吉林省长春市2020年(春秋版)八年级上学期数学期末考试试卷D卷
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吉林省长春市2020年（春秋版）八年级上学期数学期末考试试卷D卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、 单选题 (共8题；共16分)
1. （2分） (2018八下·萧山期末) 在下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A .
B .
C .
D .
2. （2分） (2017七下·通辽期末) 16的平方根是（ ）
A . 4
B . ﹣4
C . ±4
D . ±256
3. （2分） 如图，已知△ABC≌△CDA，AB与CD是对应边，AB＝4，BC＝5，AC＝6，则AD的长为（ ）
A . 4
B . 5
C . 6
D . 不确定
4. （2分） (2019七下·合肥期中) 下列各数： ， ， ，-0.34， ， ，0.101001
（每两个1之间的0增加一个）中，无理数有（ ）
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A . 1个
B . 2个
C . 3个
D . 4个
5. （2分） (2018八上·南山期末) 将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的一组是
（ ）
A . 2、4、6
B . 4、6、8
C . 8、10、12
D . 6、8、10
6. （2分） (2016八上·河西期末) 点（﹣1，﹣5）关于y轴的对称点为（ ）
A . （1，5）
B . （﹣1，﹣5）
C . （5，﹣1）
D . （1，-5）
7. （2分） 函数y=-2x-3的图象不经过 （ ）
A . 第一象限
B . 第二象限
C . 第三象限
D . 第四象限
8. （2分） (2018八上·嵊州期末) 一个有进水管和出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在
随后的8min内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（L）与时间x（min）之间的
关系如图所示，则每分钟的进水量与出水量分别是（ ）
A . 5L，3.75L
B . 2.5L，5L
C . 5L，2.5L
D . 3.75L，5L
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二、 填空题 (共10题；共10分)
9. （1分） (2018九上·大洼月考) 已知 ， 可以取 ， ， ， 中任意一个值 ，则
直线 的图象经过第四象限的概率是________.
10. （1分） (2017·黔东南) 在平面直角坐标系中有一点A（﹣2，1），将点A先向右平移3个单位，再向下
平移2个单位，则平移后点A的坐标为________．
11. （1分） (2017七上·綦江期中) |﹣6|的相反数是________．
12. （1分） (2015八下·沛县期中) 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点．若DE=5，
则AB的长为________．
13. （1分） 已知一次函数y=bx+5和y=﹣x+a的图象交于点P（1，2），直接写出方程 的解
________．
14. （1分） (2017八上·上杭期末) 如图，线段AC、BD相交于点O，且AO=OC，请添加一个条件使△ABO≌△CDO，
应添加的条件为________（添加一个条件即可）
15. （1分） (2019七下·吉林期中) 已知点 到 轴的距离是2，到 轴的距离是5，则满足条件
的 点坐标有________个.
16. （1分） (2019九下·十堰月考) 已知直线 与 轴的交点在A（2,0），B（3,0）之间（包
括A、B两点）则 的取值范围是________.
17. （1分） 已知a，b，c分别是Rt△ABC的两条直角边长和斜边长，且a+b=14，c=10，则S△ABC=________．
18. （1分） (2012·南京) 在平面直角坐标系中，规定把一个三角形先沿着x轴翻折，再向右平移2个单位
称为1次变换．如图，已知等边三角形ABC的顶点B、C的坐标分别是（﹣1，﹣1）、（﹣3，﹣1），把△ABC经过连
续9次这样的变换得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是________．
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三、 解答题 (共9题；共74分)
19. （10分） (2020八上·常德期末) 计算:
20. （10分） 若 与 互为相反数，且x≠0，y≠0，求 的值．
21. （5分） (2017八下·嘉兴期中) 已知：如图，E、F是平行四边行ABCD的对角线AC上的 两点，AE=CF。
求证：
（1）
△ADF≌△CBE
（2）
EB∥DF．
22. （10分） (2016八上·高邮期末) 小亮和小刚进行赛跑训练，他们选择了一个土坡，按同一路线同时出
发，从坡脚跑到坡顶再原路返回坡脚．他们俩上坡的平均速度不同，下坡的平均速度则是各自上坡平均速度的1.5
倍．设两人出发x min后距出发点的距离为y m．图中折线表示小亮在整个训练中y与x的函数关系，其中A点在
x轴上，M点坐标为（2，0）．
（1） A点所表示的实际意义是________； =________；
（2） 求出AB所在直线的函数关系式；
（3） 如果小刚上坡平均速度是小亮上坡平均速度的一半，那么两人出发后多长时间第一次相遇？
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23. （5分） (2017七下·苏州期中) 如图，直线OM⊥ON，垂足为O，三角板的直角顶点C落在∠MON的内部，
三角板的另两条直角边分别与ON、OM交于点D和点B．
(Ⅰ)求∠OBC+∠ODC的值；
(Ⅱ)如图1：若DE平分∠ODC，BF平分∠CBM，求证：DE⊥BF：
(Ⅲ)如图2：若BF、DG分别平分∠OBC、∠ODC的外角，判断BF与DG的位置关系，并说明理由．
24. （7分） (2017八下·辉县期末) 某商场筹集资金12.8万元，一次性购进空调、彩电共30台．根据市场
需要，这些空调、彩电可以全部销售，全部销售后利润不少于1.5万元，其中空调、彩电的进价和售价见表格．
空调 彩电
进价（元/台） 5400 3500
售价（元/台） 6100 3900
设商场计划购进空调x台，空调和彩电全部销售后商场获得的利润为y元．
（1） 试写出y与x的函数关系式；
（2） 商场有哪几种进货方案可供选择？
（3） 选择哪种进货方案，商场获利最大？最大利润是多少元？
25. （10分） (2019八下·天台期中) 已知E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD上的点，AF，DE相交于点G，
当E，F分别为边BC，CD的中点时，有：①AF=DE；②AF⊥DE成立．
试探究下列问题：
（1） 如图1，若点E不是边BC的中点，F不是边CD的中点，且CE=DF，上述结论①，②是否仍然成立？（请
直接回答“成立”或“不成立”），不需要证明）
（2） 如图2，若点E，F分别在CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时，上述结论①，②是否仍然成
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立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；
（3） 如图3，在（2）的基础上，连接AE和BF，若点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，请判断四
边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并证明你的结论．
26. （15分） (2016八上·自贡期中) 如图，在直角坐标系中，点A、B分别在射线OX、OY上移动，BE是∠ABY
的角平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C，试问∠ACB的大小是否发生变化？如果保持不变，请
给出证明．
27. （2分） 如图所示,现有一张边长为4的正方形纸片ABCD,点P为正方形AD边，上的一点(不与点A,点D
重合).将正方形纸片折叠,使点B落在P处,点C落在G处,PG交DC于H,折痕为EF,连接BP,BH.
（1） 求证:∠APB=∠BPH.
（2） 当点P在边AD.上移动时，△PDH的周长是否发生变化?请证明你的结论.
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参考答案
一、 单选题 (共8题；共16分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
二、 填空题 (共10题；共10分)
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
17-1、
18-1、
三、 解答题 (共9题；共74分)
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19-1、
20-1、
21-1、
21-2、
22-1、
22-2、
22-3、
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第 11 页 共 14 页
24-1、
24-2、
24-3、
25-1、
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25-2、
25-3、
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27-1、
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27-2、
2020年吉林省长春市中考数学试卷和答案解析
2020年吉林省长春市中考数学试卷和答案解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为（）A．﹣1B．﹣1.5C．﹣3D．﹣4.2解析：由数轴上数的特征可得该数的取值范围，再进行判断即可．参考答案：解：由数轴上墨迹的位置可知，该数大于﹣4，且小于﹣2，因此备选项中，只有选项C符合题意，故选：C．点拨：本题考查数轴表示数的意义和方法，确定被墨迹所盖的数的取值范围是正确解答的前提．2．（3分）为了增加青少年的校外教育活动场所，长春市将建成面积约为79000平方米的新少年宫，预计2020年12月正式投入使用．79000这个数用科学记数法表示为（）A．79×103B．7.9×104C．0.79×105D．7.9×105解析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．参考答案：解：79000这个数用科学记数法表示为：7.9×104．故选：B．点拨：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（3分）下列图形是四棱柱的侧面展开图的是（）A．B．C．D．解析：根据四棱柱的侧面展开图是矩形而且有4条棱进行解答即可．参考答案：解：由四棱柱的特点可知：四棱柱的侧面展开图是矩形而且有4条棱．故选：A．点拨：本题考查了几何体的展开图，此题应根据四棱柱的侧面展开图，进行分析、解答．4．（3分）不等式x+2≥3的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．解析：根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项可得．参考答案：解：x≥3﹣2，x≥1，故选：D．点拨：本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．5．（3分）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔项中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为∠A，过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点D．通过测量可得AB、BD、AD的长度，利用测量所得的数据计算∠A的三角函数值，进而可求∠A的大小．下列关系式正确的是（）A．sinA＝B．cosA＝C．tanA＝D．sinA＝解析：根据直角三角形的边角关系，即锐角三角函数逐个进行判断即可．参考答案：解：在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，则sinA＝，cosA＝，tanA＝，因此选项A正确，选项B、C、D不正确；故选：A．点拨：本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的关键．6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BDC＝20°，则∠AOC的大小为（）A．40°B．140°C．160°D．170°解析：先利用圆周角定理得到∠BOC＝40°，然后根据邻补角的定义计算出∠AOC的度数．参考答案：解：∵∠BOC＝2∠BDC＝2×20°＝40°，∴∠AOC＝180°﹣40°＝140°．故选：B．点拨：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．7．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC．按下列步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN，与边AB相交于点D，连结CD．下列说法不一定正确的是（）A．∠BDN＝∠CDN B．∠ADC＝2∠BC．∠ACD＝∠DCB D．2∠B+∠ACD＝90°解析：利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理一一判断即可．参考答案：解：由作图可知，MN垂直平分线段BC，∴DB＝DC，MN⊥BC，∴∠BDN＝∠CDN，∠DBC＝∠DCB，∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝2∠B，∵∠A＝90°，∴∠ADC+∠ACD＝90°，∴2∠B+∠ACD＝90°，故选项A，B，D正确，故选：C．点拨：本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，2），AB ⊥x轴于点B，点C是线段OB上的点，连结AC．点P在线段AC上，且AP＝2PC，函数y＝（x＞0）的图象经过点P．当点C在线段OB上运动时，k的取值范围是（）A．0＜k≤2B．≤k≤3C．≤k≤2D．≤k≤4解析：设C（c，0）（0≤c≤3），过P作PD⊥x轴于点D，由△PCD ∽△ACB，用c表示P点坐标，再求得k关于c的解析式，最后由不等式的性质求得k的取值范围．参考答案：解：∵点A的坐标为（3，2），AB⊥x轴于点B，∴OB＝3，AB＝2，设C（c，0）（0≤c≤3），过P作PD⊥x轴于点D，则BC＝3﹣c，PD∥AB，OC＝c，∴△PCD∽△ACB，∴，∵AP＝2PC，∴，∴PD＝，CD＝1﹣c，∴OD＝OC+CD＝1+c，∴P（1+c，），把P（1+c，）代入函数y＝（x＞0）中，得k＝c，∵0≤c≤3∴，故选：C．点拨：本题主要考查了反比例函数的图象与性质，相似三角形的性质与判定，不等式的性质，关键是求出k关于c的解析式．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15元．若购买m张成人票和n张儿童票，则共需花费（30m+15n）元．解析：根据单价×数量＝总价，用代数式表示结果即可．参考答案：解：根据单价×数量＝总价得，（30m+15n）元，故答案为：（30m+15n）．点拨：本题考查代数式表示数量关系，理解和掌握单价×数量＝总价，是列代数式的前提．10．（3分）分解因式：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）．解析：有两项，都能写成完全平方数的形式，并且符号相反，可用平方差公式展开．参考答案：解：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）．点拨：本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．11．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为1．解析：由于关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，可知其判别式为0，据此列出关于m的方程，解答即可．参考答案：解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，∴△＝0，∴（﹣2）2﹣4m＝0，∴m＝1，故答案为：1．点拨：本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程有两个相等的实数根，则可得△＝0，此题难度不大．12．（3分）正五边形的一个外角的大小为72度．解析：根据多边形的外角和是360°，依此即可求解．参考答案：解：正五边形的一个外角＝＝72°．故答案为：72．点拨：本题考查了多边形的内角与外角，正确理解多边形的外角和是360°是关键．13．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，以点C 为圆心，线段CA的长为半径作，交CB的延长线于点D，则阴影部分的面积为π﹣2（结果保留π）．解析：利用勾股定理求出AC，证明∠C＝45°，根据S阴＝S扇形CAD ﹣S△ACB计算即可．参考答案：解：∵AB＝CB＝2，∠ABC＝90°，∴AC＝＝＝2，∴∠C＝∠BAC＝45°，∴S阴＝S扇形CAD﹣S△ACB＝﹣×2×2＝π﹣2，故答案为π﹣2．点拨：本题考查扇形的面积，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2）．若抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD＝AB，则k的值为．解析：根据题意，可以得到点C的坐标和h的值，然后将点C的坐标代入抛物线，即可得到k的值，本题得以解决．参考答案：解：∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2），∴AB＝4，∵抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD＝AB＝2，∴设点C的坐标为（c，2），则点D的坐标为（c+2，2），h＝＝c+1，∴抛物线2＝﹣[c﹣（c+1）]2+k，解得，k＝．点拨：本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：（a﹣3）2+2（3a﹣1），其中a＝．解析：根据整式的混合运算顺序进行化简，再代入值求解即可．参考答案：解：原式＝a2﹣6a+9+6a﹣2＝a2+7．当a＝时，原式＝（）2+7＝9．点拨：本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，解决本题的关键是先进行整式的化简，再代入值求解．16．（6分）现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“神舟首飞”，第三张卡片的正面图案为“保卫和平”，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率．（图案为“神舟首飞”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“保卫和平”的卡片记为B）解析：根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．参考答案：解：根据题意画图如下：共有9种等可能的情况数，其中两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的有1种，则两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率是．点拨：此题考查的是用树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．17．（6分）图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB为边画△ABC．要求：（1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形；（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等；（3）点C在格点上．解析：根据网格画出符合条件的三个三角形即可．参考答案：解：如图所示：即为符合条件的三角形．点拨：本题考查了作图﹣应用与设计作图，解决本题的关键是利用网格画出符合条件的三角形．18．（7分）在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元．预计今年的销量是去年的3倍，年销售额为360万元．已知去年的年销售额为80万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？解析：设该村企去年黑木耳的年销量为x万斤，则今年黑木耳的年销量为3x万斤，根据单价＝总价÷数量结合今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．参考答案：解：设该村企去年黑木耳的年销量为x万斤，则今年黑木耳的年销量为3x万斤，依题意，得：﹣＝20，解得：x＝2，经检验，x＝2是原方程的解，且符合题意．答：该村企去年黑木耳的年销量为2万斤．点拨：本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．19．