线面、面面平行练习题(含答案)讲课讲稿
D C
A B
B 1
A 1C 11．下列条件中,能判断两个平面平行的是( )
A ．一个平面内的一条直线平行于另一个平面;
B ．一个平面内的两条直线平行于另一个平面
C ．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面
D ．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面
2．E ，F ，G 分别是四面体ABCD 的棱BC ，CD ，DA 的中点，则此四面体中与过E ，F ，G 的截面平行
的棱的条数是
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
3． 直线,a b c ，及平面αβ，，使//a b 成立的条件是（ ）
A ．//,a b αα⊂
B ．//,//a b αα
C ．//,//a c b c
D ．//,a b ααβ=I
4．若直线m 不平行于平面α，且m ⊄α，则下列结论成立的是（ ）
A ．α内的所有直线与m 异面
B ．α内不存在与m 平行的直线
C ．α内存在唯一的直线与m 平行
D ．α内的直线与m 都相交
8．如下图所示，四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得到AB//面MNP 的图形的序号的是
①②③④ 10.如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长是2，侧棱长是3，D 是
AC 的中点.求证：//1C B 平面BD A 1.
11.如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，M ，N ，G 分别是AA 1，CD ，CB ，CC 1的中点， 求证：（1）MN //B 1D 1 ；（2）AC 1//平面EB 1D 1 ；
（3）平面EB 1D 1//平面BDG .。
线线、线面、面面平行练习题(含答案)之欧阳家百创编
直线、平面平行的判定及其性质 测试题
欧阳家百（2021.03.07） A 一、选择题 1．下列条件中,能判断两个平面平行的是( ) A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 2．E，F，G分别是四面体ABCD的棱BC，CD，DA的中点，则此四面体中与过E，F，G的截
面平行的棱的条数是 A．0 B．1 C．2 D．3 3． 直线,abc，及平面，，使//ab成立的条件是
（ ） A．//,ab B．//,//ab C．//,//acbc D．//,ab 4．若直线m不平行于平面，且m，则下列
结论成立的是（ ）
A．内的所有直线与m异面 B．内不
存在与m平行的直线 C．内存在唯一的直线与m平行 D．内
的直线与m都相交 5．下列命题中，假命题的个数是（ ） ① 一条直线平行于一个平面，这条直线就和这个平面内的任何直线不相交；② 过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行；③ 过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行；④ 平行欧阳索引创编 2021.02.02
欧阳索引创编 2021.02.02 于同一条直线的两条直线和同一平面平行；⑤a和b异面，则经过b存在唯一一个平面与平行
A．4 B．3 C．2D．1 6．已知空间四边形ABCD中，,MN分别是,ABCD的中
点，则下列判断正确的是（ ） A．12MNACBD B．12MNACBD
C．12MNACBD D．12MNACBD
二、填空题 7．在四面体ABCD中，M，N分别是面△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________. 8．如下图所示，四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得到AB//面MNP的图形的序号的是 ①②③④ 9．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1中点，则BD1和平面ACE位置关系是． 三、解答题 10.如图，正三棱柱111CBAABC
2023年新高考数学一轮复习8-4 直线、平面平行的判定及性质(知识点讲解)含详解
专题8.4 直线、平面平行的判定及性质（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理，运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题，凸显逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养．【知识点展示】（一）空间平行关系1.直线与平面平行的判定与性质a∥α，a⊂β，2.利用线面平行的定义，一般用反证法；利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)； 利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)． （二）平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β. (2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b. (3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.【常考题型剖析】题型一：与线、面平行相关命题的判定例1. （2023·全国·高三专题练习）已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（ ） A ．若m //α，m //n ，则n //α B ．若m //α，n //α，则m //n C ．若m //α，n ⊂α，则m //nD ．若m //α，m ⊂β，αβ＝n ，则m //n例2.（2022·上海静安·二模）在下列判断两个平面α与β平行的4个命题中，真命题的个数是（ ）. （1）α、β都垂直于平面r ，那么α∥β. （2）α、β都平行于平面r ，那么α∥β. （3）α、β都垂直于直线l ，那么α∥β.（4）如果l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β，那么α∥β A ．0B ．1C ．2D ．3例3．（四川·高考真题（文））下列命题正确的是（ ） A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行例4. （2022·云南师大附中模拟预测（理））若α，β是两个不同平面，m ，n 是两条不同直线，则下列4个推断中正确的是（ ）A ．m α∥，m β∥，n ⊂α，n m n β⊂⇒∥B ．m α⊂，n β⊂，m n αβ⇒∥∥C ．m α∥，n α∥，m β⊂，n βαβ⊂⇒∥D ．m α⊂，n β⊂，m n αβ⇒∥∥ 【方法技巧】直线、平面间平行的判定方法(1)关注是否符合判定定理与性质定理，并注意定理中易忽视的条件． (2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断． (3)利用实物进行空间想象，比较判断．(4)熟记一些常见结论，如垂直于同一条直线的两个平面平行等． 题型二：直线与平面平行的判定例5.（2023·全国·高三专题练习）在直三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 、F 、M 、N 分别是BC 、11B C 、1AA 、1CC 、1A C 的中点，给出下列四个判断：①//EF 平面1ADB ；②//EM 平面1ADB ； ③//EN 平面1ADB ； ④1//A M 平面1ADB ， 错误的序号为___________.例6.【多选题】（2017·全国·高考真题（文））如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 平行的是（ ）A．B．C．D．例7.（2023·全国·高三专题练习）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于,A B的点，直线PC 平面ABC，,E F分别是PA，PC的中点.记平面BEF与平面ABC的交线为l，求证：直线l//平面PAC【总结提升】证明直线与平面平行的方法(1)线面平行的定义：一条直线与一个平面无公共点(不相交)．(2)线面平行的判定定理：关键是找到平面内与已知直线平行的直线．常利用三角形的中位线、平行四边形的对边、成比例线段出现平行线或过已知直线作一平面找其交线．注意内外平行三条件，缺一不可．题型三：线面平行性质定理的应用例8.（福建·高考真题（文））如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD 上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．例9.(2019·全国卷Ⅰ改编)如图，直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1＝4，AB ＝2，∠BAD ＝60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．证明：MN ∥平面C 1DE .例10.如图，在直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 为线段AD 上的任意一点(不包括A ，D 两点)，平面CEC 1∩平面BB 1D ＝FG .证明：FG ∥平面AA 1B 1B ．【总结提升】 1.思路方法：(1)通过线面平行可得到线线平行，其中一条线应是两平面的交线，要树立这种应用意识． (2)利用线面平行性质必须先找出交线． 2.易错提醒（1）在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.（2）线面平行关系证明的难点在于辅助面和辅助线的添加，在添加辅助线、辅助面时一定要以某一性质定理为依据，绝不能主观臆断.（3）解题中注意符号语言的规范应用. 题型四：平面与平面平行的判定与性质例11.（2023·全国·高三专题练习）已知长方体1111ABCD A B C D -中，4AB AD ==，12AA =，E ，F 分别为棱11A B 和11A D 的中点，M 为长方体表面上任意一点．若BM ∥平面AEF ，则BM 的最大值为（ ）A．B ．C ．D ．6例12.（2020·全国·高三专题练习（文））如图，平面//α平面β，PAB △所在的平面与α，β分别交于CD 和AB ，若2PC =，3CA =，1CD =，则AB =______．例13.（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F分别为棱11,DD CC 的中点.求证：平面1//AEC 平面BDF例14.（陕西·高考真题（文））如图,四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O∥平面ABCD, 12AB AA ==.（1）证明: 平面A 1BD // 平面CD 1B 1;（2）求三棱柱ABD －A 1B 1D 1的体积.【规律方法】 1.证明面面平行的常用方法 (1)利用面面平行的定义．(2)利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． (3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”．(4)利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”． (5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．2.面面平行的应用(1)两平面平行，构造与之相交的第三个平面，可得交线平行．(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行，可用于证明线面平行．3.三种平行关系之间的转化其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化．专题8.4 直线、平面平行的判定及性质（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理，运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题，凸显逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养．【知识点展示】（一）空间平行关系1.直线与平面平行的判定与性质a∥α，a⊂β，2.利用线面平行的定义，一般用反证法；利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)； 利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)． （二）平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β. (2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b. (3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.【常考题型剖析】题型一：与线、面平行相关命题的判定例1. （2023·全国·高三专题练习）已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（ ） A ．若m //α，m //n ，则n //α B ．若m //α，n //α，则m //n C ．若m //α，n ⊂α，则m //n D ．若m //α，m ⊂β，αβ＝n ，则m //n【答案】D 【解析】 【分析】举例说明判断A ，B ，C ；利用线面平行的性质判断D 作答. 【详解】如图，长方体1111ABCD A B C D -中，平面1111D C B A 视为平面α，对于A ，直线AB 视为m ，直线11A B 视为n ，满足m //α，m //n ，而n ⊂α，A 不正确；对于B，直线AB视为m，直线BC视为n，满足m//α，n//α，而m与n相交，B不正确；A D视为n，满足m//α，n⊂α，显然m与n是异面直线，C不正确；对于C，直线AB视为m，直线11对于D，由直线与平面平行的性质定理知，D正确.故选：D例2.（2022·上海静安·二模）在下列判断两个平面α与β平行的4个命题中，真命题的个数是（）.（1）α、β都垂直于平面r，那么α∥β.（2）α、β都平行于平面r，那么α∥β.（3）α、β都垂直于直线l，那么α∥β.（4）如果l、m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β，那么α∥βA．