【配套课件】《创新设计·高考一轮总复习》数学 人教A版(理)第十篇 第3讲 二项式定理
3 则 10－2r＝3k，即 r＝5－ k， 2
∵r∈Z，∴k应为偶数， ∴k＝2,0，－2，即r＝2,5,8.∴第3项，第6项，第9项为有 理项，它们分别为405x2，－61 236，295 245x－2. 求二项展开式中的指定项，一般是利用通项
公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求
6 C5 n＝3Cn，
n！ n！ ＝3 ，解得 n＝7. 5！n－5！ 6！n－6！
答案
B
2 6 4．(2012· 上海)在x－x 的二项展开式中，常数项等于
________．
解析 2r r 6－r r 6－ 2r Tr＋1＝C6x － ＝Cr ( － 2) x ，令 6
令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16 ∴a0＋a2＋a4＝8. 答案 B
3．(2011· 重庆)(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6
的系数相等，则n＝
A．6
解析 即
(
C．8 D．9
)．
B．7
r r r r 5 5 6 6 Tr＋1＝Cr (3 x ) ＝ 3 C x ，由已知条件 3 C ＝ 3 Cn， n n n
n－ 1 n＋ 1 2 n
当 n 是奇数时，中间两项 C n
2
，Cn
取得最大值．
1 2 r n 2n ； (3)各二项式系数和：C0 n＋Cn＋Cn＋…＋Cn＋…＋Cn＝___ 2 4 1 3 5 n－ 1 2 C0 ＋ C ＋ C ＋…＝ C ＋ C ＋ C ＋…＝ _____. n n n n n n
考点自测
1．(2012· 四川)(1＋x)7的展开式中x2的系数是 A．42 B．35 C．28 解析 x2 项的系数是 C2 7＝21. D．21 ( )．
答案
D
( C．7 D．6 )．
2．(人教A版教材习题改编)若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋ a4x4，则a0＋a2＋a4的值为 A．9 解析 B．8 令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0
第3讲 二项式定理
【2014年高考会这样考】 1．能用计数原理证明二项式定理． 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
考点梳理
1．二项式定理
n 1 n 1 r n r r n n * (a＋b)n＝C0 a ＋ C a b ＋…＋ C a b ＋…＋ C b ( n ∈ N ) n n n n
x
r＝3，
3 得常数项为 T4＝C3 6(－2) ＝－160.
答案
－160
5．(2012· 陕西)(a＋x)5展开式中x2的系数为10，则实
数a的值为________．
3 2 解析 由二项展开式的通项公式可得，T3＝C2 a 5 x ＝ 10x2，解得 a＝1.
答案
1
考向一
二项展开式中的特定项或特定项的系数
2．二项展开式形式上的特点
n＋1 . (1)项数为______ (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和 为___ n . 降幂 排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直 (3)字母a按______ 升幂 排列，从第一项起，次数由零逐项增1 到零；字母b按______ 直到n.
n 0 1 n－ 1 C C n (4)二项式的系数从____ n ，Cn，一直到 Cn ，____.
3．二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数_____ 相等 ．即 r n－ r C ＝ C n n _________.
(2)增减性与最大值：
二项式系数
Ck n，当
n＋1 增大 ．由对 k＜ 时，二项式系数逐渐_____ 2
称性知它的后半部分是逐渐减小的； 当 n 是偶数时，中间一项 Cn2取得最大值；
一个定理 二项式定理可利用数学归纳法证明，也可根据次数，项数 和系数利用排列组合的知识推导二项式定理．因此二项式
定理是排列组合知识的发展和延续．
两种应用 (1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或
指定项的系数等．
(2)展开式的应用：①证明与二项式系数有关的等式；② 证明不等式；③证明整除问题；④做近似计算等．
常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解 出项数k＋1，代回通项公式即可．
【训练1】 (2012· 福建)(a＋x)4的展开式中x3的系数等于8， 则实数a＝________.
