2020年吉林省中考数学试卷
2020年吉林省中考数学试卷一、单项选择题（每小题2分，共12分）1．（2分）6-的相反数是( )A ．6B ．6-C ．16D ．16- 2．（2分）国务院总理李克强2020年5月22日在作政府工作报告时说，去年我国农村贫困人口减少11090000，脱贫攻坚取得决定性成就．数据11090000用科学记数法表示为( )A ．611.0910⨯B ．71.10910⨯C ．81.10910⨯D ．80.110910⨯3．（2分）如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图为()A ．B ．C ．D ．4．（2分）下列运算正确的是( )A ．236a a a =B ．235()a a =C ．22(2)2a a =D ．32a a a ÷=5．（2分）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则α∠的大小为( )A ．85︒B ．75︒C ．65︒D ．60︒6．（2分）如图，四边形ABCD 内接于O ，若108B ∠=︒，则D ∠的大小为( )A ．54︒B ．62︒C ．72︒D ．82︒二、填空题（每小题3分，共24分）7．（3分）分解因式：2a ab -= ． 8．（3分）不等式317x +>的解集为 ．9．（3分）一元二次方程2310x x +-=根的判别式的值为 ．10．（3分）我国古代数学著作《算学启蒙》中有这样一个数学问题，其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x 天可以追上慢马，根据题意，可列方程为 ．11．（3分）如图，某单位要在河岸l 上建一个水泵房引水到C 处．他们的做法是：过点C 作CD l ⊥于点D ，将水泵房建在了D 处．这样做最节省水管长度，其数学道理是 ．12．（3分）如图，////AB CD EF ．若12AC CE =，5BD =，则DF = ．13．（3分）如图，在ABC ∆中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点．若ADE ∆的面积为12，则四边形DBCE 的面积为 ．14．（3分）如图，在四边形ABCD 中，AB CB =，AD CD =，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．筝形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ．以点B 为圆心，BO 长为半径画弧，分别交AB ，BC 于点E ，F ．若30ABD ACD ∠=∠=︒，1AD =，则EF 的长为 （结果保留)π．三、解答题（每小题5分，共20分）15．（5分）先化简，再求值：2(1)(1)1a a a ++--，其中7a =．16．（5分）“中国结”是我国特有的手工编织工艺品，也是一种传统吉祥装饰物．如图，现有三张正面印有“中国结”图案的不透明卡片A ，B ，C ，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将三张卡片正面向下洗匀，小吉同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小吉同学抽出的两张卡片中含有A 卡片的概率．17．（5分）甲、乙二人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等．求乙每小时做零件的个数．18．（5分）如图，在ABC ∆中，AB AC >，点D 在边AB 上，且BD CA =，过点D 作//DE AC ，并截取DE AB =，且点C ，E 在AB 同侧，连接BE ．求证：DEB ABC ∆≅∆．四、解答题（每小题7分，共28分）19．（7分）图①、图②、图③都是33⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．A ，B ，C 均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图：（1）在图①中，画一条不与AB 重合的线段MN ，使MN 与AB 关于某条直线对称，且M ，N 为格点．（2）在图②中，画一条不与AC 重合的线段PQ ，使PQ 与AC 关于某条直线对称，且P ，Q 为格点．（3）在图③中，画一个DEF ∆，使DEF ∆与ABC ∆关于某条直线对称，且D ，E ，F 为格点．20．（7分）如图，某班数学小组测量塔的高度，在与塔底部B 相距35m 的C 处，用高1.5m 的测角仪CD 测得该塔顶端A 的仰角EDA ∠为36︒．求塔AB 的高度（结果精确到1)m ． （参考数据：sin360.59︒=，cos360.81︒=，tan360.73)︒=21．（7分）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A ，B 在函数(0)k y x x=>的图象上（点B 的横坐标大于点A 的横坐标），点A 的坐标为(2,4)，过点A 作AD x ⊥轴于点D ，过点B 作BC x ⊥轴于点C ，连接OA ，AB ．（1）求k 的值．（2）若D 为OC 中点，求四边形OABC 的面积．22．（7分）2020年3月线上授课期间，小莹、小静和小新为了解所在学校九年级600名学生居家减压方式情况，对该校九年级部分学生居家减压方式进行抽样调查．将居家减压方式分为A（享受美食）、B（交流谈心）、C（室内体育活动）、D（听音乐）和E（其他方式）五类，要求每位被调查者选择一种自己最常用的减压方式．他们将收集的数据进行了整理，绘制的统计表分别为表1、表2和表3．表1：小莹抽取60名男生居家减压方式统计表（单位：人）减压方式A B C D E人数463785表2：小静随机抽取10名学生居家减压方式统计表（单位：人）减压方式A B C D E人数21331表3：小新随机抽取60名学生居家减压方式统计表（单位：人）减压方式A B C D E人数65261310根据以上材料，回答下列问题：（1）小莹、小静和小新三人中，哪一位同学抽样调查的数据能较好地反映出该校九年级学生居家减压方式情况，并简要说明其他两位同学抽样调查的不足之处．（2）根据三人中能较好地反映出该校九年级居家减压方式的调查结果，估计该校九年级600名学生中利用室内体育活动方式进行减压的人数．五、解答题（每小题8分，共16分）23．（8分）某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作．当停止工作时，油箱中油量为5L，在整个过程中，油箱里的油量y（单位：)L与时间x（单位：)min之间的关系如图所示．（1）机器每分钟加油量为L，机器工作的过程中每分钟耗油量为L．（2）求机器工作时y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．（3）直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时x 的值．24．（8分）能够完全重合的平行四边形纸片ABCD 和AEFG 按图①方式摆放，其中5AD AG ==，9AB =．点D ，G 分别在边AE ，AB 上，CD 与FG 相交于点H ．【探究】求证：四边形AGHD 是菱形．【操作一】固定图①中的平行四边形纸片ABCD ，将平行四边形纸片AEFG 绕着点A 顺时针旋转一定的角度，使点F 与点C 重合，如图②．则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为 ．【操作二】将图②中的平行四边形纸片AEFG 绕着点A 继续顺时针旋转一定的角度，使点E 与点B 重合，连接DG ，CF ，如图③，若4sin 3BAD ∠=，则四边形DCFG 的面积为 ．六、解答题（每小题10分，共20分）25．（10分）如图，ABC ∆是等边三角形，4AB cm =，动点P 从点A 出发，以2/cm s 的速度沿AB 向点B 匀速运动，过点P 作PQ AB ⊥，交折线AC CB -于点Q ，以PQ 为边作等边三角形PQD ，使点A ，D 在PQ 异侧．设点P 的运动时间为()(02)x s x <<，PQD ∆与ABC ∆重叠部分图形的面积为2()y cm ．（1）AP 的长为 cm （用含x 的代数式表示）．（2）当点D 落在边BC 上时，求x 的值．（3）求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线21322y x bx =-++与x 轴正半轴交于点A ，且点A 的坐标为(3,0)，过点A 作垂直于x 轴的直线l ．P 是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m ，过点P 作PQ l ⊥于点Q ，M 是直线l 上的一点，其纵坐标为32m -+．以PQ ，QM 为边作矩形PQMN ．（1）求b 的值．（2）当点Q 与点M 重合时，求m 的值．（3）当矩形PQMN 是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m 的值．（4）当抛物线在矩形PQMN 内的部分所对应的函数值y 随x 的增大而减小时，直接写出m 的取值范围．2020年吉林省中考数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（每小题2分，共12分）1．（2分）6-的相反数是( )A ．6B ．6-C ．16D ．16- 【分析】根据相反数的定义，即可解答． 【解答】解：6-的相反数是6，故选：A ．【点评】本题考查了相反数，解决本题的关键是熟记相反数的定义．2．（2分）国务院总理李克强2020年5月22日在作政府工作报告时说，去年我国农村贫困人口减少11090000，脱贫攻坚取得决定性成就．数据11090000用科学记数法表示为( )A ．611.0910⨯B ．71.10910⨯C ．81.10910⨯D ．80.110910⨯【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10>时，n 是正数；当原数的绝对值1<时，n 是负数．【解答】解：711090000 1.10910=⨯，故选：B ．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．3．（2分）如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图为( )A ．B ．C ．D ．【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【解答】解：从左边看第一层是一个小正方形，第二层也是一个小正方形，所以左视图是选项A ，【点评】本题考查了简单组合体的三视图．解题的关键是掌握简单组合体的三视图的定义，注意：从左边看得到的图形是左视图．4．（2分）下列运算正确的是( )A ．236a a a =B ．235()a a =C ．22(2)2a a =D ．32a a a ÷=【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方的运算法则，对各选项计算后利用排除法求解．【解答】解：A 、235a a a =，原计算错误，故此选项不符合题意；B 、236()a a =，原计算错误，故此选项不符合题意；C 、22(2)4a a =，原计算错误，故此选项不符合题意；D 、32a a a ÷=，原计算正确，故此选项符合题意；故选：D ．【点评】本题考查了整式的运算，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．5．（2分）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则α∠的大小为( )A ．85︒B ．75︒C ．65︒D ．60︒【分析】先根据直角三角板的性质得出ACD ∠的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论．【解答】解：如图所示，60BCD ∠=︒，45BCA ∠=︒，604515ACD BCD BCA ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，180180901575D ACD α∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180︒是解答此题的关键．6．（2分）如图，四边形ABCD 内接于O ，若108B ∠=︒，则D ∠的大小为( )A ．54︒B ．62︒C ．72︒D ．82︒【分析】运用圆内接四边形对角互补计算即可．【解答】解：四边形ABCD 内接于O ，108B ∠=︒，180********D B ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，故选：C ．【点评】本题主要考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形对角互补是解答此题的关键．二、填空题（每小题3分，共24分）7．（3分）分解因式：2a ab -= ()a a b - ．【分析】直接把公因式a 提出来即可．【解答】解：2()a ab a a b -=-．【点评】本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是a 是解题的关键．8．（3分）不等式317x +>的解集为 2x > ．【分析】移项、合并同类项、系数化为1即可得答案．【解答】解：317x +>，移项得：371x >-，合并同类项得：36x >，系数化为1得：2x >，故答案为：2x >．【点评】此题主要考查了解一元一次不等式，关键是掌握解不等式的步骤．9．（3分）一元二次方程2310x x +-=根的判别式的值为 13 ．【分析】根据一元二次方程根的判别式△24b ac =-即可求出值． 【解答】解：1a =，3b =，1c =-，∴△249413b ac =-=+=．所以一元二次方程2310x x +-=根的判别式的值为13． 故答案为：13．【点评】本题考查了根的判别式，解决本题的关键是掌握根的判别式．10．（3分）我国古代数学著作《算学启蒙》中有这样一个数学问题，其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x 天可以追上慢马，根据题意，可列方程为 (240150)15012x -=⨯ ．【分析】设快马x 天可以追上慢马，根据两马的速度之差⨯快马出发的时间=慢马的速度⨯慢马提前出发的时间，即可得出关于x 的一元一次方程，此题得解． 【解答】解：设快马x 天可以追上慢马， 依题意，得：(240150)15012x -=⨯． 故答案为：(240150)15012x -=⨯．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．11．（3分）如图，某单位要在河岸l 上建一个水泵房引水到C 处．他们的做法是：过点C 作CD l ⊥于点D ，将水泵房建在了D 处．这样做最节省水管长度，其数学道理是 垂线段最短 ．【分析】根据垂线段的性质解答即可．【解答】解：过点C 作CD l ⊥于点D ，将水泵房建在了D 处．这样做最节省水管长度，其数学道理是垂线段最短．故答案为：垂线段最短．【点评】本题考查了垂线段的定义和性质．解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决实际问题．12．（3分）如图，////AB CD EF ．若12AC CE =，5BD =，则DF = 10 ．【分析】利用平行线分线段成比例定理得到12BD DF =，然后根据比例性质求DF 的长． 【解答】解：////AB CD EF ，∴12BD AC DF CE ==， 22510DF BD ∴==⨯=．故答案为10．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 13．（3分）如图，在ABC ∆中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点．若ADE ∆的面积为12，则四边形DBCE 的面积为32．【分析】根据三角形中位线定理得到//DE BC ，12DE BC =，证明ADE ABC ∆∆∽，根据相似三角形的性质求出ABC ∆的面积，即可得到答案． 【解答】解：D ，E 分别是ABC ∆的边AB ，AC 的中点，DE ∴是ABC ∆的中位线，//DE BC ∴，12DE BC =， ADE ABC ∴∆∆∽，∴2211()()24ADE ABC S DE S BC ∆∆===， ADE ∆的面积为12， ABC ∴∆的面积为2，∴四边形DBCE 的面积13222=-=， 故答案为：32． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．14．（3分）如图，在四边形ABCD 中，AB CB =，AD CD =，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．筝形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ．以点B 为圆心，BO 长为半径画弧，分别交AB ，BC 于点E ，F ．若30ABD ACD ∠=∠=︒，1AD =，则EF 的长为12π （结果保留)π．【分析】利用SSS 证明ABD CBD ∆≅∆，根据全等三角形的对应角相等即可得出30ABD CBD ∠=∠=︒，ADB CDB ∠=∠，1CD AD ==，即可求得60ABC ∠=︒，根据等腰三角形三线合一的性质得出BD AC ⊥，且AO CO =，进一步求得60ACB ∠=︒，即可求得90BCD ∠=︒，根据含30︒角的直角三角形的性质即可求得OB ，然后根据弧长公式求得即可． 【解答】解：在ABD ∆与CBD ∆中， AB CBAD CD BD BD =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ()ABD CBD SSS ∴∆≅∆，30ABD CBD ∴∠=∠=︒，ADB CDB ∠=∠，1CD AD ==， 60ABC ∴∠=︒，AD CD =，ADB CDB ∠=∠，BD AC ∴⊥，且AO CO =， 903060ACB ∴∠=︒-︒=︒， 90BCD ACB ACD ∴∠=∠+∠=︒，在Rt BCD ∆中，30CBD ∠=︒， 22BD CD ∴==，在Rt COD ∆中，30ACD ∠=︒， 1122OD CD ∴==，13222OB BD OD ∴=-=-=， ∴EF 的长为：360121802ππ=， 故答案为12π．【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的判定和性质，含30︒角的直角三角形的性质，弧长的计算等，熟练掌握性质定理是解题的关键． 三、解答题（每小题5分，共20分）15．（5分）先化简，再求值：2(1)(1)1a aa ++--，其中a = 【分析】根据整式的混合运算顺序进行化简，再代入值即可． 【解答】解：原式22211a a a a =+++--a =-．当a 原式=【点评】本题考查了整式的混合运算-化简求值，解决本题的关键是先进行整式的化简，再代入值．16．（5分）“中国结”是我国特有的手工编织工艺品，也是一种传统吉祥装饰物．如图，现有三张正面印有“中国结”图案的不透明卡片A ，B ，C ，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将三张卡片正面向下洗匀，小吉同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小吉同学抽出的两张卡片中含有A 卡片的概率．【分析】根据题意列出图表得出所有等情况数和两张卡片中含有A卡片的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：根据题意列表如下：A B CA AA BA CAB AB BB CBC AC BC CC共有9种等可能的结果数，其中小吉同学抽出的两张卡片中含有A卡片的有1种情况，∴小吉同学抽出的两张卡片中含有A卡片的概率为19．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．17．（5分）甲、乙二人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等．求乙每小时做零件的个数．【分析】设乙每小时做x个零件，甲每小时做(6)x+个零件，根据时间=总工作量÷工作效率，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论．【解答】解：设乙每小时做x个零件，甲每小时做(6)x+个零件，根据题意得：90606x x=+，解得：12x=，经检验，12x=是原方程的解，且符合题意，618x∴+=．答：乙每小时做12个零件．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．18．（5分）如图，在ABC∆中，AB AC>，点D在边AB上，且BD CA=，过点D作//DE AC，并截取DE AB =，且点C ，E 在AB 同侧，连接BE ．求证：DEB ABC ∆≅∆．【分析】由//DE AC ，根据平行线的性质得出EDB A ∠=∠，又BD CA =，DE AB =，利用SAS 即可证明DEB ABC ∆≅∆．【解答】证明：//DE AC ，EDB A ∴∠=∠．在DEB ∆与ABC ∆中， DE AB EDB A BD CA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()DEB ABC SAS ∴∆≅∆．【点评】本题考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS 、ASA 、SAS 、SSS ，直角三角形可用HL 定理，但AAA 、SSA ，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．四、解答题（每小题7分，共28分）19．（7分）图①、图②、图③都是33⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．A ，B ，C 均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图：（1）在图①中，画一条不与AB 重合的线段MN ，使MN 与AB 关于某条直线对称，且M ，N 为格点．（2）在图②中，画一条不与AC 重合的线段PQ ，使PQ 与AC 关于某条直线对称，且P ，Q 为格点．（3）在图③中，画一个DEF ∆，使DEF ∆与ABC ∆关于某条直线对称，且D ，E ，F 为格点．【分析】（1）根据对称性在图①中，画一条不与AB重合的线段MN与AB对称即可；（2）根据对称性即可在图②中，画一条不与AC重合的线段PQ与AC对称；（3）根据对称性在图③中，画一个DEF∆，使DEF∆与ABC∆关于某条直线对称即可．【解答】解：（1）如图①，MN即为所求；（2）如图②，PQ即为所求；（3）如图③，DEF∆即为所求．【点评】本题考查了作图-轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称性质．20．（7分）如图，某班数学小组测量塔的高度，在与塔底部B相距35m的C处，用高1.5m 的测角仪CD测得该塔顶端A的仰角EDA∠为36︒．求塔AB的高度（结果精确到1)m．（参考数据：sin360.59︒=，cos360.81︒=，tan360.73)︒=【分析】设AB与DE交于点F．在Rt ADF∆中，利用三角函数定义求出AF，即可得出答案．【解答】解：设AB与DE交于点F，如图所示：由题意得：DF AB⊥， 1.5BE CD m==，35DF BC m==，在Rt ADF∆中，90AFD∠=︒，tanAF EDADF∠=，tan36350.7325.55() AF DF m∴=⨯︒≈⨯=，25.55 1.527()AB AF BF m∴=+=+≈；答：塔AB的高度约27m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解题的关键．21．（7分）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A ，B 在函数(0)k y x x=>的图象上（点B 的横坐标大于点A 的横坐标），点A 的坐标为(2,4)，过点A 作AD x ⊥轴于点D ，过点B 作BC x ⊥轴于点C ，连接OA ，AB ． （1）求k 的值．（2）若D 为OC 中点，求四边形OABC 的面积．【分析】（1）将点A 的坐标为(2,4)代入(0)k y x x=>，可得结果；（2）利用反比例函数的解析式可得点B 的坐标，利用三角形的面积公式和梯形的面积公式可得结果．【解答】解：（1）将点A 的坐标为(2,4)代入(0)ky x x=>，可得248k xy ==⨯=， k ∴的值为8；（2）k 的值为8，∴函数k y x =的解析式为8y x=， D 为OC 中点，2OD =，4OC ∴=，∴点B 的横坐标为4，将4x =代入8y x=， 可得2y =，∴点B 的坐标为(4,2)，()11242421022AOD OABC ABCD S S S ∆∴=+=⨯⨯++⨯=四边形四边形．【点评】本题主要考查了反比例函数的系数k 的几何意义，运用数形结合思想是解答此题的关键．22．（7分）2020年3月线上授课期间，小莹、小静和小新为了解所在学校九年级600名学生居家减压方式情况，对该校九年级部分学生居家减压方式进行抽样调查．将居家减压方式分为A （享受美食）、B （交流谈心）、C （室内体育活动）、D （听音乐）和E （其他方式）五类，要求每位被调查者选择一种自己最常用的减压方式．他们将 收集的数据进行了整理，绘制的统计表分别为表1、表2和表3． 表1：小莹抽取60名男生居家减压方式统计表（单位：人）表2：小静随机抽取10名学生居家减压方式统计表（单位：人）表3：小新随机抽取60名学生居家减压方式统计表（单位：人）根据以上材料，回答下列问题：（1）小莹、小静和小新三人中，哪一位同学抽样调查的数据能较好地反映出该校九年级学生居家减压方式情况，并简要说明其他两位同学抽样调查的不足之处．（2）根据三人中能较好地反映出该校九年级居家减压方式的调查结果，估计该校九年级600名学生中利用室内体育活动方式进行减压的人数．【分析】（1）根据抽取样本的原则，为使样本具有代表性、普遍性、可操作性的原则进行； （2）样本中“采取室内体育锻炼减缓压力”的占2660，因此估计总体600人的2660是采取室内体育锻炼减缓压力的人数．【解答】解：（1）小新同学抽样调查的数据能较好地反映出该校九年级学生居家减压方式情况，小莹同学调查的只是男生，不具有代表性，小静同学调查的人数偏少，具有片面性，对整体情况的反映容易造成偏差． （2）2660026060⨯=（人)， 答：该校九年级600名学生中利用室内体育活动方式进行减压的大约有260人． 