北师大版初三数学一元二次方程应用题练习题
一元二次方程应用题 【例1】 某百货商店服装组在销售中发现"宝乐"牌童装平均每天可出售20件，每件盈利40元．为了迎接"六一"国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件，要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元?
【练一练】 1、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少?
【例2】 某企业生产某种产品，今年产量为200件，计划通过技术革新，使今后两年的产量都比前一年增长相同的百分数，这样，三年(包括今年)的产量达到1400件，求这个百分数． 【练一练】 1、某种产品的成本在两年内从100元降低到81元，求平均每年降低成本的百分率是多少?
2、哈尔滨市政府为了申办2010年冬奥会，计划用两年的时间把城市的绿地面积提高44%，若每一年比前一年提高的百分比相同，求这个百分数．
【例3】 有一个人收到短信后，再用手机转发短消息，经过两轮转发后共有144人收到短消息，问每轮转发中平均一个人转发给几个人?
【练一练】 1、某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是13，每个支干长出多少小分支? 32
3
5 33
7 9 11 34
13 15
17 19
2、某校九年级组织班篮球比赛，要求每班之间都进行两次比赛，共要比赛30场，问九年级共有多少个班参加比赛?
【双基演练一】 1．一个多边形有70条对角线，则这个多边形有________条边． 2．九年级（3）班文学小组在举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，全组共互赠了240本图书，如果设全组共有x名同学，依题意，可列出的方程是（ ） A．x（x+1）=240 B．x（x－1）=240 C．2x（x+1）=240 D．12x（x+1）=240 3．一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共（ ） A．12人 B．18人 C．9人 D．10人 4．学校组织了一次篮球单循环比赛，共进行了15场比赛，那么有几个球队参加了这次比赛?
【能力提升一】 5、32，33和34分别可以按如图所示方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，36也能按此规律进行“分裂”，则36“分裂”出的奇数中最大的是( )
A、41 B、39 C、31 D、29 【聚焦中考一】 6．（2008．福建南平市）有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ） A．8人 B．9人 C．10人 D．11人 7．（2008年聊城市）如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六 边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖．从里向外的第1层包括 6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，依此 递推，第8层中含有正三角形个数是（ ） A．54个 B．90个 C．102个 D．114个 【双基演练二】 1．某药品原来每盒售价96元，由于两次降价，现在每盒54元，则平均每次降价的百分数为_______． 2．某农场的粮食产量，若两年内从25万公斤，增加到30．25万公斤，则平均每年的增长率为_______． 3．某人在银行存了400元钱，两年后连本带息一共取款484元，设年利率为x，则列方程为__________________，解得年利率是_________． 4．某市2002年底人口为20万人，人均住房面积9m2，计划2003年、2004年两年内平均每年增加人口为1万，为使到2004年底人均住房面积达到10m，则该市两年内住房平均增长率必须达到
_________．（10=3．162，11=3．317，精确到1%） 5．某林场原有森林木材存量为a，木材每年以25%的增长率生长，而每年冬天要砍伐的木材量为x，则经过一年木材存量达到________，经过两个木材存量达到__________． 6．某商品连续两次降价10%后为m元，则该商品原价为（ ） A．1.12m元 B．1．12m元 C．0.81m元 D．0．81m元 7．某钢铁厂去年1月份某种钢的产量为5000吨，3月份上升到7200吨，设平均每月的增长率为x，根据题意，得（ ） A．5000（1+x2）=7200 B．5000（1+x）+5000（1+x）2=7200 C．5000（1+x）2=7200 D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2=7200 8．某书城开展学生优惠购书活动，凡一次性购书不超过200元的一律九折优惠，超过200元的，其中200元按九折算，超过200元的部分按八折算．某学生第一次去购书付款72元，第二次又去购书享受了八折优惠，他查看了所买书的定价，发现两次共节省了34元，则该学生第二次购书实际付款________元． 【能力提升二】 9．某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，如果要使产量增加15．2%，那么应多种多少棵桃树?
【聚焦中考二】 10．（2008．河北省）某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007年投入3 000万元，预计2009年投入5 000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A．23000(1)5000x B．230005000x C．23000(1)5000x％ D．23000(1)3000(1)5000xx 11．(浙江省衢州市）某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是( ) A、256)x1(2892 B、289)x1(2562 C、256)x21(289 D、289)x21(256 12．（2008乌鲁木齐）．乌鲁木齐农牧区校舍改造工程初见成效，农牧区最漂亮的房子是学校．2005年市政府对农牧区校舍改造的投入资金是5786万元，2007年校舍改造的投入资金是8058．9万元，若设这两年投入农牧区校舍改造资金的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为 ． 【双基演练三】 1．三角形一边的长是该边上高的2倍，且面积是32，则该边的长是（ ）
A．8 B．4 C．42 D．82 2．将一块正方形铁皮的四个角各剪去一个边长为4cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，盒子的容积是400cm3，求原铁皮的边长．
3．学校原有一块面积为1500平方米的矩形操场，现将操场的一边增加了5米，另一边减少5米，围绕操场开辟了一圈绿化带，结果使操场的面积增加了150平方米，求出在操场的长和宽．
4．如图所示，要用防护网围成长方形花坛，其中一面利用现有的一段墙，且在与墙平行的一边开一个2米宽的门，现有防护网的长度为91米，花坛的面积需要1080平方米，若墙长50米，求花坛的长和宽． （1）一变：若墙长46米，求花坛的长和宽． （2）二变：若墙长40米，求花坛的长和宽． （3）通过对上面三题的讨论，你觉得墙长对题目有何影响? 5．张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体运输箱，且此长方体运输箱底面的长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔买这张矩形铁皮共花了多少钱?
6．一条长64cm的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形，若两个正方形的面积和等于160cm2，求两个正方形的边长．
7．如图，在长32米，宽20米的矩形草坪上建有两条等宽的弯曲小路，若草坪实际面积为540平方米，求中路的平均宽度． 【能力提升三】 8．如图，在Rt△ABC中∠B=90°，AB=8m，BC=6m，点M、点N同时由A、C两点出发分别沿AB、CB方向向点B匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后，△MBN的面积为Rt△ABC的面积的13?
9．图形的操作过程（本题中四个矩形的水平方向的边长均为a，竖直方向的边长均为b）： 在图①中，将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1（即阴影部分）； 在图②中，将折线A1A2A3向右平移1个单位到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B3B2B1（即阴影部分）． （1）在图③中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影； （2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积： S1=_________，S2=_________，S3=_________． （3）联想与探索： 如图④在一块矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少? 并说明你的猜想是正确的． G D
C B E
F A
H
【聚焦中考三】 10．（2008年遵义市）如图，矩形ABCD的周长是20cm，以ABAD，为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为268cm，那么矩形ABCD的面积是（ ） A．221cm B．216cm C．224cm D．29cm 11．（2008年巴中市）在长为am，宽为bm的一块草坪上修了一条1m宽的笔直小路，则余下草坪的面积可表示为 2m；现为了增加美感，把这条小路改为宽恒为1m的弯曲小路（如图6），则此时余下草坪的面积为 2m．
12．（2008年南京市）某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2:1．在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其它三侧内墙各保留1m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，
蔬菜种植区域的面积是2288m?
【双基演练四】 1．某种出租车的收费标准是：起步价7元（即行驶距离不超过3km都需付7元车费）；超过3km以后，每增加1km，加收2．4元（不足1km按1km计），某人乘出租车从甲地到乙地共支付车费19元，则此人从甲地到乙地经过的路程（ ）． A．正好8km B．最多8km C．至少8km D．正好7km
蔬菜种植区域 前 侧 空 地
北师大九年级上《一元二次方程应用题第2课时增长率、利润问题》同步练习有答案
第2课时增长率、利润问题1.2017·辽阳共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为()A．1000(1＋x)2＝1000＋440B．1000(1＋x)2＝440C．440(1＋x)2＝1000D．1000(1＋2x)＝1000＋4402．两个连续正奇数的乘积为483，则这两个正奇数分别为()A．19和21B．21和23C．20和22D．23和253．某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．为了减小库存，该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低________元．4．某商品的进价为每件20元，当售价为每件30元时，每天可卖出100件，现需降价处理，且经市场调查：每件每降价1元，每天可多卖出10件．现在要使每天利润为750元，每件商品应降价()A．2元B．2.5元C．3元D．5元5．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每件每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得到实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定为________元/件．6．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．据此规律，请回答：(1)商场日销售量增加________件，每件商品盈利________元(用含x的代数式表示)；(2)在上述条件不变、销售正常的情况下，当每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？7.为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子．根据市场预测，该品牌粽子每个售价为4元时，每天能售出500个，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个．为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子的售价不能超过进价的200%.请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使得超市每天的销售利润为800元．8．某超市一月份的营业额为200万元，第一季度的营业额为728万元，如果每月比上月增长的百分数相同，那么平均每月的增长率为()A．20%B．45%C．65%D．91%9．经过连续两次降价，某药品销售价格由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是________．10．“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量自2017年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售自行车100辆．若该商城前4个月的自行车销售量的月平均增长率相同，则该商城4月份卖出________辆自行车．11．某省为推广新能源汽车，计划连续五年给予财政补贴．补贴开始时间为2017年度，截止时间为2021年度．补贴期间后一年度的补贴额均在前一年度补贴额基础上递增．计划前三年，每年度按固定额度a亿元递增；后两年均在上一年的基础上按相同增长率递增．已知2018年度计划补贴额为19.8亿元．(1)若2019年度计划补贴额比2018年度至少增加15%，求a的取值范围；(2)若预计2017—2021这五年补贴总额比2018年度补贴额的5.31倍还多2.31a亿元，求后两年财政补贴的增长率．12．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排21场比赛，则参赛球队的支数是()A．5B．6C．7D．813．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小1，十位上的数字与个位上的数字之和是这个两位数的15，则这个两位数是________．14．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人；(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？15．2017·重庆A卷某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．(1)该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克．(2)该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同；该果农去年枇杷的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值．16．甲、乙两件服装的进价共500元，商场决定将甲服装按30%的利润定价，乙服装按20%的利润定价，实际出售时，两件服装均按九折出售，商场卖出这两件服装共获利67元．