第1讲 三角函数的化简与求值

第1讲 三角函数的化简与求值【自主学习】第1讲 三角函数的化简与求值(本讲对应学生用书第1~4页)自主学习 回归教材1. (必修4 P23习题9改编)已知cos θ=-513，θ为第二象限角，则tan θ= . 【答案】-125【解析】因为cos θ=-513，θ为第二象限角， 所以sin θ=1213，所以tan θ=-125.2. (必修4 P118复习题9改编)求值：(tan 3°+1)(tan 42°+1)= . 【答案】2【解析】原式=tan 3°tan 42°+tan 3°+tan 42°+1=tan 3°tan 42°+tan (3°+42°)(1-tan 3°tan 42°)+1=2.3. (必修4 P45习题7改编)函数y =sin π2-4x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，x ∈π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，的值域是 .【答案】-12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】因为x∈π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，所以2x∈[0，π]，所以2x-π4∈π3π-44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，所以-≤sinπ2-4x⎛⎫⎪⎝⎭≤1.4. (必修4 P23习题17改编)若sinπ6x⎛⎫+⎪⎝⎭=14，则sin5π-6x⎛⎫⎪⎝⎭+sin2π-3x⎛⎫⎪⎝⎭= .【答案】19 16【解析】因为sin5π-6x⎛⎫⎪⎝⎭=sinππ-6x⎡⎤⎛⎫+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=sinπ6x⎛⎫+⎪⎝⎭=14，sin2π-3x⎛⎫⎪⎝⎭=sin2π26xπ⎡⎤⎛⎫-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=cos2π6x⎛⎫+⎪⎝⎭=1516，故原式=1916.5. (必修4 P40练习3改编)将函数y=3sin 2x的图象向左平移π8个单位长度后，所得图象的函数解析式为.【答案】y=3sinπ24 x⎛⎫+⎪⎝⎭【解析】函数y=3sin 2x的图象向左平移π8个单位长度后，得到y=3sinπ28x⎡⎤⎛⎫+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即y=3sinπ24x⎛⎫+⎪⎝⎭的图象.【要点导学】要点导学 各个击破三角函数的定义例1 (2015·苏州调研)如图，在平面直角坐标系x O y 中，点A ，B ，C 均在单位圆上，已知点A 在第一象限且横坐标是35，点B 在第二象限，点C(1，0).(例1)(1) 设∠COA=θ，求sin 2θ的值； (2) 若△AOB为正三角形，求点B 的坐标.【分析】由于点A ，B 是单位圆上的点，利用三角函数的定义可以知道点A(cosθ，sin θ)，则cos θ=35，再用二倍角公式，就可求出sin 2θ的值.点B(cos (θ+60°)， sin (θ+60°))用和角公式求解即可.【解答】(1) 由题设得cos θ=35. 因为点A 在单位圆上且在第一象限，所以sin θ=45，所以sin 2θ=2sin θcos θ=2425. (2) 因为△AOB为正三角形， 所以∠BOC=∠AOC+60°=θ+60°，所以cos ∠BOC=cos (θ+60°)=cos θcos 60°-sin θsin 60°=，sin ∠BOC=sin (θ+60°)=sin θcos 60°+cos θsin60°=，所以点B的坐标为⎝⎭.变式 (2015·南京、盐城一模)如图，在平面直角坐标系x O y 中，设锐角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P(x 1，y 1)，将射线OP 绕坐标原点O按逆时针方向旋转π2后与单位圆交于点Q(x 2，y 2)，记f (α)=y 1+y 2.(变式)(1) 求函数f (α)的值域；(2) 设△ABC的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若fa=，c =1，求b 的值.【解答】(1) 由题意，得y 1=sin α，y 2=sinπ2α⎛⎫+ ⎪⎝⎭=cos α， 所以f (α)=sin α+cos απ4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 因为α∈π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以α+π4∈π3π44⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 所以f (α(2) 因为fπ4C ⎛⎫+ ⎪⎝⎭又因为C∈π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以C=π4.在△ABC中，由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2ab cos C ，即1=2+b 2b ，解得b =1.【点评】本题的意图是引导学生强化对三角函数定义的理解.