A ⊆①当B =∅,则132a a ->-, 解得43a > ②当B ≠∅,即43a ≤时, 则13322a a -≥-⎧⎨-<⎩,解得:12a >∴1423a <≤, 综上所述,12a >. 【点睛】本题主要考查了集合运算和根据集合包含关系求参数范围,解题关键是掌握集合的基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.20．已知函数()f x =A ,关于x 的不等式2(3)30()x a x a a R -++<∈的解集为B .（1）当1a =时,求集合A B ;（2）求集合AB .【答案】（1）{|53}A B x x ⋃=-≤<（2）答案见解析 【解析】（1）化简集合A ,B 根据并集定义,即可求得答案; （2）化简集合B ,对参数a 进行讨论,根据交集定义,即可求得答案. 【详解】（1）()f x =∴函数()f x =:5{|0}2x A x x +=≥-化简可得:{|52}A x x =-≤<关于x 的不等式2(3)30()x a x a a R -++<∈的解集为B . 当1a =时,可得2430x x -+<∴2{|430}B x x x =-+<化简可得:{|13}B x x =<<∴{|52}{|13}{|53}A B x x x x x x ⋃=-≤<⋃<<=-≤<（2）{|52}A x x =-≤<,{|(3)()0}B x x x a =--<当5a <-时,{|52}A B x x ⋂=-≤< 当52a -≤<时,{|2}A B x a x ⋂=<<当2a ≥时,A B =∅【点睛】本题主要考查了集合的交集和并集运算,解题关键是掌握交集定义和并集定义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题. 21．已知213()log [(2)2]f x a x ax =-+-，a R ∈.（1）若()f x 的定义域是1(,2)(,)3-∞-⋃+∞，求a 的值；（2）若3a =，求()f x 的单调区间； （3）若()f x 的值域是R ，求a 的取值范围.【答案】（1）5a =（2）函数单增区间为(-∞，单减区间为)+∞（3）2a ≥ 【解析】（1）因为()f x 的定义域是1(,2)(,)3-∞-⋃+∞,所以2(2)20a x ax -+->的解集为1(,2)(,)3-∞-⋃+∞,即可求得答案;（2）当3a =时,由2320x x +->,得定义域为33(,()22--+-∞⋃+∞,根据复合函数单调性同增异减,即可求得答案.（3）由()f x 的值域是R ,可得2(2)2y a x ax =-+-可取到所有正值,分别讨论2a =和2a ≠,即可求得答案. 【详解】 （1）()f x 的定义域是1(,2)(,)3-∞-⋃+∞∴2(2)20a x ax -+->的解集为1(,2)(,)3-∞-⋃+∞∴12x =-,213x =是2(2)20a x ax -+-=的两根将12x =-,代入2(2)20a x ax -+-=,即:()()2(2)2220a a -⋅-+⋅--= 解得:5a =（2）当3a =时,由2320x x +->,得定义域为()-∞⋃+∞ 13log y t=单调递减及232t x x =+-图像开口向上且对称轴为32x =- 根据复合函数单调性同增异减可得:∴函数单增区间为3(,2---∞,单减区间为)+∞ （3）由()f x 的值域是R可得2(2)2y a x ax =-+-可取到所有正值当2a =时,22y x =-,满足题意当2a ≠时,有200a ->⎧⎨∆≥⎩,解得:2a > 综上所述,2a ≥【点睛】本题主要考查了求复合函数单调区间和根据值域求参数范围,解题关键是掌握复合函数单调区间的求法和函数值域的定义,考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 22．已知()f x 是定义域在[1,1]-上的奇函数，且(1)1f =，当12,[1,1]x x ∈-，且120x x +≠时，有()1212()0f x f x x x +>+，若存在[1,1]x ∈-,使得2()34f x m am ≤-+对任意[2,1]a ∈-恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】(,5][1,)m ∈-∞-⋃-+∞【解析】因为()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数且1212()()0f x f x x x +>+,可得()f x 是增函数,由题意可知2min ()34f x m am ≤-+,因为min ()(1)(1)1f x f f =-=-=-,可得2341m am -+≥-对任意[2,1]a ∈-恒成立,即可求得答案.【详解】()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数且1212()()0f x f x x x +>+ ∴1212()()0()f x f x x x -->--成立 由12,x x 为[1,1]-上任意值,且12x x ≠∴()f x 是增函数由题意可知2min ()34f x m am ≤-+又min ()(1)(1)1f x f f =-=-=-可得2341m am -+≥-对任意[2,1]a ∈-恒成立令2()35g a m am =-+,()0g a ≥在[2,1]-上恒成立则(2)0(1)0g g -≥⎧⎨≥⎩,即: 22(2)3(2)5013150a a ⎧--⋅-+≥⎨-⋅+≥⎩解得(,5][1,)m ∈-∞-⋃-+∞.【点睛】本题主要考查了由不等式恒成立求参数范围,解题关键是掌握函数单调性判断方法和不等式恒成立求法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.。
华中师大一附中2018-2019高一下期中试题(定稿答案
华中师大一附中2018—2019学年度下学期高一期中检测数 学 试 题第I 卷（选择题，共60分)一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如果0a b <<，那么下列不等式中正确的是A ．22a b > B ．2ab a > C ．2b ab > D ．||||a b < 【答案】A【详解】对于A 选项，，A 选项正确．令．对于C 选项，所以C 选项错误．对于B 选项，，故B 选项错误．对于D 选项，，故D 选项错误．综上所述，本小题选A ． 2．若函数()sin(2)f x x φ=+为R 上的偶函数，则φ的值可以是 A ．4π-B ．4π C ．2πD ．π 【答案】C3．若||2cos75,||4cos15a b ==，a 与b 的夹角为30，则a b ⋅的值是 A ．23 B ．3 C ．12 D ．32【答案】B【解析】由题意可得：||•||•cos，2sin15°4cos15°cos30°＝2sin60°，故选：B ．4．已知等比数列{}n a 的公比2q =，且123,1,a a a +成等差数列，则其前5项和为 A ．32 B ．30 C ．64 D ．62 【答案】D【解析】a 1，a 2+1，a 3成等差数列，∴2（a 2+1）＝a 1+a 3， ∴2（2a 1+1）＝a 1（1+22），解得a 1＝2；则其前5项和S 562；故选：D ．5．现存入银行a 万元，年利率为2.50%，若采用1年期自动转存业务，则恰好满5年后的本金和利息共有( )万元A ．31.025a ⨯ B ．41.025a ⨯ C ．51.025a ⨯ D ．61.025a ⨯ 【答案】C【解析】存入银行a 万元，年利率为2．50%，若采用1年期自动转存业务，第一年末的本利和为 1.025a ⨯万元，第二年末的本利和为21.025a ⨯万元，第三年末的本利和为31.025a ⨯万元，依次下去，第5年末的本利和为51.025a ⨯万元，答案选C6．已知向量,a b 满足()2a b a ⋅+=，且(1,2)a =，则向量b 在a 方向上的投影为A ．3- BC． D． 【答案】D【解析】由(1,2)a =，可得5a =，()2a b a ⋅+=，可得22a b a ⋅+=，∴3a b ⋅=-，∴向量b 在a 方向上的投影为35a b ⋅=-D ．7．数列{}n a 为等差数列，n S 是其前n *()n N ∈项的和，若7143S π=，则4sin()2a π+=A ．12 B ．12-CD ．．8lg 2C =，则ABC ∆的形状是A ．直角三角形B ．等边三角形C ．不能确定D ．等腰三角形 【答案】D 【解析】sin sin lglg 2,2,sin 2cos sin cos sin cos sin A AA B C B C B C===，sin()2cos sin ,sin cos cos sin 0,B C B C B C B C +=-=sin()0,B C B C -==，等腰三角形．9．已知数列{}n a 满足12211111(1)(1)(1)(1)n na a a a a -⋅-⋅-⋅⋅-=（*n N ∈），则数列{}n a 的通项公式为A ．1n a n =+B ．n a n =C ．21n a n =-D 【答案】1)(1)n a -=111)(1)(1)n a --=-11)(1)n a -11(n n -=≥1的等差数列．于是10.,，数列数列{}n b 前n 项的和为n S ，若关于t 的不等式23n S t t <-*()n N ∈恒成立，则实数t 的取值范围为A ．(,1][4,)-∞-+∞B ．(,1)(4,)-∞-+∞C ．(1,4)-D ．[1,4]-12n n ++= 11n n ++-+11的最小值是4；②若0,2a b >>且3a b +=，则③已知n S 是等差数列{}n a 的前，则数列{}n S 中的最大项为11S ；④在ABC ∆中，若2ab c >其中正确的个数是A ．1B ．2C ．3D ． 4123(,,,,,)n A a a a a =(n N ∈列2431,,,,)n n a a a a a +--(括号中的第(2,2,2,2,)，且1a C ．48【解析】设序列A 的首项为d ，则序列(,1,2,)A d d d =++，则它的第n 项为1d n +-，因此序列A 的第n 项12111()()=(2)(4)(22)n n n a a a a a a a d d d d n -=+-+-++++++++-=1(1)(2)(1)a n d n n +-+--，则n a 是关于n 的二次多项式，其中2n 的系数为1，因为151,15a a =-=，所以1d =，则81(1)(2)(1)1742=48a a n n n =+-+--=-++或逆推可以或解方程点睛：本题主要考查数列的概念和表示，属于中档题。
安徽师大附中高一数学下学期期中试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题
