数学家的故事

华罗庚的故事

1910年11月12日，华罗庚生于江苏省金坛县。他家境贫穷，决心努力学习。上中学时，在一次数学课上，老师给同学们出了一道著名的难题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何？”大家正在思考时，华罗庚站起来说：“23”他的回答使老师惊喜不已，并得到老师的表扬。从此，他喜欢上了数学。

华罗庚上完初中一年级后，因家境贫困而失学了，只好替父母站柜台，但他仍然坚持自学数学。经过自己不懈的努力，他的《苏家驹之代数的五次方程式解法不能成立的理由》论文，被清华大学数学系主任熊庆来教授发现，邀请他来清华大学；华罗庚被聘为大学教师，这在清华大学的历史上是破天荒的事情。

1936年夏，已经是杰出数学家的华罗庚，作为访问学者在英国剑桥大学工作两年。而此时抗日的消息传遍英国，他怀着强烈的爱国热忱，风尘仆仆地回到祖国，为西南联合大学讲课。

华罗庚十分注意数学方法在工农业生产中的直接应用。他经常深入工厂进行指导，进行数学应用普及工作，并编写了科普读物。

华罗庚也为青年树立了自学成才的光辉榜样，他是一位自

学成才、没有大学毕业文凭的数学家。他说：“不怕困难，刻苦学习，是我学好数学最主要的经验”，“所谓天才就是靠坚持不断的努力。”

华罗庚还是一位数学教育家，他培养了像王元、陈景润、陆启铿、杨乐、张广厚等一大批卓越数学家。为了培养青年一代，他为中学生编写了一些课外读物。

祖冲之

祖冲之（公元429-500年）是我国南北朝时期，河北省涞源县人。他从小就阅读了许多天文、数学方面的书籍，勤奋好学，刻苦实践，终于使他成为我国古代杰出的数学家、天文学家。

祖冲之在数学上的杰出成就，是关于圆周率的计算。秦汉以前，人们以"径一周三"做为圆周率，这就是"古率"。后来发现古率误差太大，圆周率应是"圆径一而周三有余"，不过究竟余多少，意见不一。直到三国时期，刘徽提出了计算圆周率的科学方法--"割圆术"，用圆内接正多边形的周长来逼近圆周长。

刘徽计算到圆内接96边形，求得π=3.14，并指出，内接正多边形的边数越多，所求得的π值越精确。祖冲之在前人成就的基础上，经过刻苦钻研，反复演算，求出π在3.1415926与3.1415927之间。并得出了π分数形式的近似值，取为约率，取为密率，其中取六位小数是3.141929，它是分子分母在1000以内最接近π值的分数。祖冲之究竟用什么方法得出这一结果，现在无从考查。若设想他按刘徽的"割圆术"方法去求的话，就要计算到圆内接16，384边形，这需要化费多少时间和付出多么巨大的劳动啊！由此可见他在治学上的顽强毅力和聪敏才智是令人钦佩的。祖冲之计算得出的密率，外国数学家获得同样结果，已是一千多年以后的事了。为了纪念祖冲之的杰出贡献，有些外国数学史家建议把π=叫做"祖率"。

祖冲之博览当时的名家经典，坚持实事求是，他从亲自测量计算的大量资料中对比分析，发现过去历法的严重误差，并勇于改进，在他三十三岁时编制成功了《大明历》，开辟了历

法史的新纪元。

祖冲之还与他的儿子祖暅（也是我国著名的数学家）一起，用巧妙的方法解决了球体体积的计算。他们当时采用的一条原理是："幂势既同，则积不容异。"意即，位于两平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两平面的平面所截，如果两个截

面的面积恒相等，则这两个立体的体积相等。这一原理，在西文被称为卡瓦列利原理，但这是在祖氏以后一千多年才由卡氏发现的。为了纪念祖氏父子发现这一原理的重大贡献，大家也

称这原理为"祖暅原理"。

失明的数学家欧拉

欧拉的惊人成就并不是偶然的。他可以在任何不良的环境中工作，经常抱着孩子在膝上完成论文，也不顾较大的孩子在旁边喧哗。欧拉在28岁时，不幸一支眼睛失明，过了30年以后，他的另一只眼睛也失明了。在他双目失明以后，也没有停止过数学研究。他以惊人的毅力和坚韧不拔的精神继续工作着，在他双目失明至逝世的十七年间，还口述著作了几本书和400篇左右的论文。由于欧拉的著作甚多，出版欧拉全集是十分困难的事情，1909年瑞士自然科学会就开始整理出版，直到现在还没有出完，计划是72卷。

