天津南开中学2021届高三数学上学期第四次月考卷附答案解析
2020-2021学年天津市南开中学高三(上)第四次月考英语试卷
2020-2021学年天津市南开中学高三（上）第四次月考英语试卷第一部分：听力（20分）第一节（共5小题；每小题1分，满分5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你将有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1．（1分）What did the woman do last night？A．She slept．B．She watched TV．C．She surfed the internet2．（1分）When did the maths class end？A．At 3：00 p．m．B．At 12：00 p．m．C．At 10：00 a．m．3．（1分）What is wrong with the woman？A. She has caught a cold.B. She has got a cough.C. She feels tired.4．（1分）What does the man think of the woman？A．She is outgoingB．She is impoliteC．She is shy．5．（1分）What did the man do to the old windows？A．He had them replacedB．He had them repairedC．He had them cleaned．第二节（共3小题，每小题1.5分，满分15）听下面3段材料，每段材料后有几个小题。
从题中所给的ABC三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置，听每段材料前，你将有时间阅读各个小题。
每小题5秒钟。
听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间，每段材料读两遍。
6．（4.5分）（1）What are the speakers talking about？A. A new study of eyes.B. An article in a magazine.C. The woman's best friend.（2）Why does the man ask the woman to recall her best friend's face？A. To know something about her best friend.B. To get information for an article.C. To examine the truth of a study（3）What do people do when remembering an image according to the study？A. They look up and to the right.B. They look up and to the left.C. They look directly to the left.7．（4.5分）（1）What do we know about the woman？A. She has got a good job.B. She has got some interview opportunities.C. She hasn't received any replies to the job applications.（2）Which field does the man want to work in？A. Marketing.B. Banking industry.C. Travel industry.（3）What will the man do next？A. Take some examinations.B. Go the banks for interviews.C. Send application e﹣mails to banks.8．（6分）（1）What are the speakers talking about？A. The weather forecast.B. The woman's work.C. The woman's study.（2）Where did the woman get her first job？A. In the BBC.B. In a radio station.C. At a local weather center.（3）What makes the weather forecast more accurate？A. The modern technology.B. The rich work experience.C. The weather training course.（4）What does the woman think of her job？A. Easy.B. Boring.C. Time﹣consuming.第二部分：英语知识运用（共两节，满分15分）第一节、单项填空（共15小题，每小题1分）从A、B、C、D四个选项中，选出适合空白处的最佳选项。
南开中学2021届高三数学月考5答案(数学).doc
南开中学2021届高三年级第五次月考数学参考答案—.选择题:CBCBA ACAB7二.填空题：(10) -3 (11) 112 (12 ) 2071(13) 一，120(14) 4右+ 7 (15)—3 33(16)解：(I )在.由毓？中，根据正弦定理，--------- = ----- ,sm C sm A于是AB = sin C-^- = 2BC = 2^5sin A(II)在AABC中，根据余弦定理，得cos A = 心+出」鬼-2ABAC于是sin A = Vl-cos2A = ,4 3从而sin 2A = 2sin A cos A = —, cos 2A = cos2 A-sin2[ 71 \ 7C 71 \l2sin 2A ---- = sin 2 A cos ------ cos 2 A sin —=—" " 4 4 10(17)解：(1)取8。
中点G,连接DG.:.BG = -BC = 12-.AD//BC, AD = 1:.AD/LBG ,□四边形ABGD为平行四边形DG//AB -.-AD±AB:.ADLDG□平面EDCF工平面ABCD四边形以为矩形EDLDC,平面EDCFC\平面ABCD = DC:.ED^平面ABC。
如图，以D为原点，D4所在直线为x轴，QG所在直线为)，轴，£>E所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则A(1,O,O), 3(1,2,0), E(0,0,右)，F(-1,2,右)，3E = (-1, -2, A/5),AB = (0,2,0)设平面ABE的一个法向量为〃=(尤,y,z),.—x — 2^y + y[3z = 0.. 2y = 0不妨设X = y/3 , y =。
，则Z = 1,/.n = (A0,l)又V DF=(-1,2,A/3):,DF-n = -y/3 + y/3=0:.DF _L n又vDFtt平面仙EDFH平面ABE(2)而=(-1,-2,右)，序= (-2,0,句设平面班尸的一个法向量为秫=3，了"1),-— 2,] + A/^Z]— 0-2-X] + A/5Z] = 0不妨设M=2也,则况=右，寻=4,福=(2右,右,4).设向量福与另的夹角为0,则m-n-m • ra- COS05 _5屈 而-31 则 sin a =|cos < BP, n >| = 0x20 + 0x0 + 1x42右)2 + (0)2 +42 .称)2 +°2 +F□平面ABE 与平面幽B 所成二面角的余弦值为会坦 31(3)设DP = 2DF = 2(-l,2,V3)= (-2,22,A/32),2e[0,l], 则 P (—人,2/1,,所以 BP =(一人—1,2/1 — 2, ,又平面仙E 的一个法向量为另=(右,0,1),即直线时与平面ABE ■所成角为。
天津市南开区2021届高三上学期第一次模拟数学(理)试卷 Word版含解析
天津市南开区2021届高考数学一模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i 是虚数单位，复数=( )A．﹣i B．i C ．﹣﹣i D ．﹣+i2．已知实数x，y 满足约束条件，则目标函数z=x﹣2y的最小值是( )A．0 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣123．设A，B为两个不相等的集合，条件p：x∉（A∩B），条件q：x∉（A∪B），则p是q的( )A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件4．已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是x ﹣y=0，它的一个焦点在抛物线y2=﹣4x 的准线上，则双曲线的方程为( )A．4x2﹣12y2=1 B．4x2﹣y2=1 C．12x2﹣4y2=1 D ．x2﹣4y2=15．函数y=log0.4（﹣x2+3x+4）的值域是( )A．（0，﹣2]B．[﹣2，+∞）C．（﹣∞，﹣2]D．[2，+∞）6．如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的体积为( )A ．B ．C．4D．27．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2=a2+bc，A=，则内角C=( ) A ．B ．C ．D ．或8．已知函数f（x）=|mx|﹣|x﹣n|（0＜n＜1+m），若关于x的不等式f（x）＜0的解集中的整数恰有3个，则实数m的取值范围为( )A．3＜m＜6 B．1＜m＜3 C．0＜m＜1 D．﹣1＜m＜0二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上．9．如图是某学校抽取的同学体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率依次成等差数列，第2小组的频数为15，则抽取的同学人数为__________．10．已知a＞0，（x﹣）6的二项开放式中，常数项等于60，则（x﹣）6的开放式中各项系数和为__________（用数字作答）．11．假如执行如图所示的程序框图，则输出的数S=__________．12．已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为：（ϕ为参数），以Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：cosθ﹣sinθ=0，则圆C截直线l所得弦长为__________．13．如图，圆O的割线PAB交圆O于A、B两点，割线PCD经过圆心O．已知PA=AB=2，PO=8．则BD的长为__________．14．已知正三角形ABC的边长为2，点D，E分别在边AB，AC 上，且=λ，=λ．若点F为线段BE的中点，点O为△ADE 的重心，则•=__________．三.解答题：（本大题共6个小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．设函数f（x）=cos（2x+）+2cos2x，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调减区间；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间上的最小值．16．将编号为1，2，3，4的4个小球随机放到A、B、C三个不同的小盒中，每个小盒至少放一个小球．（Ⅰ）求编号为1，2的小球同时放到A盒的概率；（Ⅱ）设随机变量ξ为放入A盒的小球的个数，求ξ的分布列与数学期望．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，PC⊥底面ABCD，AB=2AD=2CD=4，PC=2a ，E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC ；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．18．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），F为左焦点，原点O到直线FA的距离为b．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设b=2，直线y=kx+4与椭圆C交于不同的两点M，N，求证：直线BM与直线AN的交点G在定直线上．19．设数列{a n}满足：a1=1，a n+1=3a n，n∈N*．