人教A版高中数学必修1《第二章 基本初等函数(Ⅰ) 2.2 对数函数 阅读与思考 对数的发明》_2
高中数学 2.2.1.1对数课件 新人教A版必修1
提示：①a<0，N取某些值时，logaN不存在，如根据指数的运算性质可知，不存在实数x使(－12)x＝2成
立，所以log(－
1 2
)2不存在，所以a不能小于0.②a＝0，N≠0时，不存在实数x使ax＝N，无法定义logaN；N
＝0时，任意非零实数x，有ax＝N成立，logaN不确定．③a＝1，N≠1时，logaN不存在；N＝1，loga1有无 数个值，不能确定．
1
30
思考 1 对数恒等式 a logaN＝N 成立的条件是什么？ 提示：成立的条件是a>0，a≠1且N>0.
思考 2 用 a logaN (a>0 且 a≠1，N>0)化简求值的关键是什么？
提示：用 a logaN (a>0 且 a≠1，N>0)化简求值的关键是凑准公式的结构，尤其是对数的底数和幂底数 要一致，为此要灵活应用幂的运算性质．
思考 根据对数的定义以及对数与指数的关系，你能求出loga1＝？logaa＝？
提示： ∵对任意a>0且a≠1，都有a0＝1， ∴化成对数式为loga1＝0； ∵a1＝a，∴化成对数式为logaa＝1.
1
24
[典例示法] 例3 求下列各式中x的值． (1)logx27＝32；(2)log2x＝－23； (3)x＝log2719；(4)log3(lgx)＝1.
题目(1)(2)中的对数式化为指数式是怎样的？题目(3)(4)呢？
3
提示：(1)化为指数式x2
＝27，(2)化为指数式2－23
＝x，(3)化为指数式27x＝19，(4)化为指数式31＝lgx.
1
25
[解]
(1)由logx27＝32可得x32 ＝27，
2
人教A版高中数学必修1第二章2.2.2对数函数及其性质课件
探究新知
2.对数函数 ylo gax(a0 ,且 a1 )的图像 思考：当0<a<1时， y=logax图像变化分布情况又如何 探究
呢？
（2）当0<a<1时， y=logax图像变化分布情况如下：
3.对数函数的图像及其性质 请同学们整理完成下表
一般地，对数函数 ylo gax(a0 ,且 a1 )的图像和性质如下：
新知运用
例1. 求下列函数的定义域. (a0,且a1) (1)y2loga x 函数定义域为 (0, ) (2)yloga x2
(3)yloga(4x)
新知运用
对数函数性质
例2. 比较下列各组数中两个值的大小
(1)log23.4,log28.5 解析
log23.4log28.3
(2)log0.31.8,log0.32.7
描点法作函数图像的步骤是：
思考：当0<a<1时， y=logax图像变化分布情况又如何呢？
思考：当0<a<1时， y=logax图像变化分布情况又如何呢？
（1）为什么规定
?
描点法作函数图像的步骤是：
欢迎各位领导，老师 对数函数
的图像
（2）如果一位师傅拉完面后，得到256根面条,请问拉面师傅需要拉几扣?
过定点(1, 0)，即当x＝1时，y＝0.
对数函数
的图像
对数函数 （2）函数的图的像定义域是什么?
(0, )
下面，我们来研究对数函数 ylo gax(a0 ,且 a1 )
的图像.
探究新知
a(0,1) (1,)
2.对数函数 ylo gax(a0 ,且 a1 )的图像
例：a=2时,
y=log2x，试作函数y=log2x的图像.