欧拉在他的886种著作中，属于他生前发表的有530本书和论文，其中不少是教科书。他的著作文笔流畅、浅显、通俗易懂，读后引人入胜十分令读者敬佩。尤其值得一提的是他编写的平面三角课本，采用的记号如sinx，cosｘ，……等等直到现今还在用。

欧拉1720年秋天入巴塞尔大学，由于异常勤奋和聪慧，受到约翰·伯努利的尝识，给以特别的指导。欧拉同约翰的两个儿子尼古拉·伯努力和丹尼尔·伯努利也结成了亲密的朋友。

欧拉19岁写了一篇关于船桅的论文，获得巴黎科学院的

奖金，从此开始了创作生涯。以后陆续得奖多次。1725年丹尼尔兄弟赴俄国，向沙皇喀德林一世推荐欧拉，于是欧拉于1727年5月17日到了彼得堡，1733年丹尼尔回巴塞尔，欧拉接替他任彼得堡科学院数学教授，时年仅26岁。

1735年，欧拉解决一个天文学的难题（计算慧星轨道）。

这个问题几个著名数学家，几个月的努力才得以解决，欧拉却以自已发明的方法，三日而成。但过度的工作使他得了眼病，不幸右眼失明，这时才28岁。

1741—1766年，欧拉应普鲁士腓特烈大帝的邀请，在柏林担任柏林科学院物理数学所所长，1766年，在俄国沙皇喀德林二世的诚恳敦聘了重回彼得堡。不料没有多久，他左眼视力衰退，只能依稀看到前方物体，最后完全失明。这时欧拉已年近花甲。

不幸的事情接踵而来。1771 年彼得堡失火，殃及欧拉住宅，带病而失明的64岁的欧拉被围困在大火之中。紧急关头，为他做家务的一个工人冒着生命危险，冲进火中把欧拉抢救出来，欧拉的书库及大量研究成果全部化为灰烬。

沉重的打击，仍然没有使欧拉倒下。他发誓要把损失夺回来。欧拉在完全失明之前，左眼还能朦胧地看见东西，他抓紧这最后的时刻，在一块大黑板上疾书他发现的公式，然后口述

其内容，由他的学生和大儿子A·欧拉（1734—1800年，也是数学家和物理学家）笔录。欧拉完全失明之后，仍然以惊人的毅力与黑暗搏斗，凭着记忆和心算进行研究，直到逝世。

欧拉的记忆和心算能力是罕见的，他能够复述青年时代笔记的内容，高等数学一样可以用心算去完成。有一次，欧拉的两个学生，分别把一个很复杂的收敛级数的17项加起来，算到第50位数字时，结果相差一个单位。欧拉为了确定究竟谁计算得对，用心算进行了全部运算，最后把错误找了出来。欧拉在失明的十七年中，还解决了使牛顿头痛的月离（月球运行）问题和很多复杂的分析问题。

欧拉的风格是很高的，拉格朗日是稍后于欧拉的大数学家。从19岁起和欧拉通信、讨论等周问题的一般解法，从而引起了变分法的诞生。等周问题是欧拉多年来苦心考虑的问题，拉格朗日的解法，博得了欧拉的热烈赞扬，1759年10月2日欧拉在回信中盛赞拉格朗日的成就，并谦恭地压下自己在这方面较不成熟的作品暂不发表，使年轻的拉格朗日的著作得以发表和流传，赢得巨大声誉。变分法一词，1766年为欧拉所创，他对变分法推进的伟大功劳，也是不可埋没的。

1783年9月18日下午，欧拉为了庆祝他计算气球上升定律的成功，请朋友们吃饭。那时天王星刚发现不久，欧拉写出计算天王星轨道的要领，还和他的孙子逗笑，喝茶后，突然疾

病发作，烟斗从手中落下……欧拉就这样“停止了生命和计算”。

历史学家把欧拉和阿基米德、牛顿、高斯并列为有史以来贡献最大的四位数学家．他们有一个值得注意的共同点，就是在创建纯粹理论的同时，还应用这些数学工具去解决大量天文、物理、力学等方面的实际问题。他们的工作常常是跨学科的，他们不断地从实践中吸取丰富的营养，但又不满足于具体问题的解决，而力图探究宇宙的奥秘，揭示其内在的规律。