【点评】本题考查样本估计总体的统计方法，理解选取样本的原则是正确判断的前提． 五、解答题（每小题8分，共16分）23．（8分）某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作．当停止工作时，油箱中油量为5L ，在整个过程中，油箱里的油量y （单位：)L 与时间x （单位：)min 之间的关系如图所示．（1）机器每分钟加油量为 3 L ，机器工作的过程中每分钟耗油量为 L ． （2）求机器工作时y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围． （3）直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时x 的值．【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以得到机器每分钟加油量和机器工作的过程中每分钟耗油量；（2）根据函数图象中的数据，可以得到机器工作时y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；（3）根据（2）中的函数解析式，令函数值为302÷，即可得到相应的x 的值． 【解答】解：（1）由图象可得， 机器每分钟加油量为：30103()L ÷=，机器工作的过程中每分钟耗油量为：(305)(6010)0.5()L -÷-=， 故答案为：3，0.5；（2）当010x 时，设y 关于x 的函数解析式为y kx =， 1030k =，得3k =，即当010x 时，y 关于x 的函数解析式为3y x =，当1060x <时，设y 关于x 的函数解析式为y ax b =+，1030605a b a b +=⎧⎨+=⎩， 解得，0.535a b =-⎧⎨=⎩， 即当1060x <时，y 关于x 的函数解析式为0.535y x =-+，由上可得，y 关于x 的函数解析式为3(010)0.535(1060)x x y x x ⎧=⎨-+<⎩； （3）当3302x =÷时，得5x =，当0.535302x -+=÷时，得40x =，即油箱中油量为油箱容积的一半时x 的值是5或40．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．24．（8分）能够完全重合的平行四边形纸片ABCD 和AEFG 按图①方式摆放，其中5AD AG ==，9AB =．点D ，G 分别在边AE ，AB 上，CD 与FG 相交于点H ．【探究】求证：四边形AGHD 是菱形．【操作一】固定图①中的平行四边形纸片ABCD ，将平行四边形纸片AEFG 绕着点A 顺时针旋转一定的角度，使点F 与点C 重合，如图②．则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为 56 ．【操作二】将图②中的平行四边形纸片AEFG 绕着点A 继续顺时针旋转一定的角度，使点E 与点B 重合，连接DG ，CF ，如图③，若4sin 3BAD ∠=，则四边形DCFG 的面积为 ．【分析】【探究】先由平行四边形的性质得//AE GF ，//DC AB ，进而得四边形AGHD 是平行四边形，再结合邻边相等，得四边形AGHD 是菱形；【操作一】这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和实际为平行四边形ABCD 和平行四边形AEFG 的周长和，由此求得结果便可；【操作二】证明AMD AMG ∆≅∆得90AMD AMG ∠=∠=︒，解Rt ADM ∆得DM ，再证明四边形DCFG 为矩形，由矩形面积公式求得结果．【解答】解：【探究】四边形ABCD 和AEFG 都是平行四边形，//AE GF ∴，//DC AB ，∴四边形AGHD 是平行四边形，AD AG =，∴四边形AGHD 是菱形；【操作一】根据题意得，这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为：()()2()2()2(95)2(95)56ME EF MC AD DM AM AG GN AN BN BC NF ME AM AG EF NF AD BC DM MC AN BN AE AG AB AD +++++++++++=++++++++++=+++=⨯++⨯+=，故答案为：56；【操作二】由题意知，5AD AG ==，DAB BAG ∠=∠，又AM AM =，()AMD AMG SAS ∴∆≅∆，DM GM ∴=，AMD AMG ∠=∠，180AMD AMG ∠+∠=︒，90AMD AMG ∴∠=∠=︒，4sin 3BAD ∠=， ∴43DM AD =， 42033DM AD ∴==， 403DG ∴=， 四边形ABCD 和四边形AEFG 是平行四边形，////DC AB GF ∴，9DC AB GF ===，∴四边形CDGF 是平行四边形，90AMD ∠=︒，90CDG AMD ∴∠=∠=︒，∴四边形CDGF 是矩形，∴4091203DCFG S DG DC =⋅=⨯=矩形，故答案为：120．【点评】本题是四边形的综合题，主要考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，矩形的性质与判定，解直角三角形，旋转的性质，矩形的面积计算，平行四边形的周长计算，【操作一】的关键是将所求图形的周长和转化为规则图形（平行四边形）的周长计算，体现了转化思想的重要性，【操作二】关键是解直角三角形求得矩形的边长．六、解答题（每小题10分，共20分）25．（10分）如图，ABC ∆是等边三角形，4AB cm =，动点P 从点A 出发，以2/cm s 的速度沿AB 向点B 匀速运动，过点P 作PQ AB ⊥，交折线AC CB -于点Q ，以PQ 为边作等边三角形PQD ，使点A ，D 在PQ 异侧．设点P 的运动时间为()(02)x s x <<，PQD ∆与ABC ∆重叠部分图形的面积为2()y cm ．（1）AP 的长为 2x cm （用含x 的代数式表示）．（2）当点D 落在边BC 上时，求x 的值．（3）求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．【分析】（1）根据动点P 从点A 出发，以2/cm s 的速度沿AB 向点B 匀速运动，可得AP 的长为2xcm ；（2）当点D 落在BC 上时，如图1，42BP AB AP x =-=-，根据PQD ∆等边三角形，ABC ∆是等边三角形，证明APQ BDP ∆≅∆，进而可得x 的值；（3）根据题意分三个部分进行画图说明：①如图2，当203x<时，②如图3，当点Q 运动到与点C 重合时，当213x <时，如图4，设PD 、QD 与BC 分别相交于点G 、H ，③如图5，当12x <<时，点Q 运动到BC 边上，设PD 与BC 相交于点G ，分别表示出y 关于x 的函数解析式即可．【解答】解：（1）动点P 从点A 出发，以2/cm s 的速度沿AB 向点B 匀速运动， AP ∴的长为2xcm ；故答案为：2x ；（2）当点D 落在BC 上时，如图1，42BP AB AP x =-=-，PQ AB ⊥，90QPA ∴∠=︒，PQD ∆等边三角形，ABC ∆是等边三角形，60A B DPQ ∴∠=∠=∠=︒，30BPD ∴∠=︒，90PDB ∴∠=︒，PD BC ∴⊥，()APQ BDP AAS ∴∆≅∆，2BD AP x ∴==，2BP BD =，424x x ∴-=， 解得23x =； （3）①如图2，当203x<时，在Rt APQ ∆中，2AP x =，60A ∠=︒，tan 603PQ AP x ∴=︒=，。
2024年吉林长春中考数学试题及答案
2024年吉林长春中考数学试题及答案本试卷包括三道大题，共6页．全卷满分为120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．根据有理数加法法则，计算()23+-过程正确的是（ ）A ．()32++B ．()32+-C ．()32-+D ．()32--2．南湖公园是长春市著名旅游景点之一，图①是公园中“四角亭”景观的照片，图②是其航拍照片，则图③是“四角亭”景观的（ ）．A ．主视图B ．俯视图C ．左视图D ．右视图3．在剪纸活动中，小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则α∠的大小为（ ）A ．54oB ．60C ．70D ．724．下列运算一定正确的是（ ）A ．236a a a ⋅=B ．236a a a ⋅=C ．()222ab a b =D ．()235a a =5．不等关系在生活中广泛存在．如图，a 、b 分别表示两位同学的身高，c 表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（ ）A ．若a b >，则a c b c+>+B ．若a b >，b c >，则a c >C ．若a b >，0c >，则ac bc >D ．若a b >，0c >，则a b c c>6．2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点A 时，位于海平面R 处的雷达测得点R 到点A 的距离为a 千米，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL 为（ ）A ．sin a θ千米B ．sin a θ千米C ．cos a θ千米D ．cos a θ千米7．如图，在ABC 中，O 是边AB 的中点．按下列要求作图：①以点B 为圆心、适当长为半径画弧，交线段BO 于点D ，交BC 于点E ；②以点O 为圆心、BD 长为半径画弧，交线段OA 于点F ；③以点F 为圆心、DE 长为半径画弧，交前一条弧于点G ，点G 与点C 在直线AB 同侧；④作直线OG ，交AC 于点M ．下列结论不一定成立的是（ ）A ．AOM B∠=∠B ．180OMC C ∠+∠= C ．AM CM =D ．12OM AB =8．如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，点()4,2A 在函数()0,0k y k x x=>>的图象上．将直线OA 沿y 轴向上平移，平移后的直线与y 轴交于点B ，与函数()0,0k y k x x =>>的图象交于点C ．若BC =，则点B 的坐标是（ ）A ．(B ．()0,3C ．()0,4D ．(0,二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．9．单项式22a b -的次数是 ．10= ．11．若抛物线2y x x c =-+（c 是常数）与x 轴没有交点，则c 的取值范围是 ．12．已知直线y kx b =+（k 、b 是常数）经过点()1,1，且y 随x 的增大而减小，则b 的值可以是 ．（写出一个即可）13．一块含30︒角的直角三角板ABC 按如图所示的方式摆放，边AB 与直线l 重合，12cm AB =．现将该三角板绕点B 顺时针旋转，使点C 的对应点C '落在直线l 上，则点A 经过的路径长至少为 cm ．（结果保留π）14．如图，AB 是半圆的直径，AC 是一条弦，D 是 AC 的中点，DE AB ⊥于点E ，交AC 于点F ，DB 交AC 于点G ，连结AD ．给出下面四个结论：①ABD DAC ∠=∠；②AF FG =；③当2DG =，3GB =时，FG =④当 2BD AD =，6AB =时，DFG上述结论中，正确结论的序号有 ．三、解答题：本题共10小题，共78分．15．先化简，再求值：32222x x x x ---，其中x =．16．2021年吉林省普通高中开始施行新高考选科模式，此模式有若干种学科组合，每位高中生可根据自己的实际情况选择一种．一对双胞胎姐妹考入同一所高中且选择了相同组合，该校要将所有选报这种组合的学生分成A 、B 、C 三个班，其中每位学生被分到这三个班的机会均等．用画树状图（或列表）的方法，求这对双胞胎姐妹被分到同一个班的概率．17．《九章算术》被历代数学家尊为“算经之首”．下面是其卷中记载的关于“盈不足”的一个问题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？这段话的意思是：今有人合伙买金，每人出400钱，会剩余3400钱；每人出300钱，会剩余100钱．合伙人数、金价各是多少？请解决上述问题．18．如图，在四边形ABCD 中，90A B ∠=∠=︒，O 是边AB 的中点，AOD BOC ∠=∠．求证：四边形ABCD 是矩形．19．某校为调研学生对本校食堂的满意度，从初中部和高中部各随机抽取20名学生对食堂进行满意度评分（满分10分），将收集到的评分数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：a ．高中部20名学生所评分数的频数分布直方图如下图：（数据分成4组：67x ≤<，78x ≤<，89x ≤<，910x ≤≤）b ．高中部20名学生所评分数在89x ≤<这一组的是：8.0 8.1 8.2 8.2 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8c ．初中部、高中部各20名学生所评分数的平均数、中位数如下：平均数中位数初中部8.38.5高中部8.3m根据以上信息，回答下列问题：(1)表中m 的值为________；(2)根据调查前制定的满意度等级划分标准，评分不低于8.5分为“非常满意”．①在被调查的学生中，设初中部、高中部对食堂“非常满意”的人数分别为a 、b ，则a ________b ；（填“>”“<”或“=”）②高中部共有800名学生在食堂就餐，估计其中对食堂“非常满意”的学生人数．20．图①、图②、图③均是33⨯的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A 、B 均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形ABCD ，使其是轴对称图形且点C 、D 均在格点上．(1)在图①中，四边形ABCD 面积为2；(2)在图②中，四边形ABCD 面积为3；(3)在图③中，四边形ABCD 面积为4．21．区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶112小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程y （千米）与在此路段行驶的时间x （时）之间的函数图象如图所示．(1)a 的值为________；(2)当112x a ≤≤时，求y 与x 之间的函数关系式；(3)通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时）22．【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边ABC 中，3AB =，点M 、N 分别在边AC 、BC 上，且AM CN =，试探究线段MN 长度的最小值．【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题．【问题解决】如图②，过点C 、M 分别作MN 、BC 的平行线，并交于点P ，作射线AP ．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：（1）证明：AM MP =；（2）CAP ∠的大小为 度，线段MN 长度的最小值为________．【方法应用】某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，ABC 是等腰三角形，四边形BCDE 是矩形，2AB AC CD ===米，30ACB ∠=︒．MN 是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点M 在AC 上，点N 在DE 上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持AM DN =．钢丝绳MN 长度的最小值为多少米．23．如图，在ABC 中，5AB AC ==，6BC =．点D 是边BC 上的一点（点D 不与点B 、C 重合），作射线AD ，在射线AD 上取点P ，使AP BD =，以AP 为边作正方形APMN ，使点M 和点C 在直线AD 同侧．(1)当点D 是边BC 的中点时，求AD 的长；(2)当4BD =时，点D 到直线AC 的距离为________；(3)连结PN ，当PN AC ⊥时，求正方形APMN 的边长；(4)若点N 到直线AC 的距离是点M 到直线AC 距离的3倍，则CD 的长为________．（写出一个即可）24．在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，抛物线22y x x c =++（c 是常数）经过点()2,2--．点A 、B 是该抛物线上不重合的两点，横坐标分别为m 、m -，点C 的横坐标为5m -，点C 的纵坐标与点A 的纵坐标相同，连结AB 、AC ．(1)求该抛物线对应的函数表达式；(2)求证：当m 取不为零的任意实数时，tan CAB ∠的值始终为2；(3)作AC 的垂直平分线交直线AB 于点D ，以AD 为边、AC 为对角线作菱形ADCE ，连结DE ．①当DE 与此抛物线的对称轴重合时，求菱形ADCE 的面积；②当此抛物线在菱形ADCE 内部的点的纵坐标y 随x 的增大而增大时，直接写出m 的取值范围．1．D【分析】本题主要考查了有理数的加法，掌握“将两个数的绝对值相减,结果的符号与绝对值较大的数的符号相同”成为解题的关键．根据将两个数的绝对值相减,结果的符号与绝对值较大的数的符号相同即可解答．【详解】解：()()2332+---=．故选D ．2．B【分析】本题主要考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图的定义是解决本题的关键．根据三视图主视图、俯视图、左视图的定义即可解答．【详解】解：由题意可知图③是从“四角亭”上方看到的，即为俯视图．故选B ．3．D【分析】本题考查了多边形内角与外角，正多边形的内角和，熟练掌握正多边形的内角和公式是解题的关键．根据正五边形的内角和公式和邻补角的性质即可得到结论．【详解】解：(52)180180725α-⨯︒∠=︒-=︒，故选：D ．4．C【分析】本题考查了单项式乘单项式、同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键．根据单项式乘单项式的运算法则计算并判断A ；根据同底数幂的乘法法则计算并判断B ；根据积的乘方运算法则计算并判断C ；根据幂的乘方运算法则计算并判断D ．【详解】解：A ．2236a a a ⋅=，故本选项不符合题意；B ．235a a a ⋅=，故本选项不符合题意；C ．()222ab a b =，故本选项符合题意；D ．()236a a =，故本选项不符合题意；故选：C ．5．A【分析】本题主要考查不等式的性质，熟记不等式性质是解决问题的关键．根据不等式的性质即可解答．【详解】解：由作图可知：a b >，由右图可知：a c b c +>+，即A 选项符合题意．故选：A ．6．A【分析】本题考查解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解题关键，根据锐角的正弦函数的定义即可求解【详解】解：由题意得：sin AL AL AR a θ==∴sin AL a θ=千米故选：A7．D【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，平行线的性质和判定，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握相关的性质，先根据作图得出AOM B ∠=∠，根据平行线的判定得出OM BC ∥，根据平行线的性质得出180OMC C ∠+∠= ，根据平行线分线段成比例得出1AM AO CM OB==，即可得出AM CM =．【详解】解：A ．根据作图可知：AOM B ∠=∠一定成立，故A 不符合题意；B ．∵AOM B ∠=∠，∴OM BC ∥，∴180OMC C ∠+∠= 一定成立，故B 不符合题意；C ．∵O 是边AB 的中点，∴AO BO =，∵OM BC ∥，∴1AM AO CM OB==，∴AM CM =一定成立，故C 不符合题意；D ．12OM AB =不一定成立，故D 符合题意．8．B【分析】本题主要考查反比例函数、解直角三角形、平移的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．如图：过点A 作x 轴的垂线交x 轴于点E ，过点C 作y 轴的垂线交y 轴于点D ，先根据点A 坐标计算出sin OAE ∠、k 值，再根据平移、平行线的性质证明DBC OAE ∠=∠，进而根据sin sin CD DBC OAE BC∠==∠求出CD ，最后代入反比例函数解析式取得点C 的坐标，进而确定2CD =,4OD =，再运用勾股定理求得BD ，进而求得OB 即可解答．【详解】解：如图，过点A 作x 轴的垂线交x 轴于点E ，过点C 作y 轴的垂线交y 轴于点D ，则AE y ∥轴，∵()4,2A ，∴4OE =，OA =∴sin OE OAE OA ∠===∵()4,2A 在反比例函数的图象上，∴428k =⨯=．∴将直线OA 向上平移若干个单位长度后得到直线BC ，∴OA BC ∥，∴OAE BOA ∠=∠，∵AE y ∥轴，∴DBC BOA ∠=∠，∴DBC OAE ∠=∠，∴sin si n CD DBC OAE BC ∠===∠=2CD =，即点C 的横坐标为2，将2x =代入8y x=，得4y =，∴C 点的坐标为()2,4，∴2CD =,4OD =，∴1BD ==，∴413OB OD BD =-=-=,∴()0,3B 故选：B ．9．3【分析】此题考查单项式有关概念，根据单项式次数的定义来求解，解题的关键是需灵活掌握单项式的系数和次数的定义，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．【详解】单项式22a b -的次数是：213+=，故答案为：3．10【分析】利用二次根式的性质化简，再相减．==【点睛】本题考查了二次根式的减法，解题的关键是掌握二次根式的化简及性质．11．14c >【分析】本题主要考查了抛物线2y ax bx c =++与x 轴的交点问题，掌握抛物线2y ax bx c =++与x 轴没有交点与20x x c -+=没有实数根是解题的关键．由抛物线与x 轴没有交点，运用根的判别式列出关于c 的一元一次不等式求解即可．【详解】解：∵抛物线2y x x c =-+与x 轴没有交点，∴20x x c -+=没有实数根，∴2141140c c ∆=-⨯⨯=-<，14c >．故答案为：14c >．12．2（答案不唯一）【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，牢记“0k >，y 随x 的增大而增大；0k <，y 随x 的增大而减小”是解题的关键．利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出1k b =+，由y 随x 的增大而减小，利用一次函数的性质，可得出0k <，若代入1k =-，求出b 值即可．【详解】解：∵直线y kx b =+（k 、b 是常数）经过点()1,1，∴1k b =+．∵y 随x 的增大而减小，∴0k <，当1k =-时，11b =-+，解得：2b =，∴b 的值可以是2．故答案为：2（答案不唯一）13．203π【分析】本题主要考查了旋转的性质、弧长公式等知识点，掌握弧长公式成为解题的关键．由旋转的性质可得60ABC A BC '∠=∠=︒,即120ABA '∠=︒，再根据点A 经过的路径长至少为以B 为圆心，以AB 为半径的圆弧的长即可解答．【详解】解：∵将该三角板绕点B 顺时针旋转，使点C 的对应点C '落在直线l 上，∴60ABC A BC '∠=∠=︒,即120ABA '∠=︒，∴点A 经过的路径长至少为12010201803ππ︒⋅⋅=︒．故答案为：203π．14．①②③【分析】如图：连接DC ，由圆周角定理可判定①；先说明BDE AGD ∠=∠、ADE DAC ∠=∠可得DF FG =、AF FD =，即AF FG =可判定②；先证明 ∽ADG BDA 可得AD GD BD AD=,即AD GDDG BG AD=+,代入数据可得AD =，然后运用勾股定理可得AG =，再结合AF FG =即可判定③；如图：假设半圆的圆心为O ，连接,,OD CO CD ，易得60AOD DOC ∠=∠=︒，从而证明,AOD ODC 是等边三角形，即ADCO 是菱形，然后得到30DAC OAC ∠=∠=︒，再解直角三角形可得DG =ADG S = 【详解】解：如图：连接DC ，∵D 是 AC 的中点，∴ AD DC =,∴ABD DAC ∠=∠，即①正确；∵AB 是直径，∴90ADB ∠=︒，∴90DAC AGD ∠+∠=︒，∵DE AB⊥∴90BDE ABD Ð+Ð=°,∵ABD DAC ∠=∠，∴BDE AGD ∠=∠，∴DF FG =，∵90BDE ABD Ð+Ð=°，90BDE ADE ∠+∠=︒,∴ADE ABD ∠=∠，∵ABD DAC ∠=∠，∴ADE DAC ∠=∠，∴AF FD =，∴AF FG =,即②正确；在ADG △和BDA △,90ADG BDA DAG DBA ∠=∠=︒⎧⎨∠=∠⎩，∴ ∽ADG BDA ，∴AD GD BD AD =,即AD GD DG BG AD =+,∴223AD AD=+，即AD =∴AG ==∵AF FG =，∴12FG AG ==如图：假设半圆的圆心为O ，连接,,OD CO CD ，∵ 2BD AD =，6AB =，D 是AC 的中点，∴ 1,3AD DC AB ==∴60AOD DOC ∠=∠=︒，∵OA OD OC ==，∴,AOD ODC 是等边三角形，∴6OA AD CD OC OD =====，即ADCO 是菱形，∴1302DAC OAC DAO ∠=∠=∠=︒，∵90ADB ∠=︒，∴tan tan 30DG DAC AD ∠=︒=6DG =，解得：DG =∴11622ADG S AD DG =⋅=⨯⨯= ，∵AF FG=∴12DFG ADG S S == ，即④错误．故答案为：①②③．【点睛】本题主要考查了圆周角定理、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．15．2x ，2【分析】本题考查了分式的化简求值问题，先算分式的减法运算，再代入求值即可．【详解】解：原式()23222222x x x x x x x --===--∵x =，∴原式2=16．13【分析】本题主要考查列表法与树状图法、概率公式等知识点，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．先列表确定出所有等可能的结果数以及这对双胞胎姐妹被分到同一个班的结果数，然后再利用概率公式计算即可．