设S n为数列{b n}的前n项和，已知b1≠0，2b n﹣b1=S1•S n，n∈N*（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=b n•log3a n ，求数列{c n}的前n 项和T n；（Ⅲ）证明：对任意n∈N *且n≥2，有++…+＜．20．已知函数f（x）=，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+（e﹣1）2y﹣e=0．其中e=2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）假如当x≠0时，f（2x）＜，求实数k的取值范围．天津市南开区2021届高考数学一模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i 是虚数单位，复数=( )A．﹣i B．i C．﹣﹣i D．﹣+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．解答：解：=．故选：A．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．2．已知实数x，y满足约束条件，则目标函数z=x﹣2y的最小值是( )A．0 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣12考点：简洁线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x﹣2y 为，由图可知，当直线过B时直线在y轴上的截距最大，z有最小值，等于0﹣2×4=﹣8．故选：C．点评：本题考查了简洁的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．3．设A，B为两个不相等的集合，条件p：x∉（A∩B），条件q：x∉（A∪B），则p是q的( )A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的推断．专题：集合；简易规律．分析：依据集合关系，以及充分条件和必要条件的定义进行推断即可．解答：解：当x∈A，且x∉（A∩B），满足x∈（A∪B），即充分性不成立，若x∉（A∪B，则x∉（A∩B），成立，即必要性成立，故p是q必要不充分条件，故选：C点评：本题主要考查充分条件和必要条件的推断，依据集合关系是解决本题的关键．4．已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是x ﹣y=0，它的一个焦点在抛物线y2=﹣4x 的准线上，则双曲线的方程为( )A．4x2﹣12y2=1 B．4x2﹣y2=1 C．12x2﹣4y2=1 D ．x2﹣4y2=1考点：抛物线的简洁性质；双曲线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线的渐近线的方程可得a：b=：1，再利用抛物线的准线x=1=c及c2=a2+b2即可得出a、b．得到椭圆方程．解答：解：∵双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是x ﹣y=0，∴a：b=：1，∵双曲线的一个焦点在抛物线y2=﹣4x的准线x=1上，∴c=1．c2=a2+b2，解得：b2=，a2=∴此双曲线的方程为：x2﹣4y2=1．故选：D．点评：本题考查的学问点是抛物线的简洁性质和双曲线的简洁性质，娴熟把握圆锥曲线的图象和性质是解题的关键．5．函数y=log0.4（﹣x2+3x+4）的值域是( )A．（0，﹣2]B．[﹣2，+∞）C．（﹣∞，﹣2]D．[2，+∞）考点：函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：先通过配方能够得到0，所以依据对数函数的图象即可得到，进行对数的运算从而求出原函数的值域．解答：解：；∴有；所以依据对数函数log0.4x的图象即可得到：=﹣2；∴原函数的值域为[﹣2，+∞）．故选B．点评：配方的方法求二次函数的值域，对数函数的定义域，以及对数函数的图象，依据图象求函数的值域的方法．6．如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的体积为( )A ．B ．C．4D．2考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图，分析出几何体的外形，进而画出几何体的直观图，进而代入锥体体积公式，可得答案．解答：解：由已知中的三视图可得：此棱锥的直观图如下图所示：其底面ABCD为一个底边长为2和2的矩形，面积S=4，高是P点到底面ABCD的距离，即h=，故几何体的体积V==，故选：A点评：本题考查的学问点是由三视图求体积和表面积，其中依据已知分析出几何体的外形，是解答的关键．7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2=a2+bc，A=，则内角C=( )A ．B ．C ．D ．或考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：由余弦定理可得，而b2=a2+bc，可得c=b，a2=b2，再利用余弦定理即可得出．解答：解：由余弦定理可得=，∵b2=a2+bc，∴=0，解得c=b，a2=b2﹣bc=b2，∴cosC===，∵c＜b，∴C 为锐角，．故选：B．点评：本题考查了余弦定理的应用，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．8．已知函数f（x）=|mx|﹣|x﹣n|（0＜n＜1+m），若关于x的不等式f（x）＜0的解集中的整数恰有3个，则实数m的取值范围为( )A．3＜m＜6 B．1＜m＜3 C．0＜m＜1 D．﹣1＜m＜0考点：根的存在性及根的个数推断．专题：函数的性质及应用．分析：依据f（x）=|mx|﹣|x﹣n|＜0，及题意得m＞1，从而，再依据解集中的整数的个数可知2（m﹣1）＜n≤3（m﹣1），解之即可．解答：解：∵f（x）=|mx|﹣|x﹣n|＜0，即|mx|＜|x﹣n|，∴（mx）2﹣（x﹣n）2＜0，即[（m﹣1）x+n][（m+1）x﹣n]＜0，由题意：m+1＞0，f（x）＜0的解集中的整数恰好有3个，可知必有m﹣1＞0，即m＞1，（否则解集中的整数不止3个）故不等式的解为，∵0＜n＜1+m，∴，所以解集中的整数恰好有3个当且仅当，即2（m﹣1）＜n≤3（m﹣1），又n＜1+m，所以2（m﹣1）＜n＜1+m，即2（m﹣1）＜1+m，解得m＜3，从而1＜m＜3，故选：B．点评：本题考查函数零点的推断，机敏对表达式进行变形、挖掘已知条件中的隐含信息是解题的关键，属于中档题．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上．9．如图是某学校抽取的同学体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率依次成等差数列，第2小组的频数为15，则抽取的同学人数为60．考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：依据已知，求出第2小组的频率，再求样本容量即可．解答：解：第2小组的频率为（1﹣0.0375×5﹣0.0125×5）×=0.25；则抽取的同学人数为：=60．故答案为：60．点评：本题考查了读取频率分布直方图中数据的力量，属于基础题．10．已知a＞0，（x ﹣）6的二项开放式中，常数项等于60，则（x ﹣）6的开放式中各项系数和为1（用数字作答）．考点：二项式定理的应用．专题：计算题；二项式定理．分析：写出二项式的通项，令x的指数等于0，求出r的值，给x赋值，做出二项式开放式的各项系数之和．解答：解：∵a＞0，（x﹣）6的二项开放式中，常数项等于60，∴通项T r+1=C6r（﹣a）r x6﹣3r，当6﹣3r=0时，r=2，常数项是C6r（﹣a ）r=60∴a=2，令x=1，得到二项式开放式中各项的系数之和是1，故答案为：1．点评：本题考查二项式通项和各项系数之和，本题解题的关键是写出通项，这是解这种问题的通法，本题是一个基础题．11．假如执行如图所示的程序框图，则输出的数S=2500；．考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=1+3+5+7+…+99==2500．解答：解：模拟执行程序框图，可得i=1，S=0S=1，i=3不满足条件i＞99，S=4，i=5不满足条件i＞99，S=9，i=7不满足条件i＞99，S=16，i=9…不满足条件i＞99，S=1+3+5+7+…+99，i=101满足条件i＞99，退出循环，输出S=1+3+5+7+…+99==2500．故答案为：2500．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，考查了等差数列的求和，属于基本学问的考查．12．已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为：（ϕ为参数），以Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：cosθ﹣sinθ=0，则圆C截直线l所得弦长为．考点：简洁曲线的极坐标方程；参数方程化成一般方程．专题：坐标系和参数方程．分析：首先把参数方程和极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步求出圆心到直线的距离，进一步利用勾股定理求出结果．解答：解：平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为：（φ为参数），转化成直角坐标方程为：x2+（y﹣2）2=4，直线l的方程：cosθ﹣sinθ=0，转化成直角坐标方程为：，所以：圆心（0，2）到直线的距离d=1，所以：圆被直线所截得弦长：=2．故答案为：．点评：本题考查的学问要点：参数方程和极坐标方程转化成直角坐标方程，点到直线的距离，勾股定理的应用．13．如图，圆O的割线PAB交圆O于A、B两点，割线PCD经过圆心O．已知PA=AB=2，PO=8．则BD 的长为2．考点：平行截割定理．专题：选作题；立体几何．分析：利用割线定理，求出PC，再证明AC∥OB，∠2=∠D，∠AOB=∠BOD，即可得出结论．解答：解：设PC=x ，则利用割线定理可得2×4=x（x+8﹣x+8﹣x），∴x=4，连接OA，OB，AC ，则∵A，C 分别为PB ，PO的中点，∴AC∥OB，∴∠1=∠2，∵∠1=LD ，∴∠2=∠D，∴∠AOB=∠BOD，∴BD=AB=2．故答案为：2．点评：本题考查割线定理，考查圆的内接四边形的性质，考查同学的计算力量，比较基础．14．已知正三角形ABC的边长为2，点D ，E分别在边AB ，AC 上，且=λ，=λ．若点F为线段BE的中点，点O为△ADE 的重心，则•=0．考点：平面对量数量积的运算．专题：平面对量及应用．分析：如图，依据向量的加减法运算法则，及重心的性质，用、表示、，再依据正三角形ABC的边长为2，进行数量积运算即可．解答：解：连AO 并延长交DE于G ，如图，∵O 是△ADE的重心，∴DG=GE ，∴，∴==，又=λ，=λ，∴=（），明显，，又==（1﹣）﹣，==﹣（+）=﹣（+﹣）=（）=﹣+，∴=（1﹣）+，∵=﹣，=﹣=（λ﹣1），∴=[+（λ﹣2）]，又正三角形ABC的边长为2，∴||2=||2=4，∴，∴=[（1﹣）+]•[+（λ﹣2）]={（1﹣）2+[+（1﹣）（λ﹣2）+（λ﹣2）}====0．（本题还可以用特殊值法或建立坐标系的方法来解决）点评：本题考查平面对量的数量积的计算，解题时要留意等价转化思想的合理运用，属于中档题．三.解答题：（本大题共6个小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．设函数f（x）=cos（2x+）+2cos2x，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调减区间；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间上的最小值．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由三角函数恒等变换化简函数解析式可得：f（x）=cos（2x+）+1，由三角函数的周期性及其求法即可求得函数f（x）的最小正周期，由2kπ≤2x+≤（2x+1）π，可解得函数的单调减区间．（Ⅱ）由（Ⅰ）先求得g（x），由0≤x ≤，可求﹣≤2x ﹣≤，从而可得≤cos（2x ﹣）+1≤2，即可求出f（x）的取值范围．解答：解：（Ⅰ）f（x）=cos（2x+）+2cos2x=﹣+1+cos2x…2分=cos2x ﹣sin2x+1=cos（2x+）+1…4分所以函数f（x）的最小正周期为π…5分由2kπ≤2x+≤（2x+1）π，可解得k≤x≤kπ+，所以单调减区间是：[k，kπ+]，k∈Z…8分（Ⅱ）由（Ⅰ）得g（x）=cos（2（x ﹣）+）+1=cos（2x ﹣）+1．