大学一年级高数期末考试题及答案
第一学期高等数学期末考试试卷答案
一．计算题（本题满分35分，共有5道小题，每道小题7分），
1．求极限．
解：
．
2．设时，与是等价无穷小，与等价无穷小，求常数与．
解：
由于当时，与等价无穷小，所以．而
所以，．因此，．
3．如果不定积分中不含有对数函数，求常数与应满足的条件．
解：
将化为部分分式，有
，
因此不定积分中不含有对数函数的充分必要条件是上式中的待定系数
．
即．
所以，有．
比较上式两端的系数，有．所以，得．
5．计算定积分．
解：
．
所以，．
5．设曲线的极坐标方程为，求曲线的全长．
解：
曲线一周的定义域为，即．因此曲线的全长为
．
二．（本题满分45分，共有5道小题，每道小题9分），
6．求出函数的所有间断点，并指出这些间断点的类型．
解：
．
因此与是函数的间断点．
，，因此是函数的第一类可
去型间断点．
，，因此是函数的第一类可去型
间断点．
7．设是函数在区间上使用Lagrange（拉格朗日）中值定理中的“中值”，
求极限．
解：
在区间上应用Lagrange中值定理，知存在，使得
．
所以，．因此，
令，则有
所以，．
8．设，求．
解：
在方程中，令，得
．
再在方程两端对求导，得，
因此，
．
9．研究方程在区间内实根的个数．
解：
设函数，．
令，得函数的驻点．
由于，所以
，
．
因此，得函数的性态
⑴ 若，即时，函数在、、内
各有一个零点，即方程在内有3个实根．
⑵ 若，即时，函数在、内各有一个零
点，即方程在内有2个实根．
⑶ 若，即时，函数在有一个零点，即方程
在内有1个实根．
10．设函数可导，且满足
，．
试求函数的极值．
解：
在方程中令，得，即
．
在方程组中消去，得
．
积分，注意，得．即
．
由得函数的驻点．而．所以，
，．
所以，是函数极小值；是函数极大值．
三．应用题与证明题（本题满分20分，共有2道小题，每道小题10分），
11．求曲线的一条切线，使得该曲线与切线及直线和所围成的图形绕轴旋
转的旋转体的体积为最小．
解：
设切点坐标为，由，可知曲线在处的切线方程为
，或．
因此所求旋转体的体积为
所以，．得驻点，舍去．由于
，因而函数在处达到极小值，而且也是最小值．因此所求切
线方程为．
12．设函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且
，．
证明：至少存在一点，使得．
解：
因为在闭区间上连续，所以由积分中值定理，知存在，使得
．
由于，所以，．再由，得
．
作函数，则函数在区间上连续，在区间内可导．所以由
Rolle中值定理，存在，使得．而
．
所以存在，使得
．
由于，所以，即．
大一上学期(第一学期)高数期末考试题(有答案)
其通解为
y C1e x C2 e2x
1, r2 2.
2
1
代入初始条件 y(0)
y (0) 1，得
C1
, C2 3
3
y
2 e
x
故所求曲线方程为：
3
五、解答题（本大题 10 分）
1 e2 x 3
y 15. 解：（1）根据题意，先设切点为 ( x0 , ln x0 ) ，切线方程：
ln x0
1
(x x0
x0 )
设 ( x) 1 x ， ( x) 3 33 x，则当 x 1时（ ）
2.
1x
.
（A） ( x)与 (x) 是同阶无穷小，但不是等价无穷小； 是等价无穷小；
（B） ( x)与 (x)
（C） ( x) 是比 ( x) 高阶的无穷小； 无穷小 .
（D） ( x) 是比 (x) 高阶的
x
3.