（7分）如图，在▱ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE ⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．（1）求证：OE＝OF．（2）若BE＝5，OF＝2，求tan∠OBE的值．解析：（1）由平行四边形性质得OB＝OD，由AAS证得△OEB≌△OFD，即可得出结论；（2）由（1）得OE＝OF，则OE＝2，在Rt△OEB中，由三角函数定义即可得出结果．参考答案：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠OEB＝∠OFD＝90°，在△OEB和△OFD中，，∴△OEB≌△OFD（AAS），∴OE＝OF；（2）解：由（1）得：OE＝OF，∵OF＝2，∴OE＝2，∵BE⊥AC，∴∠OEB＝90°，在Rt△OEB中，tan∠OBE＝＝．点拨：本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数定义等知识；熟练掌握平行四边形的性质与全等三角形的判定是解题的关键．20．（7分）空气质量按照空气质量指数大小分为六个级别，分别为：一级优、二级良、三级轻度污染、四级中度污染、五级重度污染、六级严重污染．级别越高，说明污染的情况越严重，对人体的健康危害也就越大．空气质量达到一级优或二级良的天气为达标天气，如图是长春市从2014年到2019年的空气质量级别天数的统计图表．2014﹣2019年长春市空气质量级别天数统计表空气质量级别天数年份优良轻度污染中度污染重度污染严重污染201430215732813620154319387191582016512375815502017652116216922018123202390102019126180381650根据上面的统计图表回答下列问题：（1）长春市从2014年到2019年空气质量为“达标”的天数最多的是2018年．（2）长春市从2014年到2019年空气质量为“重度污染”的天数的中位数为7天，平均数为8天．（3）长春市从2015年到2019年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数增加最多的是2018年，这一年空气质量为“优”的天数的年增长率约为89%（精确到1%）．（空气质量为“优”的天数的增长率＝×100%）（4）你认为长春市从2014年到2019年哪一年的空气质量好？请说明理由．解析：（1）从折线统计图可得答案；（2）利用中位数、众数的意义分别计算即可；（3）分别计算从2015年到2019年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数，进而利用增长率计算结果；（4）根据空气质量的等级天数进行判断即可．参考答案：解：（1）从折线统计图中“达标”天数的折线的最高点，相应的年份为2018年，故答案为：2018；（2）将这6年的“重度污染”的天数从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为＝7，因此中位数是7天，这6年的“重度污染”的天数的平均数为＝8天，故答案为：7，8；（3）前一年相比，空气质量为“优”的天数增加量为：2015年，43﹣30＝13天；2016年，51﹣43＝8天；2017年，65﹣51＝14天；2018年，123﹣65＝58天；2019年，126﹣123＝3天，因此空气质量为“优”的天数增加最多的是2018年，增长率为≈89%，故答案为：2018，89%；（4）从统计表中数据可知，2018年空气质量好，2018年“达标天数”最多，重度污染、中度污染、严重污染的天数最少．点拨：本题考查统计图表的意义，理解统计图表中数据之间的关系是正确解答的关键．21．（8分）已知A、B两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A 地出发匀速开往B地，甲车出发两小时后，乙车从B地出发匀速开往A地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和y（千米）与甲车行驶的时间x（时）之间的函数关系如图所示．（1）甲车的速度为40千米/时，a的值为480．（2）求乙车出发后，y与x之间的函数关系式．（3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间．解析：（1）根据图象可知甲车行驶2行驶所走路程为80千米，据此即可求出甲车的速度；进而求出甲车行驶6小时所走的路程为240千米，根据两车同时到达各自的目的地可得a＝240×2＝480；（2）运用待定系数法解得即可；（3）分两车相遇前与相遇后两种情况列方程解答即可．参考答案：解：（1）由题意可知，甲车的速度为：80÷2＝40（千米/时）；a＝40×6×2＝480，故答案为：40；480；（2）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，由图可知，函数图象经过（2，80），（6，480），∴，解得，∴y与x之间的函数关系式为y＝100x﹣120；（3）两车相遇前：80+100（x﹣2）＝240﹣100，解得x＝；两车相遇后：80+100（x﹣2）＝240+100，解得x＝，答：当甲、乙两车相距100千米时，甲车行驶的时间是小时或小时．点拨：本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．22．（9分）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．1．把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？【问题解决】如图①，已知矩形纸片ABCD（AB＞AD），将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边DC上，点A的对应点为A′，折痕为DE，点E在AB上．求证：四边形AEA′D是正方形．【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的△A′DE为等腰三角形．现将图①中的点A′沿DC向右平移至点Q处（点Q在点C 的左侧），如图②，折痕为PF，点F在DC上，点P在AB上，那么△PQF还是等腰三角形吗？请说明理由．【结论应用】在图②中，当QC＝QP时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点C与点P重合，折痕为QG，点G在AB上．要使四边形PGQF为菱形，则＝．解析：（1）根据邻边相等的矩形是正方形证明即可．（2）证明∠QFP＝∠FPQ即可解决问题．（3）证明△PFQ，△PGA都是等边三角形，设QF＝m，求出AB，AD（用m表示）即可解决问题．参考答案：（1）证明：如图①中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADA′＝90°，由翻折可知，∠DA′E＝∠A＝90°，∴∠A＝∠ADA′＝∠DA′E＝90°，∴四边形AEA′D是矩形，∵DA＝DA′，∴四边形AEA′D是正方形．（2）解：结论：△PQF是等腰三角形．理由：如图②中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠QFP＝∠APF，由翻折可知，∠APF＝∠FPQ，∴∠QFP＝∠FPQ，∴QF＝QP，∴△PFQ是等腰三角形．（3）如图③中，∵四边形PGQF是菱形，∴PG＝GQ＝FQ＝PF，∵QF＝QP，∴△PFQ，△PGQ都是等边三角形，设QF＝m，∵∠FQP＝60°，∠PQD′＝90°，∴∠DQD′＝30°，∵∠D′＝90°，∴FD′＝DF＝FQ＝m，QD′＝D′F＝m，由翻折可知，AD＝QD′＝m，PQ＝CQ＝FQ＝m，∴AB＝CD＝DF+FQ+CQ＝m，∴＝＝．故答案为．点拨：本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．23．（10分）如图①，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3．点P从点A出发，沿折线AB﹣BC以每秒5个单位长度的速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿CA以每秒2个单位长度的速度向点A运动，点P到达点C时，点P、D同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，作点P关于直线AC的对称点Q，连结PQ交AC于点E，连结DP、DQ．设点P的运动时间为t秒．（1）当点P与点B重合时，求t的值．（2）用含t的代数式表示线段CE的长．（3）当△PDQ为等腰直角三角形时，求t的取值范围．（4）如图②，取PD的中点M，连结QM．当直线QM与△ABC 的一条直角边平行时，直接写出t的值．解析：（1）根据AB＝4，构建方程求解即可．（2）分两种情形：当点P在线段AB上时，首先利用勾股定理求出AC，再求出AE即可解决问题．当点P在线段BC上时，在Rt △PCE中，求出EC即可．（3）求出两种特殊情形△PDQ是等腰直角三角形时，t的值即可判断．（4）分两种情形：如图⑥中，当点P在线段AB上，QM∥AB时．如图⑦中，当点P在线段BC上，QM∥BC时，分别求解即可．参考答案：解：（1）当点P与B重合时，5t＝4，解得t＝．（2）在Rt△ABC中，∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，∴AC＝＝＝5，∴sinA＝，cosA＝，如图①中，当点P在线段AB上时，在Rt△APE中，AE＝AP•cosA ＝4t，∴EC＝5﹣4t．如图③中，当点P在线段BC上时，在Rt△PEC中，PC＝7﹣5t，cosC＝，∴EC＝PC•cosC＝（7﹣5t）＝﹣3t．（3）当△PDQ是等腰直角三角形时，则PE＝DE，如图④中，当点P在线段AB上时，在Rt△APE中，PE＝PA•sinA＝3t，∵DE＝AC﹣AE﹣CD﹣5﹣4t﹣2t＝5﹣6t，∵PE＝DE，∴3t＝5﹣6t，∴t＝．如图⑤中，当点P在线段BC上时，在Rt△PCE中，PE＝PC•sinC＝（7﹣5t）＝﹣4t，∵DE＝CD﹣CE＝2t﹣（7﹣5t）＝5t﹣，∴﹣4t＝5t﹣，解得t＝．观察图象可知满足条件的t的值为0＜t＜或＜t＜．（4）如图⑥中，当点P在线段AB上，QM∥AB时，过点Q作QG⊥AB于G，延长QN交BC于N，过点D作DH⊥BC于H．∵PB∥MN∥DH，PM＝DM，∴BN＝NH，在RtPQG中，PQ＝2PE＝6t，∴QG＝PQ＝t，在Rt△DCH中，HC＝DC＝t，∵BC＝BH+CH＝t+t+t＝3，解得t＝．如图⑦中，当点P在线段BC上，QM∥BC时，点点D作DH⊥BC于H，过点P作PK⊥QM于K．∵QM∥BC，DM＝PM，∴DH＝2PK，在Rt△PQK中，PQ＝2PE＝（7﹣5t），∴PK＝PQ＝（7﹣5t），在Rt△DCH中，DH＝DC＝t，∵DH＝2PK，∴t＝2×（7﹣5t），解得t＝，综上所述，满足条件的t的值为或．点拨：本题属于几何变换综合题，考查了解直角三角形，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．24．（12分）在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与y轴交于点A．（1）求点A的坐标．（2）当此函数图象经过点（1，2）时，求此函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围．（3）当x≤0时，若函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象的最低点到直线y＝2a的距离为2，求a的值．（4）设a＜0，Rt△EFG三个顶点的坐标分别为E（﹣1，﹣1）、F （﹣1，a﹣1）、G（0，a﹣1）．当函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与△EFG的直角边有交点时，交点记为点P．过点P作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为P′（P′与P不重合），过点A作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为A′．若AA′＝2PP′，直接写出a的值．解析：（1）当x＝0时，代入y＝x2﹣2ax﹣1，即可得出结果；（2）将点（1，2）代入y＝x2﹣2ax﹣1，得a＝﹣1，则函数的表达式为y＝x2+2x﹣1，由y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，得出抛物线的开口向上，对称轴为x＝﹣1，则当x＞﹣1时，y随x的增大而增大；（3）抛物线y＝x2﹣2ax﹣1＝（x﹣a）2﹣a2﹣1的对称轴为x＝a，顶点坐标为（a，﹣a2﹣1），当a＞0时，对称轴在y轴右侧，最低点就是A（0，﹣1），则2a﹣（﹣1）＝2，即可得出结果；当a＜0，对称轴在y轴左侧，顶点（a，﹣a2﹣1）就是最低点，则2a﹣（﹣a2﹣1）＝2，即可得出结果；（4）易证直角边为EF与FG，由抛物线的对称轴为x＝a，A（0，﹣1），则AA′＝﹣2a，当点P在EF边上时，PP′＝2（a+1），则﹣2a＝2×2（a+1），即可得出结果；当点P在FG边上时，求出PP′＝2，则﹣2a＝4，即可得出结果．参考答案：解：（1）当x＝0时，y＝x2﹣2ax﹣1＝﹣1，∴点A的坐标为：（0，﹣1）；（2）将点（1，2）代入y＝x2﹣2ax﹣1，得：2＝1﹣2a﹣1，解得：a＝﹣1，∴函数的表达式为：y＝x2+2x﹣1，∵y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，∴抛物线的开口向上，对称轴为x＝﹣1，如图1所示：∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大；（3）抛物线y＝x2﹣2ax﹣1＝（x﹣a）2﹣a2﹣1的对称轴为：x＝a，顶点坐标为：（a，﹣a2﹣1），当a＞0时，对称轴在y轴右侧，如图2所示：∵x≤0，∴最低点就是A（0，﹣1），∵图象的最低点到直线y＝2a的距离为2，∴2a﹣（﹣1）＝2，解得：a＝；当a＜0，对称轴在y轴左侧，顶点（a，﹣a2﹣1）就是最低点，如图3所示：∴2a﹣（﹣a2﹣1）＝2，整理得：（a+1）2＝2，解得：a 1＝﹣1﹣，a2＝﹣1+（不合题意舍去）；综上所述，a的值为或﹣1﹣；（4）∵a＜0，Rt△EFG三个顶点的坐标分别为E（﹣1，﹣1）、F （﹣1，a﹣1）、G（0，a﹣1），∴直角边为EF与FG，∵抛物线y＝x2﹣2ax﹣1＝（x﹣a）2﹣a2﹣1的对称轴为：x＝a，A （0，﹣1），∴AA′＝﹣2a，当点P在EF边上时，如图4所示：则x p＝﹣1，∵EA＝OA＝1，∴点P在对称轴x＝a的左侧，∴PP′＝2（a+1），∵AA′＝2PP′，∴﹣2a＝2×2（a+1），解得：a＝﹣；当点P在FG边上时，如图5所示：则y p＝a﹣1，∴x2﹣2ax﹣1＝a﹣1，解得：x 1＝a+，x2＝a﹣，∴PP′＝a+﹣（a﹣）＝2，∵AA′＝2PP′，∴﹣2a＝4，解得：a1＝﹣，a2＝0（不合题意舍去）；综上所述，a的值为﹣或﹣．点拨：本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数图象与性质、待定系数法求解析式、直角三角形的性质、解一元二次方程、分类讨论等知识；熟练掌握二次函数图象与性质是解题的关键．。
2022—2023学年吉林省长春市八年级上册数学期末专项突破模拟试卷(含解析)
2022—2023学年吉林省长春市八年级上册数学期末专项突破模拟试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1）A ．±6B ．6C ．D2．若2421x kx -+是完全平方式，则常数k 的值为（）A ．4B ．2C ．4±D ．2±3．若2x ＝3,4y ＝5，则2x －2y 的值为()．A ．35B ．－2C ．5D ．654．小明调查了本班每位同学最喜欢的颜色，并绘制了不完整的扇形图1及条形图2（柱的高度从高到低排列）．条形图不小心被撕了一块，图2中“（）”应填的颜色是（）A ．蓝B ．粉C ．黄D ．红5．下列四个命题：①同位角相等，两直线平行；②等边三角形的三个内角都相等；③全等三角形的对应角相等；④如果a b =，那么22a b =．它们的逆命题是真命题的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，已知DA 平分BAC ∠，再添加一个条件，可以使ABD ACD △≌△，则下面添加的条件错误的是（）A ．BC ∠=∠B ．BDA CDA ∠=∠C ．AB AC =D ．BD CD=7．古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是（）A ．直角三角形两个锐角互补B ．三角形内角和等于180°C ．三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边D ．如果三角形两条边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形8．如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =36°，由图中的尺规作图得到的射线与AC 交于点D ，则以下推断错误的是（）A ．BD BC =B ．AD BD =C ．108ADB ∠=︒D ．12CD AD =9．如图，已知在ABC 中，CD 是AB 边上的高线，BE 平分ABC ∠，交CD 于点E ，10BC =，3DE =，则BCE 的面积等于（）A ．9B ．13C ．15D ．3010．为预防新冠疫情，民生大院入口的正上方A 处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离AB ＝2.4米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温.当身高为 1.8米的市民CD 正对门缓慢走到离门0.8米的地方时（即BC ＝0.8米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离AD 等于（）A ．1.0米B ．1.2米C ．1.25米D ．1.5米二、填空题（每小题3分，共15分）11．分解因式：34m m -=___________．12．如图，在四边形ABCD 中，90ABC CDA ∠=∠=︒，分别以四边形ABCD 的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为123S S S ，，和4S ．若23418156S S S ===，，，则1S 的值是______．13．若将一个圆分成四个扇形，且它们的面积比为4∶3∶2∶1，则最小扇形的圆心角的度数是______．14．已知a 、b 为直角三角形的两边长，且满足()2340a b -+-=，则第三边长为______．15．如图所示，在ABC 中，AB AC =，直线EF 是线段AB 的垂直平分线，点D 是线段BC 的中点，点P 是直线EF 上一个动点．若ABC 的面积为48，12BC =，则PBD △周长的最小值是______．F三、解答题16．（8分）计算：﹣3217．（9分）先化简，再求值：()()()2115y y y +--+，其中32y =-．18．（9分）教育部办公厅印发了《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，要求中小学生原则上不得将个人手机带入校园，确有需求的，须经家长同意、书面提出申请，进校后应将手机交由学校统一保管，禁止带入课堂．为了解学生手机使用情况，某学校开展了“手机伴我健康行”的主题活动，他们随机抽取部分学生进行“使用手机的主要目的”和“每周使用手机的时间”的问卷调查，并绘制成如图①，②的统计图，已知“查资料”的人数是39人．根据以上信息解答下列问题：(1)该抽查的样本容量是，在扇形统计图中，“玩游戏”对应的圆心角度数是度；(2)补全条形统计图；(3)该校共有学生3000人，估计每周使用手机时间在2小时以上的学生人数．19．（9分）如图，甲乙两船同时从A 港出发，甲船沿北偏东35°的方向，航速是12海里/时，2小时后，两船同时到达了目的地．若C 、B 两岛的距离为30海里，问乙船的航速是多少？20．（9分）在一个支架的横杆点O 处用一根绳悬挂一个小球A ，小球A 可以摆动，如图，OA 表示小球静止时的位置．当小球从OA 摆到OB 位置时，过点B 作BD OA ⊥于点D ，当小球摆到OC 位置时，OB 与OC 恰好垂直，过点C 作CE OA ⊥于点E ，测得24cm CE =，30cm OA OB OC ===．(1)试说明OE BD =；(2)求AD 的长．21．（10分）如图，AD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ，连接EF ．(1)求证：点D 在EF 的垂直平分线上；(2)若16AB AC +=，24ABC S = ，求DE 的长．22．（10分）如图，在ABC 中，AD BC ⊥，垂足为D ，BD CD =，延长BC 至E ，使得CE CA =，连接AE ．(1)若24E ∠=︒，求B ∠；(2)若54AB AD ==，，求ABE 面积．23．（11分）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2346a ab b --+因式分解．【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：解法一：原式()()()()()()234623223232a ab b a b b b a =---=---=--解法二：原式()()()()()()24362232223a ab b a b a a b =---=---=--【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）【类比】(1)请用分组分解法将22x a x a -++因式分解；【应用】(2)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a 和()b a b >，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将432234222a a b a b ab b -+-+因式分解，再求值．答案第5页，共1页。