解析 (a＋x)4 的展开式中的通项 Tr＋1＝Cr a4 rxr，当 4·
－ －
这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫 (a
二项展开式 ． ＋b)n 的___________
r C 二项式 系数． n(r＝0,1，…，n) 叫_______ 其中的系数_________________
n－ r r 通项 ，用 Tr＋1 表示，即 式中的 Cr a b 叫二项展开式的______ n n－ r r 通项 Tr＋1＝Cr a b. n
n－2r (1)∵第 6 项为常数项，∴r＝5 时，有 ＝0，解得 n＝10. 3 n－2r 1 (2)令 ＝2，得 r＝ (n－6)＝2， 3 2
2 ∴x2 的项的系数为 C2 ( － 3) ＝405. 10
10－2r∈Z， 3 (3)由题意知 0≤r≤10， r∈Z.
10－2r 令 ＝k(k∈Z)， 3
【助学· 微博】 一个防范
n r r 运用二项式定理一定要牢记通项 Tr＋1＝Cr b ，注意(a na
－
＋b)n 与(b＋a)n 虽然相同， 但具体到它们展开式的某一项 时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的 二项式系数与该项的 (字母)系数是两个不同的概念，前 者只指 Cr n，而后者是字母外的部分．前者只与 n 和 r 有 关，恒为正，后者还与 a，b 有关，可正可负．
3 3 【例 1】 已知在 x－ 3 n 的展开式中，第 6 项为常数项． x
(1)求n； (2)求含x2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．
[审题视点] 准确记住二项展开式的通项公式是解式为
r r n－r r r r n－2r Tr＋1＝Cnx (－3) x－ ＝(－3) Cnx . 3 3 3
高考一轮复习理科数学课件二项式定理
02
二项式定理在概率论中的应用
学习如何利用二项式定理计算概率、期望等。
03
多元二项式定理
了解多元二项式定理的基本概念、展开方式及应用场景。
下一讲预告
下一讲将介绍排列组合的基本概念、分类计数原理与分步计数原理等基 础知识。
还将学习排列组合在解决实际问题中的应用，如分配问题、抽取问题等 。
最后，将通过大量例题和练习题来巩固所学知识，提高解题能力。
例如
引导学生在解题后进行反思和总结，提炼 解题方法和技巧。
在解题过程中要注意利用二项式定理的通项 公式进行求解；同时要注意区分二项式系数 和项的系数等概念。
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结
二项式定理的基本形式
$(a+b)^n$的展开式及通项公式。
二项式系数的性质
对称性、增减性、最大值等。
二项式定理的应用
解题关键
06 先根据二项式系数的性质确定
n的值，再利用通项公式找到 常数项并计算其值。
答案解析及评分标准
答案解析
对每道题目的答案进行详细解析，包括解题思路、步骤和 结果。
例如
对于基础题中的例子，先写出(2x-1)^5的展开式的通项 公式，然后找到含x^3项的项，并计算其系数得到结果。
评分标准
根据题目的难易程度和学生的掌握情况，给出每道题目的 分值和评分标准。
04
基础步骤
验证n=1时，二项式定理成立 。
归纳假设
假设当n=k时，二项式定理成 立。
归纳步骤
证明当n=k+1时，二项式定 理也成立。
结论
根据数学归纳法，二项式定理 对一切自然数n都成立。
组合恒等式证明
01
《创新设计》人教A高考数学(文)大一轮复习课件 第10章统计、统计案例及概率 第3讲
考点一 相关关系的判断
【例 1】 (1)在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2， x1，x2，…，xn 不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i ＝1，2，…，n)都在直线 y＝12x＋1 上，则这组样本数据的
样本相关系数为
()
A．－1
B.0
•r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎 不存在线性相关关系．通常|r|大于0.75时，认 为两个变量有很强的线性相关性．
• 3．独立性检验
• (1)分类变量：变量的不同“值”表示不个同类
体别所属的______ ___，像这类变量称为分类
变量．
频数表
• (2)列联表：列出两个分类变量的_______ ，称为列联表．假设有两个分类变量X和Y， 它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}， 其样本频数列联表(称为2×2列联表)为
• 【训练1】 变量X与Y相对应的一组数据为
(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；
• 3．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改 革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调 查，经过计算K2≈0.99，根据这一数据分析， 下列说法正确的是 ( )
• A．有99%的人认为该电视栏目优秀
• B．有99%的人认为该电视栏目是否优秀 与改革有关系
• C．有99%的把握认为该电视栏目是否优 秀与改革有关系
•解析 (1)所有点均在直线上，则样本相关系 数最大即为1，故选D.