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】【分析】由面面平行的判定定理及其相关结论分析可得结果.【详解】由面面平行的判定定理分析可知（1）错，（2），（3），（4）正确.故选：D例3．（四川·高考真题（文））下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【答案】C【解析】【详解】若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D错；故选项C正确.例4. （2022·云南师大附中模拟预测（理））若α，β是两个不同平面，m ，n 是两条不同直线，则下列4个推断中正确的是（ ）A ．m α∥，m β∥，n ⊂α，n m n β⊂⇒∥B ．m α⊂，n β⊂，m n αβ⇒∥∥C ．m α∥，n α∥，m β⊂，n βαβ⊂⇒∥D ．m α⊂，n β⊂，m n αβ⇒∥∥【答案】A【解析】【分析】利用线面，面面位置关系逐项分析即得.【详解】对于A ，如图，n ⊂α，n n βαβ⊂⇒⋂=，结合m α，m β，可知m n ∥，故A 正确；对于B ，如图，m ，n 可能异面，故B 错误；对于C ，如图，α，β可能相交，故C 错误；对于D ，如图，αβ，可能相交，故D 错误.故选：A ．【方法技巧】直线、平面间平行的判定方法(1)关注是否符合判定定理与性质定理，并注意定理中易忽视的条件．(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．(3)利用实物进行空间想象，比较判断．(4)熟记一些常见结论，如垂直于同一条直线的两个平面平行等．题型二：直线与平面平行的判定例5.（2023·全国·高三专题练习）在直三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 、F 、M 、N 分别是BC 、11B C 、1AA 、1CC 、1A C 的中点，给出下列四个判断：①//EF 平面1ADB ；②//EM 平面1ADB ；③//EN 平面1ADB ；④1//A M 平面1ADB ，错误的序号为___________.【答案】①②④【解析】【分析】连接DE 、1A E 、CE 、EF 、EM 、EN 、1A M 、FM ，证明出平面1//A CE 平面1AD B ，利用面面平行的性质结合假设法可判断①②③④的正误.【详解】连接DE 、1A E 、CE 、EF 、EM 、EN 、1A M 、FM ，在三棱柱111ABC A B C -中，因为11//BB CC 且11BB CC =，所以，四边形11BB C C 为平行四边形，则11//BC B C 且11BC B C =，D 、E 分别为BC 、11B C 的中点，则1//CD B E 且1CD B E =，故四边形1CDB E 为平行四边形，则1//CE B D ，CE ⊄平面1ADB ，1B D ⊂平面1ADB ，故//CE 平面1ADB ，同理可证四边形1BB ED 为平行四边形，则11////DE BB AA ，11DE BB AA ==，则四边形1AA ED 为平行四边形，所以，1//A E AD ，1A E ⊄平面1ADB ，AD ⊂平面1ADB ，则1//A E 平面1ADB ，1CE A E E =，故平面1//A CE 平面1AD B ，EN ⊂平面1A CE ，则//EN 平面1ADB ，③对；对于①，若//EF 平面1ADB ，EF EN E =，则平面//EFN 平面1ADB ，因为过点E 且与平面1ADB 平行的平面只有一个，矛盾，故①错，同理可知，②④均错.故答案为：①②④.例6.【多选题】（2017·全国·高考真题（文））如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 平行的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】BCD【解析】【分析】利用线面平行判定定理逐项判断可得答案．【详解】对于选项A，OQ∥AB，OQ与平面MNQ是相交的位置关系，故AB和平面MNQ不平行，故A错误；对于选项B，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ，故B正确；对于选项C，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故C正确；对于选项D，由于AB∥CD∥NQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故D正确；故选：BCD例7.（2023·全国·高三专题练习）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，,E F 分别是PA ，PC 的中点.记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，求证：直线l //平面PAC【答案】证明见解析【解析】【分析】先通过//EF AC 可得出//EF 平面ABC ，再利用线面平行的性质即可证明.【详解】因为,E F 分别是,PA PC 的中点，所以//EF AC ，又因为AC ⊂平面ABC ，EF ⊄平面ABC ，所以//EF 平面ABC ，又EF ⊂平面BEF ，平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，所以//EF l ，而l ⊄平面PAC ，EF ⊂平面PAC ，所以//l 平面P AC .【总结提升】证明直线与平面平行的方法(1)线面平行的定义：一条直线与一个平面无公共点(不相交)．(2)线面平行的判定定理：关键是找到平面内与已知直线平行的直线．常利用三角形的中位线、平行四边形的对边、成比例线段出现平行线或过已知直线作一平面找其交线．注意内外平行三条件，缺一不可． 题型三：线面平行性质定理的应用例8.（福建·高考真题（文））如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．【解析】【分析】根据直线与平面平行的性质定理可得//EF AC ,再根据E 为AD 的中点可得F 为CD 的中点,从而根据三角形的中位线可得.【详解】如图:因为//EF 平面1AB C ,EF ⊂平面DABC ,且平面1A C B 平面ABCD AC =,所以//EF AC ,又因为E 为AD 的中点,所以F 为CD 的中点, 所以12EF AC =,因为正方体的棱长为2.所以AC =所以EF =故答案为.例9.(2019·全国卷Ⅰ改编)如图，直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1＝4，AB ＝2，∠BAD ＝60°，E ，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．证明：MN∥平面C1DE.【答案】见解析【解析】证明:连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME＝12B1C．又因为N为A1D的中点，所以ND＝12A1D．由题设知A1B1//=DC，可得B1C//=A1D，故ME//=ND，因此四边形MNDE为平行四边形，所以MN∥ED．又MN⊄平面C1DE，ED⊂平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.例10.如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1∩平面BB1D＝FG.证明：FG∥平面AA1B1B．【答案】见解析【解析】证明：在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1⊂平面BB1D，CC1⊄平面BB1D，所以CC1∥平面BB1D．又CC1⊂平面CEC1，平面CEC1∩平面BB1D＝FG，所以CC1∥FG.因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG.而BB1⊂平面AA1B1B，FG⊄平面AA1B1B，所以FG∥平面AA1B1B．【总结提升】1.思路方法：(1)通过线面平行可得到线线平行，其中一条线应是两平面的交线，要树立这种应用意识．(2)利用线面平行性质必须先找出交线．（1）在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.（2）线面平行关系证明的难点在于辅助面和辅助线的添加，在添加辅助线、辅助面时一定要以某一性质定理为依据，绝不能主观臆断.（3）解题中注意符号语言的规范应用.题型四：平面与平面平行的判定与性质例11.（2023·全国·高三专题练习）已知长方体1111ABCD A B C D -中，4AB AD ==，12AA =，E ，F 分别为棱11A B 和11A D 的中点，M 为长方体表面上任意一点．若BM ∥平面AEF ，则BM 的最大值为（ ）A．B ．C ．D ．6【答案】C【解析】【分析】由面面平行的性质结合题意可确定点M 所在的平面，再由平面几何的性质即可确定BM 的值为最大值时的位置，即可求解【详解】如图所示，取G ，H 分别为棱11B C 和11D C 的中点，连接11,,,BG DH BD B D ,由题意易知1111,BF B D GH B D ∥∥，所以BF GH ∥；又易知AF BG ∥，故可以证明平面BGHD ∥平面AEF ；又BM ∥平面AEF ，由面面平行的性质可知M ∈平面BGHD ，所以由题意可知M 在等腰梯形BGHD 四条边上运动，过点H 作HQ BD ⊥，交BD 于点Q ，由题意可知BD GH DH BG DQ ====所以HQ BQ BD DQ =-=所以BH又BD BH ==，所以故当M 与D 点重合时，BM 的值为最大值，此时BM BD ==例12.（2020·全国·高三专题练习（文））如图，平面//α平面β，PAB △所在的平面与α，β分别交于CD 和AB ，若2PC =，3CA =，1CD =，则AB =______． 【答案】52【解析】【分析】根据面面平行的性质，证得//CD AB ，结合CD PC AB PA =，即可求解. 【详解】由题意，平面//α平面β，PAB △所在的平面与α，β分别交于CD 和AB ， 根据面面平行的性质，可得//CD AB ，所以CD PC AB PA =， 因为2PC =，3CA =，1CD =，所以15522CD PA AB PC ⋅⨯===.故答案为：52. 例13.（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱11,DD CC 的中点.求证：平面1//AEC 平面BDF【答案】证明见解析【解析】【分析】根据1//DF EC ，可证明1//EC 平面BDF ；又//BF AE ，可得//AE 平面BDF .进而根据线面平行证明面面平行.【详解】证明：在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱11,DD CC 的中点， 所以11111,22DE DD C F CC ==. 因为11CC DD =，且11//CC DD ，所以1DE C F =，且1//DE C F ，所以四边形1DEC F 是平行四边形，所以1//DF EC 又DF ⊂平面BDF ，1EC ⊄平面BDF ，所以1//EC 平面BDF .同理，//BF AE ，又BF ⊂平面BDF ，AE ⊄平面BDF ， 所以//AE 平面BDF .又1AE EC E ⋂=，1,AE EC ⊂平面1AEC ，所以平面1//AEC 平面BDF 例14.（陕西·高考真题（文））如图,四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O∥平面ABCD, 1AB AA =（1）证明: 平面A 1BD // 平面CD 1B 1;（2）求三棱柱ABD －A 1B 1D 1的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）1.【解析】【详解】试题分析：（1）要证明1A C ⊥平面11BB D D ，只要证明1A C 垂直于平面11BB D D 内的两条相交直线即可，由已知可证出1A C ⊥BD ，取11B D 的中点为1E ，通过证明四边形11A OCE 为正方形可证1A C ⊥1E O ．由线面垂直的判定定理问题得证；（2）由已知1A O 是三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的高，由此能求出三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的体积 试题解析：（Ⅰ）∵四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB=AA 1=，由棱柱的性质可得BB 1和DD 1平行且相等，故四边形BB 1D 1D 为平行四边形，故有BD 和B 1D 1平行且相等．而BD 不在平面CB 1D 1内，而B 1D 1在平面CB 1D 1内，∴BD ∥平面CB 1D 1．同理可证，A 1BCD 1为平行四边形，A 1B ∥平面CB 1D 1．而BD 和A 1B 是平面A 1BD 内的两条相交直线，故有平面A 1BD ∥平面CD 1B 1 ．（Ⅱ）由题意可得A 1O 为三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的高．三角形A 1AO 中，由勾股定理可得A 1O===1，∴三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的体积V=S △ABD •A 1O=•A 1O=×1=1．【规律方法】1.证明面面平行的常用方法 (1)利用面面平行的定义．(2)利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”．(4)利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”．(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．2.面面平行的应用(1)两平面平行，构造与之相交的第三个平面，可得交线平行．(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行，可用于证明线面平行．3.三种平行关系之间的转化其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化．。
线面平行、面面平行的判定及其性质习题课
课堂练习
1.下列条件能证明两平面平行的有___③__④_____。
①若一个平面内有两条直线与另一个平面平行； ②若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行； ③若一个平面内任一条直线都平行于另一个平面； ④若一个平面内的两条相交直线都平行另一个平面
课堂练习
(2)判定定理：a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒_____a_/;/ (3)其他判定方法：α∥β，a⊂α⇒_____a__//_.
