长沙市一中高一下学期期中考试数学试卷
湖南省长沙市第一中学2011级高一下学期期中考试 数学试卷 满 分：150分 时 量：120分钟 命题人：王 辉 校对人：杨建军 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个答案中，只有一个符合题目要求． 1．已知角的终边有一点(3,4)P，则cos （ ）
A．45 B．45 C．35 D．35 2．根据统计显示，某人射击1次，命中8环、9环、10环的概率分别为0.25、0.15、0.08，则此人射击1次，命中不足8环的概率为 （ ） A．0.77 B．0.52 C．0.48 D．0.37
3．下列函数中，周期为2，且为奇函数的是 （ ）
A．tan2yx B．1tan2yx C．sin2yx D．cos2yx 4．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右图1所示，时速在50,60的汽车 大约有 （ ）
A．30辆 B．40辆 C．60辆 D．80辆
5．已知圆的一条弦的长度等于圆的半径，则这条弦所对的圆心角的弧度数为 ( ) A．1 B. 6 C . 4 D. 3 6．已知下列三个命题， ①若a∥b，b∥c，则a∥c．
②若四边形ABCD中有ABDC，则四边形ABCD为平行四边形． ③已知A，B，C是平面内任意三点，则0ABBCCA 则其中正确命题的个数为 （ ） A．0 B．1 C．2 D．3
7．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于直线x＝π3对称，它的最小正周期为π．则函数f(x)图象的一个 对称中心是 ( ) A．(π3，1) B．(π12，0) C．(5π12，0) D．(－π12，0) 8．已知函数()lg2(0,1)xfxaxaaa满足(4)(1)(9)(0)ffff，则实数a 的取值 范围是 （ ）
0.040.030.020.01
频率组距
时速8070605040图1 A．(1,10) B．(1,10) C．(10,10) D．3(10,100) 二、填空题:本大题共7个小题，每小题5分，共35分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上． 9．一次选拔运动员，测得7名选手的身高(单位：cm)分布茎叶图如图2，记录的平均身高为177 cm， 有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为x，那么x的值为 ． 10．在如图3所示的算法流程图中，若f(x)＝2x，g(x)＝x3，则h(3)的值为 ．
11．已知tan3，则2sin3cossin2cos ．
12．若||=4,||=5AMAN，则||MN的最大值为 ． 13．将函数()sinfxx图像上所有点的横坐标都伸长为原来的2倍，再将所得图像向左平移3个单位， 然后将所得图像上所有点的纵坐标伸长为原来的3倍得函数()gx的图像，则函数()gx= ． 14．已知函数2()2sin3cos1fxxx（xR），则该函数的值域为 ． 15．有一种蚂蚁跳跃的小游戏，其游戏规则是：一只蚂蚁在平面直角坐标上从点（1,1）开始按如下 规则跳跃： （1）该蚂蚁从任一点（m,n）跳到点（2m,n）或（m,2n）； （2）如果m＞n，该蚂蚁能从（m,n）跳到（m－n ,n）， 如果m＜n，该蚂蚁能从（m,n）跳到（m , n－m）． 则在①（2,1），②（8,5），③（10,24），④（30,24）四点中，蚂蚁能到达的点是 ； 蚂蚁跳到（400,4），至少要跳跃 次．
三、解答题:本大题共75分，解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）
已知cos()2()cos()7sin()2xfxxx． （1）化简()fx的表达式； （2）若5()13f，求cos,tan的值．
17．（本小题满分12分） 已知函数()3sin()44fxx． （1）用“五点法”做出()fx在一个周期内的图像；
（2）求使3()2fx的x的集合．
图2 图3 18．（本小题满分12分） 设集合{,1}Pb，{,1,2}Qc，若,{2,3,4,5,6,7,8,9}bc，且PQ．
（1） 求b = c的概率； （2）求方程20xbxc有实根的概率．
19．（本小题满分13分） 已知圆M：22(2)1xy，设点B，C是直线l：20xy上的两点，它们的横坐标分别是
,4()tttR，点P在线段BC上，过P点作圆M的切线PA，切点为A．
（1）若0t，|MP|5，求直线PA的方程； （2）经过A，P，M三点的圆的圆心是D，求线段|DO|长的最小值()Lt．
20．（本小题满分13分） 有一个调频过滤仪其工作频率y与时间x的关系满足函数,02sin()(0,0)yAxbA． 在工作中当其接收的信息频率不超过其工作频率时，则使该信息通过，否则过滤该信息（不通过）． 已知该函数两个相邻的最大值点与最小值点分别为(,4),(,0)26． （1）求该函数的解析式； （2）设函数f (x)的图象与直线x =a，x =b及x轴所围成图形的面积称为函数f (x)在[a，b]上的面积，
已知函数y＝sinnx在[0，n]上的面积为2n（n∈N*）．若在[0,]x的时段内有频率[0,4]y的大 量信息被该调频过滤仪接收，求这些信息通过的概率．
21．（本小题满分13分） 设f(x)是定义在[0, 1]上的函数，若存在x*∈(0，1)，使得f(x)在[0, x*]上单调递增，在[x*，1]上 单调递减，则称f(x)为[0, 1]上的单峰函数，x*为峰点，包含峰点的区间为含峰区间． （1）若函数f(x)= －x2+x+1，其定义域为[0, 1]，试判断f(x)是否为[0, 1]上的单峰函数； 若f(x)为[0, 1]上的单峰函数． （2）证明：对任意的x1，x2∈(0，1)，x1＜x2，若f(x1)≥f(x2)，则(0，x2)为含峰区间； 若f(x1)≤f(x2)，则(x1，1)为含峰区间； （3）对给定的r（0＜r＜0.5），证明：存在x1，x2∈(0，1)，满足x2－x1≥2r，使得由（2）所确定 的含峰区间的长度不大于 0.5＋r ． 湖南省长沙市第一中学2011级高一下学期期中考试 数学答卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分 9． ． 10． ． 11． ． 12． ． 13． ． 14． ． 15． ； ． 三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16．（本小题满分12分）
17．（本小题满分12分） ……………………
○
……………………密………………………封…………………………线……………………… 数 学 考 室
班 级 学 号 姓 名
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案
x y O 1 3 5 7 9 1 3 -1 -3
-1 -3 18．（本小题满分12分） 座位号
19．（本小题满分13分） 20．（本小题满分13分） 21．（本小题满分13分） 湖南省长沙市第一中学2011级高一下学期期中考试 数学试卷 满 分：150分 时 量：120分钟 命题人：王 辉 校对人：杨建军 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个答案中，只有一个符合题目要求． 1．已知角的终边有一点(3,4)P，则cos （ C ）
A．45 B．45 C．35 D．35 2．根据统计显示，某人射击1次，命中8环、9环、10环的概率分别为0.25、0.15、0.08，则此人射击1次，命中不足8环的概率为 ( B ) A．0.77 B．0.52 C．0.48 D．0.37
3．下列函数中，周期为2，且为奇函数的是 （ A ）
A．tan2yx B．1tan2yx C．sin2yx D．cos2yx 4．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右图1所示，时速在50,60的汽车 大约有 （ C ）
A．30辆 B．40辆 C．60辆 D．80辆
5．已知圆的一条弦的长度等于圆的半径，则这条弦所对的圆心角的弧度数为 ( D ) A．1 B. 6 C . 4 D. 3 6．已知下列三个命题， ①若a∥b，b∥c，则a∥c．
②若四边形ABCD中有ABDC，则四边形ABCD为平行四边形． ③已知A，B，C是平面内任意三点，则0ABBCCA 则其中正确命题的个数为 （ C ） A．0 B．1 C．2 D．3
7．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于直线x＝π3对称，它的最小正周期为π.则函数f(x)图象 的一个对称中心是 ( B )
0.040.030.020.01
频率组距
时速8070605040图1
湖南省高一下学期期中数学试卷
湖南省高一下学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高一下·威远期中) 若、、、是平面内任意四点，给出下列式子：①，② ，③ ．其中正确的有（）．A . 3个B . 2个C . 1个D . 0个2. （2分） (2020高三上·苏州月考) 已知，，则（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高一下·顺德期中) 是顶角为的等腰三角形，且，则（）A .B .C .D .4. （2分） (2015高一上·腾冲期末) 若，则下列不等式不成立的是（）A .B .C .D .5. （2分） (2019高三上·安徽月考) （）A .B .C .D .6. （2分）若++=，则关于向量、、所组成的图形，以下结论正确的是（）A . 一定可以构成一个三角形B . 一定不可能构成一个三角形C . 都是非零向量时不能构成一个三角形D . 都是非零向量时可能构成一个三角形7. （2分） (2020高一下·武汉期中) 已知的内角的对边分别为，且，，，则（）A .C .D .8. （2分）(2016·温岭模拟) 已知数列{an}为等差数列， + =1，Sn为{an}的前n项和，则S5的取值范围是（）A . [﹣， ]B . [﹣5 ，5 ]C . [﹣10，10]D . [﹣5 ，5 ]9. （2分）(2019·潍坊模拟) 已知不共线向量，夹角为，，，，，在处取最小值，当时，的取值范围为（）A .B .C .D .10. （2分） (2018高一下·六安期末) 已知数列满足：，，，那么使成立的的最大值为（）A . 4B . 5C . 2411. （2分） (2016高一上·安庆期中) 已知函数f（x）=Asin（ωx+ ）（A＞0，ω＞0，x∈（﹣∞，+∞）的最小正周期为π，且f（0）= ，则函数y=f（x）在[﹣， ]上的最小值是（）A . 3B .C . ﹣3D .12. （2分）一艘客船上午9:30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30°，之后它以每小时32海里的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10:00到达B处，此时测得船与灯塔S相距8 海里，则灯塔S在B处的（）A . 北偏东75°B . 北偏东75°或东偏南75°C . 东偏南75°D . 以上方位都不对二、填空题： (共4题；共5分)13. （1分）(2018·南京模拟) 已知集合，，则 ________．14. （2分） (2020高一下·海丰月考) 已知向量， .若，则 ________，此时与的夹角为________.15. （1分） (2016高二上·杨浦期中) 已知等比数列{an}，a1=1，a4=﹣8，则S7=________．16. （1分）若直角三角形的三条边的长成等差数列，则三边从小到大之比为________三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2018高一下·雅安期中) 向量 , ,已知，且有函数 .（1）求函数的解析式及周期；（2）已知锐角的三个内角分别为，若有，边 , ，求的长及的面积.18. （10分） (2020高一下·大丰期中) 已知α∈ ，且sin ＋cos ＝ .（1）求cos α的值；（2）若sin(α－β)＝－，β∈，求cos β的值．19. （10分）(2020·枣庄模拟) 数列的前项和为，且满足，（1）设，求证：数列是等比数列；（2）设，求的最小值.20. （10分） (2016高一下·大同期末) 在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且，（1）求角B的大小；（2）若，求△ABC的面积．21. （10分）(2020·泰安模拟) 在中，内角的对边分别为，且（1）求A；（2）若，且面积的最大值为，求周长的取值范围.22. （10分） (2019高一下·重庆期中) 已知函数为奇函数，且．（1）求实数a与b的值；（2）若函数，数列为正项数列，，且当，时，，设（），记数列和的前项和分别为，且对有恒成立，求实数的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题： (共4题；共5分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共60分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。
湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试卷
湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试卷一、单选题1．已知集合{|21}A x x =-<≤，{|03}B x x =<≤，则A B = （）A ．(]2,3-B ．()2,0-C ．(]0,1D ．(]1,32．函数1()2f x x -的定义域为（）A ．2|2}3{x x x >≠且B ．2{|2}3x x x <>且C ．3{|2}2x x ≤≤D ．3{|2}2x x x ≥≠且3．已知()()5,62,6x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，则()4f =（）A ．3B ．2C ．1D ．04．设x ∈R ，则“2x ≤”是“11x -≤”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．若不等式210x tx -+<对一切132x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，恒成立，则实数t 的取值范围为（）A ．52t ≥B ．52t >C ．2t ≥D ．103t ≥6．若实数,x y 满足221x y xy ++=，则x y +的最大值是A ．6B C ．4D ．237．已知函数()1f x +是偶函数，当121x x <<时，()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(2)b f =，(3)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b c a<<D ．a b c<<8．幂函数()()22251mm f x m m x+-=--在区间()0,∞+上单调递增，且0a b +>，则()()f a f b +的值（）A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．{}0∅∈B ．集合{|2,Z}{|Z}2xx x n n x =∈=∈C ．集合{}{}3,44,3=D ．集合22{|}{|}x y x y y x ===10．已知20ax bx c ++>的解集是()2,3-，则下列说法正确的是（）A ．>0B ．不等式20cx bx a ++<的解集是11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1234b b ++的最小值是83D ．当2c =时，()236f x ax bx =+，[]12,x n n ∈的值域是[]3,1-，则21n n -的取值范围是[]2,411．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当>0时，()21f x x x =-+，则下列结论正确的是（）A ．()02f =-B ．()f x 的单调递增区间为()1,0-，()1,+∞C ．当0x <时，()21f x x x=+-D ．()0xf x <的解集为()()1,00,1-⋃三、填空题12．已知a b =，则ab ．(填“>”或“<”)13．已知()5311f x ax bx cx x=-+++，且()35f -=-，则()3f =.14．定义{},min ,=,>a a b a b b a b≤⎧⎨⎩，若函数(){}2min 33,33f x x x x =-+--+，且()f x 在区间[],m n 上的值域为37,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则区间[],m n 长度的最大值为.四、解答题15．(1)计算：111224127()10()2004-+⨯⨯-（2）已知11223x x-+=，求22122x x x x --+-+-的值.16．若关于x 的不等式2310ax x +->的解集是112A x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭.(1)求a 的值；(2)设集合=2<<1−，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，求实数m 的取值范围.17．函数()29x x ax f b--=是定义在区间()3,3-上的奇函数，且()11.4f =(1)确定()f x 的解析式，并用定义证明()f x 在区间()3,3-上的单调性;(2)解关于t 的不等式()()10.f t f t -+<18．某机床厂今年年初用100万元购入一台数控机床，并立即投入生产使用.已知该机床在使用过程中所需要的各种支出费用总和t （单位：万元）与使用时间x （*,20x x ∈≤N ，单位：年）之间满足函数关系式为：228.t x x =+该机床每年的生产总收入为50万元.设使用x 年后数控机床的盈利额为y 万元.（盈利额等于总收入减去购买成本及所有使用支出费用）.(1)写出y 与x 之间的函数关系式；(2)从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）？(3)该机床使用过程中，已知年平均折旧率为4%（固定资产使用1年后，价值的损耗与前一年价值的比率）.现对该机床的处理方案有两种：第一方案：当盈利额达到最大值时，再将该机床卖出；第二方案：当年平均盈利额达到最大值时，再将该机床卖出.研究一下哪种处理方案较为合理请说明理由.（参考数据：70.960.751≈，80.960.721≈，90.960.693≈，100.960.665≈）19．定义：对于定义在区间I 上的函数()f x 和正数(01)αα<≤，若存在正数M ，使不等式()()1212|f x f x M x x |α-≤-对任意1x ，2x I ∈恒成立，则称函数()f x 在区间I 上满足α阶李普希兹条件.(1)判断函数y x =，3y x =在R 上是否满足1阶李普希兹条件;(2)证明函数y =[)1,+∞上满足12阶李普希兹条件，并求出M 的取值范围;(3)若函数y =[)1,+∞上满足α阶李普希兹条件，求α的范围.。
长沙市一中高一期中测试数学试卷
高一第一学期期中考试数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知集合2{|1}A x x ==，集合{1,0,1}B =-则集合AB =（ ）. A ．{1,1}-B ．{1,0}-C ．{1,0,1}-D ．{1,0} 2．函数12y x =在定义域上是（ ）A ．增函数B ．减函数C ．先增后减函数D ．先减后增函数3．已知一次函数()f x 是奇函数，且过点(1,2)P ，则()f x 的解析式为（ ）.A ．()f x x =B ．()2f x x =C ．()1f x x =+D ．()31f x x =-4．函数23()x f x x-=的图象关于（ ）对称. A ．x 轴 B ．y 轴 C ．原点 D ．直线y x =5．若3log a π=，7log 6b =，2log 0.8c =，则（ ）.A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >> 6．方程12log 21x x =-的实数根的个数为（ ）.A ．0B ．1C ．2D ．不确定7．已知函数2122,,x y y x ==32log y x =，在区间(0,)+∞上一定存在0x ，当0x x >时（ ）A ．222log x x x >>B ．222log x x x >>C ．22log 2x x x >>D ．22log 2x x x >>8．集合2{|log ,1}A y y x x ==>，1{|(),1}2x B y y x ==>，则()R A B =C （ ）. A ．1{|0}2y y << B ．{|01}y y << C ．1{|1}2y y << D ．∅9．若实数x ，y 满足1||ln 0x y-=，则y 关于x 的函数的图象形状大致是（ ）.10．某种放射性元素，100年后只剩原来的一半，现有这种元素1克，3年后剩下（ ）.A ．0.015克B ．3(10.5%)-克C ．0.925克D ．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分. 把正确答案填在题中横线上）11．用二分法求函数()237xf x x =+-的零点时，已确定零点存在区间为(1,2)且(1.5)0.33f ≈．那么新的零点存在区间是 ．12．函数22x y =-的图象不过第 象限．13．某商店原价2640元的彩电以9折售出后仍可获利20%，则该种彩电的进价为 元.14．已知()f x 为奇函数，且当0x <时，2()32f x x x =++. 则当[1,3]x ∈时，()f x 的最小值是 ．15．设函数1()()lg 1f x f x x =⋅+，则(10)f = ．三、解答题（本大题共5个小题，共45分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（本小题满分8分）求函数()lg(1)f x x =+的定义域及值域.17．（本小题满分8分）已知函数2()121x f x =-+．（1）指出函数单调区间及单调性（不必证明）；（2）判定函数奇偶性并证明．18．（本小题满分8分）已知函数()log (1)a f x x =+，()log (1)a g x x =-，(0,1)a a >≠且.（1）设2a =，函数()f x 的定义域为[3,63]，求函数()f x 的最值； （2）求使()()0f x g x ->的x 的取值范围.19．（本小题满分10分）光线通过一块玻璃，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来，设光线原来的强度为a ，通过x 块玻璃后强度为y .（1）写出y 关于x 的函数关系式；（2）通过多少块玻璃后，光线强度减弱到原来的13以下？（lg30.4771≈）20．（本小题满分11分）函数22()|1|f x x x kx =-++.（1）若2k =，求函数()f x 的零点；（2）若函数()f x 在(0,2)有两个不同的零点1x ，2x ，求k 的取值范围，并证明：12114x x +<.附加题（本小题满分5分）．已知函数3()log 3a x f x x -=+(0,a >且1)a ≠．若存在实数m 、n ()m n <及a ，使得()f x 的定义域为(,)m n ，值域为(1log (1),1log (1))a a n m +-+-，分别求m 和a 的取值范围．。
湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高一下学期第二次阶段性检测(月考) 数学试题【含答案】