(1)求甲、乙两件服装的进价各是多少元；(2)由于乙服装畅销，制衣厂经过两次价格上调后，使乙服装每件的进价达到242元，求乙服装每件进价的平均增长率；(3)在(2)的基础上，若每件乙服装进价按平均增长率再次上调，商场仍按九折出售，定价至少为多少元时，乙服装才可获得利润(定价取整数)?1．A2．B3．0.34．D.5．566．解：(1)每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，降价x 元，可多售出2x 件，每件商品盈利(50－x )元，故答案为2x ；(50－x )．(2)根据题意，得(50－x )(30＋2x )＝2100，化简，得x 2－35x ＋300＝0，解得x 1＝15，x 2＝20.∵该商场为了尽快减少库存，∴x ＝15不合题意，舍去．∴x ＝20.答：当每件商品降价20元时，商场日盈利可达2100元．7．解：设该品牌粽子的定价为x 元/个(3<x ≤6)，则销售量为(500－10×x －40.1)个，每个粽子的利润为(x －3)元．由题意，得(x －3)(500－10×x －40.1)＝800，即x 2－12x ＋35＝0，解得x 1＝5，x 2＝7.∵x ≤6，∴x ＝5.答：该品牌粽子定价为5元/个时，可以使得超市每天的销售利润为800元．8．A9．50(1－x )2＝3210．125．11．解：(1)根据题意，得19.8×15%≤a ，解得2.97≤a .因此，a 的取值范围为a ≥2.97.(2)设后两年财政补贴的增长率为x ，根据题意，得19.8－a ＋19.8＋19.8＋a ＋(19.8＋a )×(1＋x )＋(19.8＋a )×(1＋x )2＝19.8×5.31＋2.31a ，即(19.8＋a )x 2＋3(19.8＋a )x －0.31(19.8＋a )＝0，x 2＋3x －0.31＝0，(x －0.1)(x ＋3.1)＝0，x 1＝0.1＝10%，x 2＝－3.1(舍去)．因此，后两年财政补贴的增长率为10%.12．C[13．4514．解：(1)设每轮传染中平均一个人传染了x 个人．根据题意，得1＋x ＋x (x ＋1)＝64，解得x ＝7或x ＝－9(舍去)．答：每轮传染中平均一个人传染了7个人．(2)64×7＝448(人)．答：如果不及时控制，第三轮将又有448人被传染．15．解：(1)设该果农今年收获樱桃x 千克，则收获枇杷(400－x )千克，根据题意，得400－x ≤7x ，解得x ≥50.因此，该果农今年收获樱桃至少50千克．(2)由题意可得：100(1－m %)×30＋200×(1＋2m %)×20(1－m %)＝100×30＋200×20，令m %＝y ，原方程可化为3000(1－y )＋4000(1＋2y )(1－y )＝7000，整理可得8y 2－y ＝0，解得y 1＝0，y 2＝0.125，∴m 1＝0(舍去)，m 2＝12.5.因此，m 的值为12.5.16．解：(1)设甲服装的进价为x 元，则乙服装的进价为(500－x )元．根据题意，得90%·(1＋30%)x ＋90%·(1＋20%)(500－x )－500＝67，解得x ＝300，500－x ＝200.答：甲服装的进价为300元，乙服装的进价为200元．(2)∵乙服装的进价为200元，经过两次价格上调后，使乙服装每件的进价达到242元，∴设乙服装每件进价的平均增长率为y ，则200(1＋y )2＝242，解得y 1＝0.1＝10%，y 2＝－2.1(不合题意，舍去)．答：乙服装每件进价的平均增长率为10%.(3)∵乙服装每件进价按平均增长率再次上调，∴再次上调价格为242×(1＋10%)＝266.2(元)．∵商场仍按九折出售，设定价为a 元，则0.9a －266.2＞0，解得a ＞26629.故当定价至少为296元时，乙服装才可获得利润．。
利用一元二次方程解决六种实际问题九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列(北师大版)[含答案]
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专题06利用一元二次方程解决六种实际问题（六种技巧精讲精练+过关检测）题型01传播问题【典例分析】【例1-1】（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）1．一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这项实验，若设1人每次能教会x 名同学，则可列方程为（ ）A ．()13x x x ++=B ．()2136x +=C ．()2136x x ++=D ．2136x x ++=【例1-2】（24-25九年级上·天津武清·阶段练习）2．某人用手机发短信，获得信息人也按他的发送人数发送该条短信，经过两轮短信的发送，共有90人手机上获得同一条信息，则每轮发送短信中，平均一个人向x 个人发送短信．则根据题意列出的方程是 ．【例1-3】（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）3．据最新监测数据显示，2024年流感疫情在全球范围内呈现出一定的波动，但总体趋势以甲型流感（A 型流感）为主．特别是A （H1N1）pdm09亚型流感病毒，成为当前最主要的流行毒株．某兴趣小组，通过收集数据，发现最开始如果有一个人患了甲流，经过两轮传染后共有81人患了流感，请问每轮传染中平均一个人传染了几个人？【变式演练】【变式1-1】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）4．有一个人患流感，经过两轮传染后共有64个人患流感．设每轮传染中平均一个人传染x 个人，则第三轮传染后共有（ ）个人患流感A ．7B ．8C ．448D ．512【变式1-2】（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）5．有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了 人．【变式1-3】（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）6．某年，猪肉价格不断上涨，主要是由非洲猪瘟疫情导致，非洲猪瘟疫情发病急，蔓延速度快，某养猪场第一天发现1头生猪发病，两天后发现共有196头生猪发病．(1)求每头发病生猪平均每天传染多少头生猪？(2)若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，3天后生猪发病头数会超过2500头吗？题型02单循环（握手）或双循环（互送贺卡）问题【典例分析】【例2-1】（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）7．元旦将至，九（1）班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有x 名学生，那么所列方程为（ ）A ．21980x =B ．()11980x x +=C ．()1119802x x -=D ．()11980x x -=【例2-2】（22-23九年级上·广东肇庆·期末）8．在元旦庆祝活动中，每个参加活动的同学都给其余参加活动的同学各送1张贺卡，共送贺卡42张，设参加活动的同学有x 人，根据题意，可列方程是【例2-3】（23-24九年级上·陕西西安·期中）9．在参加学校组织的毕业典礼后，数学社团中的每两个九年级同学之间都通过握手来告别，如果所有九年级学生一共握手55次，那么该校数学社团共有多少名九年级学生？【变式演练】【变式2-1】（23-24九年级上·湖北武汉·期中）10．参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手28次，有多少人参加聚会？（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【变式2-2】（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）11．国庆节老同学聚会，每两个人都握一次手，所有人共握手78次，则参加聚会的有 人．【变式2-3】（21-22九年级上·安徽芜湖·期末）12．无为市某中学九年级学生数学交流会上，每两名学生握手一次，统计后发现共握手66次，求参加这次数学交流会的学生有多少人？题型03数字问题【典例分析】【例3-1】（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）13．若一个两位数比它的十位数字与个位数字和的平方少2，且个位数字比十位数字大1，则这个两位数是（）A．23B．34C．23或34D．–23或–34【例3-2】（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）14．一个两位数比它的十位上的数字与个位上的数字之积大40，已知十位上的数字比个位上的数字大2，则这个两位数是．【例3-3】（23-24九年级上·吉林·阶段练习）15．如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是119，请求出最小数与最大数分别是多少．【变式演练】【变式3-1】（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）16．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是（）A．26B．84C．48D．62【变式3-2】（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）17．若两个负数的差为4，且它们的积为45，则这两个数中较小的数是.【变式3-3】（24-25九年级上·陕西渭南·阶段练习）18．2024年7月1日是建党一百零三周年，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为128，求这个最小数．（请用方程的知识解答）题型04与一次函数综合问题【典例分析】【例4-1】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）19．某超市购进一种水果，每箱进价是40元．超市规定每箱售价不得少于45元，根据以往经验发现：当售价定为每箱45元时，每天可以卖出700箱．每箱售价每提高1元，每天要少卖出20箱．(1)求出每天的销量y（箱）与每箱售价x（元）之间的函数关系式，并直接写出x的范围；(2)当每箱售价定为多少元时，每天的销售利润w（元）最大？最大利润是多少？【例4-2】（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）20．传统文化端午节前夕，某批发部购入一批进价为7元/袋的粽子，销售过程中发现：日销量y（袋）与售价x（元/袋）满足如图所示的一次函数关系．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当每袋粽子的售价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大日销售利润是多少元？【例4-3】（23-24九年级上·山东淄博·期中）21．为了促进旅游经济发展，淄川区某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元．销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：销售单价x（元/件）…354045…每天销售数量y（件）…908070…(1)求出y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围．(2)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？（友情提示：一定注意自变量取值范围）【变式演练】【变式4-1】（24-25九年级上·山东临沂·阶段练习）22．“疫情”期间某公司推出一款消毒产品，成本价6元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于15元/千克．经过市场调查，该产品的日销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间满足一次函数关系，该产品的日销售量与销售单价几组对应值如表：销售单价x（元/千克）101214日销售量y（千克）200180160(1)求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)当销售单价定为多少元/千克时，日销售利润最大，最大利润为多少？（日销售利润＝日销售量×（销售单价﹣成本单价））【变式4-2】（2024九年级上·浙江·专题练习）23．某商场销售一款篮球，每个篮球进价50元，经市场部调查发现：当篮球的销售单价为60元时，该款篮球的日均销售量为200个，当销售单价在60元到95元之间浮动时（含60元与95元），每个篮球的售价每增加4元，日均销售量减少20个，设该款篮球的销售单价为x元，请回答下列问题：(1)写出该款篮球的日均销售量y（个）与x（元）之间的函数关系式：___________．(2)求当x为多少时，销售该款篮球的日均利润w（元）存在最大值，并求出最大值．(3)若该款篮球的日均销量不低于100个，销售利润至少为2405元，则该款篮球的销售单价应定在什么范围内？【变式4-3】（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）24．某服装公司的某种运动服进价为每件60元，每月的销量y（件）与售价x（元）存在一次函数关系，部分数据信息如表：售价x（元/件）100110120130月销量y（件）200180160140(1)月销量是y=．（请用含x的式子表示）(2)设销售该运动服的月利润为W元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？a a>元利润给希望工程，物价部门规定该运动(3)该公司决定每销售一件运动服，就捐赠()0服售价不得超过120元．若月销售最大利润是8800元，求a的值．题型05与特殊平行四边形结合应用【典例分析】【例5-1】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）25．菱形ABCD的一条对角线长为5，边AB的长是方程2560-+=的一个根，则菱形x xABCD的周长为（）A．8B．11C．12D．12或8【例5-2】（23-24九年级上·天津·期中）=，则BD=，根据26．如图，一个菱形两条对角线长的和是10，面积是12．设AC x题意可列方程为．【例5-3】（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）27．如图，李叔叔想用长为70m 的栅栏，再借助房屋的外墙（墙的长度为35m ）围成一个矩形羊圈ABCD ，并在边BC 上留一个2m 宽的门（建在EF 处，另用其他材料）(1)当羊圈的长和宽分另为多少米时，能围成一个面积为2640m 的羊圈？(2)羊圈的面积能达到2650m 吗？如果能，请给出设计方案；如果不能，请说明理由．【变式演练】【变式5-1】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）28．如图，某小区计划在一块长为30m ，宽为21m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为2560m ．设道路的宽为m x ，则所列方程正确的是（ ）A ．()()30213021560x x --=´-B ．302213021560x x +´=´-C ．2302212560x x x +´-=D ．()()30221560x x --=【变式5-2】（21-22九年级上·云南昆明·阶段练习）29．菱形ABCD 的一条对角线长为6cm ，其边长是方程22150x x --=的一个根，则菱形ABCD 的面积为 cm 2．【变式5-3】（21-22九年级上·贵州铜仁·阶段练习）30．已知平行四边形ABCD 的两邻边AB 、AD 的长是关于x 的方程 ()244210x mx m -+-=的两个实数根．（1）当m 为何值时，平行四边形ABCD 是菱形？（2）若AB 的长为2，那么平行四边形ABCD 的周长是多少？题型06与三角形结合应用【典例分析】【例6-1】（20-21九年级上·广东惠州·阶段练习）31．一个三角形两边长为3和6，第三边的边长是(3)(4)0x x --=的根，则这个三角形的周长是（ ）A ．12B ．13C ．12和13D ．12或13【例6-2】（23-24九年级上·甘肃定西·期中）32．