人教A版高中数学必修1《第二章 基本初等函数(Ⅰ) 2.2 对数函数 习题2.2》_16
明目标、知重点 1.巩固和深化对有关对数基础知识的理解与掌握.2.重点掌握好对数函数的图象及性质的应用及对数函数与其它有关知识的综合应用．1．若log x 7y ＝z ，则( ) A ．y 7＝x z B ．y ＝x 7z C ．y ＝7x z D ．y ＝z 7x 答案 B解析 由log x 7y ＝z ，得x z ＝7y ，∴⎝⎛⎭⎫7y 7＝(x z )7，则y ＝x 7z .2．已知函数f (x )＝lg 1－x1＋x ，若f (a )＝b ，则f (－a )等于( )A ．bB ．－b C.1b D ．－1b答案 B解析 f (－x )＝lg 1＋x 1－x ＝lg(1－x 1＋x )－1＝－lg 1－x1＋x＝－f (x )，则f (x )为奇函数，故f (－a )＝－f (a )＝－b .3．已知函数y ＝f (2x )的定义域为[－1,1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域为( ) A ．[－1,1] B ．[12，2] C ．[1,2] D ．[2，4]答案 D解析 ∵－1≤x ≤1，∴2－1≤2x ≤2，即12≤2x ≤2.∴y ＝f (x )的定义域为[12，2]，即12≤log 2x ≤2，∴2≤x ≤4.函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4 答案 B解析 函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)，令y 1＝a x ，y 2＝log a (x ＋1)，显然在[0,1]上， y 1＝a x 与y 2＝log a (x ＋1)同增或同减． 因而[f (x )]max ＋[f (x )]min ＝f (1)＋f (0) ＝a ＋log a 2＋1＋0＝a ，解得a ＝12.5．已知a 23＝49(a >0)，则log 23a ＝________.答案 3解析 设log 23a ＝x ，则a ＝⎝⎛⎭⎫23x，又a 23＝49，∴⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫23x 23＝⎝⎛⎭⎫232，即⎝⎛⎭⎫2323x ＝⎝⎛⎭⎫232，∴23x ＝2，解得x ＝3. 6．已知0＜a ＜b ＜1＜c ，m ＝log a c ，n ＝log b c ，则m 与n 的大小关系是________． 答案 m ＞n解析 ∵m ＜0，n ＜0，∵mn＝log a c ·log c b ＝log a b ＜log a a ＝1，∴m ＞n .题型一 对数式的化简与求值例计算：(1)log(2(2－3)；(2)已知2lg x －y2＝lg x ＋lg y ，求log(3-x y. 解 (1)方法一 利用对数定义求值： 设log(2(2－3)＝x ，则(2＋3)x ＝2－3＝12＋3＝(2＋3)－1，∴x ＝－1.方法二 利用对数的运算性质求解：log(2(2－3)＝log (212＋3＝log (2(2＋3)－1＝－1.(2)由已知得lg(x －y 2)2＝lg xy ，∴(x －y 2)2＝xy ，即x 2－6xy ＋y 2＝0.∴(x y )2－6(x y )＋1＝0.∴xy ＝3±2 2. ∵⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＞0，x ＞0，y ＞0，∴x y ＞1，∴xy＝3＋22， ∴log(3-xy＝log (3-(3＋22)＝log (3-13－22＝－1.反思与感悟 在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底，指数与对数互化． 跟踪训练1 计算： (1)log 2748＋log 212－12log 242－1； (2)(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25. 解 (1)原式＝log 2748＋log 212－log 242－log 22 ＝log 27×1248×42×2＝log 2122＝log 2232-＝－32.(2)原式＝lg 2·(lg 2＋lg 50)＋lg 25＝2lg 2＋lg 25 ＝lg 100＝2.题型二 对数函数的图象与性质例已知f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈[13，2]都有|f (x )|≤1成立，试求a的取值范围．解 ∵f (x )＝log a x ，则y ＝|f (x )|的图象如图．由图示，要使x ∈[13，2]时恒有|f (x )|≤1，只需|f (13)|≤1，即－1≤log a 13≤1，即log a a －1≤log a 13≤log a a ，亦当a ＞1时，得a －1≤13≤a ，即a ≥3；当0＜a ＜1时，得a －1≥13≥a ，得0＜a ≤13.综上所述，a 的取值范围是(0，13]∪[3，＋∞)．反思与感悟 本题属于函数恒成立问题，即对于x ∈[13，2]时，|f (x )|恒小于等于1，恒成立问题一般有两种思路：一是利用图象转化为最值问题；二是利用单调性转化为最值问题．由于本题底数a 为参数，需对a 进行分类讨论．跟踪训练2 已知函数f (x )＝|lg x |，若0＜a ＜b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是( ) A ．(22，＋∞) B ．[22，＋∞) C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)答案 C解析 画出函数f (x )＝|lg x |的图象如图所示．∵0＜a ＜b ，f (a )＝f (b )，∴0＜a ＜1，b ＞1，∴lg a ＜0，lg b ＞0.又f (a )＝f (b )，∴－lg a ＝lg b ，ab ＝1，∴b ＝1a，∴a ＋2b ＝a ＋2a ，又0＜a ＜1，函数t ＝a ＋2a 在(0,1)上是减函数，∴a ＋2a ＞1＋21＝3，即a ＋2b＞3.题型三 对数函数的综合应用例 3已知函数f (x )＝log 2x ，x ∈[2,8]，函数g (x )＝f 2(x )－2af (x )＋3的最小值为h (a )． (1)求h (a )；(2)是否存在实数m ，n ，同时满足以下条件：①m >n >3；②当h (a )的定义域为[n ，m ]时，值域为[n 2，m 2]，若存在，求出m ，n 的值；若不存在，说明理由． 