【详解】解：列表如下：A B CA A ，A A ，B A ，CB B ，A B ，B B ，CC C ，A C ，B C ，C共有9种等可能的结果，其中这对双胞胎姐妹被分到同一个班的结果有3种，所以这对双胞胎姐妹被分到同一个班的概率为3193=．17．共33人合伙买金，金价为9800钱【分析】设共x 人合伙买金，金价为y 钱，根据“每人出400钱，会剩余3400钱；每人出300钱，会剩余100钱”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论．【详解】解：设共x 人合伙买金，金价为y 钱，依题意得：4003400300100x y x y -=⎧⎨-=⎩，解得：339800x y =⎧⎨=⎩．答：共33人合伙买金，金价为9800钱．【点睛】本题考查了二元-次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．18．证明见解析．【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定及矩形的判定，熟练掌握判定定理是解题关键．利用SAS 可证明AOD BOC ≌△△，得出AD BC =，根据90A B ∠=∠=︒得出AD BC ∥，即可证明四边形ABCD 是平行四边形，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明四边形ABCD 是矩形．【详解】证明：∵O 是边AB 的中点，∴OA OB =，在AOD △和BOC 中，90A B OA OB AOD BOC ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴AOD BOC ≌△△，∴AD BC =，∵90A B ∠=∠=︒，∴AD BC ∥，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵90A B ∠=∠=︒，∴四边形ABCD 是矩形．19．(1)8.3(2)①>；②估计其中对食堂“非常满意”的学生人数为360人【分析】（1）由题意知，高中部评分的中位数为第1011，位数的平均数，即8.28.42m +=，计算求解即可；（1）①利用中位数进行决策即可；②根据4580020+⨯，计算求解即可．【详解】（1）解：由题意知，高中部评分的中位数为第1011，位数的平均数，即8.28.48.32m +==，故答案为：8.3；（2）①解：由题意知，初中部评分的中位数为8.5，高中部评分的中位数为8.3，∴a b >，故答案为：>；②解：∵45 80036020+⨯=，∴估计其中对食堂“非常满意”的学生人数为360人．【点睛】本题考查了条形统计图，中位数，利用中位数进行决策，用样本估计总体．熟练掌握条形统计图，中位数，利用中位数进行决策，用样本估计总体是解题的关键．20．(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】本题考查网格作图、设计图案、轴对称的性质、平移的性质等知识点，根据轴对称的性质、平移的性质作图是解题的关键．（1）根据轴对称的性质、平移的性质作出面积为2四边形ABCD即可．（2）根据轴对称的性质、平移的性质作出面积为3四边形ABCD即可．（3）根据轴对称的性质、平移的性质作出面积为4四边形ABCD即可．【详解】（1）解：如图①：四边形ABCD即为所求；（不唯一）．（2）解：如图②：四边形ABCD即为所求；（不唯一）．（3）解：如图③：四边形ABCD 即为所求；（不唯一）．21．(1)15(2)11902125y x x ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭(3)没有超速【分析】本题考查了一次函数的应用、一次函数的图像、求函数解析式等知识点，掌握待定系数法求函数关系式是解题的关键．（1）由题意可得：当以平均时速为100/千米时行驶时，a 小时路程为20千米，据此即可解答；（2）利用待定系数法求解即可；（3）求出先匀速行驶112小时的速度，据此即可解答．【详解】（1）解：由题意可得：10020a =，解得：15a =．故答案为：15．（2）解：设当11125x ≤≤时，y 与x 之间的函数关系式为()0y kx b k =+≠，则：11761205k b k b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：902k b =⎧⎨=⎩，∴11902125y x x ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭．（3）解：当112x =时，19029.512y =⨯+=，∴先匀速行驶112小时的速度为：19.5114/12÷=（千米时），∵114120＜，∴辆汽车减速前没有超速．22．问题解决：（1）见解析（2）30，32；方法应用：线段MN【分析】（1）过点C 、M 分别作MN 、BC 的平行线，并交于点P ，作射线AP ，根据平行四边形性质证明结论即可；（2）先证明30CAP MPA Ð=Ð=°，根据垂线段最短求出最小值；（3）过点D 、M 分别作MN 、ED 的平行线，并交于点H ，作射线AH ，连接AD ，求出15MAH Ð=°，进而得45DAH ∠=︒，利用垂线段最短求出即可．【详解】解：问题解决：（1）证明：过点C 、M 分别作MN 、BC 的平行线，并交于点P ，作射线AP ，∴四边形MNCP 是平行四边形，NC MP MN PC\==，AM NC= AM MP ∴=；（2）在等边ABC 中，60ACB ∠=︒，MP CN∥60PMC ACB \Ð=Ð=°AM MP= 30CAP MPA \Ð=Ð=°；当CP AP ⊥时，CP 最小，此时MN 最小，在Rt ACP 中，3,30AC CAP =Ð=°13322CP \=´=，∴线段MN 长度的最小值为32；方法应用：过点D 、M 分别作MN 、ED 的平行线，并交于点H ，作射线AH ，连接AD ，∴四边形MNDH 是平行四边形，,ND MH MN DH MH ED\==，∥AM ND= AM MH ∴=，四边形BCDE 是矩形，,90BC ED BCD \Ð=°∥BC MH\∥30ACB CMH \Ð=Ð=°AM MH= 15MAH \Ð=°3m,120AC CD ACD ACB BCD ==Ð=Ð+Ð=°30DAC ∴∠=︒45DAH ∴∠=︒∴当DH AH ⊥时，DH 最小，此时MN 最小，作CR AD ⊥于点R ，在Rt ACR 中，3,30AC CAR =Ð=°13322CR \=´=，AR \2AD AR \==在Rt ADH 中，45AD DAH =Ð=°DH AH \=，∴线段MN 米．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质，垂线段最短及矩形性质，熟练掌握相关性质是解题关键．23．(1)4(2)85(3)177(4)256或259【分析】本题考查等腰三角形性质，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握面积法是解题的关键；（1）根据等腰三角形三线合一性质，利用勾股定理即可求解；（2）利用面积法三角形面积相等即可；（3）设AP x =，则BD x =，6CD x =-，过点D 作DH AC ⊥于Q，根据AQ CQ AC +=，建立方程；即可求解；（4）第一种情况，M ，N 在AC 异侧时，设MQ m =，3NQ m =，则4AN m =，证明CDE ANQ ∽，得到CE CD NQ AQ=，即可求解；第二种情况，当M ，N 在AC 同侧，设CD x =，则35CH x =，45DH x =，3425AH x =⨯，求得3345525x x +⨯=，解方程即可求解；【详解】（1）解：根据题意可知： 5AB AC ==，ABC ∴ 为等腰三角形，故点D 是边BC 的中点时，AD BC ⊥；在Rt ADC 中，4AD ====；（2）根据题意作DH AC ⊥，如图所示；当4BD =时，则2CD =，设点D 到直线AC 的距离为DH h =，1124522ACD S h =⨯⨯=⨯⨯ ，解得：85h =；（3）如图，当NP AC ⊥时，点M 落在AC 上，设AP x =，则BD x =，6CD x =-，过点D 作DH AC ⊥于Q 则()33655CQ CD x ==-，()44655DQ CD x ==-()44655AQ DQ CD x ===-，AQ CQ AC += ，()()3466555x x ∴-+-=解得：177x =故177=AP ，所以正方形APMN 的边长为177；（4）如图，M ，N 在AC 异侧时；设MQ m =，3NQ m =，则4AN m=ANQ ∴ 三边的比值为3:4:5，AQN C ∴∠=∠，CAD C ∴∠=∠，∴CDE ANQ∽CE CDNQ AQ=∴5525326CD =⨯=当M ，N 在AC 同侧设MQ m =，则3AN AP m ==，2PQ m =，APO ∴三边比为2:AQD ∴三边比为2:设CD x =，则35CH x =，45DH x =，3425AH x =⨯3345525x x ∴+⨯=解得：259CD x ==综上所述：CD 的长为256或25924．(1)222y x x =+-(2)见详解(3)①9ADCE S =菱形；②3m ≤-或10m -≤<或04m <≤【分析】（1）将()2,2--代入22y x x c =++，解方程即可；（2）过点B 作BH AC ⊥于点H ，由题意得()()22,22,,22A m m m B m m m +----，则4A B BH y y m =-=，2A B AH x x m =-=，因此tan 2BH CAB AH∠==；（3）①记,AC DE 交于点M ， ()25,22C m m m -+-，而对称轴为直线=1x -，则512m m -+=-，解得：12m =，则32AM =，3AC =，由tan 232DM DM CAB AM ∠===，得3DM =，则6DE =，因此9ADCE S =菱形；②分类讨论，数形结合，记抛物线顶点为点F ，则()1,3F --，故菱形中只包含在对称轴右侧的抛物线，当0m >时，符合题意；当m 继续变大，直至当直线CD 经过点F 时，符合题意，过点F 作FQ AC ⊥于点Q ，由CAD FCQ ∠=∠，得到()()2223215m m m +---=---，解得：4m =或4m =+（舍），故04m <≤，当4m >侧的抛物线，不符合题意；当0m <时，符合题意：当m 继续变小，直至点A 与点F 重合，此时1m =-，故10m -≤<；当m 继续变小，直线AE 经过点F 时，也符合题意， 过点F 作FQ AC ⊥于点Q ，同上可得，()222321m m m +---=--，解得：3m =-或1m =-（舍），当m 继续变小时，仍符合题意，因此3m ≤-，故m 的取值范围为：3m ≤-或10m -≤<或04m <≤【详解】（1）解：将()2,2--代入22y x x c =++，得：442c -+=-，解得：2x =-，∴抛物线表达式为：222y x x =+-；（2）解：过点B 作BH AC ⊥于点H ，则90AHB ∠=︒，由题意得：()()22,22,,22A m m m B m m m +----，∴4A B BH y y m =-=，2A B AH x x m =-=，∴在Rt AHB △中，4tan 22m BH CAB AH m∠===；（3）解：①如图，记,AC DE 交于点M ，由题意得，()25,22C m m m -+-，由2122b a -=-=-，得：对称轴为直线：=1x - ∵四边形ADCE 是菱形，∴点A 、C 关于DE 对称，2,2AC AM DE DM ==，∵DE 与此抛物线的对称轴重合，∴512m m -+=-，解得：12m =，∴12A x =，∴()13122AM =--=∴3AC =，∵tan 232DM DM CAB AM∠===，∴3DM =，则6DE =，∴192ADCE S DE AC =⨯=菱形；②记抛物线顶点为点F ，把=1x -代入222y x x =+-，得：=3y -，∴()1,3F --，∵抛物线在菱形ADCE 内部的点的纵坐标y 随x 的增大而增大，∴菱形中只包含在对称轴右侧的抛物线，当0m >时，如图，符合题意，当m 继续变大，直至当直线CD 经过点F 时，符合题意，如图：过点F 作FQ AC ⊥于点Q ，∵四边形ADCE 是菱形，∴DA DC =，∴CAD FCQ ∠=∠，∴tan tan 2FQ FCQ CAD CQ∠=∠==，∴()()2223215m m m +---=---，解得：4m =4m =（舍），∴04m <≤，当4m >当0m <时，如图，符合题意：当m 继续变小，直至点A 与点F 重合，此时1m =-，符合题意，如图：∴10m -≤<；当m 继续变小，直至直线AE 经过点F 时，也符合题意，如图：过点F 作FQ AC ⊥于点Q ，同上可得，tan 2FQ FAQ AQ ∠==，∴()222321m m m+---=--，解得：3m =-或1m =-（舍），当m 继续变小时，仍符合题意，如图：∴3m ≤-，综上所述，m 的取值范围为：3m ≤-或10m -≤<或04m <≤【点睛】本题考查了抛物线与几何的综合，菱形的性质，待定系数法求函数解析式，求锐角的正切值，正确理解题意，利用数形结合的思想，找出临界状态是解决本题的关键．。
2023年吉林省长春市中考数学真题及答案
3. 下列运算正确的是 ( )
A. a3 一 a2 = a
【答案】B
B. a2 . a = a3
3
( ) C. a2 = a5
D. a6 a2 = a3
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，逐项分析判断即可求解．
【详解】A. a3 与 a2 不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
2023 年长春市初中学业水平考试 数学
本试卷包括三道大题，共 24 道小题，共 6 页．全卷满分 20 分．考试时间为 120 分钟．考试 结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事形码准确粘贴在条形 码区域内．
2 ．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无 效． 一、选择题 (本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分)
D. AF」
【分析】根据作图可得 AD = AE,DF = EF ，进而逐项分析判断即可求解． 【详解】解：根据作图可得 AD = AE,DF = EF ，故 A ，C 正确；
∴ A, F 在DE 的垂直平分线上， ∴ AF TDE ，故 D 选项正确， 而DF = EF 不一定成立，故 B 选项错误，
B. 38 106
C. 38 108
D. 3.8 107
【分析】根据科学记数法公式转换即可，科学记数法公式为： a 10 n ， 1 a <10 ，n 为整数的位数减 1．
【详解】解： 38000000 = 3.8 107 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了科学记数法；解题的关键是熟练掌握科学记数法的定义．
A. 3
B. 3
C. 4
D. 6
【答案】C 【解析】
2023年吉林省中考数学真题(原卷)
吉林省2023年初中学业水平考试数学试题数学试卷共7页，包括六道大题，共26道小题．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．一、单项选择题（每小题2分，共12分）1.月球表面的白天平均温度零上126C ︒，记作+126C ︒，夜间平均温度零下150C ︒，应记作（）A.+150C︒ B.150C-︒ C.+276C︒ D.276C-︒2.图①是2023年6月11日吉林市全程马拉松男子组颁奖现场．图②是领奖台的示意图，则此领奖台的主视图是（）A.B.C. D.3.下列算式中，结果等于5a 的是（）A.23a a + B.23a a ⋅ C.23()a D.102a a ÷4.一元二次方程2520x x -+=根的判别式的值是（）A.33B.23C.17D.175.如图，在ABC 中，点D 在边AB 上，过点D 作DE BC ∥，交AC 于点E ．若23AD BD ==，，则AEAC的值是（）A.25B.12C.35D.236.如图，AB ，AC 是O 的弦，OB ，OC 是O 的半径，点P 为OB 上任意一点（点P 不与点B 重合），连接CP ．若70BAC ∠=︒，则BPC ∠的度数可能是（）A.70︒B.105︒C.125︒D.155︒二、填空题（每小题3分，共24分）7.计算：=_________.8.不等式480x ->的解集为__________．9.计算：(3)a b +=_________．10.如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是__________．11.如图，在ABC 中，AB AC =，分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 的长为半径作弧，两孤交于点D ，作直线AD 交BC 于点E ．若=110BAC ∠︒，则BAE ∠的大小为__________度．12.《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有人合伙买羊，每人出5钱，还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱．问合伙人数是多少？为解决此问题，设合伙人数为x 人，可列方程为__________．13.如图①，A ，B 表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢．图②是其示意图，点O 是圆心，半径r 为15m ，点A ，B 是圆上的两点，圆心角120AOB ∠=︒，则 AB 的长为_________m ．（结果保留π）14.如图，在Rt ABC △中，90C BC AC ∠=︒<，．点D ，E 分别在边AB ，BC 上，连接DE ，将BDE 沿DE 折叠，点B 的对应点为点B '．若点B '刚好落在边AC 上，303CB E CE '∠=︒=，，则BC 的长为__________．三、解答题（每小题5分，共20分）15.下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中M 是单项式．请写出单项式M ，并将该例题的解答过程补充完整．例先化简，再求值：211a a aM -++，其中100a =．解：原式()()2111a a a a a =-++……16.2023年6月4日，“神舟”十五号载人飞船返回舱成功着陆．某校为弘扬爱国主义精神，举办以航天员事迹为主题的演讲比赛，主题人物由抽卡片决定，现有三张不透明的卡片，卡片正面分别写着费俊龙、邓清明、张陆三位航天员的姓名，依次记作A ，B ，C ，卡片除正面姓名不同外，其余均相同．三张卡片正面向下洗匀后，甲选手从中随机抽取一张卡片，记录航天员姓名后正面向下放回，洗匀后乙选手再从中随机抽取一张卡片．请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的概率．17.如图，点C 在线段BD 上，在ABC 和DEC 中，A D AB DE B E ∠=∠=∠=∠，，．求证：AC DC =．18.2022年12月28日查干湖冬捕活动后，某商家销售A，B两种查干湖野生鱼，如果购买1箱A种鱼和2箱B种鱼需花费1300元：如果购买2箱A种鱼和3箱B种鱼需花费2300元．分别求每箱A种鱼和每箱B种鱼的价格．四、解答题（每小题7分，共28分）19.图①、图②、图③均是55⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上．在图①、图②、图③中以AB为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在格点上．20.笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长λ（单位：m）会随着电磁波的频率f（单位：MHz）的变化而变化．已知波长λ与频率f是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值：频率f（MHz）101550波长λ（m）30206（1）求波长λ关于频率f的函数解析式．f=时，求此电磁波的波长λ．（2）当75MHz21.某校数学活动小组要测量校园内一棵古树的高度，王朵同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下：填写人：王朵综合实践活动报告时间：2023年4月20日活动任务：测量古树高度活动过程【步骤一】设计测量方案小组成员讨论后，画出如图①的测量草图，确定需测的几何量．【步骤二】准备测量工具自制测角仪，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，如图②所示准备皮尺．【步骤三】实地测量并记录数据如图③，王朵同学站在离古树一定距离的地方，将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达古树的最高点．如图④，利用测角仪，测量后计算得出仰角α．测出眼睛到地面的距离AB ．测出所站地方到古树底部的距离BD ．α=________．1.54m AB =．10m BD =．【步骤四】计算古树高度CD ．（结果精确到0.1m ）（参考数据：sin 400.643cos 400.766tan 400.839︒=︒=︒=，，）请结合图①、图④和相关数据写出α的度数并完成【步骤四】．22.为了解20182022-年吉林省粮食总产量及其增长速度的情况，王翔同学查阅相关资料，整理数据并绘制了如下统计图：20182022-年吉林省粮食总产量及其增长速度（以上数据源于《2022年吉林省国民经济和社会发展统计公报》）注：-=100%⨯本年粮食总产量去年粮食总产量增长速度去年粮食总产量．根据此统计图，回答下列问题：（1）2021年全省粮食总产量比2019年全省粮食总产量多__________万吨．（2）20182022-年全省粮食总产量的中位数是__________万吨．（3）王翔同学根据增长速度计算方法得出2017年吉林省粮食总产量约为4154.0万吨．结合所得数据及图中信息对下列说法进行判断，正确的画“√”，错误的画“×”①20182022-年全省粮食总产量增长速度最快的年份为2019年，因此这5年中，2019年全省粮食总产量最高．（）②如果将20182022-年全省粮食总产量的中位数记为a 万吨，20172022-年全省粮食总产量的中位数记为b 万吨，那么a b <．（）五、解答题（每小题8分，共16分）23.甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和()m y 与甲组挖掘时间x （天）之间的关系如图所示．（1）甲组比乙组多挖掘了__________天．（2）求乙组停工后y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．（3）当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组已停工的天数．24.【操作发现】如图①，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重合的部分构成一个四边形EFMN ．转动其中一张纸条，发现四边形EFMN 总是平行四边形其中判定的依据是__________．【探究提升】取两张短边长度相等的平行四边形纸条ABCD 和EFGH （AB BC <，FG BC ≤），其中AB EF =，B FEH ∠=∠，将它们按图②放置，EF 落在边BC 上，FG EH ，与边AD 分别交于点M ，N ．求证：EFMN 是菱形．【结论应用】保持图②中的平行四边形纸条ABCD 不动，将平行四边形纸条EFGH 沿BC 或CB 平移，且EF 始终在边BC 上．当MD MG =时，延长CD HG ，交于点P ，得到图③．若四边形ECPH 的周长为40，4sin 5EFG ∠=（EFG ∠为锐角），则四边形ECPH 的面积为_________．六、解答题（每小题10分，共20分）25.如图，在正方形ABCD 中，4cm AB =，点O 是对角线AC 的中点，动点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，点P 以1cm/s 的速度沿边AB 向终点B 匀速运动，点Q 以2cm/s 的速度沿折线BC CD -向终点D 匀速运动．连接PO 并延长交边CD 于点M ，连接QO 并延长交折线DA AB -于点N ，连接PQ ，QM ，MN ，NP ，得到四边形PQMN ．设点P 的运动时间为x （s ）（04x <<），四边形PQMN 的面积为y （2cm ）（1）BP 的长为__________cm ，CM 的长为_________cm ．（用含x 的代数式表示）（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．（3）当四边形PQMN 是轴对称图形时，直接写出x 的值．26.如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y x x c =-++经过点(0,1)A ．点P ，Q 在此抛物线上，其横坐标分别为,2(0)m m m >，连接AP ，AQ ．（1）求此抛物线的解析式．（2）当点Q 与此抛物线的顶点重合时，求m 的值．（3）当PAQ ∠的边与x 轴平行时，求点P 与点Q 的纵坐标的差．（4）设此抛物线在点A 与点P 之间部分（包括点A 和点P ）的最高点与最低点的纵坐标的差为1h ，在点A 与点Q 之间部分（包括点A 和点Q ）的最高点与最低点的纵坐标的差为2h ．当21h h m -=时，直接写出m 的值．。
2020年吉林省长春市中考数学一模试卷 (解析版)