•(2)由图(1)可知，各点整体呈递减趋势，x与y 负相关；由图(2)可知，各点整体呈递增趋势， u与v正相关．
•答案 (1)D (2)C
高考数学一轮专项复习ppt课件-二项式定理(通用版)
第22页
高考一轮总复习•数学
第23页
解析：(1)x＋mx x－1x5＝xx－1x5＋mx x－1x5.【会思考】x＋mx 的每一项都要考虑，要注 意系数和符号因3页
重难题型 全线突破
高考一轮总复习•数学
题型
求展开式中的特定项的多维研讨
维度 1 利用通项公式求二项展开式的特定项
典例 1(1)(2024·天津南开中学第一次阶段测试)x－x326 展开式中的常数项是 方法一：通项；
方法二：凑：C46x4－x322.(
)
A．－135
B．135
＋3－x3 的展开式中，x2 的系数是__2_0_2_3___．(用数字作答)
答案
高考一轮总复习•数学
第20页
解析：(1)2x－mx 6 的展开式的通项为 Tr＋1＝Cr6(2x)6－r－mx r＝Cr6·26－r·(－m)r·x6－2r， 令 6－2r＝0，得 r＝3， 所以常数项为 C36·26－3·(－m)3＝－20，解得 m＝12. (2)用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数中，满足个位小于百位且百位小于万位的五位 数有 C35A22＝20(个)，即 n＝20. 当 n＝20 时，不妨设 x≠0，则(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5＋…＋(1＋x)n＋3－x3＝(1＋x)3＋(1 ＋x)4＋(1＋x)5＋…＋(1＋x)23－x3＝1＋x13－[1－1＋1x＋ x21]－x3＝1＋x3－－x1＋x24－x3＝1＋xx24 －1＋x x3－x3，所以 x2 的系数是 C324－C33＝2 024－1＝2 023.
高考理科数学一轮复习课件二项式定理
展开后得到的多项式称为二项展 开式，每一项称为二项式的通项 。
二项式系数与性质
二项式系数是指二项展开式中每一项前面的系数，通常用C(n,k)表示。 二项式系数具有对称性，即C(n,k)=C(n,n-k)。
二项式系数之和等于2ⁿ。
通项公式及其意义
通项公式是指二项展开式中每一项的表达式，即 T(k+1)=C(n,k)a^(n-k)b^k。
近似计算与误差估计
当$n$较大时，二项式$(a+b)^n$的展 开式项数较多，直接计算较为复杂。此 时可以利用二项式定理的近似计算公式
进行求解，从而简化计算过程。
在近似计算中，需要注意误差的估计。 通过合理的选择近似计算的项数，可以 控制误差的大小，保证计算结果的准确
性。
对于一些实际问题，如概率论中的二项 分布等问题，可以利用二项式定理进行
利用递推关系式，逐步降低二 项式的次数。
结合组合数的性质和运算规则 ，简化计算过程。
特殊形式二项式展开
对于形如$(a+b)^n$的二项式， 当$n$为奇数或偶数时，有不同
的展开形式。
当$n$为奇数时，展开式中间项 的二项式系数最大；当$n$为偶 数时，展开式中间两项的二项式
系数相等且最大。
注意特殊形式二项式的展开与通 项公式的联系和区别。
高考理科数学一轮复习课件二 项式定理
汇报人:XX
20XX-01-24
目
CONTENCT
录
• 二项式定理基本概念 • 二项式定理展开方法 • 二项式定理应用举例 • 高考中常见题型解析 • 复习策略与备考建议
01
二项式定理基本概念
二项式定理定义
01
二项式定理是指形如(a+b)ⁿ的展 开式，其中n为非负整数。
二项式定理课件-2025届高三数学一轮复习
解析 表示5个因式 的乘积，在这5个因式中，有2个因式选,其余的3个因式中有一个选,剩下的2个因式选,即可得到含的项，故含 的项的系数是 .