长沙市第一中学2023-2024学年度高一第二学期第二次阶段性检测数学时量：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数3i2ia ++是纯虚数，则实数a=（）A ．32-B ．32C ．6-D ．62．某校举行“勇士杯”学生篮球比赛，统计高一年级部分班级的得分数据如下：班级12345678得分2834343026282832则下列说法正确的是（）A ．得分的众数为34B ．得分的中位数为28C ．得分的75%分位数为33D ．得分的极差为63．已知平面,αβ，直线l ⊂α，直线m 不在平面α上，下列说法正确的是（）A ．若//,//m αββ，则//l m B ．若//,m αββ⊥，则l m ⊥C ．若//,//l m αβ，则//m βD ．若,//l m m β⊥，则αβ⊥4．已知0a >，0b >，则“1a b +>”是“14ab >”（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知正六棱柱ABCDEF -A ₁B ₁C ₁D ₁E ₁F ₁的所有棱长均为1，则这个棱柱侧面对角线E ₁D 与BC ₁所成的角的余弦值为（）A ．12B ．64C ．14D ．06．已知π3πcos 2cos 088αα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则πtan 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．12B ．43C ．1-D ．43-7．已知m R ∈，若函数1()3(10)1f x mx m x x =----<+ 在定义域内有且仅有两个不同的零点，则m 的取值范围是（）A ．9,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．（92]4-C ．11(,2)4--D ．1124⎛⎤- ⎥⎝⎦，-8．已知集合(){},,,R I a a x y x y ⊆=∈|，若对于任意,m n I ∈，以及任意[]0,1λ∈，满足()1m n I λλ+-∈，则称集合I 为“类圆集”．下列说法正确的是（）A ．集合(){}3,,A a a x y y x ==≥|为“类圆集”B ．集合(){},,ln B a a x y y x ==≤|为“类圆集”C ．集合(){}2,,C a a x y y x ==≥|不为“类圆集”D ．若,A B 都是“类圆集”，则A B ⋃也一定是“类圆集”二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．在如图所示的网格中，每一个小正方形的边长均为1，则下列说法正确的是（）A ．AB CD⊥ B ．CD 在AC方向上的投影向量为ACC ．AD 与CD的夹角为30°D ．()1AC AB CD +⋅=- 10．某学校为了解学生身高（单位：cm ）情况，采用分层随机抽样的方法从4000名学生（该校男女生人数之比为3:2）中抽取了一个容量为100的样本.其中，男生平均身高为175，方差为184，女生平均身高为160，方差为179.则下列说法正确的是参考公式：总体分为2层，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：1n ，x ，21s ，2n ，y ，22s .记总的样本平均数为ω，样本方差为2s ，则（）参考公式：()()222221122121s n s x n s y n n ωω⎡⎤⎡⎤=+++-⎣⎦⎣⎦+A ．抽取的样本里男生有60人B ．每一位学生被抽中的可能性为140C ．估计该学校学生身高的平均值为170D ．估计该学校学生身高的方差为23611．化学中经常碰到正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如六氟化硫（化学式6SF ）、金刚石等的分子结构．将一个正方体六个面的中心连线可得到一个正八面体E ABCD F --（如图），已知正方体棱长为）A ．正八面体E ABCD F --的内切球表面积8π3B ．正八面体E ABCD F --的外接球体积为8π3C ．若点P 为棱EB 上的动点，则三棱锥F ADP -的体积为定值223D ．若点P 为棱EB 上的动点（包括端点），则直线CP 与平面GHMN 所成角的正弦值的取值范围是23⎢⎣⎦三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12．设a ＞0，b ＞0，已知224log log 3a b +=，则ab ＝.13．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若3π4B =，6b =，22a c +=，则ABC 的面积为．14．定义轴截面为正三角形的圆锥为等边圆锥，轴截面为正方形的圆柱为等边圆柱，已知一个等边圆锥的底面圆的直径为2，在该圆锥内放置一个等边圆柱，并且圆柱在该圆锥内可以任意转动，则该圆柱的体积的最大值为．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知向量33cos ,sin 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，cos ,sin 22x x b ⎛⎫= ⎝⎭ ，sin ,cos 22x x c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ .(1)当π2x =时，求a b ⋅ 及a c ⋅ 的值；(2)若函数()f x a b c =⋅⋅，其中[]0,πx ∈，求()f x 的值域．16．某校高一年级进行数学计算能力大赛，数学备课组从全年级的1000名学生的成绩中抽取容量为n 的样本，构成频率分布直方图，且成绩在区间()50,60的人数为5．(1)求样本容量n 以及频率分布直方图中的x ；(2)估计全年级学生竞赛成绩的平均数；(3)从样本中得分在[80,100]的学生中随机抽取两人，问所抽取的两人中至少有一人的得分在区间[90,100]的概率是多少？17．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos 12AA +=，sin 4sin 4sin ac A C c A +=．(1)求边长a 和角A ；(2)若ABC 的面积为2，求中线AD 的长度；(3)若1bc =，求角平分线AE 的长度．18．在多面体ABCDEF 中，////AD BC EF ，且4,2AD CD DE BC EF =====，π3BCD FED ∠∠==.(1)证明：AD CE ⊥；(2)若平面ADEF ⊥平面ABCD ，求二面角A BF D --的余弦值；(3)在（2）的条件下，求该多面体ABCDEF 的体积.19．对于函数()f x ，若存在实数m ，使得()()()h x f x m f m =+-为R 上的奇函数，则称()f x 是位差值为m 的“位差奇函数”.(1)若()()sin f x x ϕ=+是位差值为π3的位差奇函数，求ϕ的值；(2)已知()22xxf x t -=-⋅，()44x x g x t-+=，若存在[)0,m ∈+∞，使得()f x 是位差值为m 的“位差奇函数”.①求实数t 的取值范围；②设直线12,x x x x ==与函数()()()h x f x m f m =+-的图象分别交于A 、B 两点，直线12,x x x x ==与函数()g x 的图象分别交于C 、D 两点，若存在12x x ≠，且[]12,0,1x x ∈，使得AB CD∥，求实数m 的取值范围．1．A【分析】利用复数的除法运算法则，再结合纯虚数概念的理解就可以得解.【详解】因为()()()()()3i 2i 236i 3i 236i 2i 2i 2i 555a a a a a a +-++-++-===+++-，且3i2ia ++为纯虚数，所以2305a +=，解得32a =-，经检验符合题意故选：A .2．C【分析】将数据从小到大重新排列，由众数、中位数、百分位数的定义计算即可得C 正确，再根据极差的概念可得D 错误.【详解】根据表格中数据可知，出现次数最多的是28，所以得分的众数为28，即A 错误；将8个数据从小到大排列为26，28，28，28，30，32，34，34，所以中位数为2830292+=，可知B 错误；易知75%86⨯=为整数，所以第75%分位数为第6个和第7个数的平均值3234332+=，即C 正确；得分的极差为34268-=，即D 错误.故选：C 3．B【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案．【详解】因为l ⊂α，对于A ，若//,//m αββ，则l 与m 有可能异面，故A 错误；对于B ，若//,m αββ⊥，则m α⊥，又l ⊂α，则l m ⊥，故B 正确；对于C ，若//,//l m αβ，则有可能m β⊂，故C 错误；对于D ，若,//l m m β⊥，则α与β有可能相交，故D 错误．故选：B ．4．B【分析】根据基本不等式可知当14ab >时，1a b +>；反之不成立，即可得出结论.【详解】若“1a b +>”，可知当11,6a b ==时，14ab >不成立，即可知充分性不成立；若14ab >，可得1a b +≥，即可得1a b +>，即必要性成立，因此可得“1a b +>”是“14ab >”的必要不充分条件；故选：B 5．C【分析】通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，得到的锐角就是异面直线所成的角，在三角形中利用余弦定理求出此角余弦值即可.【详解】由图可得，在正六棱柱中，11BC FE ，连接1,E F FD ，则1FE D ∠即为异面直线1BC 与1DE 所成角或其补角；11,1CC BC BC CC ⊥==，1BC ∴=同理可得，1DE =在1FDE中，11DE FE ==120FED ∠=，FD ∴==由余弦定理可得：222111111cos 24FE DE DF FE D FE DE +-∠==⋅.故选：C 6．D【分析】利用诱导公式及同角三角函数的商数关系结合二倍角公式计算即可.【详解】因为π3πcos 2cos 088αα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππcos 2sin 088αα⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得πsin π18tan π82cos 8ααα⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭+==- ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭，所以2π2tan π48tan 2π431tan 2ααα⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭+==- ⎪⎛⎫⎝⎭-+ ⎪⎝⎭．故选：D 7．B【分析】通过参变分离、换元法，把函数()f x 的零点个数转化成直线y m =与抛物线的交点个数.【详解】10,011x x -<≤∴<+≤ ，函数()f x 在10-<≤x 有两个不同零点⇔方程213()11m x x =-++在10-<≤x 有两个不同的根，设1(1)1t t x =≥+，23m t t ∴=-在1t ≥有且仅有两个不同的根y m ⇔=与抛物线23(1)y t t t =-≥有且仅有两个不同的交点，92.4m ∴-<≤-【点睛】通过换元把复杂的分式函数转化为熟知的二次函数，但要注意换元后新元的取值范围.8．B【分析】利用共线定理可知对于任意,OM ON I ∈ ，线段MN 上一点D ，都有OD I ∈，则集合I 为“类圆集”，结合“类圆集”定义分别对选项进行判断可得A 错误，B 正确，C 错误，再举出反例(){}(){}|,,,|,,A a a x y y x B a a x y y x ======-,可得D 错误.【详解】设,m OM n ON == ，()()11OD m n OM ON λλλλ=+-=+-，[]0,1λ∈；则[],0,1OD ON OM ON λλ-=-∈ ，即可得[],0,1ND NM λλ=∈ ，则点D 在线段MN 上，由题意可得，若对于任意,OM ON I ∈ ，线段MN 上一点D ，都有OD I ∈，则集合I 为“类圆集”，对于A,集合(){}3|,,A a a x y y x ==≥,若对于任意的()()1122,,,P x y Q x y 满足331122,y x y x ≥≥，则,OP OQ A ∈，函数3y x =如下图，显然线段PQ 上任意一点()33,D x y ，不一定满足333y x ≥，图中所示333y x <，即OD A ∉ ；故集合(){}3|,,A a a x y y x ==≥不为“类圆集”，即A 错误；对于B ，若(){}|,,ln B a a x y y x ==≤，对于任意的()()4455,,,G x y H x y 满足4455ln ,ln y x y x ≤≤，则,OG OH B ∈，函数ln y x =如下图，显然线段GH 上任意一点()66,E x y ，都有66ln y x ≤，即OD B ∈；故可得集合(){}|,,ln B a a x y y x ==≤为“类圆集”，即B 正确；对于C ，集合(){}2|,,C a a x y y x ==≥，对于任意的()()7788,,,R x y S x y 满足227788,y x y x ≥≥，则,OR OS C ∈，函数2y x =如下图，显然线段RS 上任意一点()99,T x y ，都有299y x ≥，即OT C ∈ ；故可知集合(){}2|,,C a a x y y x ==≥为“类圆集”，即C 错误；对于D ，若,A B 都是“类圆集”，不妨取(){}(){}|,,,|,,A a a x y y x B a a x y y x ======-；对于任意的()()111122,,,P x y Q x y ''''满足1122,y x y x ''''==，则11,OP OQ A ∈ ，函数y x =如下图，显然线段11PQ 上任意一点()133,D x y ''都有33y x ''=，即1OD A ∈ ；故(){}|,,A a a x y y x ===为“类圆集”，同理可得(){}|,,B a a x y y x ===-也为“类圆集”；而A B ⋃的图象如下：显然11,OR OS A B ∈⋃，但线段11R S 上任意一点1T 不满足y x =，也不满足y x =-，即1OT A B ∉⋃，即A B ⋃不一定是“类圆集”，即D 错误.