2020年吉林省长春市中考数学一模试卷一、选择题（共8小题）.1．如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为（）A．3B．2C．1D．﹣12．今年初，党中央、国务院对湖北共派遣援鄂抗役医务人员42000多人，经过全国人民的共同努力，取得了这场战役的胜利：42000这个数用科学记数法表示为（）A．42×103B．4.2×104C．4.2×105D．4.2×1033．某立体图形的左视图如图所示，则该立体图形不可能（）A．B．C．D．4．不等式2x﹣2≤0的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．5．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（）A．B．C．D．6．在△ABC中，∠ACB＝90°，用直尺和圆规在AB上确定点D，使△ACD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（）A．B．C．D．7．如图，在莲花山滑雪场滑雪，需从山脚下乘缆车上山，缆车索道与水平线所成的角为32°，缆车速度为每分钟50米，从山脚下A到达山顶B缆车需要16分钟，则山的高度BC为（）A．800•sin32°B．C．800•tan32°D．8．如图，点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0），y＝（x＜0）的图象上．若OA⊥OB，＝2，则a的值为（）A．﹣4B．4C．﹣2D．2二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）9．化简：﹣＝．10．因式分解：m2﹣4m+4＝．11．关于x的方程2x2﹣3x﹣k＝0有两个相等的实数根，则k的值为．12．如图，一束平行太阳光线照射到正五边形上，则∠1＝．13．图①表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A，当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10cm．图②表示当钟面显示3点45分时，A点距桌面的高度为16cm，若钟面显示3点55分时，A点距桌面的高度为cm．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x+1）2+b与y＝a（x﹣2）2+b+1交于点A．过点A作y轴的垂线，分别交两条抛物线于点B、C（点B在点A左侧，点C在点A右侧），则线段BC的长为．三、解答题：共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．先化简，再求值（a﹣1）2﹣2a（a﹣1）+（2a+1）（2a﹣1），其中a＝．16．在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数字为1，2，7，这些卡片除数字不同外其余均相同．洗匀后，小强从盒子中随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片．用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率．17．今年初，某爱心人士两次购买N95口罩支援武汉，第一次花了500000元，第二次花了770000，购买了同样的N95口罩，已知第二次购买的口罩的单价是第一次的1.4倍，且比第一次多购进了10000个，求该爱心人士第一次购进口罩的单价．18．如图，E是Rt△ABC的斜边AB上一点，以AE为直径的⊙O与边BC相切于点D，交边AC于点F，连结AD．（1）求证：AD平分∠BAC．（2）若AE＝2，∠CAD＝25°，求的长．19．某工厂生产部门为了解本部门工人的生产能力情况，进行了抽样调查．该部门随机抽取了30名工人某天每人加工零件的个数，数据如下：202119162718312921222520192235331917182918352215181831311922整理上面数据，得到条形统计图：样本数据的平均数、众数、中位数如表所示：统计量平均数众数中位数数值23m21根据以上信息，解答下列问题：（1）上表中众数m的值为；（2）为调动工人的积极性，该部门根据工人每天加工零件的个数制定了奖励标准，凡达到或超过这个标准的工人将获得奖励．如果想让一半左右的工人能获奖，应根据来确定奖励标准比较合适．（填“平均数”、“众数”或“中位数”）（3）该部门规定：每天加工零件的个数达到或超过25个的工人为生产能手．若该部门有300名工人，试估计该部门生产能手的人数．20．图①，图②，图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，在图①，图②，图③恰定的网格中按要求画图．（1）在图①中，画出格点C，使AC＝BC，用黑色实心圆点标出点C所有可能的位置．（2）在图②中，在线段AB上画出点M，使AM＝3BM．（3）在图③中，在线段AB上画出点P，使AP＝2BP．（保留作图痕迹）要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法．21．小明在练习操控航拍无人机，该型号无人机在上升和下落时的速度相同，设无人机的飞行高度为y（米），小明操控无人飞机的时间为x（分），y与x之间的函数图象如图所示．（1）无人机上升的速度为米/分，无人机在40米的高度上飞行了分．（2）求无人机下落过程中，y与x之间的函数关系式．（3）求无人机距地面的高度为50米时x的值．22．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．2．线段垂直平分线我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线MN 是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB，将线段AB沿直线MN对称，我们发现PA与PB完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段的距离相等．已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上的任意一点．求证：PA＝PB．分析：图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证明PA ＝PB（请写出完整的证明过程）请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．定理应用：（1）如图②，在△ABC中，直线l、m、n分别是边AB、BC、AC的垂直平分线．求证：直线l、m、n交于一点．（2）如图③，在△ABC中，AB＝BC，边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，若∠ABC＝120°，AC＝18，则DE的长为．23．在△ABC中，AC＝5，BC＝4，∠B＝45°，点D在边AB上，且AD＝3，动点P 从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，以PD为边向上做正方形PDMN，设点P运动的时间为t秒，正方形PDMN与△ABC重叠部分的面积为S．（1）用含有t的代数式表示线段PD的长．（2）当点N落在△ABC的边上时，求t的值．（3）求S与t的函数关系式．（4）当点P在线段AD上运动时，做点N关于CD的对称点N'，当N'与△ABC的某一个顶点的连线平分△ABC的面积时，求t的值．24．在平面直角坐标系中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：如果y′＝，那么称点Q为点P的“伴随点”．例如：点（5，6）的“伴随点”为点（5，6）；点（﹣5，6）的“伴随点”为点（﹣5，﹣6）．（1）直接写出点A（2，1）的“伴随点”A′的坐标．（2）点B（m，m+1）在函数y＝kx+3的图象上，若其“伴随点”B′的纵坐标为2，求函数y＝kx+3的解析式．（3）点C、D在函数y＝﹣x2+4的图象上，且点C、D关于y轴对称，点D的“伴随点”为D′．若点C在第一象限，且CD＝DD′，求此时“伴随点”D′的横坐标．（4）点E在函数y＝﹣x2+n（﹣1≤x≤2）的图象上，若其“伴随点”E′的纵坐标y′的最大值为m（1≤m≤3），直接写出实数n的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为（）A．3B．2C．1D．﹣1【分析】直接利用数轴得出结果即可．解：数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为﹣1，故选：D．2．今年初，党中央、国务院对湖北共派遣援鄂抗役医务人员42000多人，经过全国人民的共同努力，取得了这场战役的胜利：42000这个数用科学记数法表示为（）A．42×103B．4.2×104C．4.2×105D．4.2×103【分析】科学记数法表示较大的数形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．10的指数n＝原来的整数位数﹣1．解：42000＝4.2×104，故选：B．3．某立体图形的左视图如图所示，则该立体图形不可能（）A．B．C．D．【分析】找到各选项中从左面看不是所给视图的立体图形即可．解：各选项中只有选项D从左面看得到从左往右2列正方形的个数依次为2，1，1，故选：D．4．不等式2x﹣2≤0的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】利用不等式的基本性质，移项后再除以2，不等号的方向不变．解：移项，得2x≤2，系数化为1，得x≤1，不等式的解集在数轴上表示如下：．故选：D．5．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（）A．B．C．D．【分析】设有x匹大马，y匹小马，根据100匹马恰好拉了100片瓦，已知一匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，列方程组即可．解：设有x匹大马，y匹小马，根据题意得，故选：C．6．在△ABC中，∠ACB＝90°，用直尺和圆规在AB上确定点D，使△ACD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（）A．B．C．D．【分析】如果△ACD∽△CBD，可得∠CDA＝∠BDC＝90°，即CD是AB的垂线，根据作图痕迹判断即可．解：当CD是AB的垂线时，△ACD∽△CBD．∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠BDC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ACD＝∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD．根据作图痕迹可知，A选项中，CD是∠ACB的角平分线，不符合题意；B选项中，CD不与AB垂直，不符合题意；C选项中，CD是AB的垂线，符合题意；D选项中，CD不与AB垂直，不符合题意；故选：C．7．如图，在莲花山滑雪场滑雪，需从山脚下乘缆车上山，缆车索道与水平线所成的角为32°，缆车速度为每分钟50米，从山脚下A到达山顶B缆车需要16分钟，则山的高度BC为（）A．800•sin32°B．C．800•tan32°D．【分析】作BC⊥AC，垂足为C，在Rt△ABC中，利用三角函数解答即可．解：如图，作BC⊥AC，垂足为C．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝32°，AB＝50×16＝800（米），sin∠BAC＝，∴BC＝sin∠BAC•AB＝800•sin32°．故选：A．8．如图，点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0），y＝（x＜0）的图象上．若OA⊥OB，＝2，则a的值为（）A．﹣4B．4C．﹣2D．2【分析】过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，利用相似三角形的判定定理得出△AOM∽△OBN，再由反比例函数系数k的几何意义得出S△AOM：S△BON＝1：（﹣a），进而可得出结论．解：过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，∴∠AMO＝∠BNO＝90°，∴∠AOM+∠OAM＝90°，∵OA⊥OB，∴∠AOM+∠BON＝90°，∴∠OAM＝∠BON，∴△AOM∽△OBN，∵点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0），y＝（x＜0）的图象上，∴S△AOM：S△BON＝1：（﹣a），∴AO：BO＝1：，∵OB：OA＝2，∴a＝﹣4，故选：A．二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）9．化简：﹣＝．【分析】先把各根式化为最简二次根式，再根据二次根式的减法进行计算即可．解：原式＝2﹣＝．故答案为：．10．因式分解：m2﹣4m+4＝（m﹣2）2．【分析】原式利用完全平方公式分解即可．解：原式＝（m﹣2）2．故答案为：（m﹣2）2．11．关于x的方程2x2﹣3x﹣k＝0有两个相等的实数根，则k的值为﹣．【分析】根据关于x的方程2x2﹣3x﹣k＝0有两个相等的实数根可得△＝（﹣3）2﹣4×2（﹣k）＝0，求出k的值即可．解：∵关于x的方程2x2﹣3x﹣k＝0有两个相等的实数根，∴△＝（﹣3）2﹣4×2（﹣k）＝0，∴9+8k＝0，∴k＝﹣．故答案为：﹣．12．如图，一束平行太阳光线照射到正五边形上，则∠1＝30°．【分析】作出平行线，根据两直线平行：内错角相等、同位角相等，结合三角形的内角和定理，即可得出答案．解：作出辅助线如图：则∠2＝42°，∠1＝∠3，∵五边形是正五边形，∴一个内角是108°，∴∠3＝180°﹣∠2﹣∠3＝30°，∴∠1＝∠3＝30°．故答案为：30°．13．图①表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A，当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10cm．图②表示当钟面显示3点45分时，A点距桌面的高度为16cm，若钟面显示3点55分时，A点距桌面的高度为（16+3）cm．【分析】根据当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10公分得出AD＝10，进而得出A′C＝16，从而得出FA″＝3，得出答案即可．解：∵当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10公分．∴AD＝10，∵钟面显示3点45分时，A点距桌面的高度为16公分，∴A′C＝16，∴AO＝A″O＝6，则钟面显示3点55分时，∠A″OA′＝45°，∴FA″＝3，∴A点距桌面的高度为：16+3（cm）．故答案为：（）．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x+1）2+b与y＝a（x﹣2）2+b+1交于点A．过点A作y轴的垂线，分别交两条抛物线于点B、C（点B在点A左侧，点C在点A右侧），则线段BC的长为6．【分析】设抛物线y＝a（x+1）2+b的对称轴与线段BC交于点E，抛物线y＝a（x﹣2）2+b+1的对称轴与线段BC交于点F，由抛物线的对称性结合BC═2（AE+AF），即可求出结论．解：设抛物线y＝a（x+1）2+b的对称轴与线段BC交于点E，抛物线y＝a（x﹣2）2+b+1的对称轴与线段BC交于点F，如图所示．由抛物线的对称性，可知：BE＝AE，CF＝AF，∴BC＝BE+AE+AF+CF＝2（AE+AF）＝2×[2﹣（﹣1）]＝6．故答案为：6．三、解答题：共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．先化简，再求值（a﹣1）2﹣2a（a﹣1）+（2a+1）（2a﹣1），其中a＝．【分析】原式利用平方差公式，完全平方公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．解：原式＝a2﹣2a+1﹣2a2+2a+4a2﹣1＝3a2，当a＝时，原式＝3×5＝15．16．在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数字为1，2，7，这些卡片除数字不同外其余均相同．洗匀后，小强从盒子中随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片．用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率．【分析】首先根据题意列表求得所有等可能的结果与抽到的两张卡片上的数字之和为偶数的情况，再利用概率公式即可求得答案．解：根据题意，列表如下：1271238234978914所以P（两次抽取的卡片上数字之和为偶数）＝．17．今年初，某爱心人士两次购买N95口罩支援武汉，第一次花了500000元，第二次花了770000，购买了同样的N95口罩，已知第二次购买的口罩的单价是第一次的1.4倍，且比第一次多购进了10000个，求该爱心人士第一次购进口罩的单价．【分析】设该爱心人士第一次购进口罩的单价为x元/个．则第二次购进口罩的单价为1.4x 元/个，根据数量＝总价÷单价结合第二次比第一次多购进了10000个，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．解：设该爱心人士第一次购进口罩的单价为x元/个．则第二次购进口罩的单价为 1.4x 元/个，依题意，得：，解得：x＝5，经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意．答；该爱心人士第一次购进口罩的单价为5元/个．18．如图，E是Rt△ABC的斜边AB上一点，以AE为直径的⊙O与边BC相切于点D，交边AC于点F，连结AD．（1）求证：AD平分∠BAC．（2）若AE＝2，∠CAD＝25°，求的长．【分析】（1）连接OD，如图，由切线的性质得到OD⊥BC，则OD∥AC，根据平行线的性质得到∠CAD＝∠ODA，由∠ODA＝∠OAD，所以∠CAD＝∠DAE；（2）由（1）知，∠FAE＝50°，由弧长公式可得答案．解：（1）如图，连结OD，∵⊙O与边BC相切于点D，∴OD⊥BC，∴∠ODB＝90°，∵∠C＝90°，∴∠C＝∠ODB＝90°，∴OD∥AC．∴∠CAD＝∠ODA，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠OAD＝∠CAD，∴AD平分∠BAC；（2）如图，连结OF，∵AD平分∠BAC，且∠CAD＝25°，∴12﹣3＝9，∴∠EOF＝100°，∴的长为．19．某工厂生产部门为了解本部门工人的生产能力情况，进行了抽样调查．该部门随机抽取了30名工人某天每人加工零件的个数，数据如下：202119162718312921222520192235331917182918352215181831311922整理上面数据，得到条形统计图：样本数据的平均数、众数、中位数如表所示：统计量平均数众数中位数数值23m21根据以上信息，解答下列问题：（1）上表中众数m的值为18；（2）为调动工人的积极性，该部门根据工人每天加工零件的个数制定了奖励标准，凡达到或超过这个标准的工人将获得奖励．如果想让一半左右的工人能获奖，应根据中位数来确定奖励标准比较合适．（填“平均数”、“众数”或“中位数”）（3）该部门规定：每天加工零件的个数达到或超过25个的工人为生产能手．若该部门有300名工人，试估计该部门生产能手的人数．【分析】（1）根据条形统计图中的数据可以得到m的值；（2）根据题意可知应选择中位数比较合适；（3）根据统计图中的数据可以计该部门生产能手的人数．解：（1）由图可得，众数m的值为18，故答案为：18；（2）由题意可得，如果想让一半左右的工人能获奖，应根据中位数来确定奖励标准比较合适，故答案为：中位数；（3）300×＝100（名），答：该部门生产能手有100名工人．20．图①，图②，图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，在图①，图②，图③恰定的网格中按要求画图．（1）在图①中，画出格点C，使AC＝BC，用黑色实心圆点标出点C所有可能的位置．（2）在图②中，在线段AB上画出点M，使AM＝3BM．（3）在图③中，在线段AB上画出点P，使AP＝2BP．（保留作图痕迹）要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质画图即可；（2）根据相似三角形的性质，构造相似三角形即可；（3）由相似三角形的性质，构造相似三角形即可．解：（1）如图①所示，点C即为所求；（2）如图②所示，点M即为所求；（3）如图③所示，点P即为所求．21．小明在练习操控航拍无人机，该型号无人机在上升和下落时的速度相同，设无人机的飞行高度为y（米），小明操控无人飞机的时间为x（分），y与x之间的函数图象如图所示．（1）无人机上升的速度为20米/分，无人机在40米的高度上飞行了3分．（2）求无人机下落过程中，y与x之间的函数关系式．（3）求无人机距地面的高度为50米时x的值．【分析】（1）利用图象信息，根据速度＝计算即可解决问题；（2）利用待定系数法即可解决问题；（3）求出无人机从40米高度到60米高度的函数关系式为y＝20x﹣60（5≤x≤6），分两种情形构建方程即可解决问题；解：（1）无人机上升的速度为＝20米/分，无人机在40米的高度上飞行了6﹣1﹣2＝3分．故答案为20，3；（2）设y＝kx+b，把（9，60）和（12，0）代入得到，解得，∴无人机下落过程中，y与x之间的函数关系式为y＝﹣20x+240．（3）易知无人机从40米高度到60米高度的函数关系式为y＝20x﹣60（5≤x≤6），由20x﹣60＝50，解得x＝5.5，由﹣20x+240＝50，解得x＝9.5，综上所述，无人机距地面的高度为50米时x的值为5.5和9.5．22．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．2．线段垂直平分线我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线MN 是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB，将线段AB沿直线MN对称，我们发现PA与PB完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段的距离相等．已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上的任意一点．求证：PA＝PB．分析：图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证明PA ＝PB（请写出完整的证明过程）请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．定理应用：（1）如图②，在△ABC中，直线l、m、n分别是边AB、BC、AC的垂直平分线．求证：直线l、m、n交于一点．（2）如图③，在△ABC中，AB＝BC，边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，若∠ABC＝120°，AC＝18，则DE的长为6．【分析】教材呈现：如图①中，证明△PAC≌△PBC即可解决问题．定理应用：（1）如图②中，设直线l、m交于点O，连结AO、BO、CO．利用线段的垂直平分线的判定和性质解决问题即可．（2）连接BD，BE，证明△BDE是等边三角形即可．【解答】教材呈现：解：如图①中，∵MN⊥AB，∴∠PCA＝∠PCB＝90°．又∵AC＝BC，PC＝PC，∴△PAC≌△PBC（SAS），∴PA＝PB．定理应用：（1）证明：如图②中，设直线l、m交于点O，连结AO、BO、CO．∵直线l是边AB的垂直平分线，∴OA＝OB，又∵直线m是边BC的垂直平分线，∴OB＝OC，∴OA＝OC，∴点O在边AC的垂直平分线n上，∴直线l、m、n交于点O．（2）解：如图③中，连接BD，BE．∵BA＝BC，∠ABC＝120°，∴∠A＝∠C＝30°，∵边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，∴DA＝DB，EB＝EC，∴∠A＝∠DBA＝30°，∠C＝∠EBC＝30°，∴∠BDE＝∠A+∠DBA＝60°，∠BED＝∠C+∠EBC＝60°，∴△BDE是等边三角形，∴AD＝BD＝DE＝BE＝EC，∵AC＝18，∴DE＝AC＝6．故答案为6．23．在△ABC中，AC＝5，BC＝4，∠B＝45°，点D在边AB上，且AD＝3，动点P 从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，以PD为边向上做正方形PDMN，设点P运动的时间为t秒，正方形PDMN与△ABC重叠部分的面积为S．（1）用含有t的代数式表示线段PD的长．（2）当点N落在△ABC的边上时，求t的值．（3）求S与t的函数关系式．（4）当点P在线段AD上运动时，做点N关于CD的对称点N'，当N'与△ABC的某一个顶点的连线平分△ABC的面积时，求t的值．【分析】（1）分0＜t≤3时，3＜t≤7时，两种情形分别求解即可．（2）分两种情形①如图2中，当点N在AC上时，②如图3中，当点N在BC上时，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．（3）分三种情形：①如图4中，当0＜t≤时，重叠部分是五边形EFPDM，②如图5或6中．当＜t≤5时，重叠部分是正方形PDMN．③如图7中，当5＜t≤7时，重叠部分是五边形EFPDM，分别求解即可．（4）分三种情形画出图形，利用平行线分线段成比例定理构建方程即可解决问题．解：（1）如图1中，作CD′⊥AB于D．∵∠B＝45°，BC＝4，∴CD′＝BD′＝4，∴AD′＝＝＝3，∵AD＝3，∴AD＝AD′，∴D′与D重合，当0＜t≤3时，PD＝3﹣t．当3＜t≤7时，PD＝t﹣3；（2）①如图2中，当点N在AC上时，∵MN∥AD，∴，∴，解得t＝；②如图3中，当点N在BC上时，∵MN∥BD，∴，∴，解得t＝5；综上所述，满足条件的t的值为s或5s．（3）①如图4中，当0＜t≤时，重叠部分是五边形EFPDM，S＝S正方形MDPN﹣S△NEF＝（3﹣t）2﹣•（3﹣t﹣t）2＝﹣t+；②如图5或6中，当＜t≤5时，重叠部分是正方形PDMN，S＝t2﹣6t+9③如图7中，当5＜t≤7时，重叠部分是五边形EFPDM，S＝S正方形MNPD﹣S△EFN＝（t ﹣3）2﹣•[（t﹣3）﹣（7﹣t）]2＝﹣t2+14t﹣41．综上所述，S＝．（4）如图8中，当点N′落在中线AE上时，作EK⊥BC于K，N′J⊥AB于J．∵JN′∥EK，∴，则，解得t＝1；如图9中，当点N′落在中线BG上时，作GK⊥BC于K，N′J⊥AB于J．∵N′J∥GK，∴，∴，解得t＝；如图10中，当点N′落在中线CF上时，∵MN′∥DF，∴，∴＝，解得t＝．综上所述，满足条件的t的值为1s或s或s．24．在平面直角坐标系中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：如果y′＝，那么称点Q为点P的“伴随点”．例如：点（5，6）的“伴随点”为点（5，6）；点（﹣5，6）的“伴随点”为点（﹣5，﹣6）．（1）直接写出点A（2，1）的“伴随点”A′的坐标．（2）点B（m，m+1）在函数y＝kx+3的图象上，若其“伴随点”B′的纵坐标为2，求函数y＝kx+3的解析式．（3）点C、D在函数y＝﹣x2+4的图象上，且点C、D关于y轴对称，点D的“伴随点”为D′．若点C在第一象限，且CD＝DD′，求此时“伴随点”D′的横坐标．（4）点E在函数y＝﹣x2+n（﹣1≤x≤2）的图象上，若其“伴随点”E′的纵坐标y′的最大值为m（1≤m≤3），直接写出实数n的取值范围．【分析】（1）由题意即可求解；（2）分m≥0、m＜0两种情况分别求解即可；（3）设点C的横坐标为n，点C在函数y＝﹣x2+4的图象上，CD＝DD′，即可求解；（4）通先分段表示出y'，进而确定出最大值，最后用m的范围建立不等式组，即可得出结论．解：（1）由题意得：点A'的坐标为（2，1）（2）①当m≥0时，m+1＝2，m＝1∴B（1，2）∵点B在一次函数y＝kx+3图象上，∴k+3＝2，解得：k＝﹣1∴一次函数解析式为y＝﹣x+3②m＜0时，m+1＝﹣2，m＝﹣3∴B（﹣3，﹣2）∵点B在一次函数y＝kx+3图象上，∴﹣3k+3＝﹣2解得：k＝一次函数解析式为y＝x+3．（3）设点C的横坐标为n，点C在函数y＝﹣x2+4的图象上，∴点C的坐标为（n，﹣n2+4），∴点D的坐标为（﹣n，﹣n2+4），D′（﹣n，n2﹣4）∵CD＝DD′，∴2n＝2（﹣n2+4），解得：n＝；∵点C在第一象限，∴D′的横坐标为；（4）当﹣1≤x≤0时，y'＝x2﹣n，此时，﹣n≤y'≤1﹣n，当0≤x≤2时，y'＝﹣x2+n，此时，n﹣4≤y'≤n，当n≥1﹣n时，即：n≥，y'的最大值是n，①∵“伴随点”E′的纵坐标y′的最大值为m（1≤m≤3），∴1≤n≤3，当n＜时，y'最大值为1﹣n，②∵“伴随点”E′的纵坐标y′的最大值为m（1≤m≤3），∴1≤1﹣n≤3，∴﹣2≤n≤0，∴n的取值范围应为1≤n≤3或﹣2≤n≤0．。