4.（改编）若 的展开式的第6项为常数，则展开式中所有有理项的个数为___.
3
解析 根据题意，可得 的展开式的通项公式为 ， 由第6项为常数项，得当时，，解得 . 因此，若为有理项，则，且，1,2,3, ,10，分析可得当,5,8时， ，则展开式中所有有理项的个数为3.
基础课55 二项式定理
基础知识·诊断
考点聚焦·突破
考点考向
课标要求
真题印证考频热度核心素养来自二项式定理掌握
2023年北京卷 2023年天津卷 2022年新高考Ⅰ卷
★★★
逻辑推理数学运算
二项式系数的性质
理解
2022年浙江卷
★★☆
逻辑推理数学运算
命题分析预测
从近几年高考的情况来看，选择题、填空题都出现过，属于基础题，命题热点是以展开式通项公式为载体求相关项的系数.预计2025年高考命题情况变化不大，应重视基础，夯实一轮复习
能
解析 ,上式中的每一项都可以被整除，故能被 整除.
题组3 走向高考
5.（2023 · 天津卷）在的展开式中， 项的系数为____.
60
解析 展开式的通项公式为 ，令可得，，则项的系数为 .
考点聚焦·突破
考点一 二项展开式的特定项或特定系数［自主练透］
1.（2023 · 北京卷）在的展开式中， 的系数为( ) .
二项式系数的最值问题
典例2 （2024 · 济南模拟）若二项式 的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中 的指数为整数的项的个数为( ) .
D
大一轮高考总复习理数(人教版)文档：第10章+计数原理+第3节+二项式定理
第三节 二项式定理1．二项式定理2提醒：1．辨明三个易误点(1)通项T k ＋1＝C k n an －k b k是展开式的第k ＋1项，不是第k 项． (2)(a ＋b )n 与(b ＋a )n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量a 与第二个量b 的位置不能颠倒．(3)易混淆二项式中的“项”“项的系数”“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指C k n (k ＝0,1，…，n )．2．二项展开式系数最大项的求法如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1，从而解出k 来，即得．1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)C r n an －r b r是(a ＋b )n 展开式中第r 项．( ) (2)(a ＋b )n 的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关．( )(3)C 1n －2C 2n ＋3C 3n －…＋(－1)n －1n C n n ＝0.( ) (4)2n －C 1n ×2n －1＋C 2n ×2n －2＋…＋(－1)n －1C n －1n ×2＋(－1)n ＝1.( ) (5)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( )(6)(a ＋b )n 某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同．( )答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)× (6)√2．(2017·全国卷Ⅰ)⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中x 2的系数为( ) A ．15 B ．20 C ．30D ．35解析：选C 因为(1＋x )6的通项为C r 6x r ，所以⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中含x 2的项为1·C 26x 2和1x 2·C 46x 4. 因为C 26＋C 46＝2C 26＝2×6×52×1＝30， 所以⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中x 2的系数为30.故选C ． 3．(2017·全国卷Ⅲ)(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A ．－80 B ．－40 C ．40D ．80解析：选C 因为x 3y 3＝x ·(x 2y 3)，其系数为－C 35·22＝－40， x 3y 3＝y ·(x 3y 2)，其系数为C 25·23＝80. 所以x 3y 3的系数为80－40＝40.故选C ．4．(教材习题改编)化简：C 12n ＋C 32n ＋…＋C 2n －12n ＝________.解析：(1－1)2n ＝C 02n －C 12n ＋C 22n －…＋C 2n 2n ① (1＋1)2n ＝C 02n ＋C 12n ＋C 22n ＋…＋C 2n 2n ② ②－①得C 12n ＋C 32n ＋C 52n ＋…＋C 2n －12n ＝22n －1. 答案：22n －1二项展开式中特定项或系数问题 [明技法]求二项展开式中的项的3种方法求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项T k ＋1＝C k n an －k b k的特点，一般需要建立方程求k ，再将k 的值代回通项求解，注意k 的取值范围(k ＝0,1,2，…，n )．