…由于0≤x ≤，所以﹣≤2x ﹣≤，所以﹣≤cos（2x ﹣）≤1，…因此≤cos（2x ﹣）+1≤2，即f（x）的取值范围为[，2]．…点评：本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，三角函数恒等变换，综合性较强，属于中档题．16．将编号为1，2，3，4的4个小球随机放到A、B、C三个不同的小盒中，每个小盒至少放一个小球．（Ⅰ）求编号为1，2的小球同时放到A盒的概率；（Ⅱ）设随机变量ξ为放入A盒的小球的个数，求ξ的分布列与数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）设编号为1，2的小球同时放到A盒的概率为P，直接求解即可．（Ⅱ）ξ=1，2，求出概率，列出分布列，然后求解期望即可．解答：解：（Ⅰ）设编号为1，2的小球同时放到A盒的概率为P，P==．…（Ⅱ）ξ=1，2，…P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，所以ξ的分布列为…ξ 1 2Pξ的数学期望E（ξ）=1×+2×=．…点评：本题考查离散型随机变量的分布列，期望的求法，考查计算力量．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，PC⊥底面ABCD，AB=2AD=2CD=4，PC=2a，E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E 的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）证明AC⊥PC．AC⊥BC．通过直线与平面垂直的判定定理以及平面与平面垂直的判定定理证明平面EAC⊥平面PBC．（Ⅱ）如图，以点C 为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标以及面PAC的法向量．面EAC的法向量，通过二面角P﹣AC﹣E 的余弦值为，求出直线PA的向量，利用向量的数量积求解直线PA与平面EAC所成角的正弦值即可．解答：解：（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC．∵AB=4，AD=CD=2，∴AC=BC=．∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC．又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC．∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．…（Ⅱ）如图，以点C 为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（2，2，0），B（2，﹣2，0）．设P（0，0，2a）（a＞0），则E（1，﹣1，a），=（2，2，0），=（0，0，2a），=（1，﹣1，a）．取=（1，﹣1，0），则•=•=0，为面PAC的法向量．设=（x，y，z）为面EAC 的法向量，则•=•=0，即，取x=a，y=﹣a，z=﹣2，则=（a，﹣a，﹣2），依题意，|cos ＜，＞|===，则a=2．…于是n=（2，﹣2，﹣2），=（2，2，﹣4）．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ=|cos ＜，＞|==，即直线PA与平面EAC 所成角的正弦值为．…点评：本题考查平面与平面垂直的判定定理以及二面角得到平面角，直线与平面所成角的求法，考查空间想象力量以及计算力量．18．已知椭圆C ：=1（a＞b＞0）与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），F为左焦点，原点O到直线FA 的距离为b．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设b=2，直线y=kx+4与椭圆C交于不同的两点M，N，求证：直线BM与直线AN的交点G在定直线上．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简洁性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设F的坐标为（﹣c，0），原点O到直线FA 的距离为b，列出方程，即可求解椭圆的离心率．（Ⅱ）求出椭圆方程，联立方程组，通过韦达定理，设M（x M，kx M+4），N（x N，kx N+4），求出MB方程，NA方程，求出交点坐标，推出结果．解答：解：（Ⅰ）设F的坐标为（﹣c，0），依题意有bc=ab，∴椭圆C的离心率e==．…（Ⅱ）若b=2，由（Ⅰ）得a=2，∴椭圆方程为．…联立方程组化简得：（2k2+1）x2+16kx+24=0，由△=32（2k2﹣3）＞0，解得：k2＞由韦达定理得：x M+x N =…①，x M x N =…②…设M（x M，kx M+4），N（x N，kx N+4），MB方程为：y=x﹣2，…③NA方程为：y=x+2，…④…由③④解得：y=…===1即y G=1，∴直线BM与直线AN的交点G在定直线上．…点评：本题考查直线与椭圆的综合应用，椭圆的简洁性质方程的求法，考查分析问题解决问题的力量．19．设数列{a n}满足：a1=1，a n+1=3a n，n∈N*．设S n为数列{b n}的前n项和，已知b1≠0，2b n﹣b1=S1•S n，n∈N*（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=b n•log3a n，求数列{c n}的前n项和T n；（Ⅲ）证明：对任意n∈N*且n≥2，有++…+＜．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）推断a n}是等比数列，求出通项公式，推断{b n}是等比数列，求出通项公式为b n．（Ⅱ）化简c n的表达式，利用错位相减法求解T n即可．（Ⅲ）化简并利用放缩法，通过数列求和证明即可．解答：解：（Ⅰ）∵a n+1=3a n，∴{a n}是公比为3，首项a1=1的等比数列，∴通项公式为a n=3n﹣1．…∵2b n﹣b1=S1•S n，∴当n=1时，2b1﹣b1=S1•S1，∵S1=b1，b1≠0，∴b1=1．…∴当n＞1时，b n=S n﹣S n﹣1=2b n﹣2b n﹣1，∴b n=2b n﹣1，∴{b n}是公比为2，首项a1=1的等比数列，∴通项公式为b n=2n﹣1．…（Ⅱ）c n=b n•log3a n=2n﹣1log33n﹣1=（n﹣1）2n﹣1，…T n=0•20+1•21+2•22+…+（n﹣2）2n﹣2+（n﹣1）2n﹣1…①2T n=0•21+1•22+2•23+…+（n﹣2）2n﹣1+（n﹣1）2n…②①﹣②得：﹣T n=0•20+21+22+23+…+2n﹣1﹣（n﹣1）2n =2n﹣2﹣（n﹣1）2n=﹣2﹣（n﹣2）2n∴T n=（n﹣2）2n+2．…（Ⅲ）===≤+++…+＜++…+==（1﹣）＜．…点评：本题考查等比数列的通项公式的求法，错位相减法以及放缩法的应用，考查计算力量．20．已知函数f（x）=，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+（e﹣1）2y﹣e=0．其中e=2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）假如当x≠0时，f（2x ）＜，求实数k的取值范围．考点：利用导数争辩曲线上某点切线方程．专题：分类争辩；导数的概念及应用；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）求出函数的导数，求得切线的斜率，由切线方程可得切点和切线的斜率，解方程可得a=b=1；（Ⅱ）f（x）=，即有f（2x ）＜⇔[xe x ﹣（e2x﹣1）]＜0．令函数g（x）=xe x ﹣（e2x﹣1）（x∈R），求出导数，对k争辩，①设k≤0，②设k≥1，③设0＜k＜1，分析导数的符号，推断函数的单调性，即可得到k的范围．解答：解：（Ⅰ）f′（x）=，由函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+（e﹣1）2y﹣e=0，知1+（e﹣1）2 f（1）﹣e=0，即f（1）==，f′（1）===﹣．解得a=b=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=，所以f（2x）＜⇔＜⇔﹣＜0，⇔[xe x﹣（e2x﹣1）]＜0．令函数g（x）=xe x﹣（e2x﹣1）（x∈R），则g′（x）=e x+xe x﹣（1﹣k）e2x=e x（1+x﹣（1﹣k）e x）．①设k≤0，当x≠0时，g′（x）＜0，g（x）在R单调递减．而g（0）=0，故当x∈（﹣∞，0）时，g（x）＞0，可得g（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，g（x）＜0，可得g（x）＜0，从而x≠0时，f（2x）＜．②设k≥1，存在x0＜0，当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x0，+∞）单调递增．而g（0）=0，当x＞0时，g（x）＞0，可得g（x）＞0，与题设冲突，③设0＜k＜1，存在x1＜0＜x2，当x1＜x＜x2时，g′（x）＞0，g（x）在（x1，x2）单调递增，而g（0）=0，故当1＜x＜x2时，g（x）＞0，可得g（x）＞0，与题设冲突．综上可得，k的取值范围是[0，+∞）．点评：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间，主要考查导数的几何意义和函数的单调性的运用，运用分类争辩的思想方法和正确求导是解题的关键．。
2021年天津南开中学高三月考文科数学卷
2021年天津南开中学高三月考文科数学卷2021-2021学年天津市南开中学高三（下）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题：（这道大题有8道小题，每个小题5分，共40分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合问题的要求。
请在答题纸上填写答案！）1．设集合a={2，5}，集合b={1，2}，集合c={1，2，5，7}，则（a∪b）∩c为（）a．{1，2，5}b．{1，2，5}c．{2，5，7}d．{7，2，5}2.假设a和B是实数，那么“a>B”是（）a.充分和不必要条件B.必要和不充分条件C.充分和必要条件D.既不充分也不必要条件3。
不平等的解集是（）二2a、 d。
b．c。
4．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+y的最大值为（）a、 4b.11c.125．函数f（x）=|x2|lnx在定义域内零点的个数为（）a．0b．1c．26.已知函数f（x）=sin（2xa）7．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，（）＜φ＜b．d、 14d．3)，如果有∈ （0，π），所以f（x+a）=f（x+3a）是常数，那么a=（）c．d。
）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是第1页，共16页a．b、疾病控制中心。
8．已知函数f（x）=，若a、b、c均不相等且f（a）=f（b）=f（c），则abc的值范围为（）a．（1，10）b．（5，6）c．（10，15）d．（20，24）二、填空：（这个大问题有6个小问题，每个小问题5分，总共30分。
请在答题纸上填写答案！）9.如果向量=（2,5），=（，y）和⊥ （+2），那么Y的值是。
10.设置向量，，然后βα=。
11．已知12.已知正数A.B满足4A+B=30，因此13．若函数（fx）（x∈r）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为（fx）=，取最小值时，则实数对（a，b）是．哪里，则cosα=．其中0＜α＜β＜π。
如果则f（）+f（）=．14.有四个主张：（1）“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；（2）“全等三角形的面积相等”的否命题．二（3）“若q≤1，则x+2x+q=0有实根”的逆否命题；（4）“不等边的三角形的三个内角相等”的逆命题．其中真命题的是．三、答：（本答案共有6个小问题，15-18个小问题得13分，19-20个小问题得14分，共80分。
南开中学2020届高三第四次月考 数学试卷
满足：
则 的值等于
（
，
且
），若数列
A.