解 (1)因为x ∈[2,8]，所以log 2x ∈[1,3]． 设log 2x ＝t ，t ∈[1,3]，则g (t )＝t 2－2at ＋3＝(t －a )2＋3－a 2 当a <1时，y min ＝g (1)＝4－2a ， 当1≤a ≤3时，y min ＝g (a )＝3－a 2，当a >3时，y min ＝g (3)＝12－6a . 所以h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧4－2a (a <1)3－a 2(1≤a ≤3)12－6a (a >3).(2)因为m >n >3，所以h (a )＝12－6a 在(3，＋∞)上为减函数， 因为h (a )的定义域为[n ，m ]，值域为[n 2，m 2]，所以⎩⎪⎨⎪⎧12－6m ＝n 212－6n ＝m 2， 两式相减得6(m －n )＝(m －n )(m ＋n )， 所以m ＋n ＝6，但这与“m >n >3”矛盾， 故满足条件的实数m ，n 不存在．反思与感悟 本题利用了换元法，把log 2x 看作一个整体用t 来表示，从而得到一个新函数，因此需要求出函数的定义域．所示函数的最值本身也是关于a 的分段函数，所以函数思想是中学阶段常用的重要思想．跟踪训练3 已知函数f (x )＝log a (x ＋1)(a ＞1)，若函数y ＝g (x )图象上任意一点P 关于原点对称的点Q 在函数f (x )的图象上． (1)写出函数g (x )的解析式；(2)当x ∈[0,1)时总有f (x )＋g (x )≥m 成立，求m 的取值范围． 解 (1)设P (x ，y )为g (x )图象上任意一点， 则Q (－x ，－y )是点P 关于原点的对称点，∵Q (－x ，－y )在f (x )的图象上，∴－y ＝log a (－x ＋1)，即y ＝g (x )＝－log a (1－x )． (2)f (x )＋g (x )≥m ，即log a x ＋11－x≥m .设F (x )＝log a 1＋x 1－x ＝log a (－1＋21－x )，x ∈[0,1)，由题意知，只要F (x )min ≥m 即可．∵F (x )在[0,1)上是增函数，∴F (x )min ＝F (0)＝0. 故m ≤0即为所求． [呈重点、现规律]1．指数式a b ＝N 与对数式log a N ＝b 的关系以及这两种形式的互化是对数运算法则的关键． 2．指数运算的实质是指数式的积、商、幂的运算，对于指数式的和、差应充分运用恒等变形和乘法公式；对数运算的实质是把积、商、幂的对数转化为对数的和、差、积．3．注意对数恒等式、对数换底公式及等式log a m b n ＝n m ·log a b ，log a b ＝1log b a在解题中的灵活应用．4．在运用性质log a M n ＝n log a M 时，要特别注意条件，在无M ＞0的条件下应为log a M n ＝n log a |M |(n ∈N *，且n 为偶数)．5．指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别．6．明确函数图象的位置和形状要通过研究函数的性质，要记忆函数的性质可借助于函数的图象．因此要掌握指数函数和对数函数的性质首先要熟记指数函数和对数函数的图象.一、基础过关 1．函数f (x )＝3x1－x＋lg(2x －1)的定义域为( ) A ．(－∞，1) B ．(0,1] C ．(0,1)D ．(0，＋∞)答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x ＞0，2x －1＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，x ＞0.故选C.2．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 的值为( )A.10 B ．10 C ．20 D ．100 答案 A解析 由2a ＝5b ＝m ，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， 由1a ＋1b ＝2，得1log 2m ＋1log 5m＝2. 即log m 2＋log m 5＝log m 10＝2，所以m 2＝10， 又因为m ＞0，所以m ＝10.3．若函数f (x )＝log a (x ＋b )的图象如图，其中a ，b 为常数，则函数g (x )＝a x ＋b 的图象大致是( )答案 D解析 由函数f (x )＝log a (x ＋b )的图象可知， 函数f (x )＝log a (x ＋b )在(－b ，＋∞)上是减函数． 所以0<a <1，－1<－b <0，故0<b <1.因为0<a <1，所以g (x )＝a x ＋b 在R 上是减函数，故排除A ，B. 因为0<b <1，函数g (x )＝a x ＋b 的值域为(b ，＋∞)， 所以g (x )＝a x ＋b 的图象应在直线y ＝b 的上方， 故排除C.4．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是( ) A ．y ＝2|x |B ．y ＝lg(x ＋x 2＋1)C ．y ＝2x ＋2－x D ．y ＝lg 1x ＋1答案 D解析 函数y ＝2|x |和y ＝2x ＋2－x 显然为偶函数，对于函数y ＝lg(x ＋x 2＋1)，由于f (－x )＝lg(－x ＋x 2＋1)＝lg(x 2＋1－x )＝lg 1x 2＋1＋x＝－f (x )，所以为奇函数，故选D.5．已知函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)满足f (9)＝2，则a ＝________. 答案 3解析 由f (9)＝2得a 2＝9，所以a ＝3.6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，2x ， x ≤0.若f (a )＝12，则a ＝______.答案 2或－1解析 当a ＞0时，log 2a ＝12，则a ＝2；当a ≤0时，2a ＝12，则a ＝－1.7．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明； (3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的解集．