F (x) 若
1
(1 q) f ( x) d x q f ( x)dx
0
q
1 [0, q ] 2 [ q,1]
q (1 故有：
q) f ( 1)
q (1
f ( 1) f ( 2)
q) f ( 2 )
0
q
1
f ( x) d x q f ( x )dx
0
0
证毕。
17.
x
F ( x) f ( t)dt , 0 x
证：构造辅助函数：
x 0, y 0 ， y (0) 1 10. 解： u x7 7 x6dx du
原式
1 (1 u)
11
du
(
2 )du
7 u(1 u) 7 u u 1
大一(第一学期)高数期末考试题及答案
大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有 4 小题 ,每小题 4分, 共 16分)1.设 f( x )cos x ( xsin x ), 则在x0处有() .（A） f (0)2（B）f(0)1（C） f (0)0（D） f ( x)不可导 .设( x)1x，(x)333，则当x1时（）2.1x x.（A）( x)与(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B） ( x)与 (x) 是等价无穷小；（C）( x)是比(x)高阶的无穷小；（D）( x)是比(x)高阶的无穷小 .若 F ( x) x(2t x)f(t)dt，其中 f ( x) 在区间上( 1,1)3.0二阶可导且f ( x ) 0 ，则（） .（A）函数 F ( x)必在x 0 处取得极大值；（B）函数 F ( x)必在x 0 处取得极小值；（C）函数 F ( x)在x0 处没有极值，但点(0, F (0))为曲线y F ( x) 的拐点；（D）函数 F (x)在x 0 处没有极值，点(0, F (0))也不是曲线y F ( x) 的拐点。
设 f ( x )是连续函数，且 f ( x )x21, 则 f ( x ) ()4.f( t )dtx2x22（A） 2（B） 2（D） x 2 .（C） x 1二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）5. 6.2lim ( 1 3 x ) sin xx.已知cosx是 f ( x) 的一个原函数 ,则 f ( x) cosx d x x x.lim (cos2cos22cos2n 1 )7.nn n n n. 12 x 2 arcsin x11x 2dx8.－1.2三、解答题（本大题有 5 小题，每小题8 分，共 40 分）9.设函数y y(x) 由方程 e x y sin( xy) 1 确定，求 y ( x ) 以及 y (0) .1x7求 x(1 x 7 ) dx.10.xe x，x01设 f ( x )求f ( x )dx．11. 2 x x 2， 0x 13112. 设函数 f (x)连续，g( x ) f ( xt ) dt lim f ( x)A0，且x 0 x，A为常数. 求g(x) 并讨论 g( x) 在x0 处的连续性 .113.求微分方程xy 2 y x ln x 满足y(1)9 的解.四、解答题（本大题10 分）14.已知上半平面内一曲线y y( x) ( x0) ，过点(01,)，且曲线上任一点M ( x0 , y0 )处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y轴、直线x x0 所围成面积的 2 倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程 .五、解答题（本大题 10 分）15.过坐标原点作曲线y ln x 的切线，该切线与曲线y ln x及 x 轴围成平面图形 D.(1)求 D 的面积 A；(2) 求 D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积V.六、证明题（本大题有 2 小题，每小题 4 分，共 8 分）16. 设函数 f ( x )在0,1 上连续且单调递减，证明对任意的q[ 0,1] ，q 1f ( x) d x q f ( x)dx0 0.17. 设函数 f ( x)在0,f ( x ) d x0f ( x ) cos x dx 0上连续，且 0，0.证明：在0,内至少存在两个不同的点1 , 2 ，使 f ( 1 )f ( 2 )0.（提xF ( x)f ( x )dx示：设0）解答一、单项选择题 (本大题有 4小题, 每小题 4 分,共 16分)1、 D2、A3、C4、C二、填空题（本大题有4 小题，每小题 4 分，共 16 分）5.e 6 1 ( cosx ) 2 c3..6. 2 x.7.2. 8.三、解答题（本大题有 5 小题，每小题 8 分，共 40 分）9. 解：方程两边求导e x y( 1 y ) c oxys( xy) ( y)y ( x ) e xy y cos(xy)e xy x cos(xy)x 0, y 0 ， y (0)110. 解： u x 77 x 6 dx du 原式 1 (1 u) 1 1 27 u(1 du ( u u )duu) 7 112ln | u 1|) c (ln |u |71ln | x 7 | 2 ln |1 x 7|C77 1 f ( x)dx 0 xe x dx 1 2x x 2dx11. 解： 33 0 0 xd( e x ) 1 1 ( x 1)2dx0 3 xe x e x 0 0 cos 2d (令 x 1 sin )3 24 2e 3112. 解：由 f (0)0 ，知 g(0) 0。
大一(第一学期)高数期末考试题及答案12427
大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x+（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(lim .6.,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)cos()()0x ye y xy xy y +''+++=cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：11233()2xf x dx xe dx x x dx---=+-⎰⎰⎰0123()1(1)xxd e x dx--=-+--⎰⎰00232cos (1sin )x xxe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
大一(第一学期)高数期末考试题及答案
页眉内容大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(l i m .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且)(0=⎰πx d x f ，cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)c o s ()()x ye y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：101233()2x f x dx xe dx x x dx---=+-⎰⎰⎰123()1(1)xxd e x dx--=-+--⎰⎰00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰ 令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
大一(第一学期)高数期末考试题及答案.