如图，三角形ABC 中，90,8cm,4cm C AC BC Ð=°==，一动点P 从C 出发沿着CB 边以1cm /s 的速度运动，另一动点Q 从A 出发沿着AC 边以2cm /s 的速度运动，P ，Q 两点同时出发，运动时间为(s)t ．当t 为 秒时，PCQ △的面积为4．【例6-3】（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）33．已知关于x 的一元二次方程()2240a c x bx a +--=，其中a 、b 、c 分别为ABC V 三边的长．(1)如果2x =是方程的根，试判断ABC V 的形状，并说明理由；(2)如果ABC V 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．【变式演练】【变式6-1】（22-23九年级上·辽宁辽阳·期末）34．三角形两边的长分别是7和11，第三边的长是一元二次方程()222525x x -=-的一个实数根，则该三角形的周长是（ ）A ．23B ．23或33C ．24D ．24或30【变式6-2】（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）35．已知关于x 的一元二次方程()()22121c x bx a x --=+，其中a 、b 、c 分别为ABC V 三边的长，如果方程有两个相等的实数根，则ABC V 的形状为 ．【变式6-3】（23-24九年级上·内蒙古赤峰·期中）36．已知关于x 的一元二次方程()()220a b x cx a b +-+-=，其中a b c 、、分别为ABC V 三边的长．(1)如果1x =是方程的根，试判断ABC V 的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断ABC V 的形状，并说明理由；(3)如果ABC V 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．一、单选题（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）37．有两人同时患了流感，经过两轮传染后共有200人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ）A ．8人B ．9人C ．10人D ．11人（23-24九年级上·全国·期中）38．若一个两位数等于它的十位数字与个位数字和的平方的三分之一，且个位数字比十位数字大5，则这个两位数是（ ）A ．27B ．72C ．27或16D ．27-或16-（20-21九年级上·四川·阶段练习）39．菱形ABCD 的一条对角线长为6，边AB 的长为方程27100y y -+=的一个根，则菱形ABCD 的周长为（ ）A ．8B ．20C ．8或20D ．以上答案都不对（22-23九年级上·山东临沂·阶段练习）40．一个菱形两条对角线相差5，面积为12，设长对角线为x ，可列方程( )A ．(5)12x x +=B ．5(12)x x -=C ．(.5)0512x x +=D ．(.5)0512x x -=（23-24九年级上·广西南宁·期中）41．一个小组有若干人，新年互相发送1条祝福信息，已知全组共发送306条信息，则这个小组有多少人？设这个小组有x 人，根据题意可列方程（ ）A ．()1306x x +=B ．()113062x x +=C ．()1306x x -=D ．()113062x x -=（22-23九年级上·河南商丘·期末）42．如图，是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出33´个位置相邻的数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．如果圈出的9个数中，最小数x 与最大数的积为161，那么根据题意可列方程为（ ）A ．(8)161x x +=B ．(16)161x x +=C ．(8)(8)161x x -+=D ．(16)161x x -=二、填空题（23-24九年级上·广东揭阳·期中）43．“国庆”节老同学聚会，每两个人都握一次手，所有人共握手10次，则参加聚会的人数是 人．（2024九年级上·内蒙古·专题练习）44．双十一将至，某人将打折活动发在自己的朋友圈，并邀请x 个好友转发，每个好友转发后，由各组邀请x 个好友转发，经此两轮转发后，已知共有241人次参与了转发，则可列方程为 ．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）45．若两数的差为3，且它们的积为54，则这两个数为 ．三、解答题（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）46．一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，个位数字与十位数字的平方和比这个数小1，求这个两位数．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）47．某商场销售一种小商品，进货价为40元/件．当售价为60元/件时，每天的销售量为300件．在销售过程中发现：销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．设销售价格上涨x 元/件（x 为偶数），每天的销售量为y 件．(1)当销售价格上涨10元时，每天对应的销售量为 件．(2)请写出y 与x 的函数关系式．(3)设每天的销售利润为w 元，为了让利于顾客，则每件商品的销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？（23-24九年级上·河南安阳·阶段练习）48．已知关于x 的一元二次方程()()220a c x bx a c -+-+=，其中a ，b ，c 分别为ABC V 三边的长．(1)如果1x =是方程的根，试判断ABC V 的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断ABC V 的形状，并说明理由；(3)如果ABC V 是等腰直角三角形，试求这个一元二次方程的根．1．B【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设平均每节课一人教会x 人，根据题意表示出两节课教会的人数，进而得出答案．【详解】解：设平均每节课一人教会x 人，根据题意可得：1136x x x +++=（），即：2136x +=（），故选：B ．2．()190x x +=【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键．根据每一轮中发送人数与接收人数列方程即可．【详解】解：设每轮发送短信平均一个人向x 个人发送短信，则()190x x +=，故答案为：()190x x +=3．每轮传染中平均一个人传染了8个人【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，由题意易得方程()1181x x x +++=，然后求解即可．【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，由题意得：()1181x x x +++=，解得：18x =，210x =-（不符题意，舍去）；答：每轮传染中平均一个人传染了8个人．4．D【分析】本题考查了由实际问题抽象出的一元二次方程，关键是得到两轮传染人数的数量关系，从而可列方程求解．设每轮传染中平均一人传染了x 人，根据有一人患了流感，第一轮有(1)x +人患流感，第二轮共有[()]11x x x +++人，即64人患了流感，由此列方程求出x ，再据此即可求得经过三轮传染后患流感的总人数．【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x 人，根据题意得：1(1)64x x x +++=，整理得，2(1)64x +=，解得：7x =或9x =- (舍去)，故每轮传染中平均一个人传染了7人，则经过三轮传染后患流感的人数为：64647512+´= (人)，故选：D ．5．12【分析】本题考查了一元二次方程的运用，根据题意，设每轮传染中平均一人传染x 人，由此列式求解即可．【详解】解：根据题意，设每轮传染中平均一人传染x 人，∴()11169x x x +++=，整理得得，()21169x +=，解得，121214x x ==-，（不符合题意，舍去），∴每轮传染中平均一个人传染了12人，故答案为：12 ．6．(1)每头发病生猪平均每天传染15头生猪(2)若疫情得不到有效控制，3天后生猪发病头数会超过2500头【分析】本题考查了一元二次方程的应用，（1）设每头发病生猪平均每天传染x 头生猪，根据第一天及第三天生猪发病的头数，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出结论；（2）根据3天后生猪发病头数196´（1+每头发病生猪平均每天传染的头数），即可求出结论．【详解】（1）解：设每头发病生猪平均每天传染x 头生猪，依题意，得：()11196x x x +++=，解得：113x =，215x =-（不合题意，舍去）．答：每头发病生猪平均每天传染15头生猪．（2）解：3天后生猪发病头数为：()1961132744´+=（头），27442500>，答：若疫情得不到有效控制，3天后生猪发病头数会超过2500头．7．D【分析】本题考查了一元二次方程的应用；每个学生要向其他(1)x -个学生共赠送贺卡(1)x -张，则x 名学生共赠贺卡为()1x x -张，由题意即可列出方程．【详解】解：∵每个学生要向其他(1)x -个学生共赠送贺卡(1)x -张，∴x 名学生共赠贺卡为()1x x -张，由题意得：()11980x x -=；故选：D ．8．()142-=x x 【分析】设参加活动的同学有x 人，从而可得每位同学赠送的贺卡张数为(1)x -张，再根据“共送贺卡42张”建立方程，然后解方程即可得．【详解】设参加活动的同学有x 人，由题意得：()142-=x x ．故答案为：()142-=x x ．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，依据题意，正确建立方程是解题关键．9．11名【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：设该校数学社团共有x 名九年级学生，根据所有九年级学生一共握手55次，列出一元二次方程，解之取其正值即可．【详解】解：设该校数学社团共有x 名九年级学生，由题意得：1(1)552x x -=，整理得：21100x x --=，解得：111x =，210x =-（不符合题意，舍去），答：该校数学社团共有11名九年级学生．10．C【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设有x 人参加聚会，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．【详解】解：设有x 人参加聚会，根据题意，得()11282x x -=，解得：128,7x x ==-（舍去）∴有8人参加聚会故选：C ．11．13【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意准确找出等量关系是解答本题的关键．设参加聚会的人数是x 人，根据题意列方程解答即可．【详解】设有x 个人参加聚会，根据题意可得：(1)782x x -=，所以21560x x --=，解得13x =，12x =-（不合题意舍去），所以参加聚会的人数是有13人．故答案为：13．12．参加这次数学交流会的学生有12人【分析】每个学生都要和他自己以外的学生握手一次，但两个学生之间只握手一次，所以等量关系为：12´学生数(´学生数1-）=总握手次数，把相关数值代入即可求解．【详解】解：设参加此会的学生为x 名，则每个学生都要握手()1x -次，根据题意得：()11662x x -=，解得：112x =，211x =-（舍去），答：参加这次数学交流会的学生有12人．【点睛】本题考查用一元二次方程解决握手次数问题，得到总次数的等量关系是解决本题的关键．13．A【分析】此题考查一元二次方程的实际运用，设十位数字为x ，个位数字为()1x +，根据这两个数字之积等于它们数字和的2倍列方程求出其解即可，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．【详解】解：设十位数字为x ，则个位数字为()1x +，依题意得：()()210112x x x x ++=++-，整理得：24720x x --=，∴()()4120x x +-=解得：114x =-（舍去），22x =，∴2x =，∴13x +=，∴这个两位数是23，故选：A ．14．64或75【分析】可设个位数字为x ，则十位上的数字是(2)x +．等量关系：十位上的数字与个位上的数字的积40+=这个两位数．本题考查了一元二次方程的应用．正确理解关键描述语，找到等量关系准确列出方程是解决问题的关键．【详解】解：设个位数字为x ，则十位上的数字是(2)x +，根据题意得(2)4010(2)x x x x ++=++，整理，得29200x x -+=，即(4)(5)0x x --=，解得14x =，25x =（不合题意，舍去），当14x =时，26x +=，这个两位数是64；当15x =时，27x +=，这个两位数是75．答：这两位数是64或75．故答案为：64或75．15．最小数为7，最大数为17【分析】设最小数为x ，根据题意，得到最大数为()()171110x x ++++=+，列出方程为()10119x x +=，解方程即可．本题考查了一元二次方程的应用，根据日历中的数字规律，确定最大数与最小数是解题的关键．【详解】解：设最小数为x ，根据题意，得到最大数为()()171110x x ++++=+，∴()10119x x +=，解得127,17x x ==-（舍去）．故最小数为7，最大数为17．16．B【分析】本题考查一元二次方程的应用，设个数上的数字是x ，则十位上的数字是()4x +，根据题意列一元二次方程，解方程即可．【详解】解：设个数上的数字是x ，则十位上的数字是()4x +，由题意得，()()2241044x x x x ++=++-，整理得，223200x x --=，解得14x =，252x =-（舍去），\个数上的数字是4，十位上的数字是448+=，\这个两位数是84，故选B ．17．9-【分析】此题考查了一元二次方程的应用．设较小的数为x ，那么较大的数应该为4x +，根据它们的积为45，列出方程，求出x 的值，再根据是两个负数，得出符合条件的值即可．【详解】解：设较小的数为x ，根据题意得：()445x x +=，解得：9x =-，5x =（不合题意，舍去）则这两个数中较小的数是9-；故答案为：9-．18．8【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设圈出的四个数中最小数为x ，则最大的数为8x +，根据圈出的四个数中最小数与最大数的积为128，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可求解．【详解】解：．设圈出的四个数中最小数为x ，则最大的数为8x +，根据题意得：()8128x x +=，28128x x +=，222841284x x ++=+()24144x +=，412x +=±，\18x =，216x =- (不合题意舍去)，\这个最小数是8．19．(1)()20160045y x x =-+³(2)每箱售价定为60元，最大利润为8000元【分析】本题考查的是二次函数与一次函数在实际生活中的应用，主要利用了利润=1箱水果获得的利润×销售量，求函数的最值时，注意自变量的取值范围．（1）根据“当售价定为每箱45元时，每天可以卖出700箱，每箱售价每提高1元，每天要少卖出20箱”即可得出每天的销售量y （箱）与每箱售价x （元）之间的函数关系式；（2）根据二次函数的最值问题解答．【详解】（1）由题意得，()()700204520160045y x x x =--=-+³；（2）解：根据题意得，()()()24020160020608000w x x x =--+=--+，∵45x ³，200a =-<∴当60x =时，w 有最大值为()220606080008000-´-+=（元）．答：每箱售价定为60元，最大利润为8000元．20．