解 (1)要使函数f (x )有意义．则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1. 故所求函数f (x )的定义域为{x |－1<x <1}． (2)由(1)知f (x )的定义域为{x |－1<x <1}， 且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )， 故f (x )为奇函数．(3)因为当a >1时，f (x )在定义域{x |－1<x <1}内是增函数， 所以f (x )>0⇔x ＋11－x >1，解得0<x <1.所以使f (x )>0的x 的解集是{x |0<x <1}． 二、能力提升8．已知函数f (x )＝a log 2x －b log 3x ＋3，若f (12 013)＝5，则f (2 013)等于( )A ．1B ．2C ．3D ．2 013 答案 A9．已知定义在R 上的偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调减函数，若f (1)>f (lg 1x )，则x 的取值范围为____________________． 答案 0<x <110或x >10解析 因为f (x )是定义在R 上的偶函数且在区间[0，＋∞)上是单调减函数， 所以f (x )在区间(－∞，0)上是增函数， 所以不等式f (1)>f (lg 1x )可化为lg 1x >1或lg 1x<－1， 所以lg 1x >lg 10或lg 1x <lg 110，所以1x >10或0<1x <110，所以0<x <110或x >10.10．设函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2 015)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 015)＝________. 答案 16解析 f (x 1x 2…x 2 015)＝log a (x 1x 2…x 2 015)＝8，f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 015) ＝log a x 21＋log a x 22＋…＋log a x 22 015＝log a (x 1x 2…x 2 015)2＝2log a (x 1x 2…x 2 015)＝16.11．设x ∈[2,8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值．解 由题意知f (x )＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2)＝12(log 2a x ＋3log a x ＋2)＝12(log a x ＋32)2－18. 当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32.又∵x ∈[2,8]，∴a ∈(0,1)． ∵f (x )是关于log a x 的二次函数，∴函数f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得．若12(log a 2＋32)2－18＝1，则a ＝212-， 此时f (x )取得最小值时，x ＝(213-)32-＝2∉[2,8]，舍去．若12(log a 8＋32)2－18＝1，则a ＝12， 此时f (x )取得最小值时，x ＝(12)32-＝22∈[2,8]，符合题意， ∴a ＝12.12．已知f (x )＝log 2(x ＋1)，当点(x ，y )在函数y ＝f (x )的图象上时，点(x 3，y2)在函数y ＝g (x )的图象上．(1)写出y ＝g (x )的解析式； (2)求方程f (x )－g (x )＝0的根．解 (1)依题意，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝f (x )＝log 2(x ＋1)，y 2＝g (x3)， 则g (x 3)＝12log 2(x ＋1)，故g (x )＝12log 2(3x ＋1)．(2)由f (x )－g (x )＝0得， log 2(x ＋1)＝12log 2(3x ＋1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，3x ＋1>0，3x ＋1＝(x ＋1)2，解得，x ＝0或x ＝1.三、探究与拓展13. 已知函数f (x )＝lg(a x －b x )(a ＞1＞b ＞0)． (1)求y ＝f (x )的定义域；(2)在函数y ＝f (x )的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x 轴； (3)当a ，b 满足什么条件时，f (x )在(1，＋∞)上恒取正值．解 (1)由a x －b x ＞0，得(a b )x ＞1，且a ＞1＞b ＞0，得ab ＞1，所以x ＞0，即f (x )的定义域为(0，＋∞)．(2)任取x 1＞x 2＞0，a ＞1＞b ＞0，则a 1x＞a 2x ＞0，b 1x＜b2x ，所以a 1x －b 1x＞a2x －b2x ＞0，即lg(a 1x－b 1x)＞lg(a2x －b2x )．故f (x 1)＞f (x 2)．所以f (x )在(0，＋∞)上为增函数．假设函数y ＝f (x )的图象上存在不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，使直线平行于x 轴，则x 1≠x 2，y 1＝y 2，这与f (x )是增函数矛盾．故函数y ＝f (x )的图象上不存在不同的两点使过两点的直线平行于x 轴．(3)因为f (x )是增函数，所以当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＞f (1)，这样只需f (1)＝lg(a －b )≥0，即当a ≥b ＋1时，f (x )在(1，＋∞)上恒取正值．。
高中数学第二章基本初等函数(ⅰ)2.2.2对数函数及其性质第1课时对数函数的图象及性质
【解析】(1)由xlg＋x1＋>01，－3≠0， 得xx>＋－1≠1，103， ∴x>－1 且 x≠999. ∴函数的定义域为{x|x>－1 且 x≠999}.