2020年吉林省长春市中考数学试题(解析版)
2020年吉林省长春市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为（）A．﹣1B．﹣1.5C．﹣3D．﹣4.22．（3分）为了增加青少年的校外教育活动场所，长春市将建成面积约为79000平方米的新少年宫，预计2020年12月正式投入使用．79000这个数用科学记数法表示为（）A．79×103B．7.9×104C．0.79×105D．7.9×1053．（3分）下列图形是四棱柱的侧面展开图的是（）A．B．C．D．4．（3分）不等式x+2≥3的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．5．（3分）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔顶中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为∠A，过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点D．通过测量可得AB、BD、AD的长度，利用测量所得的数据计算∠A的三角函数值，进而可求∠A的大小．下列关系式正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．sin A＝6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BDC＝20°，则∠AOC的大小为（）A．40°B．140°C．160°D．170°7．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC．按下列步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN，与边AB相交于点D，连结CD．下列说法不一定正确的是（）A．∠BDN＝∠CDN B．∠ADC＝2∠BC．∠ACD＝∠DCB D．2∠B+∠ACD＝90°8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，2），AB⊥x轴于点B，点C是线段OB上的点，连结AC．点P在线段AC上，且AP＝2PC，函数y＝（x＞0）的图象经过点P．当点C在线段OB上运动时，k的取值范围是（）A．0＜k≤2B．≤k≤3C．≤k≤2D．≤k≤4二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15元．若购买m张成人票和n张儿童票，则共需花费元．10．（3分）分解因式：a2﹣4＝．11．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为．12．（3分）正五边形的一个外角的大小为度．13．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，以点C为圆心，线段CA的长为半径作，交CB的延长线于点D，则阴影部分的面积为（结果保留π）．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2）．若抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD＝AB，则k的值为．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：（a﹣3）2+2（3a﹣1），其中a＝．16．（6分）现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“神舟首飞”，第三张卡片的正面图案为“保卫和平”，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率．（图案为“神舟首飞”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“保卫和平”的卡片记为B）17．（6分）图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB为边画△ABC．要求：（1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形；（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等；（3）点C在格点上．18．（7分）在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元．预计今年的销量是去年的3倍，年销售额为360万元．已知去年的年销售额为80万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？19．（7分）如图，在▱ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．（1）求证：OE＝OF．（2）若BE＝5，OF＝2，求tan∠OBE的值．20．（7分）空气质量按照空气质量指数大小分为六个级别，分别为：一级优、二级良、三级轻度污染、四级中度污染、五级重度污染、六级严重污染．级别越高，说明污染的情况越严重，对人体的健康危害也就越大．空气质量达到一级优或二级良的天气为达标天气，如图是长春市从2014年到2019年的空气质量级别天数的统计图表．2014﹣2019年长春市空气质量级别天数统计表优良轻度污染中度污染重度污染严重污染空气质量级别天数年份201430215732813620154319387191582016512375815502017652116216922018123202390102019126180381650根据上面的统计图表回答下列问题：（1）长春市从2014年到2019年空气质量为“达标”的天数最多的是年．（2）长春市从2014年到2019年空气质量为“重度污染”的天数的中位数为天，平均数为天．（3）长春市从2015年到2019年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数增加最多的是年，这一年空气质量为“优”的天数的年增长率约为（精确到1%）．（空气质量为“优”的天数的增长率＝×100%）（4）你认为长春市从2014年到2019年哪一年的空气质量好？请说明理由．21．（8分）已知A、B两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A地出发匀速开往B地，甲车出发两小时后，乙车从B地出发匀速开往A地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和y（千米）与甲车行驶的时间x（时）之间的函数关系如图所示．（1）甲车的速度为千米/时，a的值为．（2）求乙车出发后，y与x之间的函数关系式．（3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间．22．（9分）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．1．把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？【问题解决】如图①，已知矩形纸片ABCD（AB＞AD），将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边DC上，点A的对应点为A′，折痕为DE，点E在AB上．求证：四边形AEA′D是正方形．【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的△A′DE为等腰三角形．现将图①中的点A′沿DC向右平移至点Q处（点Q在点C的左侧），如图②，折痕为PF，点F在DC 上，点P在AB上，那么△PQF还是等腰三角形吗？请说明理由．【结论应用】在图②中，当QC＝QP时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点C与点P 重合，折痕为QG，点G在AB上．要使四边形PGQF为菱形，则＝．23．（10分）如图①，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3．点P从点A出发，沿折线AB﹣BC以每秒5个单位长度的速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿CA以每秒2个单位长度的速度向点A运动，点P到达点C时，点P、D同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，作点P关于直线AC的对称点Q，连结PQ交AC于点E，连结DP、DQ．设点P的运动时间为t秒．（1）当点P与点B重合时，求t的值．（2）用含t的代数式表示线段CE的长．（3）当△PDQ为锐角三角形时，求t的取值范围．（4）如图②，取PD的中点M，连结QM．当直线QM与△ABC的一条直角边平行时，直接写出t的值．24．（12分）在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与y轴交于点A．（1）求点A的坐标．（2）当此函数图象经过点（1，2）时，求此函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围．（3）当x≤0时，若函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象的最低点到直线y＝2a的距离为2，求a的值．（4）设a＜0，Rt△EFG三个顶点的坐标分别为E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，a﹣1）、G（0，a﹣1）．当函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与△EFG的直角边有交点时，交点记为点P．过点P作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为P′（P′与P不重合），过点A作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为A′．若AA′＝2PP′，直接写出a的值．2020年吉林省长春市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为（）A．﹣1B．﹣1.5C．﹣3D．﹣4.2【分析】由数轴上数的特征可得该数的取值范围，再进行判断即可．【解答】解：由数轴上墨迹的位置可知，该数大于﹣4，且小于﹣2，因此备选项中，只有选项C符合题意，故选：C．2．（3分）为了增加青少年的校外教育活动场所，长春市将建成面积约为79000平方米的新少年宫，预计2020年12月正式投入使用．79000这个数用科学记数法表示为（）A．79×103B．7.9×104C．0.79×105D．7.9×105【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【解答】解：79000这个数用科学记数法表示为：7.9×104．故选：B．3．（3分）下列图形是四棱柱的侧面展开图的是（）A．B．C．D．【分析】根据四棱柱的侧面展开图是矩形而且有4条棱进行解答即可．【解答】解：由四棱柱的特点可知：四棱柱的侧面展开图是矩形而且有4条棱．故选：A．4．（3分）不等式x+2≥3的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项可得．【解答】解：x≥3﹣2，x≥1，故选：D．5．（3分）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔顶中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为∠A，过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点D．通过测量可得AB、BD、AD的长度，利用测量所得的数据计算∠A的三角函数值，进而可求∠A的大小．下列关系式正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．sin A＝【分析】根据直角三角形的边角关系，即锐角三角函数逐个进行判断即可．【解答】解：在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，则sin A＝，cos A＝，tan A＝，因此选项A正确，选项B、C、D不正确；故选：A．6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BDC＝20°，则∠AOC的大小为（）A．40°B．140°C．160°D．170°【分析】先利用圆周角定理得到∠BOC＝40°，然后根据邻补角的定义计算出∠AOC的度数．【解答】解：∵∠BOC＝2∠BDC＝2×20°＝40°，∴∠AOC＝180°﹣40°＝140°．故选：B．7．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC．按下列步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN，与边AB相交于点D，连结CD．下列说法不一定正确的是（）A．∠BDN＝∠CDN B．∠ADC＝2∠BC．∠ACD＝∠DCB D．2∠B+∠ACD＝90°【分析】利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理一一判断即可．【解答】解：由作图可知，MN垂直平分线段BC，∴DB＝DC，MN⊥BC，∴∠BDN＝∠CDN，∠DBC＝∠DCB，∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝2∠B，∵∠A＝90°，∴∠ADC+∠ACD＝90°，∴2∠B+∠ACD＝90°，故选项A，B，D正确，故选：C．8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，2），AB⊥x轴于点B，点C是线段OB上的点，连结AC．点P在线段AC上，且AP＝2PC，函数y＝（x＞0）的图象经过点P．当点C在线段OB上运动时，k的取值范围是（）A．0＜k≤2B．≤k≤3C．≤k≤2D．≤k≤4【分析】设C（c，0）（0≤c≤3），过P作PD⊥x轴于点D，由△PCD∽△ACB，用c表示P点坐标，再求得k关于c的解析式，最后由不等式的性质求得k的取值范围．【解答】解：∵点A的坐标为（3，2），AB⊥x轴于点B，∴OB＝3，AB＝2，设C（c，0）（0≤c≤3），过P作PD⊥x轴于点D，则BC＝3﹣c，PD∥AB，OC＝c，∴△PCD∽△ACB，∴，∵AP＝2PC，∴，∴PD＝，CD＝1﹣c，∴OD＝OC+CD＝1+c，∴P（1+c，），把P（1+c，）代入函数y＝（x＞0）中，得k＝c，∵0≤c≤3∴，故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15元．若购买m张成人票和n张儿童票，则共需花费（30m+15n）元．【分析】根据单价×数量＝总价，用代数式表示结果即可．【解答】解：根据单价×数量＝总价得，共需花费（30m+15n）元，故答案为：（30m+15n）．10．（3分）分解因式：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）．【分析】有两项，都能写成完全平方数的形式，并且符号相反，可用平方差公式展开．【解答】解：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）．11．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为1．【分析】由于关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，可知其判别式为0，据此列出关于m的方程，解答即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，∴△＝0，∴（﹣2）2﹣4m＝0，∴m＝1，故答案为：1．12．（3分）正五边形的一个外角的大小为72度．【分析】根据多边形的外角和是360°，依此即可求解．【解答】解：正五边形的一个外角＝＝72°．故答案为：72．13．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，以点C为圆心，线段CA的长为半径作，交CB的延长线于点D，则阴影部分的面积为π﹣2（结果保留π）．【分析】利用勾股定理求出AC，证明∠C＝45°，根据S阴＝S扇形CAD﹣S△ACB计算即可．【解答】解：∵AB＝CB＝2，∠ABC＝90°，∴AC＝＝＝2，∴∠C＝∠BAC＝45°，∴S阴＝S扇形CAD﹣S△ACB＝﹣×2×2＝π﹣2，故答案为π﹣2．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2）．若抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD＝AB，则k的值为．【分析】根据题意，可以得到点C的坐标和h的值，然后将点C的坐标代入抛物线的解析式，即可得到k的值，本题得以解决．【解答】解：∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2），∴AB＝4，∵抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD＝AB＝2，∴设点C的坐标为（c，2），则点D的坐标为（c+2，2），h＝＝c+1，∴抛物线2＝﹣[c﹣（c+1）]2+k，解得，k＝．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：（a﹣3）2+2（3a﹣1），其中a＝．【分析】根据整式的混合运算顺序进行化简，再代入值求解即可．【解答】解：原式＝a2﹣6a+9+6a﹣2＝a2+7．当a＝时，原式＝（）2+7＝9．16．（6分）现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“神舟首飞”，第三张卡片的正面图案为“保卫和平”，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率．（图案为“神舟首飞”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“保卫和平”的卡片记为B）【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：根据题意画图如下：共有9种等可能的情况数，其中两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的有1种，则两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率是．17．（6分）图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB为边画△ABC．要求：（1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形；（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等；（3）点C在格点上．【分析】根据网格画出符合条件的三个三角形即可．【解答】解：如图所示：即为符合条件的三角形．18．（7分）在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元．预计今年的销量是去年的3倍，年销售额为360万元．已知去年的年销售额为80万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？【分析】设该村企去年黑木耳的年销量为x万斤，则今年黑木耳的年销量为3x万斤，根据单价＝总价÷数量结合今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解答】解：设该村企去年黑木耳的年销量为x万斤，则今年黑木耳的年销量为3x万斤，依题意，得：﹣＝20，解得：x＝2，经检验，x＝2是原方程的解，且符合题意．答：该村企去年黑木耳的年销量为2万斤．19．（7分）如图，在▱ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．（1）求证：OE＝OF．（2）若BE＝5，OF＝2，求tan∠OBE的值．【分析】（1）由平行四边形性质得OB＝OD，由AAS证得△OEB≌△OFD，即可得出结论；（2）由（1）得OE＝OF，则OE＝2，在Rt△OEB中，由三角函数定义即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠OEB＝∠OFD＝90°，在△OEB和△OFD中，，∴△OEB≌△OFD（AAS），∴OE＝OF；（2）解：由（1）得：OE＝OF，∵OF＝2，∴OE＝2，∵BE⊥AC，∴∠OEB＝90°，在Rt△OEB中，tan∠OBE＝＝．20．（7分）空气质量按照空气质量指数大小分为六个级别，分别为：一级优、二级良、三级轻度污染、四级中度污染、五级重度污染、六级严重污染．级别越高，说明污染的情况越严重，对人体的健康危害也就越大．空气质量达到一级优或二级良的天气为达标天气，如图是长春市从2014年到2019年的空气质量级别天数的统计图表．2014﹣2019年长春市空气质量级别天数统计表优良轻度污染中度污染重度污染严重污染空气质量级别天数年份201430215732813620154319387191582016512375815502017652116216922018123202390102019126180381650根据上面的统计图表回答下列问题：（1）长春市从2014年到2019年空气质量为“达标”的天数最多的是2018年．（2）长春市从2014年到2019年空气质量为“重度污染”的天数的中位数为7天，平均数为8天．（3）长春市从2015年到2019年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数增加最多的是2018年，这一年空气质量为“优”的天数的年增长率约为89%（精确到1%）．