1. 设 f ( x ) = cos x ( x + sin x ), 则在 x = 0处有 (. 1 + x ，β ( x ) = 3 - 33 x ，则当x →1时（i0 x 是 f ( x ) 的一个原函数 ,x d x =7. n →∞ n (cos n + cos ⎰ x 2 arcsin x + 1大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分))（A ） f '(0) = 2（B ） f '(0) = 1 （C ） f '(0) = 0（D ） f ( x ) 不可导.2.设α ( x ) = 1 - x ）.（A ）α ( x )与β ( x ) 是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）α ( x )与β ( x )是等价无穷小；（C ） α ( x ) 是比 β ( x ) 高阶的无穷小； （D ） β ( x ) 是比 α ( x ) 高阶的 无穷小.3. 若 F ( x ) = ⎰ 0x (2t - x ) f (t )dt， 其 中f ( x ) 在 区 间 上 (-1,1) 二 阶 可 导 且f '( x ) > 0 ，则（）.（A ）函数 F ( x ) 必在 x = 0 处取得极大值； （B ）函数 F ( x ) 必在 x = 0 处取得极小值；（C ）函数 F ( x ) 在 x = 0 处没有极值，但点 (0, F (0)) 为曲线 y = F ( x ) 的拐点； （D ）函数 F ( x ) 在 x = 0 处没有极值，点 (0, F (0)) 也不是曲线 y = F ( x ) 的拐点。
4.设 f ( x )是连续函数，且 f ( x ) = x + 2 ⎰1 0f ( t )dt , 则 f ( x ) = ( )x 2x 2（A ） 2（B ） 2 + 2（C ） x - 1（D ） x + 2 .二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）2 5. l x →m( 1 +3 x) sinx =.6. 已知 cos x.则⎰ f ( x ) ⋅ cos xlim π 2 π 2 2πn + + cos 2n - 1n π ) =.1 2 8. － 1 .三、解答题（本大题有 5 小题，每小题 8 分，共 40 分）9. 设函数 y = y ( x )由方程 e x + y + sin( xy ) = 1确定，求 y '( x ) 以及 y '(0) .10.求 ⎰ 1 - x 7x (1 + x 7 ) d x .⎰ f ( x ) d x ．⎪g ( x ) = ⎰ f ( xt )dt M ( x , y ) 处切线斜率数值上等于此曲线与 x 轴、 y 轴、直线 x = x 所围成⎰ f ( x ) d x ≥ q ⎰ f ( x )dx⎰⎰ f ( x ) cos x dx = 0[0, π ]上连续，且 f ( x )d，02. 设函数 f ( x ) 在, ξ ，使 f (ξ1 ) = f (ξ2 ) = 0.（提证明：在 0, π 内至少存在两个不同的点 ξ11.⎧ x e - x ， x ≤ 0 设 f ( x ) = ⎨ 求⎪⎩ 2 x - x 2 ， 0 < x ≤ 11- 3112. 设函数 f ( x ) 连续， 0g '( x ) 并讨论 g '( x ) 在 x = 0 处的连续性.lim f ( x ) = A ，且 x →0 x，A 为常数. 求13. 求微分方程 xy ' + 2 y = x ln x 满足 y(1) =-19 的解.四、 解答题（本大题 10 分）14. 已知上半平面内一曲线 y = y ( x ) ( x ≥ 0) ，过点 (0,1) ，且曲线上任一点面积的 2 倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程 .五、解答题（本大题 10 分）15. 过坐标原点作曲线 y = ln x 的切线，该切线与曲线 y = ln x 及 x 轴围成平面图形 D.(1) 求 D 的面积 A ；(2) 求 D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有 2 小题，每小题 4 分，共 8 分）1. 设 函 数 f ( x ) 在 [0,1 ] 上 连 续 且 单 调 递 减 ， 证 明 对 任 意 的 q ∈ [0, 1] ，q 1.