(2)由xx>≠01，， 2－x>0，
得xx>≠01，， x<2，
∴函数的定义域为{x|0<x<2 且 x≠1}.
12/9/2021
第二十页，共三十四页。
logax(a＞0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件： (1)系数为1；(2)底数为大于0且不等于1的常数； (3)对数的真数仅有自变量x.
12/9/2021
第十一页，共三十四页。
1. 函 数 f(x) ＝ (a2 － a ＋ 1)log(a ＋ 1)x 是 对 数 函 数 ， 则 实 数 a ＝
【答案】(2,1)
【解析(jiě xī)】函数图象过定点，则与a无关，故loga(x－1)＝0， ∴x－1＝1，x＝2，y＝1.∴y＝loga(x－1)＋1的图象过定点(2,1).
5.函数y＝ln x的反函数是________. 【答案】y＝ex
【解析】由同底指数函数和对数函数互为反函数，可得y＝ln x的 反函数为y＝ex.
2.2 对数函数(duìshùhán shù)
2.2.2 对数函数(duìshù hán shù)及其性质
第1课时 对数函数的图象(tú xiànɡ)及性质
12/9/2021
第一页，共三十四页。
目标定位
1.理解对数函数的概念. 2.初步掌握对数函数的图 象及性质. 3.会类比指数函数，研究 对数函数的性质.
过点(0,1)作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标
从左向右依次为c，d，a，b，显然b>a>1>d>c．
高中数学 第二章 基本初等函数(ⅰ)2.2.1 对数与对数运算课件 a必修1a高一必修1数学课件
2021/12/8
第七页，共十六页。
解：（1）loagxzyloag(xyl)oagz
loax g loay g loazg
（2） l o g a
x2 y 3z
loga
1
x2y2
loga
1
z3
1
1
loag x2loag y2loag z3
1
1
2loag x2loagy3loag z
2021/12/8
第十一页，共十六页。
注意
loga(MN) ≠ logaMlogaN
loga(MN) ≠ logaMlogaN
2021/12/8
第十二页，共十六页。
作业
习题 2.2 (xítí) A组 第3 ~5，11题
2021/12/8
第十三页，共十六页。
练习
ab2
⑴ 若 lgxlga2lgb 3lgc,则 x_c_3 _.
理论
请同学(tóng xué)们根据（2），（3）推导出
loga M NlogaMlogaN
lo g aM n n lo g aM n R
2021/12/8
第五页，共十六页。
理论 文字 表述 (wénzì) 为: 两个(liǎnɡ ɡè)正数的积的对数等于这两个
(liǎnɡ ɡè)正数的对数和；
两个正数的商的对数(duìshù)等于这两个正 数的对数(duìshù)差；
2021/12/8
一个正数的n次方的对数等于这个正 数的对数n倍.
第六页，共十六页。
举例
例1 用 loga x, loga y, log a z 表示(biǎoshì)下列各式：
1
xy loga z ;
高中数学人教A版必修一课件：第二章 2.2.2对数函数图象与性质 (共20张PPT)
第十九页，编辑于星期日：二十三点 十四分。
思考：求函数 y=log3x (1≤x≤3)的值域. 变式：(1)已知函数y=logax(a>0,a≠1), 当x∈[3,9]时，
函数的最大值比最小值大1,则a=__3_或 __ 1
3
(2)求函数 y=log3（-x2+2x+3）的值域
1.单调性法（端点代入 ）2.换元法(注明新元取值) 3.二次函数法(配方,画图,求值）
y
规律： 2
在x=1右侧 1
x
11
：底大图低 0
；
-1
左侧：
42
1
23
4
底大图高 -2
y log2 x
y log3 x
x
y log 1 x y log 1 3x
2
第七页，编辑于星期日：二十三点 十四分。
第八页，编辑于星期日：二十三点 十四分。
例2 比较下列各题中两个值的大小：
1 log1.5 3.7, log1.5 0.5;
(5) a>1时,在(0,+∞)是增函数；
0<a<1时,在(0,+∞)是减函数
第二页，编辑于星期日：二十三点 十四分。
练习：
1.如果函数 y log(a2 1) x 在
(0,+∞)上的单调减函数，求a的 取值范围。 2.设a>0且a≠1，则函数f(x)=logax +2的图象必过定点_____
第三页，编辑于星期日：二十三点 十四分。
第二十页，编辑于星期日：二十三点 十四分。
2 log0.4 1.6, log0.4 4.9;
3 loga 2.1, loga 5.6a 0, a 1;
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2对数函数2.2.2对数函数及其性质课件1新人教A必修1
[答案] A [解析] ∵函数y＝logax的图象一直上升， ∴函数y＝logax为单调增函数，∴a＞1，故选A.