（空气质量为“优”的天数的增长率＝×100%）（4）你认为长春市从2014年到2019年哪一年的空气质量好？请说明理由．【分析】（1）从折线统计图可得答案；（2）利用中位数、众数的意义分别计算即可；（3）分别计算从2015年到2019年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数，进而利用增长率计算结果；（4）根据空气质量的等级天数进行判断即可．【解答】解：（1）从折线统计图中“达标”天数的折线的最高点，相应的年份为2018年，故答案为：2018；（2）将这6年的“重度污染”的天数从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为＝7，因此中位数是7天，这6年的“重度污染”的天数的平均数为＝8天，故答案为：7，8；（3）前一年相比，空气质量为“优”的天数增加量为：2015年，43﹣30＝13天；2016年，51﹣43＝8天；2017年，65﹣51＝14天；2018年，123﹣65＝58天；2019年，126﹣123＝3天，因此空气质量为“优”的天数增加最多的是2018年，增长率为≈89%，故答案为：2018，89%；（4）从统计表中数据可知，2018年空气质量好，2018年“达标天数”最多，重度污染、中度污染、严重污染的天数最少．21．（8分）已知A、B两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A地出发匀速开往B地，甲车出发两小时后，乙车从B地出发匀速开往A地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和y（千米）与甲车行驶的时间x（时）之间的函数关系如图所示．（1）甲车的速度为40千米/时，a的值为480．（2）求乙车出发后，y与x之间的函数关系式．（3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间．【分析】（1）根据图象可知甲车行驶2行驶所走路程为80千米，据此即可求出甲车的速度；进而求出甲车行驶6小时所走的路程为240千米，根据两车同时到达各自的目的地可得a＝240×2＝480；（2）运用待定系数法解得即可；（3）分两车相遇前与相遇后两种情况列方程解答即可．【解答】解：（1）由题意可知，甲车的速度为：80÷2＝40（千米/时）；a＝40×6×2＝480，故答案为：40；480；（2）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，由图可知，函数图象经过（2，80），（6，480），∴，解得，∴y与x之间的函数关系式为y＝100x﹣120；（3）两车相遇前：80+100（x﹣2）＝240﹣100，解得x＝；两车相遇后：80+100（x﹣2）＝240+100，解得x＝，答：当甲、乙两车相距100千米时，甲车行驶的时间是小时或小时．22．（9分）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．1．把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？【问题解决】如图①，已知矩形纸片ABCD（AB＞AD），将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边DC上，点A的对应点为A′，折痕为DE，点E在AB上．求证：四边形AEA′D是正方形．【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的△A′DE为等腰三角形．现将图①中的点A′沿DC向右平移至点Q处（点Q在点C的左侧），如图②，折痕为PF，点F在DC 上，点P在AB上，那么△PQF还是等腰三角形吗？请说明理由．【结论应用】在图②中，当QC＝QP时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点C与点P 重合，折痕为QG，点G在AB上．要使四边形PGQF为菱形，则＝．【分析】（1）根据邻边相等的矩形是正方形证明即可．（2）证明∠QFP＝∠FPQ即可解决问题．（3）证明△PFQ，△PGA都是等边三角形，设QF＝m，求出AB，AD（用m表示）即可解决问题．【解答】（1）证明：如图①中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADA′＝90°，由翻折可知，∠DA′E＝∠A＝90°，∴∠A＝∠ADA′＝∠DA′E＝90°，∴四边形AEA′D是矩形，∵DA＝DA′，∴四边形AEA′D是正方形．（2）解：结论：△PQF是等腰三角形．理由：如图②中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠QFP＝∠APF，由翻折可知，∠APF＝∠FPQ，∴∠QFP＝∠FPQ，∴QF＝QP，∴△PFQ是等腰三角形．（3）如图③中，∵四边形PGQF是菱形，∴PG＝GQ＝FQ＝PF，∵QF＝QP，∴△PFQ，△PGQ都是等边三角形，设QF＝m，∵∠FQP＝60°，∠PQD′＝90°，∴∠DQD′＝30°，∵∠D′＝90°，∴FD′＝DF＝FQ＝m，QD′＝D′F＝m，由翻折可知，AD＝QD′＝m，PQ＝CQ＝FQ＝m，∴AB＝CD＝DF+FQ+CQ＝m，∴＝＝．故答案为．23．（10分）如图①，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3．点P从点A出发，沿折线AB﹣BC以每秒5个单位长度的速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿CA以每秒2个单位长度的速度向点A运动，点P到达点C时，点P、D同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，作点P关于直线AC的对称点Q，连结PQ交AC于点E，连结DP、DQ．设点P的运动时间为t秒．（1）当点P与点B重合时，求t的值．（2）用含t的代数式表示线段CE的长．（3）当△PDQ为锐角三角形时，求t的取值范围．（4）如图②，取PD的中点M，连结QM．当直线QM与△ABC的一条直角边平行时，直接写出t的值．【分析】（1）根据AB＝4，构建方程求解即可．（2）分两种情形：当点P在线段AB上时，首先利用勾股定理求出AC，再求出AE即可解决问题．当点P在线段BC上时，在Rt△PCE中，求出EC即可．（3）求出两种特殊情形下△PDQ是等腰直角三角形时t的值，即可求解当△PDQ为锐角三角形时t的取值范围．（4）分两种情形：如图⑥中，当点P在线段AB上，QM∥AB时．如图⑦中，当点P 在线段BC上，QM∥BC时，分别求解即可．【解答】解：（1）当点P与B重合时，5t＝4，解得t＝．（2）在Rt△ABC中，∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，∴AC＝＝＝5，∴sin A＝，cos A＝，如图①中，当点P在线段AB上时，在Rt△APE中，AE＝AP•cos A＝4t，∴EC＝5﹣4t．如图③中，当点P在线段BC上时，在Rt△PEC中，PC＝7﹣5t，cos C＝，∴EC＝PC•cos C＝（7﹣5t）＝﹣3t．（3）当△PDQ是等腰直角三角形时，则PE＝DE，如图④中，当点P在线段AB上时，在Rt△APE中，PE＝P A•sin A＝3t，∵DE＝AC﹣AE﹣CD＝5﹣4t﹣2t＝5﹣6t，∵PE＝DE，∴3t＝5﹣6t，∴t＝．如图⑤中，当点P在线段BC上时，在Rt△PCE中，PE＝PC•sin C＝（7﹣5t）＝﹣4t，∵DE＝CD﹣CE＝2t﹣（7﹣5t）＝5t﹣，∴﹣4t＝5t﹣，解得t＝．∵△PDQ是锐角三角形，∴观察图象可知满足条件的t的值为0＜t＜或＜t＜．（4）如图⑥中，当点P在线段AB上，QM∥AB时，过点Q作QG⊥AB于G，延长QM交BC于N，过点D作DH⊥BC于H．∵PB∥MN∥DH，PM＝DM，∴BN＝NH，在Rt△PQG中，PQ＝2PE＝6t，∴QG＝PQ＝t，在Rt△DCH中，HC＝DC＝t，∵BC＝BH+CH＝t+t+t＝3，解得t＝．如图⑦中，当点P在线段BC上，QM∥BC时，过点D作DH⊥BC于H，过点P作PK⊥QM于K．∵QM∥BC，DM＝PM，∴DH＝2PK，在Rt△PQK中，PQ＝2PE＝（7﹣5t），∴PK＝PQ＝（7﹣5t），在Rt△DCH中，DH＝DC＝t，∵DH＝2PK，∴t＝2×（7﹣5t），解得t＝，综上所述，满足条件的t的值为或．24．（12分）在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与y轴交于点A．（1）求点A的坐标．（2）当此函数图象经过点（1，2）时，求此函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围．（3）当x≤0时，若函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象的最低点到直线y＝2a的距离为2，求a的值．（4）设a＜0，Rt△EFG三个顶点的坐标分别为E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，a﹣1）、G（0，a﹣1）．当函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与△EFG的直角边有交点时，交点记为点P．过点P作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为P′（P′与P不重合），过点A作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为A′．若AA′＝2PP′，直接写出a的值．【分析】（1）当x＝0时，代入y＝x2﹣2ax﹣1，即可得出结果；（2）将点（1，2）代入y＝x2﹣2ax﹣1，得a＝﹣1，则函数的表达式为y＝x2+2x﹣1，由y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，得出抛物线的开口向上，对称轴为x＝﹣1，则当x＞﹣1时，y随x的增大而增大；（3）抛物线y＝x2﹣2ax﹣1＝（x﹣a）2﹣a2﹣1的对称轴为x＝a，顶点坐标为（a，﹣a2﹣1），当a＞0时，对称轴在y轴右侧，最低点就是A（0，﹣1），则2a﹣（﹣1）＝2，即可得出结果；当a＜0，对称轴在y轴左侧，顶点（a，﹣a2﹣1）就是最低点，则2a﹣（﹣a2﹣1）＝2，即可得出结果；（4）易证直角边为EF与FG，由抛物线的对称轴为x＝a，A（0，﹣1），则AA′＝﹣2a，当点P在EF边上时，PP′＝2（a+1），则﹣2a＝2×2（a+1），即可得出结果；当点P 在FG边上时，求出PP′＝2，则﹣2a＝4，即可得出结果．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝x2﹣2ax﹣1＝﹣1，∴点A的坐标为：（0，﹣1）；（2）将点（1，2）代入y＝x2﹣2ax﹣1，得：2＝1﹣2a﹣1，解得：a＝﹣1，∴函数的表达式为：y＝x2+2x﹣1，∵y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，∴抛物线的开口向上，对称轴为x＝﹣1，如图1所示：∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大；（3）抛物线y＝x2﹣2ax﹣1＝（x﹣a）2﹣a2﹣1的对称轴为：x＝a，顶点坐标为：（a，﹣a2﹣1），当a＞0时，对称轴在y轴右侧，如图2所示：∵x≤0，∴最低点就是A（0，﹣1），∵图象的最低点到直线y＝2a的距离为2，∴2a﹣（﹣1）＝2，解得：a＝；当a＜0，对称轴在y轴左侧，顶点（a，﹣a2﹣1）就是最低点，如图3所示：∴2a﹣（﹣a2﹣1）＝2，整理得：（a+1）2＝2，解得：a1＝﹣1﹣，a2＝﹣1+（不合题意舍去）；综上所述，a的值为或﹣1﹣；（4）∵a＜0，Rt△EFG三个顶点的坐标分别为E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，a﹣1）、G（0，a﹣1），∴直角边为EF与FG，∵抛物线y＝x2﹣2ax﹣1＝（x﹣a）2﹣a2﹣1的对称轴为：x＝a，A（0，﹣1），∴AA′＝﹣2a，当点P在EF边上时，如图4所示：则x p＝﹣1，∵EA＝OA＝1，∴点P在对称轴x＝a的左侧，∴PP′＝2（a+1），∵AA′＝2PP′，∴﹣2a＝2×2（a+1），解得：a＝﹣；当点P在FG边上时，如图5所示：则y p＝a﹣1，∴x2﹣2ax﹣1＝a﹣1，解得：x1＝a+，x2＝a﹣，∴PP′＝a+﹣（a﹣）＝2，∵AA′＝2PP′，∴﹣2a＝4，解得：a1＝﹣，a2＝0（不合题意舍去）；综上所述，a的值为﹣或﹣．第31页（共31页）。
2020年吉林省长春市中考数学评价检测试卷
2020年吉林省长春市中考数学评价检测试卷（十）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）在2-□3的“□”中填入一个运算符号使运算结果最小() A．+B．-C．⨯D．÷2．（3分）据报道，目前我国“天河二号”超级计算机的运算速度位居全球第一，其运算速度达到了每秒338600000亿次，数字338600000用科学记数法可表示为()A．933.8610⨯D．8⨯C．7⨯B．90.3386103.38610⨯3.386103．（3分）如图是由7个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，所得几何体()A．主视图改变，俯视图改变B．左视图改变，俯视图改变C．俯视图不变，左视图改变D．主视图不变，左视图不变4．（3分）一元二次方程2+=的根的情况是()413x xA．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根5．（3分）如图，以正五边形ABCDE的边DE为边作等边三角形DEF，使点F在其内部，连结FC，则DFE∠的大小是()A．76︒B．66︒C．60︒D．48︒6．（3分）在ABCD中，AB BC<，对角线AC的垂直平分线交AD于点E，连结CE，若∆的周长为()ABCD的周长为20cm，则CDEA ．20cmB ．40cmC ．15cmD ．10cm7．（3分）如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m ．如果在坡度为1:2的山坡上种树，也要求株距为4m ，那么相邻两树间的坡面距离为( )A ．4mB ．25mC ．833mD ．8m8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的对角线OB 、AC 相交于点D ，//BE AC ，//AE OB ．函数(0,0)k y k x x=>>的图象经过点E ．若点A 、C 的坐标分别为(3,0)、(0,2)，则k 的值为( )A ．3B ．4C ．4.5D ．6二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）计算：24a a = ．10．（3分）关于x 的方程21x a +=的解是负数，则a 的取值范围是 ．11．（3分）如图，①以点A 为圆心2cm 长为半径画弧分别交MAN ∠的两边AM 、AN 于点B 、D ；②以点B 为圆心，AD 长为半径画弧，再以点D 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点C ； ③分别连结BC 、CD 、AC ．若60MAN ∠=︒，则ACB ∠的大小为 ．12．（3分）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D 、E 、F 分别是AB 、AC 、AD 的中点，若8AB =，则EF = ．13．（3分）如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形．则展开后三角形的周长是 ．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为3(2-，2)、5(2，2)，连结AB ，若函数21()2y x h =-与线段AB 有交点，则h 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15．（6分）先化简，再求值：2(1)(3)x x x ---，其中51x =．16．（6分）一个不透明的口袋中有1个红球、1个黄球、1个篮球，这些球除颜色不同外其他完全相同，小刚同学从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回并摇匀；再从口袋中随机摸出一个球记下颜色，用画树状图或列表格的方法，求小刚同学摸出的小球一次红色一次黄色的概率．17．（6分）我市经济技术开发区某智能手机有限公司接到生产300万部智能手机的订单，为了尽快交货，增开了一条生产线，实际每月生产能力比原计划提高了50%，结果比原计划提前5个月完成交货，求每月实际生产智能手机多少万部．18．（7分）如图，ABP ∆是等边三角形的顶点A 、B 均在O 上，PB 与O 相切于点B ，BC 为O 直径．（1）求证：PA 是O 的切线．（2）连结OP，若4BC=，则OP的长为．19．（7分）图①、图②、图③都是66⨯的网格，每个小正方形的顶点称为格点．ABC∆顶点A、B、C均在格点上．在图①、图②、图③给定网格中按要求作图，并保留作图痕迹．（1）在图①中画出ABC∆中BC边上的中线AD．（2）在图②中画出ABC∆的AB边上确定一点E，使2AE BE=．（3）在图③中画出BMN∆，使得BMN∆与ABC∆是位似图形，且点B为位似中心，点M、N分别在AB、AC边上，位似比为13．20．（7分）某社区调查社区居民双休日的学习状况，采取下列调查方式：（1）下列调查方式最合理的是（填序号）．①从一幢高层住宅楼中选取200名居民；②从不同住宅楼中随机选取200名居民；③选取社区内的200名在校学生．（2）将最合理的调查方式得到的数据制成了如下扇形统计图和条形统计图．①补全条形统计图．②在这次调查中，200名居民中，在家学习的有人．（3）请估计该社区2000名居民中双休日学习时间不少于4小时的人数．21．（8分）某公司计划开发一批新产品，由甲、乙两个工厂同时加工这批产品．乙工厂先加工了两天后，维修设备，当维修完设备时，甲、乙两工厂加工的新产品数量相等，乙工厂再以原来的工作效率继续加工这批产品．甲、乙两工厂加工新产品的数量y（件)、甲（件)与加工新产品的时间x（天)的函数图象如图所示．y乙（1）甲工厂每天加工件新产品；（2）乙工厂维修设备的时间是多少天；（件)与加工新产品的时间x（天)的函数（3）求乙工厂维修设备后加工新产品的数量y乙关系式，并写出自变量x的取值范围．22．（9分）【问题情境】如图①，在Rt ABC=，点D为AB中点，连结CD，点E为CB∠=︒，AC BCACB∆中，90上一点，过点E且垂直于DE的直线交AC于点F．易知：BE CF=．（不需要证明）【探索发现】如图②，在Rt ABC=，点D为AB中点，连结CD，点E为CB∠=︒，AC BC∆中，90ACB的延长线上一点，过点E且垂直于DE的直线交AC的延长线于点F．【问题情境】中的结论还成立吗？请说明理由．【类比迁移】如图③，在等边ABC∆中，4AB=，点D是AB中点，点E是射线AC上一点（不与点A、C 重合），将射线DE 绕点D 逆时针旋转60︒交BC 于点F ．当2CF CE =时，CE = ．23．（10分）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，3AC =．动点P 从点C 出发以每秒1个单位的速度沿CA 匀速向终点A 运动，同时点Q 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿AB 匀速向终点B 运动，以PC 、PQ 为邻边构造平行四边形PQMC ，当点P 到达点A 时，点Q 也随之停止运动．设点P 的运动时间为t 秒．（1）求线段AB 的长．（2）当PQ 与ABC ∆的边平行或垂直时，求t 的值．（3）设平行四边形PQMC 与ABC ∆重叠部分图形的面积为S ，求S 与t 的函数关系式．（4）以PC 为边向左侧做正方形PCEF ，当正方形PCEF 和平行四边形PQMC 重叠部分的图形是轴对称图形时，直接写出t 的取值范围．24．（12分）定义：关于x 轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”． 例如：2(1)2y x =--的“同轴对称抛物线”为2(1)2y x =--+．（1）满足什么条件的抛物线与其“同轴对称抛物线”的顶点重合： ．（2）求抛物线2112y x x =-++的“同轴对称抛物线”． （3）如图，在平面直角坐标系中，点B 是抛物线2:41L y ax ax =-+上一点，点B 的横坐标为1，过点B 作x 轴的垂线，交抛物线L 的“同轴对称抛物线”于点C ，分别作点B 、C 关于抛物线对称轴对称的点B '、C '，连接BC 、CC '、B C ''、BB '，设四边形BB C C ''的面积为(0)S S>．①当四边形BB C C''为正方形时，求a的值．②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出a的取值范围．2020年吉林省长春市中考数学评价检测试卷（十）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）在2-□3的“□”中填入一个运算符号使运算结果最小() A．+B．-C．⨯D．÷【解答】解：231-+=，235--=-，236-⨯=-，2 233-÷=-，26513-<-<-<，∴在2-□3的“□”中填入一个运算符号“⨯”使运算结果最小，故选：C．2．（3分）据报道，目前我国“天河二号”超级计算机的运算速度位居全球第一，其运算速度达到了每秒338600000亿次，数字338600000用科学记数法可表示为()A．93.38610⨯B．90.338610⨯C．733.8610⨯D．83.38610⨯【解答】解：将338600000用科学记数法表示为：83.38610⨯．故选：D．3．（3分）如图是由7个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，所得几何体()A．主视图改变，俯视图改变B．左视图改变，俯视图改变C．俯视图不变，左视图改变D．