吉林省长春市中考数学试卷及答案(Word解析版)
吉林省长春市中考数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1．（3分）（•长春）的绝对值等于（）A．B．4C．D．﹣4考点：绝对值．分析：根据负数的绝对值等于它的相反数解答．解答：解：﹣的绝对值等于，即|﹣|=．故选A．点评：本题考查了绝对值，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．2．（3分）（•长春）如图是由四个相同的小长方体组成的立体图形，这个立体图形的正视图是（）A．B．C．D．考点：简单组合体的三视图．分析：找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．解答：解：从正面看易得第一层有1个长方形，位于左边，第二层有2个长方形．故选D．点评：本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．3．（3分）（•长春）我国第一艘航空母舰辽宁航空舰的电力系统可提供14 000 000瓦的电力．14 000 000这个数用科学记数法表示为（）A．14×106B．1.4×107C．1.4×108D．0.14×108考点：科学记数法—表示较大的数分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于14 000 000有8位，所以可以确定n=8﹣1=7．解答：解：14 000 000=1.4×107．故选B．点评：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．4．（3分）（•长春）不等式2x＜﹣4的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式分析：首先解不等式求得不等式的解集，根据数轴上点的表示法即可判断．解答：解：解不等式得：x＜﹣2．故选D．点评：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．5．（3分）（•长春）如图，含30°角的直角三角尺DEF放置在△ABC上，30°角的顶点D 在边AB上，DE⊥AB．若∠B为锐角，BC∥DF，则∠B的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．75°考点：平行线的性质；直角三角形的性质．分析：首先根据垂直定义可得∠ADE=90°，再根据∠FDE=30°，可得∠ADF=60°，然后根据两直线平行同位角相等可得∠B的大小．解答：解：∵DE⊥AB，∴∠ADE=90°，∵∠FDE=30°，∴∠ADF=90°﹣30°=60°，∵BC∥DF，∴∠B=∠ADF=60°，故选：C．点评：此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行同位角相等．6．（3分）（•长春）如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC=71°，∠CAB=53°，点D在AC 弧上，则∠ADB的大小为（）A．46°B．53°C．56°D．71°考点：圆周角定理．分析：根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据圆周角定理得出∠C，求出即可．解答：解：∵∠ABC=71°，∠CAB=53°，∴∠ACB=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=56°，∵弧AB对的圆周角是∠ADB和∠ACB，∴∠ADB=∠ACB=56°，故选C．点评：本题考查了圆周角定理和三角形内角和定理的应用，关键是求出∠ACB的度数和得出∠ACB=∠ADB．7．（3分）（•长春）如图，∠ABD=∠BDC=90°，∠A=∠CBD，AB=3，BD=2，则CD的长为（）A．B．C．2D．3考点：相似三角形的判定与性质．专题：探究型．分析：先根据题意判断出△ABD∽△BDC，再根据相似三角形的对应边成比例即可得出CD的长．解答：解：∵∠ABD=∠BDC=90°，∠A=∠CBD，AB=3，BD=2，∴△ABD∽△BDC，∴=，即=，解得CD=．故选B．点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．8．（3分）（•长春）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），△OAB沿x 轴向右平移后得到△O′A′B′，点A的对应点在直线y=x上一点，则点B与其对应点B′间的距离为（）A．B．3C．4D．5考点：一次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-平移分析：根据平移的性质知BB′=AA′．由一次函数图象上点的坐标特征可以求得点A′的坐标，所以根据两点间的距离公式可以求得线段AA′的长度，即BB′的长度．解答：解：如图，连接AA′、BB′．∵点A的坐标为（0，3），△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，∴点A′的纵坐标是3．又∵点A的对应点在直线y=x上一点，∴3=x，解得x=4．∴点A′的坐标是（4，3），∴AA′=4．∴根据平移的性质知BB′=AA′=4．故选C．点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化﹣﹣平移．根据平移的性质得到BB′=AA′是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共18分）9．（3分）（•长春）计算：a2•5a=5a3．考点：单项式乘单项式专题：计算题．分析：利用单项式乘单项式法则计算即可得到结果．解答：解：原式=5a3．故答案为：5a3．点评：此题考查了单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10．（3分）（•长春）吉林广播电视塔“五一”假期第一天接待游客m人，第二天接待游客n人，则这2天平均每天接待游客人（用含m、n的代数式表示）．考点：列代数式分析：用两天接待的游客总人数除以天数，即可得解．解答：解：2天平均每天接待游客．故答案为：．点评：本题考查了列代数式，比较简单，熟练掌握平均数的求法是解题的关键．11．（3分）（•长春）如图，MN是⊙O的弦，正方形OABC的顶点B、C在MN上，且点B是CM的中点．若正方形OABC的边长为7，则MN的长为28．考点：垂径定理；正方形的性质．分析：根据正方形性质得出BC=7，∠OCB=90°，根据垂径定理得出CM=2BC，推出MN=4BC，代入求出即可．解答：解：∵四边形OABC是正方形，∴BC=7，∠OCB=90°，∴OC⊥MN，∴由垂径定理得：MN=2CM，∵点B是CM的中点，∴CM=2BC，∴MN=4BC=4×7=28，故答案为：28．点评：本题考查了垂径定理和正方形性质的应用，关键是推出MN=4BC．12．（3分）（•长春）如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D；连结AD、CD．若∠B=65°，则∠ADC 的大小为65度．考点：全等三角形的判定与性质．分析：根据作法可得AB=CD，BC=AD，然后利用“边边边”证明△ABC和△CDA全等，再根据全等三角形对应角相等解答．解答：解：∵以点A为圆心，以BC长为半径作弧；以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D，∴AB=CD，BC=AD，在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA，∴∠ADC=∠B=65°．故答案为：65．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，根据作法得到全等三角形相等的边是解题的关键．13．（3分）（•长春）如图，在平面直角坐标系中，边长为6的正六边形ABCDEF的对称中心与原点O重合，点A在x轴上，点B在反比例函数位于第一象限的图象上，则k 的值为．考点：正多边形和圆；反比例函数图象上点的坐标特征．分析：连接OB，过B作BM⊥OA于M，得出等边三角形AOB，求出OB，根据锐角三角函数求出BM和OM，即可得出B的坐标，代入即可求出答案．解答：解：连接OB，过B作BM⊥OA于M，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB==60°，∵OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴OA=OB=AB=6，∴BM=OB•sin∠BOA=6×sin60°=3，OM=OB•COS60°=3，即B的坐标是（3，3），∵B在反比例函数位于第一象限的图象上，∴k=3×3=9，故答案为：9．点评：本题考查了正多边形性质，锐角三角函数，反比例函数的性质，等边三角形的性质和判定的应用，关键是求出B的坐标．14．（3分）（•长春）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+3与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y=于点B、C，则BC的长值为6．考点：二次函数图象上点的坐标特征．分析：先由y轴上点的横坐标为0求出A点坐标为（0，3），再将y=3代入y=，求出x的值，得出B、C两点的坐标，进而求出BC的长度．解答：解：∵抛物线y=ax2+3与y轴交于点A，∴A点坐标为（0，3）．当y=3时，=3，解得x=±3，∴B点坐标为（﹣3，3），C点坐标为（3，3），∴BC=3﹣（﹣3）=6．故答案为6．点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，两函数交点坐标的求法，平行于x轴上的两点之间的距离，比较简单．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）（•长春）先化简，再求值：，其中x=．考点：分式的化简求值专题：计算题．分析：将的分子因式分解，然后约分；再将（x﹣2）2展开，合并同类项后再代入求值即可．解答：解：原式==4x+x2﹣4x+4=x2+4．当x=时，原式==11．点评：本题考查了分式的化简求值，熟悉因式分解及约分、通分是解题的关键．16．（6分）（•长春）甲、乙两人各有一个不透明的口袋，甲的口袋中装有1个白球和2个红球，乙的口袋中装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外其他都相同．甲、乙两人分别从各自口袋中随机摸出1个球，用画树状图（或列表）的方法，求两人摸出的球颜色相同的概率．考点：列表法与树状图法专题：计算题．分析：列表得出所有等可能的情况数，找出两人摸出的求颜色相同的情况数，即可求出所求的概率．解答：解：列表如下：甲乙结果白红红白（白，白）（红，白）（红，白）白（白，白）（红，白）（红，白）红（白，红）（红，红）（红，红）所有等可能的情况有9种，其中颜色相同的情况有4种，则P（两人摸出的球颜色相同）=．点评：此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17．（6分）（•长春）某班在“世界读书日”开展了图书交换活动，第一组同学共带图书24本，第二组同学共带图书27本．已知第一组同学比第二组同学平均每人多带1本图书，第二组人数是第一组人数的1.5倍．求第一组的人数．考点：分式方程的应用．分析：首先设第一组有x人，则第二组人数是1.5x人，根据题意可得等量关系：第一组同学共带图书24本÷第一组的人数﹣第二组同学共带图书27本÷第二组的人数=1，根据等量关系列出方即可．解答：解：设第一组有x人．根据题意，得=，解得x=6．经检验，x=6是原方程的解，且符合题意．答：第一组有6人．点评：此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程，不要忘记检验．18．（7分）（•长春）在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别是AC、BC、BA延长线上的点，四边形ADEF为平行四边形．求证：AD=BF．考点：平行四边形的性质专题：证明题．分析：根据平行四边形的对边平行且相等可得AD=EF，AD∥EF，再根据两直线平行，同位角相等可得∠ACB=∠FEB，根据等边对等角求出∠ACB=∠B，从而得到∠FEB=∠B，然后根据等角对等边证明即可．解答：证明：∵四边形ADEF为平行四边形，∴AD=EF，AD∥EF，∴∠ACB=∠FEB，∵AB=AC，∴∠ACB=∠B，∴∠FEB=∠B，∴EF=BF，∴AD=BF．点评：本题考查了平行四边形对边平行且相等的性质，平行线的性质，等角对等边的性质，熟练掌握各性质是解题的关键．19．（7分）（•长春）如图，岸边的点A处距水面的高度AB为2.17米，桥墩顶部点C距水面的高度CD为23.17米．从点A处测得桥墩顶部点C的仰角为26°，求岸边的点A与桥墩顶部点C之间的距离．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin26°=0.44，cos26°=0.90，tan26°=0.49）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题分析：在Rt△CAE中，利用CD、DE的长和已知的角的度数，利用正弦函数可求得AC的长．解答：解：由题意知，DE=AB=2.17，∴CE=CD﹣DE=12.17﹣2.17=10．在Rt△CAE中，∠CAE=26°，sin∠CAE=，∴AC===≈22.7（米）．答：岸边的点A与桥墩顶部点C之间的距离约为22.7米．点评：本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．20．（7分）（•长春）某校学生会为了解学生在学校食堂就餐剩饭情况，随机对上周在食堂就餐的n名学生进行了调查，先调查是否剩饭的情况，然后再对其中剩饭的每名学生的剩饭次数进行调查．根据调查结果绘制成如下统计图．（1）求这n名学生中剩饭学生的人数及n的值．（2）求这n名学生中剩饭2次以上的学生占这n名学生人数的百分比．（3）按上述统计结果，估计上周在学校食堂就餐的1 200名学生中剩饭2次以上的人数．考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图专题：计算题．分析：（1）由条形统计图中的数据相加即可求出n名学生中剩饭的学生人数，除以剩饭学生所占的百分比即可求出学生的总数，即为n的值；（2）根据条形统计图得到剩饭2次以上的人数，除以n的值，即可求出结果；（3）根据（2）中求出的百分比，乘以1200即可得到结果．解答：解：（1）根据题意得：这n名学生中剩饭学生的人数为58+41+6=105（人），n的值为105÷70%=150，则这n名学生中剩饭的学生有105人，n的值为150；（2）根据题意得：6÷150×100%=4%，则剩饭2次以上的学生占这n名学生人数的4%；（3）根据题意得：1200×4%=48（人）．则估计上周在学校食堂就餐的1200名学生中剩饭2次以上的约有48人．点评：此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．21．（8分）（•长春）甲、乙两工程队维修同一段路面，甲队先清理路面，乙队在甲队清理后铺设路面．乙队在中途停工了一段时间，然后按停工前的工作效率继续工作．在整个工作过程中，甲队清理完的路面长y（米）与时间x（时）的函数图象为线段OA，乙队铺设完的路面长y（米）与时间x（时）的函数图象为折线BC﹣CD﹣DE，如图所示，从甲队开始工作时计时．（1）分别求线段BC、DE所在直线对应的函数关系式．（2）当甲队清理完路面时，求乙队铺设完的路面长．考点：一次函数的应用分析：（1）先求出乙队铺设路面的工作效率，计算出乙队完成需要的时间求出E的坐标，再由待定系数法就可以求出结论．（2）由（1）的结论求出甲队完成的时间，把时间代入乙的解析式就可以求出结论．解答：（1）设线段BC所在直线对应的函数关系式为y=k1x+b1．∵图象经过（3，0）、（5，50），∴∴线段BC所在直线对应的函数关系式为y=25x﹣75．设线段DE所在直线对应的函数关系式为y=k2x+b2．∵乙队按停工前的工作效率为：50÷（5﹣3）=25，∴乙队剩下的需要的时间为：（160﹣50）÷25=，∴E（，160），∴，解得：∴线段DE所在直线对应的函数关系式为y=25x﹣112.5．（2）由题意，得甲队每小时清理路面的长为 100÷5=20，甲队清理完路面的时间，x=160÷20=8．把x=8代入y=25x﹣112.5，得y=25×8﹣112.5=87.5．答：当甲队清理完路面时，乙队铺设完的路面长为87.5米．点评：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，工作总量=工作效率×工作时间的运用，解答时求出函数的解析式是关键．22．（9分）（•长春）探究：如图①，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，AE⊥CD于点E．若AE=10，求四边形ABCD的面积．应用：如图②，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，AE⊥BC于点E．若AE=19，BC=10，CD=6，则四边形ABCD的面积为152．考点：全等三角形的判定与性质；正方形的判定与性质．分析：探究：过点A作AF⊥CB，交CB的延长线于点F，先判定四边形AFCE为矩形，根据矩形的四个角都是直角可得∠FAE=90°，然后利用同角的余角相等求出∠FAB=∠EAD，再利用“角角边”证明△AFB和△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AF，从而得到四边形AFCE是正方形，然后根据正方形的面积公式列计算即可得解；应用：过点A作AF⊥CD交CD的延长线于F，连接AC，根据同角的补角相等可得∠ABC=∠ADF，然后利用“角角边”证明△ABE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=AE，再根据S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD列式计算即可得解．解答：探究：如图①，过点A作AF⊥CB，交CB的延长线于点F，∵AE⊥CD，∠BCD=90°，∴四边形AFCE为矩形，∴∠FAE=90°，∴∠FAB+∠BAE=90°，∵∠EAD+∠BAE=90°，∴∠FAB=∠EAD，∵在△AFB和△AED中，，∴△AFB≌△AED（AAS），∴AF=AE，∴四边形AFCE为正方形，∴S四边形ABCD=S正方形AFCE=AE2=102=100；应用：如图，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于F，连接AC，则∠ADF+∠ADC=180°，∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADF，∵在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（AAS），∴AF=AE=19，∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=BC•AE+CD•AF=×10×19+×6×19=95+57=152．故答案为：152．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，（1）作辅助线构造出全等三角形是解题的关键；（2）作辅助线构造出全等三角形并把四边形分成两个三角形是解题的关键．23．（10分）（•长春）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣2 与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0）．点M、N在x轴上，点N在点M右侧，MN=2．以MN为直角边向上作等腰直角三角形CMN，∠CMN=90°．设点M的横坐标为m．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式．（2）求点C在这条抛物线上时m的值．（3）将线段CN绕点N逆时针旋转90°后，得到对应线段DN．①当点D在这条抛物线的对称轴上时，求点D的坐标．②以DN为直角边作等腰直角三角形DNE，当点E在这条抛物线的对称轴上时，直接写出所有符合条件的m值．（参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（，））考点：二次函数综合题分析：（1）将A（﹣1，0）、B（4，0）两点的坐标代入y=ax2+bx﹣2，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）先根据等腰直角三角形的性质求出点C的坐标为（m，2），再将C的坐标代入y=x2﹣x﹣2，即可求出m的值；（3）①先由旋转的性质得出点D的坐标为（m，﹣2），再根据二次函数的性质求出抛物线y=x2﹣x﹣2的对称轴为直线x=，然后根据点D在直线x=上，即可求出点D的坐标；②以DN为直角边作等腰直角三角形DNE时，分别以D、N为直角顶点，在DN的两侧分别作出等腰直角三角形DNE，E点的位置分四种情况讨论．针对每一种情况，都可以先根据等腰直角三角形的性质求出点E的坐标，然后根据点E在直线x=上，列出关于m的方程，解方程即可求出m的值．解答：解：（1）∵抛物线经过点A（﹣1，0）、B（4，0），∴解得∴抛物线所对应的函数关系式为y=x2﹣x﹣2；（2）∵△CMN是等腰直角三角形CMN，∠CMN=90°，∴CM=MN=2，∴点C的坐标为（m，2），∵点C（m，2）在抛物线上，∴m2﹣m﹣2=2，解得m1=，m2=．∴点C在这条抛物线上时，m的值为或；（3）①∵将线段CN绕点N逆时针旋转90°后，得到对应线段DN，∴∠CND=90°，DN=CN=CM=MN，∴CD=CN=2CM=2MN，∴DM=CM=MN，∠DMN=90°，∴点D的坐标为（m，﹣2）．又∵抛物线y=x2﹣x﹣2的对称轴为直线x=，点D在这条抛物线的对称轴上，∴点D的坐标为（，﹣2）；②如图，以DN为直角边作等腰直角三角形DNE，E点的位置有四种情况：如果E点在E1的位置时，∵点D的坐标为（m，﹣2），MN=ME1=2，点N的坐标为（m+2，0），∴点E1的（m﹣2，0），∵点E1在抛物线y=x2﹣x﹣2的对称轴x=上，∴m﹣2=，解得m=；如果E点在E2的位置时，∵点D的坐标为（m，﹣2），点N的坐标为（m+2，0），∴点E2的（m+2，﹣4），∵点E2在抛物线y=x2﹣x﹣2的对称轴x=上，∴m+2=，解得m=﹣；如果E点在E3的位置时，∵点D的坐标为（m，﹣2），∴点E3的（m，2），∵点E3在抛物线y=x2﹣x﹣2的对称轴x=上，∴m=；如果E点在E4的位置时，∵点D的坐标为（m，﹣2），点N的坐标为（m+2，0），∴点E4的（m+4，﹣2），∵点E4在抛物线y=x2﹣x﹣2的对称轴x=上，∴m+4=，解得m=﹣；综上可知，当点E在这条抛物线的对称轴上时，所有符合条件的m的值为m=﹣或m=﹣或m=或m=．点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质等知识，综合性较强，难度适中．其中（3）②要注意分析题意分情况讨论E点可能的位置，这是解题的关键．24．（12分）（•长春）如图①，在▱ABCD中，AB=13，BC=50，BC边上的高为12．点P从点B出发，沿B﹣A﹣D﹣A运动，沿B﹣A运动时的速度为每秒13个单位长度，沿A ﹣D﹣A运动时的速度为每秒8个单位长度．点Q从点 B出发沿BC方向运动，速度为每秒5个单位长度．P、Q两点同时出发，当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．连结PQ．（1）当点P沿A﹣D﹣A运动时，求AP的长（用含t的代数式表示）．（2）连结AQ，在点P沿B﹣A﹣D运动过程中，当点P与点B、点A不重合时，记△APQ的面积为S．求S与t之间的函数关系式．（3）过点Q作QR∥AB，交AD于点R，连结BR，如图②．在点P沿B﹣A﹣D运动过程中，当线段PQ扫过的图形（阴影部分）被线段BR分成面积相等的两部分时t的值．（4）设点C、D关于直线PQ的对称点分别为C′、D′，直接写出C′D′∥BC时t的值．考点：四边形综合题．分析：（1）分情况讨论，当点P沿A﹣D运动时，当点P沿D﹣A运动时分别可以表示出AP的值；（2）分类讨论，当0＜t＜1时，当1＜t＜时，根据三角形的面积公式分别求出S 与t的函数关系式；（3）分情况讨论，当0＜t＜1时，当1＜t＜时，当＜t＜时，利用三角形的面积相等建立方程求出其解即可；（4）分情况讨论当P在A﹣D之间或D﹣A之间时，如图⑥，根据轴对称的性质可以知道四边形QCOC′为菱形，根据其性质建立方程求出其解，当P在D﹣A之间如图⑦，根据菱形的性质建立方程求出其解即可．解答：解：（1）当点P沿A﹣D运动时，AP=8（t﹣1）=8t﹣8．当点P沿D﹣A运动时，AP=50×2﹣8（t﹣1）=108﹣8t．（2分）（2）当点P与点A重合时，BP=AB，t=1．当点P与点D重合时，AP=AD，8t﹣8=50，t=．当0＜t＜1时，如图①．作过点Q作QE⊥AB于点E．S△ABQ==，∴QE===．∴S=﹣30t2+30t．当1＜t≤时，如图②．S==，∴S=48t﹣48；（3）当点P与点R重合时，AP=BQ，8t﹣8=5t，t=．当0＜t≤1时，如图③．∵S△BPM=S△BQM，∴PM=QM．∵AB∥QR，∴∠PBM=∠QRM，∠BPM=∠MQR，在△BPM和△RQM中，∴△BPM≌△RQM．∴BP=RQ，∵RQ=AB，∴BP=AB∴13t=13，解得：t=1当1＜t≤时，如图④．∵BR平分阴影部分面积，∴P与点R重合．∴t=．当＜t≤时，如图⑤．∵S△ABR=S△QBR，∴S△ABR＜S四边形BQPR．∴BR不能把四边形ABQP分成面积相等的两部分．综上所述，当t=1或时，线段PQ扫过的图形（阴影部分）被线段BR分成面积相等的两部分．（4）如图⑥，当P在A﹣D之间或D﹣A之间时，C′D′在BC上方且C′D′∥BC 时，∴∠C′OQ=∠OQC．∵△C′OQ≌△COQ，∴∠C′OQ=∠COQ，∴∠CQO=∠COQ，∴QC=OC，∴50﹣5t=50﹣8（t﹣1）+13，或50﹣5t=8（t﹣1）﹣50+13，解得：t=7或t=．当P在A﹣D之间或D﹣A之间，C′D′在BC下方且C′D′∥BC时，如图⑦．同理由菱形的性质可以得出：OD=PD，∴50﹣5t+13=8（t﹣1）﹣50，解得：t=．∴当t=7，t=，t=时，点C、D关于直线PQ的对称点分别为C′、D′，且C′D′∥BC．点评：本题考查了平行四边形的性质的运用，菱形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，分类讨论的数学思想的运用，轴对称的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时灵活运用动点问题的解答方法确定分界点是解答本题的关键和难点．。