三角函数的化简与求值例2 (2015·广东卷)已知tan α=2.(1) 求tanπ4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值； (2) 求2sin2sin sin cos -cos2-1ααααα+的值.【分析】(1) 由两角和的正切公式展开，代入数值，即可求得tanπ4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. (2) 先利用二倍角的正、余弦公式及平方关系把式子整理成齐次式，然后分子、分母都除以cos 2α，再代入数值求值即可.【解答】(1) 由题意得，tan π4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭=πtan tan4π1-tan tan 4αα+=tan 11-tan αα+=211-2+=-3. (2) 2sin2sin sin cos -cos2-1ααααα+ =222sin cos sin sin cos -(2cos -1)-1αααααα+=222sin cos sin sin cos -2cos αααααα+=22tan tan tan -2ααα+ =22222-2⨯+=1.【点评】本题主要考查的是两角和的正切公式、特殊角的三角函数值、二倍角的正、余弦公式和同角三角函数的基本关系，属于中档题.变式1 已知α，β∈(0，π)，且tan α=2，cos β=-10. (1) 求cos 2α的值； (2) 求2α-β的值.【分析】(1) 利用二倍角的余弦公式，再找出它与tan α之间的关系.(2) 要求一个角的大小，首先尽量缩小这个角的范围，再求出这个角的一个三角函数值，从而得出角的大小.【解答】(1) cos 2α=cos 2α-sin 2α=2222cos -sin cos sin αααα+=221-tan 1tan αα+.因为tan α=2，所以221-tan 1tan αα+=1-414+=-35，所以cos 2α=-35.(2) 因为α∈(0，π)，且tan α=2，所以α∈π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，.由(1)知cos 2α=-35， 所以2α∈ππ2⎛⎫ ⎪⎝⎭，，sin 2α=45. 因为β∈(0，π)，cos β=-， 所以sin β=10，β∈ππ2⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以sin(2α-β)=sin2αcosβ-cos2αsinβ=45×⎛⎝⎭-3-5⎛⎫⎪⎝⎭×10=-2.又因为2α-β∈ππ-22⎛⎫⎪⎝⎭，，所以2α-β=-π4.【点评】本题考查同角三角函数的基本关系式，二倍角的余弦公式与两角和与差的三角函数公式的应用.由条件α，β∈(0，π)，且tanα=2，cosβ=-10，得2α∈ππ2⎛⎫⎪⎝⎭，，β∈ππ2⎛⎫⎪⎝⎭，，得2α-β∈ππ-22⎛⎫⎪⎝⎭，.通过计算sin(2α-β)的值，从而得到2α-β的值.变式2 已知函数f(x)=2sin1π-36x⎛⎫⎪⎝⎭，x∈R.(1) 求f5π4⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2) 设α，β∈π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，fπ32α⎛⎫+⎪⎝⎭=1013，f(3β+2π)=65，求cos(α+β)的值.【解答】(1) f5π4⎛⎫⎪⎝⎭=2sin5π12⎛⎝-π6⎫⎪⎭=2sinπ4(2) fπ32α⎛⎫+⎪⎝⎭=2sinα=1013，所以sinα=513.因为α∈π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，所以cosα=1213.f(3β+2π)=2sinπ2β⎛⎫+⎪⎝⎭=2cosβ=65，所以cosβ=3 5.因为β∈π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，所以sinβ=45，所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=35×1213-45×513=1665.三角函数的图象与性质例3(2015·扬泰南淮三调)已知函数f (x )=A sin (ωx +φ)ππ0022A A ωϕωϕ⎛⎫>>-<< ⎪⎝⎭其中，，为常数，且，，的部分图象如图所示.(例3)(1) 求函数f (x )的解析式；(2) 若f (α)=32，求sin π26α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 【分析】(1) 根据图象写出A ，求出周期T ，从而求出ω，再由五点中的第二点求出φ.(2) 由f (α)=32，得sin π-6α⎛⎫ ⎪⎝⎭=34，找出角α-π6与2α+π6的关系，用倍角公式求出sinπ26α⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 【解答】(1) 由图可知，A=2，T=2π，故ω=1， 所以f (x )=2sin (x +φ).