3．下列函数中是对数函数的是 ( A．y＝log1 x
4 4
)
B．y＝log1 (x＋1) D．y＝log1 x＋1
4
C．y＝2· log1 x
4
[答案] A
[解析] 形如y＝logax(a>0，且a≠1)的函数才是对数函数，
[规律总结] 对于对数概念要注意以下两点：
(1)在函数的定义中，a>0且a≠1. (2)在解析式y＝logax中，logax的系数必须为1，真数必须为x， 底数a必须是大于0且不等于1的常数．
跟踪练习
指出下列函数中，哪些是对数函数？ ①y＝5x；②y＝－log3x；③y＝log0.5 x；④y＝log3 x；⑤y
预习自测
1.下列函数是对数函数的是 ( A．y＝2＋log3x B．y＝loga(2a)(a＞0，且 a≠1) C．y＝logax2(a＞0，且 a≠1) D．y＝lnx )
[答案] D
[解析] 判断一个函数是否为对数函数，其关键是看其是
否具有“y＝logax”的形式，A，B，C全错，D正确．
2． 函数 y＝logax 的图象如图所示， 则实数 a 的可能取值为 ( ) A．5 1 B.5 1 C.e 1 D．2
2．对数函数的图象和性质 一般地，对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象和性质如下表 所示：
a＞1
0＜a＜1
图象
a＞ 1
0＜a＜1
，＋∞) 定义域：(0 ______ R 值域：______
性质
(1,0) ，即当 x＝1 时，y＝0 图象过定点______ 增函数 在(0，＋∞)上是______ 减函数 在(0，＋∞)上是______
人教A版高中数学必修一第二章2.2.2对数函数及其性质
(0, ) ( , )
(1, 0)即x 1时y 0
0 x 1时 0 x 1时 y0 x 1时 y0 y0 x 1时 y0
值域
过定点 (0,1)即x 0时y 1
y值 区域
y1 x 0时 0 y1
1 0 x 或x 1 2
1 解集是 0, 1, 2
与对数有关的二次函数
例4.试求函数y log2 x 3 log2 x 2, 在
2
区间 2 ,8 上的最值.
1.换元法(注明新元取值)
2.二次函数法(配方,画图,求值）
指数函数y a (a 0, 且a 1)与对数函数
y log1 x
2
的图
2）能否猜测 y log10 x 与 象相似？
y log 1 x
10
分别与哪个图
y
y log2 x
y log10 x
O 1 x
y log 1 x y log1 x
2
10
3）观察以上四个函数的的图象，指出他们 的共同点和不同点？并思考影响它们形状 的主要因素是什么？
(1) y log a x
2
(2) y log a (4 x)
练习：
(1)
(2) y log x1 3 x
1 y log 2 x 1 3
例2
比较下列各组数中两个值的大小：
(1) log 2 3.4, log 2 8.5 ( 2) log 0.3 1.8, log 0.3 2.7 ( 3) log a 5.1, log a 5.9(a 0且a 1)
2.2.2 对数函数及其图像和性质
跟踪演练 1 若某对数函数的图象过点(4,2)， 则该对数函数的 解析式为 A．y＝log2x ( )
B．y＝2log4x
C．y＝log2x 或 y＝2log4x D．不确定
答案 A
预习导学
课堂讲义
课堂讲义
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
解析
设对数函数的解析式为 y＝logax(a＞0 且 a≠1)， 由题
意可知 loga4＝2， ∴a2＝4，∴a＝2， ∴该对数函数的解析式为 y＝log2x.