( ) π π x = 01 2.F ( x ) =x⎰f ( x )dx示：设0 ）( ) 2 + c5. .6. 2 x .7. 2 .8. .) s ' ( 原式 = ⎰ (1 - u ) du = 1 ⎰ ( 1 - 2 )du7 x = ⎡⎣ - xe - x - e - x ⎤⎦ 0+ ⎰ 0cos 2 θ d θ 令x - 1 = sin θ ) πg ( x ) = ⎰ f ( xt )dt = xt = u⎰ f ( u )duxf ( x ) - ⎰ f (u )du⎰ f (u )dux 2= lim解答一、单项选择题(本大题有 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）1 cos xπ π e 6 3 三、解答题（本大题有 5 小题，每小题 8 分，共 40 分） 9. 解：方程两边求导e x + y ( 1+ y ' +c o xy ( xy ) + y = )y '( x ) = -e x + y + y cos( xy )e x + y + x cos( x y )x = 0, y = 0 ， y '(0) = -110. 解： u = x 7 6dx = du17 u (1 + u ) 7 u u + 1 1= (ln | u | -2ln | u + 1|) + c 7 1 2= ln | x 7 | - ln | 1 + x 7 | +C 7 711. 解：⎰ 1 -3 f ( x )dx = ⎰ 0 xe - x d x + ⎰ 1 2 x - x 2 dx-3 0= ⎰ 0xd (-e - x) + ⎰ 1 1 - ( x - 1)2 dx-3(-3-2= π- 2e 3 - 1412. 解：由 f (0) = 0 ，知 g (0) = 0 。
大一下学期高数期末试题及答案
大一下学期高数期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数$f(x)=x^2-4x+4$的最小值是（）A. 0B. 1C. 4D. 3答案：D2. 极限$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$的值是（）A. 0B. 1C. 2D. $\infty$答案：B3. 曲线$y=x^3$在点$(1,1)$处的切线斜率是（）A. 0B. 1C. 3D. 12答案：C4. 微分方程$y''-2y'+y=0$的通解是（）A. $y=e^{tx}$B. $y=e^{t}(C_1 \cos t + C_2 \sin t)$C. $y=e^{tx}(C_1 + C_2x)$D. $y=(C_1 + C_2x)e^{tx}$答案：B二、填空题（每题5分，共20分）5. 函数$f(x)=\ln(x)$的定义域是______。
答案：$(0,+\infty)$6. 函数$f(x)=x^3-3x$的导数是______。
答案：$3x^2-3$7. 函数$f(x)=\frac{1}{x}$的不定积分是______。
答案：$\ln|x|+C$8. 函数$f(x)=\sin x$的原函数是______。
答案：$-\cos x+C$三、计算题（每题10分，共30分）9. 计算定积分$\int_{0}^{1} x^2 dx$。
答案：$\frac{1}{3}x^3|_0^1 = \frac{1}{3}$ 10. 求极限$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$。
答案：$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$11. 求函数$f(x)=x^3-6x^2+11x-6$的极值。
答案：函数的极值点为$x=1$和$x=3$，其中$x=1$为极大值点，$x=3$为极小值点。
四、证明题（每题10分，共30分）12. 证明：$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$。
大一(第一学期)高数期末考试题及答案