(1)第m 项：此时k ＋1＝m ，直接代入通项，如“题组集训”第2题；(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程； (3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程． 特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解． [提能力]【典例】 (1)⎝⎛⎭⎫x 3－2x 4＋⎝⎛⎭⎫x ＋1x 8的展开式中的常数项为( ) A ．32 B ．34 C ．36D ．38解析：选D ⎝⎛⎫x 3－2x 4的展开式的通项为 T k ＋1＝C k 4(x 3)4－k ·⎝⎛⎭⎫－2x k ＝C k 4(－2)k x 12－4k ， 令12－4k ＝0，解得k ＝3，⎝⎛⎭⎫x ＋1x 8的展开式的通项为 T r ＋1＝C r 8·x 8－r ·⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r 8·x 8－2r， 令8－2r ＝0，得r ＝4，所以所求常数项为C 34(－2)3＋C 48＝38.(2)若⎝⎛⎭⎫ax ＋1x ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x 5展开式中的常数项为－40，则a ＝________. 解析：⎝⎛⎭⎫2x ＋1x 5展开式的第r ＋1项为 T r ＋1＝C r 5(2x )5－r ·⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r 525－r x 5－2r， 因为⎝⎛⎭⎫ax ＋1x ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x 5的展开式中的常数项为－40， 所以ax C 3522x －1＋1xC 2523x 1＝－40， 所以40a ＋80＝－40，解得a ＝－3.答案：－3 [刷好题]1．(2015·湖南卷)已知⎝⎛⎭⎫x －a x 5的展开式中含x 32 的项的系数为30，则a ＝( )A ．3B ．－3C ．6D ．－6解析：选D ⎝⎛⎭⎫x －ax 5展开式通项T r ＋1＝C r 5(x )5－r⎝⎛⎭⎫－a x r ， ∴T r ＋1＝C r 5x 5－r 2 (－a )r x －r 2 ＝(－a )r C r 5x 52 －r，∵含x 32的项系数为30，取r ＝1即－a ·C 15＝30，∴a ＝－6，故选D ．2．(2017·山东卷)已知(1＋3x )n 的展开式中含有x 2项的系数是54，则n ＝________.解析：(1＋3x )n 的展开式的通项为T r ＋1＝C r n (3x )r .令r ＝2，得T 3＝9C 2n x 2.由题意得9C 2n ＝54，解得n ＝4.答案：4二项式系数的和与性质问题 [明技法]1．赋值法研究二项式的系数和问题“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n 、(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．2．二项式系数最大项的确定方法(1)如果n 是偶数，则中间一项⎝⎛⎭⎫第n2＋1项的二项式系数最大； (2)如果n 是奇数，则中间两项⎝⎛⎭⎫第n ＋12项和第n ＋32项的二项式系数相等并最大．[提能力]【典例】 (2018·辽宁五校联考)(1)若⎝⎛⎭⎫x ＋2x 2n 展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式的常数项是( )A ．360B ．180C ．90D ．45(2)若(1－2x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝__________.解析：(1)展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式总共11项，所以n ＝10，通项公式为T r ＋1＝C r 10(x )10－r·⎝⎛⎭⎫2x 2r ＝C r102r x 5－52 r ，所以r ＝2时，常数项为180. (2)令x ＝1可得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1；令x ＝0，可得a 0＝1，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0. 答案：(1)B (2)0 [刷好题]1．(2017·漳州二模)已知(2x －1)10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9＋a 10x 10，则a 2＋a 3＋…＋a 9＋a 10的值为( )A ．－20B ．0C ．1D ．20解析：选D 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝1，再令x ＝0，得a 0＝1，所以a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝0，又易知a 1＝C 910×21×(－1)9＝－20，所以a 2＋a 3＋…＋a 9＋a 10＝20.2．(x －2y )6的展开式中，二项式系数最大的项的系数为________(用数字作答)．解析：二项式系数最大的项是T 4＝C 36x 3(－2y )3＝－160x 3y 3，故填－160.