(1)40680y x =-+(2)当粽子的售价定为12元/袋时，日销售利润最大，最大日销售利润是1000元【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值，理解掌握题意，正确的找出题目中的等量关系，列出方程或函数关系式是解题的关键．（1）直接应用待定系数法即可求出一次函数解析式；（2）根据题意列出获日销售利润与x 的函数关系式，然后利用二次函数的性质即可求解．【详解】（1）解：设一次函数的解析式为y kx b =+，将()10,280，()14,120代入得：2801012014k b k b =+ìí=+î，解得：40680k b =-ìí=î，∴求y 与x 之间的函数关系式为40680y x =-+；（2）解：设日销售利润为w ，由题意得：()()()7740680w x y x x =-=--+2409604760x x =-+-()240121000x =--+，∴当12x =时，w 有最大值，最大值为1000，∴当粽子的售价定为12元/袋时，日销售利润最大，最大日销售利润是1000元．21．(1)2160y x =-+，3054x ££(2)当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元【分析】本题考查一次函数和二次函数的应用．（1）设每天的销售数量y （件）与销售单价x （元/件）之间的关系式为y kx b =+，用待定系数法可得2160y x =-+；（2）设每天获利w 元，()()23021602220w x x x x =-×-+=-+()248002551250x -=--+，由二次函数性质可得当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．【详解】（1）设每天的销售数量y （件）与销售单价x （元/件）之间的关系式为y kx b =+，把()35,90，()40,80代入得：35904080k b k b +=ìí+=î，解得2160k b =-ìí=î，∴()42160305y x x =-££+；（2）（2）设每天获利w 元()()23021602220w x x x x =-×-+=-+()248002551250x -=--+，∵20-<，对称轴是直线55x =，而54x £，∴54x =时，w 取最大值，最大值是()22545512501248-´-+=（元），答：当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．22．(1)()10300615y x x =-+££；(2)当销售单价定为15元/千克时，日销售利润最大，最大利润为1350元．【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式及二次函数在销售问题中的应用．（1）设y 关于x 的函数解析式为y kx b =+，由待定系数法求解即可；（2）根据日销售利润´日销售量（销售单价-成本单价）写出函数关系式，然后配方得到最值即可．【详解】（1）解：设y 关于x 的函数关系式为y kx b =+．把()10,200，()12,180代入y kx b =+，得1020012180k b k b +=ìí+=î，解得10300k b =-ìí=î，y \关于x 的函数关系式为()10300615y x x =-+££；（2）解：设日销售利润为W 元．根据题意，得()()103006W x x =-+-()2210360180010181440x x x =-+-=--+．100a <=-Q ，对称轴为直线18x =，\当615x ££时，y 随x 的增大而增大．\当15x =时，日销售利润最大，最大利润为()210151814401350-´-+=（元）．答：当销售单价定为15元/千克时，日销售利润最大，最大利润为1350元．23．(1)5500y x =-+(2)当x ＝75时，w 存在最大值，最大值为3125元(3)不低于63元，不高于80元【分析】（1）根据“日均销售量＝原销售量﹣售价增加减少的销售量”列关系式即可；（2）根据“日均利润＝每个利润×日均销售量”列函数解析式，即可解答问题；（3）根据“日均销量不低于100个，销售利润至少为2405元”列不等式组，即可求出答案．【详解】（1）解：由题意，得602002055004x y x -=-´=-+，故答案为：5500y x =-+；（2）解：由题意，得505500()()w x x =--+2575025000x x =-+-()25753125x =--+，50a =-<Q ，∴抛物线开口向下，∴对称轴75x =在6095x ££范围内，当75x =时取得最大值，为3125W =最大值（元），答：75x =时，w 存在最大值，最大值为3125元；（3）解：根据题意，得()2550010057531252405x x -+³ìïí--+³ïî，解得6380x ££，答：该款篮球的销售单价应不低于63元，不高于80元．【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的应用，解题的关键是利用待定系数法求出一次函数与二次函数的解析式．24．(1)2400y x =-+；(2)售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9800元(3)5a =【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的性质在实际生活中的应用，解题关键理解题意，确定变量，建立函数模型．（1）设月销量y 与x 的关系式为y kx b =+，运用待定系数法求解即可；（2）根据月利润=每件的利润´月销量列出函数关系式，根据二次函数的性质求出最大利润；。
新北师大版九年级数学上册第二章《一元二次方程》章末练习题含答案解析 (48)
第二章《一元二次方程》章末练习题-9一、选择题1.两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元．设甲种药品成本的年平均下降率为x，则x满足的方程是( )A．5000(1−x)−(1−x)2=3000B．5000(1−x2)=3000C．5000(1−x)2=3000D．5000(1−x)2=20002.已知关于x的一元二次方程ax2−2x−1=0有两个不相等的实数根，则二次项系数a的取值范围是( )A．a>1B．a>−2C．a>1且a≠0D．a>−1且a≠03.下列各方程中，有两个不相等实数根的是( )A．x2=3x−8B．7x2+7=14xC．x2+10=5x+2D．x2+5x=7x+34.若一个两位数等于它个位上的数字的平方，并且十位上的数字比个位上的数字小3，则这个两位数为( )A．25或36B．25C．36D．−25或−365.如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16m，则所围成矩形ABCD的最大面积是( )A．60m2B．63m2C．64m2D．66m26.某地2017年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2019年在2017年的基础上增加投入资金1600万元．设从2017年到2019年该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，则下列方程正确的是( )A．1280(1+x)=1600B．1280(1+2x)=1600C．1280(1+x)2=2880D．1280(1+x)+1280(1+x)2=28807.某校进行体操队列训练，原有8行10列，后增加40人，使得队伍增加的行数、列数相同，你知道增加了多少行或多少列吗？设增加了x行或列，则列方程得( )A．(8−x)(10−x)=8×10−40B．(8−x)(10−x)=8×10+40C．(8+x)(10+x)=8×10−40D．(8+x)(10+x)=8×10+408.已知关于x的一元二次方程(a−1)x2−2x+a2−1=0有一个根为x=0，则a的值为( )A．0B．±1C．1D．−19.若关于x的方程kx2−(k+1)x+1=0的根是整数，则满足条件的整数k的个数为( )A．1个B．2个C．3个D．4个10.若x1x2=2，1x1+1x2=32，则以x1，x2为根的一元二次方程是( )A．x2+3x−2=0B．x2−3x+2=0C．x2+3x+2=0D．x2−3x−2=0二、填空题11.对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b=(a+b)2−(a−b)2．若(m+2)◎(m−3)=24，则m=．12.关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=2，x2=−1（a，b，m均为常数，a≠0），则方程a(x+m+2)2+b=0的解是．13.关于x的一元二次方程x2+4x−2k=0有实数根，则k的取值范围是．14.若方程ax2+c=0（a≠0）没有实数根，则a与c的符号关系为．15.一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗．园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为120元；如果购买树苗超过60棵，在一定范围内，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价降低0.5元．若该校最终向园林公司支付树苗款8800元，设该校共购买了x棵树苗，则可列出方程．16.已知关于x的方程(m2−1)x2+mx+2=0，当m时，方程为一元二次方程．17.已知x为实数，若(x2+3x)2+2(x2+3x)−3=0，则x2+3x=．三、解答题18.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=8厘米，BC=10厘米，点D在BC上，且CD=6厘米．现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2厘米/秒的速度沿AC向终点C运动；点Q以2.5厘米/秒的速度沿BC向终点C运动．过点P作PE∥BC 交AD于点E，连接EQ．设动点运动时间为t秒(t>0)．(1) EP=（用t的代数式表示）；(2) 如图，连接DP，是否存在某一时刻t，使四边形EQDP是平行四边形，如果存在，请求出t，如果不存在，请说明理由；(3) 当t为何值时，△EDQ为直角三角形．19.解方程：(1) x2−2x−1=0（用配方法解）；(2) (x−1)2=4x(x−1)；(3) 2x2−1=1−11−x．20.小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程x(x+4)=6，解：原方程可变形，得[(x+2)−2][(x+2)+2]=6，(x+2)2−22=6，(x+2)2=6+22，(x+2)2=10．直接开平方并整理，得x1=−2+√10，x2=−2−√10．我们称这种解法为“平均数法”．(1) 下面是小明用“平均数法”解方程(x+3)(x+7)=5时的解题过程．解：原方程可变形，得[(x+a)−b][(x+a)+b]=5，(x+a)2−b2=5，(x+a)2=5+ b2．直接开平方并整理，得x1=c，x2=d(c>d)．上述解题过程中的a，b，c，d所表示的数分别为，，，；(2) 请用“平均数法”解方程：(x−5)(x+3)=6．21.已知n为正整数，关于x的一元二次方程x2+(2n+1)x+n2=0的两根分别为αn，βn，求1(α3+1)(β3+1)+1(α4+1)(β4+1)+⋯+1(α20+1)(β20+1)的值．22.已知关于x的一元二次方程x2+(k+1)x+k=0．(1) 求证：方程总有两个实数根；(2) 若该方程有一个根是正数，求k的取值范围．23.已知关于x的方程x2+ax+a−2=0．(1) 若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根．(2) 求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．24.已知△ABC的两边AB，AC是关于x的一元二次方程x2−(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5．(1) k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；(2) k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求出此时△ABC的周长．25.已知关于x的方程x2−(3k+3)x+2k2+4k+2=0(1) 求证：无论k为何值时，原方程都有实数根；(2) 若该方程的两实数根x1，x2为一菱形的两条对角线的长，且x1x2+2x1+2x2=36,求k的值及该菱形的面积．答案一、选择题1. 【答案】C【解析】去年的成本为5000(1−x)，则现在的成本表示为5000(1−x)(1−x)，即5000(1−x)2=3000．【知识点】平均增长率2. 【答案】D【解析】∵一元二次方程ax2−2x−1=0有两个不相等的实数根，∴Δ=(−2)2−4×a×(−1)>0，且a≠0，解得：a>−1且a≠0．【知识点】一元二次方程根的判别式3. 【答案】D【知识点】一元二次方程根的判别式4. 【答案】A【知识点】数字问题5. 【答案】C【知识点】几何问题6. 【答案】C【解析】根据题意，得1280⋅(1+x)2=1280+1600，∴1280⋅(1+x)2=2880．【知识点】平均增长率7. 【答案】D【知识点】和差倍分8. 【答案】D【解析】∵关于x的一元二次方程(a−1)x2−2x+a2−1=0有一个根为x=0，∴a2−1=0，且a−1≠0，解得a=−1．【知识点】一元二次方程的根9. 【答案】C【知识点】一元二次方程的特殊根10. 【答案】B【解析】∵1x1+1x2=32，∴x1+x2=32x1x2，∵x1x2=2，∴x1+x2=3，∴以x1，x2为根的一元二次方程是x2−3x+2=0．故选：B．【知识点】一元二次方程根与系数的关系二、填空题11. 【答案】−3或4【解析】根据题意得[(m+2)+(m−3)]2−[(m+2)−(m−3)]2=24，即(2m−1)2−49=0，所以(2m−1+7)(2m−1−7)=0，所以2m−1+7=0或2m−1−7=0，所以m1=−3，m2=4．【知识点】因式分解法12. 【答案】x3=0，x4=−3【解析】∵关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=2，x2=−1（a，m，b均为常数，a≠0），∴方程a(x+m+2)2+b=0变形为a[(x+2)+m]2+b=0，即此方程中x+2=2或x+2=−1，解得x=0或x=−3．【知识点】一元二次方程的根13. 【答案】k≥−2【解析】根据题意得Δ=42+8k≥0，解得k≥−2．故答案为：k≥−2．【知识点】一元二次方程根的判别式14. 【答案】a与c同号【知识点】直接开平方法15. 【答案】x[120−0.5(x−60)]=8800【解析】设该校共购买了x棵树苗，由题意得：x[120−0.5(x−60)]=8800．【知识点】销售问题16. 【答案】≠±1【知识点】一元二次方程的概念17. 【答案】1【解析】设y=x2+3x，则y2+2y−3=0，整理，得(y+3)(y−1)=0．所以y+3=0或y−1=0．解得y=−3或y=1．当y=−3时，x2+3x=−3，此时该方程无解，故舍去．综上所述，x2+3x=1．【知识点】因式分解法三、解答题18. 【答案】(1) 32t(2) ∵四边形EQDP是平行四边形，∴PE=DQ，∴32t=4−2.5t，∴t=1．答：当t=1时，使四边形EQDP是平行四边形．(3) 如图2，当∠EQD=90∘时，∵∠C=∠EQD=90∘，∴EQ∥CP，又∵EP∥CQ，∴四边形EPCQ是平行四边形，∴EP=CQ=32t，∴52t+32t=10，∴t=52；当∠DEQ=90∘时，∵AC=8cm，CD=6cm，∴AD=√AC2+CD2=√64+36=10cm，∵S△ACD=S△ACQ+S△ADQ，∴12×6×8=12×8×(10−2.5t)+12×10×QE，∴QE=2t−165，∵AE=√AP2+PE2=√4t2+94t2=52t，∴DE=10−52t，∵DQ2=DE2+EQ2，∴(52t−4)2=(10−52t)2+(2t−165)2，∴t1=3.1，t2=385（不合题意舍去）．综上所述：t=52或3.1时，△EDQ为直角三角形．【解析】(1) 如图1，连接CE．