复习回顾
3.直线和平面平行的性质定理:a∥α,a⊂β,α∩β=m⇒a_____m.
∥
4.两个平面的位置关系有_平__行__、_相__交__．
5.两个平面平行的判定
(1)定义:__两__个__平__面__没__有__公___共__点__,称这两个平面平行;
(2)判定定理:a⊂α,b⊂α, a∩b＝A,a∥β,b∥β⇒
; //
(3)推论：a∩b＝A，a，b⊂α，a′∩b′＝A′，
a′，b′⊂β，a∥a′，b∥b′⇒____/_/_.
复习回顾
6.两个平面平行的性质定理
(1)α∥β，a⊂α⇒_____a_/_/；
(2)α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒_______. a // b
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
课堂小结
1、证明线面平行的方法： （1）定义法；（2）判定定理；（3）面面平行得线面平行 其中判定定理的运用关键是在平面内找一条线与已知直线平 行，可构造中位线或平行四边线。 2、线面平行怎么用？
找已知直线所在平面与已知平面的交线。
3、证明面面平行的方法： （1）定义法；（2）判定定理； （3）垂直于同一直线的两个平面平行； （4）两个平面同时与第三个平面平行，则这两个平面平行。 4、面面平行怎么用？ （1）线面平行；（2）线线平行；（关键找交线） 5、区分判定定理与性质定理。
线线、线面、面面平行练习题(含答案)之欧阳数创编
直线、平面平行的判定及其性质 测试题
时间：2021.03.02 创作：欧阳数 A 一、选择题 1．下列条件中,能判断两个平面平行的是( ) A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面
D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 2．E，F，G分别是四面体ABCD的棱BC，CD，DA的中点，则此四面体中与过E，F，G的
截面平行的棱的条数是 A．0 B．1 C．2 D．3 3． 直线,abc，及平面，，使//ab成立的条件是（ ） A．//,ab B．//,//ab C．//,//acbc D．//,ab
4．若直线m不平行于平面，且m，则下列结论成立的是（ ）
A．内的所有直线与m异面
B．内不存在与m平行的直线 C．内存在唯一的直线与m平行 D．内的直线与m都相交 欧阳数创编
欧阳数创编 5．下列命题中，假命题的个数是（ ） ① 一条直线平行于一个平面，这条直线就和这个平面内的任何直线不相交；② 过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行；③ 过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行；④ 平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行；⑤a和b异面，则经过b存在唯一一个平面与平行 A．4 B．3 C．2D．1 6．已知空间四边形ABCD中，,MN分别是,ABCD的中点，则下列判断正确的是（ ） A．12MNACBD B．12MNACBD C．12MNACBD D．12MNACBD 二、填空题 7．在四面体ABCD中，M，N分别是面△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________. 8．如下图所示，四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得到AB//面MNP的图形的序号的是
①②③④
1-5线面平行与面面平行解答题
专题5线面平行与面面平行解答题秒杀秘籍：第一讲线面平行构造之平行四边形法要证明一直线平行于另一平面，可以构造一个平行四边形，利用另一组对边平行且相等来证明这组对边平行．这个另一组对边，往往在重垂线、水平线、侧平线中寻找，因为它们必然平行，只需要证明相等即可．构造方式：1．重垂线构造法2．水平线构造法3．侧平线构造法【例1】如下图，两个全等的正方形ABCD 和ABFE 所在平面相交于AB ，AC M ∈，EB N ∈且EN AM =，求证：//MN 平面BCF ．【证明】如图，作MG ∥AB 交BC 于G ，作NH ∥AB 交BF 于H ；∵MG ∥AB ，AB ∥NH ，∴MG ∥NH又∵ABCD 和ABFE 是两个全等的正方形∴AC =BE ∠ACB =∠ACB=45°∠MGC =∠NHB =90°∵AM =EN ，∴MC =BNMCG NBH ∴≅△△MG NH ∴=MGHN ∴是平行四边形，∴MN ∥GH∵GH CBF ⊂∴MN ∥平面BCF ．点评：重垂线构造法，因为M 、N 两点都能作重垂线的平行线．【例2】如图，在四棱锥ABCD S -中，已知底面ABCD 为直角梯形，其中BC AD //，︒=∠90BAD ，⊥SA 底面ABCD ，2===BC AB SA ．32tan =∠SDA ．（1）求四棱锥ABCD S -的体积；（2）在棱SD 上找一点E ，使//CE 平面SAB ，并证明．【解析】（1）∵SA ⊥底面ABCD ，tan ∠SDA ＝23，SA ＝2，∴AD ＝3．由题意知四棱锥S －ABCD 的底面为直角梯形，且SA ＝AB ＝BC ＝2，V S －ABCD ＝13×SA ×12×(BC ＋AD )×AB ＝13×2×12×(2＋3)×2＝103．（2）当点E 位于棱SD 上靠近D 的三等分点处时，可使CE ∥平面SAB ．取SD 上靠近D 的三等分点为E ，取SA 上靠近点A 的三等分点为F ，连接CE ，EF ，BF ，则EF =23AD ，BC =23AD ，∴BC=EF ．∴CE ∥BF ．又∵BF ⊂平面SAB ，CE ⊄平面SAB ，∴CE ∥平面SAB ．【例3】如图所示，在直四棱柱1111D C B A ABCD -中，已知AB AD DD DC 221===，AD ⊥DC ，AB ∥DC ，设E 是DC 的中点．求证：E D1∥平面BD A 1．【证明】如图，连接BE ，则四边形DABE 为正方形，∴11D A AD BE ==，且11////D A AD BE ，∴四边形EB D A 11为平行四边形，∴BA E D 11//又⊄E D 1平面BD A 1，⊄B A 1平面BDA 1∴E D 1∥平面BD A 1．点评：侧平线构造法，A 1、D 1位于侧平线两端．秒杀秘籍：第二讲线面平行构造之三角形中位线法证明一直线平行于另一平面，可以找到由一个公共顶点引出的两条线段，并分别找到线段中点，构造三角形中位线来证明线面平行．往往需要找出五点，即两个线段端点，一个中点，公共顶点，再找出另一个中点，最后连线即得．中位线法不需要依托重垂线、水平线、侧平线的载体，但一定要找到公共顶点．【例4】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点．求证：//1C A 平面BDE ．【证明】设O BD AC = ，∵E 、O 分别是1AA 、AC 的中点，∴EOC A //1又⊄C A 1平面BDE ，⊂EO 平面BDE ，∴//1C A 平面BDE【例5】如图，在正四棱锥P ABCD -中，PA AB a ==,点E 在棱PC 上．问点E 在何处时，//PA EBD 平面，并加以证明．【解析】当E 为PC 中点时，//PA EBD 平面．连接AC ，且AC BD O = ，由于四边形ABCD 为正方形，∴O 为AC 的中点，又E 为中点，∴OE 为△ACP 的中位线，∴EO PA //，又PA ⊄平面EBD ，∴//PA 平面EBD ．【例6】如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D 为棱AB 的中点，BC ＝1，AA 1＝3．（1）求证：BC 1∥平面A 1CD ；（2）求三棱锥D －A 1B 1C 的体积．【解析】（1）证明：连接AC 1交A 1C 于点O ，连接OD ．∵▱ACC 1A 1中，O 为AC 1的中点，D 为AB 的中点，∴OD ∥BC 1，又BC 1⊄平面A 1CD ，OD ⊂平面A 1CD ，∴BC 1∥平面A 1CD ．（2）在正三角形ABC 中，D 为AB 的中点，则CD ⊥AB ，又∵平面ABC ⊥平面ABB 1A 1，∴CD ⊥平面ABB 1A 1．∴CD 为三棱锥D －A 1B 1C 的高，∵CD ＝32，111D B A S △＝32，∴41311111111=⋅==--D B A D B A C C B A D S CD V V △．达标训练1．（2018•江苏）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA AB =，111AB B C ⊥．求证：//AB 平面11A B C ；2．（2018•新课标Ⅲ）如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧 CD所在平面垂直，M 是 CD 上异于C ，D 的点．在线段AM 上是否存在点P ，使得//MC 平面PBD ？说明理由．3．（2018•北京）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，E ，F 分别为AD ，PB 的中点．求证：//EF 平面PCD ．4．（2017•山东）由四棱柱1111ABCD A B C D -截去三棱锥111C B CD -后得到的几何体如图所示，四边形ABCD 为正方形，O 为AC 与BD 的交点，E 为AD 的中点，1A E ⊥平面ABCD ，证明：1//A O 平面11B CD ．5．（2016•江苏）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱1B B 上，且11B D A F ⊥，1111A C A B ⊥．求证：直线//DE 平面11A C F ．6．（2016•四川）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA CD ⊥，//AD BC ，90ADC PAB ∠=∠=︒，12BC CD AD ==．在平面PAD 内找一点M ，使得直线//CM 平面PAB ，并说明理由．7．（2015•天津）如图，已知1AA ⊥平面ABC ，11//BB AA ，3AB AC ==，25BC =，17AA =，127BB =，点E 和F 分别为BC 和1A C 的中点．求证：//EF 平面11A B BA ．8．（2015•山东）如图，三棱台DEF ABC -中，2AB DE =，G ，H 分别为AC ，BC 的中点．求证：//BD 平面FGH ．9．（2014•江苏）如图，在三棱锥P ABC -中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，已知PA AC ⊥，6PA =，8BC =，5DF =．求证：直线//PA 平面DEF ．10．（2014•山东）如图，四棱锥P ABCD -中，AP ⊥平面PCD ，//AD BC ，12AB BC AD ==，E ，F 分别为线段AD ，PC 的中点．求证：//AP 平面BEF ．11．（2014•安徽）如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217，点G ，E ，F ，H 分别是棱PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥平面ABCD ，//BC 平面GEFH ．（1）证明：//GH EF ；（2）若2EB =，求四边形GEFH 的面积．12．（2015•江苏）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知AC BC ⊥，1BC CC =，设1AB 的中点为D ，11B C BC E ⋂=．求证：//DE 平面11AA C C ．13．（2013•新课标Ⅱ）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是AB ，1BB 的中点．（1）证明：1//BC 平面1A CD ；（2）12AA AC CB ===，22AB =，求三棱锥1C A DE -的体积．。
线面平行练习题答案
线面平行练习题答案线面平行是几何学中的一个重要概念，指的是一条直线与一个平面没有交点，即直线在平面的两侧延伸。
以下是一些关于线面平行的练习题及其答案：1. 练习题1：在立方体ABCD-EFGH中，直线AB与平面EFGH平行吗？为什么？- 答案：是的，直线AB与平面EFGH平行。
因为直线AB是立方体的一条边，而平面EFGH是立方体的底面，它们之间没有交点。
2. 练习题2：如果直线l与平面α平行，直线m在平面α内，那么直线l与直线m平行吗？- 答案：不一定。
直线l与直线m平行的条件是直线m必须与直线l在同一个平面内，并且没有交点。
如果直线m不在直线l所在的平面内，它们就不一定平行。
3. 练习题3：在正方体中，如果直线AB与直线CD平行，并且直线AB 在平面EFGH内，直线CD在平面IJKL内，那么平面EFGH与平面IJKL 平行吗？- 答案：是的，平面EFGH与平面IJKL平行。
因为正方体的每个面都是平行的，所以当直线AB与直线CD平行时，它们所在的平面也必然平行。
4. 练习题4：如果直线a与直线b平行，直线b与平面α平行，那么直线a与平面α平行吗？- 答案：不一定。
直线a与平面α平行的条件是直线a必须在平面α内或者与平面α没有交点。
如果直线a不在平面α内，即使它与直线b平行，也不能直接得出直线a与平面α平行。
5. 练习题5：在一个三棱柱中，如果直线l是底面的一边，直线m是顶面的一边，且直线l与直线m平行，那么直线l与顶面平行吗？- 答案：是的，直线l与顶面平行。
因为直线l是底面的一边，直线m是顶面的一边，且它们平行，根据平行线的性质，直线l必然与顶面平行。
通过这些练习题，我们可以更好地理解线面平行的概念及其在几何问题中的应用。
希望这些答案能帮助你加深对线面平行的理解。
225线面平行与面面平行习题课
点F，使得CF∥平面
AD1E?