故选：B【点睛】方法点睛：集合新定义问题的方法和技巧：(1)通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单应用，从而加深对信息的理解；(2)可用自己的语言转述新信息所表述的内容，可对此信息理解更加透彻；(3)发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律.9．AD【分析】建立平面直角坐标系，求出A ，B ，C ，D 四点坐标，利用坐标进行向量的坐标运算即可求解.【详解】以点A 为坐标原点，水平方向为x 轴，竖直方向为y 轴建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系下，()0,0A ，()2,1B ,()1,0C ，()0,2D ，所以()2,1AB = ,()1,2CD =- ，()1,0AC = ，()0,2AD =，由于()21120AB CD ⋅=⨯-+⨯= ，所以AB CD ⊥，A 正确；根据投影向量的定义，结合图象，CD 在AC方向上的投影向量为AC - ，B 错误；25cos ,25AD CD AD CD AD CD ⋅===⨯⋅，所以AD 与CD的夹角不是为30°，C 错误；()3,1AC AB +=，则()()31121AC AB CD +⋅=⨯-+⨯=- ，D 正确．故选：AD 10．ABD【分析】根据分层抽样的公式，以及利用每层样本的平均数和方差公式，代入总体的均值和方差公式，即可判断选项.【详解】对于A 项，抽取的样本里男生有3100605⨯=人，所以A 项正确；对于B 项，由题可知，每一位学生被抽中的可能性为1001400040=，所以B 项正确；对于C 项，估计该学校学生身高的平均值为32175********x =⨯+⨯=，所以C 项错误；对于D ，估计该学校学生身高的方差为()()2223218417516917916016923655s ⎡⎤⎡⎤=+-++-=⎣⎦⎣⎦，所以D 项正确.故选：ABD 11．ACD【分析】对于A 项，可以利用等体积列出关于内切球半径的方程，解之即得；对于B 项，利用正八面体的对称性可分析计算得出正方形ABCD 的中心即为外接球球心，计算即得；对于C 项，证明EB ∥平面ADF ，根据平行的性质结合转换顶点法求体积；对于D 项，作辅助线，分析可知直线CP 与平面GHMN 所成角的为PCQ ∠，分析长度关系即可得取值范围.【详解】由题意可知：正八面体的棱长为2AB =，OB =EO ==对于A 项，设该正八面体内切球的半径为r ，由正八面体的体积可得1118222223223r ⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯3r =，所以它的内切球表面积为28π4π33⎫⨯=⎪⎪⎝⎭，故A 项正确；对于选项B ：由题意可知：OA OB OC OD ===OE =结合对称性可知：点O 为正八面体外接球的球心，则正八面体外接球的半径R =，所以正八面体外接球的体积为3482ππ33R =，故B 项错误；对于选项C ：由题意可知：EB ∥DF ，且EB ⊄平面ADF ，DF ⊂平面ADF ，可得EB ∥平面ADF ，则点P 到平面ADF 的距离即为点B 到平面ADF 的距离，所以112222323F ADP P ADF B ADF F ABDV V V V ----====⨯⨯⨯⨯三棱锥三棱锥三棱锥三棱锥，故C 正确；对于选项D ：分别过,,B P E 作平面GHMN 的垂线，垂足分别为,,L Q K ，可知BL ∥PQ ∥EK ，且BL PQ EK ===则,L K 分别为棱,MH HG 的中点，且Q 在线段KL 上，可得CQ ⎡∈⎣，则2PC ⎤=⎦，由PQ ⊥平面GHMN ，可知直线CP 与平面GHMN 所成角的为PCQ ∠，可得226sin ,23PQ PCQ PC PC ∠==∈⎢⎣⎦，所以直线CP 与平面GHMN 所成角的正弦值的取值范围是23⎢⎣⎦，故D 正确；故选：ACD.12．8【分析】根据对数的运算性质，化简24log b 即可得到结果.【详解】因为0b >，则22242222log log log log 2b b b b ===.则224222log log log log log 3a b a b ab +=+==，所以，8ab =.故答案为：8.13．3【分析】利用余弦定理，结合已知求出ac ，再利用三角形面积公式计算即得.【详解】在ABC 中，由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-，则222362()2a c ac =-+-，于是36=，解得ac =所以ABC 的面积为11sin 3222S ac B ==.故答案为：314．()32π3【分析】由等边圆锥和等边圆柱的定义可知，当等边圆柱内切于等边圆锥时体积最大，利用三角形相似求得圆柱半径可得其体积.【详解】根据题意可知，等边圆锥的轴截面为等边三角形SAB ，且2,AB SO ==设等边圆柱轴截面是边长为2r 的正方形，可知OC r =，如下图所示：当圆柱体积最大时，等边圆柱内切于等边圆锥，此时易知ACD AOS ，即AC CDAO SO=，可得11r -=解得3=r，26CD r ==-；所以该圆柱的体积的最大值为()32π2π3r CD ⋅=.故答案为：()32π315．(1)0a b ⋅= ，1a c ⋅=-(2)[]2,1-【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算直接计算；（2）根据向量数量积的坐标运算和辅助角公式得()π2sin 6f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，再由三角函数的性质求值域.【详解】（1）当π2x =时，3π3π22cos ,sin ,4422a ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，ππ22cos ,sin ,4422b ⎛⎛⎫==⎪ ⎝⎭⎝⎭，ππ22sin ,cos ,4422c ⎛⎛⎫=-=- ⎝⎭⎝⎭,则222202222a b ⋅=-⨯ ，222212222a c ⋅=-⨯- ；（2）33cos cos sin sin cos 2222x x x xa b x ⋅=⋅+= ，()33cos sin sin cos sin sin 2222x x x xa c x x ⋅=⋅-=-=- ，所以()1πcos sin 2cos sin 2sin 226f x a b c x x x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅==-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，若[]0,πx ∈，则ππ5π,666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，π1sin ,162x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()[]2,1f x ∈-，即()f x 的值域为[]2,1-.16．(1)25n =，0.012x =(2)71.4(3)710【分析】（1）由成绩在区间()50,60的频率为0.2，求得样本容量，频率分布直方图中频率和为1求得x ；（2）根据频率分布直方图估计平均数；（3）列出所有可能的事件，结合古典概型公式可得所求概率．【详解】（1）成绩在区间()50,60的频率为0.2，5250.2n ==，由频率分布直方图可得第4组的频率为10.20.240.360.080.12----=，故0.012x =.（2）先估计所抽取的25名学生成绩的平均数为(550.02650.024950.008)1071.4750.036850.012⨯+⨯⨯⨯+=+⨯⨯+（分），估计全年级学生竞赛成绩的平均数为71.4；（3）得分成绩在[)80,90有0.01210253⨯⨯=（人），这组的3名学生分别为a ，b ，c ，得分在区间[90，100]有0.00810252⨯⨯=（人），这组的2名学生分别为d ，e ，随机抽取两人，所以可能的结果为()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a e b c b d b e c d c e d e 共10种，所抽取的两人中至少有一人的得分在区间[90，100]的结果为()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,a d a e b d b e c d c e d e 共7种，故所抽取的两人中至少有一人的得分在区间[90,100]的概率是710P =.17．(1)2a =，π3A =(2)AD =(3)7AE =【分析】（1）根据sin 4sin 4sin ac A C c A +=，利用正弦定理得到244a c c ac +=，求得a ，再由sincos 12AA +=求得角A ；（2）由余弦定理和三角形面积公式求得226b c +=和2bc =，再由()12AD AB AC =+，两边平方求中线AD 的长度；（3）由余弦定理得b c +ABC ABE ACE S S S =+△△△，可得角平分线AE 的长度.【详解】（1）sin 4sin 4sin ac A C c A += ，由正弦定理得244a c c ac +=．220,44,(2)0,c a a a ≠∴+=∴-= 可得2a =．由sin cos 12A A +=，得2sin 12sin 122A A+-=，得sin2sin 1022A A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得1sin 22A =或sin 02A =，故π3A =或0（舍去）．（2）由133sin 242ABC S bc A bc == ，得2bc =，由余弦定理可知，222a b c =+-2cos bc A ，由（1）可得2242b c =+-，所以226b c +=，又()12AD AB AC =+，所以()()()22222211122cos 444AD AB AC AB AC AB AC c b bc A =+=++⋅=++ 11622242⎛⎫=+⨯⨯= ⎪⎝⎭，即AD =所以中线AD （3）若1bc =，由余弦定理，2222cos a b c bc A =+-，可知225b c +=，所以()22227b c b c bc +=+=+，即b c +因为AE 为角平分线，所以ABC ABE ACE S S S =+△△△，即1π1π1πsin sin sin 232626bc bAE cAE =+，()b c AE =+，所以217AE =.18．(1)证明见解析；3311(3)16【分析】（1）利用余弦定理计算可得BD =BD BC ⊥，同理可得DF AD ⊥，由线面垂直判定定理可证明AD ⊥平面BDF ，再由线面垂直性质可得AD CE ⊥；（2）根据线段长度作出二面角A BF D --的平面角，再由余弦定理即可求得结果；（3）将多面体ABCDEF 分割成四棱锥F ABCD -和三棱锥C DEF -两部分，再利用体积公式求出两部分体积相加即可.【详解】（1）在BCD △中，4,2CD BC ==，π3BCD ∠=，由余弦定理可得222π2cos123BD CD BC CD BC =+-⋅=，即BD =；满足222BD BC CD +=，即BD BC ⊥；又//AD BC ，所以BD AD ⊥；同理可得DF AD ⊥，因为,BD AD DF AD ⊥⊥，,BD DF ⊂平面BDF ，BD DF D =I ，所以AD ⊥平面BDF ,又BF ⊂平面BDF ，所以AD BF ⊥；又因为//BC EF ，2BC EF ==，所以四边形BCEF 是平行四边形；因此//BF CE ，所以AD CE ⊥.