欧拉留给后人丰富的科学遗产中，分析、代数、数论占4o％，几何占18％，物理和力学占28％，天文占11％，弹道学、航海科学、建筑等其他问题占3％。1748年在瑞士洛桑出版的他的《无穷小分析引论》，是划时代的代表作，也是世界上第一本完整的有系统的分析学。

牛顿

伊萨克·牛顿，于1642年的圣诞节出生于英格兰林肯州活尔斯索浦。父亲在他出生前3个月就去世了，母亲改嫁后他只得由外祖母和舅舅抚养。幼年的牛顿，学习平平，但却非常喜欢手工制作。同时他还对绘画有着非凡的才华。

牛顿12岁开始上中学，这时他的爱好由手工制作发展到爱搞机械小制作。他从小制作中体会到学好功课，特别是学好数学，对动手搞好制作大有益处。于是牛顿在学习加倍努力，成绩大进。

牛顿15岁时，由于家庭原因，被迫辍学务农。非常渴求知识的牛顿，仍然抓紧一切时间学习、苦读。牛顿这种勤奋好学的精神感动了牛顿的舅舅。终于在舅舅的资助之下又回到学校复读。

1661年，19岁的牛顿，考入了著名的剑桥大学。在学习期间，牛顿的第一任教授伊萨克·巴鲁独具慧眼，发现了牛顿具有深邃的观察力、敏锐的理解力，于是将自己掌握的数学知识传授给了牛顿，并把他引向近代自然科学的研究。1664年经考试牛顿选为巴鲁的助手。1665年，牛顿大学毕业，获得学士学位。正准备留校继续深造的时候，严重的鼠疫席卷英国，剑桥大学被迫关闭了。牛顿两次回到故乡避灾，而这恰恰是牛顿一生中最重要的转折点。牛顿在家乡安静的环境里，专心致志地思考数学、物理学和天文学问题，思想火山积聚多年的活力，终于爆发了，智慧

的洪流，滚滚奔腾。短短的18个月，他就孕育成形了：流数术（微积分）、万有引力定律和光学分析的基本思想。牛顿于1684年通过计算彻底解决了1666年发现的万有引力。1687年，他45岁时完成了人类科学史上少有科学巨著《自然哲学的数学原理》，继承了开普勒、伽里略，用数学方法建立起完整的经典力学体系，

轰动了全世界。

牛顿的数学贡献，最突出的有三项，即做为特殊形式的微积分的“流数术”，二项式定理及“广义的算术”（代数学）。

牛顿为了解决运动问题，创立了一种和物理概念直接联系的数学理论，即牛顿称之为“流数术”的理论，这实际上就是微积分理论。牛顿在1665年5月20日的一份手稿中提到“流数术”，因此牛顿始创微积分的时间来说比现代微积分的创始人德国的数学家莱布尼茨大约早10年，但从正式公开发表的时间说牛顿却比莱布尼茨要晚。事实上，他们二人是各自独立地建立了微积分。只不过牛顿的“流数术”还存在着一些缺陷。

牛顿开始对二项式的研究是在从剑桥大学回故乡避鼠疫的前夕。他在前人瓦里士的基础上进一步明确了负指数的含义。牛顿研究得出的二项式级数展开式是研究级数论、函数论、数学分析、

方程理论的有力工具。

《广义算术》，则总结了符号代数学的成果，推动了初等数学的进一步发展。这本书关于方程论也有些突出的见解。其中比较著名的是“牛顿幂和公式”。

牛顿的数学贡献还远不止这些，他在解析几何中的成就也是令人瞩目的。他的“一般曲线直径”理论，引起了解析几何界的

广泛重视。

牛顿在其它科学领域的研究，毫不逊色于在数学上的贡献。牛顿曾经说过：我不过就象是一个在海滨玩耍的小孩，为不时发现比寻常更为光滑的一块卵石或比寻常更为美丽的一片贝壳而沾沾自喜，而对于展现在我面前的浩瀚的真理的海洋，却全然没有发现。从这里可以看出一代伟人的谦虚美德。这些美德和他的成就，都值得后人去继承、去学习。