大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有 4 小题 , 每题 4 分,共 16分)1. 设 f ( x )cos x ( x sin x ), 则 在 x0处 有() .（ A ） f (0)2（B ）f(0)1（ C ） f (0)（D ）f ( x )不行导 .2. 设 ( x)1 x， ( x ) 3 33 x ，则当 x 1时（） 1 x.（A ） ( x)与 (x) 是同阶无量小，但不是等价无量小； （B ） ( x)与 (x)是等价无量小；（C ） ( x)是比(x)高阶的无量小；（D ）( x)是比(x)高阶的无量小 .F ( x ) x ( 2t x ) f ( t ) dt3. 0， 此中 f ( x) 在 区 间 上 ( 1,1) 二阶可导且若f ( x ) 0 ，则（） .（A ）函数 F ( x)必在 x 0 处获得极大值；（B ）函数 F ( x)必在 x 0 处获得极小值；（C ）函数 F ( x) 在 x 0 处没有极值，但点 (0, F (0)) 为曲线 yF ( x) 的拐点；（D ）函数F ( x) 在 x 0 处没有极值，点 (0, F (0)) 也不是曲线 yF ( x) 的拐点。
设 f ( x )是 连续 函 数， 且 f ( x )x21)4. f ( t )dt , 则 f ( x ) (x 2x 22（A ） 2（B ）2（D ） x 2.（C ）x 1二、填空题（本大题有 4 小题，每题25.lim ( 13 x ) sin xx06. 已知cos x是 f ( x ) 的一个原函数 ,x.4 分，共 16 分）.则 f ( x )cos xd xxlim(cos 2 cos 2 2L cos 2 n 1 )7.nnnnn12x 2 arcsin x 1dx－ 11 x28..2三、解答题（本大题有 5 小题，每题 8 分，共 40 分）9. 设函数 y y(x) 由方程 ex ysin( xy )1确立，求y ( x )以及1 x 710.求x(1 x 7 ) dx ..y (0) .设 f ( x )xex，x求 1 f ( x )dx ．2 xx 2， 0 x1311.1lim f ( x)f (x)g( x )f ( xt ) dtA12.设函数 连续，，且xx， 为常数. 求Ag (x)并议论g ( x)在 x处的连续性 .y(1)113. 求微分方程xy2 y x ln x 知足 9的解.四、 解答题（本大题10 分），过点(01,)，且曲线上任一点14. 已知上半平面内一曲线yy( x )( x 0) M ( x 0 , y 0 ) 处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、 y 轴、直线x x所围成面积的 2 倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程 .五、解答题（本大题 10 分）15. 过坐标原点作曲线ylnx的切线，该切线与曲线yln x及 x 轴围成平面图形 D.(1) 求 D 的面积 A ；(2) 求 D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积V.六、证明题（本大题有 2 小题，每题 4 分，共 8 分）16. 设函 数 f ( x ) 在 0,1上 连 续 且单 调 递减 ，证 明对 随意 的 q [ 0,1] ，q1 f ( x ) d xq f ( x)dx.17. 设函数f ( x )在0,f ( x ) d xf ( x ) cos x dx 0上连续，且 0，0 .证明：在 0, 内起码存在两个不一样的点1 ,2，使f ( 1 ) f ( 2 ) 0.（提x F ( x )f ( x )dx示：设）解答一、单项选择题 (本大题有 4 小题, 每题 4 分, 共 16分)1、 D2、 A3、 C4、C二、填空题（本大题有4 小题，每题 4 分，共 16 分）5. e 61 ( cos x )2 c 3..6. 2 x .7.2. 8. 三、解答题（本大题有5 小题，每题 8 分，共 40 分） 9. 解：方程两边求导e x y (1 y ) cos( xy )( xyy) 0y ( x )e x yy cos(xy )exy x cos(xy )x0, y0 ， y (0)110. 解：ux 7 7 x 6 dx du原式1 (1 u ) du 1 ( 12 )du 7 u(1 u) 7 u u 112ln | u 1|)c(ln | u |71ln | x 7|2ln |1 x 7 | C771f ( x )dxxe1 2x x 2dx11. 解：xdx33xd ( e x)12dx1 ( x 1)3xexex0 0cos2d (令 x1 sin )324 2e 3 112. 解：由f (0)0 ，知 g(0)0。
大一(第一学期)高数期末考试题及答案(完整版).doc