F
M
M F
师生合作，全员探究
小结
知识： 线面平行、面面平行的判定与性质。
方法：1、从结论出发，假定线面平行成立，利 用线面平行的性质，在平面内找到与已知 直线的平行线。
2、以平面外的直线作平行四边形 3、先证明面面平行，再由线平行的定 义过度到线面平行。
思想：程序意识，转化思想。（干什么，怎么干？）
a β
a∥b
b
αβ b
α
即：线面平行，则线线平行
3、平面与平面平行的判定定理：一个平面内两条相 交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.
a∥ ,b∥
ab A
∥
a ,b
bA a β
α
即：线面平行，则面面平行
4、平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同 时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
1、直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线 和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个 平面平行.
a
a∥b
b
b
α
a∥α
α
a α
即：线线平行，则线面平行
2、直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个 平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么 这条直线就和交线平行
β
a∥α
a
为底面正方形DBCE对角线的交
点,F为AE的中点. 求证:AB//平面
DCF.
B
A
D
O
F E
C
3.
如图，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，点 N 在 BD 上， 点 M 在 B1C 上，且 CM＝DN，求证：MN∥平面 AA1B1B.
直线与平面、平面与平面平行的判定(附答案)
直线与平面、平面与平面平行的判定[学习目标] 1.理解直线与平面平行、平面与平面平行判定定理的含义.2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用.3.能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题.知识点一直线与平面平行的判定定理语言叙述符号表示图形表示平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行⎭⎪⎬⎪⎫a⊄αb⊂αa∥b⇒a∥α思考若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线和这个平面平行吗答根据直线与平面平行的判定定理可知该结论错误.知识点二平面与平面平行的判定定理语言叙述符号表示图形表示一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行⎭⎪⎬⎪⎫a⊂α，b⊂αa∩b＝Aa∥β，b∥β⇒α∥β思考如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面也平行吗答不一定.这条直线与另一个平面平行或在另一个平面内.题型一直线与平面平行的判定定理的应用例1 如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证：(1)EH∥平面BCD；(2)BD∥平面EFGH.证明(1)∵EH为△ABD的中位线，∴EH∥BD.∵EH⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，∴EH∥平面BCD.(2)∵BD∥EH，BD⊄平面EFGH，EH⊂平面EFGH，∴BD∥平面EFGH.跟踪训练1 在四面体A－BCD中，M，N分别是△ABD和△BCD的重心，求证：MN∥平面ADC.证明如图所示，连接BM，BN并延长，分别交AD，DC于P，Q两点，连接PQ.因为M，N分别是△ABD和△BCD的重心，所以BM∶MP＝BN∶NQ＝2∶1.所以MN∥PQ.又因为MN⊄平面ADC，PQ⊂平面ADC，所以MN∥平面ADC.题型二面面平行判定定理的应用例2 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点.求证：平面A1EB∥平面ADC1.证明由棱柱性质知，B1C1∥BC，B1C1＝BC，又D，E分别为BC，B1C1的中点，所以C1E綊DB，则四边形C1DBE为平行四边形，因此EB∥C1D，又C1D⊂平面ADC1，EB⊄平面ADC1，所以EB∥平面ADC1.连接DE，同理，EB1綊BD，所以四边形EDBB1为平行四边形，则ED綊B1B.因为B1B∥A1A，B1B＝A1A(棱柱的性质)，所以ED綊A1A，则四边形EDAA1为平行四边形，所以A1E∥AD，又A1E⊄平面ADC1，AD⊂平面ADC1，所以A1E∥平面ADC1.由A1E∥平面ADC1，EB∥平面ADC1，A1E⊂平面A1EB，EB⊂平面A1EB，且A1E∩EB＝E，所以平面A1EB∥平面ADC1.跟踪训练2 已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，点G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中点.求证：(1)E，B，F，D1四点共面；(2)平面A1GH∥平面BED1F.证明(1)∵AE＝B1G＝1，∴BG＝A1E＝2.又∵BG∥A1E，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1G∥BE.连接FG.∵C1F＝B1G，C1F∥B1G，∴四边形C1FGB1是平行四边形，∴FG＝C1B1＝D1A1，FG∥C1B1∥D1A1，∴四边形A1GFD1是平行四边形，∴A1G∥D1F，∴D1F∥EB.故E，B，F，D1四点共面.(2)∵H是B1C1的中点，∴B1H＝32 .又∵B 1G ＝1，∴B 1G B 1H ＝23.又FC BC ＝23，且∠FCB ＝∠GB 1H ＝90°， ∴△B 1HG ∽△CBF ，∴∠B 1GH ＝∠CFB ＝∠FBG ，∴HG ∥FB .又由(1)知，A 1G ∥BE ，且HG ∩A 1G ＝G ，FB ∩BE ＝B ， ∴平面A 1GH ∥平面BED 1F .题型三 线面平行、面面平行判定定理的综合应用例3 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点.问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面PAO 请说明理由.解 当Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面PAO .理由如下：连接PQ .∵Q 为CC 1的中点，P 为DD 1的中点， ∴PQ ∥DC ∥AB ，PQ ＝DC ＝AB ，∴四边形ABQP 是平行四边形，∴QB ∥PA .又∵O为DB的中点，∴D1B∥PO.又∵PO∩PA＝P，D1B∩QB＝B，∴平面D1BQ∥平面PAO.跟踪训练3 如图，三棱柱ABC－A1B1C1的底面为正三角形，侧棱A1A⊥底面ABC，E，F分别是棱CC1，BB1上的点，EC＝是线段AC上的动点，当点M在何位置时，BM∥平面AEF请说明理由.解当M为AC中点时，BM∥平面AEF.理由如下：方法一如图1，取AE的中点O，连接OF，OM.∵O，M分别是AE，AC的中点，∴OM∥EC，OM＝12 EC.又∵BF∥CE，EC＝2FB，∴OM∥BF，OM＝BF，∴四边形OMBF为平行四边形，∴BM∥OF.又∵OF⊂面AEF，BM⊄面AEF，∴BM∥平面AEF.方法二如图2，取EC的中点P，连接PM，PB.∵PM是△ACE的中位线，∴PM∥AE.∵EC＝2FB＝2PE，CC1∥BB1，∴PE＝BF，PE∥BF，∴四边形BPEF是平行四边形，∴PB∥EF.又∵PM⊄平面AEF，PB⊄平面AEF，∴PM∥平面AEF，PB∥平面AEF.又∵PM∩PB＝P，∴平面PBM∥平面AEF.又∵BM⊂面PBM，∴BM∥平面AEF.面面平行的判定例4 已知在正方体ABCD－A′B′C′D′中，M，N分别是A′D′，A′B′的中点，在该正方体中是否存在过顶点且与平面AMN平行的平面若存在，试作出该平面，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.分析根据题意画出正方体，根据平面AMN的特点，试着在正方体中找出几条平行于该平面的直线，然后作出判断，并证明.解如图，与平面AMN平行的平面有以下三种情况：下面以图①为例进行证明.如图①，取B′C′的中点E，连接BD，BE，DE，ME，B′D′，可知四边形ABEM是平行四边形，所以BE∥AM.又因为BE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，所以AM∥平面BDE.因为MN是△A′B′D′的中位线，所以MN∥B′D′.因为四边形BDD′B′是平行四边形，所以BD∥B′D′.所以MN∥BD.又因为BD⊂平面BDE，MN⊄平面BDE，所以MN∥平面BDE.又因为AM⊂平面AMN，MN⊂平面AMN，且AM∩MN＝M，所以由平面与平面平行的判定定理可得，平面AMN∥平面BDE.1.过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面( )A.不可能作出B.只能作出一个C.能作出无数个D.上述三种情况都存在2.经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作( )个或2个个或1个个个3.若线段AB，BC，CD不共面，M，N，P分别为线段AB，BC，CD的中点，则直线BD与平面MNP的位置关系是( )A.平行B.直线在平面内C.相交D.以上均有可能4.在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是( )A.平面E1FG1与平面EGH1B.平面FHG1与平面F1H1GC.平面F1H1H与平面FHE1D.平面E1HG1与平面EH1G5.梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α的位置关系是________.一、选择题1.下列说法正确的是( )①若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；④若一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行.A.①③B.②④C.②③④D.③④2.平面α与平面β平行的条件可以是( )A.α内有无穷多条直线与β平行B.直线a∥α，a∥β，且直线a不在α与β内C.直线a⊂α，直线b⊂β，且b∥α，a∥βD.α内的任何直线都与β平行3.六棱柱的表面中，互相平行的平面最多有( )对对对对4.如果直线a平行于平面α，那么下列命题正确的是( )A.平面α内有且只有一条直线与a平行B.平面α内有无数条直线与a平行C.平面α内不存在与a平行的直线D.平面α内的任意直线与直线a都平行5.在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则( )∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形6.