答案：－160多项展开式中的特定项或系数问题 [析考情]在高考中，常常涉及一些多项式问题，主要考查学生的化归能力．常见的命题点有：(1)几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题；(2)几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题；(3)三项展开式中的特定项(系数)问题．[提能力]命题点1：几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题【典例1】 (2018·荣成模拟)在1＋(1＋x )＋(1＋x )2＋(1＋x )3＋(1＋x )4＋(1＋x )5的展开式中，含x 2项的系数是( )A ．10B ．15C ．20D ．25解析：选C 含x 2项的系数为C 22＋C 23＋C 24＋C 25＝20.命题点2：几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题【典例2】 (2014·课标全国卷Ⅰ)(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为________.(用数字填写答案)．解析：依题意，(x ＋y )8的二项展开式的通项为T k ＋1＝C k 8x8－k y k,0≤k ≤8，k ∈Z .当k ＝7时，T 8＝C 78xy 7＝8xy 7；当k ＝6时，T 7＝C 68x 2y 6＝28x 2y 6.∴(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7项为x ·8xy 7＋(－y )·28x 2y 6＝－20x 2y 7，故x 2y 7的系数为－20.答案：－20命题点3：三项展开式中特定项(系数)问题【典例3】 (2015·全国卷Ⅰ)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30D ．60解析：选C 方法一 (x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5，含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2. 其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5.所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30，故选C ．方法二 (x 2＋x ＋y )5为5个x 2＋x ＋y 之积，其中有两个取y ，两个取x 2，一个取x 即可，所以x 5y 2的系数为C 25C 23C 11＝30，故选C ．[悟技法]1．对于几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到特定的项，再求和即可．2．对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．3．对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决． [刷好题]1．(2015·全国卷Ⅱ)(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________.解析：(1＋x )4＝1＋4x ＋6x 2＋4x 3＋x 4故(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇次幂的项分别为4ax,4ax 3，x,6x 3，x 5，其系数和4a ＋4a ＋1＋6＋1＝32，解得a ＝3.答案：32．(x ＋a )10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝________(用数字填写答案)．解析：T r ＋1＝C r 10x10－r a r，令10－r ＝7，得r ＝3， ∴C 310a 3＝15，即10×9×83×2×1a 3＝15，∴a 3＝18，∴a ＝12. 答案：123．(2017·浙江卷)已知多项式(x ＋1)3(x ＋2)2＝x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5，则a 4＝________，a 5＝________.解析：a 4是x 项的系数，由二项式的展开式得a 4＝C 33·C 12·2＋C 23·C 22·22＝16； a 5是常数项，由二项式的展开式得a 5＝C 33·C 22·22＝4. 答案：16 4精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
2020年高考人教A版理科数学一轮复习(全册PPT课件 1520张)
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第1章 集合与常用逻辑用语 第一节 集 合 第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件 第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
第2章 函数、导数及其应用 第一节 函数及其表示 第二节 函数的单调性与最值 第三节 函数的奇偶性与周期性 第四节 二次函数与幂函数 第五节 指数与指数函数 第六节 对数与对数函数 第七节 函数的图象