2023年吉林省长春市中考数学真题(原卷与解析)
2023年长春市初中学业水平考试数学本试卷包括三道大题，共24道小题，共6页．全卷满分20分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1.实数a 、b 、c 、d 伍数轴上对应点位置如图所示，这四个数中绝对值最小的是（）A.aB.bC.cD.d2.长春龙嘉国际机场T3A 航站楼设计创意为“鹤舞长春”，如图所示，航站楼的造型如仙鹤飞翔，蕴含了对吉春大地未来发展的美好愿景．本期工程按照满足2030年旅客吞吐量38000000人次目标设计的，其中38000000这个数用科学记数法表示为（）A.80.3810⨯ B.63810⨯ C.83810⨯ D.73.810⨯3.下列运算正确的是（）A.32a a a -= B.23a a a ⋅= C.()325a a = D.623a a a ÷=4.下图是一个多面体的表面展开图，每个面都标注了数字．若多面体的底面是面③，则多面体的上面是（）A.面①B.面②C.面⑤D.面⑥5.如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB 的卡钳，卡钳交叉点O 为AA '、BB '的中点，只要量出A B ''的长度，就可以道该零件内径AB 的长度．依据的数学基本事实是（）A.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等B.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等C.两余直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例D.两点之间线段最短6.学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳AB 到地面，如图所示．已彩旗绳与地面形成25︒角（即25BAC ∠=︒）、彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米（即32AC =米），则彩旗绳AB 的长度为（）A.32sin 25︒米B.32cos 25︒米C.32sin 25︒米D.32cos 25︒米7.如图，用直尺和圆规作MAN ∠的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（）A.AD AE =B.AD DF =C.DF EF =D.AF D E⊥8.如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 在函数(0,0)k y k x x=>>的图象上，分别以A 、B 为圆心，1为半径作圆，当A 与x 轴相切、B 与y 轴相切时，连结AB ，AB =，则k 的值为（）A.3B.C.4D.6二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共8分）9.分解因式：21a -=____．10.若关于x 的方程220x x m -+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是_________．11.2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x 公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为__________公里．（用含x 的代数式表示）12.如图，ABC 和A B C ''' 是以点O 为位似中心的位似图形，点A 在线段OA '上．若12OA AA '=::，则ABC 和A B C ''' 的周长之比为__________．13.如图，将正五边形纸片ABCDE 折叠，使点B 与点E 重合，折痕为AM ，展开后，再将纸片折叠，使边AB 落在线段AM 上，点B 的对应点为点B '，折痕为AF ，则AFB '∠的大小为__________度．14.2023年5月8日，C919商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步．12时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的地物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A 、B 的水平距离为80米时，两条水柱在物线的顶点H 处相遇，此时相遇点H 距地面20米，喷水口A 、B 距地面均为4米．若两辆消防车同时后退10米，两条水柱的形状及喷水口A '、B '到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点H '距地面__________米．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15.先化简．再求值：2(1)(1)a a a ++-，其中33a =．16.班级联欢会上有一个抽奖活动，每位同学均参加一次抽奖，活动规则下：将三个完全相同的不透明纸杯倒置放在桌面上，每个杯子内放入一个彩蛋，彩蛋颜色分别为红色、红色、绿色．参加活动的同学先从中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜色后再将杯子倒置于桌面，重新打乱杯子的摆放位置，再从中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜色．若两次选中的彩蛋颜色不同则获一等奖，颜色相同则获二等奖．用画树状图（或列表）的方法，求某同学获一等奖的概率．17.随着中国网民规模突破10亿、博物馆美育不断向线上拓展．敦煌研究院顺势推出数字敦煌文化大使“伽瑶”，受到广大敦煌文化爱好者的好评．某工厂计划制作3000个“伽瑶”玩偶摆件，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务．问原计划平均每天制作多少个摆件？18.将两个完全相同的含有30︒角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放．点A ，E ，B ，D 依次在同一直线上，连结AF 、CD ．（1）求证：四边形AFDC 是平行四边形；（2）己知6cm BC =，当四边形AFDC 是菱形时．AD 的长为__________cm ．19.近年来，肥胖经成为影响人们身体健康的重要因素．目前，国际上常用身体质量指数（Body Mass Indcx ，缩写BMI ）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是22kg BMI=m 体重（单位：）身高（位置：）例如：某人身高1.60m ，体重60kg ，则他的260BMI 23.41.60=≈．中国成人的BMI 数值标准为：BMI<18.5为偏瘦；18.5BMI 24≤<为正常；24BMI 28≤<为偏胖；BMI 28≥为肥胖．某公司为了解员工的健康情况，随机抽取了一部分员工的体检数据，通过计算得到他们的BMI 值并绘制了如下两幅不完整的统计图．根据以上信息回答下列问题：（1）补全条形统计图；（2）请估计该公司200名员工中属于偏胖和肥胖的总人数；（3）基于上述统计结果，公司建议每个人制定健身计划．员工小张身高1.70m ，BMI 值为27，他想通过健身减重使自己的BMI 值达到正常，则他的体重至少需要减掉_________kg ．（结果精确到1kg ）20.图①、图②、图③均是55 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A 、B 均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作ABC ，点C 在格点上．（1）在图①中，ABC 的面积为92；（2）在图②中，ABC 的面积为5（3）在图③中，ABC 是面积为52的钝角三角形．21.甲、乙两个相约登山，他们同时从入口处出发，甲步行登山到山顶，乙先步行15分钟到缆车站，再乘坐缆车到达山顶．甲、乙距山脚的垂直高度y （米）与甲登山的时间x （分钟）之间的函数图象如图所示．（1）当1540x ≤≤时，求乙距山脚的垂直高度y 与x 之间的函数关系式；（2）求乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度．22.【感知】如图①，点A 、B 、P 均在O 上，90AOB ∠=︒，则锐角APB ∠的大小为__________度．【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，O 是等边三角形ABC 的外接圆，点P 在 AC 上（点P 不与点A 、C 重合），连结PA 、PB 、PC ．求证：PB PA PC =+．小明发现，延长PA 至点E ，使AE PC =，连结BE ，通过证明PBC EBA ≌△△，可推得PBE 是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：证明：延长PA 至点E ，使AE PC =，连结BE ，四边形ABCP 是O 的内接四边形，180BAP BCP ∴∠+∠=︒．180BAP BAE ∠+∠=︒ ，BCP BAE ∴∠=∠．ABC 是等边三角形．BA BC ∴=，(SAS)PBC EBA ∴ ≌请你补全余下的证明过程．【应用】如图③，O 是ABC 的外接圆，90ABC AB BC ∠=︒=，，点P 在O 上，且点P 与点B 在AC的两侧，连结PA 、PB 、PC ．若2PB PA =，则PB PC的值为__________．23.如图①．在矩形ABCD ．35AB AD ==，，点E 在边BC 上，且2BE =．动点P 从点E 出发，沿折线EB BA AD --以每秒1个单位长度的速度运动，作90PEQ ∠=︒，EQ 交边AD 或边DC 于点Q ，连续PQ ．当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设点P 的运动时间为t 秒．（0t >）（1）当点P 和点B 重合时，线段PQ 的长为__________；（2）当点Q 和点D 重合时，求tan PQE ∠；（3）当点P 在边AD 上运动时，POE △的形状始终是等腰直角三角形．如图②．请说明理由；（4）作点E 关直线PQ 的对称点F ，连接PF 、QF ，当四边形EPFQ 和矩形ABCD 重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出t 的取值范围．24.在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线22y x bx =-++（b 是常数）经过点(2,2)．点A 的坐标为(,0)m ，点B 在该抛物线上，横坐标为1m -．其中0m <．（1）求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标；（2）当点B 在x 轴上时，求点A 的坐标；（3）该抛物线与x 轴的左交点为P ，当抛物线在点P 和点B 之间的部分（包括P 、B 两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为2m -时，求m 的值．（4）当点B 在x 轴上方时，过点B 作BC y ⊥轴于点C ，连结AC 、BO ．若四边形AOBC 的边和抛物线有两个交点（不包括四边形AOBC 的顶点），设这两个交点分别为点E 、点F ，线段BO 的中点为D ．当以点C 、E 、O 、D （或以点C 、F 、O 、D ）为顶点的四边形的面积是四边形AOBC 面积的一半时，直接写出所有满足条件的m 的值．2023年长春市初中学业水平考试数学一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1.【答案】B 【解析】解：由图可知，3a >，01b <<，01c <<，23d <<，比较四个数的绝对值排除a 和d ，根据绝对值的意义观察图形可知，c 离原点的距离大于b 离原点的距离，<b c ∴，∴这四个数中绝对值最小的是b .故选：B .2.【答案】D【解析】解：738000000 3.810=⨯，故选：D ．3.【答案】B【解析】A 选项，3a 与2a 不能合并，故该选项不正确，不符合题意；B 选项，23a a a ⋅=，故该选项正确，符合题意；C 选项，()326a a =，故该选项不正确，不符合题意；D 选项，624a a a ÷=，故该选项不正确，不符合题意；故选：B ．4.【答案】C【解析】解：依题意，多面体的底面是面③，则多面体的上面是面⑤，故选：C ．5.【答案】A【解析】解：O 为AA '、BB '的中点，OA OA ∴'=，OB OB '=，AOB A OB ''∠=∠ （对顶角相等），∴在AOB 与A OB ''△中，OA OA AOB A OB OB OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=''⎩'，()SAS AOB A OB ''∴△≌△，AB A B ''∴=，故选：A ．6.【答案】D【解析】解： AC 表示的是地面，BC 表示是图书馆，AC BC ∴⊥，ABC ∴ 为直角三角形，32cos 25cos 25AC AB ∴==︒︒（米）.故选：D .7.【答案】B【解析】解：根据作图可得,AD AE DF EF ==，故A ，C 正确；∴,A F 在DE 的垂直平分线上，∴AF D E ⊥，故D 选项正确，而DF EF =不一定成立，故B 选项错误，故选：B ．8.【答案】C【解析】解：如图所示，过点A B ，分别作y x ，轴的垂线，垂足分别为E D ，，AE BD ，交于点C，依题意，B 的横坐标为1，A 的纵坐标为1，设(),1A k ，()1,B k ∴()1,1C ，则1,1AC k BC k =-=-，又∵90ACB ∠=︒，AB =，∴()()(22211k k -+-=∴13k -=（负值已舍去）解得：4k =，故选：C ．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共8分）9.【答案】()()11a a +-．【解析】解：()()2111a a a -=+-．故答案为：()()11a a +-10.【答案】1m <【解析】解： 关于x 的方程220x x m -+=有两个不相等的实数根，2(2)41440m m ∴∆=--⨯⨯=->解得：1m <，故答案为：1m <．11.【答案】()7.510x -【解析】根据题意可得，他离健康跑终点的路程为()7.510x -．故答案为：()7.510x -．12.【答案】1:3【解析】解：12OA AA '= ::，:1:3OA OA '∴=，设ABC 周长为1l ，设A B C ''' 周长为2l ，ABC 和A B C ''' 是以点O 为位似中心的位似图形，1213l OA l OA ∴=='．12:1:3l l ∴=．ABC ∴ 和A B C ''' 的周长之比为1:3．故答案为：1:3．13.【答案】45【解析】解：∵正五边形的每一个内角为()5218101508-⨯︒=︒，将正五边形纸片ABCDE 折叠，使点B 与点E 重合，折痕为AM ，则111085422BAM BAE ∠=∠=⨯︒=︒，∵将纸片折叠，使边AB 落在线段AM 上，点B 的对应点为点B '，折痕为AF ，∴11542722FAB BAM '∠=∠=⨯︒=︒，108AB F B '∠=∠=︒，在AFB 'V 中，1801801082745AFB B FAB ''∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故答案为：45．14.【答案】19【解析】解：由题意可知：()40,4A -、()40,4B 、()0,20H ，设抛物线解析式为：220y ax =+，将()40,4A -代入解析式220y ax =+，解得：1100a =-，220100x y ∴=-+，消防车同时后退10米，即抛物线220100x y =-+向左（右）平移10米，平移后的抛物线解析式为：()21020100x y +=-+，令0x =，解得：19y =，故答案为：19．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15.【答案】31a +1+【解析】解：2(1)(1)a a a ++-2221a a a a =+++-31a =+当33a =时，原式33113=⨯+=16.【答案】49【解析】解：画树状图如下：共有9种可能，获一等奖即两次颜色不相同的可能有4种，则某同学获一等奖的概率为：49，答：某同学获一等奖的概率为49．17.【答案】原计划平均每天制作200个摆件．【解析】解：设原计划平均每天制作x 个，根据题意得，3000300051.5x x=+解得：200x =经检验，200x =是原方程的解，且符合题意，答：原计划平均每天制作200个摆件．18.【答案】（1）见解析；（2）18【解析】（1）证明：由题意可知ACB DFE △≌△，AC DF =∴，30CAB FDE ∠=∠=︒，AC DF \∥，∴四边形AFDC 地平行四边形；（2）如图，在Rt ACB △中，90ACB ∠=︒，30CAB ∠=︒，6cm BC =，212cm AB BC ∴==，60ABC ∠=︒，四边形AFDC 是菱形，AD ∴平分CDF ∠，30CDA FDA ∴∠=∠=︒，ABC CDA BCD ∠=∠+∠ ，603030BCD ABC CDA ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，BCD CDA ∴∠=∠，6cm BC BD ∴==，18cm AD AB BD ∴=+=，故答案为：18．19.【答案】（1）见解析（2）110人（3）9【解析】（1）抽取了735%20÷=人，属于偏胖的人数为：202738---=，补全统计图如图所示，（2）8320011020+⨯=（人）（3）设小张体重需要减掉kg x ，依题意，227241.70x -<解得：8.67x >,答：他的体重至少需要减掉9kg ，故答案为：9．20.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】（1）解：如图所示，以3AB =为底，设AB 边上的高为h ，依题意得：19·22ABC S AB h == 解得：3h =即点C 在AB 上方且到AB 距离为3个单位的线段上的格点即可，答案不唯一；（2）由网格可知，AB ==以AB =为底，设AB 边上的高为h ，依题意得：1·52ABC S AB h ==解得：h =将AB 绕A 或B 旋转90︒，过线段的另一个端点作AB 的平行线，与网格格点的交点即为点C ，答案不唯一，（3）如图所示，作5BD AB ==，过点D 作CD AB ∥，交于格点C ，由网格可知，22215BD AB ==+=，10AD =，∴ABD △是直角三角形，且AB BD⊥∵CD AB∥∴15·22ABC S AB BD == ．21.【答案】（1）12180y x =-（2）180【解析】（1）解：设乙距山脚的垂直高度y 与x 之间的函数关系式为y kx b =+，将()15,0，()40,300代入得，15040300k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：12180k b =⎧⎨=-⎩，∴12180y x =-()1540x ≤≤；（2）设甲距山脚的垂直高度y 与x 之间的函数关系式为11y k x b =+()2560x ≤≤将点()()25,16060,300，代入得，11112516060300k b k b +=⎧⎨+=⎩解得：11460k b =⎧⎨=⎩，∴460y x =+()2560x ≤≤；联立12180460y x y x =-⎧⎨=+⎩解得：30180x y =⎧⎨=⎩∴乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度为180米22.【答案】感知：45；探究：见解析；应用：223．【解析】感知：由圆周角定理可得1245APB AOB ∠=∠=︒，故答案为：45；探究：证明：延长PA 至点E ，使AE PC =，连结BE ，四边形ABCP 是O 的内接四边形，180BAP BCP ∴∠+∠=︒．180BAP BAE ∠+∠=︒ ，BCP BAE ∴∠=∠．ABC 是等边三角形．BA BC ∴=，(SAS)PBC EBA ∴ ≌，∴PB EB =，PBC EBA ∠=∠，60EBA ABP PBC ABP ABC ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒，PBE ∴ 是等边三角形，PB PE ∴=，PB PE PA AE PA PC ∴==+=+，即PB PA PC =+；应用：延长PA 至点E ，使AE PC =，连结BE ， 四边形ABCP 是O 的内接四边形，180BAP BCP ∴∠+∠=︒．180BAP BAE ∠+∠=︒ ，BCP BAE ∴∠=∠．AB CB = ，(SAS)PBC EBA ∴ ≌，∴PB EB =，PBC EBA ∠=∠，90EBA ABP PBC ABP ABC ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒，PBE ∴ 是等腰直角三角形，222PB BE PE ∴+=，222PB PE ∴=，即PE =，PE PA AE PA PC =+=+ ，PA PC ∴+=，PB =，4PA PC PA ∴+==，3PC PA ∴=，33PB PC PA ∴==，故答案为：3．23.【答案】（1）13（2）32（3）见解析（4）93502t -<≤或176t =或7t =【解析】（1）解：如图所示，连接BQ ，∵四边形ABCD 是矩形∴90BAQ ABE ∠=∠=︒∵90PEQ ∠=︒，∴四边形ABEQ 是矩形，当点P 和点B 重合时，∴3QE AB ==，2BE =在Rt QBE △中，22223213BQ BE QE =+=+=13（2）如图所示，∵90PEQ ∠=︒，90PBE ECD ∠=∠=︒，∴1290,2390∠+∠=︒∠+∠=︒，∴13∠=∠∴PBE ECD∽∵2BE =，3CD AB ==，∴2tan 3PE BE PQE DE CD ∠===；（3）如图所示，过点P 作PH BC ⊥于点H ，∵90PEQ ∠=︒，90PHE ECQ ∠=∠=︒，∴1290,2390∠+∠=︒∠+∠=︒，则四边形ABHP 是矩形，∴PH AB =3=又∵523EC BC BE =-=-=∴PH EC =，∴PHE ECQ≌∴PE QE=∴POE △是等腰直角三角形；（4）①如图所示，当点P 在BE 上时，∵3,2QE QF AQ BE ====，在Rt AQF △中，2222325AF QF AQ =-=-=，则35BF =-，∵PE t =，则2BP t =-，PF PE t ==，在Rt PBF 中，222PF PB FB =+，∴(()222352t t =-+-解得：9352t -=当9352t -<时，点F 在矩形内部，符合题意，∴93502t -<≤符合题意，②当P 点在AB 上时，当,F A 重合时符合题意，此时如图，则2PB t BE t =-=-，PE =()325AP AB PB t t =-=--=-，在Rt PBE △中，222PE PB BE =+()()222522t t -=-+，解得：176t =，③当点P 在AD 上，当,F D 重合时，此时Q 与点C 重合，则PFQE 是正方形，此时2327t =++=综上所述，93502t -<≤或176t =或7t =．24.【答案】（1）222y x x =-++；顶点坐标为()1,3（2）()3,0A （3）1m =-或2m =-或512m +=或2112m -=（4）22m =-+23m =-或12m =-【解析】（1）解：将点(2,2)代入抛物线22y x bx =-++，得，2422b =-++解得：2b =∴抛物线解析式为222y x x =-++；∵222y x x =-++()213x =--+，∴顶点坐标为()1,3，（2）解：由222y x x =-++，当0y =时，2220x x -++=，解得：1213,13x x ==+，∵抛物线上的点B 在x 轴上时，横坐标为1m -．其中0m <．∴1m 1->∴113m -=+解得：3m =-，∵点A 的坐标为(,0)m ，∴()A ；（3）①如图所示，当111m <-<+，即0m <<时，抛物线在点P 和点B 之间的部分（包括P 、B 两点）的最高点为顶点，最低点为点P ，∵顶点坐标为()1,3，()1P 则纵坐标之差为303-=依题意，32m=-解得：1m =-；②当11m -≥+m ≤时，∵()()()21,1212B m m m ---+-+，即()21,3B m m --+，依题意，()2332m m --+=-，解得：2m =-或1m =（舍去），③当111m <-<，即0m <<则232m m -+=-，解得：512m =或152m -=（舍去），④当113m -≤3m ≥，则()2032m m --+=-，解得：2112m -=（舍去）或2112m =，综上所述，1m =-或2m =-或512m =或2112m =；（4）解：如图所示，∵B 在x 轴的上方，∴13113m -<-<+∴33m <<∵以点C 、E 、O 、D 为顶点的四边形的面积是四边形AOBC 面积的一半，线段BO 的中点为D ∴BCD CODS S = ∵AOBC AOC BOC S S S =+ ,BOC BCD CODS S S =+ ①当E 是AC 的中点，如图所示则2AOBC CEOD S S =，∴23,22m m E ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭代入222y x x =-++，即22322222m m m -+⎛⎫=-+⨯+ ⎪⎝⎭，解得：2m =-（舍去）或2m =-②同理当F 为AO 的中点时，如图所示，ACF CFO S S = ，BCD COD S S = ，则点C 、F 、O 、D 为顶点的四边形的面积是四边形AOBC 面积的一半，∴12m =解得：2m =-，③如图所示，设BOC S S = ，则12DBC S S = ，∵以点C 、E 、O 、D 为顶点的四边形的面积是四边形AOBC 面积的一半，线段BO 的中点为D ∴12CDF FDB AOC S S S S +=+ 即1122CDF CDF AOC S S S S S +=-+ ∴12AOC CDF S S = ，∴CF AO =，∴()2,3F m m --+，∵,B F 关于1x =对称，∴112m m -+-=，解得：12m =-，综上所述，2m =-+或2m =-或12m =-．。