∵PE∥CD，∴S△PCD=S△CDE，∵AP=2t cm，∴CP=AC−AP=(8−2t)cm，∵S△ACD=S△AEC+S△CDE，∴6×82=8×PE2+6×(8−2t)2，∴PE=32t．【知识点】平行四边形及其性质、几何问题、勾股定理19. 【答案】(1) x2−2x−1=0.x2−2x=1.x2−2x+1=1+1.(x−1)2=2.x−1=±√2.x1=1+√2,x2=1−√2.(2) (x−1)2=4x(x−1). (x−1)2−4x(x−1)=0. (x−1)(x−1−4x)=0. x−1=0,x−1−4x=0. x1=1,x2=−13.(3) 方程两边都乘以(x+1)(x−1)得：2=(x+1)(x−1)+x+1.解得：x=−2或1.检验：当x=1时，(x+1)(x−1)=0，此时方程无解；当x=−2时，(x+1)(x−1)≠0．∴x=−2是原方程的解，即原方程的解为x=−2．【知识点】配方法、因式分解法、分式方程的解法20. 【答案】(1) 5；2；−2；−8(2) 原方程可变形，得[(x−1)−4][(x−1)+4]=6,(x−1)2−42=6,(x−1)2=6+42,(x−1)2=22.直接开平方并整理，得x1=1+√22,x2=1−√22.【知识点】直接开平方法21. 【答案】由根与系数的关系，有αn+βn=−(2n+1)，αnβn=n2．于是，对正整数n≥3，有1(αn+1)(βn+1)=1αnβn+αn+βn+1 =1n2−(2n+1)+1 =1n(n−2)=12(1n−2−1n)∴原式=12(1−13)+12(12−14)+⋯+12(118−120)=12(1+12−19−120)=531760．【知识点】一元二次方程根与系数的关系、用代数式表示规律22. 【答案】(1) 依题意，得Δ=(k+1)2−4k=(k−1)2．∵(k−1)2≥0，∴方程总有两个实数根．(2) 由求根公式，得x1=−1，x2=−k．∵方程有一个根是正数，∴−k>0，∴k <0．【知识点】一元二次方程根的判别式、因式分解法23. 【答案】(1) 把 x =1 代入原方程得：1+a +a −2=0，解得：a =12,∴ 原方程为x 2+12x −32=0,整理得(x −1)(x +32)=0,∴ 方程另一根为x =−32. (2) 原方程Δ=a 2−4(a −2)=a 2−4a +8=(a −2)2+4>0,故原方程中，不论 a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【知识点】因式分解法、一元二次方程根的判别式24. 【答案】(1) ∵△ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形，BC =5， ∴AB 2+AC 2=25．∵AB ，AC 的长是关于 x 的一元二次方程 x 2−(2k +3)x +k 2+3k +2=0 的两个实数根， ∴AB +AC =2k +3，AB ⋅AC =k 2+3k +2， ∴AB 2+AC 2=(AB +AC )2−2AB ⋅AC ，即 (2k +3)2−2(k 2+3k +2)=25，解得 k =2 或 −5（舍去负数）． ∴k =2．(2) △ABC 是等腰三角形． ① AB =AC 时，Δ=b 2−4ac =0， (2k +3)2−4(k 2+3k +2)=0，方程无解， ∴k 不存在；② AB =BC 时，可知 AB =BC =5，根据韦达定理：AC +5=2k +3，5AC =k 2+3k +2，解得：k =3 或 4． 当 k =3 时，AC =4，此时 △ABC 的周长为 5+5+4=14； 当 k =4 时，AC =6，此时 △ABC 的周长为 5+5+6=16． ∴ 当 k =3 或 4，△ABC 的周长为 14 或 16．【知识点】等腰三角形的判定、直角三角形的判定、一元二次方程根与系数的关系25. 【答案】(1)b2−4ac=[−(3k+3)]2−4×1×(2k2+4k+2) =9k2+18k+9−8k2−16k−8=k2+2k+1=(k+1)2,∵无论k为何值时，(k+1)2≥0，∴无论k为何值时，原方程都有实数根．(2) 由根与系数的关系可得x1+x2=3k+3，x1x2=2k2+4k+2，由x1+x2>0，x1x2>0，得k>−1，∵x1x2+2x1+2x2=36，∴2k2+4k+2+2(3k+3)=36，∴2k2+10k−28=0，∴k1=2，k2=−7（不合题意，舍去）．当k=2时，菱形的面积为12x1x2=12×(2k2+4k+2)=9．【知识点】一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、菱形的面积11。
北师大版九年级数学上册第二章 一元二次方程 专题复习练习题
北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程专题复习练习题专题一、一元二次方程的解法1、用直接开平方法解方程：（1）x2﹣＝0；（2）2x2+3＝﹣2x2+4；（3）（2x﹣1）2﹣121＝0；（4）（2x+3）2 =（x﹣1）2．2、用配方法解方程：（1）x2﹣4x＝7；（2）2x2﹣4x-1＝0.（3）（4x﹣1）（3﹣x）＝5x+1．3、用因式分解法解方程：（1）2x2﹣5x=0；（2）（x﹣2）2＝3x﹣6；（3）4x2+1=-4x；（4）（x﹣1）（x+3）＝12．4、用公式法解方程：（1）x2x﹣14=0；（2）3x2＝4x+2．5、当x取何值时，代数式3x2+6x﹣8的值与1﹣2x2的值互为相反数？专题二、一元二次方程的应用：增长率及利润问题1、某旅游景区今年5月份游客人数比4月份增加了44%，6月份游客人数比5月份增加了21%，求5月、6月游客人数的平均增长率．2、去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．3、某种病毒传播非常快，如果一个人被感染，经过两轮感染后就会有81个人被感染．（1）请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一个人会感染几个人？（2）若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会不会超过700人？4、阿里巴巴电商扶贫对某贫困地区一种特色农产品进行网上销售，按原价每件300元出售，一个月可卖出100件，通过市场调查发现，单价每降低10元，月销售件数增加20件．已知该农产品的成本是每件200元，在保持月利润不变的情况下，尽快销售完毕，则售价应定为多少元？5、适逢中高考期间，某文具店平均每天可卖出30支2B铅笔，卖出1支铅笔的利润是1元，经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出10支铅笔，为了使每天获取的利润更多，该文具店决定把零售单价下降x元（0＜x＜1）．（1）当x为多少时，才能使该文具店每天卖2B铅笔获取的利润为40元？（2）该文具店每天卖2B铅笔获取的利润可以达到50元吗？如果能，请求出x的值；如果不能，请说明理由．6、某科技公司为提高经济效益，近期研发一种新型设备，每台设备成本价为2万元．经过市场调研发现，该设备的月销售量y（台）和销售单价x（万元）对应的点（x，y）在函数y ＝kx+b的图象上，如图．（1）求y与x的函数关系式；（2）根据相关规定，此设备的销售单价不高于5万元，若该公司要获得80万元的月利润，则该设备的销售单价是多少万元？专题三、一元二次方程的应用：面积问题1、如图，有一块宽为16 m的矩形荒地，某公园计划将其分为A、B、C三部分，分别种植不同的植物．若已知A、B地块为正方形，C地块的面积比B地块的面积少40 m2，试求该矩形荒地的长．2、如图，幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，求四周未铺地毯的条形区域的宽度是多少米.3、在某校园建设过程中，规划将一块长18米，宽10米的矩形场地建设成绿化广场，如图，内部修建三条宽相等的小路，其中一条路与广场的长平行，另两条路与广场的宽平行，其余区域种植绿化，使绿化区域的面积为广场总面积的80%，求广场中间小路的宽．4、如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．若花圃的面积刚好为45平方米，则此时花圃的AB段长为多少？5、如图①，有一张长40cm，宽20cm的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图②的有盖纸盒．（1）若纸盒的高是3cm，求纸盒底面长方形的长和宽；（2）若纸盒的底面积是150cm2，求纸盒的高．图①图②6、如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发，沿AB 边以1cm/s的速度向点B移动；点Q从点B出发，沿BC边以2cm/s的速度向点C移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，问：（1）经过几秒后，△PBQ的面积等于8cm2？（2）经过几秒后，P，Q两点间的距离是cm？专题1参考答案1.解：（1）x1＝，x2＝﹣．（2）x1＝，x2＝﹣．（3）x1＝6，x2＝﹣5．（4）x1=﹣4，x2=﹣2．解：（1）x1＝x2＝2．（2）x1＝1+，x2＝1﹣．（3）x1＝x2＝1．3．解：（1）x1＝0，x2＝52．（2）x1＝2，x2＝5．（3）x1＝x2＝-．（4）x1＝3，x2＝﹣5．4．解：（1）x1＝，x2＝．（2）x1＝，x2＝．5．解：根据题意，得3x2+6x﹣8+1﹣2x2＝0，整理，得x2+6x﹣7＝0，则（x+7）（x﹣1）＝0，∴x+7＝0或x﹣1＝0，解得x1＝﹣7，x2＝1．∴当x取﹣7或1时，代数式3x2+6x﹣8的值与1﹣2x2的值互为相反数．专题2答案：1．解：设5月、6月游客人数的平均增长率是x，依题意有（1+x）2＝（1+44%）×（1+21%），解得：x1＝32%，x2＝﹣2.32（舍去）．答：5月、6月游客人数的平均增长率是32%．2．解：（1）450+450×12%＝504（万元）．答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，依题意，得：350（1+x）2＝504，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．3．解：（1）设每轮感染中平均一个人会感染x个人，依题意，得：1+x+x（1+x）＝81，解得：x1＝8，x2＝﹣10（不合题意，舍去）．答：每轮感染中平均一个人会感染8个人．（2）81×（1+8）＝729（人），729＞700．答：若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会超过700人．4．解：当售价为300元时月利润为（300﹣200）×100＝10000（元）．设售价应定为x元，则每件的利润为（x﹣200）元，月销售量为100+＝（700﹣2x）件，依题意，得：（x﹣200）（700﹣2x）＝10000，整理，得：x2﹣550x+75000＝0，解得：x1＝250，x2＝300（舍去）．答：售价应定为250元．5．解：（1）根据题意得：（1﹣x）（100x+30）＝40，整理得：10x2﹣7x+1＝0，解得：x1＝0.2，x2＝0.5．答：当x为0.2或0.5时，才能使该文具店每天卖2B铅笔获取的利润为40元．（2）根据题意得：（1﹣x）（100x+30）＝50，整理得10x2﹣7x+2＝0， ＝b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×10×2＝﹣31＜0．答：该文具店每天卖2B铅笔获取的利润不可以达到50元．6．解：（1）依题意有，解得．故y与x的函数关系式是y＝﹣10x+80．（2）设该设备的销售单价为x万元/台，依题意有（x﹣2）（﹣10x+80）＝80，整理方程，得x2﹣10x+24＝0．解得x1＝4，x2＝6．∵此设备的销售单价不高于5万元，∴x2＝6（舍去），∴x＝4．答：该设备的销售单价是4万元．专题3答案：1．解：设B地块的边长为x m，根据题意得：x2﹣x（16﹣x）＝40，解得：x1＝10，x2＝﹣2（不符题意，舍去），∴10+16＝26 m．答：矩形荒地的长为26 m．2．解：设四周未铺地毯的条形区域的宽度是x m，依题意，得：（8﹣2x）（5﹣2x）＝18，整理，得2x2﹣13x+11＝0，解得x1＝1，x2＝．又∵5﹣2x＞0，∴x＜，∴x＝1．答：四周未铺地毯的条形区域的宽度是1 m．3．解：设广场中间小路的宽为x米，依题意，得：（18﹣2x）（10﹣x）＝18×10×80%，整理，得：x2﹣19x+18＝0，解得：x1＝1，x2＝18．又∵18﹣2x＞0，∴x＜9，∴x＝1．答：广场中间小路的宽为1米4．解：设AB＝x米，则BC＝（22﹣3x+2）米，依题意，得：x（22﹣3x+2）＝45，整理，得：x2﹣8x+15＝0，解得：x1＝3，x2＝5．当x＝3时，22﹣3x+2＝15＞14，不合题意，舍去；当x＝5时，22﹣3x+2＝9，符合题意．答：若花圃的面积刚好为45平方米，则此时花圃的AB段长为5米．5．解：（1）纸盒底面长方形的长为（40﹣2×3）÷2＝17（cm），纸盒底面长方形的宽为20﹣2×3＝14（cm）．答：纸盒底面长方形的长为17cm，宽为14cm．（2）设当纸盒的高为x cm时，纸盒的底面积是150cm2，依题意，得×（20﹣2x）＝150，化简，得：x2﹣30x+125＝0，解得x1＝5，x2＝25．当x＝5时，20﹣2x＝10＞0，符合题意；当x＝25时，20﹣2x＝﹣30＜0，不符合题意，舍去．答：若纸盒的底面积是150 cm2，则纸盒的高为5 cm．6．解：（1）设经过x秒后，△PBQ的面积等于8 cm2，则BP＝（6﹣x）cm，BQ＝2x cm，依题意，得（6﹣x）×2x＝8，化简，得x2﹣6x+8＝0，解得x1＝2，x2＝4．答：经过2秒或4秒后，△PBQ的面积等于8 cm2．（2）设经过y秒后，P，Q两点间距离是cm，则BP＝（6﹣y）cm，BQ＝2y cm，依题意，得：（6﹣y）2+（2y）2＝（）2，化简，得：5y2﹣12y﹣17＝0，解得：y1＝，y2＝﹣1（不合题意，舍去）．答：经过秒后，P，Q两点间的距离是cm．。
北师大版九年级数学上册_一元二次方程应用题
一元二次方程应用专题 增长率问题：1、恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.2、市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。
某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，则这种药品平均每次降价的百分率为数字问题：1、有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。
2、有一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字之和是6，如果把它的个位数字与十位数字调换位置，所得的两位数乘以原来的两位数所得的积等于1008，求调换位置后得到的两位数。
商品定价：1、益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a 元，则可卖出（350－10a ）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？2、利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）。
当每吨售价为260元时，月销售量为45吨。
该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销。
经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨。
综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元。
（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；（2）在遵循“薄利多销”的原则下，问每吨材料售价为多少时，该经销店的月利润为9000元。
（3）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大。
”你认为对吗？请说明理由。