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
23 答案
2 ． ( 教 材 改 编 ) 若 集 合 A ＝ D [由题意知 A＝{0,1,2}，由 a＝ {x∈N|x≤2 2}，a＝ 2，则下列结 2，知 a∉A.] 论正确的是( ) A．{a}⊆A B．a⊆A C．{a}∈A D．a∉A
解2析4 答案
22
[基础自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打 “×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集．( ) (2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．( ) (3)若{x2,1}＝{0,1}，则 x＝0,1.( ) (4)直线 y＝x＋3 与 y＝－2x＋6 的交点组成的集合是{1,4}．( )
第8章 平面解析几何 第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 第二节 两条直线的位置关系 第三节 圆的方程 第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系 第五节 椭 圆
第1课时 椭圆的定义、标准方程及其性质 第2课时 直线与椭圆的位置关系
第六节 双曲线 第七节 抛物线 第八节 曲线与方程 第九节 圆锥曲线中的定点、定值、范围、最值问题 高考大题增分课(五) 平面解析几何中的高考热点问题
第9章 算法初步、统计与统计案例 第一节 算法与程序框图 第二节 随机抽样 第三节 用样本估计总体 第四节 变量间的相关关系与统计案例
《创新设计》人教A高考数学(文)大一轮复习课件第10章统计、统计案例及概率第3讲
第十章统计、统计案例与概率第3讲变量间的相关关系、统计案例•最新考纲1.会作两个有关联变量的数据的散点图,会利用散点图认识变量间的相关关系；2.了解最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程；3.了解独立性检验（只要求2x2列联表）的基本思想、方法及其简单应用；4.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.基础诊断梳理自测，理解记忆知识梳理•1.变量间的相关关系•(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数焚系，另_类是相关关条;与函数关系不同，___________ 是一种非确定性关系■•(2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的却怖目关关系称为，点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为__________ .• 2.回归分析对具宥系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析.其基本步骤範半i ) 画散点图；(ii)求_________________________ ；(iii)用回归直线方程作预报.• 一吧于回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在________________ 附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线.(2)回归直线方程的求法——最小二乘法.设具有线性相关关系的两个变量兀，y 的一组观察值为(易, A A Ay z )(z=l,2,…，n),则冋归直线方程y=a-\~bx 的系数为：— 1 n — 1 n——其中X = n JV =匚乞刃，(X ，y)称为样本点的屮心・•(3)相关系数•当厂〉0时，表明两竽变量 _______ ；A b=Y71S ( x ； — rr) ( y •—y) i= 1工(JG — X )21=1工 3c , yi —n x yi= 1 ~n 9v 2 —2n 工•当厂V0时，表明两犁变量 ______ ・•厂的绝对值越接近于1,表明两个变量酹第性相关性_________ .•厂的绝对值越接近于0,表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常I厂I大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性.•3.独立性检验•(1)分类变量：变量的不同“值”表示呷炎体所属的__________ ,像这类变量称为分类变量. 频数表•(2)列联表：列出两个分类变量的 __________ ,称为列联表.假设有两个分类变量X和Y, 它们的可能取值分别为｛",勺｝和他，沙其样本频数列联表(称为2 X 2列联走)为n(ad—bcf构造一个随机变量K? = (a + b)(c+d)@+c)(b+〃)，其中n=日+b+c+d 为样本容量••(3)独立性检验•利用随机变量—来判断“两平芳类变量”的方法称为独立性检验.诊断自测U.