又f 2π3⎛⎫ ⎪⎝⎭=2sin 2π3ϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2，且-π2<φ<π2， 故φ=-π6，于是f (x ) =2sin π-6x ⎛⎫ ⎪⎝⎭. (2) 由f (α)=32，得sin π-6α⎛⎫ ⎪⎝⎭=34，所以sinπ26α⎛⎫+⎪⎝⎭=sinπ2-62πα⎡⎤⎛⎫+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=cosπ26α⎡⎤⎛⎫-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=1-2sin2π-6α⎛⎫⎪⎝⎭=1-2×234⎛⎫⎪⎝⎭=-18.变式(2015·重庆卷)已知函数f(x)=12sin 2x2x.(1) 求f(x)的最小正周期和最小值；(2) 将函数f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，当x∈ππ2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，时，求g(x)的值域.【解答】(1) f(x)=12sin 2x2x=12sin 2x-(1+cos 2x)=12sin 2x-2cos 2x-2=sinπ2-3x⎛⎫⎪⎝⎭-，故f(x)的最小正周期为π，最小值为-.(2) 由条件可知g(x)=sinπ-3x⎛⎫⎪⎝⎭-.当x∈ππ2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，时，有x-π3∈π2π63⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，从而sin π1-132x ⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值域为，， 所以g (x )=sin π-3x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-的值域为⎣⎦.1. (2015·江苏卷)已知tan α=-2，tan (α+β)=17，那么tan β的值为 . 【答案】3【解析】由题得tan β=tan (α+β-α)=tan()-tan 1tan()tan αβααβα+++=12721-7+=3.2. (2015·宿迁一模)若cos π-3α⎛⎫ ⎪⎝⎭=13，则sinπ2-6α⎛⎫ ⎪⎝⎭= . 【答案】-79【解析】令β=α-π3，则cos β=13，α=β+π3，从而2α-π6=2β+π2，因此sin π2-6α⎛⎫ ⎪⎝⎭=sin π22β⎛⎫+ ⎪⎝⎭=cos 2β=2cos 2β-1=2×213⎛⎫ ⎪⎝⎭-1=-79.3. (2015·南通期末)已知函数f (x )=sin π26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，若y =f (x -φ)π02ϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭是偶函数，则φ= .【答案】π3【解析】因为y =f (x -φ)=sin π2-26x ϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数，所以-2φ+π6=k π+π2，k ∈Z ，φ=-π2k -π6，k ∈Z .因为φ∈π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以k =-1，φ=π3.4. (2015·无锡期末)已知将函数y= x +sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是 .【答案】π6【解析】因为函数yx +sin x =2sinπ3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象向左平移m (m >0)个单位长度后所得图象的函数解析式是y =2sinπ3x m ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，由于函数y =2sin x 的图象至少向左平移π2个单位长度后才可得到关于y 轴对称的图象，所以m +ππ32的最小值是，故m 的最小值为π6.5. (2015·泰州期末)在平面直角坐标系x O y 中，已知角α的终边经过点P(3，4).(1) 求sinπ4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值； (2) 若P 关于x 轴的对称点为Q ，求OP ·OQ的值. 【解答】(1) 因为角α的终边经过点P(3，4)，所以sin α=45，cos α=35，所以sinπ4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭=sin αcos π4+cos αsin π4=45×2+35×2=10. (2) 因为P(3，4)关于x 轴的对称点为Q ，所以Q(3，-4)，OP=(3，4)，OQ =(3，-4)，所以OP ·OQ=3×3+4×(-4)=-7.【融会贯通】完善提高 融会贯通典例 如图，某市准备在道路EF 的一侧修建一条运动比赛赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC ，该曲线段是函数y =A sin2π3x ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭(A>0，ω>0)，x ∈[-4，0]时的图象，且图象的最高点为B(-1，2)km 的直线跑道CD ，且CD∥EF；赛道的后一部分是以O 为圆心的一段圆弧DE.