预习导学
课堂讲义
课堂讲义
要点二 例2 对数函数的图象
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
如图所示， 曲线是对数函数 y＝logax 的图象， 已知 a 取 3， )
4 3 1 3，5、10，则相应于 c1、c2、c3、c4 的 a 值依次为 ( 4 3 1 A. 3、3、5、10 4 1 3 B． 3、3、10、5 4 3 1 C.3、 3、5、10 4 1 3 D．3、 3、10、5
值域
过定点
性 函数值 质 的变化 单调性
预习导学
(0，＋∞) (0,1) ，即x＝___ 0 时，y＝___ 1 过点______ ＜y＜1 ； 当x＞0时，______ _______ y＞1 ； 当x＞0时，0 y＞1 当x＜0时，________ 0＜y＜1 当x＜0时，_____ 增函数 减函数 是R上的______ 是R上的______
要点一 例1
对数函数的概念
指出下列函数哪些是对数函数？
(1)y＝3log2x；(2)y＝log6x； (3)y＝logx3；(4)y＝log2x＋1. 解 (1)log2x 的系数是 3，不是 1，不是对数函数． (2)符合对数函数的结构形式，是对数函数． (3)自变量在底数位置上，不是对数函数． (4)对数式 log2x 后又加 1，不是对数函数．
人教A版高中数学必修1《第二章 基本初等函数(Ⅰ) 2.2 对数函数 习题2.2》_19
《2.2.2 对数函数及其性质》教学设计一、教材分析本小节选自《普通高中课程标准数学教科书-数学必修（一）》第二章基本初等函数（1）2.2.2对数函数及其性质（第二课时），主要内容是使用对数函数的定义、图象、性质及应用。
对数函数是继指数函数之后的又一个重要初等函数，无论从知识或思想方法的角度对数函数与指数函数都有许多类似之处。
与指数函数相比，对数函数所涉及的知识更丰富、方法更灵活，能力要求也更高。
学习对数函数是对指数函数知识和方法的巩固、深化和提高，也为解决函数综合问题及其在实际上的应用奠定良好的基础。
在教学中，学生往往容易忽略对数函数的定义域，因此，在进行定义教学时， ，加强对对数函数定义域为(0，＋∞)的应用．在理解对数函数概念的基础上掌握对数函数的图象和性质，是本节的教学重点，而理解底数a 的值对于函数值变化的影响(即对对数函数单调性的影响)是教学的一个难点，教学时要充分利用图象，数形结合，帮助学生理解． 为了便于学生理解对数函数的性质，教学时可以先让学生在同一坐标系内画出函数13log y x =和12log y x =和2log y x =和3log y x =的图象，通过具体的例子，引导学生共同分析它们的性质．并利用《几何画板》软件，定义变量a ，作出函数y ＝log a x 的图象，通过改变a 的值，在动态变化的过程中让学生认识对数函数的图象和性质．二、学生学习情况分析刚从初中升入高一的学生，仍保留着初中生许多学习特点，能力发展正处于形象思维向抽象思维转折阶段，但更注重形象思维。
由于函数概念十分抽象，又以对数运算为基础，同时，初中函数教学要求降低，初中生运算能力有所下降，这双重问题增加了对数函数教学的难度。
教师必须认识到这一点，教学中要控制要求的拔高，关注学习过程。
三、设计理念本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行设计的，针对学生的学习背景，对数函数的教学首先要挖掘其知识背景贴近学生实际，其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《对数的发明》教学设计
一、情境引入
1.在16世纪，随着哥白尼日心说盛行，天文学蓬勃发展，以及欧洲
人渐渐热衷于地理探险和海上贸易，由于当时没有计算机，天文学家
们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费
了若干年甚至毕生的宝贵时间，这时候人们迫切的想找到一种新的运
算方法来改进计算？
2.请同学们计算下面问题：
二、探索发现(学案提前下发预习)
100000，…… 0，1，2，3，4，5，……
他发现了它们之间有某种对应关系。利用这种对应可以用第二个数列
的加减关系来代替第一个数列的乘除关系。阿基米德虽然发现了这一
规律，但他却没有把这项工作继续下去，失去了对数破土而出的机
会。
2000年后，一位德国数学家对对数的产生作出了实质性贡献，
他就是史蒂非。1514年，史蒂非重新研究了阿基米德的发现，他写
出两个数列：
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11……
1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048……
他发现，上一排数之间的加、减运算结果与下一排数之间的乘、