（2）若平面ADEF ⊥平面ABCD ,由（1）知,BD AD DF AD ⊥⊥，所以可得BD ⊥平面ADEF ，DF ⊂平面ADEF ，所以BD DF ⊥，且BD DF ==，BF =由勾股定理可知AB AF ==取BF 的中点为G ，连接,AG DG ，如下图所示：易知,AG BF DG BF ⊥⊥，即可得AGD ∠即为二面角A BF D --的平面角，显然AG =，DG 4=AD ，在ADG △中，222cos2AG DG AD AGD AG DG +-∠===⋅即可得二面角A BF D --的余弦值为3311.（3）连接FC ，如下图所示：易知多面体ABCDEF 的体积等于四棱锥F ABCD -的体积加上三棱锥C DEF -的体积；由（2）可知DF 和DB 分别是四棱锥F ABCD -和三棱锥C DEF -的高，易知()1112412332F ABCD ABCD V S DF -=⋅=⨯⨯+⨯=，11124332C DEF DEF V S BD -=⋅=⨯⨯⨯=，可得多面体ABCDEF 的体积12416ABCDEF V =+=.19．(1)ππ,3k k ϕ=-∈Z (2)①[)1,+∞；②21,log 33⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据题意分析可得πππcos sin sin cos sin 333y x x ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为R 上的奇函数，结合三角函数的奇偶性分析求解即可；（2）①分析可知()()0h x h x +-=对任意的x ∈R ，均存在[)0,m ∞∈+成立，整理可得22m t =，即可得结果；②根据向量平行分析可得()()()()1122g x h x g x h x -=-，构建()()()F x g x h x =-，可知()F x 在[]0,1内不单调，结合复合函数单调性分析求解即可.【详解】（1）因为ππππsin sin 3333y f x f x ϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭πππcos sin sin cos sin 333x x ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，若()()sin f x x ϕ=+是位差值为π3的位差奇函数，则πππcos sin sin cos sin 333y x x ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为R 上的奇函数，注意到πcos sin 3y x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为R 上的奇函数，ππsin cos sin 33y x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为R 上的偶函数，可知πsin 03ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则ππ,3k k ϕ+=∈Z ，解得ππ,3k k ϕ=-∈Z .（2）①因为()()()()()22(22)221221x m x mm m m x m x h x f x m f m t t t +-----=+-=-⋅--⋅=--⋅-，由题意可知：()()0h x h x +-=对任意的x ∈R ，均存在[)0,m ∞∈+成立，因为()()()()()()2212212212210mxm x m x m x h x h x t t ----+-=--⋅-+--⋅-=整理可得()()222220m mx x t ---⋅+-=，又因为22220x x -+-≥=，当且仅当22-=x x ，即0x =时，等号成立，则220m m t --⋅=，即212m t =≥，所以实数t 的取值范围为[)1,+∞；②由①可知：22m t =，则()()()()221221222mxmxmxxh x --=---=-，()2442x xmg x -+=，设()()()()()()()()11221122,,,,,,,A x h x B x h x C x g x B x g x ，则()()()()()()21212121,,,AB x x h x h x CD x x g x g x =--=-- ，若AB CD∥，则()()()()()()()()21212121x x g x g x x x h x h x --=--，且12x x ≠，即210x x -≠，则()()()()2121g x g x h x h x -=-，即()()()()1122g x h x g x h x -=-，构建()()()()2442222x xm x x mF x g x h x --+=-=--，则()()12F x F x =，且[]12,0,1x x ∈，12x x ≠，结合()F x 在R 上连续不断，可知()F x 在[]0,1内不单调，令22x x n -=-，则2442x x n -+=+，且2,2x x y y -==-在[]0,1内单调递增，可知22x x n -=-在[]0,1内单调递增，当0x =时，0n =；当1x =，32n =；即3220,2x xn -⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，可得22222121122222m m m m m n y n n n -+=-=-+在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内不单调，且222121122m m m y n n -=-+的图象开口向上，对称轴31221222mm m n --=-=⨯，则313022m -<<，解得21log 33m <，所以实数m 的取值范围为21,log 33∞⎛⎫- ⎪⎝⎭.。
湖南高一高中数学期中考试带答案解析
湖南高一高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.化简等于（）.A．B．C．D．2..已知是的边上的一个三等分点，且，若，，则等于（）.A．B．C．D．3.已知，则的值为（）.A．B．4C．5D．64.化简（）.A．B．C．D．5.函数是（）.A．周期为的偶函数B．周期为的奇函数C．周期为的奇函数D．周期为的偶函数6.已知，，点是线段上的点，且，则点的坐标为（）.A．B．C．D．7.已知函数（）的周期为，在一个周期内的图象如图所示，则正确的结论是（）.A．B．C．D．8.将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图像向左平移个单位，则所得函数图像对应的解析式为（）.A．B．C．D．9.若平面四边形满足，则该四边形一定是（）.A．正方形B．菱形C．矩形D．直角梯形10.函数的最小正周期是（）.A．B．C．D．11.设单位向量，的夹角为，则向量与向量的夹角的余弦值是（）.A．B．C．D．12.定义运算，如，已知，，则（）.A．B．C．D．二、填空题1.的值为．2.已知向量，，若向量，则实数的值是 .3.则的值为．4.在下列四个命题中：①函数的定义域是；②已知，且，则的取值集合是；③函数的图象关于直线对称，则的值等于；③函数的最小值为.把你认为正确的命题的序号都填在横线上____________________.三、解答题1.已知，，求的值.2.已知函数，.（1）求的最小正周期；（2）求的的最大值和最小值；（3）若，求的值.3.（1）已知函数，求函数在区间上的单调增区间；（2）计算：.4.已知函数（，）为偶函数，其图象上相邻的两个最高点之间的距离为．（1）求的解析式；（2）若，，求的值．5.已知，，是同一平面内的三个向量，其中.（1）若，且，求的坐标；（2）若，且与垂直，求与的夹角.6.已知向量，，且，（为常数），求：（1）及；（2）若的最小值是，求实数的值.湖南高一高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.化简等于（）.A．B．C．D．【答案】B【解析】由诱导公式: ，易得。
湖南高一高中数学期中考试带答案解析
湖南高一高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设，则（）A．B．C．D．2.下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．B．C．高一数学试题第2页，共4页D．3.函数的定义域为 ( )A．B．C．D．4.函数在上的最大值与最小值之和为3，则a的值是（）A．B．2C．3D．5.函数()的反函数是（）A． ()B．()C．()D．()6.方程的解的个数为（）A．0B．1C．2D．37.函数y=x-1,在下列哪个区间上是增函数（）A．(-,0)B．(-,1)C．(1,+)D．(0,+)8.函数是定义域为R的奇函数，当时，则当时，的表达式为（）A．B．C．D．9.三个数的大小关系为（）A BC D10.容器A中有m升水，将水缓慢注入空容器B，经过t分钟时容器A中剩余水量y满足指数型函数为自然对数的底数，a为正常数），若经过5分钟时容器A和容器B中的水量相等，经过n分钟容器A中的水只有，则n的值为（）A．7B．8C．9D．10二、填空题1.已知集合A={1,2,3}，B={2，m，4}，A∩B={2,3}，则m=2.设为从集合A到B的映射，若，则_____________．3.函数y=当时，函数的值域为___________________4.函数y=是幂函数，且在上是减函数，则实数5.设奇函数的定义域为，若当时，的图象如右图,则不等式的解是三、解答题1.）设全集，集合=，=。
（1）求；（2）若集合,满足，求实数的取值范围。
2.已知函数=.（1）判断的奇偶性并说明理由；（2）判断在上的单调性并加以证明.3.已知函数(I)求的值；(Ⅱ)做出函数的简图；(III)求函数的最大值和最小值．4.已知函数（1）求函数的定义域；（2）求函数的零点；（3）若函数的最小值为-4，求a的值。
5.某公司试销一种新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价500元/件，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量y（件）与销售单价（元/件），可近似看做一次函数的关系（图象如下图所示）．（1）根据图象，求一次函数的表达式；（2）设公司获得的毛利润（毛利润＝销售总价－成本总价）为S元,①求S关于的函数表达式；②求该公司可获得的最大毛利润，并求出此时相应的销售单价．6.设函数是定义域在，并且满足，，且当>0时，>0。
2023长沙一中高一下学期第一次月考数学试卷
长沙市第一中学2022-2023学年度高一第二学期第一次阶段性检测数学时量：120分钟满分：150分得分__________一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}260,{06}A xx x B x x =+->=<<∣∣，则()R A B ⋂=ð（）A.[]3,2- B.(]0,2 C.[)0,2 D.()2,6-2.已知3sin 5α=，则7cos 2a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.35 B.35- C.45 D.45-3.下列四个函数中，以π为最小周期，且在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减的是（）A.sin y x= B.cos y x =C.tan y x = D.cos 2xy =4.函数()1cos ,43f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象与直线y t =（t 为常数）的交点最多有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个5.已知向量,a b 不共线，且(),21c xa b d a x b =+=+- ，若c 与d 共线，则实数x 的值为（）A.1 B.12- C.1或12- D.1-或12-6.下列命题：①若a b = ，则a b = ；②若,a b b c == ，则a c = ；③a b = 的充要条件是a b = 且a b ∥ ；④若,a b b c ∥∥ ，则a c ∥ ；⑤若,,,A B C D 是不共线的四点，则AB DC = 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件.