B.
C.
D.
是等比数列，
6. 已知双曲线
的一个焦点与抛物线
的焦点 重合，抛
物线的准线与双曲线交于 ， 两点，且 方程为
的面积为 （ 为原点），则双曲线的
A.
B.
C.
D.
7. 设 ， 分别为具有公共焦点 ， 的椭圆和双曲线的离心率， 为两曲线的一个公共点，且
满足
，则
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17. 如图，在四棱锥 ，
中，
，
．
，
，
（1）证明： （2）求二面角 （3）设 为线段
； 的余弦值；
上的点，且直线
和平面
正弦值为 求 的值．
所成角的
，
，
第 4 页（共 7 页）
18. 已知椭圆 成的三角形面积为 ． （1）求椭圆 的方程； （2）设与圆
的离心率为 ，两焦点与短轴的一个端点的连线构
天津南开中学 2020 届高三第四次月考数学试卷
一、选择题（共 9 小题；共 45 分） 1. 已知集合
，集合
，则
A.
B.
C.
D.
2. 祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同
高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设 ， 为两个同高的几何体， ，
的值为
A.
B.
C.
D. 不确定
第 1 页（共 7 页）
8. 已知函数
的图象过点
且在
上单调，把
的图象向右平移 个单位之后与原来的图象重合，当
且
重庆市南开中学2021届高三上学期第四次质量检测数学试题
重庆南开中学高2021级高三第四次质量检测数学试题2020.12（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、单项选择题：本题共8小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2430A x x Z x x =∈++≤，01x B xx ⎧⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，则A B =（ ） A. []3,1-- B. [)3,1-- C. {}3,2,1--- D. {}3,2--D先解一元二次不等式化简集合A ，解分式不等式化简集合B ，再进行交集运算即可.集合{}{}{}2430313,2,1A x x Z x x x x Z x =∈++≤=∈-≤≤-=---，集合(){}{}()[)0100,10,1x B x x x x x ⎧⎫=≥=+>⋃=-∞-⋃+∞⎨⎬+⎩⎭，则{}3,2A B -=-.故选：D.2. “实数a ，b ，c 成等比数列”是“2b ac =”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件A根据等比数列的定义，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 由实数,,a b c 成等比数列，可得b ca b=，即2b ac =，即充分性成立； 反之：如0a b 时，满足2b ac =，但实数,,a b c 不能构成等比数列，即必要性不成立, 所以“实数,,a b c 成等比数列”，是“2b ac =”的充分不必要条件.故选：A.3. 已知直线1l ：()1210m x y ++-=，2l ：()8110x m y m ++-+=，若12//l l ，则m =（ ） A. -1 B. -5 C. -1或3 D. 3或-5B根据两直线的位置关系，列出相应的条件，即可求解.由题意，直线1l ：()1210m x y ++-=，2l ：()8110x m y m ++-+=，因为12//l l ，可得()()()11280211(1)m m m m ⎧++-⨯=⎪⎨-+≠-⨯+⎪⎩，解得5m =-.故选：B.4. 在ABC 中，()2,3AC =，()2,3BA BC +=-，则AB =（ ） A. 2 B. 3C. 4D. 6A可得()2,3CA BA BC -==--，即可求出()2,0AB =，得出模.()2,3AC =，()2,3BA BC CA ∴-==--， ()2,3BA BC +=-，()()()22,32,34,0BA ∴=--+-=-, ()2,0BA ∴=-，即()2,0AB =，222AB ∴==.故选：A.5. 设抛物线()220y px p =>的焦点为F ，(),2P a 为抛物线上一点，若2PF =，则p =（ ）A. 12B. 1C. 2D.52C将(),2P a 代入抛物线方程，再利用焦半径公式可得22pPF a =+=，联立求解. 因为2PF =，根据抛物线定义22pPF a =+=，又42pa =，可得1,2a p ==.故选：C. 6. 《孙子算经》记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、侯、公，一共五级.现每个级别的诸侯分别有1，2，3，4，5人，按照如下规则给他们分发一批苹果：同一等级的诸侯所得苹果数依次为1a ，2a ，3a ，…，且满足()*1k k a a k k N +=+∈；任一等级诸侯所得苹果数量最多的比高一级的诸侯所得苹果数最少的少一个．现已知等级为男的诸侯所得苹果数为1，则这批苹果共有（ ）个． A. 158 B. 159C. 160D. 161B等级为男的诸侯只有1人，所得苹果数为1，然后求出等级为子的诸侯所得苹果数最小的为2，再根据题意求出2a ，这样根据规则写出各个等级的诸侯所得苹果数，相加即可得． 由题意等级为男的诸侯只有1人，所得苹果数为1， 等级为子的诸侯有2人，所得苹果数为2，3； 等级为伯的诸侯有3人，所得苹果数为4，5，7；等级为侯的诸侯有4人，所得苹果数为8，9，11，14； 等级为公的诸侯有5人，所得苹果数为15，16，18，21，25.所以苹果总数为1234578911141516182125159++++++++++++++=．故选：B ． 关键点点睛：本题考查数学文化，解题关键是从题目中抽象出数的规律，解题方法是按照规则逐个写出各诸侯所得苹果数，相加即得．7. 已知复数z 满足21z z i -=--（i 为虚数单位），则2z i z -+的最小值为（ ） A. 2 B. 5C. 3D. 10D根据复数的几何意义，得点Z 的轨迹方程，然后将2z i z -+转化为点Z 到点()0,2A ，()0,0O 的距离，利用对称性，当三点共线时取最小值.设z x yi =+，则(),Z x y 的轨迹为点()2,0和()1,1的中垂线，方程为1y x =-，则2z i z -+表示点Z 到点()0,2A ，()0,0O 的距离，即求ZA ZO +的最小值，如图，点O 关于直线1y x =-的对称点O '的坐标为()1,1-，所以()22min 1(12)10ZA ZO AO '+==+--=.故选：D.8. 实数x ，y 满足()4242xye x y e -=+，则22x yx y x++的最小值为（ ）A. 2B. 7C. 7D. 4D由题设条件化简得()4242x ye x y e+=+，求得24x y +=，再化简224x y x yx y x y x++=+，结合基本不等式，即可求解. 由题意，实数,x y 满足()4242xy ex y e -=+，化简得()4242x y e x y e +=+，()10x y x e '=+>，故x y xe =在()0,∞+单调递增，故24x y +=，所以()2224424x x yx y y x y x yxy x y x y x y x+++=+=+≥⋅=，当且仅当4x yy x=时，即1,2x y==时，等号成立，所以22x yxy x++的最小值为4.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9. 某电子商务平台每年都会举行“年货节”商业促销狂欢活动，现统计了该平台从2012年到2020年共9年“年货节”期间的销售额（单位：亿元）并作出散点图，将销售额y看成以年份序号x（2012年作为第1年）的函数.运用excel软件，分别选择回归直线和三次函数回归曲线进行拟合，效果如下图，则下列说法正确的是（）A. 销售额y与年份序号x呈正相关关系B. 销售额y与年份序号x线性相关不显著C. 三次函数回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果D. 根据三次函数回归曲线可以预测2021年“年货节”期间的销售额约为8454亿元AC根据图象的走势左下到右上可判断A；由相关系数的绝对值越大拟合效果越好可判断B、C；令11x=，代入三次函数求出y值即可判断D.根据图象可知，散点从左下到右上分布，销售额y与年份序号x呈正相关关系，故A正确；因为相关系数0.9360.75>，靠近1，销售额y与年份序号x线性相关显著，B错误.根据三次函数回归曲线的相关指数0.9990.936>，相关指数越大，拟合效果越好，所以三次多项式回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果，C正确；由三次多项式函数320.16828.14129.027 6.889y x x x =+-+, 当11x =时，3316.26y ≈亿元，D 错误；故选：AC10. 已知F 为双曲线()222:104x y M b b-=>的左焦点，圆()2255:x Q y -+=与双曲线M 的渐近线有且仅有2个不同的公共点，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的离心率为3 B. M 的渐近线方程为20x y ±=C. M 上存在4个不同的点P ，使得5PF =D. 设直线l 与M 交于A 、B 两点，点C 与A 关于原点O 对称，若l 的斜率为3，则直线BC 的斜率为112BCD由已知可得出圆Q 与双曲线M 的渐近线相切，可求出b 的值，利用双曲线的离心率公式可判断A 选项的正误；求出双曲线M 的渐近线方程可判断B 选项的正误；分点P 在双曲线M 的左支和右支两种情况讨论，可判断C 选项的正误；利用点差法可判断D 选项的正误. 双曲线M 的渐近线方程为20bx y ±=，由已知可得双曲线M 的两条渐近线和圆Q 都关于x 轴对称， 所以，圆Q 与直线20bx y +==0b >，解得1b =，2a =，则c ==M的离心率为c e a ==，A 选项错误； 双曲线M 的渐近线方程为20x y ±=，B 选项正确；当点P 在双曲线M的左支上时，52PF c a =>-，所以，双曲线M 的左支上存在两个点P ，使得5PF =；当点P 在双曲线M的右支上时，5=2PF c a >+=，所以，双曲线M 的右支上存在两个点P ，使得5PF =，C 选项正确；设点()11,A x y 、()22,B x y 、()11,C x y --，由于A 、B 两点双曲线M 上，则221122221414x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两个等式相减得()2222121204x x y y ---=，2212221214y y x x -∴=-， 直线AB 的斜率为1212AB y y k x x -=-，直线BC 的斜率为2121BC y y k x x +=+， 2212221214AB BCy y k k x x -⋅==-，3AB k =，112BC k ∴=，D 选项正确.故选：BCD. 结论点睛：有关双曲线的点差法的结论如下：①设AB 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的任意一条不与坐标轴垂直的弦，点M 为弦AB 的中点，则直线AB 和直线OM （其中O 为坐标原点）的斜率之积22AB OMb k k a⋅=； ②设AB 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的任意一条过原点的弦，点M 是该双曲线上与点A 、B 不关于坐标轴对称的一点，则直线MA 和MB 的斜率之积为22MA MBb k k a⋅=. 11. 已知()()22sin sin 21084f x x x ππωωω⎛⎫⎛⎫=+++-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，下列结论正确的是（ ）A. 