(典例)(1) 求ω的值和∠DOE的大小；(2) 若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE 区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF 上，一个顶点在半径OD 上，另外一个顶点P 在圆弧DE 上，且∠POE=θ，求当“矩形草坪”的面积取最大值时θ的值.【思维引导】【规范解答】(1) 由题意，得A=2，4T =3.…………………………………………………………2分因为T=2πω，所以ω=π6， (4)分所以曲线段FBC 的解析式为y =2sin π2π63x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 当x =0时，y=OC=.又CD=，所以∠COD=π4，所以∠DOE=π4. ………………7分(2) 由(1)可知又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点P 在弧DE 上，故……………8分设∠POE=θ，0<θ≤π4，则由题意可知，“矩形草坪”的面积为S=sin θθθ)=6(sin θcos θ-sin 2θ)=6111sin2cos2-222θθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=3sinπ24θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-3.……………………………………13分因为0<θ≤π4，所以π4<2θ+π4≤3π4，故当2θ+π4=π2，即θ=π8时，S 取得最大值. (16)分【精要点评】 此题是苏教版数学教材必修4中 P132第18题的改编，将教材中例题、习题进行改编、推广与引申等是提高数学解题能力和培养思维灵活性的有效方式.有的还将“矩形PNMQ”变为“▱PNMQ”，这一变化对思维能力提出了更高要求，要求同学们能从不同的角度、不同的侧面来认识问题的本质，这无疑是加强了对思维能力的考查.事实上万变不离其宗，我们仍可以将▱PNMQ 转化为矩形PNMQ ，“以不变应万变”求出矩形的面积，即可得到▱PNMQ 的面积.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第1-2页.【课后检测】专题一 三角函数和平面向量 第1讲 三角函数的化简与求值一、填空题1. (2015·无锡期末)已知角α的终边经过点P(x ，-6)，且tan α=-35，则x 的值为 .2. (2015·山东卷)要得到函数y =sin π4-3⎛⎫ ⎪⎝⎭x 的图象，只需要将函数y =sin 4x 的图象向 平移 个单位长度.3. (2014·南通三调)已知函数f (x )=sin (ωx +φ)的图象如图所示，则f (2)=.(第3题)4.函数y =sin π-23⎛⎫+ ⎪⎝⎭x 的递增区间是 .5.(2015·陕西卷)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y =3sinπ6ϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭x +k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m )的最大值为.(第5题)6.(2015·天津卷)已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)，x∈R，若函数f(x)在区间(-ω，ω)内单调递增，且函数f(x)的图象关于直线x=ω对称，则ω的值为.7. (2014·江西卷改编)已知函数f(x)=(a+2cos2x)cos(2x+θ)为奇函数，且fπ4⎛⎫⎪⎝⎭=0，其中a∈R，θ∈(0，π)，则f3π16⎛⎫⎪⎝⎭= .8. 已知函数f(x)=x sin x，给出下列命题：①函数f(x)是偶函数；②函数f(x)的最小正周期是2π；③点(π，0)是函数f(x)图象的一个对称中心；④函数f(x)在区间π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，在区间π-02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减.其中为真命题的是.(填序号)二、解答题9. 如图，在平面直角坐标系x O y中，以O x轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别交单位圆于A，B两点.已知A，B两点的横坐标分别是10.(1) 求tan(α+β)的值；(2) 求α+2β的值.(第9题)10. 已知sin (α+β)=513，tan 2α=12，且0<α<π2<β<π. (1) 求cos α的值；(2) 求证：sin β>513.11. (2015·安徽卷)设函数f (x )=(sin x +cos x )2+cos 2x . (1) 求函数f (x )最小正周期；(2) 求f (x )在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值.【课后检测答案】高考总复习 二轮课后限时训练案 配套检测与评估详解详析专题一 三角函数和平面向量 第1讲 三角函数的化简与求值1. 10 【解析】根据三角函数的定义得tan α=-6x =-35，所以x =10.2. 