平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等且不为零，则α与β的位置关系为( )A.平行B.相交C.平行或相交D.可能重合7.已知直线l，m，平面α，β，下列命题正确的是( )∥β，l⊂α⇒α∥β∥β，m∥β，l⊂α，m ⊂α⇒α∥β∥m，l⊂α，m⊂β⇒α∥β∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α，l∩m＝M⇒α∥β二、填空题8.三棱锥SABC中，G为△ABC的重心，E在棱SA上，且AE＝2ES，则EG与平面SBC的关系为________.9.如图是正方体的平面展开图.在这个正方体中，①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.以上四个命题中，正确命题的序号是________.10.右图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面五个结论：①平面EFGH∥平面ABCD；②PA∥平面BDG；③EF∥平面PBC；④FH∥平面BDG；⑤EF∥平面BDG；其中正确结论的序号是________.三、解答题11.如图，在已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.12.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AB的中点，点N在侧面AA1D1D上运动，点N满足什么条件时，MN∥平面BB1D1D当堂检测答案1.答案D解析设直线外两点为A、B，若直线AB∥l，则过A、B可作无数个平面与l平行；若直线AB与l异面，则只能作一个平面与l平行；若直线AB与l相交，则过A、B没有平面与l平行.2.答案B解析①当经过两点的直线与平面α平行时，可作出一个平面β使β∥α.②当经过两点的直线与平面α相交时，由于作出的平面又至少有一个公共点，故经过两点的平面都与平面α相交，不能作出与平面α平行的平面.故满足条件的平面有0个或1个.3.答案A解析连接NP，因为N、P分别是BC、CD的中点，M是AB的中点，AB、BC、CD不共面，所以直线BD不在平面MNP上.∴直线BD与平面MNP平行.4.答案A解析如图，∵EG∥E1G1，EG⊄平面E1FG1，E1G1⊂平面E1FG1，∴EG∥平面E1FG1，又G1F∥H1E，同理可证H1E∥平面E1FG1，又H1E∩EG＝E，∴平面E1FG1∥平面EGH1.5.答案CD∥α解析因为AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，由线面平行的判定定理可得CD∥α.课时精练答案一、选择题1.答案D解析如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，在平面ABCD内，在AB上任取一点E，过点E作EF∥AD，交CD于点F，则由线面平行的判定定理，知EF，BC都平行于平面ADD1A1，用同样的方法可以在平面ABCD内作出无数条直线都与平面ADD1A1平行，但是平面ABCD与平面ADD1A1不平行，因此①②都错；③正确，事实上，因为一个平面内任意一条直线都平行于另一个平面，所以这两个平面必无公共点(要注意“任意一条直线”与“无数条直线”的区别)；④是平面与平面平行的判定定理，正确.2.答案D解析 对于A 项，当α与β相交时，α内也有无数条直线都与交线平行，故A 错误；对于B 项，当a 平行于α与β的交线时，也能满足，但此时α与β相交，故B 错误；对于C 项，当a 和b 都与α与β的交线平行时，也能满足，但此时α与β相交，故C 错误；对于D 项，α内的任何直线都与β平行，故在一个平面内存在两条相交直线平行于另一平面，故D 正确. 3.答案 C解析 侧面中有3对，对面相互平行，上下两底面也相互平行. 4.答案 B解析 如图，直线B 1C 1∥平面ABCD ，B 1C 1∥BC ，B 1C 1∥AD ，B 1C 1∥EF (E ，F 为中点)等，平面ABCD 内平行于BC 的所有直线均与B 1C 1平行.但AB与B 1C 1不平行.5.答案 B解析 易证EF ∥平面BCD .由AE ∶EB ＝AF ∶FD ，知EF ∥BD ，且EF ＝15BD .又因为H ，G 分别为BC ，CD 的中点，所以HG∥BD，且HG＝12BD.综上可知，EF∥HG，EF≠HG，所以四边形EFGH是梯形，且EF∥平面BCD.6.答案C解析若三点分布于平面β的同侧，则α与β平行，若三点分布于平面β的两侧，则α与β相交.7.答案D解析如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB∥CD，则AB∥平面DC1，AB⊂平面AC，但是平面AC与平面DC1不平行，所以A错误；取BB1的中点E，CC1的中点F，则可证EF∥平面AC，B1C1∥平面⊂平面BC1，B1C1⊂平面BC1，但是平面AC与平面BC1不平行，所以B错误；可证AD∥B1C1，AD⊂平面AC，B1C1⊂平面BC1，又平面AC与平面BC1不平行，所以C错误；很明显D是面面平行的判定定理，所以D正确.二、填空题8.答案平行解析如图，延长AG交BC于F，连接SF，则由G为△ABC的重心知AG∶GF＝2，又AE∶ES＝2，∴EG∥SF，又SF⊂平面SBC，EG⊄平面SBC，∴EG∥平面SBC.9.答案①②③④解析以ABCD为下底面还原正方体，如图：则易判定四个命题都是正确的.10.答案①②③④解析把图形还原为一个四棱锥，然后根据线面、面面平行的判定定理判断即可.三、解答题11.证明因为PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，所以MQ∥AD，NQ∥BP.因为BP⊂平面PBC，NQ⊄平面PBC，所以NQ∥平面PBC.又因为底面ABCD为平行四边形，所以BC∥AD，所以MQ∥BC.因为BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，所以MQ∥平面PBC.又因为MQ∩NQ＝Q，所以根据平面与平面平行的判定定理，得平面MNQ∥平面PBC.12.解如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，分别取棱A1B1，A1D1，AD的中点E，F，G，连接ME，EF，FG，GM.因为M是AB的中点，所以ME∥AA1∥FG，且ME＝AA1＝FG.所以四边形MEFG是平行四边形.因为ME∥BB1，BB1⊂平面BB1D1D，ME⊄平面BB1D1D，所以ME∥平面BB1D1D.在△A1B1D1中，因为EF∥B1D1，B1D1⊂平面BB1D1D，EF⊄平面BB1D1D，所以EF∥平面BB1D1D.又因为ME∩EF＝E，且ME⊂平面MEFG，EF⊂平面MEFG，所以平面MEFG∥平面BB1D1D.在FG上任取一点N，连接MN，所以MN⊂平面MEFG.所以MN与平面BB1D1D无公共点.所以MN∥平面BB1D1D.总之，当点N在平面AA1D1D内的直线FG上(任意位置)时，都有MN∥BB1D1D，即当点N在矩形AA1D1D中过A1D1与AD的中点的直线上运动时，都有MN∥平面BB1D1D.。
线面平行与面面平行
第2课时线面平行与面面平行※考纲链接1.了解空间线面、面面平行的有关概念2.理解直线与平面、平面与平面的平行关系的性质与判定，并能进行简单运用.【课前自主探究】※教材回归◎基础重现：1．直线与平面平行的判定①定义法：证明直线与平面无公共点（反证法）.②判定定理：如果____________和平面内的一条直线平行，则直线和平面平行.③面面平行的性质：如果两个平面平行，那么一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面.2．直线与平面平行的性质：①定义：如果一条直线和一个平面平行，,则直线与平面无公共点②性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和_______平行．3．平面与平面平行的判定①定义法：证明两个平面没有公共点（反证法）.②判定定理：如果一个平面内的____________分别和另一个平面平行，那么这两个平面相互平行.③推论：如果一个平面内的两条相交直线分别和另一个平面内的两条直线（相交）平行，那么这两个平面相互平行.④垂直于同一直线的两个平面相互平行.4．平面与平面平行的性质：①.定义：如果两个平面平行, 则两个平面没有公共点②.性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么____________．5．两个平行平面间的距离两个平行平面的_________的长度叫做两个平行平面间的距离．基础重现答案：1. 平面外的一条直线；2. 交线；3. 两条相交直线4. 所得的两条交线平行5. 公垂线段◎思维升华：1.线线、线面、面面平行的转换_________性质定理性质定理2．解答或证明线面、面面平行的有关问题，常常要作_____或辅助平面.思维升华答案：1. 面面平行性质定理 2.辅助线※基础自测1.下列命题中，正确命题的个数是 .①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行；③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；④若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点.答案：1解析：正确的命题仅是④ 2．下列说法正确的有____________①一个平面内有两条直线与另一个平面平行，则这两个平面互相平行； ②两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面互相平行； ③两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面互相平行； ④两个平面同时平行于某一个平面，则这两个平面互相平行； 答案：②④3．如果一个平面内的两条直线都平行于另一个平面，则这两个平面 位置关系为 ______ 答案：平行或相交4. (2010·宿迁模拟题)设,,x y z 是空间的不同直线或不同平面，下列条件中能保证“若x z ⊥，且y z ⊥，则//x y ”为真命题的是 .（填所正确条件的代号） ①,,x y z 为直线； ②,,x y z 为平面；③,x y 为直线，z 为平面； ④x 为直线，,y z 为平面. 答案：③5.（2010·山东高考题改编）在空间，下列命题正确的有______个 ①.平行直线的平行投影重合②.平行于同一直线的两个平面平行 ③.垂直于同一平面的两个平面平行 ④.垂直于同一平面的两条直线平行答案：1.解析：由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以得出命题④是正确的.【课堂师生共探】※ 经典例题题型一 直线与平面平行的判定与性质例题1 如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，侧面对角线AB 1，BC 1上分别有两点E ，F ，且B 1E=C 1F.求证：EF ∥平面ABCD.分析：要证EF ∥平面ABCD ，思路有两种：一是利用线面平行的判定定理，即在平面ABCD 内确定EF 的平行线；二是利用面面平行的性质定理，即过EF 作与平面ABCD 平行的平面.证明 方法一 分别过E ，F 作EM ⊥AB 于M ，FN ⊥BC 于N ，连接MN. ∵BB 1⊥平面ABCD ， ∴BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ， ∴EM ∥BB 1，FN ∥BB 1， ∴EM ∥FN.