其中，真命题的个数是（）A.2B.3C.4D.57.如图所示，已知正方形ABCD 的边长为1,AB a = ，,BC b AC c == ，则向量a b c -- 的模为（）B.2C.D.48.设函数()2cos sin tan f x a x b x x =++，则()f x 的最小正周期（）A.与a 有关，且与b 有关B.与a 有关，但与b 无关C.与a 无关，且与b 无关D.与a 无关，但与b 有关二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数()ln ,0f x x a b =<<，且()()f a f b =，下列结论正确的是（）A.2a b +> B.23ba +>C.1ab > D.22(1)(1)a b +++的最小值为810.要得到函数cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，可以将函数sin y x =的图象（）得到A.先将各点横坐标变为原来的12倍，再向左平移3π个单位B.先将各点横坐标变为原来的23π个单位C.先将各点横坐标变为原来的12倍，再向右平移23π个单位D.先向左平移23π个单位，再将各点横坐标变为原来的12倍11.已知()()170,,0,,sin cos sin cos 13απβπααββ∈∈-=+=，下列关系可能成立的有（）A.αβ< B.3αβ>C.αβπ+< D.αβπ+>12.下列论断中，正确的有（）A.ABC 中，若A 为钝角，则sin sin cos cos B C B C+>+B.若奇函数()f x 对定义域内任意x 都有()()2f x f x =-，则()f x 为周期函数C.若函数()y f x =与()y g x =的图象关于直线y x =对称，则函数()2y f x =与()12y g x =的图象也关于直线y x =对称D.向量,,a b c 满足a b a c ⋅=⋅ ，则0a = 或b c= 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量,a b 满足1,2,7a b a b ==-= ，则a 与b 的夹角为__________.14.函数()26sin cos 4444f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的对称中心中，到y 轴距离的最小值是__________.15.函数()245f x x x =-+在区间[]0,m 上的最大值为5，最小值为1，则m 的取值范围是__________.16.已知点,024A π⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数()()sin (0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象上，直线6x π=是函数()f x 图象的一条对称轴，且()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调，则()f x =__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知函数()22sin 3cos24f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的单调递减区间；（2）若关于x 的方程()2f x m -=在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有唯一解，求实数m 的取值范围.18.（本小题满分12分）如图，在四边形ABCD 中，60,3,6B AB BC ∠===，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=- （1）求实数λ的值；（2）若M 是线段BC 上的动点，求DM BC ⋅的取值范围.19.（本小题满分12分）对于实数a 和b ，定义运算“*”：22,,,.a ab a b a b b ab a b ⎧-*=⎨->⎩ 设()()()211f x x x =-*-，且关于x 的方程()()f x m m R =∈恰有三个互不相等的实数根123,,x x x .若123x x x <<，求231x x x 的取值范围.20.（本小题满分12分）如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为3π的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形.记POC ∠α=，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求这个最大面积.21.（本小题满分12分）（1）求证：2222tan 1tan sin2,cos21tan 1tan αααααα-==++；（2）已知351,,cos ,tan 21322πβαπα⎛⎫∈=-= ⎪⎝⎭，求cos 2αβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.22.（本小题满分12分）悬链线（Catenary ）指的是一种曲线，指两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀，柔软（不能伸长）的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状，适当选择坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数，其解析式为()2x x e e f x -+=，与之对应的函数()2x x e e g x --=称为双曲正弦函数，令()()()g x F x f x =.（1）若关于x 的方程()][()2250F f x F g x λ⎡⎤+-=⎣⎦在()0,ln3上有解，求实数λ的取值范围；（2）把区间()0,2等分成2n 份，记等分点的横坐标依次为,1,2,3,,21t x i n =- ，设()142321x h x -=-+，记()()()()()()12321*n H x h x h x h x h x n N -=++++∈ ，是否存在正整数n ，使不等式()()()2F x H n F x 有解？若存在，求出所有n 的值，若不存在，说明理由.。
湖南省高一下学期数学期中考试试卷
湖南省高一下学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高一下·邯郸期末) 计算sin =（）A .B .C .D .2. （2分）已知函数，若存在x1＜x2 ，使得f（x1）=f（x2），则x1•f（x2）的取值范围为（）A .B .C .D .3. （2分） (2020高一下·济南月考) 已知向量，，，则下列结论正确的是（）A . ，B . ，C . ，D . ，4. （2分） (2016高一下·宿州期中) 数列2，5，8，11，…，则23是这个数列的（）A . 第5项B . 第6项C . 第7项D . 第8项5. （2分）已知等差数列的公差，若、、成等比数列，那么等于（）A .B .C .D .6. （2分）若，且则向量与的夹角为（）A .B .C .D .7. （2分）已知在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是（）A . 135°B . 90°C . 120°D . 150°8. （2分） (2018高二下·石嘴山期末) 若，则（）A .B .C .D .9. （2分）（1+tan17°）（1+tan18°）（1+tan27°）（1+tan28°）的值是（）A . 2B . 4C . 8D . 610. （2分）已知函数对的图象恒在x轴上方，则m的取值范围是（）A . 2－2＜m＜2+2B . m＜2C . m＜2+2D . m≥2+211. （2分）若{an}是等差数列，则a1+a2+a3 ， a4+a5+a6 ， a7+a8+a9（）A . 不是等差数列B . 是递增数列C . 是等差数列D . 是递减数列12. （2分） (2018高二上·抚顺期末) 若实数成等差数列，成等比数列，则（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二上·济宁月考) 若关于的不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是________.14. （1分）在△ABC中，E为AC上一点，且=4， P为BE上一点，且满足=m+n（m＞0，n ＞0），则+取最小值时，向量=(m,n)的模为________15. （1分） (2017高一下·珠海期末) 若α，β∈（0，），sin（）=﹣，cos（）=，则α+β=________．16. （1分） (2019高一下·湖州月考) 在中, , , ,则 ________,则 ________.三、解答题 (共6题；共52分)17. （10分） (2017高三上·山西开学考) 设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且有2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b=2，c=1，D为BC的中点，求AD的长．18. （10分） (2018高一下·苏州期末) 已知公差不为0的等差数列的前项和为，，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和 .19. （10分） (2019高一上·永嘉月考) 设A、B是单位圆O上的点，C是圆与x轴正半轴的交点，为正三角形，AB//x轴，（1）求的三个三角函数值；（2）设，求的值..20. （10分） (2017高三上·甘肃开学考) 已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4=14，且a1 ， a3 ，a7成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设Tn为数列{ }的前n项和，若Tn≤λan+1对∀n∈N*恒成立，求实数λ的最小值．21. （10分） (2016高三上·黄冈期中) 等比数列{an}中，已知a1=2，a4=16．（1）求数列{an}的通项公式an；（2）若a3，a5分别是等差数列{bn}的第4项和第16项，求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn．22. （2分） (2018高二上·舒兰月考) 在中，角的对边分别为，设为的面积，满足 .（1）求的大小；（2）若，且，求的值．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共52分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。
长沙市长郡中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题含解析
属中档题. 12．ACD
【分析】连接 EF ，即可得到四边形 FEA1D1 为平行四边形，从而判断 A，显然 A1E 与 HF 为
相交直线，即可判断 B，根据线面平行的判定定理证明 C，D； 【详解】解：连接 FE，因为 E，F 为 AB，CD 的中点，故 FE 平行且等于 AD.
由题意知 AD 平行且等于 A1D1 ，故 FE 平行且等于 A1D1 ，所以四边形 FEA1D1 为平行四边形， 所以 A1E//D1F ，故 A 正确； 显然 A1E 与 HF 为相交直线，故 B 错误； 因为 EG//IF ，同时 IF 在平面 D1IF 内，且 EG 不在平面 D1IF 内，所以 EG// 平面 D1IF ，故 C 正确； 因为 A1E//D1F ，同时 D1F 在平面 D1FGB1 内，且 A1E 不在平面 D1FGB1 内，所以 A1E// 平面 D1FGB1 ，故 D 正确. 故选：ACD.
，得
3
2 2
2
3
，
sin B sin 2B
32 2 2 3 ，故 cos B
sin B 2sin B cos B
6. 3
故选： D .
7．D
【分析】根据复数的运算法则，化简复数 2 2a 4 a i ，根据题列出不等式组，即可求解.
5
5
【详解】由题意，复数
2 ai 1 2i
2 ai1 2i 1 2i1 2i
【详解】因为点 M ，故过点 M 有无数条直线与 平行，故 AB 错误； 过点 M 有且只有一个平面与 平行，故 C 正确， D 错误. 故选： C .
6．D 【分析】根据正弦定理，结合角度关系，带值计算即可.