大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x+（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(lim .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)cos()()0x y e y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：1033()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰03()x xd e --=-+⎰⎰0232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰ 令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
大学一年级医用高数期末考试题与答案
第一学期高等数学期末考试试卷答案第一学期高等数学期末考试试卷答案一．计算题（本题满分35 分，共有 5 道小题，每道小题7 分），1 cos x x2x1．求极限 lim．sin 3xx 0解：1 cosxx1 c o xs x2 x111 cosx x2x22limlimlimsin 3 xx 3x 3x 0x 0x 0x ln 1 cosxln 1 cosxx ln2xln21 cos x1 c oxslimex31 lime11 lim2lim2x 0x 0cosxx 0x3x 0x2x ln2lim1 s i nx 1 ．x 0 c o sx 2x4与 x 23x2．设 x0 时， f x 是等价无穷小，f t dt 与 Ax k 等价无穷小，求常数k 与 A ．2 0解：3x3xf t dt由于当 x0 时，f t dt 与 Ax k 等价无穷小，所以limk 1 ．而x 0 Ax3x21x3 1f t dtf3x22f3x2 3 3 x 2x 3 x 31lim 0lim3 3 x 2limlim limAxkk 12Akxk 1 6Akx k 1 6Akxk 1 x 0xAkxx 0x 0 x 0 x 32所以， lim11．因此， k1,A1．x6 Akx k 163．如果不定积分x 2 ax bdx 中不含有对数函数，求常数a 与b 应满足的条件．x1 2 1 x 2解：x2ax b化为部分分式，有将2x2x11x2ax b A B2Cx D ，2x 1x 1 1 x 2x 1 1 x2因此不定积分x2ax bdx 中不含有对数函数的充分必要条件是上式中的待定系数x 1 21 x2A C0．即x2 ax b B D B 1 x 2 D x 1 2 x 1 2 1x2x 1 2 1 x2x 1 2．1 x 2所以，有 x2ax b B 1x 2 D x 1 2B D x22Dx B D ．比较上式两端的系数，有1B D ,a2D,b B D ．所以，得b1．525．计算定积分min 1,x2dx ．解：m i n1,x2x2x21 1x211x12x1x2 x22x ．3 1x351252213所以， min1,x2dx1dx 2 x dx x 2 dx．00128 5．设曲线C的极坐标方程为r a sin 3，求曲线 C 的全长．3解：曲线 r a sin3一周的定义域为03，即 03．因此曲线 C 的全长为3322333s r r d26a2422 a ．a s i n s i n c o s d a s i n d00333032二．（本题满分 45 分，共有 5 道小题，每道小题9 分），6．求出函数 fxlimsin x的所有间断点，并指出这些间断点的类型．2 nn1 2 x解：sin x 1 x1 21sin xxf xlim2 2．n1 2n1 12 x2x21x2因此 x 11 与 x 21 是函数 fx 的间断点．22l i m f xl i m0 0， limf xlim sin x1 ，因此 x1是函数 f x 的第一类可x1 x1 x1 x 122222去型间断点．lim f xlim s i n x1 ， lim f xlim 0 0 ，因此 x1 是函数 f x 的第一类可去型x111x122xx22 2间断点．7．设 是函数 fx arcsinx 在区间 0, b 上使用 Lagrange （拉格朗日） 中值定理中的 “中值 ”，求极限 lim．b 0b解：f xa r c sixn 在区间 0,b 上应用 Lagrange 中值定理，知存在 0, b ，使得arcsinb arcsin01 ．b 01 2b2所以，2 1 ．