又∵B 1E=C 1F ，∴EM=FN ，故四边形MNFE 是平行四边形，∴EF ∥MN. 又MN ⊂平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD ， 所以EF ∥平面ABCD.ABC DEP 方法二 过E 作EG ∥AB 交BB 1于G ， 连接GF ，则BB GB A B E B 1111=， ∵B 1E=C 1F ，B 1A=C 1B ， ∴BB GB BC E C 1111=，∴FG ∥B 1C 1∥BC ， 又EG∩FG=G ，AB∩BC=B ，∴平面EFG ∥平面ABCD ，而EF ⊂平面EFG ， ∴EF ∥平面ABCD.点评：判断或证明线面平行的常见途径：①利用线面平行的定义（无公共点）；②线面平行的判定定理；③面面平行的性质定理变式训练：（2010·福建泉州一中模拟卷改编）右图为一简单组合体，其底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，EC //PD .求证：BE //平面PDA ； 证明：PDA EC PAD PD ,PD //EC 平面，平面⊄⊂Θ，PDA //EC 平面∴，同理可得BC//平面PDA ，C BC EC EBC BC EBC EC =⋂⊂⊂且平面，平面Θ PDA //EBC 平面平面∴又EBC BE 平面⊂Θ，PDA //EB 平面∴○题型二 平面与平面平行的判定与性质例题2 已知P 为△ABC 所在平面外一点，G 1、G 2、G 3分别是△PAB 、△PCB 、△PAC 的重心. （1）求证：平面G 1G 2G 3∥平面ABC ； （2）求S △321G G G ∶S △ABC .分析：要证明平面G 1G 2G 3∥平面ABC ，可以通过面面平行的判定定理，两条相交直线3221,G G G G ，都平行平面ABC.证明（1）如图所示，连接PG 1、PG 2、PG 3并延长分别与边AB 、BC 、AC 交于点D 、E 、F ，连接DE 、EF 、FD ，则有PG 1∶PD=2∶3， PG 2∶PE=2∶3，∴G 1G 2∥DE. 又G 1G 2不在平面ABC 内，∴G 1G 2∥平面ABC.同理G 2G 3∥平面ABC. 又因为G 1G 2∩G 2G 3=G 2， ∴平面G 1G 2G 3∥平面ABC. （2）解由（1）知PE PG PD PG 21==32，∴G 1G 2=32DE. 又DE=21AC ，∴G 1G 2=31AC. 同理G 2G 3=31AB ，G 1G 3=31BC. ∴△G 1G 2G 3∽△CAB ，其相似比为1∶3，∴S △321G G G ∶S △ABC =1∶9.点评：证明面面平行，一般可利用面面平行的判定定理，将面面平行转化为线面平行，进一步转化线线平行.值得 注意的是，不能直接通过FE G G FD G G //,//2121得出平面G 1G 2G 3与平面ABC .平行，而通过两条相交直线3221,G G G G 都和平面ABC 平行.变式训练：如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点,问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面PAO ？解析： 当Q 为CC 1的中点时， 平面D 1BQ ∥平面PAO .∵Q 为CC 1的中点，P 为DD 1的中点，∴QB ∥PA . ∵P 、O 为DD 1、DB 的中点，∴D 1B ∥PO . 又PO ∩PA =P ，D 1B ∩QB =B ，D 1B ∥平面PAO ，QB ∥平面PAO ， ∴平面D 1BQ ∥平面PAO . 题型三 平行关系的综合应用例题3 如图所示，平面α∥平面β，点A ∈α，C ∈α，点B ∈β，D ∈β,点E ，F 分别在线段AB ，CD 上，且AE ∶EB=CF ∶FD. （1）求证：EF ∥β；（2）若E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AC=4，BD=6，且AC ，BD 所成的角为60°，求EF 的长. 分析：（1）首先判断A 、B 、C 、D 未必共面，可以对其是否共面进行讨论.若这四点共面,可通过EF//BD 来证得EF ∥β，若这四点不共面，可过A 、C 、D 作辅助平面交β于DH,在AH 取一个合适点G ，进而通过平面EFG ∥平面β来证得EF ∥β.（2）求线段的长可以将其放到三角形中去解三角形. （1）证明 ①当AB ，CD 在同一平面内时， 由α∥β，平面α∩平面ABDC=AC ，平面β∩平面ABDC=BD ，∴AC ∥BD ， ∵AE ∶EB=CF ∶FD ，∴EF ∥BD ， 又EF ⊄β,BD ⊂β,∴EF ∥β.②当AB 与CD 异面时，设平面ACD ∩β=DH ，且DH=AC. ∵α∥β，α∩平面ACDH=AC ，∴AC ∥DH ，∴四边形ACDH 是平行四边形，在AH 上取一点G ，使AG ∶GH=CF ∶FD ， 又∵AE ∶EB=CF ∶FD ，∴GF ∥HD ，EG ∥BH ， 又EG ∩GF=G ，∴平面EFG ∥平面β.∵EF ⊂平面EFG ，∴EF ∥β.综上，EF ∥β.（2）解 如图所示，连接AD ，取AD 的中点M ，连接ME ，MF. ∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点， ∴ME ∥BD ，MF ∥AC ， 且ME=21BD=3，MF=21AC=2，∴∠EMF 为AC 与BD 所成的角（或其补角）， ∴∠EMF=60°或120°，∴在△EFM 中由余弦定理得， EF=EMF MF ME MF ME ∠••-+cos 222=212322322⨯⨯⨯±+=613±， 即EF=7或EF=19.点评：线线、线面、面面平行之间常常需要直接或间接转化，不少问题还需要我们多次转化，才能实现；立体几何中问题的解决还需要平面几何知识的运用，事实上复杂的立体几何问题最终是在一个或几个平面中得以解决的.变式训练：如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是BC 、CC 1、C 1D 1、A 1A 的中点.求证：（1）BF ∥HD 1； （2）EG ∥平面BB 1D 1D ； （3）平面BDF ∥平面B 1D 1H.解析： （1）如图所示，取BB 1的中点M ，易证四边形HMC 1D 1是平行四边形，∴HD 1∥MC 1. 又∵MC 1∥BF ，∴BF ∥HD 1.（2）取BD 的中点O ，连接EO ，D 1O ， 则OE 21DC ，又D 1G21DC ，∴OE D 1G ，∴四边形OEGD 1是平行四边形，∴GE ∥D 1O. 又D 1O ⊂平面BB 1D 1D ，∴EG ∥平面BB 1D 1D.（3）由（1）知D 1H ∥BF ，又BD ∥B 1D 1，B 1D 1、HD 1⊂平面HB 1D 1，BF 、BD ⊂平面BDF ，且B 1D 1∩HD 1=D 1，DB ∩BF=B ，∴平面BDF ∥平面B 1D 1H.※高考新题零距离（2010·陕西文高考题） 如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形PA ⊥平面ABCD ，AP =AB ，BP =BC =2，E ，F 分别是PB ,PC 的中点. (1)证明：EF ∥平面P AD ； (2)求三棱锥E —ABC 的体积V. 证明：(1)在△PBC 中，E ，F 分别是PB ，PC 的中点，∴EF ∥BC . 又BC ∥AD ,∴EF ∥AD , 又∵AD ⊄平面P AD ,E F ⊄平面P AD , ∴EF ∥平面P AD . (2)连接AE ,AC,EC ,过E 作EG ∥P A 交AB 于点G ,则BG ⊥平面ABCD ,且EG =12P A . 在△P AB 中，AD =AB ,∠P AB °,BP =2,∴AP =AB =2,EG =22.∴S △ABC =12AB ·BC =12×2×2=2, ∴V E-AB C =13S △ABC ·EG =13×2×22=13.※典型错误警示1.线面平行关系判定时,对两直线平行比较关注,但对两条直线分别在平面外、平面内的要求比较容易忽视,如：例1证明 EF ∥平面ABCD .容易遗漏⊄EF 平面ABCD 和⊆MN 平面ABCD；2.在证明面面平行，容易直接运用一个平面两条相交直线平行于另一个平面内两条相交直线而得到结论，而不是通过线线平行过渡到线面平行再到面面平行.如例2中直接运用QB ∥PA， D1B∥PO⇒平面PAO//平面QBD1.◎典型错题反思反思是自觉地对数学认知活动进行分析、总结、评价和调控的过程，是一种自我挑战、自我完善和自我超越，是优化解法、深化思维的有效手段，是高效的学习方法、最佳的纠错手段，是走出“题海”的最有效途径.请整理出本课时的典型错误，找出错因，并从审题、知识、方法和策略的层面进行反思！我的错题：错因：反思：※学以致用第2课时线面平行与面面平行[基础级]1．以下命题正确的有_________________①．两个平面可以只有一个交点②．一条直线与一个平面最多有一个公共点③．两个平面有一个公共点，它们可能相交④．两个平面有三个公共点，它们一定重合答案：③.解析：两个平面有一个交点，则有经过该点的一条直线，所以①错误；直线在平面内，则直线与平面有无数个公共点，所以②错误；若两个平面有三个共线的点，则两个平面未必重合.所以④错误.2．已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么α与β位置关系为_______答案：α∥β或α与β相交.解析：若这无数条直线平行，则α∥β或α与β相交；若这无数条直线有两条相交，则α∥β.3．平面α∥平面β，AB、CD是夹在α和β间的两条线段，E、F分别为AB、CD的中点，则EF与α的位置关系是________答案：平行解析：连BC，作BC的中点M，可证明面MEF//α.从而EF//α..4.下列命题，其中真命题的个数为 .①直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b,直线b⊂α,则a∥α；④若直线a∥b,b⊂α,那么直线a就平行于平面α内的无数条直线.答案1解析①、②、③错，④对.5.写出平面α∥平面β的一个充分条件（写出一个你认为正确的即可）.答案存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α.解析：面面平行的判定.6.对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α，β都垂直于γ；②存在平面γ，使得α，β都平行于γ；③存在直线l⊂α,直线m⊂β,使得l∥m；④存在异面直线l 、m ，使得l ∥α,l ∥β,m ∥α,m ∥β.其中，可以判定α与β平行的条件有 （写出符合题意的序号）.答案 ②④解析 由线面位置关系不难知道②④正确.7.已知平面α⊥平面β,α∩β=l ,点A ∈α,A ∉l ,直线AB ∥l ,直线AC ⊥l ,直线m ∥α,m ∥β,则下列四种位置关系中,一定成立的是 .①AB ∥m ②AC ⊥m ③AB ∥β ④AC ⊥β 答案 ①②③解析 ∵m ∥α，m ∥β，α∩β=l ，∴m ∥l .∵AB ∥l ，∴AB ∥m .故①一定正确.∵AC ⊥l ，m ∥l ，∴AC ⊥m .从而②一定正确. ∵A ∈α，AB ∥l ，l ⊂α，∴B ∈α.∴AB ⊄β，l ⊂β.∴AB ∥β.故③也正确.∵AC ⊥l ，当点C 在平面α内时，AC ⊥β成立，当点C 不在平面α内时，AC ⊥β不成立.故④不一定成立.8.设有直线m 、n 和平面α、β.