2015-2016学年某某师大附中高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列说法正确的是（）A．向量∥就是所在的直线平行于所在的直线B．共线向量是在一条直线上的向量C．长度相等的向量叫做相等向量D．零向量长度等于02．已知，，则m=（）A． B． C．2D．﹣23．在△ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）A．a=7，b=14，A=30°B．a=20，b=26，A=150°C．a=30，b=40，A=30°D．a=72，b=60，A=135°4．已知向量，均为单位向量，它们的夹角为60°，则|2﹣3|等于（）A．1B． C． D．5．一个等比数列前n项的和为24，前3n项的和为42，则前2n项的和为（）A．36B．34C．32D．306．在△ABC中，若2cosAsinB=sinC，则△ABC的形状一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形7．在△ABC中，若sinA=2sinB，cosC=﹣，则=（）A． B． C． D．8．若{a n}为等差数列，S n是其前n项和，且S11=π，{b n}为等比数列，b5b7=，则tan （a6+b6）的值为（）A． B． C． D．9．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量=（﹣1，），=（cosA，sinA）．若⊥，且acosB+bcosA=csinC，则角A，B的大小分别为（）A．， B．， C．， D．，10．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行15km后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是（）A．15kmB．30kmC．15kmD．15km11．设正项数列{a n}的前n项和为S n，且满足4S n=a n2+2a n﹣3（n∈N*），则a2016=（）A．4029B．4031C．4033D．403512．已知点A（1，﹣1），B（4，0），C（2，2），平面区域D是所有满足=λ+μ（1＜λ≤a，1＜μ≤b）的点P（x，y）组成的区域．若区域D的面积为4，则ab﹣a﹣b=（）A．﹣1B．﹣ C． D．1二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分.把答案填在答题卡的相应位置. 13．已知数列{a n}的前n项的和为S n=n2﹣2n+3，则数列的通项公式为．14．已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为．15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则sinAsinC=．16．正项数列{a n}的前n项和为S n，且2S n=a n2+a n（n∈N*），设=（﹣1）n，则数列{}的前2017项的和为．三、解答题：本大题共6小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.17．已知，、、同一平面内的三个向量，其中=（2，1）．（1）若||=2，且∥，求的坐标；（2）若||=，且+2与2﹣垂直，求与的夹角θ．18．如图，D是直角三角形△ABC斜边BC上一点，AC=DC．（1）若∠DAC=，求角B的大小；（2）若BD=2DC，且AD=2，求DC的长．19．已知{a n}为等比数列，a1=1，a6=243．S n为等差数列{b n}的前n项和，b1=1，S5=25．（1）求{a n}和{b n}的通项公式；（2）设T n=a1b1+a2b2+…+a n b n，求T n．20．在△ABC中，角A，B，C对应边分别是a，b，c，c=2，sin2A+sin2B﹣sin2C=sinAsinB．（1）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC面积；（2）求AB边上的中线长的取值X围．21．已知数列{a n}满足a1=9，a n+1=a n+2n+5；数列{b n}满足b1=，b n+1=b n（n≥1）．（1）求a n，b n；（2）记数列{}的前n项和为S n，证明：≤S n＜．22．设G为△ABC的重心，过G作直线l分别交线段AB，AC（不与端点重合）于P，Q．若=λ，=μ．（1）求+的值；（2）求λμ的取值X围．2015-2016学年某某师大附中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列说法正确的是（）A．向量∥就是所在的直线平行于所在的直线B．共线向量是在一条直线上的向量C．长度相等的向量叫做相等向量D．零向量长度等于0【分析】利用共线向量、相等向量的定义即可判断出正误．【解答】解：A：向量∥就是所在的直线平行于所在的直线，不正确；B：共线向量是在一条直线上的向量，不正确；C：长度相等的向量叫做相等向量，不正确；D：零向量长度等于0，正确；故选：D．【点评】本题考查了共线向量、相等向量的定义，考查了理解能力，属于基础题．2．已知，，则m=（）A． B． C．2D．﹣2【分析】根据向量的坐标运算和向量的平行的条件计算即可．【解答】解：∵，，∴2×（﹣1）=1×m，∴m=﹣2，故选：D．【点评】本题考查了向量的坐标运算和向量平行的条件，属于基础题．3．在△ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）A．a=7，b=14，A=30°B．a=20，b=26，A=150°C．a=30，b=40，A=30°D．a=72，b=60，A=135°【分析】由正弦定理可得sinB=，根据条件求得sinB的值，根据b与a的大小判断角B的大小，从而判断△ABC的解的个数．【解答】解：对于A：∵a=7，b=14，A=30°，∴由正弦定理得：sinB===1，又B为三角形的内角，∴B=90°，故只有一解，本选项不合题意；对于B：∵a=20，b=26，A=150°，∴由正弦定理得：sinB===，又b＞a，故 B＞A，A为钝角，故△ABC不存在；对于C：∵a=30，b=40，A=30°，有=，∴sinB=，又b＞a，故B＞A，故B可以是锐角，也可以是钝角，故△ABC有两个解．对于D：∵a=72，b=60，A=135°，由正弦定理得：sinB===，又b＜a，故B＜A，故B为锐角，故△ABC有唯一解．故选：C．【点评】此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦定理，三角形的边角关系，正弦函数的图象与性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于中档题．4．已知向量，均为单位向量，它们的夹角为60°，则|2﹣3|等于（）A．1B． C． D．【分析】将所求平方展开，转化为向量，的运算解答．【解答】解：因为向量，均为单位向量，它们的夹角为60°，所以，所以|2﹣3|2==4+9﹣6=7，所以|2﹣3|=；故选D．【点评】本题考查了平面向量的运算；有数量积的公式运用．属于基础题．5．一个等比数列前n项的和为24，前3n项的和为42，则前2n项的和为（）A．36B．34C．32D．30【分析】由等比数列的性质得S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n仍成等比数列，由等比中项的性质列出方程代值计算即可．【解答】解：由题意可得S n=24，S3n=42，∵S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n仍成等比数列，∴（S2n﹣S n）2=S n（S3n﹣S2n），代入数据可得，（S2n﹣24）2=24（42﹣S2n），解得S2n=36，故选：A．【点评】本题考查等比数列（公比q不为﹣1）的性质：S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n仍成等比数列，以及等比中项的性质，属基础题．6．在△ABC中，若2cosAsinB=sinC，则△ABC的形状一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形【分析】利用内角和定理及诱导公式得到sinC=sin（A+B），利用两角和与差的正弦函数公式化简，代入已知等式变形再利用两角和与差的正弦函数公式化简，得到A﹣B=0，即A=B，即可确定出三角形形状．【解答】解：∵在△ABC中，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴2cosAsinB=sinC=sinAcosB+cosAsinB，即sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B）=0，∴A﹣B=0，即A=B，则△ABC为等腰三角形．故选：A．【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，以及等腰三角形的判定，熟练掌握公式是解本题的关键．7．在△ABC中，若sinA=2sinB，cosC=﹣，则=（）A． B． C． D．【分析】利用正弦定理可得b=a，利用余弦定理，代入可得a，c的关系，即可得出结论．【解答】解：∵sinA=2sinB，∴a=2b，∴b= a∵cosC=﹣，∴=﹣，∴=﹣，∴a2=，∴=．故选：C．【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，正确运用正弦、余弦定理是关键．8．若{a n}为等差数列，S n是其前n项和，且S11=π，{b n}为等比数列，b5b7=，则tan （a6+b6）的值为（）A． B． C． D．【分析】分别利用等差数列与等比数列的通项公式性质及其求和公式即可得出．【解答】解：∵S11==11a6=，解得a6=．∵{b n}为等比数列，b5b7==，解得b6=，∴tan（a6+b6）=．故选：C．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式性质及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量=（﹣1，），=（cosA，sinA）．若⊥，且acosB+bcosA=csinC，则角A，B的大小分别为（）A．， B．， C．， D．，【分析】根据向量数量积判断向量的垂直的方法，可得﹣cosA+sinA=0，分析可得A，再根据正弦定理可得，sinAcosB+sinBcosA=sin2C，有和差公式化简可得sinC=sin2C，可得C，再根据三角形内角和定理可得B，进而可得答案．【解答】解：∵根据题意，⊥，可得=0，即﹣cosA+sinA=0，可得：2sin（A﹣）=0，∵A∈（0，π），A﹣∈（﹣，），∴解得：A=，又∵acosB+bcosA=c sinC，∴由正弦定理可得，sinAcosB+sinBcosA=sin2C，∴sinAcosB+sinBcosA=sin（A+B）=sinC=sin2C，∵sinC≠0，可得：sinC=1，又C∈（0，π），∴C=，∴B=．故选：A．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，向量数量积的应用，判断向量的垂直，解题时要注意向量的正确表示方法，属于中档题．10．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行15km后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是（）A．15kmB．30kmC．15kmD．15km【分析】做出示意图，利用正弦定理求出．【解答】解：设船开始位置为A，最后位置为C，灯塔位置为B，则∠BAC=30°，∠ABC=120°，AC=15，由正弦定理得，即，解得BC=15．故选：D．【点评】本题考查了正弦定理，解三角形的应用，属于中档题．11．设正项数列{a n}的前n项和为S n，且满足4S n=a n2+2a n﹣3（n∈N*），则a2016=（）A．4029B．4031C．4033D．4035【分析】4S n=a n2+2a n﹣3（n∈N*），n≥2时，利用递推关系化为：（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，由a n+a n﹣1＞0，可得a n﹣a n﹣1=2，再利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵4S n=a n2+2a n﹣3（n∈N*），∴n=1时，4a1=+2a1﹣3，又a1＞0，解得a1=3．