除运算结果有一种对应关系，例如，上一排中的两个数2、5之和为
7，下一排对应的两个数4、32之积128正好就是2的7次方。实际
上，用后来的话说，下一列数以2为底的对数就是上一列数，并且史
蒂非还知道，下一列数的乘法、除法运算，可以转化为上一列数的加
法、减法运算。例如，23×25＝23＋5，等等。就在史蒂非悉心研究
这一发现的时候，他遇到了困难。由于当时指数概念尚未完善，分数
指数还没有认识，面对像17×63，1025÷33等情况就感到束手无策
了。在这种情况下，史蒂非无法继续深入研究下去，只好停止了这一
工作。但他的发现为对数的产生奠定了基础。
纳皮尔的功绩
15、16世纪，天文学得到了较快的发展。为了计算星球的轨道
和研究星球之间的位置关系，需要对很多的数据进行乘、除、乘方和
开方运算。由于数字太大，为了得到一个结果，常常需要运算几个月
的时间。繁难的计算苦恼着科学家，能否找到一种简便的计算方法？
数学家们在探索、在思考。如果能用简单的加减运算来代替复杂的乘
除运算那就太好了！这一梦想终于被英国数学家纳皮尔实现了。纳皮
尔于1550年生于苏格兰的爱丁堡。他家是苏格兰的贵族，他13岁入
圣安德卢斯大学学习，后来留学欧洲，1571年回到家乡。纳皮尔是
一位地主，他曾在自己的田地里进行肥料施肥试验，研究过饲料的配
合，还设计制造过抽水机。他的兴趣十分广泛，一方面热衷于政治和
宗教斗争，一方面投身于数学研究。他在球面三角学的研究中有一系
列突出的成果。
纳皮尔研究对数的最初目的，就是为了简化天文问题的球面三
角的计算，他也是受了等比数列的项和等差数列的项之间的对应关系
的启发。纳皮尔在两组数中建立了这样一种对应关系：当第一组数按
等差数列增加时，第二组数按等比数列减少。于是，后一组数中每两
个数之间的乘积关系与前一组数中对应的两个数的和，建立起了一种
简单的关系，从而可以将乘法归结为加法运算。在此基础上，纳皮尔
借助运动概念与连续的几何量的结合继续研究。纳皮尔画了两条线段，
设AB是一条定线段，CD是给定的射线，令点P从A出发，沿AB变
速运动，速度跟它与B的距离成比例地递减。同时，令点Q从C出发，
沿CD作匀速运动，速度等于P出发时的值，纳皮尔发现此时P、Q运
动距离有种对应关系，他就把可变动的距离CQ称为距离PB的对数。
当时，还没有完善的指数概念，也没有指数符号，因而实际上
也没有“底”的概念，他把对数称为人造的数。对数这个词是纳皮尔
创造的，原意为“比的数”。 他研究对数用了20多年时间，1614
年，他出版了名为《奇妙的对数定理说明书》的著作，发表了他关于
对数的讨论，并包含了一个正弦对数表。有趣的是同一时刻瑞士的一
个钟表匠比尔吉也独立发现了对数，他用了8年时间编出了世界上最
早的对数表，但他长期不发表它。直到1620年，在开普勒的恳求下
才发表出来，这时纳皮尔的对数已闻名全欧洲了
对数的完善
纳皮尔的对数著作引起了广泛的注意，伦敦的一位数学家布里
格斯于1616年专程到爱丁堡看望纳皮尔，建议把对数作一些改进，
使1的对数为0，10的对数为1等等，这样计算起来更简便，也将更
为有用。次年纳皮尔去世，布里格斯独立完成了这一改进，就产生了
使用至今的常用对数。1617年，布里格斯发表了第一张常用对数表。
1620年，哥莱斯哈姆学院教授甘特试作了对数尺。
思考：编制表格的关键是什么？
三、概念形成
回顾数的运算的发展历程:
引进减法 引进除法
引进开方 引进对数
1. 对数的定义：
教师总结，同学们探究
探究思考：
（1）负数与零有没有对数？
（2）常用对数：以10为底的对数叫做常用对数.N的以10为底的常
用对数 简记作lgN.
（3）自然对数： 在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……
为底的对数，以e为底的对数叫自然对数. 为了简便，N的自然对
数
简记作lnN.
（4）底数a
（5）真数N的取值范围 :
四、例题讲解
例1 将下列指数式写成对数式：
例2 将下列对数式写成指数式：
五、课堂练习
1.把下列指数式写成对数式
2 将下列对数式写成指数式：
六、知识拓展
实际上，随计算机发明使用，人们很少使用对数表，可对数在现实生
活中的应用却非常广泛，例如：生物领域，求环境容纳量；考古领域
通过 C14的半衰期判断年代；化学中的求PH值；物理领域中的求
声音分贝；地理领域中求地震强度......为什么对数在这么多领域有
广泛的应用呢？其实并不神秘，因为这些领域毒涉及到较大复杂数的
运算。 这也难怪很多科学家对对数给予非常高 的评价：
拉普拉斯说：“对数用缩短计算时间，延长了天文学家寿命。”； 伽
利略说：“给我时间、空间、对数，我将创造一个宇宙。” 恩格斯说：
“对数的发明，解析几何的创立，微积分的建立，是17世纪数学史
上的三大成就。”
七、小结
对数的发明，对数的定义。
作业
1. P48阅读与思考
2. 课时作业P45-46
3. 作业本： 课本P64 习题1.2.3.