4、春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1对话中收费标准.某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？5、某玩具店采购人员第一次用100元去采购“企鹅牌”玩具，很快售完．第二次去采购时发现批发价上涨了0.5元，用去了150元，所购玩具数量比第一次多了10件．两批玩具的售价均为2.8元．问第二次采购玩具多少件？6、某商场试销一种成本为60元/件的T 恤，规定试销期间单价不低于成本单价，又获利不得高于40%，经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元/件）符合一次函数b kx y +=，且70=x 时，50=y ；80=x 时，40=y ；（1）写出销售单价x 的取值范围；（2）求出一次函数b kx y +=的解析式；（3）若该商场获得利润为w 元，试写出利润w 与销售单价x 之间的关系式，销售单价定为多少时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？面积问题：1、一块长和宽分别为40厘米和250厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体纸盒，使它的底面积为450平方厘米.那么纸盒的高是多少？2、如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m ），另三边用木栏围成，木栏长35m 。
北师大版九年级数学上册 第二章 一元二次方程练习题含答案
北师大版九年级数学上册 第二章 一元二次方程 2.1.1 一元二次方程同步练习题1．(3分)下列方程是一元二次方程的是( )A ．x 2－1＝yB ．6x 2＝5C ．x 2＝1xD ．3x 3－4x 2－1＝0 2．若关于x 的方程(k ＋1)x 2＋2kx －3＝0是一元二次方程，则k 的取值范围是( )A ．任意实数B ．k ≠－1C ．k ＞－1D ．k ＞03. 将方程3x(x －1)＝5(x ＋2)化为一元二次方程的一般形式，正确的是( )A ．4x 2－4x ＋5＝0B ．3x 2－8x －10＝0C ．4x 2＋4x －5＝0D ．3x 2＋8x ＋10＝04. 用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x 米，则根据题意可列出关于x 的方程为( )A ．x(5＋x)＝6B ．x(5－x)＝6C ．x(10－x)＝6D ．x(10－2x)＝65. 下列方程中一定是关于x 的一元二次方程的是( )A ．ax 2＋bx ＋c ＝0 B ．x －1x ＝0 C ．2x ＋3＝2x(x －1) D ．x 2＋2x ＝x 2－1 6. 某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x ，那么x 满足的方程是( )A ．100(1＋x)2＝81B ．100(1－x)2＝81C ．100(1－x%)2＝81D ．100x 2＝817．在一次九年级学生数学交流会上，每两名学生握手一次，统计共握手253次．若设参加此会的学生为x 名，据题意可列方程为( )A ．x(x ＋1)＝253B ．x(x －1)＝253C ．2x(x －1)＝253D ．x(x －1)＝253×28. 若方程(m＋2)x|m|＋3mx＋1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝________．9. 若一元二次方程2x2＋mx＝3x＋2中不含x的一次项，则m＝________．10. 方程x2＋1＝－2(1－3x)化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数为________，一次项系数为________，常数项为________．11. 两个连续奇数的平方和为2890.设这两个奇数中较小的一个数为x，则可列方程为．12. 若ax2－5x＋3＝0是关于x的一元二次方程，则不等式3a＋6＞0的解集是______________．13．已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋m2－1＝0的常数项为零，则m的值为________．14．现有一块长80 cm，宽60 cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为x cm的小正方形，做成一个底面积为1 500 cm2的无盖的长方体盒子，根据题意可列出方程为．15. 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项．(1)3x2＝5x－1；(2)(x＋2)(x－1)＝6；(3)4－7x2＝0.16. 关于x的方程(m2－9)x2＋(m－3)x＋2m＝0.(1)当m为何值时，它是一元一次方程？并求出一元一次方程的解；(2)当m为何值时，它是一元二次方程？17. 如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为x米，请列出方程，并将其化成一元二次方程的一般形式．18. 某超市销售一种品牌童装，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为加快资金周转，超市采取降价措施，每件童装每降价2元，平均每天就多售出6件．要使平均每天销售童装利润为1000元，那么每件童装应降价多少元？(列方程，并化为一般形式，不解答)19. 根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化为一元二次方程的一般形式．(1) 如果一个直角三角形的两条直角边边长之和为14cm，面积为24cm2，求它的两条直角边的长；(2) 有一个三位数，它的个位数字比十位数字大3，十位数字比百位数字小2，三个数字的平方和的9倍比这个三位数小20，求这个三位数；(3) 如图，在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，求金色纸边的宽．答案：1—7 BBBBC BD8. 29. 310. 1 －6 311. x 2＋(x ＋2)2＝289012. a>－2且a≠013. －114. (80－2x)(60－2x)＝150015. (1)化成一般形式为3x 2－5x ＋1＝0，二次项系数为3，一次项系数为－5，常数项为1(2)化成一般形式为x 2＋x －8＝0，二次项系数为1，一次项系数为1，常数项为－8(3)化成一般形式为－7x 2＋4＝0，二次项系数为－7，一次项系数为0，常数项为416. (1)当m ＝－3时，原方程是一元一次方程，方程的解为x ＝－1；(2)当m≠±3时，原方程是一元二次方程．17. 解：根据题意，可以列出方程(22－x)(17－x)＝300，化成一般形式为： x 2－39x ＋74＝0.18. 解：设每件童装应降价x 元，则每天销售童装的件数为(30＋3x)件，每件利润为(40－x)元．则有(30＋3x)(40－x)＝1 000，化成一般形式为3x 2－90x －200＝0.19. (1)设其中一条直角边的长为x cm ，另一条直角边的长为(14－x) cm ，则12x(14－x)＝24，化成一般形式为x2－14x＋48＝0；(2)设十位数字为x，个位数字为x＋3，百位数字为x＋2，则9[x2＋(x＋3)2＋(x ＋2)2]＝100(x＋2)＋10x＋(x＋3)－20，化成一般形式为9x2－7x－22＝0；(3)设金色纸边的宽为x cm，则挂图的长为(80＋2x)cm，宽为(50＋2x)cm，则(80＋2x)(50＋2x)＝5400，化成一般形式为x2＋65x－350＝0.。
(常考题)北师大版初中数学九年级数学上册第二单元《一元二次方程》测试题(有答案解析)(3)
一、选择题1．一次围棋比赛，参赛的每两位棋手之间都要比赛一场，根据赛程计划共安排45场比赛，设本次比赛共有x 个参赛棋手，则可列方程为（ ）A ．12x （x ﹣1）＝45B ．12x （x+1）＝45 C ．x （x ﹣1）＝45 D ．x （x+1）＝452．用配方法解一元二次方程2830x x +-=，下列变形中正确的是（ ） A ．()2419x -= B ．()2419x +=C ．()2861x +=D ．()2867x -= 3．关于x 的方程()11340a a xx ++-+=是一元二次方程，则（ ） A ．1a ≠± B ．1a =- C ．1a = D ．1a =±4．将关于x 的一元二次方程20x px q -+=变形为2x px q =-，就可以将2x 表示为关于x 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如32()x x x x px q =⋅=-=…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：210x x --=，则4353x x x +-+的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65．新冠肺炎传染性很强，曾有2人同时患上新冠肺炎，在一天内一人平均能传染x 人，经过两天传染后128人患上新冠肺炎，则x 的值为（ ）A ．10B ．9C ．8D ．7 6．已知关于x 的一元二次方程2420ax x +-=有实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．2a >-且0a ≠B ．2a ≥-且0a ≠C ．2a ≥-D ．0a ≠ 7．若一个等腰三角形的一边为4，另外两边为2120x x m -+=的两根，则m 的值为（ ）A ．32B ．36C ．32或36D ．不存在8．在疫情期间，口罩的需求量急剧上升.某口罩生产企业四月份生产了口罩200000只， 如果要在第二季度总共生产728000只口罩，设生产口罩月平均增长的百分率为x ，则可根据题意列出的方程是（ ）A ．()22000001+728000x =B ．()32000001+728000x =C ．()()22000001+2000001+728000x x +=D ．()()2200000+2000001+2000001+728000x x +=9．如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有（ ）个；①方程220x x --=是倍根方程；②若()()20x mx n -+=是倍根方程，则22450m mn n ++=；③若p 、q 满足2pq =，则关于x 的方程230px x q ++=是倍根方程；④若方程20ax bx c ++=是倍根方程，则必有229b ac =．A ．1B ．2C ．3D ．410．受非洲猪瘟及其他因素影响，2020年9月份猪肉价格两次大幅度上涨，瘦肉价格由原来23元/千克，连续两次上涨x%后，售价上升到60元/千克，则下列方程中正确的是（ ）A ．23（1﹣x%）2＝60B ．23（1+x%）2＝60C ．23（1+x 2%）＝60D ．23（1+2x%）＝6011．已知m 为实数，则关于x 的方程2(2)20x m x m ---=的实数根情况一定是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个实数根D ．没有实数根 12．用配方法解一元二次方程29190x x -+=，配方后的方程为（ ） A ．29524x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ B ．29524x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ C ．()2962x -= D ．()2962x += 二、填空题 13．阅读理解：对于()321x n x n -++这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：()()()()3232222()()(1)()1x n x n x n x x n x x n x n x x n x n x n x n x nx -++=--+=---=+-=-+--一理解运用：如果()3210x n x n -++=，那么()2(10)x n x nx -+-=，即有0x n -=或210x nx +-=，因此，方程0x n -=和210x nx +-=的所有解就是方程()321x n x n -++=0 的解．解决问题：求方程31030x x -+=的解为___________．14．高明区某绿色产业基地2018年的粉葛产量为100吨，2019年、2020年连续两年改良技术，提高产量，2020年粉葛产量达到144吨．设平均每年的增长率为x ，列出方程为：______．15．如图，有一块长21,m 宽10m 的矩形空地，计划在这块空地上修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相同的人行通道，两块绿地的面积和为290m ．设人行通道的宽度为xm ，根据题意可列方程：_______________________．16．三角形一边长为10，另两边长是方程214480x x -+=的两实根，则这是一个_____三角形．17．一元二次方程x 2－4x ＋1＝0的两根是x 1，x 2，则x 1＋x 2－x 1⋅x 2＝_________．18．若x 1，x 2是方程x 2－3x ＋1＝0的两个不相等的实数根，则x 1＋x 2＋x 1x 2＝______． 19．关于x 的方程222x x m p -+=，无论实数p 取何值，该方程总有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为______．20．响应国家号召打赢脱贫攻坚战，小明家利用信息技术开了一家网络商店，将家乡的土特产销往全国，今年6月份盈利24000元，8月份盈利34560元，求6月份到8月份盈利的月平均增长率．设6月份到8月份盈利的月平均增长率为x ，根据题意，可列方程为______ ．三、解答题21．快手、抖音等各大娱乐APP 软件深受人们的喜爱，但随着电商时代的热潮，曾经以直播、娱乐为主的主播也开始转型为带货主播．某快手主播，从今年九月份开始直播带货，并深受粉丝的喜爱，并从十月份该主播就开始盈利36000元，十二月的盈利达到43560元，且从十月到十二月，每月的盈利的平均增长率都相同．（1）求每月盈利的平均增长率；（2）按照这个平均增长率，预计下个月（即元月份）该主播的盈利将达到多少元？ 22．解方程（1）2(3)5(3)60x x +-++= （2） x 2﹣6x ﹣9＝023．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如x 2=4和（x-2）（x+3）=0有且只有一个相同的实数根x=2，所以这两个方程为“同伴方程”．（1）根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的是________；（只填写序号即可） ①()219x -=； ②2440x x ++=； ③()()420x x +-=； （2）若关于x 的一元二次方程x 2-2x=0与x 2+3x+m-1=0为“同伴方程”，求m 的值． 24．已知x =2是方程280x mx +-=的一个根，求：（1）m 的值；（2）1211+x x 的值． 25．解方程：24120x x --=．26．解下列方程：（1）（x ﹣1）2﹣x 2＝3（x ﹣3）；（2）2121124x x x x -+=---．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A【分析】关系式为：棋手总数×每个棋手需赛的场数÷2=45，把相关数值代入即可．【详解】解：本次比赛共有x 个参赛棋手， 所以可列方程为：12x （x -1）=45． 故选：A ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2． 2．B解析：B【分析】方程移项后，利用完全平方公式变形即可得到结果．【详解】解：方程x 2+8x-3=0，移项得：x 2+8x=3，配方得：x 2+8x+16=16+3，即（x+4）2=19．故选：B ．【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 3．C解析：C【分析】 根据一元二次方程的定义可得1a +=2，且a+1≠0，解方程即可；．【详解】 解：由题意得1a +=2，且a+1≠0，，解得：a=±1，因为一元二次方程的系数不为0，即a+1≠0，所以a=1，故选C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，关键是注意一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2． 