下列命题不正确的是 （填序号）.①若m ∥α,n ∥α,则m ∥n②若m ⊂α，n ⊂α,m ∥β,n ∥β,则α∥β ③若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥β ④若α⊥β,m ⊥β,m ⊄α,则m ∥α答案 ①②③解析 若α∥β，m ⊂β，n ⊂β，可知m ∥α,n ∥α,但m 与n 可以相交，所以①不对；若m ∥n ，即使有m ⊂α,n ⊂α,m ∥β,n ∥β, α与β也可以相交，所以②不对；若α⊥β，α中仍有不与β垂直的直线，例如α与β的交线，故③不对；若α⊥β，则在α中可作与β垂直的直线n ,又m ⊥β，则m ∥n ，又m ⊄α，所以m ∥α，故④正确. [升华级]9．求证： 两个相交平面分别过两条平行直线, 则它们的交线和这两条平行直线平行. 解析：如图, a ⊄β，∵ a//b , b ⊂β，∴ a//β又∵a ⊂α, α∩β= l , ∴ a// l ,又 a//b ，∴ a//b// l .10．（2010·姜堰中学月考）如图四边形ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ， Q 为PA 的中点. 求证：PC ∥平面QBD ； 解析：设 ⋂AC BD=0,连OQ . ⑴ ∵ABCD 为菱形， ∴ O 为AC 中点，又Q 为PA 中点. ∴OQ ∥PC . 又⊄PC 平面QBD , ⊂OQ 平面QBD ∴PC ∥平面QBD11．（2010·江苏省届百校联考改编）在在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，E 为OA 的中点，F 为BC 的中点，求证：EF//平面OCD 证明：取OD 中点M ，连接EM,CM ,则1,2ME AD ME AD =‖， ∵ABCD 是菱形，∴//,AD BC AD BC =，BACD P Q O∵F 为BC 的中点，∴1,2CF AD CF AD =‖， ∴,ME CF ME CF =‖．∴四边形EFCM 是平行四边形，∴//EF CM ，,//EF OCD CM OCD EF OCD⊄⊂∴Q 平面平面平面我的错题：错因：反思：第三课时 线面垂直与面面垂直※考纲链接1.了解线面垂直的概念，能正确判断空间线面、面面垂直的位置关系；2.能运用线面、面面垂直的判定和性质来证明线面、面面垂直，能求简单的线面角和二面角和点面距离.【课前自主探究】※ 教材回归 ◎基础重现1.直线与平面垂直判定（1）定义：若一条直线和一个平面内的_______垂直，则这条直线和这个平面垂直. （2）如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.（3）判定定理：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.2.直线与平面垂直的性质：（1）一条直线和一个平面垂直,那么该直线与平面内所有直线垂直. （2）性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线______. 3.平面与平面垂直的判定（1）定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直. （2）如果一个平面经过另一个平面的_________，那么这两个平面互相垂直. （3）一个平面垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个. 4.平面与平面垂直的性质：（1）两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.（2）如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，________.DABCFE OM（3）如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面. 5.二面角及二面角的平面角(1)半平面： 一条直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面. (2)二面角 ： __________________________叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成. 6.空间的几种距离点到平面的距离：面外一点引一个平面的垂线，这个点和___________间的距离叫做这个点到这个平面的距离.直线和平面的距离：定义一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离.平行平面的距离：个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线.公垂线夹在两个平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段.两个平行平面的公垂线段的长度叫做这两个平行平面的距离.基础重现答案：1. 任何一条直线2. 平行3. 一条垂线4. 在第一个平面内5. 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形6.垂足 ◎思维升华：1．三种垂直关系的相互转化2．求点面距离、线面距离、平行平面距离常用的方法： （1)直接利用定义求;（2)利用两平面互相垂直的性质.即如果已知点在已知平面的垂面上，则已知点到两平面交线的距离就是所求的点面距离;（3)等体积法.其步骤是：①在平面内选取适当三点，和已知点构成三棱锥；②__________________________；③由V=sh 31求出h 即为所求. 线面距、平行平面距离：转化为点线(面)距离，通过解三角形或体积法求解之.思维升华答案：1.线面垂直2.求出此三棱锥的体积V 和所取三点构成三角形的面积S ； ※ 基础自测1.给出下列四个命题：①若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直；②若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直；③若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线； ④若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线. 其中正确的命题共有 个.答案 2.解析 与线面垂直的定义及判定定理相对照，②、③为真，①中两线可能不相交，④中两线不相交，故不正确.判定判定 性质性质2.(2010·无锡模拟)已知直线m、n和平面α、β满足m⊥n，m⊥α，α⊥β，则n与平面α的关系为 .答案n ∥α,或n⊂α.解析∵n与β的位置关系各种可能性都有.当n⊄α时，作n′∥n,且n′∩m=O,则n′与m确定平面γ,设α∩γ= l,则有m⊥l,又m⊥n′,所以l∥n′,∴l∥n,∴n∥α；当n⊂α时，显然成立.3.(2010年南京市高三情况调查卷)下列命题中，真．命题．．是________①.如果一条直线与一个平面垂直,则这条直线与这个平面内的任意一条直线垂直②.如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行③.如果一条直线垂直于平面的两直线，则垂直于这个平面④.如果两平面垂直，则一平面的直线垂直于另一个平面答案：①②4.如图，BC是Rｔ△ABC的斜边，AP⊥平面ABC，连结PB、PC，则图中共有直角三角形个.答案：45.如图，AB是圆O的直径，C是异于A、B的圆周上的任意一点，P A垂直于圆O所在的平面，则BC和PC所成角为答案：2π【课堂师生共探】※经典例题题型一直线与平面垂直的判定与性质例1．如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC 的中点. （1）求证：MN⊥CD；（2）若∠PDA=45°.求证：MN⊥平面PCD. 分析：要证明MN⊥平面PCD，只要证明MN与平面PCD内两条相交直线垂直.证明（1）连接AC，AN，BN，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，在Rt△PAC中，N为PC中点，∴AN=21PC.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，从而在Rt△PBC中，BN为斜边PC上的中线，∴BN=21PC.∴AN=BN，∴△ABN为等腰三角形，又M为底边的中点，∴MN⊥AB，又∵AB∥CD，∴MN⊥CD.PABCPABCO（2）连接PM 、CM ,∵∠PDA =45°，PA ⊥AD ，∴AP =AD .∵四边形ABCD 为矩形. ∴AD =BC ，∴PA =BC .又∵M 为AB 的中点，∴AM =BM . 而∠PAM =∠CBM =90°,∴PM =CM . 又N 为PC 的中点，∴MN ⊥PC . 由（1）知，MN ⊥CD ，PC ∩CD =C , ∴MN ⊥平面PCD .点评：在线线垂直和线面垂直的相互转化中, 平面在其中起着至关重要的作用, 应考虑线与线、线与面所在的平面特征, 以顺利实现证明需要的转化.变式训练：如图, AB 为⊙O 的直径, C 为⊙O 上的一点, AD ⊥面ABC , AE ⊥BD 于E , AF ⊥CD 于F.求证： BD ⊥面AEF.解析： ∵ AB 为⊙O 直径, C 为⊙O 上一点，∴ BC ⊥AC.BC ACAF DC DA ABC BC DAC DA BC BC AF BC ABC AF DAC AC DA A BC DC C ⊥⊥⎫⎫⊥⊥⎫⎫⎪⎪⇒⊥⇒⇒⊥⎬⎬⎬⎬⊂⊂⎭⎭⎪⎪==⎭⎭I I 平面平面面面BD AEAF DCB AF BDBD AEF DB DCB AE AF A ⊥⎫⊥⎫⎪⇒⇒⊥⇒⊥⎬⎬⊂⎭⎪=⎭I 平面平面平面. 题型二 平面与平面垂直的判定与性质例2 如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是∠DAB=60°且边长为a 的菱形，侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD ，若G 为AD 边的中点， （1）求证：BG ⊥平面PAD ； （2）求证：AD ⊥PB ；（3）若E 为BC 边的中点，能否在棱PC 上找到一点F ，使平面DEF ⊥平面ABCD ，并证明你的结论.分析：要证明BG ⊥平面PAD ，可通过平面PAD ⊥平面ABCD 来证明；要探求在PC 上是否存在点F ，使得平面DEF ⊥平面ABCD ，只需平面探求PC 上是否存在点F ，使得平面DEF ∥平面PGB.（1）证明 在菱形ABCD 中，∠DAB=60°，G 为AD 的中点，所以BG ⊥AD ， 又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD=AD ， 所以BG ⊥平面PAD.（2）证明 连接PG ，因为△PAD 为正三角形， G 为AD 的中点，得PG ⊥AD ，由（1）知BG ⊥AD ， PG ⊂平面PGB ，BG ⊂平面PGB ，PG ∩BG=G ，所以AD ⊥平面PGB ，因为PB ⊂平面PGB ， 所以AD ⊥PB.（3）解 当F 为PC 的中点时，满足平面DEF ⊥平面ABCD.证明如下：取PC 的中点F ，连接DE 、EF 、DF ，在△PBC 中，FE ∥PB ，在菱形ABCD 中，GB ∥DE ，而FE ⊂平面DEF ，DE ⊂平面DEF ， EF ∩DE=E ，所以平面DEF ∥平面PGB ，因为BG ⊥平面PAD ，所以BG ⊥PG 又因为PG ⊥AD ，AD ∩BG=G ，∴PG ⊥平面ABCD ，而PG ⊂平面PGB ， 所以平面PGB ⊥平面ABCD ，所以平面DEF ⊥平面ABCD.