2024年吉林省长春市中考数学真题试卷及答案
2024年吉林省长春市中考数学真题试卷一、选择题:本题共8小题,每小题3分,共24分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1. 根据有理数加法法则,计算()23+-过程正确的是（ ）A. ()32++B. ()32+-C. ()32-+D. ()32--2. 南湖公园是长春市著名旅游景点之一,图①是公园中“四角亭”景观的照片,图①是其航拍照片,则图①是“四角亭”景观的（ ）．A. 主视图B. 俯视图C. 左视图D. 右视图3. 在剪纸活动中,小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形,其中正五边形的一条边与矩形的边重合,如图所示,则α∠的大小为（ ）A. 54B. 60C. 70D. 724. 下列运算一定正确的是（ ）A. 236a a a ⋅=B. 236a a a ⋅=C. ()222ab a b =D. ()235a a = 5. 不等关系在生活中广泛存在．如图,a ,b 分别表示两位同学的身高,c 表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（ ）A. 若a b >,则a c b c +>+B. 若a b >,b c >,则a c >C. 若a b >,0c >,则ac bc >D. 若a b >,0c >,则a b c c> 6. 2024年5月29日16时12分,“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点A 时,位于海平面R 处的雷达测得点R 到点A 的距离为a 千米,仰角为θ,则此时火箭距海平面的高度AL 为（ ）A. sin a θ千米B. sin a θ千米C. cos a θ千米D. cos a θ千米 7. 如图,在ABC 中,O 是边AB 的中点．按下列要求作图:①以点B 为圆心、适当长为半径画弧,交线段BO 于点D ,交BC 于点E ;①以点O 为圆心,BD 长为半径画弧,交线段OA 于点F ;①以点F 为圆心,DE 长为半径画弧,交前一条弧于点G ,点G 与点C 在直线AB 同侧; ①作直线OG ,交AC 于点M ．下列结论不一定成立的是（ ）A. AOM B ∠=∠B. 180OMC C ∠+∠=C. AM CM =D. 12OM AB = 8. 如图,在平面直角坐标系中,点O 是坐标原点,点()4,2A 在函数()0,0k y k x x=>>的图象上．将直线OA 沿y 轴向上平移,平移后的直线与y 轴交于点B ,与函数()0,0k y k x x =>>的图象交于点C ．若BC =,则点B 的坐标是（ ）A. (B. ()0,3C. ()0,4D. (0, 二、填空题:本题共6小题,每小题3分,共18分．9. 单项式22a b -的次数是_____．10. 计算=____．11. 若抛物线2y x x c =-+（c 是常数）与x 轴没有交点,则c 的取值范围是________． 12. 已知直线y kx b =+（k ,b 是常数）经过点()1,1,且y 随x 的增大而减小,则b 的值可以是________．（写出一个即可）13. 一块含30︒角的直角三角板ABC 按如图所示的方式摆放,边AB 与直线l 重合,12cm AB =．现将该三角板绕点B 顺时针旋转,使点C 的对应点C '落在直线l 上,则点A 经过的路径长至少为________cm ．（结果保留π）14. 如图,AB 是半圆的直径,AC 是一条弦,D 是AC 的中点,DE AB ⊥于点E ,交AC 于点F ,DB 交AC 于点G ,连结AD ．给出下面四个结论:①ABD DAC ∠=∠;①AF FG =;①当2DG =,3GB =时,2FG =; ①当2BD AD =,6AB =时,DFG上述结论中,正确结论的序号有________．三、解答题:本题共10小题,共78分．15. 先化简,再求值:32222x x x x ---,其中x =． 16. 2021年吉林省普通高中开始施行新高考选科模式,此模式有若干种学科组合,每位高中生可根据自己的实际情况选择一种．一对双胞胎姐妹考入同一所高中且选择了相同组合,该校要将所有选报这种组合的学生分成A ,B ,C 三个班,其中每位学生被分到这三个班的机会均等．用画树状图（或列表）的方法,求这对双胞胎姐妹被分到同一个班的概率． 17. 《九章算术》被历代数学家尊为“算经之首”．下面是其卷中记载的关于“盈不足”的一个问题:今有共买金,人出四百,盈三千四百;人出三百,盈一百．问人数、金价各几何？这段话的意思是:今有人合伙买金,每人出400钱,会剩余3400钱;每人出300钱,会剩余100钱．合伙人数、金价各是多少？请解决上述问题．18. 如图,在四边形ABCD 中,90A B ∠=∠=︒,O 是边AB 的中点,AOD BOC ∠=∠．求证:四边形ABCD 是矩形．19. 某校为调研学生对本校食堂的满意度,从初中部和高中部各随机抽取20名学生对食堂进行满意度评分（满分10分）,将收集到的评分数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息:a ．高中部20名学生所评分数的频数分布直方图如下图:（数据分成4组:67x ≤<,78x ≤<,89x ≤<,910x ≤≤）b．高中部20名学生所评分数在89≤<这一组的是:x8.08.18.28.28.48.58.68.78.8c．初中部、高中部各20名学生所评分数的平均数、中位数如下:根据以上信息,回答下列问题:（1）表中m的值为________;（2）根据调查前制定的满意度等级划分标准,评分不低于8.5分为“非常满意”．①在被调查的学生中,设初中部、高中部对食堂“非常满意”的人数分别为a,b,则a________b;（填“>”“<”或“=”）①高中部共有800名学生在食堂就餐,估计其中对食堂“非常满意”的学生人数．20. 图①,图①,图①均是33⨯的正方形网格,每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点．点A,B均在格点上,只用无刻度的直尺,分别在给定的网格中按下列要求作四边形ABCD,使其是轴对称图形且点C,D均在格点上．（1）在图①中,四边形ABCD面积为2;（2）在图①中,四边形ABCD面积为3;（3）在图①中,四边形ABCD面积为4．21. 区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点,根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶,其间经过一段长度为20千米的区间测速路段,从该路段起点开始,他先匀速行驶112小时,再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计）,当他到达该路段终点时,测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程y（千米）与在此路段行驶的时间x（时）之间的函数图象如图所示．（1）a的值为________;（2）当112x a≤≤时,求y与x之间的函数关系式;（3）通过计算说明在此区间测速路段内,该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时）22. 【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题:如图①,在等边ABC 中,3AB =,点M ,N 分别在边AC ,BC 上,且AM CN =,试探究线段MN 长度的最小值．【问题分析】小明通过构造平行四边形,将双动点问题转化为单动点问题,再通过定角发现这个动点的运动路径,进而解决上述几何问题．【问题解决】如图①,过点C ,M 分别作MN ,BC 的平行线,并交于点P ,作射线AP ．在【问题呈现】的条件下,完成下列问题:（1）证明:AM MP =;（2）CAP ∠的大小为________度,线段MN 长度的最小值为________．【方法应用】某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理,如图①．小明收集了该房屋的相关数据,并画出了示意图,如图①,ABC 是等腰三角形,四边形BCDE 是矩形,2AB AC CD ===米,30ACB ∠=︒．MN 是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳,点M 在AC 上,点N 在DE 上．在调整钢丝绳端点位置时,其长度也随之改变,但需始终保持AM DN =．钢丝绳MN 长度的最小值为多少米．BC=．点D是边BC上的一点（点D不与点B,C重合）, 23. 如图,在ABC中,5AB AC==,6作射线AD,在射线AD上取点P,使AP BD=,以AP为边作正方形APMN,使点M和点C在直线AD同侧．（1）当点D是边BC的中点时,求AD的长;（2）当4BD=时,点D到直线AC的距离为________;（3）连结PN,当PN AC⊥时,求正方形APMN的边长;（4）若点N到直线AC的距离是点M到直线AC距离的3倍,则CD的长为________．（写出一个即可）24. 在平面直角坐标系中,点O 是坐标原点,抛物线22y x x c =++（c 是常数）经过点()2,2--．点A ,B 是该抛物线上不重合的两点,横坐标分别为m ,m -,点C 的横坐标为5m -,点C 的纵坐标与点A 的纵坐标相同,连结AB ,AC ．（1）求该抛物线对应的函数表达式;（2）求证:当m 取不为零的任意实数时,tan CAB ∠的值始终为2;（3）作AC 的垂直平分线交直线AB 于点D ,以AD 为边,AC 为对角线作菱形ADCE ,连结DE ．①当DE 与此抛物线的对称轴重合时,求菱形ADCE 的面积; ①当此抛物线在菱形ADCE 内部的点的纵坐标y 随x 的增大而增大时,直接写出m 的取值范围．2024年吉林省长春市中考数学真题试卷一、选择题．1. 【答案】D2. 【答案】B3. 【答案】D4. 【答案】C5. 【答案】A6. 【答案】A7. 【答案】D8. 【答案】B【解析】解:如图,过点A 作x 轴的垂线交x 轴于点E,过点C 作y 轴的垂线交y 轴于点D,则AE y ∥轴①()4,2A①4OE =,222425OA①sinOE OAE OA ∠=== ①()4,2A 在反比例函数的图象上①428k =⨯=．①将直线OA 向上平移若干个单位长度后得到直线BC①OA BC ∥①OAE BOA ∠=∠①AE y ∥轴①DBC BOA ∠=∠①DBC OAE ∠=∠①sin si n CD DBC OAE BC ∠===∠=解得:2CD =,即点C 的横坐标为2 将2x =代入8y x =,得4y = ①C 点的坐标为()2,4①2CD =,4OD =①1BD =①413OB OD BD =-=-=①()0,3B故选:B ．二、填空题．9. 【答案】310.11. 【答案】14c > 12. 【答案】2（答案不唯一）13. 【答案】203π 14. 【答案】①①①【解析】解:如图:连接DC①D 是AC 的中点①AD DC =①ABD DAC ∠=∠,即①正确;①AB 是直径①90ADB ∠=︒①90DAC AGD ∠+∠=︒①DE AB ⊥①90BDE ABD①ABD DAC ∠=∠①BDE AGD ∠=∠①DF FG =①90BDE ABD ,90BDE ADE ∠+∠=︒①ADE ABD ∠=∠①ABD DAC ∠=∠①ADE DAC ∠=∠①AF FD =①AF FG =,即①正确;在ADG △和BDA △90ADG BDA DAG DBA ∠=∠=︒⎧⎨∠=∠⎩①∽ADG BDA ①AD GD BD AD =,即AD GD DG BG AD=+①223AD AD =+,即AD =①AG ①AF FG =①122FG AG ==,即①正确; 如图:假设半圆的圆心为O,连接,,OD CO CD①2BD AD =,6AB =,D 是AC 的中点 ①1,3AD DC AB == ①60AOD DOC ∠=∠=︒①OA OD OC ==①,AOD ODC 是等边三角形①6OA AD CD OC OD =====,即ADCO 是菱形 ①1302DAC OAC DAO ∠=∠=∠=︒ ①90ADB ∠=︒ ①tan tan 30DG DAC AD ∠=︒=,6DG =,解得:DG =①11622ADG S AD DG =⋅=⨯⨯=①AF FG = ①1332DFG ADG S S ==,即①错误．故答案为:①①①．三、解答题．15. 【答案】2x ,216. 【答案】1317. 【答案】共33人合伙买金,金价为9800钱18. 证明:①O 是边AB 的中点 ①OA OB =在AOD △和BOC 中,90A B OA OBAOD BOC ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩①AOD BOC ≌△△①AD BC =①90A B∠=∠=︒①AD BC ∥①四边形ABCD 是平行四边形①90A B ∠=∠=︒①四边形ABCD 是矩形．19. 【答案】（1）8.3（2）①>;①估计其中对食堂“非常满意”的学生人数为360人【小问1详解】解:由题意知,高中部评分的中位数为第1011，位数的平均数,即8.28.48.32m +== 故答案为:8.3;【小问2详解】 ①解:由题意知,初中部评分的中位数为8.5,高中部评分的中位数为8.3 ①a b >故答案为:>;①解:①4580036020+⨯= ①估计其中对食堂“非常满意”的学生人数为360人．20. 【小问1详解】解:如图①:四边形ABCD 即为所求;（不唯一）．【小问2详解】解:如图①:四边形ABCD 即为所求;（不唯一）．【小问3详解】解:如图①:四边形ABCD 即为所求;（不唯一）．21. 【答案】（1）15（2）11902125y x x ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭ （3）没有超速【小问1详解】解:由题意可得:10020a =,解得:15a =． 故答案为:15． 【小问2详解】解:设当11125x ≤≤时,y 与x 之间的函数关系式为()0y kx b k =+≠ 则:11761205k b k b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得:902k b =⎧⎨=⎩ ①11902125y x x ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭． 【小问3详解】解:当112x =时,19029.512y =⨯+= ①先匀速行驶112小时的速度为:19.5114/12÷=（千米时） ①114120＜①辆汽车减速前没有超速．22. 【答案】问题解决:（1）见解析（2）30,32;方法应用:线段MN 米 【解析】解:问题解决:（1）证明:过点C ,M 分别作MN ,BC 的平行线,并交于点P ,作射线AP∴四边形MNCP 是平行四边形NC MP MN PC ，AM NC AM MP ∴=;（2）在等边ABC 中,60ACB ∠=︒MP CN ∥60PMC ACBAM MP =30CAP MPA ;当CP AP ⊥时,CP 最小,此时MN 最小在Rt ACP 中,3,30AC CAP 13322CP ∴线段MN 长度的最小值为32; 方法应用:过点D ,M 分别作MN ,ED 的平行线,并交于点H ,作射线AH ,连接AD ∴四边形MNDH 是平行四边形,ND MH MN DH MH ED ，∥AM NDAM MH ∴=四边形BCDE 是矩形,90BC ED BCD ∥BC MH ∥30ACB CMHAM MH =15MAH3m,120AC CD ACDACB BCD30DAC ∴∠=︒ 45DAH ∴∠=︒∴当DH AH ⊥时,DH 最小,此时MN 最小 作CR AD ⊥于点R在Rt ACR 中,3,30AC CAR 13322CR 332AR 233AD AR在Rt ADH 中,33,45AD DAH 2363322DH AH∴线段MN 米． 23. 【答案】（1）4 （2）85（3）177 （4）256或259 【小问1详解】解:根据题意可知:5AB AC ==ABC ∴为等腰三角形,故点D 是边BC 的中点时,AD BC ⊥;在Rt ADC 中,4AD ====;根据题意作DH AC ⊥,如图所示;当4BD =时,则2CD =设点D 到直线AC 的距离为DH h = 1124522ACD S h =⨯⨯=⨯⨯ 解得:85h =; 【小问3详解】如图,当NP AC ⊥时,点M 落在AC 上设AP x =,则BD x =,6CD x =- 过点D 作DH AC ⊥于Q 则()33655CQ CD x ==-,()44655DQ CD x ==- ()44655AQ DQ CD x ===- AQ CQ AC +=()()3466555x x ∴-+-= 解得:177x =故177=AP 所以正方形APMN 的边长为177;如图,M ,N 在AC 异侧时;设MQ m =,3NQ m =,则4AN m = ANQ ∴三边的比值为3:4:5 AQN C ∴∠=∠ CAD C ∴∠=∠ ∴CDE ANQ ∽ CE CD NQ AQ= ∴5525326CD =⨯= 当M ,N 在AC 同侧设MQ m =,则3AN AP m ==,2PQ m =APO ∴三边比为2:AQD ∴三边比为2:设CD x =,则35CH x =,45DH x =,3425AH x =⨯3345525x x ∴+⨯= 解得:259CD x == 综上所述:CD 的长为256或259 24. 【答案】（1）222y x x =+-（2）见详解 （3）①9ADCE S =菱形;①3m ≤-或10m -≤<或04m <≤【小问1详解】解:将()2,2--代入22y x x c =++得:442c -+=-解得:2x =-①抛物线表达式为:222y x x =+-;【小问2详解】解:过点B 作BH AC ⊥于点H,则90AHB ∠=︒由题意得:()()22,22,,22A m m m B m m m +---- ①4A B BH y y m =-=,2A B AH x x m =-=①在Rt AHB △中,4tan 22m BH CAB AH m∠===; 【小问3详解】解:①如图,记,AC DE 交于点M由题意得,()25,22C m m m -+- 由2122b a -=-=- 得:对称轴为直线:=1x -①四边形ADCE 是菱形①点A,C 关于DE 对称,2,2AC AM DE DM == ①DE 与此抛物线的对称轴重合 ①512m m -+=- 解得:12m =①12A x = ①()13122AM =--= ①3AC = ①tan 232DM DM CAB AM∠=== ①3DM =,则6DE = ①192ADCE S DE AC =⨯=菱形; ①记抛物线顶点为点F,把=1x -代入222y x x =+-,得:=3y - ①()1,3--F①抛物线在菱形ADCE 内部的点的纵坐标y 随x 的增大而增大 ①菱形中只包含在对称轴右侧的抛物线当0m >时,如图,符合题意当m 继续变大,直至当直线CD 经过点F 时,符合题意,如图:过点F 作FQ AC ⊥于点Q①四边形ADCE 是菱形①DA DC =①CAD FCQ ∠=∠ ①tan tan 2FQ FCQ CAD CQ∠=∠== ①()()2223215m m m +---=---解得:4m =-4m =①04m <≤-当4m>-,如图,发现此时菱形包含了对称轴左侧的抛物线,不符合题意;m<时,如图,符合题意:当0当m继续变小,直至点A与点F重合,此时1m=-,符合题意,如图:①10m-≤<;当m继续变小,直至直线AE经过点F时,也符合题意,如图:过点F 作FQ AC ⊥于点Q,同上可得tan 2FQ FAQ AQ∠== ①()222321m m m+---=-- 解得:3m =-或1m =-（舍）当m 继续变小时,仍符合题意,如图:①3m ≤-综上所述,m 的取值范围为:3m ≤-或10m -≤<或04m <≤。
2024年吉林省中考数学试题(含解析)
吉林省2024年初中学业水平考试数学试题数学试卷共7页，包括六道大题，共26道小题，全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．一、单项选择题（每小题2分，共12分）1.若()3-⨯ 的运算结果为正数，则W 内的数字可以为（）A.2 B.1 C.0 D.1-2.长白山天池系由火山口积水成湖，天池湖水碧蓝，水平如镜，群峰倒映，风景秀丽，总蓄水量约达32040000000m ，数据2040000000用科学记数法表示为（）A.102.0410⨯ B.92.0410⨯ C.820.410⨯ D.100.20410⨯3.葫芦在我国古代被看作吉祥之物．下图是—个工艺葫芦的示意图，关于它的三视图说法正确的是（）A.主视图与左视图相同B.主视图与俯视图相同C.左视图与俯视图相同D.主视图、左视图与俯视图都相同4.下列方程中，有两个相等实数根的是（）A.()221x -=- B.()220x -=C.()221x -= D.()222x -=5.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()4,0-，点C 的坐标为()0,2．以OA OC ，为边作矩形OABC ，若将矩形OABC 绕点O 顺时针旋转90︒，得到矩形OA B C '''，则点B '的坐标为（）A.()4,2--B.()4,2-C.()2,4D.()4,26.如图，四边形ABCD 内接于O ，过点B 作BE AD ∥，交CD 于点E ．若50BEC ∠=︒，则ABC ∠的度数是（）A.50︒B.100︒C.130︒D.150︒二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．7.当分式11x +的值为正数时，写出一个满足条件的x 的值为______．8.因式分解：a 2﹣3a=_______．9.不等式组2030x x ->⎧⎨-<⎩的解集为______．10.如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是______．11.正六边形的每个内角等于______________°．12.如图，正方形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ，点E 是OA 的中点，点F 是OD 上一点．连接EF ．若45FEO ∠=︒，则EF BC的值为______．13.图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB AB '=，AB B C '⊥于点C ，0.5BC =尺，2B C '=尺．设AC 的长度为x 尺，可列方程为______．14.某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地，小明绘制的铅球场地设计图如图所示，该场地由O 和扇形OBC 组成，,OB OC 分别与O 交于点A ，D ．1m OA =，10m OB =，40AOD ∠=︒，则阴影部分的面积为______2m （结果保留π）．三、解答题（每小题5分，共20分）15.先化简，再求值：()()2111a a a +-++，其中3a =16.吉林省以“绿水青山就是金山银山，冰天雪地也是金山银山”为指引，不断加大冰雪旅游的宣传力度，推出各种优惠活动，“小土豆”“小砂糖橘”等成为一道靓丽的风景线，某滑雪场为吸引游客，每天抽取一定数量的幸运游客，每名幸运游客可以从“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目中随机抽取一个免费游玩．若三个项目被抽中的可能性相等，用画树状图或列表的方法，求幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率．17.如图，在ABCD Y 中，点O 是AB 的中点，连接CO 并延长，交DA 的延长线于点E ，求证：AE BC =．18.钢琴素有“乐器之王”的美称，键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个．求白色琴键和黑色琴键的个数．四、解答题（每小题7分，共28分）19.图①、图②均是44⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A ，B ，C ，D ，E ，O 均在格点上．图①中已画出四边形ABCD ，图②中已画出以OE 为半径的O ，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．（1）在图①中，面出四边形ABCD的一条对称轴．的切线．（2）在图②中，画出经过点E的O20.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．（1）求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）．（2）当电阻R为3Ω时，求此时的电流I．-年全国居民人均可支配收入及其增长速度情况如图所示．21.中华人民共和国20192023根据以上信息回答下列问题：-年全国居民人均可支配收入中，收入最高的一年比收入最低的一年多多（1）20192023少元？-年全国居民人均可支配收入的中位数．（2）直接写出20192023（3）下列判断合理的是______（填序号）．-年全国居民人均可支配收入里逐年上升趋势．①20192023②20192023-年全国居民人均可支配收入实际增长速度最慢的年份是2020年．因此这5年中，2020年全国居民人均可支配收入最低．