徐光启和《几何原本》

徐光启（公元1562—1633年）字子先，号玄扈，吴淞（今属上海）人。他从万历末年起，经过天启、崇祯各朝，曾作到文渊阁大学士的官职（相当于宰相）。他精通天文历法，是明末改历的主要主持人。他对农学也颇有研究，曾根据前人所著各种农书，附以自己的见解，编写了著名的《农政全书》，全书有六十余卷，共六十多万字。明朝末年，满族的统治阶级从东北关外屡次发动战争，徐光启曾屡次上书论军事，并在通州练新兵，主张采用西方火炮。他是一位热爱祖国的科学家。

他没有入京做官之前，曾在上海、广东、广西等地教书。在此期间，他曾博览群书，在广东还接触到一些传教士，对他们传入的西方文化开始有所接触。公元1600年，他在南京和利玛窦相识，以后两人又长期同住在北京，经常来往。他和利玛窦两人共同译《几何原本》一书，1607年译完前六卷。当时徐光启很想全部译完，利玛窦却不愿这样做。直到晚清时代，《几何原本》后九卷的翻译工作才由李善兰（公元1811—1882

年）完成。

《几何原本》是我国最早第一部自拉丁文译来的数学著作。在翻译时绝无对照的词表可循，许多译名都从无到有，当时创造的。毫无疑问，这是需要精细研究煞费苦心的。这个译本中的许多译名都十分恰当，不但在我国一直沿用至今，并且

还影响了日本、朝鲜各国。如点、线、直线、曲线、平行线、角、直角、锐角、钝角、三角形、四边形……这许多名词都是由这个译本首先定下来的。其中只有极少的几个经后人改定，如“等边三角形”，徐光启当时记作“平边三角形”；“比”，当时译为“比例”；而“比例”则译为“有理的比例”等等。

《几何原本》有严整的逻辑体系，其叙述方式和中国传统的《九章算术》完全不同。徐光启对《几何原本》区别于中国传统数学的这种特点，有着比较清楚的认识。他还充分认识到几何学的重要意义，他说“窃百年之后，必人人习之”。

清康熙帝时，编辑数学百科全书《数理精蕴》（公元1723年），其中收有《几何原本》一书，但这是根据公元十八世纪法国几何学教科书翻译的，和欧几里得的《几何原本》差别很大。

到清朝末年废科举、兴学堂之后，几何学方成为学校中必修科目之一。到这时才出现了徐光启所预料的“必人人而习之”的情况。

青年数学家伽罗瓦

1811年10月25日，伽罗瓦生在巴黎附近的一座小市镇，父亲是本市市长，母亲是当地法官的女儿，她聪明而有教养，是伽罗瓦的启蒙老师。除教授各种基本知识以外，作为古代文化的热烈爱好者，她还把古希腊的英雄主义，浪漫主义灌输到儿子的幼小心灵中，伽罗瓦从小就有强烈的好奇心和求知欲。十二岁那年，他考入当地著名的皇家中学，在老师的眼里，尽管伽罗瓦具有“杰出的才干”，但这位体格柔弱的少年却被认为“为人乖僻、古怪，过分多嘴”。他不满意内容贫乏，编排琐碎的教科书，对老师只注重形式和技巧的的讲课形式也深感失望。他不见重于师长，甚至被说成是笨蛋。他在后来的一封信中曾大为感慨地写道：“不幸的年轻人要到什么时候才能不整天听讲或死记听到的东西呢？”十五岁的伽罗瓦毅然抛开教科书，直接向数学大师的专著求教，著名数学家勒让德尔的经典著作《几何原理》，使他领悟到清晰有力的数学思维内在的美。学习拉格朗日的《论数值方程解法》和《解析函数论》，使他的思维日趋严谨。接着，他又一口气读完了欧拉与高斯的著作，这些数学大师的著作使他感到充实，感到自信：“我能够做到的，决不会比大师们少！”。

1828年，伽罗瓦17岁，这是他关键的一年，他遇到了数

学教师里沙（1795-1849）。里沙不是一个普通的教书匠，他利用业余时间到巴黎大学听课，使自己的水平跟上时代的步伐，并把新的知识传授给学生们。里沙有很高的才能，好心的朋友们劝他从事著作，他却把全部精力倾注在学生身上，十九世纪法国有好几个杰出的数学家，就出自他的门下，这就是对他的最高奖赏。