点评：（1）线面垂直可以通过转化为线线垂直来证明；（2）探求符合要求的点，可通过先构造垂直的特殊位置上的点或线，然后验证其是否符合条件，如果符合要求，则反过来直行证明.变式训练：（2010·江宁区模拟）如图所示，在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中， DB=BC ，DB ⊥AC ，点M 是棱BB 1上一点.（1）求证：B 1D 1//平面A 1BD ； （2）求证：MD ⊥AC（3） 试确定点M 的位置，使得平面DMC 1⊥平面CC 1D 1D 解析：（1）∴B 1D 1//BD而BD ⊂平面A 1BD ，BD ⊄平面A 1BD ， ∴B 1D 1//平面A 1BD.（2）AC ⊥平面B 1BD 而MD ⊂平面B 1BD ， ∴MD ⊥AC.（3）当点M 为棱BB 1的中点时， 可使得平面DMC 1//平面CC 1D 1D取DC 的中点N ，D 1C 1的中点N 1，连结NN 1交DC 1于O ，连结OM. ∵N 是DC 的中点，BD=BC ∴BN ⊥DC又∵平面ABCD ∩平面DCC 1D 1=DC,平面ABCD ⊥平面DCC 1D 1， ∴BN ⊥平面DCC 1D 1. 又可知O 是NN 1的中点，∴BM//ON 且BM=ON ，即BMON 是平行四边形， ∴BN//OM∴OM ⊥平面CC 1D 1D 又∵OM ⊂平面DMC 1，∴平面DNC 1⊥平面CC 1D 1D. 题型三 线面角的求法例3 如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面为直角梯形，AD ∥BC ，ABCD A 1B 1C 1D 1M NN 1O∠BAD =90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA =AD =AB =2BC ，M 、N 分别为PC 、PB 的中点. （1）求证：PB ⊥DM ；（2）求BD 与平面ADMN 所成的角.分析：线面角关键是找出直线BD 在平面ADMN 内的射影，即只要找出过直线BD 上某一点且和平面ADMN 垂直的垂线问题便迎刃而解！ 解析：（1）∵N 是PB 的中点，PA =PB ， ∴AN ⊥PB .∵∠BAD =90°，∴AD ⊥AB . ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AD .∵PA ∩AB =A ，∴AD ⊥平面PAB ，∴AD ⊥PB . 又∵AD ∩AN =A ，∴PB ⊥平面ADMN . ∵DM ⊂平面ADMN ，∴PB ⊥DM .（2）连接DN ，∵PB ⊥平面ADMN ，BD 在平面ADMN 上的射影为ND ， ∴∠BDN 是BD 与平面ADMN 所成的角，在Rt △BDN 中，sin ∠BDN =BD BN =ABAB2221•=21， ∴∠BDN =30°,即BD 与平面ADMN 所成的角为30°.点评：作出直线和平面所成角的关键是作垂线，找射影．变式训练：△ABC 和△DBC 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ，∠ABC ＝∠DBC ＝120°．求AD 与平面DBC 所成的角； 解析：作AE ⊥BC 交BC 的延长线于E ，由面ABC ⊥面BCD 知AE ⊥平面BCD ，∠ADE 即为所求，在△ABE 中，∵∠ABC=120°∴∠ABE=60°，AE=AB 23，同理在△BDE 中， DE=DB 23,则AE=DE ，则∠ADE ＝45°,即AD 与平面DBC 所成的角为45°. 题型四 点到平面的距离例5 （2010·江苏高考题）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD=DC=BC=1，AB=2，AB ∥DC ，∠BCD=900. (1)求证：PC ⊥BC ；(2)求点A 到平面PBC 的距离.分析：一方面可以通过AB ∥DC 且AB=2DC ，将点A 到平面PBC 的距离转化为D 到平面PBC 的距离的2倍.过D 作PC 的垂线便可以解决；另一方面也可以运用等体积法A PBC P ABC V V --=，将距离转化为平面PBC 上的高.（1）证明：因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥BC. 由∠BCD=900，得CD ⊥BC ， 又PD I DC=D ，PD 、DC ⊂平面PCD ， 所以BC ⊥平面PCD.因为PC ⊂平面PCD ，故PC ⊥BC.A BD C E（2）（方法一）分别取AB 、PC 的中点E 、F ， 连DE 、DF ，则：易证DE ∥CB ，DE ∥平面PBC ， 点D 、E 到平面PBC 的距离相等.又点A 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离的2倍. 由（1）知：BC ⊥平面PCD ，所以平面PBC ⊥平面PCD 于PC ， 因为PD=DC ，PF=FC ，所以DF ⊥PC ，所以DF ⊥平面PBC 于F. 易知DF=22，故点A 到平面PBC 2. （方法二）体积法：连结AC.设点A 到平面PBC 的距离为h. 因为AB ∥DC ，∠BCD=900，所以∠ABC=900. 从而AB=2，BC=1，得ABC ∆的面积1ABC S ∆=.由PD ⊥平面ABCD 及PD=1，得三棱锥P-ABC 的体积1133ABC V S PD ∆=⋅=. 因为PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥DC. 又PD=DC=1，所以222PC PD DC =+=由PC ⊥BC ，BC=1，得PBC ∆的面积22PBC S ∆=. 由A PBC P ABC V V --=，1133PBC S h V ⋅==V ，得2h = 故点A 到平面PBC 2点评：求点到平面的距离的方法：⑴ 确定点在平面射影的位置，要注意利用面面垂直求作线面垂直及某些特殊性质．⑵ 转化法．即化归为相关点到平面的距离或转化为线面距或转化为面面距来求.(3) 等体积法：利用三棱锥的体积公式，建立体积相等关系求出某底上的高，即点面距.※高考新题零距离（2010·山东高考题）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，⊥MA 平面ABCD ，PD ∥MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且AD ＝PD ＝2MA. （1）求证：平面EFG ⊥平面PDC ；（2）求三棱锥P —MAB 与四棱锥P —ABCD 的体积之比. 解析：(1)由已知⊥MA 平面ABCD ，PD ∥MA ，所以⊥PD 平面ABCD ，又⊂BC 平面ABCD ，所以BC PD ⊥因为四边形ABCD 为正方形,所以DC BC ⊥ 又D DC PD =I ,因此，⊥BC 平面PDC 在PBC ∆中，因为G 、F 分别为PB 、PC 的中点， 所以GF ∥BC ， 因此⊥GF 平面PDC 又⊂GF 平面EFG 所以平面EFG ⊥平面PDC（2）因为⊥PD 平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，不妨设MA ＝1,则PD ＝AD ＝2 所以3831=⨯=-PD S V ABCD ABCD P 正方形 由于⊥DA 面MAB ，且PD ∥MA ， 所以DA 即为点P 到平面MAB 的距离， 三棱锥322212131＝⨯⨯⨯⨯=-MAB P V ， 所以MAB P V -：ABCD P V -＝1：4.※典型错误警示1．证明线面垂直时，容易忽视直线垂直与平面内两条直线相交的条件.如遗漏条件PC ∩CD =C ,2．找线面角时不知道找线在平面内的射影，关键是不知道找出平面的垂线.在求线面角时,需要作、证、算三个步骤，同学们在解题过程中容易忽视“证”这个过程.如例3的第2问的解答中，遗漏“PB ⊥平面ADMN ，BD 在平面ADMN 上的射影为ND ”这个环节.◎典型错题反思反思是自觉地对数学认知活动进行分析、总结、评价和调控的过程，是一种自我挑战、自我完善和自我超越，是优化解法、深化思维的有效手段，是高效的学习方法、最佳的纠错手段，是走出“题海”的最有效途径. 请整理出本课时的典型错误，找出错因，并从审题、知识、方法和策略的层面进行反思！ 我的错题：错因：反思：※学以致用第三课时 线面垂直与面面垂直[基础级]1．已知a ⊥平面α, b ⊂α, 则a 与b 的位置关系是答案：a ⊥b.解析：直线垂直于平面,则该直线垂直于平面内所有直线. 2.直线a 与平面α斜交，则在平面α内与直线a 垂直的直线有 条.答案：无数条解析：直线a 与平面α斜交，设斜足为Ａ，则过Ａ必可作一条直线l 与直线a 垂直，从而α内与l 平行的直线都与a 垂直.3.(2010·江苏扬州模拟卷) 给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的___________条件答案：必要非充分.解析：直线l 与平面α内平行线垂直时，直线l 与平面α未必垂直. 4..已知a 、b 是两条不重合的直线, α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若a ⊥α,a ⊥β,则α∥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③α∥β,a ⊂α,b ⊂β,则a ∥b ；④若α∥β，α∩γ=a , β∩γ=b ，则a ∥b .其中正确命题的序号是 .答案 ①④解析 根据线面、面面平行与垂直的判定与性质可知①④正确.5.(2010年广州市高三模拟)已知p ：直线a 与平面α内无数条直线垂直，q ：直线a 与平面α垂直．则p 是q 的___________条件 答案： 必要不充分解析： 当直线a 与平面α内无数条平行直线垂直, 则直线a 与平面α未必垂直,但直线a 与平面α垂直,则直线a 与平面α内所有直线垂直．6.(2010·南通模拟卷) 已知直线l ，m ，n ，平面α，m α⊂，n α⊂，则“l α⊥”是“,l m l n ⊥⊥且”的 条件.（填“充分不必要”、 “必要不充分”、 “充要”、 “既不充分也不必要”之一）答案：充分不必要.解析： 通过,l m l n ⊥⊥且来证明l α⊥,必须要具备m ，n 是平面α的两条相交直线.7．（2010·江苏宿迁模拟）设βα,为两个不重合的平面，n m ,是两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若α⊂m ，α⊂n ，ββ⊥⊥n m ,，则βα⊥； ②若,,βα⊂⊂m n βα与相交且不垂直，则m n 与不垂直； ③若n m m ⊥=⊥,,βαβαI ，则n ⊥β；④若βαα//,,//⊥n n m ，则β⊥m ．其中所有真命题的序号是 ． 答案：④解析：αα⊥⇒⊥m n n m ,//，又βα//，则β⊥m .8．P 是△ABC 所在平面外一点，O 是P 点在平面α上的射影,若PA 、PB 、PC 两两互相垂直，则O 是△ABC 的 心.答案：垂心. 解析：因为PA 、PB 、PC 两两互相垂直，所以PA ⊥平面PBC ，所以PA ⊥BC ，又因为OA 是PA 在面ABC 内的射影，且BC 在面ABC 内，所以OA ⊥BC ，同理可得，OB ⊥AC ，OC ⊥AB ，所以O 是△ABC 的垂心. [升华级]。