n≥2时，4a n=4（S n﹣S n﹣1）=a n2+2a n﹣3﹣，化为：（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，∵a n+a n﹣1＞0，∴a n﹣a n﹣1=2，∴数列{a n}是等差数列，公差为2，首项为3．则a2016=3+2（2016﹣1）=4033．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．已知点A（1，﹣1），B（4，0），C（2，2），平面区域D是所有满足=λ+μ（1＜λ≤a，1＜μ≤b）的点P（x，y）组成的区域．若区域D的面积为4，则ab﹣a﹣b=（）A．﹣1B．﹣ C． D．1【分析】延长AB到点N，延长AC到点M，使得|AN|=a|AB|，|AM|=b|AC|，作CH∥AN，BF∥AM，NG∥AM，MG∥AN，则四边形ABEC，ANGM，EHGF均为平行四边形．由题意可知：点P（x，y）组成的区域D为图中的四边形EFGH及其内部．利用向量的夹角公式可得cos∠CAB=，利用四边形EFGH的面积S=（a﹣1）×（b﹣1）××=4，求出ab﹣a﹣b的值即可．【解答】解：如图所示：，延长AB到点N，延长AC到点M，使得|AN|=a|AB|，|AM|=b|AC|，作CH∥AN，BF∥AM，NG∥AM，MG∥AN，则四边形ABEC，ANGM，EHGF均为平行四边形．由题意可知：点P（x，y）组成的区域D为图中的四边形EFGH及其内部．∵=（3，1），=（1，3），=（﹣2，2），∴||=，||=，||=2，∴cos∠CAB===，sin∠CAB=，∴四边形EFGH的面积S=（a﹣1）×（b﹣1）××=4，∴（a﹣1）（b﹣1）=，即ab﹣a﹣b=﹣，故选：B．【点评】本题考查了向量的夹角公式、数量积运算性质、平行四边形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力．二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分.把答案填在答题卡的相应位置.13．已知数列{a n}的前n项的和为S n=n2﹣2n+3，则数列的通项公式为．【分析】首先根据S n=n2﹣2n+3求出a1的值，然后利用a n=S n﹣S n﹣1求出当n＞2时，a n的表达式，然后验证a1的值，最后写出a n的通项公式．【解答】解：∵S n=n2﹣2n+3，a1=2，∴a n=S n﹣S n﹣1=n2﹣2n+3﹣[（n﹣1）2﹣2（n﹣1）+3]=2n﹣3（n＞1），∵当n=1时，a1=﹣1≠2，∴，故答案为【点评】本题主要考查数列递推式的知识点，解答本题的关键是利用a n=S n﹣S n﹣1（n≥2）进行解答，此题难度不大，很容易进行解答14．已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为．【分析】根据向量的坐标公式以及向量投影的定义进行求解即可．【解答】解：∵点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），∴向量=（5，5），=（2，1），则向量在方向上的投影为===故答案为：．【点评】本题主要考查向量投影的计算，根据向量投影的定义以及向量数量积的公式进行求解是解决本题的关键．15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则sinAsinC=．【分析】依题意，可求得B=，利用正弦定理即可求得sinAsinC；另解，求得B=，利用余弦定理=cosB可求得a2+c2﹣ac=ac，从而可求得答案．【解答】解：∵△ABC中，A，B，C成等差数列，∴2B=A+C，又A+B+C=π，∴B=，…（6分）又b2=ac，由正弦定理得sinAsinC=sin2B=…（12分）另解：b2=ac， =cosB==，…（6分）由此得a2+c2﹣ac=ac，得a=c，所以A=B=C，sinAsinC=．…（12分）【点评】本题考查正弦定理与余弦定理，熟练掌握两个定理是灵活解题的关键，属于中档题．16．正项数列{a n}的前n项和为S n，且2S n=a n2+a n（n∈N*），设=（﹣1）n，则数列{}的前2017项的和为﹣．【分析】利用a n=S n﹣S n﹣1判断{a n}为等差数列，得出{a n}的通项公式，从而得出的通项公式，使用列项法求和．【解答】解：当n=1时，2a1=a12+a1，∴a1=1或a1=0（舍）．当n≥2时，2a n=2S n﹣2S n﹣1=a n2+a n﹣a n﹣12﹣a n﹣1，∴a n+a n﹣1=a2﹣a n﹣12=（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1）．∵a n+a n﹣1≠0，∴a n﹣a n﹣1=1，∴{a n}是以1为首项，以1为公差的等差数列．∴a n=n，2S n=n2+n．∴=（﹣1）n=（﹣1）n（）．设的前n项和为T n，则T2017=﹣1﹣+﹣+…﹣﹣=﹣1﹣=﹣．故答案为：．【点评】本题考查了等差关系的判定，等差数列的通项公式及裂项求和，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.17．已知，、、同一平面内的三个向量，其中=（2，1）．（1）若||=2，且∥，求的坐标；（2）若||=，且+2与2﹣垂直，求与的夹角θ．【分析】（1），根据向量的平行和向量的模得到关于x，y的方程组，解得即可，（2）根据向量的垂直和向量的夹角公式，即可求出．【解答】解：（1），∵，∴，∴x2+y2=20．∵，∴x﹣2y=0，∴x=2y，，∴=（﹣4，﹣2）或， =（4，2）（2）∵，∴，∴，，∴，∴θ=π．【点评】本题考查平面向量的坐标运算和数量积判断两个平面垂直的条件的灵活运用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．18．如图，D是直角三角形△ABC斜边BC上一点，AC=DC．（1）若∠DAC=，求角B的大小；（2）若BD=2DC，且AD=2，求DC的长．【分析】（1）根据正弦定理即可求出，（2）根据余弦地理和同角的三角函数的关系即可求出．【解答】解：（1）在△ABC中，根据正弦定理，有．∵，∴．又，∴，∴，∴；（2）设DC=x，则，∴．在△ABD中，AD2=AB2+BD2﹣2ABBDcosB，即，得．故．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理的应用，以及解三角形的问题，属于中档题．19．已知{a n}为等比数列，a1=1，a6=243．S n为等差数列{b n}的前n项和，b1=1，S5=25．（1）求{a n}和{b n}的通项公式；（2）设T n=a1b1+a2b2+…+a n b n，求T n．【分析】（1）根据等差数列，等比数列的通项公式，求和公式列方程解出公差与公比，得出通项公式；（2）使用错位相减法求和．【解答】解：（1）设{a n}的公比为q，数列{b n}的公差为d，a6=a1q5=q5=243，S5=5b1+=5+10d=25，解得q=3，d=2．∴．b n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（2）∵T n=a1b1+a2b2+…+a n b n，∴，①∴，②①﹣②得：，∴T n=（n﹣1）×3n+1．【点评】本题考查了等差数列，等比数列的性质，错位相减法数列求和，属于中档题．20．在△ABC中，角A，B，C对应边分别是a，b，c，c=2，sin2A+sin2B﹣sin2C=sinAsinB．（1）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC面积；（2）求AB边上的中线长的取值X围．【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，再利用余弦定理表示出cosC，将得出关系式代入求出cosC的值，确定出C的度数，sinC+sin（B﹣A）=2sin2A化简后，根据cosA为0与cosA不为0两种情况，分别求出三角形ABC面积即可；（2）根据CD为AB边上的中线，得到=，两边平方并利用平面向量的数量积运算法则变形得到关系式，利用余弦定理列出关系式，将cosC与c的值代入得到关系式，代入计算即可确定出|CD|的X围．【解答】解：（1）由sin2A+sin2B﹣sin2C=sinAsinB，利用正弦定理化简得：a2+b2﹣c2=ab，∴cosC===，即C=，∵sinC+sin（B﹣A）=sin（B+A）+sin（B﹣A）=2sin2A，∴sinBcosA=2sinAcosA，当cosA=0，即A=，此时S△ABC=；当cosA≠0，得到sinB=2sinA，利用正弦定理得：b=2a，此时此时S△ABC=；（2）∵=，∴|CD|2==，∵cosC=，c=2，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即a2+b2﹣ab=4，∴|CD|2==＞1，且|CD|2=≤3，则|CD|的X围为（1，]．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，熟练掌握定理是解本题的关键．21．已知数列{a n}满足a1=9，a n+1=a n+2n+5；数列{b n}满足b1=，b n+1=b n（n≥1）．（1）求a n，b n；（2）记数列{}的前n项和为S n，证明：≤S n＜．【分析】（1）利用数列的递推关系，利用累加法和累积法进行求解即可．（2）求出数列{}的通项公式，利用裂项法进行求解，结合不等式的性质进行证明即可．【解答】解：（1）由a n+1=a n+2n+5得a n+1﹣a n=2n+5，则a2﹣a1=7，a3﹣a2=9，…a n﹣1﹣a n﹣2=2（n﹣2）+5，a n﹣a n﹣1=2（n﹣1）+5=2n+3等式两边同时相加得a n﹣a1=×（n﹣1）=（5+n）（n﹣1）=n2+4n﹣5，则a n=a1+n2+4n﹣5=n2+4n﹣5+9=n2+4n+4，所以数列{a n}的通项公式为．又∵，，∴，∴，，，…，，将上述（n﹣1）个式子相乘，得，即．…（5分）（2）∵．∵=，，∴【点评】本题主要考查递推数列的应用以及数列求和，利用累加法，累积法，以及裂项法求出数列的通项公式是解决本题的关键．22．设G为△ABC的重心，过G作直线l分别交线段AB，AC（不与端点重合）于P，Q．若=λ，=μ．（1）求+的值；（2）求λμ的取值X围．【分析】（1）用，表示出，，根据P，Q，G三点共线得出λ，μ的关系；（2）用λ表示出μ，令λ，μ∈（0，1）得出λ的X围，则λμ可表示为关于λ的函数，求出该函数的最值即可．【解答】解：（1）连接AG并延长，交BC于M，则M是BC的中点，设，，，∴．∵P，G，Q三点共线，故存在实数t，使，∴，∴；（2）由（1）得μ=，∵λ，μ∈（0，1），∴，解得＜λ＜1．∴1＜．∴λμ===．∴当时，λμ取得最小值，当=1或2时，λμ取得最大值．∴λμ的取值X围是[，）．【点评】本题考查了平面向量的基本定理，不等式的解法，根据图形寻找向量的关系是关键．。
2018-2019学年安徽省淮北市第一中学高一下学期期中数学试题(解析版)
即log2（ a）＝log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，
即 a＝（a﹣4）x+2a﹣5＞0，①
则（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1＝0，
即（x+1）[（a﹣4）x﹣1]＝0，②，
当a＝4时，方程②的解为x＝﹣1，代入①，成立
（2）数列 的前 项和可用错位相减法求得.