若1ω=，则()f x 在,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 若12x x ≠，()()120f x f x ==，且12x x -的最小值为π，则2ω=C. 将()f x 的图象向右平移4π个单位后，所得的图象关于点,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，则ω可能为12D. 若()f x ,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则30,4ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ AD化简函数()f x 的解析式为()()2f x x ω，由,64x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦计算出2x 的取值范围，可判断A选项的正误；结合题意计算出函数()f x 的最小正周期，可判断B 选项的正误；求出平移后所得函数的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断C 选项的正误；根据函数()f x 的单调性可得出关于ω的不等式组，求出ω的范围，可判断D 选项的正误.()()sin 2cos 2224444f x x x x x ππππωωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.对A ：当1ω=时，()()2f x x =，,64x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，2,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()min 22f x ==，故A 正确； 对B ：由()()120f x f x ==时，12x x -的最小值为π，得函数()f x 的最小正周期为2π，故222ππω=，12ω=，故B 错误；对C ：平移后得到函数()2242g x x x ππωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 当12ω=时，()4g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，10224g πππ⎛⎫⎛⎫=-=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以,02π⎛⎫⎪⎝⎭不是函数()g x 的图象的对称中心，故C 错误；对D ：,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22,33x ωπωπω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 若()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则2232232k k ωπππωπππ⎧≤+⎪⎪⎨⎪≥-+⎪⎩，故()336324k k k Z ω-≤≤+∈，故3363243304k k k ⎧-+≤+⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，解得1344k -<≤，故0k =，304ω<≤，故D 正确.故选：AD.方法点睛：对于正弦型基本函数的基本性质问题，方法如下：（1）求最小正周期时可先把所给三角函数式化为()sin y A ωx φ=+或()cos y A x ωϕ=+的形式，则最小正周期为2T ωπ=；（2）求()()sin 0y A x ωϕω=+≠的对称轴，只需令()2x k k Z πωϕπ+=+∈，求x ；求()f x 的对称中心的横坐标，只需令()x k k Z ωϕπ+=∈即可．（3）求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成()sin y A ωx φ=+形式，再求()sin y A ωx φ=+的单调区间，只需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．12. 已知函数()()()21,01,0x xx e x f x x x e ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩，下列选项正确的是（ ）A. 函数()f x 在()2,1-上单调递增B. 函数()f x 的值域为21,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C. 若关于x 的方程()()20f x a f x -=⎡⎤⎣⎦有3个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是214,e e ⎛⎫⎪⎝⎭D. 不等式()0f x ax a -->在()1,-+∞恰有两个整数解，则实数a 的取值范围是212,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ACD对AB ，根据导函数画出图象，分析单调性，值域；对C ，由题()()()200f x a f x f x -=⇔=⎡⎤⎣⎦或()f x a =，只需()f x a =有两个不等实根；对D ，不等式()()1f x a x >+在()1,-+∞恰有两个整数解必为0x =，1x =，建立不等式组求解即可.对AB ：()()()()2,011,0x x x e x f x x x x e ⎧+<⎪=⎨+-≥'⎪⎩，故得到函数()y f x =图象如图所示，易知A 正确，B错误；对D ：不等式()()1f x a x >+在()1,-+∞恰有两个整数解，如图，必为0x =，1x =，故()()()()111221f a f a ⎧>+⎪⎨≤+⎪⎩，解得232,a e e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故D 对；对C ：如图为函数()y f x =的图象，则()()()200f x a f x f x -=⇔=⎡⎤⎣⎦或()f x a =，因为方程()()20f x a f x -=⎡⎤⎣⎦有3个不相等的实数根，所以只需()f x a =有两个不等实根，故214,a e e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故C 正确.故选：ACD. 本题考查用导数研究函数的思路，以及方程有实根、整数解问题等，关键点在于能够将问题简化，从本质入手进行分析. 三、填空题：本题共4小题.13. 在二项式62x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为______．160求得二项展开式的通项62162r r rr T C x -+=⋅，令620r -=，求得3r =，代入即可求解.由题意，二项式62x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为6621662()2r r r r r rr T C xC x x --+==⋅， 令620r -=，可得3r =，代入可得33462160T C =⋅=，所以展开式的常数项为160. 故答案为：160.14. 如图所示，点P 在以AB 为直径的半圆弧上运动，则PAB △的最小内角不小于6π的概率为______．13根据圆周角的度数和弧的关系，利用几何概型求出满足条件的概率．如图示，把弧AB 平均分成3份，当点P 落在弧AQ 时，30PBA ∠≤︒,当点P 落在弧BE 时，30PAB ∠≤︒；所以要使PAB △的最小内角不小于30，只需点P 落在弧QE 之间，所以概率为13．故答案为：13．15. 已知平面向量a ，b ，c ，满足1a =，2a b -=，()()0a c b c -⋅-=，则c 的最大值为______． 3OA a =，OB b =，OC c =，根据()()0a c b c -⋅-=，可得0CA CB ⋅=，从而可得点C 在以AB 为直径的圆M 上，由13c OC OM OD =≤+≤=即可求解.OA a =，OB b =，OC c =， 则1OA =，2BA =，故B 在以A 为圆心，半径为2的圆上，又()()0a c b c -⋅-=， 即0CA CB ⋅=，故点C 在以AB 为直径的圆M 上， 则13c OC OM OD =≤+≤=.故答案为：316. 已知数列{}n a 满足：152a =，()2*1122n n n a a a n N +=-+∈，若上取整函数⎡⎤⎢⎥x 表示不小于x 的最小整数（例如：1.22=⎡⎤⎢⎥，33=⎡⎤⎢⎥），则122020111a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎢⎥______． 2 已知等式变形为111122n n n a a a +=---，由此可求得122020120212*********2222a a a a a a +++=-=----， 再证明{}n a 是递增数列，并通过前几项，估计出20213a >，这样再根据新定义可得．由已知得111122n n n a a a +=---，即111122n n n a a a +=---，1220201202120211111112222a a a a a a +++=-=----， 因为21112(2)222n n n n n a a a a a +=-+=-+，且1522a =>，所以12n a +>，即数列{}n a 各项均大于2， 又()22111222022n n n n n a a a a a +-=-+=->，故{}n a 单调递增，152a =，可得2218a =，3 2.82a ≈，4 3.16a ≈，故当4n ≥时，3n a >，所以20213a >，故12202011112a a a <+++<，1220201112a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎢⎥. 故答案为：2．关键点点睛：本题考查数列新定义，考查数列的单调性与裂项相消求和法．解题关键是求得和式122020111a a a +++，通过已知式变形后可用裂项相消法求和，然后问题转化为估计数列中各项的取值范围，结合新定义只要考察数列的前几项即可得出结论． 四、解答题：本题共6小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足sin sin sin 1sin sin a A b B c Cb A a B++=．（1）求角C ；（2）若2a =，ABC 的面积ABCS，求ABC 的周长L .（1）120C =︒；（2）4L =+（1）先由正弦定理化角为边，再利用余弦定理即可求出； （2）由面积公式可求出b ，再由余弦定理即可求出c ，得出周长.解：（1）由正弦定理可得：2221a b c ab ab++=，整理得222a b ab c ++=，再由余弦定理：2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-，()0,180C ∈，所以120C =︒；（2）11sin 2222ABC S ab C ==⨯⨯=△，解得2b =，所以22212c a b ab =++=，即c =，则周长4L =+本题考查正余弦定理和面积公式的应用，解题的关键是利用正弦定理化角为边，得出222a b ab c ++=.18. 已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，其前n 项和为n S ，满足535S =，且1a ，4a ，13a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若241n n b a =-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，实数λ使得13n nT S λ++≤对任意*n N ∈恒成立，求λ的取值范围.（1）21n a n =+；（2）7λ≤.