主视图不变，左视图不变【解答】解：几何体由上下两层组成，将正方体①移走前的主视图为：上层有一个正方形，下层有四个正方形，正方体①移走后的主视图为：上层有一个正方形，下层有四个正方形，没有改变；将正方体①移走前的左视图为：上层有一个正方形，下层有两个正方形，正方体①移走后的左视图为：上层有一个正方形，下层有两个正方形，没有发生改变；将正方体①移走前的俯视图为：前面有两个正方形，后面有四个正方形，正方体①移走后的俯视图为：前面有一个正方形，后面有四个正方形，发生改变，4．（3分）一元二次方程2413x x +=的根的情况是( )A ．没有实数根B ．只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根【解答】解：原方程可变形为24310x x -+=，△2(3)44170=--⨯⨯=-<，∴一元二次方程2413x x +=没有实数根． 故选：A ．5．（3分）如图，以正五边形ABCDE 的边DE 为边作等边三角形DEF ，使点F 在其内部，连结FC ，则DFE ∠的大小是( )A ．76︒B ．66︒C ．60︒D ．48︒【解答】解：因为DEF ∆是等边三角形，所以60DFE ∠=︒，故选：C ．6．（3分）在ABCD 中，AB BC <，对角线AC 的垂直平分线交AD 于点E ，连结CE ，若ABCD 的周长为20cm ，则CDE ∆的周长为( )A ．20cmB ．40cmC ．15cmD ．10cm【解答】解：对角线AC 的垂直平分线交AD 于点E ，AE CE ∴=， ABCD 的周长为20cm ，10AD DC cm ∴+=，CDE ∴∆的周长10DE CE CD AE DE CD AD CD cm =++=++=+=，7．（3分）如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m ．如果在坡度为1:2的山坡上种树，也要求株距为4m ，那么相邻两树间的坡面距离为( )A ．4mB ．25mC ．833mD ．8m 【解答】解：如图，AB 的坡度为1:2， ∴12AC BC =，即142AC =， 解得，2AC =， 由勾股定理得，22224225()AB BC AC m =+=+=，故选：B ．8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的对角线OB 、AC 相交于点D ，//BE AC ，//AE OB ．函数(0,0)k y k x x=>>的图象经过点E ．若点A 、C 的坐标分别为(3,0)、(0,2)，则k 的值为( )A ．3B ．4C ．4.5D ．6【解答】解：//BE AC ，//AE OB ，∴四边形AEBD 是平行四边形，四边形OABC 是矩形，C 的坐标为(0,2)，12DA AC ∴=，12DB OB =，AC OB =，2AB OC ==， DA DB ∴=，∴四边形AEBD 是菱形；连接DE ，交AB 于F ，如图所示： 四边形AEBD 是菱形，AB ∴与DE 互相垂直平分，3OA =，2OC =，1322EF DF OA ∴===，112AF AB ==，39322+=，∴点E 坐标为：9(2，1)．函数(0,0)ky k x x =>>的图象经过点E ，99122k ∴=⨯=．故选：C ．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．（3分）计算：24a a = 6a ． 【解答】解：24246a a a a +==． 故答案为：6a ．10．（3分）关于x 的方程21x a +=的解是负数，则a 的取值范围是 0.5a > ． 【解答】解：21x a +=的解为12x a =-，120a ∴-<，则0.5a >， 故答案为：0.5a >．11．（3分）如图，①以点A 为圆心2cm 长为半径画弧分别交MAN ∠的两边AM 、AN 于点B 、D ；②以点B 为圆心，AD 长为半径画弧，再以点D 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点C ； ③分别连结BC 、CD 、AC ．若60MAN ∠=︒，则ACB ∠的大小为 30︒ ．【解答】解：由题意可得：2AB BC CD AD cm ====， ∴四边形ABCD 是菱形，//BC DA ∴，1302CAB CAD MAN ∠=∠=∠=︒，30ACB CAD ∴∠=∠=︒，故答案为：30︒．12．（3分）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D 、E 、F 分别是AB 、AC 、AD 的中点，若8AB =，则EF = 2 ．【解答】解：在Rt ABC ∆中，D 是AB 的中点，且8AB =， AD BD ∴=，142CD AB ∴==， AF DF =，AE EC =，122EF CD ∴==．故答案为：2．13．（3分）如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形．则展开后三角形的周长是 2210+ ．【解答】解：根据题意，三角形的底边为2(1024)2÷-=，腰的平方为223110+=， 因此等腰三角形的腰为10， 因此等腰三角形的周长为：2210+． 答：展开后等腰三角形的周长为2210+．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为3(2-，2)、5(2，2)，连结AB ，若函数21()2y x h =-与线段AB 有交点，则h 的取值范围是 7922h- ．【解答】解：函数21()2y x h =-，∴对称轴为x h =，当32h <-时，点3(2-，2)在函数图象上，则有2132()22h =--，解得72h =-或12h =（舍)，当52h >时，点5(2，2)在函数图象上， 则有则有2152()22h =-，解得12h =（舍)或92h =， 7922h∴-时函数与线段AB 有交点， 故答案为7922h-． 三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：2(1)(3)x x x ---，其中51x =． 【解答】解：原式22213x x x x =-+-+1x =+，当51x =时，原式11=+=．16．（6分）一个不透明的口袋中有1个红球、1个黄球、1个篮球，这些球除颜色不同外其他完全相同，小刚同学从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回并摇匀；再从口袋中随机摸出一个球记下颜色，用画树状图或列表格的方法，求小刚同学摸出的小球一次红色一次黄色的概率．【解答】解：列表如下：所有等可能的情况有9种，其中摸出的小球一次红色一次黄色的情况有2种，所以摸出的小球一次红色一次黄色的概率为29．17．（6分）我市经济技术开发区某智能手机有限公司接到生产300万部智能手机的订单，为了尽快交货，增开了一条生产线，实际每月生产能力比原计划提高了50%，结果比原计划提前5个月完成交货，求每月实际生产智能手机多少万部．【解答】解：设原计划每月生产智能手机x万部，则实际每月生产智能手机(150%)x+万部，根据题意得：3003005(150%)x x-=+，解得：20x=，经检验，20x=是原方程的解，且符合题意，(150%)30x∴+=．答：每月实际生产智能手机30万部．18．（7分）如图，ABP∆是等边三角形的顶点A、B均在O上，PB与O相切于点B，BC为O直径．（1）求证：PA是O的切线．（2）连结OP，若4BC=，则OP的长为4．【解答】证明：（1）如图，连接OA ，OP ，AC ，PB 与O 相切于点B ，90PBO ∴∠=︒， ABP ∆是等边三角形，AB PB ∴=，60PAB PBA APB ∠=∠=︒=∠， 30OBA ∴∠=︒， OA OB =，30OAB OBA ∴∠=∠=︒， 90OAP ∴∠=︒，且OA 是半径，PA ∴是O 的切线；（2）PA 是O 的切线，PB 是O 的切线，OP ∴平分APB ∠，1302OPB APB ABC ∴∠=∠=︒=∠，BC 是直径，90BAC PBO ∴∠=︒=∠，且AB PB =，OPB ABC ∠=∠，()ABC BPO ASA ∴∆≅∆4BC PB ∴==，故答案为：4．19．（7分）图①、图②、图③都是66⨯的网格，每个小正方形的顶点称为格点．ABC ∆顶点A、B、C均在格点上．在图①、图②、图③给定网格中按要求作图，并保留作图痕迹．（1）在图①中画出ABC∆中BC边上的中线AD．（2）在图②中画出ABC∆的AB边上确定一点E，使2AE BE=．（3）在图③中画出BMN∆，使得BMN∆与ABC∆是位似图形，且点B为位似中心，点M、N分别在AB、AC边上，位似比为13．【解答】解：（1）如图①所示，AD即为所求；（2）如图②所示，点E即为所求；（3）如图③所示，MN即为所求．20．（7分）某社区调查社区居民双休日的学习状况，采取下列调查方式：（1）下列调查方式最合理的是②（填序号）．①从一幢高层住宅楼中选取200名居民；②从不同住宅楼中随机选取200名居民；③选取社区内的200名在校学生．（2）将最合理的调查方式得到的数据制成了如下扇形统计图和条形统计图．①补全条形统计图．②在这次调查中，200名居民中，在家学习的有人．（3）请估计该社区2000名居民中双休日学习时间不少于4小时的人数．【解答】解：（1）下列调查方式最合理的是②从不同住宅楼中随机选取200名居民，故答案为：②；（2）①在图书馆学习的有：200(160%10%)60⨯--=（人)，在图书馆学习4h的有：60(14166)603624-++=-=（人)，补全的条形统计图，如右图所示；②在这次调查中，200名居民中，在家学习的有：20060%120⨯=（人)，故答案为：120；（3）2450163661020001420200+++++⨯=（人)，答：该社区2000名居民中双休日学习时间不少于4小时的有1420人．21．（8分）某公司计划开发一批新产品，由甲、乙两个工厂同时加工这批产品．乙工厂先加工了两天后，维修设备，当维修完设备时，甲、乙两工厂加工的新产品数量相等，乙工厂再以原来的工作效率继续加工这批产品．甲、乙两工厂加工新产品的数量y甲（件)、y乙（件)与加工新产品的时间x（天)的函数图象如图所示．（1）甲工厂每天加工20件新产品；（2）乙工厂维修设备的时间是多少天；（3）求乙工厂维修设备后加工新产品的数量y乙（件)与加工新产品的时间x（天)的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．【解答】解：（1）160820÷=（件)；故答案为：20；（2）方法一：80204÷=，422-=，答：乙工厂维修设备的时间是2天；方法二：设y甲与x的函数关系式为y mx=甲，由题意，得8160m=，解得20m=，y 甲与x的函数关系式为20y x=甲，当80y=时，4x=，422-=（天)，答：乙工厂维修设备的时间是2天；（3）乙工厂第8天共加工了(82)40240-⨯=件，设y乙与x的函数关系式为y kx b=+乙，由题意，得480 8240k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得4080kb=⎧⎨=-⎩，y ∴乙与x 的函数关系式为4080y x =-乙．22．（9分）【问题情境】如图①，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 为AB 中点，连结CD ，点E 为CB 上一点，过点E 且垂直于DE 的直线交AC 于点F ．易知：BE CF =．（不需要证明） 【探索发现】如图②，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 为AB 中点，连结CD ，点E 为CB 的延长线上一点，过点E 且垂直于DE 的直线交AC 的延长线于点F ． 【问题情境】中的结论还成立吗？请说明理由． 【类比迁移】如图③，在等边ABC ∆中，4AB =，点D 是AB 中点，点E 是射线AC 上一点（不与点A 、C 重合），将射线DE 绕点D 逆时针旋转60︒交BC 于点F ．当2CF CE =时，CE =33-或17-+ ．【解答】解：【问题情境】证明：在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 为AB 中点，CD AB ∴⊥，12CD BD AD AB ===，45BCD B ∠=∠=︒， 90BDC ∴∠=︒， 90EDF ∠=︒， CDF BDE ∴∠=∠，在BDE ∆与CDF ∆中，B DCF BD CD BDE CDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()BDE CDF ASA ∴∆≅∆，BE CF ∴=；【探索发现】成立， 理由：在Rt ABC ∆中，D 为AB 中点，CD BD ∴=，又AC BC =，DC AB ∴⊥，45DBC DCB ∴∠=∠=︒， DE DF ⊥，90EDF ∴∠=︒，90EDB BDF CDF BDF ∴∠+∠=∠+∠=︒， CDF BDE ∴∠=∠， ADF CDE ∴∠=∠， AF CE ∴=， CF BE ∴=；【类比迁移】ABC ∆是等边三角形，60A B ∴∠=∠=︒， 60FDE ∠=︒，120BDF ADE ∴∠=︒-∠，120AED ADE ∠=︒-∠， BDF AED ∴∠=∠， ADE BDF ∴∆∆∽，∴AD AEBF BD=， 点D 为AB 中点，4AB =，2AD BD ∴==，4AC BC ==， 2CF CE =，∴设CE x =，则2CF x =，当点E 在线段AC 上时，4AE x ∴=-，42BF x =-，∴24422x x -=-， 解得：33x =-，33x =+（不合题意，舍去），33CE ∴=-，如图④，当点E 在AC 的延长线上时，4AE x =+，42BF x =-，∴24422x x +=-， 解得：17x =-+，（负值舍去），17CE ∴=-+．综上所述，33CE =-或17-+，故答案为：33-或17-+．23．（10分）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，3AC =．动点P 从点C 出发以每秒1个单位的速度沿CA 匀速向终点A 运动，同时点Q 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿AB 匀速向终点B 运动，以PC 、PQ 为邻边构造平行四边形PQMC ，当点P 到达点A 时，点Q 也随之停止运动．设点P 的运动时间为t 秒．（1）求线段AB 的长．（2）当PQ 与ABC ∆的边平行或垂直时，求t 的值．（3）设平行四边形PQMC 与ABC ∆重叠部分图形的面积为S ，求S 与t 的函数关系式．（4）以PC 为边向左侧做正方形PCEF ，当正方形PCEF 和平行四边形PQMC 重叠部分的图形是轴对称图形时，直接写出t 的取值范围．【解答】解：（1）在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，3AC =，26AB AC ∴==；（2）当PQ AB ⊥时，9060BAC ABC ∠=︒-∠=︒，9030APQ BAC ∴∠=︒-∠=︒，2AP AQ ∴=，由题意得：2AQ t =，PC t =，3AP t ∴=-，322t t ∴-=⨯， 解得：35t =； 当//PQ BC 时，30AQP ABC ∠=∠=︒，90APQ ACB ∠=∠=︒，2AQ AP ∴=，22(3)t t ∴=-， 解得：32t =； 综上所述，当PQ 与ABC ∆的边平行或垂直时，t 的值为35秒或32秒； （3）分两种情况：①当302t <时，作QG AC ⊥于G ，如图1所示：则12AG AQ t ==，33QG AG t ==， S ∴=平行四边形233PQMC PC QG t t t =⨯=；即23S t =（当30)2t< ②当332t <时，如图2所示：四边形PQMC 是平行四边形，//QM PC ∴，PC BC ⊥，QM BC ∴⊥，30ABC ∠=︒， 11(62)322QH BQ t t ∴==-=-， S ∴=直角梯形PCHQ 的面积133(3)32t t t t =-+⨯=； 即333(3)2S t t =<； （4）分两种情况：①当//PQ BC 时，正方形PCEF 和平行四边形PQMC 重叠部分的图形是正方形PCEF ，轴对称图形，如图3所示：则30AQP ABC ∠=∠=︒，90APQ ACB ∠=∠=︒，2AQ AP =，22(3)t t ∴=-，解得：32t =； ②当正方形PCEF 和平行四边形PQMC 重叠部分的图形是等腰直角CPF ∆时，是轴对称图形； 则45CPF ∠=︒，作QD AC ⊥于D ，如图4所示：则12AD AQ t ==，33QD t ==， //PQ CM ，45QPD ∴∠=︒，QPD ∴∆是等腰直角三角形，3PD QD t ∴==，AD PD PC AC ++∠=，33t t t ∴+=， 解得：633t =-综上所述，当正方形PCEF 和平行四边形PQMC 重叠部分的图形是轴对称图形时，t 的取值为32或633- 24．（12分）定义：关于x 轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”． 例如：2(1)2y x =--的“同轴对称抛物线”为2(1)2y x =--+．（1）满足什么条件的抛物线与其“同轴对称抛物线”的顶点重合： 顶点在x 轴上 ．（2）求抛物线2112y x x =-++的“同轴对称抛物线”． （3）如图，在平面直角坐标系中，点B 是抛物线2:41L y ax ax =-+上一点，点B 的横坐标为1，过点B 作x 轴的垂线，交抛物线L 的“同轴对称抛物线”于点C ，分别作点B 、C 关于抛物线对称轴对称的点B '、C '，连接BC 、CC '、B C ''、BB '，设四边形BB C C ''的面积为(0)S S >．①当四边形BB C C ''为正方形时，求a 的值．②当抛物线L 与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出a 的取值范围．【解答】解：（1） “同轴对称抛物线”的顶点重合， ∴顶点关于x 轴对称且重合，∴顶点在x 轴上，故答案为：顶点在x 轴上；（2）221131(1)222y x x x =-++=--+， ∴ “同轴对称抛物线”的顶点坐标为3(1,)2-， 213(1)22y x ∴=--； （3）①由题可知，(1,13)B a -，(1,31)C a ∴-，抛物线241y ax ax =-+的对称轴为2x =，(3,13)B a '∴-，(3,31)C a '-，2BB CC ''∴==，26BC a ∴=-或62BC a =-， 262a ∴-=或622a -=，0a ∴=（舍去）或23a =； ②函数的对称轴为2x =，函数L 的顶点坐标为(2,14)a -， L 与“同轴对称抛物线”是关于x 轴对称的，所以整数点也是对称的出现， 抛物线L 与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内，在x 轴上的整数点可以是3个或5个，L ∴与x 轴围城的区域的整数点为4个或3个； 当0a >时，当1x =时，2131a --<-，∴213a <， 当2x =时，142a -<-，34a ∴>， ∴314a <； 当0a <时， 当2x =时，142a -，14a ∴-， 当1x =-时，510a +<，15a ∴<-，1145a ∴-<-； 综上所述：314a <或1145a -<-．。
吉林省长春市九台区第三十一中学2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试题(含答案)