伽罗瓦在里沙的帮助和鼓励下，在继承前人科学研究成果的基础上，他创立了“群”的思想。写出了第一篇数学论文，寄到法兰西科学院，负责审查这篇论文的是当时法国数学家泰斗柯西和波松。柯西是当时法国首屈一指的数学家。他一向是很干脆和公正的，但偶然的疏忽却带来了损失。第一件事是对阿贝尔没有给予足够的重视。第二件事是伽罗瓦向科学院送交论文时，未能及时作出评价，以致连手稿也给遗失了。第二年十八岁的伽罗瓦又取得了一些重要成果，再次写成论文寄交科学院。主持审查论文的是当时数学界权威人土、科学院院土——傅立叶。然而很不凑巧，傅立叶在举行例会的前几天病世了。人们在傅立叶的遗物中找不到伽罗瓦的数学论文。就这样，伽罗瓦的论文第二次被丢失了。但他并不灰心，又继续研究自己所得的新成果。第三次写成论文，即《关于用根式解方程的可解性条件》。1831年，法兰西科学院第三次审查伽罗瓦的论文，主持这次审查的是科学院院土波松。总算幸运，这一次

论文没有丢失。但论文中用了“置换群”这个崭新的数学概念和方法，以致像波松那样赫赫有名的数学家一下子也未能领会，结果，最后一次得到波松草率的评语：“不可理解”而被否定了。那时科学界对形式和技巧的崇拜远远超过对创造和开拓的追求。当然也就不会承认伽罗瓦工作的价值。当时，数学新时代的曙光已出现在地平线上。像非欧几何，集合论，群论等科学思想新体系。都是在这个时代孕育的。只有勇敢地面向未来，坚定地追求未来的科学家，才能看到新时代的曙光。无怪乎伽罗瓦在谈到他同时代的数学家时曾痛切地说：“他们落后了一百年！”直到伽罗瓦死后十四年，人们研究了保存在他弟弟那里的数学论文，才认识到这些论文是当代重要的数学著作。伽罗瓦所引入的“群”的概念，已发展成为近世代数的一个新的分支——“群论”，而且在其他数学分支和近代物理、理论化学等科学上都是广泛应用的数学工具。这种理论，甚至对于20世纪的结构主义哲学的产生和发展，都发生了巨大影响。因此，伽罗瓦的工作的确是十九世纪数学的最突出的成就之一。

伽罗瓦不仅是一个天才的青年数学家，而且也是一位坚定的革命者，他生活在经历了资产阶级大革命后的法国，生长在压制革命摧残人才的波旁王朝复辟时期。他是个勇敢追求真理的科学家和战士。在法国历史上著名的1830年的“七月革

命”中，刚考进法国巴黎师范大学的十九岁的伽罗瓦，积极参加了反对反动政权的斗争。他两次被捕入狱，他的身体由此受到了严重的摧残。但他在狱中仍坚持写了两部科学著作，准备获释后发表.他是一个把科学理想和社会理想结合起来，不论在数学王国还是在现实斗争中始终面向未来的不屈斗士。他说：“妨碍我成为科学家的，恰好是我不光是个科学家。”．伽罗瓦出狱不久，反动派便设下了一个圈套，在爱情纠纷的名义下，迫使他参加“决斗”，1832年5月30日清晨，一个身强力壮的反动军官，在“决斗”的借口下，给了他致命的伤害，而伽罗瓦的手枪却是没有子弹的。在“决斗”的第二天早上，他便与世长辞了。他在临死前曾对自己的一生做了这样的总结：“永别了，我已经为公共的幸福献出了自已大部分的生命！”

对伽罗瓦死于决斗，科学史学家们常常感到遗憾。普里林在考察维苏威火山时，被突然爆发的火山灰掩埋；魏格纳考察格陵兰冰川于五十岁生日时丧身，利赫曼为揭开雷电的奥秘，被引下来的电流击毙……这些死，是为了科学，为了人类的幸福。据说马克思也曾受到过决斗的挑战，但马克思对此报以轻蔑的微笑。是的，无论是科学家还是战士，他们的使命和责任，比个人的荣誉和一时的意气和冲动更为重要。

也许伽罗瓦是太年轻了，他不被社会了解和尊重，自己也

不珍惜自己的价值。他内心愤怒的激情的浪涛终于冲破了理智的堤坝，把它吞没了。不论怎么说，伽罗瓦参加决斗是犯了一个不可挽回的错误，但他那刻苦钻研、独立思考、不畏权威、勇于创新的精神却永远激励着后来者。