（1）先利用已知条件求出公差d ，再利用33na a n d +求通项公式即可；（2）先计算{}n b 通项公式，利用裂项相消法求n T ，代入化简数列不等式为225n n λ≤+对任意*n N ∈恒成立，再求()225f n n n =+最小值即得结果.解：（1）设数列{}n a 的公差为0d ≠， 因为{}n a 是等差数列，所以()155355352a a S a +===，故37a =，又1a ，4a ，13a 成等比数列，所以24113a a a =，故()()()2333210a d a d a d +=-+，将37a =代入得()()()2772710d d d +=-+，即()20d d -=，又知0d ≠，故2d =，所以()()3372321n a a n d n n =+-=+-=+；（2）由（1）知，()()32122n n n S n n ++==+，故()()2411111211n b n n n n n ===-+++-， 所以121111111122311n n T b b b n n n =+++=-+-++-=-++，即1112n T n +=-+，故()111322n nT S n n n λλ++=+-≤++，即()2122252n n n n n λ⎛⎫≤++=+ ⎪+⎝⎭对任意*n N ∈恒成立， 而()2252525248f x x x x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭在5,4x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故()225f n n n =+在*n N ∈时单调递增，()()min 17f n f ==，所以()min 7f n λ≤=，故λ的取值范围为7λ≤. 方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些像可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列，或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解.19. 在平面直角坐标系下，已知动点P 到定点()8,0M，()2,0N的距离之比为2. （1）求动点P 的轨迹方程C ；（2）若直线l ：2y kx =+与曲线C 交于A ，B 两点，且AB ⎡∈⎣，求实数k 的取值范围.（1）2216x y +=；（2）[]1,1k ∈-. （1）设(),P x y 22x y =-+化简可得答案.（2）设C 的圆心到直线l 的距离为d,d =，由22162AB d ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得到2d 的范围，再由22d k 、的关系得到[]20,1k ∈可得答案.（1）设(),P x y222x y =-+，化简得2216x y +=，即C 为的轨迹方程. （2）设C的圆心到直线l 的距离为d ，则d=，4<，得2114k +>成立，且22162AB d ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以22162AB d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又AB ⎡∈⎣，[]2112,144AB ∈， 所以[]22,4d ∈，即[]2242,41d k=∈+， 解得[]20,1k ∈，所以[]1,1k ∈-.本题考查了求轨迹方程、直线和圆的位置关系、点到直线的距离，关键点是利用圆心到直线的距离、半径、弦长的一半构成的直角三角形，考查了学生分析问题、解决问题的能力.20. 已知函数()()3143f x ax x a R =-∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若1a =，12,x x ⎡∀∈⎣且12x x ≠，都有()()1212ln ln f x f x m x x -<-成立，求实数m 的取值范围．（1）答案见解析；（2）[)9+∞. （1）求得函数的导数()24f x ax '=-，分类0a =，0a <和0a >，三种情况讨论，即可求解.（2）当1a =时，不妨设121x x ≤<≤1）得到()()12f x f x >，12ln ln x x <，把不等式()()1212ln ln f x f x m x x -<-，转化为()()1122ln ln f x m x f xm x +<+对任意的12,x x ⎡∈⎣成立，进而转化为34m x x ≥-+对x ⎡∈⎣恒成立，构造函数()34h x x x =-+，结合导数求得函数的单调性与最值，即可求解.（1）由题意，函数()()3143f x ax x a R =-∈，可得()24f x ax '=-， ①当0a =时，()4f x x =-在R 上单调递减；②当0a <时，()0f x '<，所以()f x 在R 上单调递减； ③当0a >时，令()0f x '>，即240ax ->，解得x<x >； 令()0f x '<，即240ax -<，解得x<< 所以()f x 在(,)-∞+∞单调递增，在(单调递减（2）当1a =时，函数()3143f x x x =-，由（1）可知()f x 在⎡⎣单调递减，不妨设121x x ≤<≤，则()()12f x f x >，12ln ln x x <所以()()1212ln ln f x f x m x x -<-，即()()()1221ln ln f x f x m x x -<-，即()()1122ln ln f x m x f x m x +<+对任意的12,x x ⎡∈⎣成立，所以()()ln g x f x m x =+在⎡⎣单调递减，则()()240m mg x f x x x x=+=-+'≥'，即34m x x ≥-+对x ⎡∈⎣恒成立， 令()34h x x x =-+，可得()234h x x '=-+，令()0h x '>，即2340x -+>，解得x << 令()0h x '<，即2340x -+<，解得x <x >， 所以()h x 在⎛ ⎝单调递增，在2⎫⎪⎭单调递减，当x =()h x 取得最大值，最大值为()max 9h x h ==，所以1639m≥，即实数m的取值范围163[,)9+∞.对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.21. 已知椭圆Γ：()222210x ya ba b+=>>在右、上顶点分别为A、B，F是椭圆Γ的左焦点，23,22P⎛⎫⎪⎪⎝⎭是椭圆Γ上的点，且OB OF=（O是坐标原点）.（1）求椭圆Γ的方程；（2）设直线l与椭圆Γ相切于点M（M在第二象限），过O作直线l的平行线与直线MF相交于点N，问：线段MN的长是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.（1）2212xy+=；（2）为定值；2MN=（1）由已知建立方程，解之求得a b c，，，可得椭圆Γ的方程；（2）设切点()00,M x y，求得切线方程l，以及直线ON的方程，直线MF的方程，联立ON与MF 的方程可解得交点N，再表示2MN，可得定值.解：（1）由题可知222221321241b caa b b ca b c=⎧⎪⎧=⎪⎪+=⇒⎨⎨==⎪⎩⎪=+⎪⎩，所以椭圆Γ：2212xy+=；（2）由题()1,0F -，设切点()00,M x y ，则220012x y +=，切线l ：0012x x y y +=， 而//ON l ，且ON 过原点，所以ON ：0002x xy y +=， 而直线MF ：()()0011x y y x +=+，联立ON 与MF 的方程可解得2000002,22y x y N x x ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 则2222200000000000222222222y x y x y MN x y x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++-=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以MN =.关键点点睛：本题考查直线与椭圆的位置关系之定值问题，关键在于将所求的量转化到曲线上的点的坐标的关系，化简可得结论．22. 购买盲盒，是当下年轻人的潮流之一．每个系列的盲盒分成若干个盒子，每个盒子里面随机装有一个动漫、影视作品的周边，或者设计师单独设计出来的玩偶，消费者不能提前得知具体产品款式，具有随机属性.消费者的目标是通过购买若干个盒子，集齐该套盲盒的所有产品．现有甲、乙两个系列盲盒，每个甲系列盲盒可以开出玩偶1A ，2A ，3A 中的一个，每个乙系列目盲盒可以开出玩偶1B ，2B 中的一个．（1）记事件n E ：一次性购买n 个甲系列盲盒后集齐玩偶1A ，2A ，3A 玩偶；事件n F ：一次性购买n 个乙系列盲盒后集齐1B ，2B 玩偶；求概率()5P E 及()4P F ；（2）某礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒．通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为23，购买乙系列的概率为13；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为14，购买乙系列的概率为34，前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为12，购买乙系列的概率为12；如此往复，记某人第n 次购买甲系列的概率为n Q ． ①n Q ；②若每天购买盲盒的人数约为100，且这100人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个．（1）()55081P E =， ()478P F =；（2）①12415154n n Q -⎛⎫=+⨯- ⎪⎝⎭；②甲系列盲盒40个，乙系列盲盒60个.（1）计算一次性购买5个甲系列盲盒，得到玩偶的情况总数为53，利用排列与组合计算当集齐1A ，2A ，3A 玩偶的所有情况总数，然后得到()5P E ；利用正难则反思想，先计算一次性买4个乙系列盲盒不能集齐1B ，2B 玩偶的概率P ，用则()41P F P =-; （2）①由题意可得123Q =，当2n ≥时，()1111142n n n Q Q Q --=+-，利用构造法求出数列{}n Q 的通项公式；②假设用ξ表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则根据题意可知2100,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用二项分布数学期望的计算公式得出购买甲的人数，从而得出购买乙的人数，根据一天中购买甲、乙的人数确定每天应准备甲、乙两种盲盒的个数.解：（1）若一次性购买5个甲系列盲盒后集齐1A ，2A ，3A 玩偶，则有两种情况： ①其中一个玩偶3个，其他两个玩偶各1个，则有132354C C C 种结果； ②若其中两个玩偶各2各，另外两个玩偶1个，则共有112354C C C 种结果，故()13211235235455609015050324324381C C A C C C P E ++====；若一次性购买4个一系列盲盒，全部为1B 与全部为2B 的概率相等为412， 故()44117128P F +=-=. （2）①由题可知：123Q =， 当2n ≥时，()1111111121214224545n n n n n n Q Q Q Q Q Q ----⎛⎫=+-=-⇒-=-- ⎪⎝⎭，124515Q -=即25n Q ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以415为首项，以14-为公比的等比数列.所以1124124151545154n n n n Q Q --⎛⎫⎛⎫-=⨯-⇒=+⨯- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭②因为每天购买盲盒的100人都已购买过很多次，所以，对于每一个人来说，某一天来购买盲盒时，可看作n →+∞，所以，其购买甲系列的概率近似于25假设用ξ表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则2100,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2100405E ξ=⨯=.即购买甲系列的人数的期望为40，所以礼品店应准备甲系列盲盒40个，乙系列盲盒60个.本题考查概率的实际运用，考查概率与数列的综合问题，解答本题的关键在于：（1）理解题目的意思，将问题灵活转化，利用排列与组合解决（1）中()5P E 及()4P F 的计算； （2）分析清楚n Q 与()12n Q n -≥之间的联系，类比已知数列递推关系式求通项公式的方法求解n Q ，然后利用n Q 的性质解题.。