八年级数学学科阶段性练习与诊断题号一二三总分得分一、选择题（每小题3分，共24分）1．下列实数中，是无理数的是（）A ．0.4B ．CD ．2．计算的结果是（ ）A ．B ．C ．D ．3的平方根是（）A ．4B ．C ．D ．24．下列运算正确的是（）A ．B ．C ．D ．5．下面括号内填入后，等式成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．6，那么下列各式正确的是（）ABCD7．已知单项式与的积为，则m 、n 的值分别为（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，8．某同学在计算乘一个多项式时错将乘法做成了加法，得到的答案是，由此可以推断出正确的计算结果是（）A ．B ．123-23x x ⋅52x 10x 6x 5x 4±2±224a a a +=3412a a a ⋅=22(34)(34)169ab a b b a ---+=-+22()ab ab=4m 26()m m +=412()m m ⋅=37()m =106()m m ÷=0.7937≈ 1.7100≈17.100≈7.937≈171.00≈79.37≈24xy 313x y -3n mx y 43m =-4n =12m =-2n =-43m =-3n =12m =-3n =3x -32333x x x -+4329918x x x -+-4321233x x x -+-C ．D ．二、填空题（每小题3分，共18分）9．64的算术平方根是__________．10．已知，，则的值为__________．11．m 、n 是连续的两个整数，若，则的值为__________．12．若的计算结果中不含x 的一次项，则a 的值为__________．13．若，，则代数式的值是__________．14．某农户租两块土地种植沃柑．第一块是边长为的正方形，第二块是长为，宽为的长方形，则第二块比第一块的面积多了__________．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）计算：（1；（2）．16．（6分）用简便方法计算：．17．（6分）先化简，再求值：，其中．18．（7分）已知正数m 的两个不同的平方根分别为和，求的立方根．19．（7分）对于任意有理数a 、b 、c 、d ，我们规定符号，例如：．（1）求的值为__________；（2）求的值，其中．20．（7分）小马、小虎两人共同计算一道题：．由于小马抄错了a 前面的符号，将“+”看成“-”得到的结果是，小虎漏抄了第二个多项式中x 的系数得到的结果是．（1）求a ，b 的值；（2）细心的你请计算这道题的正确结果；（3）当时，计算（2）中的代数式的值．21．（8分）某居民小组在进行美丽乡村建设中，规划将一长为5a 米、宽为2b 米的长方形场地打造成居民441x x -+-441x x -+43m =162n =24m n +m n <<m n +()(31)x a x -+-228m n -=-2m n -=m n +m a (10)m a +(5)m a +2m 3-()()2222211x xy y xy x y ++-+--2123124122-⨯(43)(12)3(12)a a a a -+--14a =-5a +22a --18m -(,)(,)a b c d ad bc ⊗=-(1,3)(2,4)14322⊗=⨯-⨯=-(2,3)(1,6)-⊗(31,2)(2,3)a a a a +-⊗+-2281a a -=-()(2)x a x b ++2273x x -+223x x +-1x =-健身场所．如图所示，具体规划为：在这个场地一角分割出一块长为米，宽为b 米的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材，其中用作篮球场的地面铺设塑胶地面，用于安装健身器材的区域建水泥地面．（1）用含a 、b 的代数式表示篮球场地的面积和安装健身器材区域的地面面积；（2）当米，米时，分别求出篮球场地的面积和安装健身器材区域的地面面积；（3）在（2）的条件下，如果铺设塑胶地面每平方米需100元，铺设水泥地面每平方米需50元，求建设该居民健身场所所需的地面总费用M （元）．22．（9分）（10分）阅读理解，的整数部分为2，，的整数部分为1，．解决问题：已知a的整数部分，b的小数部分，求：（1）a 、b 的值；（2）的平方根．23．（10分）给出如下定义：我们把有序实数对叫做关于x 的二次多项式的特征系数对，把关于x 的二次多项式叫做有序实数对的特征多项式．（1）关于x 的二次多项式的特征系数对为__________；（2）求有序实数对的特征多项式与有序实数对的特征多项式的乘积；（3）若有序实数对的特征多项式与有序实数对的特征多项式的乘积的结果为，求mn 的值．24．（12分）数学活动课上，老师准备了图①中三种不同大小的正方形与长方形卡片，如图①依次记A 、B 、C (31)a +1S 2S 9a =15b =<<23<<2112∴<<11-23-3-32()(4)a b -++(,,)a b c 2ax bx c ++2ax bx c ++(,,)a b c 2321x x ++(1,0,1)(1,2,1)-(0,2,)m (0,,2)n 262x x +-三类，拼成了一个如图②所示的正方形．（1）请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积和．方法1：____________________；方法2：____________________．（2）请直接写出三个代数式：，，ab 之间的一个等量关系__________；（3）若要拼出一个面积为的长方形，则需要A 类卡片__________张，B 类卡片__________张，C 类卡片__________张；（4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知，，求mn 和的值；②已知，求．八年级数学学科阶段性练习与诊断参考答案一、1．C2．D 3．C 4．C 5．D 6．B 7．A 8．A 二、9．810．611．512．13．14．三、15．解：（1）原式．（2）原式．16．解：．17．解：原式，当时，原式．18．解：．19．解：（1）．（2）0．2()a b +22a b +(2)()a b a b ++5m n +=2220m n +=2()m n -22(2021)(2023)34x x -+-=2(2022)x -13-4-(1550)a +1=-2x y =()222222123124122123(1231)(1231)12312312123123121-⨯=-+⨯-=--=-+=42a =+14a =-72=2-15-20．解：（1）（2）由（1）得：正确的算式是．（3）当时，．21．解：（1）（平方米），（平方米）．（2）当米，米时，（平方米），（平方米）．（3）（元）．22．解：（1），，，，．（2）．故的平方根是．23．解：（1）．（2）有序实数对的特征多项式为，有序实数对的特征多项式为，．（3）有序实数对的特征多项式为，有序实数对的特征多项式为：，，有序实数对的特征多项式与有序实数对的特征多项式的乘积的结果为，，，即mn 的值为．24．解：（1）；．（2）．（3）1，3，2．（4）①根据（1）题可得，，，，3,1.a b =⎧⎨=-⎩22(3)(21)263253x x x x x x x +-=-+-=+-1x =-2253215(1)36x x +-=⨯+⨯--=-1(31)3S b a ab b =+=+252(31)7S a b b a ab b =⨯-+=-9a =15b =1391515420S =⨯⨯+=2791515930S =⨯⨯-=4201009305088500M =⨯+⨯=<<45∴<<132∴<-<1a ∴=4b =-)2323()(4)(1)4411716a b -++=-+-+=-+=32()(4)a b -++4±(3,2,1) (1,0,1)21x +(1,2,1)-221x x -+()()2243224321212212221x x x x x x x x x x x x ∴+-+=-++-+=-+-+ (0,2,)m 2x m +(0,,2)n 2nx +22(2)(2)2422(4)2x m nx nx x mnx m nx mn x m ∴++=+++=+++ (0,2,)m (0,,2)n 262x x +-41mn ∴+=3mn ∴=-3-22a b +2()2a b ab +-222()2a b a b ab +=+-222()2m n m n mn +=+-5m n += 2220m n +=22052mn ∴=-．②设，，，，又，，，，由，得，，即，整理，得，即，．22255.()22021522mn m n m n mn ∴=-=+-=-⨯=2021m x =-2023n x =-22(2021)(2023)34x x -+-= 2234m n ∴+=(2021)(2023)2m n x x -=---= 222()2m n m n mn -=+-22342mn ∴=-230mn ∴=222()2m n m n mn +=+-234()30m n =+-2()64m n ∴+=2(20212023)64x x -+-=2(24044)64x -=24(2022)64x -=2(2022)16x ∴-=。
2020年吉林省长春市中考数学试卷 (解析版)
2020年吉林省长春市中考数学试卷一、选择题（共8小题）.1．（3分）如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为()A．1-B． 1.5--C．3-D． 4.22．（3分）为了增加青少年的校外教育活动场所，长春市将建成面积约为79000平方米的新少年宫，预计2020年12月正式投入使用．79000这个数用科学记数法表示为() A．3⨯D．50.7910⨯7.9107910⨯B．47.910⨯C．53．（3分）下列图形是四棱柱的侧面展开图的是()A．B．C．D．x+的解集在数轴上表示正确的是()4．（3分）不等式23A．B．C．D．5．（3分）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔项中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为A∠，过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点D．通过测量可得AB、BD、AD的长度，利用测量所得的数据计算A∠的三角函数值，进而可求A∠的大小．下列关系式正确的是()A．sinBDAAB=B．cosABAAD=C．tanADABD=D．sinADAAB=6．（3分）如图，AB是O的直径，点C、D在O上，20BDC∠=︒，则AOC∠的大小为()A．40︒B．140︒C．160︒D．170︒7．（3分）如图，在ABC∆中，90BAC∠=︒，AB AC>．按下列步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN，与边AB相交于点D，连结CD．下列说法不一定正确的是()A．BDN CDN∠=∠B．2ADC B∠=∠C．ACD DCB∠=∠D ．290B ACD ∠+∠=︒8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(3,2)，AB x ⊥轴于点B ，点C 是线段OB 上的点，连结AC ．点P 在线段AC 上，且2AP PC =，函数(0)ky x x=>的图象经过点P ．当点C 在线段OB 上运动时，k 的取值范围是( )A ．02k <B ．233k C ．223k D ．843k 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15元．若购买m 张成人票和n 张儿童票，则共需花费 元． 10．（3分）分解因式：24a -= ．11．（3分）若关于x 的一元二次方程220x x m -+=有两个相等的实数根，则实数m 的值为 ．12．（3分）正五边形的一个外角的大小为 度．13．（3分）如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，2AB BC ==，以点C 为圆心，线段CA 的长为半径作AD ，交CB 的延长线于点D ，则阴影部分的面积为 （结果保留)π．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0,2)，点B 的坐标为(4,2)．若抛物线23()(2y x h k h =--+、k 为常数）与线段AB 交于C 、D 两点，且12CD AB =，则k 的值为 ．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：2(3)2(31)a a -+-，其中2a =．16．（6分）现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“神舟首飞”，第三张卡片的正面图案为“保卫和平”，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率．（图案为“神舟首飞”的两张卡片分别记为1A 、2A ，图案为“保卫和平”的卡片记为)B17．（6分）图①、图②、图③均是33⨯的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB 的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB 为边画ABC ∆． 要求：（1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形；（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等； （3）点C 在格点上．18．（7分）在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元．预计今年的销量是去年的3倍，年销售额为360万元．已知去年的年销售额为80万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？19．（7分）如图，在ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE AC⊥，DF AC⊥，垂足分别为点E、F．（1）求证：OE OF=．（2）若5∠的值．OF=，求tan OBEBE=，220．（7分）空气质量按照空气质量指数大小分为六个级别，分别为：一级优、二级良、三级轻度污染、四级中度污染、五级重度污染、六级严重污染．级别越高，说明污染的情况越严重，对人体的健康危害也就越大．空气质量达到一级优或二级良的天气为达标天气，如图是长春市从2014年到2019年的空气质量级别天数的统计图表．20142019-年长春市空气质量级别天数统计表优良轻度污染中度污染重度污染严重污染空气质量级别天数年份201430215732813620154319387191582016512375815502017652116216922018123202390102019126180381650根据上面的统计图表回答下列问题：（1）长春市从2014年到2019年空气质量为“达标”的天数最多的是年．（2）长春市从2014年到2019年空气质量为“重度污染”的天数的中位数为天，平均数为天．（3）长春市从2015年到2019年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数增加最多的是 年，这一年空气质量为“优”的天数的年增长率约为 （精确到1%)． （空气质量为“优”的天数的增长率100%)""-""=⨯""今年空气质量为优的天数去年空气质量为优的天数去年空气质量为优的天数（4）你认为长春市从2014年到2019年哪一年的空气质量好？请说明理由．21．（8分）已知A 、B 两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A 地出发匀速开往B 地，甲车出发两小时后，乙车从B 地出发匀速开往A 地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和y （千米）与甲车行驶的时间x （时)之间的函数关系如图所示． （1）甲车的速度为 千米/时，a 的值为 ． （2）求乙车出发后，y 与x 之间的函数关系式．（3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间．22．（9分）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容． 1．把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？【问题解决】如图①，已知矩形纸片()ABCD AB AD >，将矩形纸片沿过点D 的直线折叠，使点A 落在边DC 上，点A 的对应点为A '，折痕为DE ，点E 在AB 上．求证：四边形AEA D '是正方形．【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的△A DE '为等腰三角形．现将图①中的点A '沿DC 向右平移至点Q 处（点Q 在点C 的左侧），如图②，折痕为PF ，点F 在DC 上，点P 在AB 上，那么PQF ∆还是等腰三角形吗？请说明理由．【结论应用】在图②中，当QC QP =时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点C 与点P 重合，折痕为QG ，点G 在AB 上．要使四边形PGQF 为菱形，则ADAB= ．23．（10分）如图①，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =．点P 从点A 出发，沿折线AB BC -以每秒5个单位长度的速度向点C 运动，同时点D 从点C 出发，沿CA 以每秒2个单位长度的速度向点A 运动，点P 到达点C 时，点P 、D 同时停止运动．当点P 不与点A 、C 重合时，作点P 关于直线AC 的对称点Q ，连结PQ 交AC 于点E ，连结DP 、DQ ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）当点P 与点B 重合时，求t 的值． （2）用含t 的代数式表示线段CE 的长．（3）当PDQ ∆为锐角三角形时，求t 的取值范围．（4）如图②，取PD 的中点M ，连结QM ．当直线QM 与ABC ∆的一条直角边平行时，直接写出t 的值．24．（12分）在平面直角坐标系中，函数221(y x ax a =--为常数）的图象与y 轴交于点A ．（1）求点A 的坐标．（2）当此函数图象经过点(1,2)时，求此函数的表达式，并写出函数值y 随x 的增大而增大时x 的取值范围．（3）当0x 时，若函数221(y x ax a =--为常数）的图象的最低点到直线2y a =的距离为2，求a 的值．（4）设0a <，Rt EFG ∆三个顶点的坐标分别为(1,1)E --、(1,1)F a --、(0,1)G a -．当函数221(y x ax a =--为常数）的图象与EFG ∆的直角边有交点时，交点记为点P ．过点P 作y 轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为(P P ''与P 不重合），过点A 作y 轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为A '．若2AA PP '='，直接写出a 的值．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为()A．1-B． 1.5-C．3-D． 4.2-解：由数轴上墨迹的位置可知，该数大于4-，-，且小于2因此备选项中，只有选项C符合题意，故选：C．2．（3分）为了增加青少年的校外教育活动场所，长春市将建成面积约为79000平方米的新少年宫，预计2020年12月正式投入使用．79000这个数用科学记数法表示为() A．30.7910⨯D．57.910⨯⨯C．57910⨯B．47.910解：79000这个数用科学记数法表示为：47.910⨯．故选：B．3．（3分）下列图形是四棱柱的侧面展开图的是()A．B．C．D．解：由四棱柱的特点可知：四棱柱的侧面展开图是矩形．故选：A．x+的解集在数轴上表示正确的是()4．（3分）不等式23A．B．C．D．解：32x-，1x，故选：D．5．（3分）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔项中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为A∠，过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点D．通过测量可得AB、BD、AD的长度，利用测量所得的数据计算A∠的三角函数值，进而可求A∠的大小．下列关系式正确的是()A．sinBDAAB=B．cosABAAD=C．tanADABD=D．sinADAAB=解：在Rt ABD∆中，90ADB∠=︒，则sinBDAAB=，cosADAAB=，tanBDAAD=，因此选项A正确，选项B、C、D不正确；故选：A．6．（3分）如图，AB是O的直径，点C、D在O上，20BDC∠=︒，则AOC∠的大小为()A．40︒B．140︒C．160︒D．170︒解：222040BOC BDC ∠=∠=⨯︒=︒， 18040140AOC ∴∠=︒-︒=︒．故选：B ．7．（3分）如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC >．按下列步骤作图：①分别以点B 和点C 为圆心，大于BC 一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M 和点N ； ②作直线MN ，与边AB 相交于点D ，连结CD ． 下列说法不一定正确的是( )A ．BDN CDN ∠=∠B ．2ADC B ∠=∠ C ．ACD DCB∠=∠D ．290B ACD ∠+∠=︒解：由作图可知，MN 垂直平分线段BC ， DB DC ∴=，MN BC ⊥，BDN CDN ∴∠=∠，DBC DCB ∠=∠， 2ADC B DCB B ∴∠=∠+∠=∠， 90A ∠=︒，90ADC ACD ∴∠+∠=︒， 290B ACD ∴∠+∠=︒，故选项A ，B ，D 正确， 故选：C ．8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(3,2)，AB x ⊥轴于点B ，点C 是线段OB 上的点，连结AC ．点P 在线段AC 上，且2AP PC =，函数(0)ky x x=>的图象经过点P ．当点C 在线段OB 上运动时，k 的取值范围是( )A ．02k <B ．233k C ．223k D ．843k 解：点A 的坐标为(3,2)，AB x ⊥轴于点B ， 3OB ∴=，2AB =，设(C c ，0)(03)c ，过P 作PD x ⊥轴于点D ， 则3BC c =-，//PD AB ，OC c =， PCD ACB ∴∆∆∽， ∴PD CD CPAB CB CA==，2AP PC =， ∴1233PD CD c ==-， 23PD ∴=，113CD c =-， 213OD OC CD c ∴=+=+，2(13P c ∴+，2)3，把2(13P c +，2)3代入函数(0)ky x x =>中，得2439k c =+， 03c∴223k ， 故选：C ．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15元．若购买m 张成人票和n 张儿童票，则共需花费 (3015)m n + 元． 解：根据单价⨯数量=总价得，(3015)m n +元， 故答案为：(3015)m n +．10．（3分）分解因式：24a -= (2)(2)a a +- ． 解：24(2)(2)a a a -=+-．11．（3分）若关于x 的一元二次方程220x x m -+=有两个相等的实数根，则实数m 的值为 1 ．解：关于x 的一元二次方程220x x m -+=有两个相等的实数根， ∴△0=，2(2)40m ∴--=，1m ∴=，故答案为：1．12．（3分）正五边形的一个外角的大小为 72 度． 解：正五边形的一个外角360725︒==︒． 故答案为：72．13．（3分）如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，2AB BC ==，以点C 为圆心，线段CA 的长为半径作AD ，交CB 的延长线于点D ，则阴影部分的面积为 2π- （结果保留)π．解：2AB CB ==，90ABC ∠=︒，22222222AC AB BC ∴=+=+=45C BAC ∴∠=∠=︒，245(22)12223602ACBCAD S S S ππ∆⋅⋅∴=-=-⨯⨯=-阴扇形，故答案为2π-．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0,2)，点B 的坐标为(4,2)．若抛物线23()(2y x h k h =--+、k 为常数）与线段AB 交于C 、D 两点，且12CD AB =，则k 的值为72．解：点A 的坐标为(0,2)，点B 的坐标为(4,2)， 4AB ∴=，抛物线23()(2y x h k h =--+、k 为常数）与线段AB 交于C 、D 两点，且122CD AB ==，∴设点C 的坐标为(,2)c ，则点D 的坐标为(2,2)c +，2212c h c +==+， ∴抛物线232[(1)]2c c k =--++，解得，72k =． 