判断正误(在括号内打“厂或“ X”)腐精彩PPT展示|I I I I I I I I ! A A A:I(1)通过回归方程y = bx+a可以估计和观测变量的取值和变［I I I II化趋势. (7 ) II I | (2)事件X,Y关系越密切，则由观测数据计算得到的疋的|I I I I I观测值越大. a)I I I I I|(3)由独立性检验可知，有99%的把握认为物理成绩优秀与］I I I II数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理1I I I I I I］优秀. (X )］I I I I •2.下面哪些变量是相关关系（）• A.出租车车费与行驶的里程•B房屋面积与房屋价格• C.身高与体重• D.铁块的大小与质量•答案C•3.为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算宏=0.99,根据这一数据分析，下列说法正确的是（）• A.有99%的人认为该电视栏目优秀•B.有99%的人认为该电视栏目是否优秀与改革有关系•C.有99%的把握认为该电视栏目是否优秀与改革有关系•D.没有理由认为该电视栏目是否优秀与改革有关系•解析只有宏N6.635才能有99 %的把握认斗口s -V- Z7 口7T4.（2014-湖北卷）根据如下样本数据A A A得到的回归方程^jy=bx+a,贝UA A A AA.tz>0,b<0B.a>0,b>0A A A AC.Q VO,b<0D.Q VO,b>0A解析作出散点图，由散点图可知bVO, a>0,故选A.答案A• 5.（人教A选修-2P13例1改编）在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1 671人，经过计算X2的观测值£=27.63,根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是的（填“有关”或“无关”）.答案有关考点一相关关系的判断【例1 ] （1）在一组样本数据（兀1，刃），（兀2,『2），…'g %）（心2,X1，兀2，…，£不全相等）的散点图中，若所有样本点（占，刃）（7=1, 2,…，M）都在直线y=5：+l上，则这组样本数据的样1D.1本相关系数为（）A・—1 B.01D.1•(2)对变量兀，y 有观测数据g,刃(匸1,2,…, 10),得散点图(1)；对变量％,。
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＝15.
(2)含 x4 的项为 C38x5( a )3＝C38a3x4， 3 x
∴C38a3＝7，∴a＝12.
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(3)a＝∫π20(sin2x2－12)dx＝∫π20(1－c2os x－12)dx
＝∫π20(－co2s x)dx＝－12.此时二项式的展开式的通项为 Tr＋1＝
Cr9(－12x)9－r(－
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考点二
二项式系数或各项系数和
【例2】 (1)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋ y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b。若13a＝7b，则m＝( )
A．5 B．6 C．7 D．8
(2)在二项式 x2－1x n的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项 系数的和为( )
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3．求证：3n>(n＋2)·2n－1(n∈N*，n>2)．
【证明】因为 n∈N*，且 n>2，
所以 3n＝(2＋1)n 展开后至少有 4 项．
(2
＋
1)n
＝
2n
＋
C
1 n
·2n
－
1
＋
…＋
Cnn－1
·2 ＋
1≥2n
＋
n·2n
－
1
＋
2n
＋
1>2n＋n·2n－1＝(n＋2)·2n－1，
所以 T4＝C36x3(－2)3＝－160x3，所以 x3 项的系数为－160.
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2．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为( )
二项式定理课件-2025届高三数学一轮复习
B.−
)
C.−
√
D.−
解析：因为只有第5项的二项式系数最大，
所以 = , −
的展开式的通项为+
= −
− ，
= ,1,2,
⋯ ，8，所以展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的系数相等，偶
数项的二项式系数与相应偶数项的系数互为相反数，而展开式中第5项的
D.50
] 求解.
思路二：利用因式分解把 + − 转化为二项式
思路三：
+
)
−
求解.
− 表示5个因式 + − 的乘积，利用组合知识求解.
解析：方法一： + −
=[ − +
] ,
通项为+ = − −
逐项减1直到零；字母 按升幂排列，从第一项开始，次数由零逐项加1直
到 .
2.二项式系数的性质
若二项展开式的通项为+ = ⋅
( = , , , ⋯ , ), ≠ ,则
有以下常见结论：
（1） = ⇔ + 是常数项；
（2） 是非负整数 ⇔ + 是整式项；
的展开式中第2项和第6项的二项式系数相等，所
以 = ，解得 = .
−
展开式的通项为
−
+ =
−
=
⋅ −
⋅ − ⋅ − ，