因此，arcsinbb 22122arcsinbblimlima r c sib nb 2lim2b b 2 a rc s bin2t 22t 22l i m 2si n ts i n tl i m 22l i m4b 0bt 0t s i nt t 0tlim 2tsin 2t2 2 cos2t11 c o s2t12s i n2t 14t 3lim12t 2l i mt 2l i m3tt 06 t6 t 02t所以， limb1 ． b 031 x18．设 f xe y 2 ydy ，求f x dx ．0 0 解：11 1f x dxxfxxf x dx1 x在方程 f xe y 2ydy 中，令 x 1 ，得11f 1e y 2ydye y 2 y dy 0 ．1 xx 2再在方程 f xe y2ydy 两端对 x 求导，得 f xe 1，111因此，f x dxxfx1xf x dxxf x dx 0111 1 x 2dx e xex 2xedx ee21x 21e 1 ．29．研究方程 e x a x 2a 0 在区间,内实根的个数．解：设函数 f x ax 2 e x 1， f x 2axe xax 2e xax 2 x e x ．令 f x0，得函数 f x 的驻点 x 10, x 22 ．由于 a0 ，所以lim f xlim ax 2e xxxlim f xlim ax2e xxx1 ，1 a limx 21 a lim2x1 a lim2xxx 1 1 ．xexexe因此，得函数 f x 的性态x,000,222,f x00f x14ae 211⑴若 4ae210，即 a e2f x2x1在,0、0,2、2,内时，函数ax e4各有一个零点，即方程e x a x2在,内有 3 个实根．⑵若 4ae210，即 a e2x2x1在,0、0,内各有一个零时，函数 f ax e4点，即方程 e x a x2在,内有 2 个实根．⑶若 4ae210 ，即 a e2时，函数f x ax2e x1在, 0 有一个零点，即方程4e x a x 2在,内有 1 个实根．10．设函数 f x 可导，且满足f x x f x 1 ， f 00 ．试求函数 f x 的极值．解：在方程 f x x f x 1 中令 t x ，得 f t t f t 1 ，即f x x f x 1 ．f x xf x x中消去 f x，得在方程组xf x f x xf x x x 2．1x2积分，注意 f00，得x t t2．即f x f 001t 2dtx21ln 1f xt t 2 dtxx 2arctanx．1t2由 f xx x 2 得函数 f x 的驻点 x 1 0, x 21．而 f x1 2x x2 ．所以，1 x 21 x2 2f 01 0 ， f11 0 ．21所以， f0 0 是函数 f x 极小值； f11是函数 f x 极大值．ln 22 4三．应用题与证明题（本题满分20 分，共有 2 道小题，每道小题 10 分），11．求曲线y x 的一条切线，使得该曲线与切线 l 及直线 x 0 和 x 2 所围成的图形绕 x 轴旋转的旋转体的体积为最小．解：1 设切点坐标为 t, t ，由 y，可知曲线 yx 在 t,t 处的切线方程为2 tyt1 ，或 y1 x t ．x t2 t2 t因此所求旋转体的体积为 2V1 28 2x tx dx4 2t2 t4 3t所以，dV8 2 0 ．得驻点 t 2 ，舍去 t2 ．由于 dt 43t 233d 2V160 ，因而函数 V 在 t2处达到极小值，而且也是最小值．因此所求切dt 22 4 3t 2 t 3233线方程为 y3 1．x2412．设函数 fx 在闭区间0， 1 上连续，在开区间0， 1 内可导，且2e f xarctan xdx1， f 10 ．2证明：至少存在一点0， 1 ，使得 f1．12 arctan解：因为 f x 在闭区间0, 1 上连续，所以由积分中值定理，知存在2 0,，使得2e f x arctan xdx 2 e f arctan．02由于 e f x arctan xdx 1，所以，2e f arctan1．再由 f 10 ，得022e f arctan e f 1arctan 1．4作函数 g x e f x arctan x ，则函数在区间, 1 0, 1 上连续，在区间, 1 内可导．所以由Rolle 中值定理，存在,10, 1 ，使得 g0 ．而g x e f xe f x2．f x a r c t ax nx1所以存在,10, 1，使得e f f a r c t a n ef2 0．1由于 e f0 ，所以 f arctan120，即 f11．12 arctan。