三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：2(3)2(31)a a -+-，其中2a =． 解：原式26962a a a =-++- 27a =+．当2a =时，原式2(2)79=+=．16．（6分）现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“神舟首飞”，第三张卡片的正面图案为“保卫和平”，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率．（图案为“神舟首飞”的两张卡片分别记为1A 、2A ，图案为“保卫和平”的卡片记为)B解：根据题意画图如下：共有9种等可能的情况数，其中两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的有1种，则两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率是19．17．（6分）图①、图②、图③均是33⨯的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB为边画ABC∆．要求：（1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形；（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等；（3）点C在格点上．解：如图所示：即为符合条件的三角形．18．（7分）在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元．预计今年的销量是去年的3倍，年销售额为360万元．已知去年的年销售额为80万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？解：设该村企去年黑木耳的年销量为x万斤，则今年黑木耳的年销量为3x万斤，依题意，得：36080203x x-=，解得：2x=，经检验，2x=是原方程的解，且符合题意．答：该村企去年黑木耳的年销量为2万斤．19．（7分）如图，在ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE AC⊥，DF AC⊥，垂足分别为点E、F．（1）求证：OE OF=．（2）若5BE=，2OF=，求tan OBE∠的值．【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，OB OD∴=，BE AC⊥，DF AC⊥，90OEB OFD∴∠=∠=︒，在OEB∆和OFD∆中，OEB OFDBOE DOF OB OD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，() OEB OFD AAS∴∆≅∆，OE OF∴=；（2）解：由（1）得：OE OF =， 2OF =， 2OE ∴=， BE AC ⊥， 90OEB ∴∠=︒，在Rt OEB ∆中，2tan 5OE OBE BE ∠==． 20．（7分）空气质量按照空气质量指数大小分为六个级别，分别为：一级优、二级良、三级轻度污染、四级中度污染、五级重度污染、六级严重污染．级别越高，说明污染的情况越严重，对人体的健康危害也就越大．空气质量达到一级优或二级良的天气为达标天气，如图是长春市从2014年到2019年的空气质量级别天数的统计图表． 20142019-年长春市空气质量级别天数统计表根据上面的统计图表回答下列问题：（1）长春市从2014年到2019年空气质量为“达标”的天数最多的是 2018 年． （2）长春市从2014年到2019年空气质量为“重度污染”的天数的中位数为 天，平均数为 天．（3）长春市从2015年到2019年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数增加最多的是 年，这一年空气质量为“优”的天数的年增长率约为 （精确到1%)． （空气质量为“优”的天数的增长率100%)""-""=⨯""今年空气质量为优的天数去年空气质量为优的天数去年空气质量为优的天数（4）你认为长春市从2014年到2019年哪一年的空气质量好？请说明理由．解：（1）从折线统计图中“达标”天数的折线的最高点，相应的年份为2018年， 故答案为：2018；（2）将这6年的“重度污染”的天数从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为5972+=，因此中位数是7天， 这6年的“重度污染”的天数的平均数为1315591586+++++=天，故答案为：7，8；（3）前一年相比，空气质量为“优”的天数增加量为： 2015年，433013-=天； 2016年，51438-=天； 2017年，655114-=天； 2018年，1236558-=天； 2019年，1261233-=天，因此空气质量为“优”的天数增加最多的是2018年，增长率为12365100%89%65-⨯≈， 故答案为：2018，89%；（4）从统计表中数据可知，2018年空气质量好，2018年“达标天数”最多，重度污染、中度污染、严重污染的天数最少．21．（8分）已知A 、B 两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A 地出发匀速开往B 地，甲车出发两小时后，乙车从B 地出发匀速开往A 地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和y （千米）与甲车行驶的时间x （时)之间的函数关系如图所示． （1）甲车的速度为 40 千米/时，a 的值为 ．（2）求乙车出发后，y 与x 之间的函数关系式．（3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间．解：（1）由题意可知，甲车的速度为：80240÷=（千米/时）； 4062480a =⨯⨯=，故答案为：40；480；（2）设y 与x 之间的函数关系式为y kx b =+， 由图可知，函数图象经过(2,80)，(6,480)， ∴2806480k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得100120k b =⎧⎨=-⎩， y ∴与x 之间的函数关系式为100120y x =-；（3）两车相遇前：80100(2)240100x +-=-，解得135x =； 两车相遇后：80100(2)240100x +-=+，解得235x =， 答：当甲、乙两车相距100千米时，甲车行驶的时间是135小时或235小时． 22．（9分）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容． 1．把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？【问题解决】如图①，已知矩形纸片()ABCD AB AD >，将矩形纸片沿过点D 的直线折叠，使点A 落在边DC 上，点A 的对应点为A '，折痕为DE ，点E 在AB 上．求证：四边形AEA D '是正方形．【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的△A DE '为等腰三角形．现将图①中的点A '沿DC 向右平移至点Q 处（点Q 在点C 的左侧），如图②，折痕为PF ，点F 在DC 上，点P 在AB 上，那么PQF ∆还是等腰三角形吗？请说明理由．【结论应用】在图②中，当QC QP=时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点C与点P重合，折痕为QG，点G在AB上．要使四边形PGQF为菱形，则ADAB=35．【解答】（1）证明：如图①中，四边形ABCD是矩形，90A ADA∴∠=∠'=︒，由翻折可知，90DA E A∠'=∠=︒，90A ADA DA E∴∠=∠'=∠'=︒，∴四边形AEA D'是矩形，DA DA='，∴四边形AEA D'是正方形．（2）解：结论：PQF∆是等腰三角形．理由：如图②中，四边形ABCD是矩形，//AB CD ∴，QFP APF ∴∠=∠，由翻折可知，APF FPQ ∠=∠，QFP FPQ ∴∠=∠，QF QP ∴=，PFQ ∴∆是等腰三角形．（3）如图③中，四边形PGQF 是菱形，PG GQ FQ PF ∴===，QF QP =，PFQ ∴∆，PGA ∆都是等边三角形，设QF m =，60FQP ∠=︒，90PQD ∠'=︒，30DQD ∴∠'=︒，90D ∠'=︒，1122FD DF FQ m ∴'===，332QD D F '='=， 由翻折可知，32AD QD ='=，PQ CQ FQ m ===， 52AB CD DF FQ CQ m ∴==++=， ∴332552m AD AB m ==． 35． 23．（10分）如图①，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =．点P 从点A 出发，沿折线AB BC -以每秒5个单位长度的速度向点C 运动，同时点D 从点C 出发，沿CA 以每秒2个单位长度的速度向点A 运动，点P 到达点C 时，点P 、D 同时停止运动．当点P 不与点A 、C 重合时，作点P 关于直线AC 的对称点Q ，连结PQ 交AC 于点E ，连结DP 、DQ ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）当点P 与点B 重合时，求t 的值．（2）用含t 的代数式表示线段CE 的长．（3）当PDQ ∆为锐角三角形时，求t 的取值范围．（4）如图②，取PD 的中点M ，连结QM ．当直线QM 与ABC ∆的一条直角边平行时，直接写出t 的值．解：（1）当点P 与B 重合时，54t =，解得45t =． （2）在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，4AB =，3BC =，2222435AC AB BC ∴=+=+=，3sin 5A ∴=，4cos 5A =， 如图①中，当点P 在线段AB 上时，在Rt APE ∆中，cos 4AE AP A t ==， 54EC t ∴=-．如图③中，当点P 在线段BC 上时，在Rt PEC ∆中，75PC t =-，3cos 5C =， 321cos (75)355EC PC C t t ∴==-=-．（3）当PDQ ∆是等腰直角三角形时，则PE DE =，如图④中，当点P 在线段AB 上时，在Rt APE ∆中，sin 3PE PA A t ==，54256DE AC AE CD t t t =-----=-，PE DE =，356t t ∴=-，59t ∴=． 如图⑤中，当点P 在线段BC 上时，在Rt PCE ∆中，428sin (75)455PE PC C t t ==-=-， 3212(75)555DE CD CE t t t =-=--=-， ∴28214555t t -=-， 解得5945t =． 观察图象可知满足条件的t 的值为509t <<或497455t <<．（4）如图⑥中，当点P 在线段AB 上，//QM AB 时，过点Q 作QG AB ⊥于G ，延长QN 交BC 于N ，过点D 作DH BC ⊥于H ． ////PB MN DH ，PM DM =，BN NH ∴=，在RtPQG 中，26PQ PE t ==，42455QG PQ t ∴==，在Rt DCH ∆中，3655HC DC t ==， 242463555BC BH CH t t t =+=++=， 解得518t =． 如图⑦中，当点P 在线段BC 上，//QM BC 时，点点D 作DH BC ⊥于H ，过点P 作PK QM ⊥于K ．//QM BC ，DM PM =，2DH PK ∴=，在Rt PQK ∆中，82(75)5PQ PE t ==-， 324(75)525PK PQ t ∴==-， 在Rt DCH ∆中，4855DH DC t ==， 2DH PK =，∴8242(75)525t t =⨯-， 解得65t =， 综上所述，满足条件的t 的值为518或65． 24．（12分）在平面直角坐标系中，函数221(y x ax a =--为常数）的图象与y 轴交于点A ．（1）求点A 的坐标．（2）当此函数图象经过点(1,2)时，求此函数的表达式，并写出函数值y 随x 的增大而增大时x 的取值范围．（3）当0x 时，若函数221(y x ax a =--为常数）的图象的最低点到直线2y a =的距离为2，求a 的值．（4）设0a <，Rt EFG ∆三个顶点的坐标分别为(1,1)E --、(1,1)F a --、(0,1)G a -．当函数221(y x ax a =--为常数）的图象与EFG ∆的直角边有交点时，交点记为点P ．过点P 作y 轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为(P P ''与P 不重合），过点A 作y 轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为A '．若2AA PP '='，直接写出a 的值．解：（1）当0x =时，2211y x ax =--=-，∴点A 的坐标为：(0,1)-；（2）将点(1,2)代入221y x ax =--，得：2121a =--，解得：1a =-，∴函数的表达式为：221y x x =+-，2221(1)2y x x x =+-=+-，∴抛物线的开口向上，对称轴为1x =-，如图1所示：∴当1x >-时，y 随x 的增大而增大；（3）抛物线22221()1y x ax x a a =--=---的对称轴为：x a =，顶点坐标为：2(,1)a a --， 当0a >时，对称轴在y 轴右侧，如图2所示：0x ，∴最低点就是(0,1)A -，图象的最低点到直线2y a =的距离为2，2(1)2a ∴--=，解得：12a =； 当0a <，对称轴在y 轴左侧，顶点2(,1)a a --就是最低点， 如图3所示：22(1)2a a ∴---=，整理得：2(1)2a +=，解得：11a =--21a =-；综上所述，a 的值为12或1--； （4）0a <，Rt EFG ∆三个顶点的坐标分别为(1,1)E --、(1,1)F a --、(0,1)G a -， ∴直角边为EF 与FG ，抛物线22221()1y x ax x a a =--=---的对称轴为：x a =，(0,1)A -， 2AA a ∴'=-，当点P 在EF 边上时，如图4所示：则1p x =-，1EA OA ==，∴点P 在对称轴x a =的左侧，2(1)PP a ∴'=+，2AA PP '='，222(1)a a ∴-=⨯+， 解得：23a =-； 当点P 在FG 边上时，如图5所示：则1p y a =-，2211x ax a ∴--=-，解得：1x a =+，2x a =，(PP a a ∴'=+--= 2AA PP '='，224a a a∴-=+，解得：14 3a=-，20a=（不合题意舍去）；综上所述，a的值为23-或43-．。
2022-2023学年吉林省长春市榆树市八年级(上)期中数学试卷(附答案详解)
2022-2023学年吉林省长春市榆树市八年级（上）期中数学试卷第I卷（选择题）一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.16的算术平方根是( )A. ±4B. ±2C. 4D. −42.在实数0,√3,−3.14,√4中，无理数有( )A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个3.下面的计算正确的是( )A. x3⋅x3=2x3B. (x3)2=x5C. (6xy)2=12x2y2D. (−x)4÷(−x)2=x24.下列命题中，是假命题的是( )A. 两直线平行，内错角相等B. 如果两个角是对顶角，那么它们相等C. 两点之间线段最短D. 同旁内角互补5.若(x−5)(x+m)=x2−2x+n，则m，n的值分别为( )A. 3，−15B. 3，15C. −2，18D. −2，−186.若x2+2ax+16是完全平方式，则a的值是( )A. 4B. 8C. ±4D. ±87.如图，在△ABC中，点D在边BC上，点E在线段AD上，AB=AC，EB=EC.则依据SSS可以判定( )A. △ABD≌△ACDB. △ABE≌△ACEC. △BED≌△CEDD. 以上都对8.如图，现有足够多的型号为①②③的正方形和长方形卡片，如果分别选取这三种型号卡片若干张，可以拼成一个不重叠、无缝隙的长方形．小星想用拼图前后面积之间的关系解释多项式乘法(a+2b)(3a+b)=3a2+7ab+2b2，则其中②和③型号卡片需要的张数各是( )A. 3张和7张B. 2张和3张C. 5张和7张D. 2张和7张第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.比较大小：3____√7(填写“<”或“>”)10.已知3m=2，3n=5，则32m+n的值是______．11.为了绿化校园，学校决定修建一块长方形草坪，长30米，宽20米，并在草坪上修建如图所示的等宽的十字路，小路宽为x米，用代数式表示草坪的面积是______平方米(化成最简形式)．12.如图，在数轴上点A和点B之间表示整数的点有______ 个．13.已知x+y=−2，xy=4，则xy2+x2y=______．14.如图，∠1=∠2，要使△ABC≌△ADC，还需添加条件：______.(填写一个你认为正确的即可)三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。
每日一学：吉林省长春市榆树市第二实验中学西校2019-2020学年八年级上学期数学期中考试试卷_压轴题解答
每日一学：吉林省长春市榆树市第二实验中学西校2019-2020学年八年级上学期数学期中考试试卷_压轴题解答答案吉林省长春市榆树市第二实验中学西校2019-2020学年八年级上学期数学期中考试试卷_压轴题~~ 第1题 ~~(2020榆树.八上期中) 如图①，在△ABC 中，AB=AC ，D 是射线BC 上一点(点D 不与点B 重合)，连结AD ，将AD 绕着点A 逆时针旋转∠BAC 的度数得到AE ，连结DE 、CE 。
（1） 当点D 在边BC 上，求证：△BAD ≌△CAE 。
（2） 当点D 在边BC 上，若∠BAC=a ，求∠DCE 的大小．(用含a 的代数式表示)。
（3） 当DE 与△ABC 的边所在的直线垂直，且∠BAC=40°时，请借助图②，直接写出∠CED 的大小。
考点： 旋转的性质;~~ 第2题 ~~(2020榆树.八上期中) 如图，∠MON=30°，点A 、A 、A 在射线OM 上，点B 、B 、B 、……在射线ON 上，△A B B 、△A B B 、△A B B 、……均为等边三角形，若OB =1，则△A B B 的边长为________。
~~ 第3题 ~~(2020榆树.八上期中) 如图，在五边形ABCDE中，对角线AC=AD ，AB=DE ，BC=EA ， ∠CAD=65°， ∠B=110°，则∠BAE 的大小是（ ）A . 135°B . 125°C . 115°D . 105°吉林省长春市榆树市第二实验中学西校2019-2020学年八年级上学期数学期中考试试卷_压轴题解答~~ 第1题 ~~答案：1231231122233341889解析：~~ 第2题 ~~答案：解析：~~ 第3题 ~~答案：A 解析：。
2021-2022学年吉林省长春市绿园区八年级(上)期末数学试卷(解析版)