4．D解析：D【分析】先求得x 2=x+1，再代入4353x x x +-+即可得出答案．解：∵x 2-x-1=0，∴x 2=x+1，∴4353x x x +-+=（x+1）2+x(x+1)-5x+3=x 2+2x+1+x²+x-5x+3=2x 2-2x+4=2(x+1)-2x+4=2x+2-2x+4=6，故选：D ．【点睛】本题考查了高次方程：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．通过把一元二次方程变形为用一次式表示二次式，从而达到“降次”的目的，这是解决本题的关键．5．D解析：D【分析】根据两天后共有128人患上流感，列出方程求解即可．【详解】解：依题意得2+2x +x （2+2x ）=128，解得x 1=7，x 2=-9（不合题意，舍去）．故x 值为7．故选：D ．【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．6．B解析：B【分析】根据方程有实数根得到．【详解】由题意得：0∆≥，即244(2)0a -⨯⨯-≥，且0a ≠，解得2a ≥-且0a ≠，故选：B ．【点睛】此题考查根据一元二次方程根的情况求参数，掌握一元二次方程根的判别式与根的个数的三种情况是解题的关键． 7．B【分析】分为两种情况：①腰长为4，②底边为4，分别求出即可．【详解】分为两种情况：①当腰长是4时，设底边为a ，依题意得：a+4=12，解得：a=8，即三边为4，4，8，不能构成三角形，舍去；②底边为4，设腰长为b ，依题意得：b+b=12，∴腰长为b=6，即三边为4，6，6，∴m=6×6=36；故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，等腰三角形的性质等知识点，掌握根与系数的关系并能进行分类讨论是解此题的关键．涉及等腰三角形的问题容易漏解或多解，要特别注意．8．D解析：D【分析】根据题意生产口罩月平均增长的百分率为x ，四月份生产了口罩200000只，第二季度总共生产728000只口罩，由此列出方程即可．【详解】解：设生产口罩月平均增长的百分率为x ，四月份生产了口罩200000只，∴五月份生产了口罩()2000001x +只，∴六月份生产了口罩()22000001+x 只， 又在第二季度四、五、六3个月总共生产了728000只口罩， ∴列式为：()()2200000+2000001+2000001+728000x x +=．故选：D ．【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用问题，属于增长率问题，根据题意列出等式是解决本题的关键．9．C解析：C【分析】①求出方程的解，再判断是否为倍根方程；②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m 、n 之间的关系，而m 、n 之间的关系正好适合；③当p ，q 满足2pq =，则()()2310px x q px x q ++=++=，求出两个根，再根据2pq =代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程；④用求根公式求出两个根，当122x x =，或122x x =时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可．【详解】解：①解方程220x x --=（x-2）（x+1）=0，∴x-2=0或x+1=0，解得，12x =，21x =-，得，122x x ≠，∴方程220x x --=不是倍根方程；故①不正确；②若()()20x mx n -+=是倍根方程，12x =，因此21x =或24x =，当21x =时，0m n +=，当24x =时，40m n +=，()()224540m mn n m n m n ∴++=++=，故②正确；③∵pq=2，则：()()2310px x q px x q ++=++=， 11x p∴=-，2x q =-， 2122x q x p ∴=-=-=， 因此是倍根方程，故③正确；④方程20ax bx c ++=的根为：1x =2x =，若122x x =，则222b b a a-+--=，20-=，02b a+∴=，0b ∴+=，b ∴=-，()2294b ac b ∴-=，229b ac ∴=．若122x x =时，则，222b b a a-+--⨯=，20=，0=，0b ∴-+=，b ∴=，()2294b b ac ∴=-，229b ac ∴=．故④正确，∴正确的有：②③④共3个．故选：C ．【点睛】本题考查一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键．10．B解析：B【分析】可先用x%表示第一次提价后商品的售价，再根据题意表示第二次提价后的售价，然后根据已知条件得到关于x%的方程．【详解】解：当猪肉第一次提价x%时，其售价为23+23x%=23（1+x%）；当猪肉第二次提价x%后，其售价为23（1+x%）+23（1+x%）x%=23（1+x%）2． ∴23（1+x%）2=60．故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，要根据题意列出第一次提价后商品的售价，再根据题意列出第二次提价后售价的方程，令其等于60即可．11．C解析：C【分析】计算判别式的值，利用配方法得到△＝（m+2）2≥0，然后根据判别式的意义对各选项进行判断．【详解】解：∵a ＝1，b ＝－(m －2)，c ＝－2m ，∴224(2)41(2)b ac m m -=--⨯⨯-2448m m m =-++244m m =++2(2)m =+，∵2(2)0m +≥，∴240b ac -≥，∴方程有两个实数根，故选：C ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx+c ＝0（a≠0）的根与△＝b 2－4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．12．A解析：A【分析】两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得到答案.【详解】∵29190x x -+=，∴2919x x -=-， 则2818191944x x -+=-+， 即29524x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 故选：A.【点睛】此题考查配方法解一元二次方程，掌握配方法的计算方法是解题的关键.二、填空题13．【分析】通过因式分解的方法把方程左边分解因式这样把原方程转化为x−3＝0或x2＋3x−1＝0然后解一次方程和一元二次方程即可【详解】解：∵x3−10x ＋3＝0∴x3−9x−x ＋3＝0x （x2−9）−解析：123333,22x x x -+-=== 【分析】通过因式分解的方法把方程左边分解因式，这样把原方程转化为x−3＝0或x 2＋3x−1＝0，然后解一次方程和一元二次方程即可．【详解】解：∵x 3−10x ＋3＝0，∴x 3−9x−x ＋3＝0，x （x 2−9）−（x−3）＝0，（x−3）（x 2＋3x−1）＝0，∴x−3＝0或x 2＋3x−1＝0，∴1233,x x x ===．故答案为：123333,22x x x --===． 【点睛】 本题考查了高次方程：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．也考查了公式法解一元二次方程．14．【分析】根据等量关系列出方程即可等量关系：2020年的产量=2018年的产量×（1+年平均增长率）2【详解】解：设粉葛产量的年平均增长率（百分数）为x 根据题意得100（1+x ）2=144故答案为：1解析：()21001144x +=【分析】根据等量关系，列出方程即可，等量关系：2020年的产量=2018年的产量×（1+年平均增长率）2．【详解】解：设粉葛产量的年平均增长率（百分数）为x ，根据题意，得 100（1+x ）2=144，故答案为：100（1+x ）2=144．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用（增长率问题）．解题的关键在于理清题目的含义，找到2019年和2020年的产量的代数式，根据条件找准等量关系，列出方程． 15．【分析】根据矩形的性质求解即可；【详解】根据题意可知：宽为长为∴；故答案是【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用准确分析列方程是解题的关键解析：()()21310290x x --=【分析】根据矩形的性质求解即可；【详解】根据题意可知：宽为()102xm -，长为()213x m -，∴()()21310290x x --=； 故答案是()()21310290x x --=．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，准确分析列方程是解题的关键．16．直角【分析】利用因式分解法求出方程的解得到另两边长利用勾股定理的逆定理即可确定出三角形为直角三角形【详解】解：x2-14x+48=0分解因式得：（x-6）（x-8）=0解得：x=6或x=8∵62+8解析：直角【分析】利用因式分解法求出方程的解得到另两边长，利用勾股定理的逆定理即可确定出三角形为直角三角形．【详解】解：x 2-14x+48=0，分解因式得：（x-6）（x-8）=0，解得：x=6或x=8，∵62+82=102，∴这是一个直角三角形．故答案为：直角【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，利用此方法解方程时首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．17．3【分析】先根据根与系数的根据求得x1＋x2和x1x2的值然后代入计算即可【详解】解：∵一元二次方程x2－4x ＋1＝0的两根是x1x2∴x1＋x2=4x1x2=1∴x1＋x2－x1x2＝4-1解析：3【分析】 先根据根与系数的根据求得x 1＋x 2和x 1⋅x 2的值，然后代入计算即可．【详解】解：∵一元二次方程x 2－4x ＋1＝0的两根是x 1，x 2∴x 1＋x 2=4，x 1⋅x 2=1∴x 1＋x 2－x 1⋅x 2＝4-1=3．故答案为3．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根是x 1、x 2，则x 1＋x 2=b a -、x 1⋅x 2=c a． 18．4【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求解：用韦达定理算出和的值带入求解即可；【详解】∵方程为∴a=1b=-3c=1∴=3=1∴=3+1=4故答案为：4【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系解析：4【分析】 利用一元二次方程根与系数的关系求解：12b x x a +=- ，12c x x a= ，用韦达定理算出12x x + 和12x x 的值带入求解即可；【详解】∵ 方程为2310x x -+= ，∴ a=1，b=-3，c=1，∴ 12x x +=3，12x x =1，∴ 1212x x x x ++ =3+1=4，故答案为：4．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，正确理解韦达定理是解题的关键； 19．【分析】先根据一元二次方程的根的判别式可得从而可得m 应该小于的最小值再根据偶次方的非负性求解即可得【详解】原方程可化为当该方程总有两个不相等的实数根时则其根的判别式解得无论实数取何值该方程总有两个不 解析：1m <【分析】先根据一元二次方程的根的判别式可得21m p <+，从而可得m 应该小于21p +的最小值，再根据偶次方的非负性求解即可得．【详解】原方程可化为2220x x m p -+-=，当该方程总有两个不相等的实数根时，则其根的判别式222(2)4()4440m p m p ∆=---=-++>，解得21m p <+，无论实数p 取何值，该方程总有两个不相等的实数根，即无论实数p 取何值，不等式21m p <+恒成立，m ∴小于21p +的最小值，由偶次方的非负性得：20p ≥，211p ∴+≥，21p ∴+的最小值为1，1m ∴<，故答案为：1m <．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式等知识点，正确将问题转化为无论实数p 取何值，不等式21m p <+恒成立是解题关键． 20．【分析】设该商店从6月份到8月份每月盈利的平均增长率为x 根据该商店6月份及8月份的利润可得出关于x 的一元二次方程；【详解】设该商店从6月份到8月份每月盈利的平均增长率为x 故答案为：【点睛】本题考查了 解析：()224000134560x +=【分析】设该商店从6月份到8月份每月盈利的平均增长率为 x ，根据该商店6月份及8月份的利润，可得出关于 x 的一元二次方程；【详解】设该商店从6月份到8月份每月盈利的平均增长率为 x ()224000134560x +=故答案为：()224000134560x +=．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程． 三、解答题21．（1）10％；（2）47916元．【分析】（1）设设每月的平均增长率为x ，根据等量关系：十月份盈利额×（1+增长率）2=十二月份的盈利额列出方程求解即可．（2）元月份的盈利=十二月份盈利×增长率．【详解】解：（1）设每月的平均增长率为x ．根据题意可知：()236000143560x +=．解得10.1x =，2 2.1x =-（舍去）．答：每月的平均增长率为10％．（2）由（1）知：元月份的盈利将达到：()4356011047916⨯+=％元．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，属于增长率的问题，一般公式为原来的量×（1±x ）2=后来的量，其中增长用+，减少用-，难度一般．22．（1）121,0x x =-=；（2） 1x ，2x【分析】（1）用因式分解法解得()()32330x x +-+-=，化为10,0x x +== 解一次方程即可；（2）用配方法配方得()2x-3=18，直接开平方得x-3=±【详解】解：（1）2(3)5(3)60x x +-++=， ()()32330x x +-+-=，10,0x x +==，121,0x x =-=；（2） x 2﹣6x ﹣9＝0，()2x-3=18，x-3=±x=3±，1x ，2x【点睛】本题考查一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的各种解法，并能灵活选择恰当方法解方程是解题关键．23．（1）①②；（2）1或9-【分析】（1）结合题意，通过求解一元二次方程，即可得到答案；（2）首先求解220x x -=，得10x =，22x =；结合题意，将10x =，22x =分别代入x 2+3x+m-1=0，从而计算得m 的值；再经检验符合m 的值是否符合题意，从而完成求解． 【详解】（1）①()219x -=的解为：14x =，22x =-；②2440x x ++=的解为：2x =-③()()420x x +-=的解为：14x =-，22x = ∴属于“同伴方程”的是①②故答案为：①②；（2）220x x -=的解为：10x =，22x = 当相同的实数根是0x =时，则m-1=0，∴m=1将m=1代入原方程，得：230x x +=∴10x =，23x =-∴两个方程有且仅有一个相同的实数根，符合题意；当相同的实数根是x=2时，则4+6+m-1=0，∴m=-9，将m=-9代入原方程，得：23100x x +-=∴15x =-，22x =∴两个方程有且仅有一个相同的实数根，符合题意；∴m 的值为1或-9．【点睛】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法，从而完成求解．24．（1）2；（2）14【分析】（1）由x =2是方程280x mx +-=的一个根，把x =2代入280x mx +-=即可得到关于m 的一元一次方程，求之即可；（2）将m=2代入280x mx +-=得到关于x 的一元二次方程，根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，将所求的式子通分并利用同分母分式的加法法则计算，将求出的两根之和与两根之积代入计算即可．【详解】解：（1）把x =2代入280x mx +-=，得 22280m +-=，解得m=2（2）将m=2代入280x mx +-=，得2280x x +-=，∴12122,8x x x x +=-=-， ∴121212112184x x x x x x +-+===-． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解一元一次方程，分式的加法，以及根与系数的关系．方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键，25．122,6x x =-=．【分析】利用因式分解法求解即可．【详解】∵24120x x --=，∴(x 2)(6)0x +-=，∴122,6x x =-=，故原方程的根为122,6x x =-=．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，灵活选择因式分解法是解题的关键．26．（1）2x =；（2）121144x x +==． 【分析】（1）先利用平方差公式将方程左边进行整理，再解一元一次方程即可；（2）方程两边同时乘以()()22x x +-，整理得到一元二次方程，求解即可．【详解】解：（1）原方程可整理成12390x x --+=，移项、合并同类项可得：510x =，解得2x =；（2）原方程可整理成()()1211222x x x x x -+=--+-， 方程两边同时乘以()()22x x +-，可得：()()212214x x x x -+=+-+，移项、合并同类项可得：2270x x -=-，∴()()2241427570b ac =-=--⨯⨯-=>，解一元二次方程可得x =经检验，14x ±=都是原方程的解．∴121144x x +==． 【点睛】本题考查解一元二次方程、解分式方程，掌握方程的求解方法是解题的关键．。