详解：（1）因为数列 是公差为2的等差数列，所以 ，
则 ，
又 成等比数列，所以 ，
解得 或 ，因为数列 为正项数列，所以 .
所以 ，
故 .
（2）由（1）得 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，
故 .
点睛：解决数列求和问题首先要掌握等差数列和等比数列的前 项和公式，其次要掌握一些特殊数列的求和方法，设 是等差数列， 是等比数列，则数列 用分组求和法求和，数列 用错位相减法求和，数列 用裂项相消法求和.
2018-2019学年安徽省淮北市第一中学高一下学期期中数学试题
一、单选题
1．若集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先求 ,再求出 得解.
【详解】
集合 ，则 或
而 ，则 .
故选：D.
【点睛】
本题主要考查集合的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
2．已知a+b＜0，且a＞0，则（）
12．已知函数 的图象关于直线 对称，则 （）
A． B． C． 或 D．
【答案】D
【解析】先化简 ，解方程 得到 ，再求 得解.
【详解】
2018-2019学年安徽省蚌埠二中高一(下)期中数学试卷(解析版)
设cn= ，所以cn=22n-2，
所以 ，所以数列{cn}是等比数列，且公比为4，首项为1．
由等比数列的前n项和的公式得：其前10项的和为 ．
故选：D．
根据等差数列与等比数列的定义结合题中的条件得到数列{an}与{bn}的通项公式，进而表达出 的通项公式并且可以证明此数列为等比数列，再利用等比数列前n项和的公式计算出答案即可．
3.在△ABC中，已知A=60°，a=4 ，b=4 ，则∠B的度数是（ ）
A. B. C. D. 或
4.若tanα= ，则cos2α+2sin2α=（ ）
A. B. C.1D.
5.已知数列{an}中，a1=1，an=3an-1+4（n∈N*且n≥2），则数列{an}通项公式an为（ ）
A. B. C. D.
（1）试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数，并写出定义域；
（2）若 ，求此时管道的长度L；
（3）当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．
22.已知常数a≠0，数列{an}的前n项和为Sn，a1=1， ．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若 ，且{bn}是单调递增数列，求实数a的取值范围；
18. 已知△ABC是等边三角形，D在BC的延长线上，且CD=2， ．
（Ⅰ）求AB的长；
（Ⅱ）求sin∠CAD的值．
19.已知数列{an}中a1=2， ，数列{bn}中 ，其中n∈N*．
（Ⅰ）求证：数列{bn}是等差数列；
（Ⅱ）设Sn是数列{ }的前n项和，求 ；
（Ⅲ）设Tn是数列 的前n项和，求证： ．
14.【答案】
【解析】
解：∵a1= ，且S5=S2+2，q＞0．
2018-2019学年北京师大附中高一(下)期中数学试卷(含答案解析)
2018-2019学年北京师大附中高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.若中，角A，B，C的对边分别为a，b，若，，，则A. B. C. D.2.已知的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则A. B. C. D.3.在中，，，则一定是A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形4.已知锐角三角形的三边长分别为1，2，a，则a的取值范围是A. B. C. D.5.将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为A. 26，16，8，B. 25，17，8C. 25，16，9D. 24，17，96.一个单位有职工800人，期中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是A. 12，24，15，9B. 9，12，12，7C. 8，15，12，5D. 8，16，10，67.若圆柱的轴截面是一个正方形，其面积为4S，则它的一个底面面积是A. 4SB.C.D.8.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是A. B. C. D.9.右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损．则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为A. B. C. D.10.现有，，，这5个球队进行单循环比赛全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场当比赛进行到一定阶段时，统计，，，这4个球队已经赛过的场数分别为：队4场，队3场，队2场，队1场，则队比赛过的场数为A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，若，，则______．12.样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，若该样本的平均值为1，则样本方差为______．13.如图，为水平放置的斜二测画法的直观图，且，，则的周长为______．14.正方体的棱长为1，在正方体内随机取点M，则使四棱锥的体积小于的概率为______．15.如图，在边长为1的正方形网格中，粗实线表示一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的表面积为______．16.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，且C为锐角，则面积的最大值为______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.在中，已知，．Ⅰ求AB的长；Ⅱ求BC边上的中线AD的长．18.中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足．求角B的大小；若的面积为，且，求的值．19.某市电视台为了宣传举办问答活动，随机对该市岁的人群抽样，回答问题统计结果如图表所示．组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的概率第1组5第2组a第3组27x第4组b第5组3yⅠ分别求出，，，的值；Ⅱ从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？Ⅲ在Ⅱ的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．20.某汽车租赁公司为了调查A，B两种车型的出租情况，现随机抽取这两种车型各50辆，分别统计了每辆车在某个星期内的出租天数，统计数据如下表：出租天数34567车辆数330575型车出租天数34567车辆数101015105试根据上面的统计数据，判断这两种车型在本星期内出租天数的方差的大小关系只需写出结果；Ⅱ现从出租天数为3天的汽车仅限A，B两种车型中随机抽取一辆，试估计这辆汽车是A型车的概率；Ⅲ如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要购买一辆汽车，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由．21.某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能活得25万元万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金单位：万元随投资收益单位：万元的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的即：设奖励方案函数模型为时，则公司对函数模型的基本要求是：当时，是增函数；恒成立；恒成立．判断函数是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由；已知函数符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a的取值范围．22.将1至这个自然数随机填入方格的个方格中，每个方格恰填一个数对于同行或同列的每一对数，都计算较大数与较小数的比值，在这个比值中的最小值，称为这一填数法的“特征值”．Ⅰ若，请写出一种填数法，并计算此填数法的“特征值”；Ⅱ当时，请写出一种填数法，使得此填数法的“特征值”为；Ⅲ求证：对任意一个填数法，其“特征值”不大于．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：由余弦定理可得：．故选：A．利用余弦定理即可得出．本题考查了余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.答案：B解析：解：由，可得：，根据余弦定理得：，又，所以．故选：B．把已知条件移项变形得到，然后利用余弦定理表示出cos C的式子，把变形得到的式子代入即可求出cos C的值，然后根据角C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数．此题考查学生灵活运用余弦定理化简求值，考查了整体代换的数学思想，属于基础题．3.答案：D解析：解：由余弦定理得：，又，，，，，的形状是等边三角形．故选：D．由余弦定理且得，再由，得，得，得，得的形状是等边三角形本题考查三角形的形状判断，用到余弦定理，在一个式子里面未知量越少越好．是基础题．4.答案：B解析：解：三边长分别为1、2、a，且为锐角三角形，当2为最大边时，设2所对的角为，根据余弦定理得：，，，解得；当a为最大边时，设a所对的角为，根据余弦定理得：，，解得：，综上，实数a的取值范围为故选：B．由的三边长，根据余弦定理的推论得到为锐角三角形时余弦值大于0，列出不等式组即可求出a的取值范围．本题考查了三角形的形状判断以及余弦定理的应用问题，利用了分类讨论的思想，解题关键是利用余弦定理推论得出最大边所对角的余弦值大于0，进而根据两边长1和2求出第三边a的取值范围．5.答案：B解析：解：依题意可知，在随机抽样中，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，则分别是003、015、027、039构成以3为首项，12为公差的等差数列，故可分别求出在001到300中有25人，在301至495号中共有17人，则496到600中有8人．故选：B．根据系统抽样的方法的要求，先随机抽取第一数，再确定间隔．本题主要考查系统抽样方法．6.答案：D解析：解：因为，故各层中依次抽取的人数分别是，，，，故选：D．先求得比例，然后各层的总人数乘上这个比例，即得到样本中各层的人数．本题主要考查分层抽样方法．7.答案：C解析：解：圆柱的轴截面是一个正方形，且此正方形的面积为4S，故此正方形的边长为，故此圆柱的底面直径为，故此圆柱的底面半径为，故圆柱的底面面积为：，故选：C．根据圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是4S，出圆柱底面圆的直径，代入面积公式计算．本题考查的知识点是旋转体，其中熟练掌握圆柱的几何特征是解答的关键．8.答案：C解析：解：根据题意，“事件A，B中至少有一件发生”与“事件A、B一个都不发生”互为对立事件，由古典概型的计算方法，可得，，则，则“事件A，B中至少有一件发生”的概率为；故选：C．根据题意，“事件A，B中至少有一件发生”与“事件A、B一个都不发生”互为对立事件，由古典概型的计算方法，可得、，进而可得，由对立事件的概率计算，可得答案．本题考查相互独立事件的概率的乘法公式，注意分析题意，首先明确事件之间的相互关系互斥、对立等．9.答案：C解析：解：由已知中的茎叶图可得甲的5次综合测评中的成绩分别为88，89，90，91，92，则甲的平均成绩设污损数字为X，则乙的5次综合测评中的成绩分别为83，83，87，99，则乙的平均成绩当或9时，即甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率故选：C．由已知的茎叶图，我们可以求出甲乙两人的平均成绩，然后求出即甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率，进而根据对立事件减法公式得到答案．本题考查的知识点是平均数，茎叶图，古典概型概率计算公式，其中根据已知茎叶图求出数据的平均数是解答本题的关键．