右 π12 【解析】因为y =sin π412⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦x ，所以只需将函数y =sin 4x 的图象向右平移π12个单位长度即可.3. - 【解析】由图知34T =3-1=2，即34×2πω=2，所以ω=3π4.当x =1时，令ωx +φ=π2，所以φ=-π4，所以f (x )=sin 3ππ-44⎛⎫ ⎪⎝⎭x ，所以f (2)=sin 3ππ2-44⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭=sin 5π4=-2.4. 5π11πππ1212⎡⎤++⎢⎥⎣⎦k k ，，k ∈Z 【解析】函数y =sinπ-23⎛⎫+ ⎪⎝⎭x 的递增区间即为函数y =sinπ2-3⎛⎫ ⎪⎝⎭x 的递减区间.令π2+2k π≤2x -π3≤3π2+2k π，所以5π6+2k π≤2x ≤11π6+2k π，所以5π12+k π≤x ≤11π12+k π，k ∈Z .5. 8 【解析】由图象得，当sin π6ϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭x =-1时，y min =2，求得k =5， 当sin π6ϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭x =1时，y max =3×1+5=8，故答案为8.6. 【解析】由f(x)在区间(-ω，ω)内单调递增，且f(x)的图象关于直线x=ω对称，可得2ω≤πω且f(ω)=sinω2+cosω2sin2π4ω⎛⎫+⎪⎝⎭=1，所以ω2+π4=π2⇒ω=2.7. -【解析】由题意知fπ4⎛⎫⎪⎝⎭=(a+1)cosπ2θ⎛⎫+⎪⎝⎭=-(a+1)sinθ=0，因为θ∈(0，π)，所以sinθ≠0，所以a+1=0，所以a=-1.因为函数f(x)=(a+2cos2x)cos(2x+θ)为奇函数，所以f(0)=(a+2)cosθ=cosθ=0.又因为θ∈(0，π)，所以θ=π2，所以f(x)=(-1+2cos2x)cosπ22⎛⎫+⎪⎝⎭x=-cos 2x·sin 2x=-12sin 4x，所以f3π16⎛⎫⎪⎝⎭=-12sin3π4=-4.8. ①④【解析】由f(-x)=-x sin(-x)=x sin x=f(x)，可得函数f(x)是偶函数，即命题①正确.显然函数f(x)=x sin x不是周期函数，即命题②不正确.由f(x)+f(2π-x)≠0，可得点(π，0)不是函数f(x)图象的一个对称中心，即命题③不正确.由f'(x)=sin x+x cos x知，当x∈π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，时，f'(x)>0，所以函数f(x)在区间π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增；当x∈π2⎛⎫- ⎪⎝⎭，时，tan x<-x，即f'(x)=sin x+x cos x<0，所以函数f(x)在区间π-02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，即命题④正确.综上可得真命题是①④.9. (1) 由题意可知cosα=10，cosβ=5.因为α为锐角，所以sinα>0，所以sin α.同理可得sin β，所以tan α=7，tan β=12，所以tan (α+β)=tan tan 1-tan tan αβαβ+=17211-72+⨯=-3. (2) tan (α+2β)=tan [(α+β)+β]=1-3211-(-3)2+⨯=-1，又因为0<α<π2，0<β<π2， 所以0<α+2β<3π2， 所以α+2β=3π4.10. (1) 因为tan 2α=12，所以tan α=22tan21-tan 2αα=43，所以22sin 4cos 3sin cos 1.αααα⎧=⎪⎨⎪+=⎩，又α∈π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，，解得cos α=35.(2) 易得π2<α+β<3π2，又因为sin(α+β)=5 13，所以cos(α+β)=-12 13.由(1)可得sinα=4 5，所以sinβ=sin[(α+β)-α]=513×35-12-13⎛⎫⎪⎝⎭×45=6365>513.11. (1) 因为f(x)=sin2x+cos2x+2sin x cos x+cos 2x=1+sin 2x+cos 2x=π24⎛⎫+⎪⎝⎭x+1，所以函数f(x)的最小正周期为π.(2) 由(1)的计算结果知，f(xπ24⎛⎫+⎪⎝⎭x+1，当x∈π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，时，2x+π4∈π5π44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，由正弦函数y=sin x在π5π44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的图象可知，当2x+π4=π2，即x=π8时，f(x)；当2x+π4=5π4，即x=π2时，f(x)取最小值为0.综上，f(x)在区间π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值为，最小值为0.。