22.图①中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”．某直升飞机于空中A 处探测到吉塔，此时飞行高度873m AB =，如图②，从直升飞机上看塔尖C 的俯角37EAC ∠=︒，看塔底D 的俯角45EAD ∠=︒，求吉塔的高度CD （结果精确到0.1m ）．（参考数据：sin 370.60︒=，cos370.80︒=，tan 370.75︒=）五、解答题（每小题8分，共16分）23.综合与实践某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究，第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识：第三小组负责汇报和交流，下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题．【背景调查】图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美．【收集数据】小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为x ，凳面的宽度为mm y ，记录如下：x16.519.823.126.429.7以对称轴为基准向两边各取相同的长度/mmy115.5132148.5165181.5凳面的宽度/mm【分析数据】如图③，小组根据表中x，y的数值，在平面直角坐标系中描出了各点．【建立模型】请你帮助小组解决下列问题：（1）观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由．（2）当凳面宽度为213mm时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？24.小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联，下面是他的研究过程：【探究论证】（1）如图①，在ABC 中，AB BC =，BD AC ⊥，垂足为点D ．若2CD =，1BD =，则ABC S = ______．（2）如图②，在菱形A B C D ''''中，4''=A C ，2B D ''=，则A B C D S ''''=菱形______．（3）如图③，在四边形EFGH 中，EG FH ⊥，垂足为点O ．若5EG =，3FH =，则EFGH S =四边形______；若EG a =，FH b =，猜想EFGH S 四边形与a ，b 的关系，并证明你的猜想．【理解运用】（4）如图④，在MNK △中，3MN =，4KN =，5MK =，点P 为边MN 上一点．小明利用直尺和圆规分四步作图：（ⅰ）以点K 为圆心，适当长为半径画弧，分别交边KN ，KM 于点R ，I ；（ⅱ）以点P 为圆心，KR 长为半径画弧，交线段PM 于点I '；（ⅲ）以点I '为圆心，IR 长为半径画弧，交前一条弧于点R '，点R '，K 在MN 同侧；（ⅳ）过点P 画射线PR '，在射线PR '上截取PQ KN =，连接KP ，KQ ，MQ ．请你直接写出MPKQ S 四边形的值．六、解答题（每小题10分，共20分）25.如图，在ABC 中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，3cm AC =，AD 是ABC 的角平分线．动点P 从点A 出发，/s 的速度沿折线AD DB -向终点B 运动．过点P 作PQ AB ∥，交AC 于点Q ，以PQ 为边作等边三角形PQE ，且点C ，E 在PQ 同侧，设点P 的运动时间为()()s 0t t >，PQE V 与ABC 重合部分图形的面积为()2cm S ．（1）当点P 在线段AD 上运动时，判断APQ △的形状（不必证明），并直接写出AQ 的长（用含t 的代数式表示）．（2）当点E 与点C 重合时，求t 的值．（3）求S 关于t 的函数解析式，并写出自变量t 的取值范围．26.小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图（1）所示，输入x 的值为2-时，输出y 的值为1；输入x 的值为2时，输出y 的值为3；输入x 的值为3时，输出y 的值为6．（1）直接写出k ，a ，b 的值．（2）小明在平面直角坐标系中画出了关于x 的函数图像，如图（2）．Ⅰ．当y 随x 的增大而增大时，求x 的取值范围．Ⅱ．若关于x 的方程230ax bx t ++-=（t 为实数），在04x <<时无解，求t 的取值范围．Ⅲ．若在函数图像上有点P ，Q （P 与Q 不重合）．P 的横坐标为m ，Q 的横坐标为1m -+．小明对P ，Q 之间（含P ，Q 两点）的图像进行研究，当图像对应函数的最大值与最小值均不随m 的变化而变化，直接写出m 的取值范围．参考答案一、单项选择题（每小题2分，共12分）1.【答案】D【解析】解：()326-⨯=-，()313-⨯=-，()300-⨯=，()()313-⨯-=，四个算式的运算结果中，只有3是正数，故选：D ．2.【答案】B【解析】解：92040000000 2.0410⨯=故选B ．3.【答案】A【解析】解：葫芦的俯视图是两个同心圆，且带有圆心，主视图和俯视图都是下面一个较大的圆，中间一个较小的圆，上面是一条线段，故选：A ．4.【答案】B【解析】解：A 、()2210x -=-<，故该方程无实数解，故本选项不符合题意；B 、()220x -=，解得：122x x ==，故本选项符合题意；C 、()221x -=，21x -=±，解得123,1x x ==，故本选项不符合题意；D 、()222x -=，2x -=，解得1222x x ==-，故本选项不符合题意．故选：B ．5.【答案】C【解析】解：∵点A 的坐标为()4,0-，点C 的坐标为()0,2，∴42OA OC ==，，∵四边形OABC 是矩形，∴290AB OC ABC ===︒，∠，∵将矩形OABC 绕点O 顺时针旋转90︒，得到矩形OA B C '''，∴42OA OA A B AB '''====，，90OA B ''∠=︒，∴A B y ''⊥轴，∴点B '的坐标为()2,4，故选：C ．6.【答案】C【解析】解：∵BE AD ∥，50BEC ∠=︒，∴50D BEC ∠=∠=︒，∵四边形ABCD 内接于O ，∴180ABC D ∠+∠=︒，∴18050130ABC ∠=︒-︒=︒,故选：C ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．7.【答案】0（答案不唯一）【解析】解：∵分式11x +的值为正数，∴10x +>，∴1x >-，∴满足题意的x 的值可以为0，故答案为：0（答案不唯一）．8.【答案】a （a ﹣3）【解析】解：a 2﹣3a=a （a ﹣3）．故答案为a （a ﹣3）．9.【答案】23x <<##32x >>【解析】解：2030x x ->⎧⎨-<⎩①②解不等式①得：2x >，解不等式②得：3x <，∴原不等式组的解集为23x <<，故答案为：23x <<．10.【答案】两点之间，线段最短【解析】从长春站去往胜利公园，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是：两点之间，线段最短故答案为：两点之间，线段最短．11.【答案】120【解析】解：六边形的内角和为：（6-2）×180°=720°，∴正六边形的每个内角为：7201206︒=︒，故答案为：12012.【答案】12【解析】解：∵正方形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ，∴45OAD ∠=︒，AD BC =，∵点E 是OA 的中点，∴12OE OA =，∵45FEO ∠=︒，∴EF AD ∥，∴OEF OAD △∽△，∴12EF OE AD OA ==，即12EF BC =，故答案为：12．13.【答案】()22220.5x x +=+【解析】解：设AC 的长度为x 尺，则0.5AB AB x '==+，∵AB B C '⊥，由勾股定理得：222AC B C AB ''+=，∴()22220.5x x +=+，故答案为：()22220.5x x +=+．14.【答案】11π【解析】解：由题意得：()224010111360S ππ-==阴影，故答案为：11π．三、解答题（每小题5分，共20分）15.【答案】22a ，6【解析】解：原式2211a a =-++22a =，当a =原式22=⨯6=．16.【答案】13【解析】解：将“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目分别记为事件A 、B 、C ，可画树状图为：由树状图可知共有9种等可能的结果数，小明与小亮恰好抽中同一个项目的结果数有3种，∴幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率3193P ==．17.【答案】证明见解析【解析】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，∴OAE OBC OCB E ==∠∠，∠∠，∵点O 是AB 的中点，∴OA OB =，∴()AAS AOE BOC △≌△，∴AE BC =．18.【答案】白色琴键52个，黑色琴键36个【解析】解：设黑色琴键x 个，则白色琴键()16x +个，由题意得：()1688x x ++=，解得：36x =，∴黑色琴键由：361652+=（个），答：白色琴键52个，黑色琴键36个．四、解答题（每小题7分，共28分）19.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【小问1详解】解：如图所示，取格点E 、F ，作直线EF ，则直线EF 即为所求；易证明四边形ABCD 是矩形，且E 、F 分别为AB CD ，的中点；【小问2详解】解：如图所示，取格点G H 、，作直线GH ，则直线GH 即为所求；易证明四边形OGTH 是正方形，点E 为正方形OGTH 的中心，则OE GH ⊥．20.【答案】（1）36I R =（2）12A【解析】【小问1详解】解：设这个反比例函数的解析式为()0U I U R=≠，把()94，代入()0U I U R=≠中得：()409U U =≠，解得36U =，∴这个反比例函数的解析式为36I R =；【小问2详解】解：在36I R =中，当3R =Ω时，3612A 3I ==，∴此时的电流I 为12A ．21.【答案】（1）8485元（2）35128元（3）①【解析】【小问1详解】解：39218307338485-=元，答：20192023-年全国居民人均可支配收入中，收入最高的一年比收入最低的一年多8485元．【小问2详解】解：20192023-年这五年的全国居民人均可支配收入分别为30733元，32189元，35128元，36883元，39218元，∴20192023-年全国居民人均可支配收入的中位数为35128元；【小问3详解】解：由统计图可知20192023-年全国居民人均可支配收入里逐年上升趋势，故①正确；由统计图可知20192023-年全国居民人均可支配收入实际增长速度最慢的年份是2020年．但这5年中，2019年全国居民人均可支配收入最低，故②错误；故答案为：①．22.【答案】218.3m【解析】解：延长DC 交AE 于点G ，由题意得873m AB DG ==，90DGA ∠=︒在Rt GAD 中，45EAD ∠=︒，∴873tan DGAG DG EAD ===∠，在Rt GAC △中，37EAC ∠=︒，∴tan 8730.75654.75CG AG EAC =⋅∠=⨯=，∴873654.75218.3m CD DG CG =-=-≈，答：吉塔的高度CD 约为218.3m ．五、解答题（每小题8分，共16分）23.【答案】（1）在同一条直线上，函数解析式为：533y x =+（2）36mm 【解析】【小问1详解】解：设函数解析式为：()0y kx b k =+≠，∵当16.5,115.5x y ==，23.1,148.5x y ==，∴16.5115.523.1148.5k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：533k b =⎧⎨=⎩，∴函数解析式为：533y x =+，经检验其余点均在直线533y x =+上，∴函数解析式为533y x =+，这些点在同一条直线上；【小问2详解】解：把213y =代入533y x =+得：533213x +=，解得：36x =，∴当凳面宽度为213mm 时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度为36mm ．24.【答案】（1）2，（2）4，（3）152，12EFGH ab S =四边形，证明见详解，（4）10【解析】（1）∵在ABC 中，AB BC =，BD AC ⊥，2CD =，∴2AD CD ==，∴4AC =，∴122ABC S AC BD =⨯⨯=V ，故答案为：2；（2）∵在菱形A B C D ''''中，4''=A C ，2B D ''=，∴142A B C D S B D A C ''''''''=⨯⨯=菱形，故答案为：4；（3）∵EG FH ⊥，∴12EFG S EG FO =⨯⨯ ，12EHG S EG HO =⨯⨯ ，∵EFG EHG EFGH S S S =+ 四边形，∴()111222EFGH S EG FO EG HO EG FO HO =⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+四边形，∴()1122EFGH S EG FO HO EG FH =⨯⨯+=⨯⨯四边形，∵5EG =，3FH =，∴11522EFGH S EG FH =⨯⨯=四边形，故答案为：152，猜想：12EFGH ab S =四边形，证明：∵EG FH ⊥，∴12EFG S EG FO =⨯⨯ ，12EHG S EG HO =⨯⨯ ，∵EFG EHG EFGH S S S =+ 四边形，∴()111222EFGH S EG FO EG HO EG FO HO =⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+四边形，∴()1122EFGH S EG FO HO EG FH =⨯⨯+=⨯⨯四边形，∵EG a =，FH b =，∴12EFGH ab S =四边形；（4）根据尺规作图可知：QPM MKN ∠=∠，∵在MNK △中，3MN =，4KN =，5MK =，∴222MK KN MN =+，∴MNK △是直角三角形，且90MNK ∠=︒，∴90NMK MKN ∠+∠=︒，∵QPM MKN ∠=∠，∴90NMK QPM ∠+∠=︒，∴MK PQ ⊥，∵4PQ KN ==，5MK =，∴根据（3）的结论有：1102MPKQ S MK PQ =⨯⨯=四边形．六、解答题（每小题10分，共20分）25.【答案】（1）等腰三角形，AQ t =（2）32t =（3）()22233,04232421,242S t t S t S t t ⎧=<≤⎪⎪⎪⎪=-+-<<⎨⎪⎪=-≤<⎪⎪⎩【解析】【小问1详解】解：过点Q 作QH AD ⊥于点H，由题意得：AP =∵90C ∠=︒，30B ∠=︒，∴60BAC ∠=︒，∵AD 平分BAC ∠，∴30PAQ BAD ∠=∠=︒，∵PQ AB ∥，∴30APQ BAD ∠=∠=︒，∴PAQ APQ =∠∠，∴QA QP =，∴APQ △为等腰三角形，∵QH AP ⊥，∴1322HA AP t ==，∴在Rt AHQ △中，cos AH AQ t PAQ ==∠；【小问2详解】解：如图，∵PQE V 为等边三角形，∴QE QP =，由（1）得QA QP =，∴QE QA =，即223AE AQ t ===，∴32t =；【小问3详解】解：当点P 在AD 上，点E 在AC 上，重合部分为PQE V ，过点P 作PG QE ⊥于点G ，∵30PAQ ∠=︒，∴1322PG AP t ==，∵PQE V 是等边三角形，∴QE PQ AQ t ===，∴21324S QE PG t =⋅=，由（2）知当点E 与点C 重合时，32t =，∴233042S t t ⎛⎫=<≤ ⎪⎝⎭；当点P 在AD 上，点E 在AC 延长线上时，记PE 与AC 交于点F ，此时重合部分为四边形FPQC ，如图，∵PQE V 是等边三角形，∴60E ∠=︒，而23CE AE AC t =-=-，∴)tan 23CF CE E t =⋅∠=-，∴())()2113232323222FCE S CE CF t t t =⋅=--=- ，∴()22223424PQE FCE S S S t t t =-=--=-+- ，当点P 与点D 重合时，在Rt ADC 中，cos AC AD AP DAC ====∠，∴2t =，∴23242S t ⎫=-+-<<⎪⎭；当点P 在DB 上，重合部分为PQC △，如图，∵30DAC ∠=︒90DCA ∠=︒，由上知3DC =，∴23AD =∴此时33PD t =-，∴)3331PC CD PD t t =+=-=-，∵PQE V 是等边三角形，∴60PQE ∠=︒，∴31tan 3PC QC t PQC ===-∠，∴()213122S QC PC t =⋅=-，∵30B BAD ∠=∠=︒，∴3DA DB ==，∴当点P 与点B 33t AD DB =+=解得：4t =，∴()()231242S t t =-≤<，综上所述：()2223,0427*******,242S t S t t S t t ⎧=<≤⎪⎪⎪⎪=-+-<<⎨⎪⎪=-≤<⎪⎪⎩．26.【答案】（1）1,1,2k a b ===-（2）Ⅰ：0x ≤或1x ≥；Ⅱ：2t <或11t ≥；Ⅲ：10m -≤≤或12m ≤≤【解析】【小问1详解】解：∵20x =-<，∴将2x =-，1y =代入3y kx =+，得：231k -+=，解得：1k =，∵20,30x x =>=>，∴将2,3x y ==，3,6x y ==代入23y ax bx =++得：42339336a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得：12a b =⎧⎨=-⎩；【小问2详解】解：Ⅰ，∵1,1,2k a b ===-，∴一次函数解析式为：3y x =+，二次函数解析式为：223y x x =-+当0x >时，223y x x =-+，对称为直线1x =，开口向上，∴1x ≥时，y 随着x 的增大而增大；当0x ≤时，3y x =+，10k =>，∴0x ≤时，y 随着x 的增大而增大，综上，x 的取值范围：0x ≤或1x ≥；Ⅱ，∵230ax bx t ++-=，∴23ax bx t ++=，在04x <<时无解，∴问题转化为抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <<时无交点，∵对于223y x x =-+，当1x =时，2y =∴顶点为()1,2，如图：∴当2t =时，抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <<时正好一个交点，∴当2t <时，抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <<时没有交点；当4x =，168311y =-+=，∴当11t =时，抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <≤时正好一个交点，∴当11t ≥时，抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <<时没有交点，∴当2t <或11t ≥时，抛物线223y x x =-+与直线y t =在04x <<时没有交点，即：当2t <或11t ≥时，关于x 的方程230ax bx t ++-=（t 为实数），在04x <<时无解；Ⅲ：∵,1P Q x m x m ==-+，∴()1122m m +-+=，∴点P 、Q 关于直线12x =对称，当1x =，1232y =-+=最小值，当0x =时，3y =最大值，∵当图像对应函数的最大值与最小值均不随m 的变化而变化，而当2x =时，3y =，=1x -时，2y =，∴①当12m >，如图：由题意得：11012m m -≤-+≤⎧⎨≤≤⎩，∴12m ≤≤；②当12m <，如图：由题意得：10112m m -≤≤⎧⎨≤-+≤⎩，∴10m -≤≤，综上：10m -≤≤或12m ≤≤．。
吉林省中考数学试题含答案
吉林省中考数学试题含答案2024年吉林省中考数学试题及答案一、选择题1、在下列四个数中，数值最大的是（）。
A. π B. 2π C. 3π D. 4π2、若方程 x² + mx + 2 = 0 的两个实数根分别为 x1 和 x2 ，且 x1³ + x2³ = 7，则 m 的值为（）。
A. -1 B. 1 C. -2 D. 23、等边三角形 ABC 的边长为 4，点 D 在边 AB 上，且∠ADC = 120°，则 AD 的长为（）。
A. 2 B. 3 C. 4 D. 54、若点 P 在直线 y = x 上，且到原点的距离为√5，则 P 点的坐标为（）。
A. (2,2) B. (-2,-2) C. (2,2)或(-2,-2) D. (1,1)或(-1,-1)二、填空题5、已知实数 a，b，c 满足 a² + b² = c²，且 a > b > c，则 |a|+|b|-|c| 的值为________。
51、在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，斜边 AB = 5，一条直角边的长为2，则另一条直角边的长为________。
511、若 x + y = 5，则 (x² + y²) / 5 的值为________。
三、解答题8、已知二次函数 y = ax² + bx + c 的图象经过点 A(0,3)，且对称轴为 x = -2，点 B 在抛物线上。
若 AB = 4√5，求点 B 的坐标。
81、在四边形 ABCD 中，∠A = 90°，∠B = 60°，AD = AB = 4，CD = 3。
求四边形 ABCD 的面积。
811、求根号下 (4 - sin²80°) 的值。
四、附加题11、在平面直角坐标系中，O 为原点，A(-3,0)，B(0,4)，C(3,0)，D 为第一象限内一点，且∠DAO + ∠DCO = α，求 tanα的值。
2023年吉林省长春市中考数学试卷含答案解析
绝密★启用前2023年吉林省长春市中考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 实数a、b、c、d在数轴上对应点的位置如图所示，这四个数中绝对值最小的是( )A. aB. bC. cD. d2.长春龙嘉国际机场T3A航站楼设计创意为“鹤舞长春”.如图所示.航站楼的造型如仙鹤飞翔，蕴含了对吉春大地未来发展的美好愿景.本期工程是按照满足2030年旅客吞吐量38000000人次目标设计的，其中38000000这个数用科学记数法表示为( )A. 0.38×108B. 38×106C. 3.8×108D. 3.8×1073. 下列运算正确的是( )A. a3−a2=aB. a2⋅a=a3C. (a2)3=a5D. a6÷a2=a34.如图是一个多面体的表面展开图，每个面都标注了数字.若多面体的底面是面③，则多面体的上面是( )A. 面①B. 面②C. 面⑤D. 面⑥5.如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA′、BB′的中点，只要量出A′B′的长度，就可以知道该零件内径AB的长度.依据的数学基本事实是( )A. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等B. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等C. 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例D. 两点之间线段最短6.学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳AB到地面，如图所示.已知彩旗绳与地面形成25°角(即∠BAC=25°)，彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米(即AC=32米)，则彩旗绳AB的长度为( )A. 32sin25°米B. 32cos25°米C. 32sin25∘米 D. 32cos25∘米7.如图，用直尺和圆规作∠MAN的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是( )A. AD=AEB. AD=DFC. DF=EFD. AF⊥DE8. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数y=kx(k>0,x>0)的图象上，分别以A、B为圆心，1为半径作圆，当⊙A与y轴相切、⊙B与x轴相切时，连接AB，AB=3√ 2，则k的值为( )A. 3B. 3√ 2C. 4D. 6第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9. 分解因式：m2−1=______．10. 若关于x的方程x2−2x+c=0有两个不相等的实数根，则实数c的取值范围是______ ．11. 2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为______ 公里.(用含x的代数式表示)12.如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA′上.若OA：AA′=1：2，则△ABC与△A′B′C′的周长之比为______ ．13. 如图，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AM，展开后，再将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B′，折痕为AF，则∠AFB′的大小为______ 度.14. 2023年5月28日，C919商业首航完成——中国民就商业运营国产大飞机正式起步.12时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”(寓意“接风洗尘”，是国际民航中高级别的礼仪).如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分.如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点H处相遇.此时相遇点H距地面20米，喷水口A、B距地面均为4米.若两辆消防车同时后退10米，两条水柱的形状及喷水口A′、B′到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点H′距地面______ 米.三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。