10.答案：B解析：解：根据题意，，，，，五支球队进行单循环比赛，已知队赛过4场，所以队必须和，，，这四个球队各赛一场，已知队赛过3场，队已和队赛过1场，那么队只能和，，中的两个队比赛，又知队只赛过一场也就是和队赛过的一场，所以队必须和、各赛1场，这样满足队赛过2场，从而推断队赛过2场．故选：B．根据题意，分析可得队必须和，，，这四个球队各赛一场，进而可得队只能和，，中的两个队比赛，又由队只赛过一场，分析可得队必须和、各赛1场，据此分析可得答案．此题主要考合情推理的应用，利用队比赛场数得出队、队比赛过的对应球队是解题关键．11.答案：解析：解：因为，，由正弦定理，则有．故答案为：．直接利用已知和正弦定理即可求解．本题考查三角形的正弦定理，考查运算能力，属于基础题．12.答案：2解析：【分析】本题考查了平均数、方差、标准差的计算．属于简单题．根据平均数公式先求出a，再求出方差．【解答】解：由已知a，0，1，2，3的平均数是1，即有，易得，根据方差计算公式得故答案为2．13.答案：12解析：解：根据斜二侧画法得到三角形OAB为直角三角形，底面边长，高，，直角三角形OAB的周长为．故答案为：根据斜二侧画法得到三角形OAB为指教三角形，且其底面边长，高，，然后求三角形的周长即可．本题主要考查平面图形的直观图的应用，要求熟练掌握斜二测画法的边长关系，比较基础．14.答案：解析：解：正方体的棱长为1，正方体的体积．当四棱锥的体积小于时，设它的高为h，则，解之得则点M在到平面ABCD的距离等于的截面以下时，四棱锥的体积小于，求得使得四棱锥的体积小于的长方体的体积四棱锥的体积小于的概率．故答案为：．求出当四棱锥的体积等于时，点M到平面ABCD的距离等于，可得当M 到平面ABCD的距离小于时，四棱锥的体积小于利用长方体、正方体的体积公式和几何概型公式加以计算，可得所求概率本题考查几何概型，概率的求法，给出正方体的棱长，求四棱锥的体积小于的概率．着重考查了空间几何体的体积计算和几何概型计算公式等知识，属于中档题．15.答案：解析：解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面三角形ACB与侧面三角形APB为全等的等腰直角三角形，侧面侧面ACB，，．侧面PAC与PBC为全等的等边三角形，边长为．则该三棱锥的表面积为．故答案为：．由三视图还原原几何体，该几何体为三棱锥，底面三角形ACB与侧面三角形APB为全等的等腰直角三角形，侧面侧面ACB，，侧面PAC与PBC为全等的等边三角形，边长为然后由三角形面积公式求解．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．16.答案：解析：【分析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．利用正弦定理求出，利用余弦定理和基本不等式得出，再利用三角形面积公式得出最大面积．【解答】解：因为，又，所以，又C为锐角，所以．因为，所以，当且仅当时等号成立，即，即当时，面积的最大值为．故答案为．17.答案：解：Ⅰ由，，所以，由正弦定理得，，即；Ⅱ在中，，由余弦定理得，，所以，所以．解析：Ⅰ由同角公式和正弦定理，解方程可得AB；Ⅱ在中，运用两角和的余弦公式和余弦定理，计算可得所求值．本题考查三角形的正弦定理、余弦定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．18.答案：解：，即，，将利用正弦定理化简得：，，在中，，，，又，则．的面积为，，，，又，，由余弦定理得：，，则．解析：结合三角形的内角和定理及诱导公式可得，再对已知，利用正弦定理化简可求B；结合三角形的面积公式，可求ac，由已知b，B，再利用余弦定理可求．本题主要考查了正弦定理、余弦定理在求解三角形中的应用，解决此类问题的关键是要具备综合应用公式的能力．19.答案：解：Ⅰ第1组人数，所以总人数，第2组人数，所以，第3组人数，所以，第4组人数，所以，第5组人数，所以；Ⅱ第2，3，4组回答正确的人的比为18：27：：3：1，所以第2，3，4组每组应各依次抽取2人，3人，1人；Ⅲ记抽取的6人中，第2组的记为，，第3组的记为，，，第4组的记为c，则从6名学生中任取2名的所有可能的情况有15种，它们是：，，，，，，，，，，，，，，，其中第2组至少有1人的情况有9种，它们是：，，，，，，，，．故所求概率为．解析：本题考查列举法求解古典概型的概率，涉及频率分布表的应用和分层抽样的特点，属于中档题．Ⅰ由回答对的人数：每组的人数回答正确的概率，分别可求得要求的值；Ⅱ由分层抽样按比例抽取的特点可得各组的人数；Ⅲ记抽取的6人中，第2组的记为，，第3组的记为，，，第4组的记为c，列举可得从6名学生中任取2名的所有可能的情况，以及其中第2组至少有1人的情况种数，由古典概型可得概率．20.答案：解：由数据的离散程度可以看出，B型车在本星期内出租天数的方差较大．Ⅱ出租天数为3天的汽车A型车有3辆，B型车有10辆，从这13辆中任取一辆可有中方法，其中任取一辆是A型车的抽法有中，因此随机抽取一辆，这辆汽车是A型车的概率；Ⅲ辆A类型车出租的天数的平均数；50辆B类型车出租的天数的平均数．答案一：一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为，B类车型一个星期出租天数的平均值为，选择B类型的出租车的利润较大，应该购买B型车．答案二：一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为，B类车型一个星期出租天数的平均值为，而B型车出租天数的方差较大，所以应购买A型车．解析：Ⅰ由数据的离散程度可以看出哪个方差较大；Ⅱ利用古典概型的概率计算公式即可得出；Ⅲ可有从出租的天数的平均数或出租天数的方差大小去考虑．熟练掌握古典概型的概率计算公式、平均数和方差的计算公式及其意义是解题的关键．21.答案：解：对于函数模型，当时，是单调递增函数，则，显然恒成立，若函数恒成立，即不恒成立，综上所述，函数模型，满足基本要求，但是不满足，故函数模型，不符合公司要求；时，有意义，，，设恒成立，恒成立，即，，当且仅当时取等号，，，故a的取值范围为解析：研究它的单调性和恒成立问题，即可判断是否符合的基本要求；先求出，此时a的范围，再求出满足恒成立a的范围，即可求出本题主要考查函数模型的选择，其实质是考查函数的基本性质，同时，确定函数关系实质就是将文字语言转化为数学符号语言--数学化，再用数学方法定量计算得出所要求的结果，关键是理解题意，将变量的实际意义符号化．22.答案：解：Ⅰ当时，如下表填数：同行或同列的每一对数，计算较大数与较小数的比值分别为2，，3，2，可得此填数法的“特征值”为；Ⅱ当时，如下表填数：同行或同列的每一对数，计算较大数与较小数的比值分别为4，3，，5，9，，，，，，，，8，3，，，，，可得此填数法的“特征值”为；Ⅲ不妨设A为任意一个填数法，记此填数法的“特征值”为，考虑含个元素的集合，易知其中必有至少两个数处于同一行，设为也必有至少两个数处于同一列，设为．若则有因为若，即，则，．所以．即不论何种情况，总有．解析：Ⅰ当时，任意填一种，计算可得所求值；Ⅱ当时，考虑最中间填1，调整边上的两数，使得此填数法的“特征值”为Ⅲ不妨设A为任意一个填数法，记此填数法的“特征值”为，考虑含个元素的集合，讨论其中的两数，考虑两种情况，由不等式的性质即可得证．本题考查新定义的理解和运用，考查运算能力和推理能力，属于难题．。
2018-2019学年安徽省安庆市一中高一下学期期中数学试题(解析版)
2018-2019学年 安徽省安庆市一中高一下学期期中数学试题一、单选题1．若0a b <<，则下列不等式不能成立的是（ ） A ．11a b> B ．11a b a>- C ．|a|>|b|D ．22a b >【答案】B【解析】根据不等式的性质对选项逐一判断即可. 【详解】选项A ：由于0a b <<，即0ab >，0b a ->，所以110b aa b ab --=>，所以11a b>，所以成立；选项B ：由于0a b <<，即0a b -<，所以110()b a b a a a b -=<--，所以11a b a<-，所以不成立；选项C ：由于0a b <<，所以0a b ->->，所以||||a b >，所以成立；选项D ：由于0a b <<，所以0a b ->->，所以||||a b >，所以22a b >，所以成立. 故选：B. 【点睛】本题考查不等关系和不等式，属于基础题.2．若数列{}n a 的前n 项和为21n S n =+，则向量()14,m a a =u r的模为（ ）A ．53B ．50CD．【答案】C【解析】由11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出1a 和4a 的值，利用坐标即可计算出m u r .【详解】由题意可得211112a S ==+=，()()2244341317a S S =-=+-+=，()2,7m ∴=u r，因此，m ==u r故选：C. 【点睛】本题考查由前n 项和n S 求{}n a 中的项，同时也考查了利用坐标计算向量的模，考查计算能力，属于基础题.3．在△ABC 中，lgsin lg cos lgsin lg 2A B C --=.则△ABC —定是（）. A ．等腰三角形 B ．等边三角形C ．直角三角形D ．形状不确定【答案】A 【解析】【详解】由已知得()()2sin 2cos sin sinA cosB sinCB C B C A B C π=⋅⎧⇒+=⋅⎨∠=-∠+∠⎩. 整理得()sin 0B C -=. 于是，B C ∠=∠.从而，△ABC —定是等腰三角形.选A. 4．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若5359a a =，则95SS =（ ） A ．1 B ．12C ．13D ．14【答案】A【解析】利用等差数列的求和公式以及等差中项的性质可求出95S S 的值. 【详解】由题意可得()()1995155399952155592a a S a a a S a +===⨯=+. 故选：A. 【点睛】本题考查利用等差数列求和公式以及等差中项的性质求值，考查计算能力，属于基础题. 5．若关于x 的不等式220ax bx +->的解集为11,,23⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ，则ab 等于（ ）． A ．24- B ．24C ．14D ．14-【答案】B【解析】若关于x 的不等式220ax bx +->的解集是11,,23⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ，则12 -，13是一元二次方程220ax bx+-=的两个根且0a>，由韦达定理可得112311223baa⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=-⎪⎩，解得12a=，2b=，∴24ab=．故选B．6．已知两灯塔A和B与海洋观测站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东400，灯塔B在观察站C 的南偏东600，则灯塔A在灯塔B的（）A．北偏东100B．北偏西100C．南偏东100D．南偏西100【答案】B【解析】【详解】故选：B7．已知等差数列{}n a中，有1110+10aa<，且该数列的前n项和nS有最大值，则使得nS>成立的n的最大值为（）A．11 B．19 C．20 D．21【答案】B【解析】{}n a为等差数列,n S有最大值，则0d<，1011a a>，又11101aa<-，说明11100,0a a ，111010a a +< ，1110100a aa +< ，则11100a a +< ，20120101110()10()0S a a a a =+=+< ，191191019()1902S a a a =+=>，则19S 为最小正值.选B. 8．在△ABC 中,分别根据下列条件解三角形,其中有两解的是 ( ) A ．30,50,36a b A ===o B ．50,30,36a b A o === C ．30,60,30a b A ===o D ．30,20,136a B A o o ===【答案】A【解析】对于A.35030505bsinA b <⨯=<=，此时可知这样的三角形有两个； 对于B. a b >，此时这样的三角形只有一个；对于C.160302bsinA =⨯=，此时这样的三角形只有一个； 对于D. 136A =o ，所以△ABC 为钝角三角形.且由20,136B A oo==，可得24C =o ，所以这样的三角形是唯一确定的. 故选A.9．