最新--天津市南开中学高三第四次月考文科数学试题及答案 精品
天津市南开中学2018届高三第四次月考数学（文）试题说明：1．本试卷分第І卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.2．请将选择题的答案填涂在答题卡上，填空题、解答题答在答题纸上.第І卷（选择题共40分）一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请．将答案填涂在答题卡上．．．．．．．．．．!)1.复数143i i++的虚部是（）.A 125i.B125.C125i-.D1 25 -2.若m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题中真命题是( ).A若m⊥β，m∥α，则α⊥β.B若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β.C若m⊂β，α⊥β，则m⊥α.D若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ3. 已知变量,x y 满足约束条件22220,0x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎨⎪≥≥⎩则5z x y =+的最小值为（ ）.A 0 .B 1 .C 2.D 44.设,R x y ∈，则“922≥+y x ” 是“3>x 且3≥y ”的（ ）.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充分必要条件 .D 即不充分也不必要条件5.将函数cos 2y x =的图象向右平移π6个单位，得到cos(2)y x =+ϕ，(π,π]∈-ϕ的图象，则ϕ的值为（ ）.A π6 .B π6- .C π3.D π3-6.设112450.8,0.7,log 0.3a b c ===，则c b a ,,的大小关系是（ ） .A b c a >> .B b a c >> .C c a b >> .D c b a >>7. 已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）.A 2233110025x y -= .B 221205x y -= .C 2233125100x y -= .D 221520x y -= 8. 设定义域为R 的函数|1251,0,()44,0,x x f x x x x -⎧-≥=⎨++<⎩若关于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++=有7个不同的实数解，则m =( )..A 2 .B 4或 6 .C 2或 6.D 6第Ⅱ卷（非选择题共110分）二．填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分．请．将答案填在答题纸上．．．．．．．．．!) 9.在如图的程序框图中，输出的值为x，则123log x x += .10.已知等差数列,6,2},{31==a a a n 若将541,,a a a 都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为 .11.已知01x <<，则141xx+-的最小值为 .12.如右图,PT 切圆O 于点T,PA 交圆O 于A 、B 两点，且与直径CT 交于点D ，CD ＝2PB ＝ ．13.在圆722:22=---+y x y x C 上总有四个点到直线43:=++m y x l 的距离是1，则实数m的取值范围是____________.14.已知非零向量AB 与AC 满足()0AB AC BC ABAC+⋅=，且||AB AC -=|AB + |AC =点D 是△ABC 中BC 边的中点，则AB BD ⋅= _______. 三、解答题：（本答题共6小题，15至18小题每题13分，19至20小题每题14分，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.(本小题满分13分)城市公交车的数量若太多则容易造成资源的浪费；若太少又难以满足乘客需求。
天津市南开中学2021年高三第五次月考数学试题与答案
天津市南开中学2021年高三第五次月考数学试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知集合(){}|ln 1A x y x ==-，集合{}|e ,x B y y x ==∈R ，（e 为自然对数的底）则A B =（A ） {}|1x x <（B ） {}|1x x >（C ） {}|01x x << （D ） ∅ （2）在△ABC 中，“45A >”是“sin A >”的 （A ） 充分不必要条件 （B ） 必要不充分条件 （C ） 充分必要条件（D ） 既不充分也不必要条件（3）棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标．在一批棉花中随机抽测了50根棉花的纤维长度(单位：mm)，其频率分布直方图如图所示．根据频率分布直方图，估计事件“棉花的纤维长度大于275mm”的概率为（A ） 0.30（B ） 0.48（C ） 0.52 （D ） 0.70（4）已知3log 4a =，212b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，131log 6c =，则a ，b ，c 的大小关系为（A ） a b c >> （B ） b c a >> （C ） c a b >> （D ） b a c >>（5）设直线20x y ++=与x 轴和y 轴相交于点A 和B ，点P 在圆()2222x y -+=上，则△ABP 的面积的取值范围为 （A ） []2,6（B ） []4,8（C ）（D ）⎡⎣ （6）函数()2e e 2x xf x x x --=+-的部分图象大致为（A ）（B ）（C ）（D ）（7）将函数()2cos 2f x x x =-的图象向左平移π6个单位后，得到函数()g x 的图象．给出下列结论：①()2sin 2g x x =；①()g x 的最小正周期为π；①()g x 的图象关于直线π3x =-对称；①()g x 在区间ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增．其中所有正确结论的序号是 （A ） ①①（B ） ①①①（C ） ①①①（D ） ①①（8）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F 和2F ．若在双曲线的左支上存在点M ，使得217MF MF =，则此双曲线离心率的最大值为 （A ）43（B ）53（C ） 2（D ）73（9）已知函数()22g x x =-和()()()()()3,,,.g x x x g x f x g x x x g x ++<⎧⎪=⎨-⎪⎩≥当函数()3y f x a x =-+的零点个数最多时，a 的取值范围为（A ）[]3,4 （B ） ()()3,45,+∞（C ）()[)3,45,+∞（D ） [)[)3,45,+∞二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．（10）i 是虚数单位，()Re z 表示复数z 的实部，()Im z 表示z 的虚部，z 表示z 的共轭复数．若复数z 满足()1i 73i z -=+，则()()Re Im z z +=___________．（11）在2nx ⎫⎪⎭的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于___________．（12）直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒，则该球的表面积等于___________．（13）已知一个袋子中共装有1个黑球，2个白球，3个红球．现从袋子中摸出3个球，假设每个球被摸出的可能性是相等的，则摸出的白球比黑球多一个的概率为___________．记摸出的白球的个数为X ，则随机变量X 的数学期望为___________． （14）若a ，b 均为正实数，且21a b +=，则1a b ab++的最小值为___________． （15）如图，在梯形ABCD 中，ABCD ，5AB =，36AD DC ==．点E 为线段BC 上的一个动点，且20AC BD ⋅=，则cos BAD ∠的值为___________，AE DE ⋅的最小值为___________．三、解答题：本大题共5个小题，共75分． （16）（本小题满分14分）在△ABC中，BC ，3AC =，sin 2sin C A =． （1）求AB 的值； （2）求πsin 24A ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.（17）（本小题满分15分）如图，梯形ABCD 中,//AD BC ，AD AB ⊥，22AB BC AD ===．四边形CDEF为矩形，CF =CDEF ⊥平面ABCD ．（1）求证：//DF 平面ABE ；（2）求平面ABE 与平面BEF 所成锐二面角的余弦值； （3）在线段DF 上是否存在点P ，使得直线BP 与平面ABE？若存在，求出线段BP 的长；若不存在，请说明理由．A（18）（本小题满分15分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左顶点和右焦点分别为A 和F ，点B 为它的一个短轴端点．已知△ABF 的面积为3b a．（1）求椭圆C 的离心率；（2）经过点F 且不与坐标轴垂直的直线l 与椭圆C 交于M 和N 两点，线段MN 的垂直平分线与x 轴交于点P ．当l 变化时，是否存在常数λ，使得MN PF λ=恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．（19）（本小题满分15分）已知正项数列{}n a 的首项为1，其前n 项和为n S ，满足()21n n n S a a =+． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列()212n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n A ．求证：对任意正整数n ，都有12n A <； （3）设数列{}n b 满足12nn n b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其前n 项和为n T ．若存在正整数n ，使得不等式()11222n n n n nT λ---<+-成立，求实数λ的取值范围．（20）（本小题满分16分）已知函数()()()22ln 12f x x ax x x =+++-①①1）若0a =，求函数()f x 在点()()e 1,e 1P f --处的切线方程； ①2）若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >① ①3）若0x =是()f x 的极大值点，求a ①天津市南开中学2021年高三第五次月考数学试题答案一．选择题 ：CBCBA ACAB 二．填空题：（10）3- （11）112（12）20π （13）720，1（14） 7 （15）13，9533三．