2021-2022学年吉林省长春市绿园区八年级第一学期期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．﹣8的立方根是（）A．4B．2C．﹣2D．±22．下列数是无理数的是（）A．B．πC．0D．3．计算（x2）3的结果是（）A．x5B．x6C．x8D．3x24．计算的结果为（）A．10B．5C．3D．25．运用乘法公式计算（4+x）（x﹣4）的结果是（）A．x2﹣16B．x2+16C．16﹣x2D．﹣x2﹣166．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB、BC、AC为边向外作正方形，若三个正方形的面积分别为225、400、S，则S的值为（）A．25B．175C．600D．6257．如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B＝28°，则∠AEC＝（）A．28°B．59°C．60°D．62°8．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC，∠B≠30°，用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使AD＝BD，下列作法正确的是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．二次根式有意义，则x的取值范围是．10．比较大小：﹣3 0（填“＞”、“＝”或“＜”）．11．计算：2x•（﹣3xy）＝．12．若一个三角形的三边长分别为5、12、13，则此三角形的面积为．13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若CD＝2，AB＝5，则△ABD的面积为．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，且∠BAD＝30°，若AD＝DE，∠DAE＝72°，则∠EDC的度数为．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．计算：﹣﹣﹣|﹣6|．16．因式分解：（1）4m2﹣36；（2）2a2b﹣8ab2+8b3．17．图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，点A、点B均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．（1）在图①中，以线段AB为腰画一个等腰三角形．（2）在图②中，以线段AB为底画一个等腰三角形．18．先化简，再求值：（x﹣3）2﹣x（2x+1）+x2，其中x＝．19．如图，点B、F、C、E四点在同一条直线上，∠B＝∠E，AB＝DE，BF＝CE．求证：AC＝DF．20．如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时速度沿北偏东40°方向航行，乙船沿南偏东50°方向航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛．若C、B两岛相距60海里，问：乙船的航速是多少？21．图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形．（1）图2中间空白的部分的面积是；（2）观察图2，请你写出代数式（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系式；（3）根据你得到的关系式解答下列问题：若x+y＝﹣4，xy＝3，求x﹣y的值．22．2021年央视春晚，数十个节目给千家万户送上了丰富的“年夜大餐”．某校随机对八年级部分学生进行了一次调查，对最喜欢相声《年三十的歌》（记为A）、歌曲《牛起来》（记为B）、武术表演《天地英雄》（记为C）、小品《开往春天的幸福》（记为D）的同学进行了统计（每位同学只选择一个最喜欢的节目），绘制了以下不完整的统计图，请根据图中信息解答问题：（1）求本次接受调查的学生人数．（2）求扇形统计图中D所在扇形的圆心角度数．（3）将条形统计图补充完整．23．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出DE，AD，BE之间的等量关系．24．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝AB，AC＝8，点D是边AC的中点，动点P从点D出发，沿DA以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动．同时，动点Q从点D出发，沿DC以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动．当点P到达终点时，点Q也随之停止运动．过点Q作QE⊥AC，使QE＝QD，且点E落在直线AC的上方，当点P不与点D重合时，以PQ、QE为邻边作长方形PQEF．设长方形PQEF与△ABC 的重叠部分的面积为S，点P的运动时间为t（秒）．（1）用含t的代数式表示线段AP的长度为．（2）当点F落在线段AB上时，求t的值．（3）用含t的代数式表示S．（4）连结AF、DF．当△AFD是等腰三角形时，直接写出t的值．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．﹣8的立方根是（）A．4B．2C．﹣2D．±2【分析】根据立方根的定义即可求解．解：﹣8的立方根是﹣2．故选：C．2．下列数是无理数的是（）A．B．πC．0D．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．解：A．是分数，属于有理数，故本选项不合题意；B．π是无理数，故本选项符合题意；C．0是整数，属于有理数，故本选项不合题意；D．，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；故选：B．3．计算（x2）3的结果是（）A．x5B．x6C．x8D．3x2【分析】根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解．解：（x2）3＝x6．故选：B．4．计算的结果为（）A．10B．5C．3D．2【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．解：＝5．故选：B．5．运用乘法公式计算（4+x）（x﹣4）的结果是（）A．x2﹣16B．x2+16C．16﹣x2D．﹣x2﹣16【分析】用平方差公式直接得出结果．解：（4+x）（x﹣4）＝（x+4）（x﹣4）＝x2﹣42＝x2﹣16，故选：A．6．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB、BC、AC为边向外作正方形，若三个正方形的面积分别为225、400、S，则S的值为（）A．25B．175C．600D．625【分析】由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，直接代入即可．解：在△ABC中，∠ACB＝90°，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，∴225+400＝S，∴S＝625．故选：D．7．如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B＝28°，则∠AEC＝（）A．28°B．59°C．60°D．62°【分析】根据∠C＝90°AD＝AC，求证△CAE≌△DAE，∠CAE＝∠DAE＝∠CAB，再由∠C＝90°，∠B＝28°，求出∠CAB的度数，然后即可求出∠AEC的度数．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，∴△CAE≌△DAE，∴∠CAE＝∠DAE＝∠CAB，∵∠B+∠CAB＝90°，∠B＝28°，∴∠CAB＝90°﹣28°＝62°，∵∠AEC＝90°﹣∠CAB＝90°﹣31°＝59°．故选：B．8．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC，∠B≠30°，用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使AD＝BD，下列作法正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据“要在BC边上找一点D，使AD＝BD”知点D应该是线段AB垂直平分线与BC的交点，据此求解即可．解：若要在BC边上找一点D，使AD＝BD，则点D应该是线段AB垂直平分线与BC的交点，故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．二次根式有意义，则x的取值范围是x≤3．【分析】直接利用二次根式有意义的条件，即二次根式中的被开方数是非负数，进而得出答案．解：二次根式有意义，则9﹣3x≥0，故x的取值范围是x≤3．故答案为：x≤3．10．比较大小：﹣3 ＜0（填“＞”、“＝”或“＜”）．【分析】首先求出介于2和3之间，从而得最后答案．解：∵2＜＜3，∴﹣3＜0．故答案为：＜．11．计算：2x•（﹣3xy）＝﹣6x2y．【分析】根据单项式乘单项式的运算法则计算．解：2x•（﹣3xy）＝﹣6x2y，故答案为：﹣6x2y．12．若一个三角形的三边长分别为5、12、13，则此三角形的面积为30．【分析】先根据勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形，再利用面积公式求得面积．解：∵52+122＝132，∴三边长分别为5、12、13的三角形构成直角三角形，其中的直角边是5、12，∴此三角形的面积为×5×12＝30．13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若CD＝2，AB＝5，则△ABD的面积为5．【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，∴DE＝CD＝2，∴△ABD的面积＝AB•DE＝×5×2＝5．故答案为：5．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，且∠BAD＝30°，若AD＝DE，∠DAE＝72°，则∠EDC的度数为33°．【分析】利用等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理可得．解：∵∠BAD＝30°，∠DAE＝72°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝＝39°，∵AD＝DE，∴∠DAE＝∠DEA＝72°，∵∠AED＝∠C+∠EDC，∴∠EDC＝∠AED﹣∠C＝72°﹣39°＝33°，故答案为：33°．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．计算：﹣﹣﹣|﹣6|．【分析】直接利用二次根式的性质以及立方根的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．解：原式＝4﹣+0.5﹣6＝﹣2．16．因式分解：（1）4m2﹣36；（2）2a2b﹣8ab2+8b3．【分析】（1）直接提取公因式4，再利用平方差公式分解因式即可；（2）直接提取公因式2b，再利用完全平方公式分解因式即可．解：（1）原式＝4（m2﹣9）＝4（m+3）（m﹣3）；（2）原式＝2b（a2﹣4ab+4b2）＝2b（a﹣2b）2．17．图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，点A、点B均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．（1）在图①中，以线段AB为腰画一个等腰三角形．（2）在图②中，以线段AB为底画一个等腰三角形．【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）根据要求作出图形即可．解：（1）如图1中，△ABC即为所求；（2）如图2中，△ABC即为所求．18．先化简，再求值：（x﹣3）2﹣x（2x+1）+x2，其中x＝．【分析】直接利用乘法公式、单项式乘多项式化简，合并同类项，再把已知数据代入得出答案．解：原式＝x2﹣6x+9﹣2x2﹣x+x2＝﹣7x+9，当x＝时，原式＝﹣7×＝﹣1．19．如图，点B、F、C、E四点在同一条直线上，∠B＝∠E，AB＝DE，BF＝CE．求证：AC＝DF．【分析】根据题意得出BC＝EF，即可利用SAS证明△ABC和△DEF，再利用全等三角形的性质即可得解．【解答】证明：∵BF＝CE，∴BF+FC＝CE+FC，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴AC＝DF．20．如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时速度沿北偏东40°方向航行，乙船沿南偏东50°方向航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛．若C、B两岛相距60海里，问：乙船的航速是多少？【分析】根据方向角的概念求出∠CAB＝90°，根据勾股定理求出AC的长，得到答案．解：∵甲船沿北偏东40°方向航行，乙船沿南偏东50°方向航行，∴∠CAB＝90°，∵AB＝16×3＝48，BC＝60，∴AC＝＝36，∴乙船的航速是36÷3＝12海里/时，答：乙船的航速是36÷3＝12海里/时．21．图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形．（1）图2中间空白的部分的面积是（a﹣b）2；（2）观察图2，请你写出代数式（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系式（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；（3）根据你得到的关系式解答下列问题：若x+y＝﹣4，xy＝3，求x﹣y的值．【分析】（1）由图形面积间和差关系可得此题结果为（a﹣b）2；（2）由图形面积间关系可得：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；（3）由（2）题关系式可得，（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，就能求得最后结果．解：（1）由题意得，图2中间空白的部分的面积是（a﹣b）2，故答案为：（a﹣b）2；（2）由图2中间空白的部分的面积的不同表示方法可得：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，故答案为：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；（3）由（2）题关系式可得，（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝（﹣4）2﹣4×3＝4∴x﹣y＝±2，即x﹣y的值是±2．22．2021年央视春晚，数十个节目给千家万户送上了丰富的“年夜大餐”．某校随机对八年级部分学生进行了一次调查，对最喜欢相声《年三十的歌》（记为A）、歌曲《牛起来》（记为B）、武术表演《天地英雄》（记为C）、小品《开往春天的幸福》（记为D）的同学进行了统计（每位同学只选择一个最喜欢的节目），绘制了以下不完整的统计图，请根据图中信息解答问题：（1）求本次接受调查的学生人数．（2）求扇形统计图中D所在扇形的圆心角度数．（3）将条形统计图补充完整．【分析】（1）根据B的人数除以所占的百分比得到接受调查的学生人数；（2）用360°乘以D节目男、女生人数和占被调查人数的比例即可；（3）先求出D所占百分比，再求出C所占百分比，继而可以求出C的人数，进而得出C中男生人数；用总人数乘A占的百分比得出A的人数进而得出A中女生人数，然后补全条形统计图即可；解：（1）本次接受调查的学生人数为（12+8）÷40%＝50（名）；（2）扇形统计图中D所在扇形的圆心角度数为360°×＝36°；（3）D占的百分比为×100%＝10%，C占的百分比为1﹣（20%+40%+10%）＝30%，∴C的人数为50×30%＝15（人），即C中男生为15﹣8＝7（人）；A的人数为50×20%＝10（人），A中女生人数为10﹣6＝4（人），补全条形统计图，如图所示：23．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出DE，AD，BE之间的等量关系．【分析】（1）①根据AD⊥MN，BE⊥MN，∠ACB＝90°，得出∠CAD＝∠BCE，再根据AAS即可判定△ADC≌△CEB；②根据全等三角形的对应边相等，即可得出CE＝AD，CD＝BE，进而得到DE＝CE+CD＝AD+BE；（2）先根据AD⊥MN，BE⊥MN，得到∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，进而得出∠CAD ＝∠BCE，再根据AAS即可判定△ADC≌△CEB，进而得到CE＝AD，CD＝BE，最后得出DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE；（3）运用（2）中的方法即可得出DE，AD，BE之间的等量关系是：DE＝BE﹣AD．解：（1）①∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠ACB＝90°＝∠CEB，∴∠CAD+∠ACD＝90°，∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，∵在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）；②∵△ADC≌△CEB，∴CE＝AD，CD＝BE，∴DE＝CE+CD＝AD+BE；（2）证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，∵在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）；∴CE＝AD，CD＝BE，∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE；（3）当MN旋转到题图（3）的位置时，AD，DE，BE所满足的等量关系是：DE＝BE ﹣AD．理由如下：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，∵在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴CE＝AD，CD＝BE，∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD．24．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝AB，AC＝8，点D是边AC的中点，动点P从点D出发，沿DA以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动．同时，动点Q从点D出发，沿DC以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动．当点P到达终点时，点Q也随之停止运动．过点Q作QE⊥AC，使QE＝QD，且点E落在直线AC的上方，当点P不与点D重合时，以PQ、QE为邻边作长方形PQEF．设长方形PQEF与△ABC 的重叠部分的面积为S，点P的运动时间为t（秒）．（1）用含t的代数式表示线段AP的长度为4﹣2t．（2）当点F落在线段AB上时，求t的值．（3）用含t的代数式表示S．（4）连结AF、DF．当△AFD是等腰三角形时，直接写出t的值．【分析】（1）由AC＝8，点D是边AC的中点求出AD的长为4，再由动点P从点D出发，沿DA以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动，且运动的时间为t得PD＝2t，则AP＝4﹣2t；（2）当点F落在线段AB上时，可证明△APF是等腰直角三角形，则AP＝FP＝QE＝t，可列方程t＝4﹣2t，解方程求出t的值即可；（3）先确定当点P到达终点A时，则点E恰好落在BC边上，再分两种情况进行讨论，一是当0＜t≤时，长方形PQEF与△ABC的重叠部分的面积S为长方形PQEF本身，二是当＜t≤2时，则长方形PQEF与△ABC的重叠部分的面积S为S长方形PQEF﹣S△FGH，分别求出用含t的代数式表示S的等式即可；（4）△AFD是等腰三角形存在两种情况，一是AF＝DF，则PD＝PA＝AD＝2，列方程求出t的值；二是FD＝AD＝4，在Rt△PDF中根据勾股定理列方程求出t的值即可．解：（1）∵AC＝8，点D是边AC的中点，∴AD＝AC＝4，∵PD＝2t，∴AP＝4﹣2t，故答案为：4﹣2t．（2）当点F落在线段AB上时，如图1，∵四边形PQEF是长方形，∴∠QPF＝90°，FP＝QE，∴∠APF＝180°﹣∠QPF＝90°，∵∠ABC＝90°，BC＝AB，∴∠A＝∠C＝45°，∴∠PFA＝∠A＝45°，∴AP＝FP＝QE，∵QE＝QD＝t，∴AP＝t，∴t＝4﹣2t，解得t＝，∴当点F落在线段AB上时，t的值为．（3）当点P与点A重合时，则2t＝4，解得t＝2，此时QD＝QE＝QC＝2，∴点E恰好落在BC边上，当0＜t≤时，如图2，∵PD＝2t，QE＝QD＝t，∴PQ＝2t+t＝3t，∵S＝S长方形PQEF＝PQ•QE，∴S＝3t•t＝3t2；当＜t≤2时，如图3，PF交AB于点G，EF交AB于点H，∵∠PGA＝∠A＝45°，∴∠FGH＝∠PGA＝45°，∵∠F＝90°，∴∠FHG＝∠FGH＝45°，∴FH＝FG，∵FP＝QE＝t，GP＝AP＝4﹣2t，∴FH＝FG＝t﹣（4﹣2t）＝3t﹣4，∵S＝S长方形PQEF﹣S△FGH，∴S＝3t2﹣（3t﹣4）2＝﹣t2+12t﹣8，综上所述，S＝．（4）如图4，△AFD是等腰三角形，且AF＝DF，∵PF⊥AD，∴PD＝PA＝AD＝2，∴2t＝2，解得t＝1；如图5，△AFD是等腰三角形，且FD＝AD＝4，∵∠DPF＝90°，∴PD2+FP2＝FD2，∵PD＝2t，FP＝t，∴（2t）2+t2＝42，解得t＝或t＝﹣（不符合题意，舍去），综上所述，t的值为1或．。
2024-2025学年吉林长春市吉林省第二实验高新学校中学部八年级(上)第一次质检数学试卷(含答案)
2024-2025学年吉林省第二实验高新学校中学部八年级（上）第一次质检数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各数是无理数的是( )D. 3A. 3.14159B. 0C. 2272.下列计算中，正确的是( )A. x⋅x3=x3B. (x3)2=x5C. x3÷x=x2D. (xy2)3=xy63.下列命题中，是假命题的是( )A. 同位角相等，两直线平行B. 直角三角形的两个锐角互余C. 全等三角形的对应角相等D. 三个角分别相等的两个三角形全等4.已知x2+(k−1)xy+4y2是一个完全平方式，则k的值是( )A. 5B. 5或−3C. −3D. ±45.如图，在△ABC中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是( )A. AF=BFACB. AE=12C. ∠DBF+∠DFB=90°D. ∠BAF=∠EBC6.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，AB=4，BD=5，若点P是BC边上的动点，则线段DP的最小值为( )A. 2.4B. 3C. 4D. 57.常见的“幂的运算”有：①同底数幂的乘法，②同底数幂的除法，③幂的乘方，④积的乘方.在“(a3⋅a2)2=(a3)2(a2)2=a6⋅a4=a10”的运算过程中，依次运用( )A. ④③①B. ④③②C. ③④①D. ③④②8.如图，∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2 B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A7B7A8的边长为( )A. 6B. 12C. 32D. 64二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.计算：a5÷a3⋅a2=______．10.如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加条件______．11.若m、n满足3m−n−4=0，则8m÷2n=______．12.已知(x3+2x2−x)÷(ㅤ)=x，则括号内的式子是______．13.已知实数a，b满足a2+b2=40，ab=12，则a−b的值为______．14.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过O点作EF//BC交AB于点E，交AC于点F，过∠A；③点O到△ABC各边的点O作OD⊥AC于D，下列四个结论：①EF=BE+CF；②∠BOC=90°+12mn.其中，正确的是______.(只填写序号)距离相等；④设OD=m，AE+AF=n，则S△AEF=12三、解答题：本题共8小题，共64分。