设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数，且对任意的实数x 、y R ∈，都有()()()f x f y f x y ⋅=+，若112a =，()()*n a f n n N =∈，则数列{}n a 的前n 项和n S 应满足（ ） A ．1324n S ≤< B ．314n S ≤< C ．102n S <≤D ．112n S ≤< 【答案】D【解析】根据题意得出1112n n n a a a a +==，从而可知数列{}n a 为等比数列，确定该等比数列的首项和公比，可计算出n S ，然后利用数列{}n S 的单调性可得出n S 的取值范围. 【详解】取1x =，()y n n N*=∈，由题意可得()()()111112n n n af n f f n a a a +=+=⋅==， 112n n a a +∴=，所以，数列{}n a 是以12为首项，以12为公比的等比数列，11112211212n n n S ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴==--，所以，数列{}n S 为单调递增数列，则11n S S ≤<，即112n S ≤<. 故选：D. 【点睛】本题考查等比数列前n 项和范围的求解，解题的关键就是判断出数列{}n a 是等比数列，考查推理能力与计算能力，属于中等题.10．已知ABC ∆中，4,43AB AC BC ===，点D 为BC 边的中点，点P 为BC 边所在直线上的一个动点，则AP AD ⋅u u u r u u u r满足（ ） A ．最大值为8 B ．为定值4 C ．最小值为2 D ．与P 的位置有关【答案】B 【解析】【详解】故选：B.11．定义在(,0)(0,)-∞⋃+∞上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}{},()n n a f a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”．现有定义在(,0)(0,)-∞⋃+∞上的如下函数：①2()f x x =；②()2x f x =；③()f x x =；④()ln f x x =．则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为 A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④【答案】C【解析】试题分析： 由等比数列性质可得：221.n n n a a a ++=，①2()f x x =，()()()222222211().n n n n n n f a f a a a a f a ++++===，所以正确；②()2x f x =，()()22221()2.22n n n n aa a a n n n f a f a f a +++++==≠，所以错误；③()f x =，()()221()n n n f a f a f a ++===，所以正确；④()ln f x x =．()()222211()ln ln ln n n n n n n f a f a a a a f a ++++=≠=所以错误；故选择C【考点】等比数列性质12．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 满足()()1sin 2sin sin 2A ABC C A B +-+=--+，面积S 满足12S ≤≤，记a 、b 、c 分别为A 、B 、C 所对的边，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．()8bc b c +>B ．()ab a b +>C ．612abc ≤≤D ．1224abc ≤≤【答案】A【解析】由条件()()1sin 2sin sin 2A ABC C A B +-+=--+化简得出1sin sin sin 8A B C =，设ABC ∆的外接圆半径为R ，根据12S ≤≤求得R 的范围，然后利用不等式的性质判断即可. 【详解】ABC ∆的内角A 、B 、C 满足()()1sin 2sin sin 2A ABC C A B +-+=--+，即()()1sin 2sin sin 2A A B C A B C +-+++-=，即()()1sin 2sin sin 2A ABC A B C +--++-=⎡⎤⎣⎦， 即()12sin cos 2sin cos 2A A ABC +-=，即()()12sin cos 2sin cos 2A B C A B C -++-=，即()()12sin cos cos 4sin sin sin 2A B C B C A B C --+==⎡⎤⎣⎦，1sin sin sin 8A B C ∴=，设ABC ∆的外接圆半径为R ，则2sin sin sin a b cR A B C===， []2111sin 2sin 2sin sin 1,2224S ab C R A R B C R ==⨯⨯⨯=∈，2R ∴≤≤338sin sin sin abc R A B C R ⎡∴=⨯=∈⎣，C 、D 选项不一定正确；对于A 选项，由于b c a +>，()8bc b c abc ∴+>≥，A 选项正确；对于B 选项，()8ab a b abc +>≥，即()8ab a b +>成立，但()ab a b +>定成立. 故选：A. 【点睛】本题考查了利用三角恒等变换思想化简、正弦定理、三角形的面积计算公式、不等式的基本性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．二、填空题 13．不等式301xx +≤-的解集为______. 【答案】[)3,1- 【解析】解分式不等式301xx +≤-即可得出该不等式的解集. 【详解】 解不等式301x x +≤-得31x -≤<，因此，不等式301xx +≤-的解集为[)3,1-. 故答案为：[)3,1-. 【点睛】本题考查分式不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题. 14．数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，()()*1n n n n a a a n N+-=∈，且3aπ=，则4tan S 等于______.【解析】将()1n n n n a a a +-=变形为11n n a n a n++=，利用累乘法求出数列{}n a 的通项公式，求出4S 的值，再利用诱导公式可求出4tan S 的值. 【详解】()()*1n n n n a a a n N+-=∈Q ，()11n n na n a +∴=+，11n n a n a n++∴=， 3211112123121n n n a a a na a a na a a a n -∴=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=-L L ，313a a π==Q ，13a π∴=， 则3n a n π=，所以，424103333S πππππ=+++=，因此，410tan tan tan 3tan 333S ππππ⎛⎫==+== ⎪⎝⎭，【点睛】本题考查利用累乘法求数列通项，同时也考查了数列求和以及正切值的计算，考查计算能力，属于中等题.15．在ABC ∆中，C ∠是钝角，设sin x C =，sin sin y A B =+，cos cos z A B =+，则x 、y 、z 的大小关系是______. 【答案】x y z <<【解析】由三角形的三边关系结合正弦定理可得出x 与y 的大小关系，由正弦函数的单调性可得出y 、z 的大小关系，由此可得出x 、y 、z 的大小关系. 【详解】在ABC ∆中，设内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则c a b <+， 由正弦定理得sin sin sin C A B <+，则x y <， 由于C 为钝角，则02A B π<+<，所以，022A B ππ<<-<，Q 正弦函数()sin f t t =在0,2t π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时单调递增，则sin sin cos 2A B B π⎛⎫<-= ⎪⎝⎭，同理可得sin cos B A <，所以，sin sin cos cos A B A B +<+，即y z <. 因此，x y z <<. 故答案为：x y z <<. 【点睛】本题考查三角形中三角函数值的大小比较，涉及三角形三边关系以及正弦函数的单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.16．已知函数()31xf x x =+，对于数列{}n a 有()1n n a f a -=（*n N ∈且2n ≥），如果11a =，那么n a =______. 【答案】132n - 【解析】由已知条件得出()11231n n n a a n a --=≥+，变形为1113n n a a --=，可知数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，确定该数列的首项和公差，求出1na ，进而可得出n a . 【详解】()31xf x x =+Q ，且()11131n n n n a a f a a ---==+（*n N ∈且2n ≥），在等式1131n n n a a a --=+两边取倒数得11113113n n n n a a a a ---+==+，1113n n a a -∴-=且111a =， 所以，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以3为公差的等差数列，()113132n n n a ∴=+-=-， 因此，132n a n =-.故答案为：132n -. 【点睛】本题考查利用构造法求数列的通项公式，涉及等差数列定义的应用，考查计算能力，属于中等题.三、解答题17．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2π3C ∠=，6a =． （1）若14c =，求sin A 的值． （2）若ABC △的面积为c 的值．【答案】（1（2）【解析】试题分析：（1）由2π3C ∠=，6a =．14c =，根据正弦定理可得62πsin sin 143a A C sin c ===（2）由1sin 2ABC S ab C =V ，解得2b =，再由余弦定理可得21436226522c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，从而得c =试题解析：（1）在ABC V 中，sin sin a c A c=， ∴sin sin aA C c =，即62πsin sin 143A == （2）∵1sin 2ABC S ab C =V ，解得2b =，又∵2222cos c a b ab C =+-， ∴21436226522c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，∴c =18．解关于x 的不等式()()231210x a x a a -+++>【答案】见解析【解析】分析：现把不等式变形进行因式分级，比较两根的大小，按参数a 的范围讨论，即可得到解出不等式的解集.详解：∵()()231210x a x a a -+++>，∴()()210x a x a ⎡⎤--+>⎣⎦，令()()()21f x x a x a ⎡⎤=--+⎣⎦，则()f x 图像开口向上，且()f x 与x 轴交点横坐标分别为2a ，1a +，①当21a a =+，即1a =时，解得2x ≠；②当21a a >+，即1a >时，解得1x a <+或2x a >； ③当21a a <+，即1a <时，解得2x a <或1x a >+， 综上，当1a <时，不等式的解集为{2x x a <或1x a >+}， 当1a =时，不等式的解集为{2x x a <或1x a >+}， 当1a >时，不等式的解集为{1x x a <+或2x a >}.点睛：本题主要考查了含参数不等式的解法，注意分类讨论时要做的不重不漏，着重考查了学生的运算能力、分类讨论思想方法的应用，属于基础题.19．数列{}n a 满足11a =，22a =，2122n n n a a a ++=-+． （1）设1n n n b a a +=-，证明{}n b 是等差数列； （2）求{}n a 的通项公式．【答案】（1）证明见解析；（2）222n a n n =-+.【解析】【详解】试题分析：（1）由a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2，得a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＋2，即可证得；（2）由（1）得b n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，即a n ＋1－a n ＝2n －1，进而利用累加求通项公式即可. 