解答题： （16）解：（Ⅰ）在中，根据正弦定理，sin sin AB BCC A=，于是sin 2sin BCAB CBC A=== （Ⅱ）在ABC ∆中，根据余弦定理，得222cos 2AB AC BC A AB AC+-=⋅于是sin 5A ==， 从而2243sin 22sin cos ,cos 2cos sin 55A A A A A A ===-=sin 2sin 2cos cos 2sin 44410A A A πππ⎛⎫-=-=⎪⎝⎭． （17）解：（1）取BC 中点G ，连接DG .112BG BC ∴== //AD BC ，1AD =AD BG ∴∥，①四边形ABGD 为平行四边形//DG AB ∴ AD AB ⊥AD DG ∴⊥①平面EDCF ⊥平面ABCD四边形EDCF 为矩形ED DC ⊥，平面EDCF平面ABCD DC =ED ∴⊥平面ABCD如图，以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DG 所在直线为y 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，则(1,0,0)A ，(1,2,0)B，(E，(F -，(1,BE =--，(0,2,0)AB =设平面ABE 的一个法向量为(),,n x y z =，2020x y y ⎧--=⎪∴⎨=⎪⎩不妨设x =0y =，则1z =，()3,0,1n =∴又(DF =-30DF n ∴⋅=-=DF n ∴⊥又DF ⊂/平面ABE//DF ∴平面ABE（2）(1,BE =--，(BF =- 设平面BEF 的一个法向量为()111,,m x y z =，111112020x y x ⎧--+=⎪∴⎨-+=⎪⎩.不妨设1x =1y =，14z=，()23,4m =.设向量m 与n 的夹角为θ，则cos m n m n θ⋅=⋅⋅cos 31θ===∴ ①平面ABE 与平面EFB 所成二面角的余弦值为31（3）设(()[],2,0,1DP DF λλλλλ==-=-∈，则(),2P λλ-，所以()1,2BP λλ=---，又平面ABE 的一个法向量为()3,0,1n =，即直线BP 与平面ABE 所成角为α，则(sin cos ,BP n BPn BP nα⋅=<>===⨯-，整理得28610λλ-+=，解得12λ=或14λ=， 当12λ=时，3,2BP ⎛=-- ⎝⎭，则2BP =； 当14λ=时，53,42BP ⎛=-- ⎝⎭，则2BP =； 综上2BP =，即在线段DF 上存在点P ，使得直线BP 与平面ABE BP 的长为2.（18）解：（1）设椭圆的半焦距为c ,由已知得()31.2b a c b a+= 即2()2a a c b +=，又222b a c =-，所以2220c ac a +-=. 即(2)()0c a c a -+=，由,a c 均大于零，于是2c a =. 解得12c e a ==，即椭圆C 的离心率为12.(2)由(1)知,22224,3==a c b c ,所以椭圆C 的方程可化为2223412x y c +=.设直线MN 的方程为(0)x ty c t =+≠,代入2223412x y c +=并整理得()22234690(0)t y cty c ++-=∆>.设()()1122,,,M x y N x y .则212122269,3434ct c y y y y t t --+==++. 由弦长公式.得||MN =()2212134t c t +==+. 设线段MN 的中点坐标为()00,x y .则120002234,23434y y ct cy x ty c t t +-===+=++. 则MN 的垂直平分线方程为22343434ct c y t x t t ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭. 令0y =,得点P 的横坐标为234p cx t =+.于是()22311||||344p t cPF c x MN t +=-==+.故存在常数4λ=满足条件.（19）解：解析：（1）22n n n S a a =+，当2n ≥时，21112n n n S a a ---=+，两式相减得：22112n n n n n a a a a a --=-+-，所以11()(1)0n n n n a a a a --+--=．因为数列{}n a 为正项数列，故10n n a a -+≠，也即11n n a a --=， 所以数列{}n a 为以1为首项1为公差的等差数列，故通项公式为*,n a n n N =∈.（2）1234n n A a a a a a =+++++22222111113456(2)n =+++++1111111111()()()()()2334455612n n <-+-+-+-++-++ 111222n =-<+所以，对任意正整数n ，都有12n A <成立. （3）易知2n n nb =，则 23111111123(1)22222n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯①231111111112(2)(1)222222n n n n T n n n -+=⨯+⨯++-⨯+-⨯+⨯① ①-①可得：2111111121222222n n n n n T n +++=+++-⨯=-故222n n n T +=-，所以不等式112(2)222n n n λ---<--成立，若n 为偶数，则1122222n n n λ---<--，所以211112()122n n λ-->-⨯++设111(0,]22n t -=∈，则2221(1)y t t t =-++=-在1(0,]2单调递减，故当12t =时，min 14y =，所以14λ>；若n 为奇数，则1122222n n n λ--<--，所以211112()122n n λ--<⨯--设11(0,1]2n t -=∈，则2221(1)y t t t =--=--在(0,1]单调递增，故当1t =时，max 0y =，所以0λ< 综上所述，λ的取值范围0λ<或14λ>. （20）解：（1）当0a =时，()()()2ln 12f x x x x =++-①()()ln 11x f x x x=+-+'. ()e e 31f -=-， ()e 1e 1f '-=，故点()()e 1,e 1P f --处的切线方程为：()()1e e 1e 3y x --=-+，即121e e ey x =+-+.（2）设函数()()()ln 11x g x f x x x==+-+'，则()()21x g x x ='+.当10x -<<时，()0g x '<；当0x >时，()0g x '>.故当1x >-时，()()00g x g ≥=，且仅当0x =时，()0g x =，从而()0f x '≥，且仅当0x =时，()0f x '=. 所以()f x 在()1,-+∞单调递增.又()00f =，故当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >.①3①①i ）若0a ≥，由（1）知，当0x >时，()()()()2ln 1200f x x x x f ≥++->=，这与0x =是()f x 的极大值点矛盾.①ii ）若0a <，设函数()()()222ln 122f x xh x x x ax x ax==+-++++.由于当min{x <时，220x ax ++>，故()h x 与()f x 符号相同. 又()()000h f ==，故0x =是()f x 的极大值点当且仅当0x =是()h x 的极大值点.()()()()()()()222222222221246111212x ax x ax x a x ax a h x x x ax x ax x ++-++++=-=++++++'. 如果610a +>，则当6104a x a +<<-，且min{x <时，()0h x '>，故0x =不是()h x 的极大值点.如果610a +<，则224610a x ax a +++=存在根10x <，故当()1,0x x ∈，且min{x <时，()0h x '<，所以0x =不是()h x 的极大值点.如果610a +=，则()()()()322241612x x h x x xx -=+--'.则当()1,0x ∈-时，()0h x '>；当()0,1x ∈时，()0h x '<.所以0x =是()h x 的极大值点，从而0x =是()f x 的极大值点综上，16a =-.。
重庆市南开中学2021届高三教学第四次质量检测数学试卷
重庆南开中学高2021级高三第四次质量检测数学试题2020.12命审单位：重庆南开中学(考试时间： 120 分钟 试卷满分：150分 ) 注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本 题 共 8小题，每小 题 5 分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合2{||430},{|0}1x A x x x x B x x =∈++=+Z ≤≥，则A ∩B ＝ A.[－3，－1] B.[－3，－1)C.{－3，－2，－1}D.{－3，－2}2. “实数a , b , c 成等比数列”是“b 2=ac ”的A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3. 已知直线l 1: (m + 1)x +2y -l=0=, l 2:8x + (m + l) y - m + l=0,若l 1//l 2,则m =A.-1B. -5C. -1 或3D. 3 或-54. 在△ABC 中，AC = ( 2 , 3 )， (2,3)BA BC +=-, 则||AB =A. 2B. 3C. 4D. 65. 设抛物线y 2 =2px (p > 0)的焦点为F , P (a ,2)为抛物线上一点，若|PF |=2,则p =A.12 .B. 1C. 2D. 526. 《孙子算经》记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、侯、公，一共五级．现每个级别的诸侯分别有1,2,3,4,5人，按照如下规则给他们分发一批苹果：同一等级的诸侯所得苹果数依次为a 1,a 2,a 3,…，且满足a k +1=a k +k (k ∈N*)；任一等级诸侯所得苹果数年最多的比高一级的诸侯所得苹果数最少的少一个．现已知等级为男的诸侯所得苹果数为1,则这批苹果共有( )个．A. 158B. 159C. 160D.1617. 已知复数z 满足|z -2|=|z -1-i|(i 为虚数单位)，则|z -2i|+|z |的最小值为A.2B. 5C.3D.10 8. 实数x , y 满足424e(2)e x y x y -=+, 则22x y x y x ++的最小值为 A.2 B.7 C. 7 D.4二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届天津市南开中学2018级高三上学期一模考试数学试卷参考答案
a
0
时，原不等式可化为
x
2 a
x
1
0
，
若 0 a 2 ，则不等式的解为1 x 2 ； a
天津市南开中学 2021 届高三数学统练
若 a 2 ，则不等式的解为 ；
若 a 2 ，则不等式的解为 2 x 1 . a
综上，当
a
0
时，不等式的解为
,
2 a
1, ，当 a 0 时，不等式的解为 1, ，
当
0
a
2
时，不等式的解为
1,
2 a
，当
a
2
时，不等式的解为
，
当
a
2
时，不等式的解为
2 a
,1
.
19、
2
2021届天津市南开中学2018级高三上学期一模考试数学试卷
20、
天津市南开中学 2021 届高三数学统练
3
2021届天津市南开中学2018级高三上学期一模考试数学试卷
当
a
2
时，解集为
x
1≤
x≤
2
a
2 原不等式可化为 ax 2 0 即 ax 2 x 1 0 ，
x 1
当 a 0 时，不等式的解为 x 2 或 x 1 ； a
当 a 0 时，原不等式可化为 x 1 0 即 x 1 ；
1
2021届天津市南开中学2018级高三上学期一模考试数学试卷
当
统练 1 参考答案
天津市南开中学 2021 届高三数学统练
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
B
A
C
C
A