答案第 1 页，共 12 页
【详解】在△
人教版高一下学期期中考试数学试卷及答案解析(共五套)
人教版高一下学期期中考试数学试卷（一）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为312.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据共线向量的定义即可得结论．【解答】解：由题，点C是线段AB靠近点B的三等分点，＝3＝﹣3，所以选项A错误；＝2＝﹣2，所以选项B和选项C错误，选项D正确．故选：D．【知识点】平行向量（共线）、向量数乘和线性运算2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵z（3+i）＝3+i2020，i2020＝（i2）1010＝（﹣1）1010＝1，∴z（3+i）＝4，∴z＝，∴＝，∴共轭复数的虚部为，故选：D．【知识点】复数的运算3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．【答案】C【分析】利用图形，求出数量积的向量，然后转化求解即可．【解答】解：由题意，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，可知＝+＝，＝﹣＝﹣2，所以•＝（）•（﹣2）＝﹣2﹣2＝1．故选：C．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i【答案】B【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及其复数的周期性即可得出．【解答】解：设S＝2i+3i2+4i3+ (2020i2019)∴iS＝2i2+3i3+ (2020i2020)则（1﹣i）S＝i+i+i2+i3+……+i2019﹣2020i2020．＝＝i+＝＝﹣2021+i，∴S＝＝．故选：B．【知识点】复数的运算5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【答案】B【分析】易知∠ABA1即为所求，再由△ABA1为等腰直角三角形，得解．【解答】解：因为AB∥CD，所以∠ABA1即为异面直线A1B与CD所成的角，因为△ABA1为等腰直角三角形，所以∠ABA1＝45°．故选：B．【知识点】异面直线及其所成的角6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合两角和公式与三角形的内角和定理，可推出sin B＝2sin A；然后利用三角形的面积公式、正弦定理，即可得解．【解答】解：由正弦定理知，＝＝，∵（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），∴（sin A﹣2sin B）cos C＝sin C（2cos B﹣cos A），即sin A cos C+sin C cos A＝2（sin B cos C+cos B sin C），∴sin（A+C）＝2sin（B+C），即sin B＝2sin A．∵△ABC的面积为a2sin，∴S＝bc sin A＝a2sin，根据正弦定理得，sin B•sin C•sin A＝sin2A•sin，化简得，sin B•sin cos＝sin A•cos，∵∈（0，），∴cos＞0，∴sin＝＝，∴＝，即C＝．故选：C．【知识点】正弦定理、余弦定理7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°【答案】B【分析】连接AB1，求出∠ACB1可判断选项A；连接B1D1，找出点B1在平面AD1C上的投影O，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，由cosθ＝可判断选项B；利用平移法找出选项C和D涉及的异面直线夹角，再进行相关运算，即可得解．【解答】解：连接AB1，∵△AB1C为等边三角形，∴∠ACB1＝60°，即直线B1C与AC所成的角为60°，故选项A正确；连接B1D1，∵AB1＝B1C＝CD1＝AD1，∴四面体AB1CD1是正四面体，∴点B1在平面AD1C上的投影为△AD1C的中心，设为点O，连接B1O，OC，则OC＝BC，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，则cosθ＝＝＝≠，故选项B错误；连接BC1，∵AD1∥BC1，且B1C⊥BC1，∴直线B1C与AD1所成的角为90°，故选项C正确；∵AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥B1C，即直线B1C与AB所成的角为90°，故选项D正确．故选：B．【知识点】直线与平面所成的角、异面直线及其所成的角8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π【答案】A【分析】由题意可得AC⊥面EFBD，可得V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD，再由多面体ABCDEF 的体积为，可得矩形EFBD的高与正方形ABCD的边长之间的关系，再由题意可得矩形EFBD的对角线的交点为外接球的球心，进而求出外接球的半径，再由均值不等式可得外接球的半径的最小值，进而求出外接球的表面积的最小值．【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，矩形BDEF的高为b，因为正方形ABCD，所以AC⊥BD，设AC∩BD＝O'，由因为平面ABCD与平面EFBD互相垂直，AC⊂面ABCD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以AC⊥面EFBD，所以V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD＝2•S EFBD•CO'＝•a•b•a ＝a2b，由题意可得V ABCDEF＝，所以a2b＝2；所以a2＝，矩形EFBD的对角线的交点O，连接OO'，可得OO'⊥BD，而OO'⊂面EFBD，而平面ABCD⊥平面EFBD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以OO'⊥面EFBD，可得OA＝OB＝OE＝OF都为外接球的半径R，所以R2＝（）2+（a）2＝+＝+＝++≥3＝3×，当且仅当＝即b＝时等号成立．所以外接球的表面积为S＝4πR2≥4π•3×＝6π．所以外接球的表面积最小值为6π．故选：A．【知识点】球的体积和表面积二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．【答案】BC【分析】由已知利用余弦定理整理可得cos A＝，对于A，若A＝，可得b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得b＝＞0，对于C，若A＝，可得b＝＞0，对于D，若A＝，可得c＝0，错误，即可得解．【解答】解：因为在△ABC中，a2＝b2+bc，又由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，所以b2+bc＝b2+c2﹣2bc cos A，整理可得：c＝b（1+2cos A），可得：cos A＝，对于A，若A＝，可得：﹣＝，整理可得：b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得：＝，整理可得：b＝＞0，对于C，若A＝，可得：cos＝＝，整理可得：b＝＞0，对于D，若A＝，可得：cos＝﹣＝，整理可得：c＝0，错误．故选：BC．【知识点】余弦定理10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【分析】由向量的加减法法则、平面向量基本定理解决【解答】解：由，知A正确；由知B正确；由知C正确；由N为线段DC的中点知知D错误；故选：ABC．【知识点】向量数乘和线性运算、平面向量的基本定理11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为3【答案】BD【分析】通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可．【解答】解：当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以A不正确；复数的实部与虚部都是0时，复数是0，所以B正确；反例z1＝1，z2＝i，满足z12+z22＝0，所以C不正确；复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的几何意义，是复数的对应点到（0，﹣2）的距离，它的最大值为3，所以D正确；故选：BD．【知识点】复数的模、复数的运算、虚数单位i、复数、命题的真假判断与应用12.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°【答案】ABD【分析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，建立合适的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，根据空间向量的坐标运算，以及异面直线所成角的向量求法，逐项判断即可．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A（0，0，0），A1（0，0，2），B（2，0，0），B1（2，0，2），C （2，2，0），D（0，2，0），D1（0，2，2），所以，故，故选项A正确；又，又，所以，，则，故选项B正确；，所以，因此与的夹角为120°，故选项C错误；因为E，F分别是BC，A1C的中点，所以E（2，1，0），F（1，1，1），则，所以，又异面直线的夹角大于0°小于等于90°，所以异面直线EF与DD1所成的角为45°，故选项D正确；故选：ABD．【知识点】异面直线及其所成的角三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．【分析】根据向量的几何意义可得P为BC的中点，再根据向量的数量积的运算和正方形的性质即可求出．【解答】解：由＝（+），可得P为BC的中点，则|CP|＝1，∴|PD|＝＝，∴•＝•（+）＝﹣•（+）＝﹣2﹣•＝﹣1，故答案为：，﹣1．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．【答案】1【分析】设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R），根据两个复数相等的充要条件求出z1，z2，再由根与系数的关系求得p，q的值．【解答】解：由题意可知z1与z2为共轭复数，设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R 且b≠0），又，则a2﹣b2+2abi＝a﹣bi，∴（2a+b）+（a+2b）i＝1﹣i，∴，解得．∴z1＝+i，z2＝i，（或z2＝+i，z1＝i）．由根与系数的关系，得p＝﹣（z1+z2）＝1，q＝z1•z2＝1，∴pq＝1．故答案为：1．【知识点】复数的运算15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．【分析】由题意画出图形，找出三棱锥外接球的位置，求解三角形可得外接球的半径，再由棱锥体积公式求解．【解答】解：记BD的中点为M，连接A′M，CM，可得A′M2+CM2＝A′C2，则∠A′MC＝90°，则外接球的球心O在△A′MC的边A′C的中垂线上，且过正三角形BCD的中点F，且在与平面BCD垂直的直线m上，过点A′作A′E⊥m于点E，如图所示，设外接球的半径为R，则A′O＝OC＝R，，A′E＝1，在Rt△A′EO中，A′O2＝A′E2+OE2，解得R＝．故三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．故答案为：．【知识点】球的体积和表面积16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．【分析】根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到a的最大值．【解答】解：依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为P，球的半径为r，下底面半径为R，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图：则OA＝OB＝，因为SO＝，故可得：SA＝SB＝＝3，所以：三角形SAB为等边三角形，故P是△SAB的中心，连接BP，则BP平分∠SBA，所以∠PBO＝30°；所以tan30°＝，即r＝R＝×＝，即四面体的外接球的半径为r＝．另正四面体可以从正方体中截得，如图：从图中可以得到，当正四面体的棱长为a时，截得它的正方体的棱长为a，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，所以2r＝AA1＝a＝a，所以a＝．即a的最大值为．故答案为：．【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．【分析】（1）直接利用余弦定理的应用求出结果；（2）利用余弦定理的应用建立等量关系式，进一步求出结果．【解答】解：（1）在四边形ABCD中，AD＝BD＝CD＝1．若AB＝，所以：cos∠ADB＝＝，由于AB∥CD，所以∠BDC＝∠ABD，即cos∠BDC＝cos∠ABD＝，所以BC2＝BD2+CD2﹣2•BD•CD•cos∠BDC＝＝，所以BC＝．（2）设BC＝x，则AB＝2BC＝2x，由余弦定理得：cos∠ADB＝＝，cos∠BDC＝＝＝，故，解得或﹣（负值舍去）．所以．【知识点】余弦定理18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．【分析】（1）把z1，z2代入=+，利用复数代数形式的乘除运算化简求出，进一步求出z；（2）设z=a+bi（a，b∈R），利用复数的运算及（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，可得，又ω==i，|ω|=5，可得，即可得出a，b，再代入可得ω．