试题解析：（1）证明 由a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2，得a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＋2，即b n ＋1＝b n ＋2. 又b 1＝a 2－a 1＝1，所以{b n }是首项为1，公差为2的等差数列． （2）解 由（1）得b n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，即a n ＋1－a n ＝2n －1. 于是(a k ＋1－a k )＝(2k －1)，所以a n ＋1－a 1＝n 2，即a n ＋1＝n 2＋a 1.又a 1＝1，所以a n ＝n 2－2n ＋2,经检验，此式对n=1亦成立， 所以，{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2n ＋2.点睛：本题主要考查等比数列的定义以及已知数列的递推公式求通项.由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）等差数列、等比数列（先根据条件判定出数列是等差、等比数数列）；（2）累加法，相邻两项的差成等求和的数列可利用累加求通项公式；（3）累乘法，相邻两项的商是能求出积的特殊数列时用累乘法求通项；（4）构造法，形如()10,1n n a qa p p q -=+≠≠的递推数列求通项往往用构造法，即将()10,1n n a qa p p q -=+≠≠利用待定系数法构造成()1n n a m q a m -+=+的形式，再根据等比数例求出{}n a m +的通项，进而得出{}n a 的通项公式.20．在等差数列{n a }中，1a =3，其前n 项和为n S ，等比数列{n b }的各项均为正数，1b =1，公比为q,且b 2+ S 2=12，22S q b =． （1）求n a 与n b 的通项公式； （2）设数列{n c }满足1n nc S =，求{n c }的前n 项和n T ．【答案】（1）3n a n =，13n n b -=；（2）23(1)n nT n =+.【解析】（1）根据等差数列{n a }中，1a =3，其前n 项和为n S ，等比数列{n b }的各项均为正数，1b =1，公比为q,且b 2+ S 2=12，22S q b =，设出基本元素，得到其通项公式；（2）由于(33)2n n n S +=，所以12211()(33)31n n C S n n n n ===-++，那么利用裂项求和可以得到结论. 【详解】（1） 设：{n a }的公差为d ,因为222212b S S q b +=⎧⎪⎨=⎪⎩，所以6126q d d q q ++=⎧⎪+⎨=⎪⎩， 解得q =3或q =-4（舍）,d =3．故3n a n =，13n n b -=；（2）因为(33)12211,().2(33)31n n n n n S C S n n n n +====-++所以 故211111(1)()()32231n T n n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥+⎣⎦L 212(1)313(1)n n n =-=++. 本题主要是考查了等差数列和等比数列的通项公式和前n 项和，以及数列求和的综合运用. 21．设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a =2b sin A . （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求 cos sin A C +的取值范围. 【答案】（Ⅰ）6B π=；（Ⅱ）（33,2）. 【解析】【详解】 （I ）由，根据正弦定理得，所以，由△ABC 为锐角的三角形得（II ）cos sin 613cos cos sin 23sin 3A A A A A A ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭=++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由△ABC 为锐角的三角形知，，所以，，，由此有，所以，的取值范围为（）.22．已知数列{}n a 的前n 项和1122n n n S a -⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭（n 为正整数）.（1）令2nn n b a =，求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）令1n n n c a n+=，123n n T c c c c =++++L 试比较n T 与3的大小，并予以证明. 【答案】（1）证明见解析，2n n na =；（2）3n T <，证明见解析.【解析】（1）令1n =，求出1a 的值，再令2n ≥，由1n n n a S S -=-可得出11221n n n n a a --=+，利用等差数列的定义可证明出数列{}n b 为等差数列，并确定数列{}n b 的首项和公差，可求出数列{}n b 的通项公式，进而解出数列{}n a 的通项公式；（2）求出数列{}n c 的通项公式，利用错位相减法求出n T ，即可得出n T 与3的大小关系. 【详解】（1）在1122n n n S a -⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭中，令1n =，可得11112S a a =--+=，即112a =. 当2n ≥时，由1122n n n S a -⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭可得211122n n n S a ---⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，两式相减得11112n n n n n n a S S a a ---⎛⎫=-=-++ ⎪⎝⎭，11122n n n a a --⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，即11221n n n n a a --=+.2n n n b a =Q ，11n n b b -∴=+，即当2n ≥时，11n n b b --=.又1121b a ==，∴数列{}n b 是首项和公差均为1的等差数列. 于是()1112nn n b n n a =+-⋅==，2n n n a ∴=. （2）由（1）得()1112nn n n c a n n +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 所以()23111123412222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭①，()234111111234122222n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭②，由①-②得()231111111122222nn n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1111114213311122212n n n n n -++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+-+=- ⎪⎝⎭-， 332n n n T +∴=-，因此，3332n nn T +=-<. 【点睛】本题考查等差数列的证明，同时也考查了错位相减法求和，考查了计算能力与推理能力，属于中等题.。
2018-2019学年安徽省安庆市第一中学高一下学期期中考试数学试卷(答案+解析)
安徽省安庆市第一中学2018-2019学年高一下学期期中考试数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若60C =︒，b =c =则角A 为（ ） A. ︒45B. 60︒C. ︒75D. 135︒【答案】C 【解析】∵60C=︒，b =c =∴由正弦定理可得：sin sin b C B c ⋅==，∵c b <，B 为锐角，∴45B =︒，∴18075A B C =︒--=︒. 故选：C.2.已知2，b 的等差中项为5，则b 为（ ）A. 27B. 6C. 8D. 10【答案】C【解析】由于b ,2的等差中项为5，所以252b+=，解得8b =，故选C .3.在等比数列{}n a 中，11a =，57248a a a a +=+，则6a 的值为（ ）A. 4B. 8C. 16D. 32【答案】D【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，11a =，57248a a a a +=+，()()461318a q q a q q+∴=+，解得2q =． 则56232a ==．故选：D ．4.若不等式20ax x a -+>对一切实数x 都成立，则实数a 的取值范围为（ ） A.12a <-或12a >B.12a >或0a <C.12a >D. 1122a -<<【答案】C【解析】显然a =0，不等式不恒成立，所以不等式20ax x a -+>对一切实数x 都成立，则00a >⎧⎨∆<⎩，即20140a a >⎧⎨-<⎩，解得12a >，所以实数a 的取值范围是12a >. 故选：C.5.若x ，y 满足1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A.1-B. 2-C. 2D. 1【答案】B【解析】由题意，画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，又由目标函数2z x y =-，可化为122z y x =-，结合图形，可得直线122zy x =-经过点A 时，在y 轴上的截距最大，此时目标函数取得最小值，又由10(0,1)330x y A x y +-=⎧⇒⎨-+=⎩，所以目标函数的最小值为0212z =-⨯=-，故选B.6.已知ABC∆内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ABC ∆的面积为2221()4a b c -+-，1sin 2B =，则A =（ ）A.105B. 75C. 30D. 15【答案】D【解析】由题意，在ABC ∆的面积为()22214a b c -+-，即()22211sin 24ABC S ab C a b c ∆==-+-，根据余弦定理，可得222sin cos 2a b c C Cab +-=-=-，即tan 1C =-，又∵0180C <<，所以135C =，又由1sin 2B =，又由0180B <<，且B C <，所以30B =，所以()()1801801353015A B C =-+=-+=，故选D.7.等比数列{}n a 的各项均为正数，已知向量()45,a a a =，()76,b a a =，且4a b ⋅=，则2122210log log log (a a a ++⋯+= ) A. 12B. 10C. 5D.22log 5+【答案】C 【解析】向量a ＝（4a ，5a ），b ＝（7a ，6a ），且a •b ＝4，的∴47a a +56a a ＝4，由等比数列的性质可得：110a a ＝……＝47a a ＝56a a ＝2，则2122210log log log a a a +++=log 2（12a a •10a ）＝()5521102log log 25a a ==．故选：C ．8.如图，某建筑物的高度300m BC =，一架无人机Q 上的仪器观测到建筑物顶部C 的仰角为15︒，地面某处A 的俯角为︒45，且60BAC ∠=︒，则此无人机距离地面的高度PQ 为（ ）A. 100mB. 200mC. 300mD. 100m【答案】B【解析】根据题意，可得Rt ABC ∆中，60BAC ∠=︒， 300=BC ，∴sin 602BC AC ===︒ACQ ∆中，451560AQC ∠=︒+︒=︒，180456075QAC ∠=︒-︒-︒=︒，∴18045QCA AQC QAC ∠=︒-∠-∠=︒，由正弦定理，得sin 45sin 60AQ AC=︒︒，解得AQ ==在Rt APQ ∆中，sin 45200m 2PQ AQ =︒==. 故选：B.9.数列{}n a 中，已知对任意正整数n ，有12321n n a a a a ++++=-，则22212n a a a +++=（ ）A. ()221n - B.