北师大版九年级上册第二单元一元二次方程应用题20及答案
一元二次方程应用题20及答案1、有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。
解：设这两个数分别是a和a+1. 根据题意列方程：a²+（a+1）²=25整理得：a²+a-12=0 解得：a1=3 a2=-4当a=3时，两个数分别是3和4 当a=-4时，两个数分别是-3和-42、有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字之积的3倍刚好等于这个两位数。
求这个两位数。
解：设个位数为x，则十位数为x-2 x（x-2）3=10（x-2）+x3 a²2-17x+20=0 (3x-5)(x-4)=0 x=5/3（舍去）或x=4则这两位数为243、有一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字之和是6，如果把它的个位数字与十位数字调换位置，所得的两位数乘以原来的两位数所得的积等于1008，求调换位置后得到的两位数。
解：设这个两位数个位数为x，则（10x+6-x）(10(6-x)+x) = 1008,化简得到x ²-6x+8=0,所以x=2或4面积问题4、用一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的边长为Xcm的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的无盖的长方形盒子，求X的值。
解：设小正方形的边长为X厘米（80-2X）（60-2X）=1500 x² -70X+825=0（X-15）（X-55）=0 X=15或X=55（不符合，舍去）X=155、如图，在长为32m，宽为20m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，把耕地分成大小不等的六块作实验田，要使试验田面积为570m2，道路的宽应为多少？解：设宽度为xm，640-(20*2*x+32*x)+2x^=570x²-36x+35=0 （X-1）（X-35）=0x=1 或35(不合题意，舍去）x=1增长率问题6、某新华书店计划第一季度共发行图书122万册，其中一月份发行图书32万册，二、三月份平均每月增长率相同，求二、三月份各应发行图书多少万册？解：设增长率为x，则 32+32(1+x)+32(1+x)(1+x)=122(4x-1)(4x+13)=0 x=0.25或-3.25(不合题意，舍去）二月发行图书32(1+x)=40册三月发行图书32(1+x)(1+x)=50册7、某校2009年捐款1万元给希望工程，以后每年都捐款，计划到2011年共捐款4.75万元，问该校捐款的平均年增长率是多少？解：设平均年增长率为X。
北师大版九年级数学上一元二次方程与实际应用题带答案
北师大版九年级数学上一元二次方程与实际应用题带答案一元二次方程的应用（带答案）满分100，测试时间45分钟一、选择题（每小题6分，共30分）1.若两个连续整数的积是56，则它们的和为（）A.11B.15C.-15D.±152.某服装店原计划按每套200元的价格销售一批保暖内衣，但上市后销量不佳，为减少库存积压，两次连续降价打折处理，最后价格调整为每套128元.若两次降价折扣率相同，则每次降价的百分率为（）A.8％B.18％C.20％D.25％3.商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台.为了促销，商场决定采取适当的降价措施，调查表明:这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台，商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使消费者得到更多实惠，每台冰箱应降价（）A.100元B.200元C.300元D.400元3.某旅行社为鼓励市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准：（1）如果人数不超过25人，人均旅游费用为1000元；（2）如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于700元某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付旅游费用27000元，该单位去天水湾风景区旅游的共有（）A.45人B.30 人C.45人或30人D.以上都不对5.如图2所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P，Q同时由A，B 两点出发，分别沿AC，BC方向向C点匀速运动，其速度均为2m/s，若△PCQ的面积是△ABC面积的一半，则运动时间为（）B.9s D.10s6.有一人患流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，则每轮传染中平均一人传染了_____________人7.一辆新车购买价为20万元，第一年使用后折旧20％，以后该车的年折旧率有所变化，但它在第二、三年的年折旧率相同.若第三年年末这辆车折旧后价值为11.56万元，则第二、三年的年折旧率为______________8.已知线段AB的长为2，以AB为边在AB的下方作正方形ACDB.取AB边上一点E，以AE为边在AB的上方作正方形AENM.过E作EF⊥CD，垂足为F点，如图3所示若正方形AENM与四边形EFDB的面积相等，则AE的长为________________________三、解答题（共52分）9.（12分）将一条长为40cm的铁丝剪成两段，并以每段铁丝的长度为周长做成两个正方形. （1）要使这两个正方形的面积之和等于52cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？（2）两个正方形的面积之和可能等于48cm2吗？若可能，求出两段铁丝的长度；若不可能，请说明理由.10.（12分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展.某快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为4万件和4.84万件.现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；（2）如果平均每人每月最多可投递快递0.4万件，那么该公司现有10名快递投递业务员，能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，那么至少需要增加几名业务员？11.（14分）某淘宝网店销售台灯，成本为每个30元销售大数据分析表明:当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每上涨1元，则其月销售量就减少20个；若售价每下降1元，则其月销售量就增加200个（1）若售价上涨x元（x>0），则每月能售出个台灯；（2）为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为1210个台灯的情况下，预计月获利恰好为8400元，求每个台灯的售价；（3）在库存为1000个台灯的情况下，预计月获利恰好为8000元，直接写出每个台灯的售价12.（14分）如图4所示，△ABC中，∠B=90°，AB=6 cm，BC=8 cm.（1）点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C 以2cm/s的速度移动，若一点到达终点，则另一点也随之停止运动.如果P，Q分别从A，B同时出发，那么线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能，说明理由（2）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，几秒时△PBQ的面积为1cm2？答案1. D2. C3.B4.B5.A6.87.15％58.19.解:（1）两段铁丝的长度分别为16cm和24cm（2）不能10.解:（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据题意，得4（1+x）2=4.84，解得x=0.1，x2=-2.1（不合题意，舍去）.答:该快递公司投递总件数的月平均增长率为10％，（2）今年6月份的快递投通任务是4.84×（110％）=5.324（万件），而10名投递业务员能完成的快递投递任务是0.4×10=4（万件），4万件<5.324万0件，该公司现有的10名投递业务员不能完成今年6月份的快递投3÷递任务.平均每人每月最多可投递0.4万件，∵需要增加业务员（5.324-4）÷0.4=3.31（名），即至少需要增加4名业务员11.解:（1）（600-20x）（2）设每个台灯降价x元.根据题意，得（40一x30）（200x+600）=8400，解得x1=3，x2=4.当x=3时，40-3=37，3×200+600=1200，1200<1210；当ェ=4时，40-4=36，4×200+600=1400，1400>1210，不合题意，舍去.答:每个台灯的售价为37元.（3）每个台灯的售价为38元或50元.12.解:（1）线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分.（2）（5-2）s、5s或（5+2）s。
北师大版九年级上册数学第二章 一元二次方程 含答案
北师大版九年级上册数学第二章一元二次方程含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、解一元二次方程x2﹣8x﹣5=0，用配方法可变形为（）A.（x+4）2=11B.（x﹣4）2=11C.（x+4）2=21D.（x﹣4）2=212、用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0方程可变形为（）A.（x+1）2=4B.（x﹣1）2=4C.（x+1）2=6D.（x﹣1）2=63、用配方法解方程x2-4x+1=0，下列变形正确的是（）A.（x-2）2=4B.（x-4）2=4C.（x-2）2=3D.（x-4）2=34、用配方法解方程x2﹣8x+7=0，配方后正确的是（）A.（x﹣4）2=7B.（x﹣4）2=11C.（x﹣4）2=9D.（x+4）2=75、解方程，可用配方法将其变形为（）A. B. C. D.6、一元二次方程x2+6x﹣6=0配方后化为（）A.（x﹣3）2=3B.（x﹣3）2=15C.（x+3）2=15D.（x+3）2=37、一元二次方程配方后可化为（）A. B. C. D.8、用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），此方程可变形为（）A.（x+ ）2=B.（x+ ）2=C.（x﹣）2=D.（x﹣）2=9、方程x2=x的根是( )A.x1=+1,x2=-1 B.x1=0,x2=1 C.x=1 D.x=010、方程x2﹣2x﹣4=0的一较小根为x1，下面对x1的估计正确的是（）A.﹣3＜x1＜﹣2 B.﹣2＜x1＜- C.﹣＜x1＜-1 D.﹣1＜x1＜011、用配方法解方程，配方正确的是（）A. B. C. D.12、给出以下方程的解题过程，其中正确的有（）①解方程（x﹣2）2＝16，两边同时开方得x﹣2＝±4，移项得x1＝6，x2＝﹣2；②解方程x（x﹣）＝（x﹣），两边同时除以（x﹣）得x＝1，所以原方程的根为x1＝x2＝1；③解方程（x﹣2）（x﹣1）＝5，由题得x﹣2＝1，x﹣1＝5，解得x1＝3，x2＝6；④方程（x﹣m）2＝n的解是x1＝m+ ，x2＝m﹣．A.0个B.2个C.3个D.4个13、用配方法解一元二次方程x2-8x+2=0，此方程可化为的正确形式是（）.A.（x-4）2=14B.（x-4）2=18C.（x+4）2=14D.（x+4）2=1814、一元二次方程x2﹣8x+48＝0可以表示成（x﹣a）2＝b的形式，其中a，b 为整数，则a+b＝（）A.40B.﹣36C.﹣32D.﹣2815、用配方法解方程：x2-4x+2=0，下列配方正确的是（）A.（x-2）2=2B.（x+2）2=2C.（x-2）2=-2D.（x-2）2=6二、填空题(共10题，共计30分)16、若两数和为-7，积为12，则这两个数是________.17、已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，若则的值是________．18、关于x的一元二次方程(a＋3)x2＋x＋a2－9＝0的一个根是0，则a的值为________.19、关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，且，则m的值是________.20、一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程的一根，则此三角形的周长是________.21、方程x2-9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为________.22、方程的根为________．23、若，是一元二次方程的两个实数根，则________．24、若方程mx2+3x-4=3x2是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是________25、已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，则a2+2ab+b2的值为________．三、解答题(共5题，共计25分)26、已知实数a满足，求的值.27、已知方程x2﹣2x﹣15=0的两个根分别是a和b，求代数式（a﹣b）2+4b（a ﹣b）+4b2的值．28、12月6日，我县举行了商品订货交流会，参加会议的每两家公司之间都签订了一份合同，所有参会公司共签订了28份合同，共有多少家公司参加了这次会议？29、已知三角形的两边长分别是1cm和2cm，第三边的长是方程2x2﹣5x+3=0的两根，求这个三角形的周长．30、现有一块长20cm，宽10cm的长方形铁皮，在它的四个角分别剪去一个大小完全相同的小正方形，用剩余的部分做成一个底面积为56cm2的无盖长方体盒子，请求出剪去的小正方形的边长．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、D2、D3、C4、C5、B6、C7、B8、A9、B10、C11、D12、A13、A14、D15、A二、填空题(共10题，共计30分)16、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、28、29、30、。