【解答】解：（1）由z1=1﹣2i，z2=3+4i，得=+==，则z=；（2）设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，∴．又ω===i，|ω|=5，∴．把a=3b代入化为b2=25，解得b=±5，∴a=±15．∴ω=±（i）=±（7﹣i）．【知识点】复数的运算19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．【分析】（1）首项利用两角和的正切公式建立函数关系，进一步利用判别式确定函数的最大值；（2）利用两角和的正切公式建立函数关系，利用a的取值范围即可确定x的范围．【解答】解：（1）如图，作CD⊥AF于D，则CD＝EF，设∠ACD＝α，∠BCD＝β，CD＝x，则θ＝α﹣β，在Rt△ACD和Rt△BCD中，tanα＝，tanβ＝，则tanθ＝tan（α﹣β）＝＝（x＞0），令u＝，则ux2﹣2x+1.25u＝0，∵上述方程有大于0的实数根，∴△≥0，即4﹣4×1.25u2≥0，∴u≤，即（tanθ）max＝，∵正切函数y＝tan x在（0，）上是增函数，∴视角θ同时取得最大值，此时，x＝＝，∴观察者离墙米远时，视角θ最大；（2）由（1）可知，tanθ＝＝＝，即x2﹣4x+4＝﹣a2+6a﹣4，∴（x﹣2）2＝﹣（a﹣3）2+5，∵1≤a≤2，∴1≤（x﹣2）2≤4，化简得：0≤x≤1或3≤x≤4，又∵x＞1，∴3≤x≤4．【知识点】解三角形20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．【分析】（I）利用复数的几何意义、向量的坐标运算性质、平行四边形的性质即可得出．（II）利用向量垂直与数量积的关系、模的计算公式、矩形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）依题点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，得A（﹣1，0），＝（2，2），可得B（1，2）．又对应的复数为4﹣4i，得＝（4，﹣4），可得C（5，﹣2）．设D点对应的复数为x+yi，x，y∈R．得＝（x﹣5，y+2），＝（﹣2，﹣2）．∵ABCD为平行四边形，∴＝，解得x＝3，y＝﹣4，故D点对应的复数为3﹣4i．（Ⅱ）＝（2，2），＝（4，﹣4），可得：＝0，∴．又||＝2，＝4．故平行四边形ABCD的面积＝＝16．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．【分析】（1）推导出GC⊥BC，EC⊥BC，从而∠ECG＝60°．连接DG，推导出DG⊥EF，由BC⊥EF，BC⊥CG，得BC⊥平面DEG，从而DG⊥BC，进而DG⊥平面ABCE，DG是四棱锥G ﹣ABCE的高，由此能求出四棱锥G﹣ABCE的体积．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．由此能求出异面直线AE与BG所成角的大小．【解答】解：（1）由已知，有GC⊥BC，EC⊥BC，所以∠ECG＝60°．连接DG，由CD＝AB＝1，CG＝CF＝2，∠ECG＝60°，有DG⊥EF①，由BC⊥EF，BC⊥CG，有BC⊥平面DEG，所以，DG⊥BC②，由①②知，DG⊥平面ABCE，所以DG就是四棱锥G﹣ABCE的高，在Rt△CDG中，．故四棱锥G﹣ABCE的体积为：．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，故∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．在△BGH中，，，则．故异面直线AE与BG所成角的大小为．【知识点】异面直线及其所成的角、棱柱、棱锥、棱台的体积22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【分析】（1）点F为BC的中点，设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，取AC 的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，得DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，从而OF∥平面EAC，平面DOF∥平面EAC，由此能证明DF∥平面EAC．（2）连接OH，由OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【解答】解：（1）点F为BC的中点，理由如下：设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，∵AD＝CD，∴OA＝OC，∴在Rt△ABC中，O为AB的中点，取AC的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，又平面EAC⊥平面ABC，平面EAC∩平面ABC＝AC，∴EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，∴DO∥EH，∴DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，又OF⊄平面EAC，AC⊂平面EAC，∴OF∥平面EAC，∵DO∩OF＝O，∴平面DOF∥平面EAC，∵DF⊂平面DOF，∴DF∥平面EAC．（2）连接OH，由（1）可知OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则B（1，﹣1，0），A（﹣1，1，0），E（0，1，﹣），C（1，1，0），∴＝（2，﹣2，0），＝（0，2，0），＝（﹣1，2，﹣），设平面EBC的法向量＝（a，b，c），则，取a＝，则＝（，0，﹣1），设直线与平面EBC所成的角为θ，则sinθ＝＝＝．∴直线AB与平面EBC所成角的余弦值为cosθ＝＝．【知识点】直线与平面平行、直线与平面所成的角人教版高一下学期期中考试数学试卷（二）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．14.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．25.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．96.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R27.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π8.已知半球O与圆台OO'有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（）A．B．C．D．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.下列有关向量命题，不正确的是（）A．若||＝||，则＝B．已知≠，且•＝•，则＝C．若＝，＝，则＝D．若＝，则||＝||且∥10.若复数z满足，则（）A．z＝﹣1+i B．z的实部为1 C．＝1+i D．z2＝2i11.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，AF∩CE＝G，则（）A．B．C．D．12.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为2，E为线段B1C上的动点，O为AC的中点，P 为棱CC1上的动点，Q为棱AA1的中点，则以下选项中正确的有（）A．AE⊥B1CB．直线B1D⊥平面A1BC1C．异面直线AD1与OC1所成角为D．若直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，则m∥平面B1D1Q三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知向量＝（m，1），＝（m﹣6，m﹣4），若∥，则m的值为．14.将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积S＝．15.如图，已知有两个以O为圆心的同心圆，小圆的半径为1，大圆的半径为2，点A 为小圆上的动点，点P，Q是大圆上的两个动点，且•＝1，则||的最大值是．16.如图，在三棱锥A﹣BCD的平面展开图中，已知四边形BCED为菱形，BC＝1，BF＝，若二面角A﹣CD﹣B的余弦值为﹣，M为BD的中点，则CD＝，直线AD与直线CM所成角的余弦值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知，．（1）若与同向，求；（2）若与的夹角为120°，求．18.已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，a＝4，b＝6，cos A＝﹣．（1）求c；（2）求cos2B的值．19.已知：复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z1（1﹣i）＝z2（1+i）（i为虚数单位），|z1|＝．（Ⅰ）求z1的值；（Ⅱ）若z1的虚部大于零，且（m，n∈R），求m，n的值．20.（Ⅰ）在复数范围内解方程|z|2+（z+）i＝（i为虚数单位）（Ⅱ）设z是虚数，ω＝z+是实数，且﹣1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设，求证：μ为纯虚数；（3）在（2）的条件下求ω﹣μ2的最小值．21.如图，直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB＝AC＝1，，A1A＝4，点M为线段A1A 的中点．（1）求直三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积；（2）求异面直线BM与B1C1所成的角的大小．（结果用反三角表示）22.如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点G在棱D1C1上，且D1G＝D1C1，点E、F、M分别是棱AA1、AB、BC的中点，P为线段B1D上一点，AB＝4．（Ⅰ）若平面EFP交平面DCC1D1于直线l，求证：l∥A1B；（Ⅱ）若直线B1D⊥平面EFP．（i）求三棱锥B1﹣EFP的表面积；（ii）试作出平面EGM与正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹．设平面EGM与棱A1D1交于点Q，求三棱锥Q﹣EFP的体积．答案解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【分析】直接利用复数的运算和几何意义的应用求出该点所表示的位置．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），所以（2﹣i）（a+bi）＝2a+b+（2b﹣a）i，由于对应的点在虚轴的正半轴上，所以，即，所以a＜0，b＞0．故该点在第二象限．故选：B．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用平行四边形的性质以及向量相等的概念，再利用平面向量基本定理进行转化即可．【解答】解：因为ABCD为平行四边形，所以，故．故选：D．【知识点】平面向量的基本定理3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．1【答案】B【分析】根据平面向量的坐标表示和共线定理，列方程求出t的值．【解答】解：向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），所以+＝（6t+3，11），﹣＝（4t+2，5）．又（+）∥（﹣），所以5（6t+3）﹣11（4t+2）＝0，解得t＝﹣．故选：B．【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示4.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．2【答案】D【分析】先根据M，N满足的条件，将（+）•＝0化成的表达式，从而判断出矩形ABCD为正方形；再将+＝x+y，左边用表示出来，结合x+y ＝3，即可得NC+MC＝4，最后借助于基本不等式求出MN的最小值．【解答】解：当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝＝＝，所以AD＝AB，则矩形ABCD为正方形，设，，则＝．则x＝2﹣λ，y＝2﹣μ．又x+y＝3，所以λ+μ＝1．故NC+MC＝4，则MN＝＝（当且仅当MC＝NC＝2时取等号）．故线段MN的最短长度为2．故选：D．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算5.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．9【答案】B【分析】由题意画出图形，再由复数模的几何意义，数形结合得答案．【解答】解：由|z+3+4i|≤2，得z在复平面内对应的点在以Q（﹣3，﹣4）为圆心，以2为半径的圆及其内部．如图：|z﹣1﹣i|的几何意义为区域内的动点与定点P得距离，则M＝|PQ|+2，m＝|PQ|﹣2，则M﹣m＝4．故选：B．【知识点】复数的运算6.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R2【答案】B【分析】设圆锥的底面半径为r，求得圆锥的高，由球的截面性质，运用勾股定理可得r，由圆锥的表面积公式可得所求．【解答】解：如图，设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高为r，则R2＝r2+（r﹣R）2，解得r＝R，则圆锥的表面积为S＝πr2+πr•2r＝3πr2＝3π（R）2＝πR2，故选：B．【知识点】球内接多面体、旋转体（圆柱、圆锥、圆台）7.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π【答案】A【分析】先根据题意求得正四面体的体积，进而得到六面体的体积，再由图形的对称性得，内部的丸子要是体积最大，就是丸子要和六个面相切，设丸子的半径为R，则，由此求得R，进而得到答案．【解答】解：由题意可得每个三角形面积为，由对称性可知该六面体是由两个正四面体合成的，可得该四面体的高为，故四面体的体积为，∵该六面体的体积是正四面体的2倍，。