()1413n- C.()1213n- D. 41n -【答案】B【解析】∵12321n n a a a a ++++=-...①∴1123121n n a a a a --++++=-...②，（2n ≥）①-②得12n n a -=，（2n ≥）当1n =时，11211a =-=满足12n n a -=，所以12n n a -=（n *∈N ） ∴2222n n a -=，∴数列{}2n a 是以1为首项，4为公比的等比数列，∴2222123na a a a ++++()14141143n n-==--，故选：B10.根据市场调查，预测某种日用品从年初开始的n 个月内累计的需求量 nS （单位：万件）大约是()2 21527n nS n n =--（n =1,2 (12)．据此预测，本年度内，需求量超过5万件的月份是（ ） A. 5月、6月B. 6月、7月C. 7月、8月D. 8月、9月【答案】C【解析】日用品从年初开始的n 个月内累计的需求量nS （单位：万件）大约是()221527n nS n n =--（1,2,,12n =）,则第()n 2n ≥个月的需求量为221345275345276027n n n n n a S S n n --+-=-=>⇒-+⨯<，21554069n n n -+<⇒<<，故答案为：C.11.已知0,0x y >>，且11112x y +=+，则x y +的最小值为( )A. 3B. 5C. 7D. 9【答案】C【解析】由x +y ＝（x +1）+y ﹣1＝[（x +1）+y ]•1﹣1 ＝[（x +1）+y ]•2（111x y++）﹣1＝2（2()11x yx y +++-+）1=7．当且仅当x 3=，y ＝4取得最小值7． 故选：C ．12.点(),P x y 的坐标满足条件20400x y x y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，若(),1m =，()1,1n =-，且O P m n λμ=+，则2λμλ+的最大值为（ ） A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】D【解析】()1,1=，()1,1-=，且μλ+=， 则()()()1,11,1,OP λμλμλμ=+-=+-，则x y λμλμ=+⎧⎨=-⎩，代入不等式20400x y x y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，可得10400λλμλμ-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩，作出不等式组表示的平面区域（阴影部分），又22λμμλλ+=+，其中μλ表示点(),λμ与原点连线的斜率，当点(),λμ在A 点处斜率最大，由()1,3A 得：μλ的最大值为331=，所以λμλ+2的最大值为235+=.故选：D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.甲船在A 处观察到乙船在它的北偏东30︒的方向，两船相距a 海里，乙船正在向东匀速行驶，经计算得知当甲船以北偏东︒75方向前进，可追上乙船，则甲船速度是乙船速度的________倍.【答案】【解析】设追上时，乙船走了x 海里，甲船走了kx 海里，根据正弦定理，00sin120sin45kx x=，解得2k =，故甲船速度是乙船速度的2倍.14.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b 、c，a =cos sin a B b A c +=，则ABC ∆的面积的最大值为____．【答案】12【解析】在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b 、c 满足cos sin a B b A c += 由正弦定理可化简得sin cos sin sin sin A B B A C +=， 又由sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，即sin cos sin sin sin cos cos sin A B B A A B A B +=+，即sin sin cos sin B A A B =，又由),2(~2σN X ，则0sin >B ，所以sin cos A A =，即tan 1A =，解得π4A =，又由余弦定理得222222cos 2(2a b c bc A b c bc bc =+-=+≥-=，又由a =即2bc ≤=+，当且仅当b c =时取等号，即bc的最大值为2+所以ABC ∆的面积的最大值为111sin (22222S bc A ==⨯⨯=.15.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，若πsin 2n a n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则2019S 的值为_________. 【答案】0【解析】由于数列的通项公式为：πsin 2n a n ⎛⎫=⎪⎝⎭， 当1n =时，1πsin 12a ==， 当2n =时，22πsin 02a ==.当3n =时，33πsin 12a ==-，当4n =时，44πsin 02a ==，当5n =时，55πsin 12a ==，…所以：数列的周期为4， 故：123410100a a a a +++=+-+=，所以：201920172018201950401010S a a a =⨯+++=+-=.故答案为：0. 16.已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意实数a 、b ∈R 满足：()()()f a b af b bf a ⋅=+，()22f =，()()2*n n f a n n=∈N ，()()2*2n n nf b n =∈N ，考察下列结论： ①()()01f f =；②()f x 为偶函数；③数列{}n b 为等差数列；； ④数列{}n a 为等比数列，其中正确的是__________.（填序号） 【答案】①③④【解析】∵()()0000f f =⋅=，()()()11121f f f =⋅=，∴()10f =，①正确；()()()()11121f f f =-⋅-=--⎡⎤⎣⎦，∴()10f -=，所以()()()()()21222122f f f f f -=-⨯=-+-=-≠，故()f x 不是偶函数，故②错；因为()()()()()11112222222222n n n n n nf f f f f ----=⋅=+=+，所以()()1122122n n n n f f --=+，∴=⋅42a a ，∴{}n b 是等差数列，③正确；由③得：11b =，()111n b n n=+-⨯=，所以()222n n nn f b n =⋅=⋅，nn a 2=，故数列{}n a 是等比数列，④正确.故答案为：①③④三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且222333b c a +-=. （1）求sin A ；（2）若3sin sin c A B =，ABC ∆，求ABC ∆的周长解：（1）因为222333b c a +-=，所以2223b c a bc +-=，所以222cos 23b c a A bc +-==，从而1sin 3A ===. （2）因为3sin sin c A B =，所以3ac =，即b =.因为ABC ∆，所以1sin 2bc A =21123=，所以24c =，解得2c =.18.已知{}n a 为等差数列，且36a =-，630S =-．()1求{}na 的通项公式；()2若等比数列{}nb 满足18b=，2123b a a a =++，求{}n b 的前n 项和公式．解：(){} 1n a 为等差数列，设公差为d ，由已知可得1126,61530a d a d ⎧⎨+=-+=-⎩，解得110a =-，2d =．()11212n a n a d n ∴=+-=-；()2由18b =，2123108624a a b a =++=---=-，∴等比数列{}n b 的公比213b q b ==-， {}n b ∴的前n 项和公式()(()118[13)22(3)113nnn n b q T q⎤---⎦===-⋅----．19.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且s i n A Bc+=.（1）求角A 的大小； （2）若等差数列{}n a 的公差不为零，1sin 1=A a ，且2a ，4a ，8a 成等比数列；若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S .解：（1）由sin sin A Bc +=，根据正弦定理可得b ac +=，即222b c a +-=，所以222cos 2b c a A bc +-==，由0πA <<，得π6A =. （2）设{}n a 的公差为()0≠d d ，由1sin 1=A a ，即11π1sin 162a a⋅==，得21=a ，2a ，4a ，8a 成等比数列，可得2428a a a =.即()()()211137a d a d a d +=++， 又0≠d ，可得2d =，则2n a n=，()11111122241n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++⎝⎭， 则1111111111=422314+144n n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.20.已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若222cos cos cos 1sin sin A C B A C +-=-.（1）求角B 的大小；（2）若b =c a +2的最大值.解：（1）∵222cos cos cos 1sin sin A C B A C +-=-，∴C A C A B sinsin sin sin sin 222-+=， ∴由正弦定理可得：222b a c ac =+-，∴由余弦定理可得：2221cos 22a c b B ac +-==， ∵()0,πB ∈，∴π3B =. （2）∵b =π3B =，可得22sin b R B ==，∴2π24sin 2sin 4sin 2sin 3a c R AR C A A ⎛⎫+=+=+- ⎪⎝⎭()5sin A A A ϕ==+，其中tan ϕ=. ∴c a +2的最大值为. 21.已知关于x 的不等式0232>+-x ax 的解集为{|1,}x x x b <>或.（1）求,a b 的值；（2）当0x >，0y >，且满足1a b x y +=时，有222x y k k +≥++恒成立，求k 的取值范围.解：(Ⅰ)解一：因为不等式2320ax x -+>的解集为{|1x x <或}x b >，所以1和b 是方程2320ax x -+=的两个实数根且0a >， 所以3121b a b a⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩. 解二：因为不等式2320ax x -+>的解集为{|1x x <或}x b >，所以1和b 是方程2320ax x -+=的两个实数根且0a >，由1是2320ax x -+=的根，有3201a a -+=⇒=，将1a =代入2320ax x -+>，得23201ax x x -+>⇒<或2x >，2b ∴=(Ⅱ)由(Ⅰ)知12a b =⎧⎨=⎩，于是有121x y +=，故()1242248y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭，当24x y =⎧⎨=⎩时，左式等号成立，依题意必有2min (2)2x y k k +≥++，即282k k ≥++，得26032k k k +-≤⇒-≤≤，所以k 的取值范围为[]3,2-.22.已知各项都是正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，212n n n S a a =+，*n ∈N ． ()1求数列{}n a 的通项公式；()2设数列{}n b 满足：11b =，()122n n n b b a n --=≥，数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.n T 求证：2n T <．()3若()4n T n λ≤+对任意*n ∈N 恒成立，求λ的取值范围．解：（1）时，，，是以为首项，为公差的等差数列，.（2），，，，即. （3）由得，当且仅当时，有最大值，.。